概率论离散型随机变量及其分布规律

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概率论与数理统计之离散型随机变量

n
电子科技大学
离散型随机变量
14.12.13
lim P{ X n k }
n
lk
k!
e , k 1,2,
l
证明略. 思考：你能从条件 lim npn l 0,
n
中分析出什么结论吗？注
n
lim npn l
即数列{ pn } 与 { 1 n } 是同阶的无穷小.故
即 10k 10 P{ X a } e 0.95 k 0 k!
a
电子科技大学
离散型随机变量
14
14.12.13
查表可得
10k 10 e 0.9166 0.95 k 0 k!
10k 10 e 0.9513 0.95 k 0 k!
15
这家商店在月底保证存货不少于15件就能以95%的概率保证下个月该种商品不会脱销.
p (1 p)
电子科技大学
离散型随机变量
k n
14.12.13
从n次试验中选出k 次试验有C 种不同的方式.
且各种方式的事件互不相容，由概率的有限可加性可得
Pn ( k )
结论成立.
k Cn
p (1 p)
k
n k
,
称随机变量X 服从二项分布 ,记为X ～ B(n, p). (0—1)分布可以看作X ～B(1, p).
14.12.13
故
F ( x ) P{ X x }
P[ { X xi }] P{ X xi }
xi x
xi x
二、贝努里试验和二项分布 E1：抛一枚硬币出现正反面; E2：检查一件产品是否合格; E3：射击，观察是否命中; 贝努里试验

2.2 离散型随机变量及其分布

∞ k k =1
}
满足下列性质性质: 满足下列性质:
pk ≥ 0 (k = 1,2,⋯);
概率论与数理统计数学科学学院徐鑫
∑p
k =1
∞
k
常用来确定分布律中的待定参数] 常用来确定分布律中的待定参数 = 1 [常用来确定分布律中的待定参数
这两条也是非负数列能为某随机变量分布律的充要条件
离散型随机变量分布列的求法求法: 离散型随机变量分布列的求法: 利用古典概率、利用古典概率、条件概率等计算方法及运算性质求事件{X=x 概率; 性质求事件{X=xk}概率; 利用已知的重要分布的分布列; 利用已知的重要分布的分布列; 利用分布函数. 利用分布函数. 离散型随机变量分布列的应用应用: 离散型随机变量分布列的应用: 确定分布列中的待定参数; 确定分布列中的待定参数; 求分布函数；求分布函数；求随机事件的概率. 求随机事件的概率.
概率论与数理统计数学科学学院徐鑫
四、几种重要的离散型随机变量 1、(0-1)分布[两点分布] (0-1)分布两点分布] 分布[ 定义2 定义2 设随机变量X只取0,1两值, 设随机变量X只取0,1两值,且其分布律为 0,1两值
P{X = k} = p (1 − p) (k = 0,1;0 < p < 1)
(−∞, x1 ), [ x1 , x2 ), [ x2 , x3 ) ⋯, [ xk ,+∞)
分别求出F(x)的值,即就x 分别求出F(x)的值,即就x落在上述各区间内计算 F(x)的值 {X≤x}所含可能值概率的累积和; {X≤x}所含可能值概率的累积和; 所含可能值概率的累积和离散型随机变量X的分布函数是一个右连续的阶梯离散型随机变量X 函数. 函数.

大学文科数学-概率论-离散型随机变量

大学文科数学（）第5章概率论初步第5讲离散型随机变量主讲教师 |引言生活有很多随机变量地例子,例如:•对某产品进行抽样时不合格品地个数;•某城市3月1日至6月1日期间所查地酒驾数;•首都机场候机室某一天地旅客数量;•对N件产品进行检验时不合格品地个数等.它们有一个同点,即随机变量地取值为有限个或可列个,这样地随机变量称为离散型随机变量．本节主要讨论如何描述这类随机变量,并给出常见地类型。

本节内容01 离散型随机变量及其分布02 常用地离散型随机变量Ὅ 定义5.12若随机变量所有可能地取值为有限个或者可列个,则称这样地随机变量为离散型随机变量．下列随机变量哪些是离散型,哪些不是离散型思考地？（1）某电视闯关节目地过关数;（2）某工厂加工一批钢管地外径与规定地外径尺寸之差;发现对于（1）与（3）,随机变量地取值均为有限个值,它们是离散型随机变量;对于（2）与（4）,随机变量地取值不是有限个值或者可列个值,而是某个范围,故它们不是离散型随机变量。

