抽样技术 7 不等概率抽样
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第七章 不等概抽样
•放回不等概率抽样
•不放回不等概率抽样
•利用软件进行抽样和计算 •案例分析
第一节 不等概率抽样概述
一、不等概率抽样的必要性 1、在简单随机抽样中，总体(或层)中的每个单 元入样的概率都相等。等概率抽样的特点是总 体中的每个单元在该总体中的地位(或重要性) 相同，在抽样时对每个单元采取的是“不偏不 倚”的态度 。等概率抽样不仅实施简单，而且 相应的数据处理公式也简单。但是在许多实际 问题中，我们还需要使用不等概率抽样 (sampling with unequal probabilities)。
不等概率抽样的特点
1、凡需使用不等概率抽样的场合，必须提供总体单
元的某种辅助信息。 例如：每个单元的“大小”度量Mi。注意：比估计 和回归估计是估计方法用到了辅助信息，本章是抽 样方法用到辅助信息.
2、不等概率抽样的主要优点是由于使用了辅
助信息，提高了抽样策略的统计效率， 能 显著地减少抽样误差。
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
mi 15 23 9 29 8 31 24 29 13 19
yi 75 134 37 152 45 185 133 173 74 87
i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
mi 40 32 17 26 11 36 25 5 38 42
放回不等概率抽样实施方法 1.代码法
单元i 单元大小M i 1 2 N M1 M2 MN
代码 1， 2， M 1 M 1 1，M 1 2， ，M 1 M 2
M
j1
N 1
j
1， ， M j 2， M j MN M0
j1 j1
N 1
N 1
1900
864 17 1045 220 4600 2370 940
19
20 21 22* 23 24 25 26
1.50
8.00 28.42 9.01 0.75 5.00 28.43 9.97
10
80 13672 3845 480 311 9284 842
9
8.81
992
18*
21.00
640
27
5.20
不等概率抽样的分类
放回不等概抽样：按照总体单元的规模大小来确定在每次抽 中的概率。抽取后放回总体，再进行下一次抽样，每次抽 样都是独立的。这种抽样称为放回不等概抽样(sampling with probabilities proportional to sizes，简称PPS抽样) • 不放回的不等概抽样：每次在总体中对每个单元按入样概 率进行抽样，抽出的样本不再放回总体，因此，在抽取了 第一个单元后，余下的单元再以什么概率被抽取就较复杂。 这种抽样不是独立的，无论是抽样方法还是方差估计，都 要比放回抽样繁复得多。不放回抽样通常称为πPS抽样。
i
mi
yi
i
mi
yi
i
mi
yi
1*
2 3 4 5 6 7 8
38.23
13.70 0.75 2.85 2.00 5.00 10.80 2.00
10926
1024 13 30 1102 600 290 430
10
11 12 13 14 15 16 17
5.50
15.00 7.00 15.00 12.30 3.86 15.80 9.00
不等概率抽样概述
2、抽样单元在总体中所占的地位不一致：例 如：要反映某小麦品种的优良情况，以村作 为抽样单位，但各村的种植面积不同，一些 种植面积大的村庄在抽样中是否被抽中对推 断总体的结果有很大影响 ，所以让“大单元” 被抽到的概率大，“小单元”被抽到的概率 小，这样能够大大提高样本的代表性，减少 抽样误差。
样本单元被抽中的概率z1， ，zn , 则对总体总量Y的估计是
n 1 ˆ yi Y HH n i 1 zi ˆ ) Y (1) E (Y HH N Yi 1 ˆ (2)V (YHH ) Z i ( Y ) 2 n i 1 Zi n yi ˆ 2 1 ˆ ) ˆ )的无偏估计。 (3)v(Y ( YHH ) 是V (Y HH HH n(n 1) i 1 zi
