一阶线性偏微分方程
第七章一阶线性偏微分方程
Ψ ϕ1(x1, · · · , xn), · · · , ϕn−1(x1, · · · , xn)
= 常数
xj =ψj (xn)
(2) µ0dx + µ1dy1 + · · · + µndyn是某个函数ϕ的全微分，则ϕ = c就是方程的一个首次积 分。
【例1】 求方程组
的通积分。 【例2】 解方程组
dx xz
=
dy yz
=
dz xy
dx x
=
dy y
=
z
+
dz x2 + y2 + z2
7.2.4 一阶齐次线性偏微分方程的求解
7.2 一阶线性偏微分方程的求解
7.2.1 首次积分
定义 7.1 含有n个未知函数的一阶常微分方程组
dy1 dx
dy2 dx
= f1(x, y1, y2, · · · , yn), = f2(x, y1, y2, · · · , yn),
x2,
·
·
·
,
xn)
∂u ∂xi
=
0
(7.3)
则称其为一阶线性齐次偏微分方程。 4. 非线性偏微分方程 不是线性的偏微分方程为非线性偏微分方程。 5. 拟线性偏微分方程 若非线性偏微分方程关于其最高阶偏导数是线性的，则称它是拟线性偏微分方程。 本章讨论如下的一阶拟线性偏微分方程
n j=1
bj
(x1,பைடு நூலகம்
7.2 一阶线性偏微分方程的求解
5
7.2.3 利用首次积分求解常微分方程组
定义 7.2 称 方 程 组(7.5)的n个 互 相 独 立 的 首 次 积 分 全 体ϕj(x, y1, · · · , yn) = cj，j = 1, 2, · · · , n为方程组(7.5)的通积分。
一阶拟线性偏微分方程广义Cauchy问题的整体光滑解
0, u # = Υ(x ) , # : x = r (Ρ) , t= s (Ρ). 证明了该问题在一定条件下, 于上半平面 8 = {- ∞< x < + ∞, t≥0}上存在整体光滑解.
关键词 广义 Cauchy 问题, 一阶拟线性偏微分方程, 整体光滑解. 分类号 AM S (1991) 36L 65 CCL O 175. 22
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成立:
inf d Κ(Υ(x ) ) ≥ 0,
(12)
x
dx
inf{d Κ(Υ(x ) )
x
dx
d dx
[ r (x )
-
Κ(Υ(x ) ) s (x ) ]} > -
□
推论 设 Κ(u ) , Υ(x ) ∈C 1 (- ∞, + ∞) , 且满足
d dx
[
Κ(Υ(x
)
]
≥
0,
(18)
则一般 Cauchy 问题:
5u 5t
+
Κ(u )
5u 5x
=
0,
(19)
t = 0: u = Υ(x ).
(20)
于上半面 8 上存在整体光滑解.
注 (19) , (20) 在 8 上存在整体光滑解有多种证法, 这儿将 (19) , (20) 作为 (1) , (2) 的特
先就 h> 0来验证 J ≠0 (h= 0时由下面定理给出). 为此, 对任意的 Ε> 0, 作闭区域
一阶偏微分方程基本知识
一阶偏微分方程根本知识这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。
一阶常微分方程组的首次积分首次积分的定义从第三章我们知道，n阶常微分方程y n fx,y',y'', ,y n1，〕在变换yy,yy',L,ynyn112〕之下，等价于下面的一阶微分方程组dy1f1x,y1,y2,L,yn,dxdy2f2x,y1,y2,L,y n,dxMMMMdy nf n x,y1,y2,L,y n.dx〔〕在第三章中，已经介绍过方程组〔〕通解的概念和求法。
但是除了常系数线性方程组外，求一般的〔〕的解是极其困难的。
然而在某些情况下，可以使用所谓“可积组合〞法求通积分，下面先通过例子说明“可积组合〞法，然后介绍一阶常微分方程组“首次积分〞的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组〔〕的问题。
先看几个例子。
例1求解微分方程组--WORD格式--可编辑--dx yxx2y21,dy xyx2y2 1.dt dt〔〕解：将第一式的两端同乘x，第二式的两端同乘y，然后相加，得到x dx y dy x2y2x2y21，dt dt1dx2y2x2y2x2y21dt。
2这个微分方程关于变量t和x2y2是可以别离，因此不难求得其解为x2y21e2t C1，x2y2〔〕C1为积分常数。
〔〕叫做〔〕的首次积分。
注意首次积分〔〕的左端V x,y,t作为x，y，和t的函数并不等于常数；从上面的推导可见，当xx(t),y y(t)时微分方程组〔〕的解时，Vx,y,t才等于常数C1，这里的常数C1应随解而异。
因为式〔〕是一个二阶方程组，一个首次积分〔〕缺乏以确定它的解。
为了确定〔〕的解，还需要找到另外一个首次积分。
将第一式两端同乘y，第二式两端同乘x，然后用第一式减去第二式，得到y dx x dy x2y2，dt dt即x dy y dx x2y2，dt dt亦即d arctan yx。
偏微分方程的解法
偏微分方程的解法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中的一个重要分支，它描述了多变量函数的偏导数之间的关系。
这些方程在自然科学、工程应用和社会科学等领域都发挥着重要作用。
解决偏微分方程是一个复杂而有挑战性的过程，需要运用多种数学方法和工具来求解。
在本文中，我将为您介绍几种常见的偏微分方程的解法，并提供一些示例以帮助您更好地理解。
以下是本文的主要内容：1. 一阶线性偏微分方程的解法1.1 分离变量法1.2 特征线方法2. 二阶线性偏微分方程的解法2.1 分离变量法2.2 特征值法2.3 Green函数法3. 非线性偏微分方程的解法3.1 平移法3.2 线性叠加法3.3 变换法4. 数值方法解偏微分方程4.1 有限差分法4.2 有限元法4.3 谱方法5. 偏微分方程的应用领域5.1 热传导方程5.2 波动方程5.3 扩散方程在解一阶线性偏微分方程时，我们可以使用分离变量法或特征线方法。
分离变量法的基本思路是将方程中的变量分离，然后通过积分的方式求解每个分离后的常微分方程，最后再将结果合并。
特征线方法则是将方程中的变量替换为新的变量，使得方程中的导数项消失，从而简化求解过程。
对于二阶线性偏微分方程，分离变量法、特征值法和Green函数法是常用的解法。
分离变量法的核心思想与一阶线性偏微分方程相似，将方程中的变量分离并得到常微分方程，然后进行求解。
特征值法则利用特征值和特征函数的性质来求解方程，适用于带有齐次边界条件的问题。
