2019年中考试题汇编：解直角三角形

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2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第二期) 专题28 解直角三角形(含解析)

解直角三角形一.选择题1. （2019•广东省广州市•3分）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决．【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m，∴tan∠BAC＝，解得，AC＝75，故选：A．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2. （2019•广西北部湾经济区•3分）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】C【解析】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF=x，∵tan65°=，∴OF=xtan65°，∴BD=3+x，∵tan35°=，∴OF=（3+x）tan35°，∴2.1x=0.7（3+x），∴x=1.5，∴OF=1.5×2.1=3.15，∴OE=3.15+1.5=4.65，故选：C．过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF=x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．二.填空题1. （2019•江苏宿迁•3分）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是＜BC ＜．【分析】当点C在射线AN上运动，△ABC的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的BC的值．【解答】解：如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60°∴∠ABC1＝30°∴AC1＝AB＝1，由勾股定理得：BC1＝，在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60°∴∠AC2B＝30°∴AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝2，当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时＜BC＜2．故答案为：＜BC＜2．【点评】本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用特殊直角三角形的边角关系或利用勾股定理求解．考察直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识点．2. （2 019·江苏盐城·3分）如图，在△ABC 中，BC ＝26+，∠C ＝45°，AB ＝2AC ，则AC 的长为________.【答案】2【解析】过A 作AD ⊥BC 于D 点，设AC =x 2，则AB =x 2，因为∠C =45°，所以AD =AC =x ，则由勾股定理得BD =x AD AB 322=-，因为AB =26+，所以AB =263+=+x x ,则x =2.则AC =2.3. （2 019·江苏盐城·3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝2x －1的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ，将直线AB 绕点B 按顺时针方向旋转45°，交x 轴于点C ，则直线BC 的函数表达式是__________.【答案】131-=x y 【解析】因为一次函数y ＝2x －1的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ，则A （21，0），B （0,-1），则AB =25. 过A 作AD ⊥BC 于点D ，因为∠ABC =45°，所以由勾股定理得AD =410，设BC =x ，则AC =OC -OA =2112--x ，根据等面积可得：AC ×OB =BC ×AD ，即2112--x =410x ，解得x =10.则AC =3，即C （3，0），所以直线BC 的函数表达式是131-=x y .4. （2019•浙江湖州•4分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB 和CD 分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD ＝α．若AO ＝85cm ，BO ＝DO ＝65cm ．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A 离地面的高度h 约为 120 cm ．（参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6．）【分析】过O 作OE ⊥BD ，过A 作AF ⊥BD ，可得OE ∥AF ，利用等腰三角形的三线合一得到OE 为角平分线，进而求出同位角的度数，在直角三角形AFB 中，利用锐角三角函数定义求出h 即可．【解答】解：过O 作OE ⊥BD ，过A 作AF ⊥BD ，可得OE ∥AF ， ∵BO ＝DO ， ∴OE 平分∠BOD ，∴∠BOE ＝∠BOD ＝×74°＝37°， ∴∠F AB ＝∠BOE ＝37°，在Rt △ABF 中，AB ＝85+65＝150cm ， ∴h ＝AF ＝AB •cos ∠F AB ＝150×0.8＝120cm ，故答案为：120【点评】此题考查了解直角三角形的应用，弄清题中的数据是解本题的关键．三.解答题1. （2019•江苏宿迁•10分）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm．（1）求坐垫E到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE′的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）【分析】（1）作EM⊥CD于点M，由EM＝ECsin∠BCM＝75sin46°可得答案；（2）作E′H⊥CD于点H，先根据E′C＝求得E′C的长度，再根据EE′＝CE﹣CE′可得答案【解答】解：（1）如图1，过点E作EM⊥CD于点M，由题意知∠BCM＝64°、EC＝BC+BE＝60+15＝75cm，∴EM＝ECsin∠BCM＝75sin64°≈67.5（cm），则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5（cm）；（2）如图2所示，过点E′作E′H⊥CD于点H，由题意知E′H＝80×0.8＝64，则E′C＝＝≈71，1，∴EE′＝CE﹣CE′＝75﹣71.1＝3.9（cm）．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答．2. （2019•江西•8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B-A-O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO=6.8cm，CD=8cm，AB=30cm，BC=35cm.（结果精确到0.1）（1）如图2，∠ABC=70°，BC∥OE。

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解直角三角形一、选择题1. （2018•湖南衡阳,第10题3分）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（）　A．26米B．28米C．30米D．46米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．.分析：先根据坡比求得AE的长，已知CB=10m，即可求得AD．解答：解：∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，∴AE=1.5BE=18米，∵BC=10米，∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，故选D．点评：此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题．2. （2018•丽水，第5题3分）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC=3m，则坡面AB的长度是（）　A．9m B．6m C．m D．m考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．.分析：在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．解答：解：在Rt△ABC中，BC=5米，tanA=1：；∴AC=BC÷tanA=3米，∴AB==6米．故选B．点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．3．（2018•四川绵阳,第8题3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P 的距离为（）　A．40海里B．40海里C．80海里D．40海里考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：根据题意画出图形，进而得出PA，PC的长，即可得出答案．解答：解：过点P作PC⊥AB于点C，由题意可得出：∠A=30°，∠B=45°，AP=80海里，故CP=AP=40（海里），则PB==40（海里）．故选：A．点评：此题主要考查了方向角问题以及锐角三角函数关系等知识，得出各角度数是解题关键．　4．二、填空题1. （2018•黑龙江龙东,第8题3分）△ABC中，AB=4，BC=3，∠BAC=30°，则△ABC的面积为　2+或2﹣（答对1个给2分，多答或含有错误答案不得分）　．考点：解直角三角形．.专题：分类讨论．分析：分两种情况：过点B或C作AC或AB上的高，由勾股定理可得出三角形的底和高，再求面积即可．解答：解：当∠B为钝角时，如图1，过点B作BD⊥AC，∵∠BAC=30°，∴BD=AB，∵AB=4，∴BD=2，∴AD=2，∵BC=3，∴CD=，∴S△ABC=AC•BD=×（2+）×2=2+；当∠C为钝角时，如图2，过点B 作BD⊥AC，交AC 延长线于点D ，∵∠BAC=30°，∴BD=AB，∵AB=4，∴BD=2，∵BC=3，∴CD=，∴AD=2，∴AC=2﹣，∴S △ABC =AC•BD=×（2﹣）×2=2﹣．点评：本题考查了解直角三角形，还涉及到的知识点有勾股定理、直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．2. （2018•浙江绍兴,第14题5分）用直尺和圆规作△ABC，使BC=a ，AC=b ，∠B=35°，若这样的三角形只能作一个，则a ，b 间满足的关系式是　sin35°=或b≥a　．考点：作图—复杂作图；切线的性质；解直角三角形分析：首先画BC=a ，再以B 为顶点，作∠ABC=35°，然后再以点C 为圆心b 为半径交AB 于点A ，然后连接AC 即可，①当AC⊥BC 时，②当b≥a 时三角形只能作一个．解答：解：如图所示：若这样的三角形只能作一个，则a ，b 间满足的关系式是：①当AC⊥BC 时，即sin35°=②当b≥a 时．故答案为：sin35°=或b≥a．点评：此题主要考查了复杂作图，关键是掌握作一角等于已知角的方法．3．（2018•江西，第13题3分）如图，是将菱形ABCD 以点O 为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形。

2019年全国各地中考数学分类汇编：解直角三角形(含解析)

数学精品复习资料解直角三角形一.选择题1．（2016·山东省菏泽市·3分）如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB=AC=5，A′B′=A′C′=3，若∠B+∠B′=90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为（）A．25：9 B．5：3 C．：D．5：3【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，∠B′=∠C′，根据三角函数的定义得到AD=AB•sinB，A′D′=A′B′•sinB′，BC=2BD=2AB•cosB，B′C′=2B′D′=2A′B′•cosB′，然后根据三角形面积公式即可得到结论．【解答】解：过A 作AD⊥BC于D，过A′作A′D′⊥B′C′于D′，∵△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，∴∠B=∠C，∠B′=∠C′，BC=2BD，B′C′=2B′D′，∴AD=AB•sinB，A′D′=A′B′•sinB′，BC=2BD=2AB•cosB，B′C′=2B′D′=2A′B′•cosB′，∵∠B+∠B′=90°，∴sinB=cosB′，sinB′=cosB，∵S△BAC=AD•BC=AB•sinB•2AB•cosB=25sinB•cosB，S△A′B′C′=A′D′•B′C′=A′B′•cosB′•2A′B′•sinB′=9sinB′•cosB′，∴S△BAC：S△A′B′C′=25：9．故选A．【点评】本题考查了互余两角的关系，解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和三角形面积公式．2. （2016·重庆市A卷·4分）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（）A．8.1米B．17.2米C．19.7米D．25.5米【分析】作BF⊥AE于F，则FE=BD=6米，DE=BF，设BF=x米，则AF=2.4米，在Rt△ABF 中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE=BF=5米，AF=12米，得出AE的长度，在Rt△ACE 中，由三角函数求出CE，即可得出结果．【解答】解：作BF⊥AE于F，如图所示：则FE=BD=6米，DE=BF，∵斜面AB的坡度i=1：2.4，∴AF=2.4BF，设BF=x米，则AF=2.4x米，在Rt△ABF中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132，解得：x=5，∴DE=BF=5米，AF=12米，∴AE=AF+FE=18米，在Rt△ACE中，CE=AEtan36°=18×0.73=13.14米，∴CD=CE﹣DE=13.14米﹣5米≈8.1米；故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题的关键．3. （2016·浙江省绍兴市·4分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A．B．C．D．【考点】解直角三角形．【分析】设BC=x，由含30°角的直角三角形的性质得出AC=2BC=2x，求出AB=BC=x，根据题意得出AD=BC=x，AE=DE=AB=x，作EM⊥AD于M，由等腰三角形的性质得出AM=AD=x，在Rt△AEM中，由三角函数的定义即可得出结果．【解答】解：如图所示：设BC=x，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，∴AC=2BC=2x，AB=BC=x，根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=x，作EM⊥AD于M，则AM=AD=x，在Rt△AEM中，cos∠EAD===；故选：B．4. （2016·重庆市B卷·4分）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）A．30.6 B．32.1 C．37.9 D．39.4【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=6+20（米），即可得出大楼AB的高度．【解答】解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：则GH=DE=15米，EG=DH，∵梯坎坡度i=1：，∴BH：CH=1：，设BH=x米，则CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得：x2+（x）2=122，解得：x=6，∴BH=6米，CH=6米，∴BG=GH﹣BH=15﹣6=9（米），EG=DH=CH+CD=6+20（米），∵∠α=45°，∴∠EAG=90°﹣45°=45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AG=EG=6+20（米），∴AB=AG+BG=6+20+9≈39.4（米）；故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．二.填空题1．（2016·山东省菏泽市·3分）如图，在正方形ABC D外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=．【考点】正方形的性质；等腰直角三角形；解直角三角形．【专题】计算题．【分析】作EF⊥BC于F，如图，设DE=CE=a，根据等腰直角三角形的性质得CD=CE= a，∠DCE=45°，再利用正方形的性质得CB=CD=a，∠BCD=90°，接着判断△CEF为等腰直角三角形得到CF=EF=CE=a，然后在Rt△BEF中根据正切的定义求解．【解答】解：作EF⊥BC于F，如图，设DE=CE=a，∵△CDE为等腰直角三角形，∴CD=CE=a，∠DCE=45°，∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD=a，∠BCD=90°，∴∠ECF=45°，∴△CEF为等腰直角三角形，∴CF=EF=CE=a，在Rt△BEF中，tan∠EBF===，即∠EBC=．故答案为．【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了等腰直角三角形的性质．2. （2016·湖北荆州·3分）全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为18°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD=10米，则此塑像的高AB约为58米（参考数据：tan78°12′≈4.8）．【分析】直接利用锐角三角函数关系得出EC的长，进而得出AE的长，进而得出答案．【解答】解：如图所示：由题意可得：CE⊥AB于点E，BE=DC，∵∠ECB=18°48′，∴∠EBC=78°12′，则tan78°12′===4.8，解得：EC=48（m），∵∠AEC=45°，则AE=EC，且BE=DC=10m，∴此塑像的高AB约为：AE+EB=58（米）．故答案为：58．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得出EC的长是解题关键．三.解答题1. （2016·湖北随州·8分）某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】构造直角三角形，利用锐角三角函数，进行简单计算即可．【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC，EG⊥CD，在Rt△DEG中，∵DE=1620，∠D=30°，∴EG=DEsin∠D=1620×=810，∵BC=857.5，CF=EG，∴BF=BC﹣CF=47.5，在Rt△BEF中，tan∠BEF=，∴EF=BF，在Rt△AEF中，∠AEF=60°，设AB=x，∵tan∠AEF=，∴AF=EF×tan∠AEF，∴x+47.5=3×47.5，∴x=95，答：雕像AB的高度为95尺．2. （2016·吉林·7分）如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=43°，求飞机A与指挥台B的距离（结果取整数）（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】先利用平行线的性质得到∠B=α=43°，然后利用∠B的正弦计算AB的长．【解答】解：如图，∠B=α=43°，在Rt△ABC中，∵sinB=，∴AB=≈1765（m）．答：飞机A与指挥台B的距离为1765m．3. （2016·江西·8分）如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA=OB=10cm．（1）当∠AOB=18°时，求所作圆的半径；（结果精确到0.01cm）（2）保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到0.01cm）（参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器）【考点】解直角三角形的应用．【分析】（1）根据题意作辅助线OC⊥AB于点C，根据OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=18°，可以求得∠BOC的度数，从而可以求得AB的长；（2）由题意可知，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，则AE=AB，然后作出相应的辅助线，画出图形，从而可以求得BE的长，本题得以解决．【解答】解：（1）作OC⊥AB于点C，如右图2所示，由题意可得，OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=18°，∴∠BOC=9°∴AB=2BC=2OB•sin9°≈2×10×0.1564≈3.13cm，即所作圆的半径约为3.13cm；（2）作AD⊥OB于点D，作AE=AB，如下图3所示，∵保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，∴折断的部分为BE，∵∠AOB=18°，OA=OB，∠ODA=90°，∴∠OAB=81°，∠OAD=72°，∴∠BAD=9°，∴BE=2BD=2AB•sin9°≈2×3.13×0.1564≈0.98cm，即铅笔芯折断部分的长度是0.98cm．4. （2016·辽宁丹东·10分）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C 处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】Rt△ADB中用AB表示出BD、Rt△ACB中用AB表示出BC，根据CD=BC﹣BD 可得关于AB 的方程，解方程可得．【解答】解：根据题意，得∠ADB=64°，∠ACB=48°在Rt△ADB中，tan64°=，则BD=≈AB，在Rt△ACB中，tan48°=，则CB=≈AB，∴CD=BC﹣BD即6=AB﹣AB解得：AB=≈14.7（米），∴建筑物的高度约为14.7米．5.（2016·四川宜宾）如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α=30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β=60°，求树高AB （结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】作CF⊥AB于点F，设AF=x米，在直角△ACF中利用三角函数用x 表示出CF的长，在直角△ABE中表示出BE的长，然后根据CF﹣BE=DE即可列方程求得x的值，进而求得AB的长．【解答】解：作CF⊥AB于点F，设AF=x米，在Rt△ACF中，tan∠ACF=，则CF====x，在直角△ABE中，AB=x+BF=4+x（米），在直角△ABF中，tan∠AEB=，则BE===（x+4）米．∵CF﹣BE=DE，即x﹣（x+4）=3．解得：x=，则AB=+4=（米）．答：树高AB是米．6.（2016·湖北黄石·8分）如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB 和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（ 1.414，CF结果精确到米）【分析】（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中根据正弦的定义可计算出BH的长，从而得到EF的长；（2）先在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可．【解答】解：（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中，∵sin∠BAH=，∴BH=800•sin30°=400，∴EF=BH=400m；（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=，∴CE=200•sin45°=100≈141.4，∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度与坡角问题：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i═tanα．7．（2016·湖北荆门·6分）如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，根据直角三角形的性质用x表示出AC与BC的长，再根据小明与小军同时到达山顶C处即可得出结论．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，∵∠A=45°，CD⊥AB，∴AD=CD=x米，∴AC=x．在Rt△BCD中，∵∠B=30°，∴BC===2x，∵小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，∴=，解得a=1米/秒．答：小明的行走速度是1米/秒．8.（2016·四川内江）(9分)如图8，禁渔期间，我渔政船在A 处发现正北方向B 处有一艘可疑船只，测得A ，B 两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东30°方向前去拦截，经历4小时刚好在C 处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度(结果保留根号)．[考点]三角函数、解决实际问题。

中考数学解直角三角形汇编

cos63.4 0.45， tan 63.4 2.00 ， 2 1.41 ， 3 1.73 ）
4. (2019 甘肃中考 7 分)某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳篷”这课题进行了探究，过程如下:
问题提出: 如图 1 是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内. 方案设计: 如图 2,该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面 AC 的遮阳篷 CD 数据收集: 通过查阅相关资料和实际测量:兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太阳光线 DA 与遮阳篷 CD 的夹角∠ADC 最大(∠ADC=°):冬至这一天的正午时刻，太阳光线 DB 与遮阳篷 CD 的夹角 ∠BDC 最小(∠BDC=°);窗户的高度 AB=2m 问题解决: 根据上述方案及数据，求遮阳篷 CD 的长. (结果精确到,参考数据:°≈ ，°≈, °≈
OP 为下水管道口直径，OB 为可绕轴 O 自由转动的阀门，平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水的压迫而关闭，以防止河水倒灌入城中，若阀门的直径OB=OP=100cm， OA 为检修时阀门开启的位置，且OA=OB. （1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB 的取值范围；（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达 OB 位置是，在点A 处测得俯角∠CAB=°，若此时点 B 恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度，（结果保留小数点后一位）
7．（2019 广西贺州中考 8）如图，在 A 处的正东方向有一港口 B．某巡逻艇从 A 处沿着北偏东 60°方向巡逻，到达 C 处时接到命令，立刻在 C 处沿东南方向以 20 海里/小时的速度行驶 3 小时到达港口 B．求 A，B 间的距离．（≈，≈，结果保留一位小数）．

2019年各地中考解析版数学试卷汇编：直角三角形与勾股定理(Word版含解析)

