数学建模-第十章网络规划详解
数学建模-网 络 优 化
交通调度
公共交通线路规划
利用数学模型优化公共交通线路，提高线路覆盖率和服务 水平，减少乘客等待时间和出行成本。
01
出租车调度
通过数学模型实现出租车资源的合理调 度，提高车辆利用率和乘客满意度。
02
03
智能交通信号控制
利用数学模型和算法优化交通信号灯 的控制策略，缓解城市交通拥堵现象 。
电力分配
电网优化调度
线性规划
线性规划是一种数学优化技术，用于解决具有线性约束和线性目标函数的 最大化或最小化问题。
线性规划的解法包括单纯形法、对偶理论和分解算法等，这些方法可以应 用于各种实际问题，如资源分配、生产计划和物流优化等。
线性规划的应用广泛，在金融、经济、工程和物流等领域都有重要的应用 价值。
非线性规划
01
06
CATALOGUE
网络优化实际应用
物流配送
物流配送路径规划
利用数学建模和优化算法，为物流配送车辆规划最佳 行驶路径，降低运输成本，提高运输效率。
配送中心选址
通过数学模型分析，确定最优的配送中心选址方案， 以降低运营成本、提高配送效率。
库存管理
通过数学模型预测需求，合理安排库存，避免缺货或 积压现象，提高库存周转率。
车辆路径问题(VRP)
总结词
车辆路径问题旨在为一系列客户分配一组车辆，使得每个客户的需求都能被满足，同时总成本最低。
详细描述
VRP问题需要考虑车辆的装载量限制、客户需求量、车辆行驶成本等因素，可以采用遗传算法、粒子 群优化算法等智能优化算法进行求解。
最小生成树问题(MST)
总结词
最小生成树问题旨在在给定的连通图中找到一棵包含所有顶点的树，使得所有边的权值 之和最小。
数学建模规划模型讲解
背景知识（续）
1965年起，华罗庚和他的小分队在全国工业部门开始普 及推广统筹法的群众运动。在此后的二十年中，为普及 推广双法（统筹法与从1970年开始普及推广的优选法）， 他们走访了全国23个省市中几百个城市的几千个工厂， 并向数百万人开设讲座开展工作，取得了巨大的社会效 益和经济效益。 1965年华罗庚《统筹方法平话及其补充》一书由中国工 业出版社出版。 1970年起，华罗庚和他的小分队开始在全国范围内普及 推广优选法的群众运动。从此，统筹与优选双法变得家 喻户晓，双法的普及推广也取得了极为可观的社会、经 济效益。 1971年华罗庚《优选法平话及其补充》一书由国防工业 出版社出版。
优化模型应用的广泛性
1. 系统分析，即生产计划和经营决策中的优化 问题。例如： 合理计划生产:运输，分配，布局，选址，指派， 下料、配料等优化问题（linear programming）; 合理开发（或配置）资源:可再生资源的持续开 发,不可再生资源的优化配置（linear programming） 合理运行设备:设备的最有运行（维修）方案. 合理组合投资:追求最大受益、最小风险的投资 组合方案（Multiobjective programming）
04年 A题：奥运会场馆周围超市设计 目标：经济效益最大化，各个区域的平衡问题 05年 B题：DVD在线租赁 目标：满足顾客的需要，经济效益最大化 06年 A题：出版社书号分配问题 目标：经济效益最大化，不同学科书号的平衡问题 07年 B题：北京公交线路设计 目标：时间最小化，车票钱最小化，转站最小化 08年 A题：中国学费的评价系统 目标：经济效益最大化，考虑到老百姓的支付能力 09年 医院眼科病人的等待系统 目标：提高病床的周转率，降低病人的抱怨程度
数学建模中的网络优化问题
数学建模中的网络优化问题数学建模是一种应用数学方法解决实际问题的过程，而网络优化问题是其中的一个重要研究方向。
网络优化是指在网络中寻找最优解的问题，在数学建模中起到了至关重要的作用。
本文将介绍数学建模中的网络优化问题及其应用。
一、网络优化问题的定义与分类网络优化问题主要涉及在网络中寻找某个目标的最优解。
通常，这些问题可以用图论的方法进行描述和解决。
下面将介绍几种常见的网络优化问题。
1. 最小生成树问题最小生成树问题是指在一个带有权重的连通图中，找到一个树，使得这个树包含了图中所有的节点，并且树的边的权重之和最小。
这个问题在电力、通信等领域中有着广泛的应用。
