《等边三角形的性质和判定》
等边三角形性质与判定
等边三角形性质与判定等边三角形是指三条边都相等的三角形。
在几何中，等边三角形具有一些特殊的性质和判定方法。
本文将介绍等边三角形的性质以及如何判定一个三角形是等边三角形。
一、等边三角形的性质1.三边相等：等边三角形的三条边长度相等，即AB=AC=BC。
2.内角相等：等边三角形的三个内角都相等，每个角都是60度。
3.内角和为180度：等边三角形的三个内角和为180度，因为三个角都是60度，所以它们的和为180度。
4.等边三角形是等腰三角形：等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
等边三角形的三边都相等，因此也是等腰三角形。
5.等边三角形是等角三角形：等角三角形是指三个角度都相等的三角形。
等边三角形的三个内角都是60度，因此也是等角三角形。
二、判定一个三角形是否为等边三角形判定一个三角形是否为等边三角形可以通过以下方法进行：1.测量三条边的长度：通过使用测量仪器（例如尺子）或计算方法，测量三条边的长度，如果它们长度相等，则可以判定为等边三角形。
2.判定三个角度是否相等：通过使用角度测量器或计算方法，测量三个角度的大小，如果它们都是60度，则可以判定为等边三角形。
3.判定两边是否相等：通过测量任意两条边的长度，如果它们长度相等，则可以判定为等边三角形。
需要注意的是，在实际应用中，我们常常会结合多种判定方法来确定一个三角形是否为等边三角形，以增加判定结果的准确性。
三、等边三角形的应用等边三角形在几何学中有广泛的应用，下面列举了其中一些常见的应用：1.建筑与设计：等边三角形在建筑和设计中常常作为参考图形，用于规划和设计各种建筑结构。
2.三角函数：等边三角形是三角函数的重要基础。
在三角函数中，等边三角形通常用作基本的参考图形，用于推导和分析各种三角函数的性质和关系。
3.几何证明：等边三角形作为一种特殊的三角形，常常被用于几何证明中。
通过研究等边三角形的性质，可以推导和证明各种几何定理和命题。
4.图形构造：等边三角形是一种基本的图形构造元素，可以用于构造其他形状和图形。
等边三角形的性质和判定
A
你还能用其他
方法证明吗?
B
C
D
在直角三角形中,如果一个锐角等于30° 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
30°
B┓ C
在直角△ABC中
∵∠A＝30° ∴AC＝2BC
下图是屋架设计图的一部分,点D是 斜梁AB的中点,立柱BC、 DE垂直于 横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°立柱 BC 、 DE要多长?
E
∴ △ADE 是等边三角形．
追问 本题还有其他证法吗？B
C
动脑思考，变式训练
变式1 若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？
证明：∵ △ABC 是等边三角形， ∴ ∠A =∠ABC =∠ACB =60°． A
∵ DE∥BC，
∴ ∠ABC =∠ADE，
∠ACB =∠AED.
B
C
∴ ∠A =∠ADE =∠AED.
∴ △ADE 是等边三角形. D
E
动脑思考，变式训练
变式2 若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上， 且DE∥BC，结论依然成立吗？
证明： ∵ △ABC 是等边三角形， E D
∴ ∠BAC =∠B =∠C =60°．
∵ DE∥BC，
A
∴ ∠B =∠D，∠C =∠E．
是（三线合一）
（等边对等角）
一条对称轴
相等 每个角都等于60°
？
细心观察，探索性质
结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应 的结论吗？
图形
等腰 三角形
等边 三角形
边
两边相等 （定义）
三边相等 （定义）
角
轴对称图形
两底角相等
是（三线合一）
《等边三角形的性质与判定》教案、导学案、同步练习
《第1课时等边三角形的性质和判定》教案教学目标（一）教学知识点经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程．（二）能力训练要求1．经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．2．经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．（三）情感与价值观要求1．积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．教学重点等边三角形判定定理的发现与证明．教学难点1．等边三角形判定定理的发现与证明．2．引导学生全面、周到地思考问题．教学方法探索发现法．教具准备多媒体课件，投影仪．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]我们在前两节课研究证明了等腰三角形的性质和判定定理，我们知道，在等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形──三条边都相等的三角形，叫等边三角形．回答下面的三个问题．（演示课件）1．把等腰三角形的性质用到等边三角形，能得到什么结论？2．一个三角形满足什么条件就是等边三角形？3．你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？•你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴交流．（教师应给学生自主探索、思考的时间）[生甲]由等边对等角的性质可知，等边三角形的三个角相等，又由三角形三内角和定理可知，等边三角形的三个角相等，并且都等于60°．[生乙]等腰三角形已有两边分别相等，所以我认为只要腰和底边相等，等腰三角形就是等边三角形了．[生丙]等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于60°，我认为等腰三角形的三个内角都等于60°，也就是说这个等腰三角形就是等边三角形了．（此时，部分同学同意此生看法，部分同学不同意此生看法，引起激烈的争论，•教师可让同学代表发表自己的看法）[生丁]我不同意这个同学的看法，•因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形．根据等角对等边，三个内角都是60°，所以它们所对的边一定相等，但这一问题中“已知是等腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形”，•我觉得他给的条件太多，浪费![师]给三个角都是60°，这个条件确实有点浪费，那么给什么条件不浪费呢？•下面同学们可以在小组内交流自己的看法．Ⅱ．导入新课探索等腰三角形成等边三角形的条件．[生]如果等腰三角形的顶角是60°，那么这个三角形是等边三角形．[师]你能给大家陈述一下理由吗？[生]根据三角形的内角和定理，顶角是60•°，•等腰三角形的两个底角的和就是180°-60°=120°，再根据等腰三角形两个底角是相等的，•所以每个底角分别是120°÷2=60°，则三个内角分别相等，根据等角对等边，•则此时等腰三角形的三条边是相等的，即顶角为60°的等腰三角形为等边三角形．[生]等腰三角形的底角是60°，那么这个三角形也是等边三角形，同样根据三角形内角和定理和等角对等边、等边对等角的性质．[师]从同学们自主探索和讨论的结果可以发现：•在等腰三角形中，•不论底角是60°，还是顶角是60°，那么这个等腰三角形都是等边三角形．•你能用更简洁的语言描述这个结论吗？[生]有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．（这个结论的证明对学生来说可能有一定的难点，难点是意识到分别讨论60°的角是底角和顶角两种情况．这是一种分类讨论的思想，教师要关注学生得出证明思路的过程，引导学生全面、周到地思考问题，并有意识地向学生渗透分类的思想方法）[师]你在与同伴的交流过程中，发现了什么或受到了何种启示？[生]我发现我的证明过程没有意识到“有一个角是60°”，在等腰三角形中有两种情况：（1）这个角是底角；（2）这个角是顶角．也就是说我们思考问题要全面、周到．[师]我们来看有多少同学意识到分别讨论60°的角是底角和顶角的情况，•我们鼓掌表示对他们的鼓励．今天，我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，我们在证明这个定理的过程中，还得出了三角形为等边三角形的条件，是什么呢？[生]三个角都相等的三角形是等边三角形． [师]下面就请同学们来证明这个结论． （投影仪演示学生证明过程）已知：如图，在△ABC 中，∠A=∠B=∠C ． 求证：△ABC 是等边三角形． 证明：∵∠A=∠B ， ∴BC=AC （等角对等边）． 又∵∠A=∠C ，∴BC=AC （等角对等边）．∴AB=BC=AC ，即△ABC 是等边三角形．[师]这样，我们由等腰三角形的性质和判定方法就可以得到． （演示课件）AB等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°； 三个角都相等的三角形是等边三角形． 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．[师]有了上述结论，我们来学习下面的例题，体会上述定理． （演示课件）[例4]如图，课外兴趣小组在一次测量活动中，测得∠APB=60°，AP=BP=200m ，•他们便得出一个结论：A 、B 之间距离不少于200m ，他们的结论对吗？分析：我们从该问题中抽象出△APB ，由已知条件∠APB=60°且AP=BP ，•由本节课探究结论知△APB 为等边三角形．解：在△APB 中，AP=BP ，∠APB=60°， 所以∠PAB=∠PBA=（180°-∠APB ）=（180°-60°）=60°． 于是∠PAB=∠PBA=∠APB ．从而△APB 为等边三角形，AB 的长是200m ，•由此可以得出兴趣小组的结论是正确的．Ⅲ．随堂练习（一）课本P54练习 1、2．1．等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？它们分别是什么线段？ 答案：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，它们分别是三个角的平分线（或是三条边上的中线或三条边上的高线）．2．如图，等边三角形ABC 中，AD 是BC 上的高，∠BDE=∠CDF=60°，•图中有哪些与BD 相等的线段？答案：BD=DC=BE=EA=CF=FA=DE=DF ． （二）补充练习1212E DCA BF如图，△ABC 是等边三角形，∠B 和∠C 的平分线相交于D ，BD 、CD•的垂直平分线分别交BC 于E 、F ，求证：BE=CF ．证明：连结DE 、DF ，则BE=D E ，DF=CF ．由△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC ，得∠1=30°，故∠2=30°，从而∠DEF=60°．同理∠DFE=60°， 故△DEF 是等边三角形． DE=DF ， 因而BE=CF ． Ⅳ．课时小结这节课，我们自主探索、思考了等腰三角形成为等边三角形的条件，•并对这个结论的证明有意识地渗透分类讨论的思想方法．这节课我们学的定理非常重要，在我们今后的学习中起着非常重要的作用．Ⅴ．课后作业（一）课本P56─5、6、7、10题． （二）预习P55～P56． Ⅵ．活动与探究探究：如图，在等边三角形ABC 的边AB 、AC 上分别截取AD=AE ．△ADE 是等边三角形吗？试说明理由．过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解等边三角形的性质及判定． 结果：已知：三角形ABC 为等边三角形．D 、E 为边AB 、AC 上两点，且AD=AE ．判断△A DE•是否是等边三角形，并说明理由．解：△ADE 是等边三角形，21E DCABFE DCAB∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°．又∵AD=AE，∴△ADE是等腰三角形．∴△ADE是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．板书设计§12．3．2 等边三角形（一）一、探索等边三角形的性质及判定问题：一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形二、等边三角形的性质及判定三、应用例题讲解四、随堂练习五、课时小结六、课后作业备课资料等腰三角形（含等边三角形）的性质与判定．等腰三角形（含等边三角形）参考例题1．已知，如图，房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC．屋椽AB=AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．解：在△ABC中，∵AB=AC（已知），DA B∴∠B=∠C （等边对等角）． ∴∠B=∠C=（180°-∠BAC ）=40°（三角形内角和定理）． 又∵AD ⊥BC （已知），∴∠BAD=∠CAD （等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）． ∴∠BAD=∠CAD=50°．2．已知：如图，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 到E ，使CE=CD ． 