第十章 二阶线性偏微分方程的分类
[理学]二阶线性微分方程的分类
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（1）
（2） （3）
a a11a22 0.
2 12 2 12 2 12
两条特征线。双曲型。
一条特征线。抛物型。 没有特征线。椭圆型。
a a11a22 0. a a11a22 0.
有隐函数定理,则一般的二阶线性方程可以化为
a11u 2a12u a 22u b1u b2u cu f ,(1.4)
所以
a11 a11 x2 2a12 x y a22 y2 a12 a11 x x a12 ( x y y x ) a22 y y 2 2 a a 2 a a 12 x y 22 y 22 11 x
1.指出下列方程的类型
(1).utt a uxx 0.
2
二阶线性齐次双曲方程 二阶线性齐次抛物方程 二阶线性齐次椭圆方程
(2).ut a uxx 0.
2
(3).uxx uyy 0. (4).uuxx uyy 0.
二阶非线性齐次方程
(5).x2ux uy sin xy 0. 一阶线性非齐次方程 (6).xyux uy sin xy 0. 一阶线性非齐次方程 2 三阶非线性齐次方程 (7).uxxx uy u 0.
2 12 2 12 2 12
在某一区域每一部分类型不同。
例1：讨论特里克米（Tricomi）方程
u u y 2 2 0. x y
2 2
的类型。 解：特里克米方程中 a11 所以 即
y, a12 0, a22 1, 2 a12 a11a22 y
y 0 双曲， y 0 抛物, y 0 椭圆。
二阶线性偏微分方程的分类与总结
物理学中的例子包括波动方程、热传导方程等。 力学中的例子包括弹性力学中的基本方程等。
按照应用分类
根据应用领域，可以 将二阶线性偏微分方 程分为工程、生物医 学、经济和环境科学 四类。
工程领域中的例子包 括电气工程中的传输 线方程、流体力学中 的Navier-Stokes方 程等。
生物医学领域中的例 子包括神经传导方程 、生物化学反应中的 质量传递方程等。
02
非奇异方程是指所有特征根均具有负实部的方程，而奇异方程至少存在一个具 有正实部的特征根。
03
在非奇异方程中，又可以根据波数和频率的关系分为稳定性、不稳定性、临界 稳定性和临界不稳定性的二阶线性偏微分分为物 理、几何和力学三类。
几何学中的例子包括拉普拉斯算子、热力学中的基本 方程等。
弹性力学
在弹性力学中，物体的位移和应力满足二阶线 性偏微分方程，该方程描述了物体的弹性变形 和应力分布及其随时间的变化。
在化学中的应用
化学反应速率
二阶线性偏微分方程可以描述化学反应的速率和反应过程的动态变化，以及反应条件对反 应速率的影响。
分子的振动
分子的振动运动满足一个二阶线性偏微分方程，该方程描述了分子振动频率和振幅随时间 的变化以及分子间的相互作用。
重点介绍了二阶线性偏微分方程在数学和物理学中的重要地 位和研究进展。
研究意义
研究二阶线性偏微分方程对于理解和研究自 然现象和实际问题具有重要意义。
对于数学和物理学的发展也具有重要价值， 同时对于解决实际问题提供理论支持和方法
指导。
研究目的
对二阶线性偏微分方程进行分类和总 结，梳理各种类型方程的特点和性质 。
要点三
结构力学
在结构力学中，物体的位移、应力和 变形满足二阶线性偏微分方程，该方 程描述了结构的力学行为随时间的变 化。
偏微分方程的分类
偏微分方程的分类偏微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。
根据方程中未知函数的自变量的个数和方程中出现的最高阶导数的个数不同，可以将偏微分方程分为几类。
一、偏微分方程的分类1. 一阶偏微分方程：当方程中出现的最高阶导数为一阶导数时，我们称之为一阶偏微分方程。
一阶偏微分方程在物理学和工程学中有着广泛的应用，如热传导方程、波动方程等。
2. 二阶偏微分方程：当方程中出现的最高阶导数为二阶导数时，我们称之为二阶偏微分方程。
二阶偏微分方程是偏微分方程中最为常见的一种，例如泊松方程、亥姆霍兹方程等。
3. 高阶偏微分方程：除了一阶和二阶偏微分方程之外，还存在高阶偏微分方程，即方程中出现的最高阶导数大于二阶导数的情况。
高阶偏微分方程在某些特定的领域中有着重要的应用，如梁-爱因斯坦方程等。
4. 线性偏微分方程：线性偏微分方程是指方程中未知函数及其导数之间是线性关系的偏微分方程。
线性偏微分方程的性质相对容易研究，通常可以通过变量分离、特征线法等方法求解。
5. 非线性偏微分方程：非线性偏微分方程是指方程中未知函数及其导数之间是非线性关系的偏微分方程。
非线性偏微分方程的性质较为复杂，通常需要借助数值方法或者变换方法求解。
6. 椭圆型偏微分方程：椭圆型偏微分方程是指方程的二阶导数中的系数满足某些条件，使得方程在解析性质上类似于椭圆形的偏微分方程。
椭圆型偏微分方程在静电场、稳态热传导等问题中有着重要应用。
7. 抛物型偏微分方程：抛物型偏微分方程是指方程的二阶导数中的系数在某些条件下，使得方程在解析性质上类似于抛物线的偏微分方程。
抛物型偏微分方程在热传导、扩散等问题中有着广泛的应用。
8. 双曲型偏微分方程：双曲型偏微分方程是指方程的二阶导数中的系数在某些条件下，使得方程在解析性质上类似于双曲线的偏微分方程。
双曲型偏微分方程在波动传播、振动等问题中有着重要的应用。
二、结语偏微分方程的分类为我们理解和研究不同类型的偏微分方程提供了一定的指导。
二阶线性偏微分方程的分类与总结
05
二阶线性偏微分方程的数值求解方法
思想
将微分方程转化为一组差分方程，通过求解差分方程得到原微分方程的数值解。
有限差分法
步骤
选择适当的差分格式，将微分方程中的微分项和代数项离散化，构建差分方程并求解。
特点
简单直观，易于编程实现，但精度较低，适用于简单问题和一维问题。
思想
将微分方程所描述的区域划分成一系列离散的小单元，通过对每个小单元进行数值求解，得到原微分方程的数值解。
在工程中的应用
04
二阶线性偏微分方程的求解方法
行波法
要点三
概述
