高考数学压轴专题(易错题)备战高考《坐标系与参数方程》图文解析

新高中数学《坐标系与参数方程》专题解析
一、13
1．参数方程22sin { 12x y cos θ
θ
=+=-+ (θ为参数)化成普通方程是( )
A ．240x y -+=
B ．240x y +-=
C ．[]240,2,3x y x -+=∈
D ．[]
240,2,3x y x +-=∈ 【答案】D 【
解
析
】
试
题
分
析
：
2cos212sin θθ
=-Q ,
22112sin 2sin y θθ∴=-+-=-,2sin 2y θ∴=-
,代入22sin x θ=+可得22
y
x =-,整理可得240x y +-=.[]2
sin
0,1θ∈Q ,[]22sin 2,3θ∴+∈,即[]2,3x ∈.
所以此参数方程化为普通方程为[]
240,2,3x y x +-=∈.故D 正确. 考点：参数方程与普通方程间的互化.
【易错点睛】本题主要考查参数方程与普通方程间的互化,属容易题.在参数方程与普通方程间的互化中一定要注意x 的取值范围,否则极易出错.
2．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程2
22
12
3cos 4sin ρθθ
=
+经过直角
坐标系下的伸缩变换12x x y y ⎧=⎪⎪
⎨=''⎪⎪⎩
后，得到的曲线是（ ）．
A ．直线
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．圆
【答案】D 【解析】 【分析】
先把极坐标方程化为直角坐标方程，再经过直角坐标系下的伸缩变换，把直角坐标方程中的x ，y 分别换成得2x '
'，由此能求出结果． 【详解】 ∵极坐标方程2
2212
3+4cos sin ρθθ
=
∴2
2
2
2
3cos 4sin 12ρθρθ+=
∴直角坐标方程为2
2
3412x y +=，即22
143
x y +=
∴经过直角坐标系下的伸缩变换123x x y y
⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
后得到的曲线方程为22
(2)(3)143x y ''+=，
即22()()1x y ''+=. ∴得到的曲线是圆 故选D. 【点睛】
本题考查曲线形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程和直角坐标系下的伸缩变换公式的合理运用．
3．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θ
θ
=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系
是( ) A ．相切 B ．相离
C ．直线过圆心
D ．相交但直线不过圆
心 【答案】D 【解析】 【分析】
分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】 圆的参数方程2cos 2sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩(θ为参数)224x y ⇒+=
直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--= 圆心到直线的距离为：9
25
d r =
<=相交 圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心. 故答案选D 【点睛】
本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.
4．已知点是曲线：
（为参数，
）上一点，点
，则
的取值范围是 A ． B ．
C ．
D ．
【答案】D
【分析】
将曲线的参数方程化为普通方程，可知曲线是圆的上半圆，再利
用数形结合思想求出的最大值和最小值。

【详解】 曲线表示半圆：，
所以.
取，
结合图象可得
.故
选：D 。

【点睛】
本题考查参数方程与普通方程之间的转化，同时也考查了点与圆的位置关系，在处理点与圆的位置关系的问题时，充分利用数形结合的思想，能简化计算，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题。

5．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为
3ρθ=，若曲线1C 与2C 交于A 、B 两点，则AB 等于（ ）
A ．1
B 3
C ．2
D ．23【答案】B 【解析】 【分析】
由题意可知曲线1C 与2C 交于原点和另外一点，设点A 为原点，点B 的极坐标为
()(),0,02ρθρθπ>≤<，联立两曲线的极坐标方程，解出ρ的值，可得出AB ρ=，
即可得出AB 的值. 【详解】
易知，曲线1C 与2C 均过原点，设点A 为原点，点B 的极坐标为
()(),0,02ρθρθπ>≤<，
联立曲线1C 与2C 的坐标方程2sin 3ρθρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得33
πθρ⎧
=⎪
⎨
⎪=⎩
，因此，3AB ρ==
【点睛】
本题考查两圆的相交弦长的计算，常规方法就是计算出两圆的相交弦方程，计算出弦心距，利用勾股定理进行计算，也可以联立极坐标方程，计算出两极径的值，利用两极径的差来计算，考查方程思想的应用，属于中等题.
