函数与它的表示方法
青岛版数学九年级下册5.1《函数与它的表示法》教案
四．课堂小结
想想本课学习了哪些知识.
(2)第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？
分组讨论：
图像信息
1.从折线图你能得到什么哪些信息？
2.各阶段的解析式分别是什么？对应的取值范围是什么？
3.如何求产品的日销售利润，应如何分类？
三.拓展练习
1、为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示
(2)用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式.用数学式子表示函数的方法叫做解析法.用表格表示函数关系的方法，叫做列表法.用图象表示函数关系的方法，叫做图像法.
(3)两个变量之间的函数关系，可以有不同的表示方法，上面的三种方法在解决具体问题时，都有着广泛的应用.
(三)、达标测评
1．常用来表示函数的方法有_______法．_________法和________法．
每月用气量
单价(元/m3)
不超出75m3的部分
2.5
超出75m3不超出125m3的部分
a
超出125m3的部分
a+0.25
(1)若甲用户3月份的用气量为60m3，则应缴费多少元；
(2)若调价后每月支出的燃气费为y(元)，每月的用气量为x(m3)，y与x之间的关系如图所示，求a的值及y与x之间的函数关系式；
2
3
4
5
行驶路程y/km
(2)写出y与x之间的函数解析式．
四、课堂小结
1函数的定义及表示 - 中等 - 讲义
函数的定义及表示知识讲解一、函数1.函数的概念概念：设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意的数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作()yf x ，xA 其中x 叫做自变量．自变量取值的范围（数集A ）叫做这个函数的定义域．如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作()y f a ，所有函数值构成的集合{()}y yf x xA ，叫做这个函数的值域．2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则3.函数的表示法1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．4.求函数定义域注意事项1）分式的分母不应为零； 2）零的零次幂没有意义；3）开偶次方根的被开方数大于或者等于零； 4）对数式的真数大于零； 5）()=tan f x x 的定义域为{|}2x xk kZ ππ，；6）复合函数求定义域要保证复合过程有意义，最后求它们的交集．5.分段函数定义：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数．6.复合函数定义：若()∈，(),x a bu m n∈，那么[()]y f u=，(),=，()u g xy f x称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是()g x的值域．注意：函数的定义域必须写成集合或区间的形式．二、映射，是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x在B 定义：设A B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射，这时称y是x在映射f的作用下的象，记作()f x，于是()y f xx称为y的原象，映射f也可记为：:f A B()x f xf x构成的集合叫做映射f的其中A叫做映射f的定义域（函数定义域的推广）．由所有象()f A．值域．通常记作()、以及对应法则，三者缺一不可；:f A B，集合A中每一个元素映射三要素：集合A B在集合B中都有唯一的元素与之对应，从A到B的对应关系为一对一或多对一，绝对不可以一对多，但也许B中有多余元素．三、函数求解析式1.换元法2.方程组法四、函数求值域1.直接法（分析观察法）2.函数单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域．3.配方法：二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域．对于形如2y ax bx c (0)a或2()[()]()F x a f x bf x c (0)a类的函数的值域问题，均可使用配方法．4.分离常数法：当分式中分子分母都函数由参数时．可以采用分离常数法．5.换元法（代数/三角）：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数，从而求得原函数的值域． 对形如的函数，令；形如的函数，令；形如含的结构的函数，可利用三角代换，令，或令．6.判别式法：在函数定义域为R 时，把函数转化成关于的二次方程()0F x y ，；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域．对形如21112222a xb xc ya xb xc （1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，通常转化成关于x 的二次方程，由于方程有实根，即从而求得y 的范围，即值域．值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨论．注意：主要适用于定义在R 上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行讨论．7.基本不等式法：利用基本不等式求函数值域， 其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值．8.数形结合法：如果所给函数有较明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率）或当一个函数的图象易于作出时，可借助几何图形的直观性来求函数的值域．()1y f x =()f x t=,,,,0)y ax b a b c dac =+±≠均为常数t =[]cos ,0,x a θθπ=∈sin ,,22x a ππθθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦x 0∆≥0≥∆经典例题一．选择题（共12小题）1．（2017秋•潮南区期末）下列图形中，不能表示以x 为自变量的函数图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：B 中，当x ＞0时，y 有两个值和x 对应，不满足函数y 的唯一性， A ，C ，D 满足函数的定义， 故选：B ．2．（2017秋•大观区校级期中）已知集合P={x |0≤x ≤4}，集合N={y |0≤y ≤2}，下列从P 到N 的各对应关系f 不是函数的是（ ） A ．f ：x→y=12xB ．f ：x→y=13xC ．f ：x→y=23xD ．f ：x→y=√x【解答】解：f ：x→y=12x ，是函数，f ：x→y=13x ，是函数，f ：x→y=23x ，不是函数，4→23×4=83∉N ；f ：x→y=√x ，是函数， 故选：C ．3．（2017秋•定远县期中）下列各式中，表示y 是x 的函数的有（ ） ①y=x ﹣（x ﹣3）； ②y=√x −2+√1−x ； ③y={x −1(x ＜0)x +1(x ≥0) ④y={0(x 为有理数)1(x 为实数).．