直线与椭圆的位置关系之弦长公式
直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦中点问题
《直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦中点问题》xx年xx月xx日•直线与椭圆的位置关系•弦长公式•弦中点问题•应用实例目录01直线与椭圆的位置关系直线与椭圆在平面上有三种位置关系：相离、相切和相交。
定义椭圆的离心率e决定了直线与椭圆的位置关系。
e越大，直线与椭圆越远离；e越小，直线与椭圆越接近。
当e=0时，直线与椭圆相切；当0<e<1时，直线与椭圆相离；当e=1时，直线与椭圆相交。
性质定义与性质分类根据直线与椭圆的交点个数，可以分为三类：无交点、一个交点和两个交点。
判定使用代数方法（如解方程）或几何方法（如画图）来判断直线与椭圆的交点个数。
分类与判定方法解决直线与椭圆的问题主要采用代入法、坐标法、参数法等。
技巧根据题目条件选择合适的方法，注意数形结合，转化已知条件为数学方程，通过解方程得到结果。
解题方法与技巧02弦长公式定义与性质弦长公式定义弦长公式是指连接椭圆上两点的线段的长度。
在直角坐标系中，设椭圆上两点$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$，则弦AB的长度为$|AB|=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}$。
性质弦长公式具有普遍性，可以用于计算任何连接椭圆上两点的线段的长度。
直线与椭圆的三种位置关系：相交、相切、相离。
判定方法：利用直线方程和椭圆方程联立，消去其中一个变量，得到关于另一个变量的二次方程，通过判断二次方程的根的情况来确定直线与椭圆的位置关系。
分类与判定解题方法利用弦长公式直接计算。
解题技巧对于较复杂的题目，可能需要先化简，再代入数值进行计算。
解题方法与技巧03弦中点问题定义弦中点问题是指关于直线与椭圆交汇点以及中点的问题。
性质弦中点问题涉及直线与椭圆的相交、平行、中点等性质，以及弦长、中点坐标等计算。
定义与性质根据直线与椭圆的位置关系，弦中点问题可分为相交型、平行型和中点型三种类型。
分类判定弦中点问题主要依据直线与椭圆的交点坐标、中点坐标计算公式以及相关的几何性质。
直线与椭圆的位置关系之弦长公式
直线与椭圆的位置关系之弦长公式一、知识点1） 弦长公式的推导、几何解释、作用 2） 弦长公式的应用 二、教学过程 1 弦长公式引例：经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作倾斜角为60o 的直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求AB 的长．分析：左焦点(1,0)F -，则直线:1)l y x =+代入椭圆方程2212x y +=，得到 271240x x ++=，则=32∆设1122(,),(,)A x y B x y ，则||AB ===122||||x x a -= 一般：若直线l 上两点111222(,),(,)P x y Px y，则121212||||PP x x y y =-=-，上述公式称为弦长公式，有推导过程知，其实质是直线上两点距离公式的简化式； 说明：1） 计算12||x x -，可以通过12||x x -=但通常利用12||||x x a -=计算，其中a 为对应x 的方程的二次项系数，∆为判别式；12||y y -也同理计算，弦长公式体现了“设而不求”的思想2） 如图，因为2112||:||:|||P M PM PP k =，又112||||PM x x =-，212||||P M y y =-，则可知，121212||||PP x x y y =-=- 这里体现了“化斜为直”的思想 2 例题例1 经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B两点，若||7AB =l 的方程． 解：设:(1)l y k x =+，代入椭圆方程：22220x y +-=，得到2222(12)4220k x k x k +++-=，所以28(1)k ∆=+则||7AB ===所以k =又当k 不存在时，||AB =所以，直线l 的方程1)y x =+配套练习：上述例题中，也可以将直线l 设为1x y λ=-，请你计算 解：将1x y λ=-代入椭圆方程22220x y +-=，得到：22(2)210y y λλ+--=，则2=8+1λ∆（），则||AB ==，所以，λ= 当λ不存在，即0y =时，||AB =所以直线l 的方程为1x y =- 例2 经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求OAB ∆面积的最大值．解：设直线1x y λ=-，代入椭圆方程22220x y +-=，得到：22(2)210y y λλ+--=，则2=8+1λ∆（）， 法1：||AB ==O l d -，所以1||2AOBO l S AB d ∆-=⋅=2112t t t=≤++（t 当0λ=时，取到 法2：11||||122AOBA B S AB y y ∆=⋅-=⋅，下同解法1 配套练习1：经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求||AB 的取值范围． 解：上题可知：21||)2AB λ=-∈+当λ不存在时，||AB =||AB ∈ 配套练习2：1、经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作两条互相垂直的直线12,l l 与椭圆分别交于,A B 与,C D 两点，若32||||9AB CD ⋅=，求直线1l 的方程 参考解答：设直线1:(1)l y k x =+，则21:(1)l y x k=-+，则可知||AB =，同理知22221))||221k k CD k k++==++，则由32||||9AB CD ⋅=可知1k =±，1:(1)l y x =±+例3（备用）已知椭圆22:14x G y +=，作圆221x y +=的切线l 交椭圆于,A B 两点，O 为坐标原点，求OAB∆面积的最大值．解：设直线l ： x y n λ=+1=，所以221n λ=+代入椭圆方程：22440x y +-=，得到：222(4)240y n y n λλ+++-=，则222222=44(4)(4)16(4)=48n n n λλλ∆-+-=+-则211||11223AOB S AB t ∆=⋅==≤+t =）当λ= 配套练习：1、已知椭圆：22143x y +=，直线l ：2y x m =+与椭圆交于,A B 两点，求AOB S ∆的最大值参考解答：可知S =≤。
直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦中点问题
1. 直线必须经过椭圆的中心。 3. 切点必须在椭圆的边界上。
02
弦长公式
弦长的定义
弦长
直线与椭圆相交形成的线段称为 弦，弦的长度即为弦长。
焦点与弦长
椭圆的两焦点与弦长所形成的两 个夹角称为焦点弦角，焦点弦角 的大小会影响弦的长度。
弦长公式的推导
1 2