直角三角形与勾股定理一．选择题（共12 小题）1．如图，四边形ABCD内接于⊙ O，AE⊥ CB交 CB的延伸线于点E，若 BA均分∠ DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（）A． 3 B． 3 C． 4 D．2 2．如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为 2 的正六边形．则本来的纸带宽为（）A． 1 B．C．D．2 3．如图 1，长、宽均为3，高为 8 的长方体容器，搁置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为 6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰巧触到容器口边沿，图2是此时的表示图，则图 2 中水面高度为（）A．B．C．D．4．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记录．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图 2 的方式搁置在最大正方形内．若知道图中暗影部分的面积，则必定能求出（）A ．直角三角形的面积B ．最大正方形的面积C ．较小两个正方形重叠部分的面积D ．最大正方形与直角三角形的面积和5．如图，平面直角坐标系中， A （﹣ 8， 0）， B （﹣ 8， 4）， C （0， 4），反比率函数 y ＝的图象分别与线段，交于点，，连结．若点B 对于DE 的对称点恰幸亏上，AB BCD EDEOA则 k ＝（）A ．﹣ 20B ．﹣ 16C ．﹣ 12D ．﹣ 86．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边CD ，AD 上， BE与CF 交于点G ．若BC ＝4， DE＝ AF ＝1，则GF 的长为（）A ．B ．C ．D ．7．如图，在直角三角形ABC 中，∠ C ＝ 90°， AC ＝ BC ，E 是 AB 的中点，过点E 作的垂线，垂足分别为点 D 和点 F ，四边形 CDEF 沿着 CA 方向匀速运动，点 C 与点停止运动，设运动时间为 t ，运动过程中四边形 CDEF 与△ ABC 的重叠部分面积为AC 和 BCA 重合时S ．则 S对于 t 的函数图象大概为（）A．B．C．D．8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝ 90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点 F 处，线段 DF与 AB订交于点 E，则∠ BED等于（）A． 120°B． 108°C． 72°D．36°9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝ 12，AB的垂直均分线EF交 AC于点 D，连结 BD，若cos ∠BDC＝，则BC的长是（）A． 10B． 8C．4D．210．知足以下条件时，△ABC不是直角三角形的为（）A．AB＝，BC＝4， AC＝5 B．AB：BC：AC＝ 3：4： 5C．∠A：∠B：∠C＝ 3： 4： 5 D． |cos A﹣ |+ （tan B﹣2）＝ 011．如图，点E在正方形ABCD的边 AB上，若 EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（）A ．B ． 3C ．D ．512．如图，在△ABC 中，∠ B ＝ 50°， CD ⊥ AB 于点D ，∠ BCD 和∠ BDC 的角均分线订交于点E ，F 为边AC 的中点，CD ＝ CF ，则∠ACD +∠ CED ＝（）A ． 125°B ． 145°C ． 175°D ．190°二．填空题（共 12 小题）13．在△ ABC 中，∠ A ＝ 50°，∠ B ＝ 30°，点 D 在 AB 边上，连结CD ，若△ ACD 为直角三角形，则∠ BCD 的度数为度．14．公元 3 世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创建了“赵爽弦图” ．如图，设勾＝ 6，弦 c ＝ 10，则小正方形的面积是．aABCD15．如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝ 90°， AB ＝AC ＝ 10cm ，点 D 为△ ABC 内一点，∠ BAD ＝ 15°，＝ 6 ，连结，将△ 绕点 A 按逆时针方向旋转，使 AB 与重合，点D 的对应点ADcm BD ABDAC为点 E ，连结 DE ， DE 交 AC 于点 F ，则 CF 的长为 cm ．16．如图，在边长为1 的菱形 ABCD 中，∠ ABC ＝ 60°，将△ ABD 沿射线 BD 的方向平移获得△ A ' B ' D ' ，分别连结 A ' C ， A ' D ， B ' C ，则 A ' C +B ' C 的最小值为．17．把两个相同大小含45°角的三角尺按以下图的方式搁置，此中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角极点重合于点A ，且此外三个锐角极点B ，C ，D 在同向来线上．若AB ＝ 2，则 CD ＝．18．如图，为丈量旗杆 AB 的高度，在教课楼一楼点C 处测得旗杆顶部的仰角为 60°，在四楼点 D 处测得旗杆顶部的仰角为30°，点 C 与点 B 在同一水平线上．已知＝，则CDm旗杆的高度为．AB m19．如图，在 ?ABCD 中，E 、F 是对角线 AC 上两点， AE ＝ EF ＝ CD ，∠ ADF ＝ 90°，∠ BCD ＝63°，则∠ ADE 的大小为．20．问题背景：如图1，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°获得△ADE ， DE与BC 交于点P ，可推出结论：PA +PC ＝ PE ．问题解决：如图2，在△ MNG 中， MN ＝ 6，∠ M ＝ 75°， MG ＝．点O 是△ MNG 内一点，则点O 到△ MNG 三个极点的距离和的最小值是．21．如图，等边三角形 ABC 内有一点 P ，分別连结 AP 、BP 、CP ，若 AP ＝ 6，BP ＝ 8，CP ＝ 10．则S △ ABP +S △ BPC ＝．22．无盖圆柱形杯子的睁开图以下图．将一根长为20cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分起码有cm ．23．以下图，在 Rt △中，∠ ＝ 90°，是斜边上的中线，、 F 分别为、ABCACBCMABEMB BC的中点，若 EF ＝1，则 AB ＝．24．如图，在 Rt △ ABC 中，∠ ACB ＝90°，∠ B ＝60°， DE 为△ ABC 的中位线，延伸 BC 至F ，使＝，连结 FE 并延伸交于点．若＝，则△ 的周长为．CF BC AB M BC a FMB三．解答题（共 9 小题）25．如图，等腰直角三角板如图搁置．直角极点在直线上，分别过点、 B 作 ⊥直线C m A AEm于点 E， BD⊥直线 m于点 D．①求证： EC＝ BD；②若设△ AEC三边分别为a、 b、 c，利用此图证明勾股定理．26．如图，正方形ABCD，点 E， F 分别在 AD， CD上，且 DE＝ CF， AF与 BE订交于点 G．（1）求证：BE＝AF；（2）若AB＝ 4，DE＝ 1，求AG的长．27．在 6×6 的方格纸中，点A， B， C都在格点上，按要求绘图：（ 1）在图 1 中找一个格点D，使以点 A， B，C， D为极点的四边形是平行四边形．（ 2）在图 2 中仅用无刻度的直尺，把线段AB三均分（保存绘图印迹，不写画法）．28．某发掘机的底座高AB＝米，动臂 BC＝米， CD＝米， BC与 CD的固定夹角∠ BCD＝140°．初始地点如图1，斗杆极点 D与铲斗极点 E 所在直线 DE垂直地面 AM于点 E，测得∠CDE＝70°（表示图2）．工作时如图3，动臂 BC会绕点 B 转动，当点 A， B， C在同向来线时，斗杆极点D升至最高点（表示图4）．（ 1）求发掘机在初始地点时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数．（ 2）问斗杆极点D的最高点比初始地点高了多少米？（精准到0.1 米）（参照数据：sin50 °≈ 0.77 ， cos50 °≈ 0.64 ，sin70 °≈ 0.94 ，cos70 °≈ 0.34 ，≈1.73 ）29．在以下图的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的极点叫格点，△ ABC的三个极点均在格点上，以点 A 为圆心的与相切于点，分别交、于点、．BC D AB AC E F（ 1）求△ ABC 三边的长；（ 2）求图中由线段 EB 、BC 、 CF 及所围成的暗影部分的面积．30．已知： △ ABC 是等腰直角三角形， ∠ BAC ＝90°，将△ ABC 绕点 C 顺时针方向旋转获得△A ′B ′C ，记旋转角为 α，当 90°＜α＜ 180°时，作 A ′D ⊥AC ，垂足为 D ，A ′ D 与 B ′C 交于点 E ．（ 1）如图 1，当∠ CA ′ D ＝ 15°时，作∠ A ′ EC 的均分线 EF 交 BC 于点 F ．①写出旋转角 α 的度数；②求证： EA ′ +EC ＝ EF ；（ 2）如图 2，在（ 1）的条件下，设P 是直线 A ′D 上的一个动点，连结 PA ， PF ，若 AB＝，求线段 PA +PF 的最小值．（结果保存根号）31．如图 1，△ ABC 中， CA ＝ CB ，∠ ACB ＝α， D 为△ ABC 内一点，将△ CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角 α 获得△CBE ，点 A ，D 的对应点分别为点B ，E ，且A ，D ，E 三点在同向来线上．（ 1）填空：∠CDE ＝（用含 α 的代数式表示）；（ 2）如图2，若 α＝ 60°，请补全图形，再过点C作CF ⊥ AE 于点F ，而后研究线段CF ，AE ， BE 之间的数目关系，并证明你的结论；（ 3）若 α＝ 90°， AC ＝ 5 ，且点 G 知足∠ AGB ＝ 90°， BG ＝ 6，直接写出点 C 到 AG 的距离．32．如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的极点坐标分别为 O （ 0， 0），A （ 12， 0）， B（ 8， 6）， C （ 0， 6）．动点 P 从点 O 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿边 OA 向终点 A 运动；动点从点B 同时出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿边向终点C 运动．设运QBC2动的时间为 t 秒， PQ ＝ y ．（ 1）直接写出 y 对于 t 的函数分析式及 t 的取值范围：；（ 2）当 PQ ＝ 3 时，求 t 的值；（ 3）连结 OB 交 PQ 于点 D ，若双曲线 y ＝（ k ≠ 0）经过点 D ，问 k 的值能否变化？若不变化，恳求出 k 的值；若变化，请说明原因．33．已知 AB 是⊙ O 的直径， AM 和 BN 是⊙ O 的两条切线， DC 与⊙ O 相切于点 E ，分别交 AM 、BN 于 D 、 C 两点．（ 1）如图 1，求证： AB 2＝ 4AD ?BC ；（ 2）如图 2，连结 OE 并延伸交 AM 于点 F ，连结 CF ．若∠ ADE ＝2∠ OFC ，AD ＝ 1，求图中暗影部分的面积．参照答案与试题分析一．选择题（共12 小题）1．如图，四边形ABCD内接于⊙ O，AE⊥ CB交 CB的延伸线于点E，若 BA均分∠ DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（）A． 3B． 3C．4D．2【剖析】连结AC，如图，依据圆内接四边形的性质和圆周角定理获得∠1＝∠CDA，∠ 2 ＝∠ 3，从而获得∠3＝∠CDA，所以AC＝AD＝ 5，而后利用勾股定理计算AE的长．【解答】解：连结AC，如图，∵BA均分∠ DBE，∴∠ 1＝∠ 2，∵∠ 1＝∠CDA，∠ 2＝∠ 3，∴∠ 3＝∠CDA，∴AC＝AD＝5，∵ AE⊥CB，∴∠ AEC＝90°，∴AE＝＝＝2．应选： D．2．如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为 2 的正六边形．则本来的纸带宽为（）A． 1B．C．D．2【剖析】依据正六边的性质，正六边形由 6 个边长为 2 的等边三角形构成，此中等边三角形的高为本来的纸带宽度，而后求出等边三角形的高即可．【解答】解：边长为 2 的正六边形由 6 个边长为 2 的等边三角形构成，此中等边三角形的高为本来的纸带宽度，所以本来的纸带宽度＝×2＝．应选： C．3．如图 1，长、宽均为3，高为 8 的长方体容器，搁置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为 6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰巧触到容器口边沿，图2是此时的表示图，则图 2 中水面高度为（）A．B．C．D．【剖析】设DE＝x，则 AD＝8﹣ x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD，过点 C作 CF⊥ BG于 F，由△ CDE∽△ BCF的比率线段求得结果即可．【解答】解：过点C作 CF⊥ BG于 F，以下图：设 DE＝x，则 AD＝8﹣ x，依据题意得：（ 8﹣x+8）× 3× 3＝ 3× 3×6，解得： x＝4，∴DE＝4，∵∠ E＝90°，由勾股定理得：CD＝，∵∠ BCE＝∠ DCF＝90°，∴∠ DCE＝∠ BCF，∵∠ DEC＝∠ BFC＝90°，∴△ CDE∽△ BCF，∴，即，∴CF＝．应选： A．4．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记录．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图 2 的方式搁置在最大正方形内．若知道图中暗影部分的面积，则必定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和【剖析】依据勾股定理获得c2＝ a2+b2，依据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2＝ a2+b2，暗影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（ c﹣ b）＝ a2﹣ac+ab＝ a（ a+b﹣ c），较小两个正方形重叠部分的长＝a﹣（ c﹣ b），宽＝ a，则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（ a+b﹣c），∴知道图中暗影部分的面积，则必定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，应选： C．5．如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0）， B（﹣8，4）， C（0，4），反比率函数y＝的图象分别与线段AB，BC交于点D， E，连结DE．若点 B 对于DE的对称点恰幸亏OA上，则 k＝（）A．﹣ 20 B．﹣ 16 C．﹣ 12 D．﹣ 8【剖析】依据A（﹣8，0）， B（﹣8，4）， C（0，4），可得矩形的长和宽，易知点D的横坐标， E 的纵坐标，由反比率函数的关系式，可用含有k 的代数式表示此外一个坐标，由三角形相像和对称，可用求出AF的长，而后把问题转变到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k 的值．【解答】解：过点 E 作 EG⊥ OA，垂足为 G，设点 B 对于 DE的对称点为F，连结 DF、 EF、BF，以下图：则△ BDE≌△ FDE，∴BD＝FD， BE＝FE，∠ DFE＝∠ DBE＝90°易证△ ADF∽△ GFE∴，∵A（﹣8，0），B（﹣8，4）， C（0，4），∴ AB＝OC＝ EG＝4， OA＝ BC＝8，∵D、E在反比率函数 y＝的图象上，∴ E（， 4）、D（﹣ 8，）∴OG＝EC＝，AD＝﹣，∴BD＝4+， BE＝8+∴，∴ ＝，AF2 2 2在 Rt △ADF中，由勾股定理：AD+AF ＝ DF即：（﹣）2+22＝（ 4+ ）2解得： k＝﹣12应选： C．6．如图，正方形ABCD中，点 E、F 分别在边CD，AD上， BE与 CF交于点 G．若 BC＝4， DE ＝ AF＝1，则 GF的长为（）A．B．C．D．【剖析】证明△BCE≌△ CDF（ SAS），得∠ CBE＝∠ DCF，所以∠ CGE＝90°，依据等角的余弦可得 CG的长，可得结论．【解答】解：正方形ABCD中，∵ BC＝4，∴BC＝CD＝ AD＝4，∠ BCE＝∠ CDF＝90°，∵ AF＝DE＝1，∴DF＝CE＝3，∴ BE ＝CF ＝ 5，在△ BCE 和△ CDF 中，，∴△ BCE ≌△ CDF （ SAS ），∴∠ CBE ＝∠ DCF ，∵∠ CBE +∠ CEB ＝∠ ECG +∠CEB ＝ 90°＝∠ CGE ，cos ∠ CBE ＝ cos ∠ ECG ＝，∴，CG ＝，∴ GF ＝CF ﹣ CG ＝5﹣ ＝，应选：．A7．如图，在直角三角形中，∠ ＝ 90°，＝，是AB 的中点，过点 E 作和ABC CAC BC EAC BC的垂线，垂足分别为点D 和点，四边形沿着方向匀速运动，点C 与点 A 重合时FCDEF CA 停止运动，设运动时间为 t ，运动过程中四边形 CDEF 与△ ABC 的重叠部分面积为S ．则 S 对于 t 的函数图象大概为（）A ．B ．C ．D ．【剖析】依据已知条件获得△ABC 是等腰直角三角形，推出四边形 EFCD 是正方形，设正方形的边长为 a ，当挪动的距离＜ a 时，如图 1S ＝正方形的面积﹣△ EE ′ H 的面积＝ a 2﹣2；当挪动的距离＞a 时，如图 2，＝ △AC ′H ＝（ 2 ﹣ ） 2＝2﹣ 2+2 2，依据函t S S a tt at a数关系式即可获得结论；【解答】解：∵在直角三角形ABC 中，∠ C ＝ 90°， AC ＝ BC ，∴△ ABC 是等腰直角三角形，∵ EF ⊥BC ， ED ⊥AC ，∴四边形 EFCD 是矩形，∵ E 是 AB 的中点，∴ EF ＝ AC ， DE ＝ BC ，∴ EF ＝ED ，∴四边形 EFCD 是正方形，设正方形的边长为a ，如图 1 当挪动的距离＜ a 时， S ＝正方形的面积﹣△ EE ′ H 的面积＝ a 2﹣ t 2；当挪动的距离＞ a 时，如图 2， S ＝ S △AC ′ H ＝（ 2a ﹣t ） 2 ＝ t 2﹣ 2at +2a 2 ，∴ S 对于 t 的函数图象大概为 C 选项，应选： C ．8．如图，在 Rt △ ABC 中，∠ BAC ＝ 90°，∠ B ＝36°， AD 是斜边BC 上的中线，将△ ACD沿对折，使点C 落在点F 处，线段与订交于点，则∠等于（）AD DF AB E BEDA． 120°B． 108°C． 72°D．36°【剖析】依据三角形内角和定理求出∠C＝90°﹣∠ B＝54°．由直角三角形斜边上的中线的性质得出AD＝ BD＝ CD，利用等腰三角形的性质求出∠BAD＝∠ B＝36°，∠ DAC＝∠ C ＝ 54°，利用三角形内角和定理求出∠ADC＝180°﹣∠ DAC﹣∠ C＝72°．再依据折叠的性质得出∠ ADF＝∠ ADC＝72°，而后依据三角形外角的性质得出∠BED＝∠ BAD+∠ ADF＝108°．【解答】解：∵在Rt △ABC中，∠BAC＝ 90°，∠B＝36°，∴∠ C＝90°﹣∠ B＝54°．∵AD是斜边 BC上的中线，∴ AD＝BD＝ CD，∴∠ BAD＝∠ B＝36°，∠ DAC＝∠ C＝54°，∴∠ ADC＝180°﹣∠ DAC﹣∠ C＝72°．∵将△ ACD沿 AD对折，使点C落在点 F 处，∴∠ ADF＝∠ ADC＝72°，∴∠ BED＝∠ BAD+∠ ADF＝36°+72°＝108°．应选： B．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝ 12，AB的垂直均分线EF交 AC于点 D，连结 BD，若cos ∠BDC＝，则BC的长是（）A． 10B． 8C．4D．2【剖析】设CD＝5x， BD＝7x，则 BC＝2x，由 AC＝12即可求 x，从而求出BC；【解答】解：∵∠C＝90°，cos∠BDC＝，设 CD＝5x， BD＝7x，∴BC＝2 x，∵AB的垂直均分线 EF交 AC于点 D，∴ AD＝BD＝7x，∴ AC＝12x，∵AC＝12，∴x＝1，∴BC＝2；应选： D．10．知足以下条件时，△ABC不是直角三角形的为（）A．＝，＝4，＝5 B．：：＝3：4：5 AB BCAC AB BC ACC．∠A：∠B：∠C＝ 3： 4： 5 D． |cos A﹣|+（tan B﹣）2＝ 0 【剖析】依照勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可获得结论．【解答】解：、∵，∴△是直角三角形，错误；A ABCB、∵（2 2 2 2 2 23x） +（ 4x）＝ 9x +16x＝ 25x＝（ 5x），∴△ABC是直角三角形，错误；、∵∠：∠ ：∠ ＝ 3：4： 5，∴∠ ＝，∴△不是C A BC C ABC直角三角形，正确；、∵ |cos ﹣|+ （ tan ﹣）2＝0，∴，∴∠＝ 60°，∠＝D A B A B30°，∴∠C＝ 90°，∴△ABC是直角三角形，错误；应选： C．11．如图，点E在正方形ABCD的边 AB上，若 EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（）A．B． 3 C．D．5【剖析】先依据正方形的性质得出∠B＝90°，而后在Rt△ BCE中，利用勾股定理得出2BC，即可得出正方形的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ B＝90°，2222 2∴BC＝ EC﹣EB＝2﹣1＝3，∴正方形ABCD的面积＝2BC＝3．应选： B．12．如图，在△ABC中，∠ B＝50°， CD⊥ AB于点D，∠ BCD和∠ BDC的角均分线订交于点E，F 为边AC的中点，CD＝ CF，则∠ACD+∠ CED＝（）A． 125°B． 145°C． 175°D．190°【剖析】依据直角三角形的斜边上的中线的性质，即可获得△CDF是等边三角形，从而得到∠ ACD＝60°，依据∠BCD和∠ BDC的角均分线订交于点E，即可得出∠CED＝115°，即可获得∠ ACD+∠CED＝60°+115°＝175°．【解答】解：∵CD⊥ AB，F 为边 AC的中点，∴DF＝ AC＝ CF，又∵ CD＝ CF，∴CD＝DF＝ CF，∴△ CDF是等边三角形，∴∠ ACD＝60°，∵∠ B＝50°，∴∠ BCD+∠ BDC＝130°，∵∠ BCD和∠ BDC的角均分线订交于点E，∴∠ DCE+∠ CDE＝65°，∴∠ CED＝115°，∴∠ ACD+∠ CED＝60°+115°＝175°，应选： C．二．填空题（共12 小题）13．在△ABC中，∠A＝ 50°，∠B＝ 30°，点D在AB边上，连结CD，若△ ACD为直角三角形，则∠ BCD的度数为60°或 10度．【剖析】当△ ACD为直角三角形时，存在两种状况：∠ ADC＝90°或∠ ACD＝90°，依据三角形的内角和定理可得结论．