求证：DB=DE ．证明：∵△ABC 是等边三角形，且BD 是中线， ∴BD ⊥AC ，∠ACB=60°，∠DBC=30°． 又∵CD=CE ， ∴∠CDE=∠E=∠ACB=30°． ∴∠DBC=∠E ． ∴DB=DE ．3．已知：如图，△ABC 是等边三角形，DE ∥BC ，交AB 、AC 于D 、E ．求证：△ADE 是等边三角形．证明：∵△ABC 是等边三角形（已知）， ∴∠A=∠B=∠C （等边三角形各角相等）． ∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C （两直线平行，同位角相等）． ∴∠A=∠ADE=∠AED ．∴△ADE 是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）．§12．3．2 等边三角形（二）教学目标（一）教学知识点1．探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质． 2．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．1212ED ABDCAE B（二）能力训练要求1．经历“探索──发现──猜想──证明”的过程，•引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．2．培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力．（三）情感与价值观要求1．鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲．2．体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性．教学重点含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．教学难点1．含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．2．引导学生全面、周到地思考问题．教学方法探索发现法．教具准备两个全等的含30°角的三角尺；多媒体课件；投影仪．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质．大家可能已猜到，我让大家准备好的含30°角的直角三角形，•它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？•能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？Ⅱ．导入新课（让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明）[生]用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．其中，图（1）是等边三角形，因为△ABD ≌△ACD ，所以AB=AC ，又因为Rt △ABD 中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．[生]图（1）中，∠B=∠C=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC 是等边三角形．[师]同学们从不同的角度说明了自己拼成的图（1）是等边三角形．由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？[生]在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半． [师]我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？[生]可以，在图（1）中，我们已经知道它是等边三角形，所以AB=BC=AC ．•而∠ADB=90°，即AD ⊥BC ．根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=DC=BC ．所以BD=AB ，•即在Rt △ABD 中，∠BAD=30°，它所对的边BD 是斜边AB 的一半．[师生共析]这位同学能结合前后知识，把问题思路解释得如此清晰，很了不起．•下面我们一同来完成这个定理的证明过程．定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，•那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°． 求证：BC=AB ． (1)D C AB(2)D CAB121212分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD ． 证明：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°． 延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD （如下图） ∵∠ACB=60°， ∴∠ACD=90°． ∵AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC （SAS ）．∴AB=AD （全等三角形的对应边相等）．∴△ABD 是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）． ∴BC=BD=AB ． [师]这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系，下面我们就来看一个例题．（演示课件）[例5]右图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=7.4m ，∠A=30°，立柱BD 、DE 要多长？分析：观察图形可以发现在Rt △AED 与Rt △ACB 中，由于∠A=30°，所以DE=AD ，BC=AB ，又由D 是AB 的中点，所以DE=AB ．解：因为DE ⊥AC ，BC ⊥AC ，∠A=30°，由定理知BC=AB ，DE=AD ， 所以BD=×7.4=3.7（m ）．又AD=AB ，所以DE=AD=×3.7=1.85（m ）．答：立柱BC 的长是3.7m ，DE 的长是1.85m ．ABDC A1212121214121212121212D C AEB[师]再看下面的例题．[例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a ，求腰上的高． 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高．求：CD 的长．分析：观察图形可以发现，在Rt △ADC 中，AC=2a ，而∠DAC 是△ABC 的一个外角，•则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，•可求出CD ．解：∵∠ABC=∠ACB=15°， ∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°． ∴CD=AC=a （在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．[师]下面我们来做练习． Ⅲ．随堂练习 （一）课本P56练习Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=2∠A ，∠B 和∠A 各是多少度？边AB 与BC•之间有什么关系？答案：∠B=60°，∠A=30°，AB=2BC ． （二）补充练习1．已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°． 求证：BD=AB ． 证明：在Rt △ABC 中，∠A=30°， ∴BC=AB ． 在Rt △BCD 中，∠B=60°， ∴∠B CD=30°．∴BD=BC ． ∴BD=AB ．2．已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把1214121214DC AD CAB对边分成两条线段．求证：其中一条是另一条的2倍．已知：在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ，BD 是∠ABC 的平分线． 求证：CD=2AD ．证明：在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ， ∴∠ABC=60°，∠C=30°． 又∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD=∠DBC=30°． ∴AD=BD ，BD=CD ． ∴CD=2AD ． Ⅳ．课时小结这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用．Ⅴ．课后作业（一）课本P58─11、12、13、14题． （二）预习P60～P61，并准备活动课．1．找出若干个成轴对称的汉字、英文字母、阿拉伯数字． 2．思考镜子对实物的改变． Ⅵ．活动与探究在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．过程：可以从证明“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”．从辅助线的作法中得到启示．结果：已知：如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AB ． 求证：∠B AC=30°．证明：延长BC 到D ，使CD=BC ，连结AD ． ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD=90°．1212DCAB(1)C AB又∵AC=AC ，∴△ACB ≌△ACD （SAS ）． ∴AB=AD ． ∵CD=BC ，∴BC=BD ． 又∵BC=AB ，∴AB=BD ． ∴AB=AD=BD ，即△ABD 为等边三角形． ∴∠B=60°．在Rt △ABC 中，∠BAC=30°． 板书设计§12．3．2 等边三角形（二） 一、定理的探究定理：在直角三角形中，有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、范例分析 三、随堂练习 四、课时小结 五、课后作业 备课资料 参考例题1．已知，如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形． 求证：AN=BM ．证明：△ACM 与△CBN 是等边三角形． ∴∠ACM=∠BCN ．∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠NCM ， 即∠ACN=∠MCB ． 在△ACN 和△MCB 中，1212(2)DC ABCBMN∴△ACN≌△MCB（SAS）．∴AN=BM．2．一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，AB=10cm，•CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么BC的长是多少？解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10cm．∴BC=AB=5cm．∵CB1⊥AB，∴∠B+∠BCB1=90°．又∵∠A+∠B=90°，∴∠BCB1=∠A=30°．在Rt△ACB1中，BB1=BC=2.5cm．∴AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5（cm）．∴在Rt△AB1C1中，∠A=30°．∴B1C1=AB1=×7.5=3.75（cm）．13.3.2 等边三角形《第1课时等边三角形的性质和判定》教案教学目的1．使学生熟练地运用等腰三角形的性质求等腰三角形内角的角度。
等边三角形的性质和判定
等边三角形的中线、高线 和角平分线重合
相等
等边三角形的三个内角相等，每 个角都是60度。
等边三角形的中位线与底边平行， 且等于底边的一半。
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等边三角形的外角和等于360度， 每个外角都是120度。
等边三角形的高、中线、角平分 线三线合一，且都等于底边的一 半。
对称性
等边三角形的高、中线、角 平分线三线合一，且都垂直 于底边。
等边三角形三边相等，三个 角相等，具有轴对称性。
等边三角形的重心、内心、 外心、垂心四心合一，且都
位于等边三角形的内部。
等边三角形是特殊的等腰三 角形，具有等腰三角形的所
有性质。
高等性质
边长相等：三边 长度相等
内角相等：三个 内角均为60度
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中世纪：阿拉伯数学家开始对等边三角形进行更深入 的研究，进一步发展了相关理论
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近现代：随着数学的发展，等边三角形在各个领域的 应用越来越广泛，如物理学、工程学和计算机科学等
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古希腊时期：欧几里德在《几何原本》中详细阐述了 等边三角形的性质和定理，为后续研究奠定了基础
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文艺复兴时期：欧洲数学家如笛卡尔和费马开始使用 解析几何方法研究等边三角形，推动了三角学的发展