行波法是一种通过假设解的形式为行波函数，将偏微分方程转化为常微分方程进行求解的方法。
要点一
要点二
适用范围
适用于具有波形的二阶线性偏微分方程，如波动方程、热传导方程等。
步骤
选择适当的行波函数，将其代入原方程，通过常微分方程求解，最后反推出原方程的解。
特征点不都位于任意位置，形式为$a(x)u''+b(x)u'+c(x)u=f(x)$；
非齐次二阶线性偏微分方程
特征点一部分位于任意位置，一部分不位于任意位置。
混合二阶线性偏微分方程
确定初始条件下的二阶线性偏微分方程
周期初始条件下的二阶线性偏微分方程
自然边界条件下的二阶线性偏微分方程
按照初始条件
在时间轴上，当$t<0$时，因果关系为$u(t)=0$；当$t>0$时，因果关系为$u(t)=F(t)$；
要点三
分离变量法
概述
分离变量法是一种通过假设解的形式为多个变量的乘积，将偏微分方程转化为多个常微分方程进行求解的方法。
适用范围
偏微分方程的分类与应用场景
偏微分方程的分类与应用场景偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中研究函数的微分方程的一种重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
它描述了多个变量之间的关系，并用于研究自然界中的各种现象和问题。
本文将探讨偏微分方程的分类以及在不同应用场景中的具体应用。
一、偏微分方程的分类偏微分方程按照方程所涉及的变量和未知函数的阶数，可以分为各种类型，常见的分类如下：1. 一阶偏微分方程（First-order PDEs）：这类方程中，未知函数及其偏导数的最高阶数为一阶。
例如线性传热方程、线性对流方程等都属于一阶PDEs。
2. 二阶偏微分方程（Second-order PDEs）：这类方程中，未知函数及其偏导数的最高阶数为二阶。
二阶偏微分方程是研究最广泛且也最有挑战性的类型，常用于描述波动、扩散、静电场和引力场等现象。
其中常见的二阶偏微分方程包括泊松方程、热方程和亥姆霍兹方程等。
3. 高阶偏微分方程（Higher-order PDEs）：这类方程中，未知函数及其偏导数的最高阶数大于二阶。
高阶偏微分方程往往需要更复杂的数学方法和技巧来求解，因此在实际应用中较为罕见。
4. 线性偏微分方程（Linear PDEs）：这类方程中，未知函数及其偏导数之间的关系是线性的。
线性偏微分方程的求解比较容易，且可以通过叠加原理进行求解。
常见的线性偏微分方程有波动方程、亥姆霍兹方程和拉普拉斯方程等。
5. 非线性偏微分方程（Nonlinear PDEs）：这类方程中，未知函数及其偏导数之间的关系是非线性的。
非线性偏微分方程的求解相对困难，往往需要借助数值计算或其他近似方法来求解。
非线性偏微分方程在流体力学、非线性光学等领域具有重要应用。
二、偏微分方程的应用场景1. 热传导方程（Heat Equation）：热传导方程是一种描述物质温度分布随时间变化的偏微分方程，常应用于研究热传导、换热和热流动等问题。
偏微分方程的分类与求解方法
偏微分方程的分类与求解方法引言：偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中重要的研究对象之一，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
本文将探讨偏微分方程的分类与求解方法，以加深对这一领域的理解。
一、偏微分方程的分类偏微分方程可以根据方程中未知函数的个数、阶数以及系数的性质进行分类。
常见的分类包括：1. 偏微分方程的个数：- 单一偏微分方程：方程中只包含一个未知函数，如波动方程、热传导方程等；- 耦合偏微分方程：方程中包含多个未知函数，它们相互耦合，如Navier-Stokes方程、Maxwell方程等。
2. 偏微分方程的阶数：- 一阶偏微分方程：方程中包含一阶导数，如线性传热方程；- 二阶偏微分方程：方程中包含二阶导数，如波动方程、扩散方程等；- 更高阶的偏微分方程：方程中包含更高阶的导数，如椭圆型方程、双曲型方程等。
3. 偏微分方程的系数性质：- 线性偏微分方程：方程中的未知函数及其导数出现的系数是线性的，如线性传热方程；- 非线性偏微分方程：方程中的未知函数及其导数出现的系数是非线性的，如Burgers方程、Navier-Stokes方程等。
二、偏微分方程的求解方法解偏微分方程是数学中的重要课题，有许多不同的求解方法。
下面介绍几种常见的方法：1. 分离变量法：分离变量法是一种常用的求解偏微分方程的方法，适用于一些特殊的方程。
它的基本思想是将多元函数表示为各个变量的乘积，然后将方程分离为多个常微分方程，再通过求解常微分方程得到最终的解。
2. 特征线法：特征线法适用于一些特殊的偏微分方程，如一阶线性偏微分方程、双曲型方程等。
它的基本思想是通过引入新的变量，将偏微分方程转化为常微分方程，然后通过求解常微分方程得到原方程的解。
3. 变换法：变换法是一种通过变换将原方程转化为更简单的形式，从而求解的方法。
常见的变换包括拉普拉斯变换、傅里叶变换等。
这些变换可以将原方程转化为代数方程或常微分方程，进而求解得到解析解。
二阶线性偏微分方程的解法和特解
二阶线性偏微分方程的解法和特解在数学领域中，二阶线性偏微分方程是一种重要的方程类型。
它在物理学、工程学以及其他领域的建模和问题求解中具有广泛的应用。
解决这类方程的问题既有理论上的方法，也有实用的数值解法。
本文将介绍二阶线性偏微分方程的求解方法，包括一般解法和特解法。
一、一般解法对于形如：\[a(x, y) \frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}} + b(x, y) \frac{{\partial^2 u}}{{\partial x \partial y}} + c(x, y) \frac{{\partial^2 u}}{{\partial y^2}} + d(x, y) \frac{{\partial u}}{{\partial x}} + e(x, y) \frac{{\partial u}}{{\partial y}} + f(x, y) u = g(x, y)\]的二阶线性偏微分方程，其中\(a(x, y), b(x, y), c(x, y), d(x, y), e(x, y), f(x, y), g(x, y)\)是已知函数，我们希望求解未知函数\(u(x, y)\)满足该方程。
