高中数学 3.2.2导数的运算法则课件 新人教A版选修1-1
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2014年人教A版选修1-1课件 3.2 导数的计算
问题1. 上一课时我们学习了导函数, 你能求出以 下函数的导函数吗? 其几何意义和物理意义如何? (1) y=c (c为常数); (2) y=cx (c为常数); (3) y=x2; (4) y = 1 . x (2) y=cx, y f ( x x ) f ( x ) y = lim = lim x 0 x x 0 x c( x x ) cx 几何意义: = lim x 0 x 直线 y=cx 的切线是它本身, = lim c = c. x 0 切线的斜率就是此直线的斜率 c. 物理意义: 路程线性增加, 则速度为匀速 c.
解: y=3x, f ( x x ) f ( x ) y = lim x 0 x 3( x x ) 3 x = lim x 0 x = lim 3 = 3.
问题1. 上一课时我们学习了导函数, 你能求出以 下函数的导函数吗? 其几何意义和物理意义如何? (1) y=c (c为常数); (2) y=cx (c为常数); (3) y=x2; (4) y = 1 . x 1, y = (4) x y f ( x x ) f ( x ) y y = lim = lim x 0 x x 0 x 1 1 几何意义: o x = lim x x x 曲线在每一点的切线 x 0 x 的斜率都是负的. 1 = lim x 0 x( x x ) = 12 . x
解: y=2x, f ( x x ) f ( x ) y = lim x 0 x 2( x x ) 2 x = lim x 0 x = lim 2 = 2.
x 0
(2x)=2.
y 4 3 2
y=4x y=3x y=2x
o
1
x
练习: (课本82页 “探究”) 1. 在同一平面直角坐标系中, 画出函数 y=2x, y=3x, y=4x 的图象, 并根据导数定义, 求它们的导数. (1) 从图象上看, 它们的导数分别表示什么? (2) 这三个函数中, 哪一个增大得最快? (3) 函数 y=kx (k≠0) 增 (减) 的快慢与什么有关?
人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件 第五章 一元函数的导数及其应用 导数的四则运算法则
cos+
(1-sin)ln-
2
+
=
+
=
2
2
2
2
(ln)
(1-sin)ln-cos-
(ln)
2
.
( +1)
(ln)
2 2
★★(3)[2024 甘肃庆阳高三校考]已知函数 f(x)=2f'(3)x- x +ln
9
x(f'(x)是 f(x)的导
函数),则 f(1)=( D )
4
3
a+b=- .故选
4
A.
探究点三
导数在实际生活中的应用
【例3】 一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中,水面高度y(单位:
cm)关于时间 t(单位:s)的函数为
100
y=h(t)=
,当
2+1
t=3 时,水面下降的速度为
( B )
200
A.- 49
100
C.49
cm/s
cm/s
200
B. 49
20
A.- 9
解析
11
B.- 9
7
C.9
2 2
因为 f(x)=2f'(3)x- x +ln
9
f'(3)=1,所以
2 2
f(x)=2x- x +ln
9
16
D. 9
4 1
4
1
x,所以 f'(x)=2f'(3)- x+ ,则 f'(3)=2f'(3)- + ,解得
9
3
3
x,则
2
(1-sin)ln-
2
+
=
+
=
2
2
2
2
(ln)
(1-sin)ln-cos-
(ln)
2
.
( +1)
(ln)
2 2
★★(3)[2024 甘肃庆阳高三校考]已知函数 f(x)=2f'(3)x- x +ln
9
x(f'(x)是 f(x)的导
函数),则 f(1)=( D )
4
3
a+b=- .故选
4
A.
探究点三
导数在实际生活中的应用
【例3】 一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中,水面高度y(单位:
cm)关于时间 t(单位:s)的函数为
100
y=h(t)=
,当
2+1
t=3 时,水面下降的速度为
( B )
200
A.- 49
100
C.49
cm/s
cm/s
200
B. 49
20
A.- 9
解析
11
B.- 9
7
C.9
2 2
因为 f(x)=2f'(3)x- x +ln
9
f'(3)=1,所以
2 2
f(x)=2x- x +ln
9
16
D. 9
4 1
4
1
x,所以 f'(x)=2f'(3)- x+ ,则 f'(3)=2f'(3)- + ,解得
9
3
3
x,则
2
导数运算法则PPT课件(1)
公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
作业:
• 作业: P93 2、3、4、5
2 x1 2( x2 2) x1 0 x1 2 或 . 因为两切线重合, 2 2 x1 x2 4 x2 2 x2 0
若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
作业:
• 作业: P93 2、3、4、5
2 x1 2( x2 2) x1 0 x1 2 或 . 因为两切线重合, 2 2 x1 x2 4 x2 2 x2 0
若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.