2. 最短路径问题最短路径问题是指在图中找到一条从起点到终点的路径，使得经过的边的权重之和最小。
这个问题应用广泛，如导航系统中求解最短路径。
3. 最大流问题最大流问题是指在一个网络中，找到一种分配网络中流量的方式，使得从源点到汇点的流量最大。
这个问题在电信、交通等领域有广泛的应用。
4. 任务分配问题任务分配问题是指在一个网络中，将任务分配给不同的资源或工人，使得任务完成时间最短或成本最小。
这个问题在进程调度、工程管理等方面有着重要的应用。
二、网络优化问题的求解方法网络优化问题的求解可以采用多种方法，下面将介绍两种常用的方法。
1. 线性规划线性规划是一种常用的优化方法，可以用来求解网络优化问题。
该方法将问题转化为线性约束条件下的线性目标函数的最优化问题，并通过线性规划求解器来求解最优解。
2. 图算法图算法是一种常用的求解网络优化问题的方法，如最小生成树问题可以使用普里姆算法或克鲁斯卡尔算法进行求解，最短路径问题可以使用迪杰斯特拉算法或弗洛伊德算法进行求解。
三、网络优化问题的应用网络优化问题在各个领域中具有重要的应用价值，下面将介绍其中几个领域的应用。
1. 交通规划网络优化问题在交通规划中有着广泛的应用。
如通过最小生成树问题可以确定最优的道路建设方案，通过最短路径问题可以规划交通路径，通过最大流问题可以优化信号灯的配时方案。
图论网络规划
图论网络规划一、引言图论网络规划是一种基于图论理论的网络规划方法，用于解决网络拓扑结构的设计和优化问题。
通过构建网络拓扑图，并运用图论算法，可以有效地分析网络中的节点和边的关系，进而优化网络性能、提高网络可靠性和扩展性。
本文将介绍图论网络规划的基本概念、常用算法和应用场景。
二、基本概念1. 图论基础图论是数学的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
图由节点（顶点）和边组成，节点表示网络中的设备或者实体，边表示节点之间的连接关系。
常见的图有有向图和无向图，有向图的边有方向性，无向图的边没有方向性。
2. 网络拓扑图网络拓扑图是指将网络中的节点和边以图的形式表示出来的图形化工具。
通过网络拓扑图，可以直观地展示网络的结构和连接关系，便于进行网络规划和优化。
3. 节点度数节点度数是指与节点相连的边的数量。
对于无向图，节点度数等于与节点相连的边的数量；对于有向图，节点的出度是从该节点出发的边的数量，节点的入度是指指向该节点的边的数量。
4. 最短路径最短路径是指在图中从一个节点到另一个节点的路径中，边的权重之和最小的路径。
最短路径算法可以匡助我们找到网络中节点之间的最短路径，从而提高网络传输效率和降低延迟。
三、常用算法1. 最小生成树算法最小生成树算法用于解决连通图中的最小生成树问题。
最小生成树是指在图中选择一些边，使得这些边连接了图中的所有节点，并且边的权重之和最小。
常用的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法。
2. 最短路径算法最短路径算法用于解决图中节点之间的最短路径问题。
常用的最短路径算法有Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
Dijkstra算法适合于解决单源最短路径问题，即从一个节点出发，求解到其他所有节点的最短路径。
Floyd-Warshall算法适合于解决任意两个节点之间的最短路径问题。
3. 最大流算法最大流算法用于解决网络中的最大流问题。
最大流问题是指在网络中找到从源节点到汇节点的最大流量。
图论网络规划
图论网络规划图论网络规划是指利用图论的相关理论和方法，对网络进行规划和优化的过程。
图论是数学的一个分支，研究图的性质和图中元素之间的关系。
网络规划是指在给定的条件下，确定网络的拓扑结构、传输路径和资源分配等，以达到最优的性能和效益。
在图论网络规划中，首先需要对网络的拓扑结构进行建模。
网络可以用图来表示，图中的节点表示网络中的设备或者站点，而边表示节点之间的连接关系。
网络的拓扑结构可以是任意的，比如星型、环型、网状等。
建模时需要考虑网络中的节点数量、节点之间的连接关系、节点的位置分布等因素。
其次，需要确定网络中的传输路径。
