对坐标曲线积分例题与习题
空间曲线中对坐标的曲线积分的一题多解
空间曲线中对坐标的曲线积分的一题多
解
摘要：计算空间曲线中对坐标的曲线积分的计算较复杂，本文针对此类曲线积分提供了三种新的解法，为空间曲线中对坐标的曲线积分提供了新思路。
关键词：空间曲线；曲线积分；一题多解
一、预备知识
设空间曲线的参数方程为
法一
法二
法三
二、简单应用
应用1 计算曲线积分，其中是曲面
和曲面的交线,从轴正向看去为逆时针方向.
解法一：由题可知，作出曲线的图，见图1
图1
曲线的参数方程为
则
解法二：取为边界的曲面，取上侧在面上的投影区域为
的单位法向量为
且
则
解法三：
应用2 计算，其中是圆柱面和平面的交线,从轴正向看去为逆时针方向.
解法一由题可知，作出曲面的图，见图2
图2
曲线的参数方程为
则
解法二：取为边界的曲面，取上侧在面上的投影区域为
的单位法向量为
且
则
解法三：
四、结语
综上可知，本文给出了求空间曲线中对坐标的曲线积分的三种求解方法，针对两个典型应用题，并给出了相应的解法。
参考文献：
[1]同济大学数学系编,高等数学[M],-7版,北京:高等教育出版社，2014,07.
[2]齐小军.关于对坐标的曲面积分若干问题研究[J].华东纸业.2022,02.
[3]银俊成、蔡智辉.一题多解探讨曲线积分的计算[J].高等数学研
究.2023,02.。
练习112(对坐标的曲线积分及两类曲线积分之间的关系) - 答案
练习册 112 对坐标的曲线积分及两类曲线积分之间的关系（答案）1、设L 是xoy 平面内直线a x =上的一段，求()⎰=Ldx y x P I ,。
解：a x = ，0=dx ， ()0,==∴⎰Ldx y x P I 。
2、设L 是xoy 平面内直线a y =上的一段，求()⎰=Ldy y x Q I ,。
解：a y = ，0=dy ， ()0,==∴⎰Ldy y x Q I 。
3、设L 是xoy 平面内x 轴上从点()0,a 到点()0,b 的一直线段，求()⎰=Ldx y x P I ,。
解：因为L ：0=y ，x 从a 变化到b ，所以()()⎰⎰==ba L dx x f dx y x P I 0,,。
4、计算⎰=Lxydx I ，其中L 为圆周()()0222>=+-a a y a x 及x 轴所围成的在第一象限内的区域的按照逆时针方向的整个边界。
解：令从点O 到点A 的有向直线段为1L ，从点A 到点O 的有向半圆弧（第一象限内）为2L （如右图所示），有21L L L +=，又因为1L ：0=y ，x 从0变化到a 2，2L ：θcos a a x =-，θsin a y =，θ从0变化到π， 所以，()()⎰⎰⎰⎰⎰-++⋅=+==πθθθθ020sin sin cos 021d a a a a dx x xydx xydx xydx I a L L L ()πππππθθθθθθθθθθθ 0 32022022022022sin 31sin 2sin cos sin sin cos 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--=+-=⎰⎰⎰⎰d a d a d a d a 2222212a a ππ-=⨯⨯-=。
5、计算⎰Γ+-=ydz dy dx I ，其中Γ为有向折线ABCA ，这里A ,B ,C 的坐标分别为()0,0,1，()0,1,0，()1,0,0。
解：Γ可以分成光滑有向线段AB ，BC 和CA 。
高等数学D10习题课
Pdx Qdy Rdz
dydz dzdx dxdy
PdydzQdzdx Rdxdy
x
y
z
PQ R
(Px
Q y
R)dv z
（三）场论初步
梯度 gra duiu u juk x y z
通量 散度
Pdy Q dzd zR dxdxdy
diA vPQR x y z
环流量 PdQ x d R y dz
计
f(x, y,z)ds
R(x,y,z)dxdy
算
f[x,y,z(x,y)]1zx 2z2 ydxdyR[x,y,z(x,y)d] xdy
D xy
Dxy
一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关)
（二）各种积分之间的联系
曲线积分
计算
定积分
Stokes公式
计算 曲面积分
Guass公式
格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系
( P x Q y R z)d v P d Q yd d R zzd dx xd
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
R Q
P R
Q P
(yz)dyd(zzx)dzdx (xy)dxd
PdxQdyRdz
斯托克斯公式
Green公式,Guass公式,Stokes公式 之间的关系
旋度 rA o ( R t Q ) i ( P R ) j ( Q P ) k y z z x x y
二、典型例题
例 1 计 算 I (x22x)ydx (x2y4)d, y L
其 中 L为 由 点 O(0,0)到 点 A(1,1)的 曲 线 ysi nx. 2
(PcosQcos Rcos)ds
D8.1_曲线积分_习题课
其中L 是沿逆
时针方向以原点为中心, a 为半径的上半圆周.
y
C
这说明积分与路径无关, 故
L
2
I
AB a 2 x dx a
( x y ) d x ( y x ) dy
2
B
o
Ax
解法2 添加辅助线段 BA , 它与L所围区域为D, 则
I
L BA
( x y ) d x ( y x) d y ( xz
B
利用对称性
3
AB AB
y d x z d y xdz xd z
3
A x
o
C y
3 (1 z )d z
0
1
考研真题
1. （数学一 2010）
已知曲线 L 的方程为 y 1 x (x [1,1]) 起点是 (1, 0), 终点是 (1, 0), 则曲线积分 xydx x 2dy =
I 2 ( x y y ) d x ( y 2 x) d y
2
2
L
练习题:
1. 计算
其中L为上半圆周
沿逆时针方向.
x
提示:
I e sin y d x (e cos y 2)d y 2 y d x
x L L
L AB
AB
2 yd x
L
y
2 为从点 A(3, ) 到 B(1,2) 的直线段。 3 13 2 1 4 2 解: ∴原式= 3 [1 f ( x)]dx 2 2 [y2f (y) 1]dy 2 9 3 3 y
2 3 2 2 1 [ f ( x)]dx 2 [ f ( y) 2 ]dy 3 2 3 3 y 3 1
高数--对坐标的曲线积分
• B(1,1) y2 = x
x = y 2 dx = 2 ydy , y从− 1到1 到
∫L
xy d x = ∫ y 2 ⋅ y ⋅ 2 ydy
−1
1
O
x
• A(1,−1)
= 2 ∫ y4 dy −
1
1
4 = 5
15
对坐标的曲线积分
例 计算 ∫ xdx + ydy + ( x + y − 1)dz
17
对坐标的曲线积分
计算 ∫ x 2dx + ( y − x )dy , 其中
L
(2) L是x轴上由点 A(a ,0) 到点B( − a ,0) 的线段 的线段. 是 轴上由点 (2) L的方程为 y = 0, x从a到− a. 的方程为 原式= 原式
∫a
−a
x dx
2
y
2 3 =− a 3
B(−a,0) O
Γ
其中Γ是由点 到点B(2,3,4)的直线段 的直线段. 其中 是由点A(1,1,1)到点 是由点 到点 的直线段
x −1 y −1 z −1 = = 直线AB的方程为 解 直线 的方程为 1 2 3
化成参数式方程为 x = 1+ t, y = 1 + 2t, z = 1+ 3t + A点对应 t = 0, B点对应 t = 1, 于是 点对应 点对应
i =1
n
取极限 W = lim [ P (ξ i ,η i ) ⋅ ∆xi + Q(ξ i ,η i ) ⋅ ∆yi ] ∑
λ→0i =1
精确值
3
对坐标的曲线积分
二、对坐标的曲线积分的概念
1. 定义 面内从点A到点 的一条有向 设L为xOy面内从点 到点 的一条有向光滑 为 面内从点 到点B的一条有向光滑 曲线弧, 曲线弧 函数P ( x , y ), Q ( x , y )在L上有界 用L上的点 上的点: 上的点 上有界. 上有界 M 1 ( x1 , y1 ), M2 ( x2 , y2 ), LM n −1 ( x n −1 , y n−1 ) 分成n个有向小弧段 把L分成 个有向小弧段 Mi −1 Mi (i = 1,2,L, n; 分成
对坐标的曲线积分习题解析
（以下各题解析仅供参考，大家还可想想其他方法.）1、计算下列对坐标的曲线积分 （1）d Lx y x ⎰，其中L 为圆周222()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的区域在第一象限内的整个边界（取逆时针方向）； 答案： 312a π-解析： 方法一本题考查课本第131页知识点——本题中的有向曲线段L （图1）由逆时针方向弧段2221:()(0)L x a y a y -+=≥和x 轴上直线段2:0(:02)L y x a =→两个部分构成. 分别求出两条积分弧段上的曲线积分，再求和.先看2221:()(0)L x a y a y -+=≥，其方程可化为 参数方程cos sin x a a ty a t =+⎧⎨=⎩，由于L 的方向取作逆时针方向，可知起点(2,0)a 对应的0t =，终点(0,0)对应的t π=.本题只要求对坐标x 的曲线积分，根据上述知识点中的计算公式，有1d L x y x ⋅⎰20(1a π=+⎰30(1a π=-⎰3(cos d )a t t π=-⋅⋅⎰图1利用倍角公式降次凑微分32001cos 2[d sin d(sin )]2ta t t t ππ-=-⋅+⎰⎰330011sin (d cos 2d )223ta t t t πππ=-⋅-+⎰⎰3011[cos 2d()0]22122a t t ππ⋅=-⋅⋅-⋅+⎰33301(sin 2)(0)2422a t a a ππππ=-⋅-⋅=-⋅-=-. 再看x 轴上直线段2:0(:02)L y x a =→0y =⎩. 根据对坐标的曲线积分计算公式，有2d L x y x ⋅⎰2000d ax x =⋅=⎰.综上所述，所求积分d Lx y x ⎰1233d d 022L L x y x x y x a a ππ=⋅+⋅=-+=-⎰⎰.