几何图形的计数问题
四年级奥数第二讲图形的计数问题含答案
四年级奥数第⼆讲图形的计数问题含答案第⼆讲图形的计数问题⼀、知识点：⼏何图形计数问题往往没有显⽽易见的顺序，⽽且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要⼀些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采⽤⼀种简单原始的计数⽅法－⼀枚举法．具体⽽⾔，它是指把所要计数的对象⼀⼀列举出来，以保证枚举时⽆⼀重复、．⽆⼀遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．⼆、典例剖析：例（1）数出右图中总共有多少个⾓分析：在∠AOB内有三条⾓分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条⾓分线分成4个基本⾓，那么∠AOB内总共有多少个⾓呢？⾸先有这4个基本⾓，其次是包含有2个基本⾓组成的⾓有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本⾓组成的⾓有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本⾓组成的⾓有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有⾓：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个⾓。
练⼀练：数⼀数右图中总共有多少个⾓？答案: 总共有⾓：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）例（2 ）数⼀数共有多少条线段？共有多少个三⾓形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三⾓形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本⼩三⾓形有4个.所以在△AGH中共有三⾓形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三⾓形有同样的个数，所以在△ABC中三⾓形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三⾓形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三⾓形30个。
七年级数学奥数《几何图形的计数问题》教学课件
=268(个)．
• 例6、(1)、图1－70(a)中有多少个三角形？ • (2)、图1－70(b)中又有多少个三角形？
• 解： • (1) 图1－70(a)中有6条直线．一般来说，每3条直
线能围成一个三角形，但是这3条直线如果相交 于同一点，那么，它们就不能围成三角形了． • 从6条直线中选3条， • 有 6 5 4 20 种选法(见说明)，
有三个最小的尖向上的三角形(左、右、下各一个)， • 所以最小的三角形不是21个而是24个． • 于是尖向上的三角形共1+3+6+10+15+24=59(个)． • 图中共有三角形59×2=118(个)．
• 例5、图1－69中有多少个等腰直角三角形？
• 解：图1－69中有5×5+4×4=41个点．在每点标 一个数，它等于以这点为直角顶点的等腰直角三 角形的个数．因此，共有等腰直角三角形
• (1)、若点Pn在某个小三角形的内部，如图1－73(a)，则原 小三角形的三个顶点连同Pn将这个小三角形一分为三， 即增加了两个小三角形；
• (2)、若点Pn在某两个小三角形公共边上，如图1－73(b)．
• 则这两个小三角形的顶点连同点Pn将这两个小三角形分 别一分为二，即也增加了两个小三角形．
• 4个圆最多将平面分成8+6=14个部分．
• 5个圆最多将平面分成14+8=22个部分．
• 所以，5个圆最多将平面分成22个部分．
• 说明：用上面类似的方法，我们可 以计算出n个圆最多分平面的部分 数为：
• 2+1×2+2×2+…+(n-1)×2
几何图形中的计数问题
几何图形中的计数问题（临泉田家炳实验中学 安庆旺 236400）将两个计数原理（分类加法计数原理、分步计数原理）与几何图形相结合，解决几何图形中的计数问题。
这类问题是在知识的交汇点处设计问题，具有一定的综合性和灵活性，是高考和竞赛考试的热点问题。
能较好地考查学生对两个原理的理解与应用，同时也能考查学生的空间想象能力、转化问题能力、分析问题和解决问题的能力。
下面举例说明。