基于椭圆的参数方程
椭圆的一般方程可表达为x=a×cosθ,y=b×sinθ ，其中a为长半轴，b为短半轴。
判断直线与椭圆的位置关系
通过比较弦长与长短轴的大小关系，可以判断直线与椭圆的位置关系，即相交 、相切或相离。
03
弦中点问题
中点的定义
定义
如果一个点平分一条线段，那么这个 点叫做这条线段的中点。
数学定义
如果点$P$将线段$AB$分成两条相等 的线段$AP$和$BP$，则称$P$为线段 $AB$的中点。
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弦长公式的应用实例
描述
已知椭圆的方程为$\frac{x^{3}}{9} + \frac{y^{3}}{4} = 1$，求该椭圆上一点P到直线l：3x - y - 7 = 0的距离最 短点的坐标。
分析
首先设出平行线方程为$3x - y + m = 0$，利用点到直线的距离公式和平行线之间的距离公式找到距离最短的点 。
直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦 中点问题
汇报人： • 弦长公式 • 弦中点问题 • 实例分析
01
直线与椭圆的位置关系
定义与性质
01
02
03
椭圆
一个椭圆是一个二维曲线 ，它是由所有点组成，这 些点到两个固定点的距离 之和等于常数。
直线
直线是二维空间中的一个 几何对象，它通过连接两 个点并延伸至无限而形成 。
直线与椭圆的位置关系的判断
，若过左焦点，则 AB = 2a + e ( x1 + x2 ) 若过左焦点， 若过右焦点， 若过右焦点，则 AB = 2a − e ( x1 + x2 )
x2 y2 + = 1 的右焦点 已知斜率为2 例3、已知斜率为2的直线经过椭圆 5 4
；
F2 ，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长。 与椭圆相交于 ， 两点，求弦 的长。 两点 的长
l : y = kx + b 与椭圆相交于两点A( x1, y1 ), B ( x2 , y2 )
弦长公式： ，则 弦长公式：
AB = ( x1 − x2 ) +( y1 − y2 )
2
2
( x1 + x2 )2 − 4x1x2 = 1+ k2 x1 − x2 = (1+ k )
2
1 2 = 1+ 1 y1 − y2 = 1+ k2 ∆ = 1+ 1 ∆ = (1+ 2 ) ( y1 + y2 ) − 4y1y2 k k2 a k2 a′
所以，求直线和椭圆相交所得的弦长， 所以，求直线和椭圆相交所得的弦长， 只需将直线方程与椭圆方程联立， 只需将直线方程与椭圆方程联立，转化为关于
x
或 y
的一元二次方程形式， 的一元二次方程形式，通过韦达定理求得 x1 + x2 , x1 ⋅ x2 ，代入弦长公式计算即可。注意弦长公式中一定要 代入弦长公式计算即可。 书写两点间距离公式。 书写两点间距离公式。
例2、已知直线 l : y = 2 x + m ，椭圆 。试问当
x2 y2 C : + =1 4 2
m
取何值时， 取何值时，
第40讲 直线和椭圆的位置关系学生
第40讲 直线和椭圆的位置关系[玩前必备]一、直线与椭圆的位置关系1．位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y ，得到Ax 2＋Bx ＋C ＝0的形式(这里的系数A 一定不为0)，设其判别式为Δ，(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交；(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切；(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离．2．弦长公式(1)若直线y ＝kx ＋b 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|. (2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2a，最长为2a . [玩转典例]题型一 直线与圆的位置关系的判断例1 若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)∪(1,5)D ．[1,5)∪(5，＋∞)例2 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ： (1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．[玩转跟踪]1．（2020·全国高三课时练习（理））已知直线y ＝kx －k －1与曲线C ：x 2＋2y 2＝m(m>0)恒有公共点，则m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(3，＋∞)D ．(－∞，3)2.（2020·全国高三课时练习）若直线2244mx ny x y +=+=和圆没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为（ ） A ．2个 B ．至多一个 C ．1个 D ．0个题型二 椭圆的弦长问题例3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 的斜率为0时，|AB |＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．[玩转跟踪]1．已知椭圆x 22＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝423，则实数m 的值为( ) A ．±1B ．±12 C. 2 D ．±22．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线AB 的斜率为3，求△ABF 2的面积．题型三 中点弦问题例4 (1)已知椭圆x 22＋y 2＝1，则斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为________________． (2)焦点是F (0,5 2)，并截直线y ＝2x －1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为________________． 例5 如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G横坐标的取值范围．[玩转跟踪]1．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被点P 平分的弦所在直线的方程是( ) A ．4x ＋3y －13＝0B ．3x ＋4y －13＝0C ．4x －3y ＋5＝0D ．3x －4y ＋5＝02．已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称，求实数m 的取值范围．