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【解答】解：根据函数的定义，当自变量x 在它的允许取值范围内任意取一个值，y 都有唯一确定的值与之对应，故①③表示y 是x 的函数；在②中由{x −2≥01−x ≥0知x ∈∅，因为函数定义域不能是空集，所以②不表示y 是x的函数；在④中若x=0，则对应的y 的值不唯一，可以等于0，也可以等于1，所以④不表示y 是x 的函数． 故选：C ．4．（2017秋•凉州区校级期末）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．y=x 与y=√x 2B ．y=2lgx 与y=lgx 2C ．y =√x 33与y=xD ．y=x ﹣1与y=x 2−1x+1【解答】解：要表示同一个函数，必须有相同的对应法则，相同的定义域和值域， 观察四个选项，得到A 答案中两个函数的对应法则不同，B 选项中两个函数的定义域不同，C 选项中两个函数相同，D 选项中两个函数的定义域不同， 故选：C ．5．（2017秋•鹰潭期末）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．f （x ）=|x |，g （x ）=√x 2B ．f （x ）=lg x 2，g （x ）=2lg xC ．f （x ）=x 2−1x−1，g （x ）=x +1D ．f （x ）=√x +1•√x −1，g （x ）=√x 2−1【解答】解：对于A ，∵g （x ）=√x 2=|x|，f （x ）=|x |，∴两函数为同一函数； 对于B ，函数f （x ）的定义域为{x |x ≠0}，而函数g （x ）的定义域为{x |x ＞0}，两函数定义域不同，∴两函数为不同函数；对于C ，函数f （x ）的定义域为{x |x ≠1}，而函数g （x ）的定义域为R ，两函数定义域不同，∴两函数为不同函数；对于D ，函数f （x ）的定义域为{x |x ＞1}，而函数g （x ）的定义域为{x |x ＜﹣1或x ＞1}，两函数定义域不同，∴两函数为不同函数． 故选：A ．6．（2018春•天心区校级期末）定义运算a*b ，a ∗b ={a(a ≤b)b(a ＞b)，例如1*2=1，则函数y=1*2x的值域为（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．[1，+∞）D．（0，1]【解答】解：当1≤2x时，即x≥0时，函数y=1*2x=1当1＞2x时，即x＜0时，函数y=1*2x=2x1，x≥0∴f（x）={2x，x＜0由图知，函数y=1*2x的值域为：（0，1]．故选：D．7．（2018春•海州区校级期末）若函数y=√ax2+2ax+3的值域为[0，+∞），则a的取值范围是（）A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（﹣∞，0]∪[3，+∞）D．（﹣∞，0）∪[3，+∞）【解答】解：由题意：函数y=√ax2+2ax+3是一个复合函数，要使值域为[0，+∞），则函数f（x）=ax2+2ax+3的值域要包括0，即最小值要小于等于0．则有：{a＞0f(−1)≤0⇒{a＞0a−2a+3≤0解得：a≥3所以a的取值范围是[3，+∞）．故选：B．8．（2017秋•沂南县期末）若f（lnx）=3x+4，则f（x）的表达式是（）A．3e x+4B．3lnx+4C．3lnx D．3e x【解答】解：设lnx=t则x=e t∴f（t）=3e t+4∴f（x）=3e x+4故选：A．9．（2017秋•潮南区期末）若f（x）满足关系式f（x）+2f（1x）=3x，则f（2）的值为（）A．1B．﹣1C．﹣32D．32【解答】解：∵f（x）满足关系式f（x）+2f（1x）=3x，∴{f(2)+2f(12)=6，①f(12)+2f(2)=32，②，①﹣②×2得﹣3f（2）=3，∴f（2）=﹣1，故选：B．10．（2017秋•咸阳期末）已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是（）A．f（x）=3x+2B．f（x）=3x+1C．f（x）=3x﹣1D．f（x）=3x+4【解答】解：设t=x+1，∵函数f（x+1）=3x+2=3（x+1）﹣1∴函数f（t）=3t﹣1，即函数f（x）=3x﹣1故选：C．11．（2017秋•尖山区校级期末）已知f（x﹣2）=x2﹣4x，那么f（x）=（）A．x2﹣8x﹣4B．x2﹣x﹣4C．x2+8x D．x2﹣4【解答】解：由于f（x﹣2）=x2﹣4x=（x2﹣4x+4）﹣4=（x﹣2）2﹣4，从而f（x）=x2﹣4．故选：D．12．（2017秋•潮南区期末）已知函数f（x）=√3x−13ax2+ax−3的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．a＞13B．﹣12＜a≤0C ．﹣12＜a ＜0D ．a ≤13【解答】解：由a=0或{a ≠0△=a 2−4a ×(−3)＜0可得﹣12＜a ≤0， 故选：B ．二．填空题（共7小题）13．（2017春•陆川县校级期末）已知函数y=f （x 2﹣1）的定义域为（﹣2，2），函数g （x ）=f （x ﹣1）+f （3﹣2x ）．则函数g （x ）的定义域为 [0，2） ． 【解答】解：由函数y=f （x 2﹣1）的定义域为（﹣2，2）， 得：﹣1≤x 2﹣1＜3，故函数f （x ）的定义域是[﹣1，3）， 故﹣1≤x ﹣1＜3，﹣1≤3﹣2x ＜3， 解得：0≤x ＜2，故函数g （x ）的定义域是[0，2）， 故答案为：[0，2）．14．（2017•重庆模拟）设函数f （x ）={log 2(−x2)，x ≤−1−13x 2+43x +23，x ＞−1，若f （x ）在区间[m ，4]上的值域为[﹣1，2]，则实数m 的取值范围为 [﹣8，﹣1] ． 【解答】解：函数f （x ）的图象如图所示，结合图象易得 当m ∈[﹣8，﹣1]时， f （x ）∈[﹣1，2]．故答案为：[﹣8，﹣1]．15．（2018•榆林三模）已知二次函数f （x ）=ax 2+2x +c （x ∈R ）的值域为[0，+∞），则a+1c +c+1a的最小值为 4 ． 【解答】解：由题意知，a ，＞0，△=4﹣4ac=0，∴ac=1，c ＞0，则a+1c +c+1a =a c +1c +c a +1a =（a c +c a ）+（1a +1c）≥2+2√1ac =2+2=4，当且仅当a=c=1时取等号．∴a+1c +c+1a的最小值为4．16．（2017秋•南阳期中）函数f （x ）=x ﹣√1−x 的值域是 （﹣∞，1] ．【解答】解：设√1−x =t ，则t ≥0，f （t ）=1﹣t 2﹣t ，t ≥0，函数图象的对称轴为t=﹣12，开口向下，在区间[0，+∞）上单调减，∴f （t ）max =f （0）=1，∴函数f （x ）的值域为（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．17．（2017秋•天心区校级期末）已知函数f （x +1）=3x +2，则f （x ）的解析式是 f （x ）=3x ﹣1 ．【解答】解：令x+1=t，则x=t﹣1，∴f（t）=3（t﹣1）+2=3t﹣1，∴f（x）=3x﹣1．故答案为f（x）=3x﹣1．18．（2017秋•清河区校级期中）已知a、b为实数，集合M={ba，1}，N={a，0}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b=1．【解答】解：∵a、b为实数，集合M={ba，1}，N={a，0}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，∴1通过映射可得1∈N，解得a=1，b a →ba∈N，可得ba=0，解得b=0，∴a+b=1，故答案为1；19．（2018•开封一模）f(x)={2e x−1，x＜2log3(x2−1)，x≥2.则f（f（2））的值为2．【解答】解：由题意，自变量为2，故内层函数f（2）=log3（22﹣1）=1＜2，故有f（1）=2×e1﹣1=2，即f（f（2））=f（1）=2×e1﹣1=2，故答案为2三．解答题（共1小题）20．（2016春•江阴市期末）已知函数f （x ）满足f （x +1）=lg （2+x ）﹣lg （﹣x ）．（1）求函数f （x ）的解析式及定义域；（2）解不等式f （x ）＜1．【解答】解：（1）由已知令t=x +1，则f （t ）=lg （t +1）﹣lg （1﹣t ）， 即f （x ）=lg （x +1）﹣lg （1﹣x ）；由{x +1＞01−x ＞0得到﹣1＜x ＜1，所以函数定义域为（﹣1，1）； （2）f （x ）=lg （x +1）﹣lg （1﹣x ）=lg 1+x 1−x ＜1，即{1+x 1−x ＜10−1＜x ＜1，解得﹣1＜x ＜911．。