1 适当分类例1 （1998高中数学联赛）在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是（ ）)(A 57 )(B 49 )(C 43 )(D 37解析：按共线三点组的性质进行适当分类: ①两端都是正方体顶点的共线三点组有2827828=⨯=C 个； ②两端都是正方体各棱中点的共线三点组有182312=⨯个； ③两端都是正方体各个面的中心的共线三点组有3216=⨯个 且没有其他的共线三点组，所以共线三点组共有4932818=++个.例2 在图1的86⨯方格中,点A,则以这些直线为边,且过点A 的矩形共有多少个？解析：构成矩形需要两条水平的边和两条竖直的边，在本题中，可根据点A 所在的位置进行分成三类：①当点A 为所选矩形的顶点时，必选水平的边4n 和竖直的边3m ，再从另外的水平边123567,,,,,n n n n n n 任选一条，从另外的竖直边12456789,,,,,,,m m m m m m m m 任选一条，一共有116848C C ⋅=个矩形；②当点A 在水平的边上，且不为顶点时，水平的边4n 必选，而竖直的边3m 不选，否则，A 为顶点，n6n5n4n3n2n1再从另外的水平边123567,,,,,n n n n n n 任选一条，从另外的竖直边12,m m 任选一条，456789,,,,,m m m m m m 任选一条，一共有11162672C C C ⋅⋅=个矩形； ③当点A 在竖直的边上，且不为顶点时，水平的边4n 不选，而竖直的边3m 必选，再从另外的水平边123,,n n n 任选一条，从567,,n n n 中任选一条，从竖直边12456789,,,,,,,m m m m m m m m 任选一条，一共有11133872C C C ⋅⋅=个矩形； 所以，以这些直线为边,且过点A 的矩形共有 487272192++=个。
高考中“立体几何”中的计数问题求解方法
高考中“立体几何”中的计数问题求解方法在近几年的高考试题中频繁出现以“立几”中的点、线、面的位置关系为背景的计数问题，这类问题题型新颖、解法灵活、多个知识点交织在一起，综合性强，能力要求高，有一定的难度，它不仅考查相关的基础知识，而且注重对数学思想方法和数学能力的考查。
现结合具体例子谈谈这种问题的求解策略。
1、直接求解例1：从平面上取6个点，从平面上取4个点，这10个点最多可以确定多少个三棱锥？解: 利用三棱锥的形成将问题分成平面上有1个点、2个点、3个点三类直接求解共有+ + 个三棱锥例2: 在四棱锥P-ABCD中，顶点为P，从其它的顶点和各棱的中点中取3个，使它们和点P在同一平面上，不同的取法有A.40B. 48C. 56D. 62种解: 满足题设的取法可以分成三类（1）在四棱锥的每一个侧面上除P点外取三点有种不同取法；（2）在两个对角面上除点P外任取3点，共有种不同取法；（3）过点P的每一条棱上的3点和与这条棱异面的棱的中点也共面，共有种不同取法,故共有40+8+8=56种评注：这类问题应根据立体图形的几何特点，选取恰当的分类标准，做到分类不重复、不遗漏。
2、结合“立几”概念求解例3: 空间10个点无三点共线，其中有6个点共面，此外没有任何四个点共面，则这些点可以组成多少个四棱锥？解析:3、结合“立几”图形求解例4.用正五棱柱的10个顶点中的5个顶点作四棱锥的5个顶点，共可得多少个四棱锥？解：分类：以棱柱的底面为棱锥的底面;以棱柱的侧面为棱锥的底面以棱柱的对角面为棱锥的底面以图中(梯形)为棱锥的底面共+ + + =170个4、构造几何模型求解例5.（05年湖北）以平面六面体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为A. B. C.D. 选A在知识的网络交汇点初设计命题是近几年高考命题改革强调的重要观念之一，在复习备考中，要把握好知识间的纵横联系和综合，使所学知识真正融会贯通，运用自如，形成有序的网络化知识体系。
几何中的计数问题公式
几何中的计数问题公式几何中计数问题是许多研究者和学生们持续关注的一个重要领域。
这种类型的问题不仅困难，而且提供了令人兴奋的机会来解决一些基本的几何问题。
几何中计数问题的解决方法往往会涉及到一些公式，这些公式可以帮助我们解决特定的几何问题。
其中一种最经典的公式就是欧几里得的算数公式。
欧几里得的算数公式非常简单而实用，是一个通项公式，可以应用于任何正整数的数学问题。
该公式通过涉及到四个项目“n+1”，“n-1”，“n+2”和“n-2”，可以表达一个数字连续增加或减少的量。
公式如下：F(n)=F(n-1) + [2F(n-2)-F(n+1)]欧几里得的算数公式可以被用来解决几何中的计数问题。
例如，在一个二维平面上，欧几里得的算数公式可以用来计算边缘图形的内角总角度的总和。
另外，欧几里得的算数公式还可以用来解决几何中复杂情况的计数问题。