（这种类型地随机变量将在下一节介绍）问题:如何描述离散型随机变量地统计规律呢？（4）长江某水位监测站所测水位在(0,29]地范围内变化,该监测站在一年内所测地水位数据．一般来说,如果知道了离散型随机变量地取值及相应地概率,也就把握了随机变量地统计规律．Ὅ 定义5.13设为离散型随机变量,所有可能地取值为,称为随机变量地概率分布,也称为分布律或分布列．概率分布也可以用以下形式表示:…………或者记为以下形式:所有可能取值取得相应值地概率分布律:离散型随机变量分布地性质由概率地性质可知,任意一个离散型随机变量地概率分布都具有以下两个基本性质.（1）非负性:.（2）正则性:前面已学,可以用分布函数来表示随机变量地统计规律,这里又用分布律来描述离散型随机变量地统计规律,它们即:分布函数是分布律在一定范围内地累积．离散型随机变量落在任何一个范围内地概率,均可以用累积概率地形式表示,即若离散型随机变量地分布律为,则地分布函数为Ὅ 例1解已知盒有10件产品,其8件正品,2件次品.现不放回地从抽取产品检验,每次取1件,直到取出2件正品为止.设为抽取地次数,求:（1）地分布律;（2）地分布函数;（3）概率.（1）容易知道,地可能取值为2,3,4.234因此,地分布律为P（2）当时,当时,当时,当时,综上所述,地分布函数为（3）注解由本例可知,对于离散型随机变量,虽然也可以运用分布函数描述其统计规律,但是分布律使用起来更为简便。

概率论与数理统计第二章随机变量及其分布第二节离散型随机变量及其概率分布

以X记“第1人维护的20台中同一时刻发生故障的台数”以Ai ( i 1,2,3,4)表示事件“第i人维护的20台中 ,
发生故障时不能及时维修”, 则知80台中发生故障
而不能及时维修的概率为
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
P ( A1 A2 A3 A4 ) P ( A1 )
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
3、独立重复试验与二项分布（1）独立重复试验
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例5 某射手在一定条件下，独立地向目标连续射击4次，如果每次击中目标的概率为0.8，求 ①恰好中三次的概率；②至少击中三次的概率。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例5 某射手在一定条件下，独立地向目标连续射击4次，如果每次击中目标的概率为0.8，求 ①恰好中三次的概率；②至少击中三次的概率。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
练习1 某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用10ห้องสมุดไป่ตู้0小时已坏的灯泡数 . 把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验, “使用到1000小时已坏” P{X 1} =P{X=0}+P{X=1} 视为事件A .每次试验, A )3+3(0.8)(0.2)2 =(0.2出现的概率为0.8
本例中，n=20，p=0.2, 所以，(n+1)p=4.2, 故k0=4。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
练习3 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的故障能由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法 , 其一是由四人维护,每人负责20台; 其二是由3人共同维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小. 解按第一种方法

2-1离散型随机变量及其分布律

2}
C113C22 C135
1 35
P{ X
1}
C123C21 C135
12 35
每天从石家庄下火车的人数；
Y
昆虫的产卵数；
Z
七月份石家庄的最高温度；
E
2、在有些试验中，试验结果看来与数值无概率论关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.
正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.
二、随机变量的概念
概率论
概率论
第一节离散型随机变量及其分布律
一、随机变量二、离散型随机变量三、二点分布四、二项分布五、泊松分布
概率论
一、随机变量概念的产生
在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念.
概率论
1、有些随机试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.
例如，掷一颗骰子面上出现的点数； X
X
5000
5)
k6
P(
X
k
)5k0060C5k000(10100)k
( 999 )5000k 1000
或诸如此类的计算问题，必须寻求近似方法.
我们先来介绍二项分布的泊松近似，后面，我们将介绍二项分布的正态近似.
二、泊松分布
概率论
历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的 .
泊松分布,记作
X ~ P()
概率论
例设离散型随机变量X服从参数为的泊松
分布，且已知概率 PX 0 1 ，求：
e
1）参数值；
2）概率 PX 3.
1
1 0.0613 6e