轴对称：具有三 条对称轴
重心、内心、外 心重合：重心、 内心、外心三点 共线
等边三角形的判定
边判定法
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定义：三边相等的三角形是等边三角形
判定定理：如果一个三角形的三边长度相等，则这个三角形是等边三角 形。
证明：由三角形的性质，任意两边之和大于第三边，如果三边长度相等， 则三边之和都等于第三边，满足三角形的定义。
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3．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，你能得到AB＝BC＝CA 吗？为什么？ 你从中能得到什么结论？ 三个角都相等的三角形是等边三角形． 4．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°.(1)求证：△ABC是 等边三角形； (2)如果把∠A＝60°改为∠B＝60°或∠C＝60°，那么结论 还成立吗？ (3)由上你可以得到什么结论？ 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．源自 语文小魔方站作品 盗版必究
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附赠 中高考状元学习方法
前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
11．2 与三角形有关的角
11．2.2 三角形的外角
1．了解三角形的外角． 2．知道三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 和． 3．学会运用简单的说理来计算三角形相关的角．
重点 三角形外角的性质． 难点 运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地推 理．
一、复习引入 什么是三角形的内角？它是由什么组成的？ 三角形内角和定理的内容是什么？ 教师提出问题，学生举手回答问题． 二、探究新知 1．探究三角形外角的概念． 教师布置学生自学教材第14页最后一段话的内容，然后完 成以下问题： (1)举例说明什么是三角形的外角．(上黑板画图说明) (2)如图，∠ADB，∠BPC，∠BDC，∠DPC分别是哪个三 角形的外角？
四、练习与小结 练习：教材练习． 教师布置练习，学生举手回答． 小结：谈谈你对三角形外角的认识． 教师引导学生谈谈对三角形外角的认识．主要从定义和 性质两个方面入手． 五、布置作业 习题11.2第5，6，8题，选做题：第11题．
等边三角形的性质与判定(3种题型)-2023年新八年级数学(苏科版)(解析版)
等边三角形的性质与判定（3种题型）了解等边三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。
一．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．二．等边三角形的判定（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．三．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．一．等边三角形的性质（共9小题）1．（2022秋•崇川区校级月考）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC 于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（）A．3B．4.5C．6D．7.5【分析】由在等边三角形ABC中，DE⊥BC，可求得∠CDE＝30°，则可求得CD的长，又由BD平分∠ABC 交AC于点D，由三线合一的知识，即可求得答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，∵DE⊥BC，∴∠CDE＝30°，∵EC＝1.5，∴CD＝2EC＝3，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴AD＝CD＝3，∴AB＝AC＝AD+CD＝6．故选：C．【点评】此题考查了等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．2．（2022秋•姜堰区月考）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根据等边三角形的性质解答即可．【解答】解：∵等边△ABC的边长AB＝4cm，BD平分∠ABC，∴∠ACB＝60°，DC＝AD＝2cm，∵∠E＝30°，∠E+∠EDC＝∠ACB，∴∠EDC＝60°﹣30°＝30°＝∠E，∴CD＝CE＝2cm，故选：B．【点评】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的三线合一解答．3．（2022秋•常州期中）如图，△ABC是等边三角形，P为BC上一点，在AC上取一点D，使AD＝AP，且∠APD＝70°，则∠PAB的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°【分析】由已知条件AD＝AP可知∠ADP＝∠APD，结合∠APD＝70°可得∠ADP的度数，从而得到∠P AD 的度数；根据等边三角形的性质，可以得到∠BAC＝60°，结合∠PAB＝∠BAC﹣∠PAD即可解答此题．【解答】解：∵AD＝AP，∴∠ADP＝∠APD．∵∠ADP＝∠APD，∠APD＝70°，∴∠ADP＝70°，∠PAD＝40°．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠PAB＝60°﹣40°＝20°．故选：C．【点评】本题主要考查等边三角形与等腰三角形的性质，可以结合等边三角形的性质进行解答．4．（2022秋•海门市期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F．（1）求证：CE＝2CF；（2）若CF＝2，求△ABC的周长．【分析】（1）根据等边三角形的性质可知∠ACB＝60°，再由DF⊥BE可知∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，由直角三角形的性质即可得出结论；（2）由CF＝2可得出CD＝4，故可得出AC的长，进而可得出结论．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵DF⊥BE，∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，∴DC＝2CF．∵CE＝CD∴CE＝2CF；（2）解：∵CF＝2，由（1）知CE＝2CF，∴DC＝2CF＝4．∵△ABC为等边三角形，BD是中线，∴AB＝BC＝AC＝2DC＝8，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝8+8+8＝24．【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知边三角形的三个内角都相等，且都等于60°是解题的关键．5．（2022秋•启东市期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DE＝BC，则∠AFE＝（）A．100°B．105°C．110°D．115°【分析】根据等边三角形的性质得到∠BAC＝60°，∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，根据等腰直角三角形的性质得到∠DEC＝∠DCE＝45°，根据三角形的内角和定理即可得到答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD是BC边上的中线，∴∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，∴∠CDE＝90°，∵DE＝BC，∴DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∴∠AEF＝∠DEC＝45°，∴∠AFE＝180°﹣∠BAD﹣∠AEF＝180°﹣30°﹣45°＝105°，故选：B．【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．6．（2022秋•大丰区期中）如图，在等边△ABC中，D为BC边上的中点，以A为圆心，AD为半径画弧，与AC边交点为E，则∠ADE的度数为（）A．60°B．105°C．75°D．15°【分析】根据等边三角形三线合一的性质可求出∠DAC＝30°，结合AD等于AE求出∠ADE的度数即可．【解答】解：在等边△ABC中，D为BC边上的中点，∴∠DAC＝30°（三线合一），在△ADE中，AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣30°）＝75°，故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于能够熟练掌握该知识并进行合理运用．7．（2022秋•如皋市期中）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F，连接CF，若△AFC是等边三角形，则∠B的度数是（）A．60°B．45°C．30°D．15°【分析】根据垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC＝60°，从而可得∠B的度数．【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°．故选：C．【点评】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF．8．（2022秋•秦淮区校级月考）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，若AE＝AD，∠CED＝25°，则∠BAE＝°．【分析】利用等边三角形的性质可得∠C＝∠BAC＝60°，从而利用三角形的外角性质可得∠ADE＝85°，然后利用等腰三角形的性质可得∠AED＝∠ADE＝85°，从而利用三角形的内角和定理可得∠DAE＝10°，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠BAC＝60°，∵∠CED＝25°，∴∠ADE＝∠CED+∠C＝85°，∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE＝85°，∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝10°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝60°﹣10°＝50°，故答案为：50．9．（2022秋•工业园区校级月考）阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：，∴r1+r2＝h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3＝h（定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r＝．若不存在，请说明理由．【分析】（1）连接AP，BP，CP．根据三角形ABC的面积的两种计算方法进行证明；（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行求作．【解答】证明：（1）连接AP，BP，CP．则S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC，即，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∴r1+r2+r3＝h（定值）；（2）存在．r＝2．【点评】此题主要是考查了等边三角形的性质、角平分线的性质以及三角形的面积公式．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．二．等边三角形的判定（共6小题）10．（2022秋•吴江区校级月考）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（）A．钝角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．正三角形【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形求解．【解答】解：根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得到该三角形一定为正三角形．【点评】此题考查学生对有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形的运用．11．（2022秋•梁溪区期中）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，AF为BC的中线，D为AF上的一点，且BD的垂直平分线过点C并交BD于E．求证：△BCD是等边三角形．