全国中学生物理竞赛——相对运动
2020年高中物理竞赛(力学篇)01运动的描述：相对运动(共13张PPT)
t t
绝对速度 相对速度
牵连速度
3、加速度的变换关系
a a'a0
绝对
相对
牵连
加速度 加速度 加速度
例 1.河水自西向东流动，速度为10 km/h,一轮船在 题 水中航行，船相对于河水的航向为北偏西30o,航速
为20km/h。此时风向为正西，风速为10km/h。试 求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向。（设 烟离开烟囱后即获得与风相同的速度）
vcs
v fd 10 正西
v cs 20 北偏西30o
vfd vsd
vcd vcs v sd
vcd 10 3 km / h 方向正北
v fd v fc vcd v fc v fd vcd v fd v sd v fc vcs 20km / h
方向为南偏西30o。
vcs vcd vfd vsd
其加速度为a，他沿车前进的斜上方抛出一球，设抛球 时对车的加速度的影响可以忽略，如果使他不必移动他
在车中的位置就能接住球，则抛出的方向与竖直方向的
夹角应为多大？
解：抛出后车的位移：
x1
v0t
1 2
at 2
a
球的位移：
x2 (v0 v0' sin )t
V0
y2
(v0'
cos
)t
1 2
gt 2
小孩接住球的条件为：x1=x2; y=0
2020全国高中奥林匹克竞赛 物理
力学篇 （基础版）
1-3 相对运动
一、运动描述具有参考系、运动参考系也是相对的
二、绝对运动、牵连运动、相对运动
三者应具有如下变换关系y y’
绝对位矢
r r r0
2018初中物理竞赛教程(基础篇)：第6讲 运动图像 相对运动(附强化训练题及答案)
第6讲运动图像相对运动6.1 学习提要6.1.1 正比例函数及图像1. 正比例函数一般地，两个变量x,y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的形式，那么y就叫做x 的正比例函数。
2. 正比例函数图像在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx（k>0）的图像是一条过原点O的倾斜直线，这条直线直观地反映了函数y与自变量x的正比关系，如图6-1所示。
6.1.2 匀速直线运动图像根据数学知识可知，匀速直线运动的路程s跟时间t之间的关系为s=vt，式中的路程s相当于正比例函数y=kx中的y，时间t相当于x，保持不变的速度v相当于比例系数k，因此，匀速直线运动的路程-时间图像是一条过原点的倾斜直线。
物体运动的规律不但可以用公式来表示，还可以用图像来表示。
表示路程和时间关系的图像，叫路程-时间图像（s-t图像）。
表示速度和时间关系的图像，叫速度-时间图像（v-t图像）。
图像通常是根据实验测定的数据作出的。
例如，我们要研究一辆汽车在一段公路上运动的情况，可以在公路旁每隔100m站一名拿着停表的观测者，记下汽车到达每个观测者的时间，如图6-2所示。
测量的结果记入表6-1.在平面直角坐标系中，以纵轴表示路程s的值，横轴表示时间t，标出表示（4.9，100）、（10.0，200）、（15.1，300）、（19.9，400）的点，每个点代表一对数据。
可以看出各点几乎都在一条通过原点的直线上，如图6-3中的直线l，有的点略微偏离这条直线，这是由于测量误差引起的。
画出这条直线，就得到了汽车的路程-时间图像。
从图6-3可以看出，匀速直线运动的路程-时间图像是过原点的一条倾斜的直线，这样一条过原点的直线表示正比例函数，即时间t增大几倍，路程s也增大几倍，或者说s/t=恒量。
而s/t=v，v是恒量，表示汽车是做匀速运动，根据图像中s、t的数值，可以求出汽车的速度为v=20.0m/s。
图6-3中的直线2是一辆匀速运动的自行车的路程-时间图像，它的速度为5.0m/s。
初中物理竞赛 第四讲 运动学
第四讲 运动学一、相对运动问题如果有一辆平板火车正在行驶，速度为火地v （脚标“火地”表示火车相对地面，下同）。
有一个大胆的驾驶员驾驶着一辆小汽车在火车上行驶，相对火车的速度为汽火v ，那么很明显，汽车相对地面的速度为： 火地汽火汽地v v v += （注意：汽火v 和火地v 不一定在一条直线上）如果汽车中有一只小狗，以相对汽车为狗汽v 的速度在奔跑，那么小狗相对地面的速度就是火地汽火狗汽狗地v v v v ++=从以上二式中可看到，上列相对运动的式子要遵守以下几条原则：①合速度的前脚标与第一个分速度的前脚标相同。
合速度的后脚标和最后一个分速度的后脚标相同。
②前面一个分速度的后脚标和相邻的后面一个分速度的前脚标相同。
③所有分速度都用向量合成法相加。
④速度的前后脚标对调，改变符号。
相对运动有着非常广泛的应用，许多问题通过它的运用可大为简化1、一列火车在雨中自东向西行驶，车内乘客观察到雨滴以一定速度垂直下落，那么车外站在站台上的人看到雨滴是（ ）A 沿偏东方向落下，速度比车内乘客观察到的大。
B 沿偏东方向落下，速度比车内乘客观察到的小。
C 沿偏西方向落下，速度比车内乘客观察到的大。
D 沿偏西方向落下，速度比车内乘客观察到的小。
2、甲乙两车在同一平直路上行驶，方向相同，乙在前，早在后，在射程以内，车上两人同时发出相同的演示子弹，子弹对枪口的速度都是u 。
在两车速度分别为1v =2v ,1v >2v ,1v <2v 三种情况下，正确的判断应该是（ ）（A ）甲车上的人选被射中 （B ）乙车上的人选被射中（C ）两人同时被射中 （D ）无法确定3、有A 、B 两艘船在大海中航行,A 船航向正东,船速15km/h,B 船航向正北,船速20km/h. A 船正午通过某一灯塔, B 船下午二点也通过同一灯塔.问:什么时候A 、B 两船相距最近?最近距离是多少?4、如图所示，某人站在离公路距离为60m 的A 处，他发现公路上有一汽车从B 处以10m/s 的速度沿公路匀速前进。
高二物理竞赛课件：相对运动
v
vet
ds dt
et
et v
P
s
en
O
自然坐标系下的加速度
a
dv dt
dv dt
et
v
det dt
det ? dt
大小： det d ds d v
dt dt dt ds
方向：en
det dt
1
ds dt
en
v
en
et
et
P
ds P
d
en en
s O
det
et
d et
结论：
a
at et
anen
dv dt
et
v2
en
at
