对坐标曲线积分例题与习题

R[ (t), (t), (t)](t)d t
4. 两类曲线积分的联系
L P d x Q d y
Pd x Qd y Rd z
Байду номын сангаас14
目录 上页 下页 返回 结束
2. 已知 为折线 ABCOA(如图), 计算
提示:
AB d x d y BC d y y d z 0 OA d x
0
1
F (x, y, z) (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))
5
目录 上页 下页 返回 结束
3. 性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧
则 P(x, y)dx Q(x, y)dy L
k
P(x, y)dx Q(x, y)dy
i1 L i
(2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则
解: (1) 取L的参数方程为
则
y2 dx π a2 sin 2 t (a sin t )d t
L
0
2a3 2 1 4 a3 33
(2) 取 L 的方程为 y 0, x : a a,则
10
目录 上页 下页 返回 结束
例3. 计算
其中L为 y
B(1,1)
(1) 抛物线 L : y x2, x : 0 1; x y 2
2dx
0
1
(1
y)dy
1
0 dx
z C(0,0,1)
2 (1 1) 1 2
y z 1 B(0,1,0)
O y
A(1,0,0) x y 1 x
15
目录 上页 下页 返回 结束
作业
P200 3 (2), (4), (6), (7) ; 4; 5; 7; 8
16
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
A
x
则有
Wk F (k , k ) M k 1M k P(k , k )Δ xk Q(k , k )Δ yk
2
目录 上页 下页 返回 结束
3) “近似和”
n
W P(k , k )xk Q(ξk , k )yk
k 1
4) “取极限”
n
W
lim
0 k 1
P (ξk , ηk
)Δ xk
W F AB cos
B F AB
“常代变” “近似和” “取极限”
1
目录 上页 下页 返回 结束
1) “大化小”. 把L分成 n 个小弧段, F 沿
所做的功为
则
n
W Wk
k 1
2) “常代变”
有向小弧段
用有向线段
近似代替, 在
上任取一点
y F (k , k )
L
M ykk B
Mxk k1
存在, 且有
P
[
(t),
(t
)]
(t)
Q[
(t),
(t
)]
(t
)d
t
7
目录 上页 下页 返回 结束
例1. 计算
xyd x , 其中L 为沿抛物线
L
y2 x 从点
A(1, 1)到B(1, 1)的一段.
y B(1,1)
解法1 取 x 为参数, 则 L : AO OB AO : y x, x :1 0
• 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
目录 上页 下页 返回 结束
例2. 计算
其中 L 为
y
(1) 半径为 a 圆心在原点的
B
A
上半圆周, 方向为逆时针方向;
a
ax
(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ).
一、 对坐标的曲线积分的概念与性质
1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用
F (x, y) (P(x, y), Q(x, y))
y L
B
A x
在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移
动过程中变力所作的功W. 变力沿直线所作的功
解决办法: “大化小”
F A
lim
0
k
1
P(
k
, k
)xk ,
称为对
x
的曲线积分;
n
L
Q(x,
y)dy
lim
0
Q( k
k 1
,
k
)yk ,
称为对
y
的曲线积分.
若记 d s (d x , dy), 对坐标的曲线积分也可写作
L F d s L P(x, y)dx Q(x, y)dy
类似地, 若 为空间曲线弧 , 记 d s (d x , dy , dz)
n
lim
0
k 1
P(k , k
记作
)xk
Q(k
, k
)yk
L P(x, y)dx Q(x, y)dy
都存在, 则称此极限为函数
在有向曲线弧 L 上
对坐标的曲线积分, 或第二类曲线积分. 其中,
称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 .
4
目录 上页 下页 返回 结束
n
L
P(x,
y)dx
(2) 抛物线
y x2
(3) 有向折线 L : OA AB.
A(1, 0) x
解: (1) 原式
4 1 x3 dx 0
(2) 原式
1
(
2y2
y
2y
y
4
)d y
0
(3) 原式
1
0 dy 0
11
目录 上页 下页 返回 结束
例4. 设在力场
沿 移动到
作用下, 质点由
其中 为
z
B
试求力场对质点所作的功. 解: (1)
y x
OB : y x, x : 0 1
O y xx
xydx xydx xydx
L
AO
OB
解法2 取 y 为参数, 则
A(1,1)
2
1
3
x2
dx
4
0
5
xydx 1 y2 y( y2 )dy
L
1
8
目录 上页 下页 返回 结束
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
说明:
P(x, y)dx Q(x, y)dy L
• 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
• 定积分是第二类曲线积分的特例.
6
目录 上页 下页 返回 结束
二、对坐标的曲线积分的计算法
定理:
在有向光滑弧 L 上有定义且
连续, L 的参数方程为
x (t)
y
(t)
t : , 则曲线积分
O
xA
y
2π (R2 k 2t ) d t 0
(2) 的参数方程为
2πk
y d x x d y z d z t d t
AB
0
12
目录 上页 下页 返回 结束
3. 计算
•
对有向光滑弧
L
:
x y
(t) (t)
,
t :
P[
(t ),
(t )] (t )
Q[
(t ),
(t)]
Q(ξk , ηk
)Δ yk
(其中 为 n 个小弧段的
最大长度)
y F (k , k )
L
M ykk B
Mxkk1
A
x
3
目录 上页 下页 返回 结束
2. 定义. 设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 在L 上定义了一个向量函数
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 极限
(t)d
t
• 对有向光滑弧 L : y (x) , x : a b
ab P[x, (x)] Q[x, (x)] (x)dx
13
目录 上页 下页 返回 结束
• 对空间有向光滑弧 :
x (t) y (t), t : z (t)
P
[
(t
),
(t
)
,
(t
)]
(t
)
Q[ (t), (t), (t)] (t)