一阶线性微分方程
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一阶线性微分方程
在工程中的应用
控制工程
01
在控制工程中，一Hale Waihona Puke 线性微分方程可以用来描述系统的动态特
性，如传递函数和稳定性分析。
信号处理
02
在信号处理中，一阶线性微分方程可以用来描述信号的滤波、
放大和传输等过程。
航天工程
03
在航天工程中，一阶线性微分方程可以用来描述火箭的发射、
卫星轨道和姿态控制等过程。
04
一阶线性微分方程的扩 展
一阶线性微分方程
目录
• 一阶线性微分方程的定义与形式 • 一阶线性微分方程的解法 • 一阶线性微分方程的应用 • 一阶线性微分方程的扩展
01
一阶线性微分方程的定 义与形式
定义
总结词
一阶线性微分方程是包含一个未知函数及其导数的一次项的方程。
详细描述
一阶线性微分方程的一般形式为 y' + P(x)y = Q(x)，其中 y 是未知函数，P(x) 和 Q(x) 是已知函数，' 表示导数。 这个方程包含未知函数 y 和它的导数 y'，且最高次项为一次。
变系数一阶线性微分方程
定义
变系数一阶线性微分方程是指方程中的系数是未知数的函数，而 不是常数。
解法
解变系数一阶线性微分方程需要使用特殊的方法，如换元法、变量 分离法等，以将方程转化为更易于解决的形式。
应用
变系数一阶线性微分方程在物理学、工程学和经济学等领域有广泛 的应用，例如振动问题、电路分析、人口动态等。
03
一阶线性微分方程的应 用
在物理中的应用
自由落体运动
一阶线性微分方程可以用来描述 物体在重力作用下的自由落体运 动，如速度和位移随时间的变化
一阶线性微分方程
积分得
u( x) Q( x)e
P( x)dx
于是非齐次线性方程的通解为
P( x)dx P( x)dx y e [ Q( x)e dx C ]
齐次线性方程的通解
齐次线性方程 yP(x )y0 的通解为 y Ce P( x)dx
非齐次线性方程的通解
d ( y 1 ) 1 1 即： y a ln x dx x
令zy1 则上述方程成为
dz 1 z a ln x dx x
这是一个线性方程 它的通解为
以y1代z 得所求方程的通解为
z x[C a (ln x)2 ] 2
yx[C a (ln x)2 ] 1 2
下列方程是什么类型方程？
(1)
dy 1 1 y (1 2 x) y 4 是伯努利方程. dx 3 3
dy (2) y xy5 是伯努利方程. dx x y (3) y 是伯努利方程. y x
(4) dy 2 xy 4 x 不是伯努利方程. dx
伯努利方程的解法 以yn除方程的两边 得
由通解公式得
2 dx y e x 1 [
5 2 dx ( x 1) 2 e x 1 dx C]
33 55 22 2 22 22 ((x x 1 1 )) [[ 2((x x 1 1 ))22 C C ]] ((x x 1 1 )) [[ ((x x 1 1 ))22((x x 1 1 )) dx dx C C ]]
齐次线性方程的通解
齐次线性方程 yP(x )y0 的通解为 y Ce P( x)dx
非齐次线性方程的通解
设非齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为
第三节 一阶线性微分方程
sin 2 y e cos y dy dy C
sin y
dy C
sin y
)C
e sin y [2 sin ye sin y 2 e sin y cos y dy C ]
2(sin y 1) Ce
sin y
将 x 1 , y 0 代入上式 , 得 C 3 ,
x0 P ( x )dx x x0 P ( x )dx ye dx y 0 . x0 Q ( x ) e
x x
小结
1.齐次线性微分方程
y P ( x ) y 0
y Ce P ( x )dx ;
2. 非齐次线性微分方程 (1) 公式
所求特解为 x 2(sin y 1) 3e sin y .
例6 如图所示，平行于 y 轴的动直线被曲 线 y f ( x ) (0 f ( x ) x 3 )与 y x 3 ( x 0) 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x ).
解
1 1 y ln ydy C ln y
1 1 2 2 (ln y ) C ln y
( x cos y sin 2 y ) y 1 例5 求特解 y x 1 0
1 解 将方程变形 , 得 dy , dx x cos y sin 2 y
y P ( x ) y Q ( x )
y e P ( x )dx [ Q( x ) e P ( x )dx dx C ];
P ( x )dx
( 2)令 y u( x )e
用常数变易法求解.
12.4一阶线性微分方程
x 解得 z x ( C ), 故原伯努利方程的同解为 2 4 x y x ( C )2 . 2
2
例6: 用适当的变量代换解下列微分方程:
1.
yy xy2 xe x ;
2 2
x 1 y xy xe y , 解: 将原方程变形为
实际上, 这是一个n=–1的伯努利方程. 令 z=y2, 则 dz dy dz x2 2 y , 所以, 原方程转化为 2 xz 2 xe , dx dx dx dz x2 先求方程 2 xz 0 的通解. 得: z ce . dx 2 2 2 x x x 令 z c( x )e , 则 z c( x )e 2 xc( x )e , 代入得, 2 2 2 2 x x x x c( x )e 2 xc( x )e 2 xc( x )e 2 xe ,
( 此处 mg k v 0 )
1 t 足够大时 利用初始条件, 得 C ln ( mg ) mg k k v k t mg 代入上式后化简, 得特解 v (1 e m ) k
例2 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲 3 线 y f ( x )与 y x ( x 0)截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x ).