Green函数法则通过引入Green函数来求解方程，其特点是适用于非齐次边界条件的情况。
非线性偏微分方程的解法则更加复杂，常用的方法有平移法、线性叠加法和变换法。
这些方法需要根据具体问题的特点选择合适的变换和求解技巧，具有一定的灵活性和创造性。
除了上述解析解法，数值方法也是解偏微分方程的重要手段。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
一阶偏微分方程求解方法
加权余量法
在求解场域内，偏微分方程的真解为 ，近似解为 它由一组简单函数
ψi 的线性组合表达，表达中有待定系数 Ci 即：
近似解
问题的自 由度
n
Ci i i 1
简单函数，一般选用 简单形式的函数，一 旦选定就是已知的了
待定系数是真 正的求解目标
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
2
w*j
(
n
（2）) d
wj (2 q) d
1 w*j (（1） g) d
2
w*j
(
n
h)
d
n
其中近似解： Ci i ，理论上尝试函数可任意选，
i 1
但适当的选取（作限制）可简化计算,
常常选取 i，使得 ＝g，则第一类边界条件自动满足
如选取加权函数：w
＝
j
w*j，则上式被大大简化
由于近似解在1类边界 上常数，所以此项为0
选取特殊加权函数后，两 项和为0
第二类边界条件也消失了，说 明已经自动满足了
5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化
令加权余数为0即可得到求解原微分方程的一组代数方程：
Fj(R) wj d wjq d 2 wjh d 0
例1.两极电容板内部电场分布问题： 根据问题特点将3维问题简化为2维， 进一步简化为1维。 该问题是静态电场问题， 偏微分方程和边界条件：
2 0 0 0; d 10;
3. 加权余量法－－例
加权余量法求解： 1.选取尝试函数、构造近似解：
理论上任意选取， 操作中越简单越好
一阶线性偏微分方程的特征线解法
该方程称为Poisson方程或位势方程
第18页
3. 定解条件： ＝初始条件＋边界条件
①. 初始条件：
u t =0 = ϕ ( x, y, z ), ( x, y, z ) ∈ Ω, ut
注意：
t =0
= ψ ( x, y, z ), ( x, y, z ) ∈ Ω,
弦振动方程定解问题需要上述两个初始条件； 热传导方程定解问题只要上述第一个初始条件； 位势方程定解问题不需要初始条件。
这 里 n 为 ∂Ω 的 单 位 外 法 向 ， g为 已 知 函 数 。
第20页
注意：
上述三类方程中，对物体 Ω 的边界 ∂Ω 上每一点都要 施加一个边界条件。 对于不同的问题，相应的边界条件有不同的实际意义。
第21页
叙述一个定解问题时，要标明方程和定解条件成立的范围。
例如：一维热传导方程的第一边值问题：
如果配合画图则更清楚。
T u = g1
ut − a 2u xx = f
u = g2
注意：t=T时不能施加条件！！
0
u ( x , 0) = ϕ ( x )
l
第22页
x
位势方程边值问题：
位势方程的第一边值(Dirchlet)问题：
－Δu ( x) = f ( x), x = ( x1 , L , xn ) ∈ Ω,
第14页
热传导方程的混合问题：
热传导方程的第一边值(Dirchlet)问题：
∂u − a 2 Δu ( x, y, z , t ) = f ( x, y, z , t ), ∂t ( x, y, z ) ∈ Ω, t > 0,
u ( x, y, z , 0) = ϕ ( x, y, z ),
一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系
一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系摘要本文利用首次积分建立一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系,并对求解常微分方程组的方法进行了分析和讨论.关键词首次积分一阶线性偏微分方程常微分方程组1.引言在常微分方程这门课程中,我们已经了解了常微分方程的基本知识.那么我们就来探讨一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系,然后再分析利用首次积分求解常微分方程组的方法.由常微分方程组的首次积分可以确定常微分方程组的任意一般解,这样的一个结论为我们求解常微分方程组奠定了基础，同时也是我们求解方程组的理论依据.所以，只要求得常微分方程组的彼此独立的首次积分,我们就可以确定常微分方程组的任意一般解.2.下面就给出关于首次积分的基础理论知识.定义2.1 在域G内连续可微且不恒等于常数的函数 ,如果其中的变元用方程组的任一解代替时,它就取常数值 ,则关系式 =c称为方程组的首次积分,有时也称为首次积分.这里c是可允许范围内的任意常数.这里为定义2.2 方程组(1)的n个首次积分 =c 为彼此独立的，如果雅可比行列式在G内恒为零.下面我们就建立一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系.定理 2.1 =c称为方程组的首次积分的充要条件是在G内成立着恒等式证明: 由微分方程组存在定理知,对于任意一点 G,方程组(1)存在唯一解满足初始条件，若 =c称为方程组的首次积分,则 const,从而 .特别地, 当时有，再由 G的任意性,得:.反之,若上面的恒等式在G内成立,自然在方程组的解有意义处也成立.因此.即是方程组(1)的首次积分.定理2.2 如果是方程组(1)的n个彼此独立的首次积分,则方程组的任意一般解均可由( )式通过选取适当的一组常数来确定.证明: 依定义 ,从而可由( )式确定出且存在,连续.首先,我们证明是方程组(1)的解.显然,因而, . (2)另一方面,由于是方程组(1)的首次积分,则根据定理2.1当时有. (3)用(2)减去(3)可得到:.注意到: 由上式推得.这表明是方程组(1)的解其中是任意常数.现在设方程组(1)的任意解 ( ).记 ,由上述知是方程组(1)的解.注意到= ( ),由解的存在唯一性定理知:= ( ).从而, 可以由( )式确定出.只需取 ( ).由上面的定理可以看出,求解方程组(1)的问题就可以归结为寻求它的n个彼此独立的首次积分.但是如何求首次积分呢?却没有确定的方法,但下面的事实对我们求解微分方程组(1)却是有益的.将方程组(1)写成对称形式,其中 .如果能求得n+1个不同时为零的函数使得. ,. 是某一函数的全微分,则就是方程组(1)的首次积分.参考文献【1】王高雄等.常微分方程(第二版) .北京：高等教育出版社.1983.【2】马知恩等.常微分方程定性与稳定性方法 .北京：科学出版社.2001.本文：河南省科技发展计划项目122300410276。