题型四 椭圆大题例6 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433. (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC ―→·DB ―→＋AD ―→·CB―→＝8，O 为坐标原点，求△OCD 的面积．[玩转跟踪]1．已知动点M 到两定点F 1(－m,0)，F 2(m,0)的距离之和为4(0<m <2)，且动点M 的轨迹曲线C 过点N ⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求m 的值；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与曲线C 有两个不同的交点A ，B ，且OA ―→·OB ―→＝2(O 为坐标原点)，求k 的值．[玩转练习]1．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( ) A ．至多一个B ．2C ．1D ．02．椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A ．－23B ．－32C ．－49D ．－943．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( ) A.223B.423C. 2 D ．24．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2―→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．15．(多选)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，点M (2,1)在椭圆C 上，直线l 平行于OM 且在y 轴上的截距为m ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点．下面结论正确的有( )A ．椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1B ．k OM ＝12C ．－2＜m ＜2D ．m ≤－2或m ≥26．(多选)已知B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)短轴上的两个顶点，点P 是椭圆上不同于短轴端点的任意一点，点Q 与点P 关于y 轴对称，则下列四个命题中正确的是( )A ．直线PB 1与PB 2的斜率之积为定值－a 2b 2 B ．PB 1―→·PB 2―→＞0C ．△PB 1B 2的外接圆半径的最大值为a 2＋b 22aD ．直线PB 1与QB 2的交点M 的轨迹为双曲线7．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( ) A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)8．(一题两空)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，点A 在椭圆C 上，|AF 1|＝2，∠F 1AF 2＝60°，过F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，N 为线段PQ 的中点．则椭圆C 的方程为________；若点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，18，且MN ⊥PQ ，则线段MN 所在的直线方程为_____________．9．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是____________．10．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为__________．11．(2020·上饶模拟)已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋2上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为________．12．(一题两空)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E ⎝⎛⎭⎫3，32. (1)椭圆C 的方程为____________．(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝2F 1B ―→，则直线l 的斜率k 的值为________．13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，长半轴与短半轴的比值为2. (1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点A (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．14．在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求直线l 的方程．15.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为椭圆C 上任意一点，点A 关于原点O 的对称点为点B ，有|AF 1|＋|BF 1|＝4，且∠F 1AF 2的最大值为π3. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A ′是点A 关于x 轴的对称点，设点N (－4,0)，连接NA 与椭圆C 相交于点E ，直线A ′E 与x 轴相交于点M ，试求|NF 1|·|MF 2|的值．。
双曲线的简单几何性质(直线与双曲线的位置关系)
例2. 直线 y=kx+1与双曲线3x2- y2 =1相交于A、B两点． 且以AB为直径的圆经过坐标原点，求该圆的面积. 解： y kx 1
2 2 3 k x 2kx 2 0 2 2 3 x y 1
设 A( x1 ， y1 ) ， B( x2 ， y2 ) ，则由以AB为直径的圆经过坐标原点，
2
x1 x2
2
4 x1 x2
2 2 1 k 2 k
2 2k 1 k 2 4 2 2 1 k 1 k
2
1 k
2 2
依题意得 2
4
2 2 1 k 2 k
1 k
2 2
6 3
2 1 － 3 k ≠0， Δ＝361－k2>0，
6 2k 3 xA＋xB＝1－3k2<0，解得 3 <k<1. xAxB＝ －9 2>0， 1－3k
3 ∴当 3 <k<1 时，l 与双曲线左支有两个交点．
(3)由(2)得：xA＋xB＝
6 2k ， 1－3k2
∴yA＋yB＝(kxA＋ 2)＋(kxB＋ 2) ＝k(xA＋xB)＋2 2＝ 2 2 . 1－3k2
x2 y2 解析：(1)设双曲线 C 的方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)． 由已知得：a＝ 3，c＝2，再由 a2＋b2＝c2， x2 2 得 b ＝1，∴双曲线 C 的方程为 3 －y ＝1.
