2021年高考理科数学试卷全国卷1 解析版

2021年高考理科数学试卷全国卷1 解析版
2021年高考理科数学试卷全国卷1(解析版)
2021年高考理科数学试卷全国卷1（解析版）
1．设复数z 满足
=i ，则|z|=（） 1-z
（A ）1 （B
（D ）2 【答案】A 【解析】由
1+z -1+i (-1+i )(1-i )
=i 得，z ===i ，故|z|=1，故选A. 1-z 1+i (1+i )(1-i )
考点：本题主要考查复数的运算和复数的模等. 2．sin 20o cos10o -cos160o
sin10o =（）（A
（C ）- （D ）
，故选D. 2
o o o o o
【解析】原式=sin 20cos10+cos 20sin10 =sin 30=
考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式. 3．设命题p ：∃n ∈N , n 2>2n ，则⌝p 为（）
（A ）∀n ∈N , n 2>2n （B ）∃n ∈N , n 2≤2n （C ）∀n ∈N , n 2≤2n
（D ）∃n ∈N , n 2=2n 【答案】C
【解析】⌝p :∀n ∈N , n ≤2，故选C.
考点：本题主要考查特称命题的否定
4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。

已知某同学每次投篮投
中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）（A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 【答案】A
【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C
30.62⨯0.4+0.63=0.648，
考点：本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式
-y 2=1上的一点，F 1, F 2是C 上的两个焦点，若5．已知M （x 0, y 0）是双曲线C ：2
MF 1∙MF 2
-y =1，所以MF 1∙
MF 2= 【解析】由题
知F ，(F 012
(x 0, -y 0) ∙x 0, -y 0) =x 0+y 0-3=3y 0-1
考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法. 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）（A ）14斛（B ）22斛（C ）36斛（D ）66斛【答案】B
116⨯2⨯3r =8=r =，所以米堆的体积43
[1**********]为⨯⨯3⨯() ⨯5=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B. 43399
【解析】设圆锥底面半径为r ，则考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式
7．设D 为∆ABC 所在平面内一点BC =3CD ，则（）（A ）AD =-
AB +AC （B ）AD =AB -AC 3333
（C ）AD =【答案】A
AB +AC （D ）AD =AB -AC 3333
AD =AC +CD =AC +BC =AC +(AC -AB ) ==
【解析】由题知
-AB +AC ，故选A. 33
考点：平面向量的线性运算
8．函数f (x ) =cos(ωx +ϕ) 的部分图像如图所示，则f (x ) 的单调递减区间为（）
, k π+), k ∈Z （B ）(2k π-, 2k π+), k ∈Z 44441313
（C ）(k -, k +), k ∈Z （D ）(2k -, 2k +), k ∈Z
（A ）(k π-
ω+ϕ=⎪ππ⎪42
ϕ=f (x ) =cos(πx +) ，【解析】由五点作图知，，解得，，所以ω=π⎪
53π44⎪ω+ϕ=⎪⎪42
＜x ＜2k +，k ∈Z ，故单调减区44
，2k +），k ∈Z ，故选D. 44
考点：三角函数图像与性质
9．执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）
（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 【答案】C
【解析】执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m=＞t=0.01,是，循环，
=0.5,S=S-m=0.5,m ==0.25,n=1,S=0.522
=0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环， 2m
执行第3次，S=S-m=0.125,m ==0.0625,n=3,S=0.125＞t=0.01,是，循环，
执行第4次，S=S-m=0.0625,m ==0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循环，
执行第5次，S=S-m=0.03125,m ==0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循环，
执行第6次，S=S-m=0.015625,m ==0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环，执行第7次，S=S-m=0.0078125,m ==0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,否，
执行第2次，S=S-m=0.25,m =输出n=7，故选C.
考点：本题注意考查程序框图
10．(x +x +y ) 的展开式中，x y 的系数为（）（A ）10 （B ）20 （C ）30
（D ）60 【答案】C
【解析】在(x +x +y ) 的5个因式中，2个取因式中x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y, 故x 5y 2的系数为C 5C 3C 2=30，故选 C.