方法二 利用格林公式——本题只要求对坐标x 的曲线积分d Lx y x ⎰，我们可以记(,)P x y xy =，(,)0Q x y =，求得P x y ∂=∂，0Q x ∂=∂，这里P Qy x∂∂≠∂∂. 本题中的{(,)|02,0D x y x a y =≤≤≤≤，如图1 (1) 所示，化为极坐标{(,)|0,02cos }2D a πρθθρθ=≤≤≤≤（方程222x y ax +=可化为22cos a ρρθ=），容易验证本题满足格林公式的条件，根据格林公式来计算积分值（本题中是把曲线积分化为二重积分计算）——d 0d Lx y x y +⎰()d DQ P x yσ∂∂=-∂∂⎰⎰ (0)d Dx σ=-⎰⎰2cos 20d (cos )d a πθθρθρρ=-⋅⎰⎰凑微分图1 (1)==3383134222a a ππ=-⋅⋅⋅=-.（大家可以对比方法一和方法二的运算量，选取简便的方法或自己熟悉的方法计算.） （2）2d d d x x z y y z Γ+-⎰，其中Γ为曲线x θ=，cos y θ=，sin z θ=上对应θ从0到π的一段弧；答案：313ππ-解析： 本题中的积分弧段Γ（图2）是一条有向空间 曲线，根据已知条件中Γ的参数方程及指定的方向，可 2d d()cos sin s d(o in c )s πππθθθθθθ=+-⎰⎰⎰20d ()sin c si o d n c s d os πππθθθθθθθθ-=+⋅-⋅⎰⎰⎰2220d (sin cos )d ππθθθθθ=-+⎰⎰31d 3ππθθ=-⎰33ππ=-.（本题中的积分弧段是空间曲线，而格林公式是讨论平面上的情况，因此不适用格林公式.）图2为了计算简便， 可以根据积分的性质， 把这两个积分合并在一起.1331(242213421(253n n n n n n π----为偶数为奇数（3）(2)d d Ly x x y -+⎰，其中L 为摆线sin 1cos x t ty t=-⎧⎨=-⎩对应10t =到22t π=的一段弧； 答案： 2π-解析： 本题中的积分弧段L （图3）是一条有向平面曲线， 根据已知条件中L 的参数方程及指定的方向，可得(2)d d Lx y x y -+⎰220si [2()]d()1cos 1cos ()d()n sin t t t t t t ππ-+-=---⎰⎰2201c cos s (1)()d os sin )d in (t t t t t t t ππ-+-=+⋅⋅⎰⎰22220(1cos )d (sin sin )d t t t t t t ππ=-+⋅-⎰⎰22222201d cos d sin d sin d t t t t t t t t ππππ=-+⋅-⎰⎰⎰⎰2222201d (cos sin )d sin d t t t t t t t πππ=-++⋅⎰⎰⎰22201d 1d d(cos )t t t t πππ=-+-⎰⎰⎰2200(cos )(cos )d t t t t ππ=⋅---⎰220(cos )cos d t t t t ππ=-⋅+⎰20(210)sin 202tππππ=-⋅-+=-+=-.（本题中的积分弧段是摆线，用参数方程表示比较简便，要转化成直角坐标情形比较麻烦，所以，不方便利用格林公式转化成二重积分计算.） （4）22(2)d (2)d Lx xy x y xy y -+-⎰，其中L 为抛物线2y x =上从点(1,1)A -到点(1,1)B 的一段弧；答案： 1415-解析： 方法一本题中的积分弧段L （图4）是一条有向平面曲线， 根据已知条件中L 的方程及指定的方向（:11x -→），可得为了计算简便， 可以根据积分的性质， 把这两个积分合并在一起.分部积分法“反、对、幂、指、三”图3图422(2)d (2)d Ly y y y x x x x -+-⎰1122121222(2)d [()2)]d()x x x x x x x x --=-⋅+-⋅⎰⎰11234311(2)d (2)(2)d x x x x x x x --=-+-⋅⎰⎰111123541111d 2d 2d 4d x x x x x x x x ----=-+-⎰⎰⎰⎰351111435x x --=-⋅221443515=-⋅=-.方法二 利用格林公式——本题中的积分弧段L 并不是封闭的，所以 ， 不能直接用格林公式计算，要通过做辅助线， 围出一个闭区域，再利用格林公式计算 .做辅助线1:1(:11)L y x =→-，与2:(:11)L y x x =-→共同围出了闭区域2{(,)|11,1}D x y x x y =-≤≤≤≤，如图4（1）所示，L 和L 1 是D 的正向边界（观察者沿边界走的时候，D 位于其左手边）.本题中2(,)2P x y x xy =-，2(,)2Q x y y xy =-，可求得2P x y ∂=-∂，2Qy x∂=-∂，这里P Qy x∂∂≠∂∂. 容易验证在闭区域D 满足格林公式的条件，根据格林公式，有 12222(2)d (2)d (2)d (2)d LL x xy x y xy y x xy x y xy y-+-+-+-⎰⎰()d (22)d DDQ P y x x y σσ∂∂=-=-+∂∂⎰⎰⎰⎰，也即 12222(2)d (2)d (22)d (2)d (2)d LL Dxxy x y xy y y x x xy x y xy y σ-+-=-+--+-⎰⎰⎰⎰211122112d ()d (21)d (121)d(1)xx x y y x x x x --=---⋅+-⋅⎰⎰⎰22211121112()d (2)d 02x x y x yx x x x --=--++⎰⎰奇函数在对称区间 的定积分为0图4 (1)奇函数在对称区间 的定积分为0431311112()d 0223x x x x x --=--++-⎰51111222140002535315x x--=--++-=-++=-. （5）d Lx y ⎰，其中L 为指数曲线e x y =上从点(0,1)A 到点(ln 2,2)B 的一段弧；答案： 2ln2-1解析： 方法一本题只要求对坐标y 的曲线积分，本题中的积分弧段L （图5）是一条有向平面曲线，根据已知条件中L 的 方程及指定的方向（:0ln 2x →），可得d Lx y ⎰ln 2d()e x x =⎰ln 2ln 2(e )e d x x x x =⋅-⎰ln 20(ln 220)e x=⋅--2ln 2(21)2ln 21=--=-.方法二 利用格林公式—— 本题只要求对坐标y 的曲线积分d Lx y ⎰，我们可以记(,)0P x y =，(,)Q x y x =，求得0P y ∂=∂，1Q x ∂=∂，这里P Qy x∂∂≠∂∂. 本题中的积分弧段L 并不是封闭的，所以 ，不能直接用格林公式计算，要 做辅助线，围出一个闭区域，如图5（1） 所示，再利用格林公式计算 .顺着L 的方向做辅助线1:ln 2(:20)L x y =→，2:0(:ln 20)L y x =→，3:0(:01)L x y =→，它们与L 共同围出了闭区域图5分部积分法“反、对、幂、指、三”图5 (1)奇函数在对称区间 的定积分为0{(,)|0ln 2,0e }x D x y x y =≤≤≤≤，但是，L 和L 1、L 2、L 3并不是D 的正向边界，而是123d )(0d d )(0d d )(0d d )L L L y x x y x x y x x y ++++++⎰⎰⎰)d (10)d DDP y σσ-∂-=-∂⎰⎰，也即 123d 1d (d d d )LL L L Dx y x y x y x y σ=-++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰，（请大家自己试着完成后续计算，再对比两种方法的运算量. 从本题可以看出，格林公式并不是“万能”的，有些情况下，用格林公式并不能简化计算. ） （6）d Lx y ⎰，其中L 为由两坐标轴及直线123x y+=所围成的三角形区域整个边界并取逆时针方向；答案： 3解析： 方法一本题只要求对坐标y 的曲线积分，本题中的积分 弧段L （图6）由三条有向直线段构成，要分别求出三条 线段上的曲线积分再求和.先看1:1(:20)23x y L x +=→，即1(:203(1)):2xL x y ⋅-→=，有 1d L x y ⎰02332d()x x -=⎰ 023()d 2x x =⋅-⎰203()d 2x x =⋅--⎰23d 2x x =⎰ 2203()22x =⋅3(40)34=⋅-=. 再看20:(:30)x L y y y=⎧→⎨=⎩，有2d L x y ⎰030d 0y ==⎰.最后看3:(:02)0x xL x y =⎧→⎨=⎩，有3d L x y ⎰20d00x ==⎰.综上所述，d Lx y ⎰123d d d 3003L L L x y x y x y =++=++=⎰⎰⎰.（说明：从本题可以看出，在坐标轴上求曲线积分比在其他积分弧段上求曲线积分简便.）图6方法二 利用格林公式—— 本题只要求对坐标y 的曲线积分d Lx y ⎰，我们可以记(,)0P x y =，(,)Q x y x =，求得0P y ∂=∂，1Q x ∂=∂，这里P Qy x∂∂≠∂∂. 本题中的积分弧段L 是封闭的，围出了闭区域3{(,)|02,03}2xD x y x y =≤≤≤≤-，如图6（1） 所示，L 是D 的正向边界，容易验证在闭区域D 满足格林公式的条件，根据格林公式，有0d d Lx x y +⎰1()d (10)d 2332DDQ P x y σσσ∂∂=-=-==⋅⋅=∂∂⎰⎰⎰⎰. （从本题来看，用格林公式更简便.）（7）2(2)d L x xy y +⎰，其中L 为上半椭圆22221(0)x y y a b+=≥并取逆时针方向，这里a ，b 为常数且0a >，0b >；答案：243ab解析： 方法一本题只要求对坐标y 的曲线积分，本题中的有向 弧段L 如图7所示.先把上半椭圆22221(0)x y y a b +=≥方程化为参数方程cos sin x a t y b t=⎧⎨=⎩，L 的方向取作逆时针方向，将起点(,0)a 代入参数方程可得对应的0t =，将终点(,0)a -代入参数方程可得对应的π=⎰0π=⎰0π=⎰2a = 图71331(242213421(253n n n n n n π----为偶数为奇数图6 (1)222200cos cos d 2cos sin d a b t t t abt t t ππ=⋅+⋅⎰⎰22220(1sin )d(sin )2cos d(cos )a b t t abt t ππ=--⎰⎰3222200cos 1d(sin )sin d(sin )23ta b t a b t t abπππ=--⎰⎰322200sin (11)(sin )()233t a b t a b ab ππ--=⋅-⋅- 222(2)0023a b a b ab -=⋅-⋅- 240+3ab =.