【解答】解：分两种状况：①如图 1，当∠ADC＝ 90°时，∵∠ B＝30°，∴∠ BCD＝90°﹣30°＝60°；②如图 2，当∠ACD＝ 90°时，∵∠ A＝50°，∠ B＝30°，∴∠ ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∴∠ BCD＝100°﹣90°＝10°，综上，则∠ BCD的度数为60°或10°；故答案为： 60°或 10；14．公元 3 世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创建了“赵爽弦图”．如图，设勾 a＝6，弦 c＝10，则小正方形ABCD的面积是4．【剖析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解．【解答】解：∵勾a ＝ 6，弦 c ＝ 10，∴股＝＝ 8，∴小正方形的边长＝ 8﹣ 6＝ 2，∴小正方形的面积＝ 22＝ 4故答案是： 415．如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝ 90°， AB ＝AC ＝ 10cm ，点 D 为△ ABC 内一点，∠ BAD ＝ 15°，＝ 6 ，连结，将△ 绕点 A 按逆时针方向旋转，使 AB 与重合，点D 的对应点ADcm BD ABDAC为点 E ，连结 DE ， DE 交 AC 于点 F ，则 CF 的长为（10﹣2 ） cm ．【剖析】过点 A 作 AG ⊥ DE 于点 G ，由旋转的性质推出∠ AED ＝∠ ADG ＝ 45°，∠ AFD ＝60°，利用锐角三角函数分别求出 AG ， GF ， AF 的长，即可求出CF ＝ AC ﹣ AF ＝10﹣ 2．【解答】解：过点A 作 AG ⊥ DE 于点 G ，由旋转知： AD ＝AE ，∠ DAE ＝ 90°，∠ CAE ＝∠ BAD ＝ 15°，∴∠ AED ＝∠ ADG ＝ 45°，在△ AEF 中，∠ AFD ＝∠ AED +∠ CAE ＝ 60°，在 Rt △ADG 中， AG ＝ DG ＝＝ 3，在 Rt △AFG 中， GF ＝＝， AF ＝2FG ＝ 2 ，∴ CF ＝AC ﹣ AF ＝10﹣ 2，故答案为： 10﹣2 ．16．如图，在边长为 1 的菱形ABCD中，∠ABC＝ 60°，将△ABD沿射线BD的方向平移获得△ A' B' D'，分别连结 A' C， A' D， B' C，则 A' C+B' C的最小值为．【剖析】依据菱形的性质获得 AB＝1，∠ ABD＝30°，依据平移的性质获得1，∠A′B′D＝30°，当B′C⊥A′B′时，A' C+B' C的值最小，推出四边形A′ B′＝ AB＝A′ B′CD是矩形，∠B′ A′C＝30°，解直角三角形即可获得结论．【解答】解：∵在边长为 1 的菱形ABCD中，∠ ABC＝60°，∴ AB＝1，∠ ABD＝30°，∵将△ ABD沿射线 BD的方向平移获得△A' B' D'，∴A′ B′＝ AB＝1，∠ A′B′ D＝30°，当 B′C⊥ A′ B′时， A' C+B' C的值最小，∵ AB∥A′ B′， AB＝ A′ B′， AB＝ CD， AB∥ CD，∴A′ B′＝ CD，A′ B′∥ CD，∴四边形 A′ B′CD是矩形，∠ B′ A′ C＝30°，∴B′C＝，A′C＝，∴A' C+B' C的最小值为，故答案为：．17．把两个相同大小含45°角的三角尺按以下图的方式搁置，此中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角极点重合于点A，且此外三个锐角极点B，C，D在同向来线上．若AB＝2，则CD＝﹣．【剖析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC＝2，BF＝AF＝，再利用勾股定理求出 DF，即可得出结论．【解答】解：如图，过点 A 作 AF⊥BC于 F，在 Rt △ABC中，∠B＝ 45°，∴BC＝ AB＝2， BF＝ AF＝AB＝，∵两个相同大小的含45°角的三角尺，∴ AD＝BC＝2，在 Rt △ADF中，依据勾股定理得，DF＝＝，∴ CD＝BF+DF﹣ BC＝+﹣ 2 ＝﹣，故答案为：﹣．18．如图，为丈量旗杆AB的高度，在教课楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点 D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝ m，则旗杆 AB的高度为m．【剖析】作DE⊥ AB于E，则∠ AED＝90°，四边形BCDE是矩形，得出BE＝ CD＝ m，∠CDE＝∠ DEA＝90°，求出∠ADC＝120°，证出∠CAD＝30°＝∠ ACD，得出AD＝ CD＝ m，在 Rt △ADE中，由直角三角形的性质得出AE＝AD＝m，即可得出答案．【解答】解：作DE⊥ AB于 E，以下图：则∠ AED＝90°，四边形BCDE是矩形，∴BE＝CD＝ m，∠ CDE＝∠ DEA＝90°，∴∠ ADC＝90°+30°＝120°，∵∠ ACB＝60°，∴∠ ACD＝30°，∴∠ CAD＝30°＝∠ ACD，∴AD＝CD＝ m，在 Rt △ADE中，∠ADE＝30°，∴ AE＝ AD＝ m，∴AB＝AE+BE＝ m m＝ m；故答案为： 14.4 ．19．如图，在 ?ABCD中，E、F是对角线AC上两点， AE＝ EF＝ CD，∠ ADF＝90°，∠ BCD＝63°，则∠ ADE的大小为21°．【剖析】设∠ ADE＝ x，由等腰三角形的性质和直角三角形得出∠DAE＝∠ ADE＝x，DE＝AF ＝ AE＝EF，得出DE＝ CD，证出∠ DCE＝∠ DEC＝2x，由平行四边形的性质得出∠DCE＝∠ BCD ﹣∠ BCA＝63°﹣ x，得出方程，解方程即可．【解答】解：设∠ADE＝ x，∵AE＝EF，∠ ADF＝90°，∴∠ DAE＝∠ ADE＝ x， DE＝AF＝AE＝ EF，∵AE＝EF＝ CD，∴ DE＝CD，∴∠ DCE＝∠ DEC＝2x，∵四边形 ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，∴∠ DAE＝∠ BCA＝ x，∴∠ DCE＝∠ BCD﹣∠ BCA＝63°﹣x，∴ 2x＝63°﹣x，解得： x＝21°，即∠ ADE＝21°；故答案为： 21°．20．问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°获得△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝ PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝ 6，∠M＝ 75°，MG＝．点O是△ MNG内一点，则点O到△ MNG三个极点的距离和的最小值是 2 ．【剖析】（ 1）在BC上截取BG＝PD，经过三角形求得证得AG＝ AP，得出△ AGP是等边三角形，得出∠ AGC＝60°＝∠ APG，即可求得∠ APE＝60°，连结 EC，延伸 BC到 F，使 CF＝PA，连结 EF，证得△ ACE是等边三角形，得出AE＝ EC＝AC，而后经过证得△APE≌△ ECF （SAS），得出 PE＝ PF，即可证得结论；（2）以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连结ND，可证△GMO≌△DME，可得 GO＝DE，则 MO+NO+GO＝NO+OE+DE，即当D、 E、 O、 N 四点共线时， MO+NO+GO 值最小，最小值为ND的长度，依据勾股定理先求得MF、 DF，而后求 ND的长度，即可求MO+NO+GO的最小值．【解答】（ 1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD，在△ ABG和△ ADP中，∴△ ABG≌△ ADP（ SAS），∴AG＝AP，∠ BAG＝∠ DAP，∵∠ GAP＝∠ BAD＝60°，∴△ AGP是等边三角形，∴∠ AGC＝60°＝∠ APG，∴∠ APE＝60°，∴∠ EPC＝60°，连结 EC，延伸 BC到 F，使 CF＝ PA，连结 EF，∵将△ ABC绕点 A 逆时针旋转60°获得△ ADE，∴∠ EAC＝60°，∠ EPC＝60°，∵ AE＝AC，∴△ ACE是等边三角形，∴AE＝EC＝ AC，∵∠ PAE+∠ APE+∠ AEP＝180°，∠ ECF+∠ ACE+∠ ACB＝180°，∠ ACE＝∠ APE＝60°，∠AED＝∠ ACB，∴∠ PAE＝∠ ECF，在△ APE和△ ECF中∴△ APE≌△ ECF（ SAS），∴PE＝PF，∴PA+PC＝ PE；（ 2）解：如图 2：以MG为边作等边三角形△MGD，以 OM为边作等边△ OME．连结 ND，作DF⊥ NM，交 NM的延伸线于F．∵△ MGD和△ OME是等边三角形∴OE＝OM＝ ME，∠ DMG＝∠ OME＝60°， MG＝ MD，∴∠ GMO＝∠ DME在△ GMO和△ DME中∴△ GMO≌△ DME（ SAS），∴OG＝DE∴NO+GO+MO＝ DE+OE+NO∴当 D、 E、 O、 M四点共线时， NO+GO+MO值最小，∵∠ NMG＝75°，∠ GMD＝60°，∴∠ NMD＝135°，∴∠ DMF＝45°，∵MG＝．∴MF＝DF＝4，∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，∴ND＝＝＝2，∴MO+NO+GO最小值为2，故答案为 2，21．如图，等边三角形ABC内有一点 P，分別连结 AP、BP、CP，若 AP＝6，BP＝8，CP＝10．则S△ABP+S△BPC＝24+16．【剖析】将△ BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°后得△ AP ' B ，依据旋转的性质可得∠PBP ′＝∠CAB ＝ 60°， BP ＝ BP ′，可得△ BPP ′为等边三角形，可得BP ′＝ BP ＝ 8＝PP ' ，由勾股定理的逆定理可得，△ APP ′是直角三角形，由三角形的面积公式可求解．【解答】解：如图，将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°后得△ AP ' B ，连结 PP ′，依据旋转的性质可知，旋转角∠ PBP ′＝∠ CAB ＝60°， BP ＝ BP ′，∴△ BPP ′为等边三角形， ∴ BP ′＝ BP ＝ 8＝ PP ' ；由旋转的性质可知， AP ′＝ PC ＝ 10，在△ BPP ′中， PP ′＝ 8，AP ＝ 6，由勾股定理的逆定理得，△ APP ′是直角三角形，2×PP ' × AP ＝24+16∴ S △ABP +S △ BPC ＝ S 四边形 AP' BP ＝ S △ BP' B +S △AP' P ＝BP +故答案为： 24+1622．无盖圆柱形杯子的睁开图以下图．将一根长为 20cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分起码有5．cm【剖析】依据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，从而得出答案．【解答】解：由题意可得：杯子内的筷子长度为：＝ 15，则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣ 15＝5（ cm ）．故答案为： 5．23．以下图，在 Rt △中，∠ ＝ 90°，是斜边上的中线，、 F 分别为、ABC ACBCM AB E MB BC的中点，若 EF ＝1，则 AB ＝ 4 ．【剖析】依据三角形中位线定理求出CM ，依据直角三角形的性质求出AB ．【解答】解：∵ E 、 F 分别为 MB 、 BC 的中点，∴ CM ＝2EF ＝ 2，∵∠ ACB ＝ 90°， CM 是斜边 AB 上的中线，∴ AB ＝2CM ＝ 4，故答案为： 4．24．如图，在 Rt △ ABC 中，∠ ACB ＝90°，∠ B ＝60°， DE 为△ ABC 的中位线，延伸BC 至 F ，使 CF ＝ BC ，连结 FE 并延伸交 AB 于点 M ．若 BC ＝ a ，则△ FMB 的周长为．【剖析】在 Rt △中，求出＝ 2 ，＝，在 Rt △顶用 a 表示出 FE 长，并证ABC AB a ACaFEC明∠ FEC ＝ 30°，从而 EM 转变到 MA 上，依据△ FMB 周长＝ BF +FE +EM +BM ＝ BF +FE +AM +MB ＝BF +FE +AB 可求周长．【解答】解：在 Rt △ ABC 中，∠ B ＝ 60°，∴∠ A ＝ 30°，∴ AB ＝2a ， AC ＝ a ．∵ DE 是中位线， ∴ CE ＝a ．在 Rt △FEC 中，利用勾股定理求出FE ＝ a ，∴∠ FEC＝30°．∴∠ A＝∠ AEM＝30°，∴EM＝AM．△ FMB周长＝ BF+FE+EM+BM＝ BF+FE+AM+MB＝BF+FE+AB＝．故答案为．三．解答题（共9 小题）25．如图，等腰直角三角板如图搁置．直角极点C在直线 m上，分别过点A、B 作 AE⊥直线m于点 E， BD⊥直线 m于点 D．①求证： EC＝ BD；②若设△ AEC三边分别为a、 b、 c，利用此图证明勾股定理．【剖析】①经过AAS证得△ CAE≌△ BCD，依据全等三角形的对应边相等证得结论；②利用等面积法证得勾股定理．【解答】①证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ ACE+∠ BCD＝90°．∵∠ ACE+∠ CAE＝90°，∴∠ CAE＝∠ BCD．在△ AEC与△ BCD中，∴△ CAE≌△ BCD（ AAS）．∴EC＝BD；②解：由①知： BD＝ CE＝a CD＝ AE＝ b∴S 梯形AEDB＝（ a+b）（a+b）＝a2+ab+ b2．又∵ S 梯形AEDB＝S△AEC+S△BCD+S△ABC＝ab+ ab+ c2＝ab+ c2．∴a2+ab+ b2＝ ab+ c2．整理，得 a2+b2＝c2．26．如图，正方形ABCD，点 E， F 分别在 AD， CD上，且 DE＝ CF， AF与 BE订交于点 G．（1）求证：BE＝AF；（2）若AB＝ 4，DE＝ 1，求AG的长．【剖析】（ 1）由正方形的性质得出∠BAE＝∠ ADF＝90°， AB＝ AD＝ CD，得出 AE＝ DF，由SAS证明△ BAE≌△ ADF，即可得出结论；（ 2 ）由全等三角形的性质得出∠EBA＝∠ FAD，得出∠ GAE+∠ AEG＝90°，所以∠ AGE＝90°，由勾股定理得出BE＝＝5，在Rt△ ABE中，由三角形面积即可得出结果．【解答】（ 1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ BAE＝∠ ADF＝90°， AB＝ AD＝CD，∵DE＝CF，∴ AE＝DF，在△ BAE和△ ADF中，，∴△ BAE≌△ ADF（ SAS），∴BE＝AF；（ 2）解：由（ 1）得：△BAE≌△ADF，∴∠ EBA＝∠ FAD，∴∠ GAE+∠ AEG＝90°，∴∠ AGE＝90°，∵AB＝4， DE＝1，∴ AE＝3，∴ BE＝＝＝5，在 Rt △ABE中，AB×AE＝BE×AG，∴ AG＝＝．27．在6×6 的方格纸中，点A， B， C都在格点上，按要求绘图：（ 1）在图（ 2）在图1 中找一个格点D，使以点 A， B，C， D为极点的四边形是平行四边形．2 中仅用无刻度的直尺，把线段AB三均分（保存绘图印迹，不写画法）．【剖析】（1）由勾股定理得：CD＝ AB＝ CD'＝＝；画出图形即可；，BD＝ AC＝BD'' ＝，AD'＝ BC＝ AD''（2）依据平行线分线段成比率定理画出图形即可．【解答】解：（ 1）由勾股定理得：CD＝ AB＝ CD'＝，BD＝AC＝BD''＝，AD'＝ BC＝ AD''＝；画出图形如图 1 所示；（ 2）如图 2 所示．28．某发掘机的底座高 AB ＝ 0.8 米，动臂 BC ＝米， CD ＝米， BC 与 CD 的固定夹角∠＝ 140°．初始地点如图 1，斗杆极点D 与铲斗极点E 所在直线垂直地面于点，BCDDEAM E测得∠ ＝ 70°（表示图 2）．工作时如图 3，动臂会绕点 B 转动，当点，，在CDEBCA B C同向来线时，斗杆极点D 升至最高点（表示图4）．（ 1）求发掘机在初始地点时动臂BC与AB 的夹角∠ABC 的度数．（ 2）问斗杆极点D 的最高点比初始地点高了多少米？（精准到0.1 米）（参照数据：sin50°≈ 0.77 ， cos50 °≈ 0.64 ，sin70°≈ 0.94 ，cos70 °≈ 0.34 ，≈1.73 ）【剖析】（ 1）过点 C 作 CG ⊥ AM 于点 G ，证明 AB ∥ CG ∥ DE ，再依据平行线的性质求得结果；（ 2）过点 C 作 CP ⊥ DE 于点 P ，过点 B 作 BQ ⊥ DE 于点 Q ，交 CG 于点 N ，如图 2，经过解直角三角形求得 DE ，过点 D 作 DH ⊥ AM 于点 H ，过点 C 作 CK ⊥ DH 于点 K ，如图 3，经过解直角三角形求得求得DH ，最后即可求得结果．【解答】解：（ 1）过点 C 作 CG ⊥ AM 于点 G ，如图 1，∵AB⊥AM， DE⊥AM，∴ AB∥CG∥ DE，∴∠ DCG＝180°﹣∠ CDE＝110°，∴ BCG＝∠ BCD﹣∠ GCD＝30°，∴∠ ABC＝180°﹣∠ BCG＝150°；（ 2）过点C作CP⊥DE于点P，过点B作BQ⊥DE于点Q，交CG于点N，如图 2，在 Rt △CPD中，DP＝CD×cos70 °≈ 0.51 （米），在Rt △BCN中，CN＝BC×cos30 °≈1.04 （米），所以， DE＝ DP+PQ+QE＝ DP+CN+AB＝（米），如图 3，过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K，在 Rt △CKD中，DK＝CD×sin50 °≈ 1.16（米），所以， DH＝ DK+KH＝（米），所以， DH﹣ DE＝（米），所以，斗杆极点 D的最高点比初始地点高了米．29．在以下图的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的极点叫格点，△ABC 的三个极点均在格点上，以点 A 为圆心的与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F．（1）求△ABC三边的长；（2）求图中由线段EB、BC、CF及所围成的暗影部分的面积．【剖析】（ 1）依据勾股定理即可求得；（ 2）依据勾股定理求得2 2 2AD，由（1）得， AB +AC＝BC，则∠BAC＝ 90°，依据S阴＝S△ABC﹣ S 扇形AEF即可求得．【解答】解：（ 1）＝＝ 2 ，ABAC＝＝2 ，BC＝＝4 ；（ 2）由（ 1）得，2+ 2 ＝2，AB AC BC∴∠ BAC＝90°，连结 AD， AD＝＝2 ，∴ S 阴＝ S△ABC﹣ S 扇形AEF＝AB?AC﹣2π ?AD＝ 20﹣ 5π．30．已知：△ABC是等腰直角三角形，∠ BAC＝90°，将△ ABC绕点C顺时针方向旋转获得△A′ B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′ D⊥AC，垂足为D，A′ D与B′C交于点 E．（1）如图 1，当∠CA′D＝ 15°时，作∠A′EC的均分线EF交BC于点F．①写出旋转角α 的度数；②求证： EA′+EC＝ EF；（ 2）如图 2，在（ 1）的条件下，设P 是直线 A′D 上的一个动点，连结PA， PF，若 AB ＝，求线段 PA+PF的最小值．（结果保存根号）【剖析】（ 1）①解直角三角形求出∠A′ CD即可解决问题．②连结 A′ F，设 EF交 CA′于点 O．在 EF时截取 EM＝EC，连结 CM．第一证明△ CFA′是等边三角形，再证明△FCM≌△ A′CE（ SAS），即可解决问题．（ 2）如图 2 中，连结A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延伸线于M．证明△A′EF≌△ A′ EB′，推出 EF＝EB′，推出 B′，F 对于 A′ E 对称，推出 PF＝ PB′，推出 PA+PF＝PA+PB′≥ AB′，求出 AB′即可解决问题．【解答】（ 1）①解：旋转角为 105°．原因：如图 1 中，∵A′ D⊥ AC，∴∠ A′ DC＝90°，∵∠CA′ D＝15°，∴∠ A′CD＝75°，∴∠ ACA′＝105°，∴旋转角为 105°．②证明：连结A′ F，设 EF交 CA′于点 O．在 EF时截取 EM＝ EC，连结 CM．∵∠ CED＝∠ A′CE+∠ CA′E＝45°+15°＝60°，∴∠ CEA′＝120°，∵FE均分∠ CEA′，∴∠ CEF＝∠ FEA′＝60°，∵∠ FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠ FCO＝∠ A′EO，∵∠ FOC＝∠ A′ OE，∴△ FOC∽△ A′OE，∴＝，∴＝，∵∠ COE＝∠ FOA′，∴△ COE∽△ FOA′，∴∠ FA′ O＝∠ OEC＝60°，∴△ A′ OF是等边三角形，∴CF＝CA′＝ A′ F，∵EM＝EC，∠ CEM＝60°，∴△ CEM是等边三角形，∠ECM＝60°， CM＝ CE，∵∠ FCA′＝∠ MCE＝60°，∴∠ FCM＝∠ A′CE，∴△ FCM≌△ A′CE（ SAS），∴ FM＝A′ E，∴ CE+A′ E＝ EM+FM＝ EF．（ 2）解：如图 2 中，连结A′ F， PB′， AB′，作 B′M⊥ AC交 AC的延伸线于M．由②可知，∠ EA′ F＝′ EA′ B′＝75°， A′E＝ A′ E， A′ F＝A′ B′，∴△ A′ EF≌△ A′ EB′，∴EF＝EB′，∴B′， F 对于 A′ E 对称，∴PF＝PB′，∴PA+PF＝ PA+PB′≥ AB′，在 Rt △CB′M中，CB′＝BC＝AB＝2，∠ MCB′＝30°，∴ B′ M＝ CB′＝1， CM＝，∴AB′＝＝＝．∴ PA+PF的最小值为．31．如图 1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α 获得△ CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且 A，D，E 三点在同向来线上．（ 1）填空：∠CDE＝（用含α 的代数式表示）；（ 2）如图 2，若α＝ 60°，请补全图形，再过点C作 CF⊥ AE于点 F，而后研究线段CF，AE， BE之间的数目关系，并证明你的结论；（3）若α＝ 90°，AC＝ 5 ，且点G知足∠AGB＝ 90°，BG＝ 6，直接写出点C到AG的距离．【剖析】（ 1）由旋转的性质可得CD＝ CE，∠ DCE＝α，即可求解；（ 2）由旋转的性质可得AD＝ BE，CD＝ CE，∠ DCE＝60°，可证△ CDE是等边三角形，由等边三角形的性质可得DF＝ EF＝，即可求解；（ 3）分点G在AB的上方和AB的下方两种状况议论，利用勾股定理可求解．【解答】解：（ 1）∵将△绕点按逆时针方向旋转角α 获得△CADCCBE ∴△ ACD≌△ BCE，∠ DCE＝α∴CD＝CE∴∠ CDE＝故答案为：（2）AE＝BE+CF原因以下：如图，∵将△ CAD绕点 C按逆时针方向旋转角60°获得△CBE∴△ ACD≌△ BCE∴AD＝BE， CD＝CE，∠ DCE＝60°∴△ CDE是等边三角形，且 CF⊥ DE∴DF＝EF＝∵AE＝AD+DF+EF∴AE＝BE+CF（ 3）如图，当点G在 AB上方时，过点C作 CE⊥ AG于点 E，∵∠ ACB＝90°， AC＝ BC＝5，∴∠ CAB＝∠ ABC＝45°， AB＝10∵∠ ACB＝90°＝∠ AGB∴点 C，点 G，点 B，点 A四点共圆∴∠ AGC＝∠ ABC＝45°，且 CE⊥ AG∴∠ AGC＝∠ ECG＝45°∴CE＝GE∵AB＝10， GB＝6，∠ AGB＝90°∴AG＝＝8∵AC2＝ AE2+CE2，。