传输路径是指数据从源节点到目的节点的传输路径。
在网络规划中，传输路径的选择对网络的性能和效益有着重要的影响。
传输路径的选择可以基于最短路径算法，比如Dijkstra算法或者Bellman-Ford算法等。
这些算法可以根据节点之间的距离或者带宽等因素，选择最优的传输路径。
除了传输路径，还需要考虑网络中的资源分配。
资源分配包括带宽分配、存储分配、计算资源分配等。
带宽分配是指将网络中的带宽按照一定的规则分配给各个节点或者连接。
存储分配是指将网络中的存储资源按照一定的规则分配给各个节点或者连接。
计算资源分配是指将网络中的计算资源按照一定的规则分配给各个节点或者连接。
资源分配的目标是使得网络中的资源利用率最大化，同时满足用户的需求。
在进行网络规划时，还需要考虑网络的安全性。
网络的安全性是指网络对于非法入侵、数据泄露等威胁的抵抗能力。
网络规划中的安全性包括网络的防火墙设置、访问控制列表、数据加密等。
网络的安全性需要根据具体的应用场景和需求进行规划和设计。
除了以上的内容，图论网络规划还可以涉及到其他方面的内容，比如网络的容错性、网络的可扩展性、网络的成本等。
网络的容错性是指网络在面对节点故障或者链路故障时的恢复能力。
网络的可扩展性是指网络在面对用户数量增加或者业务增加时的扩展能力。
网络的成本是指网络建设和维护的成本，包括设备的购买成本、设备的维护成本、带宽的租用成本等。
图论网络规划
图论网络规划一、引言图论网络规划是指在图论的基础上，根据网络的特点和需求，对网络进行合理的规划和设计。
通过优化网络拓扑结构、提高网络性能和可靠性，实现网络资源的合理利用和高效管理。
本文将详细介绍图论网络规划的相关概念、方法和步骤，并结合实际案例进行说明。
二、概念解析1. 图论：图论是数学的一个分支，研究由顶点和边构成的图的性质和关系。
在网络规划中，图论被广泛应用于网络拓扑结构的建模和分析。
2. 网络规划：网络规划是指对网络进行合理的规划和设计，包括网络拓扑结构、网络设备配置、网络带宽分配等方面的决策。
三、图论网络规划的步骤图论网络规划通常包括以下步骤：1. 确定网络需求：根据实际需求，确定网络的功能要求、性能指标、服务质量要求等。
2. 建立网络拓扑模型：根据网络需求，将网络抽象为图模型，其中顶点表示网络设备，边表示设备之间的连接关系。
3. 分析网络拓扑结构：通过图论的方法，分析网络拓扑结构的特点，包括节点度数、连通性、环路等。
4. 优化网络拓扑结构：根据网络分析结果，对网络拓扑结构进行优化，包括增加节点、调整连线、改变网络层次结构等。
5. 设计网络设备配置：根据网络拓扑结构和性能要求，确定网络设备的类型、数量和位置。
6. 分配网络带宽：根据网络服务质量要求，合理分配网络带宽资源，保证各个服务的带宽需求得到满足。
7. 验证网络规划方案：通过摹拟实验或者实际测试，验证网络规划方案的可行性和有效性。
四、实际案例分析以某大型企业的网络规划为例，该企业拥有多个分支机构，需要建立一个高效可靠的企业内部网络。
1. 确定网络需求：该企业要求网络能够支持大量员工同时在线办公，具备高速稳定的数据传输能力。
2. 建立网络拓扑模型：将企业网络抽象为一个有向图模型，其中顶点表示网络设备，边表示设备之间的连接关系。
3. 分析网络拓扑结构：通过图论的方法，分析网络拓扑结构的特点，发现网络中存在瓶颈节点和环路。
4. 优化网络拓扑结构：根据网络分析结果，增加瓶颈节点的带宽容量，调整环路结构，提高网络的传输效率。
数学建模——规划模型
假设：料 场和工地 之间有直 线道路
1)现有 2 料场，位于 A (5, 1), B (2, 7),记为 (xj,yj),j=1,2, 日储量 ej 各有 20 吨。
i 1 i
n
i
a ik x k bi , i 1, 2 ,..., n. s.t . k 1 x 0 , i 1, 2 ,..., n. i
（3）二次规划问题
目标函数为二次函数，约束条件为线性约束
1 n min u f ( x ) ci xi bij xi x j 2 i , j 1 i 1 n a ij x j bi , i 1, 2,..., n. s.t . j 1 x 0 .i 1, 2,..., n. i
改写为： S.t.