【分析】根据等腰三角形的性质得出AF⊥BC，根据线段垂直平分线性质求出BD＝DC，BC＝CD，推出BD ＝DC＝BC，根据等边三角形的判定得出即可．【解答】证明：∵AB＝AC，AF为BC的中线，∴AF⊥BC，∴BD＝DC，∵CE是BD的垂直平分线，∴BC＝CD，∴BD＝DC＝BC，∴△BCD是等边三角形．【点评】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．12．（2021秋•淮安期末）三角形的三边长a，b，c满足（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，那么这个三角形一定是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰非等边三角形D．钝角三角形【分析】利用偶次方及绝对值的非负性可得出a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，进而可得出a＝b＝c，再结合a，b，c是三角形的三边长，即可得出这个三角形是等边三角形．【解答】解：∵（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，又∵a，b，c是三角形的三边长，∴这个三角形是等边三角形．故选：B．【点评】本题考查了等边三角形的判定、偶次方及绝对值的非负性，牢记三条边都相等的三角形是等边三角形是解题的关键．13．（2022秋•吴江区校级月考）在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．（1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？【分析】（1）由平行线的性质得∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，从而得出△BPQ是等边三角形，列方程求解即可；（2 ）根据点Q所在的位置不同，分类讨论△APQ是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可．【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，又∠B＝60°，∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，∴△BPQ是等边三角形，∴BP＝BQ，由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t，∴9﹣t＝6，解得：t＝3，∴当t的值为3时，PQ∥AC；（2）如图2，①当点Q在边BC上时，此时△APQ不可能为等边三角形；②当点Q在边AC上时，若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ，由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t，即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，∴当t＝6时，△APQ为等边三角形．题为背景，根据等边三角形、等腰三角形以及全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键．14．（2022秋•常州期中）如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB．（1）求∠C的度数；（2）求证：△ADE是等边三角形．【分析】（1）因为AB＝AC，根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，又∠BAC＝120°，根据三角形内角和，可求出∠C的度数为30°．（2）AD⊥AC，AE⊥AB，∠ADE＝∠AED＝60°，三个角是60°的三角形是等边三角形．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，故答案为：30°．（2）证明：∵∠B＝∠C＝30°，AD⊥AC，AE⊥AB．∴∠ADC＝∠AEB＝60°，∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°，∴△ADE是等边三角形．【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的底角相等，以及等边三角形的判定定理，三个角是60°的三角形，是等边三角形．15．（2022秋•江都区校级月考）等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．【分析】先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠P AQ＝60°，从而得出△APQ是等边三角形．【解答】解：△APQ证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC．在△ABP与△ACQ中，∵，∴△ABP≌△ACQ（SAS）．∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，∴△APQ是等边三角形．【点评】考查了等边三角形的判定及全等三角形的判定方法．三．等边三角形的判定与性质（共9小题）16．（2022秋•梁溪区期中）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶100海里到达C地，则A，C两地相距（）A．100海里B．80海里C．60海里D．40海里【分析】先求得∠CBA＝60°，然后可判断△ABC为等边三角形，从而可求得AC的长．【解答】解：如图所示：连接AC．∵点B在点A的南偏西40°方向，点C在点B的北偏西20°方向，∴∠ABD＝40°，∠CBD＝20°，∴∠CBA＝∠ABD+∠CBD＝60°．又∵BC＝BA，∴△ABC为等边三角形．∴AC＝BC＝AB＝100海里．故选：A．【点评】本题主要考查的是方向角、等边三角形的性质和判定，证得△ABC为等边三角形是解题的关键．17．（2022秋•玄武区期中）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．（1）求证：△ADE是等边三角形．（2）求证：AE＝AB．【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．（2）根据等边三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．∴△ADE是等边三角形．（2）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC．∵BD平分∠ABC，∴AD＝AC．∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD．∴AE＝AB．【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．18．（2022秋•姑苏区期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．（1）判断△DEF的形状，并说明理由；（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．【分析】（1）先证明△ABD是等边三角形，可得∠ABD＝∠ADB＝60°，由平行线的性质可得∠CED＝∠ADB＝∠DFE＝60°，可得结论；（2）由等边三角形的性质和平行线的性质可求AE＝CE＝8，即可求解．【解答】解：（1）△DEF是等边三角形，理由如下：∵AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，∵CE∥AB，∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°，∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE，∴△DEF是等边三角形；（2）连接AC交BD于点O，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC是BD的垂直平分线，即AC⊥BD，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴∠BAC＝∠DAC＝30°，∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°，∴AE＝CE＝8，∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4，∵△DEF是等边三角形，∴EF＝DE＝4，∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，证明AE＝CE是解题的关键．19．（2022秋•南通期末）已知等边△ABC的边长为5，点D为直线BC上一点，BD＝1，DE∥AB交直线AC于点E，则DE的长为．【分析】分D在线段BC上，和D在线段CB的延长线上，两种情况，讨论求解即可．【解答】解：①当D在线段BC上，如图：∵等边△ABC的边长为5，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝5，∵BD＝1，∴CD＝BC﹣BD＝4，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEA＝∠A＝60°，∴△DEC为等边三角形，∴DE＝CD＝4；②当D在线段CB的延长线上，如图：同法可得：△DEC为等边三角形，∴DE＝CD＝BC+BD＝6；综上：DE的长为：4或6；故答案为：4或6．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质．熟练掌握，两直线平行，同位角相等，证明三角形是等边三角形，是解题的关键．注意，分类讨论．20．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图所示，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向点B 以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BA边向点A以5cm/s的速度移动．P，Q两点同时出发，它们移动的时间为ts．（1）你能用含的式子表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒后，△PBQ第一次为等边三角形？（3）若P，Q两点分别从C，B两点同时出发，并且按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【分析】（1）由等边三角形的性质可求得BC的长，用t可表示出BP和BQ的长；（2）由等边三角形的性质可知BQ＝BP，可得到关于t的方程，可求得t的值；（3）设经过t秒后第一次相遇，由条件可得到关于t的方程，可求得t的值，可求得点P走过的路程，可确定出P点的位置．【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝9cm，∵点P的运动速度为2cm/s，运动时间为ts，∴BP＝BC﹣CP＝（9﹣2t）cm，∵点Q的运动速度为5cm/s，运动时间为ts，∴BQ＝5t（cm）；（2）若△PBQ为等边三角形，则有BQ＝BP，即9﹣2t＝5t，解得t＝，∴s时，△PBQ第一次为等边三角形；（3）设ts时，Q与P第一次相遇，根据题意得5t﹣2t＝18，解得t＝6，即6s时，两点第一次相遇．当t＝6s时，P走过的路程为2×6＝12cm，而9＜12＜18，即此时P在AB边上，∴经过6秒后点P与点Q在AB上第一次相遇．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定、方程思想等知识．该题为运动型题目，解决这类问题的关键是化“动”为“静”，即用时间和速度表示出线段的长．21．（2022秋•泰州月考）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．（1）求证：BD＝CE；（2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数．【分析】（1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF＝CF，DF＝EF，相减后即可得到正确的结论．（2）根据等边三角形的判定得到△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．【解答】（1）证明：如图，过点A作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AD＝AE．∴BF＝CF，DF＝EF，∴BD＝CE．（2）∵AD＝DE＝AE，∴△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝∠ADE＝60°．∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA．∴∠DAB＝∠ADE＝30°．∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．22．（2022秋•沭阳县期中）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN 交MC于点E，BM交CN于点F．