令 y c( x )( x 1)2 , 则 y c( x )( x 1)2 2c( x )( x 1), 代入线性非齐次方程中, 得: c( x )( x 1)2 2c( x )( x 1) 5 1 2 2c( x )( x 1) ( x 1) 2 x 1 1 3 2 2 化简得: c( x ) ( x 1) , 得 c( x ) ( x 1) 2 c 3 故, 原非齐次方程的通解为: 3 2 y ( x 1)2[ ( x 1) 2 c ] 3 dy y . 例3: 求解微分方程 dx 2(ln y x ) dx 2(ln y x ) 2 2 ln y x . 解: 将方程改写为 dy y y y 这是一个关于函数x=x(y)的一阶线性非齐次方程,
2
例6: 用适当的变量代换解下列微分方程:
1.
yy xy2 xe x ;
2 2
x 1 y xy xe y , 解: 将原方程变形为
实际上, 这是一个n=–1的伯努利方程. 令 z=y2, 则 dz dy dz x2 2 y , 所以, 原方程转化为 2 xz 2 xe , dx dx dx dz x2 先求方程 2 xz 0 的通解. 得: z ce . dx 2 2 2 x x x 令 z c( x )e , 则 z c( x )e 2 xc( x )e , 代入得, 2 2 2 2 x x x x c( x )e 2 xc( x )e 2 xc( x )e 2 xe ,
( 此处 mg k v 0 )
1 t 足够大时 利用初始条件, 得 C ln ( mg ) mg k k v k t mg 代入上式后化简, 得特解 v (1 e m ) k
例2 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲 3 线 y f ( x )与 y x ( x 0)截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x ).
令 y c( x )( x 1)2 , 则 y c( x )( x 1)2 2c( x )( x 1), 代入线性非齐次方程中, 得: c( x )( x 1)2 2c( x )( x 1) 5 1 2 2c( x )( x 1) ( x 1) 2 x 1 1 3 2 2 化简得: c( x ) ( x 1) , 得 c( x ) ( x 1) 2 c 3 故, 原非齐次方程的通解为: 3 2 y ( x 1)2[ ( x 1) 2 c ] 3 dy y . 例3: 求解微分方程 dx 2(ln y x ) dx 2(ln y x ) 2 2 ln y x . 解: 将方程改写为 dy y y y 这是一个关于函数x=x(y)的一阶线性非齐次方程,
§7.4 一阶线性微分方程
dz 2 xz xex2 , z e 2 xdx[
判别下列方程类型:
(1) x dy y xy dy
dx
dx
(2) x dy y (ln y ln x) dx
(3) ( y x3) dx 2x dy 0
(4) 2 y dx ( y3 x) dy 0
(5) ( y ln x 2) y dx x dy
提示:
②在数学方面，有关微积分、微分方程和概率论等，他也做 了大量而重要的工作。
2.3、伯努利方程的解法
解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.
两 端 除 以yn， 得 yn dy P( x) y1n Q( x), dx
令z y1n , 则 dz (1 n) yn dy ，
dx
dy P( x) y Q( x) yn (n 0,1)
dx
1当n 0,1时，方程为线性微分方程.
当n 0时，dy P( x) y Q( x)为非齐次;
dx
当n 1时，dy [P( x) Q( x)]y 0为齐次的; dx
2当n 0,1时，方程为非线性微分方程
两边求导,得： y=C(x)e x22xC(x)e x2
将y、y代入原方程,得：
C´(x)ex2 2xC(x)ex2 2xC(x)ex2 xex2 C'(x) x C(x) 1 x2 C
故通解为 y ex2 ( 1 x2 C) 2 2
⑵公式法 原方程为：y 2xy xe-x 2
ex2 [
1
e x2
e
2
xdx
dx
C]
x
ex2 [
高数-一阶线性微分方程
(x
1) 2
2 3
(x
1)
3 2
C
注意：找正确P(x)和 Q(x).
例2. 求方程 (x2 1) y'2xy cos x 0, y(0) 1 特解。
解一: 整理方程得
y'
2x x2 1
y
cos x x2 1
对应的齐次方程
y'
x
2
2
x
1
y
0的通解为
y
C x2 1
(齐通)
(常数变易法) 令
dx
(2)
dy 3y 8 , dx
y |x0 2
(3)
( y2 6x) dy 2 y 0 dx
(4)
dy dx
2x
y
y3
,
y
x1
1
答案： (1) y (x 2)3 C(x 2)
(2)
y
2 3
(4
e3x )
(3) x Cy3 1 y2
2
(4) x y3
*二、伯努利 ( Bernoulli )方程
令 P(x) x, Q(x) 2x
方程的通解
y
e P( x)d x
Q(
x)
e
P
(
x
)
d
xd
x
C
e
x
d
x
2
x
e
x
d
x
d
x
C
1 x2
e2
2
x
e
1 2
x2
d
x
C
2
C
1 x2
e2
1 x2
由y(0) 2 得 C 4. 即 y 2 4 e2
一阶线性微分方程
dx
的微分方程, 称为伯努利(Bernoulli) 方程.