首先，我们可以采用变量分离法将方程化简。
令\(u(x, y) = X(x)Y(y)\)，代入原方程，可以得到两个方程：\[ a(x) \frac{{X''(x)}}{{X(x)}} + d(x) \frac{{X'(x)}}{{X(x)}} + f(x) = -\lambda \]\[ c(y) \frac{{Y''(y)}}{{Y(y)}} + e(y) \frac{{Y'(y)}}{{Y(y)}} +\lambda = -g(x, y) \]其中\(\lambda\)是常数。
我们先考虑第一个方程，它可以化为一个常系数齐次线性微分方程：\[ a(x) X''(x) + d(x) X'(x) + \left(f(x) + \lambda\right) X(x) = 0 \]接下来根据常系数线性微分方程的解法，可以求得\(X(x)\)的解。
吴老师第二讲二阶线性偏微分方程及其分类省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
原则形式
2u 2u f x 2 y 2
u 2u f x y 2 2u 2u f x2 y 2
例1：判断下面偏微分方程旳类型并化简
u xx 2u xy 3u yy 2u x 6u y 0
a11u xx 2a12u xy a22u yy
若方程(1)旳主部系数 a11, a12 , a22 在区域Ω中某一点(x0，y0)满
足 a122 a11a22 0, 则称方程在点(x0，y0)是双曲型旳；在邻域；在Ω中
a122 a11a22 0, 则称方程在点(x0，y0)是抛物型旳; a122 a11a22 0, 则称方程在点(x0，y0)是椭圆型旳。
取 (x, y) (x, y) 则 A11 A22 0，这时方程变为
u
1 2 A12
[ B1u
B2u
Cu
F]
若再作 , 则上述方程变为：
u
u
1 A12
[(B1
B2
)u
(B1 B2 )u
2Cu F ]
（7）
2：抛物型 当 a122 a11a22 0 ，这时（6）式只有一种解
第五讲
二阶线性偏微分方程旳化简及其 分类
二阶线性偏微分方程旳一般形式：
n n
aij
j1 i1
2u xix j
n
bi
i 1
u xi
cu
f
0
其中 aij ,bi , c, f 是自变量 x1, x2 ,, xn
旳函数，假如f=0，则方程是线
性齐次方程，不然方程是非线性 齐次方程。
§1.5.1 两个自变量方程旳化简
3. 二阶偏微分方程
§3 二阶偏微分方程一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程考虑二阶偏微分方程()0),,,,,,(111,2=∂∂∂∂+∂∂∂∑=n nnj i j i ij x u x u u x x F y x u x a (1) 式中a ij (x )=a ij (x 1,x 2,…,x n )为x 1,x 2,…,x n 的已知函数.[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面]代数方程()01,=∑=nj i jiijaa x a称为二阶方程(1)的特征方程；这里a 1,a 2,…,a n 是某些参数，且有012≠∑=ni ia.如果点x ︒=(x 1︒,x 2︒,…,x n ︒)满足特征方程，即()01,o =∑=nj i jiijaa x a则过x ︒的平面()01o=-∑=nk kk k x x a 的法线方向l :(a 1,a 2,…,a n )称为二阶方程的特征方向；如果一个(n 1-)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n 1-)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面.[n 个自变量方程的分类与标准形式] 在点P (x 1︒,x 2︒,…,x n ︒)，根据二次型()∑=nj i jinijaa x x x a 1,o o 2o 1,,, (a i 为参量)的特征根的符号，可将方程分为四类：(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P 为椭圆型.(ii) 特征根都不为零，有n 1-个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点P 为双曲型.(iii) 特征根都不为零，有m n -个具有同一种符号(n >m >1)，其余m 个具有另一种符号，称方程在点P 为超双曲型.(iv) 特征根至少有一个是零，称方程在点P 为抛物型.若在区域D 内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域D 内是椭圆型、双曲型或抛物型.在点P 作自变量的线性变换可将方程化为标准形式：椭圆型：∑==+∂∂ni ix u1220Φ双曲型：∑==+∂∂-∂∂n i ix ux u 22120Φ超双曲型：()10112222>>=+∂∂-∂∂∑∑=+=m n x ux u mi nm i ii Φ抛物型：()00122>=+∂∂∑-=m x umn i iΦ式中Φ为不包含二阶导数的项.[两个自变量方程的分类与标准形式] 方程的一般形式为0,,,,222222122211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂y u x u u y x F y u a y x u a x u a (2) a 11,a 12,a 22为x ,y 的二次连续可微函数，不同时为零. 