6．在参数方程cos sin x a t y b t θθ
=+⎧⎨=+⎩，
(0θπ<…，t 为参数)所表示的曲线上有,B C 两点，它们对
应的参数值分别为1t ，2t ，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） A ．12
2
t t - B ．12
2
t t + C ．
12
2t t - D ．
12
2
t t + 【答案】D 【解析】 【分析】
根据参数的几何意义求解即可。

【详解】 如图：
由直线参数方程的参数t 的几何意义可知，
1PB t =，2PC t =，因为M 是BC 的中点，所以12
2
t t PM +=
. 选D. 【点睛】
本题考查直线参数方程的参数t 的几何意义。

7．已知圆的极坐标方程为4sin 4P πθ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，则其圆心坐标为（ ） A ．2,
4π⎛⎫
⎪⎝
⎭
B ．32,
4
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭ C ．2,4π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
D ．()2,0
【答案】B
【分析】
把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求得圆心坐标(，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解. 【详解】
由题意知，圆的极坐标方程为4sin 4πρθ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，即ρθθ=-，
即2sin cos ρθθ=-，所以220x y ++-=，
所以圆心坐标为(， 又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨
=⎩
，可得圆心的极坐标为3(2,
)4π
，故选B. 【点睛】
本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，及圆的方程应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，把极坐标化为直角坐标方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
8．在极坐标系中，曲线C 的方程为2
23
12sin ρθ
=
+，以极点O 为直角坐标系的原点，极
轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ，设(),P x y 为曲线C 上一动点，则1x y +-的取值范围为（ ）
A ．1⎡⎤⎣⎦
B ．[]3,1-
C ．[]22-,
D ．[]
2,1--
【答案】B 【解析】 【分析】
将曲线C 的方程2
2
312sin ρθ=+化为直角坐标形式，可得2
213
x y +=，设
x α=，sin y α=，由三角函数性质可得1x y +-的取值范围.
【详解】
解：将cos =x ρθ ，sin y ρθ=代入曲线C 的方程2
23
12sin ρθ
=
+，
可得：2
2
2
2sin 3ρρθ+=，即2
2
33x y +=，2
213
x y +=
设x α=，sin y α=，
可得1sin 12(
cos sin )12sin()12213
x y π
ααααα+-=-=+++--=，
可得1x y +-的最大值为：1，最小值为：3-， 故选：B. 【点睛】
本题主要考查极坐标和直角坐标的互换及椭圆的参数方程，属于中档题，注意运算准确.
9．设曲线C 的参数方程为5cos ()15sin x y θ
θθ
⎧=⎪⎨
=-+⎪⎩为参数，直线l 10y -+=，
则曲线C 上到直线l 的距离为5
2
的点的个数为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
将圆C 化为普通方程，计算圆心到直线l 的距离，通过比较所求距离与5
2
的关系即可得到满足条件的点的个数． 【详解】
化曲线C 的参数方程为普通方程：(()2
2
125x y ++=，
圆心
)
1-10y -+=的距离3115
522
d ++=
=<， 所以直线和圆相交，过圆心和l 平行的直线和圆的2个交点符合要求， 与l 平行且与圆相切的直线和圆的一个交点符合要求，故有3个点符合题意， 故选C 【点睛】
解决这类问题首先把曲线C 的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系得出结论．
10．方程sin cos k ρθθ=++ 的曲线不经过极点，则k 的取值范围是（ ）
A ．0k ≠
B ．k R ∈
C ．k >
D ．k …
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意可知，极点不在方程表示的sin cos k ρθθ=++曲线上，可知sin cos k θθ+=-无
解，利用辅助角公式得出4sin cos πθθθ⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭，结合正弦函数的性质，即可得
出k 的取值范围.
【详解】
当0ρ=时，sin cos k θθ+=-，则此方程无解
由4sin cos πθθθ⎛
⎫+=+≤ ⎪⎝
⎭
k >时，方程无解.
故选：C 【点睛】
本题主要考查了点与直线的位置关系，涉及了正弦函数的性质，属于中档题.
