算法分析与设计 矩阵连乘问题
矩阵连乘问题的算法
矩阵连乘问题的算法
一、矩阵连乘问题
矩阵连乘问题是指在矩阵计算中，给定n个矩阵，求这n个矩阵的连乘积的最优解问题。
矩阵连乘问题既可以用于组合优化，也可以用于信息处理系统中查找最优路径的搜索算法。
它是最基本的组合优化问题。
二、矩阵连乘问题的算法
1. 动态规划法：动态规划法是求解矩阵连乘问题的常用算法。
它采用递归方法，将原问题分解为若干个子问题，然后求出各子问题的最优解，最后组合出原问题的最优解。
2. 贪心算法：贪心算法是一种经典的最优化算法，也可以用于求解矩阵连乘问题，即通过某种启发式规则，在每一步中都使最优决策，最终得到最优解。
3. 分支定界法：分支定界法是一种由搜索算法和界定法相结合而成的最优化算法，也可以用于求解矩阵连乘问题。
该算法按照树状的层次结构，向下搜索一个在每一步骤都使得当前最优的路径，然后上溯形成最优解。
4. 模拟退火算法：模拟退火算法是一种搜索算法，它可以用于求解矩阵连乘问题。
它采用一种模拟物理过程的原理，通过不断地改变解的状态，以求出相对最优解。
- 1 -。
矩阵链乘法问题
矩阵链乘法问题引言矩阵链乘法问题是计算机科学中的一个重要问题，它涉及到矩阵的乘法操作。
在很多实际的应用中，我们需要对多个矩阵进行乘法运算，这时候就需要考虑乘法的顺序。
矩阵的乘法运算是一个复杂的计算过程，不同的乘法顺序可能会导致不同的计算量和时间复杂度。
因此，矩阵链乘法问题就是要找到一种最优的乘法顺序，使得计算的总时间最短。
动态规划解法矩阵链乘法问题可以使用动态规划的方法来解决。
动态规划是一种将复杂问题分解成若干个子问题进行求解的方法。
在矩阵链乘法问题中，我们可以定义一个二维数组dp来存储最优的乘法顺序和对应的最小计算量。
状态定义我们可以将整个矩阵链划分成子问题，其中dp[i][j]表示从第i个矩阵乘到第j个矩阵所需要的最小计算量。
那么当i=j时，dp[i][j]=0，因为矩阵自己和自己相乘的计算量为0。
当i<j时，dp[i][j]的值需要通过求解子问题来获得。
状态转移方程对于dp[i][j]，我们可以选择一个中间位置的括号将矩阵链划分成两部分，然后分别计算这两部分的最小计算量。
假设括号在第k个位置，那么可以得到如下的状态转移方程：dp[i][j] = min{dp[i][k] + dp[k+1][j] + p[i]*p[k+1]*p[j+1]}其中p是矩阵链的维度，假设矩阵链的维度为n，那么p的长度为n+1，p[i]表示第i个矩阵的行数，同时也是第i+1个矩阵的列数。
算法实现根据上述的状态转移方程，我们可以编写算法来解决矩阵链乘法问题。
1.初始化二维数组dp，将所有元素初始化为0。
2.对于链长len从2到n，依次计算dp[i][j]的值。
3.对于每一对(i, j)，利用状态转移方程计算dp[i][j]的最小值。
4.最后，dp[1][n]即为所求的最小计算量。
算法分析对于给定的矩阵链，动态规划算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n是矩阵链的长度。
这是因为对于每一个子问题，都需要计算一次状态转移方程，总共有n^2个子问题，而每个子问题的计算量为O(n)。
算法设计与分析——矩阵连乘问题（动态规划）
算法设计与分析——矩阵连乘问题（动态规划）⼀、问题描述引出问题之前我们先来复习⼀下矩阵乘积的标准算法。
int ra,ca;//矩阵A的⾏数和列数int rb,cb;//矩阵B的⾏数和列数void matrixMultiply(){for(int i=0;i<ra;i++){for(int j=0;j<cb;j++){int sun=0;for(int k=0;k<=ca;k++){sum+=a[i][k]*b[k][j];}c[i][j]=sum;}}}给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2…，n-1。
如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。
例如，给定三个连乘矩阵{A1，A2，A3}的维数分别是10*100，100*5和5*50，采⽤（A1A2）A3，乘法次数为10*100*5+10*5*50=7500次，⽽采⽤A1（A2A3），乘法次数为100*5*50+10*100*50=75000次乘法，显然，最好的次序是（A1A2)A3，乘法次数为7500次。
加括号的⽅式对计算量有很⼤的影响，于是⾃然地提出矩阵连乘的最优计算次序问题，即对于给定的相继n个矩阵，如何确定矩阵连乘的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。
⼆、问题分析矩阵连乘也是Catalan数的⼀个常⽤的例⼦，关于时间复杂度的推算需要参考离散数学关于Catalan的内容。
下⾯考虑使⽤动态规划法解矩阵连乘积的最优计算次序问题。
1、分析最优解的结构问题的最优⼦结构性质是该问题可以⽤动态规划求解的显著特征！！！2、建⽴递归关系3、计算最优值public static void matrixChain(int n) {for (int i = 1; i <= n; i++) {m[i][i] = 0;}for (int r = 2; r <= n; r++) {//i与j的差值for (int i = 1; i <= n - r + 1; i++) {int j = i + r - 1;m[i][j] = m[i + 1][j] + p[i - 1] * p[i] * p[j];s[i][j] = i;for (int k = i + 1; k < j; k++) {int t = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];if (t < m[i][j]) {m[i][j] = t;s[i][j] = k;}}}}}4、构造最优解public static void traceback(int i, int j) {if (i == j) {System.out.printf("A%d", i); // 输出是第⼏个数据return;}System.out.printf("(");traceback(i, s[i][j]);// 递归下⼀个数据System.out.printf(" x ");traceback(s[i][j] + 1, j);System.out.printf(")");}三、总结。