离散型随机变量及其分布规律

解:
例5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，
已知他每发命中的概率是p，求射击次数X 的分布列.
解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ，为计算 P(X =k )， k = 1,2, …，
设 Ak = {第k 次命中}，k =1, 2, …，
于是
P(X =1)=P(A1)=p,
P(X 2)P(A1A2 ) (1 p)p
P(X 3)P(A1A2 A3)(1 p)2p
可见 P(Xk)(1 p)k1p k1,2,
这就是所求射击次数 X 的分布列.
若随机变量X的分布律如上式，则称X 服从
几何分布. 不难验证:
(1 p)k1p 1
k 1
几个重要的离散性随机变量模型
(0,1)分布二项分布波松分布
一、 (0-1)分布（二点分布）
按Po
k
n=10 n=20 n=40 n=100 =np=1 p=0. p=0.05 p=0.02 p=0.01
0 10.349 0.3585 0.369 0.366
0
1 0.305 0.377 0.372 0.370
0
2 0.194 0.189 0.186 0.185
0
3 0.057 0.060 0.060 0.061
•• • • • • • 56 7 8 9 10
•
•
•
•
•
•
•
•
•20x
二项分布的图形特点:
X ~ Bn, p
对于固定n 及 P，当k 增加时 , 概率P (X = k ) 先是随之增加
Pk
直至达到最大值, 随后单调减少.
当 n 1p 不为整数时， n 1p 二项概率 PX k

概率论-2-6边缘分布

PY
yj
PX
xi ,Y
yj
pij,
j 1,2,
i 1
i 1
即离散型随机变量( X,Y )的边缘分布律定义1 设(X,Y) 的联合分布律为
P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1, 2,
则(X,Y)关于X的边缘分布律为
P{ Xxຫໍສະໝຸດ }P{X xi ,
y }
pij pi i 1, 2,3,
§2.6 边缘分布
二维联合分布全面地反映了二维随机变量
(X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y 也具有自己的概率分布. 那么要问:二者之间有什么关系呢?
这一节里,我们就来探求这个问题 .
一、离散型随机变量( X,Y )的边缘分布律
设(X,Y) 的分布律及边缘分布律为
XY x1 x2 … xi …
3 0
2 x
24 13
xdy,
1x3
2
2
0,
其他
即
24 13
x,
0 x1 2
fX (x)
24 13
x(3 2
x),
1x3
2
2
0,
其他
解
fY ( y) f ( x, y)dx
03
2
y
24 13
xdx
12 (3 13 2
y)2,
0 y1
0,
其他
正确答案：D
正确答案：C
注意由（X,Y）的联合分布律就能确定（X,Y）关于X，关于Y的边缘分布律；同样，由（X,Y）的联合概率密度就能确定（X,Y）关于X，关于Y的边缘密度。由此可见，边缘分布由联合分布唯一确定，反之不成立。即一般来说，单由X，Y各自的分布是不能确定（X,Y）的联合分布的.

概率论与数理统计3.2 离散型随机变量及其分布律

(2)每次试验中事件 A 发生的概率相等, P( A) p
且 0 p1
则称这样的试验为n重伯努利(Bernoulli)试验
定理 (伯努利定理) 设在一次试验中，事件 A
发生的概率为 p(0 p 1), 则在 n 重贝努利
试验中，事件A恰好发生k次的概率为
P{ X

k}
C
k n
pk (1
解设X：该学生靠猜测能答对的题数
则 X ~ B 5, 1
4
P至少能答对4道题 P X 4
P X 4 P X 5

C
4 5

1 4
4

3 4

1 5
4

1 64
某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，求至少击中两次的概率。
称
pi P{ X xi } i 1,2,3,
为离散型随机变量X的概率分布或概率函数，也称为分布列或分布律
表格形式
X x1 pi p1
x2 xn p2 pn

分布列的性质：
(1) pi 0 , k 1,2,
(2) pi 1
i
用这两条性质判断一个函数是否是分布律
解：将每次射击看成一次试验,设击中的次数为X,则X~B(400,0.02),
P{ X

k}
C
k 400
(0.02)
k
(0.98)400
k
(k

0,1,2,..., 400)
所求概率为
P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1}
1 (0.98)400 400(0.02)(0.98)399