高中数学教招面试试讲
高中数学教招面试试讲在高中数学教师招聘面试中，试讲是一个非常重要的环节，它不仅能够展示你的专业知识，还能体现你的教学技巧和与学生的互动能力。
以下是一次模拟的高中数学教招面试试讲的内容：课程主题：函数的概念与性质课程目标：1. 理解函数的概念，包括自变量、因变量以及函数的表示方法。
2. 掌握函数的三种表示形式：列表法、图像法和解析法。
3. 学习函数的基本性质，如定义域、值域、单调性等。
课程内容：引入：“同学们，你们知道什么是函数吗？它在我们的日常生活中无处不在，比如我们计算一个物体下落的距离，或者确定一个化学反应的速率。
今天，我们将一起探讨函数的基本概念和性质。
”新课讲解：1. 函数的定义：- 函数是一种关系，它将一个集合（称为定义域）中的每一个元素与另一个集合（称为值域）中的元素一一对应起来。
- 我们可以用不同的方式表示函数，比如列表、图像或者数学表达式。
2. 函数的三种表示方法：- 列表法：直接列出自变量和因变量的对应关系。
- 图像法：通过在坐标系中画出函数图像来表示函数。
- 解析法：使用数学表达式来描述函数，例如 y = f(x)。
3. 函数的基本性质：- 定义域：函数中自变量可以取的所有值的集合。
- 值域：函数中因变量可以取的所有值的集合。
- 单调性：函数在定义域的某个区间内，随着自变量的增加，因变量值增加或减少的性质。
例题演示：“现在，让我们通过一个例题来加深对函数概念的理解。
假设我们有一个函数 f(x) = x^2，它的图像是一个向上开口的抛物线。
我们可以看到，随着 x 的增加，y 值也在增加。
这表明函数 f(x) 在其定义域内是单调递增的。
”课堂互动：“同学们，你们能举出一些生活中常见的函数例子吗？比如，你们知道手机的电量消耗与使用时间的关系吗？让我们来讨论一下。
”课堂总结：“在今天的课程中，我们学习了函数的基本概念和性质。
记住，函数是一种将输入（自变量）转换为输出（因变量）的规则。
函数的基本概念与表示方法
函数的基本概念与表示方法在数学的广袤天地中，函数就像是一座桥梁，连接着不同的数量关系和变化规律。
它不仅是数学研究的重要对象，也是解决实际问题的有力工具。
让我们一起走进函数的世界，去探寻它的基本概念和表示方法。
函数是什么呢？简单来说，函数是一种特殊的对应关系。
想象有两个集合，一个集合中的元素通过某种规则与另一个集合中的元素一一对应，这个规则就是函数。
比如说，我们有一个集合是学生的学号，另一个集合是对应的学生成绩。
当给定一个学号，就能通过特定的规则找到对应的成绩，这就是一个函数关系。
函数通常用符号“f”“g”等来表示。
假设我们有一个函数 f，它把集合A 中的元素 x 映射到集合 B 中的元素 y，我们就可以写成 f(x) ＝ y 。
这里的 x 叫做自变量，y 叫做因变量。
自变量是主动变化的量，因变量则是随着自变量的变化而变化的量。
函数有几个重要的特点。
首先，对于集合 A 中的每一个自变量 x，都必须有唯一确定的因变量 y 与之对应。
也就是说，一个自变量不能对应多个不同的因变量。
其次，集合 A 中的元素都要有“用武之地”，不能有被“冷落”的元素。
这两个特点保证了函数关系的确定性和完整性。
函数的表示方法有很多种，最常见的有解析法、列表法和图像法。
解析法就是用数学表达式来表示函数关系。
比如，y ＝ 2x ＋ 1 就是一个用解析法表示的函数。
这种方法简洁明了，能够清晰地展示自变量和因变量之间的数量关系。
通过这个表达式，我们可以很容易地计算出当 x 取不同值时 y 的值。
列表法是将自变量和对应的因变量列成表格的形式。
比如，我们要表示一个人的体重随年龄的变化，就可以列出这样一个表格：｜年龄（岁）｜ 10 ｜ 15 ｜ 20 ｜ 25 ｜ 30 ｜｜｜｜｜｜｜｜｜体重（kg）｜ 30 ｜ 45 ｜ 55 ｜ 60 ｜ 65 ｜列表法直观清晰，对于一些离散的数据或者有限的取值范围，使用列表法非常方便。
图像法则是用图形来表示函数关系。
青岛版数学九年级下册5.1《函数与它的表示法》随堂练习
5.1 函数与它的表示法
1.请你说一说
下列各题中分别有几个变量？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？
①②
图1 图2 ③
2.请你想一想：
下列各题中，哪些是函数关系，哪些不是函数关系：
（1）在一定的时间内，匀速运动所走的路程和速度.
（2）在平静的湖面上，投入一粒石子，泛起的波纹的周长与半径.
（3）x+3与x.
（4）三角形的面积一定，它的一边和这边上的高.
（5）正方形的面积和梯形的面积.
（6）水管中水流的速度和水管的长度.
（7）圆的面积和它的周长.
（8）底是定长的等腰三角形的周长与底边上的高.
3. 请你答一答
图3是弹簧挂上重物后，弹簧的长度y（厘米）与所挂物体的质量x（千克）之间的变化关系图.根据图象，回答问题：
图3
（1）不挂重物时，弹簧长多少厘米？
（2）当所挂物体的质量分别为5千克，10千克，15千克，20千克时弹簧的长度分别是多少厘米？
（3）当物体的质量x取0千克至20千克之间任一确定的值时，相应的弹簧的长度y能确定吗？反过来，弹簧的长度y是15~25之间一个确定的值，你能确定所挂重物的质量是多少吗？
（4）弹簧长度y可以看成是物体质量x的函数吗？。
初中数学 什么是一次函数 它有什么特点
初中数学什么是一次函数它有什么特点一次函数，也被称为线性函数，是初中数学中的一个重要概念。
它是一个以x 的一次方程表示的函数，具有以下形式：f(x) = ax + b，其中a 和 b 是常数。
一次函数在数学中有着广泛的应用，并且具有一些特点和性质。
在本文中，我们将详细讨论一次函数的概念、特点和性质。
一次函数的一般形式为f(x) = ax + b，其中a 和 b 是常数。
其中a 被称为斜率，代表了函数图像的倾斜程度；b 被称为截距，表示函数图像与y 轴的交点。
一次函数的特点和性质如下：1. 直线图像：一次函数的图像是一条直线。
这是因为一次函数是一个一次方程，其图像是一个直线。
直线可以通过两个点来确定，因此我们只需要确定两个点就可以画出一次函数的图像。
2. 斜率：一次函数的斜率决定了函数图像的倾斜程度。
斜率表示了函数在x 方向上的变化率。
当斜率为正时，函数图像向上倾斜；当斜率为负时，函数图像向下倾斜；当斜率为零时，函数图像是水平的。
3. 截距：一次函数的截距决定了函数图像与y 轴的交点。
当x = 0 时，我们可以计算出函数的截距。
截距表示了函数图像与y 轴的位置关系。
4. 增减性：一次函数的增减性由斜率来决定。
当斜率为正时，函数是递增的，即随着x 的增大，函数值也增大；当斜率为负时，函数是递减的，即随着x 的增大，函数值减小。
5. 零点：一次函数的零点表示了函数图像与x 轴的交点。
当函数的值为零时，我们可以求解出函数的零点。
零点表示了函数在x 轴上的位置。
