高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳
必修4平面向量数量积考点归纳
“平面向量”误区警示“平而向呈:”概念繁多容易混淆，对于初学者更是一头雾水.现将与平而向量基本概念相关的误区整理如下.①向量此是育向线段解析：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.有向线段是向量的一种表示方法，不能说向疑就是有向线段.⑵若向童砸与CD相普，则有向找段AB与CD *含解析：长度相等且方向相同的向疑叫做相等向量.因此，若A B = CD,则有向线段AB与CD 长度相等且方向相同，但它们可以不重合.⑶若AB II CD ,则筑段AB//CD解析：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.故由忑与Cb平行，只能得到线段AB与CD方向相同或相反，它们可能平行也可能共线.购若向爻血与CD共线，则线段AB与CD共线解析:」行向量也叫做共线向量，共线向量就是方向相同或相反的非零向量.故由应与C&共线，只能得到线段AB与CD方向相同或相反，它们可能平行也可能共线.(5)若 a // b, b II 6, flja II c解析：由尹零色量与任一向量平行，故当b = 0时，向量d、2不一定平行.当且仅当亍、6、5都为非零向量时，才有丘II c.⑹若|a| = |6|,则a=6无a=-b解析：也131=1 bl,只能㊇定向的长度相等,不能确定其方向有何关系.当孑与B不共线时，a = b或d=—6都不能成立.⑺草住向董都相等解析：长度等于一个长度单位的向量叫做单位向量，由于单位向量的方向不一左相同，故单位向量也不一定相等.⑻若I 3 | =0,则3 =0解析：向量和实数是两个截然不同的概念，向量组成的集合与实数集合的交集是空集.故若la 1=0,则a = 0 ,不能够说a =0.平面向量数量积四大考点解析考点一.考査概念型问题例1.已知7、I、7是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数( )(1)a ・ b = a - b o a lib ; (2)a,b反向o "・b = — a - bf —> f —> f —> f f f⑶么丄b o a + b = u — b ；(4) a = b <=>"・/? = b-cA. 1B.2C. 3D. 4评注：两向量同向时，夹角为0(或(T )：而反向时，夹角为n (或180°)：两向量垂直时，夹角为90° ,因此当两向量共线时，夹角为0或几，反过来若两向量的夹角为0或兀，则两向量共线.考点二、考査求模问题例2•已知向虽：方=(一2,2加=(5,小，若a + b不超过5,则k的取值范用是_____________评注：本题是已知模的逆向题，运用左义即可求参数的取值范1刊。
必修四平面向量知识点整理+例题+练习+答案
平面向量知识点整理1、概念向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 相反向量：0a b b a a b =-⇔=-⇔+=向量表示：几何表示法AB ；字母a 表示；坐标表示：a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）.向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a .（ 222222||,||a x y a a x y =+==+。
） 零向量：长度为0的向量。
a ＝O ⇔｜a ｜＝O .【例题】1.下列命题：（1）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a b b c ==，则a c =。
（6）若//,//a b b c ，则//a c 。
其中正确的是_______2.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +＝_____ 2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相接连端点． ⑵平行四边形法则的特点：起点相同连对角．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++； ③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 【例题】（1）①AB BC CD ++=___；②AB AD DC --=____； ③()()AB CD AC BD ---=_____（2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则||a b c ++＝_____ 4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．【例题】（1）若M （-3，-2），N （6，-1），且1MP MN 3--→--→=-，则点P 的坐标为_______baCBAa b C C -=A -AB =B5、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，（0b ≠）22()(||||)a b a b ⇔⋅=。
高中平面向量知识点详细归纳总结(附带练习)
向量的概念一、高考要求：理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律.二、知识要点：1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为始点,B 为终点的有向线段记作AB ,注意:始点一定要写在前面,已知AB ,线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长(或模),AB 的长度记作AB ||.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段AB 表示向量时,我们就说向量AB .另外,在印刷时常用黑体小写字母a 、b 、c 、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a 、b 、c 、…等.与向量有关的概念有:(1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a 和b 同向且等长,即a 和b 相等,记作a =b .(2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作0.零向量的方向不确定.(3) 位置向量:任给一定点O 和向量a ,过点O 作有向线段OA a =,则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定,这时向量a 又常叫做点A 相对于点O 的位置向量.(4) 相反向量:与向量a 等长且方向相反的向量叫做向量a 的相反向量,记作a -.显然,()0a a +-=.(5) 单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作e .与向量a 同方向的单位向量通常记作0a ,容易看出:0a a a =│ │. (6) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量a 平行于向量b ,记作a ∥b .零向量与任一个向量共线(平行).三、典型例题：例:在四边形ABCD 中,如果AB DC =且AB BC =│ │ │ │ ,那么四边形ABCD 是哪种四边形? 四、归纳小结：1. 用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据.2. 共线向量(平行向量)可能有下列情况: (1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列命题中: (1)向量只含有大小和方向两个要素. (2)只有大小和方向而无特定的位置的向量叫自由向量. (3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. (4)点A 相对于点B 的位置向量是BA . 正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个2. 