算法分析与设计课程中矩阵连乘问题的教学探讨
算法分析与设计课程中矩阵连乘问题的教学探讨作者：刘文强周波桑海涛顾泽元韩娜来源：《教育教学论坛》2016年第18期摘要：文章介绍了算法分析与设计课程中矩阵连乘问题的动态规划算法，利用该算法解决了两道经典竞赛题目，即能量项链问题和石子合并问题。
对于能量项链问题，其求解思想是将其转换为一个环形矩阵连乘问题，然后求解这个环形矩阵连乘积所需的最大乘法次数。
对于石子合并问题，分析出它与矩阵连乘问题的相似性，从而借鉴矩阵连乘问题的求解方法实现求解。
通过这两个问题的求解，有助于学生举一反三，启发学生思维，以学致用，提高问题求解能力。
关键词：矩阵连乘问题；能量项链问题；石子合并问题中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）18-0206-03在算法分析与设计课程中，矩阵连乘问题[1-2]是一个可用动态规划方法求解的经典最优化问题，利用该问题可以有效地求解许多实际问题。
该问题描述为：给定n个矩阵A1，A2，…，An，其中矩阵Ai（1≤i≤n）的维数为pi×pi+1，即矩阵A1的维数为p1×p2，矩阵A2的维数为p2×p3，依此类推，矩阵An的维数为pn×pn+1。
考虑这n个矩阵的连乘积A1A2…An，由于矩阵乘法满足结合律，所以求解这个矩阵连乘积时可以有许多不同的计算次序，每种计算次序都有一个计算量，这里所说的计算量是指按照某种计算次序来计算一个矩阵连乘积时所需的乘法次数。
那么矩阵连乘问题就是要确定一个矩阵连乘积的一种最优计算次序，使得按照这种最优计算次序来计算一个矩阵连乘积时，所需要的乘法次数最少。
一、矩阵连乘问题的动态规划算法用记号A[i：j]来表示矩阵连乘积AiAi+1…Aj-1Aj。
定义一个二维数组m来保存求解一个矩阵连乘积时所需的最少乘法次数，数组元素m[i][j]保存的是求解矩阵连乘积A[i：j]时所需的最少乘法次数。
根据最优子结构性质，容易建立m[i][j]所满足的递推关系式如下。
矩阵连乘算法
福州大学数学与计算机科学学院《计算机算法设计与分析》上机实验报告（2）i<=k<j,则：m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1pkpj。
由于在计算是并不知道断开点k的位置，所以k还未定。
不过k的位置只有j-i个可能。
因此，k是这j-i个位置使计算量达到最小的那个位置。
综上，有递推关系如下：若将对应m[i][j]的断开位置k记为s[i][j]，在计算出最优值m[i][j]后，可递归地由s[i][j]构造出相应的最优解。
s[i][j]中的数表明，计算矩阵链A[i:j]的最佳方式应在矩阵Ak和Ak+1之间断开，即最优的加括号方式应为(A[i:k])(A[k+1:j)。
从s[1][n]记录的信息可知计算A[1:n]的最优加括号方式为(A[1:s[1][n]])(A[s[1][n]+1:n])，进一步递推，A[1:s[1][n]]的最优加括号方式为(A[1:s[1][s[1][n]]])(A[s[1][s[1][n]]+1:s[1][s[1][n]]] )。
同理可以确定A[s[1][n]+1:n]的最优加括号方式在s[s[1][n]+1][n]处断开...照此递推下去，最终可以确定A[1:n]的最优完全加括号方式，及构造出问题的一个最优解。
3、动态规划迭代算法设计：用动态规划迭代方式解决此问题，可依据其递归式自底向上的方式进行计算。
在计算过程中，保存已解决的子问题的答案。
每个子问题只计算一次，而在后面需要时只需简单检查一下，从而避免了大量的重复计算，最终得到多项式时间的算法。
4、算法代码：1.//3d1-2 矩阵连乘动态规划迭代实现2.//A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6 20*253.//p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}4.#include "stdafx.h"5.#include <iostream>ing namespace std;7.8.const int L = 7;9.10.int MatrixChain(int n,int **m,int **s,int *p);11.void Traceback(int i,int j,int **s);//构造最优解12.13.int main()14.{15.int p[L]={30,35,15,5,10,20,25};16.17.int **s = new int *[L];18.int **m = new int *[L];19.for(int i=0;i<L;i++)20. {21. s[i] = new int[L];22. m[i] = new int[L];23. }24.25. cout<<"矩阵的最少计算次数为："<<MatrixChain(6,m,s,p)<<endl;26. cout<<"矩阵最优计算次序为："<<endl;27. Traceback(1,6,s);28.return 0;29.}30.31.int MatrixChain(int n,int **m,int **s,int *p)32.{33.for(int i=1; i<=n; i++)34. {35. m[i][i] = 0;36. }37.for(int r=2; r<=n; r++) //r为当前计算的链长（子问题规模）38. {39.for(int i=1; i<=n-r+1; i++)//n-r+1为最后一个r链的前边界40. {41.int j = i+r-1;//计算前边界为r，链长为r的链的后边界42.43. m[i][j] = m[i+1][j] + p[i-1]*p[i]*p[j];//将链ij划分为A(i) * ( A[i+1:j] )44.45. s[i][j] = i;46.47.for(int k=i+1; k<j; k++)48. {49.