（1）求证：AN＝BM；（2）求证：△CEF为等边三角形．【分析】（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到△ACN≌△MCB，结论得证；（2）由（1）中的全等可得∠CAN＝∠CMB，进而得出∠MCF＝∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE＝CF，又ECF＝60°，所以△CEF为等边三角形．【解答】证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，在△ACN和△MCB中，∵，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN＝BM．（2）∵△CAN≌△CMB，∴∠CAN＝∠CMB，又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠MCF＝∠ACE，在△CAE和△CMF中，∵，∴△CAE≌△CMF（ASA），∴CE＝CF，∴△CEF为等腰三角形，又∵∠ECF＝60°，∴△CEF为等边三角形．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能够掌握并熟练运用．23．（2022秋•启东市校级月考）数学课上，张老师举了下面的例题：例1：等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°）例2：等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编的题目如下：变式题：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．（1）请你解答上面的变式题．（2）请继续探索，完成下面问题：等腰三角形ABC中，∠A＝60°，则∠B的度数为．（3）根据以上探索，我们发现，∠A的度数不同，得到的∠B度数的个数也可能不同．请你直接写出当∠A 满足什么条件时，∠B能得到三个不同的度数．【分析】（1）∠A是顶角，则∠B是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；∠B是顶角，则∠A 是底角，则根据等腰三角形的两个底角相等，以及三角形的内角和定理即可求解；∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；（2）分两种情况：①90≤x＜180；0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可．【解答】解：（1）当∠A＝80°为顶角时，∠B＝＝50°；当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°；当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°，综上所述，∠B的度数为50°或20°或80°；（2）因为有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，所以∠B＝60°，故答案为：60°．（3）分两种情况：设∠A＝x°，①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个；②当0＜x＜90时，若∠A为顶角，则∠B＝（）°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180﹣2x）°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°．当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．综上所述，可知当0°＜∠A＜90°且x≠60°时，∠B有三个不同的度数．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．24．（2022秋•铜山区校级月考）已知：如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，且AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．求证：（1）AE＝DB；（2）△CMN为等边三角形．【分析】（1）根据△DAC、△EBC均是等边三角形，求证△ACE≌△DCB（SAS）即可得出结论．（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB，和△DAC、△EBC均是等边三角形，求证△ACM≌△DCN（ASA）即可得出结论．【解答】证明：（1）∵△DAC、△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，EC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB．在△ACE和△DCB中，∴△ACE≌△DCB（SAS）．∴AE＝DB．（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠CDB，即∠CAM＝∠CDN．∵△DAC、△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，∠ACM＝∠BCE＝60°．又点A、C、B在同一条直线上，∴∠DCE＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，即∠DCN＝60°．∴∠ACM＝∠DCN．在△ACM和△DCN中，∴△ACM≌△DCN（ASA）．∴CM＝CN．又∠DCN＝60°，∴△CMN为等边三角形．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，此题难度不大，但是步骤繁琐，属于中档题．一．选择题（共5小题）1．（2022秋•梁溪区期中）下列命题不正确的是（）A．等腰三角形的底角不能是钝角B．等腰三角形不能是直角三角形C．若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形D．两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形【分析】利用等腰三角形的性质和等边三角形的判定的知识，对各选项逐项分析，即可得出结果．【解答】解：本题可采用排除法；A、利用等腰三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，若两底角均为钝角，不能构成三角形，故这种说法错误，故不选A；B、举反例：等腰直角三角形，故B不正确．即答案选B．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定，要求学生在学习过程中要对所学过的知识进行总结和复习，以便灵活的运用所学的知识．2．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直【分析】先判断出OA＝OB，∠OAB＝∠ABO，分两种情况判断出∠ABD＝∠AOB＝60°，进而判断出△AOC ≌△ABD，即可得出结论．【解答】解：∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB，∠OAB＝∠ABO＝60°①当点C在线段OB上时，如图1，∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，∴∠OAC＝∠BAD，在△AOC和△ABD中，，∴△AOC≌△ABD（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝60°，∴∠DBE＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝60°＝∠AOB，∴BD∥OA，②当点C在OB的延长线上时，如图2，同①的方法得出OA∥BD，∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，∴∠OAC＝∠BAD，在△AOC和△ABD中，，∴△AOC≌△ABD（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝60°，∴∠DBE＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝60°＝∠AOB，∴BD∥OA，故选：A．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，求出∠ABD＝60°是解本题的关键．3．（2022秋•射阳县校级月考）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始、按顺时针方向、取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，3，1），按此方法，若点C的坐标为（2，m，m﹣2），则m＝（）A．2B．3C．4D．6【分析】根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，3，1），得到经过该点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左，上，下，即可解答．【解答】解：由题意得：点C的坐标为（2，4，2），∴m＝4，故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质，规律型：数字的变化类，找出题中的规律是解题的关键．4．（2022秋•扬州期中）在下列结论中：（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；三个内角都相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的定义可解答本题．【解答】解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．（4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确；故选：C．【点评】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是灵活运用的等边三角形的判定方法解决问题．5．（2022秋•邗江区月考）如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB 于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．80°B．100°C．120°D．140°【分析】先根据等边三角形的性质可得∠A＝∠B＝∠C＝60°，由三角形外角的性质可得∠AEF的度数，由平行线的性质可得同旁内角互补，可得结论．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°．对于△AEF，∵∠1＝∠A+∠AEF＝140°，∴∠AEF＝140°﹣60°＝80°，∴∠DEB＝∠AEF＝80°，∵m∥n，∴∠2+∠DEB＝180°，∴∠2＝180°﹣80°＝100°，故选：B．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．二．填空题（共13小题）6．（2022秋•江阴市期中）已知△ABC中，AB＝AC＝6，∠C＝60°，则BC＝6．【分析】先利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝60°，则可判断△ABC为等边三角形，然后根据等边三角形的性质得到BC＝AB．【解答】解：∵AB＝AC＝6，∴∠B＝∠C＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，且都等于60°．7．（2022秋•建邺区校级月考）如图，已知△ABC是等边三角形，AD是中线，E在AC上，AE＝AD，则∠EDC＝．【分析】由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得AD⊥BC，∠CAD ＝30°，又由AD＝AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE的度数，继而求得答案．【解答】解：∵AD是等边△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠CAD）＝75°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．故答案为：15°．【点评】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．8．（2022秋•崇川区校级月考）如图，已知△ABC中，∠A＝60°，D为AB上一点，且AC＝2AD+BD，∠B＝4∠ACD，则∠DCB的度数是．。
等边三角形的性质与判定
轴对称性
特殊性 判定
三边法 三角法
三边相等
三个角都等于60 °
轴对称图形， 每条边上都具 有“三线合一”
性质
等腰三角形法
角形是等腰三角形
等边三角形 三条边都相等的三角形 是等边三角形
三个角都相等的三角形 是等边三角形
★小等明边认三为角还形有的第判三定种方方法法：“两条边相等且有一个角是60°的三角 形也有是一等个边角三是角6形0°”的，等你腰同三意角吗形？是等边三角形.
