直线与椭圆的位置关系之弦长公式

直线与椭圆的位置关系之弦长公式
一、知识点
1） 弦长公式的推导、几何解释、作用 2） 弦长公式的应用 二、教学过程 1 弦长公式
引例：经过椭圆2
212
x y +=的左焦点F 作倾斜角为60的直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求AB 的长．
分析：左焦点(1,0)F -
，则直线:1)l y x =+代入椭圆方程2
212x y +=，得到 271240x x ++=，则=32∆
设1122(,),(,)A x y B x y ，则
||AB ==
=122||||
x x a -
= 一般：
若直线l 上两点111222(,),(,)P x y P
x y
，则121212||||PP x x y y =-=-，上述公式称为弦长公式，有推导过程知，其实质是直线上两点距离公式的简化式； 说明：
1） 计算12||x x -
，可以通过12||x x -=
但通常利用12||||
x x a -=
计算，其中a 为对应x 的方程的二次项系数，∆为判别式；12||y y -也同理计算，弦长公式体现了“设而不求”的思想
2
） 如图，因为2112||:||:|||P M PM PP k =，又
1
12||||PM x x =-，212||||P M y y =-，则
可知
，12
1212||||PP x x y y =-=- 这里体现了“化斜为直”的思想 2 例题
例1 经过椭圆2
212
x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B
两点，若||7
AB =
l 的方程． 解：设:(1)l y k x =+，代入椭圆方程：2
2
220x y +-=，得到
2222(12)4220k x k x k +++-=，所以28(1)k ∆=+
则
||7
AB ==
=
所以k =
又当k 不存在时，||AB =
所以，直线l 的方程1)y x =+
配套练习：上述例题中，也可以将直线l 设为1x y λ=-，请你计算 解：将1x y λ=-代入椭圆方程2
2
220x y +-=，得到：
22(2)210y y λλ+--=，则2=8+1λ∆（），
则||AB ==
，
所以，λ= 当λ不存在，即0
y =时，||AB =
所以直线
l 的方程为1x y =
- 例2 经过椭圆2
212
x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求OAB ∆面积的最大值．
解：设直线1x y λ=-，代入椭圆方程2
2
220x y +-=，得到：
22(2)210y y λλ+--=，则2=8+1λ∆（）
， 法1
：||AB ==
O l d -，所以1||2AOB
O l S AB d ∆-=⋅
=2112t t t
=≤++
（t 当0λ=时，取到 法2
：11
||||122AOB
A B S AB y y ∆=⋅-=⋅，下同解法1 配套练习1：经过椭圆2
212
x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求||AB 的取值范围． 解：上题可知：
21
||)2
AB λ=-∈+
当λ
不存在时，||AB =
||AB ∈ 配套练习2：
1、经过椭圆2
212
x y +=的左焦点F 作两条互相垂直的直线12,l l 与椭圆分别交于,A B 与,C D 两点，若
32
||||9
AB CD ⋅=
，求直线1l 的方程 参考解答：设直线1:(1)l y k x =+，则21
:(1)l y x k
=-+
，则可知||AB =，同理知
2
22
21
))||221k k CD k k
++=
=++，则由32||||9AB CD ⋅=可知1k =±，1:(1)l y x =±+
例3（备用）
已知椭圆2
2:14
x G y +=，作圆221x y +=的切线l 交椭圆于,A B 两点，O 为坐标原点，求OAB
∆
面积的最大值．
解：设直线l ： x y n λ=+
1=，所以221n λ=+
代入椭圆方程：2
2
440x y +-=，得到：2
2
2
(4)240y n y n λλ+++-=，则
222222=44(4)(4)16(4)=48n n n λλλ∆-+-=+-
则211||11223
AOB S AB t ∆=
⋅==≤+t =）
当λ= 配套练习：
1、已知椭圆：22
143
x y +=，直线l ：2y x m =+与椭圆交于,A B 两点，求AOB S ∆的最大值
参考解答：可知S =≤。