//将链ij划分为( A[i:k] )* (A[k+1:j])50.int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];51.if(t<m[i][j])52. {53. m[i][j] = t;54. s[i][j] = k;55. }56. }57. }58. }59.return m[1][L-1];60.}61.62.void Traceback(int i,int j,int **s)63.{64.if(i==j) return;65. Traceback(i,s[i][j],s);66. Traceback(s[i][j]+1,j,s);67. cout<<"Multiply A"<<i<<","<<s[i][j];68. cout<<" and A"<<(s[i][j]+1)<<","<<j<<endl;69.}上述迭代算法的运行过程如下图所示：当R=2时，先迭代计算出： m[1:2]=m[1:1]+m[2:2}+p[0]*p[1]*p[2]；m[2:3]=m[2:2]+m[3:3]+p[1]*p[2]*p[3];。
矩阵连乘问题实验报告
一、实验目的通过本次实验，加深对动态规划算法的理解和应用，掌握解决矩阵连乘问题的方法，提高算法分析和设计能力。
二、实验原理矩阵连乘问题是指给定n个矩阵，每个矩阵都与它的前一个矩阵可乘，求计算这些矩阵连乘积的最优计算次序，以使计算过程中所需的数乘次数最少。
由于矩阵乘法满足结合律，因此可以通过加括号的方式确定不同的计算次序。
三、实验步骤1. 问题描述：给定n个矩阵A1, A2, ..., An，其中Ai与Ai-1是可乘的。
求计算矩阵连乘积A1A2...An的最优计算次序，使得计算过程中所需的数乘次数最少。
2. 输入数据：矩阵个数n，每个矩阵的规模。
3. 输出结果：计算矩阵连乘积的最优计算次序和最少数乘次数。
4. 算法设计：- 定义一个二维数组m[i][j]，其中m[i][j]表示计算矩阵AiAi-1...Aj的最少数乘次数。
- 初始化m[i][i] = 0，因为单个矩阵无需计算。
- 对于每个子问题A[i:j]，计算m[i][j]的最小值：- 遍历k从i到j-1，将问题分解为A[i:k]和Ak+1:j，计算m[i][k]和m[k+1][j]的和，并加上k个矩阵的维度乘积。
- 取上述和的最小值作为m[i][j]的值。
5. 递归关系：- 当i = j时，m[i][j] = 0。
- 当i < j时，m[i][j] = min(m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]p[k]p[j])，其中k从i到j-1，p[i-1]表示矩阵Ai-1的行数，p[j]表示矩阵Aj的列数。
6. 自底向上计算：- 从m[1][1]开始，按照递归关系计算m[1][2]，m[1][3]，...，m[1][n]。
- 然后计算m[2][3]，m[2][4]，...，m[2][n]，以此类推，直到计算m[1][n]。
7. 输出最优计算次序：- 从m[1][n]开始，根据递归关系和子问题的最优解，逐步确定每个子问题的最优计算次序，直到得到整个问题的最优计算次序。
矩阵连乘实验报告总结
一、实验背景与目的矩阵连乘问题是一个经典的算法问题，它涉及给定一系列矩阵，确定这些矩阵的最佳乘积顺序，以最小化乘法操作的次数。
本实验旨在通过动态规划算法解决矩阵连乘问题，加深对动态规划方法的理解，并提高算法分析与设计的能力。
二、实验内容与步骤1. 问题描述与理解：- 给定n个矩阵A1, A2, ..., An，其中任意两个相邻矩阵都是可乘的。
- 目标是确定计算这些矩阵连乘积的最佳顺序，以最小化所需的乘法次数。
2. 算法分析：- 使用动态规划方法，通过将问题分解为子问题并存储子问题的解来求解。
- 设定m[i, j]表示矩阵Ai到Aj的最佳乘积顺序的乘法次数。
3. 动态规划过程：- 初始化m[i, i] = 0，因为单个矩阵不需要乘法。
- 对于长度为k的矩阵序列，通过遍历所有可能的分割点，计算m[i, j]的最小值。
- 具体步骤包括：- 对于每个可能的k（1 ≤ k ≤ n-1），- 对于每个起始矩阵i（1 ≤ i ≤ n-k），- 计算m[i, i+k-1]和m[i+k, j]，- 更新m[i, j]为m[i, i+k-1] + m[i+k, j] + p[i-1] p[i] p[i+k]。
4. 代码实现：- 使用C或Java等编程语言实现动态规划算法。
- 编写辅助函数来计算矩阵的乘法次数。
三、实验结果与分析1. 实验结果：- 通过实验，成功实现了矩阵连乘问题的动态规划算法。
- 得到了计算给定矩阵序列连乘积所需的最小乘法次数。
2. 结果分析：- 动态规划方法有效地解决了矩阵连乘问题，避免了穷举法的指数级时间复杂度。
- 通过分析子问题的解，我们可以找到整个问题的最优解。
四、实验总结与反思1. 实验收获：- 加深了对动态规划方法的理解，特别是如何通过子问题的解来构建整个问题的解。
- 学会了如何将实际问题转化为动态规划问题，并使用代码实现算法。
2. 反思与展望：- 实验过程中遇到了一些挑战，如理解子问题的定义和计算最优子结构的策略。
矩阵链乘法（动态规划）
矩阵链乘法（动态规划）
⼀题意描述：
给定由n个要相乘的矩阵构成的序列（链）<A1,A2,A3,····A n>。
由于矩阵满⾜结合律（加括号⽅式表⽰结合⽅式），不同的计算⽅式导致的求出最终计算结果的代价相异，有的花的时间很少，有的⽅式所花时间很多，那么下⾯的任务就是求出算出结果所需要的最少时间及⼀个最优解。
⼆思路分析：
设p(n)表⽰⼀串n个矩阵可能的加全部括号⽅案数。
当n=1时，只有⼀个矩阵，此时p(1)=1。
当n>=2时，⼀个加全部括号的矩阵乘积等于两个加全部括号的⼦矩阵乘积的乘积，⽽且这两个⼦乘积之间的分裂可能发⽣在第k个和第k+1个矩阵之间，其中k=1，2，····，n-1;因此可以求得递归式：
1.找局部最优解：把问题：转化成两个最优⼦问题：及
2.构造递归解：
