二次函数重点难点
二次函数重点难点总结
二次函数重点难点总结二次函数是高中数学中的重要内容，它应用广泛、内容较多，容易出现一些难点。
下面将从求解二次函数的根、图像的性质、应用题目等方面，总结二次函数的重点和难点。
一、求解二次函数的根1.求解一元二次方程的根（1）利用配方法，将一元二次方程化为完全平方形式，并求得根的解；（2）利用求根公式，即根的公式：x = (-b±√(b²-4ac))/(2a)，求得根的解；（3）利用因式分解法，将二次方程因式分解，并求得根的解。
2.利用二次函数图像求解二次方程的根（1）通过二次函数图像的顶点坐标、对称轴及判别式，求得一元二次方程的根；（2）通过二次函数图像的交点，求得一元二次方程的根。
二、二次函数图像的性质1.几何意义（1）根的性质：当一元二次方程有根时，根相等，则二次函数图像与x轴有且仅有一交点；根不相等，则二次函数图像与x轴有两个交点。
（2）极值点的性质：当二次函数开头系数为正时，函数的最小值对应极值点；当二次函数开头系数为负时，函数的最大值对应极值点。
2.求解顶点坐标（1）利用函数的顶点公式，顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))；（2）利用函数变形和求顶点的方法，求解顶点坐标；（3）通过二次函数图像的顶点坐标，确定一元二次方程的根。
三、二次函数的应用题目1.最值问题（1）通过求解顶点坐标，确定二次函数的最大值或最小值；（2）通过二次函数图像的几何特点，确定特定区间内二次函数的最大值或最小值。
2.奇偶性问题（1）二次函数的对称轴与y轴平行，则函数是偶函数，开头系数为正；（2）二次函数的对称轴与x轴平行，则函数是奇函数。
3.求解焦点坐标（1）通过函数变形和顶点坐标求解焦点坐标；（2）通过求解焦距和顶点坐标求解焦点坐标。
4.范围问题（1）利用二次函数图像的开启方向和极值，确定二次函数的定义域和值域；（2）利用二次函数图像的顶点坐标和对称性，确定二次函数的定义域和值域。
以上是二次函数的重点和难点的总结，包括求解根的方法、二次函数图像的性质以及应用题目的解法。
重难点 二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题(解析版)--2024年中考数学
重难点二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题目录题型01利用二次函数解决单线段的最值问题题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题题型03利用二次函数解决两条线段之差的最值问题题型04利用二次函数解决三条线段之和的最值问题题型05利用二次函数解决三角形周长的最值问题题型06利用二次函数解决四边形周长的最值问题题型07利用二次函数解决图形面积的最值问题类型一利用割补、拼接法解决面积最值问题类型二利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题类型三构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题题型08利用二次函数解决定值问题题型01利用二次函数解决单线段的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意：①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确．1(2022·辽宁朝阳·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，-3)，连接BC．(1)求抛物线的解析式及点B 的坐标．(2)如图，点P 为线段BC 上的一个动点(点P 不与点B ，C 重合)，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，求线段PQ 长度的最大值．(3)动点P 以每秒2个单位长度的速度在线段BC 上由点C 向点B 运动，同时动点M 以每秒1个单位长度的速度在线段BO 上由点B 向点O 运动，在平面内是否存在点N ，使得以点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3，(-3，0)(2)94(3)-3,-32或(-2，1)或0,3-32【分析】(1)将A ，C 两点坐标代入抛物线的解析式求得a ，c 的值，进而得出解析式，当y =0时，求出方程的解，进而求得B 点坐标；(2)由B ，C 两点求出BC 的解析式，进而设出点P 和点Q 坐标，表示出PQ 的长，进一步得出结果；(3)要使以点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，只需△PMB 是等腰三角形，所以分为PM =BM ，PM =PB 和BP =BM ，结合图象，进一步得出结果．【详解】(1)解：把点A (1，0)，C (0，-3)代入y =ax 2+2x +c 得：c =-3a +2×1+c =0 ，解得：c =-3a =1 ，∴抛物线解析式为y =x 2+2x -3；令y =0，则x 2+2x -3=0，解得：x 1=1,x 2=-3，∴点B 的坐标为(-3，0)；(2)解：设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B (-3，0)，C (0，-3)代入得：b =-3-3k +b =0 ，解得：k =-1b =-3 ，∴直线BC 的解析式为y =-x -3，设点P m ,-m +3 ，则Q m ,m 2+2m -3 ，∴PQ =-m -3 -m 2+2m -3 =-m 2-3m =-m +322+94，∴当m =-32时，PQ 最大，最大值为94；(3)解：存在，根据题意得：PC =2t ,BM =t ，则PB =32-2t ，如图，当BM =PM 时，∵B (-3，0)，C (0，-3)，∴OB =OC =3，∴∠OCB =∠OBC =45°，延长NP 交y 轴于点D ，∵点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，∴PN ∥x 轴，BN ∥PM ，即DN ⊥y 轴，∴△CDP 为等腰直角三角形，∴CD =PD =PC ⋅sin ∠OCB =2t ×22=t ，∵BM =PM ，∴∠MPB =∠OBC =45°，∴∠PMO =∠PDO =∠MOD =90°，∴四边形OMPD 是矩形，∴OM =PD =t ，MP ⊥x 轴，∴BN ⊥x 轴，∵BM +OM =OB ，∴t +t =3，解得t =32，∴P -32,-32，∴N -3,-32；如图，当PM =PB 时，作PD ⊥y 轴于D ，连接PN ，∵点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，∴PN ⊥BM ，NE =PE ，∴BM =2BE ，∴∠OEP =∠DOE =∠ODP =90°，∴四边形PDOE 是矩形，∴OE =PD =t ，∴BE =3-t ，∴t =2(3-t )，解得：t =2，∴P (-2，-1)，∴N (-2，1)；如图，当PB =MB 时，32-2t =t ，解得：t =6-32，∴PN =BP =BM =6-32，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，∴PE ⊥PM ，∴∠EON =∠OEP =∠EPN =90°，∴四边形OEPN 为矩形，∴PN =OE ，PN ⊥y 轴，∵∠OBC =45°，∴BE =PE =PB ⋅sin ∠OBC =6-32 ×22=32-3，∴OE =OB -BE =3-32-3 =6-32，∴点N 在y 轴上，∴N 0,3-32 ，综上所述，点N 的坐标为-3,-32或(-2，1)或0,3-32 ．【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形．2(2021·西藏·统考中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点．与y 轴交于点C ．且点A 的坐标为(-1，0)，点C 的坐标为(0，5)．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图(甲)．若点P 是第一象限内抛物线上的一动点．当点P 到直线BC 的距离最大时，求点P 的坐标；(3)图(乙)中，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2+4x +5；(2)P 52，354；(3)存在，M 的坐标为：(3，8)或(-3，-16)或(7，-16)．【分析】(1)将A 的坐标(-1，0)，点C 的坐(0，5)代入y =-x 2+bx +c ，即可得抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5；(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，由y =-x 2+4x +5可得B (5，0)，故OB =OC ，△BOC 是等腰直角三角形，可证明△PHQ 是等腰直角三角形，即知PH =PQ2，当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y =kx +5，将B (5，0)代入得直线BC 解析式为y =-x +5，设P (m ，-m 2+4m +5)，(0<m <5)，则Q (m ，-m +5)，PQ =-m -52 2+254，故当m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC的距离最大，此时P 52，354 ；(3)抛物线y =-x 2+4x +5对称轴为直线x =2，设M (s ，-s 2+4s +5)，N (2，t )，而B (5，0)，C (0，5)，①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，可列方程组s +22=5+02-s 2+4s +5+t 2=0+52，即可解得M (3，8)，②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，同理可得s +52=2+02-s 2+4s +4+02=t +52，解得M (-3，-16)，③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，则s +02=2+52-s 2+4s +5+52=t +02，解得M (7，-16)．【详解】解：(1)将A 的坐标(-1，0)，点C 的坐(0，5)代入y =-x 2+bx +c 得：0=-1-b +c 5=c ，解得b =4c =5 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5；(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，如图：在y =-x 2+4x +5中，令y =0得-x 2+4x +5=0，解得x =5或x =-1，∴B (5，0)，∴OB =OC ，△BOC 是等腰直角三角形，∴∠CBO =45°，∵PD ⊥x 轴，∴∠BQD =45°=∠PQH ，∴△PHQ 是等腰直角三角形，∴PH =PQ2，∴当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y =kx +5，将B (5，0)代入得0=5k +5，∴k =-1，∴直线BC 解析式为y =-x +5，设P (m ，-m 2+4m +5)，(0<m <5)，则Q (m ，-m +5)，∴PQ =(-m 2+4m +5)-(-m +5)=-m 2+5m =-m -52 2+254，∵a =-1<0，∴当m =52时，PQ 最大为254，∴m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC 的距离最大，此时P 52，354；(3)存在，理由如下：抛物线y =-x 2+4x +5对称轴为直线x =2，设M (s ，-s 2+4s +5)，N (2，t )，而B (5，0)，C (0，5)，①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，如图：∴s +22=5+02-s 2+4s +5+t2=0+52，解得s =3t =-3 ，∴M (3，8)，②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，如图：∴s +52=2+02-s 2+4s +4+02=t +52，解得s=-3t =-21 ，∴M (-3，-16)，③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，如图：s +02=2+52-s 2+4s +5+52=t +02，解得s =7t =-11 ，∴M (7，-16)；综上所述，M 的坐标为：(3，8)或(-3，-16)或(7，-16)．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、等腰直角三角形、平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．3(2021·山东泰安·统考中考真题)二次函数y =ax 2+bx +4(a ≠0)的图象经过点A (-4,0)，B (1,0)，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ．(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC ，当∠DPB =2∠BCO 时，求直线BP 的表达式；(3)请判断：PQQB是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理由．【答案】(1)y =-x 2-3x +4；(2)y =-158x +158；(3)PQ QB有最大值为45，P 点坐标为(-2,6)【分析】(1)将A (-4,0)，B (1,0)代入y =ax 2+bx +4(a ≠0)中，列出关于a 、b 的二元一次方程组，求出a 、b 的值即可；(2)设BP 与y 轴交于点E ，根据PD ⎳y 轴可知，∠DPB =∠OEB ，当∠DPB =2∠BCO ，即∠OEB =2∠BCO ，由此推断△OEB 为等腰三角形，设OE =a ，则CE =4-a ，所以BE =4-a ，由勾股定理得BE 2=OE 2+OB 2，解出点E 的坐标，用待定系数法确定出BP 的函数解析式即可；(3)设PD 与AC 交于点N ，过B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ．由A 、C 两点坐标可得AC 所在直线表达式，求得M 点坐标，则BM =5，由BM ⎳PN ，可得△PNQ ∽△BMQ ，PQ QB=PN BM =PN5，设P (a 0,-a 20-3a 0+4)(-4<a 0<0)，则N (a 0,a 0+4)PQ QB =-a 20-3a 0+4-(a 0+4)5=-a 20-4a 05=-(a 0+2)2+45，根据二次函数性质求解即可．