一阶线性微分方程的概念与解的结构
6考研数学大纲知识点解析(第六章微分方程和差分方程(数学一))
满足初始条件
的特
【解析】令
，则
，原方程化为
，即
，
于是 因
，得
，故
，由
，
知，应取
.
即
，解得
，又由
，得
，故
．
（3）型如： 间变量，即
.方程的特点是不显含自变量 ．令 ，由复合函数求导的链式法，则有
，视 为中
将之代入方程，得 这是函数 关于变量 的一阶微分方程．若能求出其通解
则可再由方程
或
两边积分后求得方程的通解
【解析】 将
代入方程
（D）
．
，得
由题设可知 从而有
类似地，将
代入方程
解得
，故选（A）．
．
，得
，
【例题】（89 年，数学一/数学二/数学三）设线性无关的函数
都是二阶非齐次线性
方程 ．
的解，
是任意常数，则该非齐次方程的通解是
（A）
．
（B）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
．
（C）
． （D）
．
【答案】（D）．
【解析】根据解的性质，
均为齐次方程的解，且线性无关，因此
；
（2） 求出特征根 和 ；
（3） 根据特征根的不同情形按下表写出方程（1）的通解：
表 二阶常系数线性齐次微分方程的通解
特征根情形
通解形式
相异实根 相同实根 共轭复根
【例题】求微分方程 【解析】特征方程为 故齐次微分方程的通解为
的通解．
，解特征根为
．
．其中
为任意常数．
【例题】求微分方程 【解析】特征方程为 故齐次方程的通解为
．
设非齐次方程
常微分方程 第15讲
一阶微分方程组的一般形式
相关定义：即，称一矩阵（包括作为特殊 矩阵的向量）函数的导数（或积分，或极 限）是指这样一个矩阵函数，它的各个元 素是原矩阵的相应元素的导数（或积分， 或极限）；称一矩阵（包括作为特殊矩阵 的向量）函数序列是收敛（或在区间上一 致收敛）的，指的是它的相应元素做成的 函数序列是收敛（或在区间上一致收敛） 的.
解的存在性与唯一性
定理5.1 如果(NH)中的 A(x),F(x)在区 间I上连续，则对于任一 x0 I 以及 Y 任意给定的n维 0 ,向量方程组(NH)的 满足初始条件的解在区间I上存在且唯一. 证明分4步完成：1、把初值问题(NH)， 化成下述等价的积分方程组：
Y ( x) Y0 x ( A(t )Y (t ) F (t ))dt （3） x0
f i ( x, y1 , y 2 ,, y n ), (i 1,2,, n)
关于 y i 是线性的，即(1)可以写成如下形式：
一阶线性微分方程组
dy1 dx a11 ( x) y1 a12 ( x) y 2 a1n ( x) y n f1 ( x) dy2 a ( x) y a ( x) y a ( x) y f ( x) 21 1 22 2 2n n 2 dx (2) dyn a ( x) y a ( x) y a ( x) y f ( x) n1 1 n2 2 nn n n dx 则称(2)为一阶线性微分方程组.总假设(2)的系数
m ( x) m 1 ( x) x A(t )( m 1 (t ) m 2 (t )) dt
x
0
M
m
一阶非齐次线性微分方程解的结构
一阶非齐次线性微分方程解的结构
结构方程是描述系统的物理性质的最基本的数学表达式，它是系统的命令和动态解释的基础。
一阶非齐次线性微分方程(FLDE)是微分方程在研究系统动态性质时最常用的工具。
一
阶非齐次线性微分方程的特点是它的形式简单，只包含一阶阶导及一元函数，可以用来描
述动态系统的行为特征，但也可以用来描述更复杂的系统结构。
一阶非齐次线性微分方程的一般形式：
$$No\quad x n+1= A x n +B$$
其中，$x_n$是描述状态的变量，$A$是系统状态及输入之间的关系的系数矩阵，$B$是系
统的输入矩阵。
借助此方程，可以分析出对系统状态$x_n$有效控制的方法。
状态$x_n$可以通过输入信号$B$控制，当$B$设置为一个特定的值时，状态$x_n$可以驱动系统实现所需的结果。
在控制理论中，一阶非齐次线性微分方程可以用来解决调节问题，特别是用来设计控制器，从而控制系统的输出。
对系统控制有很大的作用，特别是通过控制控制任务，实现自动控
制的需要。
另外，一阶非齐次线性微分方程可以用来处理系统的不稳定性动态，例如系统的振荡运动，以及系统的偏差问题，从而使系统达到稳定的状态，从而提高系统的精度和准确性，确保
系统的正常运行。
总之，一阶非齐次线性微分方程在系统结构分析、动态控制和稳定性问题处理方面都有重
要用途。
它不仅有可解释性，而且能够处理复杂的系统动态，提高系统的稳定性，为系统
控制提供有效的解决方案。
WJF8-5线性微分方程的性质与解的结构
如果y1 ( x ), y2 ( x )中的任意一个都不是另一个的常数倍,
y1 ( x ) 即 不恒等于非零常数, 则称y1 ( x )与y2 ( x )线性无关, y2 ( x ) 否则称y1 ( x )与y2 ( x )线性相关。
定理8.2 如果y1 ( x ), y2 ( x )是方程(1)的两个线性无关的解, 则 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1)的通解. 如 y1 cos x和y2 sin x是方程 y y 0的两个线性无关解.
