数学必修五数列专项综合练习题

2015-2016学年度依兰县高级中学数列专项测试卷考试范围：数列专项训练；考试时间：150分钟；命题人：刘朝亮学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________1、已知三角形△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（）A．18 B．21 C．24 D．152、已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S8﹣S2=30，则S10=（）A．40 B．45 C．50 D．553、设S n为等比数列{a n}的前n项和，且8a3+a6=0，则=（）A．﹣11 B．﹣8 C．5 D．114、已知数列{a n}，如果a1，a2﹣a1，a3﹣a2，，a n﹣a n﹣1，，是首项为1，公比为的等比数列，则a n=（）A．（1﹣） B．（1﹣） C．（1﹣） D．（1﹣）5、等差数列{a n}共有2n+1项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n的值是（）A．3 B．5 C．7 D．96、等差数列a n中，已知前15项的和S15=90，则a8等于（）A． B．12 C． D．67、在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣ B． C．﹣ D．8、已知数列{a n}满足a n+1=2a n（n∈N），其前n项和为S n，则=（）A． B． C． D．9、数列，，，，的第10项是（ ） A ．B ．C ．D ．10、我国古代有用一首诗歌形式提出的数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增.共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？（ ）A ．5B ．4C ．3D ．211、已知等差数列{}n a 满足n a a n n 41=++，则=1a （ ） A ．1- B ．1 C ．2 D ．312、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于（ ） A ．－2 B ．－53C ．2D ．3 13、已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） A ．172 B ．12 C ．10 D ．19214、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若358a a +=，则7S =（ ） A ．28 B ．32 C ．56 D ．2415、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10301,5S S ==，则40S =（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．1016、正项等比数列{}n a 中，6lg lg lg 1383=++a a a ，则151a a 的值为（ ） A.10000 B.1000 C.100 D.1017、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，8374,2S a a ==-，则9a =（ ） A. 6 B. 6- C. 9 D. 9- 18、等比数列{}n a 中，5,274==a a ，则数列{}n a lg 的前10项和等于（ ） A. 2 B. lg 50 C. 5 D. 10 19、在等比数列{}n a 中，1n n a a +<，286a a =，465a a +=，则46a a 等于（ ） A ．56 B ．65 C ．23 D ．3220、已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题：①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ；⑤67a a >其中正确命题的个数是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．1 21、在等比数列{}n a 中，2348a a a =，78a =，则1=a （ ） A. 1 B. 1± C. 2 D. 2±22、若数列{a n }成等比数列，其公比为2，则= ．23、设{a n }是首项为a 1，公差为﹣1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为 ．24、在等差数列a n 中，若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450，则a 2+a 8= ． 25、已知数列{}n a 满足1133,2n n a a a n +=-=，则na n的最小值为_________． 26、各项均为正数的等差数列{}n a 中，3694=a a ，则前12项和12S 的最小值为 ．27、数列{}n a 的通项公式是1n a n n=++，若前n 项和为3，则项数n 的值为_______.28、等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ，若，则=________．