例：某县农业局要调查全县养猪专业户今年生猪的出栏头 数，现有全县365个养猪专业户去年的生猪存栏数，各专业 户的规模相差较大，决定以放回方式按与各养猪专业户上 年末生猪存栏头数成比例的PPS抽样 从中抽取30户进行调 查，结果如下，已知全县养猪专业户上年末生猪存栏头数 为9542头，试估计该县养猪专业户生猪今年出栏总头数和 抽样标准误。（摘自：“应用抽样技术”李金昌）
=30317005145.8 ˆ ) =174118 v(Y HH
在置信度为95%时，对应的t=1.96， ˆ ) s ( Y 174118 HH ˆ 的相对误差为：r t Y 1.96 45% HH ˆ 757087 Y
HH
ˆ ) S (Y HH r1 t =t ˆ YHH
1 2 S ˆ ) n1 S (Y HH 45%，r2 t =t ˆ ˆ Y Y
在PPS抽样中，赋予每个单元与Mi相等的代码 数，将代码数累加得到M0，每次抽样都等概产 生一个[1，M0]之间的随机数，设为m，代码m 所对应的单元被抽中。
例5.1 设某个总体有10个单元，相应的单元大小及其代码 数如下表，在其中产生一个n=3的样本。
i
1 2
Mi
0.6 14.5
Mi*10
6 145
Y HH 1 n yi M 0 n 1 zi n yi 1 mi
n
9542 75 134 177 ( 2 ... ) 56163(头) 30 15 23 30
2 n n y M yi ˆ 2 1 2 i 0 ˆ ) ˆ v(Y ( Y ) = ( YHH ) HH HH n(n 1) i 1 zi n(n 1) i 1 mi
yi 258 186 69 156 49 221 145 33 288 304
i 21 22 23 24 25 26 27 28
mi 19 26 37 21 7 43 18 30
yi 124 160 215 104 49 336 96 177
其中第2、19号被抽中两次
解：根据题中所给资料，n=30,M0=9542, 利用汉森-郝维茨估计量，则有：
不等概率抽样的特点
3、抽样框的创建比简单随机抽样和系统抽样成本 高，更复杂，因为需要存储总体中每一个单元 的度量大小； 4、并非在任何情况下都能使用，因为并不是每一 个总体都有稳定且与主要调查变量相关的有关 大小或规模的度量； 5、抽样及估计（特别对不放回抽样）相当复杂； 6、 当单元大小度量不准确或不稳定时不适用。
95422 75 56163 2 134 56163 2 177 56163 2 [( ) ( ) 2 ... ( ) ] 30 29 15 9542 23 9542 30 9542 2806070 ˆ ) 1675 v(Y （头） HH
例5.2：某部门要了解所属8500家生产企业当月 完成的利润，该部门手头已有一份去年各企 业完成产量的报告，将其汇总得到所属企业 去年完成的产量为3676万吨。考虑到时间紧， 准备采用抽样调查来推算当月完成的利润。 根据经验，企业的产量和利润相关性比较强， 且企业的特点是规模和管理水平差异比较大， 通常大企业的管理水平较高些，因此采用与 去年产量成比例的PPS抽样，从所属企业中抽 出一个样本量为30的样本。
令M max M i
1i N
每次从 1，N 中简单随机地抽取一随机数a， 同时再独立从 1，M 中简单随机地抽取一随机数b。 若b M a , 则第a个单元入样，若b M a则重抽。 第i个单元被抽中的概率: 1 Mi zi =p{a=i,b M i }=p{a=i} p{b M i }= . N M 显然，zi M i
汉森-赫维茨估计量估计给出总体总量的估计, 如果对总体均值估计可按下公式：
假设M 0是总体规模大小的度量
Y HH
Y HH 1 n yi M 0 M 0 n i 1 zi
n yi 1 2 v(Y HH ) 2 ( Y ) HH M 0 n(n 1) i 1 zi
因为是放回抽样，所以是独立样本，数理统计的结 论可以在这里应用。
对上述结论加以说明：
独立同分布样本 抽中概率 新变量 t
n
y1 z1 y1/ z1
i
y2 z2 y2 /z2
… … …
yn zn yn/zn
样本均值 t
t
i 1
n
1 n yi ˆ Y HH n i 1 zi