方程(1)的任何两个线性无关的 特解称为基解组.
三、线性非齐次微分方程解的结构
定理8.3 设 y1 ( x ) 是二阶非齐次线性方程 y P ( x ) y Q( x ) y f ( x ) ( 2) 的一个特解, y2 ( x ) 是对应的齐次方程(1)的通解, 那么 Y y1 ( x ) y2 ( x ) 是方程(2)的通解. 证 因为 y1 P ( x ) y1 Q( x ) y1 f ( x ) 且 y P ( x ) y Q( x ) y2 0 2 2 则 Y P ( x )Y Q( x )Y ( y1 y2 ) P ( x )( y1 y2 ) Q( x )( y1 y2 ) [ y1 P ( x ) y1 Q( x ) y1 ] [ y P ( x ) y Q( x ) y2 ] f ( x ) 2 2
y P ( x ) y Q( x ) y f 2 ( x ) 和 的解, 则 y1 ( x ) y2 ( x ) 是方程 y P ( x ) y Q( x ) y f1 ( x ) f( x ) y Q( x ) y 0 (1)
二、线性齐次微分方程解的结构
(整理)一阶线性非齐次方程解法推倒.
一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程dy dxP x y Q x+=()()1叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。
如果Q x()≡0，则方程称为齐次的；如果Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。
a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程dy dxP x y+=()02的通解问题。
分离变量得dyyP x dx =-()两边积分得ln()ln y P x dx c=-+⎰或y c e P x dx=⋅-⎰()其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。
将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换y u e P x dx=⋅-⎰()两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()⋅=-⎰两边求导得dydxu e uP x eP x dx P x dx ='--⎰-⎰()()()代入方程1得'=-⎰u e Q x P x dx ()() ， '=⎰u Q x e P x dx ()()u c Q x e dxP x dx =+⎰⎰()()于是得到非齐次线性方程1的通解[]y e c Q x e dxP x dx P x dx =⋅+-⎰⎰⎰()()()将它写成两项之和y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =⋅+⋅--⎰⎰⎰⎰()()()()不难发现：第一项是对应的齐次线性方程2的通解； 第二项是非齐次线性方程1的一个特解。
由此得到一阶线性非齐次方程的通解之结构。
【例1】求方程dy dxyxx-+=+21132()的通解。
解：]23)1([1212dxexcey dxxdxx⎰⎰++⋅⎰=+-+--]23)1([22)1(ln)1(ln dxexce xx+-+⎰⋅++⋅==+⋅++-⎰()[()]x c x dx11212=+⋅++()[()]x c x121212由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。
一阶微分方程求解
设一阶微分方程 初始条件
dx dt
－Ax = Bw
x(t0) = X0
（7-8） （7-9）
一、直接积分法 方程式两边同时乘以e -At，整理后得
dห้องสมุดไป่ตู้d
e –A • x
= e –A Bw
两边从 t0 到 t 对d积分得
t
e –At x(t) = e –At0 • x(t0) +
e –A Bw d t0
电路分析基础——第二部分：第七章 目录
第七章 一 阶 电 路
1 分解方法在动态电 路分析中的应用
2 一阶微分方程求解
3 零输入响应
4 零状态响应
5 线性动态电路的叠加定理
6 三要素法 7 阶跃函数和阶跃响应 8 一阶电路的子区间分析
电路分析基础——第二部分：7-2
1/5
7-2* 一阶微分方程的求解
由此可得
x(t) = e A(t - t0) x(t0) + e AtB
t e –A w d t0
（7-10）
电路分析基础——第二部分：7-2
2/5
二、猜试法 对解的形式进行猜试后再求解。要点如下：
（一）线性微分方程解的结构
如 (7-8) 式所示的非齐次线性微分方程，其通解 x(t) 由两部
分组成，即
则由(7-18)式可得 x(t0) = KeAt0 + xp(t0) = X0
（7-19）
由此可确定常数 K，从而可求得非齐次方程式(7-8)的解答。