设O 是正△ABC 的中心,则向量,,AO OB OC 是( )A.有相同起点的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等向量3. a b =的充要条件是( )A.a b =│ │ │ │ B.a b =│ │ │ │ 且a b ∥ []l C.a b ∥ D.a b =│ │ │ │ 且a 与b 同向 4. AA BB ''=是四边形ABB A ''是平行四边形的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件5. 依据下列条件,能判断四边形ABCD 是菱形的是( )A.AD BC =B.AD BC ∥且AB CD ∥C.AB DC =且AB AD =│ │ │ │ D.AB DC =且AD BC = 6. 下列关于零向量的说法中,错误的是( )A.零向量没有方向B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向任意7. 设与已知向量a 等长且方向相反的向量为b ,则它们的和向量a b +等于( )A.0B.0C.2aD.2b（二）填空题：8. 下列说法中: (1)AB 与BA 的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线 (3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同(4)长度相等的两个向量必共线。
高中数学必修4平面向量学习知识点总结计划及常见题型
高中必修4平面向量知识点概括及常有题型一.向量的基本看法与基本运算1向量的看法：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c⋯来⋯表示，或用有uuur 向线段的起点与终点的大写字母表示，如：ABuuur几何表示法AB，a；坐标表示法a xi yj(x,y)向量的大小即向量的模（长度），记作uuur|AB|即向量的大小，记作｜a｜向量不可以比较大小，但向量的模能够比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是随意的，0与随意愿r r量平行零向量a＝0｜a｜＝0因为0的方向是随意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的差别）③单位向量：模为1个单位长度的向量向量a为单位向量｜0a｜＝1 0④平行向量（共线向量）：方向同样或相反的非零向量随意一组平行向量都能够移到同向来线上方向同样或相反的向量，称为平行向量记作a∥b因为向量能够进行随意的平移(即自由向量)，平行向量总能够平移到同向来线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个因素，起点能够随意选用，此刻一定划分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．⑤相等向量：长度相等且方向同样的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为 a b 大小相等，方向同样( , ) ( , )x1 y x y1 2 2 x1y1x2y22向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法uuur r u uur r 设AB a, BC br，则a+bu uuruuur=AB BCuuur=AC（1）0 a a 0 a ；（2）向量加法知足互换律与联合律；向量加法有“三角形法例”与“平行四边形法例”：（1）用平行四边形法例时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法例的特色是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法例；当两向量是首尾连结时，用三角形法例．向量加法的三角形法例可推行至多个向量相加：uuur uuur uuur uu ur uu ur uu urAB BC CD L PQ QR AR ，但这时一定“首尾相连”．3向量的减法①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作 a ,零向量的相反向量还是零向量对于相反向量有：（i）( a) =a；(ii) a+( a )=( a)+a=0 ；(iii)若a 、b 是互为相反向量，则a= b ,b = a ,a+b =0②向量减法：向量a加上b 的相反向量叫做a与b 的差，记作： a b a ( b) 求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法： a b能够表示为从 b 的终点指向a的终点的向量（ a 、b 有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定以下：（Ⅰ） a a ；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与 a 的方向同样；当0时，λa 的方向与 a 的方向相反；当0时， a 0，方向是随意的②数乘向量知足互换律、联合律与分派律5两个向量共线定理：向量 b 与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得b = a6平面向量的基本定理：假如e1 ,e2 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一直量a，有且只有一对实数1, 2使：a 1e1 2 e2 ，此中不共线的向量e叫做表示这一平面内全部向量的一组基底1 ,ee 叫做表示这一平面内全部向量的一组基底27 特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有差别，向量平行是向量相等的必需条件（3）向量平行与直线平行有差别，直线平行不包含共线（即重合），而向量平行则包含共线（重合）的状况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的详细地点没关，只与其相对地点有关学习本章主要建立数形转变和联合的看法，以数代形，以形观数，用代数的运算办理几何问题，特别是办理向量的有关地点关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量能否垂直等因为向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等联合起来进行综合考察，是知识的交汇点二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相r r同的两个单位向量i,j作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内r 的任一直量ar rr，因为a r与数对(x,y是)一一对应的，因可表示成a xi yj此把(x,y叫)做向量a r的坐标，记作a r=(x,y，)此中x叫作a r在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标(1)相等的向量坐标同样，坐标同样的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的详细地点没关，只与其相对地点有关2平面向量的坐标运算：(1)若rra x1,y1,b x2,y2，则rra b x1x2,y1y2(2) 若 A x 1 , y , B x , y ，则1 2 2uuurAB x 2 x 1, y 2 y 1(3)若a r =(x,y，) 则a r =( x, y)(4)若rra x1, y1 ,b x2, y2，则rra //b x y x y 01 2 2 1(5)若rra x1, y1 ,b x2, y2，则rra b x x y y1 2 1 2rr若a b ，则0x1 x y y2 1 23 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数目（内积）及其各运算的坐标表示和性质运几何方法坐标方法运算性质算类型向1 平行四边形法rra b (x x,y y)1 2 1 2a b b a量则(a b) c a (b c)的 2 三角形法例u u ur uu ur uuurAB BC AC加法向rr三角形法例 a b (x1 x2,y1 y2)a b a ( b)量u u ur u uur AB BA的uu ur u uur uuurOB OA AB减法向a 是一个向量,a ( x, y) ( a) ( )a量知足: )a a a(的>0 时, a 与a 同(a b) a b 乘向; a∥b a b法<0 时, a 与a 异向;=0时, a =0向 a ? 