一阶线性微分方程的标准形式
一阶线性微分方程
在工程中的应用
控制工程
01
在控制工程中，一Hale Waihona Puke 线性微分方程可以用来描述系统的动态特
性，如传递函数和稳定性分析。
信号处理
02
在信号处理中，一阶线性微分方程可以用来描述信号的滤波、
放大和传输等过程。
航天工程
03
在航天工程中，一阶线性微分方程可以用来描述火箭的发射、
卫星轨道和姿态控制等过程。
04
一阶线性微分方程的扩 展
一阶线性微分方程
目录
• 一阶线性微分方程的定义与形式 • 一阶线性微分方程的解法 • 一阶线性微分方程的应用 • 一阶线性微分方程的扩展
01
一阶线性微分方程的定 义与形式
定义
总结词
一阶线性微分方程是包含一个未知函数及其导数的一次项的方程。
详细描述
一阶线性微分方程的一般形式为 y' + P(x)y = Q(x)，其中 y 是未知函数，P(x) 和 Q(x) 是已知函数，' 表示导数。 这个方程包含未知函数 y 和它的导数 y'，且最高次项为一次。
变系数一阶线性微分方程
定义
变系数一阶线性微分方程是指方程中的系数是未知数的函数，而 不是常数。
解法
解变系数一阶线性微分方程需要使用特殊的方法，如换元法、变量 分离法等，以将方程转化为更易于解决的形式。
应用
变系数一阶线性微分方程在物理学、工程学和经济学等领域有广泛 的应用，例如振动问题、电路分析、人口动态等。
03
一阶线性微分方程的应 用
在物理中的应用
自由落体运动
一阶线性微分方程可以用来描述 物体在重力作用下的自由落体运 动，如速度和位移随时间的变化
12.4一阶线性微分方程
2
例6: 用适当的变量代换解下列微分方程:
1.
yy xy2 xe x ;
2 2
x 1 y xy xe y , 解: 将原方程变形为
实际上, 这是一个n=–1的伯努利方程. 令 z=y2, 则 dz dy dz x2 2 y , 所以, 原方程转化为 2 xz 2 xe , dx dx dx dz x2 先求方程 2 xz 0 的通解. 得: z ce . dx 2 2 2 x x x 令 z c( x )e , 则 z c( x )e 2 xc( x )e , 代入得, 2 2 2 2 x x x x c( x )e 2 xc( x )e 2 xc( x )e 2 xe ,
( 此处 mg k v 0 )
1 t 足够大时 利用初始条件, 得 C ln ( mg ) mg k k v k t mg 代入上式后化简, 得特解 v (1 e m ) k
例2 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲 3 线 y f ( x )与 y x ( x 0)截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x ).
令 y c( x )( x 1)2 , 则 y c( x )( x 1)2 2c( x )( x 1), 代入线性非齐次方程中, 得: c( x )( x 1)2 2c( x )( x 1) 5 1 2 2c( x )( x 1) ( x 1) 2 x 1 1 3 2 2 化简得: c( x ) ( x 1) , 得 c( x ) ( x 1) 2 c 3 故, 原非齐次方程的通解为: 3 2 y ( x 1)2[ ( x 1) 2 c ] 3 dy y . 例3: 求解微分方程 dx 2(ln y x ) dx 2(ln y x ) 2 2 ln y x . 解: 将方程改写为 dy y y y 这是一个关于函数x=x(y)的一阶线性非齐次方程,
一阶线性微分方程与分离变量法
一阶线性微分方程与分离变量法一阶线性微分方程是微分方程中最简单的一种形式，它可以用分离变量法来求解。
在本文中，我们将介绍一阶线性微分方程的定义、基本形式以及如何使用分离变量法来求解。
一、一阶线性微分方程的定义一阶线性微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的微分方程，其中P(x)和Q(x)均为已知函数，y = y(x)是未知函数。
需要注意的是，P(x)和Q(x)不一定是线性函数，可以是非线性函数。
二、一阶线性微分方程的基本形式一阶线性微分方程可以写成如下的标准形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)其中，P(x)为已知函数的系数函数，Q(x)为已知函数。