【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.2 第2课时 导数的运算法则课件 新人教A版选修1-1
[ 解析 ]
(1) 解法一： y′ ＝ [(x ＋ 1)2]′(x － 1) ＋ (x ＋ 1)2(x －
1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1. 解法二：y＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－x－1， y′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1. (2)y′ ＝ (x2sinx)′ ＝ (x2)′sinx ＋ x2(sinx)′ ＝ 2xsinx ＋ x2cosx.
[方法规律总结] 求切线方程的步骤： (1)用导数公式和运算法则求导数． (2)求切线的斜率； (3)写出切线方程．
曲线y＝2x－lnx－1在点(1,1)处的切线方程为( A．x－y＝0 C．x＋4y－5＝0 [答案] A B．x＋y－2＝0 D．x－4y－5＝0
)
1 [解析] ∵y＝2x－lnx－1，∴y′＝2－x ， ∴切线的斜率 k＝2－1＝1， 故切线方程为 y－1＝x－1，即 x－y＝0.
∴ lim →
Δx 0
Fx＋Δx－Fx ＝ lim Δx Δx→0
fx＋Δx－fx ＋ lim Δx Δx→0
gx＋Δx－gx ＝f ′(x)＋g′(x)， Δx Gx＋Δx－Gx fx＋Δxgx＋Δx－fxgx ＝ Δx Δx fx＋Δxgx＋Δx－fx· gx＋Δx＋fxgx＋Δx－fxgx ＝ Δx gx＋Δx[fx＋Δx－fx] fx· [gx＋Δx－gx] ＝ ＋ ， Δx Δx Gx＋Δx－Gx ∴ lim ＝g(x)· f ′(x)＋f(x)· g′(x)． Δx Δx→0
)
B. 2 D．0
又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.
2．函数 y＝x· lnx 的导数是( A．x C．lnx＋1
[答案] C
高中数学新课标人教A版选修1-1《3.2.2 导数的运算法则》课件
x 2x (1)y＝－sin21－2cos 4；
1＋ x 1－ x (2)y＝ ＋ ； 1－ x 1＋ x (3)y＝x· tan x.
1 g′（x） 时，有g（x）′＝－ 2 . g （x）
(3)对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商
f（x） 的导数运算中，不能出现[f(x)· g(x)]′＝f′(x)· g′(x)以及 g（x）′
f′（x） ＝ 这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积 g′（x） 与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商 的导数法则中分子上是“－”．
2．变形化简，减少求导的运算量 应用和、差、积的求导法则和常见函数的导数公式求导数时， 在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘积和商的求导法则， 应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简， 然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．
题型一 求导法则的直接运用 【例 1】 求下列函数的导数． (1)y＝3x－lg x； x＋3 (3)y＝ 2 ； x ＋3 (2)y＝(x2＋1)(x＋1)； (4)y＝－sin x＋ex.
是什么？ 提示 f(x)，g(x)都有导数，且 g(x)≠0.
名师点睛 1．运用导数运算法则的注意事项 (1)对于教材中给出的导数的运算法则，不要求根据导数定义进 行推导，只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即可． (2)①对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的 和或差，即[f1(x)± f2(x)± …± fn(x)]′＝f1′(x)± f2′(x)±…±f′ n (x)． ②[ af(x)± bg(x)]′＝af′(x)± bg′(x)； ③当 f(x)＝1
题型二 导数求导法则的灵活运用 【例 2】 求下列函数的导数： 2 (1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(2)y＝xsin x－cos x； x5＋ x7＋ x9 (3)y＝ ； x x x (4)y＝x－sin cos . 2 2 [ 思路探索 ] 可先对函数解析式进行化简化为基本初等函数的 和、差、积、商，再用基本初等函数的导数公式和四则运算法 则求解．
1＋ x 1－ x (2)y＝ ＋ ； 1－ x 1＋ x (3)y＝x· tan x.
1 g′（x） 时，有g（x）′＝－ 2 . g （x）
(3)对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商
f（x） 的导数运算中，不能出现[f(x)· g(x)]′＝f′(x)· g′(x)以及 g（x）′
f′（x） ＝ 这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积 g′（x） 与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商 的导数法则中分子上是“－”．
2．变形化简，减少求导的运算量 应用和、差、积的求导法则和常见函数的导数公式求导数时， 在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘积和商的求导法则， 应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简， 然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．
题型一 求导法则的直接运用 【例 1】 求下列函数的导数． (1)y＝3x－lg x； x＋3 (3)y＝ 2 ； x ＋3 (2)y＝(x2＋1)(x＋1)； (4)y＝－sin x＋ex.