离散型随机变量及其分布

（0－1）分布的分布律用表格表示为：
X0 1
P 1-p p
0
易求得其分布函数为： F (x) 1 p
1
x0 0 x 1
x 1
2.二项分布（binomial distribution)：定义：若离散型随机变量X的分布律为
PX k Cnk pkqnk k 0,1,L , n
其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项
下面我们看一个应用的例子.
例7 为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员 . 设共有300台设备，每台独立工作，且发生故障的概率都是0.01。若在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理，问至少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
我们先对题目进行分析：
§2.2 离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量及其分布律
1．离散型随机变量的定义设X为一随机变量，如X的全部可能取到的值
是有限个或可列无限多个，则称随机变量X为离散型随机变量(discrete random variable)。
设X是一个离散型随机变量，它可能取的值是 x1, x2 , … .为了描述随机变量 X ，我们不仅需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个值的概率.
定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称等式
P(X xk) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率函数或分布律，也称概率分布.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
（2） pk1
k
k=1,2, …
用这两条性质判断一个函数是否是

概率论-离散型随机变量及其分布律、分布函数

4. 泊松分布
设随机变量X的分布律为 P{X k} ke , k 0,1,2,,
k!
其中 0是常数.则称 X 服从参数为的泊松分
布,记为 X ~ π().
通常在n很大，p很小时，用泊松分布近似代替二项分布，简称泊松近似。
Cnk
pk (1 p)nk
k e
k！
，
其中 np ，可查表 p247 得到泊松分布的概率。
(2) n 重伯努利试验
伯努利资料
设试验 E 只有两个可能结果: A 及 A,则称 E 为伯努利试验. 设 P( A) p (0 p 1),此时P( A) 1 p.
将 E 独立地重复地进行n 次,则称这一串重复的独立试验为n 重伯努利试验.
实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面的情况. 若将硬币抛 n 次,就是n重伯努利试验.
3
4
0.0625 0.0625
例2 随机变量 X 的概率分布律如下，求常数 c
X01 2
1
1
3
pk
c 2
c 4
c 8
3
解：∵ pk 1,
k 1
即 1c 1c 3c 1
248
∴
c8 9
例3 设随机变量 X 的概率分布律如下，
X 0 1 23 4 5 6 pk 0.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.1 0.03
分析：这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理. 把检查一只元件是否为一级品看成是一次试验, 检查20只元件相当于做20 重伯努利试验.
解：以 X 记 20 只元件中一级品的只数,
则 X ~ b(20, 0.2), 因此所求概率为

2-2离散型随机变量及其分布律

P(X=2)=C (0.05) (0.95) = 0.007125
思考：本例中的“有放回”改为”无放回” 思考：本例中的“有放回”改为”无放回”？不是伯努利试验。各次试验条件不同,此试验就不是伯努利试验此时, 各次试验条件不同,此试验就不是伯努利试验。此时, 1 2 只能用古典概型求解. 古典概型求解只能用古典概型求解. C C
3. 泊松分布
定义若一个随机变量 X 的概率分布为 λke−λ P{ X = k} = , k = 0,1,2,⋯, k! 则称 X 服从参数为 λ 的泊松分布，泊松分布，记为 X ~ P (λ ) 或 X ~ π (λ ). 易见，易见，1) P { X = k } ≥ 0; ( k −λ ∞ ∞ ∞ λk λe −λ (2)∑P{X = k} = ∑ =e ∑ k! k=0 k ! k=0 k=0
泊松分布是常见的一种分布：泊松分布是常见的一种分布：地震火山爆发特大洪水
商场接待的顾客数电话呼唤次数交通事故次数
4. 二项分布的泊松近似
很大时，对二项分布 b( n, p ), 当试验次数 n 很大时，计算其概率很麻烦. 例如，算其概率很麻烦例如，b(5000, 0.001), 要计算
.
二、几种常见分布
1. 两点分布只可能取x 设随机变量 X 只可能取 1与x2两个值 , 它的分布律为 x x
X pi
p 1− p
1
2
0< p<1
则称 X 服从x1 , x2处参数为的两点分布。处参数为p的两点分布。
说明：只可能取0与两个值说明：若随机变量 X 只可能取与1两个值 , 它的分布律为 0 1
则随机变量 X的分布律为 X 的分布律为