方法二 利用格林公式——本题中的积分弧段L 并不是封闭的，所以 ， 不能直接用格林公式计算，要通过做辅助线， 围出一个闭区域，再利用格林公式计算 .做辅助线1:0(:)L y x a a =-→，与2222:1(0,:)x y L y x a a a b +=≥→-共同围出了闭区域{(,)|,0D x y a x a y =-≤≤≤≤，如图7（1）所示，L 和L 1 是D的正向边界（观察者沿边界走的时候，D 位于其左手边）.本题只要求对坐标y 的曲线积分2(2)d Lx xy y +⎰，我们可以记(,)0P x y =，2(,)2Q x y x xy =+，求得0P y ∂=∂，22Q x y x ∂=+∂，这里P Qy x∂∂≠∂∂. 容易验证在闭区域D 满足格林公式的条件，根据格林公式，有1220d (2)d 0d (2)d LL x xxy y x x xy y +++++⎰⎰()dDDQ Px y σ∂∂=-=∂∂⎰⎰⎰⎰2(2)d 2LDx xy y +=⎰⎰⎰202(0d d )(20)d(0)aaaax y y x x --=+-+⋅⎰⎰⎰凑微分图7 (1)22(02aay x -=-⎰22222()d 2aab x b a x --=⎰2222d d aaaab b x x x a--=⋅-⎰⎰2、计算d ()d Lx y x y x y +-⎰，其中L 为：（1）抛物线2x y =上从点(0,0)O 到点(1,1)A 的一段弧； （2）从点(0,0)O 到点(1,1)A 的直线段；（3）先沿x 轴从点(0,0)O 到点(1,0)B ，再沿平行于y 轴的直线到点(1,1)A 的折线.答案： （1）1730（2）13 （3）12-解析： （1）本题中的有向弧段2:(:01)L x y y =→ 如图8所示，此时，d ()d Ly y x x y x +-⎰1122020()d()()d y y y y y y =⋅+-⎰⎰112022()()d ()d y y y y y y y =⋅⋅+-⎰⎰1114202d d d y y y y y y =+-⎰⎰⎰52311102523y y y =⋅+-2111752330=+-=.（2）本题中的有向弧段:(:01)L x y y =→ 如图9所示，此时，d ()d Ly y x x y x +-⎰11()d ()d y y y y y y =⋅+-⎰⎰11200d 0d y y y =+⎰⎰31133y ==.图8图923222222422333a ab x ab ab b a ab a -=⋅-⋅=-=.先看:(:01)0OB x xL x y =⎧→⎨=⎩，此时，d ()d OBL x x x y y y +-⎰11()d ()0d 000x x x =⋅+-=⎰⎰.再看1:(:01)BA x L y y y =⎧→⎨=⎩，此时， d ()d Ly y x x y x +-⎰11()d()()111d y y y =⋅+-⎰⎰11000d 1d y y y =+-⎰⎰211111222y y=-=-=-. 综上所述，11d ()d 0()22Lx y x y x y +-=+-=-⎰.说明：上述三个小题中，被积函数都是相同的，起点和终点也是相同的，但是积分弧段不同，在不同积分弧段上求出的曲线积分也不同.从下一节的内容中，我们将会看到，被积函数、起点和终点都相同，但是积分弧段不同时，只要满足特定的条件，在不同积分弧段上求出的曲线积分也会相同.3、单位质点在力F y i x j =+的作用下，由原点(0,0)O 沿抛物线2y x =移动到点(1,1)A ，求变力F 所作的功.答案： 1解析： 本题考查以下知识点——图10（3）本题中的有向曲线L （见图10）由:(:01)0OB x x L x y =⎧→⎨=⎩和1:(:01)BA x L y y y =⎧→⎨=⎩两个部分构成. 先分别求出两条积分弧段上的曲线积分，再求和.沿抛物线2y x =移动到点(1,1)A ，此变力F 所作的功d d LW y x x y =+⎰.本题中的有向弧段2:(:01)L y x x =→如图11所示，此时，d d Lx x y y +⎰1111222d d()d )2(d x x x x x x x x x =+=+⋅⎰⎰⎰⎰123103d 1x x x ===⎰.图114、设力F 的方向沿纵轴负方向，其大小等于作用点的横坐标的平方，求该力作用下质点沿抛物线21x y =-从点(1,0)A 到点(0,1)B 所作的功. 答案： 815-解析： 根据已知条件“力F 的方向沿纵轴负方向，其大小等于作用点的横坐标的平方”，可知F F 的作用下，沿抛物线21x y =-从点(1,0)A 到点(0,1)B y .本题中的有向弧段2:1(:01)L x y y =-→ 如图12所示. 此时，20d d Lx x y -⎰2102(1)d y y =--⎰1240(12)d y y y =--+⎰1112401d 2d d y y y y y =-+-⎰⎰⎰351110235y y y =-+⋅-21813515=-+-=-.图12附录证明：（1）20sin d 2sin d nnx x x x ππ=⎰⎰；（2）20cos d 2cos d nnx x x x ππ≡⎰⎰. 证：（1）根据积分区间的可加性，有22sin d sin d sin d nnn x x x x x x ππππ=+⎰⎰⎰，要证明“20sin d 2sin d nnx x x x ππ=⎰⎰”，只需证明“202sin d sin d nnx x x x πππ=⎰⎰”. 下面就来证明202sind sin d nn x x x x πππ=⎰⎰——左边x t ==令=x 令2202sin d sin d sin d 2sin d nnnn x x x x x x x x πππππ=+=⎰⎰⎰⎰.（2）根据积分区间的可加性，有202cos d cos d cos d nnn x x x x x x ππππ=+⎰⎰⎰，下面就来分析2cos d nx x ππ⎰和20cos d n x x π⎰的关系——x t ==令==x 令综上所述，20cos d 2cos d nn x x x x ππ≡⎰⎰，而是——200202cos d ,cos d 2cos d ,n nn x x n x x x x n πππ⎧=⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩⎰⎰⎰当为偶数时当为奇数时.。
对坐标曲线积分例题与习题
y
B ( 1, 1 )
2 2
x y
yx
4
1 0 1 3 x dx 0
A(1, 0 ) x
解: (1) 原式
( 2 y 2 y 2 y y 4 )d y (2) 原式
(3) 原式
0 dy
0
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1
例4. 设在力场 沿 移动到
作用下, 质点由 z 其中 为
称为对 y 的曲线积分.
若记 d s (d x , d y ), 对坐标的曲线积分也可写作
L F d s L P( x, y)dx Q( x, y)d y
类似地, 若 为空间曲线弧 , 记 d s (d x , d y , d z )
F ( x, y, z ) ( P( x, y, z ) , Q( x, y, z ) , R( x, y, z ))
称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 .
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L P( x, y)d x lim0 k1 P( k , k )xk ,
n k 1
n
称为对 x 的曲线积分;
L Q( x, y)d y lim0 Q( k , k ) yk ,
4. 两类曲线积分的联系
L P d x Q d y P d x Q d y R d z
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2. 已知 为折线 ABCOA(如图), 计算
提示:
AB
0 1
dxd y
0 1
BC
d y y d z 0 OA d x
1
2dx (1 y )d y dx
11-2 对坐标的曲线积分
对坐标的曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的概念 二 、对坐标的曲线积分的性质 三 、对坐标的曲线积分的计算 四 、对坐标的曲线积分的应用 五 、两类曲线积分之间的联系
对坐标的曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的概念 二 、对坐标的曲线积分的性质 三 、对坐标的曲线积分的计算 四 、对坐标的曲线积分的应用 五 、两类曲线积分之间的联系
P
[
x,j
(
x)]
+
Q
[
x,j
(
x)]j
¢(
x
)}
dx
(2) L：x =y ( y) （y=c 对应L的起点，y=d 对应L的终点）
òL
P(
x,
y
)dx
+
Q(
x,
y)dy
=
d
òc
{P
[y
(
y),
y
]y
¢(
y)
+
Q
[y
(
y
),
y]}
dy
Ø推广
空间曲线弧Γ： x = j(t), y =y (t), z = w(t)
一、 对坐标的曲线积分的概念
（一）引例 （二）对坐标的曲线积分的定义
一、 对坐标的曲线积分的概念
（一）引例 （二）对坐标的曲线积分的定义
变力沿曲线作功
y
B
设一质点在xoy面内从点A沿曲线
L移动到点B
Dyi
力F! ( x,
y)
=
P( x,
! y)i
+
Q( x,
y)
! j
变力所作的功 ?
A o
L
辽宁工业大学高数习题课(10)
（这里 L 为区域 D 的正向边界曲线) 3．利用积分与路径无关的条件计算法.
c . Pdx Qdy 与路径无关 Pdx Qdy 0 ，为区域内任意闭曲线
L
c
P Q , ( x, y ) G ─单连域. y x
du Pdx Qdy, ( x, y ) G —单连域.