考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.
【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.
11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示. 若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（）
（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B
【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为
⨯4πr 2+πr ⨯2r +πr 2+2r ⨯2r =2
5πr 2+4r 2=16 + 20π，解得r=2，故选B.
考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式
12．设函数f (x ) =e (2x -1) -ax +a , 其中a 1，若存在唯一的整数x 0，使得f (x 0) 0，则a 的取值范围是（）（A ）[-x
333333，1）（B ）[-，）（C ）[，）（D ）[，1）
2e 2e 42e 42e
【解析】设g (x ) =e (2x -1) ，y =ax -a ，由题知存在唯一的整数x 0，使得g (x 0) 在
直线y =ax -a 的下方.
因为g '(x ) =e (2x +1) ，所以当x
以当x =-时，[g (x )]max =-2e 2，
时，g '(x ) ＜0，当x >-时，g '(x ) ＞0，所22
当x =0时，g (0)=-1，g (1)=3e >0，直线y =ax -a 恒过（1,0）斜率且a ，故
-a >g (0)=-1，且g (-1) =-3e -1≥-a -a ，解得
≤a＜1，故选D. 2e
考点：本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题
13．若函数f （x ）
=x ln(x 为偶函数，则【答案】1
由题知y =ln(x +是奇函数，
所以ln(x +ln(-x =ln(a +x 2-x 2) =ln a =0，解得a =1. 考点：函数的奇偶性
+=1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标14．一个圆经过椭圆
【答案】(x -) +y =
【解析】设圆心为（a ，0），则半径为4-a ，则(4-a ) =a +2，解得a =
22圆的方程为(x -) +y =
3225. 4
考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程
⎪x -1≥0
15．若x , y 满足约束条件⎪x -y ≤0，则的最大值为 .
x ⎪x +y -4≤0
是可行域内一点与原x
点连线的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，
考点：线性规划解法
16．在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是 . 【答案】
【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得
sin ∠E sin ∠C
AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时o o
sin 30sin 75
与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，
BF BC BF 2
==，即，解得
sin ∠FCB sin ∠BFC sin 30o sin 75o
考点：正余弦定理；数形结合思想
17．（本小题满分12分）S n 为数列{a n }的前n 项和. 已知a n ＞0，a n +a n
=4S n +3.
（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =
,求数列{b n }的前n 项和. a n a n +1
11- 64n +6
【答案】（Ⅰ）2n +1（Ⅱ）【解析】
试题分析：（Ⅰ）先用数列第n 项与前n 项和的关系求出数列{a n }的递推公式，
可以判断数列{a n }是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{b n }的通项公式，再用拆项消去法求其前n 项和.
试题解析：（Ⅰ）当n =1时，a 1+2a 1=4S 1+3=4a 1+3，因为a n >0，所以a 1=3，
a n +a n -a n -1-a n -1
4S n +3-4S n -1-3=4a n
(a n +a ) (a -n
a n =) ，2a +(-因为a a ) ，所以a n -a n -1=2， n n n >0
所以数列{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，所以a n =2n +1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n =所
(2n +1)(2n +3) 22n +12n +3
}前n 项和为
b 1+b 2++b n
11111[(-) +(-) +235571111
-)] =-. 2n +12n +364n +6
考点：数列前n 项和与第n
项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法
18．如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF
，AE ⊥EC.
（Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ；
（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值. 【答案】【解析】试题分析：（Ⅰ）连接BD ，设BD∩AC=G，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨设GB=1易证EG
⊥AC ，通过计算可证EG ⊥FG ，根据线面垂直判定定理可知EG ⊥平面AFC ，由面面垂
直判定定理知平面AFC ⊥平面AEC ；（Ⅱ）以G 为坐标原点，分别以GB , GC 的方向为
x 轴，y 轴正方向，|GB |为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz ，利用向量法可求出
异面直线AE 与CF 所成角的余弦值.