2019年各地中考解析版数学试卷汇编：直角三角形与勾股定理 (Word版含解析)

直角三角形与勾股定理一．选择题（共12小题）1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（）A．3 B．3C．4D．22．如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为（）A．1 B．C．D．23．如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）A．B．C．D．4．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和5．如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y＝的图象分别与线段AB，BC交于点D，E，连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则k＝（）A．﹣20 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣86．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE ＝AF＝1，则GF的长为（）A．B．C．D．7．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC 的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于（）A．120°B．108°C．72°D．36°9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10 B．8 C．4D．210．满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为（）A．AB＝，BC＝4，AC＝5 B．AB：BC：AC＝3：4：5C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．|cos A﹣|+（tan B﹣）2＝0 11．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（）A．B．3 C．D．512．如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（）A．125°B．145°C．175°D．190°二．填空题（共12小题）13．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为度．14．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面积是．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝6cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为cm．16．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．17．把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝．18．如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6m，则旗杆AB的高度为m．19．如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为．20．问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．21．如图，等边三角形ABC内有一点P，分別连结AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．则S△ABP+S△BPC＝．22．无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有cm．23．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC 的中点，若EF＝1，则AB＝．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，DE为△ABC的中位线，延长BC至F，使CF＝BC，连接FE并延长交AB于点M．若BC＝a，则△FMB的周长为．三．解答题（共9小题）25．如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．①求证：EC＝BD；②若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．26．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．（1）求证：BE＝AF；（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．27．在6×6的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：（1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分（保留画图痕迹，不写画法）．28．某挖掘机的底座高AB＝0.8米，动臂BC＝1.2米，CD＝1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD＝140°．初始位置如图1，斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E，测得∠CDE＝70°（示意图2）．工作时如图3，动臂BC会绕点B转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点（示意图4）．（1）求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数．（2）问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，≈1.73）29．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F．（1）求△ABC三边的长；（2）求图中由线段EB、BC、CF及所围成的阴影部分的面积．30．已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．①写出旋转角α的度数；②求证：EA′+EC＝EF；（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接PA，PF，若AB ＝，求线段PA+PF的最小值．（结果保留根号）31．如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上．（1）填空：∠CDE＝（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若α＝60°，请补全图形，再过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若α＝90°，AC＝5，且点G满足∠AGB＝90°，BG＝6，直接写出点C到AG的距离．32．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B （8，6），C（0，6）．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A 运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ2＝y．（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：；（2）当PQ＝3时，求t的值；（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y＝（k≠0）经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．33．已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点．（1）如图1，求证：AB2＝4AD•BC；（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（）A．3 B．3C．4D．2【分析】连接AC，如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，从而得到∠3＝∠CDA，所以AC＝AD＝5，然后利用勾股定理计算AE的长．【解答】解：连接AC，如图，∵BA平分∠DBE，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，∴∠3＝∠CDA，∴AC＝AD＝5，∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°，∴AE＝＝＝2．故选：D．2．如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为（）A．1 B．C．D．2【分析】根据正六边的性质，正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，然后求出等边三角形的高即可．【解答】解：边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，所以原来的纸带宽度＝×2＝．故选：C．3．如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）A．B．C．D．【分析】设DE＝x，则AD＝8﹣x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD，过点C作CF⊥BG于F，由△CDE∽△BCF的比例线段求得结果即可．【解答】解：过点C作CF⊥BG于F，如图所示：设DE＝x，则AD＝8﹣x，根据题意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×6，解得：x＝4，∴DE＝4，∵∠E＝90°，由勾股定理得：CD＝，∵∠BCE＝∠DCF＝90°，∴∠DCE＝∠BCF，∵∠DEC＝∠BFC＝90°，∴△CDE∽△BCF，∴，即，∴CF＝．故选：A．4．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和【分析】根据勾股定理得到c2＝a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2＝a2+b2，阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），较小两个正方形重叠部分的长＝a﹣（c﹣b），宽＝a，则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选：C．5．如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y＝的图象分别与线段AB，BC交于点D，E，连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则k＝（）A．﹣20 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣8【分析】根据A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），可得矩形的长和宽，易知点D的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k的代数式表示另外一个坐标，由三角形相似和对称，可用求出AF的长，然后把问题转化到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k的值．【解答】解：过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于DE的对称点为F，连接DF、EF、BF，如图所示：则△BDE≌△FDE，∴BD＝FD，BE＝FE，∠DFE＝∠DBE＝90°易证△ADF∽△GFE∴，∵A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），∴AB＝OC＝EG＝4，OA＝BC＝8，∵D、E在反比例函数y＝的图象上，∴E（，4）、D（﹣8，）∴OG＝EC＝，AD＝﹣，∴BD＝4+，BE＝8+∴，∴AF＝，在Rt△ADF中，由勾股定理：AD2+AF2＝DF2即：（﹣）2+22＝（4+）2解得：k＝﹣12故选：C．6．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE ＝AF＝1，则GF的长为（）A．B．C．D．【分析】证明△BCE≌△CDF（SAS），得∠CBE＝∠DCF，所以∠CGE＝90°，根据等角的余弦可得CG的长，可得结论．【解答】解：正方形ABCD中，∵BC＝4，∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，∵AF＝DE＝1，∴DF＝CE＝3，∴BE＝CF＝5，在△BCE和△CDF中，，∴△BCE≌△CDF（SAS），∴∠CBE＝∠DCF，∵∠CBE+∠CEB＝∠ECG+∠CEB＝90°＝∠CGE，cos∠CBE＝cos∠ECG＝，∴，CG＝，∴GF＝CF﹣CG＝5﹣＝，故选：A．7．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC 的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S 关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据已知条件得到△ABC是等腰直角三角形，推出四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，当移动的距离＜a时，如图1S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝a2﹣t2；当移动的距离＞a时，如图2，S＝S△AC′H＝（2a﹣t）2＝t2﹣2at+2a2，根据函数关系式即可得到结论；【解答】解：∵在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵EF⊥BC，ED⊥AC，∴四边形EFCD是矩形，∵E是AB的中点，∴EF＝AC，DE＝BC，∴EF＝ED，∴四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，如图1当移动的距离＜a时，S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝a2﹣t2；当移动的距离＞a时，如图2，S＝S△AC′H＝（2a﹣t）2＝t2﹣2at+2a2，∴S关于t的函数图象大致为C选项，故选：C．8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于（）A．120°B．108°C．72°D．36°【分析】根据三角形内角和定理求出∠C＝90°﹣∠B＝54°．由直角三角形斜边上的中线的性质得出AD＝BD＝CD，利用等腰三角形的性质求出∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C ＝54°，利用三角形内角和定理求出∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°．再根据折叠的性质得出∠ADF＝∠ADC＝72°，然后根据三角形外角的性质得出∠BED＝∠BAD+∠ADF＝108°．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，∴∠C＝90°﹣∠B＝54°．∵AD是斜边BC上的中线，∴AD＝BD＝CD，∴∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°，∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°．∵将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，∴∠ADF＝∠ADC＝72°，∴∠BED＝∠BAD+∠ADF＝36°+72°＝108°．故选：B．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10 B．8 C．4D．2【分析】设CD＝5x，BD＝7x，则BC＝2x，由AC＝12即可求x，进而求出BC；【解答】解：∵∠C＝90°，cos∠BDC＝，设CD＝5x，BD＝7x，∴BC＝2x，∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，∴AD＝BD＝7x，∴AC＝12x，∵AC＝12，∴x＝1，∴BC＝2；故选：D．10．满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为（）A．AB＝，BC＝4，AC＝5 B．AB：BC：AC＝3：4：5C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．|cos A﹣|+（tan B﹣）2＝0【分析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．【解答】解：A、∵，∴△ABC是直角三角形，错误；B、∵（3x）2+（4x）2＝9x2+16x2＝25x2＝（5x）2，∴△ABC是直角三角形，错误；C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝，∴△ABC不是直角三角形，正确；D、∵|cos A﹣|+（tan B﹣）2＝0，∴，∴∠A＝60°，∠B＝30°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，错误；故选：C．11．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（）A．B．3 C．D．5【分析】先根据正方形的性质得出∠B＝90°，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理得出BC2，即可得出正方形的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3，∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3．故选：B．12．如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（）A．125°B．145°C．175°D．190°【分析】根据直角三角形的斜边上的中线的性质，即可得到△CDF是等边三角形，进而得到∠ACD＝60°，根据∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，即可得出∠CED＝115°，即可得到∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°．【解答】解：∵CD⊥AB，F为边AC的中点，∴DF＝AC＝CF，又∵CD＝CF，∴CD＝DF＝CF，∴△CDF是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∵∠B＝50°，∴∠BCD+∠BDC＝130°，∵∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，∴∠DCE+∠CDE＝65°，∴∠CED＝115°，∴∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°，故选：C．二．填空题（共12小题）13．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为60°或10 度．【分析】当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC＝90°或∠ACD＝90°，根据三角形的内角和定理可得结论．【解答】解：分两种情况：①如图1，当∠ADC＝90°时，∵∠B＝30°，∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；②如图2，当∠ACD＝90°时，∵∠A＝50°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，综上，则∠BCD的度数为60°或10°；故答案为：60°或10；14．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面积是 4 ．【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解．【解答】解：∵勾a＝6，弦c＝10，∴股＝＝8，∴小正方形的边长＝8﹣6＝2，∴小正方形的面积＝22＝4故答案是：415．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝6cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为（10﹣2）cm．【分析】过点A作AG⊥DE于点G，由旋转的性质推出∠AED＝∠ADG＝45°，∠AFD＝60°，利用锐角三角函数分别求出AG，GF，AF的长，即可求出CF＝AC﹣AF＝10﹣2．【解答】解：过点A作AG⊥DE于点G，由旋转知：AD＝AE，∠DAE＝90°，∠CAE＝∠BAD＝15°，∴∠AED＝∠ADG＝45°，在△AEF中，∠AFD＝∠AED+∠CAE＝60°，在Rt△ADG中，AG＝DG＝＝3，在Rt△AFG中，GF＝＝，AF＝2FG＝2，∴CF＝AC﹣AF＝10﹣2，故答案为：10﹣2．16．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．【分析】根据菱形的性质得到AB＝1，∠ABD＝30°，根据平移的性质得到A′B′＝AB＝1，∠A′B′D＝30°，当B′C⊥A′B′时，A'C+B'C的值最小，推出四边形A′B′CD是矩形，∠B′A′C＝30°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝1，∠A′B′D＝30°，当B′C⊥A′B′时，A'C+B'C的值最小，∵AB∥A′B′，AB＝A′B′，AB＝CD，AB∥CD，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是矩形，∠B′A′C＝30°，∴B′C＝，A′C＝，∴A'C+B'C的最小值为，故答案为：．17．把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝﹣．【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC＝2，BF＝AF＝，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B＝45°，∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝AB＝，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD＝BC＝2，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝，∴CD＝BF+DF﹣BC＝+﹣2＝﹣，故答案为：﹣．18．如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6m，则旗杆AB的高度为14.4 m．【分析】作DE⊥AB于E，则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，得出BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，求出∠ADC＝120°，证出∠CAD＝30°＝∠ACD，得出AD＝CD＝9.6m，在Rt△ADE中，由直角三角形的性质得出AE＝AD＝4.8m，即可得出答案．【解答】解：作DE⊥AB于E，如图所示：则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，∴BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，∴∠ADC＝90°+30°＝120°，∵∠ACB＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠CAD＝30°＝∠ACD，∴AD＝CD＝9.6m，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴AE＝AD＝4.8m，∴AB＝AE+BE＝4.8m+9.6m＝14.4m；故答案为：14.4．19．如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为21°．【分析】设∠ADE＝x，由等腰三角形的性质和直角三角形得出∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF ＝AE＝EF，得出DE＝CD，证出∠DCE＝∠DEC＝2x，由平行四边形的性质得出∠DCE＝∠BCD ﹣∠BCA＝63°﹣x，得出方程，解方程即可．【解答】解：设∠ADE＝x，∵AE＝EF，∠ADF＝90°，∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝EF，∵AE＝EF＝CD，∴DE＝CD，∴∠DCE＝∠DEC＝2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCA＝x，∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x，∴2x＝63°﹣x，解得：x＝21°，即∠ADE＝21°；故答案为：21°．20．问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是2．【分析】（1）在BC上截取BG＝PD，通过三角形求得证得AG＝AP，得出△AGP是等边三角形，得出∠AGC＝60°＝∠APG，即可求得∠APE＝60°，连接EC，延长BC到F，使CF＝PA，连接EF，证得△ACE是等边三角形，得出AE＝EC＝AC，然后通过证得△APE≌△ECF （SAS），得出PE＝PF，即可证得结论；（2）以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，可证△GMO≌△DME，可得GO＝DE，则MO+NO+GO＝NO+OE+DE，即当D、E、O、N四点共线时，MO+NO+GO 值最小，最小值为ND的长度，根据勾股定理先求得MF、DF，然后求ND的长度，即可求MO+NO+GO的最小值．【解答】（1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD，在△ABG和△ADP中，∴△ABG≌△ADP（SAS），∴AG＝AP，∠BAG＝∠DAP，∵∠GAP＝∠BAD＝60°，∴△AGP是等边三角形，∴∠AGC＝60°＝∠APG，∴∠APE＝60°，∴∠EPC＝60°，连接EC，延长BC到F，使CF＝PA，连接EF，∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，∴∠EAC＝60°，∠EPC＝60°，∵AE＝AC，∴△ACE是等边三角形，∴AE＝EC＝AC，∵∠PAE+∠APE+∠AEP＝180°，∠ECF+∠ACE+∠ACB＝180°，∠ACE＝∠APE＝60°，∠AED＝∠ACB，∴∠PAE＝∠ECF，在△APE和△ECF中∴△APE≌△ECF（SAS），∴PE＝PF，∴PA+PC＝PE；（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．∵△MGD和△OME是等边三角形∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，∴∠GMO＝∠DME在△GMO和△DME中∴△GMO≌△DME（SAS），∴OG＝DE∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO∴当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，∴∠NMD＝135°，∴∠DMF＝45°，∵MG＝．∴MF＝DF＝4，∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，∴ND＝＝＝2，∴MO+NO+GO最小值为2，故答案为2，21．如图，等边三角形ABC内有一点P，分別连结AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．则S△ABP+S△BPC＝24+16．【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，根据旋转的性质可得∠PBP′＝∠CAB＝60°，BP＝BP′，可得△BPP′为等边三角形，可得BP′＝BP＝8＝PP'，由勾股定理的逆定理可得，△APP′是直角三角形，由三角形的面积公式可求解．【解答】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，连接PP′，根据旋转的性质可知，旋转角∠PBP′＝∠CAB＝60°，BP＝BP′，∴△BPP′为等边三角形，∴BP′＝BP＝8＝PP'；由旋转的性质可知，AP′＝PC＝10，在△BPP′中，PP′＝8，AP＝6，由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形，∴S△ABP+S△BPC＝S四边形AP'BP＝S△BP'B+S△AP'P＝BP2+×PP'×AP＝24+16故答案为：24+1622．无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 5 cm．【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：杯子内的筷子长度为：＝15，则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣15＝5（cm）．故答案为：5．23．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC 的中点，若EF＝1，则AB＝ 4 ．【分析】根据三角形中位线定理求出CM，根据直角三角形的性质求出AB．【解答】解：∵E、F分别为MB、BC的中点，∴CM＝2EF＝2，∵∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，∴AB＝2CM＝4，故答案为：4．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，DE为△ABC的中位线，延长BC至F，使CF＝BC，连接FE并延长交AB于点M．若BC＝a，则△FMB的周长为．【分析】在Rt△ABC中，求出AB＝2a，AC＝a，在Rt△FEC中用a表示出FE长，并证明∠FEC＝30°，从而EM转化到MA上，根据△FMB周长＝BF+FE+EM+BM＝BF+FE+AM+MB＝BF+FE+AB可求周长．【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴AB＝2a，AC＝a．∵DE是中位线，∴CE＝a．在Rt△FEC中，利用勾股定理求出FE＝a，∴∠FEC＝30°．∴∠A＝∠AEM＝30°，∴EM＝AM．△FMB周长＝BF+FE+EM+BM＝BF+FE+AM+MB＝BF+FE+AB＝．故答案为．三．解答题（共9小题）25．如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．①求证：EC＝BD；②若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．【分析】①通过AAS证得△CAE≌△BCD，根据全等三角形的对应边相等证得结论；②利用等面积法证得勾股定理．【解答】①证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCD＝90°．∵∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠BCD．在△AEC与△BCD中，∴△CAE≌△BCD（AAS）．∴EC＝BD；②解：由①知：BD＝CE＝aCD＝AE＝b∴S梯形AEDB＝（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2．又∵S梯形AEDB＝S△AEC+S△BCD+S△ABC＝ab+ab+c2＝ab+c2．∴a2+ab+b2＝ab+c2．整理，得a2+b2＝c2．26．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．（1）求证：BE＝AF；（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．【分析】（1）由正方形的性质得出∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，得出AE＝DF，由SAS证明△BAE≌△ADF，即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得出∠EBA＝∠FAD，得出∠GAE+∠AEG＝90°，因此∠AGE＝90°，由勾股定理得出BE＝＝5，在Rt△ABE中，由三角形面积即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，∵DE＝CF，∴AE＝DF，在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF，∴∠EBA＝∠FAD，∴∠GAE+∠AEG＝90°，∴∠AGE＝90°，∵AB＝4，DE＝1，∴AE＝3，∴BE＝＝＝5，在Rt△ABE中，AB×AE＝BE×AG，∴AG＝＝．27．在6×6的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：（1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分（保留画图痕迹，不写画法）．【分析】（1）由勾股定理得：CD＝AB＝CD'＝，BD＝AC＝BD''＝，AD'＝BC＝AD''＝；画出图形即可；（2）根据平行线分线段成比例定理画出图形即可．【解答】解：（1）由勾股定理得：CD＝AB＝CD'＝，BD＝AC＝BD''＝，AD'＝BC＝AD''＝；画出图形如图1所示；（2）如图2所示．28．某挖掘机的底座高AB＝0.8米，动臂BC＝1.2米，CD＝1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD＝140°．初始位置如图1，斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E，测得∠CDE＝70°（示意图2）．工作时如图3，动臂BC会绕点B转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点（示意图4）．（1）求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数．（2）问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，≈1.73）【分析】（1）过点C作CG⊥AM于点G，证明AB∥CG∥DE，再根据平行线的性质求得结果；（2）过点C作CP⊥DE于点P，过点B作BQ⊥DE于点Q，交CG于点N，如图2，通过解直角三角形求得DE，过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K，如图3，通过解直角三角形求得求得DH，最后便可求得结果．【解答】解：（1）过点C作CG⊥AM于点G，如图1，∵AB⊥AM，DE⊥AM，∴AB∥CG∥DE，∴∠DCG＝180°﹣∠CDE＝110°，∴BCG＝∠BCD﹣∠GCD＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠BCG＝150°；（2）过点C作CP⊥DE于点P，过点B作BQ⊥DE于点Q，交CG于点N，如图2，在Rt△CPD中，DP＝CD×cos70°≈0.51（米），在Rt△BCN中，CN＝BC×cos30°≈1.04（米），所以，DE＝DP+PQ+QE＝DP+CN+AB＝2.35（米），如图3，过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K，在Rt△CKD中，DK＝CD×sin50°≈1.16（米），所以，DH＝DK+KH＝3.16（米），所以，DH﹣DE＝0.8（米），所以，斗杆顶点D的最高点比初始位置高了0.8米．29．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F．（1）求△ABC三边的长；（2）求图中由线段EB、BC、CF及所围成的阴影部分的面积．【分析】（1）根据勾股定理即可求得；（2）根据勾股定理求得AD，由（1）得，AB2+AC2＝BC2，则∠BAC＝90°，根据S阴＝S△ABC ﹣S扇形AEF即可求得．【解答】解：（1）AB＝＝2，AC＝＝2，BC＝＝4；（2）由（1）得，AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，连接AD，AD＝＝2，∴S阴＝S△ABC﹣S扇形AEF＝AB•AC﹣π•AD2＝20﹣5π．30．已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．①写出旋转角α的度数；②求证：EA′+EC＝EF；（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接PA，PF，若AB ＝，求线段PA+PF的最小值．（结果保留根号）【分析】（1）①解直角三角形求出∠A′CD即可解决问题．②连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．首先证明△CFA′是等边三角形，再证明△FCM≌△A′CE（SAS），即可解决问题．（2）如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．证明△A′EF≌△A′EB′，推出EF＝EB′，推出B′，F关于A′E对称，推出PF＝PB′，推出PA+PF ＝PA+PB′≥AB′，求出AB′即可解决问题．【解答】（1）①解：旋转角为105°．理由：如图1中，∵A′D⊥AC，∴∠A′DC＝90°，∵∠CA′D＝15°，∴∠A′CD＝75°，∴∠ACA′＝105°，∴旋转角为105°．②证明：连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，∴∠CEA′＝120°，∵FE平分∠CEA′，∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE，∴△FOC∽△A′OE，∴＝，∴＝，∵∠COE＝∠FOA′，∴△COE∽△FOA′，∴∠FA′O＝∠OEC＝60°，∴△A′OF是等边三角形，∴CF＝CA′＝A′F，∵EM＝EC，∠CEM＝60°，∴△CEM是等边三角形，∠ECM＝60°，CM＝CE，∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，∴∠FCM＝∠A′CE，∴△FCM≌△A′CE（SAS），∴FM＝A′E，∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．（2）解：如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′，∴△A′EF≌△A′EB′，∴EF＝EB′，∴B′，F关于A′E对称，∴PF＝PB′，∴PA+PF＝PA+PB′≥AB′，在Rt△CB′M中，CB′＝BC＝AB＝2，∠MCB′＝30°，∴B′M＝CB′＝1，CM＝，∴AB′＝＝＝．∴PA+PF的最小值为．31．如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上．（1）填空：∠CDE＝（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若α＝60°，请补全图形，再过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若α＝90°，AC＝5，且点G满足∠AGB＝90°，BG＝6，直接写出点C到AG的距离．【分析】（1）由旋转的性质可得CD＝CE，∠DCE＝α，即可求解；（2）由旋转的性质可得AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°，可证△CDE是等边三角形，由等边三角形的性质可得DF＝EF＝，即可求解；（3）分点G在AB的上方和AB的下方两种情况讨论，利用勾股定理可求解．【解答】解：（1）∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE∴△ACD≌△BCE，∠DCE＝α∴CD＝CE∴∠CDE＝故答案为：（2）AE＝BE+CF理由如下：如图，∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角60°得到△CBE∴△ACD≌△BCE∴AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°∴△CDE是等边三角形，且CF⊥DE∴DF＝EF＝∵AE＝AD+DF+EF∴AE＝BE+CF（3）如图，当点G在AB上方时，过点C作CE⊥AG于点E，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，AB＝10∵∠ACB＝90°＝∠AGB∴点C，点G，点B，点A四点共圆∴∠AGC＝∠ABC＝45°，且CE⊥AG∴∠AGC＝∠ECG＝45°∴CE＝GE∵AB＝10，GB＝6，∠AGB＝90°∴AG＝＝8∵AC2＝AE2+CE2，∴（5）2＝（8﹣CE）2+CE2，∴CE＝7（不合题意舍去），CE＝1若点G在AB的下方，过点C作CF⊥AG，同理可得：CF＝7∴点C到AG的距离为1或7．32．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B （8，6），C（0，6）．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A 运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ2＝y．（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）；（2）当PQ＝3时，求t的值；（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y＝（k≠0）经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．【分析】（1）过点P作PE⊥BC于点E，由点P，Q的出发点、速度及方向可找出当运动时间为t秒时点P，Q的坐标，进而可得出PE，EQ的长，再利用勾股定理即可求出y关于t 的函数解析式（由时间＝路程÷速度可得出t的取值范围）；（2）将PQ＝3代入（1）的结论中可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；（3）连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，利用勾股定理可求出OB的长，由BQ∥OP可得出△BDQ∽△ODP，利用相似三角形的性质结合OB＝10可求出OD＝6，由CB ∥OA可得出∠DOF＝∠OBC，在Rt△OBC中可求出sin∠OBC及cos∠OBC的值，由OF＝OD •cos∠OBC，DF＝OD•sin∠OBC可求出点D的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，此题得解．【解答】解：（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1所示．。

2019中考数学解直角三角形汇编

解直角三角形应用篇1．（2019山东泰安中考）（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．302．（2019山东淄博中考）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，则∠ABC等于（）A．130°B．120°C．110°D．100°3.（2019山东聊城中考）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体高度（如图①所示，CD 部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45︒，底端D点的仰角为30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4︒（如图②所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：sin63.40.89︒≈，cos63.40.45︒≈，tan63.4 2.00︒≈1.41≈1.73≈）的4. (2019甘肃中考7分)某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳篷”这-课题进行了探究，过程如下:问题提出:如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内.方案设计:如图2,该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳篷CD数据收集:通过查阅相关资料和实际测量:兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太阳光线DA 与遮阳篷CD的夹角∠ADC最大(∠ADC=77.44°):冬至这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角∠BDC最小(∠BDC=30.56°);窗户的高度AB=2m问题解决:根据上述方案及数据，求遮阳篷CD的长.(结果精确到0.1m,参考数据:sin30.56°≈0.51 ，cos30.56°≈0.86, tan30.56°≈0.59)5（2019广西中考）．小菁同学在数学实践活动中测量路灯的高度，如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为350，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为650，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin350≈0.6,cos350≈0.8,tan350≈0.7, sin650≈0.9, cos650≈0.4, tan650≈2.1）（）A．3.2米B．3.9米C．4.7米D．5.4米6.（2019河池中考）如图，在河对岸有一棵大树A，在河岸B点测得A在北偏东60°方向上，向东前进120m到达C点，测得A在北偏东30°方向上，求河的宽度（精确到0.1m）．参考数据：≈1.414，≈1.732．7．（2019广西贺州中考8）如图，在A处的正东方向有一港口B．某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B．求A，B间的距离．（≈1.73，≈1.4，结果保留一位小数）．8. （2019贵阳中考）如图所示是我国古代城市用以滞汰或分洪系统的局部截面原理图，图中OP 为下水管道口直径，O B 为可绕轴O 自由转动的阀门，平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水的压迫而关闭，以防止河水倒灌入城中，若阀门的直径OB=OP=100cm，OA 为检修时阀门开启的位置，且O A=OB.（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB 的取值范围；（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达O B位置是，在点A 处测得俯角∠CAB=67.5°，若此时点B 恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度，（结果保留小数点后一位）（2 =1.41,sin 67.5︒=0.92,cos67.5︒=0.38, tan 67.5︒=2.41,）sin 22.5︒=0.38,cos 22.5 =0.92, tan 22.5 = 0.419．（2019汉江油田中考）如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6m，则旗杆AB的高度为m．10．（2019黄石中考）如图，一轮船在M处观测灯塔P位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/小时的速度匀速航行2小时后到达N处，再观测灯塔P位于南偏西60°方向，若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处，此时轮船与灯塔之间的距离PT为海里（结果保留根号）．11。

2019年初中中考数学解直角三角形汇编

2019年初中中考数学解直角三角形汇编解直1．（2019山东泰安中考）（4分）如图港，尔后再沿北偏西40°方向航行至之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．32．（2019山东淄博中考）如图，小明从2019年初中中考数学解直角三角形汇编4.(题出:2进1行是1了炎某9热探方案设计:甘住的究2肃户阳:,中数窗据收集:光该考户，通7数上与又过分学方遮能阳篷CD查的夹角)课安计参照数据∠天方 0.1m,中小调的A温案，组查遮D暖及夏针研阳窗户的高°≈5（2A0B19路灯顶端O的仰角为65，广西≈0.8,tan35≈0.7,sin65则00.9,co中考 A．）．小上菁，考数据：≈同向学1在23偏数0小东学m时6数）．实到0践达米B．米C．4 ，≈．（2019贵阳中考）以下列图是我国古代城原理图，图中OP为下水管道口直径，OB为可绕轴O门，平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出水；当河水上涨时，阀门会因河水的压迫而关防范河水倒灌入城中，若阀门的直径OA为检修时阀门开启的地址，且OA=（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河10．（2019黄石中考）如图，一轮船在12．（2019常德中考）图1是一种淋浴点。

2019年全国各地中考数学试题分类汇编之专题28 解直角三角形(含解析)