1.3一阶线性偏微分方程的通解法
1.3 一阶线性偏微分方程的通解法1.3.1 (3)，1.3.2 (3)，1.3.3(2)通解法：对某些偏微分方程，通过积分先求出通解，再由定解条件定出特解的解法。
1.3.1 两个自变量的一阶线性偏微分方程(,)(,)(,)(,)0.1(,),(,),(,),(,)D (,),(,)u ua x yb x yc x y u f x y x y a x y b x y c x y f x y a x y b x y ∂∂++=∂∂（）其中，为平面区域上的连续函数，且不同时为0.1D (,)0,(,)0,(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)=exp -exp ()0.3(,)(,)(,)()a x y b x y u c x y f x y u y b x y b x y x c x y c x y f x y u x y dy dy dy g x b x y b x y b x y g x C ≡≠∂+=∂⎡⎤⎛⎞⎛⎞+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎣⎦∫∫∫若在上，则（0.2）可看做含参数的常微，其通解.（其中，为任意函数。
）D (,)(,)0,=,)(,)(,)(,)0(,)a x y b x y x y x y xyJ x y xyξϕηψϕϕϕψϕψψψ≠⎧⎨=⎩∂∂∂∂∂==≠∂∂∂∂∂若在上，则方程（0.2）不能直接积分求解。
试作变量代换（（0.4）要求其雅可比行列式（保证新变量的独立性）利用链式法则++(,)=((,,(,)(,.=,)(,)(,)=0u u u u u ux x x y y y u x y u u x y u u u a b a b cu f xy x y x y a x y b x y x y ϕψϕψξηξηξηξηξηϕϕψψξηξϕϕϕ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂∂∂++++=⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠∂∂+∂∂，的方程（0.1）变成)))的新方程（0.5）若取（是一阶齐次线性偏微分方程（0.6）的解，则新(,(,)u a b cu f xy u u ψψηηξη⎛⎞∂∂∂++=⎜⎟∂∂∂⎝⎠方程（0.5）成为（0.2）型的方程，（0.7）对积分即可求出其通解)，代回原自变量即得通解。
一阶线性偏微分方程求解例题
一阶线性偏微分方程求解例题
CH1典型方程和定解条件
【内容提要】
方程的建立(步骤:确定物理量;微元法建立等式;化简得方程) 主要方法：微元法；
泛定方程:
波动方程(双曲型)：
弦振动方程：
传输线方程：
电磁场方程:
热传导方程/扩散方程（抛物型）:
导热杆（无热源），
导热片（无热源）
稳恒方程(椭圆型):
Poisson方程：
Laplace方程：
2.定解条件：初始条件及边界条件
边界条件(1)第一类边界条件(Dirichlet条件):
(2)第二类边界条件(Neumann条件):
(3)第三类边界条件(Robin条件):
3.定解问题的提法：
4.线性偏微分方程的基本性质
（1）.线性迭加原理
(2.)齐次化原理（冲量原理）
Duhamel原理：设是方程的解，
(是方程的解。
【典型习题】
1：长为的均匀杆，侧面绝缘,一端温度为零，另一端有恒定热流进入（即单位时间内通过单位截面积流入的热量为），杆的初始温度分布是，试写出相应的定解问题
解：初始条件：，杆的初始温度分布是，
边界条件：由杆的一端温度为零
，杆的另一端有恒定热流q，）（Fourier实验定律
故定解问题为：
该定解问题为齐次方程第二类非齐次边界条件的混合问题
3：长为的弦两端固定，开始时在受冲量的作用，试写出相应的定解问题
解：设弦的两端为：，由题意有
弦的振动方程为
边界条件为：
初始条件为：
在点，取小段（是无穷小量），
由冲量定理有，(冲量=动量改变量)；
∴
于是，
故定解问题为
该定解问题为齐次方程第一类齐次边界条件的混合问。
第三章 一阶偏微分方程
(r)
➢ 处理含间断问题的原则：分段求解
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
例1 含有激波的追赶问题
间断条件
h, q 1 h2
2
dxs dt
1 2
hl2
1 2
hr2
hl hr
1 2
(hl
hr )
初值
t / h0 xs
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
➢ 图象
h
t=0
h0
t</h0
t=/h0
通解
g1(x, y,u) k1, g2 (x, y,u) k2
初始曲线限制
F(k1, k2 ) 0
解曲面
F(g1(x, y,u), g2 (x, y,u)) 0
第三章一阶偏微分方程——特征线法
➢ 例2.3
特征方程 通解 解曲面 由初值 得解
u u 1
x y
( 为常数)
dy , du 1
kc
dx
v
dt
1
(1
NK
Kc)2
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
➢
dt (c n)l (c n)r 1 nl nr
cl cr
➢ 特征线光滑解
dc k c dx v
c
c0
exp(
k v
x)
(x xs )
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
➢ 原因：形成强间断——激波，微分方程失效
问题：补充间断面上的关系
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
3。激波间断关系
q r
t x
l, ql
dxs/dt
r, qr
0
xl
xs
xr
《常微分方程》第7章 一阶线性偏微分方程ppt课件
2021-5-10
7
xi' fi (t, x1,, xn ) i 1,2,, n
设微分方程组有 n 个首次积分
1(t, x1, x2 ,, xn ) c1,,n(t, x1, x2 ,, xn ) cn
如果在某区域内它们的Jacobi行列式
1
x1
1
x2
1
xn
D(1,,n )
D(x1,, xn )
经适当组合化为一个可积分的微分方程. 这个方程的未知函数可能是方程组中
几个未知函数组合形式. 积分可以得到未知函数组合形式的解， 该方程为一个原方程组的首次积分.