2.解法 方程两端同除yn，得
yn dy P( x) y1n Q( x) dx
令z y1n , 得 dz (1 n)P( x)z (1 n)Q( x).
dx 求出通解后，将 z y1n 代入即可.
例 3 求方程 dy 4 y x2 y 的通解. dx x
1 而方程两端同乘函数 x2 后，得
xdy ydx x2
d
y x
0
是全微分方程， 所以 1 是原方程的一个 x2
积分因子.
原方程的通解为 y C . x
导数，且
Q P x y
则称该方程为全微分方程，或恰当方程.
2. 解法 若微分方程
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
是全微分方程.
则存在u( x, y),使
du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy
原方程变为 du( x, y) 0
全微分方程通解为 u( x, y) C.
将 u x y 代回, 所求通解为
y ln( x y 1) C, 或 x C1e y y 1
另解 方程变形为 dx x y. 一阶线性微分方程. dy
第五节 全微分方程
1. 定义 如果一阶微分方程
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
中的P( x, y)，Q( x, y)在单连域G内具有一阶连续偏
(3)
Ce P( x)dx e P( x)dx
Q(
x
)e
P
(
x
)dx
dx
对应齐次 方程通解
非齐次方程的特解
例1 求方程 y 1 y sin x 的通解. xx
的微分方程, 称为伯努利(Bernoulli) 方程.
2.解法 方程两端同除yn，得
yn dy P( x) y1n Q( x) dx
令z y1n , 得 dz (1 n)P( x)z (1 n)Q( x).
dx 求出通解后，将 z y1n 代入即可.
例 3 求方程 dy 4 y x2 y 的通解. dx x
1 而方程两端同乘函数 x2 后，得
xdy ydx x2
d
y x
0
是全微分方程， 所以 1 是原方程的一个 x2
积分因子.
原方程的通解为 y C . x
导数，且
Q P x y
则称该方程为全微分方程，或恰当方程.
2. 解法 若微分方程
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
是全微分方程.
则存在u( x, y),使
du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy
原方程变为 du( x, y) 0
全微分方程通解为 u( x, y) C.
将 u x y 代回, 所求通解为
y ln( x y 1) C, 或 x C1e y y 1
另解 方程变形为 dx x y. 一阶线性微分方程. dy
第五节 全微分方程
1. 定义 如果一阶微分方程
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
中的P( x, y)，Q( x, y)在单连域G内具有一阶连续偏
(3)
Ce P( x)dx e P( x)dx
Q(
x
)e
P
(
x
)dx
dx
对应齐次 方程通解
非齐次方程的特解
例1 求方程 y 1 y sin x 的通解. xx
一阶线性微分方程
y x
2
线性非齐次方程
线性齐次方程
y cos y 1
y y 2 xy 3 ,
非线性
2、一阶线性微分方程的解法 引例 考虑一阶线性微分方程
（齐次方程） （非齐次方程） ① ②
求①的通解，并验证
是②的通解. . 代入②，方程成立，
解: 由分离变量得齐次方程的通解为 将
故是解. 又因为含有一个任意常数，故是通解.
例6. 求方程 解: 令 z y
1
的通解.
, 则方程变形为
z x
1
dz dx
a ln x
其通解为
ze
x
dx
(a ln x) e
a 2 ( ln x)
2
dx
x
1
dx C
x C
将 z y 1代入, 得原方程通解:
作 业
P315 1 (3) , (6) , (9) ;2 (5) ; 6 ; 7 (5)
暂态电流
稳态电流
小结 求解一阶线性微分方程的方法:
dy dx P( x) y Q( x)
1、常数变易法求解一阶线性微分方程的步骤:
(1) 将方程化为标准形式，确定 P(x) 和 Q(x)； (2) 求对应的齐次方程的通解 y C e
P( x) d x
；
（常数变易）
(3) 设原方程的通解为 y C ( x) e P ( x ) d x ，代回原
xe
P( y)d y
P( y)d y Q( y ) e d y C ，得
xe
y
y e
y
dy C
高等数学第七章4节一阶微分线性方程
一阶齐次线性微分方程 一阶非齐次线性微分方程
2
设
dy P x y Qx dx
（1）
dy 为一阶非齐次线性微分方程， 则方程 Px y 0 dx
称为对应于（1）的齐次线性微分方程.
2. 一阶齐次线
dy P x y 0, dx dy 得 P x dx , y dy P x dx , y
u x Q x e P x dx dx C .
求得() 的通解为：
y [ Q x e P x dx dx C ]e P x dx .
7
或
y Ce P x dx e P x dx Q x e P x dx dx
第四节
一阶线性微分方程
dy P x y Qx dx
一、一阶线性微分方程 二、伯努利方程
dy P x y Q x y n dx
n 0 ,1
1
一、一阶线性微分方程
1.定义 形如
dy 称为一阶线性微分 P x y Q x 的方程， dx
将 y u x e
P x dx
代入() ， 得
u x e
即 积分得
P x dx
u x e
P x dx
P x
P x u x e
P x dx
Q x
P x dx u x Q x e
齐次线性微分方程的通解
非齐次线性微分方程的特解
即 非齐次线性微分方程的通解等于对应的齐次线性方程的通解 与非齐次线性方程的一个特解之和.
