数学建模第二章作业答案章绍辉

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习题2作业讲评

1. 继续考虑

2.2节的“汽车刹车距离”案例,请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗?“两秒准则”是否足够安全?对于安全车距,你有没有更好的建议?(“两秒准则”,即后车司机从前车经过某一标志开始,默数2秒之后到达同一标志,而不

管车速如何.刹车距离与车速的经验公式20.750.082678d v v =+,

速度单位为m/s ,距离单位为m )

解答

(1)“两秒准则”表明前后车距与车速成正比例关系. 引入以下符号:

D ~ 前后车距(m );v ~ 车速(m/s );

于是“两秒准则”的数学模型为22D K v v ==. 与“一车长度准则”相比是否一样,依赖于一车长度的选取.

比较2

0.750.082678d v v =+与2D v =,得:

()0.082678 1.25d D v v -=-

所以当15.12 m/s v <(约合54.43 km/h )时,有d时,有d>D ,即前后车距小于刹车距离的理论值,不够安全. 也就是说,“两秒准则”适用于车速不算很快的情况.

另外,还可以通过绘图直观的解释“两秒准则”够不够安全. 用以下MATLAB 程序把刹车距离实测数据和“两秒准则”都画在同一幅图中(图1).

v=(20:5:80).*0.44704;

d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334 22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418 20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376]; d2=0.3048.*d2;

k1=0.75;k2=0.082678;K2=2; d1=[v;v;v].*k1; d=d1+d2;

plot([0,40],[0,K2*40],'k') hold on

plot(0:40,polyval([k2,k1,0],0:40),':k') plot([v;v;v],d,'ok','MarkerSize',2)

title('比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则') legend('两秒准则','刹车距离理论值',...

'刹车距离的最小值、平均值和最大值',2) xlabel('车速v (m/s )') ylabel('距离(m )') hold off

51015

2025

303540

020406080100120

140160180比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则

车速v (m/s )

距离(m )

图1

(2)用最大刹车距离除以车速,得到最大刹车距离所需要的尾随时间(表1),并以尾随时间为依据,提出更安全的“t秒准则”(表2)——后车司机根据车速快慢的范围,从前车经过某一标志开始,默数t秒钟之后到达同一标志.

v=(20:5:80).*0.44704;

d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334

22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418

20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376];

d2=0.3048.*d2;

k1=0.75;k2=0.082678;

d=d2+[v;v;v].*k1;

vi=0:40;

plot([0,10*0.44704],[0,10*0.44704],'k',...

vi,k1.*vi+k2.*vi.*vi,'k:',...

[v;v;v],d,'ok','MarkerSize',2)

legend('t 秒准则','刹车距离理论值',...

'刹车距离的最小值、平均值和最大值',2)

hold on

plot([10,35]*0.44704,2*[10,35]*0.44704,'k',...

[35,60]*0.44704,3*[35,60]*0.44704,'k',... [60,75]*0.44704,4*[60,75]*0.44704,'k') title('t 秒准则,刹车距离的模型和数据') xlabel('车速v (m/s )') ylabel('距离(m )') hold off

51015

2025

303540

020406080100120140160180车速v (m/s )

距离(m )

t 秒准则,刹车距离的模型和数据

图2

4. 继续考虑2.3节“生猪出售时机”案例,假设在第t 天的生猪出售的市场价格(元/公斤)为

2()(0)p t p gt ht =-+(1)

其中h 为价格的平稳率,取h =0.0002. 其它模型假设和参数取值保持不变.

(1) 试比较(1)式与(2.3.1)式,解释新的假设和原来的假设的区别与联系;

(2)在新的假设下求解最佳出售时机和多赚的纯利润; (3)作灵敏度分析,分别考虑h 对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响;

(4)讨论模型关于价格假设的强健性. 解答一(用MATLAB 数值计算)

(1)比较(1)式与(2.3.1)式,(1)式表明价格先降后升,(2.3.1)式假设价格匀速下降,(1)式更接近实际(图3). 两个假设都满足(0)p g '=-,在最佳出售时机附近误差微小(图4). 绘图的程序

p=@(t)12-0.08*t+0.0002*t.^2; figure(1) n=400;

plot([0,n],[12,12-0.08*n],'k:',... 0:.1:n,p(0:.1:n),'k') axis([0,400,0,20])

title('模型假设(1)式与(2.3.1)式的比较')

legend('p(0) - g t (1)式',... 'p(0) - g t + h t^2 (2.3.1)式') xlabel('t (天)')

ylabel('p (元/公斤) ') figure(2) n=20;

plot([0,n],[12,12-0.08*n],'k:',... 0:.1:n,p(0:.1:n),'k')

title('模型假设(1)式与(2.3.1)式的比较')

legend('p(0) - g t (1)式',... 'p(0) - g t + h t^2 (2.3.1)式')

xlabel('t (天)'), ylabel('p (元/公斤) ')

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