29、数列{}n a 满足11a =，22a =，2122n n n a a a ++=-+．（I ）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列；（II ）求{}n a 的通项公式．30、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，1221a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n n b a a +=，求{}n b 的前n 项和n T ． 31、（本题满分12分）△ABC 中，已知角A 、B 、C 所对的边分别是a 、1、c ，且A 、B 、C 成等差数列， a 、1、c 成等比数列，求△ABC 的面积. 32、（本题满分16分）关于x 的不等式x 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞,1)∪(2,＋∞)，数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋bn ＋c . (1)写出b 、c 的值（不要证明）；(2)判断{a n }是不是等差数列并说明理由；(3)求数列{2n-1a n}的前n项和T n.33、已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5＝35，a5和a7的等差中项为13．（1）求a n及S n；（2）令b n＝（n∈N），求数列{b n}的前n项和T n．参考答案一、单项选择1、【答案】D【解析】设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，则a﹣b=b﹣c=2，a=c+4，b=c+2，因为sinA=，所以A=60°或120°．若A=60°，因为三条边不相等，则必有角大于A，矛盾，故A=120°．由余弦定理能求出三边长，从而得到这个三角形的周长．解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，则a﹣b=b﹣c=2，a=c+4，b=c+2，∵sinA=，∴A=60°或120°．若A=60°，因为三条边不相等，则必有角大于A，矛盾，故A=120°．cosA====﹣．∴c=3，∴b=c+2=5，a=c+4=7.∴这个三角形的周长=3+5+7=15.故选D．考点：数列与三角函数的综合．2、【答案】C【解析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S8﹣S2=30，∴﹣=30，化为：2a1+9d=10.∴a1+a10=10.则S10==50.故选：C．考点：等差数列的前n项和．3、【答案】C【解析】利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．解：设等比数列{a n}的公比为q，∵8a3+a6=0，∴a3（8+q3）=0，解得q=﹣2.则===5，故选：C．考点：等比数列的性质．4、【答案】A【解析】因为数列a1，（a2﹣a1），（a3﹣a2），，（a n﹣a n﹣1），，此数列是首项为1，公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式可得数列{a n}的通项．解：由题意a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）++（a n﹣a n﹣1）=故选：A．考点：等比数列的性质．5、【答案】A【解析】利用等差数列的求和公式和性质得出，代入已知的值即可．解：设数列公差为d，首项为a1，奇数项共n+1项，其和为S奇===（n+1）a n+1=4，①偶数项共n项，其和为S偶===na n+1=3，②得，，解得n=3故选A考点：等差数列的前n项和．6、【答案】D【解析】令等差数列的前n项和公式中的n=15，化简后提取15整体代换得到关于a8的方程，求出即可．解：因为S 15=15a 1+d=15（a 1+7d ）=15a 8=90，所以a 8=6故选D考点：等差数列的前n 项和． 7、【答案】D【解析】由通项公式和求和公式可得a 1和d 的方程组，解方程组可得． 解：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 7=8，前7项和S 7=42， ∴a 1+6d=8，7a 1+d=42，解得a 1=4，d=故选：D考点：等差数列的通项公式． 8、【答案】D【解析】由已知数列{a n }是公比为2的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出．解：∵数列{a n }满足a n+1=2a n （n ∈N ）， ∴数列{a n }是公比为2的等比数列，∴==．故选：D ．考点：数列的求和． 9、【答案】C【解析】由数列，，，，可得其通项公式a n =．即可得出．解：由数列，，，，可得其通项公式a n =．∴=．故选C ．考点：数列的概念及简单表示法． 10、【答案】C【解析】设塔顶有x 盏灯，则7(12)38112x -=-，解得3x =．故选C ． 考点：等比数列的前n 项和． 11、【答案】B【解析】由已知214a a +=，328a a +=，两式相减得3124d a a =-=，2d =，所以11(2)4a a ++=，解得11a =，故选B ．