8
5 dy 2y x 1 2 的通解 . 例1 求方程 dx x 1
一阶线性微分方程
高等数学之——
8.3 一阶线性微分方程
第三节 一阶线性微分方程
一.一阶线性微分方程的概念 二.一阶线性微分方程的解法
一、一阶线性微分方程的概念
1. 一阶线性微分方程的定义 在微分方程中，若未知函数及其导数都是一次的，则称其为
一阶线性微分方程.其标准式为：
d y P(x)y Q(x) dx
.
A.
A.是
B.否
四、小结
1.一阶线性齐次微分方程 dy P(x) y 0
dx
通解： y Ce P（x）dx
2.一阶线性非齐次微分方程 dy P(x) y Q(x) , Q(x) 0
dx
通解：
y
e P( x)dx
Q(
x)e
P
(
x
)
dx
dx
C
只看等式右端不能下结论，要变形为标准式.
例如： 3x2 5 y 0
y 3 x2
5
是一阶线性非齐次微分方程
二、一阶线性齐次微分方程的解法
1.一般式
dy P( x) y 0 dx
分离变量
(2) 1 dy P(x)dx y
2.解法
分离变量法
两边积分 通解
ln | y | P ( x)dx C1 | y | e P ( x )dx C1 y eC1 e P ( x )dx
则通解为
y
e 1dx
3x
e
1dx
dx
C
ex 3
xe
x
dx
C
ex 3 xd (ex ) C
8.3 一阶线性微分方程
第三节 一阶线性微分方程
一.一阶线性微分方程的概念 二.一阶线性微分方程的解法
一、一阶线性微分方程的概念
1. 一阶线性微分方程的定义 在微分方程中，若未知函数及其导数都是一次的，则称其为
一阶线性微分方程.其标准式为：
d y P(x)y Q(x) dx
.
A.
A.是
B.否
四、小结
1.一阶线性齐次微分方程 dy P(x) y 0
dx
通解： y Ce P（x）dx
2.一阶线性非齐次微分方程 dy P(x) y Q(x) , Q(x) 0
dx
通解：
y
e P( x)dx
Q(
x)e
P
(
x
)
dx
dx
C
只看等式右端不能下结论，要变形为标准式.
例如： 3x2 5 y 0
y 3 x2
5
是一阶线性非齐次微分方程
二、一阶线性齐次微分方程的解法
1.一般式
dy P( x) y 0 dx
分离变量
(2) 1 dy P(x)dx y
2.解法
分离变量法
两边积分 通解
ln | y | P ( x)dx C1 | y | e P ( x )dx C1 y eC1 e P ( x )dx
则通解为
y
e 1dx
3x
e
1dx
dx
C
ex 3
xe
x
dx
C
ex 3 xd (ex ) C
第四节 一阶线性微分方程
ln | x + y + 1 |= y + ln | C |,
通解为
x = Ce − y − 1.
y
小结
1.一阶线性齐次微分方程 一阶线性齐次微分方程 2.一阶线性非齐次微分方程 2.一阶线性非齐次微分方程 3.伯努利方程 伯努利方程
令 y1−n = z;
思考与练习
判别下列方程类型: 判别下列方程类型 dy dy (1) x + y = xy dx dx dy (2) x =y (ln y − ln x) dx 提示: 提示 y −1 dx 可分离 dy = 变量方程 y x dy y y = ln 齐次方程 dx x x dy 1 x2 一阶线性非 − y =− dx 2x 2 齐次方程 2 dx 1 y 一阶线性非 − x = − 齐次方程 dy 2 y 2 dy 2 ln x 2 伯努利 + y= y 方程 dx x x
∫ P ( x ) dx + y(e ∫ P ( x )dx )′ = 0, y′e
∫ P ( x )dx )′ = 0, ( ye
故通解为
∫ P ( x ) dx = C , ye
− P( x )dx
∫ y = Ce
.
dy + P(x) y = Q(x) 2. 解非齐次方程 dx −∫ P( x) d x 常数变易法: 用常数变易法 作变换 y(x) = u(x) e ,则 −∫ P( x) d x −∫ P( x) d x −∫ P( x) d x + P(x) u e = Q(x) u′ e − P(x) u e
所求通解为
ye
x y
=C
可化为一阶线性的微分方程 -------伯努利方程 伯努利方程
一阶线性微分方程
一阶线性微分方程在数学的领域中，微分方程是一种描述函数关系的方程。
一阶线性微分方程是其中一种常见的微分方程类型，其具有如下的一般形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)在这个方程中，y是未知函数，x是自变量。
P(x)和Q(x)是已知函数。
解决一阶线性微分方程的方法之一是使用积分因子的方法。
通过适当选择一个积分因子来将方程转化为可积的形式，从而得到其解。
具体地，我们可以按照以下步骤来解决一阶线性微分方程：步骤1：将方程转化为标准形式需要将一阶线性微分方程转化为以下形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)通过移项，得到：dy/dx = -P(x)y + Q(x)步骤2：确定积分因子确定积分因子μ(x)的一种常用方法是将方程乘以一个因子，并使乘积的系数等于∂(μ(x)y)/∂x。
因此，我们可以通过以下公式来确定积分因子：μ(x) = e^∫P(x)dx步骤3：将方程乘以积分因子将方程乘以积分因子μ(x)：μ(x)dy/dx + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x)得到：d[μ(x)y]/dx = μ(x)Q(x)步骤4：对方程进行积分对上述方程两边进行积分，得到：∫d[μ(x)y]/dx dx= ∫μ(x)Q(x) dx化简后得到：μ(x)y = ∫μ(x)Q(x) dx + C其中，C是常数。
步骤5：解出未知函数y解方程μ(x)y = ∫μ(x)Q(x) dx + C，求出未知函数y的表达式。
以上就是解决一阶线性微分方程的步骤。
通过选取适当的积分因子，将方程转化为可积的形式，并通过积分求解得到未知函数的表达式。
总结起来，一阶线性微分方程的求解过程可以分为五个步骤：将方程转化为标准形式、确定积分因子、将方程乘以积分因子、对方程进行积分、解出未知函数y。
这些步骤能够帮助我们解决一阶线性微分方程的问题。
通过学习和掌握一阶线性微分方程的方法，我们可以应用它们解决各种实际问题，如物理学、生物学、经济学等领域中的相关问题。
一阶线性微分方程
dx 等，都不是线性方程.