解直角三角形一.选择题1. （2019•江苏苏州•3分）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度，将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为1.5m ，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30o ，则教学楼的高度是（）A ．55.5mB ．54mC ．19.5mD ．18mC【分析】考察30o 角的三角函数值，中等偏易题目【解答】过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，在Rt ADE V 中，tan30AE DE =o18m AE ∴== 18 1.519.5m AB ∴=+=故选CC A2．（2019•浙江嘉兴•3分）如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线P A 交OC 延长线于点P ，则P A 的长为（） A ．2 B ． C． D ．DE BC ==【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOP，根据切线的性质求出∠OAP＝90°，解直角三角形求出AP即可．【解答】解：连接OA，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，∵过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P，∴∠OAP＝90°，∵OA＝OC＝1，∴AP＝OAtan60°＝1×＝，故选：B．【点评】本题考查了切线的性质和圆周角定理、解直角三角形等知识点，能熟记切线的性质是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．3．（2019•浙江绍兴•4分）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）A．B．C．D．【分析】设DE＝x，则AD＝8﹣x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD，过点C作CF⊥BG于F，由△CDE∽△BCF的比例线段求得结果即可．【解答】解：过点C作CF⊥BG于F，如图所示：设DE＝x，则AD＝8﹣x，根据题意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×6，解得：x＝4，∴DE＝4，∵∠E＝90°，由勾股定理得：CD＝，∵∠BCE＝∠DCF＝90°，∴∠DCE＝∠BCF，∵∠DEC＝∠BFC＝90°，∴△CDE∽△BCF，∴，即，∴CF＝．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键．4 （2019•江苏泰州•10分）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C.D两点间的距离为4m，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m．求：（1）观众区的水平宽度AB；（2）顶棚的E处离地面的高度EF．（sin18°30′≈0.32，tanl8°30′≈0.33，结果精确到0.1m）【分析】（1）根据坡度的概念计算；（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，根据正切的定义求出EN，结合图形计算即可．【解答】解：（1）∵观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，∴AB＝2BC＝20（m），答：观众区的水平宽度AB为20m；（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，则四边形MFB C.MCDN为矩形，∴MF＝BC＝10，MN＝CD＝4，DN＝MC＝BF＝23，则EN＝DN•tan∠EDN≈7.59，∴EF＝EN+MN+MF＝7.59+4+10≈21.6（m），答：顶棚的E处离地面的高度EF约为21.6m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．5. （2019•湖南长沙•3分）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B 处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．（30+30）nmile【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．【解答】解：过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×＝30．在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝30，∴AB＝AD+BD＝30+30．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．故选：D．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．6. （2019•湖南长沙•3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A．2B．4C．5D．10【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH＝BD，推出CD+BD＝CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠ABE＝90°，∵tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍弃），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AC，∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值为4．故选：B．【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．10.二.填空题1. （2019•浙江金华•4分）图2.图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME，EF，FN是门轴的滑动轨道，∠E=∠F=90°，两门AB，CD的门轴A，B，C，D都在滑动轨道上．两门关闭时（图2），A，D分别在E，F处，门缝忽略不计（即B，C重合）；两门同时开启，A，D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B，C滑动；B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启。

解直角三角形的应用+几何小题 --2019中考真题汇编

001（2019•甘肃）在△ABC中，∠C＝90°，tan A，则cos B＝．002（2019•河北）如图，从点C观测点D的仰角是（）A．∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC003（2019•重庆）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（）（参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）A．17.0米B．21.9米C．23.3米D．33.3米004（2019•重庆）如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么建筑物AB的高度约为（）（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．65.8米B．71.8米C．73.8米D．119.8米005（2019•长春）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离C为（）A．3sinα米B．3cosα米C．米D．米006（2019•赤峰）如图，一根竖直的木杆在离地面3.1m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为m．（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）007（2019•广州）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m008（2019•广东）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是米（结果保留根号）．009（2019•广西）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB 为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A．3.2米B．3.9米C．4.7米D．5.4米010（2019•大连）如图，建筑物C上有一杆AB．从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A 的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为m（结果取整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．011（2019•辽阳）某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车（填“超速”或“没有超速”）（参考数据： 1.732）012（2019浙江杭州）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（）A．a sin x+b sin x B．a cos x+b cos xC．a sin x+b cos x D．a cos x+b sin x013（2019•杭州）在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cos C＝．014（2019•湖州）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）015（2019浙江金华）如图，矩形ABCD的对角线交于点O．已知AB＝m，∠BAC＝∠α，则下列结论错误的是（）A．∠BDC＝∠αB．BC＝m•tanαC．AO D．BD016（2019浙江金华）如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是．017（2019浙江金华）（2019•金华）图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME、EF、FN是门轴的滑动轨道，∠E＝∠F＝90°，两门AB、CD的门轴A、B、C、D都在滑动轨道上，两门关闭时（图2），A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）；两门同时开启，A、D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B、C滑动：B到达E 时，C恰好到达F，此时两门完全开启，已知AB＝50cm，CD＝40cm．（1）如图3，当∠ABE＝30°时，BC＝cm．（2）在（1）的基础上，当A向M方向继续滑动15cm时，四边形ABCD的面积为cm2．018（2019浙江宁波）如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为米．（精确到1米，参考数据： 1.414， 1.732）019（2019•衢州）如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是米（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．020（2019•温州）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（）A．米B．米C．米D．米021（2019•温州）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为分米；当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处，则B'E'﹣BE为分米．022（2019•舟山）如图，在△ABC中，若∠A＝45°，AC2﹣BC2AB2，则tan C＝．023（2019•黄石）如图，一轮船在M处观测灯塔P位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/小时的速度匀速航行2小时后到达N处，再观测灯塔P位于南偏西60°方向，若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处，此时轮船与灯塔之间的距离PT 为海里（结果保留根号）．024（2019•荆州）如图，灯塔A在测绘船的正北方向，灯塔B在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔B的正南方向，此时测得灯塔A在测绘船北偏西63.5°的方向上，则灯塔A，B间的距离为海里（结果保留整数）．（参考数据sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50， 2.24）025（2019•天门）如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6m，则旗杆AB的高度为m．026（2019•咸宁）如图所示，九（1）班数学课外活动小组在河边测量河宽AB（这段河流的两岸平行），他们在点C测得∠ACB＝30°，点D处测得∠ADB＝60°，CD＝80m，则河宽AB约为m（结果保留整数， 1.73）．027（2019•孝感）如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD＝20米，则BC＝米．028（2019•宜昌）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．029（2019•怀化）已知∠α为锐角，且sinα，则∠α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°030（2019•益阳）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（）A．a sinα+a sinβB．a cosα+a cosβC．a tanα+a tanβD．031（2019•长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．（30+30）nmile032（2019•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线x＝1处放置反光镜Ⅰ，在y轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段AB，其中点A（0，1），点B在点A上方，且AB＝1，在直线x＝﹣1处放置一个挡板Ⅲ，从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为．033（2019•常州）如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝．034（2019•苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18m的地面上，若测角仪的高度是1.5m．测得教学楼的顶部A 处的仰角为30°．则教学楼的高度是（）A．55.5m B．54m C．19.5m D．18m035（2019•徐州）如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°．若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为m．（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）036（2019•德州）如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO ＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）037（2019•泰安）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．30038（2019•威海）如图，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路AB走到山顶B点．已知坡角为20°，山高BC＝2千米．用科学计算器计算小路AB的长度，下列按键顺序正确的是（）A．B．C．D．039（2019•枣庄）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）040（2019•淄博）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，则∠ABC等于（）A．130°B．120°C．110°D．100°041（2019•乐山）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cos C．则AB边的长为．042）（2019•凉山州）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C，则sin B的值为（）A．B．C．D．043（2019•眉山）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，将△ABC绕点A 逆时针旋转得到△ADE，使得点D落在AC上，则tan∠ECD的值为．044（2019•绵阳）在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积是．045（2019•雅安）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sin A＝．046（2019•自贡）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A．B．C．D．。

解直角三角形的应用+几何小题 --2019中考真题汇编(教师版)

001（2019•甘肃）在△ABC中，∠C＝90°，tan A，则cos B＝．解：法一：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A，设a x，b＝3x，则c＝2x，∴cos B．法二：利用特殊角的三角函数值求解．∵tan A∴∠A＝30°，∵∠C＝90°∴∠B＝60°，∴cos B＝cos60°．故答案为：．002（2019•河北）如图，从点C观测点D的仰角是（）A．∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC 解：∵从点C观测点D的视线是CD，水平线是CE，∴从点C观测点D的仰角是∠DCE，故选：B．003（2019•重庆）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（）（参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）A．17.0米B．21.9米C．23.3米D．33.3米解：如图，设CD与EA交于F，∵1：2.4，∴设CF＝5k，AF＝12k，∴AC13k＝26，∴k＝2，∴AF＝10，CF＝24，∵AE＝6，∴EF＝6+24＝30，∵∠DEF＝48°，∴tan48° 1.11，∴DF＝33.3，∴CD＝33.3﹣10＝23.3，答：古树CD的高度约为23.3米，故选：C．004（2019•重庆）如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么建筑物AB的高度约为（）（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．65.8米B．71.8米C．73.8米D．119.8米解：过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BC＝CD＝52米，∴设DG＝x，则CG＝2.4x．在Rt△CDG中，∵DG2+CG2＝DC2，即x2+（2.4x）2＝522，解得x＝20，∴DG＝20米，CG＝48米，∴EG＝20+0.8＝20.8米，BG＝52+48＝100米．∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，∴四边形EGBM是矩形，∴EM＝BG＝100米，BM＝EG＝20.8米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝27°，∴AM＝EM•tan27°≈100×0.51＝51米，∴AB＝AM+BM＝51+20.8＝71.8米．005（2019•长春）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离C为（）A．3sinα米B．3cosα米C．米D．米解：由题意可得：sinα＝＝，故BC＝3sinα（m）．故选：A．006（2019•赤峰）如图，一根竖直的木杆在离地面3.1m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为8.1m．（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）解：如图：AC＝3.1m，∠B＝38°，∴AB，∴木杆折断之前高度＝AC+AB＝3.1+5＝8.1（m）007（2019•广州）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC，BC＝30m，∴tan∠BAC，解得，AC＝75，故选：A．008（2019•广东）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是（15+15）米（结果保留根号）．解：过点B作BE⊥AB于点E，在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15；可得CE＝BE×tan45°＝15米．在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15，可得AE＝BE×tan30°＝15米．故教学楼AC的高度是AC＝15米．答：教学楼AC的高度是（15）米．009（2019•广西）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB 为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A．3.2米B．3.9米C．4.7米D．5.4米解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，∵tan65°，∴OF＝x tan65°，∴BD＝3+x，∵tan35°，∴OF＝（3+x）tan35°，∴2.1x＝0.7（3+x），∴x＝1.5，∴OF＝1.5×2.1＝3.15，∴OE＝3.15+1.5＝4.65，故选：C．010（2019•大连）如图，建筑物C上有一杆AB．从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A 的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为3m（结果取整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．解：在Rt△BCD中，tan∠BDC，则BC＝CD•tan∠BDC＝10，在Rt△ACD中，tan∠ADC，则AC＝CD•tan∠ADC≈10×1.33＝13.3，∴AB＝AC﹣BC＝3.3≈3（m），故答案为：3．011（2019•辽阳）某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车没有超速（填“超速”或“没有超速”）（参考数据： 1.732）解：作AD⊥直线l于D，在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，∴BD＝AD＝100，在Rt△ADB中，tan∠ACD，则CD100173.2，∴BC＝173.2﹣100＝73.2（米），小汽车的速度为：0.073252.704（千米/小时），∵52.704千米/小时＜速60千米/小时，∴小汽车没有超速，故答案为：没有超速．012（2019浙江杭州）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（）A．a sin x+b sin x B．a cos x+b cos xC．a sin x+b cos x D．a cos x+b sin x解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，∴∠EAB＝x，∴∠FBA＝x，∵AB＝a，AD＝b，∴FO＝FB+BO＝a•cos x+b•sin x，故选：D．013（2019•杭州）在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cos C＝或．解：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC x，所以cos C；若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC x，所以cos C；综上所述，cos C的值为或．故答案为或．014（2019•湖州）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为120cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）解：过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，∵BO＝DO，∴OE平分∠BOD，∴∠BOE∠BOD74°＝37°，∴∠F AB＝∠BOE＝37°，在Rt△ABF中，AB＝85+65＝150cm，∴h＝AF＝AB•cos∠F AB＝150×0.8＝120cm，故答案为：120015（2019浙江金华）如图，矩形ABCD的对角线交于点O．已知AB＝m，∠BAC＝∠α，则下列结论错误的是（）A．∠BDC＝∠αB．BC＝m•tanαC．AO D．BD解：A、∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∴AO＝OB＝CO＝DO，∴∠DBC＝∠ACB，∴由三角形内角和定理得：∠BAC＝∠BDC＝∠α，故本选项不符合题意；B、在Rt△ABC中，tanα，即BC＝m•tanα，故本选项不符合题意；C、在Rt△ABC中，AC，即AO，故本选项符合题意；D、∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝m，∵∠BAC＝∠BDC＝α，∴在Rt△DCB中，BD，故本选项不符合题意；故选：C．016（2019浙江金华）如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是40°．解：过A点作AC⊥OC于C，∵∠AOC＝50°，∴∠OAC＝40°．故此时观察楼顶的仰角度数是40°．故答案为：40°．017（2019浙江金华）（2019•金华）图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME、EF、FN是门轴的滑动轨道，∠E＝∠F＝90°，两门AB、CD的门轴A、B、C、D都在滑动轨道上，两门关闭时（图2），A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）；两门同时开启，A、D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B、C滑动：B到达E 时，C恰好到达F，此时两门完全开启，已知AB＝50cm，CD＝40cm．（1）如图3，当∠ABE＝30°时，BC＝90﹣45cm．（2）在（1）的基础上，当A向M方向继续滑动15cm时，四边形ABCD的面积为2256 cm2．解：∵A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）且AB＝50cm，CD＝40cm．∴EF＝50+40＝90cm∵B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，∴B、C两点的路程之比为5：4（1）当∠ABE＝30°时，在Rt△ABE中，BE AB＝25cm，∴B运动的路程为（50﹣25）cm∵B、C两点的路程之比为5：4∴此时点C运动的路程为（50﹣25）（40﹣20）cm∴BC＝（50﹣25）+（40﹣20）＝（90﹣45）cm故答案为：90﹣45；（2）当A向M方向继续滑动15cm时，设此时点A运动到了点A'处，点B、C、D分别运动到了点B'、C'、D'处，连接A'D'，如图：则此时AA'＝15cm∴A'E＝15+25＝40cm由勾股定理得：EB'＝30cm，∴B运动的路程为50﹣30＝20cm∴C运动的路程为16cm∴C'F＝40﹣16＝24cm由勾股定理得：D'F＝32cm，∴四边形A'B'C'D'的面积＝梯形A'EFD'的面积﹣△A'EB'的面积﹣△D'FC'的面积30×4024×32＝2256cm2．∴四边形ABCD的面积为2256cm2．故答案为：2256．018（2019浙江宁波）如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为567米．（精确到1米，参考数据： 1.414， 1.732）解：如图，设线段AB交y轴于C，在直角△OAC中，∠ACO＝∠CAO＝45°，则AC＝OC．∵OA＝400米，∴OC＝OA•cos45°＝400200（米）．∵在直角△OBC中，∠COB＝60°，OC＝200米，∴OB400567（米）故答案是：567．019（2019•衢州）如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是 1.5米（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．解：∵sinα，∴AD＝AC•sinα≈2×0.77＝1.5，故答案为：1.5020（2019•温州）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（）A．米B．米C．米D．米解：作AD⊥BC于点D，则BD0.3，∵cosα，∴cosα，解得，AB米，故选：B．021（2019•温州）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为（5+5）分米；当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处，则B'E'﹣BE为4分米．解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．∵AM⊥CD，∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，∴四边形OQMP是矩形，∴QM＝OP，∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∵OP⊥CD，∴∠COP∠COD＝30°，∴QM＝OP＝OC•cos30°＝5（分米），∵∠AOC＝∠QOP＝90°，∴∠AOQ＝∠COP＝30°，∴AQ OA＝5（分米），∴AM＝AQ+MQ＝5+5．∵OB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝60°在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝2（分米），在Rt△PKE中，EK2（分米）∴BE＝10﹣2﹣2（8﹣2）（分米），在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝2（分米），在Rt△FJE′中，E′J2，∴B′E′＝10﹣（22）＝12﹣2，∴B′E′﹣BE＝4．故答案为5+5，4．022（2019•舟山）如图，在△ABC中，若∠A＝45°，AC2﹣BC2AB2，则tan C＝．解：如图，过B作BD⊥AC于D，∵∠A＝45°，∴∠ABD＝∠A＝45°，∴AD＝BD．∵∠ADB＝∠CDB＝90°，∴AB2＝AD2+DB2＝2BD2，BC2＝DC2+BD2，∴AC2﹣BC2＝（AD+DC）2﹣（DC2+BD2）＝AD2+DC2+2AD•DC﹣DC2﹣BD2＝2AD•DC＝2BD•DC，∵AC2﹣BC2AB2，∴2BD•DC2BD2，∴DC BD，∴tan C．故答案为．023（2019•黄石）如图，一轮船在M处观测灯塔P位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/小时的速度匀速航行2小时后到达N处，再观测灯塔P位于南偏西60°方向，若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处，此时轮船与灯塔之间的距离PT 为15海里（结果保留根号）．解：由题意得，MN＝15×2＝30海里，∵∠PMN＝30°，∠PNT＝60°，∴∠MPN＝∠PMN＝30°，∴PN＝MN＝30海里，∴PT＝PN•sin∠PNT＝15海里．故答案为：15．024（2019•荆州）如图，灯塔A在测绘船的正北方向，灯塔B在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔B的正南方向，此时测得灯塔A在测绘船北偏西63.5°的方向上，则灯塔A，B间的距离为22海里（结果保留整数）．（参考数据sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50， 2.24）解：由题意得，MN＝20，∠ANB＝63.5°，∠BMN＝45°，∠AMN＝∠BNM＝90°，∴BN＝MN＝20，如图，过A作AE⊥BN于E，则四边形AMNE是矩形，∴AE＝MN＝20，EN＝AM，∵AM＝MN•tan26.5°＝20×0.50＝10，∴BE＝20﹣10＝10，∴AB1022海里．故答案为：22．025（2019•天门）如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6m，则旗杆AB的高度为14.4m．解：作DE⊥AB于E，如图所示：则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，∴BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，∴∠ADC＝90°+30°＝120°，∵∠ACB＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠CAD＝30°＝∠ACD，∴AD＝CD＝9.6m，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴AE AD＝4.8m，∴AB＝AE+BE＝4.8m+9.6m＝14.4m；故答案为：14.4．026（2019•咸宁）如图所示，九（1）班数学课外活动小组在河边测量河宽AB（这段河流的两岸平行），他们在点C测得∠ACB＝30°，点D处测得∠ADB＝60°，CD＝80m，则河宽AB约为69m（结果保留整数， 1.73）．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，∴∠DAC＝30°，∴DA＝DC＝80，在Rt△ABD中，，∴4069（米），故答案为69．027（2019•孝感）如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD＝20米，则BC＝（2020）米．解：在Rt△PBD中，tan∠BPD，则BD＝PD•tan∠BPD＝20，在Rt△PBD中，∠CPD＝45°，∴CD＝PD＝20，∴BC＝BD﹣CD＝2020，故答案为：（2020）．028（2019•宜昌）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，∴AC5．∴sin∠BAC．故选：D．029（2019•怀化）已知∠α为锐角，且sinα，则∠α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°解：∵∠α为锐角，且sinα，∴∠α＝30°．故选：A．030（2019•益阳）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（）A．a sinα+a sinβB．a cosα+a cosβC．a tanα+a tanβD．解：在Rt△ABD和Rt△ABC中，AB＝a，tanα，tanβ，∴BC＝a tanα，BD＝a tanβ，∴CD＝BC+BD＝a tanα+a tanβ；故选：C．031（2019•长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．（30+30）nmile解：过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．在Rt△ACD中，cos∠ACD，∴CD＝AC•cos∠ACD＝6030．在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝30，∴AB＝AD+BD＝30+30．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．故选：D．032（2019•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线x＝1处放置反光镜Ⅰ，在y轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段AB，其中点A（0，1），点B在点A上方，且AB＝1，在直线x＝﹣1处放置一个挡板Ⅲ，从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为 1.5．解：当光线沿O、G、B、C传输时，过点B作BF⊥GH于点F，过点C作CE⊥GH于点E，则∠OGH＝∠CGE＝α，设GH＝a，则GF＝2﹣a，则tan∠OGH＝tan∠CGE，即：，即：，解得：a＝1，则α＝45°，∴GE＝CE＝2，y C＝1+2＝3，当光线反射过点A时，同理可得：y D＝1.5，落在挡板Ⅲ上的光线的长度＝CD＝3﹣1.5＝1.5，故答案为1.5．033（2019•常州）如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝．解：连接OB，作OD⊥BC于D，∵⊙O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，∴∠OBC＝∠OBA∠ABC＝30°，∴tan∠OBC，∴BD3，∴CD＝BC﹣BD＝8﹣3＝5，∴tan∠OCB．故答案为．034（2019•苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18m的地面上，若测角仪的高度是1.5m．测得教学楼的顶部A 处的仰角为30°．则教学楼的高度是（）A．55.5m B．54m C．19.5m D．18m解：过D作DE⊥AB，∵在D处测得教学楼的顶部A的仰角为30°，∴∠ADE＝30°，∵BC＝DE＝18m，∴AE＝DE•tan30°＝18m，∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝18+1.5＝19.5m，故选：C．035（2019•徐州）如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°．若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为262 m．（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）解：作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，∴EC＝AD＝62，在Rt△AEC中，tan∠EAC，则AE200，在Rt△AEB中，∠BAE＝45°，∴BE＝AE＝200，∴BC＝200+62＝262（m），则该建筑的高度BC为262m，故答案为：262．036（2019•德州）如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO ＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为 1.02米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）解：由题意可得：∵∠ABO＝70°，AB＝6m，∴sin70°0.94，解得：AO＝5.64（m），∵∠CDO＝50°，DC＝6m，∴sin50°0.77，解得：CO＝4.62（m），则AC＝5.64﹣4.62＝1.02（m），答：AC的长度约为1.02米．故答案为：1.02．037（2019•泰安）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．30解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30，∴AE＝BE AB＝30km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE BE＝10km，∴AC＝AE+CE＝30+10，∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，故选：B．038（2019•威海）如图，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路AB走到山顶B点．已知坡角为20°，山高BC＝2千米．用科学计算器计算小路AB的长度，下列按键顺序正确的是（）A．B．C．D．解：在△ABC中，sin A＝sin20°，∴AB，∴按键顺序为：2÷sin20＝故选：A．039（2019•枣庄）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为9.5m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）解：过D作DE⊥AB，∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，∴∠ADE＝53°，∵BC＝DE＝6m，∴AE＝DE•tan53°≈6×1.33≈7.98m，∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝7.98+1.5＝9.48m≈9.5m，故答案为：9.5040（2019•淄博）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，则∠ABC等于（）A．130°B．120°C．110°D．100°解：如图：∵小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，∴∠DAB＝40°，∠CBF＝20°，∵向北方向线是平行的，即AD∥BE，∴∠ABE＝∠DAB＝40°，∵∠EBF＝90°，∴∠EBC＝90°﹣20°＝70°，∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝40°+70°＝110°，故选：C．041（2019•乐山）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cos C．则AB边的长为．解：如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝2，COSC，∴，∴CH，∴AH，在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AH，故答案为．042（2019•凉山州）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C，则sin B的值为（）A．B．C．D．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ACD中，CD＝CA•cos C＝1，∴AD；在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD，∴AB2，∴sin B．故选：D．043（2019•眉山）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，将△ABC绕点A 逆时针旋转得到△ADE，使得点D落在AC上，则tan∠ECD的值为．解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝13．根据旋转性质可得AE＝13，AD＝5，DE＝12，∴CD＝8．在Rt△CED中，tan∠ECD．故答案为．044（2019•绵阳）在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积是75或25．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ABD中，AD＝AB•sin B＝10，BD＝AB•cos B＝10；在Rt△ACD中，AD＝10，AC＝5，∴CD5，∴BC＝BD+CD＝15或BC＝BD﹣CD＝5，∴S△ABC BC•AD＝75或25．故答案为：75或25．045（2019•雅安）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sin A＝．解：在Rt△ABC中，sin A，故答案为：．046（2019•自贡）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A．B．C．D．解：如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KD CF＝5，∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，∵AD是切线，点D是切点，∴AD⊥KD，∵AK＝13，DK＝5，∴AD＝12，∵tan∠EAO，∴，∴OE，∴AE，作EH⊥AB于H．∵S△ABE•AB•EH＝S△AOB﹣S△AOE，∴EH，∴AH，∴tan∠BAD，故选：B．。