考点：等差数列的概念． 12、【答案】A【解析】由题意31333436S a d d =+=⨯+=，2d =-．故选A ． 考点：等差数列前n 项和． 13、【答案】D【解析】由已知得公差1=d ，则等差数列的前n 项和公式为)1(211-+=n n na S n ，由844S S =可知)14(421444)18(821811-⨯⨯⨯+⨯⨯=-⨯⨯+a a ，可求得211=a ，所以有2199110=+=d a a ，故选项D 正确.考点：等差数列的通项与前n 项和.14、【答案】A【解析】173577()7()2822a a a a S ⨯+⨯+===，故选A.考点:等差数列前n 和公式.15、【答案】B【解析】根据等差数列的性质，10201030204030,,,S S S S S S S ---构成等差数列，所以20103020104030()()()S S S S S S S -+-=+-，即3010403010S S S S S -=-+，所以405151S -=-+，所以408S =，故选B ．考点：等差数列的性质． 16、【答案】A【解析】由对数的运算可知)lg(lg lg lg 13831383a a a a a a =++，则有6138310=a a a ，由等比数列的性质（等比中项）可知1001086381383=⇒==a a a a a ，同理可得1000028151==a a a ，故本题的正确选项应该为A.考点：对数的运算，等比数列的性质. 17、【答案】B 【解析】由于数列{}n a 是等差数列，根据等差数列的性质可知()18882a a S +=()3682a a +=，又因为834S a =，所以()363842a a a +=，即60a =，再由72a =-，可得762d a a =-=-，从而9726a a d =+=-，故答案选B.考点：1、等差数列；2、等差数列的性质；3、等差数列的通项公式.【方法点晴】本题是等差数列的性质方面的简单应用问题，属于容易题.一般的求等差数列的通项公式常用以下方法：① ()()1121n n n S S n a S n --≥⎧⎪=⎨=⎪⎩（注意，一般数列也可用此法）；② ()11n a a n d =+-；③ ()n m a a n m d =+-（这里*,m n N ∈）,本题就是用第三种方法求解的.18、【答案】C 【解析】由题意可知656574a a q a qa a a =⋅⋅=，所以有1010192836574=====a a a a a a a a a a ，即51092110......=a a a a ，数列{}n a lg 的前10项和等于510log ......log log log ......log log 5102110921===++++a a a a a a a ，所以本题的正确选项为C.考点：等比中项公式的运用，对数的运算. 19、【答案】D【解析】由已知得数列为递减数列．由等比数列的性质66482==a a a a ，又564=+a a ，解得2,364==a a ，所以2364=a a ，所以选D ． 考点：等比数列的性质．【思路点晴】本题主要考查的是等比数列的性质，属于容易题．本题通过求等比数列的基本量，利用二次方程求解．解本题需要掌握的知识点是等比数列性质的应用，即若n m q p +=+()*∈N n m q p ,,,，则n m q p a a a a =．20、【答案】C【解析】因为67S S >，所以70a <，因为65S S >，所以60a >，因为75S S >，所以670a a +>.故760d a a =-<①正确， 61111162022a a a S a +===>②正确, 61111162022a a a S a +===>，6711212022a a a aS ++==>③错误，因为60a >，70a <所以数列{}n S 中6S 最大，④错误，因为60a >，70a <，670a a +>，所以67670,a a a a >->>-，⑤正确.综上所述，正确命题有3个.考点：等差数列的通项公式与前n 项和公式.【方法点晴】本题的突破口在675S S S >>一共可以分解得到3个不等式67S S >、65S S >、75S S >，把这3个不等式转为通项之后，就可能得到60a >、70a <、670a a +>三个关键点，题目中1112,S S 的判断方法在与利用前n 项和公式，注意观察已知条件的下标和.对于等差数列的前n 项和公式，()1112n S na n n d =+-和12n n a a S +=必须熟记，并且要能够根据题意选择恰当的公式来解题. 21、【答案】A【解析】因为数列{}n a 是等比数列，所以323438a a a a ==，32a =，所以447328a a q q ===，22q =，3121a a q ==，故选A. 考点：等比数列的定义与性质. 二、填空题 22、【答案】【解析】利用等比数列的通项公式即可得出． 解：∵数列{a n }成等比数列，其公比为2， 则===，故答案为：．考点：等比数列的通项公式． 23、【答案】﹣．【解析】由条件求得，S n =，再根据S 1，S 2，S 4成等比数列，可得 =S 1？S 4，由此求得a 1的值．解：由题意可得，a n =a 1+（n ﹣1）（﹣1）=a 1+1﹣n ，S n ==，再根据若S 1，S 2，S 4成等比数列，可得 =S 1？