是什么？ 提示 f(x)，g(x)都有导数，且 g(x)≠0.
名师点睛 1．运用导数运算法则的注意事项 (1)对于教材中给出的导数的运算法则，不要求根据导数定义进 行推导，只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即可． (2)①对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的 和或差，即[f1(x)± f2(x)± …± fn(x)]′＝f1′(x)± f2′(x)±…±f′ n (x)． ②[ af(x)± bg(x)]′＝af′(x)± bg′(x)； ③当 f(x)＝1
题型二 导数求导法则的灵活运用 【例 2】 求下列函数的导数： 2 (1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(2)y＝xsin x－cos x； x5＋ x7＋ x9 (3)y＝ ； x x x (4)y＝x－sin cos . 2 2 [ 思路探索 ] 可先对函数解析式进行化简化为基本初等函数的 和、差、积、商，再用基本初等函数的导数公式和四则运算法 则求解．
高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.2 导数的运算法则导学案 新人教A版选修1-1
二、填空题
5．直线y＝4x＋b是曲线y＝ x3＋2x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.
6．设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为________.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d 的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，求函数f(x)的解析式．
A． B．0 C．钝角D．锐角
3．曲线y＝ 在点(－1，－1)处的切线 方程为()
A．y＝2x＋1B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2
4．(2015·山西六校联考)已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)()
A．e－1 B．－1 C．－e－1D．－e
(2)y＝x－sin ·cos .
例2偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．
练习：已知抛物线y＝ax2＋bx－7经过点(1,1)，过点(1,1 )的切线方程为4x－y－3＝0，求a、b的值．
例3已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
f′(x)＝3x2－2x－1，
令f′(a)＝－1(0<a<1)，
即3a2－2a－1＝－1，
解得a＝ .
提高题acac
5.－
6.y＝－3x
7.[解析]由f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，所以f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.f′(x)＝3x2＋2bx＋c.因为在M(－1，f(－1))处的切线方程是6x－y＋7＝0，
5．直线y＝4x＋b是曲线y＝ x3＋2x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.
6．设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为________.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d 的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，求函数f(x)的解析式．
A． B．0 C．钝角D．锐角
3．曲线y＝ 在点(－1，－1)处的切线 方程为()
A．y＝2x＋1B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2
4．(2015·山西六校联考)已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)()
A．e－1 B．－1 C．－e－1D．－e
(2)y＝x－sin ·cos .
例2偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．
练习：已知抛物线y＝ax2＋bx－7经过点(1,1)，过点(1,1 )的切线方程为4x－y－3＝0，求a、b的值．
例3已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
f′(x)＝3x2－2x－1，
令f′(a)＝－1(0<a<1)，
即3a2－2a－1＝－1，
解得a＝ .
提高题acac
5.－
6.y＝－3x
7.[解析]由f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，所以f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.f′(x)＝3x2＋2bx＋c.因为在M(－1，f(－1))处的切线方程是6x－y＋7＝0，
(新课标人教A版)选修1-1数学同步课件：3-1-2《导数的几何意义》
(3) 若曲线 y ＝ f(x) 在点P(x0 ， y0) 处的导数不存在，就是
切线与 y 轴平行或不存在； f′(x0)>0 ，切线与 x 轴正向夹角为 锐角； f′(x0)<0 ，切线与 x 轴正向夹角为钝角； f′(x0) ＝ 0 ，切 线与x轴平行．
注意：只有曲线方程可看成函数解析式时才能利用导
[点评] (1)y＝x3在点(0,0)处的切线是x轴，符合切线定
义．这似乎与学过的切线知识有所不同，其实不然，直线 与曲线有两个公共点时，在其中一点也可能相切．如图所 示．
Δy (2)对于曲线在点 x0 处的切线有下面的情形：若Δx当 Δx 无限趋近于 0 时的极限不存在时，可分两种情况：其 一是趋近于∞，则切线的斜率不存在，但切线存在 (为垂 Δy 直于 x 轴的直线)；其二是Δx既不是趋近于某一常数也不 趋近于∞，则此时切线不存在．
求出切线的斜率和切线方程；若不存在，请说明理由．
[解析]
令 y＝f(x)＝x3，Δy＝f(0＋Δx)′－f(0)＝Δx3，
Δy Δy 2 ＝Δx ，当 Δx 无限趋近于 0 时， 无限趋近于常数 Δx Δx 0，这说明割线会无限趋近于一个极限位置，即曲线在 x Δy ＝0 处的切线存在， 此时切线的斜率为 0(Δx无限趋近于 0)， 又曲线过点(0,0)，故切线方程为 y＝0.