【详解】解：(1)由题意可得：a ⋅(-4)2+b ⋅(-4)+4=0a +b +4=0解得：a =-1b =-3 ，∴二次函数的表达式为y =-x 2-3x +4；(2)设BP 与y 轴交于点E ，∵PD ⎳y 轴，∴∠DPB =∠OEB ，∵∠DPB =2∠BCO ，∴∠OEB =2∠BCO ，∴∠ECB =∠EBC ，∴BE =CE ，设OE =a ，则CE =4-a ，∴BE =4-a ，在Rt △BOE 中，由勾股定理得BE 2=OE 2+OB 2，∴(4-a )2=a 2+12解得a =158，∴E 0,158，设BE 所在直线表达式为y =kx +e (k ≠0)∴k ⋅0+e =158,k ⋅1+e =0.解得k =-158,e =158. ∴直线BP 的表达式为y =-158x +158．(3)设PD 与AC 交于点N ．过B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ．由A 、C 两点坐标分别为(-4,0)，(0,4)可得AC 所在直线表达式为y =x +4∴M 点坐标为(1,5)，BM =5由BM ⎳PN ，可得△PNQ ∽△BMQ ，∴PQ QB=PN BM =PN 5设P (a 0,-a 20-3a 0+4)(-4<a 0<0)，则N (a 0,a 0+4)∴PQ QB=-a 20-3a 0+4-(a 0+4)5=-a 20-4a 05=-(a 0+2)2+45，∴当a 0=-2时，PQQB 有最大值0.8，此时P 点坐标为(-2,6)．【点睛】本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广，难度较大，属于中考压轴题．4(2020·辽宁阜新·中考真题)如图，二次函数y =x 2+bx +c 的图象交x 轴于点A -3,0 ，B 1,0 ，交y 轴于点C ．点P m ,0 是x 轴上的一动点，PM ⊥x 轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)①若点P 仅在线段AO 上运动，如图1．求线段MN 的最大值；②若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3；(2)①94，②存在，Q 1(0,-32-1),Q 2(0,32-1)【分析】(1)把A (-3,0),B (1,0)代入y =x 2+bx +c 中求出b ，c 的值即可；(2)①由点P m ,0 得M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ，从而得MN =(-m -3)-m 2+2m -3 ，整理，化为顶点式即可得到结论；②分MN =MC 和MC =2MN 两种情况，根据菱形的性质得到关于m 的方程，求解即可．【详解】解：(1)把A (-3,0),B (1,0)代入y =x 2+bx +c 中，得0=9-3b +c ,0=1+x +c .解得b =2,c =-3. ∴y =x 2+2x -3．(2)设直线AC 的表达式为y =kx +b ，把A (-3,0),C (0,-3)代入y =kx +b ．得，0=-3k +b ,-3=b . 解这个方程组，得k =-1,b =-3. ∴y =-x -3．∵点P m ,0 是x 轴上的一动点，且PM ⊥x 轴．∴M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ． ∴MN =(-m -3)-m 2+2m -3 =-m 2-3m=-m +32 2+94．∵a =-1<0，∴此函数有最大值．又∵点P 在线段OA 上运动，且-3<-32<0∴当m =-32时，MN 有最大值94． ②∵点P m ,0 是x 轴上的一动点，且PM ⊥x 轴．∴M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ． ∴MN =(-m -3)-m 2+2m -3 =-m 2-3m(i )当以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形，则有MN =MC ，如图，∵C (0，-3)∴MC =(m -0)2+(-m -3+3)2=2m 2∴-m 2-3m =2m 2整理得，m 4+6m 3+7m 2=0∵m 2≠0，∴m 2+6m +7=0，解得，m 1=-3+2，m 2=-3-2∴当m =-3+2时，CQ =MN =32-2，∴OQ =-3-(32-2)=-32-1∴Q (0，-32-1)；当m =-3-2时，CQ =MN =-32-2，∴OQ =-3-(-32-2)=32-1∴Q (0，32-1)；(ii )若MC =2MN ，如图，则有-m 2-3m =22×2m 2整理得，m 2+4m =0解得，m 1=-4，m 2=0(均不符合实际，舍去)综上所述，点Q 的坐标为Q 1(0,-32-1),Q 2(0,32-1)【点睛】本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是待定系数法；解(2)的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解(3)的关键是利用菱形的性质得出关于m 的方程，要分类讨论，以防遗漏．5(2020·天津·中考真题)已知点A (1,0)是抛物线y =ax 2+bx +m (a ,b ,m 为常数，a ≠0,m <0)与x 轴的一个交点．(1)当a =1,m =-3时，求该抛物线的顶点坐标；(2)若抛物线与x 轴的另一个交点为M (m ,0)，与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l 平行于x 轴，E 是直线l 上的动点，F 是y 轴上的动点，EF =22．①当点E 落在抛物线上(不与点C 重合)，且AE =EF 时，求点F 的坐标；②取EF 的中点N ，当m 为何值时，MN 的最小值是22？【答案】(1)抛物线的顶点坐标为(-1,-4)；(2)①点F 的坐标为(0,-2-7)或(0,-2+7)；②当m 的值为-32或-12时，MN 的最小值是22．【分析】(1)根据a =1,m =-3，则抛物线的解析式为y =x 2+bx -3，再将点A (1，0)代入y =x 2+bx -3，求出b 的值，从而得到抛物线的解析式，进一步可求出抛物线的顶点坐标；(2)①首先用含有m 的代数式表示出抛物线的解析式，求出C (0,m )，点E (m +1,m ).过点A 作AH ⊥l 于点H ,在Rt △EAH 中，利用勾股定理求出AE 的值，再根据AE =EF ，EF =22，可求出m 的值，进一步求出F 的坐标；②首先用含m 的代数式表示出MC 的长，然后分情况讨论MN 什么时候有最值.【详解】解：(1)当a =1，m =-3时，抛物线的解析式为y =x 2+bx -3．∵抛物线经过点A (1,0)，∴0=1+b-3．解得b=2．∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3．∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4，∴抛物线的顶点坐标为(-1,-4)．(2)①∵抛物线y=ax2+bx+m经过点A(1,0)和M(m,0)，m<0，∴0=a+b+m，0=am2+bm+m，即am+b+1=0．∴a=1，b=-m-1．∴抛物线的解析式为y=x2-(m+1)x+m．根据题意，得点C(0,m)，点E(m+1,m)．过点A作AH⊥l于点H．由点A(1,0)，得点H(1,m)．在Rt△EAH中，EH=1-(m+1)=-m，HA=0-m=-m，∴AE=EH2+HA2=-2m．∵AE=EF=22，∴-2m=22．解得m=-2．此时，点E(-1,-2)，点C(0,-2)，有EC=1．∵点F在y轴上，∴在Rt△EFC中，CF=EF2-EC2=7．∴点F的坐标为(0,-2-7)或(0,-2+7)．②由N是EF的中点，得CN=12EF=2．根据题意，点N在以点C为圆心、2为半径的圆上．由点M(m,0)，点C(0,m)，得MO=-m，CO=-m．∴在Rt△MCO中，MC=MO2+CO2=-2m．当MC≥2，即m≤-1时，满足条件的点N落在线段MC上，MN的最小值为MC-NC=-2m-2=22，解得m=-3 2；当MC<2，-1<m<0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NC-MC=2-(-2m)=22，解得m=-1 2．∴当m的值为-32或-12时，MN的最小值是22．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．．6(2023·重庆·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B3,0，C0,-3．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF 为腰的△QEF 是等腰三角形的点Q 的坐标，并把求其中一个点Q 的坐标的过程写出来．【答案】(1)y =14x 2+14x -3(2)PD 取得最大值为45，P -2,-52 (3)Q 点的坐标为92,-1 或92,5 或92,74．【分析】(1)待定系数法求二次函数解析式即可求解；(2)直线AC 的解析式为y =-34x -3，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点Q ，设P t ,14t 2+14t -3 ，则Q t ,-34t -3 ，则PD =45PQ ，进而根据二次函数的性质即可求解；(3)根据平移的性质得出y =14x -92 2-4916，对称轴为直线x =92，点P -2,-52 向右平移5个单位得到E 3,-52 ，F 0,2 ，勾股定理分别表示出EF 2,QE 2,QF 2，进而分类讨论即可求解．【详解】(1)解：将点B 3,0 ，C 0,-3 ．代入y =14x 2+bx +c 得，14×32+3b +c =0c =-3解得：b =14c =-3 ，∴抛物线解析式为：y =14x 2+14x -3，(2)∵y =14x 2+14x -3与x 轴交于点A ，B ，当y =0时，14x 2+14x -3=0解得：x 1=-4,x 2=3，∴A -4,0 ,∵C 0,-3 ．设直线AC 的解析式为y =kx -3，∴-4k -3=0解得：k =-34∴直线AC 的解析式为y =-34x -3，如图所示，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点Q ，设P t ,14t 2+14t -3 ，则Q t ,-34t -3 ，∴PQ =-34t -3-14t 2+14t -3 =-14t 2-t ，∵∠AQE =∠PQD ，∠AEQ =∠QDP =90°，∴∠OAC =∠QPD ，∵OA =4,OC =3，∴AC =5，∴cos ∠QPD =PD PQ =cos ∠OAC =AO AC=45，∴PD =45PQ =45-14t 2-t =-15t 2-45t =-15t +2 2+45，∴当t =-2时，PD 取得最大值为45，14t 2+14t -3=14×-2 2+14×-2 -3=-52，∴P -2,-52 ；(3)∵抛物线y =14x 2+14x -3=14x +12 2-4916将该抛物线向右平移5个单位，得到y =14x -92 2-4916，对称轴为直线x =92，点P -2,-52 向右平移5个单位得到E 3,-52 ∵平移后的抛物线与y 轴交于点F ，令x =0，则y =14×92 2-4916=2，∴F 0,2 ,∴EF 2=32+2+52 2=1174∵Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．则Q 点的横坐标为92，设Q 92,m ，∴QE 2=92-3 2+m +52 2，QF 2=92 2+m -2 2，当QF =EF 时，92 2+m -2 2=1174，解得：m =-1或m =5，当QE =QF 时，92-3 2+m +522=92 2+m -2 2，解得：m =74综上所述，Q 点的坐标为92,-1 或92,5 或92,74．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：2. 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”，解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点. 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等.【常见模型一】(两点在河的异侧)：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
二次函数及其图像教案
二次函数及其图像教案一、教学目标：1. 让学生理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式；2. 培养学生利用配方法、顶点式求解二次函数的能力；3. 让学生熟悉二次函数的图像特点，理解二次函数图像与系数之间的关系；4. 培养学生解决实际问题的能力，提高学生对二次函数的应用意识。
二、教学内容：1. 二次函数的概念及一般形式；2. 配方法求解二次函数；3. 顶点式求解二次函数；4. 二次函数的图像特点；5. 二次函数图像与系数之间的关系。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：二次函数的概念、一般形式，配方法、顶点式求解二次函数，二次函数的图像特点；2. 教学难点：配方法、顶点式求解二次函数的运用，二次函数图像与系数之间的关系。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探究二次函数的性质；2. 利用数形结合法，让学生直观地理解二次函数的图像特点；3. 运用实例分析法，培养学生解决实际问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过复习一次函数、正比例函数的图像，引导学生思考二次函数的概念及图像特点；2. 讲解二次函数的概念及一般形式，让学生掌握二次函数的基本知识；3. 运用配方法求解二次函数，让学生理解配方法的原理及步骤；4. 运用顶点式求解二次函数，让学生掌握顶点式的运用方法；5. 分析二次函数的图像特点，让学生了解二次函数图像的形状及对称性；6. 探讨二次函数图像与系数之间的关系，让学生理解系数对图像的影响；7. 运用实例分析，让学生解决实际问题，提高应用意识；8. 课堂小结，梳理本节课的主要知识点；9. 布置作业，巩固所学内容。
六、教学活动：1. 让学生通过数学软件或图形计算器绘制二次函数图像，观察图像与系数之间的关系；2. 组织小组讨论，让学生分享各自绘制二次函数图像的心得，探讨如何快速判断二次函数的图像特点；3. 安排课堂练习，让学生运用所学知识解决实际问题，如：抛物线射击、最大（小）值问题等。
突破初三数学难点：二次函数教案课堂实践建议