6. 平行和垂直：一次函数的平行和垂直关系可以通过斜率来确定。
如果两个一次函数的斜率相等，则它们是平行的；如果一个函数的斜率是另一个函数斜率的倒数的相反数，则它们是垂直的。
7. 线性关系：一次函数是一种线性关系。
线性关系表示了两个变量之间的直接关系。
在一次函数中，x 和f(x) 之间存在着线性关系，即x 的增加或减少会导致f(x) 的相应变化。
通过以上的讨论，我们可以了解一次函数的概念、特点和性质。
《函数与它的表示法》第一课时教案
5.1函数与它的表示法(1)教材分析：函数的三种表示方法有利于学生理解作函数图象的三个步骤．此外，在图象法的认识中，学生初步学习了从图象中获得信息，为后面的学习做了准备．学生分析：函数的初步知识学生在七年级已经学过，本节课在此基础上继续引导学生进一步认识函数的三种表示方法．学习目标：知识与技能：1、通过实例了解函数的三种表示法.2、能根据三种表示方法的优缺点确定不同的表示方法.过程与方法：经历探索函数的三种表示方法，进一步发展学生的观察、归纳能力；让学生接触并解决一些现实生活中的问题．情感态度和价值观：通过真实的、贴近学生生活的素材和适当的问题情境，激发学生学习数学的热情和兴趣，操作活动中，培养学生的合作精神．学习重难点：重点：函数的三种表示方法.难点：根据具体情境确定简单的函数表示方法.课前准备教具准备 PPT课件教学过程：情景导入：同学们，你还记得什么是函数吗?在现实生活中，函数关系是处处存在的．你知道表示函数关系的方法有哪几种吗?你能举出一些例子吗?【设计意图】：教师启发学生说出现实生活中遇到的函数的例子，鼓励学生多发言，使学生意识到函数其实在我们的生活中是处处存在的．知识回顾:1．在某一问题中，保持的量叫常量，可以取的量，叫做变量．2．函数：在同一变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每—个值，y都有______与之对应，我们就把y叫做x的函数，其中x叫做自变量.如果自变量x取a时，y的值是b，就把b叫做x=a时的函数值．【设计意图】：回顾七年级所学函数的初步知识有利于本节课的学习．合作探究一: 函数的三种表示方法阅读课本第4－5页，“观察与思考”讨论：函数的三种表示方法是什么?归纳：函数的三种表示方法是图象法、列表法、解析法．【设计意图】：学生观察例子后可以小组合作，试着用语言总结函数的表示方法，活动中要注意学生是否积极参与，培养学生的参与意识．合作探究二: 函数不同表示方法的特点小组合作交流，各抒己见，只要有道理，都要给予肯定，这样可以锻炼学生的发散思维．归纳：图象法的优点是直观，能够形象地反映出当自变量的值变化时函数值的变化趋势，所以常用来研究函数的性质和变化趋势．不足之处是不能准确地由已知自变量的值求出函值．列表法的优点是已知表中给出的部分自变量的值时，可以不通过计算直接查出对应的函数值．不足之处是只能表示出自变量的有限个离散值及其函数值．解析法的优点是全面、准确、方便，对于自变量在可以取值的范围内任取一个确定的值，都可以通过表达式计算求出它的函数值．不足之处是不够形象直观，而且不是每一个函数都可以写出它的表达式．当堂检测：1．小明今天到学校参加初中毕业会考，从家里出发走10分到离家500米的地方吃早餐，吃早餐用了20分；再用10分赶到离家1000米的学校参加考试．下列图象中，能反映这一过程的是（）2．李华和弟弟进行百米赛跑，李华比弟弟跑得快，如果两人同时起跑，李华肯定赢．现在李华让弟弟先跑若干米，图中，分别表示两人的路程与李华追赶弟弟的时间的关系，由图中信息可知，下列结论中正确的是（）A．李华先到达终点B．弟弟的速度是8米／秒C．弟弟先跑了10米D．弟弟的速度是10米／秒3．甲，乙两同学骑自行车从Ａ地沿同一条路到Ｂ地，已知乙比甲先出发．他们离出发地的距离s／km和骑行时间t/h之间的函数关系如图所示，给出下列说法：A.他们都骑了２０km；B.乙在途中停留了０.５h；C.甲和乙两人同时到达目的地；D.相遇后，甲的速度小于乙的速度．根据图象信息，以上说法正确的是4．给出下列说法：①学校到景点的路程为55 km；②甲组在途中停留了5 min；③甲、乙两组同时到达景点；④相遇后，乙组的速度小于甲组的速度．根据图象信息，以上说法正确的有．5．观察这条曲线，思考下列问题：（1）从放水开始到放水10s时，饮料瓶内水面下降的高度是多少？从放水后10s到放水后20s呢？（2）随着放水时间t的逐渐增大，饮料瓶内水面下降的高度L的变化趋势是怎样的？（3）t每增大10s，L的变化情况相同吗（4）估计当t=55s，L的值是多少？你是怎样估计的？（5）你发现在水面下降高度L和放水时间t的变化过程中,L是t的函数吗？哪一个变量是自变量？它们之间的函数关系是如何表达的？6．小亮步行从家去书店，用一段时间选择自己需要的书籍，然后回家.小亮和家的距离与他离开家之后的时间之间的函数关系如图所示，根据图像回答下列问题：（1）小亮用多少时间走到书店？小亮家距书店多远？（2）小亮在书店停留多长时间？回家用了多长时间？（3）小亮去书店和回家的步行速度各是多少？（4）小亮从家里走出10分钟离家多远？走出50 分钟离家多远？课堂小结:本节课学习了1. 函数的三种表示法.2. 三种表示方法的优缺点作业:课本 P.6第1题板书设计:5.1函数与它的表示法(1)函数的三种表示方法1图象法2列表法3解析法三种表示方法的优缺点。
对数函数的概念和运算
对数函数的概念和运算对数函数是数学中常用的一种函数，它广泛应用于各个领域，包括物理、工程、经济学等。
对数函数的概念和运算是数学学习的重要内容，下面将详细介绍对数函数的定义、性质以及常见的运算规则。
一、对数函数的概念对数函数是指以一个正数为底的指数函数。
通常用log表示，底数和真数之间用逗号隔开。
例如，以底数为a的对数函数可以表示为logₐx。
其含义是a的几次幂等于x。
对数函数的底数必须是正数且不等于1。
对数函数的定义可以用等式来表示：logₐx = y, 其中a>0，a≠1，x>0，y为任意实数。
对数函数的特点是能够将指数运算转化为对数运算，从而简化问题的求解过程。
它与指数函数是互为反函数的关系。
二、对数函数的性质1. 对数函数的定义域和值域：对数函数的定义域是正实数集(0, +∞)，值域是实数集(-∞, +∞)。
2. 对数函数的图像特点：当底数a>1时，对数函数为递增函数；当0<a<1时，对数函数为递减函数。
它的图像一般表现为在x轴右侧逐渐上升，而在y轴右侧逐渐下降。
3. 对数函数的性质：(1) logₐ1 = 0 (任何数的以自身为底的对数都等于1)(2) logₐa = 1 (a的对数底为自身的情况下，结果等于1)(3) logₐ(x·y) = logₐx + logₐy (对数函数的乘法规则)(4) logₐ(x/y) = logₐx - logₐy (对数函数的除法规则)(5) logₐ(x^k) = k·logₐx (对数函数的指数规则)三、对数运算的具体应用对数函数的运算在实际中有着广泛的应用。
以下是对数运算在几个常见领域的应用举例：1. 生物学领域中的pH计算：pH = -log[H⁺]，其中[H⁺]表示溶液中的氢离子浓度。
通过对数运算，可以将氢离子浓度的数量级转化为易于理解的pH值。
2. 经济学领域中的指数计算：经济增长率的计算通常采用对数运算。
一次函数的图象和性质
一次函数的图象和性质一次函数，也叫一元一次方程，是由一项常数和一项一次项组成的形如y=ax+b 的函数，其中 a 和 b 分别代表斜率和截距。
它是代数学中最简单的一种函数类型，同时也是现实生活中最常用的一种函数类型。
在数学和物理等重要领域中，一次函数和它的图象和性质可以发挥重要作用。
一次函数的图象一个一次函数可以通过以下两种方法绘制其图象：1.通过表格计算和绘制：选择一些x 和y 值，将它们代入y = ax + b 中计算y 值，然后将这些值绘制为一个点的图象并连起来。
2.通过斜率和截距：通过y = ax + b，我们可以看出当x增加 1 时，y 增加 a 单位。