⾸先定义m[i,j]为解决⼦问题A[i....j]的最⼩计算次数，那么解决整个问题A[1,n]所花的最⼩时间为m[1,n]。
那么递归⽅程可以写成如下形式：
为了跟踪如何构造⼀个最优解我们可以定义s[i,j]为这样的⼀个k值，在该处分裂乘积后可得⼀个最优解。
3.构造函数进⾏求解
输出最优路径的函数⾃⼰编写，经过调⽤数组s[i][j]即可。
矩阵连乘问题的算法
矩阵连乘问题的算法介绍矩阵连乘问题是一个经典的数学问题，它涉及到如何寻找一组矩阵相乘的最优顺序，使得计算所需的乘法操作总数最小化。
这个问题在计算机科学和算法设计中有着重要的应用。
本文将介绍矩阵连乘问题的算法及其相关概念和应用。
问题描述给定一组矩阵{A1, A2, A3, …, An}，其中Ai的维度为pi-1 × pi（1 ≤ i ≤ n），我们希望找到一种矩阵相乘的顺序，使得计算这些矩阵相乘所需的乘法操作总数最小化。
动态规划算法动态规划算法是解决矩阵连乘问题的经典方法。
它通过存储中间结果来避免重复计算，从而提高计算效率。
下面将介绍动态规划算法的具体实现步骤。
定义子问题假设我们要计算矩阵Ai × Ai+1 × … × Aj的最优顺序和乘法操作总数，其中i ≤ j。
确定状态转移方程设m[i][j]表示计算矩阵Ai × Ai+1 × … × Aj的最优顺序和乘法操作总数。
根据定义，我们有以下状态转移方程： - 当i = j时，m[i][j] = 0，因为只有一个矩阵无需进行乘法操作； - 当i < j时，m[i][j] = min{m[i][k] + m[k+1][j] + pi-1 × pk × pj}，其中i ≤ k < j。
填表计算最优值根据状态转移方程，我们可以使用动态规划的方法逐步填充表格m。
具体步骤如下：1. 初始化所有m[i][i]为0（0 ≤ i ≤ n）； 2. 对于每个子问题(i, j)，从i= 1递增到j = n-1，按照递增的长度进行计算： - 对于每个i和j，根据状态转移方程计算m[i][j]； 3. 最终，m[1][n-1]即为所求的计算矩阵Ai × Ai+1× … × An的最优顺序和乘法操作总数。
重构最优解为了得到最优顺序下的具体计算过程，我们可以使用一个辅助表格s来记录最优划分点。
算法设计与分析课程设计矩阵连乘;批作业处理调度
摘要算法设计与分析，其实可以解释为一类优化问题，一般针对可以利用计算机解决的离散型问题的优化。
主要目的就是为了解决某一问题而提出的各种不同的解决方案。
本文通过计算机算法分析设计出解矩阵连乘的动态规划算法和设计出解批处理作业调度的回溯法算法，利用C++语言编写程序实现算法。
动态规划算法是将待求解的问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
首先找出最优解的性质，并刻其结构特征，然后递归的定义最优值（写出动态规划方程）并且以自底向上的方式计算出最优值，最后根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。
回溯法算法是确定了解空间的组织结构后，回溯法就是从开始节点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。
这个开始节点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。
在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。
这个新结点就成为一个新的或节点，并成为当前扩展结点。
如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前的扩展结点就成为死结点。
换句话说，这个节点，这个结点不再是一个活结点。
此时，应往回（回溯）移动至最近一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。
回溯法即以这种工作方式递归的在解空间中搜索，直到找到所要求的解或解空间中以无活结点为止。
即通过确定初始解和剪枝函数原则画出状态图进行搜索产生全部可行解。
关键词：动态规划；矩阵连乘；回溯法；批处理作业调度；剪枝原则； C++目录一、课程设计目的 (1)二、课程设计内容 (1)三、概要设计 (1)3.1 动态规划—矩阵连乘 (1)3.2 回溯法—批处理作业调度 (2)四、详细设计与实现 (3)4.1动态规划—矩阵连乘 (3)4.11 问题描述 (3)4.12分析最优解的结构 (3)4.13建立递归关系 (3)4.14计算最优值 (4)4.15代码实现 (4)4.16 运行结果 (7)4.2回溯法—批处理作业调度 (8)4.21 问题描述 (8)4.22 算法分析 (8)4.23 代码实现 (9)4.24 运行结果 (12)总结 (14)参考文献 (15)一、课程设计目的《计算机算法设计与分析》这门课程是一门实践性非常强的课程，要求我们能够将所学的算法应用到实际中，灵活解决实际问题。
矩阵连乘问题
矩阵连乘问题为了能够清楚地描述矩阵连乘的问题，我在此给出以下定义：1.在给定的n个矩阵{A1,A2,……,An}中Ai与Ai+1是可乘的2.A[m][n]表示一个m行n列的矩阵3.由于矩阵连乘满足结合律，故A1(A2A3)表示，先计算A2A3,得出一个新的矩阵再与A1相乘。
4.A[i:j]表示矩阵A[i]、A[i+1]、A[i+2]、……、A[j]5.min[i][j]表示矩阵A[i]到矩阵A[j]这j-i个矩阵的最小数乘次数6.P[i]表示矩阵A[i]的行数7.P[i+1]表示矩阵A[i]的列数及矩阵A[i+1]的行数问题的引出：现给出矩阵A[2][3]和A[3][2]，如果计算A[2][3] *A[3][2]，则根据矩阵运算法则要进行2*3*2=12次乘法运算。
而如果要计算A[3][2]* A[2][3]，则要进行3*2*3=18次乘法运算。
而两个矩阵相乘很容易使用穷举法来判断出数乘次数最少的计算次序。
但是，对于多个矩阵来说，如何能够尽快的获取最优（即数乘次数最少）的连乘次序呢？矩阵连乘问题的描述：给定n个矩阵{A1,A2,…,An}，如何确定一种数乘次数最小的数乘次序，这就是矩阵连乘问题。