近年来，二次函数成为初三数学中的一大难点，相信很多学生和家长都深有体会。
面对这个难点，老师的教学方法和策略也需不断更新与改进。
本文将针对二次函数教学，分享一些课堂实践建议，帮助学生和教师共同突破这个难点。
一、加强理论知识讲解为了让学生更好地掌握二次函数知识，教师需要对二次函数的相关理论知识进行详细讲解。
介绍二次函数的定义和图像特征，包括开口方向、最值和对称轴等。
接着，教师还需讲解二次函数的求根公式、顶点公式和特殊情况的解法，这样有助于学生深入理解二次函数的相关知识。
二、注重举例和实战演练教师在讲解二次函数的理论知识后，需要注重实战演练，结合具体例子进行练习。
在课堂上，教师可以先给出一些简单的例题，让学生自己推导解题过程，一道一道的加难度。
通过实战演练，学生会更好地掌握二次函数的解题技巧，同时也能加深学生对二次函数知识的理解。
三、运用多媒体和工具在课堂上，教师可以使用多媒体和工具来辅助二次函数教学。
比如可以使用投影仪把二次函数的图像呈现在大屏幕上，让学生更清晰地看到二次函数的特征和变化，帮助学生更好地理解和记忆知识。
同时，也可以使用相关的软件或者工具来辅助学生解题，如Geogebra 等。
四、加强练习和作业针对二次函数的难点，教师需要加强练习和作业，让学生在不断的练习中巩固和提高二次函数知识。
在课堂上，教师可以提供足够的练习题，并在下课后布置相关作业让学生巩固所学知识。
同时，也要注意及时批改作业和试卷，帮助学生及时发现和纠正错误，及时解决问题。
二次函数作为初三数学中的重点难点，需要教师在教学中注重方法和策略，并结合学生的学情和特点，提供合适的教学和辅助工具，让学生更好地掌握二次函数知识，提高数学成绩，为学生的未来发展打下坚实的基础。
《二次函数图像》重难点教学
课题：《二次函数的图象》难点教学教学目标：1、会用描点法画出二次函数的图象；2、根据图象观察、分析出二次函数的性质；3、进一步理解二次函数和抛物线的有关知识4、渗透数形结合的数学思想方法，培养观察能力和分析问题的能力；5、培养学生勇于探索创创新及实事求是的科学精神.教学重点：根据图象，观察、分析出二次函数的性质教学难点：渗透数形结合的数学思想方法教学用具：直尺、几何画板教学过程：1、列表、描点画出函数与图象，引入新课2、根据图象发现问题，由学生探索出新知识.提问：你能从图象中发现抛物线是哪些性质？这两个函数图象有何异同？（1）这两个函数的图象都关于y轴对称.这一点可以从刚才的列表中可以看出，时所对应的y值分别相等，如等.这样的两个点关于y轴对称.由这些点构成的抛物线也关于y轴对称.从解析式中也可以得出这个结论：互为相反数的两个数的平方数相等，因此，这两个函数的图象都是关于y轴对称的.（2）从图中可以看出，x可取x轴上的任意一点，而y对应的是大于、等于零的数.即抛物线有最低点（0，0）.这一点可以从解析式中得到很好的解释，可取任意实数. 图象开口向上.这也说明数与形是数学中的两条线索，它们是互相对应的，反映了数形结合的思想.（3）从图中也可以看出抛物线不同于我们以前学过的正比例函数和一次函数，这两个函数的图象都是直线，而抛物线是曲线，有一个拐弯，函数的图象都在最低点拐了一个弯.这样它们的性质几发生了变化.在y轴的左侧，从左向右呈下坡趋势，即y随x的增大而减小；在y轴的右侧，从左向右，呈上坡趋势，即y随x的增大而增大.这一变化趋势也可以从列表中看出. （4）这两个图象除以上相同之处外，还有不同的地方.如：离y轴近，离y轴远.从列表中可以看出：如过点（2，2），过点（2，8）也就是说，当x=2时，图象所对应的点高于所对应的点.因此会有上述的结论.3、画出函数的图象与中的a都是正数，当a<0时，图象会是什么样子呢？4、从函数图象入手，再次总结二次函数的性质(1)与刚才两个图象不同的是，的图象开口向下.这是因为x是任意实数。
初中数学《二次函数》重难点题型汇编含解析
二次函数重难点题型汇编【题型01：二次函数的概念】【题型02：二次函数的条件】【题型03：列处二次函数关系式】【题型04：特殊二次函数的图像和性质】【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】【题型06：二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质】【题型07：二次函数y=ax2+bx+c的最值与求参数范围问题】【题型08：根据二次函数y=ax2+bx+c的图像判断有关的信息】【题型09：二次函数的平移变换】【题型10：二次函数的交点个数问题】【题型01：二次函数的概念】1下列函数是关于x的二次函数的是()A.y=x2+1x2B.y=x1-xC.y=x+12-x2 D.y=ax2+bx+c【答案】B【分析】本题考查了二次函数的定义，根据形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的函数是二次函数，判断即可，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．【详解】解：A、y=x2+1x2的分母含有自变量，不是y关于x的二次函数，故A不符合题意；B、y=x1-x=-x2+x，是y关于x的二次函数，故B符合题意；C、y=x+12-x2=2x+1，不是y关于x的二次函数，故C不符合题意；D、y=ax2+bx+c，当a=0时不是二次函数，故D不符合题意；故选：B．2下列各式中，是二次函数的是()A.y=2x+1B.y=-2x+1C.y=x2+2D.y=2x2-1x【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．【详解】解：A、y=2x+1，是一次函数，故本选项不合题意；B、y=-2x+1，是一次函数，故本选项不合题意；C、y=x2+2，是二次函数，故本选项符合题意；D、y=2x2-1x，右边中-1x不是整式，不是二次函数，故本选项不合题意．故选：C．3下列函数解析式中，y是x的二次函数的是()A.y=ax2+bx+cB.y=-5x+1C.y=-23x2+x-34D.y=2x2-1x【答案】C【分析】根据：形如y=ax2+bx+c a≠0，这样的函数叫做二次函数，进行判断即可．【详解】解：A、当a=0时，y=ax2+bx+c不是二次函数，不符合题意；B、y=-5x+1，是一次函数，不是二次函数，不符合题意；C、y=-23x2+x-34，是二次函数，符合题意；D、y=2x2-1x，不是二次函数，不符合题意；故选C．4如图，分别在正方形ABCD边AB、AD上取E、F点，并以AE、AF的长分别作正方形．已知DF= 3,BE=5．设正方形ABCD的边长为x，阴影部分的面积为y，则y与x满足的函数关系是()A.一次函数关系B.二次函数关系C.正比例函数关系D.反比例函数关系【答案】A【分析】本题考查函数关系的识别，完全平方公式，列函数关系式，根据题意表示出AE、AF的长度，再结合阴影部分的面积等于以AE、AF的长的正方形的面积之差可得y=4x-16，理解题意，列出函数关系式是解决问题的关键．【详解】解：由题意可得：AE=AB-BE=x-5，AF=AD-DF=x-3，则阴影部分的面积为y=x-32-x-52=x2-6x+9-x2+10x-25=4x-16，即：y=4x-16，为一次函数，故选：A．【题型02：二次函数的条件】5抛物线y=ax2+a-2x-a-1经过原点，那么a的值等于()A.0B.1C.-1D.35【答案】C【分析】本题考查了抛物线与点的关系，熟练掌握把(0,0)代入函数解析式，求解关于a的一元一次方程是解题的关键．【详解】解：∵抛物线y=ax2+a-2x-a-1经过原点，∴a≠0-a-1=0，解得：a=-1，故选C．6已知y=m-1x m2+1-2x+5是二次函数，则m的值为()A.1或-1B.1C.-1D.0【答案】C【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2即可求解．【详解】解：根据二次函数的定义：m2+1=2，且m-1≠0，解得：m=1或m=-1，又∵m≠1，∴m=-1，故选：C．7已知二次函数y=m-2x m2-2+3x+1，则m=．【答案】-2【分析】此题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c a≠0，这样的函数叫做二次函数，得到m-2≠0，m2-2=2，进行求解即可．解题的关键是熟练掌握二次函数的定义．【详解】解：∵函数y=m-2x m2-2+3x+1是二次函数，∴m-2≠0，m2-2=2，∴m=-2．故答案为：-2．【题型03：列处二次函数关系式】8某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为()A.y=91+x2 B.y=9+9x+x2C.y=9+91+x+91+x2 D.y=91+x2【答案】C【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式．根据题意得到二月的研发资金为：91+x，三月份新产品的研发资金为：91+x2，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金．【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：91+x，三月份新产品的研发资金为：91+x2，今年一季度新产品的研发资金y=9+91+x+91+x2，故选：C．9已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加xcm时，正方体的表面积增加ycm2，则y与x之间的函数关系式是()A.y=6x2-36xB.y=-6x2+36xC.y=x2+36xD.y=6x2+36x【答案】D【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意直接列式即可作答．【详解】根据题意有：y=6x+32-6×32=6x2+36x，故选：D．10某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为x元/件(7.5<x<13.5)时，获取利润y元，则y与x的函数关系为()A.y=x-7.5500+xB.y=13.5-x500+200xC.y=x-7.5500+200xD.以上答案都不对【答案】D【分析】当销售价为x元/件时，每件利润为(x-7.5)元，销售量为[500+200×(13.5-x)]，根据利润=每件利润×销售量列出函数关系式即可．【详解】解：由题意得w=(x-7.5)×[500+200×(13.5-x)]，故选：D．【点睛】题考查了根据实际问题列二次函数关系式，用含x的代数式分别表示出每件利润及销售量是解题的关键．11正方形边长3，若边长增加x，增加后正方形的面积为y，y与x的函数关系式为．【答案】y=x+32/y=3+x2【分析】本题考查了列二次函数关系式，根据正方形面积等于边长的平方，即可求解．【详解】解：依题意，y=x+32，故答案为：y=x+32．【题型04：特殊二次函数的图像和性质】12已知函数y=-(x-2)2的图象上有A-32,y1，B3,y2，C4,y3三点，则y1，y2，y3的大小关系是()A.y 1<y 2<y 3B.y 2<y 1<y 3C.y 1<y 3<y 2D.y 2<y 3<y 1【答案】C【分析】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可．【详解】解：∵函数y =-(x -2)2，∴图象开口向下，对称轴为直线x =2，∴图象上的点距离对称轴越近，函数值越大，2--32=72，3-2 =1，4-2 =2，∵1<2<72，∴y 1<y 3<y 2，故选：C ．13对于二次函数y =2x -1 2+3，下列说法正确的是()A.开口方向向下B.顶点坐标(1，-3)C.对称轴是y 轴D.当x =1时，y 有最小值【答案】D【分析】本题考查了二次函数的性质：根据抛物线的性质，由a =2得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为(1,3)，对称轴为直线x =1，当x =1时，y 有最小值3，再进行判断即可．【详解】解：二次函数y =2(x -1)2+3的图象开口向上，顶点坐标为(1,3)，对称轴为直线x =1，当x =1时，y 有最小值3．故选项D 正确，故选：D14下列抛物线中，对称轴为直线x =12的是()A.y =x -122B.y =12x 2C.y =x 2+12D.y =x +122-3【答案】A【分析】本题考查了抛物线求对称轴方程的公式：x =-b2a．利用抛物线对称轴的公式即可确定每一个函数的对称轴，然后即可确定选项．【详解】解：A 、y =x -122的对称轴为直线x =12，故选项符合题意．B 、y =12x 2的对称轴为直线x =0，故选项不符合题意．C 、y =x 2+12的对称轴为直线x =0，故选项不符合题意．D、y=x+122-3的对称轴为直线x=-12，故选项不符合题意．故选：A．15在二次函数y=-x-12+3的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是()A.x>-1B.x<-1C.x>1D.x<1【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；由题可知，函数图象开口向下，对称轴为x=1，在对称轴右侧，y随x的增大而减小；在对称轴左侧，y随x 的增大而增大，据此即可得到答案．【详解】解：由二次函数的解析式得，抛物线开口向下，对称轴为x=1，当x>1时，y 随 x 的增大而减小．故选：C ．16抛物线y=-2x+12+2的顶点的坐标是．【答案】(-1,2)【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式y=a(x-h)2+k的顶点坐标为h,k，即可求解．【详解】解：抛物线y=-2x+12+2的顶点坐标是(-1,2)，故答案为：(-1,2)．17点A-3,y1，B2,y2均在二次函数y=-x2+2的图象上，则y1y2．(填“>”或“<”)【答案】<【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据开口向下的二次函数，离对称轴越远函数值越小进行求解即可．【详解】解：∵二次函数解析式为y=-x2+2，∴二次函数开口向下，对称轴为y轴，∴离对称轴越远函数值越小，∵0--3=3>2-0=2，∴y1<y2，故答案为：<．【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】18如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=12x2的图象，C2是函数y=-12x2的图象，则阴影部分的面积是()A.4πB.2πC.πD.无法确定【答案】B【分析】据函数y =12x 2与函数y =-12x 2的图象关于x 轴对称，得出阴影部分面积即是半圆面积求出即可．【详解】解：∵C 1是函数y =-12x 2的图象，C 2是函数y =-12x 2的图象，且当x 相等时，两个函数的函数值互为相反数，∴函数y =12x 2的图象与函数y =-12x 2的图象关于x 轴对称，∴阴影部分面积即是半圆面积，∴面积为：12π×22=2π．