一阶线性微分方程的概念与解的结构

且
P(
x)

1
2 x2
x
,
则


P( x)dx



2 x

1 x2
dx

ln
x2

1 x
,
由通解公式得该方程的通解 1 y Cx2e x ,
将初始条件 y(1) = e 代入通解， 得 C = 1.
故所求特解为
1
y x2e x .
2.一阶线性非齐次方程的解法
设 y = C(x)y1 是非齐次方程的解，将 y = C(x)y1 (其中 y1 是齐次方程 y + P (x) y = 0 的解)及其导数 y = C (x) y1 + C(x) y1 代入方程
的通解为
y 1 y 0 x
yC. x
设所给线性非齐次方程的通解为
y C(x) 1 . x
将 y 及 y代入该方程，得
于是，有
C( x) 1 1 cos x, xx
C( x) cos xdx sin x C.
因此，原方程的通解为 y (sinx C) 1 C 1 sin x. x xx
是可分离变量方程. 分离变量，得
两边积分，得
dy P( x)dx, y
ln y P( x)dx lnC,
所以，方程的通解公式为
y


Ce

P(
x )dx
.
例 6 求方程 y + (sin x)y = 0 的通解. 解 所给方程是一阶线性齐次方程，且 P(x) = sin x， 则
程的通解为 x
y Ce 2 , x
设所给线性非齐次方程的解为 y C( x)e 2 ,
将 y 及 y 代入该方程，得
x
C( x)e 2

1 ex,
2
于是，有
C( x)
1e
x 2
dx

ห้องสมุดไป่ตู้
x
e2

C,
2
因此，原方程的通解为
x
x
y C( x)e 2 Ce 2 e x .
解法二 运用通解公式求解．
C( x) y1 Q( x),
其中 y1 与 Q(x) 均为已知函数，所以可以通过积分 求得
C
(
x)


Q( x)dx y1

C
,
代入 y = C (x)y1 中，得
Q( x)
y Cy1 y1
dx. y1
容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程
y P( x) y Q( x),
若 Q (x) 0，则方程成为
y P( x) y 0,
②
称为一阶线性齐次微分方程，简称线性齐次方程，
若 Q (x) 0，则称方程 ① 为一阶线性非齐次微分 方程，简称线性非齐次方程. 通常方程 ② 称为方程 ① 所对应的线性齐次方程.
1.一阶线性齐次方程的解法
一阶线性齐次方程
y P(x) y 0
二、伯努利方程
方程 dy p(x) y Q(x) yn dx
称为伯努利方程。当n=0或1时，该方程是线性方 程；当n≠0或1时，该方程不是线性的，但是通过 变量替换，可以把它化为线性的。
如以yn除以方程两边，得
yn dy p(x) y1n Q(x), dx
令
z y1n
则 dz (1 n) yn dy
将初始条件 y() = 1 代入，得 C = ， 所以， 所求的特解，即初值问题的解为
y 1 ( sin x). x
例 10 求方程 y2dx + (x - 2xy - y2)dy = 0 的通解. 解 将原方程改写为
dx dy

12y y2
x

1,
这是一个关于未知函数 x = x(y) 的一阶线性非齐次
,
2
代入通解公式，得原方程的通解为
xx
x
y (C e 2 )e 2 Ce 2 e x .
例 9 求解初值问题．
xy y cos x,

y()

1.
解 使用常数变易法求解．
将所给的方程改写成下列形式：
y 1 y 1 cos x, xx
则与其对应的线性齐次方程
且含有一个任意常数，所以它是一阶线性非齐次方程
的通解
y P( x) y Q( x)
在运算过程中，我们取线性齐次方程的一个解为
y1


e

P
(
x
)dx
,
于是，一阶线性非齐次方程的通解公式，就可写成：
y e P( x)dx C Q( x)e P( x)dxdx.
上述讨论中所用的方法，是将常数 C 变为待定 函数 C(x)， 再通过确定 C(x) 而求得方程解的方法， 称为常数变易法.
例 8 求方程 2y - y = ex 的通解.
解法一 使用常数变易法求解．
将所给的方程改写成下列形式：
y 1 y 1 ex , 22
这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方
P( x)dx sin xdx cos x,
由通解公式即可得到方程的通解为 y Cecosx .
例 7 求方程 (y - 2xy) dx + x2dy = 0 满足初始
条件 y|x=1 = e 的特解. 解 将所给方程化为如下形式：
dy dx

1 2x x2
y

0,
这是一个线性齐次方程，
dx
dx
化简为 dz (1 n) p(x)z (1 n)Q(x) dx
例 求方程
dy y a(ln x) y2 dx x
的通解.
将所给的方程改写成下列形式：
y 1 y 1 ex , 22
则
P( x) 1 , Q( x) 1 ex ,
2
2
则


P( x)dx


1 dx 2

x 2
,
x
e P ( x )dx e 2 ,
Q( x)e P( x)dxdx
1e xe
x
2 dx

e
x 2
y P( x) y Q( x).
则有
C( x) y1 C( x) y1 P( x)C( x) y1 Q( x),
即 C( x) y1 C( x)( y1 P( x) y1 ) Q( x),
因 y1 是对应的线性齐次方程的解，故 y1 P( x) y1 0, 因此有
第六章 微分方程初步
第三节 一阶线性微分方程
一、一阶线性微分方程的概念 与解的结构 二、伯努利方程
一、一阶线性微分方程的概念与解的结构
定义 一阶微分方程的一般形 式为
F(x, y, y) = 0.
一、一阶线性微分方程
一阶微分方程的下列形式
y P( x) y Q( x)
①
称为一阶线性微分方程，简称一阶线性方程. 其中 P(x)、Q (x) 都是自变量的已知连续函数.它的特点 是：右边是已知函数，左边的每项中仅含 y 或 y， 且均为 y 或 y 的一次项.
方程，
其中
P(
y)

1
2 y2
y
,
它的自由项 Q(y) = 1.
代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有
x

e
12 y2
y dy
C

e
12 y2
y
dy
dy



1
1
1
y2e y (C e y ) y2(1 Ce y ),
即所求通解为
1
x y2(1 Ce y ).