所以，在y 轴上，当x = 0 时，y 的值就是截距b，也就是函数图象在y 轴上的截距。
而当x 轴上的a 和b 分别表示函数图象在y 轴和x 轴上的斜率和截距。
一次函数的性质1.斜率（a）：一次函数的斜率代表着函数图象在同一个单位x 范围内，y 增量的数量。
斜率越大，函数图象就越陡峭，因此斜率可以帮助我们确定函数图象的变化趋势。
2.截距（b）：一次函数的截距是函数图象在y 轴上的截距位置。
截距表示的是当x = 0 时，函数图象所在的位置。
如果一个一次函数的截距非常接近于原点，那么这个函数会变得非常陡峭，因为它的斜率会非常大。
3.定义域和值域：一个一次函数的定义域是所有可能的x 值的集合，而它的值域是所有可能的y 值的集合。
因为一次函数的定义依赖于斜率的值，而斜率零表示函数图象是水平的，值域也是有限的。
4.最大值与最小值：一个一次函数的最大值或最小值会发生在其斜率从正数到负数的转变点，也就是当斜率从正数变为负数时，函数图象达到其峰值。
因此，对于一个一次函数来说，它可能会存在最大值或最小值，但是它们一定属于图象的端点，不会出现在中间部分。
总之，一次函数作为数学和现实生活中最常见和最基础的函数类型，在多个领域中发挥着重要作用。
对于初学者来说，学习它的图象和性质是非常重要的，因为这可以帮助他们更好地理解一些其他更加复杂的函数类型，如二次函数、指数函数等等，并且也有助于理解数学和物理等领域中的问题。
高中数学第二章函数
2.1。
1 函数-2.1。
2 函数的表示方法自主整理1。
函数的概念设集合A是一个非空的数集，对A内任意数x,按照确定的法则f,都有唯一确定的数值y与它对应,则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y=f（x)，x∈A.其中，x叫做自变量，自变量的取值范围A叫做函数的定义域；如果自变量取值a,则由法则f确定的值y称作函数在a处的函数值，记作y=f（a)或y｜x=a.所有函数值构成的集合｛y｜y=f（x）,x∈A}叫做函数的值域。
2。
两个函数的相等函数的定义含有三个要素,即定义域A、值域C和对应法则f.当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数。
3.区间(1)在数轴上,区间可以用一条以a,b为端点的线段来表示（如下表）。
用实心点表示端点包括在区间内，用空心点表示端点不包括在区间内.定义名称符号数轴表示{x｜a≤x≤b｝闭区间[a,b］｛x|a〈x<b｝开区间(a，b）｛x|a≤x〈b} 半开半闭区间［a，b){x｜a<x≤b}半开半闭区间(a，b］(2）无穷区间的概念：关于-∞,+∞作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间，它的定义和符号如下表：{x｜x≥a｝[a，+∞）｛x|x>a｝(a,+∞)｛x|x≤a}(-∞，a］{x｜x〈a} （-∞，a)R (—∞，+∞)取遍数轴上所有值4.映射的概念设A、B是两个非空的集合，如果按某种对应法则f，对A内任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x 对应，则称f是集合A到集合B的映射。
这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x).于是y=f（x）,x称作y的原象,映射f也可记为f:A→B，x→f （x）。
其中A叫做映射f的定义域（函数定义域的推广），由所有象f（x）构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A). 5。
常用的函数表示法（1)列表法:通过列出自变量与对应函数值的表来表达函数关系的方法；（2）图象法:就是用函数图象来表达函数关系；(3）解析法:如果在函数y=f（x)（x∈A)中,f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法(也称公式法）.6。
函数怎么表示小于等于大于等于
函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了一个或多个输入值与输出值之间的关系。
在数学和计算机科学中，函数的表示方法对于理解和解决问题至关重要。
本文将介绍函数如何表示小于、等于和大于的概念，并且讨论它们在不同数学和计算机问题中的应用。
一、小于的表示方法在数学中，小于可以用符号"<"表示。
当我们说一个数字x小于另一个数字y时，可以用数学表达式x < y来表示。
这种表示方法在比较两个数的大小时非常常见，不仅仅局限于数学，还可以应用到计算机科学中。
在计算机编程中，小于通常用于条件判断语句中。
在Python语言中，可以使用"<"符号来比较两个数的大小，并在条件语句中进行相应的处理。
例如：```pythonx = 10y = 20if x < y:print("x小于y")else:print("x大于或等于y")这段代码中，程序首先将变量x赋值为10，将变量y赋值为20。
然后使用条件语句判断x是否小于y，如果满足条件，则输出"x小于y"，否则输出"x大于或等于y"，这种表示方法在计算机程序中非常常见。
二、等于的表示方法在数学中，等于可以用符号"="表示。
当我们说一个数x等于另一个数y时，可以用数学表达式x = y来表示。
这种表示方法在方程中常常使用，并且也可以应用到计算机科学中。
在计算机编程中，等于同样用于条件判断语句中。
在C语言中，可以使用"="符号对两个变量进行赋值，也可以使用"=="符号来比较两个数的大小。
例如：```cint x = 10;int y = 20;if (x == y) {printf("x等于y");} else {printf("x不等于y");```这段代码中，程序首先声明了两个整数型变量x和y，并且分别赋值为10和20。
高中数学 第一章 集合与函数概念 函数的概念课件 新人教A必修1
❖ 本节重点：函数的概念、定义域、值域的求 法．
❖ 本节难点：(1)函数概念的理解．
❖ (2)实际应用问题中函数的定义域和复合函数 定义域．
❖ (一)对函数y＝f(x)涵义的理解，应明确以 下几点：
❖ ①“A，B是非空数集”，若求得自变量取 值范围为∅，则此函数不存在．
❖ ②定义域、对应法则和值域是函数的三要 素，实际上，值域是由定义域和对应法则 决定的，所以看两个函数是否相等，只要 看这两个函数的定义域与对应法则是否相 同．
❖ (1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租 出多少辆车？
❖ (2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁
[解析] (1)当每辆车的月租金为 3600 元时，未租出的 车辆数为：(3600－3000)÷50＝12，所以这时租出了 88 辆车．
(2)设每辆车的月租金为 x 元，则租赁公司的月收益为： f(x)＝(100－x－530000)(x－150)－x－530000×50，整理得：f(x) ＝－5x02 ＋162x－2100＝－510(x－4050)2＋307050.所以当 x＝ 4050 元时，f(x)最大，其最大值为 307050.即当每辆车的月租 金为 4050 元时，租赁公司的月收益最大，最大值为 307050 元．
❖ [分析] (1)据函数的定义：“对于集合A中的 任意一个元素，在集合B中有唯一确定的元素 与之对应”进行判断．
❖ (2)给定函数的解析式，也就给定了由定义域 到值域的对应法则，只要将自变量允许值代 入，就可以求得对应的函数值．
[解析] (1)①由 x2＋y2＝2 得 y＝± 2－x2，因此由它不能 确定 y 是 x 的函数，如当 x＝1 时，由它所确定的 y 的值有两 个±1.