故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象，根据已知得出阴影部分面积即是半圆面积是解题关键．19如图，已知点A 1,A 2,...,A 2024在函数y =2x 2位于第二象限的图像上，点B 1,B 2,...,B 2024在函数y =2x 2位于第一象限的图像上，点C 1,C 2,...,C 2024在y 轴的正半轴上，若四边形O 1A 1C 1B 1,C 1A 2C 2B 2,...,C 2023A 2024C 2024B 2024都是正方形，则正方形C 2023A 2024C 2024B 2024的边长为()A.1012B.10122C.20232D.202322【答案】B【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得OB 1与y 轴的夹角为45°，然后表示出OB 1的解析式，再与抛物线解析式联立求出点B 1的坐标，然后求出OB 1的长，再根据正方形的性质求出OC 1，表示出C 1B 2的解析式，与抛物线联立求出B 2的坐标，然后求出C 1B 2的长，再求出C 1C 2的长，然后表示出C 2B 3的解析式，与抛物线联立求出B 3的坐标，然后求出C 2B 3的长，从而根据边长的变化规律解答即可．【详解】解：∵OA 1C 1B 1是正方形，∴OB 1与y 轴的夹角为45°，∴OB 1的解析式为y =x ，联立方程组得：y =xy =2x 2 ，解得x 1=0y 1=0 ，x 2=12y 2=12．∴B 点的坐标是：12，12，∴OB 1=122+122=22=1×22；同理可得：正方形C 1A 2C 2B 2的边长C 1B 2=2×22；⋯依此类推，正方形C 2023A 2024C 2024B 2024的边长是为2024×22=10122．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键．20如图，正方形OABC 有三个顶点在抛物线y =14x 2上，点O 是原点，顶点B 在y 轴上则顶点A 的坐标是()A.2,2B.2,2C.4,4D.22,22【答案】C【分析】连接AC 交y 轴于点D ，设点B 坐标为0,m ，根据正方形的性质可得OD =12m ,AD =12m ，从而得到A 12m ,12m，再代入y =14x 2，即可求解．【详解】解：如图，连接AC 交y 轴于点D ，设点B 坐标为0,m ，∵四边形OABC 是正方形，∴OD =12OB ,CD =AD ,AC ⊥y 轴，∴OD =12m ,AD =12m ，∴A 12m ,12m，∵A 在抛物线y =14x 2上，∴12m =14×12m 2，解得m =0(舍去)或8，∴点A 的坐标为4,4 ．故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正方形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．21如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 、B 、C 的坐标分别为1,1 、1,4 、4,4 ．若抛物线y =ax 2的图象与正方形ABCD 有公共点，则a 的取值范围是．【答案】116≤α≤4【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，求出抛物线经过两个特殊点时的a 的值即可解决问题．【详解】解：∵正方形ABCD 的顶点A 、B 、C 的坐标分别为1,1 、1,4 、4,4 ．∴D 4，1 ，当抛物线经过点B 1,4 时，则a =4，当抛物线经过D4,1时，a=1 16，观察图象可知，抛物线y=ax2的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是116≤α≤4，故答案为：116≤α≤4．【题型06：二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质】22将抛物线y=x2-4x+3绕原点O顺时针旋转180°，则旋转后的函数表达式为()A.y=x2+4x-3B.y=-x2+4x+3C.y=-x2-4x-3D.y=-x2+4x-3【答案】C【分析】本题考查了二次函数的旋转变换，熟练掌握二次函数的性质和旋转的性质是解题的关键．设P x,y为旋转之后所得抛物线上的一点，P绕原点O顺时针旋转180°点P -x,-y，则P 是在旋转后的抛物线上，然后代入化简即可解答．【详解】解：设P x,y为旋转之后所得抛物线上的一点，P绕原点O顺时针旋转180°点P -x,-y，由题意可知：P -x,-y是在抛物线y=x2-4x+3上，即：-y=x2+4x+3，化简得：y=-x2-4x-3．故选C．23直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是()A. B. C. D.【答案】D【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中a和b的正负情况和二次函数图象中a、b的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【详解】解：A、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b<0，故选项不符合题意；B、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b<0，故选项不符合题意；C、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b>0，ab>0，而抛物线对称轴位于y轴右侧，则ab<0，故选项不符合题意；D、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b>0，对称轴位于y轴左侧，则ab>0，故选项符合题意；故选：D．24已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表，x⋯-4-2035⋯y ⋯-24-80-3-15⋯则下列关于这个二次函数的结论正确的是()A.图象的开口向上B.当x >0时，y 的值随x 的值增大而增大C.图象经过第二、三、四象限D.图象的对称轴是直线x =1【答案】D【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．【详解】解：由题意得4a -2b +c =-8c =09a +3b +c =-3 ，解得a =-1c =0b =2，∴二次函数的解析式为y =-x 2+2x =-x -1 2+1，∵a =-1<0，∴图象的开口向下，故选项A 不符合题意；图象的对称轴是直线x =1，故选项D 符合题意；当0<x <1时，y 的值随x 的值增大而增大，当x >1时，y 的值随x 的值增大而减小，故选项B 不符合题意；∵顶点坐标为1,1 且经过原点，图象的开口向下，∴图象经过第一、三、四象限，故选项C 不符合题意；故选：D ．25如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P ，Q 都在x 轴上，平行于x 轴的直线与两条抛物线相交于A ，B ，C ，D 四点，若AB =10，BC =5，CD =6，则PQ 的长度为()A.7B.8C.9D.10【答案】B【分析】分别作出两条抛物线的对称轴PM ,QN ，交AD 于点M ，N ，得四边形PMNQ 是矩形，利用抛物线的对称性计算即可．本题考查了抛物线的性质，矩形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．【详解】分别作出两条抛物线的对称轴PM ,QN ，交AD 于点M ，N ，∴四边形PMNQ 是矩形，∴MN =PQ ，∵AB=10，BC=5，CD=6，∴MA=MC=12AC=12AB+BC=152，BN=ND=12BD=12CD+BC=112，∴MN=AD-AM-ND=AB+BC+CD-AM-ND，=21-112-152=8，∴PQ=8，故选B．26二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2-bx+a=0的根的情况是()A.只有一个实数根B.没有实数根C.有两个不相等的实数根D.有两个相等的实数根【答案】C【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程的判别式，首先根据二次函数的图象得到a<0，b>0，然后判断一元二次方程的判别式求解即可．【详解】∵二次函数图象开口向下，对称轴大于零，∴a<0，-b2a>0∴b>0∴方程x2-bx+a=0的判别式Δ=b2-4ac=-b2-4×1×a=b2-4a>0∴关于x的一元二次方程x2-bx+a=0的根的情况是有两个不相等的实数根．故选：C．27抛物线y=x2+14x+54的顶点坐标是()A.7,5B.7,-5C.-7,5D.-7,-5【答案】C【分析】依据题意，由抛物线为y=x2+14x+54=(x+7)2+5，从而可以判断得解．本题主要考查了二次函数图象与性质，解题时要熟练掌握并能利用顶点式进行判断是关键．【详解】解：由题意，∵抛物线为y=x2+14x+54=(x+7)2+5，∴顶点为-7,5．故选：C．28用配方法将二次函数y=-x2-2x-3化为y=a x-h2+k的形式为()A.y=-x-12-2 D.y=x-12+22-4 C.y=-x+12+3 B.y=x+1【答案】C【分析】本题考查了二次函数的三种表达形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．运用配方法即可将其化为顶点式．【详解】解：y=-x2-2x-3=-x2+2x+1-2=-x+12-2故选：C．29如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P、点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为-1,0，则点Q的坐标为()A.0,-1D.3,0C.4,0B.2,0【答案】D【分析】本题考查二次函数的图象和性质，由题意可得点P、点Q关于对称轴对称即可求解．【详解】解：由题意得：点P、点Q关于对称轴对称，∴点Q的坐标为3,0，故选：D．【题型07：二次函数y=ax2+bx+c的最值与求参数范围问题】30已知抛物线y=-x2+2x+1在自变量x的值满足t≤x≤t+2时，与其对应的函数值y的最小值为-7，求此时t的值为()A.1或-2B.2或-2C.3或-1D.-1或-2【答案】B【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，分2种情况进行讨论求解即可．【详解】解：∵y=-x2+2x+1=-x-12+2，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1，∴抛物线的上的点离对称轴越远，函数值越小，∵t≤x≤t+2时，与其对应的函数值y的最小值为-7，分两种情况：①当t-1≤t+2-1时，即：t≥0时，当x=t+2时，y=-t+22+2t+2+1=-7，解得：t=-4(舍去)或t=2；②当t-1>t+2-1时，即：t<0时，当x=t时，y=-t2+2t+1=-7，解得：t=4(舍去)或t=-2；综上：t的值为2或-2；故选B．31已知二次函数y=x2-2x-1≤x≤t-1，当x=-1时，函数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值，则t的取值范围是()A.0<t≤2B.0<t≤4C.2≤t≤4D.t≥2【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由y=x2-2x=x-12-1，可知图象开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为1，-1，当x=-1时，y =3，即-1，3关于对称轴对称的点坐标为3，3，由当x=-1时，函数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值，可得1≤t-1≤3，计算求解，然后作答即可．【详解】解：∵y=x2-2x=x-12-1，∴图象开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为1，-1，当x=-1时，y=3，∴-1，3关于对称轴对称的点坐标为3，3，∵当x=-1时，函数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值，∴1≤t-1≤3，解得，2≤t≤4，故选：C．32已知抛物线y=x2+(2a-1)x-3，当-1≤x≤3时，函数最大值为1，则a值为()A.-12B.-13C.-12或-13D.-1或-13【答案】D【分析】根据顶点的位置分两种情况讨论即可．【详解】解：∵y=x2+(2a-1)x-3，∴图象开口向上，对称轴为直线x=-2a-12，∵-1≤x≤3，∴当-2a-12≤1时，即a≥-12，x=3时有最大值1，∴9+(2a-1)×3-3=1，∴a=-13，当-2a-12≥1时，即a≤-12，x=-1时有最大值1，∴1+(2a-1)×(-1)-3=1，∴a=-1，∴a=-1或-13，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数性质以及二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．33已知二次函数y=x-m2-1(m为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y 的最小值为3，则m的值为()A.0或3B.0或7C.3或4D.4或7【答案】B【分析】利用二次函数的性质，分三种情况求解即可．【详解】解：∵y=x-m2-1，∴当x=m时，y的最小值为-1．当m<2时，在2≤x≤5中，y随x的增大而增大，∴2-m2-1=3，解得：m1=0，m2=4(舍去)；当2≤m≤5时，y的最小值为-1，舍去；当m>5时，在2≤x≤5中，y随x的增大而减小，∴5-m2-1=3，解得：m1=3(舍去)，m2=7．∴m的值为0或7．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，分三种情况求解是解题的关键．34已知二次函数y=mx2-2mx+2(m≠0)在-2≤x≤2时有最小值-2，则m=()A.-4或-12B.4或-12C.-4或12D.4或12【答案】B【分析】本题考查了二次函数的性质，根据解析式可得对称轴为直线x=1，进而分m>0和m<0两种情况讨论，根据二次函数的性质，即可求解．【详解】解：∵二次函数解析式为y=mx2-2mx+2(m≠0)，∴二次函数对称轴为直线x=-2m-2m=1，当m>0时，∵在-2≤x≤2时有最小值-2，∴当x=1时，y=m-2m+2=-2，∴m=4；当m<0时，∵在-2≤x≤2时有最小值-2，∴当x=-2时，y=4m+4m+2=-2，∴m=-12；综上所述，m=4或m=-1 2，故选：B．