2019年全国中考真题分类汇编(解直角三角形)

第19讲解直角三角形知识点1 锐角三角函数的定义知识点2 特殊角的三角函数值知识点3 解直角三角形知识点4 解直角三角形的实际应用（除解答题）知识点1 锐角三角函数的定义（2019·天水）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC 边上的点F处，那么sin∠EFC的值为.（2019·自贡）（2019·潍坊）（2018·台州）（2019·烟台）（2019·咸宁）答案：D（2018·宜昌）答案：D（2019·眉山）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝5，BC ＝12，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ，使得点D 落在AC 上，则tan ∠ECD 的值为23．（2019·张家界）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD= .知识点2 特殊角的三角函数值（2019·天津）答案：C（2019·怀化）知识点3 解直角三角形（2019·绵阳）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则（sinθ﹣cosθ）2＝（A）A．B．C．D．（2019·湘西）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长是（）A.10B.8（2019·北京）（2019·盐城）（2019·柳州）（2019·齐齐哈尔）答案：（2019·金华）答案：C（2019·凉山州）（2019·杭州）（2019·乐山）如图6，在△ABC 中，︒=∠30B ，2=AC ,53cos =C ，则AB 边的长为 516 .（2019·淄博）（2019·广安）答案：（2019·临沂）（2019·枣庄）（2019·黔东南）三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图20放置,点C在FD的延长线上,点B在ED 上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°，∠A=60°,AC=10,则CD的长度是.（2019·毕节）知识点4 解直角三角形的实际应用（除解答题）（2019·仙桃）如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD=9.6m，则旗杆AB的高度为m．（2019·广西北部湾）答案：C（2019·长春）答案：A（2019·益阳）答案：C（2019·孝感）如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P 到建筑物的距离为PD=20米，则BC= 米.（2019·咸宁）答案：69（2019·河北）答案：B（2019·黄石）答案：（2019·广州）如图1，有一斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30m ，斜坡的倾斜角是∠BAC ，若52tan =∠BAC ，则次斜坡的水平距离AC 为（ A ）（A ）75m （B ）50m （C ）30m （D ）12m（2019·广东中考）如图,某校教学楼AC 与实验楼BD 的水平间距CD=153米,在实验楼顶部B 点测得教学楼顶部A 点的仰角是30°,底部C 点的俯角是45°,则教学楼AC 的高度是（15+15√3）米(结果保留根号).（2019·杭州）（2019·荆州）（2019·长沙）答案：D（2019·温州）答案：B（2019·温州）答案：（2019·湖州）答案：120（2019·威海）（2019·宁波）答案：566α=时，人字梯顶端离地面的高度AD是（2019·衢州）如图，人字梯AB，AC的长都为2米.当50≈≈≈）.米（结果精确到0.1m.参考数据：sin500.77,cos500.64,tan50 1.19（2019·绍兴）答案：A（2019·泰安）（2019·重庆A卷）（2019·重庆B卷）（2019·德州）答案：1.02（2019·枣庄）。

2019中考数学试题分类汇编考点37锐角三角函数和解直角三角形含解析.doc

2019中考数学试题分类汇编：考点37锐角三角函数和解直角三角形一．选择题（共15小题）1．（2019?柳州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则sinB==（）A．B．C．D．【分析】首先利用勾股定理计算出AB长，再计算sinB即可．【解答】解：∵∠C=90°，BC=4，AC=3，∴AB=5，∴sinB==，故选：A．2．（2019?孝感）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则sinA等于（）A．B．C．D．【分析】先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8，∴BC===6，∴sinA===，故选：A．3．（2019?大庆）2cos60°=（）A．1 B．C．D．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案．【解答】解：2cos60°=2×=1．故选：A．4．（2019?天津）cos30°的值等于（）A．B．C．1 D．【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．【解答】解：cos30°＝．故选：B．5．（2019?贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）A．B．1 C．D．【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．【解答】解：连接BC，由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，则tan∠BAC=1，故选：B．6．（2019?金华）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（）A．B．C．D．【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；【解答】解：在Rt△ABC中，AB=，在Rt△ACD中，AD=，∴AB：AD=： =，故选：B．7．（2019?宜昌）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（）A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度．【解答】解：∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．故选：C．8．（2019?威海）如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x﹣x2刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画，下列结论错误的是（）A．当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3mB．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势C．小球落地点距O点水平距离为7米D．斜坡的坡度为1：2【分析】求出当y=7.5时，x的值，判定A；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出抛物线与直线的交点，判断C，根据直线解析式和坡度的定义判断D．【解答】解：当y=7.5时，7.5=4x﹣x2，整理得x2﹣8x+15=0，解得，x1=3，x2=5，∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5侧面cm，A错误，符合题意；y=4x﹣x2=﹣（x﹣4）2+8，则抛物线的对称轴为x=4，∴当x＞4时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，B正确，不符合题意；，解得，，，则小球落地点距O点水平距离为7米，C正确，不符合题意；∵斜坡可以用一次函数y=x刻画，∴斜坡的坡度为1：2，D正确，不符合题意；故选：A．9．（2019?淄博）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（）A．B．C．D．【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.15，然后利用计算器求锐角α．【解答】解：sinA===0.15，所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为故选：A．10．（2019?重庆）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米，升旗台坡面CD的坡度i=1：0.75，坡长CD=2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6）A．12.6米B．13.1米C．14.7米D．16.3米【分析】如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形．在Rt△CDJ中求出CJ、DJ，再根据，tan∠AEM=构建方程即可解决问题；【解答】解：如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形．在Rt△CJD中， ==，设CJ=4k，DJ=3k，则有9k2+16k2=4，∴k=，∴BM=CJ=，BC=MJ=1，DJ=，EM=MJ+DJ+DE=，在Rt△AEM中，tan∠AEM=，∴1.6=，解得AB≈13.1（米），故选：B．11．（2019?重庆）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（）A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°＝，构建方程即可解决问题；【解答】解：作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．在Rt△CDN中，∵==，设CN=4k，DN=3k，∴CD=10，∴（3k）2+（4k）2=100，∴k=2，∴CN=8，DN=6，∵四边形BMNC是矩形，，∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66在Rt△AEM中，tan24°＝，∴0.45=，∴AB=21.7（米），故选：A．12．（2019?长春）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（）A．800sinα米B．800tanα米C．米D．米【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=，即可解决问题；【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，∴tanα=，∴AB==．故选：D．13．（2019?香坊区）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120米，这栋楼的高度BC为（）A．160米B．（60+160）C．160米 D．360米【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，然后利用三角函数求解即可求得答案．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，在Rt△ABD中，BD=AD?tan30°=120×=40（m），在Rt△ACD中，CD=AD?tan60°=120×=120（m），∴BC=BD+CD=160（m）．故选：C．14．（2019?绵阳）一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（）（结果保留小数点后两位）（参考数据：≈1.732，≈1.414）A．4.64海里B．5.49海里C．6.12海里D．6.21海里【分析】根据题意画出图形，结合图形知∠BAC=30°、∠ACB=15°，作BD⊥AC于点D，以点B为顶点、BC为边，在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°，设BD=x，则AB=BE=CE=2x、AD=DE=x，据此得出AC=2x+2x，根据题意列出方程，求解可得．【解答】解：如图所示，由题意知，∠BAC=30°、∠ACB=15°，作BD⊥AC于点D，以点B为顶点、BC为边，在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°，则∠BED=30°，BE=CE，设BD=x，则AB=BE=CE=2x，AD=DE=x，∴AC=AD+DE+CE=2x+2x，∵AC=30，∴2x+2x=30，解得：x=≈5.49，故选：B．15．（2019?苏州）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（）A．40海里B．60海里C．20海里D．40海里【分析】首先证明PB=BC，推出∠C=30°，可得PC=2PA，求出PA即可解决问题；【解答】解：在Rt△PAB中，∵∠APB=30°，∴PB=2AB，由题意BC=2AB，∴PB=BC，∴∠C=∠CPB，∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°，∴∠C=30°，∴PC=2PA，∵PA=AB?tan60°，∴PC=2×20×=40（海里），故选：D．二．填空题（共17小题）16．（2019?北京）如图所示的网格是正方形网格，∠BAC ＞∠DAE．（填“＞”，“=”或“＜”）【分析】作辅助线，构建三角形及高线NP，先利用面积法求高线PN=，再分别求∠BAC、∠DAE的正弦，根据正弦值随着角度的增大而增大，作判断．【解答】解：连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，S△ANH=2×2﹣﹣×1×1=AH?NP，=PN，PN=，Rt△ANP中，sin∠NAP====0.6，Rt△ABC中，sin∠BAC===＞0.6，∵正弦值随着角度的增大而增大，∴∠BAC＞∠DAE，故答案为：＞．17．（2019?滨州）在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinB= ．【分析】直接根据题意表示出三角形的各边，进而利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：如图所示：∵∠C=90°，tanA=，∴设BC=x，则AC=2x，故AB=x，则sinB===．故答案为：．18．（2019?泰安）如图，在△ABC中，AC=6，BC=10，tanC=，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD=x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为S=x2．【分析】可在直角三角形CED中，根据DE、CE的长，求出△BED的面积即可解决问题．【解答】解：（1）在Rt△CDE中，tanC=，CD=x∴DE=x，CE=x，∴BE=10﹣x，∴S△BED=×（10﹣x）？x=﹣x2+3x．∵DF=BF，∴S=S△BED=x2，故答案为S=x2．19．（2019?无锡）已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于15或10．【分析】作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在Rt△ABD中求得AD、BD的值，再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得．【解答】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，在Rt△ACD中，∵AC=2，∴CD===，则BC=BD+CD=6，∴S△ABC=?BC?AD=×6×5=15；②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由①知，BD=5，CD=，则BC=BD﹣CD=4，∴S△ABC=?BC?AD=×4×5=10．综上，△ABC的面积是15或10，故答案为15或10．20．（2019?香坊区）如图，在△ABC中，AB=AC，tan∠ACB=2，D在△ABC内部，且AD=CD，∠ADC=90°，连接BD，若△BCD的面积为10，则AD的长为5．【分析】作辅助线，构建全等三角形和高线DH，设CM=a，根据等腰直角三角形的性质和三角函数表示AC和AM的长，根据三角形面积表示DH的长，证明△ADG≌△CDH（AAS），可得DG=DH=MG=，，列方程可得结论．AG=CH=a+，根据AM=AG+MG【解答】解：过D作DH⊥BC于H，过A作AM⊥BC于M，过D作DG⊥AM于G，设CM=a，∵AB=AC，∴BC=2CM=2a，∵tan∠ACB=2，∴=2，∴AM=2a，由勾股定理得：AC=a，S△BDC=BC?DH=10，=10，DH=，∵∠DHM=∠HMG=∠MGD=90°，∴四边形DHMG为矩形，∴∠HDG=90°=∠HDC+∠CDG，DG=HM，DH=MG，∵∠ADC=90°=∠ADG+∠CDG，∴∠ADG=∠CDH，在△ADG和△CDH中，∵，∴△ADG≌△CDH（AAS），∴DG=DH=MG=，AG=CH=a+，∴AM=AG+MG，即2a=a++，a2=20，在Rt△ADC中，AD2+CD2=AC2，∵AD=CD，∴2AD2=5a2=100，∴AD=5或﹣5（舍），故答案为：5．．21．（2019?眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD= 2 ．【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．【解答】解：如图，连接BE，∵四边形BCEK是正方形，∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK，∴BF=CF，根据题意得：AC∥BK，∴△ACO∽△BKO，∴KO：CO=BK：AC=1：3，∴KO：KF=1：2，∴KO=OF=CF=BF，在Rt△PBF中，tan∠BOF==2，∵∠AOD=∠BOF，∴tan∠AOD=2．故答案为： 222．（2019?德州）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是．【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：∵AB2=32+42=25、AC2=22+42=20、BC2=12+22=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，则sin∠BAC==，故答案为：．23．（2019?齐齐哈尔）四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90°，tan∠ABD=，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD= 17 ．【分析】作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，根据正切的定义分别求出AH、BH，根据勾股定理求出HD，得到BD，根据勾股定理计算即可．【解答】解：作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，∵tan∠ABD=，∴=，设AH=3x，则BH=4x，由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，解得，x=4，则AH=12，BH=16，在Rt△AHD中，HD==5，∴BD=BH+HD=21，∵∠ABD+∠CBD=90°，∠BCH+∠CBD=90°，∴∠ABD=∠CBH，∴=，又BC=10，∴BG=6，CG=8，∴DG=BD﹣BG=15，∴CD==17，故答案为：17．24．（2019?广州）如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC= ．【分析】根据直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵旗杆高AB=8m，旗杆影子长BC=16m，∴tanC=，故答案为：25．（2019?枣庄）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为 6.2 米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601】【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∴BC=AB?sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米），答：大厅两层之间的距离BC的长约为 6.2米．故答案为： 6.2．26．（2019?广西）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是40m（结果保留根号）【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD，再利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：由题意可得：∠BDA=45°，则AB=AD=120m，又∵∠CAD=30°，∴在Rt△ADC中，tan∠CDA=tan30°＝=，解得：CD=40（m），故答案为：40．27．（2019?宁波）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为1200（﹣1）米（结果保留根号）．【分析】在Rt△ACH和Rt△HCB中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．【解答】解：由于CD∥HB，∴∠CAH=∠ACD=45°，∠B=∠BCD=30°在Rt△ACH中，∵∴∠CAH=45°∴AH=CH=1200米，在Rt△HCB，∵tan∠B=∴HB====1200（米）．∴AB=HB﹣HA=1200﹣1200=1200（﹣1）米故答案为：1200（﹣1）28．（2019?黄石）如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为米，点A、D、E在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是100（1+）米．（结果保留根号）【分析】如图，利用平行线的性质得∠A=60°，∠B=45°，在Rt△ACD中利用正切定义可计算出AD=100，在Rt△BCD中利用等腰直角三角形的性质得BD=CD=100，然后计算AD+BD即可．【解答】解：如图，∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，∴∠A=60°，∠B=45°，在Rt△ACD中，∵tanA=，∴AD==100，在Rt△BCD中，BD=CD=100，∴AB=AD+BD=100+100=100（1+）．答：A、B两点间的距离为100（1+）米．故答案为100（1+）．29．（2019?咸宁）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m，那么该建筑物的高度BC约为300 m （结果保留整数，≈1.73）．【分析】在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD=AD?tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD=AD?tan∠CAD，再根据BC=BD+CD，代入数据计算即可．【解答】解：如图，∵在Rt△ABD中，AD=90，∠BAD=45°，∴BD=AD=110（m），∵在Rt△ACD中，∠CAD=60°，∴CD=AD?tan60°=110×=190（m），∴BC=BD+CD=110+190=300（m）答：该建筑物的高度BC约为300米．故答案为300．30．（2019?天门）我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A的北偏东45°方向上．在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18（1+）n mile处，则海岛A，C之间的距离为18n mile．【分析】作AD⊥BC于D，根据正弦的定义、正切的定义分别求出BD、CD，根据题意列式计算即可．【解答】解：作AD⊥BC于D，设AC=x海里，在Rt△ACD中，AD=AC×sin∠ACD=x，则CD=x，在Rt△ABD中，BD=x，则x+x=18（1+），解得，x=18，答：A，C之间的距离为18海里．故答案为：1831．（2019?潍坊）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行 1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达．（结果保留根号）【分析】如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，通过解直角△AQP、直角△BPQ求得PQ的长度，即MN的长度，然后通过解直角△BMN求得BM的长度，则易得所需时间．【解答】解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），所以 BQ=PQ﹣90．在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ?tan30°＝PQ（海里），所以 PQ﹣90=PQ，所以 PQ=45（3+）（海里）所以 MN=PQ=45（3+）（海里）在直角△BMN中，∠MBN=30°，所以 BM=2MN=90（3+）（海里）所以=（小时）故答案是：．32．（2019?济宁）如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是km．【分析】首先由题意可证得：△ACB是等腰三角形，即可求得BC的长，然后由在Rt△CBD中，CD=BC?sin60°，求得答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，根据题意得：∠CAD=90°﹣60°=30°，∠CBD=90°﹣30°=60°，∴∠ACB=∠CBD﹣∠CAD=30°，∴∠CAB=∠ACB，∴BC=AB=2km，在Rt△CBD中，CD=BC?sin60°=2×=（km）．故答案为：．三．解答题（共18小题）33．（2019?贵阳）如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：∵sinA=，sinB=∴c=，c=∴=根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．【分析】三式相等，理由为：过A作AD⊥BC，BE⊥AC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义表示出AD，在直角三角形ADC中，利用锐角三角函数定义表示出AD，两者相等即可得证．【解答】解： ==，理由为：过A作AD⊥BC，BE⊥AC，在Rt△ABD中，sinB=，即AD=csinB，在Rt△ADC中，sinC=，即AD=bsinC，∴csinB=bsinC，即=，同理可得=，则==．34．（2019?上海）如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=．（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．【分析】（1）过A作AE⊥BC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD 的长，进而求出AD的长，即可求出所求．【解答】解：（1）作A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，tan∠ABC==，AB=5，∴AE=3，BE=4，∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC==；（2）∵DF垂直平分BC，∴BD=CD，BF=CF=，∵tan∠DBF==，∴DF=，在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD==，∴AD=5﹣=，则=．35．（2019?自贡）如图，在△ABC中，BC=12，tanA=，∠B=30°；求AC和AB的长．【分析】如图作CH⊥AB于H．在Rt△求出CH、BH，这种Rt△ACH中求出AH、AC即可解决问题；【解答】解：如图作CH⊥AB于H．在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，∴CH=BC=6，BH==6，在Rt△ACH中，tanA==，∴AH=8，∴AC==10，∴AB=AH+BH=8+6．36．（2019?烟台）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）【分析】先求得AC=PCtan∠APC=87、BC=PCtan∠BPC=21，据此得出AB=AC﹣BC=87﹣21=66，从而求得该车通过AB段的车速，比较大小即可得．【解答】解：在Rt△APC中，AC=PCtan∠AP C=30tan71°≈30×2.90=87，在Rt△BPC中，BC=PCtan∠BPC=30tan35°≈30×0.70=21，则AB=AC﹣BC=87﹣21=66，∴该汽车的实际速度为=11m/s，又∵40km/h≈11.1m/s，∴该车没有超速．37．（2019?绍兴）如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F．已知AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，BD=40cm．（1）窗扇完全打开，张角∠CAB=85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数；（2）窗扇部分打开，张角∠CAB=60°，求此时点A，B之间的距离（精确到0.1cm）．（参考数据：≈1.732，≈2.449）【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质可以解答本题；（2）根据锐角三角函数和题意可以求得AB的长，从而可以解答本题．【解答】解：（1）∵AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，∴四边形ACDE是平行四边形，∴AC∥DE，∴∠DFB=∠CAB，∵∠CAB=85°，∴∠DFB=85°；（2）作CG⊥AB于点G，∵AC=20，∠CGA=90°，∠CAB=60°，∴CG=，AG=10，∵BD=40，CD=10，∴CB=30，∴BG==，∴AB=AG+BG=10+10≈10+10×2.449=34.49≈34.5cm，即A、B之间的距离为34.5cm．38．（2019?临沂）如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为 2.1m的圆形门？【分析】过B作BD⊥AC于D，解直角三角形求出AD=xm，CD=BD=xm，得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为 2.1m的圆形门，理由是：过B作BD⊥AC于D，∵AB＞BD，BC＞BD，AC＞AB，∴求出DB长和2.1m比较即可，设BD=xm，∵∠A=30°，∠C=45°，∴DC=BD=xm，AD=BD=xm，∵AC=2（+1）m，∴x+x=2（+1），∴x=2，即BD=2m＜2.1m，∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为 2.1m的圆形门．39．（2019?长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈141，≈1.73）【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程．【解答】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，∵AB⊥CD，sin30°＝，BC=80千米，∴CD=BC?sin30°=80×（千米），AC=（千米），AC+BC=80+40≈40×1.41+80=136.4（千米），答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；（2）∵cos30°＝，BC=80（千米），∴BD=BC?cos30°=80×（千米），∵tan45°＝，CD=40（千米），∴AD=（千米），∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2（千米），∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米．40．（2019?白银）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C 地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）【分析】过点C作CD⊥AB于点D，利用锐角三角函数的定义求出CD及AD的长，进而可得出结论．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ADC和Rt△BCD中，∵∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640，∴CD=320，AD=320，∴BD=CD=320，BC=320，∴AC+BC=640+320≈1088，∴AB=AD+BD=320+320≈864，∴1088﹣864=224（公里），答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里．41．（2019?随州）随州市新?水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2019年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD．（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质计算DE的长；（2）作AH⊥BC于H，如图2，由于BD=DE=3，则AB=3BD=15，在Rt△ABH中，根据等腰直角三角形的性质可计算出BH=AH=15，然后在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AC 的长．【解答】解：（1）∵∠ABC=∠DEB=45°，∴△BDE为等腰直角三角形，∴DE=BE=×6=3．答：最短的斜拉索DE的长为3m；（2）作AH⊥BC于H，如图2，∵BD=DE=3，∴AB=3BD=5×3=15，在Rt△ABH中，∵∠B=45°，∴BH=AH=AB=×15=15，在Rt△ACH中，∵∠C=30°，∴AC=2AH=30．答：最长的斜拉索AC的长为30m．42．（2019?遵义）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面 1.5m．（计算结果精确到0.1m，参考数据sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，吊臂AB的长为11.4 m．（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计）【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角函数解答即可；（2）过点D作DH⊥地面于H，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠BAC=64°，AC=5m，∴AB=（m）；故答案为：11.4；（2）过点D作DH⊥地面于H，交水平线于点E，在Rt△ADE中，∵AD=20m，∠DAE=64°，EH=1.5m，∴DE=sin64°×AD≈20×0.9≈18（m），即DH=DE+EH=18+1.5=19.5（m），答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5m．43．（2019?资阳）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高 1.5米．（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF=10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．【分析】（1）在Rt△ACD中，由AD=可得答案；（2）设AF=x米，则BF=AB+AF=9+x，在Rt△BEF中求得AD=BE==18+x，由cos∠CAD=可建立关于x的方程，解之求得x的值，即可得出AD的长，继而根据CD=ADsin∠CAD求得CD从而得出答案．【解答】解：（1）∵在Rt△ACD中，cos∠CAD=，AC=18、∠CAD=30°，∴AD====12（米），答：此时风筝线AD的长度为12米；（2）设AF=x米，则BF=AB+AF=9+x（米），在Rt△BEF中，BE===18+x（米），由题意知AD=BE=18+x（米），∵CF=10，∴AC=AF+CF=10+x，由cos∠CAD=可得=，解得：x=3+2，则AD=18+（3+2）=24+3，∴CD=ADsin∠CAD=（24+3）×=，则C1D=CD+C1C=+=，答：风筝原来的高度C1D为米．44．（2019?山西）祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量．测量结果如下表．项目内容课题测量斜拉索顶端到桥面的距离测量示意图说明：两侧最长斜拉索AC，BC相交于点C，分别与桥面交于A，B两点，且点A，B，C在同一竖直平面内．测量数据∠A的度数∠B的度数AB的长度38°28°234米……（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的距离（参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5）（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D．解直角三角形求出DC即可；（2）还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D．设CD=x米，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠A=38°．∵，∴．在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∠B=28°．∵，∴．∵AD+BD=AB=234，∴．解得x=72．答：斜拉索顶端点C到AB的距离为72米．（2）还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等．（答案不唯一）45．（2019?常德）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）【分析】作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，则EM=BC，在Rt△ABE、Rt△CDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度，进而可得出EF的长度，再在Rt△MEF中利用勾股定理即可求出EM的长，此题得解．【解答】解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示．∵AB=CD，AB+CD=AD=2，∴AB=CD=1．在Rt△ABE中，AB=1，∠A=37°，∴BE=AB?sin∠A≈0.6，AE=AB?cos∠A≈0.8．在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°，∴CF=CD?sin∠D≈0.7，D F=CD?cos∠D≈0.7．∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CM，又∵BE=CM，∴四边形BEMC为平行四边形，∴BC=EM，CM=BE．在Rt△MEF中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，∴EM=≈1.4，∴B与C之间的距离约为 1.4米．46．（2019?台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）【分析】作CE⊥BD于F，AF⊥CE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，则EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，再计算出∠CAF=28°，则在Rt△ACF中利用正弦可计算出CF，然后计算CF+EF即可．【解答】解：作CE⊥BD于F，AF⊥CE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，∴EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，∴∠CAF=∠CAH﹣∠HAF=118°﹣90°=28°，在Rt△ACF中，∵sin∠CAF=，∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23，∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m），答：操作平台C离地面的高度为7.6m．47．（2019?岳阳）图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为 3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽 2.55米，总高 3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）【分析】（1）构建直角△OMN，求ON的长，相加可得BN的长，即点M到地面的距离；（2）左边根据要求留0.65米的安全距离，即取CE=0.65，车宽EH=2.55，计算高GH的长即可，与 3.5作比较，可得结论．【解答】解：（1）如图，过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N，Rt△OMN中，∠NOM=60°，OM=1.2，∴∠M=30°，∴ON=OM=0.6，∴NB=ON+OB=3.3+0.6=3.9；即点M到地面的距离是 3.9米；（2）取CE=0.65，EH=2.55，∴HB=3.9﹣2.55﹣0.65=0.7，过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P，。