方程a 11d y 22-a 12d x d y +a 22d x 2=0称为方程(2)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方程(2)的特征曲线. 在某点P (x 0,y 0)的邻域D 内，根据Δ=a 122－a 11a 12的符号将方程分类： 当Δ>0时，方程为双曲型； 当Δ=0时，方程为抛物型； 当Δ<0时，方程为椭圆型.在点P 的邻域D 内作变量替换，可将方程化为标准形式：（i ） 双曲型：因Δ>0，存在两族实特征曲线11),(c y x =ϕ，22),(c y x =ϕ，作变换),(1y x ϕξ=，),(2y x ϕη=和,,ηηξ-=+=s t s 方程化为标准形式),,,,(2222t us u u t s t u s u ∂∂∂∂=∂∂-∂∂Φ 或),,,,(12ηξηξΦηξ∂∂∂∂=∂∂∂uu u u （ii ） 抛物型: 因Δ=0，只存在一族实的特征曲线c y x =),(ϕ，取二次连续可微函数),(y x ψ，使0),(),(≠∂∂y x ψϕ，作变换),(y x ϕξ=，),(y x ψη=，方程化为标准形式),,,,(222ηξηξΦη∂∂∂∂=∂∂uu u u （iii ） 椭圆型：因Δ<0，不存在实特征曲线，设c y x i y x y x =+=),(),(),(21ϕϕϕ为11221121212d d a a a a a x y -+=的积分，y x ϕϕ,不同时为零，作变量替换),(1y x ϕξ=，),(2y x ϕη=,方程化为标准形式),,,,(32222ηξηξΦηξ∂∂∂∂=∂∂+∂∂uu u u u二、 极值原理·能量积分·定解问题的惟一性定理椭圆型方程、抛物型方程的极值原理及双曲型方程的能量守恒原理是相应方程的解所具有的最基本性质之一，在定解问题的研究中起着重要的作用. [椭圆型方程的极值原理与解的惟一性定理]1︒ 极值原理 设D 为n 维欧氏空间E n 的有界区域，S 是D 的边界，在D 内考虑椭圆型方程()()()()x x x x f u c x ub x x u a Lu ni i i n j i j i ij =+∂∂+∂∂∂≡∑∑==11,2式中a ij (x ),b i (x ),c (x ),f (x )在D 上连续，c (x )≤0且二次型()∑=nj i j i ij a a a 1,x 正定，即存在常数μ>0，i ()∑∑==≥ni i n j i j i ij a a a a 121,μx定理1 设u (x )为D 内椭圆型方程的解，它在D 内二次连续可微，在D 上连续，且不是常数，如f (x )≤0（或f (x )≥0），则u (x )不能在D 的内点取非正最小值（或非负最大值）.如果过边界S 上的任一点P 都可作一球，使它在P 点与S 相切且完全包含在区域D 内，则有 定理2 设u (x )为椭圆型方程在D 内二次连续可微，在D 上连续可微的解，且不是常数，并设f (x )≤0（或f (x )≥0）.若u (x )在边界S 上某点M 处取非正最小值（或非负最大值），只要外法向导数错误！未定义书签。
二阶线性偏微分方程的分类与总结
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结§1 二阶方程的分类1． 证明两个自变量的二阶线性方程经过可逆变换后它的类型不会改变，也就是说，经可逆变换后2211212a a a -=∆的符号不变。
证：因两个自变量的二阶线性方程一般形式为fcu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112经可逆变换 ⎩⎨⎧==),(),(y x y x ηηξξ 0),(),(≠y x D D ηξ化为 f u c u b u a u a u a =++++ηηηξηξξ22212112其中 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+++=++=22212211222212111222212211112)(2y y x x y y x y y x x x yy x x a a a a a a a a a a a a ηηηηηξηξηξηξξξξξ所以 y x y x y x y x x y y x a a a a a a a ηηξξηηξξηξηξ2211112222122221112222)(+-+=-=∆22221112222222211),(),())(()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=--=+-y x D D a a a a a x y y x y x y x ηξηξηξηξξη因0),(),(2>⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x D D ηξ，故∆与∆同号，即类型不变。
2． 判定下述方程的类型（1）022=-yy xx u y u x （2）0)(2=++yy xx u y x u （3）0=+yy xx xyu u（4）)010001(sgn 0sgn 2sgn ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==++x x x x xu u yu yyxy xx(5) 0424=+++-zz yy xz xy xx u u u u u 解：(1)022=-yy xx u y u x因 022>=∆y x 当0,0≠≠y x 时0,0=>∆x 或0=y 时0=∆。
微分方程的分类
微分方程的分类微分方程是数学中非常重要的一部分，它是研究变化的数学工具。
微分方程可以分为很多种，下面将详细介绍几种常见的微分方程及其应用。
一、一阶微分方程一阶微分方程是指方程中只有一阶导数的微分方程，比较常见的形式是dy/dx=f(x)，其中f(x)是x的函数。
一阶微分方程的求解需要使用分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等方法。