2021-5-10
5
例 4 求解方程组 dx y, dy x
dt
dt
解 将两个方程相加得 d (x y) x y
dt
以 x y 作为一个未知函数，对上式积分得
2021-5-10
13
小结：寻找首次积分的方法（技巧性强）
为了求得首次积分，通常把如下方程组
xi' fi (t, x1,, xn ) i 1,2,, n
写成对称形式 d x 1 = d x 2 = ... = d x n = d t
f1
f2
fn
1
方法1 (积分因子法)利用比例性质化分母为零，分子 为某一函数的全微分形式。（教材P350）
2u x 2
x2
2u y 2
1
于是偏微分方程 u x
2u xy
3u y3
f
(x, y)便可简单
记为L[u] f 或Lu f .
算子L若满足:L[au bv] aL[u] bL[v] 其中，a,b为常数；u, v为函数，则称L为线性算子。
[整理]一阶线性偏微分方程.
![[整理]一阶线性偏微分方程.](https://img.taocdn.com/s3/m/d49cf15c5a8102d277a22f6c.png)
第七章 一阶线性偏微分方程例7-1 求方程组 ()()()yzB A Cdzxz A C Bdy yz C B Adx -=-=- 通积分，其中C B A ,,为互不相等的常数。
解 由第一个等式可得xyzydyA C Bxyz xdx C B A -=-，即有0=---ydy AC B xdx C B A ， 两边积分得方程组的一个首次积分 122,C y AC Bx C B A z y x Φ=---=),(。
由第二个等式可得xyzzdzB AC xyz ydy A C B -=-，即有0=---zdz BA C ydy A CB ，两边积分得方程组的另一个首次积分 222,C z BA Cy A C B z y x Ψ=---=),(。
由于，雅可比矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂ψ∂∂ψ∂∂ψ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂=∂ψΦ∂z B A Cy A C B y A C B x C B A y yxz y xz y x 002),,(),( 的秩为2，这两个首次积分相互独立，于是原方程组的通积分为122C y A C B x C B A =--- 222C z BA Cy A C B =--- 。
评注：借助于方程组的首次积分求解方程组的方法称为首次积分法。
要得到通积分需要求得n 个独立的首次积分，n 为组成方程组的方程个数。
用雅可比矩阵的秩来验证首次积分的独立性。
例7-2 求方程组 ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+--=-+-=11d 2222y x y x dtdy y x x y dtx 的通解。
解 由原方程组可得 )1)((2222-++-=+y x y x dtdy y dt dx x 即dt y x y x y x d )1)((2)(222222-++-=+这个方程关于变量t 和22y x +是可以分离的，因此易求得它的通积分为1222221),,(C e yx y x t y x t=+-+=Φ 这是原方程组的一个首次积分。
matlab求解最简单的一阶偏微分方程
matlab求解最简单的一阶偏微分方程一阶偏微分方程是指关于未知函数及其偏导数的方程，其中最简单的类型是一阶线性偏微分方程。
一阶线性偏微分方程是指未知函数及其偏导数之线性组合的方程。
在本文中，我们将介绍如何使用MATLAB求解最简单的一阶线性偏微分方程。
首先，我们考虑一维空间中的一阶线性偏微分方程。
形式为:a(x)u_x + b(x)u = f(x),其中u(x)是未知函数，u_x是u对x的偏导数，a(x)和b(x)是给定函数，f(x)是已知函数。
在MATLAB中，求解一阶线性偏微分方程涉及两个步骤:离散化和求解。
离散化是将一维空间离散为一系列格点，通过给定的差分格式将方程离散化为代数方程组。
求解是求解离散化的代数方程组，得到未知函数在格点上的值，进而得到整个区域上的解。
下面我们将详细介绍这两个步骤。
1.离散化:离散化的目的是将连续的变量离散化为有限个格点。
我们可以通过网格方法来实现离散化。
常用的网格方法有有限差分法、有限元法和特征线法。
其中，最简单的是有限差分法。
有限差分法将区域离散化为一系列的格点，并在每个格点处进行逼近。
具体来说，我们可以考虑使用中心差分来逼近一阶导数，例如使用二阶中心差分可以得到:u_x ≈ (u(i+1) - u(i-1))/(2*dx),其中，u(i)表示在第i个格点上的未知函数值，dx是网格的大小。
将这个逼近代入原方程，我们可以得到在每个格点上的代数方程。
例如，对于第i个格点，方程被离散为:a(i)*(u(i+1) - u(i-1))/(2*dx) + b(i)*u(i) = f(i),其中，a(i)和b(i)分别是在第i个格点上的给定函数，f(i)是已知函数。
2.求解:离散化后，我们可以将方程转化为代数方程组，从而可以使用MATLAB中的线性方程求解函数来求解。
具体来说，我们可以将代数方程组表示为矩阵形式:Au = b,其中，A是系数矩阵，u是未知函数在格点上的值构成的向量，b 是已知函数在格点上的值构成的向量。