是一个数b rra?b xx yy1 2 1 2a?b b ?a量 a 或b 0时,0 ( a) ?b a ?( b) (a ?b) 的a? =0b (a b) ?c a ?c b ?c数a且b 0时,0 a2 | a | ,2 2 2|a| x y量a ?b |a ||b| cos a,b | a ?b | | a || b |积三．平面向量的数目积1两个向量的数目积：已知两个非零向量 ar 与b r ，它们的夹角为，则a r ·b r =︱a r ︱·︱b r ︱cos 叫做ar 与b r 的数目积（或内积）规定0r ar 0r 2向量的投影：︱brrra b︱cos = r ∈R，称为向量 b在ar方向上的投影投| a | r方向上的投影投影的绝对值称为射影r r在a r 方向上的投影的乘积3数目积的几何意义：a r ·b 等于a r 的长度与b4向量的模与平方的关系：r r r r2 | |2a a a a5乘法公式建立：r r r rr r r r22 2a b a b a b a b 2 ；r r r r rr 2 r r r 2 r 22 2 2a b a a b b a 2a b b6平面向量数目积的运算律：r rr r①互换律建立： a b b ar r rr r r②对实数的联合律建立： a b a b a b Rr rr r r r r③分派律建立： a b c a c b crr rc a br rr r r r ；特别注意：（1）联合律不建立： a b c a b crr r r （2）消去律不建立 a b a cr r 不可以获得 b cr r =0 不可以获得a r =0r 或b r =0r （3）a b7两个向量的数目积的坐标运算：已知两个向量r rr ，则a r ·ba (x , y ),b (x , y )1 12 2=x x y y1 2 1 2r8向量的夹角：已知两个非零向量a r 与 buuur，作OAu uru r=a r , OB=b,则∠AOB=（r0 1800 ）叫做向量 ar与 b 的夹角rrrcos =cos a, b a br ?2x1x x1 22y1yy122x2y2r =ra ? b2r 当且仅当两个非零向量 ar与br同方向时，θ= 00，当且仅当ar与 b 反方向r时θ=1800，同时与其余任何非零向量之间不谈夹角这一问题r 9垂直：假如ar与 brr的夹角为900 则称a与 br垂直，记作 ar⊥ b10两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b a·b ＝O 0x1x y y 平面向量数目积的性质2 1 2题型 1.基本看法判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
必修4-平面向量知识点总结
必修4-平面向量知识点总结平面向量知识点小结一、向量的基本概念1.向量是既有大小又有方向的量，用有向线段来表示。
需要注意的是，向量可以平移，因此不能简单地将向量等同于有向线段。
举例1：已知A(1,2)，B(4,2)，将向量AB按照向量a=(-1,3)平移后得到的向量是(3,0)。
2.零向量是长度为0的向量，记作0.零向量的方向是任意的。
3.单位向量是长度为1的向量。
与AB共线的单位向量是±AB/|AB|。
4.相等向量是长度相等且方向相同的两个向量。
相等向量具有传递性。
5.平行向量（也叫共线向量）是方向相同或相反的非零向量a、b。
记作a∥b。
需要注意的是，零向量和任何向量都是平行的。
注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与两条直线平行是不同的概念。
两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性（因为有例外）；④三点A、B、C共线⇔ AB、AC共线。
6.相反向量是长度相等方向相反的向量。
a的相反向量记作-a。
举例2：以下命题中，正确的是(4)和(5)。
1) 若|a|=|b|，则a=b。
2) 两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
3) 若AB=DC，则ABCD是平行四边形。
4) 若ABCD是平行四边形，则AB=DC。
5) 若a=b，b=c，则a=c。
6) 若a//b，b//c，则a//c。
二、向量的表示方法1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB。
需要注意的是，起点在前，终点在后。
2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a、b、c 等。
3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j为基底，那么平面内的任一向量a都可以表示为a=x*i+y*j=(x,y)。
(x,y)称为向量a的坐标，a=(x,y)叫做向量a的坐标表示。
需要注意的是，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
高一数学必修四第二章 平面向量章末总结
高一数学必修四第二章平面向量章末总结平面向量是高中数学必修四中的一章内容，主要介绍了平面向量的定义、平面向量的加法、减法、数乘、数量积、向量积等基本运算，以及平面向量的共线、垂直、平行、四边形法则、平面向量的投影等相关概念和定理。
在学习这一章节的过程中，我深刻体会到平面向量的重要性和应用，对于解决实际问题有着很大的帮助。
下面我将对这一章内容进行总结。
第一节平面向量的定义平面向量是一个有大小和方向的量。
平面向量的表示可以用有向线段表示，其中线段代表向量的大小，箭头代表了向量的方向。
平面向量的起点和终点分别叫做向量的始点和终点。
平面向量常用大写字母表示，例如：AB、AC。
平面向量也可以用坐标表示，例如：向量AB的坐标为(3,4)，表示向量的起点在原点，终点在坐标点(3,4)处。
平面向量的大小叫做向量的模，用|AB|表示。
第二节平面向量的加法平面向量的加法满足三个定律：1. 交换律：AB + BC = BC + AB.2. 结合律：(AB + BC) + CD = AB + (BC + CD).3. 加法逆元：对于任意的向量AB, 存在向量BA, 使得AB +BA = 0, BA + AB = 0.第三节平面向量的数乘平面向量的数乘即将向量与一个实数进行乘法运算。
加法和数乘的运算统称为线性运算。
数乘满足两个定律：1. 结合律：a(bAB) = (ab)AB.2. 分配律：(a+b)AB = aAB + bAB.第四节平面向量的减法平面向量的减法可以转化为加法和数乘的运算：AB - AC = AB + (-1)AC第五节平面向量的数量积数量积又称为点积，记为AB·CD, 定义为AB·CD = |AB| |CD| cosθ, 其中θ为两个向量的夹角。
第六节平面向量的向量积向量积的结果是一个向量，记为AB×CD，用它来表示与它们夹角θ所在平面的法向量，其大小等于两个向量的模的乘积与夹角θ的正弦值，方向遵循右手螺旋法则。
高中数学必修4第二章：平面向量2.2平面向量的线性运算
向量的表示：AB或a
有向线段
向量
向量的大小 (长度、模)
向量的方向
单位向量 与零向量
相等向量与 平行向量 相反向量 (共线向量)
既有大小又有方向的量叫向量； 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
新课导入
大三通之前，由 于大陆和台湾没有直 航，因此要从台湾去 上海探亲，乘飞机要 先从台北到香港，再 从香港到上海，这两 次位移之和是什么？
解：(1)OA OC OB;
(2)BC FE AD;
E
D
FO
C
(3)OA FE 0.