dv dt
: 切向加速度
an
v2
:
法向加速度
a
an2 at2
tan
an at
et
at
a
P
an
en
圆周运动的加速度
dv v2 a atet anen dt et R en
a
an2 at2
tan
an at
et v
at P
a
an
s
OR en
P0 x
圆周运动的角量描述
角位置：= (t)
lim 角速度: d
t0 t dt
lim 角加速度:
d
t0 t dt
角量和线量的关系
v R
an at
R R
2
P
OR
s P0 x
例 有一质点沿半径为 R=2(m)圆轨道作圆周运
动，t 时刻的角位置 t 2（弧度），求 t=1(s)
高中物理竞赛——运动学基本知识
高中物理竞赛——运动学基本知识一． 基本概念 1． 质点 2． 参照物3． 参照系——固连于参照物上的坐标系（解题时要记住所选的是参照系，而不仅是一个点）4．绝对运动，相对运动，牵连运动：v 绝=v 相+v 牵 二．运动的描述 1．位置：r=r(t)2．位移：Δr=r(t+Δt)－r(t) 3．速度：v=lim Δt→0Δr/Δt.在大学教材中表述为：v =d r/dt, 表示r 对t 求导数４．加速度a =a n +a τ。
a n :法向加速度，速度方向的改变率，且a n =v 2/ρ,ρ叫做曲率半径，（这是中学物理竞赛求曲率半径的唯一方法）a τ: 切向加速度，速度大小的改变率。
a =d v /dt5．以上是运动学中的基本物理量，也就是位移、位移的一阶导数、位移的二阶导数。
可是三阶导数为什么不是呢？因为牛顿第二定律是F=ma,即直接和加速度相联系。
（a 对t 的导数叫“急动度”。
）6．由于以上三个量均为矢量，所以在运算中用分量表示一般比较好三．等加速运动v(t)=v 0+at r(t)=r 0+v 0t+1/2 at 2一道经典的物理问题：二次世界大战中物理学家曾经研究，当大炮的位置固定，以同一速度v 0沿各种角度发射，问：当飞机在哪一区域飞行之外时，不会有危险？（注：结论是这一区域为一抛物线，此抛物线是所有炮弹抛物线的包络线。
此抛物线为在大炮上方h=v 2/2g 处，以v 0平抛物体的轨迹。
）练习题：一盏灯挂在离地板高l 2,天花板下面l 1处。
灯泡爆裂，所有碎片以同样大小的速度v 朝各个方向飞去。
求碎片落到地板上的半径（认为碎片和天花板的碰撞是完全弹性的，即切向速度不变，法向速度反向；碎片和地板的碰撞是完全非弹性的，即碰后静止。
）四．刚体的平动和定轴转动1． 我们讲过的圆周运动是平动而不是转动2． 角位移φ=φ（t ）, 角速度ω=d φ/dt , 角加速度ε=d ω/dt 3． 有限的角位移是标量，而极小的角位移是矢量 4． 同一刚体上两点的相对速度和相对加速度两点的相对距离不变，相对运动轨迹为圆弧，VA =VB +V AB ,在AB 连线上投影：[V A ]AB =[V B ]AB ,a A =a B +a AB,a AB =,a n AB +,a τAB , ,a τAB 垂直于AB,,a n AB =V AB 2/AB例：A ，B ，C 三质点速度分别V A ，V B ，V C 求G 的速度。
高二物理竞赛相对运动课件
解：设t时刻桌上链条长为x， 则由牛二律得
mg l x mg 2ma l
a gx 2l
m(l-x)g/l
gx a dv dv dx v dv vdv gx dx
2l
dt dx dt dx
2l
v
l gx
vdv 0
l 2
dx 2l
v 1.21m / s
相对运动
y′y SS′u
两个相对平动参照系
t=0 时刻
•伽里略位移变换
r r r0
长度测量的绝对性
oy′ooSr0yor′′同S′样u可r以t 时得刻到加x′速度两之v•伽边间x′里除的v略关t速，系度取u时变极a间换限xx测量a的 绝对a性0
描述质点运动的三个物理量:
r (t ),v(t ),a(t )
r1
t1
y1
t1
z2
t2
dz vzdt
z1
t1
•角加速度 d
dt
(注：角加速度亦常以表示)
a
at tˆ
annˆ
at R at tˆ
a
a
2 t
a
2 n
tan1 an
at
a
a n nˆ
R
常用公式见P30 （1.36）式
5、曲线运动
R
R为曲率半径
•1.3 牛顿运动定律
一. 牛顿第一定律（惯性定律）和惯性系
m dv dt
nˆ tˆ
列方程 g cos dv dv d v dv
mg
dt d dt L d
v
gLcosd vdv
0
gL sin
1 v2 0
2
法向：
T
高中物理竞赛_话题9：相对运动的问题
话题9：相对运动的问题一、坐标系转换法相对运动的问题是运动学中一种比较难处理的类型，一般来说，选择不同的参考系物体的运动状态不同，但采用坐标转换法也可以改变物体的运动情况特别是可以把直觉看来是曲线运动的物体转换成直线运动的情况却很少学生了解，解题时采用这样的方法可以使问题简化很多。
例1、由于汽车在冰面上行驶时摩擦因数很小，所以其最大加速度不能超过20.5/a m s =．根据要求，驾驶员必须在最短时间内从A 点到达B 点，直线AB 垂直于汽车的初始速度v ，如图所示．如果点A 、B 之间的距离375AB m =，而初速度10/v m s =，那么这个最短时间为多少？其运动轨迹是什么？分析和解：本题是一个典型的相对运动问题，而且用常规的方法是很难解出此题的，然而如果用坐标系转换法解此题，其难度却可以大大降低。
坐标系转换：汽车在A 点不动，而让B 点以恒速v 向汽车运动的相反方向运动．在此坐标系内汽车为了尽快与B 点相遇，必须沿直线以恒加速度a 向B 点驶去．假设它们在D 点相遇，如图所示．设AB b =，我们可以列出：22221()()2b vt at += (1)由(1)式可得：t =(2) 将数据代人(2)式得50t s =。