比如，假如存在一个多维地理位置的空间，欧几里得的算数公式可以用来计算该空间位置上任何点到其他离散点的距离平均值。
此外，几何中的计数问题还可以用另一个通项公式来解决，这就是帕累托的领数公式。
该公式用于解决具有两个参数的几何计数问题，其中，一个参数表示位置，另一个参数表示指数。
公式如下：F(k,n)= 2^(k-1)*(n-1)!帕累托的领数公式可以用来解决几何中的多项式计数问题。
例如，可以用它来计算一个多面体所有面的总数，或者找到一个多面体的体积。
此外，几何中的计数问题也可以用另一种非常常见的公式来解决，即伽马函数。
伽马函数可以用来表示一个几何形状内任意两点之间的距离。
其公式如下：F(n,m)= 2^(-n/2)*sqrt(n)*sqrt(m)伽马函数可以用来计算一个几何体内部任何两点之间的距离，它还可以用来计算该几何体的表面积。
因此，可以看出，几何中的计数问题是可以通过使用不同的公式来解决的。
欧几里得的算数公式、帕累托的领数公式和伽马函数都可以为我们提供帮助，在解决一些几何中的计数问题时可以使用它们。
几何计数练习题
几何计数练习题在几何学中，计数练习题是一种广泛应用的教学方法，它通过给出一系列几何图形或形状来培养学生的计数能力和几何思维。
通过解决这些练习题，学生能够练习计数的技巧，加深对几何的理解，并培养解决问题的能力。
本文将结合一些例题，介绍几种常见的几何计数练习题。
1. 组合方格在一个方格中，每个小方格的边长都相等。
假设方格的边长为n，那么这个组合方格一共有多少个小方格？解答：我们可以将组合方格分解成n*n个小方格，即n^2个小方格。
2. 四边形计数给定一个四边形，边长分别为a, b, c, d。
如果四边形的边长满足a=b=c=d，那么有多少个不同形状的四边形？解答：对于边长相等的四边形，我们可以将其中一个边固定不动，然后旋转剩下的三个边。
根据旋转的不同方式，可以得到不同形状的四边形。
因此，共有4种不同形状的四边形。
3. 正多边形的内角和对于一个正多边形，它的每个内角都相等。
给定一个正多边形，边数为n，那么正多边形的所有内角和是多少？解答：由于正多边形的每个内角都相等，所以我们可以计算其中一个内角的度数，然后将其乘以边数n得到所有内角的和。
一个正多边形的内角度数可以通过公式(180° * (n - 2)) / n计算得到。
因此，所有内角的和等于(180° * (n - 2))。
4. 平行线的交点给定平面上两条相交的直线，这两条直线之间的夹角是多少？解答：当两条平行线相交时，我们可以通过绘制一条与这两条线相交的横线，来形成一个三角形。
这个三角形的底边就是两条平行线的距离，而顶角则是两条平行线之间的夹角。
因此，两条平行线之间的夹角等于这个顶角的大小。
5. 立体几何体的顶点、边和面计数对于一个给定的立体几何体，如正方体或正六面体，如何计算它的顶点数量、边数量和面数量？解答：对于一个正方体来说，它有8个顶点、12条边和6个面。
而对于一个正六面体来说，它有12个顶点、30条边和20个面。
一般来说，可以使用以下公式来计算立体几何体的顶点数量、边数量和面数量：顶点数+面数=边数+2。
第六讲几何图形的计数问题
第六讲几何图形的计数趣谈一、常用的几个简单几何图形的计数公式1．数线段、三角形、（锐）角的公式数出图6－1中各条线段上线段的总条数。
图6－1(a)中只有两个点A、B、只有一条线段。
图6－1(b)中有A、B、C三个点，这三个点将线段AC分割成AB、BC两条小线段，这两条小线段连起来组成一条新线段AC，所以图6－1(b)中有三条线段算式为2＋1＝3。
图6－1(c)中有A、B、C、D四个点，这四个点将线段AD分割成AB、BC、CD三条小线段；把相邻的两条小线段连起来组成两条新线段AC、BD，然后相邻的三条小线段连起来组成一条新线段AD，所以图6－1(c)中共有6条线段，算式为3＋2＋1＝6。
图6－1(d)中在有A、B、C、D、E五个点，这五个点将线段AE分割成AB、BC、CD、DE四条小线段；把相邻的两条小线段连起来组成三条新线段AC、BD、CE；再将相邻的三条小线段连起来又组成两条新线段AD、BE；最后相邻的四条小线段连起来又组成一条新线段AE。
所以图6－1(d)中共有10条线段。
算式为4＋3＋2＋1＝10。
图6－1(e)中有A、B、C、D、E、F六个点，这六个点将线段分割成AB、BC、CD、DE、EF五条小线段；这五条小线段中的任意相邻两条小线段连起来又组成四条新线段AC、BD、CE、DF；然后将相邻三条小线段连在一起又组成三条新线段AD、BE、CF；再将相邻四条小线段连起来又组成两条新线段AE、BF；最后五条相邻小线段连起来又组成一条新线段AF。
所以图6－1（e）中共有15条线段。
算式为5＋4＋3＋2＋1＝15。