x(t) = xh(t) + xp(t)
（7-11）
其中， xh(t) 为与 (7-8) 式对应的齐次线性微分方程，即
dx dt
第六章 常微分方程
第六章常微分方程第1节基本概念1.常微分方程含未知函数的导数的方程。
2.阶未知函数有几阶导，就是几阶的微分方程。
3.解通解：含有任意常数的个数与阶数相同。
特解：通解中的任意常数确定。
初始条件：y(=，=，…，=4.线性方程y和y的各阶导数都是以一次式出现的。
第2节一阶微分方程1.可分离变量的微分方程：转化：=f(x)g(x)=两边同时积分2.齐次微分方程：如果=f()，那么设=u，则y=x u(x)那么=u(x)+x带入原方程得：u+x=f(u)= （可分离变量）3.一阶线性微分方程通式：+P(x)y=Q(x)，若Q(x)，则称之为一阶线性齐次微分方程。
一阶线性齐次微分方程通解：y=C一阶线性非齐次微分方程通解：y=(第3节高阶微分方程1.可降阶的高阶微分方程a)逐次积分解决。
b)令u(x)=,则=。
代入原式。
c)令=p(y),则=。
代入原式。
2.线性微分方程解的结构通式（二阶为例）：++Q(x)y=f(x) 若f(x)=0则为齐次。
（1）若y(x)为齐次的解，则ky(x)仍然是它的解。
（2）若,是齐次的解，则仍然是它的解。
（3）接（2）若,线性无关，则是它的通解。
（4）若Y是齐次的通解，是非齐次的特解，则y=Y+是非齐次的通解。
3.二阶常系数线性微分方程通式：++Qy=f(x)齐次：++Qy=0特征方程：a)>0，有两个不等实根、。
则Y=+是齐次方程的通解。
b)=0，有两个相等实根。
则Y=+=是齐次方程的通解。
c)<0，有两个不等虚根。
则Y=是齐次方程的通解。
非齐次：对应的齐次通解，加上本身特解。
只有两种f(x)能找到特解：a)f(x)==是特征方程的k重根。
Qn是和Pn相同形式多项式。
b)f(x)=[Cos+sin]=[Cos+sin]m=max{n,l}是特征方程的k重根。
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第六节 线性微分方程解的结构
三、线性非齐次微分方程解的结构
定理 3 设 y * ( x) 是二阶非齐次方程 ①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则
y Y(x) y*(x)
②
是非齐次方程的通解 .
证 将 y Y ( x) y * ( x)代入方程①左端, 得
(Y y * ) P( x)(Y y * ) Q( x)(Y y *)
定理 设 y* 是 n 阶非齐次线性方程
y(n) P1( x) y(n1) Pn ( x) y f ( x)
的一个特解, Y 是与其对应的齐次方程的 通解, 那么 y Y y*是 n 阶非齐次线性微分
方程的通解.
四、小结
主要内容 1、函数的线性相关与线性无关； 2、二阶线性微分方程解的结构定理
二、证明下列函数是相应的微分方程的通解:
1、 y c1 x 2 c2 x 2 ln x
(
c1
,
c
是任意常数
2
)是方程
x 2 y 3xy 4 y 0 的通解；
2、 y
1 x
(
c1e
x
c2e x
)
ex 2
(
c1
,
c
是任意
2
常
数
)是
方程xy 2 y xy e x 的通解 .
定义 设 y1( x), y2( x),, yn( x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关.
例如：
在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
一阶线性微分方程的概念与解的结构
x 2
x 2
于是，有
12 2 C (x ) e d x e C , 2
x
x
因此，原方程的通解为
x y C ( x ) e C e e . x 2 x 2
解法二
运用通解公式求解．
1 1 x y y e , 2 2
将所给的方程改写成下列形式：
设所给线性非齐次方程的通解为
1 y C( x) . x
将 y 及 y代入该方程，得
1 1 (x C ) cos x , x x
于是，有
C ( x ) cos x d x sin x C .
因此，原方程的通解为
1 C1 y (sin x C ) sin x . x x x
C ( x ) y Q ( x ), 1
其中 y1 与 Q(x) 均为已知函数，所以可以通过积分 求得 Q (x ) C (x ) d x C , y 1 代入 y = C (x)y1 中，得 Q (x ) y Cy d x . 1 y 1 y 1 容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程 y P ( x ) y Q ( x ),
若 Q (x)
0，则方程成为
y P ( x ) y 0 ,
②
称为一阶线性齐次微分方程，简称线性齐次方程， 若 Q (x) 0，则称方程 ① 为一阶线性非齐次微分
方程，简称线性非齐次方程. 通常方程 ② 称为方程 ① 所对应的线性齐次方程.