一阶微分方程的应用非常广泛，如物理学中的运动方程、化学反应动力学方程等。
二、二阶线性微分方程二阶线性微分方程是指方程中只有二阶导数的微分方程，常见的形式是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，其中p(x)、q(x)、f(x)都是x的函数。
二阶线性微分方程的求解需要使用常系数齐次线性微分方程法、常系数非齐次线性微分方程法等方法。
二阶线性微分方程的应用非常广泛，如物理学中的谐振子方程、电路中的振荡电路方程等。
三、偏微分方程偏微分方程是指方程中包含多个自变量的微分方程，常见的形式是u_t=k(u_xx+u_yy)，其中u是未知函数，t是时间，x、y是空间坐标，k是常数。
偏微分方程的求解需要使用分离变量法、变量代换法、特征线法等方法。
偏微分方程的应用广泛，如热传导方程、波动方程、扩散方程等。
四、常微分方程组常微分方程组是指包含多个未知函数的微分方程组，比较常见的形式是x' = f(x, y), y' = g(x, y)，其中x、y是未知函数，f(x,y)、g(x,y)是x、y的函数。
常微分方程组的求解需要使用线性代数、矩阵论等方法。
常微分方程组的应用非常广泛，如经济学中的IS-LM模型、生态学中的捕食-被捕食者模型等。
五、随机微分方程随机微分方程是指微分方程中包含随机项的微分方程，常见的形式是dx=f(x,t)dt+g(x,t)dw，其中dw是随机项，f(x,t)、g(x,t)是x、t 的函数。
随机微分方程的求解需要使用随机分析等方法。
偏微分方程的基本分类与解法
偏微分方程的基本分类与解法偏微分方程（Partial Differential Equations）是数学领域中研究函数及其偏导数的方程。
它在物理、工程和金融等多个领域中具有广泛的应用。
本文将对偏微分方程的基本分类和解法进行介绍。
一、基本分类偏微分方程可以根据方程中未知函数的阶数、方程中未知函数及其偏导数的最高阶数、方程中出现的独立变量的个数等因素进行分类。
下面将介绍几种常见的偏微分方程类型：1. 线性偏微分方程（Linear PDEs）：线性偏微分方程的未知函数及其偏导数在方程中以线性的方式出现，即未知函数及其偏导数之间没有乘积或除法的项。
典型的线性偏微分方程包括波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程等。
2. 非线性偏微分方程（Nonlinear PDEs）：非线性偏微分方程的未知函数及其偏导数在方程中以非线性的方式出现。
非线性偏微分方程的研究更加复杂和困难，因为它们通常没有简单的通解，需要依赖于数值方法或近似解法。
3. 偏微分方程的阶数（Order）：偏微分方程的阶数指的是未知函数及其偏导数的最高阶数。
常见的偏微分方程阶数包括一阶、二阶和高阶偏微分方程等。
4. 线性度（Degree of Linearity）：线性度是指方程中未知函数和它的偏导数的最高次数。
线性偏微分方程的线性度为一，非线性偏微分方程的线性度大于一。
二、解法解偏微分方程的方法有很多，下面将介绍几种常见的解法：1. 分离变量法（Separation of Variables）：分离变量法适用于可以将偏微分方程的未知函数表示为各个独立变量的乘积形式的情况。
通过将未知函数表示为各个独立变量的乘积形式，并将方程中的偏导数转化为普通导数，从而将原方程转化为一系列的常微分方程。
通过求解这些常微分方程，并将解合并起来，即可得到原偏微分方程的解。
2. 特征线方法（Method of Characteristics）：特征线方法是用于解一阶偏微分方程的一种常用方法。
偏微分方程的分类与求解方法
偏微分方程的分类与求解方法引言：偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中的一个重要分支，广泛应用于自然科学、工程技术和经济管理等领域。
它描述了多个变量之间的关系，具有非常复杂的性质和解法。
本文将对偏微分方程的分类和求解方法进行探讨。
一、偏微分方程的分类偏微分方程可分为线性和非线性两类。
线性偏微分方程的解可以通过叠加原理来求解，而非线性偏微分方程则需要借助数值方法或近似解法来求解。
1. 线性偏微分方程线性偏微分方程的一般形式为：\[ \sum_{i=0}^{n} a_i(x) \frac{\partial^i u}{\partial x^i} = f(x) \]其中，\(a_i\) 是系数函数，\(f(x)\) 是已知函数，\(u\) 是未知函数。
常见的线性偏微分方程有波动方程、热传导方程和亥姆霍兹方程等。
2. 非线性偏微分方程非线性偏微分方程的一般形式为：\[ F(x,u,\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2},...) = 0 \]其中，\(F\) 是非线性函数。
非线性偏微分方程的求解相对困难，通常需要借助数值计算方法来获得近似解。
二、偏微分方程的求解方法偏微分方程的求解方法多种多样，下面将介绍几种常见的方法。
1. 分离变量法分离变量法是一种常用的求解线性偏微分方程的方法。
它的基本思想是将未知函数表示为一系列只与单个变量有关的函数的乘积形式，然后通过分离变量和整理方程，得到一系列常微分方程。
最后，通过求解这些常微分方程，得到原偏微分方程的解。
2. 特征线法特征线法适用于一类特殊的偏微分方程，如一阶线性偏微分方程和一类二阶线性偏微分方程。
它通过引入新的自变量，将原方程转化为常微分方程，然后通过求解常微分方程得到原方程的解。
3. 变换法变换法是通过引入新的变量或者进行坐标变换，将原方程转化为更简单的形式。
优选数学物理方程线性偏微分方程的分类OK
2u
a2*2
2u
2
b1*
u
b2*
u
c*u
0
（2）
系 数 之 间 （3） 的 关 系
a1*1
a11
(
x
)2
2a12
x
y
a22
(
y
)2
a1*2
a11
x
x
a12 ( x
y
x
y
)
a22
y