min z 13 9 10 11 12 8X
0 0 800 0.4 1.1 1 0 X 0 0 0 0 . 5 1 . 2 1 . 3 900
x1 x2 x 3 ，X 0 x4 x 5 x 6
编写M文件xxgh4.m如下： c = [40 36]; A=[-5 -3]; b=[-45]; Aeq=[]; beq=[]; vlb = zeros(2,1); vub=[9;15]; %调用linprog函数： [x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
（一）规划模型的数学描述
u f ( x)
数学模型优化电信网络布局
数学模型优化电信网络布局一、引言电信网络是现代社会不可或缺的基础设施之一，它对于信息传输和通信起着重要的作用。
在电信网络的布局过程中，如何合理选择站点的位置和线路连接，成为了一个关键问题。
本文将介绍如何利用数学模型来优化电信网络布局，以实现网络的高效、稳定和可靠。
二、问题描述在电信网络的布局问题中，我们需要考虑到以下几个因素：1. 线路连接的成本：不同站点之间的线路连接会有一定的成本，我们需要考虑如何最小化总成本。
2. 站点的覆盖范围：每个站点能够提供网络覆盖的范围是有限的，我们需要确定每个站点的覆盖范围以最大程度地满足用户需求。
3. 网络的可靠性：电信网络需要具备较高的可靠性和抗干扰能力，我们需要考虑如何最大程度地提高网络的可靠性。
三、数学模型建立为了优化电信网络布局问题，我们可以利用数学模型来描述和求解。
一般来说，我们可以将该问题抽象为一个图论问题。
具体而言，我们可以用一个无向图来表示电信网络的拓扑结构，每个站点表示图中的一个节点，线路连接表示节点之间的边。
在该图中，我们引入以下几个参数：1. $n$：表示站点的数量。
2. $d_i$：表示站点$i$的线路连接成本。
3. $R_i$：表示站点$i$的覆盖半径。
4. $C_{ij}$：表示站点$i$和站点$j$之间的线路连接成本。
根据问题的要求，我们需要考虑以下几个目标函数：1. 总成本最小化：$\min \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} C_{ij}x_{ij}$，其中$x_{ij}$表示站点$i$和站点$j$之间的连接是否存在。
2. 网络覆盖最大化：$\max \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} R_ix_{ij}$，其中$x_{ij}$表示站点$i$和站点$j$之间的连接是否存在。
3. 网络可靠性最大化：$\max \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} R_ix_{ij} u_{ij}$，其中$x_{ij}$表示站点$i$和站点$j$之间的连接是否存在，$u_{ij}$表示连接$i$和$j$之间的线路是否可靠。
数学建模中的图与网络分析
生物信息学中的网络分析
生物信息学中的网络分析
生物分子相互作用网络
利用图与网络理论，对生物分子相互作用 、基因调控、蛋白质互作等生物信息进行 建模和分析。
研究生物分子之间的相互作用关系，揭示 生命活动的内在机制。
基因调控网络
蛋白质互作网络
研究基因转录调控的相互作用关系，揭示 基因表达的调控机制。
研究蛋白质之间的相互作用关系，揭示蛋 白质的功能和结构。
析等方面发挥重要作用。