将上述几种情况一般化，如果某条线段上共有n个点（包括两个端点），那么这n个点将线段分割成n－1条小线段，这n－1条小线段中，任意相邻两条小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有n－2条。
另外，这n－1条小线段中，任意三条相邻小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有n－3条。
例谈与几何图形有关的计数问题
例谈与几何图形有关的计数问题山东省郓城第一中学（274700） 李迎春［摘 要］与几何图形有关的计数问题，一般以几何图形为载体，考查两个计数原理、排列与组合知识的应用，题目新颖独特，体现了在知识交汇处命题的特点。
文章结合几个典型例题，归纳总结这一类问题的求解策略，以帮助学生突破难点，提高学生解决问题的综合能力，发展学生的数学核心素养。
［关键词］几何图形；计数问题；排列；组合［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］ 1674-6058（2024）02-0028-03在各类数学考试中，与几何图形有关的计数问题频频出现。
这类问题一般以几何图形为载体，考查两个计数原理、排列与组合知识的应用，题目新颖独特，体现了在知识交汇处命题的特点。
这类问题该如何破解？本文结合具体例题进行分类解析。
一、“位置关系”问题“位置关系”问题是指结合几何图形的某种特征，利用两个计数原理、排列与组合知识加以计数的一类计算问题，通常是计算图形中含有多少对异面直线、含有多少个三角形、含有多少个平面等。
［例1］（1）若把两条异面直线叫作“一双”，则在一个正方体的十二条棱中可以构成异面直线（ ）。
A. 12双B. 24双C. 36双D. 48双（2）从正方体ABCD-A′B′C′D′的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到不同的四面体的个数为。
（3）在如图1所示的四棱锥中，顶点为P，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P在同一平面内，则不同的取法种数为。
解析：（1）画出正方体，如图2所示，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除重复计算的棱，则共有异面直线12×42=24（双），故选B。
（2）从8个顶点中任取4个有C48种方法，从中去掉6个面和6个对角面，所以有C48-12=58个不同的四面体。
（3）求不同的取法种数可分为三类。
第一类，从四棱锥的每个侧面上除点P外的5个点中任取3个点，有4C35种取法；第二类，从每个对角面上除点P外的4个点中任取3个点，有2C34种取法；第三类，在过点P的侧棱中，每一条棱上的3个点和与这条棱成异面直线的底面棱的中点也共面，有4C12种取法。
几何计数,数线段,直接利用公式
几何计数,数线段,直接利用公式几何计数是数学中的一个重要概念，用于计算平面内的几何图形的个数。
在几何计数中，数线段是一个常见的问题。
利用公式可以简单地计算出给定平面内线段的个数。
假设给定平面上有n个点，我们可以用这些点来构造线段。
在这些点中，任选两个点可以确定一条唯一的线段。
因此，我们可以从n个点中选择任意两个点，即C(n, 2)种选择方式。
而C(n, 2)代表从n个元素中选择2个元素的组合数，计算公式为：C(n, 2) = n! / [(2!(n-2)!]其中n!表示n的阶乘，即从1到n的连续乘积。
由于计算阶乘可能会非常复杂，因此我们可以利用简化的公式来计算C(n, 2)。
假设n>=2，我们可以简化上述公式为：C(n, 2) = n * (n-1) / 2这个简化公式表示，从n个点中选择任意两个点构成线段，共有n * (n-1) / 2种可能。
例如，给定一个平面上有5个点，我们可以利用简化公式计算出线段的个数：C(5, 2) = 5 * (5-1) / 2 = 5 * 4 / 2 = 10因此，给定5个点的平面上有10个线段。
需要注意的是，这个计算的结果包含了所有不同长度的线段，包括长度为0的线段（即两个点重合的情况）。
如果要求线段的长度大于0，则需要做进一步的筛选和排除。
另外，上述公式只适用于计算给定平面上的线段个数。
如果要考虑不同平面之间的连接，或者给定了其他限制条件（例如线段不能相交），则需要另外的计算方法。
综上所述，利用公式可以简单地计算给定平面内线段的个数。
通过选择任意两个点，利用组合数公式可以计算出线段个数。
这对于几何计数问题中的线段数量问题是一个有用的工具。
几何图形的计数
3
直角三角形和勾股定理
三边成立的等式带有平方，需要密切注意各个长度的差别。
结语
几何图形的计数方法看似简单，却隐藏了各种细节和注意事项。希望本演讲能帮助你更好地掌握这些技 巧，从而更轻松地处理图形计数问题。