所以
AB
dx dy ydz [1 (1 x )]dx 2;
1
0
BC
dx dy ydz [(1 z ) (1 z )z ]dz ( 2 z )dz
0
0
1
1
3 2
CA
dx dy ydz 1 dx 1
采用框图中线路2→21的方法计算；此时应注意首先要利
用积分曲线方程将被积函数中的分母化简，去掉奇点，使 其满足格林公式的条件。
解法1：化为定积分计算。
x a cos t L 的参数方程为： , t 从 0 变到 2 . 则 y a sint
( x y )dx ( x y )dy I L x2 y2 1 2 2 [(a cos t a sint )(a cos t ) (a cos t a sint )(a sint )]dt a 0 1 2 2 [( a 2 )dt 2 a 0
0
1
从而
I
dx dy ydz (
3 1 1 2 2
AB
BC
) dx dy ydz
CA
2
解法2：利用斯托克斯公式计算. 设 为平面 x y z 1 上 L AB BC CA 所围成部分的上侧，
第二节 对坐标的曲线积分
一 问题的提出
二 对坐标的曲线积分的概念
三 对坐标的曲线积分的计算
四 小结与思考判断题
2013-9-10
1
一
问题的提出
常力所作的功
y
yi M i 1 x i
B
M i M n 1
例 常力沿直线所作的功
L
A
W F AB.
M2 M1
考察 变力沿曲线所作的功 （微元素法）
解 (1) 化为对 x 的积分.
B(1,1)
L : y x , x从0变到1,
2
y x2
原式 ( 2 x x 2 x 2 2 x )dx
1 0
4 x 3 dx 1.
1 0
A(1,0)
2013-9-10
17
( 2) 化为对 y 的积分.
x y2
B(1,1)
L : x y 2 , y从 0 变到 1 ,
L L
2)存在条件
当P ( x, y ), Q( x, y )在光滑曲线弧 上连续时 第二类 L , 曲线积分存在
3）变力F沿曲线L 所做的功可表示为 W F ds. L 其中 F Pi Qj , ds dxi dyj .
2013-9-10 6
4)推广
空间有向曲线弧
Pdx Qdy Rdz. P ( x, y, z )dx lim P ( , , )x .
n
0 i 1 n i i i i
Q( x, y, z )dy lim Q(i , i , i )yi . 0 i 1 R( x, y, z )dz lim R(i , i , i )zi . 0 i 1
习题课曲线曲面积分练习题二
曲线、曲面积分练习题二（一）利用积分与路径无关的条件求解对坐标的曲线积分1、计算cos cos [sin ln()]x xx x L e e e e xy dx dy x y-+⎰，其中L 是圆周22(2)(2)2x y -+-=沿正向从点(1,1)A 到点(3,3)B 的一段圆弧.2、设()f x 在(,)-∞+∞有连续导数，求2221()[()1]L y f xy x dx y f xy dy y y++-⎰，其中，L 是从点2(3,)3A 到点(1,2)B 的直线段. 3、计算22L ydx xdy x y -+⎰，其中L 为： （1）圆周22(1)(1)1x y -+-=的正向；（2）正方形边界1x y +=的正向.4、设函数)(x f 在),(∞+-∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面)0(>y 内的有向分段光滑曲线，起点为),,(b a 终点为),,(d c 记⎰++=L dx xy f y y I )](1[12,]1)([22dy xy f y yx - (1)证明曲线积分I 与路径无关；(2)当cd ab =时，求I 的值。
5、设函数)(y ϕ具有连续的导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分⎰++L y x xydydx y 4222)(ϕ的值恒为常数。
则(1)对右半平面0>x 内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有022)(42=++⎰L y x xydy dx y ϕ；(2)求函数)(y ϕ的表达式。
（二）利用格林公式求解对坐标的曲线积分 6、设C 为曲线32y x =和直线y x =所围成的区域整个边界，沿逆时针方向，则曲线积分23C x ydx y dy +=⎰( )(A) 1;44 (B)1;44- (C)23;44 (D)23.44- 7、计算[sin ()](cos ),x x L I e y b x y dx e y ax dy =-++-⎰其中,a b 为正的常数，L 为从点(2,0)A a 沿曲线y =(0,0)O 的弧.8、计算下列曲线积分[()cos ][()sin ]AMB I y x y dx y x dy ϕπϕπ'=-+-⎰，其中AMB 为连接点(,2)A π与点(3,4)B π的线段AB 之下方的任意曲线段，且该曲线与线段AB 所围图形面积为2.9、已知平面区域},0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D L 为D 的正向边界，试证sin sin sin sin 22y x y x L L xedy ye dx xe dy ye dx π---=-≥⎰⎰.（三）利用斯托克斯公式求解空间曲线上对坐标的曲线积分10、 计算333,z dx x dy y dz Γ++⎰，其中Γ是222()z x y =+与223z x y =--的交线，从Oz 轴的正向看Γ是逆时针方向的.（四）利用四个等价命题求解有关问题11、确定常数λ，使在右半平面0x >上，422422()()xy x y dx x x y dy λλ+-+为某二元函数(,)u x y 的全微分，并求(,)u x y .(五)第一类曲面积分12、计算4(2)3z x y dS ∑++⎰⎰,其中∑为平面1234x y z ++=在第一卦限中的部分. 13、计算,zds ∑⎰⎰其中，∑为柱面222x y R +=被0,0,0x y z ===及1z =截得的第一卦限的部分. 14、计算2,z dS ∑⎰⎰其中∑为球面2222.x y z a ++= 15、计算,xdS ∑⎰⎰其中∑为圆柱面221x y +=被平面2z x =+及0z =所截得的部分. 16、计算22()x y dS ∑+⎰⎰，其中∑是线段(01)0z y z x =⎧≤≤⎨=⎩绕Oz 轴旋转一周所得到的旋转曲面. 17、计算曲面积分⎰⎰∑,zdS 其中∑为锥面22y x z +=在柱体x y x 222≤+内的部分。
对坐标曲线积分例题与习题
05
对坐标曲线积分的习题
基础习题
题目1
01
题目2
02
03
题目3
计算曲线积分∫(x^2 + y^2) dx， 其中L是抛物线y = x^2与直线y = 1围成的区域的上边界。
计算曲线积分∫(x + y) dy，其中 L是椭圆x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1围成的区域的上边界。
对坐标曲线积分例题与习
• 引言 • 对坐标曲线积分的概念与性质 • 对坐标曲线积分的计算方法 • 对坐标曲线积分的例题解析 • 对坐标曲线积分的习题 • 总结与回顾
01
引言
主题简介
01
对坐标曲线积分是微积分中的一 个重要概念，它涉及到二维空间 中曲线上的面积计算。
02
该主题在物理、工程、经济等领 域有广泛应用，是解决实际问题 的重要工具。
3
题目6
计算曲线积分∫(x^2 - y) dx，其中L是摆线x = θ - sinθ，y = 1 - cosθ (0 ≤ θ ≤ 2π)围成的区域 的上边界。
挑战习题
题目7
题目8
计算曲线积分∫(x^3 - y^2) dx， 其中L是由极坐标方程ρ = 2sinθ (0 ≤ θ ≤ π)围成的区域的上边界。
参数法
总结词
参数法适用于已知参数方程的曲线，通过消去参数得到对坐标的曲线积分。
详细描述
参数法适用于已知参数方程$x = x(t), y = y(t)$的曲线，通过消去参数$t$，将曲线积分转化为定积分进行计算。
面积法
总结词
面积法是通过计算曲线围成的面积， 将曲线积分转化为面积的函数进行计 算。
高等数学 课后习题答案第十一章
习题十一1．设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段，证明：(),d 0L P x y x =⎰其中P (x ,y )在L 上连续． 证：设L 是直线x =a 上由(a ,b 1)到(a ,b 2)这一段，则 L ：12x ab t b y t =⎧≤≤⎨=⎩，始点参数为t =b 1，终点参数为t =b 2故()()()221d ,d d 0d 0d b b L b b a P x y x P a,t t P a,t t t ⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2．设L 为xOy 面内x 轴上从点(a ,0)到点(b ,0)的一段直线，证明：()(),d 0d bLaP x y x P x,x=⎰⎰，其中P (x ,y )在L 上连续．证：L ：0x xa xb y =⎧≤≤⎨=⎩，起点参数为x =a ，终点参数为x =b ．故()(),d ,0d bL a P x y x P x x=⎰⎰3．计算下列对坐标的曲线积分：(1)()22d -⎰Lx y x，其中L 是抛物线y =x 2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；(2)d L xy x ⎰其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；(3)d d L y x x y +⎰，其中L 为圆周x =R cos t ，y =R sin t 上对应t 从0到π2的一段弧； (4)()()22d d Lx y x x y yx y +--+⎰，其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(按逆时针方向绕行)；(5)2d d d x x z y y z Γ+-⎰，其中Γ为曲线x =kθ，y =a cos θ，z =a sin θ上对应θ从0到π的一段弧； (6)()322d 3d ++-⎰x x zy x y z Γ，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线；(7)d d d L x y y z -+⎰，其中Γ为有向闭拆线ABCA ，这里A ，B ，C 依次为点（1,0,0），(0,1,0)，(0,0,1)；(8)()()222d 2d L x xy x y xy y-+-⎰，其中L 是抛物线y =x 2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧．解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2，()()22222435001156d d 3515L x y x x x x x x ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ (2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为图11-1cos 0πsin x a a tt y a t =+⎧≤≤⎨=⎩ L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a )故()()()()()12π20π320ππ32203d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π2LL L axy x xy x xy xa a t a a t t x a t t ta t t t ta =+'=⋅++=-+=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)()π20π220π220d d sin sin cos cos d cos 2d 1sin 220Ly x x y R t R t R tR t tRt tR t +=-+⎡⎤⎣⎦=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰(4)圆周的参数方程为：x =a cos t ，y =a sin t ，t :0→2π．故 ()()()()()()222π202π220d d 1cos sin sin cos sin cos d 1d 2πLx y x x y yx y a t a t a t a t a t a t t a a t a +--+=+---⎡⎤⎣⎦=-=-⎰⎰⎰(5)()()()2π22π3220π3320332d d d sin sin cos cos d d 131ππ3x x z y y zk k a a a a k a k a k a Γθθθθθθθθθθ+-=⋅+⋅--=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰(6)直线Γ的参数方程是32=⎧⎪=⎨⎪=⎩x t y t z t t 从1→0．