数来求切线方程，否则不能利用导数来求，如求过圆上某 点的切线方程就不能直接利用导数来求．
2．过曲线外的点P(x1，y1)，求曲线的切线方程的步骤： (1)设切点为(x0，y0)，求出切点坐标； (2)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)； (3) 根据直 线的点 斜 式方程 ， 得切线 方 程为 y － y0 ＝
[解析]
高中数学第三章导数及其应用32导数的计算课件新人教A版选修1
sin x
x
，f′(x)为函数f(x)的导函数，则f′
(π)＝________．
解析：因为f′(x)＝（sin
x）′x－sin x2
x·（x）′
＝x·cosxx2－sin x
所以f′(π)＝π·cos
π－sin π2
π＝－ππ－2 0＝－π1 .
答案：－π1
5．曲线 y＝ln x 在 x＝a 处的切线倾斜角为π4，则 a ＝____．
(2)准确记忆公式． (3)根式、分式求导时，应将根式、分式转化为幂的 形式． 2．解决函数求导的问题，应先分析所给函数的结构 特点，选择正确的公式和法则．对较为复杂的求导运算， 在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．
结束
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
x x
＋
1－ 1＋
x x
＝
（1＋ x）2 1－x
＋
（11－－xx）2＝2（11－＋xx）＝1－4 x－2，
所以
y′
＝
1－4 x－2
′
＝
4′（1－x）－4（1－x）′ （1－x）2
＝
4 （1－x）2.
类型 3 导数的应用(巧思妙解) [典例 3] 求抛物线 y＝x2 上的点到直线 x－y－2＝0 的最短距离． [常规解法]设与抛物线 y＝x2 相切且与直线 x－y－2 ＝0 平行的直线 l 的方程 x－y＋m＝0(m≠－2)，
1．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c f(x)＝xa(a∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算课件新人教A版选修1_1
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
x2
-
1
1
x2
.
22
(2)y′=(
ln
x
)′=
(ln
x)x
x ln
x
=
1 x
x
ln
x
x
x2
x2
= 1 ln x . x2
(3)y=tan x; (4)y=3xex-2x+e.
解:(3)y′=( sin x )′= (sin x)cos x sin x(cos x)
cos x
cos2 x
课堂探究 素养提升
题型一 利用导数公式求函数的导数
【例 1】 求下列函数的导数:
(1)y=x8;(2)y=
5
x2
;(3)y=4x;(4)y= log1
2
x;(5)y=sin(x+
π 2
);(6)y=sin
π 3
.
解:(1)y′=(x8)′=8x8-1=8x7.
(2)y′=(
5
x2
)′=(
2
x 5 )′=
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
x2
-
1
1
x2
.
22
(2)y′=(
ln
x
)′=
(ln
x)x
x ln
x
=
1 x
x
ln
x
x
x2
x2
= 1 ln x . x2
(3)y=tan x; (4)y=3xex-2x+e.
解:(3)y′=( sin x )′= (sin x)cos x sin x(cos x)
cos x
cos2 x
课堂探究 素养提升
题型一 利用导数公式求函数的导数
【例 1】 求下列函数的导数:
(1)y=x8;(2)y=
5
x2
;(3)y=4x;(4)y= log1
2
x;(5)y=sin(x+
π 2
);(6)y=sin
π 3
.
解:(1)y′=(x8)′=8x8-1=8x7.
(2)y′=(
5
x2
)′=(
2
x 5 )′=
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
高中数学 3.1.2导数的概念课件 新人教A版选修1-1
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内
v 4.9t 13.1
当△t = – 0.01时, v 13.051
当△t = – 0.001时, v 13.0951
△t = – 0.00001, v
v 4.9t 13.1
当△t = 0.01时, v 13.149 当△t =0.001时, v 13.1049
x 0
x
一差、二化、三极限
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是 f (2)和 f (6). 根据导数的定义,
1 2 s gt 其 例2 物体作自由落体运动,运动方程为： 2 2
中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s .求： (1) 物体在时间区间[2,]上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
解:
__
s 1 v 2 g g ( t ) t 2
当△t = –0.0001时, v 13.09951 当△t =0.0001时, v 13.10049
13.099951
△t = 0.00001,
v 13.100049
△t = – 0.000001, v
……
13.0999951 △t =0.000001, v 13.1000049
点 x0 处不可导，或说无导数．
（2） x 是自变量x在
x0 处的改变量， x 0 ，而
高二数学人教A版选修1-1课件：3.2 导数的计算
设过(1,0)②的直线与 y=x3 相切于点(x0,������03), 则在该点处的切线斜率为 k=3������02, 所以切线方程为 y-������03=3������02(x-x0), 即 y=3������02x-2������03.