2019全国中考数学真题分类汇编：直角三角形、勾股定理及参考答案

一、选择题1．(2019 ·广元 ) 如图 , △ ABC中, ∠ABC＝90°,BA＝BC＝2, 将△ ABC绕点 C 逆时针旋转 60°获得2△DEC,连结 BD,则 BD的值是 ________【答案】8 4 3【分析】连结 AD,过点 D 作 DM⊥BC于点 M,DN⊥AC于点 N,易得△ ACD是等边三角形 , 四边形 BNDM是正方形 , 设 CM＝x, 则 DM＝MB＝x+2, ∵BC＝2, ∴CD＝AC＝2 2 , ∴在 Rt△MCD中, 由勾股定理可求得 ,x ＝ 3 1,DM＝MB＝2 2 23 1 ,∴在Rt△BDM中,BD ＝MD+MB＝843.2．（2019·绍兴）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，搁置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进步行旋转倾斜后，水面恰巧触到容器口边沿，图 2 是此时的表示图，则图 2 中水面高度为( )A. 24B. 32C. 12 34D. 20 3417 17 5 5【答案】 A【分析】如下图：设 DM＝x，则 CM＝8﹣x，依据题意得：（8﹣x+8）× 3×3＝3×3×5，解得： x＝4，∴ DM＝6，∵∠ D＝90°，由勾股定理得： BM＝B D 2DM 24232＝5，过点 B 作 BH⊥AH，∵∠ HBA+∠ABM＝∠ ABM+∠ABM＝90°，∴∠ HBA+＝∠ ABM，因此 Rt△ABH∽△ MBD，∴BH BD，即BH 3，解得BH＝24，即水面高度为24．AB BM855 53．（2019·益阳）已知M、N是线段AB上的两点，AM=MN=2，NB＝1，以点A 为圆心，AN长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连结AC、BC，则△ ABC必定是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】 B【分析】如下图，∵A M=MN=2，NB＝1，∴A B=AM=MN+NB＝2+2+1=5，AC=AN=AM+MN=2+2=4，BC=BM=BN+MN1+2=3，∴ AB2 52 25， AC2 42 16 ， BC2 32 9 ,∴AC2 BC2 AB2，∴△ ABC是直角三角形 .4．(2019 ·广元 ) 如图 , 在正方形 ABCD的对角线 AC上取一点 E. 使得∠ CDE＝15°, 连接 BE并延伸BE到 F, 使 CF＝CB,BF与 CD订交于点 H,若 AB＝1, 有以下结论 : ①BE＝DE;②CE+DE ＝EF;③S ＝ 1 3 , ④DH2 3 1.则此中正确的结论有( )△DEC4 12 HCA. ①②③B. ①②③ ④C.①②④D.①③④【答案】 A【分析】①利用正方形的性质, 易得△ BEC≌△ DEC,∴BE＝DE,①正确 ; ②在 EF上取一点 G,使 CG＝CE,∵∠ CEG＝∠ CBE+∠BCE＝60° , ∴△ CEG为等边三角形 , 易得△ DEC≌△ FGC,CE+DE＝EG+GF＝EF, ②正确 ; ③过点 D 作 DM⊥AC 于点 M,S△DEC＝S△DMC－S△DME＝1 3, ③正确 ; ④ tan ∠ HBC＝ 2 －3,∴HC＝2－ 3 ,DH＝1－HC＝ 3 －1,∴4 12DH3+1 ,④错误.应选A.HC5.(2019 ·宁波 ) 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一 , 在我国古算书《周髀算经》中早有记录 . 如图 1, 以直角三角形的各边分别向外作正方形 , 再把较小的两张正方形纸片按图 2 的方式搁置在最大正方形内 . 若知道图中暗影部分的面积 , 则必定能求出A. 直角三角形的面积B. 最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积D. 最大正方形与直角三角形的面积和【答案】 C【解题过程】设图中三个正方形边长从小到大挨次为:a,b,c, 则 S 暗影＝ c2－ a2－b2+b(a+b－c),由勾股定理可知,c 2＝a2－b2,∴S暗影＝c2－a2－b2+S重叠＝S重叠, 即S阴影＝S 重叠 , 应选 C.6.（2019·重庆 B 卷）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC与点 E，AE=1.连结 DE，将△ AED沿直线 AE翻折至△ ABC所在的平面，得△AEF，连结 DF.过点 D作 DG⊥DE交 BE于点 G.则四边形 DFEG的周长为()B. 4 2C. 2 2 4D. 3 2 2AEG FBD C12题图【答案】 D【分析】∵∠ ABC=45°， AD⊥BC，∴△ ABC是等腰直角三角形，∴A D=BD.∵B E⊥AC， AD⊥BD，∴∠ DAC=∠ DBH，∴△ D BH≌△DAC（ASA）.∵D G⊥DE，∴∠ BDG=∠ ADE，∴△ DBG≌△ DAE（ASA），∴B G=AE，DG=DE，∴△ DGE是等腰直角三角形，∴∠ DEC=45°.在 Rt△ABE中，BE= 3212 2 2，∴GE=2 2 1，2∴DE=22 .∵D，F 对于AE对称，∴∠ FEC=∠ DEC=45°，2∴EF=DE=DG22 ，DF=GE2 2 1，∴四边形的周长为 2（2 2 1 +2-2）=3 2+2.应选D．DFEG2 二、填空题7．（2019·苏州） “七巧板”是我们先人的一项优秀创建．能够拼出很多风趣的图形，被誉为“东方魔板”图①是由边长为10cm 的正方形薄板分为 7 块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形该“七巧板”中7 块图形之一的正方形边长为cm （结果保存根号） .（图①）（图②）（第 15 题）【答案】5 22【分析】此题考察了正方形性质、等腰直角三角形性质的综合，由题意可知，等腰三角形①与等腰三角形②全等，且它们的斜边长都为 1×10=5cm ，设正方形暗影部分2的边长为 x cm ，则 x =sin45 °= 2 ，解得 x = 5 2 ，故答案为 5 2 .5 22 2第 15 题答图8．（2019·威海）如图，在四边形ABCD中， AB∥ CD，连结 AC，BD.若∠ ACB＝90°， AC＝BC, AB＝BD, 则∠ADC＝°【答案】 105°【分析】过点 D作 DE⊥ AB于点 E，过点 C作 CF⊥ AB垂足为 F，由∠ ACB＝90°，AC＝BC,得△ABC是等腰直角三角形，由三线合一得 CF为中线，进而推出2CF＝AB，由 AB∥ CD得 DE＝CF，由 AB＝BD得 BD＝2DE，在 Rt△DEB中利用三角函数可得∠ ABD＝30°，再由AB＝BD得∠BAD＝∠ADB＝75°，最后由AB∥CD得∠BAD＋∠ADC＝180°求出∠ ADC＝105°.9．（2019·苏州）如图，一块舍有 45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为8 cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为 2 cm，则图中暗影部分的面积为cm ：（结果保存根号）．（第 18 题）【答案】 10+12 2第 18 题答图分析：如图，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为2 cm ，因此△ ABC与△ DEF 有公共心里 O ，连结 AD 、BE 、FC 并延伸订交于点 O ，过 O 作 OG ⊥AB 于G ，交 DE 于 H .则 GH =2 ， S= 1 OG × （ AB +AC +BC ） = 1△ABC22AB AC 8 8 2 ，∴ OH =8 5 2，∵AB AC BC8 8 8 48 2AB × AC ， ∴ OG =∵DE ∥AB ，∴△ ODE ∽△ OAB ，∴OHDE ∴ 8-5 2 DE ，解得 DE =6- 2 2 ，OGAB 8-4 2 8S 暗影 = S △ABC - S △DEF = 1821 212 2.622102210．（2019·江西）在平面直角坐标系中， A ， B ，C 三点的坐标分别为 (4 ，0) 、(4 ，4) ，(0 ，4) ，点 P 在 x 轴上，点 D 在直线 AB 上，若 DA ＝1，CP ⊥DP 于点 P ，则点 P的坐标为.【答案】（16 22 32 2 ，0）或（ 16 22 32 2，0）44【分析】设点P 的坐标为（ x，0），（ 1）当点 D 在线段 AB上时，如下图：∵DA=1，∴点 D的坐标为（4 2 ，2）.2 2∴ CD2 [4 (4 2)]2 ( 4 2 )2 ( 2 )2 1642( 2 )2 1742，2 2 2 2PD 2 [ x (4 2)]2 ( 2 )2 x2 2(4 2)x (4 2 )2 ( 2 )2 x2 (8 2) x 17 4 2 ，2 2 2 2 2 PC 2(x 4)242x28x32 .∵CP⊥DP于点 P，∴PC2PD 2CD 2，∴ x2 (8 2 ) x 17 4 2 x2 8x 32 17 4 2，即 2x2(162) x 320 ，∵△ =[ (162)]2 4 2 32 =232 2 ＜0，∴原方程无解，即切合要求的点P不存在 .（ 2）当点 D 在线段 BA的延伸线上，如下图：∵DA=1，∴点 D的坐标为（4 2 ，2）.2 2∴ CD2 [4 (4 2)]2 [ 4 ( 2)]2 ( 2 )2 (4 2 )2 17 42，2 2 2 2PD 2 [ x (4 2)]2 ( 2 )2 x2 2( 4 2) x (4 2 )2 ( 2)2 x2 (8 2 ) x 17 4 2 ，2 2 2 2 2 PC 2(x 4)242x28x32 .∵CP⊥DP于点 P，∴PC2PD 2CD 2，∴ x2 (8 2) x 17 4 2 x2 8x 32 17 4 2，即 2x2(162) x 320 ，∵△ =[ (16 2)]2 4232= 2 322＞，∴ x 16 2 2 322 16 2 2322，2 2 4∴点 P 的坐标为（16 22 32 2 ，0）或（ 16 2 2 32 2 ，0）.4 411.(2019 ·枣庄 ) 把两个相同大小含 45°的三角尺按如下图的方式搁置 , 此中一个三角尺的锐角极点与另一个三角尺的直角极点重合于点A, 且此外三个锐角极点B,C,D 在同向来线上 , 若 AB＝2, 则 CD＝________.【答案】6－ 2【分析】在等腰直角△ ABC中, ∵AB＝2, ∴BC＝2 2 , 过点 A 作 AM⊥BD于点 M,则 AM ＝MC＝1 BC＝2 , 在 Rt△AMD中,AD＝BC＝2 2 ,AM＝2 , ∴MD＝6 , ∴CD＝MD－MC＝6－22 .12. (2019 ·巴中 ) 如图 , 等边三角形 ABC内有一点 P, 分别连结 AP,BP,CP,若 AP＝6,BP＝8,CP＝10, 则 S△ABP+S△BPC＝________.【答案】 16 3 +24【分析】将△ ABP绕点 B 顺时针旋转 60°到△ CBP', 连结 PP', 因此 BP＝BP', ∠PBP' ＝60°, 因此△ BPP'是等边三角形 , 其边长 BP为 8, 因此 S△BPP'＝16 3 , 由于 PP' ＝8,P'C2 2 2 ＝24, 因此 S＝PA＝6,PC＝10, 因此 PP' +P'C ＝PC, 因此△ PP'C 是直角三角形 ,S△PP'C △ABP+S△ BPC＝S△ BPP'+S△PP'C＝16 3 +24..三、解答题13.(2019 ·巴中 ) 如图 , 等腰直角三角板如图搁置, 直角极点 C在直线 m上, 分别过点A,B 作 AE⊥直线 m于点 E,BD⊥直线 m与点 D.（1）求证 :EC＝BD;（2）若设△ AEC三边分别为 a,b,c, 利用此图证明勾股定理 .证明：（1）∵△ ABC是等腰直角三角形 ,∴∠ ACB＝ 90°,AC＝BC, ∴∠ ACE+∠BCD＝90°,∵AE⊥EC, ∴∠ EAC+∠ACE＝90°, ∴∠ BCD＝∠ CAE,∵B D⊥CD, ∴∠ AEC＝∠ CDB＝ 90°,∴△ AEC≌△ CDB(AAS), ∴EC＝BD.（2）∵△ AEC≌△ CDB,△ AEC三边分别为 a，b，c, ，∴BD＝EC＝ a,CD＝AE＝b,BC＝ AC＝c,1 (AE+BD)ED＝1 (a+b)(a+b),∴S梯形＝2 2S 梯形＝1 ab+ 1 c2+1 ab，22 2∴ 1 (a+b)(a+b) ＝ 1 ab+1 c2+ 1 ab,2 2 2 2整理可得 a2 +b2＝c2, 故勾股定理得证 .。

2019年全国中考数学真题180套分类汇编：解直角三角形【含解析】

解直角三角形
一、
选择题
1. （ 2018?湖南衡阳 , 第 10 题 3 分）如图，一河坝的横断面为等腰梯形
AB 的坡度 i=1 ： 1.5 ，则坝底 AD的长度为（
）
ABCD，坝顶宽 10 米，坝高 12 米，斜坡
A． 26 米
B． 28 米
C． 30 米
D． 46 米
考点：
解直角三角形的应用 - 坡度坡角问题． .
BD和 CD的长
（ 2）在 Rt△ACD中，利用 sin ∠ACD= ，代入数值求出 AC的长度．
解答：解：（1）过点 A 作 AD⊥BE 于 D，设山 AD的高度为 xm，
在 Rt △ABD中， ∵∠ ADB=90°， tan31 °＝，
∴BD=
≈=x，
在 Rt△ACD中， ∵∠ ADC=9°0 ， tan39 °＝，
出相关线段的长度．
4．（ 2018?山西，第 21 题 7 分）如图，点 A、 B、C 表示某旅游景区三个缆站的钢缆，已知 A、 B、C 三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度
AA′， BB′， CC′分别为 110 米、 310 米、
710 米，钢缆 AB的坡度 i 1=1：2，钢缆 BC的坡度 i 2=1：1，景区因改造缆车线路，需要从 A 到 C直线架设一条钢
﹣ （答对 1 个给 2 分，多答或含有错误答案不得分）
．
考点：解直角三角形． .
专题：分类讨论．分析：分两种情况：过点 B 或 C作 AC或 AB上的高，由勾股定理可得出三角形的底和高，再求面积即可．
解答：解：当∠Ｂ为钝角时，如图 1，过点 B 作 BD⊥AC，
∵∠ BAC=30°， ∴BD=AB，

2019年中考数学试题分类汇编 -- 解直角三角形

F ED CB A 2019中考分类汇编解直角三角形一、选择题：2.（2019年天津）︒60sin 2的值等于A. 1B. 2C. 3D. 2 【答案】B【解析】锐角三角函数计算，︒60sin 2=2×23=3，故选A.2.（2019年厦门）如图1，在△ACB 中，∠C ＝90°，则BCAB 等于A .sin AB . sin BC .tan AD . tan B A 【解析】本题考查了锐角三角函数的定义。