在地球坐标系内，它的运动是两个不同方向上的匀速直线运动和匀加速直线运动的合运动，因而它的运动轨迹是一条抛物线．例2、从离地面同一高度h 、相距L 的两处同时各抛出一个石块，一个以速度1v 竖直上抛，另一个石块以速度2v 向第一个石块原来位置水平抛出，求这两个石块在运动过程中，它们之间的最短距离．vAB分析和解：以竖直上抛的石块为参考系，另一石块以相对速度21v 做匀速直线运动，速度矢量关系如图，由图知21v =两石块最短距离sin d L L θ⎛⎫=⋅=， 这个最短距离适用于另一石块落地之前，即在()()()22212cos //L Lv v v θ=+≤二、矢量的加减运算（矢量图）法处理相对运动等复杂运动时，涉及速度、位移或加速度等矢量的加减运算，若用矢量图助解常会收到奇效．位移合成定理：=A A B S S S +对B 对地对地速度合成定理： =A A B v v v +对B 对地对地 即 =v v v +绝对相对牵连 加速度合成定理：=A A B a a a +对B 对地对地 即 =a a a +绝对相对牵连例3、假定某日刮正北风，风速为u ，一运动员在风中跑步，他对地面的速度大小是v ，试问他向什么方向跑的时候，他会感到风是从自己的正右侧吹来的？这种情况在什么条件下成为无解？在无解的情况下，运动员向什么方向跑时，感到风与他跑的方向所成夹角最大？ 分析与解设风相对于人的速度（即运动员感到的风速）为V ，根据题给条件，有u V v =+．三个速度矢量中，u 大小、方向均确定，v 大小一定，V 与v 两矢量互相垂直（所谓正右侧），故可断定三个矢量所构成的满足题意要求的关系三角形应为直角三角形.如图()a ，取一点O ，先作矢量u ，以其矢端为圆心，表示u 大小的线段长为半径作一圆，自O 点向圆引切线OA ，则矢量三角形OO A '∆,即为符合题意要求的u 、V 、v 关系．由图显见，当运动员朝南偏西arccos vuθ=方向以速率v 奔跑时会感觉风从自己右侧吹来，并且在v u <时才可能有这种感觉．若v u >，绝对风速、风相对人的速度及人奔跑速度关系如图()b ，在OO A ''∆中运用北正弦定理有sin sin v u βα=，可知当2πβ=时，arcsin uvα=为最大，即在运动员向西偏南arcsin uv方向奔跑时感觉风与自己跑的方向所成夹角最大．例4、一只木筏离开河岸，初速度为v ，方向垂直于岸，划行路线如图虚线所示，经过时间T ，木筏划到路线上A 处，河水速度恒定为u ，且木筏在水中划行方向不变．用作图法找到2T 、3T 、⋅⋅⋅⋅⋅⋅时刻此木筏在航线上的确切位置．分析与解设木筏相对于水的速度为V ，则离岸时，V v u =-，其矢量关系如图()a 所示，该图同时给出了此后木筏复合运动的速度情况：木筏相对于水的速度V 方向不变、大小是变化的；木筏的绝对速度v 大小、方向均有变化．故而我们看到木筏的运动轨迹为一曲线．现如图中()b 所示，连接OA 的有向线段是时间T 内木筏的绝对位移S 木，而=+S S S 木水对木水，其中S 水沿x 正方向，S 木对水平行于V 方向．现作满足上式关系的位移矢量三角形，在x 轴上得到B 点，有向线段OB 即为S 水．由于水速u 恒定，则各T 时间内S 水恒定，故可在x 轴上得2OB S '=水，3OB S ''=水，过B '、B ''点⋅⋅⋅⋅⋅⋅作平行于V 的直线交木筏轨迹于A '、A ''⋅⋅⋅⋅⋅⋅各点，即得2T 、3T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅时刻此木筏的确切位置．质点做变速运动时，若初速度为0v ，末速度为t v ，则速度增量0t v v v ∆=-，这是一个矢量相减运算，其图解关系如图()c ，利用这种矢量关系图解速度增量问题有其独到之处．例5某一恒力作用在以恒定速度v 运动的物体上，经过时间t ，物体的速率减少一半，经过同样的时间速率又减少一半，试求经过了3t 时间后，物体的速度3t v 之大小．北)yv)y水()b 0v v()a uV ()c RA BR A B=-分析与解由于物体受恒力作用，故在相同时间内，速度增量相同即232t t t t t v v v v v v v ∆=-=-=-．现作满足题给条件的矢量图如图所示，图中有向线段AB BC CD v ===∆，t OB v =，2t vv =，2t OC v =，24t vv =，OD 为待求量3t v ．设恒力方向与v 方向成πα-角，由图给几何关系，在OAB ∆、OAC ∆、OAD ∆中运用余弦定理，得222()()2cos 2vv v v v α=+∆-⋅∆⋅ 2()4vv =223t v v =例6、从 分析与解物体做抛体运动时，只受重力作用．在落下h 高度的时间小为gt 落地时速度v ∆积即可．由于01sin()2t S v v θα∆=⋅+，而0v 、t v 大小确定，则当090θα+=，即θ=时，S ∆有最大值：01122t gx v v =⋅，亦即物体飞行的水平位移将达到最大，其值为maxx =． 例7网球以速度0v 落到一重球拍上后弹性地射回．为使球能沿着与原轨道垂直的方向射回，球拍应以什么样的速度P v 运动？如果速度0v 和球拍面的法线的夹角是α，速度P v 和此法线的夹角ϕ是多少？设任何时刻球拍和球都是做平动的．分析与解本题求解的关键是作满足题给条件的矢量关系图，而矢量图的完成又有赖于准确地把握各矢量间的关系，题中给出了三个重要的关于矢量间关系的隐含条件：第一，重球拍的“重”告诉我们，可以认为拍的速度P v 在碰球前后保持不变；第二，网球是弹性地射回，则告诉我们在碰撞前后，球相对于拍的速度大小相等、方向相反；第三，由于球和拍都是作平动的，故球相对于拍只有沿拍面法向速度而无切向速度分量．现取球拍面之法线为x 轴，使y 轴沿拍面，O 为网球入射点，如图所示，从O 点沿与x 轴成α角方向作有向线段0OA v =，作射线OP OA ⊥，从A 点作x 轴平行线交OP 于B ，取AB 中点C ，则有向线段OB 即是球离拍时的速度t v ，有向线段OC 则是球拍速度P v ，而有向线段CA 、CB 则是射入时球对拍速度0P v v -和弹回时球对球拍速度t P v v -，前面已经分析到，它们是等值、反向且沿球拍法向的．根据所作的矢量图，在直角三角形OAB ∆中，斜边上的中线2AB OC =，cos OAAB α=．故02cos P v v θ=，而球拍速度与球拍法线方向夹角为2()22πϕαπα=-=-．三、方法演练1、甲、乙两船在静水中航行速度分别为v 甲和v 乙，两船从同一渡口向河对岸划去．已知甲船想以最短时间过河，乙船想以最短航程过河，结果两船抵达对岸的地点恰好相同，则甲、乙两船渡河所用时间之比=t t 甲乙：_____________．解.甲、乙船速度矢量关系如图，两船航程相同，由图得22=t v t v 甲乙乙甲．2、骑自行车的人以20/km h 的速率向东行驶，感到风从正北方吹来，以40/km h 的速率向东行驶，感到风从东北方向吹来，试求风向和风速．解、速度矢量=+v v v 风风对人人的关系如图，由图易得28/v k h ≈风．3、如图所示，一条船平行于平直海岸线航行，船离岸的距离为D ，船速为0v ，一艘速率为0()v v v <的海上警卫小艇从港口出发沿直线航行去拦截这条船．（1）证明小艇必须在这条船驶过海岸线的某特定点A之前出发，这点在港口后面的D ⋅处．（2）如果快艇在尽可能迟的瞬时出发，它在什么时候和什么地方截住这条船？ 解、(1)艇相对船的速度方向不会超过θ，如图所示，cot θ=，A 点、港口间的连线与岸的夹角即两者相对位移方向不超过θ，则A 点在港口后面cot S D D θ=⋅=．(小艇必须在这条船驶过海岸线的某特定点A 之前出发,意思是艇出发时与A点船的的距离水1v 人2v 人v 风1v 风对人2v 风对人港口最短，v 的大小一定方向可变，而0v 的大小、方向都不变，确定艇相对船的速度方向如图。