A
B
(1)向量加法交换律： a b b a
D
a
C
b
b a+b
A
a
B
(2)向量加法结合律：
(a+b)+c a (b c)
D
c
C
D
c
C
(a + b) + c
a+b
a + (b + c) b
b+c b
B
B
A
a
－c.
通法提炼 两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行.例如， 作a－b，可以先作－b，然后作a＋－b即可，也可以直接 用向量减法的三角形法则，把两向量的起点重合，则差向 量就是连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.
如图，已知不共线的两个非零向量a，b，求作向量a－ b，b－a，－a－b.
2（2008安徽）若 AB (2,4), AC (1, 3),
则BC （ B ）
A.(1,1) C.(3,7)
B.(-1,-1) D.(-2,-4)
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平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量：既有大小又有方向的量。
记作：uuur rAB 或 a 。
uuur r2.向量的模：向量的大小（或长度），记作： | AB |或 | a |。
r r3. 单位向量：长度为 1 的向量。
若e是单位向量，则| e| 1。
r r4.零向量：长度为 0 的向量。
记作：0。
【0方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
6.相等向量：长度和方向都相同的向量。
7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。
8.三角形法则：uuur uuur AB BA。
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB BC AC；AB BC CD DE AE； AB AC CB （指向被减数）9.平行四边形法则：r r r r r r以 a, b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b ， a b 。
r r r r r r r r10. 共线定理：a b a / /b 。
当0 时，a与b同向；当0 时，a与b反向。
11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.r rx2y 2r 2r r r r r2向量的模：若 a(x, y) ，则| a |， a| a |2， | a b |( a b)r r r rr rcos ra br13.数量积与夹角公式： a b| a | | b | cos；| a || b |r r r r r r r r14.平行与垂直： a / / b a b x1 y2x2 y1； a b a b0x1 x2y1 y2 0题型 1. 基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（ 3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（ 4）四边形 ABCD是平行四边形的条件是uuur uuurAB CD 。
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r
uuur
r
uuur
r
,则∠AOB=
（0
0
180
0
）叫做向
29、已知两个非零向量a与b，作OA=a,
OB=b
r
r
量a与b的夹角
rr
r
?
r
x x
y y
b
2
2
cos =cos a,b
a
=
1
1
r
r
2
2
x2
22
（可用此公式求两向量夹角）
a ? b
x1
y1
y2
当x1x2
y1y2< 0，?（
??
2
，π];
当x1x2
则把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标。
（2）坐标表示
在向量a的直角坐标中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a=（x，y）
叫做向量的坐标表示。
（3）在向量的直角坐标中，
i=（1,0）j=（0,1）
0=（0,0）
r
r
x2, y2
20、若a
x1, y1,b
和实数 λ
rr
x2, y1
y2
（1）a bx1
L1：A1x+B1y+C1=0
与直线L2：A2x+B2y+C2=0
的夹角，则只要求与两直线平
行的向量的夹角， 再取这两个向量的夹角或补角，
即与直线L1
、
2
分别平行的向量
1
，
L
m=（A
??·??
??·??+??·??
1
2
2
=︱??︱·︱??︱
高中数学必修4平面向量知识点总结
高中数学必修4 平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a；坐标表示法),(y x yj xi a向量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量 ｜0a｜＝1④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a大小相等，方向相同),(),(2211y x y x 2121y y x x2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u ur u u u r =AC u u u r（1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ，但这时必须“首尾相连”．3向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： （i ）)(a =a ； (ii) a +(a )=(a )+a =0；(iii)若a 、b是互为相反向量，则a =b ,b =a ,a +b =0②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差， 记作：)(b a b a求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与a的方向相反；当0 时，0a ，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线 有且只有一个实数 ，使得b =6平面向量的基本定理：如果21,e e是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 7 特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件 （3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点例1 给出下列命题：① 若|a r |＝|b r |，则a r =b r；② 若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC u u u r u u u r是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③ 若a r =b r ，b r =c r ，则a r =c r ， ④ar =br 的充要条件是|ar |=|br |且a rb r a r b r b rc r a r c r AB DC u u ur u u u r ||||AB DC u u u r u u u r //AB DC u u u r u u u r //AB DC u u u r u u u r ||||AB DC u u u r u u u r AB DC u u u r u u u r a r br a r b r b r c r b r c r a r c r a r c r a r b r a r b r a r b r a r b r a r b r a r b r b r 0r AB BC CD u u ur u u u r u u u r DB AC BD u u u r u u u r u u u r OA OC OB COu u u r u u u r u u u r u u u r ()AB BC CD AC CD ADu u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()0DB BD AC AC ACu u u r u u u r u u u r r u u u r u u u r ()()()0OB OA OC CO AB OC CO AB AB u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r u u u r a r b r c r a r b r d r a r b r c r d r c r dr c r d r a r b r a r b r a r b r 0r a r b r 1010k k k 面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j