1.一阶线性齐次方程的解法
一阶线性齐次方程 y P ( x ) y 0 是可分离变量方程. 分离变量，得 dy P(x)dx, y 两边积分，得
则
1 1 x P ( x ) ,Q ( x ) e , 2 2
微分方程
y(1) 1,
5 (C1 2C 2 )e 1, 6
由
1 1 C1 C 2 , e 3 1 5 C1 2C 2 , e 6
解得
2 1 C 1 e 6 , C 1 1 , 2 2 e
所以原方程满足初始条件的特解为
2 1 1 1 x3 x x2 x y [ ( ) x ]e x e e . e 6 2 e 6 2
（1） 二阶齐次方程解的结构:
y P ( x ) y Q( x ) y 0 (1)
形如
定理 1 如果函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x ) 是方程(1)的两个 解,那末 y C1 y1 C 2 y2 也是(1)的解.（C1 , C 2 是常 数）
定理 2：如果 y1 ( x )与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线性 无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1)的通 解.
解：（１） 由题设可得：
2 p( x )2 x 0, 解此方程组，得： 2 1 x 3 p( x )( x 2 ) f ( x ), 1 3 p( x ) , f ( x ) 3 . x x
1 p( x ) , x
3 f ( x) 3 . x
( ( 设 y x k e x [ Rm1) ( x ) cos x Rm2 ) ( x ) sin x ],
m 其中 R ( x ), R ( x )是m次多项式， maxl , n
(1) m ( 2) m
; 0 i不是特征方程的根时 k . 1 i是特征方程的单根时
特征方程 r 2 2r 1 0, 特征根
r1 r2 1,
高等数学各章知识结构
高等数学各章知识结构高等数学是一门广泛涉及多个领域的学科，包括微积分、线性代数、概率论等。
下面将介绍高等数学各章的知识结构。
一、数列与数学归纳法（150字）数列与数学归纳法是高等数学的起点，包括等差数列、等比数列、递推数列等概念。
这一章主要讨论数列的性质、极限与收敛性等问题，并引入数学归纳法进行证明。
二、函数与极限（200字）函数与极限是高等数学的核心概念，也是微积分的基础。
这一章主要包括函数的定义、性质、基本函数、复合函数等内容，引入了极限的概念和计算方法。
三、导数与微分（250字）导数与微分是微积分的重要内容，也是应用最广泛的部分。
这一章主要讨论导数的定义、求导法则、高阶导数等内容，以及微分的定义与应用。
四、不定积分（200字）不定积分是微积分的另一个重要内容，研究的是函数的原函数。
这一章主要介绍不定积分的定义、基本积分法、换元积分法、分部积分法等内容。
五、定积分（200字）定积分是微积分的重要应用之一，主要研究函数在区间上的积分。
这一章主要包括定积分的定义、性质、基本公式、几何应用等内容。
六、微分方程（250字）微分方程是高等数学的又一重要内容，研究的是包含导数的方程。
这一章主要介绍了一阶线性微分方程、高阶线性微分方程、常微分方程的基本概念、解法和应用。
七、无穷级数（200字）无穷级数是数列的延伸，研究的是无穷多个数的求和。
这一章主要介绍级数的概念、收敛性、常用级数以及级数收敛的判定方法等内容。
八、多元函数与偏导数（250字）多元函数与偏导数是高等数学的另一个重要部分，研究的是多个变量间的关系。
这一章主要包括多元函数的概念、偏导数的定义与计算、全微分等内容。
九、多重积分（200字）多重积分是对多元函数求积分的扩展，研究的是多维空间中的积分。
这一章主要介绍二重积分、三重积分的定义、计算方法以及应用。
十、曲线与曲面积分（200字）曲线与曲面积分是高等数学的应用之一，主要研究曲线和曲面上的积分。
阶线性微分方程解的结构与通解性质
稳定性应用举例
控制系统设计
在控制系统中，稳定性是至关重要的指标。通过设计控制器使 得系统达到稳定状态，可以确保系统的正常运行和安全性。
生态学研究
在生态学中，研究生物种群的动态变化时，稳定性是一个重要概念。通过 分析种群的稳定性，可以预测种群的发展趋势和制定相应的保护措施。
经济学分析
在经济学中，稳定性与经济增长、通货膨胀等宏观经济指标密切相关 。通过分析经济系统的稳定性，可以为政策制定者提供决策依据。
微分方程是描述自然现象、工程技术和社会科学等领域中变量间关系的数 学模型。
微分方程按照自变量个数可分为常微分方程和偏微分方程，其中常微分方 程研究一个自变量的函数与其导数之间的关系。
微分方程在物理学、化学、生物学、经济学等领域有广泛应用。
线性微分方程定义
线性微分方程是指关于未知函数及其各 阶导数都是一次方的方程，即方程中不 会出现未知函数及其导数的二次及以上 的项。