一阶偏微分方程的特解与通解
一阶偏微分方程的特解与通解一阶偏微分方程是指方程中含有一个未知函数及其偏导数的方程。
求解一阶偏微分方程的理论基础是特解与通解的概念。
在本文中，我们将探讨一阶偏微分方程的特解与通解及其求解方法。
一、特解的概念特解是指满足一阶偏微分方程的特定解。
对于给定的一阶偏微分方程，我们可以通过已知的条件或特定的方法求得特解。
求解特解的目的是为了得到方程的通解。
二、通解的概念通解是指一阶偏微分方程的一类解，它包含了特解和一个任意常数。
通解的形式可以通过一阶偏微分方程的类型来确定，它是对于方程所有特解的总结。
三、求解特解与通解的方法1. 分离变量法对于一些常见的一阶偏微分方程，例如线性偏微分方程、齐次偏微分方程等，可以采用分离变量法来求解特解和通解。
该方法主要是将方程中的变量分离开来，然后分别对各变量进行积分。
2. 变量代换法变量代换法是指通过对已知方程进行适当的变量变换，将原方程转化为新的方程，从而得到原方程的特解和通解。
这种方法适用于一些特殊形式的一阶偏微分方程，如齐次方程、可分离变量方程等。
3. 特殊技巧法对于一些特殊的一阶偏微分方程，如恰当方程、线性齐次方程、可降阶方程等，可以利用一些特殊的技巧来求解特解和通解。
这些技巧包括恰当方程的积分因子法、线性方程的常数变易法等。
四、实例分析以一阶线性偏微分方程为例进行分析。
假设我们要求解以下方程：(1) ∂u/∂t + 2∂u/∂x = 0根据分离变量法，我们将方程改写为：du/u = -2dx对两边同时积分，得到：ln|u| = -2x + C1解得特解为：u = Ce^(-2x)其中C为常数。
(2) ∂u/∂t + x∂u/∂x = u我们可以进行变量代换，令v = xt，则原方程化为：∂u/∂t = (∂u/∂v)(dv/dt) + (∂u/∂x)(dx/dt)由于∂u/∂v = 0，dx/dt = x，代入原方程可得：x∂u/∂v = u观察该方程可得特解为u = Ce^v = Cex^2综上所述，一阶偏微分方程的特解与通解的求解方法包括分离变量法、变量代换法以及特殊技巧法。
第七章 一阶线性偏微分方程 常微分方程课件 高教社ppt 王高雄教材配套课件
第七章一阶线性偏微分方程§7.1 首次积分和求解常微分方程组基本概念(,,)ni 1n i 1i u X x x 0x =∂=∂∑(,,)(,,)ni1n1ni 1iuX x x Z x x x =∂=∂∑(,,,)(,,,)ni 1n 1n i 1i uY x x u Z x x u x =∂=∂∑例丨例1解x yu uc0u cu0 x y∂∂+=+=∂∂即例2例2 解(,,)(,,)x y y x u g x y u u g x y u 0-=(,)()()(,)xy x y y x x y u y y x u x x y y u xyu u u v u v u v u g g u u g g u u g u g 0v v x y ∂==-=-⋅--⋅=-⋅=∂(,(,,))((,,))u g x y u 0u g x y u ϕΦ==或特征方程定义•齐次线性偏微分方程特征方程•拟线性偏微分方程特征方程(,,)ni1n i 1iu X x x 0x =∂=∂∑(,,,)(,,,)ni 1n 1n i 1iu Y x x u Z x x u x =∂=∂∑d d d n1212nx x x X X X ===d d d d n 1212n x x x uY Y Y Z====首次积分定义首次积分d (,,,),(),,,6d 0ii 1n i 0i y f x y y y x y i 1nx===（）首次积分彼此独立彼此独立(,,)(,,)n 1111n 1n n 1nny y D D y y y y ψψψψψψ∂∂∂∂=∂∂∂∂n 1111n 11nn x x x x ϕϕϕϕ--∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系d (,)d yf x y 8x=（）d (,)d y f x y 0x y x x yψψψψ∂∂∂∂+=+=∂∂∂∂(,)u u f x y 09x y∂∂+=∂∂（）d d (,)d d u u u y u uf x y 0x x y x x y ∂∂∂∂=+=+=∂∂∂∂定理1定理112n 12nf f f 010x y y y ψψψψ∂∂∂∂++++=∂∂∂∂（）d (,,,),(),,,d 0ii 1n i 0i y f x y y y x y i 1n 6x===（）证(,,,)0001n x y y G∈()(,,,)i i 0y x i 12n ϕ==(,(),,())1n x x x const ψϕϕ=d(,(),,())d 1n x x x 0x ψϕϕ=(,,,)(,,,)(,,,)n00000001n i 01n 01n i 1i x y y f x y y x y y 0x y ψψ=∂∂+=∂∂∑(,,,)0001n x y y G ∈12n 12nf f f 010x y y y ψψψψ∂∂∂∂++++=∂∂∂∂（）(),,,d(,(),,())d i i 1n 12n y x 12n i 12nx x x f f f 0xxy y y ϕψψψψψϕϕ==⎛⎫∂∂∂∂=++++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭(,(),,())1n