35已知二次函数y=-x2-2x+2，当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3，则m的取值范围是()A.m≥-1B.m≤2C.-3≤m≤-1D.0≤m≤2【答案】C【分析】本题主要考查二次函数的性质，依据题意，由y=-x2-2x+2=-x+12+3，可得当x=-1时，y取最大值是3，又当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3，故m≤-1≤m+2，进而计算可以得解．【详解】解：由题意，∵y=-x2-2x+2=-x+12+3，∴当x=-1时，y取最大值是3．又当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3，∴m≤-1≤m+2．∴-3≤m≤-1．故选：C．【题型08：根据二次函数y=ax2+bx+c的图像判断有关的信息】36已知二次函数y=ax2+bx+c a≠0的图象如图所示，对称轴为x=32，且经过点-1,0，下列结论：①ab<0；②8b-3c=0；③若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．由对称轴为x =32即可判断①，由抛物线经过点-1,0 ，得出a -b +c =0，对称轴x =-b 2a =32，得出a =-13b ，代入即可判断②；根据二次函数的性质以及抛物线的对称性即可判断③．【详解】解：∵对称轴x =-b 2a =32，∴b =-3a ，∴ab =-3a 2<0，①正确；∵经过点-1,0 ，∴a -b +c =0，∵对称轴x =-b 2a =32，∴a =-13b ，∴-13b -b +c =0，∴3c =4b ，∴4b -3c =0，故②错误；∵对称轴x =32，∴点0,c 的对称点为3,c ，∵开口向上，∴y ≤c 时，0≤x ≤3．故③正确；综上所述，正确的有2个．故选：C ．37二次函数y =ax 2+bx +c 的图像如图所示，下列结论错误的是()A.y有最小值B.当-1<x<2时，y<0C.a+b+c>0D.当x<-1时，y随x的增大而减小【答案】C【分析】本题考查了抛物线的图像及其性质，根据性质，结合图像判断解答即可.【详解】解：A、由图像可知函数有最小值，故正确；B、由抛物线可知当-1<x<2时，y<0，故正确；C、当x=1时，y<0，即a+b+c<0，故错误；D、由图像可知在对称轴的左侧y随x的增大而减小，故正确.故选：C.38二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，与x轴左侧交点为-1,0，对称轴是直线x=1．下列结论：①abc>0；②3a+c>0；③a+c2-b2<0；④a+b≤m am+b(m为实数)．其中结论正确的为()A.①④B.②③④C.①②④D.①②③④【答案】A【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质是解题关键．根据抛物线开口方向，对称轴位置，以及与y轴交点位置，可判断①结论；由抛物线对称轴得到b=-2a，再结合当x=-1时，y= 0，可判断②结论；根据平方差公式展开，可判断③结论；根据抛物线的最小值，可判断④结论．【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在负半轴，∴a>0，a、b异号，c<0，∴b<0，∴abc>0，①结论正确；∵抛物线对称轴是直线x=1，=1，∴-b2a∴b=-2a，由图象可知，当x=-1时，y=0，∴a-b+c=a--2a+c=3a+c=0，②结论错误；由图象可知，当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，又∵a-b+c=0，∴a+ca+c-b=0，③结论错误；2-b2=a+c+b∵当x=1时，y=a+b+c为最小值，∴a+b+c≤am2+bm+c，∴a+b≤m am+b，④结论正确，故选：A．39已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()A.abc>0B.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是x1=-2，x2=3C.a+b=c-bD.a+4b=3c【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据二次函数的图象先判定a,b,c的符号，再结合对称轴求解抛物线与x轴的交点坐标，再进一步逐一分析即可．【详解】解：由函数图像可知开口向下，与y轴交于正半轴，∴a<0，c>0，∵对称轴为x=-b=1，2a∴b>0，∴abc <0，故A 不符合题意；∵抛物线与x 轴交于3,0 ，对称轴为直线x =1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为-1,0 ，∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的根是x 1=-1，x 2=3；故B 不符合题意；∵抛物线与x 轴交于3,0 ，-1,0 ，对称轴为直线x =1，∴b =-2aa -b +c =09a +3b +c =0，解得：b =-2ac =-3a ，∴∵a +b =a -2a =-a ，c -b =-3a --2a =-a ∴a +b =c -b ，故C 符合题意；∴a +4b =a +-8a =-7a ≠-9a ；∴a +4b =3c 错误，故D 不符合题意；故选：C ．40如图，二次函数y =ax 2+bx +c a ≠0 的图象与x 轴交于点A 3,0 ，与y 轴交于点B ，对称轴为直线x =1，下列四个结论：①bc <0；②3a +2c <0；③ax 2+bx ≥a +b ；④若-2<c <-1，则-83<a +b +c <-43，其中正确结论的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4【答案】C【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出c =-3a ，进一步得到13<a <23，又根据b =-2a 得到a +b +c =a -2a -3a =-4a ，即可判断④.【详解】解：①∵函数图象开口方向向上，∴a >0；∵对称轴在y 轴右侧，∴a 、b 异号，∴b <0，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c<0，∴bc>0，故①错误；②∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A3,0，与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，∴-b2a=1，∵b=-2a，∴x=-1时，y=0，∴a-b+c=0，∴3a+c=0，∴3a+2c<0，故②正确；③∵对称轴为直线x=1，a>0，∴y=a+b+c最小值，ax2+bx+c≥a+b+c，∴ax2+bx≥a+b，故③正确；④∵-2<c<-1，∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得x1x2=-1×3=-3=c a，∴c=-3a，∴-2<-3a<-1，∴1 3<a<23，∵b=-2a，∴a+b+c=a-2a-3a=-4a，∴-83<a+b+c<-43，故④正确；综上所述，正确的有②③④，故选：C【题型09：二次函数的平移变换】41将抛物线y=2(x+1)2-3向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线解析式为()A.y=2(x+3)2-4B.y=2(x+3)2-2C.y=2(x-1)2-2D.y=2x-1【答案】C【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y=2(x+1)2-3向右平移2个单位，向上平移1个单位得到的抛物线解析式是：y=2 (x+1-2)2-3+1，即y=2(x-1)2-2．故选：C．42将抛物线y=-3x2+2向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得到的抛物线为()A.y=-3(x-1)2-3B.y=-3(x-1)2-1C.y=-3(x+1)2-3D.y=-3(x+1)2-1【答案】D【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y=-3x2+2向左平移1个单位所得直线解析式为：y=-3(x+1)2+2；再向下平移3个单位为：y=-3(x+1)2+2-3，即y=-3(x+1)2-1．故选：D．【题型10：二次函数交点的个数问题】43如图所示，已知函数y1=x2x≤28xx>2的图象与一次函数y2=x+b的图象有三个交点，则b的取值范围是()A.-14≤b≤2 B.b>-14C.-14≤b<2 D.-14<b<2【答案】D【分析】此题考查了一次函数和二次函数图象交点问题，一元二次方程的判别式，首先根据题意画出图象，然后求出A2,4，代入y2=x+b求出b=2；然后得到当一次函数y2=x+b的图象与y=x2相切时，得到x2-x-b=0的Δ=b2-4ac=0，进而求出b=-14，然后根据图象求解即可．【详解】解：如图所示，当x=2时，函数y=x2=22=4，∴A2,4，当一次函数y2=x+b的图象经过点A时，∴4=2+b，解得b=2；当一次函数y2=x+b的图象与y=x2相切时，∴x2=x+b，即x2-x-b=0，∴Δ=b2-4ac=0，∴-12-4×1×-b=0，解得b=-1 4，∴由图象可得，当-14<b<2时，函数y1=x2x≤28xx>2的图象与一次函数y2=x+b的图象有三个交点．故选：D．44如图，二次函数y=-x2+x+2及一次函数y=x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线y=x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是()A.14<m<-3 B.254<m≤1 C.-2<m<1 D.-3<m<-2【答案】D【分析】如图所示，过点B作直线y=x+m，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数y=x+m在两条直线之间时，两个图象有4个交点，即可求解【详解】解：在y=-x2+x+2中，当y=0，0=-x2+x+2，解得x1=-1，x2=2，A-1,0，B2,0，当x=0时，y=2，∴原抛物线与y轴交点坐标为0,2，∴翻折后与y轴的交点坐标为0,-2，如图，当直线y=x+m经过点B时，直线y=x+m与新图有3个交点，把B2,0代入y=x+m中，得m=-2，∵抛物线y=-x2+x+2翻折到x轴下方的部分的解析式为：-y=-x2+x+2，∴翻折后的部分解析式为：y=x2-x-2-1<x<2，当直线y=x+m与抛物线y=x2-x-2-1<x<2只有一个交点C时，直线y=x+m与图象有3个交点，把y=x+m代入y=x2-x-2-1<x<2中，得到方程x+m=x2-x-2有两个相等的实数根，整理得x2-2x-2-m=0，∴Δ=-22-4×1×-2-m=0，解得m=-3，∴当直线y=x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是-3<m<-2．故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，理解题意，找准临界点是解题关键．45抛物线y=-x2+kx+k-54与x轴的一个交点为A(m,0)，若-2≤m≤1，则实数k的取值范围是()A.-214≤k≤1 B.k≤-214或k≥1 C.-5≤k≤98D.k≤-5或k≥98【答案】B【分析】根据抛物线有交点，则-x2+kx+k-54=0有实数根，得出k≤-5或k≥1，分类讨论，分别求得当x=-2和x=1时k的范围，即可求解．。
浅谈二次函数的教学中如何突破重难点
浅谈二次函数的教学二次函数是初中阶段继一次函数、反比例函数之后,学生要学习的最后一类重要的代数函数,它也是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。
初中阶段主要研究二次函数的概念、图像和性质,用二次函数的观点审视一元二次方程,用二次函数的相关知识分析和解决简单的实际问题。
二次函数和一次函数、反比例函数一样,都是高中阶段要学习的一般函数和非代数函数的基础。
二次函数的图像因为是曲线,关系式变化形式多,应用比较复杂。
我在二次函数的教学中,整体把握,重点突破,收到了较好的教学效果。
一、抓住重点组织教学(一) 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的关系式,并体会二次函数的意义这里体现了数学与生活的关系。
教学中,应从教材中的“水滴激起波纹”、“圈养小兔”等实际问题入手,引导学生列出函数关系式。
然后,让学生观察、思考:所列的函数关系式有什么共同点?它们与一次函数、反比例函数有什么不同?从而引导出二次函数的概念,让学生认识二次函数的各部分名称。
如此,学生能够体会到二次函数来自生活,感受到二次函数也是描述一类现实问题中变量关系的数学模型,激发学习的积极性。
(二) 采用“描点法”画出二次函数的图像,从图像上认识二次函数的性质这是二次函数的教学重点。
一方面,学生要学会画出二次函数的图像;另一方面,要能从图像上认识二次函数的性质。
教学中,教师要扎实地让学生画出二次函数的图像(不能一带而过,就让学生去解决与图像有关的复杂题),即运用探索函数图像的方法——“描点法”,一步一步地列表、描点、连线,加深对二次函数图像形状的认识。
然后,引导学生从二次函数图像的形状、开口方向、对称性、顶点坐标、增减性等方面去理解二次函数的性质(学生一边看图像,一边说性质,很直观)。
要提醒的是,不仅要让学生画出二次函数的准确图像,还要会画二次函数的示意图像。
(三) 利用公式确定二次函数的顶点、开口方向和对称轴,解决简单的实际问题这里包括两点:一是从二次函数关系式上认识二次函数的性质,这是学生对二次函数性质的进一步认识;二是列二次函数的关系式解决问题,这是学生学习二次函数的落脚点所在。
《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)
《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)下面是整理的《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)，欢迎参阅。
《二次函数》教案1教学目标掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系。
重点、难点：二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间关系的探索。
教学过程：一、情境创设一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点？可以借助什么来研究？二、探索活动活动一观察在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、c值后，观察交点数量变化情况。