新课讲解
辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
证明： ∵AB=AC. ∴∠B=∠C .(等边对等角) 同理 ∠A=∠C . ∴∠A=∠B=∠C. ∵ ∠A+∠B+∠C=180°, ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °.
新课讲解
问题2 等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边
三角形有几条对称轴？
顶角的平分线、 A
A
底边的高
底边的中线
三线合一
B
C
B
C
不 是
是
是
（1）
（2）
（3）
不
一 定
是
是
是
（4）
（5）
（6）
例
新课讲解
3
如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE
是等边三角形.
证明：∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C. ∵ DE//BC, ∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C, ∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED,
随堂即练
1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（ B ）
A．105°
B．120° C．135° D．150°
等边三角形的性质和判定 优质课获奖课件
可由学生口答完成，教师多媒体展示结果，提高课 堂效率．
2．教材例4：运用完全平方公式计算： (1)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22 ＝10 000＋400＋4
＝10 404；
(2)992＝(100－1)2＝1002－2×100×1＋12 ＝10 000－200＋1
＝9 801.
2．你能根据下图说明(a－b)2＝a2－2ab＋b2吗？
第1小题由小组合作共同完成拼图游戏，比一比哪个小组 快？第2小题借助多媒体课件，直观演示面积的变化，帮 助学生联想代数恒等式：(a－b)2＝a2－b2－2b(a－b)＝a2－ 2ab＋b2.
六、巩固拓展
教材例5：运用乘法公式计算： (1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)；(2)(a＋b＋c)2.
三角形的判定方法？让学生先自主探索再合作交流，小组 内、小组间充分讨论后概括所得结论．这既巩固应用等腰 三角形的知识，又类比探索等边三角形性质定理和判定定 理的方法，并使学生加深对等腰三角形与等边三角形的联 系与区别的理解．
14．2
14．2.2
乘法公式
完全平方公式
1．完全平方公式的推导及其应用． 2．完全平方公式的几何解释．
第1题图
第2题图
教师提出要求，补充题1，2可以让学生板书过程． 五、总结提高 小结：通过本节课的学习，你了解到了等边三角形有 哪些特点？ 怎样判定一个三角形是等边三角形？ 布置作业：教材习题13.3第12，14题．
教学中设计了两个问题：把等腰三角形的性质用于等边三
角形，你能得到什么结论？类似地，你又能得到哪些等边
重点 完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释 ，
灵活应用．
难点 理解完全平方公式的结构特征 ， 并能灵活应用公 式进行计算．
13.3.2等边三角形的性质和判定(教案)
4.培养学生的合作交流能力，通过小组讨论、分享等环节，让学生在探讨等边三角形性质和判定的过程中，学会倾听、表达和交流。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解等边三角形的定义：学生需要掌握等边三角形的定义，即三边相等的三角形。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与等边三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如制作等边三角形模型，这个操作将演示等边三角形性质的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
13.3.2等边三角形的性质和判定（教案）
一、教学内容
《13.3.2等边三角形的性质和判定》：本节课将围绕以下内容展开教学：
1.等边三角形的定义：三边相等的三角形称为等边三角形。
2.等边三角形的性质：
a.三边相等；
b.三角相等，均为60°；
c.对称轴：各边的中线、高线、角平分线互相重合；
d.周长与面积的关系：周长等于三边之和，面积等于（周长^2）/ 24。
-将等边三角形的性质与判定应用于解决综合几何问题：学生需要能够将知识综合运用，解决更复杂的几何问题。
举例：
-难点突破方法：使用动态几何软件，展示等边三角形性质的形成过程，帮助学生理解其本质。
-判定方法的应用：给出多个三角形，让学生判断哪些是等边三角形，并说明理由，引导学生掌握不同判定方法的应用场景。
1.讨论主题：学生将围绕“等边三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
等边三角形的性质与判定
等边三角形的性质与判定等边三角形是一种特殊的三角形，具备特定的性质和判定方法。
本文将介绍等边三角形的性质，并探讨如何判定一个三角形是否为等边三角形。
一、等边三角形的性质等边三角形具有以下几个显著的性质：1. 边长相等：等边三角形的三条边长度完全相等。
2. 角度相等：等边三角形的三个内角均为60度。
3. 对称性：等边三角形具有三条对称轴，每条轴都经过一个顶点和对边的中点。
4. 高度、中线、角平分线重合：等边三角形的高度、中线和角平分线都重合于一条直线。
二、判断三角形是否为等边三角形判定一个三角形是否为等边三角形有以下几种方法：1. 边长判定法：若一个三角形的三边长度均相等，则该三角形为等边三角形。
2. 角度判定法：若一个三角形的三个内角均为60度，则该三角形为等边三角形。
3. 对称性判定法：若一个三角形具有三条对称轴，每条轴都经过一个顶点和对边的中点，则该三角形为等边三角形。
4. 高度、中线、角平分线重合判定法：若一个三角形的高度、中线和角平分线都重合于一条直线，则该三角形为等边三角形。
请注意，这些判定方法不仅可以单独使用，也可以结合使用，以得出更准确的结果。
三、等边三角形的应用等边三角形在几何学和工程学中具有广泛的应用。
1. 建筑设计：等边三角形常用于设计正六边形的楼柱或柱子，使得建筑物更加稳定和均衡。
2. 航空航天：等边三角形的稳定性使得它在设计和制造飞行器的翼型中得到广泛应用。
3. 测量和定位：等边三角形在测量和定位领域也起到重要的作用，例如通过测量等边三角形的边长来判断距离等。
四、总结等边三角形是一种特殊的三角形，具有边长相等、角度相等、对称性以及高度、中线、角平分线重合等性质。
我们可以通过边长判定、角度判定、对称性判定和高度、中线、角平分线重合判定等方法来判断一个三角形是否为等边三角形。
此外，等边三角形在建筑设计、航空航天、测量和定位等领域有着广泛的应用。
通过了解等边三角形的性质和判定方法，我们能够更好地理解和应用这一特殊的几何形状，为相关领域的研究和实践提供帮助。
等边三角形的性质及判定
探究：如图,等边三角形ABC,以下三种方法分别 得到的三角形ADE都是等边三角形吗？为什么？ （1）在边AB，AC，分别截取AD=AE （2）∠ADE=60°，D，E分别在边AB，AC上 （3）过边AB上D点，作DE∥BC，交 A
A
你还能用其他
方法证明吗?
B
C
D
在直角三角形中,如果一个锐角等于30° 则它所对的直角边等于斜边的一半.