物理竞赛2相对运动 - 教师版
2、相对运动我们首先以运动中的速度合成来说明质点相对运动之间的关系。
设有两个相对运动的参考系S 系和S ′系。
既然运动和静止是相对的，设S 系为不动的，而S ′系为运动的。
质点P 相对S 系的运动称为绝对运动。
而相对S ′系的运动称为相对运动。
相应地，P 点相对S 系的速度称为绝对速度，而相对S ′系的速度称为相对速度。
再引人牵连速度概念，它是运动参考系S ′系相对不动参考系S 系的速度。
质点P 在不同参考系的位矢关系如图所示。
由图中的位矢关系，我们容易得到，在任何时刻,绝对速度绝对v 为相对速度相对v 与牵连速度牵连v 之矢量和：牵连相对绝对v v v +=这就是速度合成原则，即S ′系相对于S 系运动时，质点相对于S 系的速度是质点相对于S ′系的速度与S ′系相对于S 系的速度的叠加。
由速度之间的关联，我们也很快可以得到加速度之间的关联： 牵连相对绝对a a a += 两点说明:（1）只有在S ′系平动（不转动）情况下，S ′参考系所有点相对S 系的速度（牵连速度）才是唯—的；（2）这三个速度之间的关系为运动学关系，与S 系和S ′系是否是惯性系还是非惯性系无关。
位矢加速度的关系亦如此。
1、一木板坚直地立在车上，车在雨中匀速进行一段给定的路程。
木板板面与车前进方向垂直，其厚度可忽略。
设空间单位体积中的雨点数目处处相等，雨点匀速坚直下落。
下列诸因素中与落在木板面上雨点的数量有关的因素是：（BD ）A.雨点下落的速度B.单位体积中的雨点数C.车行进的速度D.木板的面积 解：以板为系（雨滴落在板上）地板雨地雨板v v v +=画出矢量图形。
n 为数密度：单位体积内的个数 总量=SLn2、某汽车前方的挡风玻璃与水平方向成角度37°，当汽车以30m/s 在水平地面上开行时，汽车司机看到雨滴垂直打在挡风玻璃上，实际虽然下雨但是没有风，计算雨滴下落的速度。
解：相对运动速度关系地车雨地雨车v v v +=画出矢量图形。
物理研讨题(相对运动)
物理竞赛作业（相对运动）班级 姓名1．骑自行车的人以20 km ／h 的速率向东行驶，感到风从正北方吹来，以40 km ／h 的速率向东行驶，感到风从东北方向吹来，试求风向和风速．2．假定某天刮正北风，风速为u ，一运动员在风中跑步，他对地面的速度是v ，试问，当他向什么方向跑的时候，他会感到风是从自己的正右侧吹来的？这种情况在什么条件下成为无解？在无解的情况下，运动员向什么方向跑时，感到风与他跑的方向所成夹角最大？３．从离地面同一高度h 、相距l 的两处同时各抛出一个石块，一个以速度v 1竖直上抛，另一个石块以速度v 2向第一个石块原来位置水平抛出求这两个石块在运动过程中，它们之间的最短距离．４．一条船平行于平直海岸线航行，船离岸的距离为D ，船速为v 0 ，一艘速率为υ（υ＜v 0 ＝的海上警卫小艇从港口出发沿直线航行去拦截这条船．⑴证明小艇必须在这条船驶过海岸线的某特定点A 之前出发，这点在港口后面的v v v D 220 处．⑵如果快艇在尽可能迟的瞬时出发，它在什么时候和什么地方截住这条船？５．一辆汽车的正面玻璃一次安装成与水平方向倾斜角为β1＝30°，另一次安装成倾斜角度为β2＝15°,问汽车两次速度之比v 1∶v 2为多少时，司机看见冰雹两次都是以竖直方向从车的正面玻璃上弹开？（冰雹相对地面是竖直下落的）６．如图所示为从两列蒸汽机车上冒出的两股汽雾拖尾的照片（俯视）．两列车沿直轨道分别以速度v 1＝50 km ／h 和v 2＝70 km ／h 行驶，行驶方向如图所示．求风速．７．敞开的旋转木马离转动轴距离为r ，以角速度ω转动，人站在木马上．下雨了，雨滴以速度v 0竖直下落．试问人应该怎样支撑着雨伞才能够最有效地避开雨？８．一只木筏离开河岸，初速度为v 0，方向垂直于岸，划行路线如图虚线所示，经过时间T ，木筏划到路线上A 处，河水速度恒定为u ，且木筏在水中划行方向不变，请给出出发后，木筏复合运动的速度矢量图，并用作图法找到２T 、３T时刻此木筏在航线上的确切位置．９．磁带录音机的空带轴以恒定角速度转动，重新绕上磁带．绕好后带卷的末半径r 末为初半径ｒ初的３倍．绕带的时间为t 1．要在相同的带轴上重新绕上厚度为原磁带一半的薄磁带，问需要多少时间？10．在听磁带录音机的录音时发觉：带轴上带卷的半径经过时间t 1＝20min 减小一半．问此后半径又减小一半需要多少时间t 2 ？v u v 0 x。
物理竞赛辅导相对运动专题和应用附答案(236K)
相对运动专题第一部份：赛题解读与训练例1：商场中有一自动扶梯，某顾客沿开动上行的自动扶梯走上楼时，数得走了16级，当他用一样的速度相对扶梯沿向下开动的自动扶梯走上楼时，数得走了48级，那么静止时自动扶梯露出的级数为多少？点拨：分析人和电梯在整个进程中的运动情形，电梯在整个运动进程中的速度不变，可知人向上和向下的运动时刻之比为16∶48. 由人沿电梯上行和下行所走的路程相等，都等于一个楼层的高度，成立方程即可求解.解：电梯运动速度不变，可知4816=向下向上t t 得：向下向下t t 3= 而人向上和向下的路程等于梯层的高度，可知：向下梯人向上梯人t v v t v v )()(-=+得：向下梯向下人向上梯向上人t v t v t v t v ··-=+上式中，向上向下向下人向上人t 级，t t 级，v t v 34816=== 将这些数据代入上式可得：级t v 向上梯8=∴楼梯的高度为级t v v v t t v S 向上梯向上人向上梯人24·)(=+=+= 答：静止时自动扶梯露级数为24级。
点评：两个物体沿同一直线运动，讨论两个物体运动速度关系，在分析每一个物体运动情形时，要注意运动的相对性．明确运动的参照物。