试题解析：（Ⅰ）连接BD ，设BD∩AC=G，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，
不妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得由BE ⊥平面ABCD ，AB=BC可知，AE=EC，
又∵AE ⊥EC ，∴
EG ⊥AC ，
在Rt △EBG 中，可得
在Rt △FDG 中，可得
，在直角梯形BDFE 中，由BD=2，
∴EG 2+FG 2=EF 2，∴EG ⊥FG ，∵AC∩FG=G，∴EG ⊥平面AFC ，
∵EG ⊂面AEC ，∴平面AFC ⊥平面AEC.
（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以GB , GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，|GB |为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz ，由（Ⅰ）可得A （0，
F （－1,0
0），∴AE =（1
，CF =（-1，
） (1022)
AE ⋅CF . =|AE ||CF |
所以直线AE 与CF 所成的角的余弦值为
考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力19．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i
和年销售量y i （i =1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统
计量的值.
，w （Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出
判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据(u 1, v 1) , (u 2, v 2) ，……，(u n , v n ) , 其回归线v
=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
【答案】（y 关于年宣传费用x 的回归方程类型；（Ⅱ）
【解析】试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令先求出建立y 关于w 的线性回归方程，即可y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）（ⅰ）利用y 关于x 的回归方程先求出年销售量y 的预报值，再根据年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x即可年利润z 的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值，
列出关于x 的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费
y 关于年宣传费用x 的回归方程类型.
68×6.8=100.6.
∴y 关于w 的线性回归方程为y =100.6+68w ，∴y 关于x
（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当x =49时，年销售量y 的预报值
， z =576.6⨯0.2-49=66.32.
（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值
x =46.24时，z 取得最大值. 故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.……12分
考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识
20．（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=与直线y =kx +a （a ＞
0）交与M,N 两点，
（Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由. 【答案】
-y -a =0+y +a =0（Ⅱ）存在
【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N. （Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y =kx +a 代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为
0, 即可求出a , b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标. 试题解析：（Ⅰ）
由题设可得M a
) ，N (-a ) ，
或M (-2a ，N a ) .
x 21∵y '=x ，故y =在x
在, a ) 处的切线方程为
y -a =x -
-y -a =0. x 2
=-处的到数值为
在(-, a ) 处的切线方程为
y -a =x +
+y +a =0.
-y -a =
0+y +a =0.
（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：
设P （0，b ）为复合题意得点，M (x 1, y 1) ，N (x 2, y 2) ，直线PM ，PN 的
斜率分别为k 1, k 2.
2将y =kx +a 代入C 得方程整理得x -4kx -4a =0.
∴x 1+x 2=4k , x 1x 2=-4a . ∴k 1+k 2=y 1-b y 2-b 2kx 1x 2+(a -b )(x 1+x 2) k (a +b ) ==. +a x 1x 2x 1x 2
当b =-a 时，有k 1+k 2=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，
故∠OPM=∠OPN ，所以P (0,-a ) 符合题意.
考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力
321．（本小题满分12分）已知函数f （x ）=x +ax +1, g (x ) =-ln x . 4
（Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线y =f (x ) 的切线；
n i （Ⅱ）用m {m , n } 表示m,n 中的最小值，设函数h (x ) =min f (x ), g
(x ) {}(x >0) ，讨论h （x ）零点的个数.
【答案】（Ⅰ）a =3353；（Ⅱ）当a >-或a
553a =-时，h (x ) 有两个零点；当-
试题分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对
应的a 值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将x 分为x >1, x =1,0
试题解析：（Ⅰ）设曲线y =f (x ) 与x 轴相切于点(x 0,0) ，则f (x 0) =0，f
'(x 0) =0，
试卷第11页，总15页
1⎪3x +ax +=013⎪00即⎪，解得x 0=, a =. 424⎪3x 2+a =0⎪0
因此，当a =3时，x 轴是曲线y =f (x ) 的切线. 4
时，g (x ) =-ln x
∴h (x ) 在（1，+∞）无零点.