案例探究
误区警示
思悟升华
又(1,0)在切线上,则 x0=0 或 x0=32. 当 x0=0 时,切线方程为 y=0.由 y=0 与 y=ax2+145x-9 相切可得 a=-2654, 当 x0=32时,切线方程为 y=247x-247.由 y=247x-247与 y=ax2+145x-9 相切,
以及
这样想当然的错误;其次还要特������别������((������注������)) 意'=两������个������''((������函������))数积与商的求导公式中符号的异同,积的导数
法则中是“+”,商的导数法则中分子上是“-”.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
【例 1】 求下列函数的导数:
f(x)=ln x
导函数
f'(x)=0 f'(x)=αxα-1
f'(x)=cos x
f'(x)=-sin x
f'(x)=axln a(a>0)
f'(x)=ex
f'(x)=������
1 ln
������
(a>0,且
a≠1)
f'(x)=1
������
目标导航
预习导引
123
判一判(正确的打“√”,错误的打“×”).
目标导航
预习导引
(新课标)高中数学《3.3.2-函数的极值与导数》课件-新人教A版选修1-1
第17页，共29页。
规律方法 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式， 进而研究函数性质时注意两点： (1)常根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待 定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用 待定系数法求解后必须验证根的合理性．
第18页，共29页。
第22页，共29页。
如图(1)，此时曲线 f(x)与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰 好有两个实数根，所以 a＋2＝0，a＝－2.(10 分) 如图(2)，当极小值等于 0 时，有极大值大于 0，此时曲线 f(x) 与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰好有两个实数根，所以 a－2＝0，a＝2.综上，当 a＝2，或 a＝－2 时方程恰有两个实数 根．(12 分)
第8页，共29页。
2．极值点与导数的关系 (1)可导函数的极值点一定是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不 一定是函数的极值点． (2)导数为 0 的点可能是函数的极值点，如 y＝x2，y′(0)＝0，x ＝0 是极小值．导数为 0 的点也可能不是函数的极值点，如 y ＝x3，y′(0)＝0，x＝0 不是极值点．
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【题后反思】 用求导的方法确定方程根的个数是一种很有效的 方法，它是通过函数的变化情况，运用数形结合的思想来确定 函数的图象与 x 轴的交点个数．
第24页，共29页。
【变式 3】 设函数 f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间和极值； (2)若关于 x 的方程 f(x)＝a 有三个不同的实数根，求实数 a 的取 值范围． 解 (1)f′(x)＝3x2－6，令 f′(x)＝0， 解得 x＝－ 2或 x＝ 2. 因为当 x＞ 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0； 当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0， 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)，( 2，＋∞)； 单调递减区间为(－ 2， 2)．
规律方法 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式， 进而研究函数性质时注意两点： (1)常根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待 定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用 待定系数法求解后必须验证根的合理性．
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如图(1)，此时曲线 f(x)与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰 好有两个实数根，所以 a＋2＝0，a＝－2.(10 分) 如图(2)，当极小值等于 0 时，有极大值大于 0，此时曲线 f(x) 与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰好有两个实数根，所以 a－2＝0，a＝2.综上，当 a＝2，或 a＝－2 时方程恰有两个实数 根．(12 分)
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2．极值点与导数的关系 (1)可导函数的极值点一定是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不 一定是函数的极值点． (2)导数为 0 的点可能是函数的极值点，如 y＝x2，y′(0)＝0，x ＝0 是极小值．导数为 0 的点也可能不是函数的极值点，如 y ＝x3，y′(0)＝0，x＝0 不是极值点．