高阶线性微分方程的通解表达式较为复杂， 一般通过特征方程、比较系数等方法求解。
通解性质分析
唯一性
对于给定的初始条件，线性微分方程的通解是唯一的。
叠加性
若y1和y2分别是线性微分方程对应于f1(x)和f2(x)的特解，则 y=c1y1+c2y2（c1、c2为任意常数）也是该方程的解。
齐次性
若y1和y2是齐次线性微分方程的解，则它们的线性组合c1y1+c2y2 （c1、c2为任意常数）也是该方程的解。
积分因子法
通过构造一个积分因子$mu(x) = e^{int p(x)dx}$，将原方程转化为$mu(x)y' + mu(x)p(x)y = mu(x)q(x)$，即 $(mu(x)y)' = mu(x)q(x)$，然后两边积分得到通解。
微分方程要点概要
4、 全微分方程（恰当方程 ）
M N M x, y dx N x, y dy 0, 其中 y x
必存在 F x, y 满足 dF x, y M x, y dx N x, y dy 可得解： F x, y c
或选折线 x0 , y0 x, y0 x, y 积分，得
x M x, y0 dx y N x, y dy c
0 0
x
y
若存在 x, y 使 (M )dx (N )dy 0 为全微分方程, 则称 ( x, y) 为积分因子。
由 M N , 得 y M M y x N N x y x
a1 x b1 y c1 dy 2、 f dx a2 x b2 y c2 a1 b1 若 , 令 u a2 x b2 y c2 a2 b2 a1x b1 y c1 0 a1 b1 若 , 先解 得唯一解 x0 , y0 a2 b2 a2 x b2 y c2 0 x X x0 dY Y 再令 , 原方程化为 g dX X y Y y0
(1) ( 2) y x k ex [ Rm ( x) cosx Rm ( x) sin x]
0 , 若 i 不是特征根； 其中k １ ， 若 i 是特征根．
R ( x) , R ( x) 为两ｍ次多项式， m maxl , n
(1) m ( 2) m
６、特殊代换
二、可降阶的高阶微分方程
一般 F x, y, y, y 0, 其中可求解形式为 y f x, y, y
1、 yn f x : 积分 n 次.
线性微分方程解的性质
线性微分方程解的性质一、线性微分方程的解的结构1.1二阶齐次线性方程y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0 (1)y''+P(x)y'+Q(x)y=0 \tag{1} y′′+P(x)y′+Q(x)y=0(1)定理1：如果函数 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x)与 y 2 ( x ) y_2(x)y2(x)是方程（1）的两个解，那么y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) (2) y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) \tag{2} y=C1y1(x)+C2y2(x)(2)也是方程（1）的解，其中 C 1 , C 2 C_1,C_2 C1,C2是任意常数。
解（2）从形式上看含有C1C_1C1和C2C_2C2两个任意常数，但它不一定是方程（1）的通解。
那么在什么情况下（2）式才是方程（1）的通解呢？要解决这个问题，还得引入新概念，即函数组的线性相关与线性无关。
设 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , ⋅⋅⋅ , y n ( x )y_1(x),y_2(x),···,y_n(x) y1(x),y2(x),⋅⋅⋅,yn(x)为定义在区间 I I I上的n个函数，如果存在n个不全为零的常数 k 1 , k 2 , ⋅⋅⋅ , k n k_1,k_2,···,k_n k1,k2,⋅⋅⋅,kn，使得当x ∈ I x\in I x∈I时有恒等式k 1 y 1 + k 2 y 2 + ⋅⋅⋅ + k n y n = 0k_1y_1+k_2y_2+···+k_ny_n=0 k1y1+k2y2+⋅⋅⋅+knyn=0成立，那么称这n个函数在区间I上线性相关；否则线性无关。
应用上述概念可知，对于两个函数的情形，它们线性相关与否，只要看它们的比是否为常数；如果比为常数，那么它们就线性相关；否则就线性无关。
高等数学上册第七章微分方程
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.
例如，
在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
又如，
若在某区间 I 上
必需全为 0 ,
在I 上都 线性无关.