三、分离变量法的基本思路分离变量法是一种用于求解一阶微分方程的常用方法，其基本思路是将方程中的变量分离到方程两边，从而得到两个关于不同变量的表达式。
四、使用分离变量法求解一阶线性微分方程的步骤1. 将一阶线性微分方程的表达式写成标准形式dy/dx + P(x)y = Q(x)。
2. 将方程两边乘以一个适当的积分因子μ(x)，使得P(x)μ(x)为关于x的全导数，即P(x)μ(x) = d/dx μ(x)。
3. 对方程两边同时乘以μ(x)，得到d/dx(μ(x)y) = Q(x)μ(x)。
4. 对方程两边同时进行积分，得到∫d/dx(μ(x)y)dx = ∫Q(x)μ(x)dx。
5. 对方程两边进行积分并简化，得到μ(x)y = ∫Q(x)μ(x)dx + C，其中C为积分常数。
6. 解出y，得到y(x) = [∫Q(x)μ(x)dx + C]/μ(x)。
五、示例现在我们通过一个具体的例子来演示如何使用分离变量法来求解一阶线性微分方程。
例：求解dy/dx - 2xy = x^2解: 首先将方程写成标准形式dy/dx + 2xy = -x^2。
然后确定积分因子μ(x)，根据P(x)μ(x) = d/dx μ(x)，得到d/dx(e^(x^2)) = 2xe^(x^2)，因此积分因子为μ(x) = e^(x^2)。
一阶常微分方程公式大全
一阶常微分方程公式大全一、一阶线性常微分方程。
1. 标准形式。
- 一阶线性常微分方程的标准形式为y'+p(x)y = q(x)。
2. 通解公式。
- 其通解公式为y = e^-∫ p(x)dx(∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C)。
- 推导过程：- 先求对应的齐次方程y'+p(x)y = 0的通解。
- 分离变量得(dy)/(y)=-p(x)dx。
- 两边积分∫(dy)/(y)=-∫ p(x)dx，得到ln y =-∫ p(x)dx + C_1，即y = Ce^-∫p(x)dx（C = e^C_1）。
- 然后用常数变易法，设原非齐次方程的解为y = C(x)e^-∫ p(x)dx。
- 对y求导得y'=C'(x)e^-∫ p(x)dx-C(x)p(x)e^-∫ p(x)dx。
- 将y和y'代入原方程y'+p(x)y = q(x)，可得C'(x)e^-∫ p(x)dx-C(x)p(x)e^-∫p(x)dx+p(x)C(x)e^-∫ p(x)dx=q(x)。
- 化简得C'(x)e^-∫ p(x)dx=q(x)，即C'(x)=q(x)e^∫ p(x)dx。
- 再积分C(x)=∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C，所以原方程的通解为y = e^-∫ p(x)dx(∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C)。
二、可分离变量的一阶常微分方程。
1. 标准形式。
- 可分离变量的一阶常微分方程的标准形式为g(y)dy = f(x)dx。
2. 通解求法。
- 对g(y)dy = f(x)dx两边分别积分，得到∫ g(y)dy=∫ f(x)dx + C，其中C为任意常数。
- 例如，对于方程(dy)/(dx)=(x)/(y)，可化为ydy = xdx。
- 两边积分∫ ydy=∫ xdx，即frac{y^2}{2}=frac{x^2}{2}+C，整理得y^2-x^2=C_1（C_1 = 2C）。
5.2(3)一阶线性微分方程及全微分方程
−1
五、1、( x − y ) 2 = −2 x + C ； 1 2、 y = 1 − sin x − ； x+C 3、 2 xy − sin( 2 xy ) = 4 x + C . 2(1 − e − x ) , 0 ≤ x ≤ 1 六、 y − y( x ) = . −x 2(e − 1)e , x > 1
令 y = xu;
− P( x)dx
令 y = u( x)e ∫
;
令 y1−n = z;
思考题
cos y 的通解. 求微分方程 y′ = 的通解 cos y sin 2 y − x sin y
思考题解答
dx cos y sin 2 y − x sin y = sin 2 y − x tan y , = dy cos y dx ∴ + (tan y ) ⋅ x = sin 2 y , dy
将 z = xy 代回,
所求通解为 2 xy − sin( 2 xy ) = 4 x + C .