11．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1 D ．y ＝1
【答案】C 【解析】 【分析】
先化简极坐标方程，再代入极坐标化直角坐标的公式得解. 【详解】
由题得2
2
(cos 1)0,0cos 1,0 1.x y x ρρθρρθ-=∴==∴+==或或 故答案为C. 【点睛】
(1)本题主要考查极坐标和直角坐标互化，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理
能力.(2) 求点的极坐标一般用公式222
=tan x y y x ρθ⎧+⎪
⎨=⎪
⎩
,求极角时要先定位后定量.把极坐标化成直
角坐标，一般利用公式cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩求解.（3）本题容易漏掉22
0x y +=.
12．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是
A ．(1,)2
π B ．(1,)2π- C ．(1,0) D ．(1，π)
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
由题圆2sin ρθ=-，则可化为直角坐标系下的方程,
22sin ρρθ=-，222x y y +=-，
2220x y y =++，
圆心坐标为（0，-1），
则极坐标为1,2π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
，故选B. 考点：直角坐标与极坐标的互化.
13．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为
ρθ=，若曲线1C 与2C 的关系为（ ）
A ．外离
B ．相交
C ．相切
D ．内含
【答案】B 【解析】 【分析】
将两曲线方程化为普通方程，可得知两曲线均为圆，计算出两圆圆心距d ，并将圆心距d 与两圆半径差的绝对值和两半径之和进行大小比较，可得出两曲线的位置关系. 【详解】
在曲线1C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，得2
4sin ρρθ=，化为普通方程得
224x y y +=，
即()2
224x y +-=，则曲线1C 是以点()10,2C 为圆心，以12r =为半径的圆，
同理可知，曲线2C 的普通方程为(2
212x y -+=，则曲线2C 是以点()
2C 为
圆心，以2r =
两圆圆心距为4d =
=，1222r r -=-=，
122r r +=+，1212r r d r r ∴-<<+，因此，曲线1C 与2C 相交，故选：B.
【点睛】
本题考查两圆位置关系的判断，考查曲线极坐标方程与普通方程的互化，对于这类问题，通常将圆的方程化为标准方程，利用两圆圆心距与半径和差的大小关系来得出两圆的位置关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
14．已知曲线2cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）和直线:x t
l y t b =⎧⎨=+⎩
（t 为参数，b 为实数），
若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b 等于（ ）
A B ．
C ．0
D ．【答案】D 【解析】 【分析】
求出曲线C 与直线的直角坐标方程，根据题意推出圆心到直线的距离为1，列出等式求解即可.
利用同角三角函数的基本关系可得曲线C 的直角坐标方程为2
2
4x y +=，圆的半径为2， 消去参数t 可以得到直线l 的直角坐标方程为y x b =+. 依题意，若要使圆上有3个点到直线l 的距离为1， 只要满足圆心到直线的距离为1
1=
，解得b =
故选：D 【点睛】
本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系，属于基础题.
15．已知曲线C 的极坐标方程为2
22
12
3cos 4sin ρθθ
=
+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C
经过伸缩变换123x x y y ⎧=⎪⎪
⎨=''⎪⎪⎩
后，得到的曲线是（ ）
A ．直线
B ．椭圆
C ．圆
D ．双曲线
【答案】C 【解析】 【分析】
将曲线C 的极坐标方程2
2212
3cos 4sin ρθθ
=
+化为普通方程，再将曲线C 的普通方程进
行12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
的伸缩变换后即可解. 【详解】
解：由极坐标方程2
2222
12
3(cos )4(sin )123cos 4sin ρρθρθθθ
=
⇒+=+， 可得：2
2
3412x y +=，即22
143
x y +=，
曲线C
经过伸缩变换123x x y y
⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
，可得2x x y =⎧=''⎪，代入曲线C 可得：22
1x y ''+=，
∴伸缩变换得到的曲线是圆． 故选：C ．
考查曲线的极坐标方程化普通方程以及曲线方程的变换.
其中将12x x y y ⎧=⎪⎪
⎨=''⎪⎪⎩
转化为
2x x
y
=⎧=''⎪为解题关键.