DMU
第五节 二阶线性微分方程解的结构
两个函数在区间 I 上线性无关的充要条件:
(1) 当p2 4 q 0 时, ②有两个相异实根
则微分
方程有两个线性无关的特解:
因此方程的通解为 y C1 er1 x C2 er2 x
DMU
第六节 常系数齐次线性微分方程
(2) 当p2 4 q 0 时, 特征方程有两个相等实根
则微分方程有一个特解
设另一特解
( u (x) 待定)
代入方程得:
可化为变量分离方程的类型
• 形如 dy g的(方y )程，称为齐次方程 dx x
如何求解满足上述条件的齐此方程
令 y u, y ux x
du u x du ,
dx
dx
x du g(u) u dx
du g(u) u
dx
x
化为一个变量可分离的方程
DMU
第二节 可分离变量的微分方程 齐次方程
第一节 微分方程的概念
微分方程的预备知识
➢ 微分方程
y P(x) y Q(x)y f (x)
➢ 阶：最高阶导数的阶数 ➢ 解：使方程成为恒等式的函数
➢ 通解： y (c1, c2, , cn )
➢ 特解：满足初始条件的解 ➢ 初始条件：
y(x0 ) y0, y(x0 ) y1, , y(n1) (x0 ) yn1
一阶微分方程构造辅助函数原理
一阶微分方程构造辅助函数原理1. 引言1.1 概述在数学和科学领域中，微分方程是一个重要的研究对象。
一阶微分方程是其中最基础且常见的类型之一。
解一阶微分方程可以帮助我们理解自然现象、预测未来发展趋势以及解决各种实际问题。
辅助函数作为求解一阶微分方程的有效工具，在解题过程中起着至关重要的作用。
本文将深入探讨辅助函数原理，并介绍构造辅助函数的方法和技巧。
1.2 文章结构本文共包括五个部分。
首先，在引言部分我们将概述文章的主题和目标。
其次，我们会介绍一阶微分方程的基础知识，包括定义与形式、常见类型与解法以及初值问题与辅助函数的重要性。
接着，我们将详细阐述辅助函数原理及其构造方法，包括辅助函数的概念与作用、构造辅助函数的步骤和方法以及常用的辅助函数构造技巧。
然后，通过示例和应用案例分析，我们将展示辅助函数在求解一阶微分方程中的实际应用，包括小型一阶微分方程求解示例的详解、实际问题中辅助函数应用案例的分析以及辅助函数在数学模型建立中的实践应用。
最后，我们会总结本文的研究成果，并对未来研究方向进行展望。
1.3 目的本文旨在深入探讨一阶微分方程构造辅助函数原理，并介绍相关的构造方法和技巧。
通过对辅助函数在一阶微分方程求解过程中的作用和重要性进行分析，使读者能够更好地理解和运用辅助函数。
同时，通过具体示例和应用案例的分析，帮助读者将理论知识与实际问题相结合，提高问题求解能力。
最终，希望本文能为相关领域研究者提供有益的参考和启示，并促进一阶微分方程及其应用领域的发展与创新。
2. 一阶微分方程基础知识：2.1 定义与形式一阶微分方程是指未知函数的导数与自变量之间只包含一阶导数的关系式。
通常表示为dy/dx=f(x)的形式，其中y表示未知函数，x表示自变量，f(x)表示已知函数。
2.2 常见类型与解法一阶微分方程可以根据其类型进行分类和求解。
常见的类型包括可分离变量型、齐次型、线性型等。
可分离变量型：当一阶微分方程可以被写为dy/dx=g(x)h(y)时，我们可以将其转化为两个变量可分离的形式，并通过两边同时积分来求解。
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常微分方程一、可分离变量方程一阶可分离变量方程：()()dy f x dx g y =，可分离变量，方程通解为： ()()G y f x C =+二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程：()()y p x y Q x '+=，通解如下： 当()0Q x =时，上式称为线性齐次方程，通解为In y C =-或()p x dxy Ce -⎰= 当()0Q x ≠时，上式称为线性非齐次方程，通解为()()[()]p x dx p x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰三、可降阶微分方程1、()()n y f x =对此类微分方程，多次直接积分即可求得通解。
2、(,)y f x y '''=——不显含y 的二阶微分方程，令y p '=，则y p '''=，代入得(,)p f x p '=，该一阶微分方程可求解，从而求得()y f x =。
3、(,)y f y y '''=——不显含x 的二阶微分方程，令y p '=，则dpy pdy''=，代入得(,)dppf y p dy=，该一阶微分方程可求解，再经分离变量可求得()y f x =。
四、二阶常系数线性微分方程1、二阶常系数齐次线性微分方程0y py qy '''++=，其中p 、q 为常数它的特征方程为20r pr q ++=，其中r 为特征根。