竞赛训练一、选择题：1．一船来回于甲、乙两码头之间，顺水行驶时速度为v 1，逆水行驶时速度为v 2，船来回一次的平均速度为（ ）DA .221v v + B . 21v v + C . 21v v - D . 21212v v v v + 2．小船以速度v 从河边A 点沿河岸划至B 点又返回A 点。
不计船掉头时刻，假设水不流动时来回时刻为t ，那么水速为v 0时，来回时刻为（ ）CA . t v v v 0+B . t v v v 02-C . t v v v 2022-D . t v v v 222+ 3. 小船来回于沿河的甲、乙两地。
假设河水不流动，来回一次需要时刻t 1，假设河水流动，那么来回一次需要时刻t 2则（ ）CA ．t 1＝t 2B ．t 1＞t 2C ．t 1＜t 2D ．由船速和水速决定4．甲、乙两辆车沿平直的公路通过一样的路程。
高二物理竞赛课件：相对运动
速度 v的值 v 1.8ms1 ，它与 x轴之间的夹角
arctan1.5 56.3o
1.0
（2）运动方程
x(t) 1.0t 2.0，
y(t) 0.25t 2 2.0，
消去参数 t 可得轨迹方程为
y 0.25 x2 x 3.0
轨ห้องสมุดไป่ตู้图
y/m
t 4 s 6
t 4s
t 2 s 4 t 0 2
设：坐标为 x , 在t = 0 时，x = 0, v = v0 找出速度随坐标的关系：
a
d
v
a dv dv dx v dv
dt
dt dx dt dx
于是： vdv adx
变量替换
v v0 at
x
v0t
1 2
at 2
v2 v02 2ax
积分：
v
x
vdv adx
v0
0
1 2
v2
1 2
v02
ax
v2 v02 2ax
注意：（1）这里没有考虑方向，只适用直线运动。 （2）这里加速度大小a是常量, 只适用于匀变速运动。对
于一般直线运动或曲线运动均不适用！ 11
例： 设质点的运动方程为
r(t) x(t)i y(t) j,
其中 x(t) 1.0t 2.0，
y(t) 0.25t 2 2.0，
而位移、速度和加速度是相对的，与参考系的选择有关。
※ 伽利略坐标变换
r
R
r
x x ut
或
y y
z z
t t
四、速度变换定理
va vr u
u ——牵连速度
vr ——相对速度 va ——绝对速度
初中物理初中物理竞赛辅导 相对运动专题及应用.docx
xx 学校xx 学年xx 学期xx 试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________一、xx 题（每空xx 分，共xx 分）试题1:商场中有一自动扶梯，某顾客沿开动上行的自动扶梯走上楼时，数得走了16级，当他用同样的速度相对扶梯沿向下开动的自动扶梯走上楼时，数得走了48级，则静止时自动扶梯露出的级数为多少？ 试题2:车站上，坐在火车里的乘客从窗口发现有两列火车沿相反的方向运动，由此得出的下列判断中错误的是：（ ） A．乘客坐的火车和看到的两列火车中一定有两列在沿相反方向运动； B ．乘客坐的火车可能在运动； C ．三列火车可能沿同一方向运动； D ．三列火车中可能有一列是静止的。
试题3:甲、乙两列火车，车长分别为Ｌ1和Ｌ2，在相邻的两条轨道上，甲车以速度v 1向东匀速行驶，乙车以速度v 2向西匀速行驶，则甲、乙两列火车从相遇到离开所需时间为 。
试题4:从地面上看，通信用的地球同步卫星是静止不动的。
它运行一周所用的时间是：[ ] A. 24小时； B. 23小时56分； C. 24小时4分； D. 24小时56分。
试题5:李明同学放学回家，正碰上刮风下雨，他以18km/h 的速度由西向东快跑，此时他发现了奇怪的现象，雨滴成竖直下落状态，请你确定，这时刮的是____风，风速是___m/s 试题6:A、B两辆车以相同速度v0同方向作匀速直线运动，A车在前，Ｂ车在后．在两车上有甲、乙两人分别用皮球瞄准对方，同时以相对自身为2 v0的初速度水平射出，如不考虑皮球的竖直下落及空气阻力，则（）A．甲先被击中B．乙先被击中C．两人同时被击中D．皮球可以击中乙而不能击中甲试题7:运输液体货物的槽车，液体上有气泡，如图，当车开动时，气泡将向运动；刹车，气泡将向运动，其原因是具有惯性。
试题8:．按我国交通管理部门最近规定，坐在小汽车前排的司机和乘客都应在胸前系上安全带，这主要是为了减轻在下列哪种情况出现时可能对人造成的伤害。
高中物理竞赛相对运动知识点讲解
高中物理竞赛相对运动知识点讲解任何物体的运动都是相对于一定的参照系而言的，相对于不同的参照系，同一物体的运动往往具有不同的特征、不同的运动学量。
通常将相对观察者静止的参照系称为静止参照系；将相对观察者运动的参照系称为运动参照系。
物体相对静止参照系的运动称为绝对运动，相应的速度和加速度分别称为绝对速度和绝对加速度；物体相对运动参照系的运动称为相对运动，相应的速度和加速度分别称为相对速度和相对加速度；而运动参照系相对静止参照系的运动称为牵连运动，相应的速度和加速度分别称为牵连速度和牵连加速度。
绝对运动、相对运动、牵连运动的速度关系是：绝对速度等于相对速度和牵连速度的矢量和。
牵连相对绝对v v v这一结论对运动参照系是相对于静止参照系作平动还是转动都成立。
当运动参照系相对静止参照系作平动时，加速度也存在同样的关系：牵连相对绝对a a a位移合成定理：S A 对地=S A 对B +S B 对地如果有一辆平板火车正在行驶，速度为火地v（脚标“火地”表示火车相对地面，下同）。
有一个大胆的驾驶员驾驶着一辆小汽车在火车上行驶，相对火车的速度为汽火v ，那么很明显，汽车相对地面的速度为：火地汽火汽地v v v（注意：汽火v 和火地v 不一定在一条直线上）如果汽车中有一只小狗，以相对汽车为狗汽v 的速度在奔跑，那么小狗相对地面的速度就是火地汽火狗汽狗地v v v v从以上二式中可看到，上列相对运动的式子要遵守以下几条原则：①合速度的前脚标与第一个分速度的前脚标相同。
合速度的后脚标和最后一个分速度的后脚标相同。
②前面一个分速度的后脚标和相邻的后面一个分速度的前脚标相同。
③所有分速度都用矢量合成法相加。
④速度的前后脚标对调，改变符号。
以上求相对速度的式子也同样适用于求相对位移和相对加速度。
相对运动有着非常广泛的应用，许多问题通过它的运用可大为简化，以下举两个例子。