r r 作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a r可表示成a xi yj r r r ，由于a r 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a r的坐标，记作a r =(x,y)，其中x 叫作a r在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则 1212,a b x x y y rr(2) 若 2211,,,y x B y x A ，则 2121,AB x x y y u u u r(3) 若a r =(x,y)，则 a r=( x, y)(4) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr (5) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则1212a b x x y y rr若a b rr ，则02121 y y x x3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算运算类型几何方法 坐标方法 运算性质 向 量 的 加法1平行四边形法则 2三角形法则 1212(,)a b x x y y r r a b b a)()(c b a c b aAB BC AC u u u r u u u r u u u r向 量 的 减 法 三角形法则 1212(,)a b x x y y rr )(b a b aAB BA u u u r u u u r OB OA AB u u u r u u u r u u u r向 量 的 乘 法a是一个向量,满足:>0时,a 与a同向;<0时,a 与a异向;=0时, a =0),(y x a a a)()(a a a)( b a b a )(a ∥b a b向 量的 数量 积b a•是一个数 0 a 或0b 时, b a•=0 0 a 且0 b 时,•b a b a b a,cos |||| 1212a b x x y y • rra b b a • •)()()(b a b a b a • • • c b c a c b a • • • )(22||a a ,22||y x a||||||b a b a •例1 已知向量(1,2),(,1),2a b x u a b r r r r r ，2v a b rr r ，且//u v r r ，求实数x 的值解：因为(1,2),(,1),2a b x u a b r r r r r，2v a b r r r所以(1,2)2(,1)(21,4)u x x r ，2(1,2)(,1)(2,3)v x x r又因为//u v r r所以3(21)4(2)0x x ，即105x解得12x例2已知点)6,2(),4,4(),0,4(C B A ,试用向量方法求直线AC 和OB （O 为坐标原点）交点P 的坐标解：设(,)P x y ，则(,),(4,)OP x y AP x y u u u r u u u r因为P 是AC 与OB 的交点所以P 在直线AC 上，也在直线OB 上即得//,//OP OB AP AC u u u r u u u r u u u r u u u r由点)6,2(),4,4(),0,4(C B A 得，(2,6),(4,4)AC OB u u u r u u u r得方程组6(4)20440x y x y解之得33x y故直线AC 与OB 的交点P 的坐标为(3,3)三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：已知两个非零向量a r 与b r ，它们的夹角为 ，则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos叫做a r 与b r的数量积（或内积） 规定00a r r2向量的投影：︱b r ︱cos =||a ba r r r ∈R ，称为向量b r 在a r 方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义： a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：2||a a a a r r r r5乘法公式成立： 2222a b a b a b a b r r r r r r r r ；2222a b a a b br r r r r r 222a a b b r r r r6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a r r r r②对实数的结合律成立：a b a b a b R r r r r r r③分配律成立： a b c a c b c r r r r r r r c a b rr r特别注意：（1）结合律不成立： a b c a b c r r r r r r；（2）消去律不成立a b a cr r r r 不能得到b c r r（3）a b r r =0不能得到a r =0r或b r =0r7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y r r，则a r ·b r =1212x x y y已知两个非零向量a r与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=（01800 ）叫做向量a r 与b r的夹角cos =cos ,a ba b a b • •r r r r r r当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r 与b r 反方向时θ=1800，同时0r与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b r10两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥b a ·b＝O 2121 y y x x 平面向量数量积的性质例1 判断下列各命题正确与否：（1）00a r；（2）00a r r ；（3）若0,a a b a c r r r r r，则b c r r ；⑷若a b a c r r r r ，则b c r r 当且仅当0a rr 时成立； （5）()()a b c a b c r r r r r r 对任意,,a b c r r r向量都成立；（6）对任意向量a r，有2a a r r解：⑴错； ⑵对； ⑶错； ⑷错； ⑸ 错；⑹对例2已知两单位向量a r 与b r 的夹角为0120，若2,3c a b d b a r r r r r r ，试求c r 与d r的夹角解：由题意，1a b r r ，且a r 与b r的夹角为0120，所以，01cos1202a b a b r r r r ，2c c c r r rQ (2)(2)a b a b r r r r 22447a a b b r r r r ，c r同理可得d r而c d r r 2217(2)(3)7322a b b a a b b a r r r r r r r r ，设 为c r与d r 的夹角， 则1829117137217cos1829117arccos点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑例3 已知 4,3a r， 1,2b r ，,m a b r r r 2n a b r r r ，按下列条件求实数的值（1）m n r r ；（2）//m n r r；(3)m n r r 解： 4,32,m a b r r r 27,8n a b rr r （1）m n r r 082374 952；（2）//m n r r 072384 21 ；(3)m n r r 088458723422222点评：此例展示了向量在坐标形式下的基本运算（七）向量中一些常用的结论：1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.||||||||||||a b a b a b r r r r r r ，特别地，当 a b r r、同向或有 0r ||||||a b a b r r r r ||||||||a b a b r r r r ；当 a b r r、反向或有0r ||||||a b a b r r r r ||||||||a b a b r r r r ； 当 a b r r、不共线 ||||||||||||a b a b a b r r r r r r (这些和实数比较类似).3.在ABC 中，①若 112233,,,,,A x y B x y C x y ，则其重心的坐标为123123,33x x x y y y G。
高中数学必修4平面向量常考题型：平面向量数量积的物理背景及其含义