dy 1 3. ; = dx x + y
dy du 解 令 x + y = u, 则 = − 1, dx dx du 1 −1= , 代入原式 dx u 分离变量法得 u − ln( u + 1) = x + C ,
∂P ∂Q . 全微分方程⇔ = ∂y ∂x
2.解法: 2.解法: 解法
P( x, y)dx + Q( x, y)dy = 0 全微分方程
应用曲线积分与路径无关. 应用曲线积分与路径无关
x
∂P ∂Q Q = ∂y ∂x
y y0
通解为
y
u(x, y) = ∫ P(x, y0 )dx + ∫ Q(x, y)dy
高数下册第七章第五节一阶线性方程全微分方程
x
2). 3
25
五、1、( x y)2 2x C ；
2、 y 1 sin x 1 ； xC
2、2x ln y ln2 y C ；
3、 x Cy3 1 y2. 2
二、1、 y sin x 5ecos x 1；
2、2 y
x3
x
3e
1 x2
1
.
三、v
k1 k2
t
k1m k22
(1
k0
em
t
).
四、1、 xy x C ；
2、
x2 y2
C
2 3
x3 (ln
即
两端积分得对应齐u次 方Q程( x通)e解 P
(
x
)yd x C dx
e P C
(
x
)d
x
故原方程的通解
y
e
P(
x)d
x
Q(
x
)
e
P
(
x
)
d
x
d
x
C
即
y Ce P( x)d x
e P(x)d x
Q(
x
)
e
P
(
x
)d
x
d
x
齐次方程通解
u
2(x
3
1)2
C
3
4
例2. 求方程
dx xy
2 y
x y3
d
y
一阶线性微分方程
关于未知函数 y 及 其导数 y 是一次的.
当Q( x ) 0, 称为一阶线性齐次微分方程.
当Q( x ) 0, 称为一阶线性非齐次微分方程.
例如
dy y x2 , dx dy y 2 xy 3, dx dx x sin t t 2 , 线性的; dt dy cos y 1, 非线性的. dx
Q
解
0
x
x 3 y, y dx ( x y )
3 2
2
两边求导得 y y 3 x ,
dx dx
P
y f ( x)
o x x y e C 3 x 2e dx Ce x 3 x 2 6 x 6,
由 y | x 0 0, 得 C 6,
齐次方程通解 非齐次方程一个特解
1 sin x 例1 求方程 y y 的通解. x x sin x 1 Q( x ) , 解 P( x) , x x
ye
1 dx x
sin x 1 dx x e dx C x
e
ln x
sin x ln x e dx C x
dx (tan y ) x sin 2 y , dy
x e ln cos y [ sin 2 y e ln cos y dy C ]
2 sin y cos y cos y dy C cos y cos y [C 2 cos y].