例1 如图2-2-1所示，在同一铅垂面上向图示的两个方向以s m v s m v B A /20/10 、的初速度抛出A 、B 两个质点，问1s 后A 、B 相距多远？这道题可以取一个初速度为零，当A 、B 抛出时开始以加速度g 向下运动的参考系。
初中物理竞赛练习题(2)相对运动
初三（）班姓名（）1、在公路上并列行驶的两辆汽车，甲车的乘客看到乙车向东运动，乙车的乘客看到窗外的树也向东运动，如果以楼房为参照物时则说明（）A：甲车向东运动，乙车向西运动B：甲车向西运动，乙车向东运动C：甲、乙两车都向西运动，且甲车比乙车运动得快D：甲、乙两车都向西运动，且甲车比乙车运动得慢2、甲、乙、丙三人分别乘坐直升机，甲看见地面楼房匀速下降，乙看见甲静止不动，丙看见乙匀速上升，这三架直升机各做何种运动？3、甲、乙、丙三辆汽车同时在一条东西方向的大街上行驶，甲车上的人看到丙车相对于甲车向西运动，乙车上的人看到甲、丙两辆车都相对乙车向东运动，而丙车上的人则看到路边树木向西运动，关于这三辆车行驶的方向，以下各说法中正确的是（）A：甲车必定向东行驶B：乙车必定向西行驶C：丙车可能向西行驶D：三辆车行驶的方向可能是相同的4、一条小船相对于水以3m/s的速度沿河逆流而上，水流速为1m/s，当小船在一座桥下经过时，船上的一只轻木箱被碰落水中，假设木箱落水后立即顺水漂向下游方向，过了1min才被船上的人发现，发现后立即调转船头，仍以相对于水3m/s的速度去追木箱，则从调头开始到追上木箱需要的时间为（）A：1min B：2min C：3min D：4min5、平直的公路上甲、乙、丙三人骑自行车沿相同方向行驶，但甲感觉顺风，乙感觉逆风，丙感觉无风，由此可判定三人中骑车速度最大的是（）6、在南北方向的平直公路上，有a、b、c三辆汽车，a车上的人看到b车匀速向南，c车上的人看到a车匀速向北，b车上的人看到路旁的建筑物匀速向南，这三辆车相对于地面可能静止的是（）A：只有a车B：只有b车C：只有c车D：a车和c车4、在向东行驶的甲车上的乘客看来，乙车向西运动；在向西行驶的丙车上的乘客看来，乙车向东运动，则乙车的运动情况可能是（）A：不动B：向西运动C：向东运动D：无法确定5、甲、乙、丙三辆汽车在同一条南北方向的公路上，甲车司机看到丙车向北运动，乙车司机看到甲车和丙车都向南运动，丙车司机看到路旁商店向北运动，下列说法正确的是（）A：甲车向南行驶B：乙车可能静止C：乙车向北行驶D：丙车速度最慢1、在一条平直的南北方向的公路上，有甲、乙、丙三辆汽车依次向北行驶，甲、丙两车快慢相同，乙车较甲、丙两车开得快。
高中物理竞赛 相对运动和匀变速
变速运动的研究是高中物理课本的开始，也是我们训练童鞋们高中物理竞赛能力，必不可少的一步。
这个地方的难点主要在于，对于加速度概念的理解，和对匀变速直线运动诸多公式的熟练运用。
告诉大家个诀窍：就是自己推公式。
这是记住公式，并且能够灵活运用的不二法门。
另一方面，童鞋们也会着重的接触物理竞赛运动学的精髓之一：相对运动一：运动的合成分解：由于位移、速度、加速度与力一样都是矢量。
是分别描述物体运动的位置变化运动的快慢及物体运动速度变化的快慢的。
由于一个运动可以看成是由分运动组成的，那么已知分运动的情况，就可知道合运动的情况。
例如轮船渡河，如果知道船在静水中的速度v1的大小和方向，以及河水流动的速度v的大小和方向，应用平行四边法则，就可求出轮船合运动的速度v（大小方向）。
这种已知分运动求合运动叫做运动的合成。
相反，已知合运动的情况，应用平行为四边法则，也可以求出分运动和情况。
例如飞机以一定的速度在一定时间内斜向上飞行一段位移，方向与水平夹角为30 ，我们很容易求出飞机在水平方向和竖直方向的位移：这种已知合运动求分运动叫运动的分解。
合运动分运动是等时的，独立的这一点必须牢记。
以上两例说明研究比较复杂的运动时，常常把这个运动看作是两个或几个比较简单的运动组成的，这就使问题变得容易研究。
在上例轮船在静水中是匀速行驶的，河水是匀速流动的，则轮船的两个分运动的速度矢量都是恒定的。
轮船的合运动的速度矢量也是恒定的。
所以合运动是匀速直线的。
一般说来，两个直线运动的合成运动，并不一定都是直线的。
在上述轮船渡河的例子中如果轮船在划行方向是加速的行驶，在河水流动方向是匀速行驶，那么轮船的合运动就不是直线运动而是曲线运动了。
由此可知研究运动的合成和分解也是为了更好地研究曲线运动作准备。
掌握运动的独立性原理，合运动与分运动等时性原理也是解决曲方法提示本讲导学高中物理竞赛专题相对运动和匀变速线运动的关键。
运动合成、分解的法则：运动的合成和分解是指位移的合成与分解及速度、加速度的合成与分解。
高中物理竞赛辅导资料二：相对运动及相关速度
高中物理竞赛辅导资料二：相对运动及相关速度一．一般情况下把质点对地面上静止的物体的运动称为绝对运动，质点对运动参照系的运动称为相对运动，而运动参照系对地的运动称为牵连运动，由坐标系的变换公式B C C A B A v v v 对对对+=可得到 牵连相对绝对v v v +=。
加速度也存在类似关系：牵连相对绝对a a a +=例1.雨滴落在静止的电车窗口，其径迹与竖直线成30o 倾角，电车以v=18km/h 的速度运动时，窗上的径迹恰是竖直的，求雨滴在无风时的速度。
二．刚性杆、绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的分速度。
例2．杆AB 沿墙壁滑下，已知A 端的速度A v ，杆与竖直墙壁的夹角为α。
求 B 端的速度？例3．如图5-1-15所示，在离水面高为H 的岸边，有人以v 0的匀速率收绳使船靠岸，当船与岸上的定滑轮水平距离为s 时，船速大小?A B α三．接触物系在接触面法线方向的分速度相同，切向分速度在无相对滑动时也相同。
例4．如图所示，AB 杆的A 端以匀速v 运动，在运动时杆恒与一半圆周相切，半圆周的半径为R ， 当杆与水平线的交角为θ时，求杆的角速度ω及杆上与半圆相切点c 的速度和杆与圆柱接触点c ’的速度大小？四．线状交叉物系交叉点的速度是相交物系双方沿双方切向运动分速度的矢量和。
例5、平面上有两直线夹角为θ（θ<90°），若它们各以垂直于自身大小为v 1和v 2的速度在该平面上作如图所示的匀速运动，试求交点相对于纸面的速率和相对于每一直线的速率。
作业：1、骑自行车的人以4m/s 的速度向东运动，骑车人感觉风是从正南方吹来的；当车速变为6m/s 时，她感觉风从东南方吹来，那风速应是多少？2、在宽度为d 的街上，有一连串汽车以速度u 鱼贯驶过，已知汽车的宽度为b ，相邻两车间的间距为a 。
如图所示，一行人想用尽可能小的速度沿一直线穿过此街，试求此人过街所需的时间。