问题的分析：假设计算A[i:j]当i=j时，A[i:j]=Ai;矩阵min[i][j]=0，即单个矩阵数乘次数为0。
当i<j时，若计算A[i:j]的最优次序，假设在A[k] 和A[k+1]之间断开(i<k<k+1<j)，,即(AiAi+1…Ak)(Ak+1…Aj)则可有递归式，min[i][j]=min[i][k]+min[k+1][j]+P[i-1]*P[i]*p[j];有必要引入数组m[i][j]以存储min[i][j]的值，是为了存储已经解决的子问题的答案，防止相同的子问题反复求解.例如：在求m[2][7],m[2][8],m[2][9],都会用到m[2][3],m[2][4],m[2][5]和m[2][6]如果每次使用m[2][3],m[2][4],m[2][5]和m[2][6]时，都重新使用递归运算求解的话，那么将会浪费大量的时间。
n个矩阵连乘问题
矩阵连乘问题是一个经典的优化问题，其目标是在给定一组矩阵和它们之间的乘法顺序下，找出最少的括号方案数，使得乘法操作可以按照给定的顺序进行。
假设有n个矩阵A1, A2, ..., An，我们需要计算它们的连乘积。
每个矩阵Ai都有m×m的元素。
矩阵连乘问题可以转化为以下动态规划问题：
1. 定义dp[i][j]为计算矩阵Ai到Aj的连乘积所需的最少括号方案数。
2. 初始化dp[i][i]=0，表示单个矩阵不需要任何括号。
3. 对于i<j，计算dp[i][j]的递推关系：
dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j]，其中k=i,...,j-1。
其中p是任意一个正整数，表示矩阵的维度m。
4. 最终答案为dp[1][n]。
以下是Python代码实现：
计算结果为：最少需要15个括号方案数。
算法设计JAVA矩阵连乘
算法设计JAVA矩阵连乘矩阵连乘问题是一个经典的动态规划问题。
给定一系列的矩阵，我们的目标是找到一个最优的括号表达式，使得矩阵连乘的计算次数最少。
假设有n个矩阵，这些矩阵的维度顺序可以表示为一个数组p，其中第i个矩阵的维度为p[i-1] x p[i]。
我们可以使用一个二维数组dp来保存子问题的最优解，其中dp[i][j]表示矩阵i到j之间的最小计算次数。
初始化时，将dp[i][i]的值设为0，因为单独一个矩阵的计算次数为0。
接下来，我们需要遍历所有可能的区间长度l，从2开始直到n，因为最小区间只有两个矩阵。
对于每个区间长度，我们需要遍历所有可能的起点i，并计算以i为起点、长度为l的区间的最小计算次数。
具体算法如下：```javapublic class MatrixChainMultiplicationpublic static int matrixChainOrder(int[] p)int n = p.length - 1;int[][] dp = new int[n+1][n+1];//初始化单个矩阵的计算次数为0for (int i = 1; i <= n; i++)dp[i][i] = 0;}//遍历所有可能的区间长度for (int len = 2; len <= n; len++)//遍历所有可能的起点for (int i = 1; i <= n - len + 1; i++)int j = i + len - 1;dp[i][j] = Integer.MAX_VALUE;//遍历所有可能的分割点k，计算最小计算次数for (int k = i; k < j; k++)int cost = dp[i][k] + dp[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j]; if (cost < dp[i][j])dp[i][j] = cost;}}}}return dp[1][n];}public static void main(String[] args)int[] p = {10, 20, 30, 40, 30};int minCost = matrixChainOrder(p);System.out.println("最小计算次数为：" + minCost);}```这个算法的时间复杂度为O(n^3)，空间复杂度为O(n^2)。
矩阵连乘问题（内附动态规划算法代码）
矩阵连乘问题（内附动态规划算法代码）矩阵连乘问题若矩阵A是⼀个p*q的矩阵，B是⼀个q*r的矩阵，则C=AB，是⼀个p*r的矩阵，需进⾏pqr次数乘计算。
存在{A1,A2,A3}三个矩阵，维数分别为100*5，5*50，50*10。
若直接相乘，A1*A2*A3，则需要进⾏n=100*5*50+100*50*10=25000+50000=75000次数乘计算。
如果我们调整运算顺序，A1*(A2*A3)，则需要进⾏n=5*50*10+100*5*10=2500+5000=7500次数乘计算。
由此可见，当进⾏矩阵连乘运算时，加括号的⽅式，即计算次序对计算量有很⼤的影响。
代码展⽰：1 #include<iostream>23using namespace std;4/*5⾃底向上的推出矩阵连乘的最优解6先从两个矩阵相乘开始，⽽后三个矩阵相乘，四个......直到推出⽬标长度的最优解，即假设⼀个矩阵链，初始长度为2，算出所有相邻矩阵相乘的计算次数，⽽后使其长度为3...4...