故()032210314127334292d 87d 1874874t t t t t tt tt ⎡⎤=⋅+⋅⋅+-⋅⎣⎦==⋅=-⎰⎰(7)AB BC CA Γ=++(如图11-2所示)图11-21:0y x AB z =-⎧⎨=⎩，x 从0→1()01d d d 112AB x y y z dx -+=--=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰． 0:1x BC y z =⎧⎨=-⎩，z 从0→1()()()1010120d d d 112d 12232BC x y y z z dz z zz z -+=--+-⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰0:1y CA z x =⎧⎨=-⎩，x 从0→1[]1d d d 1001CAx y y z dx -+=-+=⎰⎰．故()()d d d d d d 312122LABBCCAx y y zx y y z-+=++-+=-++=⎰⎰⎰⎰(8)()()()122421123541222d 224d 1415x x x x x x x xxx x x x--⎡⎤=-⋅+-⋅⋅⎣⎦=-+-=-⎰⎰4．计算()()d d Lx y x y x y ++-⎰，其中L 是(1)抛物线y 2=x 上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； (2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段；(3)先沿直线从(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线； (4)曲线x =2t 2+t +1,y =t 2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧．解：(1)L ：2x y y y ⎧=⎨=⎩，y ：1→2，故()()()()()2221232124321d d 21d 2d 111232343L x y x y x yy y y y y yy y y yy y y ++-⎡⎤=+⋅+-⋅⎣⎦=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰(2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x =3y -2，y ：1→2故()()()()()2121221d d 32332d 104d 5411L x y x y x y y y y y y y yy y ++-=-+⋅+-+⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎣⎦=⎰⎰⎰(3)设从点(1,1) 到点(1,2)的线段为L 1，从点(1,2)到(4,2)的线段为L 2，则L =L 1+L 2．且L 1：1x y y =⎧⎨=⎩，y ：1→2；L 2：2x x y =⎧⎨=⎩，x ：1→4；故()()()()()12122211d d 101d 1d 212L x y x y x yy y y y y y y ++-=+⋅+-⎡⎤⎣⎦⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰()()()()()()24144211d d 220d 12d 22272L x y x y x yx x x x x x ++-=++-⋅⎡⎤⎣⎦⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰ 从而()()()()()12d d d d 1271422LL L x y x y x y x y x y x y++-=+++-=+=⎰⎰⎰(4)易得起点(1,1)对应的参数t 1=0，终点(4,2)对应的参数t 2=1，故()()()()()()122132014320d d 32412d 10592d 10592432323L x y x y x y t t t tt t tt t t tt t t t ++-⎡⎤=++++--⋅⎣⎦=+++⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰ 5．设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(a ,0)沿椭圆移动到B (0,b )，求力所做的功．解：依题意知 F =kxi +kyj ，且L ：cos sin x a t y a t =⎧⎨=⎩，t ：0→π2()()()()π2022π20π222022d d cos sin sin cos d sin 2d 2cos 2222LW kx x ky yka t t kb t b t t k b a t tk b a t k b a =+=-+⋅⎡⎤⎣⎦-=--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-=⎰⎰⎰(其中k 为比例系数)6．计算对坐标的曲线积分：(1)d Lxyz z⎰，Γ为x 2+y 2+z 2=1与y =z 相交的圆，方向按曲线依次经过第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ封限；(2)()()()222222d d d Lyz x z x y x y z-+-+-⎰，Γ为x 2+y 2+z 2=1在第Ⅰ封限部分的边界曲线，方向按曲线依次经过xOy 平面部分，yOz 平面部分和zOx 平面部分． 解:(1)Γ：2221x y z y z ⎧++=⎨=⎩ 即2221x z y z ⎧+=⎨=⎩其参数方程为：cos 2sin 22sin 2x t y t z t =⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ t ：0→2π故：2π2π2202π202π0222d cos sin sin cos d 2222sin cos d 42sin 2d 1621cos 4d 1622π16xyz z t t t t t t t t t t ttΓ=⋅⋅⋅==-==⎰⎰⎰⎰⎰(2)如图11-3所示．图11-3Γ=Γ1+Γ2+Γ3．Γ1：cos sin 0x t y t z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ t ：0→π2，故()()()()()1222222π2220π3320π320d d d sin sin cos cos d sincos d 2sin d 24233yz x z x y x y zt t t t tt t tt tΓ-+-+-⎡⎤=--⋅⎣⎦=-+=-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰又根据轮换对称性知()()()()()()1222222222222d d d 3d d d 4334y z x z x y x y zy z x z x y x y zΓΓ-+-+-=-+-+-⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭=-⎰⎰7．应用格林公式计算下列积分：(1)()()d d 24356+-++-⎰x y x y x y Γ， 其中L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界；(2)()()222d d cos 2sin e sin 2e x x L x yx y x xy x y x x y ++--⎰，其中L 为正向星形线()2223330x y a a +=>；(3)()()3222d d 2cos 12sin 3+--+⎰L x y xy y x y x x y ，其中L 为抛物线2x =πy 2上由点(0,0)到(π2,1)的一段弧；(4)()()22d d sin Lx yx y x y --+⎰，L 是圆周22y x x =-上由点(0,0)到(1,1)的一段弧；(5)()()d d e sin e cos xx Lx yy my y m +--⎰，其中m 为常数，L 为由点(a ,0)到(0,0)经过圆x 2+y 2=ax上半部分的路线（a 为正数）．图11-4解：(1)L 所围区域D 如图11-4所示，P =2x -y +4，Q =3x +5y -6，3Q x ∂=∂，1P y ∂=-∂，由格林公式得()()d d 24356d d 4d d 4d d 1432212LD DDx yx y x y Q P x y x y x yx y+-++-∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭===⨯⨯⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)P =x 2y cos x +2xy sin x -y 2e x ，Q =x 2sin x -2y e x ，则2cos 2sin 2e xPx x x x y y ∂=+-∂， 2cos 2sin 2e xQx x x x y x ∂=+-∂．从而P Q y x ∂∂=∂∂，由格林公式得． ()()222d d cos 2sin e sin 2e d d 0++--∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭=⎰⎰⎰x x LD x yxy x xy x y x x y Q P x y x y(3)如图11-5所示，记OA ，AB ，BO 围成的区域为D ．（其中BO =-L ）图11-5P =2xy 3-y 2cos x ，Q =1-2y sin x +3x 2y 2 262cos Pxy y x y ∂=-∂，262cos Q xy y x x ∂=-∂ 由格林公式有：d d d d 0L OA AB D Q P P x Q y x y x y -++∂∂⎛⎫-+== ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰故π21220012202d d d d d d d d ππd d 12sin 3243d 12π4π4++=+=+++⎛⎫=+-+⋅⋅ ⎪⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰LOA AB OA ABP x Q y P x Q yP x Q y P x Q yO x yy y y y y(4)L 、AB 、BO 及D 如图11-6所示．图11-6由格林公式有d d d d ++∂∂⎛⎫-+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰L AB BO D Q P P x Q y x y x y而P =x 2-y ，Q =-(x +sin 2y )．1∂=-∂Py ，1∂=-∂Q x ，即，0∂∂-=∂∂Q P x y于是()d d d d 0+++++=+=⎰⎰⎰⎰LABBOL AB BOP x Q y P x Q y从而()()()()()()()22222211220011300d d d d sin d d d d sin sin d d 1sin 131sin 232471sin 264L LBA OB P x Q y x y x y x y x y x y x y x y x y x y y x xy x y y +=--+=-+--+-+=-++⎡⎤⎡⎤=+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5)L ，OA 如图11-7所示．图11-7P =e x sin y -my ， Q =e x cos y -m ， e cos x Py m y ∂=-∂，e cos x Q y x ∂=∂ 由格林公式得：22d d d d d d d d 1π22π8L OA D DDQ P P x Q y x y x y m x ym x ya m m a +∂∂⎛⎫-+= ⎪∂∂⎝⎭==⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是：()()[]220202πd d d d 8πd 0e sin 00e cos08π0d 8π8+=-+=-+⋅⋅-⋅⋅-=-=⎰⎰⎰⎰L OA a x x a m aP x Q y P x Q y m a xm m m a xm a8．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：(1)星形线x =a cos 3t ，y =a sin 3t ； (2)双纽线r 2=a 2cos2θ； (3)圆x 2+y 2=2ax ． 