3、如图所示，AA 1和BB 1是两根光滑的细直杆，并排固定于天花板上，绳的一端拴在B 点，另一端拴在套于AA 1杆中的珠子D 上，另有一珠子C 穿过绳及杆BB 1以速度v 1匀速下落，而珠子D 以一定速度沿杆上升，当图中角度为α时，珠子D 上升的速度v 2是多大？4、如图所示，两个边长相同的正方形线框相互叠放，且沿对角线方向，A 有向左的速度v ，B 有向右的速度2v ，求交点P 的速度。
高中物理竞赛：相对论运动学例题课件
v2 c2
例12：使电子的速度从 v1 1.2108 ms1 增加 到v2 2.4108 ms1，必须对它作多少功？
解：根据功能原理
W EK
EK m2c2 m1c2
W
m0c2
1
v22 c2
m0c2 4.721014 J 2.95105 eV
1
v12 c2
例２:观察者Ａ测得与他相对静止的ＸＯＹ平 面上圆的面积是12cm2 另一观察者Ｂ相对于 Ａ以0.8c平行于ＸＯＹ平面作匀速直线运动， Ｂ测得这一图形为一椭圆，其面积是多少？
解：在与Ｖ平行的方向上的线度将收缩为
R R0
1
v2 c2
S
ab
R
2 0
1
v2 c2
7.2cm 2
例３:假定在实验室中测得静止在实验室中的μ 介子的寿命为2.2×10 s6当它相对实验室运动 时，实验室中测得它的寿命为1.63×10 s。5 试问这个结果符合相对论的什么结论？介子 相对于实验室的速度是真空中光速c的多少倍？
d 2
v
h
解：（１）隧道的宽为d，高为h，长度为
L L
1
v2 c2
（2）从列车上观测，隧道以速度v经过列车 全长所需的时间为
t L l0 L
1
v2 c2
l0
vv
v
例8：观察者甲和乙分别静止于两个惯性系K和 K′中，甲测得在X轴上两点发生的两个事件的 空间间隔和时间间隔分别为500m和 2107 s ， 而乙测得这两个事件是同时发生的，问Ｋ′系相 对于Ｋ系以多大的速度运动？
例1:地球的半径R=6376km，它绕太阳的速率 为v=80km/s,在太阳参照系中测量地球的半径 在哪个方向上缩短得最多，缩短了多少？ （假设地球相对于太阳系来说近似于惯性系）
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2014级高一物理竞赛培训第 讲相对运动任何物体的运动都是相对于一定的参照系而言的，相对于不同的参照系，同一物体的运动往往具有不同的特征、不同的运动学量。
通常将相对观察者静止的参照系称为静止参照系；将相对观察者运动的参照系称为运动参照系。
物体相对静止参照系的运动称为绝对运动，相应的速度和加速度分别称为绝对速度和绝对加速度；物体相对运动参照系的运动称为相对运动，相应的速度和加速度分别称为相对速度和相对加速度；而运动参照系相对静止参照系的运动称为牵连运动，相应的速度和加速度分别称为牵连速度和牵连加速度。
绝对运动、相对运动、牵连运动的速度关系是：绝对速度等于相对速度和牵连速度的矢量和。
牵连相对绝对v v v +=这一结论对运动参照系是相对于静止参照系作平动还是转动都成立。
当运动参照系相对静止参照系作平动时，加速度也存在同样的关系：牵连相对绝对a a a+=位移合成定理：S A 对地=S A 对B +S B 对地 如果有一辆平板火车正在行驶，速度为火地v （脚标“火地”表示火车相对地面，下同）。
有一个大胆的驾驶员驾驶着一辆小汽车在火车上行驶，相对火车的速度为汽火v ，那么很明显，汽车相对地面的速度为：火地汽火汽地v v v+=（注意：汽火v 和火地v 不一定在一条直线上）如果汽车中有一只小狗，以相对汽车为狗汽v 的速度在奔跑，那么小狗相对地面的速度就是火地汽火狗汽狗地v v v v ++=从以上二式中可看到，上列相对运动的式子要遵守以下几条原则： ①合速度的前脚标与第一个分速度的前脚标相同。
合速度的后脚标和最后一个分速度的后脚标相同。
②前面一个分速度的后脚标和相邻的后面一个分速度的前脚标相同。
③所有分速度都用矢量合成法相加。
④速度的前后脚标对调，改变符号。
以上求相对速度的式子也同样适用于求相对位移和相对加速度。
相对运动有着非常广泛的应用，许多问题通过它的运用可大为简化，以下举两个例子。
例1 如图2-2-1所示，在同一铅垂面上向图示的两个方向以s m v s m v B A /20/10==、的初速度抛出A 、B 两个质点，问1s 后A 、B 相距多远？这道题可以取一个初速度为零，当A 、B 抛出时开始以加速度g 向下运动的参考系。
在这个参考系中，A 、B 二个质点都做匀速直线运动，而且方向互相垂直，它们之间的距离()()4.2251022==+=m t v t v s B A AB m例2在空间某一点O ，向三维空间的各个方向以相同的速度οv 射出很多个小球，球ts 之后这些小球中离得最远的二个小球之间的距离是多少（假设ts 之内所有小球都未与其它物体碰撞）？这道题初看是一个比较复杂的问题，要考虑向各个方向射出的小球的情况。
但如果我们取一个在小球射出的同时开始自O 点自由下落的参考系，所有小球就都始终在以O 点为球心的球面上，球的半径是t v 0，那么离得最远的两个小球之间的距离自然就是球的直径2t v 0。
同步练习1.一辆汽车的正面玻璃一次安装成与水平方向倾斜角为β1=30°，另一次安装成倾角为β2=15°。
问汽车两次速度之比21v v 为多少时，司机都是看见冰雹都是以竖直方向从车的正面玻璃上弹开？（冰雹相对地面是竖直下落的）提示：利用速度合成定理，作速度的矢量三角形。
答案为：3。
2、模型飞机以相对空气v = 39km/h的速度绕一个边长2km 的等边三角形飞图2-2-1行，设风速u = 21km/h ，方向与三角形的一边平行并与飞机起飞方向相同，试求：飞机绕三角形一周需多少时间？提示：三角形各边的方向为飞机合速度的方向（而非机头的指向）；第二段和第三段合v 大小相同。
参见右图，显然： v 2 =2v 合+ u 2 － 2v 合ucos120°可解出 v 合 = 24km/h 。
答案：0.2hour （或12min.）。
3.图为从两列蒸汽机车上冒出的两股长幅气雾拖尾的照片（俯视）。
两列车沿直轨道分别以速度v1=50km/h 和v2=70km/h 行驶，行驶方向如箭头所示，求风速。
提示：方法与练习一类似。
答案为：34、细杆AB 长L ，两端分别约束在x 、 y 轴上运动，（1）试求杆上与A 点相距aL （0＜ a ＜1)的P 点运动轨迹；（2）如果v A 为已知，试求P 点的x 、 y 向分速度v Px 和v Py 对杆方位角θ的函数。