Q( x ) e P ( x ) d x d x C 2. 公式中的不定积分不再加C . ye
12-4 一阶线性微分方程
∫
1 dy y ln y
1 dy y ln y
1 1 [c + (ln y )2 ] = ln y 2
任意常数。 ， c 任意常数。
例3 设f ( x )有连续导数， f (0) = 0，且存在 有连续导数， 函数u( x , y ), 使得
du = y[ f ( x ) + 3e ]dx + f ( x )dy ,
y y
−y
c
为任意常数。 为任意常数。
∞ 2 n+1 n= 0
x 例6 证明幂级数 ∑ (2n + 1)! 在其收敛域内 y( x ) 满足方程 y ′ + y = e x , 并求 y( x ). 的和函数
解
x 考查 ∑ (2n + 1)! 易知其收敛域为( −∞ , +∞ )
∞
2 n+1
n= 0
x=e
ln cos y
[∫ sin 2 y ⋅ e
− ln cos y
dy + C
]
2 sin y cos y dy + C = cos y[C − 2 cos y ]. = cos y ∫ cos y
练 习 题 一、求下列微分方程的通解 : 求下列微分方程的通解: 1、 1 、 y′ + y cos x = e −sin x ； 2、 2 、 y ln ydx + ( x − ln y )dy = 0； dy 2 3、 3 、 ( y − 6 x ) + 2 y = 0. dx 二、 求下列微分方程满足所给初始条件 的特解: 的特解: dy 1、 1 、 + y cot x = 5e cos x , y x =π = −4;；
一阶线性微分方程
微积分Calculus一阶线性微分方程一定义一阶线性微分方程标准形式:)()(d d x Q y x P x y=+若Q (x ) ≡0, 若Q (x ) ≡0, 称为非齐次方程.称为齐次方程;0)(d d =+y x P x y 分离变量两边积分得C x x P y ln d )(ln +−=⎰故通解为xx P e C y d )(⎰−=二一阶线性齐次微分方程的解法的通解为一阶线性齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程的通解是怎样的？我们已知，那么，三一阶线性非齐次微分方程的解法是一阶线性非齐次微分方程，将方程变形为很容易看出方程的左边，正好是求导之后的结果，xy 即两边同时积分得即（原方程的通解）例我们得到一个很重要的方法：积分因子法即对于如下的微分方程，关键是找到积分因子I(x)我们来推导出这个积分因子的结构。
)()(x Q y x P dx dy=+I(x)得在方程两边同时乘上即则方程的通解可以很容易获得。
所以为了找到积分因子，我们必须研究将它展开得整理后得因为只要找到一个积分因子就行，故可令，得C=1这是一个关于的可分离变量的微分方程，I(x)所以可得用积分因子法求解一阶线性非齐次微分方程，只需要在方程的两边同时乘以积分因子再两边同时积分即可得到通解为：方法总结对应齐次方程通解xx P e C y d )(⎰−=常数变易法:,)()(d )(⎰−=x x P e x u x y 则⎰−'x x P e u d )()(x P +⎰−x x P e u d )()(x Q =即作变换⎰−−x x P e u x P d )()(Cx e x Q u x x P +=⎰⎰d )(d )(两端积分得齐次方程通解非齐次方程特解⎰−x x P Ce d )(故原方程的通解xe x Q e x x P x x P d )(d )(d )(⎰⎰⎰−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰⎰−C x e x Q e y x x P x x P d )(d)(d )(=y 即用常数变易法求解一阶线性非齐次微分方程，只需要先求出对应的齐次微分方程的通解，然后做常数的变易并代回到原微分方程中去，通过方法总结积分即可得到原微分方程的通解dy dx +3x2y=6x2四相关练习例二解方程解这是一阶线性非齐次方程，积分因子为I(x)=e3x2dx=e x3方程两边同时乘以，可得e x3两边同时积分，可得即通解为解: 先解,012d d =+−x y x y 即1d 2d +=x x y y 积分得即2)1(+=x C y y =23(x +1)ൗ32+C 例三解方程)1(2)1(2+⋅++⋅'='x u x u y 代入非齐次方程得解得故原方程通解为用常数变易法求特解. 令,)1()(2+⋅=x x u y 则。
一阶线性微分方程及伯努利方程
3
例1. 解方程
dy
2y
5
(x 1) 2 .
dx x 1
解:
先解
dy 2y 0 , 即 dx x 1
dy 2dx y x 1
积分得 ln y 2 ln x 1 ln C , 即 y C(x 1)2
用常数变易法求特解. 令 y u (x) (x 1)2 , 则
y u (x 1)2 2u (x 1)
y
两边积分得 ln y P(x)dx ln C
故通解为
y C e P(x)dx
2
2. 解非齐次方程 dy P(x) y Q(x) dx
用常数变易法: 作变换 y(x) u(x) e P(x) d x , 则
ue P(x)d x P(x)u e P(x)d x P(x) u e P(x)d x Q(x)
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解.