y
a2*2
a11
(
x
)2
2a12
x
y
a22
(
y
)2
其他系数之间的关系
数学物理方程
b1*
a11
2
x2
2a12
2
(x, y) (x, y)
从而有 a1*1 a2*2 0
（4）
引理 假设 z (x, y) 是方程
数学物理方程
a11
(
z x
)
2
2a12
z x
z y
a22
(
z y
)2
0
（4）
的特解，则关系式 (x, y) C 是常微分方程 a11(dy)2 2a12dxdy a22 (dx)2 0
拟线性PDE
9. a(x, y)(vxx vyy) ev (vx vy ) 半线性PDE
10. ut ux sin u
11. ut 2 ux 2 u2
半线性PDE 完全非线性PDE
举例（未知函数为多元函数）
数学物理方程
2u x 2
2u y 2
2u z 2
0
2u x 2
2u y 2
偏微分方程分类
目的：从数学上表示出二阶线性偏微分方程的共性与差异.1一、二阶线性偏微分方程的分类二、两个自变量的二阶方程的化简三、两个自变量二阶常系数方程的化简设为自变量，二阶线性偏微分方程的形状：111222122xx xy yy x ya u a u a u bub u cu f +++++=(),x y 其中是关于在区域Ω上的实值函数，且连续可微。
11122212,,,,,,a a a b b c f ,x y12211220,a a a Δ≡−>若在区域Ω上某点()00,x y 则称111222122xx xy yy x y a u a u a u bu b u cu f+++++=在点为双曲型的。
()00,x y12211220,a a a Δ≡−=若在区域Ω上某点()00,x y 则称111222122xx xy yy x y a u a u a u bu b u cu f+++++=在点为抛物型的。
()00,x y12211220,a a a Δ≡−<若在区域Ω上某点()00,x y 则称111222122xx xy yy x y a u a u a u bu b u cu f+++++=在点为椭圆型的。
()00,x y12211220,a a a Δ≡−>若在区域Ω上每一点有()00,x y 则称111222122xx xy yy x y a u a u a u bu b u cu f+++++=在内为双曲型的。
Ω12211220,a a a Δ≡−=若在区域Ω上每一点有()00,x y 则称111222122xx xy yy x y a u a u a u bu b u cu f+++++=在内为抛物型的。
Ω12211220,a a a Δ≡−<若在区域Ω上每一点有()00,x y 则称111222122xx xy yy x y a u a u a u bu b u cu f+++++=在内为椭圆型的。
偏微分方程的分类与求解
偏微分方程的分类与求解偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）是数学中一种重要的方程形式，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域中描述自然现象和科学问题的数学模型中。
本文将对偏微分方程进行分类，并探讨其求解方法。
一、偏微分方程的分类偏微分方程根据方程中未知函数的个数、方程阶数以及方程系数的特性可以进行多种分类。
下面将介绍常见的几种分类方式：1. 常见的偏微分方程类型（1）椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程通常用于描述稳定状态或静态问题，如拉普拉斯方程和泊松方程。
（2）双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程适用于描述波动现象，如波动方程和传输方程。
（3）抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程用于描述时间和空间变量的关系，如热传导方程和扩散方程。
2. 方程阶数（1）一阶偏微分方程一阶偏微分方程包含一阶导数项，如一阶线性可分离变量方程和一阶线性非齐次方程。
（2）二阶偏微分方程二阶偏微分方程包含二阶导数项，如二阶线性齐次方程和二阶非线性方程。
3. 方程系数的性质（1）线性偏微分方程线性偏微分方程中未知函数及其导数项的系数都是线性的，如线性波动方程和线性热传导方程。
（2）非线性偏微分方程非线性偏微分方程中未知函数及其导数项的系数存在非线性关系，如非线性波动方程和非线性扩散方程。
二、偏微分方程的求解方法求解偏微分方程是一项复杂的任务，需要结合方程的特性和求解方法进行分析。
下面介绍几种常见的途径：1. 分离变量法分离变量法适用于一些特殊的线性偏微分方程，通过假设未知函数可以表示为一系列不同变量的乘积形式，然后通过利用分离后的方程进行求解。
2. 特征线法特征线法适用于一些特殊的非线性偏微分方程，通过寻找方程中的特征线，将原偏微分方程化为一系列常微分方程，再进行求解。
3. 变换方法变换方法可以通过引入新的变量或变换，将原偏微分方程转化为另一种形式的方程，从而简化求解过程。
4. 数值方法数值方法是一种通过离散化空间和时间，利用计算机进行逼近求解的方法，如有限差分法、有限元法和谱方法等。
偏微分方程的分类与求解方法
偏微分方程的分类与求解方法偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是描述自然界和物理现象中的变化过程的重要数学工具。
它涉及多个自变量和导数，可以用来描述涉及多个变量及其变化率的复杂问题。
在数学、物理学、工程学等领域中，偏微分方程广泛应用于研究和解决实际问题。
本文将介绍偏微分方程的分类与求解方法。
一、偏微分方程的分类偏微分方程可以根据方程中未知函数的阶数、方程类型以及系数的性质等多个因素来进行分类。
下面将介绍几种常见的偏微分方程分类。
1. 齐次与非齐次偏微分方程当方程中未知函数及其各阶偏导数的总次数都为整数时，称为齐次偏微分方程。