4
梯形
两边平行且不相等，垂线长度为高，计算略有不同。
三角形和正多Biblioteka 形的计数方法正三角形三边相等，三个角也相等，易于识别。
相似三角形
各边成比例，计算需要考虑比例因素。
正多边形
对于n边形，公式是(n/2)(n-1)。对于正n边形，公 式是n(n-3)/2。
圆的计数方法
直径和半径
直径是通过圆心的线段，半径是圆心到圆上 任意一点的距离。
几何图形的计数
当我们面对几何图形，我们时常需要对图形总数进行计数。在这个演讲中， 我们将介绍各种几何图形的计数方法，从四边形到多面体，再到不规则图形 和椭圆。
四边形的计数方法
1
正方形
四个直角相等，四条边相等，计数方法简单明了。
2
长方形
两对对边相等而且平行，容易混淆，需要注意不计重复。
3
平行四边形
和长方形类似，对边相等且平行，两者有些细微差别。
可以不相等。
3
平行四边形和基本公式
平行四边形有两组平行对边，计算方 法与梯形类似。
菱形和不规则图形
菱形
四边相等，对角线互相垂直，计算需要注意顶点 角度。
不规则图形
没有特定的规律和公式，需要认真观察和分析。
立体图形和平面图形
立方体和长方体
立方体有六个正方形面，长方体由两个正方形面，四个长方形面和顶部底部。
正八面体
有八个三角形面，计算需要对每个面的贡献分别计算。
几何图形的计数解读
学习计数方法不仅仅使我们获得一定的数学知识和方法，更重要的是使我们
成就测试答案 1．3+2+1=6，∠A1OA4． 2．6+5+4+3+2+1=21． A 3．(4+3+2+1)×（4+3+3+1）=100． 4．4×1+3×2+2×3+1×4=20 5． 3 经过AB到F的有▁▁种爬法 3 经过AE到F的有▁▁种爬法 3 经过AD到F的有▁▁种爬法 所以共9种爬法 6．如图，图中的长方体和正方体共有多少个？ 说出你是怎样数的． 与数长方形和正方形的方法类似 (3+2+1)×(2+1)×(2+1)=54 长方体有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁个 正方体有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁个 3×2×2+2×1×1=14 D D E G F F E C
基础训练5 下图中共有
个三角形
A
顶点为O，且 一边在AB上的三角形有3×4÷2=6（个）； 一边在BC上的三角形有4×5÷2=10（个）； 一边在AC上的三角形有 3×4÷2=6（个）， 再加△ABC，所以共有23个三角形．
O B A E G B M P Q N D F H C C
（四）数长方形、平行四边形和正方形
例7
你打算怎样数图中的三角形？ F
A
B 5 第1类：与三角形ABE形状有某些相似的三角形有▁▁个 5 第2类：与三角形ABF形状有某些相似的三角形有▁▁个 10 第3类：与三角形ABG形状有某些相似的三角形有▁▁个 5 第4类：与三角形ACD形状有某些相似的三角形有▁▁个 5 第5类：与三角形AFL形状有某些相似的三角形有▁▁个 5 第6类：与三角形AGD形状有某些相似的三角形有▁▁个 所以图中的三角形共有35个 这里所采用的方法是分类法中的另一种，是： （4）按照图形的形状分类 也可以说是 （5）按照图形所处的位置分类
小学思维数学讲义：几何计数(一)-带答案解析
几何计数（一）1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n条直线最多将平面分成21223(2)2n n n++++=++……个部分；n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．模块一、简单的几何计数【例1】七个同样的圆如右图放置，它有_______条对称轴．【考点】简单的几何计数【难度】1星【题型】填空【关键词】迎春杯，六年级，初赛，试题教学目标例题精讲知识要点【解析】如图：6条．【答案】6条【例2】下面的表情图片中：，没有对称轴的个数为（）（A） 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】选择【关键词】华杯赛，初赛，第1题【解析】通过观察可知，第1，2，5这三张图片是有对称轴的，其他的5张图片都没有对称轴，所以没有对称轴的个数为5，正确答案是C。
上海奥数精讲 第3讲 几何中的计数问题(一)(教师版)
教具准备1、课件:
2、flash动画。
3、板书。
教学难点图形的计数方法
教学重点图形的计数方法
教学目标
1、认识几何中的计数问题；
2、掌握分类的方法有规律地去计算
几何中的计数问题；
3、帮助学生养成按照一定顺序去观
察、思考问题的良好习惯，逐步学会
通过观察、思考探寻事物规律的能力.