直到⽬标长度 7状态转移⽅程：8 m[i][j]=min {m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j]} i<=k<j i<j9 m[i][j]=0 i==j;10*/11#define LEN 5 //矩阵个数12//矩阵连乘函数，找到最优解13void MatrixChain(int *p, int m[][LEN + 1], int s[][LEN + 1]) {14for (int i = 0; i < LEN + 1; i++) m[i][i] = 0; //初始化，对⾓线元素置零，即当矩阵链长度为1时（只有⼀个矩阵）不⽤乘，为零15for (int r = 2; r <= LEN; r++) { //r表⽰矩阵链的长度，从2开始,两个矩阵相乘，⽽后3...4...5...16for (int i = 1; i <= LEN - r + 1; i++) { //i是矩阵链的⾸个矩阵，⼩于矩阵个数减矩阵链长度加⼀17int j = i + r - 1; //j是矩阵链的最后⼀个元素18 m[i][j] = m[i][i] + m[i + 1][j] + p[i - 1] * p[i] * p[j]; //m[i][j]是⼦结构，从最左边开始推19 s[i][j] = i; //标记断开的位置20for (int k = i + 1; k < j; k++) { //k是i和j直接的断开点，是在i和j之间的⼦结构，通过k的循环找到最优的解21int t = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j]; //状态转移⽅程22if (t < m[i][j]) {23 m[i][j] = t; //更新最优解24 s[i][j] = k; //更新断开点25 }26 }27 }28 }29 }3031//回溯函数，根据s[i][j]数组标记的位置，回溯找到断开的位置32void Traceback(int i, int j, int s[][LEN + 1]) {33if (i == j) { //当i与j相等说明回溯到该矩阵的位置了34 cout << "A" << i;35 }36else {37 cout << "(";38 Traceback(i, s[i][j], s); //从尾往头回溯39 Traceback(s[i][j] + 1, j, s); //从断点往后回溯40 cout << ")";41 }42 }43//输出函数44void output(int t[][LEN + 1]) {45for (int i = 1; i <= LEN; i++) {46for (int j = 1; j <= LEN; j++) {47 cout << "" << t[i][j] << "";48 }49 cout << endl;50 }51 }52int main(void) {53int p[LEN + 1] = { 6,8,9,3,4,10 }; //矩阵的维度分别是2*3,3*4,4*5,5*6,6*7，LEN+1个数表⽰LEN个矩阵54int m[LEN + 1][LEN + 1] = { 0 }; //记录最优⼦结构的⼆维数组55int s[LEN + 1][LEN + 1] = { 0 }; //记录最优解对应的括号的位置5657 MatrixChain(p, m, s);5859 cout << endl;60 output(m);61 cout << endl;62 output(s);63 cout << endl;64 cout << "outcome:" <<endl;65 Traceback(1, LEN, s);66 cout << endl;6768return0;69 }运⾏结果：与备忘录⽅法的区别：我们使⽤的动态规划⽅法中其实融⼊了备忘录的⼀些东西，我们的m和s数组都是⽤来记录的，所以备忘录⽅法与我们使⽤的⽅法类似，不同在于，我们是⾃底向上的，⽽备忘录⽅法是⾃顶向下的进⾏。
算法分析讲课大纲动态规划之求矩阵连乘积问题
第一小节 动态规划问题——最短路径问题一 在正式提出动态规划法前我们先看一个数学例子：例1：在 x 1+x 2+x 3+…+x n =a 是约束条件下，求n x x x z +++= 21的极大值. 令 a x a f ==max )(1 ( 0a x ≤≤ ) )max())(max()(12x a x x a f x a f -+=-+= 令 x a x y -+=且0)(22121=---=--=x a x x x a xa xdxdy可得a x=x, 所以 x=a/2故 a a a a f 222)(2=+=同理 ))(2max()(max()(23x a x x a f x a f -+=-+=令 )(2x a x y -+=0)(222221=---=--=x a x x x a x a x dx dy 所以 a x=2x , x=a/3所以 f 3(a)=a a a a a f 331331231)(3==+=用数学归纳法可以证明：f n (a) =na , x 1=x 2=x 3=…=x n =na证明：1：n=1 …2：设f n (a) =na , x 1=x 2=x 3=…=x n =na成立，则 f n+1(a)=max(x +f n (a-x))=max()(x a n x -+)令 y=)(x a n x -+y ’=x 21xa n -2=0)(2=---x a x nx x a所以 nx=a-x ,(n+1)x=a x=1+n a f n+1(a)=1+n a +n 1+n a =a n )1(+ 我们刚才的解题策略是：“摸着石头过河”，f2 利用f1的结果，f3又利用f2的结果。
类似于游戏中的一个勇士打败了一些敌人后得到一件武器，然后去打败另一个强大一些的对手，得到一件更好的武器，接着打败更强大的敌人。
最后取得胜利。
在实际生活中，有这么一类问题，它们的活动过程可分为若干个阶段，而且在任一阶段 后的行为仅依赖于第I 阶段的过程状态，而与I 阶段之前的过程如何达到这种过程如何达到这种状态的方式无关，这样的过程就构成了一个多阶段决策过程。
动态规划算法分析与设计实验报告(矩阵连乘)
算法分析与设计实验报告实验题目：动态规划算法的设计与实现1、实验目的通过本实验，掌握动态规划算法的设计的基本思想，进一步提高学生的编程能力。
2、实验内容：给定n个矩阵｛A1,A2,…,A n｝，其中A i与A i+1是可乘的，i=1，2…，n-1。
如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。