x x x constψϕϕ=d (,,,),(),,,d 0ii 1n i 0i y f x y y y x y i 1n 6x===（）§7.3 利用首次积分求解常微分方程组定理2d(,,,),,,dii1nyf x y y i1n11x==（）(,,,),,,i1n ix y y c i1n12ψ==（），证(,,,)(,,,)12n 12n 0y y y ψψψ∂≠∂(,,,),,,i 1n i x y y c i 1n 12ψ==（）(,,,),,,i 1n i x y y c i 1n 13ϕ==（）(,(,,,),,(,,,)),,,j 11n n 1n j x x c c x c c c j 12n ψϕϕ==d (,,,)(,,,),,,d n i j 1n j 1n i 1ix x 0j 12nxy xϕψϕϕψϕϕ=∂∂+⋅==∂∂∑,,,,j j j1n 1nf f 0j 12n 14x y y ψψψ∂∂∂+++==∂∂∂（）(,,,),,,nj ii 1n d f x 0j 12ny dxψϕϕϕ∂⎡⎤-==⎢⎥∂⎣⎦∑(,,,)(,,,)(,,,),,,nj 1n i 1n j 1n i 1i x f x x 0j 12n x y ψϕϕϕϕψϕϕ=∂∂+⋅==∂∂∑d (,,,),,,d ii 1n y f x y y i 1n 11x==（）(,,,),,,i 1n i x y y c i 1n 12ψ==（）(,,,)(,,,)12n 12n 0y y y ψψψ∂≠∂d (,,,),,,d ii 1n f x j 12nx ϕϕϕ==(,,,),,,,i i 1n y x c c i 12nϕ==(,,,,),,,,i i 01n y x x y y i 12nϕ==(,,,)(,,,)i i 01n c x y y i 12n ψ==(,,,)(,,,)i i 1n y x c c i 12n ϕ==(,,,,)(,,,)(,,,)i 001n i i 01n x x y y y x c c i 12n ϕϕ===(,,,)(,,,,),,,,i 1n i 01n x c c x x y y i 12n ϕϕ==(,,,,)(,,,)i i 01n y x x y y i 12n ϕ==(,,,)(,,,)i i i 01n c c x y y i 12n ψ===，d (,,,),,,d ii 1n y f x y y i 1n 11x==（）求首次积分方法(,)(,,)x c y x c 00c cϕψ∂∂≠≠∂∂或d d d d n12012ny y y x g g g g ====(,,)i 0i g g f i 1n ==,,,01nμμμ,d d d d 0011n n 011n n g g g 0x y y μμμμμμϕ+++=+++=d (,,,),,,d ii 1n y f x y y i 1n 11x==（）例1 求解方程组d d d d 222222y2xy x x y z z 2xz x x y z ⎧=⎪--⎪⎨⎪=⎪--⎩d d d 222x y zx y z 2xy 2xz==--d d y z yz=1y c z=d d d d ()222x x y y z z yx x y z 2xy++=++2222x y zc y++=12222yc z x y z c y ⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩例2 求方程组的通积分d d d x y z xz yz xy==,,012g xz g yz g xy===,,012y x 2z μμμ===-001122g g g 0μμμ++=()2012dx dy dz d xy z μμμ++=-21xy z c -=2xc y=212xy z c x cy ⎧-=⎪⎨=⎪⎩。
2一阶偏微分方程的求解方法
1)
(6.23)
由假设(6.18), f j (x1, x2,, xn) 在某区域 D 内处处不同时为零, 这意
味着上述以 f j (x1, x2,, xn) ( j 1, 2,, n )为变量的线性方程组在区 域 D 内有非零解, 所以其系数行列式在区域 D 内必为零, 即
u x1
(u, u1 ,, un 1 ) (x1, x2,, xn )
(6.20 )
通过这 n 1个独立的首次积分, 我们可以获得偏微分方程(6.17)
的通解结构.
.
例6.6 试求偏微分方程 u u 0 的通解.
x y
解: 作自变量变换
x
y
1 (t 2 1 (t
s) s)
Байду номын сангаас
2
则
u u x u y 1 (u u ) 0 s x s y s 2 x y
6.24
其中 (,) 是任意的二元连续可微函数. 确定某函数关系 0 使得(6.24)满足初始条件 u |z1 xy, 我们有
0 ( x y , 2 y ) xy.
令 x y, 2 y. 解之得
x ( 1)2, y 12.
2
4
故可确定
0 为
0 (
,)
xy
1 (
4
1)2 2.
2
回代通解内可得满足满足初始条件的解:
例6.7 求解偏微分方程
(x y) u (x y) u 0,
x
y
其中 x2 y2 0.
解: 特征方程为
dx dy , xy xy
它有一个首次积分:
x2
y2
arctan y
ex
C.