解：(1) ()()()()()2π3202π2π242222002π202π202π202d sin 3cos d sin 33sin cos d sin 2sin d 43d 1cos 41cos 2163d 1cos 2cos 4cos 2cos 416312π+d cos 2cos 61623π8LA y x a t a t tt a t t t a t t t a t t t a tt t t t a t t t a =-=-⋅-==⋅=--=--+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)利用极坐标与直角坐标的关系x =r cos θ，y =r sin θ得 cos cos 2x a θ=sin cos 2y a θ=从而x d y -y d x =a 2cos2θd θ．于是面积为：[]π24π4π24π4212d d 2cos 2d sin 22LA x y y xa a a θθθ--=⋅-===⎰⎰(3)圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为 cos 02πsin x a a y a θθθ=+⎧≤≤⎨=⎩故()()[]()2π022π021d d 21d a+acos sin 2d 1cos 2πcos sin L A x y y x a a a a a θθθθθθθ=-=-=+=⋅-⎰⎰⎰ 9．证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值： (1)()()()()1,10,0d d x y x y --⎰；(2)()()()()3,423221,2d d 663x yxy y x y xy +--⎰；(3)()()1,221,1d d x y x x y -⎰沿在右半平面的路径；(4)()()6,81,0⎰沿不通过原点的路径；证：(1)P =x -y ，Q =y -x ．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且1P Q y x ∂∂==-∂∂，故积分与路径无关．取L 为从(0,0)到(1,1)的直线段，则L 的方程为：y =x ，x ：0→1．于是()()()()11,100,00d 0d d x x y x y ==--⎰⎰(2) P =6xy 2-y 3，Q =6x 2y -3xy 2．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且2123Pxy y y ∂=-∂，2123Q xy yx ∂=-∂，有P Q y x ∂∂=∂∂，所以积分与路径无关． 取L 为从(1,2)→(1,4)→(3,4)的折线，则()()()()()()[]3,423221,2432214323212d d 663d d 63966434864236x yxyy x y xy y xy y x y y x x +--=+--=+⎡⎤--⎣⎦=⎰⎰⎰(3)2y P x =，1Q x =-，P ，Q 在右半平面内有连续偏导数，且21P y x ∂=∂，21Q x x ∂=∂，在右半平面内恒有P Q y x ∂∂=∂∂，故在右半平面内积分与路径无关． 取L 为从(1,1)到(1,2)的直线段，则()()()21,2211,1d d d 11x y x x y y -==--⎰⎰(4) P =，Q =P Q y x ∂∂=∂∂分在不含原点的区域内与路径无关， 取L 为从(1,0)→(6,0)→(6,8)的折线，则()()686,8101,0801529x y=+⎡=+⎣=⎰⎰⎰10．验证下列P (x ,y )d x +Q (x ,y )d y 在整个xOy 面内是某一函数u (x ,y )的全微分，并求这样的一个函数u (x ,y )：(1)(x +2y )d x +(2x +y )d y ； (2)2xy d x +x 2d y ；(3)(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y )d y ； (4)(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y ． 解：证：(1)P =x +2y ，Q =2x +y ． 2P Q y x ∂∂==∂∂，所以(x +2y )d x +(2x +y )d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分．()()()()()(),0,0022022d d ,22d d 2222222x y xy yu x yx y x y x y x x yx y x y xy x y xy =+++=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=++⎰⎰⎰(2)P =2xy ,Q =x 2, 2P Q x y x ∂∂==∂∂，故2xy d x +x 2d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分．()()(),20,02022d d ,0d d x y xy u xy x x yx y x x yx y=+=+=⎰⎰⎰(3)P =3x 2y +8xy 2，Q =x 3+8x 2y +12y e y ，2316∂∂=+=∂∂P Q x xy y x ，故(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y )d y是某个定义在整个xOy 面内函数u (x ,y )的全微分， ()()()()()(),22320,03200322d ,38812e 0d d 812e 412e 12e 12x y y xyy y y u x x y x y x y x x y y x y x x y y x y x y y =++++=+++=++-+⎰⎰⎰(4)P =2x cos y +y 2cos x ，Q =2y sin x -x 2sin y ，2sin 2cos Px y y x y ∂=-+∂，2cos 2sin Q y x x yx ∂=-∂， 有P Q y x ∂∂=∂∂，故(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y 是某一个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分， ()()()()()(),220,020022d d ,2cos cos 2sin sin 2d d 2sin sin sin cos x y xyu x y x y x y y x y x x y x x yy x x y y x x y=++-=+-=+⎰⎰⎰11．证明：22d d x x y yx y ++在整个xOy 平面内除y 的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数．证：22x P x y =+，22y Q x y =+，显然G 是单连通的，P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数，并且．()2222∂∂-==∂∂+P Q xy y x x y ，(x ,y )∈G因此22d d x x y y x y ++在开区域G 内是某个二元函数u (x ,y )的全微分．由()()22222222d d 11ln 22d x y x x y y d x y x y x y ++⎡⎤==+⎢⎥++⎣⎦ 知()()221ln ,2u x y x y =+．12．设在半平面x >0中有力()3kF xi yj r =-+构成力场，其中k为常数，r =，证明：在此力场中场力所做的功与所取的路径无关． 证：场力沿路径L 所作的功为．33d d L k k W x x y y r r =--⎰ 其中3kx P r =-，3kyQ r =-，则P 、Q 在单连通区域x >0内具有一阶连续偏导数，并且 53(0)P kxy Q x y r x ∂∂==>∂∂因此以上积分与路径无关，即力场中场力所做的功与路径无关．13．当Σ为xOy 面内的一个闭区域时，曲面积分()d d ,,R x yx y z ∑⎰⎰与二重积分有什么关系？解：因为Σ：z =0，在xOy 面上的投影区域就是Σ故()()d d d d ,,,,0R x y R x yx y z x y ∑∑=±⎰⎰⎰⎰当Σ取的是上侧时为正号，Σ取的是下侧时为负号． 14．计算下列对坐标的曲面积分： (1)22d d x y z x y∑⎰⎰，其中Σ是球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半部分的下侧；(2)d d d d d d z x y x y z y z x ∑++⎰⎰，其中Σ是柱面x 2+y 2=1被平面z =0及z =3所截得的在第Ⅰ封限内的部分的前侧；(3)()()()d d 2d d d d ,,,,,,f x y z f y z x f z x y x y z x y z x y z ∑+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰，其中f (x ,y ,z )为连续函数，Σ是平面x -y +z =1在第Ⅳ封限部分的上侧；(4)d d d d d d xz x y xy y z yz z x ∑++⎰⎰，其中Σ是平面x =0,y =0,z =0,x +y +z =1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；(5)()()()d d d d d d y z z x x y y z x y z x ∑++---⎰⎰，其中Σ为曲面22z x y =+与平面z =h (h >0)所围成的立体的整个边界曲面，取外侧为正向； (6)()()22d d d d d d +++-⎰⎰y y z x z x x yy xz x z ∑，其中Σ为x =y =z =0，x =y =z =a 所围成的正方体表面，取外侧为正向；解：(1)Σ：222z R x y =---，下侧，Σ在xOy 面上的投影区域D xy 为：x 2+y 2≤R 2．()()()()()()()()()()22222222π42222002π222222222002π35422222222200354*******d d d d d cos sin d 1sin 2d d 81d d 1cos421612422π1635xyD RR R xy z x y x y x yR x y r r rR r R r R R r r R R R r R R r R r R r R R R r R r ∑θθθθθθθ=----=---=-⋅-⎡⎤+--⎣⎦⎡⎤=----+---⎣⎦=-⋅-+--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()72220772π105RR r R ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=(2)Σ如图11-8所示，Σ在xOy 面的投影为一段弧，图11-8故d d 0z x y ∑=⎰⎰，Σ在yOz 面上的投影D yz ={(y ,z )|0≤y ≤1，0≤z ≤3}，此时Σ可表示为：21x y =-(y ,z )∈D yz，故23202d d 1d d d 1d 31d yzD x y z y y zz y yy y∑=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Σ在xOz 面上的投影为D xz ={(x ,z )|0≤x ≤1，0≤z ≤3}，此时Σ可表示为：21y x =-(x ,z )∈D xz， 故23202d d 1d d d 1d 31d xzD y z x x z xz x xx x∑=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰因此：120120d d d d d d 231d 61d π643π2z x y x y z y z xx x x x∑++⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-=⋅=⎰⎰⎰⎰(3)Σ如图11-9所示，平面x -y +z =1上侧的法向量为 n ={1,-1,1}，n 的方向余弦为1cos 3α=，1cos 3β-=，1cos 3γ=，图11-9由两类曲面积分之间的联系可得：()()()()()()()()()d d 2d d d d ,,,,,,cos d (2)cos d ()d d cos cos d d (2)d d ()d d cos cos (2)()d d d d 1d d xyD f x y z f y z x f z x y x y z x y z x y z s f y s f z x yf x x y f y x y f z x y f x f y f z x y f x x yx y z x yx y x y ∑∑∑∑∑αβαβγγ+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+++++=+++++=-+++⎡⎤+⎣⎦=-+=+-⎡⎤--⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d 111212xyD x y==⨯⨯=⎰⎰⎰⎰(4)如图11-10所示：图11-10Σ=Σ1+Σ2+Σ3+Σ4．