3、源程序if (t<u) //返回t,k中较小的值，并记录断点处k{ u=t; s[i][j]=k;} }return u; }int Look(int i,int j) //备忘录计算最优值{ if (m[i][j]>0){ return m[i][j]; }if (i == j) return 0;int u=Look(i, i)+Look(i+1,j)+p[i-1]*p[i]*p[j]; s[i][j]=i;for (int k=i+1; k<j;k++){ int t=Look(i,k)+Look(k+1,j)+p[i-1]*p[k]*p[j]; //递归if (t<u){ u=t; //从k处断开，分别求得每次的数乘次数s[i][j]=k; //返回t,k中较小的值，并记录断点处k} } m[i][j]=u;return u; }void Traceback(int i,int j) { //输出矩阵结合方式，加括号输出if(i == j) //只有一个矩阵，直接输出{ cout<<"A"<<i; }else if(i+1 == j) //两个矩阵，加括号输出{ cout<<"(A"<<i<<"A"<<j<<")"; }else{ cout<<"("; Traceback(i,s[i][j]); //递归，从最得到最优解的地方s[i][j]处断开Traceback(s[i][j]+1,j);cout<<")"; } }void main(){ cout<<"输入矩阵个数：n=";cin>>n; cout<<"输入第一个矩阵行数和第一个到第n个矩阵的列数："; for(int i=0;i<=n;i++){ cin>>p[i]; } cout<<endl; cout<<"请选择解决矩阵连乘问题的方法："<<endl; cout<<"1.动态规划算法"<<endl; cout<<"2.直接递归算法"<<endl; cout<<"3.备忘录算法"<<endl;cout<<"0.退出..."<<endl;cout<<endl;cout<<"请选择算法：";cin>>q; cout<<endl;while(q!=0){ switch(q){case 1: matrixChain(); cout<<"动态规划算法解决矩阵连乘问题："<<endl; cout<<"最优计算次序为：";Traceback(1,n); cout<<endl; cout<<"矩阵连乘的最优数乘次数为："<<m[1][n]<<endl; //最终解值为m[1][n]break;case 2: Recur(0,n); cout<<"直接递归算法解决矩阵连乘问题："<<endl;5、结论动态规划算法设计通常有四个步骤：1.找出最优解的性质，并刻画其结构特征。
矩阵连乘最少乘法次数
矩阵连乘最少乘法次数矩阵连乘最少乘法次数是一个经典的问题，它在计算机科学和数学领域中有着广泛的应用。
在这篇文章中，我们将探讨矩阵连乘最少乘法次数的概念、算法和应用。
矩阵连乘最少乘法次数问题是指给定一系列矩阵，如何通过最少的乘法次数将它们相乘。
例如，对于三个矩阵A、B和C，它们的维度分别为2x3、3x4和4x5，我们可以通过以下两种方式将它们相乘：1. (AB)C，需要2x3x4+2x4x5=56次乘法操作。
2. A(BC)，需要3x4x5+2x3x5=62次乘法操作。
因此，第一种方式是最优的，需要的乘法次数最少。
矩阵连乘最少乘法次数的算法矩阵连乘最少乘法次数问题可以通过动态规划算法来解决。
具体来说，我们可以定义一个二维数组m，其中m[i][j]表示从第i个矩阵到第j个矩阵的最少乘法次数。
然后，我们可以使用以下递推公式来计算m[i][j]的值：m[i][j] = min{m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]xp[k]xp[j]}，其中i≤k<j其中，p[i-1]表示第i个矩阵的行数，p[k]表示第k个矩阵的列数，p[j]表示第j个矩阵的列数。
这个递推公式的意义是，我们可以将从第i个矩阵到第j个矩阵的乘法操作分成两部分，即从第i个矩阵到第k个矩阵的乘法操作和从第k+1个矩阵到第j个矩阵的乘法操作。
然后，我们可以计算这两部分的乘法次数，并将它们相加，再加上从第i个矩阵到第k个矩阵的乘法结果和从第k+1个矩阵到第j个矩阵的乘法结果的乘积，即p[i-1]xp[k]xp[j]。
最后，我们可以选择最小的乘法次数作为m[i][j]的值。
矩阵连乘最少乘法次数的应用矩阵连乘最少乘法次数问题在计算机科学和数学领域中有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，我们可以使用矩阵来表示图形的变换，如平移、旋转和缩放。
然后，我们可以通过矩阵连乘来将这些变换组合起来，从而得到最终的变换矩阵。
在这个过程中，我们需要计算矩阵的乘法次数，因此矩阵连乘最少乘法次数问题就变得非常重要。
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6
完全加括号的矩阵连乘积
完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为： （1）单个矩阵是完全加括号的；
（2）矩阵连乘积 A 是完全加括号的，则 A 可 表示为2个完全加括号的矩阵连乘积 B和 C 的乘积并加括号，即 A (BC)
每一种完全加括号对应于一个矩阵连乘积得计算次序， 而矩阵连乘积的计算次序与其计算量有密切的关系。
qr 矩阵，则乘积C=AB是 pr 矩阵，总共需要 pqr
次数乘得到。 这样可以计算每一种完全加括号方式的计算量，如
设有四个矩阵 A, B, C, D ，它们的维数分别是： A 5010 B 1040 C 4030 D 305
总共有五中完全加括号的方式
(A((BC)D)) ( A(B(CD))) ((AB)(CD))
穷举法：列举出所有可能的计算次序，并计算出每一种计 算次序相应需要的数乘次数，从中找出一种数乘次数最少的 计算次序。
算法复杂度分析： 对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序为P(n)。 由于每种加括号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题： (A1...Ak)(Ak+1…An)可以得到关于P(n)的递推式如下：
对于1≤i≤j≤n不同的有序对(i,j)对应于不同的子问题。 因此，不同子问题的个数最多只有
n 2
n
(n
2
)