55() =a +0≥，h (1)=min{f (1),g (1)}=g (1)=0, 故x =1，则f 144
551) =a +
故x =1不是h (x ) 的零点.
当x ∈(0,1)时，g (x ) =-ln x >0，所以只需考虑f (x ) 在（0,1）的零点个数.
（ⅰ）若a ≤-3或a ≥0，则f '(x ) =3x 2+a 在（0,1）无零点，故f (x ) 在（0,1）单调，而f (0)=15，f (1)=a +，所以当a ≤-3时，f (x ) 在（0，1）有一个零点；当44
a ≥0时，f (x ) 在（0，1）无零点.
1）单调递增，故当x
) 取的最小值，最小值为f
43＞0，即-＜a ＜0，f (x ) 在（0,1）无零点.
43=0，即a =-，则f (x ) 在（0,1）有唯一零点； 4315＜0，即-3
若f -535
有一个零点.…10分 3535或a
53两个零点；当--考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想
22．（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
试卷第12页，总15页
如图，AB 是的直径，AC 是的切线，BC 交于E.
（Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是
ACB 的大小. 的切线；
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60°
试题分析：（Ⅰ）由圆的切线性质及圆周角定理知，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ，由直角三角形中线性质知DE=DC，OE=OB，利用等量代换可证∠DEC+∠OEB=90°，即∠OED=90°，所以DE 是圆O 的切线；（Ⅱ）设CE=1,
AE=x ，由勾股定理
2AE =CE ⋅BE ，列出关于x 的方程，解出x ，即可求出∠ACB 的大小.
试题解析：（Ⅰ）连结AE ，由已知得，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ，
在Rt △AEC 中，由已知得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE ，
连结OE ，∠OBE=∠OEB ，
∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，
∴∠OED=90°，∴DE 是圆O 的切线.
（Ⅱ）设CE=1，AE=x , 由已知得
2 由射影定理可得，AE =CE ⋅BE ，
考点：圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线C 1:x =-2，圆C 2：(x -1)+(y -2)=1, 以坐标原点22
为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求C 1，C 2的极坐标方程；
试卷第13页，总15页
（Ⅱ）若直线C
3C 2与C 3的交点为M , N ,求
∆C 2MN 的面积.
【答案】（Ⅰ）ρcos θ=-2, ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=
试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得C 1，（Ⅱ）
C 2的极坐标方程；ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出C 2MN 的面积.
试题解析：（Ⅰ）因为x =ρcos θ, y =ρsin θ，
∴C 1的极坐标方程为ρcos θ=-2，C 2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.……5分
2 （Ⅱ）ρ-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0，
2|MN|=ρ1－ρ
因为C 2的半径为1，则C 2MN
考点：直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0.
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f （x ）>1的解集；
（Ⅱ）若f （x ）的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）{x |
试题分析：（Ⅰ）利用零点分析法将不等式 f （x ）>1化为一元一次不等式组来解；（Ⅱ）将f (x ) 化为分段函数，求出f (x ) 与x 轴围成三角形的顶点坐标，即可求出
三角形的面积，根据题意列出关于a 的不等式，即可解出a 的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）当a=1时，不等式f （x ）>1化为|x+1|-2|x-1|＞1， 2
等价于⎪⎪x ≤-1⎪-11⎪x +1+2x -2>1⎪x +1-2x +2>1
21的解集为{x |
试卷第14页，总15页
⎪x -1-2a , x
⎪-x +1+2a , x >a ⎪
所以函数f (x ) 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A (2a -1,0) ，3
2B (2a +1,0) ，C (a , a +1)，所以△ABC 的面积为(a +1) 2. 3
22由题设得(a +1) ＞6，解得a >2. 3
所以a 的取值范围为（2，+∞）.
考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法
试卷第15页，总15页。