②由 x－1＋ y－1＝1，得 y＝(1－ x－1)2＋1，所以当 x 在{x|x≥1}中任取一个值时，由它可以确定唯一的 y 值与之 对应，故由它可以确定 y 是 x 的函数．
初二函数所有的知识点总结
初二函数所有的知识点总结一、函数的概念函数是一种特殊的关系，它表示一种从一个集合到另一个集合的对应关系。
在数学上，函数通常用 f(x) 或 y = f(x) 的形式表示，其中 x 是自变量，y 是因变量。
函数的定义域是指函数的自变量可以取的值的集合，值域是函数的因变量所能取得的值的集合。
函数的图像是函数在坐标系上的呈现形式，它能够直观地表示函数的性质。
函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性等。
二、函数的表示方法1. 公式表示法：函数可以用数学公式的方式进行表示，比如 f(x) = 2x + 3。
2. 表格表示法：可以通过制作函数的输入和输出值的对应表格来表示函数。
3. 图形表示法：函数的图像可以用坐标系上的点来表示。
三、函数的运算1. 函数的加法和减法：当两个函数相加或相减时，可将它们的对应值相加或相减。
2. 函数的乘法和除法：当两个函数相乘或相除时，可将它们的对应值相乘或相除。
3. 复合函数：当一个函数中出现另一个函数时，称为复合函数。
四、基本函数1. 线性函数：线性函数是一种特殊的一次函数，它的图像是一条直线，表示为 f(x) = kx + b。
2. 平方函数：平方函数的一般形式是 f(x) = ax^2 + bx + c，它的图像是一条抛物线。
3. 绝对值函数：绝对值函数的一般形式是 f(x) = |x - a| + b，它的图像以直线为轴对称。
4. 一次函数：一次函数的一般形式是 f(x) = ax + b，它的图像是一条直线。
5. 反比例函数：反比例函数的一般形式是 f(x) = k/x，它的图像是两个坐标轴的倒数。
五、函数的性质1. 奇函数和偶函数：奇函数满足 f(-x) = -f(x)，而偶函数满足 f(-x) = f(x)。
2. 单调函数：如果函数 f(x) 的导数在定义域上恒大于 0 或恒小于 0，那么 f(x) 就是单调函数。
3. 周期函数：如果存在一个正数 T，使得对于定义域上的任意 x 都有 f(x+T) = f(x)，那么f(x) 就是周期函数。
函数的概念及表示方法
特级教师 王新敞
3.两个函数的相等： 函数的定义含有三个要素， 即定义域A、值域C和对应法则 f. 当函数的定义 域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函 数的值域也就随之确定 .因此，定义域和对应法 则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数 的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函 数才是同一个函数 .
由映射和函数的定义可知，函数是一类特 殊的映射，它要求 A、B非空且皆为数集 .
特级教师 王新敞
特级教师 王新敞
5.映射的概念中象、原象的理解： (1) A中每
一个元素都有象 ;(2)B中每一个元素不一定都有原
象，不一定只一个原象； (3)A中每一个元素的象
唯一. 6．分段函数：如
? x2 f (x) ? ?
特级教师 王新敞
练习
1.购买某种饮料 x听，所需钱数为 y元. 若每听2元， 试分别用解析法、列表法、图象法将 y表示成x （x∈{1,2,3,4}）的函数，并y指出该函数的值域 . 解：（1）解析法：
y=2x, x∈{1,2,3,4}. 8
（2）列表法：
6
X/听 1 2 3 4
4
Y/元 2 4 6 8
特级教师 王新敞 特级教师 王新敞
特级教师 王新敞
特级教师
王新敞
例 1 已知函数 f (x) =
3 3x ? 1
的定义域
ax 2 ? ax ? 3
是 R，则实数 a 的取值范围是 ( B )
A. a ? 1 3
B. ? 12 ? a ? 0
C. ? 12 ? a ? 0
D. a ? 1 3
剖析：由 a
2
（3） 图象法 （如图）
函数的值域是 {2,4,6,8}
青岛版九年级下册数学《函数与它的表示法》研讨说课复习课件拔高
第3课时
课件
目 Contents 录
01 学习目标 02 合作探究
03 知识讲解
04 例题演示
05 分层练习
06 课堂小结
学习目标
认识分段函数，会根据简单分段函 数的表达式或图象求出函数值.
合作探究
为了鼓励节约用电，某市按以下标准对居民用户收费： 当一户居民月用电量不超过200kw•h时，按0.5元/kw•h收费。 当一户居民月用电量超过200kw•h时，超过部分按0.7元 /kw•h收费。
（2）分段函数的自变量取值范围是各分段取值范 围的全体；
（3）每段函数表达式自变量的取值范围之间没有 公共点。
6.7 利用画树状图和列表计算概率
第1课时
课件
1.会用画树状图的方法求简单事件的概率； 2.会用列表的方法求简单事件的概率.
引例 甲、乙两同学各拿一枚完全相同的硬币进行投掷实验 ，规定国徽为正面.两人同时掷出硬币为一次实验，在 进行200次实验后，他们将向上一面的结果汇总如下表：
3.某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示:
(1)y是x的函数吗？若是请写出该函数解析式？ (2)分别求当x=10,16,20时的函数值．
答案：函数解析式为：
2x;(0 x 12)
y
2
12
2.5( x
12)
2.5x
6; (12
x
18)
212 2.5 6 3(x 18) 3x 15.(x 18)
1 3·
利用树状图或表格可以清晰地表示出某个事件 发生的所有可能出现的结果，从而较方便地求出某 些事件发生的概率.
解：画树状图
从树状图可以看出，两张卡片 上的数字之积共有4个等可能 结果，从中可找出“两数之积 为0”这一事件的结果有3个.