一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下:
1.先求 dy P(x) y 0 (2) 的通解： dx
分离变量后得
dy P(x)dx y
任意常数写成ln C的形式，得
ln y P(x)dx ln C，
化简后，方程(2)的通解为
y Ce P(x)dx，
dx x y3 1 x y2， 即 dy y y
dx 1 x y2 , dy y
(7)
对于未知函数x(y为自变量)来说，所给方程就是
一阶线性非齐次方程，对未知函数x的一阶线性
非齐次方程
dx P( y)x Q( y)
(8)
dy
的通解公式为
x e P( y)dy[ Q( y)e P( y)dydy C]
P(t
) dt dt
C
e
k dt
m[
g ge
k dt
m dt
C
k t
e m (g
kt
em dt
C)
e
kt m
(
mg
kt
em
C)
mg
kt
Ce m .
k
k
故得通解为
v
mg
kt
Ce m .
k
注意方程(10)也可分离变量为
dv = dt ， mg kv m
1 cos
x
sec
x
cos
xdx
C
1 cos
x
dx
C
一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下:
1.先求 dy P(x) y 0 (2) 的通解： dx
分离变量后得
dy P(x)dx y
任意常数写成ln C的形式，得
ln y P(x)dx ln C，
化简后，方程(2)的通解为
y Ce P(x)dx，
dx x y3 1 x y2， 即 dy y y
dx 1 x y2 , dy y
(7)
对于未知函数x(y为自变量)来说，所给方程就是
一阶线性非齐次方程，对未知函数x的一阶线性
非齐次方程
dx P( y)x Q( y)
(8)
dy
的通解公式为
x e P( y)dy[ Q( y)e P( y)dydy C]
P(t
) dt dt
C
e
k dt
m[
g ge
k dt
m dt
C
k t
e m (g
kt
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C)
e
kt m
(
mg
kt
em
C)
mg
kt
Ce m .
k
k
故得通解为
v
mg
kt
Ce m .
k
注意方程(10)也可分离变量为
dv = dt ， mg kv m
1 cos
x
sec
x
cos
xdx
C
1 cos
x
dx
C
一阶线性微分方程
齐次方程通解
高等数学（ZYH）
非齐次方程特解
例1. 解方程
d y 2d x d y 2y 0, 即 解: 先解 y x 1 dx x 1 积分得 即 y C ( x 1) 2 2 则 用常数变易法求特解. 令 y u ( x) ( x 1) ,
y u ( x 1) 2 2 u ( x 1)
ln y P( x)d x ln C
故通解为
高等数学（ZYH）
y C e P ( x )d x
dy P( x) y Q( x) 2. 解非齐次方程 dx
P( x) d x 则 用常数变易法: 作变换 y ( x) u ( x) e ,
u e
即
P( x) d x
代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为
高等数学（ZYH）
3 2 u ( x 1) 2 C 3
d y 0 的通解 . dx 解: 注意 x, y 同号, 当 x 0 时, 2 d x , 故方程可 x 变形为 这是以 x 为因变量, y为
由一阶线性方程通解公式 , 得
§12.4 一阶线性微分方程
一、一阶线性微分方程 二、伯努利方程
一、一阶线性微分方程 dy P( x) y Q( x) 一阶线性微分方程标准形式: dx 若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ; 0, 称为非齐次方程 . dy P( x) y 0 1. 解齐次方程 dx 分离变量 两边积分得 若 Q(x)
P( x) u e
P( x) d x
P( x) u e
P( x) d x
Q( x)
P ( x )d x 对应齐次方程通解 y C e P( x) d x 两端积分得 u Q( x) e dx C
一阶线性微分方程.
2
2x dx x2 1
x2 1
1 4x 2 ( x 2 1)dx C
x2 1 x2 1
1 4x 2dx C
x2 1
1 4 x 3 C .
x2 1 3
5
将 y 代入上式,得 C 2, 所以所求特解为:
再用常数变异法求原方程的解.设
y u( x)( x 1)2
为原方程的解,代入原方程并整理,得
u( x) x 1
两端积分,得
1 u( x) x 2 x C
2
所以原方程的通解为:
1 y ( x 1)2 ( x 2 x C )
2
例4 求方程 ( x 2 1) y 2xy 4x 2 0 满足初
将 y 0 代入通解,得 C 2, 于是所求曲线方程 x0
为:
y 2(e x x 1)
例6 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲
线 y f ( x)与 y x3 ( x 0)截下的线段PQ之
长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x).n2 y C ；
3、 x Cy3 1 y2. 2
二、1、 y sin x 5ecos x 1；
2、2 y
x3
x
3
e
1 x2
1
.