由此可见，在递归计算时，许多子问题被重复计算多
次。这也是该问题可用动态规划算法求解的又一显著
特征。
用动态规划算法解此问题，可依据其递归式以自底向 上的方式进行计算。在计算过程中，保存已解决的子 问题答案。每个子问题只计算一次，而在后面需要时 只要简单查一下，从而避免大量的重复计算，最终得 到多项式时间的算法
for( int i=0;i<ra;i++) for(int j=0;j<cb;j++) { int sum=a[i][0]*b[0][j]; for(int k=1;k<ca;k++) sum=sum+a[i][k]*b[k][j];
c[i][j]=sum; } }
8
通过矩阵乘积标准算法可知：若矩阵A是 pq 矩阵，B是
第3章 动态规划
本章主要知识点：
3.1 矩阵连乘问题 3.2 动态规划算法的基本要素 3.3 最长公共子序列 3.4 0-1背包问题
1
算法总体思想
• 动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求 解问题分解成若干个子问题
T(n)
=n
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
2
算法总体思想
3
算法总体思想
• 如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时 再找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算， 从而得到多项式时间算法。
4
动态规划基本步骤
• 找出最优解的性质，并刻划其结构特征。 • 递归地定义最优值。 • 以自底向上的方式计算出最优值。 • 根据计算最优值时得到的信息，构造最优
解。
• 但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同 子问题的数目常常只有多项式量级。在用分治法求解 时，有些子问题被重复计算了许多次。
T(n)
=n
n/2
n/2
n/2
n/2
T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4
• 矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问 题的最优解。这种性质称为最优子结构性质。 问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划 算法求解的显著特征。
12
2. 建立递归关系
设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]， 则原问题的最优值为m[1,n]
当i=j时，A[i:j]=Ai，因此，m[i,i]=0，i=1,2,…,n 当i<j时，
m[i, j] m[i, k ] m[k 1, j] pi1 pk p j
这里 Ai 的维数为 pi1 pi
可以递归地定义m[i,j]为：
m[i,
j]
mikin j{m[i, k ]
0 m[k 1,
j]
pi1 pk
pj}
i j i j
k 的位置只有 j i 种可能
13
3. 计算最优值
5
3.1 矩阵连乘问题
给定n个矩阵 {A1, A2 ,，...,其An中} 与 是可Ai乘的A，i1
。
考察这i n个1,2矩,...阵,n 的1连乘积
A1A2... An
由于矩阵乘法满足结合律，所以计算矩阵的连乘可以 有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号 的方式来确定。
若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该 连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩 阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积
加括号方式为 ( Ai Ai1... Ak )( Ak1Ak2... Aj )
计算量：A[i:k]的计算量加上A[k+1:j]的计算量，再加上 A[i:k]和A[k+1:j]相乘的计算量
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1. 分析最优解的结构
• 特征：计算A[i:j]的最优次序所包含的计算矩阵 子链 A[i:k]和A[k+1:j]的次序也是最优的。
(((AB)C)D) ((A(BC))D)
16000, 10500, 36000, 87500, 34500
9
3.1 矩阵连乘问题
给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的， i=1,2 ,…,n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依 此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。
下面是计算两个矩阵乘积的标准算法：
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完全加括号的矩阵连乘积
public static void matrixMultiply(double a[][], double b[][], double c[][], int ra, int ca, int rb, int cb)
{ if(ca!=rb) throw new IllegalArgumentException(“矩阵不可乘”);
P(nP)是(n)随n的kn11增P长(k)呈1P(指n 数k增) 长nn 。11 P(n) (4n / n3/2)
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3.1 矩阵连乘问题
穷举法 动态规划
将矩阵连乘积 Ai Ai1...简A记j 为A[i:j] ，这里i≤j
考察计算A[i:j]的最优计算次序。设这个计算次序在矩阵 Ak和Ak+1之间将矩阵链断开，i≤k<j，则其相应完全