A
30°
在直角△ABC中
∵∠A＝30°
B┓
C ∴AC＝2BC
下图是屋架设计图的一部分,点D是 斜梁AB的中点,立柱BC、 DE垂直于 横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°立柱 BC 、 DE要多长
资料整理
• 仅供参考,用药方面谨遵医嘱
A
B
C
等边三角形的性质
1 .三条边相等
2.等边三角形的内角都相等,且等于60 ° 3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平 分线都三线合一. 4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
探索星空：探究判定一
1、三个内角都等于60°的三角形是等边三角形
∵ ∠A=∠B=∠C=60° ∴ AB=AC=BC (在同一个 三角形中等角对等边) ∴ △ABC是等边三角形
三角形中等边对等角)
B
C
∵ ∠A+∠B+∠C=180° ∴ ∠A=∠B=∠C=60°
探索星空：探究性质二
2、等边三角形有“三线合一”的性质吗为什么
A
B
C
结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的 平分线都三线合一。（ 所有的高线，角平分线， 中线的长度相等。）
探索星空：探究性质三
3、等边三角形是轴对称图形吗有几条对称轴
等边三角形的判定和性质
【变式】 直线AB,CD相交,求证:AB,CD只有一个交点.用反证法证明时,我们可先
假设AB,CD相交于两个交点O与O′, 那么过O,O′两点就有 两 条直线,这与
“过两点 有且只有一条直线
”矛盾,所以假设不成立,则原命题成立.
1.(2018福建)如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,点E在线段AD 上,∠EBC=45°,则∠ACE等于( A ) (A)15° (B)30° (C)45° (D)60°
等边三角形的判定方法的选择 (1)若已知三边关系,则考虑运用等边三角形的定义进行判定; (2)若已知三角关系,则根据“三个角都相等的三角形是等边三角形”进行判 定; (3)若已知该三角形是等腰三角形,则可再寻找一个内角等于60°即可.
【变式】如图,已知点D是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点,∠EBC=∠DAC, CE∥AB. 求证:△CDE是等边三角形.
知识点二 等边三角形的有关性质 【例2】如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作 EF ⊥DE,交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数; (2)若CD=2,求DF的长.
解:(1)因为△ABC为等边三角形,所以∠B=60°.因为DE∥AB,所以∠EDC=∠B= 60°.因为EF⊥DE,所以∠DEF=90°,所以∠F=90°-∠EDC=30°. (2)因为∠ACB=60°,∠EDC=60°,所以△EDC为等边三角形.所以ED=DC=2,因 为∠DEF=90°,∠F=30°,所以DF=2DE=4.
八年级数学上册《等边三角形的性质与判定》讲义
等边三角形的性质与判定知识点一、等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.性质：（1）边的性质：三边相等（2）角的性质：三个内角相等，并且每一个内角都等于60°.（3）三线合一：任意一边上的中线、高线和顶角平分线都互相重合（4）对称性：是轴对称图形，且有三条对称轴知识点二、等边三角形的判定判定：（1）边：三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）角：三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）边角综合：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．知识点三、含30°的直角三角形含30°的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.类型一、等边三角形的性质与判定1. 如图，在四边形OAPB中，120OP=，若点M、N∠，且2∠=︒，OP平分AOBAOB分别在直线OA、OB上，且PMN∆有()∆为等边三角形，则满足上述条件的PMNA．1个B．2个C．3个D．3个以上2. 如图，ABC=，∆中，120∠+∠=︒，点D，E分别在边AC，BC上，且AD BECAB CBA以DE为边作等边DEF∆，连接AF，BF．求证：FAB∆是等边三角形．类型二、含30°角的直角三角形的性质3．如图，在ABC∠=︒，点D是AC的中点，DE AC⊥交BC于E；点O在DEC∆中，30上，OA OBOE=，则BE的长为.=，1OD=，2类型三、通过构造等边三角形来解题4. 如图，已知ABC=，连∆为等边三角形，延长BC到点D，延长BA到点E，使AE BD接CE和DE．求证：CDE∆为等腰三角形．5. 如图，∠BAD=120°，BD=DC，AB+AD=AC，求证：AC平分∠BAD.类型四、等边三角形的探究问题6.【问题提出】如图①，已知ABC∆是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED EC=+．∆连接EF，试证明：AB DB AF ∆绕点C顺时针旋转60︒至ACF=，将BCE【类比探究】如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由．【复习巩固】1．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是AB 上的点，过点D 作DE AB ⊥交BC 于点F ，交AC 的延长线于点E ，连接CD ，DCA DAC ∠=∠，则下列结论正确的有( ) ①DCB B ∠=∠；②12CD AB =；③ADC ∆是等边三角形；④若30E ∠=︒，则DE EF CF =+． A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④第1题 第2题 第3题2．如图，在Rt ABC ∆中，CM 平分ACB ∠交AB 于点M ，过点M 作//MN BC 交AC 于点N ，且MN 平分AMC ∠，若1AN =，则BC 的长为( )A ．4B ．6C ．D ．83．一个六边形的六个内角都是120︒（如图），连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是( ) A ．13B ．14C ．15D ．164．已知30AOB ∠=︒，点P 在AOB ∠内部，1P 与P 关于OB 对称，2P 与P 关于OA 对称，则1P ，O ，2P 三点所构成的三角形是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形5．如图所示，ABC ∆是等边三角形，D 点是AC 的中点，延长BC 到E ．使CE CD =． （1）求E ∠的度数．（2）过D 点作D M BE ⊥，垂足为M ．求证：BM EM =．7.如图所示，在等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且CAD ABE∠=∠，AD、⊥于Q，猜想PB与PQ的数量关系，并简要说明理由．BE交于点P，作BQ AD8．如图，AB AC∠的度数．=+，求ADB∠=︒，若AB BD CD=，60ABD∠=︒，30BDC。
八年级数学上册《等边三角形的性质和判定》优秀教学案例
（二）问题导向
以问题为导向的教学策略有助于培养学生的探究能力和思维能力。具体方法如下：
1.提出具有启发性的问题，引导学生思考等边三角形的性质和判定方法，如：“为什么等边三角形具有稳定性？”、“如何判断一个三角形是等边三角形？”等。
2.鼓励学生提出自己的疑问，培养学生的批判性思维。
3.设计问题链，使学生在解决问题的过程中逐步深入理解等边三角形的性质和判定。
（三）小组合作
小组合作学习有助于培养学生的团队精神和沟通能力。以下是一些建议：
1.将学生分成若干小组，每组4-6人，确保组内成员在知识、能力、性别等方面的多样性。
2.制定明确的小组任务，如共同探讨等边三角形的性质、判定方法，并完教学案例
一、案例背景
在我国初中数学教育中，等边三角形作为基础几何图形之一，其性质与判定是八年级数学教学的重点内容。《等边三角形的性质和判定》这一章节旨在帮助学生理解等边三角形的独特性质，掌握判定方法，并培养学生的逻辑思维和空间想象能力。在教学过程中，教师需关注学生的认知水平，采用生动的实例和多样的教学方法，引导学生主动探究等边三角形的奥秘。本教学案例将围绕此章节内容，以提高学生的几何图形认知和问题解决能力为目标，结合教育专业用词，注重实用性和人性化语言，为八年级学生打造一个高效、有趣的数学课堂。
2.问题导向，培养探究能力
案例中以问题为导向，引导学生思考、探讨等边三角形的性质、判定方法及其在实际生活中的应用。这种教学策略有助于培养学生的探究能力和思维能力，使学生学会提出问题、分析问题、解决问题，从而提高学生的数学素养。
3.小组合作，促进交流与共享
本案例注重小组合作学习，让学生在分组讨论、交流等活动中共同探讨等边三角形的相关知识。这种教学方式有助于培养学生的团队协作能力和沟通能力，使学生在互相学习、共同进步的过程中，提高自己的几何图形认知和问题解决能力。