三、v
k1 k2
t
k1m k22
(1
k0 t
em
).
四、1、 xy x C ；
2、
x y
2 2
C
2 3
3、 dy dx
一阶线性微分方程
微积分Calculus一阶线性微分方程一定义一阶线性微分方程标准形式:)()(d d x Q y x P x y=+若Q (x ) ≡0, 若Q (x ) ≡0, 称为非齐次方程.称为齐次方程;0)(d d =+y x P x y 分离变量两边积分得C x x P y ln d )(ln +−=⎰故通解为xx P e C y d )(⎰−=二一阶线性齐次微分方程的解法的通解为一阶线性齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程的通解是怎样的？我们已知，那么，三一阶线性非齐次微分方程的解法是一阶线性非齐次微分方程，将方程变形为很容易看出方程的左边，正好是求导之后的结果，xy 即两边同时积分得即（原方程的通解）例我们得到一个很重要的方法：积分因子法即对于如下的微分方程，关键是找到积分因子I(x)我们来推导出这个积分因子的结构。
)()(x Q y x P dx dy=+I(x)得在方程两边同时乘上即则方程的通解可以很容易获得。
所以为了找到积分因子，我们必须研究将它展开得整理后得因为只要找到一个积分因子就行，故可令，得C=1这是一个关于的可分离变量的微分方程，I(x)所以可得用积分因子法求解一阶线性非齐次微分方程，只需要在方程的两边同时乘以积分因子再两边同时积分即可得到通解为：方法总结对应齐次方程通解xx P e C y d )(⎰−=常数变易法:,)()(d )(⎰−=x x P e x u x y 则⎰−'x x P e u d )()(x P +⎰−x x P e u d )()(x Q =即作变换⎰−−x x P e u x P d )()(Cx e x Q u x x P +=⎰⎰d )(d )(两端积分得齐次方程通解非齐次方程特解⎰−x x P Ce d )(故原方程的通解xe x Q e x x P x x P d )(d )(d )(⎰⎰⎰−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰⎰−C x e x Q e y x x P x x P d )(d)(d )(=y 即用常数变易法求解一阶线性非齐次微分方程，只需要先求出对应的齐次微分方程的通解，然后做常数的变易并代回到原微分方程中去，通过方法总结积分即可得到原微分方程的通解dy dx +3x2y=6x2四相关练习例二解方程解这是一阶线性非齐次方程，积分因子为I(x)=e3x2dx=e x3方程两边同时乘以，可得e x3两边同时积分，可得即通解为解: 先解,012d d =+−x y x y 即1d 2d +=x x y y 积分得即2)1(+=x C y y =23(x +1)ൗ32+C 例三解方程)1(2)1(2+⋅++⋅'='x u x u y 代入非齐次方程得解得故原方程通解为用常数变易法求特解. 令,)1()(2+⋅=x x u y 则。
一阶线性微分方程
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
Ce P( x)dx e P( x)dx
Q(
x
)e
P
(
x
)dx
dx
对应齐次
非齐次方程特解
方程通解
例1 解方程
解: 先解
dy 2y 0 ,即 dx x 1
dy 2dx y x 1
齐次方程
dx x x
dy dx
1 2x
y
x2 2
线性微分方 程
dx
1
x
y
2
线性微分方
dy 2y
2程
(5) ( y ln x 2) y dx x dy d y 2 y ln x y2 伯努利
dx x x
方程
伯努利(1654 – 1705)
( 雅各布第一 ·伯努利 )
瑞士数学家, 他家祖孙三代出过十多 位数学家. 1694年他首次给出了直角坐 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 年提出了著名的伯努利方程, 1713年出 版了他的巨著《猜度术》, 这是组合数学与概率论史 上的一件大事, 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 此外, 他对 双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .
dy y
P
(
x)dx,
ln y P(x)dx C1,
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
2.非齐次线性方程
dy P( x) y Q( x). dx
讨论
dy y
Q( x) y
一阶线性微分方程
2
由 y | x = 0 = 0, 得 C = 6,
所求曲线为 y = 3( 2e
x
+ x 2 x + 2).
2
二、伯努利方程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dy 4 3 2 例 求方程 y = x y 的通解. dx x 2 方 程 两 边 同 除 以 y ,得 注意到 1 dy 4 1 3 =x 2 1 dy d 1 y dx x y = 2 1 y dx dx y 令z = ， 则 y
1 n
伯努利方程的一般形式： 伯努利方程的一般形式： dy n + P ( x ) y = Q ( x ) y ( n ≠ 0,1) dx 1 n n dy 解法： 解法： 形 y 变 + P ( x) y = Q( x) dx
求出通解后， 求出通解后，将 z
=y
1 n
代回即得. 代回即得.