一阶偏微分方程教程
方程的解：若函数u连续并具有方程所涉及的连续 方程的解：若函数 连续并具有方程所涉及的连续 的各阶偏导数， 的各阶偏导数 ， 且该函数代入方程使得方程在某 区域内成为恒等式， 区域内成为恒等式 ， 则称该函数为方程在该区域 内的解 古典解） 内的 解 （ 古典解 ） 。 满足某些特定条件的解称为 特解，这些条件称为定解条件 一般情况下， 定解条件。 特解 ， 这些条件称为 定解条件 。 一般情况下 ， 一 个具有n个自变量的 阶方程的解可以含有 个n-1 个具有 个自变量的m阶方程的解可以含有 个自变量的 阶方程的解可以含有m个 元任意函数，这样的解称为通解。 元任意函数，这样的解称为通解。 通解 定解问题 ： 定解条件通常包括 边界条件 和 初始条 定解问题：定解条件通常包括边界条件 边界条件和 两种。含有定解条件的方程求解问题称为定解 件 两种 。 含有定解条件的方程求解问题称为 定解 问题， 包括初值问题（ 问题） 问题 ， 包括初值问题 （ Cauchy问题 ） 、 边值问 问题 题和混合问题。 题和混合问题。
u u u P ( x, y , z ) + Q ( x, y , z ) + R ( x, y , z ) x y z = f ( x, y, z )u + g ( x, y, z )
为已知函数。 其中 f , g为已知函数。 为已知函数 其特征方程组为
(6)
dx dy dz du = = = P Q R fu + g
12
于是
Φ ( t , s ) = f (± t + y , ± t + y s )
2 0 2 0
从而原Cauchy问题的解为 问题的解为 从而原
u = Φ ( x2 y 2 , x2 z 2 )
一阶线性偏微分方程与解法
一阶线性偏微分方程与解法一阶线性偏微分方程是微分方程中的一类重要方程，它具有广泛的应用领域和解法。
本文将介绍一阶线性偏微分方程的基本形式、解法和具体应用。
一、基本形式一阶线性偏微分方程的一般形式可以表示为：\[ a(x,t)\frac{\partial u}{\partial x} + b(x,t)\frac{\partial u}{\partial t} = c(x,t,u) \]其中，\( u = u(x,t) \) 是未知函数， \( a(x,t), b(x,t), c(x,t,u) \) 是给定函数。
二、解法（1）变量可分离法如果方程可以表示为 \( f(x)dx + g(t)dt = 0 \)，其中 \( f(x) \) 和 \( g(t) \) 是关于 \( x \) 和 \( t \) 的函数，那么方程可以通过变量可分离法解析地求解。
具体求解方法是分离变量并进行积分：\[ \int f(x)dx + \int g(t)dt = \int 0 \]求出积分后的结果，并将 \( u(x,t) \) 表示出来。
（2）特征线法特征线法适用于方程为线性齐次的情况，即 \( c(x,t,u) = 0 \)。
使用特征线法可以将一阶线性偏微分方程转化为一阶常微分方程。
求解一阶常微分方程后，再通过特征线反解得到原方程的解。
具体求解步骤如下：1. 确定特征曲线的参数方程，通过 \( \frac{dx}{a(x,t)} =\frac{dt}{b(x,t)} \) 可以得到参数方程。
2. 将未知函数按照参数方程表示，得到 \( u = u(\phi) \)，其中 \( \phi \) 是参数。
3. 对上式两边求导，得到 \( \frac{du}{d\phi} = \frac{\partialu}{\partial x}\frac{dx}{d\phi} + \frac{\partial u}{\partial t}\frac{dt}{d\phi} \)。
常微分方程一阶线性偏微分方程
常微分方程一阶线性偏微分方程7.1基本概念对于自变量 x_1、x_2、…x_n（n\geq2）与未知函数 u 的一阶偏导数 \frac{\alpha u}{\alpha x_1}、\frac{\alpha u}{\alpha x_2}、…\frac{\alpha u}{\alpha x_n}一阶偏微分方程：F(x_1,x_2,…x_n;u,\frac{\alphau}{\alpha x_1},\frac{\alpha u}{\alphax_2},…\frac{\alpha u}{\alpha x_n})=0 （7.1）一阶线性偏微分方程：\sum_{i=1}^{n}{X_i(x_1,x_2,…x_n)\frac{\alphau}{\alpha x_i}}=X(x_1,x_2,…x_n)（7.2）a一阶齐次线性偏微分方程：\sum_{i=1}^{n}{X_i(x_1,x_2,…x_n)\frac{\alphau}{\alpha x_i}}=0 （7.2）b一阶拟线性偏微分方程：\sum_{j=1}^{n}{Y_j(x_1,x_2,…x_n;z)\frac{\alphaz}{\alpha x_j}}=Z(x_1,x_2,…x_n;z)（7.3）解 u=\varphi(x_1,x_2,…x_n)可以想象为在空间(x_1,x_2,…x_n,u)中的一张n维曲面，通常称为偏微分方程（7.1）的积分曲面。
称\frac{dx_1}{X_1}=\frac{dx_2}{X_2}=…=\frac{dx_n}{X_n} （7.5）为（7.2）b的特征方程。
（7.3）的求解问题则可化为（7.2）b的方程类型来处理。
7.2 一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系考虑初值问题（p344）首次积分：n个首次积分称为彼此独立的：常微分方程组与一阶线性偏微分方程之间的关系：7.3 利用首次积分求解常微分方程组考虑方程组通积分：方程组（7.11）的n个彼此独立的首次积分的全体（7.12）称为（7.11）的通积分。
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第七章 一阶线性偏微分方程
研究对象
一阶线性齐次偏微分方程
0),,,(),,,()
,,,(2122121211=∂∂++∂∂+∂∂n
n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X 1基本概念 1） 一阶线性齐次偏微分方程
形如
0),,,(),,,(),,,(2122121211=∂∂++∂∂+∂∂n
n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X （7.1） 的方程，称为一阶线性齐次偏微分方程，其中n x x x ,,,21 是自变量，u 是n x x x ,,,21 的未知函数，n X X X ,,,21 是域n
R D ⊂内的已知函数，并设n X X X ,,,21 在域D 内不同时为零。
2） 一阶拟线性偏微分方程
形如 );,,,();,,,();,,,(21211211z x x x Z x z z x x x Y x z z x x x Y n n
n n n =∂∂++∂∂ （7.2） 的方程，称为一阶拟线性偏微分方程，其中Z Y Y Y n ;,,,21 是1+n 个变元z x x x n ;,,,21 的已知函数。