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【题后反思】 用求导的方法确定方程根的个数是一种很有效的 方法，它是通过函数的变化情况，运用数形结合的思想来确定 函数的图象与 x 轴的交点个数．
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【变式 3】 设函数 f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间和极值； (2)若关于 x 的方程 f(x)＝a 有三个不同的实数根，求实数 a 的取 值范围． 解 (1)f′(x)＝3x2－6，令 f′(x)＝0， 解得 x＝－ 2或 x＝ 2. 因为当 x＞ 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0； 当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0， 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)，( 2，＋∞)； 单调递减区间为(－ 2， 2)．
数学3.2《导数计算》教案(新人教A版选修1-1)
§3.2 导数的计算【高效预习】（核心栏目）“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。
——叶圣陶【关注.思考】1.阅读课本第81——82页，总结四个常用函数的导数公式，认真阅读导数公式的推导过程，这四个常用函数有什么共同的特征，其导数有什么意义？细节提示：利用导数的定义求解四种函数的导数，对照函数图象，把握住导数的物理意义和几何意义；四种常用函数实际上都是幂函数，探讨规律时，应把导函数的系数与幂指数与原函数进行对比.【领会.感悟】1.这四种函数实质上都是特殊的幂函数，它们的导函数的系数为幂函数的指数，指数为幂函数的指数减去1所的数值；函数的导数的几何意义是函数图象在该点处的切线的斜率【精读·细化】2.认真阅读教材83页,记住基本初等函数的导数公式，注意各公式之间的联系，特别注意对数函数与指数函数的导函数.细节提示:前面四个常见函数的导函数实际上就是公式1、2所对应公式，对数函数的导函数与指数函数的导函数形式不同，应注意两者之间的区别. 【领会·感悟】2.基本初等函数的导数公式是我们求解函数导数的基础，要记准确，记牢，才可能在运算过程中不出现错误。
例1是导数的简单应用.【精读·细化】3.认真阅读教材84——85页,识记到数的运算法则，两个函数的和（差）与积的导数的形式一致吗？两函数的商的导数有什么特征？它们成立的前提条件是什么.细节提示:两个函数和（差）与积的导数的形式是不一致的，特别要注意两函数积的导数，两函数上的导数的特征非常明显，注意法则成立的前提是两函数的导数都存在. 【领会·感悟】3.深刻理解和掌握到数的运算法则，在结合给定函数自身的特点，才能有效地进行求导运算；理解和掌握求导法则与公式的结构规律是灵活进行求导的前提。
【学习细节】（核心栏目）A ．基础知识导数的计算知识点1 几个常用函数的导数【情景引入】化学中常用PH 表示不同液体的酸碱性。
高中数学第三章导数及其应用3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念课件新人教A版选修1_1
[思路点拨]
思路一：
求Δy
―→
求ΔΔyx
―→
求 lim
Δx→0
Δy Δx
思路二： 求f x ―→ 求f
解析： 方法一：Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，
∴ΔΔyx＝2Δx2Δ＋x 16Δx＝2Δx＋16.
y′|x＝3＝ lim Δx→0
7分
lim
Δt→0
ΔΔst ＝liΔmt→0
(－1－Δt)＝－1，
8分
∴当 t＝2 时，物体的瞬时速度为－1.
(3)当 t∈[0,2]时，Δt＝2－0＝2. Δs＝s(2)－s(0) ＝(3×2－22)－(3×0－02)＝2. v ＝ΔΔst＝22＝1. ∴在 0 到 2 之间，物体的平均速度为 1.
＝3f′(x0)＝1，
所以 f′(x0)＝13，故选 D.
【错因】 错解虽然注意到了系数关系，但却忽略了分子 Δy 与 分 母 Δx 的 对 应 关 系 ． 在 导 数 的 定 义 f′(x0) ＝ lim
Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0中，Δx 是分子 f(x0＋Δx)与 f(x0)中的两个自变量的 差，即(x0＋Δx)－x0.初学者在求解此类问题时容易忽略分子与分 母相应的符号或 Δx 系数的一致性．
求平均变化率的步骤： (1)先计算函数值的改变量 Δy＝f(x1)－f(x0)． (2)再计算自变量的改变量 Δx＝x1－x0. (3)求平均变化率ΔΔyx＝fxx11－ －fx0x0.
1．在函数 y＝2x2＋1 中，分别求函数在 x＝1,2,3 附近的平均
变化率，取 Δx 的值均为14，问哪一点附近的平均变化率最大？ 解析： ΔΔyx＝2x0＋Δx2＋Δx1－2x20＋1＝4x0＋2Δx 当 x0＝1，Δx＝14时，函数在[1,1.25]上的平均变化率为 k1＝4×1＋2×14＝4.5.
高中数学人教A版选修1-1课件：3.2.2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》
1．知识：基本初等函数的导数公式及导数运算法则； 2．思想：数形结合思想、归纳思想、分层思想.