其方程分别为Σ1：z =0，Σ2：x =0，Σ3：y =0，Σ4：x +y +z =1，故()()123441100d d 000d d d d 11d d 124xyD xxz x yxz x yx x yx y x x y x y ∑∑∑∑∑∑-=+++=+++=--==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由积分变元的轮换对称性可知．1d d dzd 24xy y z yz x ∑∑==⎰⎰⎰⎰因此．d d dyd d d 113248xz x y xy z yz z x ∑++=⨯=⎰⎰(5)记Σ所围成的立体为Ω，由高斯公式有：()()()()()()d d d d d d d d d 0d d d 0y z z x x yy z x y z x y z x y z x x y z x y z x y z ∑ΩΩ++---∂∂⎛⎫--∂-=++ ⎪∂∂∂⎝⎭==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(6)记Σ所围的立方体为Ω， P =y (x -z )，Q =x 2，R =y 2+xz ． 由高斯公式有()()()()()22200204d d d d d d d d d d d d d d d d d d 2d 2a aaaaaaay y z x z x x yyxz x z P Q R x y z x y z x y zx y x y z x y x a yx y y a x xy a a x ax a ∑ΩΩ+++-∂∂∂⎛⎫++= ⎪∂∂∂⎝⎭=+=+=+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰15.设某流体的流速V =(k ,y ,0)，求单位时间内从球面x 2+y 2+z 2=4的内部流过球面的流量. 解：设球体为Ω，球面为Σ，则流量3d d d d d d d 432d d d π2π33k y z y z xP Q x y z x y x y z ∑ΩΩΦ=+∂∂⎛⎫+= ⎪∂∂⎝⎭==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（由高斯公式）16．利用高斯公式，计算下列曲面积分：(1)222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰，其中Σ为平面x =0，y =0，z =0，x =a ，y =a ，z =a 所围成的立体的表面的外侧；(2)333d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰，其中Σ为球面x 2+y 2+z 2=a 2的外侧； (3)()()2232d d d d d d 2xz y z z x x yxy z xy y z ∑++-+⎰⎰，其中Σ为上半球体x 2+y 2≤a 2，0z ≤的表面外侧；(4)d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰，其中Σ是界于z =0和z =3之间的圆柱体x 2+y 2=9的整个表面的外侧；解：(1)由高斯公式()()22204d d d d d d d 2222d 6d 6d d d 3aaax y z y z x z x yvx y z vx y z x v x x y za ∑ΩΩΩ++=++=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰对称性(2)由高斯公式：()3332222ππ405d d d d d d d 3d 3d d sin d 12π5ax y z y z x z x yP Q R v x y z v x y z r ra ∑ΩΩθϕϕ++∂∂∂⎛⎫++= ⎪∂∂∂⎝⎭=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)由高斯公式得 ()()()2232222π2π222024π05d d d d d d 2d d d d sin d 2πsin d d 2π5aaxz y z z x x yxy z xy y z P Q R v x y z v z x y r r rr ra ∑ΩΩθϕϕϕϕ++-+∂∂∂⎛⎫++= ⎪∂∂∂⎝⎭=++=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)由高斯公式得： 2d d d d d d d 3d 3π3381πx y z y z x z x yP Q R v x y z v∑ΩΩ++∂∂∂⎛⎫++= ⎪∂∂∂⎝⎭==⋅⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰17.利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分：(1)d d d y x z y x zΓ++⎰，其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2=a 2，x +y +z =0，若从x 轴的正向看去，这圆周是取逆时针的方向；(2)()()()222222d d d x y zyz x y z x Γ++---⎰，其中Γ是用平面32x y z ++=截立方体：0≤x ≤1，0≤y ≤1，0≤z ≤1的表面所得的截痕，若从Ox 轴的正向看去，取逆时针方向； (3)23d d d y x xz y yz z Γ++⎰，其中Γ是圆周x 2+y 2=2z ，z =2，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向；(4)22d 3d d +-⎰y x x y z zΓ，其中Γ是圆周x 2+y 2+z 2=9，z =0，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向．解：(1)取Σ为平面x +y +z =0被Γ所围成部分的上侧，Σ的面积为πa 2（大圆面积），Σ的单位法向量为{}cos ,cos ,cos n αβγ==． 由斯托克斯公式22d d d cos cos cos d d πy x z y x zR Q Q P P R s y z x y z x ss a a Γ∑∑∑αβγ++⎡∂∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫∂∂⎛⎫--=++- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)记为Σ为平面32x y z ++=被Γ所围成部分的上侧，可求得Σ的面积为（是一个边长为2的正六边形）；Σ的单位法向量为{}cos ,cos ,cos αβγ==n ．由斯托克斯公式()()()(((()222222d d d2222d22d3d23292x y zy z x yz xy z x y sz xsx y zsΓ∑∑∑++---⎡+----=--⎢⎣=++===-⎰⎰⎰⎰⎰(3)取Σ：z=2，D xy：x2+y2≤4的上侧，由斯托克斯公式得：()()()2223d d dd d0d d d d3d d35d d5π220π-+=++--+=-+=-=-⨯⨯=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x xz y yz zy z z x x yzz xx yzx yΓ∑∑(4)圆周x2+y2+z2=9，z=0实际就是xOy面上的圆x2+y2=9，z=0，取Σ：z=0，D xy：x2+y2≤9由斯托克斯公式得：()()()222d3d dd d d d d d000032d dd dπ39π+-=++---===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x x y z zy z z x x yx yx yΓ∑∑18．把对坐标的曲线积分()()d d,,LP x Q yx y x y+⎰化成对弧长的曲线积分，其中L为：(1)在xOy面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；(2)沿抛物线y=x2从点(0,0)到点(1,1)；(3)沿上半圆周x2+y2=2x从点(0,0)到点(1,1)．解：(1)L的方向余弦πcos cos cos42αβ===，故()()d d,,dLP x Q yx y x yP x Qs++=⎰⎰(2)曲线y =x 2上点(x ,y )处的切向量T ={1,2x }．其方向余弦为cos α=，cos β=故()()d d ,,d 2,,LP x Q yx y x y P x xQ x y x y s++=⎰⎰(3)上半圆周上任一点处的切向量为⎧⎨⎩其方向余弦为cos α=cos 1x β=-故()()()()()d d ,,d ,,1LLP x Q yx y x y s Q x y x y x +⎤=+-⎦⎰⎰ 19．设Γ为曲线x =t ，y =t 2，z =t 3上相应于t 从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分d d d P x Q y R z Γ++⎰化成对弧长的曲线积分．解：由x =t ，y =t 2，z =t 3得d x =d t ，d y =2t d t =2x d t ，d z =3t 2dt =3y d t ，d s t =．故d cos d d cos d d cos d x s y s z s αβγ======因而d d d P x Q x R x s ΓΓ++=⎰⎰20．把对坐标的曲面积分 ()()()d d d d d d ,,,,,,P y z Q z x R x y x y z x y z x y z ∑++⎰⎰化成对面积的曲面积分，其中：(1) Σ是平面326x y ++=在第Ⅰ封限的部分的上侧； (2) Σ是抛物面z =8-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分的上侧．解：(1)平面Σ：326x y ++=上侧的法向量为n ={3，2，，单位向量为n 0={35，25，}，即方向余弦为3cos 5α=，2cos5β=，cos γ=．因此：()()()()d d d d d d ,,,,,,d cos cos cos 32d 555P y z Q z x R x y x y z x y z x y z sP Q R sP Q R ∑∑∑αβγ++=++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)Σ：F (x ,y ,z )=z +x 2+y 2-8=0，Σ上侧的法向量n ={ F x ，F y ，F z }={ 2x ，2y ，1}其方向余弦：cos α=cos β=cos γ=故()()()()d d d d d d ,,,,,,d cos cos cos P y z Q z x R x y x y z x y z x y z sP Q R s∑∑∑αβγ++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
§10.2[1]对坐标的曲线积分
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解
t : 0 →π,
′ xt = asint.
2
B(a,0)
o
A(a,0)
x
y dx = ∫ (asin t )2(asin t ) dt ∫L 0
π
t : 0 →π, ′ xt = asint.
2
∫L Pdx = ∫a P[x, y( x)]dx
y
b
y dx = ∫ (asin t )2(asin t ) dt ∫L 0
dx = ′(t )dt, dy =ψ′(t )dt.
∫L P( x, y)dx + Q( x, y)dy
=∫
注意: 注意:
β {P[(t ),ψ (t )] ′(t ) + Q[(t ),ψ (t )] ′(t )}dt ψ α
1. 定积分的下限α不一定 不一定要小于上限β; 2. f ( x, y)中x, y不彼此独立 而是相互有关的 , .
性质
(1) 如果把L分成L 和L2 (L = L + L2 ) , 则 1 1
∫L Pdx + Qdy = ∫L1 Pdx + Qdy + ∫L2 Pdx + Qdy.
(2) 设L是有向曲线弧 L是与L方向相反的 , 有向曲线弧 则 ,
∫L P( x, y)dx = ∫L P( x, y)dx; ∫LQ( x, y)dy = ∫LQ( x, y)dy
∫L Pdx + Qdy = ∫a{P[ x, y( x)]+ Q[ x, y( x)]y′( x)}dx
例 3 计算 L 2xydx + x2dy,其中 为 L ∫
b
(1) 抛物线 y = x2上从 (0,0)到B(1,1)的一段弧 O ; (2) 抛物线 x = y2上从 (0,0)到B(1,1)的一段弧 O ;
D10_22对坐标曲线积分
1
(3) 原式
= ∫ ( 2x ⋅ 0 + x ⋅ 0)dx + ∫ ( 2y ⋅ 0 +1)dy
2 0
1
1
0
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注意2： 注意 ： 被积函数相同， 被积函数相同，起点和 终点也相同， 终点也相同，但路径不同 积分结果相同.
