最新2019—2020南京信息工程大学期末试卷--概率统计

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2015－ 2016学年 第 一 学期 概率统计 课程试卷( B 卷)

本试卷共 2 页；考试时间 120 分钟；出卷人 统计系 ；出卷时间 2016 年 1 月

学院 专业 班 学号 姓名

一、填空题（15分，每题3分）

1、设相互独立的事件,A B 满足条件：()()P A P B =，且已知7

()16

P A

B =

，则()_______P A =.

14

2、某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(0)p p >，则此人射击4次恰好有2次命中目标的概率为_________.2

2

6(1)p p -

3、设随机变量2

~(4,3)X N ，则二次方程2

40y y X ++=无实根的概率为

_______.12

4、设随机变量X 和Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则

(max{,}1)_________P X Y ≤=.1

9

5、设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2

(,)N μσ，则2

()_________E XY =.3

2

μμσ+ 二、选择题（15分，每题3分）

1、设A 和B 为两个随机事件，且0()1,()0,()()P A P B P B A P B <<>=，则必有（ C ）.

A. ()()P A B P A B =

B. ()()P A B P A B ≠

C. ()()()P AB P A P B =

D. ()()()P AB P A P B ≠ 2、设~(0,1)U N ，则下列错误的是( B ).

A ．(1)(1)P U >-=Φ B. (||1)2(1)P U >=Φ

C. (11)2(1)1P U -<<=Φ-

D. (1)(1)1(1)P U P U <-=>=-Φ

3、从总体X 中抽取样本容量为16n =的样本，若总体的标准差()10.52X σ=，则总体X 的标准差()X σ为（ A ）. A.

()42.08X σ= B. ()10.52X σ= C. () 2.63X σ= D. ()168.32X σ=

4、设随机变量22

1122~(,),~(,)X N Y N μσμσ，且12(1)(1)P X P Y μμ-<>-<，则必有( A ).

A. 12σσ<

B. 12σσ>

C. 12μμ<

D. 12μμ> 5、设总体2

~(,0.6)X N μ，19,

,x x 为样本，其样本均值为x ，则总体均值μ的

90%的置信

区间是( D ).

A. 0.900.4x Z ±

B. 0.950.4x Z ±

C. 0.900.2x Z ±

D. 0.950.2x Z ± 三（10分）某流水生产线上每个产品不合格的概率为(01)p p <<，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X . 1）试写出X 的分布律； 2）求X 的数学期望()E X . 解：1）记1q p =-，则X 的分布律为1

(),1,2,

i P X i q p i -=== ……………….. 4分

2）X 的数学期望1

1

1

()()i i i E X iP X i iq

p ∞∞

-===

==∑∑ ……………….. 3分

1

1

()()1i i q p q p q q ∞

=''===-∑ ……………….. 3分

四（15分）设随机变量X 的分布函数为⎩

⎨

⎧<≥+-=-0,00,)1(1)(x x e x x F x

， 求：（1）X 的概率密度； （2）(31)P X X <>； （3）2Y X =+的概率密度.

解：1）X 的概率密度为：,0

()()0,x xe x f x F x -⎧>'==⎨⎩其他

……………….. 3分

2）1

(1)1(1)1(1)2P X P X F e ->=-≤=-= ……………….. 3分 故(13)

(31)(1)

P X P X X P X <<<>=

>

1321

(3)(1)24121(1)2F F e e e F e

------===-- ……………….. 3分 3）2Y X =+的分布函数()()(2)(2)(2)Y X F y P Y y P X y P X y F y =≤=+≤=≤-=-

故Y 的概率密度(2)(2),2

()()(2)(2)0,y Y Y X X y e y f y F y F y f y --⎧->''==-=-=⎨⎩其他

……….. 6分

五（10分）设二维随机变量()Y X ,的概率密度为：

()1,01,02,0,x y x

f x y <<<<⎧=⎨

⎩其他

（1）求()Y X ,的边缘概率密度()()y f x f Y X ,； （2）求(1)P X Y +<.

解：1）()()20,012,01

,0,0,x

X dy x x x f x f x y dy ∞

-∞

⎧<<<<⎧⎪=

==⎨⎨⎩⎪⎩

⎰⎰

其他其他

……………….. 3分

()()1

2,021,02,20,0,y Y y dx y y f y f x y dx ∞

-∞

⎧⎧<<⎪-<<⎪⎪

=

==⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩

⎰⎰

其他其他 ……………….. 3分

2）2

131

02

1

(1)(,)3

y

y x y P X Y f x y dxdy dxdy -+<+<=

==⎰⎰⎰

⎰

. ……………….. 4分

六（10分）设12,,,n X X X 是来自标准正态总体(0,1)N 的简单随机样本，X 为样本均值，记

,1,2,,i i Y X X i n =-=.求（1）11Y X X =-的方差1()D Y ； （2）11(,)n Cov Y X X +.

解：1）12111()()()n

X X X D Y D X X D X n

++

+=-=-

122122

22

(1)(

)

(1)()()()

(1)(1)1n

n n X X X D n

n D X D X D X n n n n n n ----=-+++=

-+--== ……………….. 5分 2）12111(1)(,)(

,)n

n n n X X X Cov Y X X Cov X X n

---

-+=+

121111

((1),)1

[((1),)(,)]12[(1)1]n n n n Cov n X X X X X n Cov n X X Cov X X n n n n n

=----+=-+--=--= ……………….. 5分 七（15）设总体X 的概率密度为()36(),00,x

x x f x θθ

θ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其它

，n X X X ,,,21 是来自总体X 的