ˆ ）的无偏估计量为： V （）即 t V （Y HH
第四次（5，127），M5=78<127, 舍弃，重抽 ; 第五次 (4,77), M4=137>77, 第4号单元入样； 第六次(9,60),M9=60≥60, 第9号单元入样； 因此第4，7，9号单元被抽中。
放回不等概率抽样对总体特征的估计 三、Hansen-Hurwitz（汉森-郝维茨）估计量及其性质：
727 738
632~667
668~727 728~738
假设在[1,738] 中等概产生第一个随机数为354，再在[1,738]中产生第二 个随机数为553，最后在[1,738]中产生第三个随机数为493，则它们所对 应的第5，7，6号单元被抽中。
例：假设有10个乡，每个乡的村庄数不同，按pps抽3个乡 乡 1 2 3 村庄数Mi 累计 5 5 28 26 33 59 代码 1～5 6～33 34～59 结合一下整群抽样、 多阶段抽样
累计 6 151
代码 1~6 7~151
3
4 5 6 7
1.5
13.7 7.8 15 10
15
137 78 150 100
166
303 381 531 631
152~166
167~303 304~381 382~531 532~631
8
9 10
3.6
6 1.1 ＝73.8
36
60 11 738
667
6
放回不等概抽样
PPS抽样：有放回的不等概抽样
设总体包含N 个单元，M i是第i个单元的大小或规模的度量， i 1， ，N，总体的总规模度量为：M 0 M i
i 1 N Mi 则第i个单元的抽选概率为：Z i 0, Z i 1 M0 i 1 N
即抽样概率正比于规模度量，一次抽完后再放回，进行下 一次抽取。独立地进行这样的抽样n次，共抽到n个单元 （有可能重复，只调查一次，但计算时按重复数计算）。
4
5 6 Baidu Nhomakorabea 8
14
10 38 7 50
73
83 121 128 178
60～73
74～83 84～121 122～128 129～178
9
10
2
8
180
188
179～180
181～188
放回不等概率抽样实施方法 2.拉希里法(二次抽取法)（统计学家Lahiri最先提出）： 设 M1, M2,…MN为单元的规模
n yi 1 1 1 2 2 ˆ ˆ v(YHH )=v(t） V （T） st ( Y ) HH n n n(n 1) i 1 zi n n yi 1 1 2 2 2 ˆ st （ t t ） ( Y ) i HH n 1 i 1 n 1 i 1 zi
510
解：
ˆ Y HH
M0 n
yi i 1 mi
n
367610926 10926 1024 510 30 38 . 23 38 . 23 13 . 70 6 . 2
773861.05
ˆ ) v(Y HH
2 n n yi M0 y 1 2 ˆ ˆ )2 ( Y ) = ( i Y HH HH n(n 1) i 1 zi n(n 1) i 1 mi
拉希里法抽样举例： 例5.1中，M=150,N=10.在[1,10],[1,150] 中分别产 生（ i,m）如下: 第一次 (3,121) , M3=15<121, 舍弃，重抽 ； 第二次（8，50），M8=36<50, 舍弃，重抽 ;
第三次 (7,77) , M7=100>77, 第7号单元入样；
•放回不等概率抽样
•不放回不等概率抽样
•利用软件进行抽样和计算 •案例分析
第一节 不等概率抽样概述
一、不等概率抽样的必要性 1、在简单随机抽样中，总体(或层)中的每个单 元入样的概率都相等。等概率抽样的特点是总 体中的每个单元在该总体中的地位(或重要性) 相同，在抽样时对每个单元采取的是“不偏不 倚”的态度 。等概率抽样不仅实施简单，而且 相应的数据处理公式也简单。但是在许多实际 问题中，我们还需要使用不等概率抽样 (sampling with unequal probabilities)。
不等概率抽样的特点
1、凡需使用不等概率抽样的场合，必须提供总体单
元的某种辅助信息。 例如：每个单元的“大小”度量Mi。注意：比估计 和回归估计是估计方法用到了辅助信息，本章是抽 样方法用到辅助信息.