dy 4 2 例 3 求方程 y = x y 的通解. dx x
y=0
如图所示, 平行于y轴的动直线被曲线 例2 如图所示, 平行于 轴的动直线被曲线
y = f (x)与 y = x ( x ≥ 0) 截下的线段 之长 截下的线段PQ之长 数值上等于阴影部分的面积, 数值上等于阴影部分的面积,求曲线 y = f ( x). 解 由题意，有 由题意，
3
∫0
x
f ( x )dx = ( x y ) ,
第四节 一阶线性微分方程
一、线性微分方程
一阶线性微分方程： 一阶线性微分方程： 未知函数及其导数都是一次的微分方程. 未知函数及其导数都是一次的微分方程.
dy 一般形式 + P( x) y = Q( x) dx 称为齐次线性微分方程 齐次线性微分方程. 当Q ( x ) ≡ 0, 称为齐次线性微分方程. 称为非齐次线性微分方程 非齐次线性微分方程. 当Q( x) ≡ 0, 称为非齐次线性微分方程. dy 2 2 dx 线性的; = y + x , = x sin t + t 线性的; 例如 dt dx
由 y | x = 0 = 0, 得 C = 6,
所求曲线为 y = 3( 2e
x
+ x 2 x + 2).
2
二、伯努利方程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dy 4 3 2 例 求方程 y = x y 的通解. dx x 2 方 程 两 边 同 除 以 y ,得 注意到 1 dy 4 1 3 =x 2 1 dy d 1 y dx x y = 2 1 y dx dx y 令z = ， 则 y
1 n
伯努利方程的一般形式： 伯努利方程的一般形式： dy n + P ( x ) y = Q ( x ) y ( n ≠ 0,1) dx 1 n n dy 解法： 解法： 形 y 变 + P ( x) y = Q( x) dx
求出通解后， 求出通解后，将 z
=y
1 n
代回即得. 代回即得.
dy 4 2 例 3 求方程 y = x y 的通解. dx x
y=0
如图所示, 平行于y轴的动直线被曲线 例2 如图所示, 平行于 轴的动直线被曲线
y = f (x)与 y = x ( x ≥ 0) 截下的线段 之长 截下的线段PQ之长 数值上等于阴影部分的面积, 数值上等于阴影部分的面积,求曲线 y = f ( x). 解 由题意，有 由题意，
3
∫0
x
f ( x )dx = ( x y ) ,
第四节 一阶线性微分方程
一、线性微分方程
一阶线性微分方程： 一阶线性微分方程： 未知函数及其导数都是一次的微分方程. 未知函数及其导数都是一次的微分方程.
dy 一般形式 + P( x) y = Q( x) dx 称为齐次线性微分方程 齐次线性微分方程. 当Q ( x ) ≡ 0, 称为齐次线性微分方程. 称为非齐次线性微分方程 非齐次线性微分方程. 当Q( x) ≡ 0, 称为非齐次线性微分方程. dy 2 2 dx 线性的; = y + x , = x sin t + t 线性的; 例如 dt dx
一阶线性微分方程
y u ( x 1) 2 2 u ( x 1)
代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为
3 2 u ( x 1) 2 C 3
例6 求一阶线性方程通解 dy sin x y cos x e dx cos xdx 解：齐次方程通解： y Ce
注：
当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时，方程为非线性微分方程.
例 求方程
dy 4 y x y ( y 0, x 0) 的通解。 dx x
解：这是伯努利方程 ，其中
则
课堂练习题:求
解:由标准形式知
的特解
则 通解 由
得
所求特解为:
内容小结
一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式
1 dx e x dx
1 dx x
dy 1 2 y x 的通解 例2 求一阶线性方程 dx x
解：
1 P( x) , Q( x) x 2 x
P( x)d x P( x)d x [ Q( x)e dx C ]
则通解为
ye
即：
1 2 x xdx C x( x C ) 2
例如
dy y x 2 , dx x sin t t 2 , dx dt
线性的;
yy 2 xy 3,
y cos y 1,
非线性的.
1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为
dy P( x) y 0 dx
(使用分离变量法)
ln y P( x)d x ln C
三、一阶线性微分方程
定义3 如果方程中未知函数的导数（微分） 的最高阶数是一阶的，且所含未知函数及导 数（微分）都是一次幂的，则称这种方程为 一阶线性微分方程。
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研究 两边积分，得 即
这是齐次微分方程（2）的通解．
（二）一阶线性非齐次微分方程的解法 一阶线性非齐次微分方程 (1)的解可用“常数变易 法”求得．这种方法是将(1)的通解中的任意常数C， 换为x的函数C(x)，即令
两边求导，得 将y、 的表达式代入方程(1)，得
两边积分，得
将此式代入
，便得非齐次线性微分方
解 设t时刻容器中含盐量为x g，容器中含盐量的变 化率为
盐流入容器的速度－盐流出容器的速度 （1）
盐流入容器的速度=2（g/L）×5（L/min） =10(g/min)
盐流出容器的速度=
（g/L）×3 （L/min）
=
(g/min)
由式（1）得
即
此一阶线性微分方程的特点是：未知函数及其 导数都是一次的．
电流6A，求在任何时刻t电路中的电流．
解 （1）建立微分方程
这里
,R=10,L=0.5,将其代入RL电路中电流
应满足的微分方程，得
初始条件为 ．
（2）求通解 此方程是一阶线性微分方程，应用公式(3)，得通解
（3）求特解 将t=0时,I=6代入通解，得
解之，得
所以，在任何时刻t的电流为
练习3 [RC回路] 在一个包含有电阻R(单位： ),电容C(单位：F)和电 源E(单位：V)的RC串联回路中,由回路电流定律,知电 容上的电量q(单位：C)满足以下微分方程
二阶常系数线性齐次微分方程的一般形式为
(1)
其中p , q均为常数．
由定理2可知，只要找出方程(3)的两个线性特解y1与y2
且，即可得(1)的通解．当r为常数时，指数函数
和它的
各阶导数都只相差一个常数因子．
由于指数函数具有这样的特点，因此可用
y = erx来试解（r是待定常数）．
将
，
，
代入方程(1)得
3. [电路中的电流]在上题中，用发电机代替电池，电 阻和感应系数不变，发电机产生的电压为 E(t)=60sin30t V，求I(t). 4. [RC回路]一个RC回路中有电源100V，电阻5 ，
电容0.02F和最初有5C电量的电容，求在任意时刻t 电容上的电量和电路中的电流.