齐次偏微分方程的解是一类特殊的函数族。
与之相反，非齐次偏微分方程中的未知函数及其各阶偏导数总次数之和不等于整数。
求解非齐次偏微分方程需要特殊的方法。
2. 线性与非线性偏微分方程根据方程中未知函数的线性性质，可以将偏微分方程分为线性和非线性两类。
当方程中未知函数及其各阶偏导数的系数与未知函数之间都是线性关系时，称为线性偏微分方程。
线性偏微分方程的求解较为简单。
与之相对，非线性偏微分方程的系数与未知函数之间存在非线性关系，求解较为困难。
3. 一阶、二阶和高阶偏微分方程根据未知函数的导数阶数，可以将偏微分方程分为一阶、二阶以及高阶偏微分方程。
一阶偏微分方程中涉及到未知函数的一阶导数，例如常见的一阶线性偏微分方程：$\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial u}{\partial y} = 0$。
二阶偏微分方程中涉及到未知函数的二阶导数，例如常见的二阶线性齐次偏微分方程：$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$。
高阶偏微分方程则涉及到更高次的导数。
二、偏微分方程的求解方法对于不同类型的偏微分方程，可以采用不同的求解方法。
第十章 二阶线性偏微分方程的分类
泊松(Poisson)方程和Helmholtz 方程都属于这种类型． 综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只
需讨论判别式 即可.
10.3 二阶线性偏微分方程标准化
对于二阶线性偏微分方程
(10.3.1) 若判别式为 线性偏微分方程分为三类： ，则二阶
时，方程称为双曲型;
时，方程称为抛物型; 时，方程称为椭圆型;
，则得到的解
称为方程的特解．
n阶常微分方程的通解含有n个任意常数，而n阶偏微分方
程的通解含有n个任意函数．
10.2 数学物理方程的分类
在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的 偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程．这三类方 程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解
(5)准线性方程 一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最
高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程．
(6)自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的
项称为自由项．
例如 ： 方程的通解和特解概念
二阶线性非齐次偏微分方程 的通解为
其中
是两个独立的任意函数．因为方程为 指定为
二阶的，所以是两个任意的函数．若给函数 特殊的
(10.4.3)
式中
均为常系数．若令
(10.4.4)
则有 (10.4.5)
其中
2.抛物型
对于含常系数的抛物型偏微分标准方程（含常系数）
பைடு நூலகம்
（10.4.6）
还可以进一步化简．上式中小写字母
均为常系数．
为了化简，不妨令
从而有
(10.4.7)
3.椭圆型
对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程(含常系数)
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，则得到的解
称为方程的特解．
n阶常微分方程的通解含有n个任意常数，而n阶偏微分方
程的通解含有n个任意函数．
10.2 数学物理方程的分类
在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的 偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程．这三类方 程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解
(10.2.10)一定有重根
因而只能求得一个解，例如，
，特征线为
一条实特征线．作变换
就可以使
由(10.2.4)式可以得出，一定有
，故可推出
．这样就可以任意选取另一个变换，
只要它和
彼此独立，即雅可俾式
即可．这样，方程(10.2.6)就化为
此类方程称为抛物型方程．热传导（扩散）方程就属于 这种类型．
3. 当判别式
时：这时，可以重复上
和
面的讨论，只不过得到的
是一
对共轭的复函数，或者说，偏微分方程(10.2.1)的两条特征线是
一对共轭复函数族．于是
是一对共轭的复变量．进一步引进两个新的实变量
于是
所以
方程(10.2.11)又可以进一步化为
这种类型的方程称为椭圆型方程．拉普拉斯(Laplace)方程、
1.双曲型偏微分方程
因为双曲型方程对应的判别式
所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，
设特征方程的解为
令
(10.3.2)
进行自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式
(10.3.3) 上式称为双曲型偏微分方程的第一种标准形式，再作变量 代换，令
或
则偏微分方程又变为
(10.3.4) 上式称为双曲型偏微分方程的第二种形式．
椭圆型偏微分方程的判别式 一组共轭复变函数族．其特征方程的解为 ，所以特征曲线是
(10.3.7) 若令
(10.3.8)
作自变量变换，则偏微分方程变为
(10.3.9) 上式称为椭圆型偏微分方程的标准形式．
10.4 二阶线性常系数偏微分方程的进一步 化简
如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还
1.齐次的线性偏微分方程的解有以下特性：
(1).当 (2)若 也是方程的解； 2.非齐次的线性偏微分方程的解具有如下特性： 为方程的解时，则 为方程的解，则 也为方程的解；