2、不等概率抽样的主要优点是由于使用了辅
助信息，提高了抽样策略的统计效率， 能 显著地减少抽样误差。
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
mi 15 23 9 29 8 31 24 29 13 19
yi 75 134 37 152 45 185 133 173 74 87
i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
mi 40 32 17 26 11 36 25 5 38 42
放回不等概率抽样实施方法 1.代码法
单元i 单元大小M i 1 2 N M1 M2 MN
代码 1， 2， M 1 M 1 1，M 1 2， ，M 1 M 2
M
j1
N 1
j
1， ， M j 2， M j MN M0
j1 j1
N 1
N 1
1900
864 17 1045 220 4600 2370 940
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20 21 22* 23 24 25 26
1.50
8.00 28.42 9.01 0.75 5.00 28.43 9.97
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80 13672 3845 480 311 9284 842
9
8.81
992
18*
21.00
640
27
5.20
不等概率抽样的分类
放回不等概抽样：按照总体单元的规模大小来确定在每次抽 中的概率。抽取后放回总体，再进行下一次抽样，每次抽 样都是独立的。这种抽样称为放回不等概抽样(sampling with probabilities proportional to sizes，简称PPS抽样) • 不放回的不等概抽样：每次在总体中对每个单元按入样概 率进行抽样，抽出的样本不再放回总体，因此，在抽取了 第一个单元后，余下的单元再以什么概率被抽取就较复杂。 这种抽样不是独立的，无论是抽样方法还是方差估计，都 要比放回抽样繁复得多。不放回抽样通常称为πPS抽样。
i
mi
yi
i
mi
yi
i
mi
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1*
2 3 4 5 6 7 8
38.23
13.70 0.75 2.85 2.00 5.00 10.80 2.00
10926
1024 13 30 1102 600 290 430
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11 12 13 14 15 16 17
5.50
15.00 7.00 15.00 12.30 3.86 15.80 9.00
不等概率抽样概述
2、抽样单元在总体中所占的地位不一致：例 如：要反映某小麦品种的优良情况，以村作 为抽样单位，但各村的种植面积不同，一些 种植面积大的村庄在抽样中是否被抽中对推 断总体的结果有很大影响 ，所以让“大单元” 被抽到的概率大，“小单元”被抽到的概率 小，这样能够大大提高样本的代表性，减少 抽样误差。
样本单元被抽中的概率z1， ，zn , 则对总体总量Y的估计是
n 1 ˆ yi Y HH n i 1 zi ˆ ) Y (1) E (Y HH N Yi 1 ˆ (2)V (YHH ) Z i ( Y ) 2 n i 1 Zi n yi ˆ 2 1 ˆ ) ˆ )的无偏估计。 (3)v(Y ( YHH ) 是V (Y HH HH n(n 1) i 1 zi
例：某县农业局要调查全县养猪专业户今年生猪的出栏头 数，现有全县365个养猪专业户去年的生猪存栏数，各专业 户的规模相差较大，决定以放回方式按与各养猪专业户上 年末生猪存栏头数成比例的PPS抽样 从中抽取30户进行调 查，结果如下，已知全县养猪专业户上年末生猪存栏头数 为9542头，试估计该县养猪专业户生猪今年出栏总头数和 抽样标准误。（摘自：“应用抽样技术”李金昌）
=30317005145.8 ˆ ) =174118 v(Y HH
在置信度为95%时，对应的t=1.96， ˆ ) s ( Y 174118 HH ˆ 的相对误差为：r t Y 1.96 45% HH ˆ 757087 Y
HH
ˆ ) S (Y HH r1 t =t ˆ YHH
1 2 S ˆ ) n1 S (Y HH 45%，r2 t =t ˆ ˆ Y Y
在PPS抽样中，赋予每个单元与Mi相等的代码 数，将代码数累加得到M0，每次抽样都等概产 生一个[1，M0]之间的随机数，设为m，代码m 所对应的单元被抽中。
例5.1 设某个总体有10个单元，相应的单元大小及其代码 数如下表，在其中产生一个n=3的样本。
i
1 2
Mi
0.6 14.5
Mi*10
6 145
Y HH 1 n yi M 0 n 1 zi n yi 1 mi
n
9542 75 134 177 ( 2 ... ) 56163(头) 30 15 23 30
2 n n y M yi ˆ 2 1 2 i 0 ˆ ) ˆ v(Y ( Y ) = ( YHH ) HH HH n(n 1) i 1 zi n(n 1) i 1 mi
yi 258 186 69 156 49 221 145 33 288 304
i 21 22 23 24 25 26 27 28
mi 19 26 37 21 7 43 18 30
yi 124 160 215 104 49 336 96 177
其中第2、19号被抽中两次