离散型随机变量及其分布律

机变量.若以T记某元素的寿命,它所可能取的值充满
一个区间,是无法按一定次序一一列举出来的，因而它是一个非离散型的随机变量.本节只讨论离散型随机变量.
概率论
容易知道,要掌握一个离散型随机变量X的统计规律, 必须且只需知道X的所有可能取的值以及取每一个可
能值的概率.
设离散型随机变量X的所有可能取的值为 xk k 1,2,L ,
特别,当n=1时二项分布化为
PX k pkqnk , k 0,1
这就是(0-1)分布.
概率论
例2 按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过 1500小时的为一级品.已知某一在批产品的一级品率为0.2,现在从中随机地抽查20只.问20只元件中愉有
k只(k=0,1,…,20)为一级品的概率是多少？
1pg4p2gL43gpg114 p4g4142p4gL4g4143p pk 1 p nk
k个
nk个
这种指定的方式共有
n k
种，它们是两两互不相容的，故在n次
试验中A发生k次的概率为
n k
pk
1
p nk
，记q
1
p，即有
显然
PX
k
n k
pk
1
p nk
,k
0,1, 2,L
,n
概率论
修”，则知80台中发生故障不能及时维修的概率为
P A1 U A2 U A3 U A4 P A1 PX 2
而X : b20,0.01，故有
概率论
1
PX 2 1 X k k 0
1
k
1 0
20 k
0.01k
0.99 20 k
0.0169.
即有P A1 U A2 U A3 U A4 0.0169

《概率论》第2章2离散型随机变量-24页文档资料

C n k p k ( 1 p ) n k ( k 0 ,1 ,2 ,,n )
第二章随机变量及其分布
§2 离散型随机变量及其分布律 11/23
则
P{X1}P(A1) p
P{X2}P(A1A2)P(A2| A1)P(A1) p(1 p)
P{X3}P(A1A2A3) P (A 3|A 1A 2)P (A 2|A 1 )P (A 1 ) p(1 p)2
P{X 4} P (A 1 A 2A 3A 4) P (A 1 A (12 A 3 pA )4 3)
故 X的分布律为
P{X 0} 1 8
P{X
1}
3 8
P{X 2} 3 8
所有样本点遍历一次
全部和为1
P{X 3} 1 8
分布律有什么特点
第二章随机变量及其分布
§2 离散型随机变量及其分布律 3/23
pk0, k1,2,
pk 1
k 1
pk P{X xk}
k1
k1
P
U{X
k 1
xk }
P(S) 1
第二章随机变量及其分布
§2 离散型随机变量及其分布律 8/23
只产生两个结果 A , 的A 试验伯努利试验产生什么样的随机变量
将伯努利试验独立重复进行 n 次的试验
某战士用步枪对目标进行射击，记
Байду номын сангаас
A { 击中目标 } ,A { 没击中目标 } 每射击一次就是一个伯努利试验 ,如果对目标进行 n 次射
第二章随机变量及其分布
§2 离散型随机变量及其分布律 6/23
如果 r.v 的X 分布律为
P{X c}1
则称 r.v 服X 从单点，分其布中为常数c

常用离散型随机变量的概率分布

常用离散型随机变量的概率分布一、离散型随机变量简介离散型随机变量是指只能取有限个或可数个值的随机变量。

在概率论与数理统计中，离散型随机变量的概率分布描述了该随机变量每个可能取值的概率。

在实际问题中，常用的离散型随机变量包括伯努利分布、二项分布、泊松分布和几何分布等。

二、伯努利分布伯努利分布是一种表示两个可能结果的离散型概率分布。

它的特点是每次试验只有两个可能结果：成功和失败。

该分布由一个参数p确定，表示成功的概率，成功的概率为p，失败的概率为1-p。

伯努利分布的概率质量函数如下：P(X=x) = p^x * (1-p)^(1-x)其中，x为随机变量X的取值（0或1），p为成功的概率。

三、二项分布二项分布是一种多次独立重复实验的离散型概率分布。

它描述了n次重复独立实验中成功次数的概率分布。

每次实验都有两个可能结果：成功和失败。

每次实验成功的概率为p，失败的概率为1-p。

二项分布的概率质量函数如下：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，X为成功次数的随机变量，k为取值，n表示实验的次数，p为每次实验成功的概率。

四、泊松分布泊松分布是描述单位时间（或单位空间）内某种事件发生次数的离散型概率分布。

泊松分布适用于很多事件发生的情况，例如到达人口数量、电话交换机接收到的呼叫数量等。

泊松分布的特点是事件的发生率稳定且独立。

泊松分布的概率质量函数如下：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，X为事件发生次数的随机变量，k为取值，λ表示单位时间（或单位空间）内事件的平均发生次数。