8
例3. 求方程 dy y a ( ln x)y2 的通解. dx x
解: 令 z y1, 则方程变形为
dz z a ln x dx x
其通解为
z
e
1 x
dx
(a
ln
x)
e
1 x
dx
dx
C
x C a ( ln x)2
2 将 z y1代入, 得原方程通解:
dy y
dy y
将 x 看作 y 的函数，则是形如 x p( y)x q( y)
的线性微分方程
p( y) 1 q( y) y2
y
5
dx 1 x y2 dy y
通解为 4xy y4 C
6
例3. 求方程
dx xy
2 y
5.4__一阶线性微分方程
1 dx x
dx + C
1 = ( ∫ sin xdx + C ) x
1 = ( − cos x + C ). x
10
5.4 一阶线性微分方程
y = (ln x − ). 3 3
dy 考研数学一, 分 + P( x) y = Q( x) 考研数学一 二, 4分 dx 1 微分方程 xy′ + 2 y = x ln x 满足 y(1) = − 的解为 9 x 1
1 dy y ln y
dy + C
C 1 1 1 = ∫ ln ydy + C = ln y + ln y ln y y 2
此外, 也是原方程的解. 此外 y = 1也是原方程的解 也是原方程的解
13
5.4 一阶线性微分方程
注 解方程时, 解方程时 通常不计较哪个是自变量哪个是 因变量, 视方便而定, 因变量 视方便而定 关键在于找到两个变量间的 关系. 解可以是显函数, 也可以是隐函数, 关系 解可以是显函数 也可以是隐函数 甚至是 参数形式的. 参数形式的
12
5.4 一阶线性微分方程
y =e ∫
− P( x)dx
∫ P( x)dxdx + C] [∫ Q( x)e
y ln ydx + ( x − ln y )dy = 0
解
dx 1 1 x= + dy y ln y y
P( y)
Q( y )
1 dy y ln y
x=e
−
∫
1 ∫ ∫ ye
y =e
−
∫x0
x
P(t )dt
∫x0 P(u)dudt + y ]. [∫ Q(t )e 0
一阶线性微分方程的标准形式.
1 cos x C .
x
例3、求方程(1 y2 ) ydx 2(2xy2 1)dy 0的通解。
解 dx 4y x 2 dy 1 y2 y(1 y2 )
x
e
4 1
y y2
dy
[
4y
2 e 1 y2 dydy c]
y(1 y 2 )
(1
1 y2
)2
(2
ln
y
y2
c)
例4 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲
f (0) ln 2 c ln 2
则f ( x) ln 2 e2x
例2 求方程 y 1 y sin x 的通解. xx
解 P( x) 1 , Q( x) sin x ,
x
x
y
e
1 x
dx
sin x
x
e
1 x
dx
dx
C
e
ln
x
sin x
x
eln
xdx
C
1 x
si
n
xdx
C
解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.
两端除以yn，得 yn dy P( x) y1n Q( x), dx
令z y1n , 则 dz (1 n) yn dy ，
dx
dx
代入上式 dz (1 n)P( x)z (1 n)Q( x), dx
求出通解后，将 z y1n 代入即得
y1n z
线 y f ( x)与 y x3 ( x 0)截下的线段PQ之
长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x).
解
x
f ( x)dx
( x3 y)2 ,
0
y
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ln y P ( x )dx ln C ,
齐次方程的通解为 y Ce
P ( x ) dx
.