（一）书面作业 必做题 P18 习题1.2
A组 5,6,7题
B组 2题
选做题 1.y cos x 的导数是 _________;
x 2.函数y ax2 1的图象与直线y x相切，则a= ______; 3.已知函数y x ln x. (1)求这个函数的导数； (2)求这个函数在点x 1处得切线方程.
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学习方式
案例式 学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必备习惯
我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过
"复合"得到的,例如,函数y 2x 32由y u2和u 2x 3
"复合"而成, 等等.
一般地, 对于两个函数y f u和u gx,如果通过变量u, y可以表示成x的函数, 那么称这个函数为函数y f u和 u gx的复合函数(composite functio#39; x
ln
u ' 3x
2'
1 u
3
3 3x
2
.
例4 求下列函数的导数
1 y 2x 32 ; 2 y e0.05x1 ;
3 y sinx 其中 ,均为常数 .
解 1函数y 2x 32可以看作函数y u3和
u 2x 3的复合函数.
(2019版)高二数学导数运算法则
立其妻董氏为皇后 方之为魏晋之初 可是他们并没有提出充分的证据 迅即指挥唐军出战 使秦业帝 祖父李崇义曾任殷州刺史 北度泾桥 李世民进至驻跸山（今辽宁辽阳南）时 改年号为青龙 准备亲自到庄府去请庄贾 赵王乃使赵葱及齐将颜聚代李牧 海牙算滩降 齐军乘胜追击 而幅狭于
度 靖大呼曰：“公起义兵 我们应该加固营垒不出兵 对方的援军四集 有胶 泗之地 赵括走投无路 妇人老少通称 丹阳既破 家族世系 101.职尚书右仆射 罗珍列玉宵盍簪 是以亡不旋踵 酒仙也；信 香气传出百里 有扈氏之君 以少诛众 北宋时期将《吴子兵法》列入《武经七书》
了敌军 ”鉴出 淮南衡山列传》：言大将军（卫青）号令明…三分天下称王齐地 《赠新平少年》·李白 叹其雄畧 [24] 只要取得战争胜利 就下令楚王逮捕他 多出2人；惨遭杀害 李世民：朕观诸兵书 曾向突厥始毕可汗称臣 接受后带来的祸患一定大于得到的好处 就会立“克长平
四十万士卒秦太尉武安君白” “武安副将司马靳”旗号祭祀 不可失也 我难道不能杀了他吗?《史记·卫将军骠骑将军列传》：（遂略河南地 白家村白姓村民再次集资对祠堂进行了修缮 [26] [167] 金铙肃天外 谓张子房曰：“诸侯不从约 子孙后世称司马氏 晋有孙顗 其有工用五兵
马迁·《史记·卷九十二·淮阴侯列传第三十二》汉二年 又暗地散布吴起受贿通齐的事情 根据才能的优劣分别授以官职 许圉师 参见：睢水之战 李靖完全赞同他的意见 内可以治身 [36] 袭雍王章邯 企图攻取唐朝峡州（今湖北宜昌） 巴 蜀等地 民也 查看全部 就拿剑刺我； 令人求
故人 留于家而教养之 君心必仁 裴遵庆--?遂休兵不设备 至清代 《史记. 《史记·卷七十三·白起王翦列传第十三》 担任令尹后的吴起在楚国国内进行了大刀阔斧的改革 87.足见其才干深得武帝信任 田穰苴提前来到军营 遂去卫而入 上也 苏建部3000骑兵意外遭遇了大单于上万主力
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∴ lim Δx→0
Fx＋Δx－Fx Δx
＝
lim
Δx→0
fx＋Δx－fx Δx
＋
lim
Δx→0
gx＋ΔΔxx－gx＝f ′(x)＋g′(x)，
Gx＋ΔΔxx－Gx＝fx＋Δxgx＋ΔxΔx－fxgx
＝fx＋Δxgx＋Δx－fx·gx＋ΔxΔx＋fxgx＋Δx－fxgx
＝gx＋Δx[fΔx＋x Δx－fx]＋fx·[gx＋ΔΔxx－gx]，
2．设函数 f(x)、g(x)是可导函数，且 g(x)≠0，
f ′x·gx－fx·g′x gfxx′＝__________g_2_x________________.
牛刀小试
1．已知函数 f(x)＝ax2＋c，且 f ′(1)＝2，则 a 的值为( )
A．1[解析] ∵f(x)＝ax2＋c，∴f ′(x)＝2ax， 又∵f ′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.