4.3 二阶常系数线性微分方程
4.2 一阶线性微分方程
一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 四、实训
一、案例 [溶液的混合]
一容器内盛有50L的盐水溶液，其中含有10g 的盐．现将每升含盐2g的溶液以每分钟5L的速度注 入容器，并不断进行搅拌，使混合液迅速达到均匀， 同时混合液以3L/min的速度流出溶液，问任一时刻 容器中含盐量是多少？
研究 解之，得 ． 于是
再由电流与电量的关系
，得
四、实训
1．[曲线方程] 已知一曲线过原点，它在点任意点(x,y)
处的切线斜率等于2x+y，求此曲线方程 。
2. [RL电路] 在一个RL电路中，电阻为12欧姆，感应 系数为4亨利，如果电池提供60V的电压，当t=0时开 关合上，电流初值为I(0)=0.求: (1)I(t); (2)1s后的电流。
一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 四、实训
一、引例 [弹簧的运动方程] 将一弹簧置于油中，其运动满足以下微分方程
此方程为二阶微分方程，其特点是：未知函数及 其一、二阶导数的幂次都是一次的，且未知函数 及其导数的系数均为常数．
形如 (1)
方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，其 中p、q是常数 .
二、二阶常系数齐次线性微分方程解的结构
(1)若y1，y2是二阶线性齐次微分方程 (1)的两个解，则
也是方程(1)的解，其中C1，C2为任意常数．
(2)若 常数，则
是该方程（1）的通解.
将
代入方程(1)得
由于
所以
中含有两个独立的
任意常数，所以它是方程(4.4.1)的通解．
三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法
若回路中有电源 400cos 2tV,电阻100 ，电容 0.01F，电容上没有初始电量.求在任意时刻t 电路中的电流． 解 （1）建立微分方程，我们先求电量q.
因为 代入RC回路中电量q应满足的微分方程，得
初始条件为 .
（2）求通解 此方程是一阶线性微分方程，应用公式(3)，得
将t=0,q=0代入上式，得
由题意知初始条件为
．
二、概念及公式的引出
一阶线性微分方程
形如
(1)
线性 线性
的微分方程称为一阶线性微分方程．当Q(x)恒等于零时, 方程(1)称为齐次微分方程；当Q(x)不恒为零时，方程 (1))非齐次微分方程．
（一）一阶线性齐次微分方程的解法 在方程(1)中，若 ，则
（2） 是可分离变量微分方程，分离变量，得
有
(2)
这就是说，只要r是代数方程(2)的根，
特征方程(2)是一个二次方程，它的根有三 种情况，因此方程(1)的通解也有三种情况：
➢ 1°当
时，特征方程(4)有两
个不相等的实根r1及r2，此时方程(3)有
两个特解
与
因为
常数，方程(1)的通解为
➢ 2°当 相等的实根
时，特征方程(2)有两个 这时只得到方程(1)
方程 (1)的通解为
(*)
将通解公式(*)改写成两项之和为
(3)
齐次方程 的通解
非齐次方 程的特解
式(3)右端第一项是对应的齐次方程(2)的通解， 第二项是非齐次线性方程(1)的一个特解． 由此可知一阶非齐次线性方程的通解等于对应 的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和．
三、进一步的练习 练习1[案例的求解] 解 (1)求通解 为求通解可以先求出对应齐次方程的通解，然后 应用常数变易法，这里，我们直接应用公式(3).
（2）求特解 将初始条件 代入通解，得C=-22500 所以，在时刻t容器中的含盐量为
练习2 [RL电路] 在一个包含有电阻R(单位： )，电感L(单位：H) 和电源E(单位：V)的RL串联回路中，由回路电流
定律，知电流(单位：A)满足以下微分方程
若电路中电源
V,电阻10 ,电感0.5H和初始
的一个特解
。可以验证
也是方程(1)的一个特解，且
所以方程(1)的通解为
常数，
➢ 3°当 有一对共轭复根
时，特征方程(2)
其中
这时方程(1)有两个复数形式的解
可以验证，函数
与
为方程(1)的两个实数形式的解，且
因此方程(1)的通解为
常数，
综上所述，求二阶常系数线性齐次微分方程
的通解步骤如下： (1)写出微分方程(1)的特征方程 (2)求出特征方程(2)的两个根 (3)根据两个根的不同情况，按下表写出微分