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动态图
总结词
动态图是随着时间变化的图结构，可以表示事物随时间变化的关系。
详细描述
动态图是图论中的一个重要分支，它研究的是图结构随时间的变化。在动态图中，节点和边的出现、消失以及变 化都可以被建模。这种模型在处理时间序列数据、预测未来趋势和动态系统分析等方面具有广泛应用。
加权图与网络
总结词
加权图与网络中，边具有权重，可以表示节点之间的连接强度或关系。
性质
图具有方向性（有向图和无向图）和 权重（加权图和无权图）等性质。
图的分类
有向图
边具有方向，表示对象之间的单向关 系。
无向图
边没有方向，表示对象之间的双向关 系。
加权图
边具有权重，表示对象之间的关系强 度。
无权图
边没有权重，表示对象之间的关系存 在与否。
图的表示方法
邻接矩阵
用矩阵表示图中顶点之间的关系，矩阵元素 表示顶点之间的连接关系。
规则图
根据预设规则生成节点和边，如网格、环状、星 状等。
社区结构图
根据节点间的相似性或关联性生成图，形成具有 社区结构的网络。
网络的形成
无向网络
节点间连接无方向，表示相互关系。
图论网络规划
图论网络规划引言概述：图论网络规划是一种应用于计算机科学和网络工程的重要技术。
它通过分析和优化网络结构，以提高网络的性能和效率。
本文将从五个方面详细介绍图论网络规划的相关内容。
一、网络拓扑结构的设计1.1 网络拓扑结构的定义与分类- 介绍网络拓扑结构的概念和作用- 分类常见的网络拓扑结构，如星型、总线型、环型等- 分析各种网络拓扑结构的优缺点，适用场景1.2 网络拓扑结构的建模与分析- 介绍网络拓扑结构的建模方法，如图论中的图模型- 讨论网络拓扑结构的分析技术，如节点度、连通性等指标- 引用实际案例，说明建模与分析的重要性和应用价值1.3 网络拓扑结构的优化与改进- 探讨网络拓扑结构的优化方法，如最小生成树算法- 分析网络拓扑结构改进的策略，如添加冗余节点、优化链路带宽等- 引用实际案例，说明优化与改进的效果和可行性二、网络路径规划与优化2.1 网络路径规划的基本概念- 介绍网络路径规划的定义和目标- 解释路径规划中的常用算法，如最短路径算法、最大流算法等 - 引用实际案例，说明路径规划的重要性和应用场景2.2 网络路径优化的方法与策略- 探讨网络路径优化的方法，如负载均衡、流量调度等- 分析路径优化的策略，如动态路由、QoS策略等- 引用实际案例，说明路径优化的效果和实施难点2.3 网络路径规划与优化的综合案例- 介绍一个具体的网络路径规划与优化案例- 分析案例中的路径规划与优化策略- 总结案例的成功经验和启示三、网络容量规划与管理3.1 网络容量规划的概念与目标- 介绍网络容量规划的定义和作用- 解释容量规划中的常用指标，如带宽、吞吐量等- 引用实际案例，说明容量规划的重要性和应用场景3.2 网络容量管理的方法与工具- 探讨网络容量管理的方法，如流量监测、负载均衡等- 分析容量管理的工具，如网络分析器、性能监控系统等- 引用实际案例，说明容量管理的实施难点和解决方案3.3 网络容量规划与管理的最佳实践- 介绍网络容量规划与管理的最佳实践原则- 分析成功案例中的容量规划与管理策略- 总结最佳实践的经验和教训四、网络安全规划与防护4.1 网络安全规划的重要性与目标- 介绍网络安全规划的意义和目标- 解释网络安全规划中的常见问题，如DDoS攻击、入侵检测等 - 引用实际案例，说明网络安全规划的必要性和应对策略4.2 