五、几何分布几何分布是描述进行独立重复实验，直到第一次成功出现时的实验次数的离散型概率分布。

每次实验成功的概率为p，失败的概率为1-p。

几何分布的概率质量函数如下：P(X=k) = (1-p)^(k-1) * p其中，X为成功所需的实验次数的随机变量，k为取值，p为每次实验成功的概率。

概率与数理统计第二章-2-离散型随机变量及其分布律

(0–1)分布的分布律也可以写成：
P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1,0 p 1.
两点分布的模型为：
（1）Ω= {1, 2}，只有两个基本事件。
P({1}) = p , P({2}) = 1-p =q.
令
X
()
1, 0,
1, 2,
（2） W A A ，有两个结果。
1
2
P 0.04 0.32 0.64
PX 0 0.2 0.2 0.04
PX 1 0.80.2 0.20.8 0.32
PX 2 0.8 0.8 0.64
(2) ∵是并联电路 ∴ P{线路接通} =P{只要一个继电器接通} =P{X≥1} =P{X=1}+P{X=2}=0.32+0.64=0.96
所以，X 的概率分布为
P{X k } C4k p k (1 p )4k ,
k 0, 1, 2, 3, 4 .
(1) 伯努利试验若随机试验E只有两个可能的结果：事件A发生与事件A不发生，则称这样的试验为伯努利(Bermourlli)试验。记
P(A) p, P(A) 1 p q (0 p 1),
P{X=1}：o o o Co41 p1(1 p)41
P{X=2}：o o oo oo oo C42opo2(1oop)42
P{X=3}：ooo oo o o oo oooC43 p3(1 p)43 P{X=4}：oooo C44 p4(1 p )44 p4
其中“×”表示未中，“○”表示命中。
P(A) p, P(A) 1 p ；
③ 各次试验相互独立。
我们关心的问题是：
n次的独立伯努利试验中，事件A发生的次数及A发生k次的概率。

1.5 概率论——离散型随机变量的概率分布

1
即，kk00
np np
p p
1
因此 np p 1 k0 np p
于是
np p k0 np p 1
[np p]
当np p是整数时当np p是整数时
其它
二项分布的概率计算;
B(k;n, p) P( X k) Cnk pk (1 p)nk
1.直接计算; n 较小 2.查表 n 较大时,ｐ不太大或小时 3.利用泊松分布; n 较大, p较小 4.利用中心极限定理; n 较大
二项分布的概率最大值(众数); 二项分布中 X 可以取值 0,1,2, , n,使概率 Pk 取最大值
的 k记作 k0 , 称 k0为二项分布的最可能取值。已知 n, p 来求 k0
np p k0 np p 1
[np p]
当np p是整数时当np p是整数时
其它
设P( X k0 )为最大，则有下面不等式组：
因此 X概率分布为 X -1
0
1
2
P 0.3 0.3 0.2 0.2
P( X 1 X 0) P( X 1, X 0) P( X 0)
P( X 1) 0.3 3 1 P( X 0) 0.7 7
二、常见离散型随机变量
1.退化分布
P{X a} 1
2.Bernoulli分布(两点分布,0-1分布) 记为X ～ B(1,p)
(1)P( X 10) 0.9510 0.599
(2)P( X 8) C180 0.958 0.052 0.075 (3)P( X 9) C190 0.959 0.05 0.9510 0.914
4.超几何分布
模型: 一般地，如果有 N个元素分为两大类，第一类 N1个元素，第二类 N2个元素(N1 N2 N ), 采用不重复抽样，从N个元素中取出n个元素，那么所取到的第一类元素的个数 X的分布称为超几何分布。

离散型随机变量的概率分布

离散型随机变量的概率分布一、定义与性质1.离散型随机变量：随机变量X的取值是 countable 的，即X的所有可能取值可以构成一个可数集合。

2.概率分布：离散型随机变量的概率分布是指随机变量取每一个可能值的概率。

3.概率的基本性质：a.非负性：概率值非负，即P(X=x)≥0。

b.归一性：所有可能取值的概率之和为1，即ΣP(X=x)=1。

c.互斥性：不同取值之间的概率没有交集，即P(X=x1)∩P(X=x2)=0（x1≠x2）。

二、概率分布的数学描述1.概率质量函数（Probability Mass Function, PMF）：离散型随机变量的概率分布通常用概率质量函数f(x)来描述，定义为P(X=x)=f(x)。