平面向量数量积的物理背景及其含义【知识梳理】1．向量的数量积的定义(1)两个非零向量的数量积：(2)规定：零向量与任一向量的数量积均为0.2．向量的数量积的几何意义(1)投影的概念：①向量b在a的方向上的投影为|b|cos θ.②向量a在b的方向上的投影为|a|cos θ.(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．3．向量数量积的性质设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．(1)a⊥b⇔a·b＝0.(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|，当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.(3)a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2.(4)cos θ＝a·b|a||b|.(5)|a·b|≤|a||b|.4．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．【常考题型】题型一、向量数量积的运算【例1】(1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b; ②(a＋b)·(a－2b)．(2)设正三角形ABC 的边长为2，AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b ，求a ·b＋b ·c ＋c ·a .[解] (1)①由已知得a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×2×cos 120°＝－4.②(a ＋b )·(a －2b )＝a 2－a ·b －2b 2＝16－(－4)－2×4＝12.(2)∵|a |＝|b |＝|c |＝2，且a 与b 、b 与c 、c 与a 的夹角均为120°，∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝2×2×cos 120°×3＝－3.【类题通法】向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．【对点训练】已知正方形ABCD 的边长为2，分别求：(1)AB ·CD ；(2)AB ·AD ；(3)DA ·AC .解：(1)∵AB ，CD 的夹角为π，∴AB ·CD ＝|AB ||CD |cos π＝2×2×(－1)＝－4；(2)∵AB ，AD 的夹角为π2， ∴AB ·AD ＝|AB ||AD |cos π2＝2×2×0＝0； (或∵AB ，AD 的夹角为π2，∴AB ⊥AD ，故AB ·AD ＝0) (3)∵DA ，AC 的夹角为3π4， ∴DA ·AC ＝|DA ||AC |cos 3π4＝2×22×⎝⎛⎫－22＝－4. 题型二、与向量的模有关的问题【例2】 (1)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.(2)已知|a |＝2，|b |＝4，a ，b 的夹角为π3，以a ，b 为邻边作平行四边形，求平行四边形的两条对角线中较短一条的长度．(1)[解析] 依题意，可知|2a －b |2＝4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝4－4|a ||b |·cos 45°＋|b |2＝4－22|b |＋|b |2＝10，即|b |2－22|b |－6＝0，∴|b |＝22＋322＝32(负值舍去)．[答案] 3 2(2)[解] ∵平行四边形的两条对角线中较短一条的长度为|a －b |，∴|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝ 4－2×2×4×cos π3＋16＝2 3. 【类题通法】向量模的常见求法在求向量的模时，直接运用公式|a |＝a ·a ，但计算两向量的和与差的长度用|a ±b |＝(a ±b )2＝ a 2±2a ·b ＋b 2.【对点训练】已知向量a 、b 满足|a |＝2，|b |＝3，|a ＋b |＝4，求|a －b |.解：由已知，|a ＋b |＝4，∴|a ＋b |2＝42，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝16.(*)∵|a |＝2，|b |＝3，∴a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝9，代入(*)式得4＋2a ·b ＋9＝16，即2a ·b ＝3.又∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝4－3＋9＝10，∴|a －b |＝10.题型三、两个向量的夹角和垂直问题【例3】 (1)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．(2)已知非零向量a ，b 满足a ＋3b 与7a －5b 互相垂直，a －4b 与7a －2b 互相垂直，求a 与b 的夹角．(1)[解析] 设a 与b 的夹角为θ，依题意有：(a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋a ·b －2b 2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝12，因为0≤θ≤π，故θ＝π3. [答案] π3(2)[解] 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，(a －4b )·(7a －2b )＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a ·b －15b 2＝0， ①7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0， ② ②－①得23b 2－46a ·b ＝0，∴2a ·b ＝b 2，代入①得a 2＝b 2，∴|a |＝|b |，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b 2|b |2＝12. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3. 【类题通法】求向量a ，b 的夹角θ的思路(1)求向量的夹角的关键是计算a ·b 及|a ||b |，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝a ·b |a ||b |，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值． (2)在个别含有|a |，|b |与a ·b 的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．【对点训练】已知|a |＝3，|b |＝2，向量a ，b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝ma －3b ，求当m 为何值时，c 与d 垂直？解：由已知得a ·b ＝3×2×cos 60°＝3.由c ⊥d ，则c ·d ＝0，即c ·d ＝(3a ＋5b )·(ma －3b )＝3ma 2＋(5m －9)a ·b －15b 2＝27m ＋3(5m －9)－60＝42m －87＝0，∴m ＝2914，即m ＝2914时，c 与d 垂直． 【练习反馈】1．下列命题：(1)若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；(2)(a ·b )c ＝a (b ·c )对任意向量a ，b ，c 都成立；(3)对任一向量a ，有a 2＝|a |2.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选B (1)(2)不正确，(3)正确．2．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影是32，则a ·b 为( ) A.92B ．3C ．2 D.12解析：选A ∵|a |cos 〈a ，b 〉＝32，|b |＝3， ∴a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝3×32＝92. 3．若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________． 解析：∵c ⊥a ，∴c ·a ＝0，∴(a ＋b )·a ＝0，即a 2＋a ·b ＝0.∵|a |＝1，|b |＝2，∴1＋2cos 〈a ，b 〉＝0，∴cos 〈a ，b 〉＝－12. 又∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝120°.答案：120°4．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________. 解析：|5a －b |＝|5a －b |2＝(5a －b )2 ＝25a 2＋b 2－10a ·b＝ 25＋9－10×1×3×⎝⎛⎭⎫－12 ＝7.答案：75．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)，m ＝a －λb ，n ＝2a ＋b ，按下列条件求实数λ的值：(1)m ⊥n ；(2)m ∥n ；(3)|m |＝|n |.解：m ＝a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，n ＝2a ＋b ＝(7,8)．(1)因为m ⊥n ，所以(4＋λ)×7＋(3－2λ)×8＝0，解得λ＝529； (2)因为m ∥n ，所以(4＋λ)×8－(3－2λ)×7＝0，解得λ＝－12； (3)因为|m |＝|n |，所以(4＋λ)2＋(3－2λ)2＝72＋82， 解得λ＝2±21115.。