16．过椭圆C
：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩
（θ为参数）的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，
MF m =，NF n =，则
11
m n +的值为（） A ．
23
B ．43
C ．83
D ．不能确定
【答案】B 【解析】 【分析】
消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线l 的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得11
m n
+的值. 【详解】
消去参数得到椭圆的普通方程为22
143
x y +=，故焦点()1,0F ，设直线l 的参数方程为
1cos sin x t y t αα
=+⎧⎨
=⎩（α为参数），代入椭圆方程并化简得()22
3sin 6cos 90t t αα++⋅-=.故1212
226cos 9
,03sin 3sin t t t t ααα
+=-⋅=-<++（12,t t 异号）.故11m n m n mn ++=
12
12
t t t t -===⋅4
3
.故选B. 【点睛】
本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
17．已知实数x ，y 满足2212
x y +≤，则2222
267x y x y x +-++-+的最小值等于
（ ）
A ．
5
B ．
7
C
-
D ．9-
【答案】D 【解析】 【分析】
设x θ=
，sin y θ=，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．
【详解】
因为实数x ，y 满足2
212
x
y +„，
设x θ=
，sin y θ=，
222222222|2||67||2cos sin 2||2cos sin 7||sin |x y x y x θθθθθθ∴+-++-+=+-++-+=-
+2|cos 8|θθ-+，
22cos 8(cos 100θθθ-+=-->Q 恒成立，
222222|2||67|sin cos 899x y x y x θθθθ∴+-++-+=+-+=--…
故则2222|2||67|x y x y x +-++-+
的最小值等于9- 故选：D ． 【点睛】
本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
18．椭圆22:1169
x y C +=上的点P 到直线:34180l x y ++=的距离的最小值为( )
A
．
185
+ B
．
165
- C
．
185
- D
．
165
+ 【答案】C 【解析】 【分析】
设点P 的坐标为()4cos ,3sin θθ，其中[)0,2θ∈π，再利用点到直线的距离公式和三角函数的有界性，即可得答案. 【详解】
设点P 的坐标为()4cos ,3sin θθ，其中[)0,2θ∈π，
则点P 到直线l
的距离12cos 12sin 185d θθ++==
1845πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=≥，当sin 14πθ⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭时，等号成立. 因为[)0,2θ∈π，所以54
π
θ=
.
所以当54πθ=时，d 取得最小值
185
-. 故选：C. 【点睛】
本题考查椭圆参数方程的应用、点到直线距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意点的参数设法及三角函数的有界性运用.
19．在极坐标系中，与点8,
6π⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭
关于极点对称的点的一个坐标是( ) A ．8,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．58,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．58,6π⎛
⎫- ⎪⎝⎭
D ．8,6π⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
由点(),ρθ关于极点对称的点为()(),2k k Z ρππθ++∈，结合极径为负数的点的定义，即可得答案； 【详解】
点(),ρθ关于极点对称的点为()(),2k k Z ρππθ++∈， 故点8,6π⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭
关于极点对称的点的一个坐标为78,
6
π⎛⎫- ⎪⎝
⎭，即8,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 故选：A. 【点睛】
本题考查极径为负数的极坐标的定义，考查对概念的理解，属于基础题.
20．在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，(0B ,()30C ，
，动点D 满足1CD =u u u r
, 则OA OB OD ++u u r u u u r u u u r
的取值范围是（ ）
A ．[]
46，
B ．⎤⎦
C ．⎡⎣
D ．⎤⎦
【答案】D 【解析】
试题分析：因为C 坐标为()
3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则
D 满足参数方程3cos {
sin D D x y θθ
=+=(θ为参数且[
)0,2θπ∈),所以设D 的坐标为为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈,
则
OA OB OD ++=
u u u r u u u r u
u u r
=
因为2cos θθ
+的取值范围为
⎡⎡=⎢⎣
⎣
1
=
=
1=
=,所以
OA OB OD ++u u u r u u u r
u u
的取值范围为1⎤=⎦,故选D.
考点：参数方程 圆 三角函数。