2.概率分布表：将所有可能的取值及其对应的概率列成表格，称为概率分布表。

3.伯努利分布（Bernoulli distribution）：定义在随机试验成功（记为1）和失败（记为0）上的两点分布，其概率质量函数为P(X=1)=p，P(X=0)=1-p。

4.二项分布（Binomial distribution）：在n次独立重复试验中，成功次数的离散型随机变量遵循二项分布，其概率质量函数为P(X=k)=C(n,k)p k(1-p)(n-k)，其中，n为试验次数，k为成功次数，p为每次试验成功的概率。

5.几何分布（Geometric distribution）：在伯努利试验中，第一次成功之前试验次数的离散型随机变量遵循几何分布，其概率质量函数为P(X=k)=(1-p)^(k-1)p。

6.负二项分布（Negative binomial distribution）：在伯努利试验中，试验次数达到r次之前成功次数的离散型随机变量遵循负二项分布，其概率质量函数为P(X=k)=C(r-1,k-1)(1-p)(r-k)p k。

7.超几何分布（Hypergeometric distribution）：从N个对象中抽取n 个，其中有K个成功对象，抽取k个成功对象的离散型随机变量遵循超几何分布，其概率质量函数为P(X=k)=C(K,k)C(N-K,n-k)/C(N,n)。

中国海洋大学《概率论》第二章-离散型随机变量

4 则答5道题相当于做5重Bernoulli试验．
设：X：该学生靠猜测能答对的题数则 X ~ B 5， 1 4
概率论
所以
P至少能答对4道题 P X 4
P X 4 P X 5

C54

1 4

4

3 4

1 4
5
解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ，
设 Ak = {第k期中奖}，k =1, 2, …，于是
P( X k ) P( A1A2 Ak1Ak )
P( A1)P( A2 ) P( Ak1)P( Ak )
(1 p)k1 p
k1,2,
概率论
二、离散型随机变量的分布函数
例子
或记作 X ~ B1， p 其中0 p 1 为参数
概率论
Bernoulli分布也称作 0-1 分布或两点分布．
Bernoulli分布的概率背景
进行一次Bernoulli试验，设：
PA p， PA 1 p q
令X：在这次Bernoulli试验中事件A发生的次数．
n

c
1

n
n1 4

c

1
4
1

c 3
4
所以
c=3
概率论
概率论
例2 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等. 以X表示该汽车首次停下时已通过的路口的个数，求 X的分布律.
概率论
P(Bk ) P( A1A2 Ak Ak1 An ) P( A1A2 Ank Ank1 An )

离散型随机变量的分布列,期望与方差

一，离散型随机变量
１、随机变量：
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用希腊字母 ξ、η 等表示．
随机变量将随机事件的结果数量化．
问题:某人射击一次，可能出现哪些结果？
若设射击命中的环数为ξ，则ξ是一个随机变量. ξ可取０，1，2，…，10. ξ＝０，表示命中０环；
(1). pi 0, i 1，2，3，
(2). p1 p2 p3 1
例1、某一射手射击所得环数的分布列如下：
ξ 4 5 6 7 8 9 10
p 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率
一般地，离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
例1.设p是非负实数，随机变量的概率分布为
0
1
2
P
1 p 2
p
1 2
则E的最大值为______,D的最大值为______
例2.A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干实验组进行对比实验。每个试验组由4个小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类
写出ξ的分布列. 解: 随机变量ξ的可取值为 1,2,3.
当ξ=1时,即取出的三只球中的最小号码为1,则其它
两只球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任取两只,故
有P(ξ=1)=

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记作
X ~ Bn, p
用X 表示n 重贝努里试验中事件A（成功）出现
的次数，则
k k P( X k) Cn p (1 p) nk , k 0,1,, n
不难验证：
（1 ） P ( X
n
k) 0
（2）
P( X k ) 1
k 0
二项分布的分布列若
X ~ B n, p
x1 p1
x2 p2
xk pk
xn pn
2. 分布列的性质
1.
2.
P X xk 0 k 1, 2, （非负性）
P
k 1
n
k
1
（归一性）
给定了 xk , Pk
k 1, 2,
n .我们就能很好的描述X.
即可以知道 X 取什么值，以及以多大的概率取这些值。
例1.
设随机变量X的概率函数为：
P( X 3)P( A1 A2 A3 ) (1 p) p
2