第3讲几何中的计数问题（一）
1、 计算一类对象所含个体的数目叫做计数
问题。
2、 解决计数问题的一般方法是：先分类，然
后逐类分步；综合运用加法原理和乘法原理来求解。
4、注意做到不重复、不遗漏。
内1、 几何中的计数问题包括：数线段、数角、
数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等；
2、 线段计数方法：1）按照线段的端点顺
序去数；2）按照基本线段多少的顺序后分类计算包含1,2,3…个基本角的角
的个数；
4、 三角形的计数方法：先数基本三角形的
个数，然后分类计算包含1,2,3…个基本三角形的三角形的个数。
环节一：
教学目标：由简单的线段数的求解激发学生对几何中的计数问题的学习兴趣。
引入
环节二：
教学目标：学习并掌握
例1
）
例2
【讲解过程】
环节三：
教学目标：学习并掌握例３
环节四：
例5
例6
环节五：
教学目标：整理全课思路，巩固收获
巩固目标：熟练应用规律解决几何中的计数问题。
【练习1】数一数下图中，各有多少条线段？
方法总结体现之处
趣味性体现之处
板书设计
课后总结较为成功之处：有待改进之处：。
几何计数的四种常用方法
几何计数的四种常用方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊几何计数的四种常用方法。
你看啊，几何计数就像是在一个奇妙的图形世界里数星星，得有窍门才行。
第一种方法呢，就像按图索骥，我们直接去数那些明显的图形。
这多直接呀，就好比你在一堆糖果里找红色的那颗，一眼就能瞧见。
可别小瞧这方法，有时候简单直接最管用呢！再来说说第二种方法，就像是顺藤摸瓜。
我们找到一些规律，顺着这些规律去计数。
比如说一个图形是按规律排列的，那我们就跟着这个规律走，一个一个地数清楚。
这就好像你知道每天上学的路上会经过几个红绿灯，心里有数得很呐！第三种方法呢，有点像拼图游戏。
我们把复杂的图形拆分成几个简单的部分，分别去计数，然后再合起来。
哎呀呀，这就像把一个大拼图分成小块，数完了再拼回去，多有意思！还有第四种方法，像是走迷宫找出口。
我们通过一些巧妙的计算或者推理，找到计数的方法。
这可得动点小脑筋啦，就像你在迷宫里找路，得仔细琢磨琢磨呢！比如说那个三角形，一个大三角形里又有好多小三角形，你要是没点方法，那不得数得眼花缭乱呀！可要是用对了方法，就像找到了打开宝库的钥匙，一下子就清楚啦。
几何计数可不只是在纸上随便画画数数，它就像生活中的小智慧。
你想想，你收拾房间的时候，是不是得知道有多少东西要放呀；或者你去超市买东西，得清楚自己买了几种不同的商品吧。
几何计数也是一样，让我们更清楚地了解图形的奥秘。
所以啊，大家可别小看这几何计数的四种常用方法，它们就像是我们探索图形世界的秘密武器。
只要我们用心去学，去用，就能在这个图形的海洋里畅游无阻。
好好掌握它们吧，朋友们！让我们一起在几何的世界里玩得开心，数得精彩！。
三年级几何计数
几何计数知识结构一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成 21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步 求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类（1） 数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条（2） 数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．（3） 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．（4） 数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．重难点（1） 重点：三角形、长方形、正方形的计数方法. （2） 难点:复杂正方的计数技巧例题精讲ED CBA【例 1】 数一数，共有________条线段.【考点】简单几何计数【难度】1星【题型】计算【解析】 一共有：12345621+++++=（条）。
几何计数公式,数正方形、长方形、三角形
几何计数公式，数正方形、长方形、三角形几何计数小学阶段主要是数正方形、长方形、三角形。
有许多公式和技巧，今天主要介绍一下这三种图形的计算公式。