5.1(2)函数与它的表示法 2
心动
不如行动
1、判断下列问题中的变量y是不是x的函数？
（1）在 y = 2x 中的y与x； 是 （2）在 y = x 中的y与x； 是
2
（3）在 y = x 中的y与x； 不是
2
2.下列各曲线中不表示 y 是 x 的函数的是(
4 )
合作与探究
建议与要求： 1、每个同学先独立思考整理出自己的答案 2、然后以小组为单位先纠正答案， 3、针对自己拿不定的题目以小组为单位进行 讨论 4、在教师的指导下，以班级为单位对讨论结 果予以汇总统计
x 2 0 x 1 0
创设情境
列车以90千米/小时的速度从A地开往B地 （1）填写下表：
行驶时间x小时 行驶路程y千米
1
ห้องสมุดไป่ตู้
2
3
4
（2）写出y与x之间的函数关系式；
（3）x可以取全体实数吗？
1．进一步加深理解函数的概念．会 根据简单的函数解析式和问题情境确 定自变量的取值范围． 2．能利用函数知识解决有关的实际 问题。
具体题目见导学案
2.一枝蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧掉5厘 米。 1.写出蜡烛剩余长度h（cm）与点燃时间t（h） 之间的函数解析式； 2.求出自变量t（h）可以取值的范围； 3.蜡烛点燃2h后还剩多长？ 4.能够描述蜡烛剩余长度h（cm）与点燃时间t （h）之间函数关系的图像是（）
记一记
☞
练习
• 建议与要求： • 1、要求每个人独立完成本环节所有题目 • 2、完成后以小组为单位纠正答案，组内互 评 • 3、针对小组内不能解决的疑惑和问题，以 班级为单位集体讨论
练习1: 求下列函数中自变量x可以取值的范围:
3x 1 (1) y= 2
青岛版数学九年级下册5.1《函数和它的表示方法》教学设计3
青岛版数学九年级下册5.1《函数和它的表示方法》教学设计3一. 教材分析青岛版数学九年级下册5.1《函数和它的表示方法》是本册教材的重要内容，主要让学生理解函数的概念，了解函数的表示方法，包括列表法、解析法、图象法等。
通过本节的学习，为学生进一步学习函数的性质、函数的图像等知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了代数、几何等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和抽象思维能力。
但是对于函数这一概念，可能还比较陌生，需要通过具体实例来理解和掌握。
同时，学生对于函数的表示方法可能也比较困惑，需要通过大量的练习来熟练掌握。
三. 教学目标1.让学生理解函数的概念，了解函数的表示方法。
2.让学生能够运用函数的表示方法解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
四. 教学重难点1.函数的概念的理解。
2.函数的表示方法的掌握。
五. 教学方法采用讲授法、实例分析法、练习法等多种教学方法，通过具体的实例来引导学生理解函数的概念，通过大量的练习来让学生掌握函数的表示方法。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT。
2.准备一些具体的函数实例。
3.准备一些练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的实例，引出函数的概念，让学生初步理解函数的含义。
2.呈现（10分钟）讲解函数的表示方法，包括列表法、解析法、图象法等，通过具体的例子让学生理解每种方法的含义和应用。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，运用函数的表示方法解决一些实际问题，比如计算一些函数的值，画出一些函数的图象等。
4.巩固（10分钟）讲解学生练习中出现的问题，再次强调函数的表示方法，让学生加深理解。
5.拓展（10分钟）让学生思考除了列表法、解析法、图象法之外，还有没有其他的表示方法，激发学生的创新思维。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，让学生明确本节课的重点和难点。
7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的练习题，让学生课后巩固所学知识。
5.1.2函数与它的表示法第二课时课件
一、旧知回顾： 1.说出画函数图像的一般步骤 2.函数关系有哪些表示方法？ 3.指出下列代数式中字母可以表示的实数的范围 1 2x2＋7
同学们, 再见!
函数定义 在同一个变化过程中,有两个变量x,y. 如果 对于变量x在可以取值的范围内每取 一个确定 值,变量y都有一个惟一确定的值与它对应,那么 就说y是x的函数.
结论:
三、自我检测（自测题体现一定的基础，又 有一定的思维含量，只有“细心才对，思 考才会”） 1.写出函数 自变量的取值范围 2. 已知等腰三角形的周长为12cm，若底边长 为y cm，一腰长为x cm. 写出y与x的函数关系式；
求自变量x的取值范围；
四、预习反思 —请你将预习中未能解决的问题和疑惑写下 来，待课堂上与老师和同学探究解决。
（一）问题探究 1求出下列函数中自变量的取值范围，由代数 式的特点总结自变量的取值范围 （1） y＝3x－1； （2）y＝2x2＋7；
• 2．用边长为1的等边三角形拼成图形，如图所示,用Y 表示拼成的图形的周长，用n表示其中等边三角形的数 目，显然拼成的图形的周长y是n的函数。 （1）填写下表
• 1．对于代数式2x+1，它的值是随x的改变而 改变，对于x的每一个值，代数式2x+1也有 唯一的值与它对应，所以代数式2x+1的值是 x的函数。设y=2x+1，即y是2x+1的函数。 这里的x可以的取值范围是 • 2.张老师到商店买了x千克白菜和一个袋子， 每千克白菜2元，每个袋子1元，张老师花了 y元，显然y是x的函数，写出它的关系式为 。函数中x可以取值的范围是 。 • 3．求下列函数的自变量可以取值的范围
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北京四中网校诸城分校1．（2012•泸州）为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：（1）若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.50元/度计算；（2）若每户居民每月用电量超过100度，则超过部份按0.80元/度计算（未超过部份仍按每度电0.50元计算）．现假设某户居民某月用电量是x （单位：度），电费为y （单位：元），则y 与x 的函数关系用图象表示正确的是（ ）A．B． C． D．2．（2009•益阳）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．如图描述了他上学的情景，下列说法中错误的是（ ）A ．修车时间为15分钟B ．学校离家的距离为2000米C．到达学校时共用时间20分钟D．自行车发生故障时离家距离为1000米3．（2007•永州）永州市内货摩（运货的摩托）的运输价格为：2千米内运费5元；路程超过2千米的，每超过1千米增加运费1元，那么运费y元与运输路程x千米的函数图象是（）A．B．C．D．4．（2007•眉山）在某次实验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表：则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的（）A．v=2m-2 B．v=m2-1 C．v=3m-3 D．v=m+15．（2007•临汾）为了增强居民的节水意识，从2007年1月1日起，临汾城区水价执行“阶梯式”计费，每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图所示．若某用户5月份交水费18.05元，则该用户该月用水（）A．8.5吨B．9吨C．9.5吨D．10吨6．（2007•常德）某电信部门为了鼓励固定电话消费，推出新的优惠套餐：月租费10元；每月拔打市内电话在120分钟内时，每分钟收费0.2元，超过120分钟的每分钟收费0.1元；不足1分钟时按1分钟计费．则某用户一个月的市内电话费用y（元）与拔打时间t（分钟）的函数关系用图象表示正确的是（）A．B．C．D．7．（2006•曲靖）一件工作，甲、乙两人合做5小时后，甲被调走，剩余的部分由乙继续完成，设这件工作的全部工作量为1，工作量与工作时间之间的函数关系如图所示，那么甲、乙两人单独完成这件工作，下列说法正确的是（）A．甲的效率高B．乙的效率高C．两人的效率相等D．两人的效率不能确定8．（2012•宁德）五一节某超市搞促销活动：①一次性购物不超过150元不享受优惠；②一次性购物超过150元但不超过500元一律九折；③一次性购物超过500元一律八折．王宁两次购物分别付款120元、432元，若王宁一次性购买与上两次相同的商品，则应付款（）元．9．（2007•衢州）一个水池有2个速度相同的进水口，1个出水口，单开一个进水口每小时可进水1立方米，单开一个出水口每小时可出水2立方米．某天0点到6点，该水池的蓄水量与时间的函数关系如图所示（至少打开一个进水口）．给出以下三个论断：（1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水，（3）4点到6点不进水也不出水．则错误的论断是．（填序号）10．（2007•绵阳）如图所示的函数图象反映的过程是：小明从家去书店，又去学校取封信后马上回家，其中x表示时间，y表示小明离他家的距离，则小明从学校回家的平均速度为千米∕小时．11．某市的空调公共汽车的票价指定的规则是：(1)乘坐5km以内，票价2元；(2)乘坐5km以上，每增加5km，票价增加1元（不足5km的按5km计算）。