根据r 的情况，二阶常系数齐次微分方程的通解如下：(1)1r 、2r 为两个不等实根时，方程的通解为1212r x r x y C e C e =+；(2)1r 、2r 为两个相等实根时(12r r r ==)，方程的通解为12()rx y C C x e =+； (3)1r 、2r 为一对共轭复根i αβ±时，方程的通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+； 2、二阶常系数齐次线性微分方程 设*()y y x =是非齐次线方程()y py qy f x '''++=，其中p 、q 为常数的一个特解，()y y x =是对应的齐次方程0y py qy '''++=的通解，则该二阶线性非齐次微分方程的通解为*()()y y x y x =+。
高等数学5-1
2.常系数非齐次微分方程
齐次部分 非齐次部分
（1）标准形式 y py qy f ( x) 左：y py qy 右：f ( x)
（2）解法
①根据左边求出齐次通解 Y ( x) ②根据右边 f ( x)的形式求出非齐次方程
则 C1 y1 C2 y2 为（1）的解。
注 由定理1的证明过程，请思考下列结论
（1）若 y1, y2分别为（2）的解，则 y1 y2
是（1）的解
（2）若 y1, y2 分别为（2）的解，则 2 y1 y2
是（2）的解
定理2 若Y ( x)是（1）通解，y * ( x) 为（2） 的一个特解，则 Y y * 为（2）通解。
（2）右： 1 i 不是特征根，令
y* ex ( a cos x b sin x)
例5 设 a,b为常数，y 2 y y 1 (e x ex ) 2
的特解形式为（ ）
拆成两个方程
( A) a (e x ex ) (B) a (e x ex )
2
2
(C )ax2e x be x (D)axe x be x
x) x)
ex ex
cos x sin x
熟记： y py qy 0 特征方程 r 2 pr q 0 得出特征根 写通解 有相异实根 r1, r2 , 通解 y C1e r1x C 2e r2 x 有二重实根 r, 通解 y (C1 C 2 x )e rx 有共轭复根 i , 通解
y ex (C1 cos x C 2 sin x )Biblioteka 练习：快速写出下列微分方程通解
1204一阶线性微分方程
dy P ( x ) y Q( x ) y n , dx
两端除以 y ，得
n
( n 0,1)
y
y
n
dy P ( x ) y1 n Q( x ), dx
dy 1 dz , dx 1 n dx
令z y
1 n
,
则
n
1 dz P ( x ) z Q( x ), 代入上式，得: (1 n) dx
设由常数变易法求出 z ( x ),
则原方程的通解为 y1 n ( x ).
dy P ( x ) y Q( x ) y n dx
( n 0,1)
dy 4 例 3 求方程 y x 2 y 的通解. dx x
解
1 两端除以 y 2，得
1 dy 4 y x2 , y dx x
2 x y 3 x 6 x 6 6 e . 所求曲线方程为:
二、伯努利方程 n阶伯努利(Bernoulli)方程的标准形式：
dy P ( x ) y Q( x ) y n , dx
当n 0,1时， 方程为一阶线性微分方程. 当n 0,1时，方程为一阶非线性微分方程.
sin x 1 dx 1 dx y e x dx C e x x
sin x ln x ln x e dx C e x 1 1 sin xdx C cos x C . x x
◆常数变易法的实质是变量代换.
dy ★常数变易法的一般过程： P ( x ) y Q( x ), dx 1. 用分离变量法求解相应的齐次方程 dy P ( x ) dx y Ce , P ( x )e P ( x )dx ,
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若 Q (x) 0，则方程成为
y P( x) y 0,
②
称为一阶线性齐次微分方程，简称线性齐次方程，
若 Q (x) 0，则称方程 ① 为一阶线性非齐次微分 方程，简称线性非齐次方程. 通常方程 ② 称为方程 ① 所对应的线性齐次方程.
1.一阶线性齐次方程的解法
一阶线性齐次方程
y P(x) y 0
程的通解为 x
y Ce 2 , x
设所给线性非齐次方程的解为 y C( x)e 2 ,
将 y 及 y 代入该方程，得
x
C( x)e 2
1 ex,
2
于是，有
C( x)
1e
x 2
dx
x
e2
C,
2
因此，原方程的通解为
x
x
y C( x)e 2 Ce 2 ( x).
则有
C( x) y1 C( x) y1 P( x)C( x) y1 Q( x),
即 C( x) y1 C( x)( y1 P( x) y1 ) Q( x),
因 y1 是对应的线性齐次方程的解，故 y1 P( x) y1 0, 因此有
二、伯努利方程
方程 dy p(x) y Q(x) yn dx
称为伯努利方程。当n=0或1时，该方程是线性方 程；当n≠0或1时，该方程不是线性的，但是通过 变量替换，可以把它化为线性的。
如以yn除以方程两边，得
yn dy p(x) y1n Q(x), dx
令
z y1n
则 dz (1 n) yn dy
,
2
代入通解公式，得原方程的通解为
xx
x
y (C e 2 )e 2 Ce 2 e x .