网络安全防护的方法与技术- 探讨网络安全防护的方法，如防火墙、入侵检测系统等- 分析安全防护的技术，如加密算法、访问控制等- 引用实际案例，说明安全防护的效果和挑战4.3 网络安全规划与防护的实践经验- 介绍网络安全规划与防护的实践经验- 分析成功案例中的安全规划与防护策略- 总结实践经验的启示和建议五、网络故障诊断与恢复5.1 网络故障诊断的基本原理- 介绍网络故障诊断的基本概念和原理- 解释故障诊断中的常见技术，如Ping、Traceroute等- 引用实际案例，说明故障诊断的重要性和应用场景5.2 网络故障恢复的方法与策略- 探讨网络故障恢复的方法，如备份恢复、冗余路由等- 分析故障恢复的策略，如快速切换、容灾设计等- 引用实际案例，说明故障恢复的效果和实施难点5.3 网络故障诊断与恢复的最佳实践- 介绍网络故障诊断与恢复的最佳实践原则- 分析成功案例中的故障诊断与恢复策略- 总结最佳实践的经验和教训结论：通过对图论网络规划的五个方面的详细阐述，我们可以更好地理解和应用图论网络规划的相关技术。
数学建模--内部网组织规划问题
内部网信息组织规划问题一、摘要内部网信息组织规划问题中，考虑到信息规划总费用尽可能小，我们运用了规划中的单目标规划，考虑其中外部信息块在或不在服务器上的问题，我们又采用了0－1整型规划。
主要解题思路是：首先确定目标函数为整个组织规划的总费用最少，然后根据题目中给出的一些主要条件，如：服务器信息总容量，每个内部信息块必须放在某个服务器上等为限制条件，建立模型。
在具体给的例子中，我们在总费用尽量少的目标函数下，通过matlab编程，得出至少6台服务器的结论，再在限制条件的约束下得出组织规划方案：7台服务器的信息块分配方案如下：（单位：MB，注括号为其编号，不带括号的为给的内部信息块，例264（4）表示第4个外部信息块，容量为264）第一台：264（4）、195、53（２）第二台：361（3）、149第三台：257 ( 13 )、104（５）、147 （１5）第四台：171、175（９）、157（1２）第五台：218（1）、163（11），114（8）第六台：460（7）第七台：77（14）总费用：6.1万元关键字：单目标规划、0－1整型规划二、问题重述一个企业的内部网（Intranet网），在互联网（Internet）上有两种功能．对外，它主动发布信息，介绍其最新产品和技术，为客户提供服务, 在公众面前为企业作宣传等；对内它自身也是外部互联网用户，要访问内部网以外的各种信息以了解市场，在商业竞争中保持有利地位．在企业发布信息时，将相应的信息主题分成块结构，称之为内部信息块，分布在企业内部不同的服务器上。
另外企业对外访问是有针对性的，对某些外部信息块的频繁访问会造成通信费用的增长．为了有效地降低通信费用，可以将那些被访问频繁的外部互联网信息块下载至内部网的服务器上，使之成为内部信息块．一旦成为内部信息，即可省下通信费用，而且访问速度大大提高．由于服务器本身内存的限制，企业要有选择的下载外部信息块，并放入适当的服务器或在适当的时候购买新的服务器以满足需要．在此问题中，每个内部信息块必须放在某个服务器上，当然需要占用此服务器的内存．对每个可能有用的外部信息块，企业可以下载也可不下载。
数学建模-第十章网络规划资料
该算法始终试图把权尽可能小的边加到 T 中，仅 当加入后使 T 不是树才放弃，对边的选取，不必瞻前 顾后，只看眼前利益 . 这就是简单且重要的贪婪算法 （Greedy）.