n Y Y Y ,,,21 在其定义域1+⊂'n R D 内不同时为零。
所谓“拟线性”是指方程仅对未知函数的各个一阶偏导数是线性的，以下总设n Y Y Y ,,,21 和Z 在域D '内连续可微。
3） 特征方程组
常微分方程组
n
n X dx X dx X dx === 2211 （7.3） 称为一阶线性齐次偏微分方程（7.1）的特征方程组。
常微分方程组
Z
dz Y dx Y dx Y dx n n ==== 2211 （7.4） 称为一阶拟线性偏微分方程（7.2）的特征方程组。
4）首次积分
对一般的常微分方程组
),,2,1)(,,,(1n i y y x f dx
dy n i i == （7.5） 其中，右端函数n f f f ,,,21 都在某个域1+⊂'n R D 内连续，设),,,,(21n y y y x Φ=Φ在域D 内连续可微，并且不是常数。
如果以方程组（7.5）的任一解)(,),(),(21x y x y x y n 代入Φ之后，使得函数))(,),(),(,(21x y x y x y x n Φ等于与x 无关的常数，则称表达式C =Φ),,,,(21n y y y x 为方程组（7.5）的一个首次积分，其中C 是任意常数，有时也简称),,,,(21n y y y x Φ为首次积分。
设),,,2,1(),,,,(21n k k i C y y y x i n i ≤==Φ 是方程组（7.5）k 个首次积分，如果雅可比矩阵
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂n k k k
n n y y y y y y y y y
2122212
1211
1 中某个k 阶子阵的行列式不为零，而所有1+k 阶子阵的行列式都等于零，即雅可比矩阵的秩为k ，则称),,,2,1(),,,,(21n k k i C y y y x i n i ≤==Φ 是方程组（7.5）的k 个独立的首次积分。
2基本理论与基本方法
1）常微分方程组的首次积分解法
定理7.1 设已知微分方程组（7.5）的n 个独立的首次积分
),,2,1(,),,,,(21n i C y y y x i n i ==Φ
则它们构成方程组（7.5）的通积分（或隐式解），并由它们可确定含n 个任意常数的函数组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)
,,,;(),,,;(),,,;(2121222111n n n n n C C C x φy C C C x φy C C C x φy
则该函数组就是微分方程组（7.5）的通解。
常微分方程组的首次积分解法就是通过求方程组（7.5）的n 个独立的首次积分来得到它的通积分（或通解）的方法。
首次积分一般可通过下列两种方法得到
)a 把方程组（7.5）中的部分或全部方程进行重新组合，引进新的变量代换，以获得只含一个未知函数和一个自变量的一阶方程。
)b 利用已得到的积分消去一部分未知函数，以减少方程和未知函数的个数。
2）一阶线性齐次偏微分方程与常微分方程组的关系
定理7.2 设函数),,,,(21n y y y x Φ在域D '内连续可微，并且不是常数，则C y y y x n =Φ),,,,(21 是常微分方程组（7.5）的首次积分的充分必要条件为在域D '内成立恒等式
011≡∂Φ∂++∂Φ∂+∂Φ∂n n
f y f y x 。
设),,,(21n x x x u ϕ=在域D G ⊂内连续可微，并且代入方程（7.1）之后，能使该式在域G 内成为恒等式，则称),,,(21n x x x u ϕ=是方程（7.1）的一个解，域G 是该解的定义域。
定理7.3 ),,,(21n x x x u ϕ=是一阶线性齐次偏微分方程（7.1）的解的充分必要条件是C x x x n =),,,(21 ϕ是方程（7.1）的特征方程组
)
,,,(),,,(),,,(2121222111n n n n n x x x X dx x x x X dx x x x X dx === （7.3） 的首次积分。
3）一阶线性齐次偏微分方程的解法
定理7.4 设)1,,2,1( ),,,(21-==n i C x x x i n i ϕ是一阶线性齐次偏微分方程（7.1）对应的特征方程组（7.3）的1-n 个独立的首次积分，),,,(121-Φn u u u 是任意的连续可微函数，则
)),,,(,),,,,(),,,,((211212211n n n n x x x φx x x φx x x φu -Φ= （7.6） 包括了方程（7.1）的所有解，称（7.6）为（7.1）的通解。
对方程（7.1）可给出如下的初始条件
),,,,,(1110n i i x x x x x x f u i i +-== （7.7）
其中i 为n ,,2,1 中某一数，0i x 是给定的数，f 为某一给定函数，求一阶线性齐次偏微分
方程（7.1）满足初始条件（7.7）的解的问题称为初值问题或柯西问题。
定理7.5 假设方程（7.1）中),,2,1)(,,,(21n i x x x X n i =在域D 内连续可微，且0≠i X ，则初值问题
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∂∂+-==∑),,,,,(0),,,(1111
210n i i x x n
i i n i x x x x f u x u x x x X i
i 存在唯一的解，其中0
i x 是任意给定的数，),,,,,(111n i i x x x x f +-是变元的已知可微函数。
一阶线性齐次偏微分方程的解法
步骤1 首先写出一阶线性齐次偏微分方程（7.1）的特征方程组（7.3）。
步骤2 求出常微分方程组（7.3）的1-n 个独立的首次积分)1,,2,1(),,,(φ21-==n i C x x x i n i 。
步骤3写出通解 )),,(,),,,(),,,((111211n n n n x x φx x φ,x x φu -Φ= ， 其中Φ是各变元的任意连续可微函数。
4）一阶拟线性偏微分方程的解法
定理7.6 设),,2,1();,,,(21n i c z x x x ψi n i ==是常微分方程组（7.4）的n 个独立的首次积分，那么，若
0),,,(21=Φn ψψψ （7.8）
并能从（7.8）确定函数),,,(21n x x x z z =，则（7.8）即为一阶拟线性偏微分方程（7.2）的通解，其中),,,(21n u u u Φ为n u u u ,,,21 的任意连续可微函数。
一阶拟线性偏微分方程的解法
步骤1 首先写出（7.2）的特征方程组（7.4）。
步骤2 求出（7.4）的n 个独立的首次积分),,2,1();,,,(21n i C z x x x ψi n i ==。
步骤3写出通解 0)),,,(,),,,,(),,,,((11211=Φz x x ψz x x ψz x x ψn n n n ， 其中Φ是各变元的任意连续可微函数。
注：求解一阶线性偏微分方程实际上转化为求解一个常微分方程组的问题。