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dy P ( x ) y Q( x ). 2. 线性非齐次方程 dx
讨论
dy Q( x ) P ( x ) dx, y y
Ce x 3 x 2 6 x 6,
由 y | x0 0, 得 C 6,
x 2 所求曲线为 y 3( 2e x 2 x 2).
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二、伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
dy P ( x ) y Q( x ) y n dx
Ce
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx
P ( x ) dx Q( x )e dx
对应齐次 方程通解
非齐次方程特解
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5 dy 2y ( x 1) 2 的通解. 例1 求方程 dx x 1
解 这是一个非齐次线性方程. 先求对应的齐次方程的 通解.
dx x sin t t 2 , 线性的; dt
yy 2 xy 3, y cos y 1, 非线性的.
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一阶线性微分方程的解法
dy P ( x ) y 0. 1. 线性齐次方程 dx
(使用分离变量法)
dy P ( x )dx , y
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例 3 解 即
dy y 求方程 a(ln x ) y 2 的通解. dx x
两端除以y 2，得 y 2
dy 1 1 y a ln x , dx x
d ( y 1 ) 1 1 y a lnx dx x
1
dz 1 令z y , 则上述方程成为 z a ln x dx x
a 2 它的通解为 z x C ln x 2
a 2 yx C (ln x ) 1 则原方程的通解为 2
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例4 用适当的变量代换解下列微分方程:
u( x )[ P ( x )]e
,
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将y和y代入原方程得u( x )e
P ( x ) dx
Q( x ),
P ( x ) dx dx C , 积分得 u( x ) Q( x )e
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
P ( x ) dx P ( x ) dx y [ Q( x )e dx C ]e
Q( x ) dx P ( x )dx , 两边积分 ln y y
设 Q( x ) dx为v ( x ), ln y v ( x ) P ( x )dx , y
即 y e v ( x ) e P ( x ) dx . 非齐次方程通解形式
与齐次方程通解相比: C u( x )
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常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换.
新 ),
作变换
y u( x )e
y u( x )e
P ( x ) dx
P ( x ) dx
P ( x ) dx
1 2
3 2 即 u 3 ( x 1) 2 C
代入所给非齐次方程,得
u ( x 1)
故所得方程的通解为
3 2 2 y ( x 1) ( x 1) C 3 2
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例2 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲 y f ( x )线 与 y x 3 ( x 0) 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部 分的面积, 求曲线 f ( x ) . 解
dy 2y dy 2dx 0, dx x 1 y x 1
则 ln y 2 ln(x 1) lnc 即 y C ( x 1)2
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用常数变易法 , 把C换成u, 即令
y u( x 1)2
则
dy u( x 1) 2 2u( x 1) dx
( n 0,1)
当n 0,1时， 方程为线性微分方程.
方程为非线性微分方程. 当n 0,1时， 解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.
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n y 两端除以y ，得
n
dy P ( x ) y1 n Q( x ), dx
令z y1 n ,
代入上式
第四节 一阶线性微分方程
一、线性方程 二、伯努利方程 三、小结
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一、线性方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P ( x ) y Q( x ) dx
当Q( x ) 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x ) 0, 上方程称为非齐次的.
例如
dy y x2 , dx
dz n dy 则 (1 n) y ， dx dx
dz (1 n) P ( x ) z (1 n)Q( x ), dx
1 n z y 求出通解后，将 代入即得
y 1 n z e
( 1 n ) P ( x ) dx ( 1 n ) P ( x ) dx ( Q ( x )(1 n)e dx C ).
0
x
f ( x )dx ( x 3 y )2 ,
0
x
ydx x 3 y,
y
Q
y x3
2 y y 3 x , 两边求导得
P
y f ( x)
解此微分方程
o
x
x
扬州环境资源职业技术学院基础部
y y 3 x 2
2 dx ye C 3 x e dx dx