回路： 起点与终点重合的初等链；
§0 图的基本概念
赋连(通加图)权：图图：G图中G任的意每两条点边ue和= (vvi存，在vj)一与条一链实；数
割边w(：e) =若w去ij 对掉应边. ew将(e使) =连w通ij 称图为G边不e再的连权通.，则称 e
割集：边为的G集的合割，边从；连通图 G 中移去这些边，则 G 线度不：连与通顶，点且v 关不联存的在边这数些(边环的算真两子次集)称使为图v不的连线通度.;
第十章 网络规划
图简关记系为
Definition
Graph Vertex GE=Rd（eglVaet，ionE）
图： 有序三元组 G = ( V，E，R ) 称为一个图，其中
① V = { v1，v2,…，vn }是有穷非空集，称为顶点集； ② E 称为边集，其中的元素叫做边；
பைடு நூலகம்
③ R 是从边集 E 到 V 中的有序或无序的元素偶对应
对有v4向图有e5类似无v向5 图的概念A，rc如 dv+4(vi)，de-5(vi) . v5
第十章 网络规划
图的矩阵表示：
关联矩阵： 对无向图 G = (V, E)，其中 V = { v1, …,vn },
E = { e1, e2,…,em } . 构造 n×m 矩阵 A =( aij ) n×m
13-图与网络规划
主要内容: 图论的基本概念 最小支撑树问题 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
第十章 图与网络
例：七桥问题
AHale Waihona Puke CDB 问题：一个散步者能否走过七座桥，且每座桥只走过一 次，最后回到出发点。 能否从某一点开始不重复地一笔 画出这个图形，最后回到原点。
例：有甲、乙、丙、丁、戊五个球队，各队之间比赛
1、取权重最小的边[v2,v3]，权为1，j=1 <5,
2、在剩余各边中取权重最小且不与上述已取各边不形成 v3 v5 圈的边[v2,v4]，其权重为2， j=2 <5, 3、同上，取边[v4,v5]，其权重为3， j=3 <5, 4、同上，取边[v5,v6]，其权重为4， j=4 <5,
4
v1
1 5
检查过的边数
取的边数 令i=1 ，j=0 ， E0= ， 最小树的边集
第2步：按顺序检查ei,如果（V，Ei-1ei）含圈，Ei=Ei-1， 取定这条边 不要这条边
令i=i+1，继续检查ei，如果（V，Ei-1ei）不含圈， 令Ei=Ei-1ei，j=j+1。 第3步：重复第2步，直到取的边数j=n-1，结束， （V，Ei）就是所求最小树，
3、链与圈
给定一个无向图G=（V，E），G中的一个点、边交 错序列（v1，e1，v2，e2，…，vk-1，ek-1，vk），如果满 足et=[vt，vt+1]（t=1，2，…，k-1），则称其为一条联接 v1和vk的链，记为=（v1，v2，…，vk）。
例：1=（v2，v1，v3，v6，v4，v3，v5）
v2
6
3,5
1
v5
v9
3
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第十章 网络规划
§0 图的基本概念 §1 最小生成树问题 §2 最短路问题 §3 最大流问题 §4 中国邮递员问题
第十章 网络规划
该问题由Euler在
§0 图的基本概念 1736年解决
Example 1 七桥问题
18世纪的德国有个哥尼斯堡城，在流贯全城的普
回路： 起点与终点重合的初等链；
§0 图的基本概念
赋连(通加图)权：图图：G图中G任的意每两条点边ue和= (vvi存，在vj)一与条一链实；数 割边w(：e) =若w去ij 对掉应边. ew将(e使) =连w通ij 称图为G边不e再的连权通.，则称 e
割集：边为的G集的合割，边从；连通图 G 中移去这些边，则 G 线度不：连与通顶，点且v 关不联存的在边这数些(边环的算真两子次集)称使为图v不的连线通度.;
其中
v1 e2 v4
1 aij 0
e1
e3
e8
e4 v3 e7 e5
vi与e
关联
j
则称矩阵 A 是图 G
否则
的关联矩阵 .
e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8
v2
v1 1 1 1 0 0 0 0 0
e6
v2
1
0
0
0
0
1
0
1
A
v3
0
0
1
1
0
0
1
1
v5
v4 0 1 0 1 1 0 0 0
雷尔则河七两桥岸问和题河就中成两为个无岛向之图间中架是设否了存七在座通桥过，每把一河边的
两一岸次和且两仅岛一连次接的起路来（，即能一否笔有画这）样问一题种. 走法，它通过
每座桥一次且仅一次 .