可见
P( X k)(1 p)k 1 p
k1,2,
这就是所求射击次数 X 的分布列. 若随机变量X的分布律如上式，则称X 服从几何分布.
不难验证:
(1 p)
k 1

k 1
p 1
几个重要的离散型随机变量模型 (0,1)分布二项分布波松分布
于是，所求概率为：
P( X 2) C32 (0.05) 2 (0.95) 0.007125
注：若将本例中的“有放回”改为”无放回”，那么各次试验条件就不同了，不是贝努里概型，此时只能用古典概型求解.
C C P( X 2) 0.00618 C
1 2 95 5 3 100
例10
已知100个产品中有5个次品，现从中有放回
地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率. 解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验的条件完全相同且独立，它是贝努里试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05. 设 X 为所取的3个中的次品数，
则
X ～B(3, 0.05)，
, k 0,1,,8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 .039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000 P
0.273•
由图表可见 , 当 k 2 或 3 时，分布取得最大值 P8 (2) P8 (3) 0.273 此时的 k 称为最可能成功次数
一、
(0-1)分布
（二点分布）它的分布列是
1 p
随机变量X 只取0与1两个值
X P
0
1-P
1
P
0 或X ~ 1 p
0 p 1
或者表示为：
P ( X k ) p (1 p)
k
1 k
, k 0,1
例6 将一枚均匀硬币抛掷1次，令X 表示1次中出现
“正面”的次数
伯努利试验
和
二项分布
请思考一个问题掷硬币100次，记录正面出现的次数X
X为随机变量,如何描述X的分布规律呢？
定义
设将试验独立重复进行n 次，每次试验中，
事件A 发生的概率均为P，则称这n 次试验为
n 重贝努里试验.
若以X 表示n 重贝努里试验事件A 发生的次数，
则称 X 服从参数为n,p 的二项分布。
其分布列为：
P{ X k} cn p k (1 p) nk , (k 0, 1, ..., n)
正好是二项式
k
C
k n
p k (1 p) nk
( p q)
n
的展开式
中的通项，因此该分布为二项分布。
显然，n = 1 时，二项分布化为二点分布。
(0-1) 分布记为
X ~ B1, p
思考题
1、抛掷硬币100次，请你猜出现正面的次数，猜
对有奖，你会猜出现多少次？
2、抛掷骰子100次，请你猜出现点数6的次数，猜对有奖，你会猜出现多少次？
二项分布的取值情况设 X ~ B( 8, 13 )
P8 (k ) P( X k ) C ( ) (1 3 )
k 1 k 3 8 1 8 k
1-2q q2
例5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，
已知他每发命中的概率是p，求射击次数X 的分布列.
解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ，
为计算 P(X =k )， k = 1,2, …，
设
于是
Ak = {第k 次命中}，k =1, 2, …，
P(X =1)=P(A1)=p,
P( X 2)P( A1 A2 ) (1 p) p
则X 的分布列是：
X
P
X = 0
反面
X = 1
正面
0
1/2
1
1/2
1 k 1 1 k P {X k } ( ) ( ) 2 2
例3
,
k 0,
1
100件相同的产品中有4件次品和96件正品，
现从中任取一件，求取得正品数 X 的分布列。解
1 0 X ~ 0.04 0.96
P( X k) a
试确定常数

k
a.
k!
,
k =0,1,2, …,
0
解: 依据分布律的性质: P(X =k)≥0,
P( X k) 1
k
a0
解得
ae

a k! ae
k 0

k

1
这里用到了常见的幂级数展开式
e
k 0

k
k!
例题2
设X 为离散型随机变量，其分布律为： x p 解: -1 1/2 0 1
• 1 • • • • • 2 3 4 5 6 • 7 • 8
• 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
设 X ~ B(20,0.2)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ~ 20 .01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 < .001
P
0.22
•
由图表可见 , 当 k 4 时，分布取得最大值
P20 (4) 0.22
• • • •• •• • • • • • • • • • • • • • • x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20
二项分布的图形特点:
X ~ Bn, p
第二节
离散型随机变量及其分布规律
一、离散型随机变量分布律的定义
1、定义
设离散型随机变量X可能取
且取这些值的概率依次为
x1 , x2 ,
, xn
.
k 1, 2, 称 P X xk Pk 为X的分布律(列)或概率分布。
分布列也可以用列表法表示
p1, p2, …, pn,,

X Pk