高中平面向量知识点总结
高中平面向量知识点总结一、平面向量的定义与性质1. 平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的几何对象，通常用有向线段来表示，记作AB→，其中A、B 为起点和终点。
2. 平面向量的性质（1）平面向量相等的充分必要条件是它们的大小相等，方向相同。
（2）平面向量相加的几何意义：平面向量A+B的几何意义是以B为起点，在A的方向上作另一有向线段，则A+B的终点是以A、B的起点为起点、终点的有向线段。
（3）平面向量乘以实数的几何意义：实数k是负数时，它对平面向量的作用是对此向量作方向相反或绝对值为|k|倍的拉伸；k为正数时，它对平面向量的作用是对此向量作方向相同或绝对值为k倍的拉伸；k=0时，作用是得到一个零向量。
二、平面向量的基本运算1. 平面向量的加法平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)相加的结果是C(c1, c2)，其中c1=a1+b1，c2=a2+b2。
2. 平面向量的减法平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)相减的结果是C(c1, c2)，其中c1=a1-b1，c2=a2-b2。
3. 平面向量的数量积平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)的数量积是a1b1+a2b2，它是一个标量（实数）。
4. 平面向量的数量积的性质（1）交换律：A·B = B·A（2）分配律：A·(B+C) = A·B + A·C（3）A·A = |A|^2，其中|A|为向量A的模。
（4）若向量A与向量B夹角为θ，则A·B = |A||B|cosθ5. 平面向量的夹角若向量A、B夹角为θ，则A·B = |A||B|cosθ三、平面向量的应用1. 向量的共线性与共面性两个向量共线的充分必要条件是它们的方向相同或相反；三个向量共面的充分必要条件是它们的线性相关。
2. 向量的投影向量A在向量B上的投影是A在B方向上的长度，记作proj_BA = |A|cosθ，其中θ为A 与B的夹角。
(完整版)必修四平面向量复习基本知识点总结及基础训练
a b a b AB DC AB DC a (1,1), b 1), c c 按向量 ＝（－1、向量有关概念：平面向量复习基本知识点及经典结论总结（1） 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
例：已知 A （1,2），B （4,2），则把向量1,3）平移后得到的向量是 AB a。
（2） 零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作： 0 ，注意零向量的方向 ；（3） 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 AB 共线的单位向量是：)；（4） 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有 ；（5） 平行向量（也叫）：方向 或的非零向量 a 、b 叫做平行向量，记作：，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0 )；④三点 A 、、B C 共线⇔ AB 、AC 共线；（6） 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是。
例：命题：（1）若 =，则 =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若 = ，则 ABCD 是平行四边形。
（4）若 ABCD 是平行四边形，则 =。
（5）若 a = b ,b = c ，则 a = c 。
（6）若 a // b ,b // c ，则 a // c 。
其中正确的是 ； 2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a ， b ， c 等；（3）坐标表示法：在 平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i ， j 为基底，则平面内的任一向量 a 可表示为 a = xi + y j = (x , y )，称(x , y )为向量 a 的坐标， a ＝叫做向量 a 的坐标表示。
平面向量复习基本知识点及结论总结
平面向量复习1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定：零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
的相反向量是－。
2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； （2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。
4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0。
高中数学必修4知识点总结：第二章-平面向量
高中数学必修4知识点总结第二章 平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y A B=--．19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．20、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线． 21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基baCBAa b C C -=A -AB =B底）22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭．（当时，就为中点公式。
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高中数学必修4平面向量知识点总结高中数学必修4平面向量知识点坐标表示法平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y 轴方向相同的两个单位向量作为基底。
由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x 轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。
来表示平面内的各个方向在数学中，我们通常用点表示位置，用射线表示方向.在平面内，从任一点出发的所有射线，可以分别用向量的表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可用字母a①、b、c等表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示.向量的大小，也就是向量的长度(或称模)，记作|a|长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.0向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，我们规定0与任一向量平行.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a与b相等，记作a=b.零向量与零向量相等.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.向量的运算1、向量的加法：AB+BC=AC设a=(x,y) b=(x ,y )则a+b=(x+x ,y+y )向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量加法的性质：交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)a+0=0+a=a2、向量的减法AB-AC=CBa-b=(x-x ,y-y )若a//b则a=eb则xy`-x`y=0若a垂直b则ab=0则xx`+yy`=03、向量的乘法设a=(x,y) b=(x ,y )a b(点积)=x x +y y =|a| |b|*cos夹角4、向量有关概念：(1)向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
