阶线性偏微分方程及其分类

dx

a11

（3-6）

若 a122 a11a22 ，0 二阶线性偏微分方程为双曲型方程

若 a122 a11a22 0，二阶线性偏微分方程为抛物型方程

若 a122 a11a22 ，0 二阶线性偏微分方程为椭圆型方程

1：双曲型

当 a122 a11a22 0 时，（3-6）式给出一族实的特征

（3-7）

2：抛物型 当 a122 a11a22 0 ，这时（3-6）式只有一个解
dy a12 dx a11
它只能给出一个实的特征线，(x, y) c 。取与

(x, y) 函数无关的 (x, y) 作为另一个新的变量

则有

u



1 A22

[B1u

B2u

Cu F ]

（3-8）

3：椭圆型

，u
y







u


2u x 2



2u
9 2

6 2u




2u
2

2u 2u 2 2u 2u
y 2 2 2

代入原方程得： 16

2u


12

u




4 u




0

即：

2u 3 u 1 u
4 4

例题2：把方程 解：该方程的
特征方程：

§5-1 二阶线性偏微分方程的分类
分类并化为标准形式 故该方程是抛物型的。

特征的解：

从而得到方程的一族特征线为：

作自变量代换

(由于ξ和η必须函数无关,所以η宜取最简 单的函数形式,即η=x 或η=y)

于是，原方程化简后的标准形式为：

例题3：判断下面偏微分方程的类型并化简

uxx 2cosxuxy (3 sin2 x)uyy yuy 0

解：

a11 1, a 12 cos x, a 22 ( 3 sin 2 x)

B1 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y

（3-3）

B2 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y
C c, F f

从（3-3）中可以看出，如果取一阶偏微分方程

a11

z

2 x

2a12 zx z y



a22

z

2 y



0

的一个特解作为 ，则

cos2 x 3sin 2 x 4 0 双曲型方程

特征方程

( dy)2 2 cosx dy (3 sin 2 x) 0

dx

当 a122 a11a22 0时，（3-6）式各给出一族复特征线

(x, y) ， (x, y)

在该变换下：A11 0, A22 0 且方程化为：

u





1 2 A12

[ B1u

B2u

Cu F ]

令 i, i

则有：

u

u





1 A12

[( B1

B2 )u

i(2

1 )u

2Cu F ]

dz zxdx z ydy 0

dy zx dx z y

从而有：

a11

(

dy dx

)

2



dy 2a12 ( dx )



a22



0

（3-5）

常微分方程（3-5）叫做二阶线性偏微分方程的特 征方程。特征方程的一般积分 (x, y) c1 和 (x, y) c2 叫做特征线。

（3-5）的解为：

dy a12 a122 a11a22

解：∵ a11 1

a12 1

故 a22 3

a122 a11a22 4 0

故该方程为双曲型偏微分方程，其特征方程

( dy)2 2 dy 3 0

dx

dx

dy 1 dx

或

dy 3 dx

故有 y 3x C1 或 y x C2

取新变量 3x y x y 则

u 3 u x

a11

2 x

2a12x y



a22

2 y

0

（3-4）

从而A11=0。如果取（3-4）的另外一个特解作为
则A22=0，这样方程（3-2）就可以简化。

一阶偏微分方程（3-4）的求解可以转化为常微分 方程的求解，将（3-4）改写成：

a11 (

zx zy

)2

2a12 (

zx zy

) a22



0

如果将 z(x, y) c 看作定义隐函数y y(x) 的方程，则

一般形式：

a11

2u x 2



2a12

2u xy



a22

2u y 2



b1

u x

b2

u cu y

f

0

（3-1）

其中 a11, a12 , a22 ,b1,b2 , f 只是x，y的函数。以下讨论时

假定 a11, a12 , a22 ,b1,b2 , f 是实数。作变量代换如下：

x x( ,) y y(,)
（3-9）

§5-1 二阶线性偏微分方程的分类

§3.2 方程的分类

由前面的讨论可知，方程(3.1)通过自变量的可逆变换化为那 一种标准形式，主要决定于它的主部系数。
a11u xx 2a12u xy a22u yy

若方程(3.1)的主部系数 满足

在区域Ω中某一点(x0，y0)

则称方程在点(x0，y0)是双曲型的；在邻域；在Ω中 则称方程在点(x0，y0)是抛物型的; 则称方程在点(x0，y0)是椭圆型的。
第三章 二阶线性偏微分方程的化简及其
分类
祁影霞作

二阶线性偏微分方程的一般形式：

n
j 1

n
aij
i1

2u xix j



n
bi
i1

u xi

cu

f

0

其中 aij , bi , c, f 是自变量 x1, x2 , , xn
的函数，如果f=0，则方程是线
性齐次方程，否则方程是非线性 齐次方程。

§3.1 两个自变量方程的化简

则在上式代换下方程（3-1）变为
A11u 2 A12u A22u B1u B2u Cu F 0

（3-2）

其中系数：



A11 A12



a11

2 x



a11 x x

2a12 x y a12 ( x y

a22

2 y

y x

)



a22 y y



A22



a11

2 x

2a12 x y



a

22

2 y

相应地， (3.7)、(3.8)和(3.9)这三个方程分别称为双曲型、抛物型和椭圆型 (二阶线性)偏微分方程的标准形式。

标准形式
2u 2u f
x2 y 2
u 2u f x y2 2u 2u f x2 y2

例1：判断下面偏微分方程的类型并化简

u xx 2u xy 3u yy 2u x 6u y 0
曲线 (x, y) c1 (x, y) c2
取 (x, y) (x, y) 则 A11 A22 0，这时方程变为

u





1 2 A12

[ B1u
ห้องสมุดไป่ตู้
B2u

Cu F ]

若再作 , 则上述方程变为：

u

u



1 A12 [( B1

B2 )u

(B1

B2 )u

2Cu F ]