活动二观察与探索如图1，观察二次函数y=x2-x-6的图象，回答问题:(1)图象与x轴的交点的坐标为A(，),B(，)(2)当x=时，函数值y=0。
(3)求方程x2-x-6=0的解。
(4)方程x2-x-6=0的解和交点坐标有何关系？活动三猜想和归纳(1)你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系。
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数由什么来判断？这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。
三、例题分析例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。
(1)y=x2-10x+25(2)y=3x2-4x+2(3)y=-2x2+3x-1例2.已知二次函数y=mx2+x-1(1)当m为何值时，图象与x轴有两个交点(2)当m为何值时，图象与x轴有一个交点？(3)当m为何值时，图象与x轴无交点？四、拓展练习1.如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B。
《二次函数》教案(优秀7篇)
《二次函数》教案（优秀7篇）《二次函数》教案篇一教学目标：1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。
2、让学生经历二次函数y＝ax2＋b性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。
教学重点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y ＝ax2＋b的性质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系。
教学难点：正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b 与抛物线y＝ax2的关系。
教学过程：一、提出问题导入新课1．二次函数y＝2x2的图象具有哪些性质？2．猜想二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？二、学习新知1、问题1：画出函数y＝2x2和函数y＝2x2＋1的图象，并加以比较问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗？同学试一试，教师点评。
问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值（既y）之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？让学生观察两个函数图象，说出函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，顶点坐标，函数y＝2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。
师：你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质吗？小组相互说说（一人记录，其余组员补充）2、小组汇报：分组讨论这个函数的性质并归纳：当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大，当x＝0时，函数取得最小值，最小值y＝1。
3、做一做在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别？三、小结 1、在同一直角坐标系中，函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2的图象具有什么关系？ 2．你能说出函数y＝ax2＋k具有哪些性质？四、作业：在同一直角坐标系中，画出 (1)y＝－2x2与y＝－2x2－2；的图像五：板书《二次函数》教案篇二1、会用描点法画二次函数=ax2+bx+c的图象。
二次函数图像与性质难重点
二次函数y ＝a x 2＋bx ＋c 的图象和性质教学重难点重点：用描点法画出二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。
难点：理解二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a ≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别 是x ＝－b2a 、(－b2a ，4ac －b2 4a)是教学的难点。
教学过程：问题1 函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系．先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象．的x2的值扩大两倍就可以了． 再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象〔如图2－1所示〕，从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2的图象可以由函数y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，并研究这两个函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．问题2 函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象〔如图2－2所示〕，从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同〞的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移〞；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移〞．由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋b x a ＋224b a)＋c －24b a 224()24b b ac a x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有以下性质：〔1〕当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2b a-时，函数取最小值y ＝244ac b a-． 〔2〕当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2b a-时，函数取最大值y ＝244ac b a-． 上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．图2.2－5。
九年纪二次函数难点重点题
九年级二次函数的难点和重点题
难点：
函数的图像和性质：二次函数的图像和性质是该部分内容的重点和难点，需要学生掌握如何画出二次函数的图像，并理解函数的开口方向、对称轴、顶点坐标等性质。
抛物线与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
需要学生理解并掌握如何根据二次项系数a的值来判断抛物线的开口方向和大小。
求解二次函数的解析式：根据一个二次函数的图像或者已知的二次函数的一些条件，求出该二次函数的解析式也是该部分内容的难点之一。
需要学生掌握如何根据不同的条件选择不同的方法来求解二次函数的解析式。
重点：
二次函数的定义：二次函数的定义是该部分内容的基础和重点，需要学生掌握如何根据一个函数的图像或者已知的函数的一些条件来判断是否为二次函数，并理解二次函数的定义和表达式。
求解二次函数的值域或最值：根据一个二次函数的图像或者已知的二次函数的一些条件，求出该二次函数的值域或最值也是该部分内容的重要知识点之一。
需要学生掌握如何根据不同的条件选择不同的方法来求解二次函数的值域或最值。
二次函数的应用：二次函数的应用是该部分内容的重点和难点之一，需要学生掌握如何利用二次函数解决实际问题，如利润最大化、面积最值等问题。
具体的重点题目可以参考相关的数学教材或练习册中的相关题目。
二次函数重点难点总结
二次函数重点难点总结二次函数是高中数学的一个重要章节，也是数学中最基础、最直观的一类函数之一、在学习二次函数的过程中，可能会遇到一些难点和重点。
下面我将从定义、图像、性质及应用等方面总结二次函数的难点和重点。
一、定义1. 二次函数的定义：二次函数是一种形如y = ax² + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
难点在于理解二次函数的定义及其与一次函数之间的区别。
二、图像1. 二次函数的图像特点：二次函数的图像是抛物线。
方程y = ax² + bx + c 描述了抛物线在坐标平面上的图像。
难点在于理解二次函数图像的基本形状，包括开口方向、顶点位置和对称轴等。
2.顶点、对称轴和焦点：顶点是二次函数图像的最高点或最低点。
对称轴是通过顶点并且垂直于x轴的直线。
焦点是指离顶点最近的点。
难点在于求解顶点、对称轴和焦点的具体方法。
3.平移、缩放和翻转：二次函数图像可以通过改变a、b、c来进行平移、缩放和翻转。
平移是指将图像在坐标平面上移动。
缩放是指将图像在坐标平面上拉伸或收缩。
翻转是指将图像在坐标平面上关于一些轴翻转。
难点在于理解平移、缩放和翻转对二次函数图像的影响。
三、性质1.零点和判别式：二次函数的零点是指使函数取值为0的x坐标。
判别式可以用来判断二次函数的根的情况。
难点在于求解二次函数的零点和判别式。
3.最大值和最小值：二次函数图像的最大值和最小值分别是顶点的y 坐标。
难点在于求解二次函数图像的最大值和最小值。
四、应用1.最优化问题：二次函数常常用于解决最优化问题，如求解最大值和最小值。
这类问题涉及到对二次函数图像进行分析和优化。
难点在于将最优化问题转化为二次函数，以及求解最优解的方法。
2.抛射问题：二次函数也可以用于解决抛射问题。
这类问题涉及到对二次函数图像的判读和应用。
难点在于将抛射问题转化为二次函数，并求解相关信息。
五、推广综上所述，二次函数的难点和重点主要包括定义、图像、性质及应用等方面。
22.1.1二次函数_教案
22.1.1 二次函数教学设计一、教学目标：1. 能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念；2. 能够表示简单变量之间的二次函数关系.二、重点难点：重点：结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念.难点：1.能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系； 2.重视二次函数2=++中a≠0这一隐含条件.y ax bx c三、教学过程：(一).复习导入：导出22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数回顾旧知：函数的定义：在变化过程中，有两个变量x和y，当x每确定一个值时，y都有唯一一个值与其对应，我们称x为自变量，y为x的函数我们学习过哪些函数？一次函数的一般形式是：下列函数：1、21y x=+2、2=3、4y x5=-4、y x1=+y ax其中，y是x的一次函数有：变量之间的关系→函数→一次函数概念图象和性质与相应方程的联系实际问题设计意图：使学生进一步认识数学是与实际问题密不可分，人们的需要产生数学。
通过这些实际问题，有利于加深学生对函数概念的理解，引导同学们能通过具体问题情境建立二次函数关系式，体会二次函数是刻画实际生活中自变量与因变量的关系的重要模型之一.（二）.过程探究引言正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y．则y 关于x 的关系式为①式表示了正方体的表面积y 与棱长x 之间的关系，对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，即y 是x 的函数.问题1 n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛. 比赛的场次数m 与球队数n 有什么关系？问题2 某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x 的值而确定，y与x 之间的关系应怎样表示？观察：函数①，②，③有什么共同点？上面问题中，自变量的最高次幂是2.-------二次函数定义：一般地，形如2=++( a，b，c是常数，a≠0) 的函数，叫做二y ax bx c次函数。
九年级数学上册第二十二章二次函数重难点归纳(带答案)
