第五章 测量误差的基本知识

第七章测量误差基本知识

内容：了解测量误差来源及产生的原因；掌握系统误差和偶然误差的特点及其处理方法；理解精度评定的指标（中误差、相对误差、容许误差）的概念；了解误差传播定律的应用。

重点：系统误差和偶然误差的特点及其处理方法。

难点：中误差、相对误差、容许误差的概念；误差传播定律的应用。

§ 5.1 测量误差的概念

测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为系统误差和偶然误差。

一、系统误差 (system error)

1、定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。

2、特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。

二、偶然误差 (accident error)

1、定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。

2、特点：

（1）具有一定的范围。

（2）绝对值小的误差出现概率大。

（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。

（4）数学期限望等于零。即：

误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。

此外，在测量工作中还要注意避免粗差 (gross error) （即：错误）的出现。

偶然误差分布频率直方图

§ 5.2 衡量精度的指标

测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。

一、中误差

方差：——某量的真误差， [] ——求和符号。

规律：标准差估值（中误差 m ）绝对值愈小，观测精度愈高。

在测量中，n为有限值，计算中误差 m 的方法，有：

1、用真误差（ true error ）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。

真误差Δ——观测值与其真值之差，有：

标准差

中误差（标准差估值）， n 为观测值个数。

[ 例题 ] ：对 10 个三角形的内角进行了观测，根据观测值中的偶然误差（三角形的角度闭合差，即真误差），计算其中误差。

三内角和的观测值

序号

观测值L 真误差△ △平方

1 180 ° 00 ′ 03 ″ － 3 ″ 9

2 180 ° 00 ′ 02 ″ － 2 ″ 4

3 179 ° 59 ′ 58 ″ ＋ 2 ″ 4

4 179 ° 59 ′ 56 ″ ＋ 4 ″ 16

5 180 ° 00 ′ 00 ″ － 1 ″ 1

6 180 ° 00 ′ 04 ″ 0 ″ 0

7 180 ° 00 ′ 03 ″ － 4 ″ 16

8 179 ° 59 ′ 57 ″ ＋ 3 ″ 9

9 179 ° 59 ′ 58 ″ ＋ 2 ″ 4

10 180 ° 00 ′ 03 ″ － 3 ″ 9

∑ 24 72

中误差

2、用改正数来确定中误差（白塞尔公式）——适用于观测量真值未知时。

V ——最或是值与观测值之差。一般为算术平均值与观测值之差，即有：

二、相对误差

1、相对中误差 =

2、往返测较差率 K=

三、极限误差（容许误差）

常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。即：。

§ 5.3 误差传播定律及其应用

误差传播定律

设、… 为相互独立的直接观测量，有函数，则有：

[ 例题 ] ：在水准测量中，读数a与b的误差分别为m a=±3mm与m b=±4mm，则高差h的中误差m h等于多少？

解：高差计算公式为： h=a-b

由函数形式可知其属于和差函数，则根据误差传播定律可知：

m = ±

[ 例题 ]: 电磁波测距三角高程公式：h = Dtgα+i-v ，已知： D= 192.263m ± 0.006m ，α=8°9′16″±10″ ，i= 1.515m ± 0.002m ，v= 1.627m ± 0.002m ，求 h 值及其中

误差m h 。

解：高差h=Dtgα+i-v= 27.437m ，对此式各项求偏导，其系数有：

f1 =0.1433, f2 =0.9513, f3 =+1, f4 =-1,

应用误差传播公式，有：

故：m h=±7mm

最后结果写为：h=27.437± 0.007m

第一节概述

一、测量误差

测量工作的实践表明，在任何测量工作中，无论是测角、测高差或量距，当对同一量进行多次观测时，不论测量仪器多么精密，观测进行得多么仔细，测量结果总是存在着差异，彼此不相等。例如，反复观测某一角度，每次观测结果都不会一致，这是测量工作中普遍存在的现象，其实质是每次测量所得的观测值与该量客观存在的真值之间的差值，这种差值称为测量误差。即

测量误差=观测值-真值

用表示测量误差，X表示真值，L表示观测值，则测量误差可用下式（5-1）表示：

△=－（5-1）

二、测量误差的来源

产生测量误差的因素是多方面的，概括起来有以下三个因素：

1、仪器精度的有限性，测量中使用的仪器和工具不可能十分完善，致使测量结果产生误差。例如:用普通水准尺进行水准测量时，最小分划为5mm，就难以保证毫米数的完全正确性。经纬仪、水准仪检校不完善产生的残余误差影响，例如：水准仪视准轴部平行于水准管轴，水准尺的分划误差等。这些都会使观测结果含有误差。

2、观测者感觉器官鉴别能力的局限性；会对测量结果产生一定的影响，例如对中误差、观测者估读小数误差、瞄准目标误差等。

3、观测过程中，外界条件的不定性，如温度、阳光、风等时刻都在变化，必将对观测结果产生影响,例如:温度变化使钢尺产生伸缩，阳光照射会使仪器发生微小变化，较阴的天气会使目标不清楚等。

通常把以上三种因素综合起来称为观测条件，可想而知观测条件好，观测中产生的误差就会小，反之，观测条件差，观测中产生的误差就会大。但是不管观测条件如何，受上述因素的影响，测量中存在误差是不可避免的。应该指出，误差与粗差是不同的，粗差是指观测结果中出现的错误，如测错、读错、记错等，不允许存在，为杜绝粗差，除了加强作业人员的责任心，提高操作技术外，还应采取必要的检校措施。

三、测量误差的分类

测量误差按其性质不同可分为系统误差和偶然误差。

1、系统误差

在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，若出现的误差在数值大小或符号上保持不变或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。例如用名义长度为30米，而实际长度为30.004米的钢尺量距，每量一尺就有0.004米的系统误差，它就是一个常数。又如水准测量中，视准轴与水准管轴不能严格平行，存在一个微小夹角，角一定时在尺上的读数随视线长度成比例变化，但大小和符号总是保持一致性。

系统误差具有累计性,对测量结果影响甚大,但它的大小和符号有一定的规律,可通过计算或观测方法加以消除,或者最大限度地减小其影响,如尺长误差可通过尺长改正加以消除,水准测量中的角误差,可以通过前后视线等长，消除其对高差的影响。

2、偶然误差

在相同的观测条件下,对某量进行一系列观测,如出现的误差在数值大小和符号上均不一致,且从表面看没有任何规律性,这种误差称为偶然误差。如水准标尺上毫米数的估读，有时偏大，有时偏小。由于大气的能见度和人眼的分辨能力等因素使照准目标有时偏左，有时偏右。

偶然误差亦称随机误差,其符号和大小在表面上无规律可循，找不到予以完全消除的方法，因此须对其进行研究。因为在表面上是偶然性在起作用，实际上却始终是受其内部隐蔽着的规律所支配，问题是如何把这种隐蔽的规律揭示出来。