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平面向量
【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】
1.向量：既有大小又有方向的量。
记作：AB 或a 。
2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。
3.单位向量：长度为1的向量。
若e 是单位向量，则||1e =。
4.零向量：长度为0的向量。
记作：0。
【0方向是任意的，且与任意向量平行】
5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
6.相等向量：长度和方向都相同的向量。
7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。
AB BA =-。
8.三角形法则：
AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数）
9.平行四边形法则：
以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。
10.共线定理：//a b a b λ=⇔。
当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。
11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+
13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ⋅=⋅；cos ||||a b a b θ⋅=
⋅ 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=；121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= 题型1.基本概念判断正误：
（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。
（5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。
（6）若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线。
（7）若ma mb =，则a b =。
（8）若ma na =，则m n =。
（9）若a 与b 不共线，则a 与b 都不是零向量。
（10）若||||a b a b ⋅=⋅，则//a b 。
（11）若||||a b a b +=-，则a b ⊥。
题型2.向量的加减运算
1.设a 表示“向东走8km ”,b 表示“向北走6km ”,则||a b +=。
2.化简()()AB MB BO BC OM ++++=。
3.已知||5OA =,||3OB =,则||AB 的最大值和最小值分别为、。
4.已知AC AB AD 为与的和向量，且,AC a BD b ==，则AB =，AD =。
5.已知点C 在线段AB 上，且35AC AB =
,则AC =BC ，AB =BC 。
题型3.向量的数乘运算
1.计算：2(253)3(232)a b c a b c +---+-=
2.已知(1,4),(3,8)a b =-=-，则132
a b -=。
题型4根据图形由已知向量求未知向量
1.已知在ABC ∆中，D 是BC 的中点，请用向量AB AC ，
表示AD 。
2.在平行四边形ABCD 中，已知,AC a BD b ==，求AB AD 和。
题型5.向量的坐标运算
1.已知(4,5)AB =，(2,3)A ，则点B 的坐标是。
2.已知(3,5)PQ =--，(3,7)P ，则点Q 的坐标是。
3.若物体受三个力1(1
,2)F =,2(2,3)F =-,3(1,4)F =--,则合力的坐标为。
4.已知(3,4)a =-，(5,2)b =，求a b +，a b -，32a b -。
5.已知(1,2),(3,2)A B ,向量(2,32)a x x y =+--与AB 相等，求,x y 的值。
6.已知(2,3)AB =，(,)BC m n =，(1,4)CD =-，则DA =。
7.已知O 是坐标原点，(2,1),(4,8)A B --，且30AB BC +=，求OC 的坐标。
题型6.判断两个向量能否作为一组基底
1.已知12,e e 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：
A.1212e e e e +-和
B.1221326e e e e --和4
C.122133e e e e +-和
D.221e e e -和
2.已知(3,4)a =，能与a 构成基底的是（ ） A.34(,)55 B.43(,)55 C.34(,)55-- D.4(1,)3--
题型7.结合三角函数求向量坐标
1.已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，||2OA =，150xOA ∠=，求OA 的坐标。
2.已知O 是原点，点A 在第一象限，||43OA =60xOA ∠=，求OA 的坐标。
题型8.求数量积
1.已知||3,||4a b ==，且a 与b 的夹角为60，求（1）a b ⋅，（2）()a a b ⋅+，
（3）1()2
a b b -
⋅，（4）(2)(3)a b a b -⋅+。
2.已知(2,6),(8,10)a b =-=-，求（1）||,||a b ，（2）a b ⋅，（3）(2)a a b ⋅+，
（4）(2)(3)a b a b -⋅+。
题型9.求向量的夹角
1.已知||8,||3a b ==，12a b ⋅=，求a 与b 的夹角。
2.已知(3,1),(23,2)a b ==-，求a 与b 的夹角。
3.已知(1,0)A ，(0,1)B ，(2,5)C ，求cos BAC ∠。
题型10.求向量的模
1.已知||3,||4a b ==，且a 与b 的夹角为60，求（1）||a b +，（2）|23|a b -。
2.已知(2,6),(8,10)a b =-=-，求（1）||,||a b ，（5）||a b +，（6）1||2
a b -。
3.已知||1||2a b ==，
，|32|3a b -=，求|3|a b +。
题型11.求单位向量 【与a 平行的单位向量：||
a e a =±】 1.与(12,5)a =平行的单位向量是2.与1(1,)2
m =-平行的单位向量是。
题型12.向量的平行与垂直 1.已知(1,2)a =，(3,2)b =-，（1）k 为何值时，向量ka b +与3a b -垂直？（2）k 为何值时向量ka b +与3a b -平行？
2.已知a 是非零向量，a b a c ⋅=⋅，且b c ≠，求证：()a b c ⊥-。
题型13.三点共线问题
1.已知(0,2)A -，(2,2)B ，(3,4)C ，求证：,,A B C 三点共线。
2.设2(5),28,3()2
AB a b BC a b CD a b =
+=-+=-，求证：A B D 、、三点共线。
3.已知2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-，则一定共线的三点是。
4.已知(1,3)A -，(8,1)B -，若点(21,2)C a a -+在直线AB 上，求a 的值。
5.已知四个点的坐标(0,0)O ，(3,4)A ，(1,2)B -，(1,1)C ，是否存在常数t ，使OA tOB OC +=成立？
题型14.判断多边形的形状
1.若3AB e =，5CD e =-，且||||AD BC =,则四边形的形状是。
2.已知(1,0)A ，(4,3)B ，(2,4)C ，(0,2)D ，证明四边形ABCD 是梯形。
3.已知(2,1)A -，(6,3)B -，(0,5)C ，求证：ABC ∆是直角三角形。
4.在平面直角坐标系内，(1,8),(4,1),(1,3)OA OB OC =-=-=,求证：ABC ∆是等腰直角三角形。
题型15.平面向量的综合应用
1.已知(1,0)a =，(2,1)b =，当k 为何值时，向量ka b -与3a b +平行？
2.已知(3,5)a =，且a b ⊥，||2b =，求b 的坐标。
3.已知a b 与同向，(1,2)b =，则10a b ⋅=，求a 的坐标。
4.已知(1,2)a =，(3,1)b =，(5,4)c =，则c =a +b 。
5.已知(,3)a m =，(2,1)b =-，（1）若a 与b 的夹角为钝角，求m 的范围；
（2）若a 与b 的夹角为锐角，求m 的范围。
6.已知(6,2)a =，(3,)b m =-，当m 为何值时，（1）a 与b 的夹角为钝角？（2）a 与b 的夹角为锐角？
7.已知梯形ABCD 的顶点坐标分别为(1,2)A -，(3,4)B ，(2,1)D ，且//AB DC ，2AB CD =，求点C 的坐标。
8.已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(0,0)B ，(,0)C c ，
（1）若0AB AC ⋅=，求c 的值；（2）若5c =，求sin A 的值。