提示：（1）写成参数方程⎩⎨⎧θ-=θ=cos L )a 1(y sin aL x 后消参数θ。
（2）解法有讲究：以A 端为参照， 则杆上各点只绕A 转动。
但鉴于杆子的实际运动情形如右图，应有v 牵 = v A cos θ，v 转 = v Aθθsin cos 2，可知B 端相．对．A ．的．转动线速度为：v 转 + v A sin θ= θsin v A 。
P 点的线速度必为 θsin av A= v 相所以 v Px = v 相cos θ+ v Ax ，v Py = v Ay － v 相sin θv 1v 2答案：（1）22)aL (x +222L )a 1(y - = 1 ，为椭圆；（2）v Px = av A ctg θ ，v Py =（1 －a ）v A 。
一般来说，选择不同的参考系物体的运动状态不同，但采用坐标转换法也可以改变物体的运动情况特别是可以把直觉看来是曲线运动的物体转换成直线运动的情况却很少学生了解，解题时采用这样的方法可以使问题简化很多。
例3. 由于汽车在冰面上行驶时摩擦因数很小，所以其最大加速度不能超过a=0.5m/s 2．根据要求，驾驶员必须在最短时间内从A 点到达B 点，直线AB 垂直于汽车的初始速度υ，如图2一1所示．如果A 、B 之间的距离AB=375 m ，而初速度υ=10 m/s ，那么这个最短时间为多少？其运动轨迹是什么？分析和解：本题是一个典型的相对运动问题，而且用常规的方法是很 难解出此题的，然而如果才坐标系转换法解此题，其难度却可以大大 降低。
坐标系转换：汽车在A 点不动，而让B 点以恒速υ向汽车运动的 相 反方向运动．在此坐标系内汽车为了尽快与B 点相遇，必 须沿直线以恒加速度a 向B 点驶去．假设它们在D 点相遇，如 图2—2所示．设AB=b ，我们可以列出：22221()()2b t at υ+= ①由①式可得：2222222224()b t a a aυυ=++ ② 将数据代人②式得t ＝50s 。
在地球坐标系内，它的运动是两个不同方向上的匀 速直线运动和匀加速直线运动的合运动，因而它的 运动轨迹是一条抛物线．用相对运动观点处理追及和相遇问题例 4. 航空母舰上的战斗机起飞时的最大加速度是a=5.0m/s 2,相对地面速度须达到v m =50m/s 。
航空母舰以一定的速度航行，该其甲板长度L=160m 。
设飞机起飞时可看作匀加速运动，且对航母的状态没有影响。
为使飞机能安全起飞，则航母的速度不得小于多少？【解析】：相对航母，飞机起飞时加速度a /= a=5.0m/s 2,最大位移s /=L=160m,所能达到的最大速度s a u ''=2=40m/s 。
为使飞机能安全起飞，航母的速度v ≥v m -u=10m/s 。
例5. 如图，A 船从赶港口P 出发去拦截正以速度v 0沿直线航行的船B ，P 与B 所在航线的垂直距离为a ，A 船启航时，B 与P 的距离为b （b ＞a ），若忽略A 启动的时间，并认为A 一起航就匀速运动，为使A 船能以最小速率拦截到B 船，下列说法正确的是：BCA ．A 船应以PC 方向运动B ．A 船应以PD 方向运动C ．A 船的最小速率为ba v 0D ．A 船的最小速率为ba b v 220-【解析】：A 要从P 出发拦能截到B ，则A 相对B 的运动方向应取开始时的PB 向。
而A 相对海面的速度，应等于A 相对B 的速度与B 相对海面速度的矢量和，如图所示，可见只有A 相对海面速度v A 对地垂直PB 时为最小。
例6. 物体A 在地面上足够高的空中以速度v 1平抛，与此同时，物体B 在A 正下方距离h 处以速度v 2竖直上抛，不计空气阻力，则二者在空中运动时的最近距离为A ．21v v hB ．12v vh C ．22211vv v h + D ．22212vv v h+答：Dv 2Bv 21AB 对地【解析】：由于二者加速度相同，则二者相对匀速。
以A 为参考系，则B 相对A 匀速运动的速度为2221v v +，方向如图, 二者间的最近距离即为图中AC 。
例7. 两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做同绕向的匀速圆周运动，地球半径为，卫星离地面的高度等于，卫星离地面高度为，则：（1）、两卫星运行周期之比是多少？（2）若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，则至少经过多少个周期与相距最远？【解析】：（1）对做匀速圆周运动的卫星使用向心力公式可得：所以（2）由可知：，即转动得更快。
则a 相对b 的角速度大小为ba b a T T ππωωω22-=-=∆ 设经过时间两卫星相距最远，则由图可得： （、2、3……）其中时对应的时间最短。
所以，得【点评】：圆周运动中的追及和相遇问题也可“利用相对（角）位移关系列方程”。
当然，如果能直接将角位移关系转化成转动圈数关系，运算过程更简洁，但不如利用相对角位移关系容易理解，而且可以和直线运动中同类问题的解法统一起来，记忆比较方便。
练习1 A 、B 两棒长均为L=1m ，接近在同一竖直线上，A 的下端与B 的上端相距s=20m ，A 、B 同时开始运动，A 做自由落体，B 做竖直上抛，初速度0v =40m/s ，不计空气阻力，则到两棒相遇时间t 1和从相遇开始到分离所需时间t 2分别为 ＣA ．t 1=0.5s ，t 2=0.5sB ．t 1=0.05s ，t 2=0.5sC ．t 1=0.5s ，t 2=0.05sD ．t 1=0.05s ，t 2=0.05s由于二者加速度相同，则二者相对匀速。
以A 为参考，B 相对A 匀速。
2．内空高h 的升降机正以加速度a （＜g ）匀加速上升中，顶部突然一颗螺钉松脱，至落到底板上需要时间 AA ．2h a g +B 2hg a- C 2h a D ．以上答案都不对3.如图，物体甲从高H 处以速度1v 平抛，同时乙从乙距甲水平方向s 处由地面以初速度2v竖直上抛，不计空气阻力，则两物体在空中相遇的条件是 ABDA ．从抛出到相遇的时间为2Hv B ．若要在物体乙上升中遇甲，必须212,s Hv v v =＞H 1v2v甲乙ＡＢgHC ．若要在物体乙下降中遇甲，必须212,s Hv v v =＞2gHD ．若相遇点离地高度为2H，则2v gH = 由于二者加速度相同，则二者相对匀速，相遇时间为1v s 或2v H 。