C
A
D
B
§0 图的基本概念
人状态转狼移问羊题 菜
Example 2 人、狼、羊、菜渡河问题 F W G C
e = (u，v), 顶点 u 及 v
并称 u 与 v 关联，顶点
为u 与无顶向点边的v 相两e邻个6 端.e2 点与；同e边一3 个ee4 与顶
点关联的若干条边称为是相邻的 . v4 e5
v3
自环： 两个端点重合为一个顶点的边；
Note : 是图
平行边： 关联于同一对顶点的两条边；
简单图： 没有自环和平行边的图；
v5 0 0 0 0 1 1 1 0
v5§0 图的基本概念
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邻接矩阵： 对无向图 G = (V, E)，其中 V =对{称v矩1,阵…,vn },
构造 n×n 矩阵 B =( bij ) n×n
其中
v1 e2 v4
1 bij 0
e1
e3
e8
e4 v3 e7 e5
(vi , vj ) E 否则
e1
v1
e2
v2
完备图：任两个顶点之间恰有一条边相关联；
子图：设 G = (V, E)，G1 = (V1,
E1 E, 则称图 G1 为图
EG1)若的都简e子是记=图(为图vev43；i ，e, ivj j且)e4V1e6
Ve,5
v3
第十章 网络规划
生成(支撑)子图： 若图 G1 是图 G 的子图，且 V1 = V， 则称 G1 是 G 的生成子图； 链（道路）：图 G 中一个由顶点和边交错而成的非空 有限序列：W = v0e1v1e2…ekvk，ei ∈E，i = 1,2,…,k， vj ∈V，j =0,1,2,…,k, 且 ei = (vi-1，vi), 则称 W 是 G的一 条链（道路）； v0、vk 称为 W 的起终点，k为路长； 初等链： 各顶点相异的链； 圈： 起点与终点重合的链；
一F个WG摆C 渡人希FW望G 用一F条WC小船把FG一C 只狼、F一G 头羊和
一篮白菜 从一条河的南岸渡到北岸去，而船小只能容
纳人、狼、羊、菜中的两个，决不能在无人看守的情
况下，留下狼和羊在一起或羊和白菜在一起，应怎样
渡河才能O将狼、羊C、白菜都G运过河？W
WC
考虑渡河过程中河南岸的变化情况，最初的状态 是人、则狼渡、河羊问、题菜归，结最为终寻状找态从成顶空点状态“，FW中G间C的” 到状顶态 为点人“、O狼”、的羊路、线菜. 的不同组合 . 共有 16 种状态， 但有 6 种状态是不允许的，如狼、羊、菜等.
的集合的映射，称为关联函数 .
无向图： 在图 G = (V，E) 中， 与 V 中的无序偶对应的边 e , 称 为图 G 的无向边，每条边都是 无向边的图，称为无向图 .
v1
e1
v2
e3 e2 e4
e8
e6 v3 e7
v4
e5
v5
§0 图的基本概念
E 中任一条边 e 若连接顶点 u 和 v ， v1 则记e1 为 v2
记记为为Sd, S(v ) .S 为d一(v个2) 连= 3通，分d(支v3)的=顶4 点集.
有向ve图有12的：向ee边43 边在eev1的3,图e称8图eG7为，=e图称v62(V为G，有的E向)有中图向，边. 与（记V弧为ve中12）G的ee，43=有(每Ｖev序13条，e偶8边eＡ7对都)e应v6是2
则称矩阵 B 是图 G 的邻接矩阵 .
组合优化理论
Combinatorial Optimization Theory
第十章 网络规划
第十章 网络规划
我们生活在一个网络世界中，从某种意义上说现 代社会是一个由计算机信息网络、电话通讯网络、运 输服网务络网规络划、是能运源筹和学物（质组分合派优网化络）等的各一种个网经络典所又组重成 的要复分杂支的，网所络研系究统的.问网题络涉规及划经就济是管研理究、如工何业有工效程地、计交 划通运、输管、理计和算控机制科这学个与网信络息系技统术，、使通之讯发与挥网最络大技的术社等会 和经济效益 . 诸多领域 .
对有v4向图有e5类似无v向5 图的概念A，rc如 dv+4(vi)，de-5(vi) . v5
第十章 网络规划
图的矩阵表示：
关联矩阵： 对无向图 G = (V, E)，其中 V = { v1, …,vn },
E = { e1, e2,…,em } . 构造 n×m 矩阵 A =( aij ) n×m
第十章 网络规划
图简关记系为
Definition
Graph Vertex GE=Rd（eglVaet，ionE）
பைடு நூலகம்
图： 有序三元组 G = ( V，E，R ) 称为一个图，其中
① V = { v1，v2,…，vn }是有穷非空集，称为顶点集； ② E 称为边集，其中的元素叫做边；
③ R 是从边集 E 到 V 中的有序或无序的元素偶对应