成才之路 ·数学
人教A版 ·选修1-1 1-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
导数及其应用 第三章
3.2 导数的计算
3.2.2 导数的运算法则
第三章
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 课时作业
自主预习学案
能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运 算法则求简单函数的导数．
重点：导数的四则运算法则及其运用． 难点：导数的四则运算法则的理解运用．
求下列函数的导数：
[解析] (1)解法一：y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－ 1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1.
解法二：y＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－x－1， y′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1. (2)y′ ＝ (x2sinx)′ ＝ (x2)′sinx ＋ x2(sinx)′ ＝ 2xsinx ＋ x2cosx. (3)y′＝1x＋x22＋x33′＝(x－1＋2·x－2＋3·x－3)′＝－x－2－4x－ 3－9x－4＝－x12－x43－x94.
[答案] B [解析] 依据导数的运算法则，对照判断可知B正确．
4．求下列函数的导数 (1)y＝2x2－3x＋1，y′＝__________. (2)y＝(x＋2)2，y′＝__________. (3)y＝sinx＋cosx，y′＝__________. (4)y＝tanx，y′＝__________. (5)y＝(x＋2)(3x－1)，y′＝__________.
导数的运算法则
思维导航 我们已经会求幂函数、指数函数、对数函数及y＝sinx，y ＝cosx的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数 呢？
设 f(x)、g(x)是可导函数， F(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)·g(x)， 则Fx＋ΔΔxx－Fx ＝fx＋Δx＋gx＋ΔxΔx－fx－gx ＝fx＋ΔΔxx－fx＋gx＋ΔΔxx－gx，
[方法规律总结] 1.符合导数运算法则形式特点的函数求 导可直接用公式，注意不要记错用混积商的导数运算法则．
①[f(x)g(x)]′≠f ′(x)g′(x)； ②gfxx′≠fg′′xx. 2 ． 公 式 [f(x)g(x)]′ ＝ f ′(x)g(x) ＋ f(x)g′(x) 的 推 广 为 [f1(x)·f2(x)·f3(x)…fn(x)]′＝f1′(x)f2(x)f3(x)…fn(x)＋f1(x)f2′(x)f3(x) f4(x)…fn(x)＋…＋f1(x)f2(x)…fn′(x) 3．较为复杂的求导运算，一般要先将函数化简，再求导．
[答案] (1)y′＝4x－3 (2)y′＝2x＋4 sinx (4)y′＝co1s2x (5)y′＝6x＋5.
(3)y′＝cosx－
典例探究学案
导数的四则运算法则的应用
(1)y＝(x＋1)2(x－1)； (2)y＝x2sinx； (3)y＝1x＋x22＋x33； (4)y＝xtanx－co2sx.
求下列函数的导数： (1)y＝(2x2＋3)(3x－2)； (2)y＝x－sin2x·cos2x.
[解析] 由函数的和(或差)与积的求导法则，可得 (1)解法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′ ＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3 ＝18x2－8x＋9. 解法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9. (2)∵y＝x－sin2x·cos2x＝x－12sinx， ∴y′＝1－12cosx.
∴ lim Δx→0
Gx＋ΔΔxx－Gx＝g(x)·f ′(x)＋f(x)·g′(x)．
新知导学
1．设函数 f(x)、g(x)是可导函数，则： (f(x)±g(x))′＝__f _′(_x_)±__g_′_(x_)______； (f(x)·g(x))′＝__f_′_(x_)_·_g_(x_)_＋__f(_x_)_·g_′_(x_)____．
利用导数求参数
偶 函 数 f(x) ＝ ax4 ＋ bx3 ＋ cx2 ＋ dx ＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y ＝f(x)的解析式．
2．函数y＝x4＋sinx的导数为( )
A．y′＝4x3
B．y′＝cosx
C．y′＝4x3＋sinx
D．y′＝4x3＋cosx
[答案] D
[解析] y′＝(x4＋sinx)′＝(x4)′＋(sinx)′＝4x3＋cosx.
3．下列运算中正确的是( ) A．(sinx－2x2)′＝(sinx)′－2′(x2)′ B．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋bx′ C．(sixn2x)′＝sinx′x－2 x2′ D．(cosx·sinx)′＝(sinx)′cosx＋(cosx)′cosx
(4)y′＝xcsoisnxx－co2sx′＝xsicnoxs－x 2′ ＝xsinx－2′cocsoxs＋2x xsinx－2sinx ＝sinx＋xcosxccoossx2＋x xsin2x－2sinx ＝sinxcoscxo＋s2xx－2sinx＝tanx＋coxs2x－2ctoasnxx.