例 9 求解初值问题．
xy y cos x,
y()
1.
解 使用常数变易法求解．
将所给的方程改写成下列形式：
y 1 y 1 cos x, xx
则与其对应的线性齐次方程
P( x)dx sin xdx cos x,
由通解公式即可得到方程的通解为 y Cecosx .
例 7 求方程 (y - 2xy) dx + x2dy = 0 满足初始
条件 y|x=1 = e 的特解. 解 将所给方程化为如下形式：
dy dx
1 2x x2
y
0,
这是一个线性齐次方程，
C( x) y1 Q( x),
其中 y1 与 Q(x) 均为已知函数，所以可以通过积分 求得
C
(
x)
Q( x)dx y1
C
,
代入 y = C (x)y1 中，得
Q( x)
y Cy1 y1
dx. y1
容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程
y P( x) y Q( x),
dx
dx
化简为 dz (1 n) p(x)z (1 n)Q(x) dx
例 求方程
dy y a(ln x) y2 dx x
的通解.
方程，
其中
P(
y)
1
2 y2
y
,
它的自由项 Q(y) = 1.
代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有
x
e
12 y2
y dy
C
e
12 y2
y
dy
dy
1
1
1
y2e y (C e y ) y2(1 Ce y ),
即所求通解为
1
x y2(1 Ce y ).
且
P(
x)
1
2 x2
x
,
则
P( x)dx
2 x
1 x2
dx
ln
x2
1 x
,
由通解公式得该方程的通解 1 y Cx2e x ,
将初始条件 y(1) = e 代入通解， 得 C = 1.
故所求特解为
1
y x2e x .
2.一阶线性非齐次方程的解法
设 y = C(x)y1 是非齐次方程的解，将 y = C(x)y1 (其中 y1 是齐次方程 y + P (x) y = 0 的解)及其导数 y = C (x) y1 + C(x) y1 代入方程
将初始条件 y() = 1 代入，得 C = ， 所以， 所求的特解，即初值问题的解为
y 1 ( sin x). x
例 10 求方程 y2dx + (x - 2xy - y2)dy = 0 的通解. 解 将原方程改写为
dx dy
12y y2
x
1,
这是一个关于未知函数 x = x(y) 的一阶线性非齐次
第六章 微分方程初步
第三节 一阶线性微分方程
一、一阶线性微分方程的概念 与解的结构 二、伯努利方程
一、一阶线性微分方程的概念与解的结构
定义 一阶微分方程的一般形 式为
F(x, y, y) = 0.
一、一阶线性微分方程
一阶微分方程的下列形式
y P( x) y Q( x)
①
称为一阶线性微分方程，简称一阶线性方程. 其中 P(x)、Q (x) 都是自变量的已知连续函数.它的特点 是：右边是已知函数，左边的每项中仅含 y 或 y， 且均为 y 或 y 的一次项.
的通解为
y 1 y 0 x
yC. x
设所给线性非齐次方程的通解为
y C(x) 1 . x
将 y 及 y代入该方程，得
于是，有
C( x) 1 1 cos x, xx
C( x) cos xdx sin x C.
因此，原方程的通解为 y (sinx C) 1 C 1 sin x. x xx
将所给的方程改写成下列形式：
y 1 y 1 ex , 22
则
P( x) 1 , Q( x) 1 ex ,
2
2
则
P( x)dx
1 dx 2
x 2
,
x
e P ( x )dx e 2 ,
Q( x)e P( x)dxdx
1e xe
x
2 dx
e
x 2
且含有一个任意常数，所以它是一阶线性非齐次方程
的通解
y P( x) y Q( x)
在运算过程中，我们取线性齐次方程的一个解为
y1
e
P
(
x
)dx
,
于是，一阶线性非齐次方程的通解公式，就可写成：
y e P( x)dx C Q( x)e P( x)dxdx.
上述讨论中所用的方法，是将常数 C 变为待定 函数 C(x)， 再通过确定 C(x) 而求得方程解的方法， 称为常数变易法.
例 8 求方程 2y - y = ex 的通解.
解法一 使用常数变易法求解．
将所给的方程改写成下列形式：
y 1 y 1 ex , 22
这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方
是可分离变量方程. 分离变量，得
两边积分，得
dy P( x)dx, y
ln y P( x)dx lnC,
所以，方程的通解公式为
y
Ce
P(
x )dx
.
例 6 求方程 y + (sin x)y = 0 的通解. 解 所给方程是一阶线性齐次方程，且 P(x) = sin x， 则