等边三角形的性质和判定
等边三角形的性质和判定等边三角形是指三条边相等的三角形。
它具有一些独特的性质和判定方法，本文将详细介绍等边三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等边三角形。
一、等边三角形的性质1. 边长相等：等边三角形的三条边长度相等，记为a=a=a。
2. 角度相等：等边三角形的三个内角相等，每个角为60度。
3. 高度、中线、角平分线：等边三角形的高度、中线以及角平分线均相等。
4. 对称性：等边三角形具有对称性，即以任意边为轴进行折叠，三角形的各部分完全重合。
二、等边三角形的判定1. 三边相等判定法：如果一个三角形的三边长度相等，那么它就是等边三角形。
2. 角度相等判定法：如果一个三角形的三个角度均为60度，那么它就是等边三角形。
3. 边长和角度判定法：如果一个三角形的两边边长相等且夹角为60度，那么它就是等边三角形。
三、等边三角形的应用等边三角形作为一种特殊的三角形，在几何学和实际生活中有着广泛的应用。
1. 建筑设计：等边三角形的稳定性和对称性使其成为建筑设计中常用的形状。
例如，蜂窝状的建筑结构常使用等边三角形。
2. 制作模型：等边三角形可以用于制作模型，特别是多面体模型。
例如，立方体的六个面均为等边三角形。
3. 计算几何：等边三角形的性质可用于计算几何中的推导和证明。
例如，通过等边三角形，我们可以推导出正六边形的面积和边长与半径的关系。
四、等边三角形的例题例题1：已知△ABC中，AB=BC=AC，且∠ABC=60度，求证△ABC为等边三角形。
证明：根据等边三角形的判定法，我们需要证明△ABC的三边相等。
已知AB=BC，再根据已知∠ABC=60度，可得到∠BAC=∠BCA=60度。
由此可知，△ABC的三个角度均为60度，即满足等边三角形的定义。
因此，可以得出结论，△ABC为等边三角形。
例题2：已知△PQR是等边三角形，且PR=6cm，求PQ的长度。
解析：由于△PQR是等边三角形，则QR=PR=6cm。
根据等边三角形的定义，三条边的长度均相等。
等边三角形的性质与判定解析
等边三角形的性质与判定解析等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
在本文中，我们将探讨等边三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等边三角形。
一、等边三角形的性质1. 三边相等：等边三角形的最显著特征是其三条边的长度相等。
三边均相等意味着等边三角形的内角也是相等的，每个角都是60度。
2. 内角相等：由于等边三角形的三边相等，根据三角形内角和的性质可知，等边三角形的每个内角都是60度。
3. 对称性：等边三角形具有一定的对称性质。
如果我们以其中一个顶点为中心，以该顶点与另外两个顶点连线的垂直平分线为轴进行旋转，等边三角形将重合于原位置。
二、判定等边三角形1. 通过边长判断：判定一个三角形是否为等边三角形最直观的方法是通过测量三条边的长度。
如果三边的长度均相等，则可以确定该三角形为等边三角形。
2. 通过角度判断：等边三角形的每个内角都是60度，因此我们可以通过测量三个内角来判断一个三角形是否为等边三角形。
如果三个内角的测量结果均为60度，则可以确定该三角形为等边三角形。
3. 通过对称性判断：根据等边三角形的对称性质，我们可以通过观察三角形的对称性来判断其是否为等边三角形。
如果三角形具有明显的对称性，并且边长相等，那么可以确定该三角形为等边三角形。
三、等边三角形的应用1. 建筑设计：等边三角形具有稳定性较好的特点，因此在建筑设计中经常使用等边三角形的原理来构建稳定的结构，如建筑物的支撑结构或者桥梁的支撑墩设计等。
2. 数学几何题：在解决一些数学几何问题时，等边三角形的性质常常被应用。
通过利用等边三角形的特点，可以简化问题的求解过程，提高解题效率。
3. 图形设计：等边三角形具有简洁美观的特点，常出现在图案、LOGO设计等各类艺术设计中，赋予作品一种稳定和和谐的感觉。
四、总结等边三角形是一种特殊的三角形，其三边长度相等，每个内角均为60度。
判断一个三角形是否为等边三角形可以通过测量边长、测量角度以及观察对称性来确定。
第1课时 等边三角形的性质与判定
又OE∥AB，OF∥AC， ∴∠BOE =∠ABO =∠OBC = 30°， ∠COF =∠ACO =∠OCB = 30°. ∵BE = OE，CF = OF， ∠OEF = 2∠OBE = 60°，∠OFE = 2∠OCF = 60°. ∴△OEF是等边三角形. ∴OE = EF = OF. ∴BE = EF = FC.
5.已知：如图，P、Q是△ABC的边BC上的两 点，并且PB = PQ = QC = AP = AQ.求∠BAC 的大小． 解：∵PB = PQ = QC = AP = AQ， ∴△APQ是等边三角形. ∠B =∠BAP，∠C =∠CAQ.
1 ∴∠B = 2 ∠APQ = 30°， 1 ∠C = ∠AQP = 30°. 2
C
知识点2
等边三角形的判定
判定等边三角形的方法： 从边的角度：等边三角形的定义； 从角的角度：等边三角形的两条判定定理． 等边三角形的判定定理1： 三个角都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的判定定理2： 有一个角为60°的等腰三角形．
一般三角形
等边三角形
等腰三角形
例4 如图，△ABC 是等边三角形， DE∥BC，分别交AB，AC 于点D，E．求证： △ADE 是等边三角形. 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C =60°． ∵DE∥BC， ∴∠B =∠ADE，∠C =∠AED． ∴∠A=∠ADE =∠AED． ∴△ADE 是等边三角形．
等边三角形的判定的证明.
推进新课 等边三角形的性质 下列图片中有你熟悉的数学图形吗？你能说出 此图形的名称吗？ 知识点1
问题 满足什么条件的三角形是等边三角形？ 三条边都相等的三角形是等边三角形． A
B等边三角形C Nhomakorabea请分别画出一个等腰三角形和等边三角 形，结合你画的图形说出它们有什么区别和 A A 联系？
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一．学习目标：（重难点）
1．掌握等边三角形的定义。
2．理解等边三角形的性质与判定定理。
3．让学生体会等边三角形的对称美。
二．预习导学：（学一学）
1．自读课本79—80内容（多读几遍）。
2．思考：
⑴等边三角形的定义：
⑵等边三角形有哪些性质？
角：
边：
⑶在△ABC中，∠A = ∠B = ∠C，你能得到AB = BC = AC吗？为什么？
⑷已知在△ABC中，AB = AC，∠A = 600。
①求证：△ABC是等边三角形。
②如果把∠A = 600，改为∠B = 600或∠C = 600，结论
还成立吗？
③由上你可以得到什么结论？
三．预习收获和障碍：
四．合作交流议一议：
（一）预习交流（处理预习中的问题）
1．等边三角形的定义：
2．等边三角形的性质：
3．等边三角形的判定：
（二）课堂训练（展示才能说一说，先练后展）
1．分小组思考并解答课本54页“探究”内容。
2．完成课本80页练习1，2。
3．已知，如图等边三角形ABC，点D、E、F分别是各
边上的一点，且AD＝BE＝CF．求证：△DEF是等边三角形．
4．已知，如图等边三角形ABC，点D是AC的中点，
且CE＝CD，DF⊥BE。
求证：BF＝EF．
五．反思提升（想一想）
六．课堂检测（小试牛刀做一做）
1．等边△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则
∠BIC等于( )A．600B．900C．1200D．1500
2．下列三角形：①有两个角等于600；②有一个角等于
600的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都
相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三
角形，其中是等边三角形的有( )
A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④
3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且
AD＝BE = CF，则△DEF的形状是( )
A．等边三角形
B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形
D．不等边三角形
4．在三角形中，任何一个角的平分线都垂直于这个角所
对的边，则此三角形是( ) A．等腰三角形
B．钝角三角形C．直角三角形D、等边三角形
5．△ABC中，AB＝AC，∠A＝∠C，则∠B＝。
6．已知AD 是等边△ABC 的高，BE是AC边的中线，
AD与BE交于点F，则∠AFE＝。
7．等边三角形是轴对称图形，它有条对称轴，
分别是。
8．已知，如右图，△ABC是等边三角形，BD是中线，
延长BC到E，使CE = CD，不添辅助线，请你写出三个正确
结论(1)
(2)
(3)
自我评价：教师评价：
日期：
陇县城关镇中学“导学单”设计稿
八年级班姓名：科目：数学课题：《等边三角形的性质和判定》课型：展示主备人：周鹏审核：周鹏组名：。