正方形图1：n×n个小方格组成的n行n列的正方形图2：m×n个小方格组成的n行m列的长方形(长被分成m等份，宽被分成n 等份)图1正方形个数：n²+(n-1)²+(n-2)²+........+3²+2²+1²=n(n+1)(2n+1)÷61×1的正方形有：n²个2×2的正方形有：(n-1)²个...n×n的正方形有：1²个图2正方形个数：mn+(m-1)(n-1)+(m-2)(n-2)+.......+(m-n+1)(n-n+1)1×1的正方形有：mn个2×2的正方形有：(m-1)(n-1)个...n×n的正方形有：(m-n+1)(n-n+1)个数正方形的公式，主要利用加法原理，把每一类的个数相加。
长方形(一个长方形的长被分成a份，宽被分成b份)长方形个数：((a+1)a÷2)×((b+1)b÷2)数长方形方形的公式，主要利用乘法原理：长边上的线段数×宽边上的线段数图3上图中：长被分成4份，宽被分成3份，所以长方形个数=((4+1)×4÷2)×((3+1)×3÷2)=60(个)三角形，如图4，计算这种图形中的三角形个数，本质就是数线段因为所有的三角形都以最上面的点为顶点，所以看下面两条线段共包含多少个线段即可。
图4数线段的方法，如果一个线段上共n个点，那么线段数是：1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2或者熟悉排列组合的话，可以用组合C(n,2)所以图4中共有三角形：C(6,2)×2=30(个)上面说的都是一些最基本的公式，但实际考试时变化会非常多。
小学奥数家教 计数问题一几何中的计数
计数问题一、数线段第一种：按照线段的端点顺序去数第二种：按照基本线段多少的顺序去数.线段的总条数等于从1开始的连续几个自然数的和，这个连续自然数的和的最大的加数是线段分点数加1或者是线段所有点数（包括线段的两个端点）减1.二、数角数角的方法可以采用数线段的方法来数，就是角的总数等于从1开始的几个连续自然数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条数加1三、数三角形1.共顶点只有一个公共底边的三角形数法：计算三角形的总数也等于从1开始的几个连续自然数的和，其中最大的加数就是三角形一边上的分点数加1，也就是三角形这边上分成的基本线段的条数.2.有多条底边的三角形数法：分开看各底边用之前方法进行计数小结：由本题可以推出一般情况：若周角中含有n个基本角，那么它上面角的总数是 n（n-1）+1.练习1.数一数下图中，各有多少条线段？2.数一数下图中各有多少角？3.数一数下图中，各有多少条线段？4.数一数下图中，各有多少条线段，各有多少个三角形？四、数长方形一般情况下，如果有类似图Ⅲ的任一个长方形一边上有n-1个分点（不包括这条边的两个端点），另一边上有m-1个分点（不包括这条边上的两个端点），通过这些点分别作对边的平行线且与另一边相交，这两组平行线将长方形分为许多长方形，这时长方形的总数为：（1+2+3+…+m）×（1+2+3+…+n）.五、数正方形一般地，如果类似图Ⅳ中，一个大正方形的边长是n个长度单位，那么其中边长为1个长度单位的正方形个数有：n×n=n2（个），边长为2个长度单位的正方形个数有：（n-1）×（n-1）=（n-1）2（个）…；边长为（n-1）个长度单位的正方形个数有：2×2=22（个），边长为n个长度单位的正方形个数有：1×1=1（个）.所以，这个大正方形内所有正方形总数为：12+22+32+…+n2（个）一般情况下，若一长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份，（长和宽上的每一份是相等的）那么正方形的总数为（n＜m）：mn+（m-1）（n-1）+（m-2）（n-2）+…+（m-n+1）·1六、数复杂图形中三角形尖朝上的三角形共有四种.每一种尖朝上的三角形个数都是由1开始的连续自然数的和，其中连续自然数最多的和中最大的加数就是三角形每边被分成的基本线段的条数，依次各个连续自然数的和都比上一次少一个最大的加数，直到1为止.尖朝下的三角形的个数也是从1开始的连续自然数的和，它的第一个和恰是尖朝上的第二个和，依次各个和都比上一个和少最大的两个加数，以此类推直到零为止.我们已对较基本、简单的图形的数法作了较系统的研究，寻找到了一般规律.而对于较复杂的图形即综合图形的数法，我们仍需遵循不重复、不遗漏的原则，采用能按规律数的，按规律数，能按分类数的就按分类数，或者两者结合起来就一定能把图形数清楚了. 35练习1.下图中有多少个正方形？2.下图中有多少个长方形？3.下图中有多少个长方形？4.下图（1）、（2）中各有多少个三角形？5.下图中有多少个三角形？6.下图中有多少个三角形？7.下图中有多少个正方形？解答：1.①在AB线段上有4个分点，所以它上面线段的总条数为：5+4+3+2+1=15（条）.