已知两个相邻的公共汽车站之间相距约1km，如果在某条路线上沿途（包括起点站和终点站）设21个汽车站，请根据提意写出这条线路的票价与里程之间的函数解析式，并作出函数的图象。
12．（2004•绍兴）某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，用户5月份交水费45元，则所用水为方．13．（2012•徐州）为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费作如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过a千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a千瓦时，则除了交20元外，超过部分每千瓦时要交a100元．某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元；4月份用电45千瓦时，交电费20元．（1）求a的值；（2）若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？14．（2012•淮安）某省公布的居民用电阶梯电价听证方案如下：例：若某户月用电量400度，则需交电费为210×0.52+（350-210）×（0.52+0.05）+（400-350）×（0.52+0.30）=230（元）（1）如果按此方案计算，小华家5月份的电费为138.84元，请你求出小华家5月份的用电量；（2）以此方案请你回答：若小华家某月的电费为a元，则小华家该月用电量属于第几档？15．（2012•常德）已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线BC运动，连接DP，作CN⊥DP于点M，且交直线AB于点N，连接OP，ON．（当P在线段BC上时，如图1：当P在BC的延长线上时，如图2）（1）请从图1，图2中任选一图证明下面结论：①BN=CP；②OP=ON，且OP⊥ON；（2）设AB=4，BP=x，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面16．（2010•北海）某水库在60天中，一段时间蓄水量随时间的增加直线上升，由于灌溉的需要，一段时间蓄水量随时间的增加直线下降，水库的蓄水量V（万立方米）与时间t（天）的关系，如图所示．（1）分别求出水库蓄水量上升期及下降期V与t 的函数关系式；（2）求水库的蓄水量为900万立方米以上（包含900万立方米）的时间t的取值范围．17．（2009•营口）“五一”假期小明骑自行车去郊游，早上8：00从家出发，9：30到达目的地．在郊游地点玩了3个半小时后按原路以原速返回，同时爸爸骑电动车从家出发沿同一路线迎接他，爸爸骑电动车的速度是20千米/小时，小明骑自行车的速度是10千米/小时．设小明离开家的时间为x小时，下图是他们和家的距离y（千米）与x（1）目的地与家相距千米；（2）设爸爸与家的距离为y1（千米），求爸爸从出发到与小明相遇的过程中，y1与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（3）设小明与家的距离为y2（千米），求小明从返程到与爸爸相遇的过程中，y2与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（4）说明点C的实际意义，并求出此时小明与家的距离．18．（2009•孝感）5月份，某品牌衬衣正式上市销售．5月1日的销售量为10件，5月2日的销售量为35件，以后每天的销售量比前一天多25件，直到日销售量达到最大后，销售量开始逐日下降，至此，每天的销售量比前一天少15件，直到5月31日销售量为0．设该品牌衬衣的日销量为p（件），销售日期为n（日），p与n之间的关系如图所示．（1）写出p关于n的函数关系式p=（注明n的取值范围）；（2）经研究表明，该品牌衬衣的日销量超过150件的时间为该品牌衬衣的流行期．请问：该品牌衬衣本月在市面的流行期是多少天？（3）该品牌衬衣本月共销售了件．19．（2009•娄底）娄底至新化高速公路的路基工程分段招标，市路桥公司中标承包了一段路基工程，进入施工场地后，所挖筑路基的长度y（m）与挖筑时间x（天）之间的函数关系如图所示，请根据提供的信息解答下列问题：（1）请你求出：①在0≤x＜2的时间段内，y与x的函数关系式；②在x≥2时间段内，y与x的函数关系式．（2）用所求的函数解析式预测完成1620m的路基工程，需要挖筑多少天？20．（2009•辽宁）某校组织七年级学生到军营训练，为了喝水方便，要求每个学生各带一只水杯，几个学生可以合带一个水壶．可临出发前，带队老师发现有51名同学没带水壶和水杯，于是老师拿出260元钱并派两名同学去附近商店购买．该商店有大小不同的甲、乙两种水壶，并且水壶与水杯必须配套购买．每个甲种水壶配4只杯子，每套20元；每个乙种水壶配6只杯子，每套28元．若需购买水壶10个，设购买甲种水壶x个，购买的总费用为y（元）．（1）求出y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；（2）请你帮助设计所有可能的购买方案，并写出最省钱的购买方案及最少费用．21．（2009•江苏）某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润=（售价-成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量x为多少时，销售利润为4万元；（2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA、AB、BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）22．（2009•长沙）为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元（利润=销售额-生产成本-员工工资-其它费用），该公司可安排员工多少人？（3）若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？23．（2008•襄阳）我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费a 元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a元收费，超过10吨的部分，按每吨b元（b＞a）收费．设一户居民月用水x吨，应收水费y元，y与x之间的函数关系如图所示．（1）求a的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元；（2）求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数关系式；（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？VIP显示解析试题篮24．（2008•防城港）已知x为实数．y、z与x的关系如表格所示：根据上述表格中的数字变化规律，解答下列问题：（1）当x为何值时，y=430？（2）当x为何值时，y=z？25．（2006•西岗区）小明从家到学校，开始步行，后来跑步，小明离家的路程S（m）与所用时间t（分）之间的关系如图所示．（1）根据图象回答：小明家距学校的路及小明步行的速度．（2）若h≤18，小明跑步速度为210 m/分，求小明至少需要跑几分钟？显示解析试题篮26．（1999•上海）已知△ABC中，AC=BC，∠CAB=α（定值），圆O的圆心O在AB上，并分别与AC、BC相切于点P、Q．（1）求∠POQ的大小（用α表示）；（2）设D是CA延长线上的一个动点，DE与圆O相切于点M，点E在CB的延长线上，试判断∠DOE的大小是否保持不变，并说明理由；（3）在（2）的条件下，如果AB=m（m为已知数），cosα=35，设AD=x，DE=y，求y关于x的函数解析式（要指出函数的定义域）。