九年级数学上册第二十二章二次函数重难点归纳单选题1、如图，在抛物线y=−x2上有A，B两点，其横坐标分别为1，2；在y轴上有一动点C，当BC+AC最小时，则点C的坐标是（）A．（0.0）B．（0，−1）C．（0，2）D．（0，−2）答案：D解：如图，点A关于y轴的对称点A′的横坐标为﹣1，连接A′B与y轴相交于点C，点C即为使AC+BC最短的点，当x＝﹣1时，y＝﹣1，当x＝2时，y＝﹣4，所以，点A′（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），设直线A′B为y=kx+b∴{−k+b=−12k+b=−4∴k=−1b=−2∴y=−x−2当x=0时，y=-2即C（0，-2）故选D小提示：本题考查了轴对称确定最短路线问题，二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方法和二次函数的对称性确定出点C的位置是解题的关键．2、如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=−2，下列结论正确的是（）A．a<0B．c>0C．当x<−2时，y随x的增大而减小D．当x>−2时，y随x的增大而减小答案：C分析：由图像可知，抛物线开口向上，因此a＞0．由图像与y轴的交点在y轴负半轴上得c＜0．根据图像可知，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．抛物线开口向上，因此a＞0，故A选项不符合题意．抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意．抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故C选项符合题意．抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意．故选C小提示：本题考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．3、一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．答案：B分析：本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx的图象相比是否一致．>0，得b<0，由直线可知，a>0，b>0，故本选项不符合题意；解：A．由抛物线可知，a>0，x=−b2aB．由抛物线可知，a>0，x=−b>0，得b<0，由直线可知，a>0，b<0，故本选项符合题意；2a>0，得b>0，由直线可知，a>0，b>0，故本选项不符合题意；C．由抛物线可知，a<0，x=−b2aD．由抛物线可知，a<0，x=−b>0，得b>0，由直线可知，a>0，b<0，故本选项不符合题意．2a故选：B．小提示：本题考查抛物线和直线的性质，用假设法以及数形结合的方法是解题的关键．4、已知实数a，b满足b−a=1，则代数式a2+2b−6a+7的最小值等于（）A．5B．4C．3D．2答案：A分析：由已知得b=a+1，代入代数式即得a2-4a+9变形为(a-2)2+5，再根据二次函数性质求解．解：∵b-a=1，∴b=a+1，∴a2+2b-6a+7=a 2+2(a +1)-6a +7=a 2-4a +9=(a -2)2+5，∵(a -2)2≥0，∴当a =2时，代数式a 2+2b -6a +7有最小值，最小值为5，故选：A ．小提示：本题考查二次函数的最值，通过变形将代数式化成(a -2)2+5是解题的关键．5、点A （m -1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y =（x -1）2+n 的图象上．若y 1＜y 2，则m 的取值范围为（）A ．m >2B ．m >32C ．m <1D ．32<m <2答案：B分析：根据y 1＜y 2列出关于m 的不等式即可解得答案．解：∵点A （m -1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y =（x -1）2+n 的图象上，∴y 1=（m -1-1）2+n =（m -2）2+n ，y 2=（m -1）2+n ，∵y 1＜y 2，∴（m -2）2+n ＜（m -1）2+n ，∴（m -2）2-（m -1）2＜0，即-2m +3＜0，∴m ＞32，故选：B ．小提示：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m 的不等式．6、已知二次函数y =2x 2−4x +5，当函数值y 随x 值的增大而增大时，x 的取值范围是（ ）A ．x <1B ．x >1C ．x <2D ．x >2答案：B分析：先将函数表达式写成顶点式，根据开口方向和对称轴即可判断．解：∵y=2x2−4x+5=2(x−1)2+3∵开口向上，对称轴为x=1，∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大．故选：B．小提示：本题考查的是二次函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质．7、根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x 的范围是（）C．1＜x＜1.5D．1.5＜x＜2答案：B分析：利用二次函数和一元二次方程的性质．解：观察表格可知：当x=0.5时，y=-0.5；当x=1时，y=1，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．故选：B．小提示：本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．8、某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元，用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件．如果用相同的工时生产，总获利润最大的产品是第k档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么k等于（）A．5B．8C．9D．10答案：C分析：第k档次产品比最低档次产品提高了(k−1)个档次，则数量在60的基础上减少了3(k−1)，每件产品利润在8的基础上增加2(k−1)，据此可求出总利润关系，求出最值即可．解：设总利润为y元，∵第k档次产品比最低档次产品提高了(k−1)个档次，∴每天利润为y=[60−3(k−1)][8+2(k−1)]=−6(k−9)2+864，∴当k=9时，产品利润最大，每天获利864元，故选C．小提示：本题考查了二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是本题的关键．9、二次函数y=x的图象经过的象限是（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限答案：A分析：由抛物线解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．∵y=x2，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），∴抛物线经过第一，二象限．故选：A．小提示：本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．10、如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(−2,0),B(6,0)，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①b2−4ac>0；②4a+b=0；③当y>0时，−2<x<6；④a+b+c<0．其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．1答案：B分析：根据二次函数的图像与性质，逐一判断即可．解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−2,0)、B(6,0)，∴抛物线对应的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，即△=b2−4ac＞0，故①正确；对称轴为x=−b2a =6−22，整理得4a＋b＝0，故②正确；由图像可知，当y＞0时，即图像在x轴上方时，x＜－2或x＞6，故③错误，由图像可知，当x＝1时，y=a+b+c＜0，故④正确．∴正确的有①②④，故选：B．小提示：本题考查二次函数的性质与一元二次方程的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．填空题11、如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的一边AB在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D，则点B的坐标为______．答案：（2，0）分析：根据抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D和二次函数图象具有对称性，可以求得该抛物线的对称轴和CD 的长，然后根据菱形的性质和勾股定理可以求得AO的长，从而可以求得OB的长，进而写出点B的坐标．解：∵抛物线y＝x2﹣5x+4，∴该抛物线的对称轴是直线x=52，点D的坐标为（0，4），∴OD＝4，∵抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D，∵四边形ABCD为菱形，AB在x轴上，∴CD∥AB，即CD∥x轴，∴CD=5×2＝5，2∴AD＝5，∵∠AOD＝90°，OD＝4，AD＝5，∴AO=√AD2−OD2=√52−42=3，∵AB＝5，∴OB＝5﹣3＝2，∴点B的坐标为（2，0），所以答案是：（2，0）．小提示：本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．12、如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C．下列结论：①abc＞0；②3a﹣c＝0；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④对于任意实数m，总有a﹣b≥am2﹣bm．其中正确的是 _____（填写序号）．答案：①④##④①分析：根据抛物线的对称轴，开口方向，与y轴的交点位置，即可判断①，根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0），即可求得对称轴，以及当x=1时，y=0，进而可以判断②③，根据顶点求得函数的最大值，即可判断④．解：∵抛物线开口向下，∴a<0，∵对称轴x=−b<0,a<0，2a∴b<0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，∴abc>0，故①正确，∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0），=−1，则b=2a，∴对称轴为x=−b2a当x=1，y=a+b+c=a+2a+c=0，∴3a+c=0，故②不正确，由函数图象以及对称轴为x=−1，可知，当x<−1时，y随x的增大而增大，故③不正确，∵对称轴为x=−1，则当x=−1时，y=a−b+c取得最大值，∴对于任意实数m，总有a−b+c≥am2−bm+c，即a−b≥am2−bm，故④正确．所以答案是：①④．小提示：本题考查了二次函数图象的性质，数形结合是解题的关键．13、写出一个满足“当x>2时，y随x增大而减小”的二次函数解析式______．答案：y=−(x−2)2（答案不唯一）分析：先根据二次函数的图象和性质取对称轴x=2，设抛物线的解析式为y=a(x-2)2，由于在抛物线对称轴的右边，y随x增大而减小，得出a<0，于是去a=-1，即可解答．解：设抛物线的解析式为y=a(x-2)2，∵在抛物线对称轴的右边，y随x增大而减小，∴a<0，符合上述条件的二次函数均可，可取a=-1，则y=-(x-2)2．所以答案是：y=-(x-2)2．小提示：本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．14、已知二次函数y=(x−1)2+3，当x＝_______时，y取得最小值．答案：1分析：根据抛物线的顶点坐标和开口方向即可得出答案．解：∵y=(x−1)2+3，∴该抛物线的顶点坐标为(1,3)，且开口方向向上，∴当x=1时，y取得最小值，所以答案是：1．小提示：本题考查二次函数的最值，求二次函数最大值或最小值有三种方法：第一种可有图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．15、定义：由a，b构造的二次函数y=ax2+(a+b)x+b叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y ＝ax＋b叫做二次函数y=ax2+(a+b)x+b的“本源函数”（a，b为常数，且a≠0）．若一次函数y＝ax＋b 的“滋生函数”是y=ax2−3x+a+1，那么二次函数y=ax2−3x+a+1的“本源函数”是______．答案：y=﹣2x-1分析：由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数y=ax2−3x+a+1的本源函数．解：由题意得{﹣3=a+ba+1=b解得{a=﹣2 b=﹣1∴函数y=ax2−3x+a+1的本源函数是y=﹣2x-1．所以答案是：y=﹣2x-1．小提示：本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”．解答题16、如图，抛物线y =mx 2+(m 2+3)x −(6m +9)与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，已知B(3,0)．（1）求m 的值和直线BC 对应的函数表达式；（2）P 为抛物线上一点，若S △PBC =S △ABC ，请直接写出点P 的坐标；（3）Q 为抛物线上一点，若∠ACQ =45°，求点Q 的坐标．答案：（1）m =−1，y =x −3；（2）P (2,1)，P (3+√172,−7+√172)，P (3−√172,−7−√172)；（3）Q (72,−54) 分析：（1）求出A ，B 的坐标，用待定系数法计算即可；（2）做点A 关于BC 的平行线AP 1，联立直线AP 1与抛物线的表达式可求出P 1的坐标，设出直线AP 1与y 轴的交点为G ，将直线BC 向下平移，平移的距离为GC 的长度，可得到直线P 3P 2，联立方程组即可求出P ；（3）取点Q ，连接CQ ，过点A 作AD ⊥CQ 于点D ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，过点C 作CE ⊥DF 于点E ，得直线CD 对应的表达式为y =12x −3，即可求出结果； （1）将B (3,0)代入y =mx 2+(m 2+3)x −(6m +9)，化简得m 2+m =0，则m =0（舍）或m =−1，∴m =−1，得：y =−x 2+4x −3，则C (0,−3)．设直线BC 对应的函数表达式为y =kx +b ，将B (3,0)、C (0,−3)代入可得{0=3k +b −3=b，解得k =1， 则直线BC 对应的函数表达式为y =x −3．（2）如图，过点A 作AP 1∥BC ，设直线AP 1与y 轴的交点为G ，将直线BC 向下平移 GC 个单位，得到直线P 3P 2，由（1）得直线BC 的解析式为y =x −3，A (1,0)，∴直线AG 的表达式为y =x −1，联立{y =x −1y =−x 2+4x −3， 解得：{x =1y =0 （舍），或{x =2y =1， ∴P 1(2,1)，由直线AG 的表达式可得G (−1,0)，∴GC =2，CH =2，∴直线P 3P 2的表达式为y =x −5，联立{y =x −5y =−x 2+4x −3， 解得：{x 1=3+√172y 1=−7+√17 ，{x 2=3−√172y 2=−7−√17 ， ∴P 3(3+√172,−7+√172)，P 2(3−√172,−7−√172)， ∴P (2,1)，P (3+√172,−7+√172)，P (3−√172,−7−√172)．（3）如图，取点Q ，连接CQ ，过点A 作AD ⊥CQ 于点D ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，过点C 作CE ⊥DF 于点E ，∵∠ACQ =45°，∴AD=CD ，又∵∠ADC =90°，∴∠ADF +∠CDE =90°，∵∠CDE +∠DCE =90°，∴∠DCE =∠ADF ，又∵∠E =∠AFD =90°，∴ΔCDE ≌ΔDAF ，则AF =DE ，CE =DF ．设DE =AF =a ，∵OA =1，OF =CE ，∴CE =DF =a +1．由OC =3，则DF =3−a ，即a +1=3−a ，解之得，a =1．