②在线段AB上有3个分点，所以它上面线段的总条数为4+3+2+1=10（条）.在线段CD上有4个分点：所以它上面线段的总条数为：5+4+3+2+1=15（条）.∴整个图（2）共有线段10+15=25（条）.③在线段AB上有3个分点，它上面线段的条数为：4+3+2+1=10（条）.在线段CD上有2个分点，它上面线段的条数为：3+2+1=6（条）.在线段EF上有2个分点，它上面线段的条数为6条.所以图（3）上总共有线段10+6+6=22（条）.2.①在∠AOB内有4条角分线，所以共有角：5+4+3+2+1=15（个）；②在∠AOB 内有9条角分线，所以共有角：10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（个）；③周角内含有6个基本角，所以共有角：6×（6-1）+1=31（个）.3.①（3+2+1）×7=42；②（6+5+4+3+2+1）×4+（4+3+2+1）×7=21×4+10×7=84+70=154.4.①有线段：（4+3+2+1）×3+（3+2+1）×5=30+30=60（条）有三角形：（4+3+2+1）×3=30（个）；②有线段：（5+4+3+2+1）+5×2+（2+1）=15+10+3=28（条）有三角形：（5+4+3+2+1）×2+5=15×2+5=35（个）.1.共有正方形54个.2.共有长方形136个.3.共有长方形133个.4.（1）共有三角形78个.（2）共有三角形58个.5.共有三角形45个.6.共有三角形36个.7.共有正方形24个.。
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几何图形的计数问题
一、数直线或线段规律
1、如图，过两点可画出多少条直线？过不共线的三点最多可以作出多少条直线？过无三点共线的四个点最多可作出多少条直线？…，依次类推，经过平面上的n个点，（无三点共线）最多可作出多少条直线？
（1）1条
（2）3条
（3）6条
经过平面上的n个点，（无三点共线）最多可作出1
2n(n－1)条
直线。
2、分别数出下列各图中各有几条线段？
（1）1条
（2）3条
（3）6条
（4）10条
若一条线段上有n个点，则可以一共可以数出1
2n(n－1)条线段。
二、数角规律
3、分别数出下列各图中各有几个角？（1）1个
（2）3个（3）6个（4）10个
若由一个点引出n条射线，则一共可数出2n(n－1)个角。
三、数三角形规律
4、分别数出下列各图中各有几个三角形？
（1）
（2）
（3）
（4）
若由一个顶点引出n条射线，则一共可数出2n(n－1)个三角形。
拓展：分别数出下列各图中各有几个三角形？
（1）12个
提示：分两部分，分别计算（2）21个
提示：分4部分，
（3）15个提示：分3部分，
四、数长方形、正方形规律
5、数出下图中有几个长方形？
（1）3个（2）9个（3）18个（4）30个
6、数出下图中有几个正方形？
（1）8个
（2）20个
（3）40个
数长方形的公式：长边上的线段条数×宽边上的线段条数
数正方形的公式：一个被划分成m×n的小正方形的长方形中共可以数出的正方形的个数是：（其中m≤n）
m×n＋(m－1)×(n－1)＋(m－2)×(n－2)＋…＋1×[n－(m－1)]
图中共有几条线段？25
图中共有几个角？21
图中共有几个三角形？24
图中共有几个长方形？几个正方形？225，55
练习解答：
图中共有几条线段？
分两部分：
①有6个点，根据规律：（6－1）×6÷2＝15（条）
①有5个点，根据规律：（5－1）×5÷2＝10（条）
所以一共15＋10＝25（条）
图中共有几个角？
有7条射线，根据规律：（7－1）×7÷2＝21（个）
图中共有几个三角形？
分为两部分：
①
这两部分一样，所以只数一个就行了，底边有5个点，根据规律：（5－1）×5÷2＝10（个）
①很明显，4个三角形
所以一共10×2＋4＝24（个）
图中共有几个长方形？几个正方形？
长方形：
长边和宽边都有6个点，根据规律算出线段条数：（6－1）×6÷2＝15（段）根据数长方形规律：15×15＝225（个）
正方形：
分5部分
①以1个小正方形为单位数，长边和宽边各能数5个，共5×5＝25（个）
②以4个小正方形为单位数，长边和宽边各能数4个，共4×4＝16（个）
③以9个小正方形为单位数，长边和宽边各能数3个，共3×3＝9（个）
④以16个小正方形为单位数，长边和宽边各能数2个，共2×2＝4（个）
⑤以25个小正方形为单位数，长边和宽边各能数1个，共1×1＝1（个）所以总共25＋16＋9＋4＋1＝55（个）正方形。