例4. 求 从 z 轴正向看为顺时针方向. 解: 取 Γ 的参数方程
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1. 已知 Γ 为折线 ABCOA(如图), 计算 提示: 提示
∫AB d x − d y + ∫BC − d y + y d z+ 0+ ∫OAd x
= ∫ 2dx − ∫ (1+ y)dy + ∫ dx
1 0
0
1
z
C(0,0,1) y + z =1
1
0
1 = −2+ (1+ ) +1 2
x = φ (t) y =ψ (t) , t :α → β z = ω (t)
=∫
{ P[ϕ (t),ψ (t), ω (t)]ϕ′(t) α
β
+ Q[ϕ (t),ψ (t), ω (t)]ψ′(t) + R[ϕ (t),ψ (t) , ω (t)]ω′(t)}d t
4. 两类曲线积分的联系
∫L Pd x + Qd y ∫Γ Pd x + Qd y + Rd z
∫L F ⋅ d s = ∫L P(x, y)dx + Q(x, y)dy
类似地, 若 Γ为空间曲线弧 , 记 d s = (d x, dy , dz)
《对坐标的曲线积分》课件
理解坐标曲线积 分在物理、工程 等领域的应用
掌握坐标曲线积 分与微积分、线 性代数等课程的 联系
培养解决问题的 能力和创新思维
THANK YOU
汇报人：
曲线积分是微积分的一个重要分支，广泛应用于物理、工程等领域
曲线积分可以帮助我们理解和解决许多实际题，如流体力学、电磁学等
曲线积分在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用价值 曲线积分是微积分的一个重要工具，可以帮助我们理解和解决许多实际问 题
为后续学习打下基础
掌握坐标曲线积 分的概念、性质 和计算方法
例题解析与练习
典型例题解析
例题1：求曲线积分，积分区间为[0,1]，积分曲线为y=x^2 例题2：求曲线积分，积分区间为[0,1]，积分曲线为y=x^3 例题3：求曲线积分，积分区间为[0,1]，积分曲线为y=x^4 例题4：求曲线积分，积分区间为[0,1]，积分曲线为y=x^5
练习题及答案解析
曲线积分概念引入
曲线积分的定义：对曲线上的函数 进行积分
曲线积分的特点：与直线积分不同， 需要考虑曲线的弯曲程度
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
曲线积分的应用：物理、工程、经 济等领域
曲线积分的分类：第一类曲线积分 和第二类曲线积分
本次PPT课件的目的和内容
目的：介绍坐 标的曲线积分 的概念、方法
对坐标的曲线积分的注意事项 及常见错误分析
参数方程和直角坐标系转换时的注意事项
转换时注意参数方程和直角坐标系的转换关系 转换过程中注意参数方程的取值范围 转换过程中注意参数方程的连续性和可微性 转换过程中注意参数方程的积分区间和积分限
计算曲线积分时的常见错误及解决方法
错误：积分区间错误 解决方法：正确选择积分区间， 确保积分区间包含曲线的全部长度 解决方法：正确选择积分区间，确保积分区间包含曲线的全部长 度
第四章 曲线积分与曲面积分 第二节 对坐标的曲线积分
2 4 2a 3 1 a 3 3 3 (2) 取 L 的方程为 y 0, x : a a , 则
- 12 -
第二节
对坐标的曲线积分
例3. 计算
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
其中L为
y
B ( 1, 1 )
2 2
(1) 抛物线 L : y x 2 , x : 0 1; (2) 抛物线
x yd x
L AO
x :0 1
OB
o
y x
x
x yd x
x yd x
2 x
0 1 3 2
A(1,1)
4 dx 5
解法2 取 y 为参数, 则
x yd x y 2 y( y 2 ) d y
L 1
- 11 -
1
第二节
对坐标的曲线积分
例2. 计算
F ( x , y , z ) { P ( x , y , z ) , Q( x , y , z ) , R( x , y , z )}
-5-
第二节
对坐标的曲线积分
二 对坐标的曲线积分的性质
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
(1)
L (P1 ( x, y ) P2 ( x, y ))dx P1 ( x , y )dx P2 ( x , y )dx L L ( Q ( x, y) Q ( x, y))dy Q ( x , y )dy Q ( x , y )dy
xy
o
1 0
yx
4 x 3 d x
1
(3) 有向折线 L : OA AB .
解: (1) 原式 (2) 原式 ( 2 y y 2 y y )d y
11-对坐标的曲线积分
(2) 取 L 的方程为 y 0 ,x :a a , 点也相同，但路
则
y2 dx
a
0 dx 0
L
a
径不同时积分结 果不同.
高等数学A(下）
23 - 12
Friday, December 13, 2019
例3. 计算 2xydxx2dy,其中L为 y L
B(1,1)
(1) 抛物线 L:yx2,x:0 1; x y 2
高等数学A(下）
23 - 10
Friday, December 13, 2019
例1. 计算 xydx, 其中L 为沿抛物线 y2 x 从点 L
A (1 , 1)到 B (1,1 )的一段.
y B(1,1)
解法1 取 x 为参数, 则 L:AOOB A:O y x ,x:1 0
A ax
解: (1) 取L的参数方程为 x a ct ,o y a s st ,i t :0 n π
则 y2dx πa2 sin2 t (asitn )dt2a3 π2sin3tdt
L
0
0
2a3 2 1 4 a 3
3
3
备注：被积函数 相同，起点和终
k 1
4) “取极限”
n
W lim P ( ξ k ,η k) Δ x k Q ( ξ k ,η k) Δ y k 0 k1
(其中 为 n 个小弧段的
最大长度)
y F(k,k)
L
M yk k B
Mxkk1
A
O
x
高等数学A(下）
23 - 4
Friday, December 13, 2019
类似地, 若 为空间曲线弧 , 记 d s (x d ,d y ,d z)
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n
lim
0
k 1
P(k , k
记作
)xk
Q(k
, k
)yk
L P(x, y)dx Q(x, y)dy
都存在, 则称此极限为函数
在有向曲线弧 L 上
对坐标的曲线积分, 或第二类曲线积分. 其中,
称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 .
4
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n
L
P(x,
y)dx
• 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
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例2. 计算
其中 L 为
y
(1) 半径为 a 圆心在原点的
B
A
上半圆周, 方向为逆时针方向;
a
ax
(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ).
lim
0
k
1
P(
k
, k
)xk ,
称为对
x
的曲线积分;
n
L
Q(x,
y)dy
lim
0
Q( k
k 1
,
k
)yk ,
称为对
y
的曲线积分.
若记 d s (d x , dy), 对坐标的曲线积分也可写作
L F d s L P(x, y)dx Q(x, y)dy
类似地, 若 为空间曲线弧 , 记 d s (d x , dy , dz)
y x
OB : y x, x : 0 1
O y xx
xydx xydx xydx
L
AO
OB
解法2 取 y 为参数, 则
A(1,1)
2
1
3
x2
dx
4
0
5
xydx 1 y2 y( y2 )dy
L
1
8
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皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
(t)d
t
• 对有向光滑弧 L : y (x) , x : a b
ab P[x, (x)] Q[x, (x)] (x)dx
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• 对空间有向光滑弧 :
x (t) y (t), t : z (t)
P
[
(t
),
(t
)
,
(t
)]
(t
)
Q[ (t), (t), (t)] (t)
O
xA
y
2π (R2 k 2t ) d t 0
(2) 的参数方程为
2πk
y d x x d y z d z t d t
AB
0
12
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3. 计算
•
对有向光滑弧
L
:
x y
(t) (t)
,
t :
P[
(t ),
(t )] (t )
Q[
(t ),
(t)]
F (x, y, z) (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))
5
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3. 性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧
则 P(x, y)dx Q(x, y)dy L
k
P(x, y)dx Q(x, y)dy
i1 L i
(2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则
W F AB cos
B F AB
“常代变” “近似和” “取极限”
1
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1) “大化小”. 把L分成 n 个小弧段, F 沿
所做的功为
则
n
W Wk
k 1
2) “常代变”
有向小弧段
用有向线段
近似代替, 在
上任取一点
y F (k , k )
L
M ykk B
Mxk k1
A
x
则有
Wk F (k , k ) M k 1M k P(k , k )Δ xk Q(k , k )Δ yk
2
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3) “近似和”
n
W P(k , k )xk Q(ξk , k )yk
k 1
4) “取极限”
n
W
lim
0 k 1
P (ξk , ηk
)Δ xk
Q(ξk , ηk
)Δ yk
(其中 为 n 个小弧段的
最大长度)
y F (k , k )
L
M ykk B
Mxkk1
A
x
3
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2. 定义. 设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 在L 上定义了一个向量函数
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 极限
(2) 抛物线
y x2
(3) 有向折线 L : OA AB.
A(1, 0) x
解: (1) 原式
4 1 x3 dx 0
(2) 原式
1
(
2y2
y
2y
y
4
)d y
0
(3) 原式
1
0 dy 0
11
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例4. 设在力场
沿 移动到
作用下, 质点由
其中 为
z
B
试求力场对质点所作的功. 解: (1)
存在, 且有
P
[
(t),
(t
)]
(t)
Q[
(t),
(t
)]
(t
)d
t
7
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例1. 计算
xyd x , 其中L 为沿抛物线
L
y2 x 从点
A(1, 1)到B(1, 1)的一段.
y B(1,1)
解法1 取 x 为参数, 则 L : AO OB AO : y x, x :1 0
说明:
P(x, y)dx Q(x, y)dy L
• 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
• 定积分是第二类曲线积分的特例.
6
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二、对坐标的曲线积分的计算法
定理:
在有向光滑弧 L 上有定义且
连续, L 的参数方程为
x (t)
y
(t)
t : , 则曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的概念与性质
1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用
F (x, y) (P(x, y), Q(x, y))
y L
B
A x
在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移
动过程中变力所作的功W. 变力沿直线所作的功
解决办法: “大化小”
F A
R[ (t), (t), (t)](t)d t
4. 两类曲线积分的联系
L P d x Q d y
Pd x Qd y Rd z
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2. 已知 为折线 ABCOA(如图), 计算
提示:
Байду номын сангаас
AB d x d y BC d y y d z 0 OA d x
0
1
2dx
0
1
(1
y)dy
1
0 dx
z C(0,0,1)
2 (1 1) 1 2
y z 1 B(0,1,0)
O y
A(1,0,0) x y 1 x
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作业
P200 3 (2), (4), (6), (7) ; 4; 5; 7; 8
16
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
解: (1) 取L的参数方程为
则
y2 dx π a2 sin 2 t (a sin t )d t
L
0
2a3 2 1 4 a3 33
(2) 取 L 的方程为 y 0, x : a a,则
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例3. 计算
其中L为 y
B(1,1)
(1) 抛物线 L : y x2, x : 0 1; x y 2