(1)若
为非齐次方程的特解， 为非齐次方程的通解；
为齐次方程的通解，则
(2) 若
则
3．线性偏微分方程的叠加原理 需要指出:线性偏微分方程具有一个非常重要的特性，称为叠
(5)准线性方程 一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最
高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程．
(6)自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的
项称为自由项．
例如 ： 方程的通解和特解概念
二阶线性非齐次偏微分方程 的通解为
其中
是两个独立的任意函数．因为方程为 指定为
二阶的，所以是两个任意的函数．若给函数 特殊的
两个自变量(x, y)的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为
（10.2.1） 其中 为 的已知函数．
定理10.2.1 如果
是方程
(10.2.2)
的一般积分，则
是方程
(10.2.3)
的一个特解．
在具体求解方程(10.2.10)时，需要分三种情况讨论判别式
1. 当判别式 以求得两个实函数解
时，从方程(10.2.10)可
也就是说，偏微分方程(10.2.1)有两条实的特征线．于是，令
即可使得
．同时，根据(10.2.4)式，就可以断定
．所以，方程(10.2.6) 即为
(10.2.4)
或者进一步作变换
于是有
所以
又可以进一步将方程(10.2.11)化为
这种类型的方程称为双曲型方程．我们前面建立的波动方 程就属于此类型． 2．当判别式 时：这时方程
泊松(Poisson)方程和Helmholtz 方程都属于这种类型． 综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只
需讨论判别式 即可.
10.3 二阶线性偏微分方程标准化
对于二阶线性偏微分方程
(10.3.1) 若判别式为 线性偏微分方程分为三类： ，则二阶
时，方程称为双曲型;
时，方程称为抛物型; 时，方程称为椭圆型;
还可以进一步进行化简．上式中小写字母的 为常系数．
为了化简，不妨令
从而有
(10.4.9)
其中
10.5 线性偏微分方程解的特征
含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式也可以写成下 面的形式： 其中 L 是二阶线性偏微分算符，G是x,y的函数． 线性偏微分算符有以下两个基本特征：
其中
均为常数．进一步有如下结论：
加原理，即若
是方程
（其中 L 是二阶线性偏微分算符）的解.如果级数
收敛，且二阶偏导数存在（其中
为任意常数），则 的解（当然要假定这个方
一定是方程 程右端的级数是收敛的）．源自(10.4.3)式中
均为常系数．若令
(10.4.4)
则有 (10.4.5)
其中
2.抛物型
对于含常系数的抛物型偏微分标准方程（含常系数）
（10.4.6）
还可以进一步化简．上式中小写字母
均为常系数．
为了化简，不妨令
从而有
(10.4.7)
3.椭圆型
对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程(含常系数)
(10.4.8)
可以进一步化简．下面按三种类型分别介绍化简的方法
1.双曲型
对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还 可进一步化简
注：上式中用小写字母 大写字母代表某函数区别开来, 例如
代表常系数，以便与 ．为了化简，
我们不妨令
从而有
(10.4.2)
其中
由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进 一步化简
也表现出各自不同的特点．
我们在解析几何中知道对于二次实曲线
其中
为常数，且设
则当
时，上述二次曲线分别为双
曲线、抛物线和椭圆．受此启发，下面我们来对二阶线性偏 微分方程进行分类. 下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，进行 理论分析．而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨
论的基本方法是一样的．
注：上式中的“*”号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如
与 是两个不同的函数。
2．抛物型偏微分方程
因为抛物型偏微分方程的判别式 线是一族实函数曲线． 其特征方程的解为
，所以特征曲
(10.3.5)
因此令 进行自变量变换，则原偏微分方程变为
(10.3.6)
上式称为抛物型偏微分方程的标准形式．
3.椭圆型偏微分方程
第十章 二阶线性偏微分方程的 分类
本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念、分类方
法和偏微分方程的标准化. 特别对于常系数的二阶线性偏
微分方程的化简方法也进行了详细讨论，这对后面的偏微
分方程求解是十分有用的.
10.1 基本概念
(1) 偏微分方程 含有未知多元函数及其偏导数的方程，如
其中
是未知多元函数，而
是未知变量；
为
的偏导数. 有时为了书
写方便，通常记
(2)方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方
程的阶．
(3)方程的次数 偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微
分方程的次数．
(4)线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所
有（组合）偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程， 高于一次以上的方程称为非线性方程．