即在直角三角形中，锐角A 的对边与斜边的比叫做锐角A 的正弦。

，锐角A 的邻边与斜边的比叫做锐角A 的余弦。

，锐角A 的对边与邻边的比叫做锐角A 的正切。

根据定义可知BCAB 是锐角A 的正弦或锐角B 的余弦，结合选项知选A.10.（2019重庆B ）如图，AB 是垂直于水平面的建筑物，为测量AB 的高度，小红从建筑底端B 点出发，沿水平方向行走了52米到达点C ，然后沿斜坡CD 前进，到达坡顶D 点处，DC=BC ，在点D 处放置测角仪，测角仪支架DE 的高度为0.8米，在E 点处测得建筑物顶端A 点的仰角∠AEF 为27°（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内）.斜坡CD 的坡度（或坡比）i =1︰2.4，那么建筑物AB 的高度约为（）（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A 、65.8米；B 、71.8米；C 、73.8米；D 、119.8米. 提示：作DG ⊥BC 于G ，延长EF 交AB 于H.因为DC=BC=52，i =1︰2.4，易得DG=20，CG=48，所以BH=DE+DG=20.8，EH=BC+CG=100，所以AH=51.答案B.10．（2019年重庆A ）（4分）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i ＝1：2.4的山坡AB 上发现有一棵古树CD ．测得古树底端C 到山脚点A 的距离AC ＝26米，在距山脚点A 水平距离6米的点E 处，测得古树顶端D 的仰角∠AED ＝48°（古树CD 与山坡AB 的剖面、点E 在同一平面上，古树CD 与直线AE 垂直），则古树CD 的高度约为（）（参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）图1 CBAA．17.0米B．21.9米C．23.3米D．33.3米【分析】如图，根据已知条件得到＝1：2.4＝，设CF＝5k，AF＝12k，根据勾股定理得到AC＝＝13k＝26，求得AF＝10，CF＝24，得到EF＝6+24＝30，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：如图，∵＝1：2.4＝，∴设CF＝5k，AF＝12k，∴AC＝＝13k＝26，∴k＝2，∴AF＝10，CF＝24，∵AE＝6，∴EF＝6+24＝30，∵∠DEF＝48°，∴tan48°＝＝＝1.11，∴DF＝33.3，∴CD＝33.3﹣10＝23.3，答：古树CD的高度约为23.3米，故选：C．8．（2019浙江温州）（4分）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（）A．米B．米C．米D．米【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出AB的长．【解答】解：作AD⊥BC于点D，则BD＝0.3＝，∵cosα＝，∴sinα＝，解得，AB＝米，故选：B．6．（2019浙江金华丽水）（3分）如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置表述正确的是（）A．在南偏东75°方向处B．在5km处C．在南偏东15°方向5km处D．在南偏东75°方向5km处【分析】根据方向角的定义即可得到结论．【解答】解：由图可得，目标A在南偏东75°方向5km处，故选：D．【点评】此题主要考查了方向角，正确理解方向角的意义是解题关键．2（2019长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C 的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile 的小岛A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C 的南偏东45°方向上的B 处，这时轮船B 与小岛A 的距离是A ．303 n mile B ．60 n mile C ．120 n mile D ．(30303)+ n mile3．（2019河北）（3分）如图，从点C 观测点D 的仰角是（）A ．∠DABB ．∠DCEC ．∠DCAD ．∠ADC【分析】根据仰角的定义进行解答便可．【解答】解：∵从点C 观测点D 的视线是CD ，水平线是CE ， ∴从点C 观测点D 的仰角是∠DCE ，故选：B ．8．（2019苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度，将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为183m 的地面上，若测角仪的高度为1.5m ，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30，则教学楼的高度是（） A ．55.5mB ．54mC ．19.5mD ．18m8．【分析】考察30角的三角函数值，中等偏易题目【解答】过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，在Rt ADE 中，tan30AEDE= 318318m 3AE ∴=⨯= 30°CD AB183DE BC ==30°AE18 1.519.5m AB ∴=+=故选C9．（2019四川凉山州）（4分）如图，在△ABC 中，CA ＝CB ＝4，cos C ＝，则sin B 的值为（）A ．B ．C ．D ．【分析】过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，在Rt △ACD 中可求出AD ，CD 的长，在Rt △ABD 中，利用勾股定理可求出AB 的长，再利用正弦的定义可求出sin B 的值．【解答】解：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，如图所示．在Rt △ACD 中，CD ＝CA •cos C ＝1， ∴AD ＝＝；在Rt △ABD 中，BD ＝CB ﹣CD ＝3，AD ＝，∴AB ＝＝2，∴sin B ＝＝．故选：D ．【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD ，AB 的长是解题的关键．3．（2019广州）（3分）如图，有一斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30m ，斜坡的倾斜角是∠BAC ，若tan ∠BAC ＝，则此斜坡的水平距离AC 为（）A．75m B．50m C．30m D．12m【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决．【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m，∴tan∠BAC＝，解得，AC＝75，故选：A．9．(2019浙江杭州)（3分）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（）A．a sin x+b sin x B．a cos x+b cos xC．a sin x+b cos x D．a cos x+b sin x【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A到OC 的距离，本题得以解决．【解答】解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，∴∠EAB＝x，∴∠FBA＝x，∵AB＝a，AD＝b，∴FO＝FB+BO＝a•cos x+b•sin x，故选：D．8．（2019浙江金华丽水）（3分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O．已知AB＝m，∠BAC ＝∠α，则下列结论错误的是（）A．∠BDC＝∠αB．BC＝m•tanαC．AO＝D．BD＝【分析】根据矩形的性质得出∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，AB＝DC，再解直角三角形求出即可．【解答】解：A、∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∴AO＝OB＝CO＝DO，∴∠DBC＝∠ACB，∴由三角形内角和定理得：∠BAC＝∠BDC＝∠α，故本选项不符合题意；B、在Rt△ABC中，tanα＝，即BBC＝m•tanα，故本选项不符合题意；C、在Rt△ABC中，AC＝，即AO＝，故本选项符合题意；D、∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝m，∵∠BAC＝∠BDC＝α，∴在Rt△DCB中，BD＝，故本选项不符合题意；故选：C．8．（2019山东泰安）（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．30【分析】根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30，∴AE＝BE＝AB＝30km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE＝BE＝10km，∴AC＝AE+CE＝30+10，∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单．3．（2019山东威海）（（3分）如图，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路AB走到山顶B点．已知坡角为20°，山高BC＝2千米．用科学计算器计算小路AB的长度，下列按键顺序正确的是（）A．B．C．D．【分析】在△ABC中，通过解直角三角形可得出sin A＝，则AB＝，即可得出结论．【解答】解：在△ABC中，sin A＝sin20°＝，∴AB＝＝，∴按键顺序为：2÷sin20＝故选：A．11．（2019湖北宜昌）（3分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．【分析】过C作CD⊥AB于D，首先根据勾股定理求出AC，然后在Rt△ACD中即可求出sin∠BAC的值．【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝5．∴sin∠BAC＝＝．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．11．（2019广西南宁）（3分）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C 处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A．3.2米B．3.9米C．4.7米D．5.4米【分析】过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．【解答】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，∵tan65°＝，∴OF＝x tan65°，∴BD＝3+x，∵tan35°＝，∴OF＝（3+x）tan35°，∴2.1x＝0.7（3+x），∴x＝1.5，∴OF＝1.5×2.1＝3.15，∴OE＝3.15+1.5＝4.65，故选：C．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．11．（2019年广西北部湾经济）（3分）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A．3.2米B．3.9米C．4.7米D．5.4米【分析】过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．【解答】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，∵tan65°＝，∴OF＝x tan65°，∴BD＝3+x，∵tan35°＝，∴OF＝（3+x）tan35°，∴2.1x＝0.7（3+x），∴x＝1.5，∴OF＝1.5×2.1＝3.15，∴OE＝3.15+1.5＝4.65，故选：C．10．（2019湖南长沙）（3分）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．（30+30）nmile【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．【解答】解：过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．在Rt△ACD中，cos∠ACD＝，∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×＝30．在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝30，∴AB＝AD+BD＝30+30．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．故选：D．8．（2019湖南怀化）（4分）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】根据特殊角的三角函数值解答．【解答】解：∵∠α为锐角，且sinα＝，∴∠α＝30°．故选：A．【点评】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．8．（2019湖南益阳）（4分）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（）A．a sinα+a sinβB．a cosα+a cosβC．a tanα+a tanβD．+【分析】在Rt△ABD和Rt△ABC中，由三角函数得出BC＝a tanα，BD＝a tanβ，得出CD ＝BC+BD＝a tanα+a tanβ即可．【解答】解：在Rt△ABD和Rt△ABC中，AB＝a，tanα＝，tanβ＝，∴BC＝a tanα，BD＝a tanβ，∴CD＝BC+BD＝a tanα+a tanβ；故选：C．二、填空题14．（2019四川乐山）（3分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cos C＝．则AB 边的长为．【分析】如图，作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AH，再根据AB＝2AH即可解决问题．【解答】解：如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝2，COSC＝，∴＝，∴CH＝，∴AH＝＝＝，在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AH＝，故答案为．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．16．（2019浙江温州）（5分）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为（5+5）分米；当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处，则B'E'﹣BE为4分米．【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．【解答】解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．∵AM⊥CD，∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，∴四边形OQMP是矩形，∴QM＝OP，∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∵OP⊥CD，∴∠COP＝∠COD＝30°，∴QM＝OP＝OC•cos30°＝5（分米），∵∠AOC＝∠QOP＝90°，∴∠AOQ＝∠COP＝30°，∴AQ＝OA＝5（分米），∴AM＝AQ+MQ＝5+5．∵OB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝60°在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝2（分米），在Rt△PKE中，EK＝＝2（分米）∴BE＝10﹣2﹣2＝（8﹣2）（分米），在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝2（分米），在Rt△FJE′中，E′J＝＝2，∴B′E′＝10﹣（2﹣2）＝12﹣2，∴B′E′﹣BE＝4．故答案为5+5，4．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．1.（2019四川绵阳）在△ABC中，若∠B=45°，AB=10√2，AC=5√5，则△ABC的面积是______．17.【答案】75或25【解析】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ABD中，AD=AB•sinB=10，BD=AB•cosB=10；在Rt△ACD中，AD=10，AC=5，∴CD==5，∴BC=BD+CD=15或BC=BD-CD=5，∴S△ABC=BC•AD=75或25．故答案为：75或25．过点A作AD⊥BC，垂足为D，通过解直角三角形及勾股定理可求出AD，BD，CD的长，进而可得出BC的长，再利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积．本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，BC的长度是解题的关键．15米，在实验楼的15．（2019广东）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD=3顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC 的高度是_________________米（结果保留根号）．【答案】15+153【解析】AC=CD·tan30°+CD·tan45°=15+153. 14．（3分）在△ABC中∠C＝90°，tan A＝，则cos B＝．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．【解答】解：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，设a＝x，b＝3x，则c＝2x，∴cos B＝＝．故答案为：．18.（2019四川自贡）如图，由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，αβ∠∠、如图所示，则()cosαβ+= .考点：正三角形、菱形的性质，勾股定理、三角函数，整体思想等.分析：本题可以先αβ,拼在一个角中按如图方式连接辅助线BC；根据正三角形可菱形的性质求出α1230=∠∠=∠=,360∠=∴ACB2390∠=∠+∠= ;设正三角形的边长为a，则AC2a=，利用菱形的性质并结合三角函数可以求得：BC=在Rt△ACB中,AB===∴BCcos ABCAB7∠===即()αβcos7+=故应填：7点评：本题关键抓住把分散的α和β集中拼成在一个角中，通过连接一条辅助线就解决这个问题.然后再利用勾股定理和三角函数使问题得以解决，本题难度不大，但构思巧妙，是一道好题.14．（2019四川乐山）（3分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cos C＝．则AB 边的长为．【分析】如图，作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AH，再根据AB＝2AH即可解决问题．【解答】解：如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝2，COSC＝，∴＝，∴CH＝，∴AH＝＝＝，在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AH＝，故答案为．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．19．（2019贵州毕节）（（5分）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是15﹣5．【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝45°，进而可得出答案．【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10 ，∵AB∥CF，∴BM＝BC×sin30°＝＝5，CM＝BC×cos30°＝15，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝5 ，∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5 ．故答案是：15﹣5．【点评】本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．17．(2019内蒙古赤峰)（3分）如图，一根竖直的木杆在离地面3.1m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为8.1m．（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）【分析】在Rt△APC中，由AC的长及sin B＝0.63的值可得出AB的长，即可解答．【解答】解：如图：AC＝3.1m，∠B＝38°，∴AB＝＝，∴木杆折断之前高度＝AC+AB＝3.1+5＝8.1（m）故答案为8.115．（2019江苏盐城)（3分）如图，在△ABC中，BC＝+，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为2．【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为点D，设AC＝x，则AB＝x，在Rt△ACD中，通过解直角三角形可得出AD，CD的长，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得出BD的长，由BC＝BD+CD结合BC＝+可求出x的值，此题得解．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为点D，如图所示．设AC＝x，则AB＝x．在Rt△ACD中，AD＝AC•sin C＝x，CD＝AC•cos C＝x；在Rt△ABD中，AB＝x，AD＝x，∴BD＝＝．∴BC＝BD+CD＝x+x＝+，∴x＝2．故答案为：2．17．（2019江苏宿迁）（3分）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是＜BC＜．【分析】当点C在射线AN上运动，△ABC的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的BC的值．【解答】解：如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60°∴∠ABC1＝30°∴AC1＝AB＝1，由勾股定理得：BC1＝，在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60°∴∠AC2B＝30°∴AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝2，当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时＜BC＜2．故答案为：＜BC＜2．【点评】本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用特殊直角三角形的边角关系或利用勾股定理求解．考察直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识点．15．（2019山西）（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10cm，点D为△ABC 内一点，∠BAD＝15°，AD＝6cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为（10﹣2）cm．【分析】过点A作AG⊥DE于点G，由旋转的性质推出∠AED＝∠ADG＝45°，∠AFD ＝60°，利用锐角三角函数分别求出AG，GF，AF的长，即可求出CF＝AC﹣AF＝10﹣2．【解答】解：过点A作AG⊥DE于点G，由旋转知：AD＝AE，∠DAE＝90°，∠CAE＝∠BAD＝15°，∴∠AED＝∠ADG＝45°，在△AEF中，∠AFD＝∠AED+∠CAE＝60°，在Rt△ADG中，AG＝DG＝＝3，在Rt△AFG中，GF＝＝，AF＝2FG＝2，∴CF＝AC﹣AF＝10﹣2，故答案为：10﹣2．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等，解题的关键是能够通过作适当的辅助线构造特殊的直角三角形，通过解直角三角形来解决问题．15．（2019辽宁大连）（3分）如图，建筑物C上有一杆AB．从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为3 m（结果取整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．【解答】解：在Rt△BCD中，tan∠BDC＝，则BC＝CD•tan∠BDC＝10，在Rt△ACD中，tan∠ADC＝，则AC＝CD•tan∠ADC≈10×1.33＝13.3，∴AB＝AC﹣BC＝3.3≈3（m），故答案为：3．14．(2019浙江杭州)（4分）在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cos C＝或．【分析】讨论：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝x，然后根据余弦的定义求cos C的值；若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝x，然后根据余弦的定义求cos C的值．【解答】解：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cos C＝＝＝；若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cos C＝＝＝；综上所述，cos C的值为或．故答案为或．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用它们进行几何计算．14．（2019浙江衢州）（4分）如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是 1.5米（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：∵sinα＝，∴AD＝AC•sinα≈2×0.77＝1.5，故答案为：1.5【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．16．（2019浙江金华丽水）（4分）图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME、EF、FN是门轴的滑动轨道，∠E＝∠F＝90°，两门AB、CD的门轴A、B、C、D都在滑动轨道上，两门关闭时（图2），A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）；两门同时开启，A、D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B、C滑动：B到达E 时，C恰好到达F，此时两门完全开启，已知AB＝50cm，CD＝40cm．（1）如图3，当∠ABE＝30°时，BC＝90﹣45cm．（2）在（1）的基础上，当A向M方向继续滑动15cm时，四边形ABCD的面积为2256 cm2．【分析】（1）先由已知可得B、C两点的路程之比为5：4，再结合B运动的路程即可求出C运动的路程，相加即可求出BC的长；（2）当A向M方向继续滑动15cm时，AA'＝15cm，由勾股定理和题目条件得出△A'EB'、△D'FC'和梯形A'EFD'边长，即可利用割补法求出四边形四边形ABCD的面积．【解答】解：∵A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）且AB＝50cm，CD＝40cm．∴EF＝50+40＝90cm∵B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，∴B、C两点的路程之比为5：4（1）当∠ABE＝30°时，在Rt△ABE中，BE＝AB＝25cm，∴B运动的路程为（50﹣25）cm∵B、C两点的路程之比为5：4∴此时点C运动的路程为（50﹣25）×＝（40﹣20）cm∴BC＝（50﹣25）+（40﹣20）＝（90﹣45）cm故答案为：90﹣45；（2）当A向M方向继续滑动15cm时，设此时点A运动到了点A'处，点B、C、D分别运动到了点B'、C'、D'处，连接A'D'，如图：则此时AA'＝15cm∴A'E＝15+25＝40cm由勾股定理得：EB'＝30cm，∴B运动的路程为50﹣30＝20cm∴C运动的路程为16cm∴C'F＝40﹣16＝24cm由勾股定理得：D'F＝32cm，∴四边形A'B'C'D'的面积＝梯形A'EFD'的面积﹣△A'EB'的面积﹣△D'FC'的面积＝﹣30×40﹣24×32＝2256cm2．∴四边形ABCD的面积为2256cm2．故答案为：2256．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型14．（2019浙江金华丽水）（4分）如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是40°．【分析】过A点作AC⊥OC于C，根据直角三角形的性质可求∠OAC，再根据仰角的定义即可求解．【解答】解：过A点作AC⊥OC于C，∵∠AOC＝50°，∴∠OAC＝40°．故此时观察楼顶的仰角度数是40°．故答案为：40°．【点评】考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，仰角是向上看的视线与水平线的夹角，关键是作出辅助线构造直角三角形求出∠OAC的度数．16．（2019浙江宁波）（4分）如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为456米．（精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）【分析】通过解直角△OAC求得OC的长度，然后通过解直角△OBC求得OB的长度即可．【解答】解：如图，设线段AB交y轴于C，在直角△OAC中，∠ACO＝∠CAO＝45°，则AC＝OC．∵OA＝400米，∴OC＝OA•cos45°＝400×＝200（米）．∵在直角△OBC中，∠COB＝60°，OC＝200米，∴OB＝＝＝400≈456（米）故答案是：456．【点评】考查了解直角三角形的应用﹣方向角的问题．此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．15．（2019山东德州）（4分）如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为 1.02米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）【分析】直接利用锐角三角函数关系得出AO，CO的长，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：∵∠ABO＝70°，AB＝6m，∴sin70°＝＝≈0.94，解得：AO＝5.64（m），∵∠CDO＝50°，DC＝6m，∴sin50°＝≈0.77，解得：CO＝4.62（m），则AC＝5.64﹣4.62＝1.02（m），答：AC的长度约为1.02米．故答案为：1.02．15．（2019山东枣庄）（4分）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为9.5m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．【解答】解：过D作DE⊥AB，∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，∴∠ADE＝53°，∵BC＝DE＝6m，∴AE＝DE•tan53°≈6×1.33≈7.98m，∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝7.98+1.5＝9.48m≈9.5m，故答案为：9.5【点评】此题考查了考查仰角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．13．（3分）如图，一轮船在M处观测灯塔P位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/小时的速度匀速航行2小时后到达N处，再观测灯塔P位于南偏西60°方向，若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处，此时轮船与灯塔之间的距离PT为15海里（结果保留根号）．【分析】根据“若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处，此时轮船与灯塔之间的距离为PT”，得PT⊥MN，利用锐角三角函数关系进行求解即可【解答】解：由题意得，MN＝15×2＝30海里，∵∠PMN＝30°，∠PNT＝60°，∴∠MPN＝∠PMN＝30°，∴PN＝MN＝30海里，∴PT＝PN•sin∠PNT＝15海里．故答案为：15．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是求得PN的长度，属于中考常考题．15．（2019湖北江汉油田）（3分）如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6m，则旗杆AB的高度为14.4m．【分析】作DE⊥AB于E，则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，得出BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，求出∠ADC＝120°，证出∠CAD＝30°＝∠ACD，得出AD＝CD＝9.6m，在Rt△ADE中，由直角三角形的性质得出AE＝AD＝4.8m，即可得出答案．【解答】解：作DE⊥AB于E，如图所示：则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，∴BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，∴∠ADC＝90°+30°＝120°，∵∠ACB＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠CAD＝30°＝∠ACD，∴AD＝CD＝9.6m，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴AE＝AD＝4.8m，∴AB＝AE+BE＝4.8m+9.6m＝14.4m；故答案为：14.4．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定；正确作出辅助线是解题的关键．12．（2019湖北荆州）（3分）如图①，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4cm，E，F，G分别是AB，AA1，AD的中点，截面EFG将这个正方体切去一个角后得到一个新的几何体（如图②），则图②中阴影部分的面积为2cm2．【分析】根据已知条件得到GF＝GE＝EF＝＝2，过G作GH⊥EF于H，求得GH＝GF＝，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4cm，E，F，G分别是AB，AA1，AD的中点，∴GF＝GE＝EF＝＝2，过G作GH⊥EF于H，∴GH＝GF＝，∴图②中阴影部分的面积＝×2×＝2cm2．故答案为：2．【点评】本题考查了勾股定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．14．（2019湖北荆州）（3分）如图，灯塔A在测绘船的正北方向，灯塔B在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔B的正南方向，此时测得灯塔A 在测绘船北偏西63.5°的方向上，则灯塔A，B间的距离为22.4海里（结果保留整数）．（参考数据sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50，≈2.24）【分析】根据题意得MN＝20，∠ANB＝63.5°，∠BMN＝45°，∠AMN＝∠BNM＝90°，于是得到BN＝MN＝20，如图，过A作AE⊥BN于E，得到四边形AMNE是矩形，根据矩形的性质得到AE＝MN＝20，EN＝AM，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：由题意得，MN＝20，∠ANB＝63.5°，∠BMN＝45°，∠AMN＝∠BNM＝90°，∴BN＝MN＝20，如图，过A作AE⊥BN于E，则四边形AMNE是矩形，∴AE＝MN＝20，EN＝AM，∵AM＝MN•tan26.5°＝20×0.50＝10，∴BE＝20﹣10＝10，∴AB＝＝10≈22.4海里．故答案为：22.4．【点评】此题主要考查了方向角以及锐角三角函数关系，得出NC的长是解题关键．13．（2019湖北咸宁）如图所示，九（1）班数学课外活动小组在河边测量河宽AB（这段河流的两岸平行），他们在点C测得∠ACB＝30°，点D处测得∠ADB＝60°，CD＝80m，则河宽AB约为69m（结果保留整数，≈1.73）．【分析】在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，则∠DAC＝30°，所以DA＝DC＝80，在Rt△ABD中，通过三角函数关系求得AB的长．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，∴∠DAC＝30°，∴DA＝DC＝80，在Rt△ABD中，，∴＝＝40≈69（米），故答案为69．【点评】本题考查了解直角三角形，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．13．（2019湖北孝感）（3分）如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD＝20米，则BC＝（20﹣20）米．【分析】根据正切的定义求出BD，根据等腰直角三角形的性质求出CD，结合图形计算，得到答案．【解答】解：在Rt△PBD中，tan∠BPD＝，则BD＝PD•tan∠BPD＝20，在Rt△PBD中，∠CPD＝45°，∴CD＝PD＝20，∴BC＝BD﹣CD＝20﹣20，故答案为：（20﹣20）．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．17．（2019广西柳州）（3分）如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝3，则AC 的长为．【解答】解：过A作AD⊥BC，在Rt△ABD中，sin B＝，AB＝3，∴AD＝AB•sin B＝1，在Rt△ACD中，tan C＝，∴＝，即CD＝，根据勾股定理得：AC＝＝＝，故答案为：18．（2019湖南株洲）（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线x＝1处放置反光镜Ⅰ，在y轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段AB，其中点A（0，1），点B 在点A上方，且AB＝1，在直线x＝﹣1处放置一个挡板Ⅲ，从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为 1.5．。

2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第一期) 专题28 解直角三角形(含解析)

解直角三角形一.选择题1. （2019•江苏苏州•3分）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度，将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为183m 的地面上，若测角仪的高度为 1.5m ，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30，则教学楼的高度是（）A ．55.5mB ．54mC ．19.5mD ．18m30°C DA B【分析】考察30角的三角函数值，中等偏易题目【解答】过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，在Rt ADE 中，tan30AE DE =318318m 3AE ∴=⨯= 18 1.519.5m AB ∴=+=故选C30°C DAB E2．（2019•浙江嘉兴•3分）如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线P A 交OC 延长线于点P ，则P A 的长为（）A ．2B ．C ．D ．183DE BC ==【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOP，根据切线的性质求出∠OAP＝90°，解直角三角形求出AP即可．【解答】解：连接OA，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，∵过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P，∴∠OAP＝90°，∵OA＝OC＝1，∴AP＝OAtan60°＝1×＝，故选：B．【点评】本题考查了切线的性质和圆周角定理、解直角三角形等知识点，能熟记切线的性质是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．3．（2019•浙江绍兴•4分）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）A．B．C．D．【分析】设DE＝x，则AD＝8﹣x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD，过点C作CF⊥BG于F，由△CDE∽△BCF的比例线段求得结果即可．【解答】解：过点C作CF⊥BG于F，如图所示：设DE＝x，则AD＝8﹣x，根据题意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×6，解得：x＝4，∴DE＝4，∵∠E＝90°，由勾股定理得：CD＝，∵∠BCE＝∠DCF＝90°，∴∠DCE＝∠BCF，∵∠DEC＝∠BFC＝90°，∴△CDE∽△BCF，∴，即，∴CF＝．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键．4 （2019•江苏泰州•10分）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C.D两点间的距离为4m，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m．求：（1）观众区的水平宽度AB；（2）顶棚的E处离地面的高度EF．（sin18°30′≈0.32，tanl8°30′≈0.33，结果精确到0.1m）【分析】（1）根据坡度的概念计算；（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，根据正切的定义求出EN，结合图形计算即可．【解答】解：（1）∵观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，∴AB＝2BC＝20（m），答：观众区的水平宽度AB为20m；（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，则四边形MFB C.MCDN为矩形，∴MF＝BC＝10，MN＝CD＝4，DN＝MC＝BF＝23，则EN＝DN•tan∠EDN≈7.59，∴EF＝EN+MN+MF＝7.59+4+10≈21.6（m），答：顶棚的E处离地面的高度EF约为21.6m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．5. （2019•湖南长沙•3分）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B 处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．（30+30）nmile【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．【解答】解：过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×＝30．在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝30，∴AB＝AD+BD＝30+30．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．故选：D．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．6. （2019•湖南长沙•3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A．2B．4C．5D．10【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH＝BD，推出CD+BD＝CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠ABE＝90°，∵tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍弃），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AC，∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值为4．故选：B．【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．10.二.填空题1. （2019•浙江金华•4分）图2.图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME，EF，FN是门轴的滑动轨道，∠E=∠F=90°，两门AB，CD的门轴A，B，C，D都在滑动轨道上．两门关闭时（图2），A，D分别在E，F处，门缝忽略不计（即B，C重合）；两门同时开启，A，D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B，C滑动；B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启。