所以D (2,−2)，又C (0,−3)，可得直线CD 对应的表达式为y =12x −3， 设Q (m,12m −3)，代入y =−x 2+4x −3， 得12m −3=−m 2+4m −3，12m =−m 2+4m ，m 2−72m =0， 又m ≠0，则m =72．所以Q (72,−54)．小提示：本题主要考查了二次函数综合题，结合一元二次方程求解是解题的关键．17、2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线C1:y=−112x2+76x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2:y=−18x2+bx+c运动．（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．答案：（1）y=−18x2+32x+4；（2）12米；（3）b≥3524．分析：（1）根据题意可知：点A（0，4）点B（4，8），利用待定系数法代入抛物线C2:y=−18x2+bx+c 即可求解；（2）高度差为1米可得C2−C1=1可得方程，由此即可求解；（3）由抛物线C1:y=−112x2+76x+1可知坡顶坐标为(7,6112)，此时即当x=7时，运动员运动到坡顶正上方，若与坡顶距离超过3米，即y=−18×72+7b+c≥6112+3，由此即可求出b的取值范围．解：（1）根据题意可知：点A（0，4），点B（4，8）代入抛物线C2:y=−18x2+bx+c得，{c=4−18×42+4b+c=8，解得：{c=4b=32，∴抛物线C2的函数解析式y=−18x2+32x+4；（2）∵运动员与小山坡的竖直距离为1米，∴(−18x2+32x+4)−(−112x2+76x+1)=1，解得：x1=−4（不合题意，舍去），x2=12，故当运动员运动水平线的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；（3）∵点A（0，4），∴抛物线C2:y=−18x2+bx+4，∵抛物线C1:y=−112x2+76x+1=−112(x−7)2+6112，∴坡顶坐标为(7,6112)，∵当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，∴y=−18×72+7b+4≥6112+3，解得：b≥3524．小提示：本题属二次函数应用中的难题.解决函数应用问题的一般步骤为：（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系；(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；(4) 还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题．18、现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE=10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．答案：(1)y=−925(x−5)2+9(2)A(5−5√33,6),B(5+5√33,6)分析：（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为y=a(x−5)2+9，再代入（0，0），求出a的值即可；（2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而可解决问题．（1）依题意，顶点P(5,9)，设抛物线的函数表达式为y=a(x−5)2+9，将(0,0)代入，得0=a(0−5)2+9．解之，得a=−925．∴抛物线的函数表达式为y=−925(x−5)2+9．（2）令y=6，得−925(x−5)2+9=6．解之，得x1=5√33+5,x2=−5√33+5．∴A(5−5√33,6),B(5+5√33,6)．小提示：本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．。
二次函数实际应用-重难点讲解
二次函数实际应用-重难点讲解考点1：拱桥问题利用二次函数的图象和性质解决实际问题，首先要分析问题中的自变量和因变量，以及它们之间的关系，建立一个反映题意的二次函数的表达式；其次结合二次函数的图象或性质进行求解，需特别注意自变量的取值范围要使实际问题有意义.拱形问题最重要的是建立适当的坐标系，把已知线段长度转化为点坐标，根据图形与二次函数联系起来解决问题。
考点2：最大利润问题二次函数的一般式c bx ax y ++=2(0≠a )化成顶点式a b ac a b x a y 44)2(22-++=，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．即当0>a 时，函数有最小值，并且当ab x 2-=，a b ac y 442-=最小值； 当0<a 时，函数有最大值，并且当ab x 2-=，a b ac y 442-=最大值． 如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，如果顶点在自变量的取值范围21x x x ≤≤内，则当a b x 2-=，ab ac y 442-=最值，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小．商品定价一类利润计算公式：经常出现的数据：商品进价；商品售价；商品销售量；涨价或降价；销售量变化；其他成本。
◆ 总利润=总售价-总进价-其他成本=单位商品利润×总销售量－其他成本◆ 单位商品利润=商品定价－商品进价◆ 总售价=商品定价×总销售量；总进价=商品进价×总销售量考点3：面积最值问题实际问题中图形面积的最值问题分析思路为：（1）分析图形的成因（2）识别图形的形状（3）找出图形面积的计算方法（4）把计算中要用到的所有线段用未知数表示（5）把线段长度代入计算方法形成图形面积的函数解析式，注意自变量的取值范围（6）根据函数的性质以及自变量的取值范围求出面积的最值。
二次函数重难点题型
二次函数重难点题型
- 二次函数是高中数学中重要的内容之一。
对于学生来说，掌握二次函数的重难点题型是非常关键的。
- 本文将介绍几种常见的二次函数重难点题型，并提供解题思路和技巧。
1. 二次函数图像的性质
- 对于给定的二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，学生需要了解其图像的常见性质，包括顶点坐标、开口方向、对称轴以及与坐标轴的交点等。
2. 二次函数的最值问题
- 最值问题是二次函数中的一个重要问题类型。
学生需要掌握如何求解二次函数的最值以及最值对应的$x$值。
3. 二次函数的零点问题
- 零点问题也是二次函数中的一个常见问题类型。
学生需要学会如何求解二次函数的零点，并且理解零点与方程的根的关系。
4. 二次函数与其他函数的关系
- 学生需要了解二次函数与其他函数的关系，例如线性函数、指数函数等。
理解二次函数与其他函数的相同点和不同点，有助于学生更深入地掌握二次函数。
5. 实际问题与二次函数的建模
- 学生需要学会将实际问题转化为二次函数模型，并且能够通过二次函数模型解决实际问题。
这需要学生对于实际问题的理解能力和数学建模能力。
6. 实战演练题
- 通过大量的实战演练题，学生可以巩固和提高对于二次函数重难点题型的理解和解题能力。
以上是关于二次函数重难点题型的简要介绍。
希望这份文档能够帮助学生更好地掌握二次函数，提高数学解题能力。
参考文献：。
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二次函数重、难点
一、选择题
1.在下列关系式中,y 是x 的二次函数的关系式是 ( )
A.2xy+x 2=1
B.y 2-ax+2=0
C.y+x 2-2=0
D.x 2-y 2+4=0 2.设等边三角形的边长为x(x>0），面积为y ，则y 与x 的函数关系式是( )
A.212y x =
B.21
4
y x = C.2y x = D.2y x = 3. 已知抛物线2
1y x x =--与x 轴的一个交点为(0)m ，，则代数式22008m m -+的值为（ ）
A ．2006
B ．2007
C ．2008
D ．2009
5．抛物线y=x 2
-8x+c 的顶点在x 轴上，则c 等于( ) A.-16 B.-4 C.8 D.16
6．二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，则下列说法不正确的是（ ） A ．2
40b ac ->
B ．0a >
C ．0c >
D ．02b
a
-
< 7.若直线y=ax ＋b (a ≠0）在第二、四象限都无图像，则抛物线y=ax 2+bx+c ( )
A.开口向上，对称轴是y 轴
B.开口向下，对称轴平行于y 轴
C.开口向上，对称轴平行于y 轴
D.开口向下，对称轴是y 轴 8.一次函数
y=ax+b
与二次函数
y=ax 2+bx+c
在同一坐标系中的图像可能是（ ）
9.已知抛物线y=-x 2+mx+n 的顶点坐标是（-1，- 3 )，则m 和n 的值分别是（ ）
A.2,4
B.-2,-4
C.2,-4
D.-2,0 10.对于函数y=-x 2+2x-2使得y 随x 的增大而增大的x 的取值范围是 ( )
A.x>1
B.x ≥0
C.x ≤0
D.x<1 11.抛物线y=x 2-(m+2)x+3(m-1)与x 轴 （ ）
A.一定有两个交点； B ．只有一个交点； C ．有两个或一个交点； D ．没有交点 12.二次函数y=2x 2+mx-5的图像与x 轴交于点A (x 1, 0）、B(x 2，0), 且x 12+x 22=29
4
，则m 的值为（ ） A.3 B.-3 C.3或-3 D.以上都不对
13．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象过点A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若点M （-2，y 1），N （-1，y 2），K （8，
y 3）也在二次函数c bx ax y ++=2的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A ．y 1＜y 2＜y 3
B ．y 2＜y 1＜y 3
C ．y 3＜y 1＜y 2
D ．y 1＜y 3＜y 2
14.对于任何的实数t ，抛物线 y=x 2 +(2-t) x + t 总经过一个固定的点，这个点是 ( )
A . (1, 0) B.（-l, 0) C.（-1, 3) D. (l, 3) 二、填空题（共40 分）
2.若二次函数y=mx 2-3x+2m-m 2的图像过原点，则m 的值是 .
3.把抛物线y=2x 2-1向左平移l 个单位，向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是 .
4.对于二次函数y=ax 2, 已知当x 由1增加到2时，函数值减少4，则常数a 的值是 .
5.已知二次函数y=x 2-6x+n 的最小值为1，那么n 的值是 .
6.抛物线在y=x 2-2x-3在x 轴上截得的线段长度是 .
7.设矩形窗户的周长为6m ，则窗户面积S(m 2）与窗户宽x (m)之间的函数关系式是 ， x 的取值范围是 . 8.设A 、B 、C 三点依次分别是抛物线y=x 2-2x-5与y 轴的交点以及与x 轴的两个交点，则△ABC 的面积是 . 9.抛物线上有三点(-2, 3）、（2,-8）、（1,3)，此抛物线的解析式为 .
10．一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是2125
1233
y x x =-++．则他将铅球推出的距离是 m
11.已知二次函数与x 轴相交于A 、B, 与y 轴相交于C ，使△ABC 为直角三角形，这样的函数有许多，其中一个是 . 12．初三数学课本上，用“描点法”画二次函数2
y ax bx c =++的图象时，列了如下表格：
根据表格上的信息回答问题：该二次函数2
y ax bx c =++在3x =y = ． 三、解答题
1.已知抛物线的顶点坐标为M (l,-2 )，且经过点N (2,3)．求此二次函数的解析式．
2. 二次函数的图象经过点(03)A -，
，(23)B -，，(10)C -，． （1）求此二次函数的关系式；
（2）求此二次函数图象的顶点坐标；
（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位，使得该图象的顶点在原点．
3．已知二次函数的图象以A （－1，4）为顶点，且过点B （2，－5） ①求该函数的关系式；②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A 、B 两点随图象移至A ′、B ′，求△O A ′B ′的面积.
4. 已知二次函数2
y x bx c =++中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：
（1（3）若1()A m y ，，2(1
)B m y +，两点都在该函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小． 5．二次函数y=ax 2+bx+c 的图像的一部分如下图，已知它的顶点M 在第二象限，且该函数图像经过点A (l,0）和点
B (0,1).
(1）请判断实数a 的取值范围，并说明理由；
(2）设此二次函数的图像与x 轴的另一个交点为c ，当△AMC 的面积为△ABC 面积的 1.25
倍时，求a 的值．
6. 某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x 元．求：
（1）房间每天的入住量y （间）关于x （元）的函数关系式．
（2）该宾馆每天的房间收费z （元）关于x （元）的函数关系式． （3）该宾馆客房部每天的利润w （元）关于x （元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w 有最大值？最大值是多少？
8．红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m （件）
未来40天内，前20天每天的价格y 1（元/件）与时间t （天）的函数关系式为25t 4
1
y 1+=（20t 1≤≤且t 为整数），后20天每天的价格y 2（元/件）与时间t （天）的函数关系式为40t 2
1
y 2+-
=（40t 21≤≤且t 为整数）。
下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：
（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m （件）与t （天）之间的关系式；
（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a 元利润（a<4）给希望工程。
公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t （天）的增大而增大，求a 的取值范围。