解：根据题中所给资料，n=30,M0=9542, 利用汉森-郝维茨估计量，则有：
不等概率抽样的特点
3、抽样框的创建比简单随机抽样和系统抽样成本 高，更复杂，因为需要存储总体中每一个单元 的度量大小； 4、并非在任何情况下都能使用，因为并不是每一 个总体都有稳定且与主要调查变量相关的有关 大小或规模的度量； 5、抽样及估计（特别对不放回抽样）相当复杂； 6、 当单元大小度量不准确或不稳定时不适用。
95422 75 56163 2 134 56163 2 177 56163 2 [( ) ( ) 2 ... ( ) ] 30 29 15 9542 23 9542 30 9542 2806070 ˆ ) 1675 v(Y （头） HH
例5.2：某部门要了解所属8500家生产企业当月 完成的利润，该部门手头已有一份去年各企 业完成产量的报告，将其汇总得到所属企业 去年完成的产量为3676万吨。考虑到时间紧， 准备采用抽样调查来推算当月完成的利润。 根据经验，企业的产量和利润相关性比较强， 且企业的特点是规模和管理水平差异比较大， 通常大企业的管理水平较高些，因此采用与 去年产量成比例的PPS抽样，从所属企业中抽 出一个样本量为30的样本。
令M max M i
1i N
每次从 1，N 中简单随机地抽取一随机数a， 同时再独立从 1，M 中简单随机地抽取一随机数b。 若b M a , 则第a个单元入样，若b M a则重抽。 第i个单元被抽中的概率: 1 Mi zi =p{a=i,b M i }=p{a=i} p{b M i }= . N M 显然，zi M i
汉森-赫维茨估计量估计给出总体总量的估计, 如果对总体均值估计可按下公式：
假设M 0是总体规模大小的度量
Y HH
Y HH 1 n yi M 0 M 0 n i 1 zi
n yi 1 2 v(Y HH ) 2 ( Y ) HH M 0 n(n 1) i 1 zi
因为是放回抽样，所以是独立样本，数理统计的结 论可以在这里应用。
对上述结论加以说明：
独立同分布样本 抽中概率 新变量 t
n
y1 z1 y1/ z1
i
y2 z2 y2 /z2
… … …
yn zn yn/zn
样本均值 t
t
i 1
n
1 n yi ˆ Y HH n i 1 zi
ˆ ）的无偏估计量为： V （）即 t V （Y HH
第四次（5，127），M5=78<127, 舍弃，重抽 ; 第五次 (4,77), M4=137>77, 第4号单元入样； 第六次(9,60),M9=60≥60, 第9号单元入样； 因此第4，7，9号单元被抽中。
放回不等概率抽样对总体特征的估计 三、Hansen-Hurwitz（汉森-郝维茨）估计量及其性质：
727 738
632~667
668~727 728~738
假设在[1,738] 中等概产生第一个随机数为354，再在[1,738]中产生第二 个随机数为553，最后在[1,738]中产生第三个随机数为493，则它们所对 应的第5，7，6号单元被抽中。
例：假设有10个乡，每个乡的村庄数不同，按pps抽3个乡 乡 1 2 3 村庄数Mi 累计 5 5 28 26 33 59 代码 1～5 6～33 34～59 结合一下整群抽样、 多阶段抽样
累计 6 151
代码 1~6 7~151
3
4 5 6 7
1.5
13.7 7.8 15 10
15
137 78 150 100
166
303 381 531 631
152~166
167~303 304~381 382~531 532~631
8
9 10
3.6
6 1.1 ＝73.8
36
60 11 738
667
6
放回不等概抽样
PPS抽样：有放回的不等概抽样
设总体包含N 个单元，M i是第i个单元的大小或规模的度量， i 1， ，N，总体的总规模度量为：M 0 M i
i 1 N Mi 则第i个单元的抽选概率为：Z i 0, Z i 1 M0 i 1 N
即抽样概率正比于规模度量，一次抽完后再放回，进行下 一次抽取。独立地进行这样的抽样n次，共抽到n个单元 （有可能重复，只调查一次，但计算时按重复数计算）。
4
5 6 Baidu Nhomakorabea 8
14
10 38 7 50
73
83 121 128 178
60～73
74～83 84～121 122～128 129～178
9
10
2
8
180
188
179～180
181～188
放回不等概率抽样实施方法 2.拉希里法(二次抽取法)（统计学家Lahiri最先提出）： 设 M1, M2,…MN为单元的规模
n yi 1 1 1 2 2 ˆ ˆ v(YHH )=v(t） V （T） st ( Y ) HH n n n(n 1) i 1 zi n n yi 1 1 2 2 2 ˆ st （ t t ） ( Y ) i HH n 1 i 1 n 1 i 1 zi
510
解：
ˆ Y HH
M0 n
yi i 1 mi
n
367610926 10926 1024 510 30 38 . 23 38 . 23 13 . 70 6 . 2
773861.05
ˆ ) v(Y HH
2 n n yi M0 y 1 2 ˆ ˆ )2 ( Y ) = ( i Y HH HH n(n 1) i 1 zi n(n 1) i 1 mi
拉希里法抽样举例： 例5.1中，M=150,N=10.在[1,10],[1,150] 中分别产 生（ i,m）如下: 第一次 (3,121) , M3=15<121, 舍弃，重抽 ； 第二次（8，50），M8=36<50, 舍弃，重抽 ;
第三次 (7,77) , M7=100>77, 第7号单元入样；