S 4，即=a 1？（4a 1﹣6），解得 a 1=﹣， 故答案为：﹣．考点：等比数列的性质． 24、【答案】180【解析】据等差数列的性质可知，项数之和相等的两项之和相等，化简已知的等式即可求出a 5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a 5的值代入即可求出值．解：由a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=（a 3+a 7）+（a 4+a 6）+a 5=5a 5=450，得到a 5=90， 则a 2+a 8=2a 5=180. 故答案为：180. 考点：等差数列的性质． 25、【答案】636 【解析】1133,2n n a a a n +=-=，由累加法可求得33)1......321(221+-=-++++=n n n a a n ，即332+-=n n a n ，则133-+=n n n a n ，令x x x f 33)(+=，可知33233)(≥+=xx x f ，当且仅当33=x 时取等号，因为n 是自然数，所以可取与33相邻的两个自然数6,5，分别求得55355=a ，66366=a ，显然最小值应该为636，此时6=n . 考点：等差数列，数列的最值.【思路点睛】解答本题首先要根据递推公式n a a n n 2-1=+，结合迭代法来求得数列{}n a 的通项公式，进而可求得n a n 的表达式，即133-+=nn n a n ，因为数列是特殊的函数，所以可先将数列转化为函数，通过函数求得最小值，并求得此时的自变量1x ，因为数列中自变量为自然数，所以取与1x 最接近的两个自然数，然后n a n 的值，取最小的即可. 26、【答案】78【解析】由题意得，4949212a a a a +≥=，所以121124912()6()782S a a a a =+=+≥． 考点：等差数列求和及等差数列的性质；基本不等式的应用．27、【答案】15【解析】()()11111n n n a n n n n n n n n +-===+-+++++-，所以 213243111n S n n n =-+-+-+++-=+-=3，解得15n =.考点：数列求和.28、【答案】 【解析】试题分析：，．三、解答题29、【答案】（I ）证明见解析；（II ）222n a n n =-+.试题分析：（I ）第一问是证明，只需要将已知条件2122n n n a a a ++=-+变形为1n n b b +-=常数来证明就可以；（II ）在（I ）的基础上，求出{}n b 的通项公式，再用累加法求出{}n a 的通项公式.试题解析：（I ）由2122n n n a a a ++=-+得1211122222n n n n n n n n n b b a a a a a a a +++++-=-+=-+-+=，∴{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列；（II ）由（I ）得21n b n =-，于是121n n a a n +-=-，当2n ≥时，213211[()()()]n n n a a a a a a a a -=-+-++-+[(13(23)]1n =+++-+2(1)1n =-+而11a =，∴{}n a 的通项公式2(1)1n a n =-+．考点：递推数列——凑配法、累加法求通项.【解析】30、【答案】（1）21n a n =-；（2）21n n +． 试题分析：（1）设公差d ，由条件424S S =得：12d a =，又1221a a +=，解得11a =，2d =，所以21n a n =-；（2）由111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+，所以 n T =12（111111)335212121n n n n -+-++-=-++． 试题解析：由已知有11,2a d ==,则12-=n a n（2）)121121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n b n ,则12+=n n T n考点：1、等差数列通项；2、裂项相消求和．【解析】31、【答案】a=b=c=1,S=34【解析】32、【答案】(1)-3,2 (2)a 1=0,n>1,a n =2n-4,(3)2n+1(n-3)+8【解析】33、【答案】（1），；（2）． 【解析】试题分析：（1）等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用；（2）解题时要善于类比要能正确区分等差、等比的性质，不要把两者的性质搞混了．（3）观测数列的特点形式，看使用什么方法求和．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的．试题解析：解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 5＝5a 3＝35，a 5＋a 7＝26， 所以解得a 1＝3，d ＝2，所以a n ＝3＋2（n －1）＝2n ＋1， S n ＝3n ＋×2＝n 2＋2n ．（2）由（1）知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝＝＝－， 所以T n ＝＋＋…＋＝1－＝．。