2
(2)设 A(xA，yA)、B(xB，yB)， x2 2 将 y＝kx＋ 2代入 3 －y ＝1， 得，(1－3k2)x2－6 2kx－9＝0. 由题意知
a＝2， c 2 解析： (1)由题意得 ＝ ， a 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c ， 解得 b＝ 2. x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 4 ＋ 2 ＝1. y＝kx－1， 2 2 (2)由x y ＋ 2 ＝1 4 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
直线与椭圆的位置关系讲解(全面)
分析:先画图熟悉题意, 点 F1 到直线 AB 的距离易知,
要求 S△F1AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组
解 例焦:2∵:点已椭，圆知过点x2F2 F21作y、2倾F斜21分的角别两为个 是4焦椭的点圆直坐2x线标2 ，F11y求(21△,10F)的1, AF左2B(1、 的, 0右 面) 积. ∴直线 AB 的方程为 y x 1 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l，
则l可写成：4x 5y k 0
x o
4x 5y k 0
由方程组
x2
y2
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
25 9 1
由 0，得64k 2 - 4 2（5 k 2 - 225） 0
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
知识点3：中点弦问题
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作 差构造出中点坐标和斜率．
设A(x1, y1), B(x2 , y2 ), AB中点M (x0 , y0 )，
则有：2x0 x1 x2 , 2 y0 y1 y2
1 a2
1 b2
1
a2
b2
a2b2
题型一：直线与椭圆的位置关系
练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有 两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
当k= 6 时有一个交点 3
当k> 6 或k<- 6 时有两个交点
直线与椭圆的位置关系、弦长公式
解：
3、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
3、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
2.2.2 椭圆的简单几何性质
1-----直线与椭圆的位置关系 2-----弦长公式
高二数学 熊超进
直线与椭圆的位置关系
种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
1直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
例：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
练习：已知椭C x2 y2 1斜率为1的 直线 l 与椭圆交
3
于 A, B 两点，且 AB 3 2求直线 l 的方程
2
3.若P(x,y)满足 x2 y2 1( y 0) ,求 y 3 的
4
x4
最大值、最小值.
( x1
x2 )2
4 x1
x2
6 5
2
2、弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式：
弦长的计算方法： 弦长公式：
|AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
=
1
1 k2
·（y1
y2）
4 y1
直线和椭圆位置关系总结大全
1.直线和椭圆位置关系判定方法概述1直线斜率存在时221y kx bmx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-=当0∆>时直线和椭圆相交当0∆=时直线和椭圆相切当0∆<时直线和椭圆相离2直线斜率不存在时22221x x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解注：01无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""∆。
02直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。
2.直线和椭圆相交时1弦长问题弦长公式22121221111AB k x x k y y a k∆=+-=+=+-注：2121212()4x x x x x x -=+-而12x x +和12x x 可用韦达定理解决，不必求出1x 和2x 的精确值，“设而不求”思想初现。
2三角形面积1过x 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y a b +=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=- 02过y 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y b a+=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH x x ∆=- 03弦任意，点任意12S ∆=弦长×点线距注：仍然蕴含“设而不求”思想。
3弦的中点问题01中点弦所在直线方程问题02平行弦中点轨迹03共点弦中点轨迹04其他问题类型题一：直线与椭圆位置1.已知直线2+=kx y 和椭圆12322=+y x ，当k 取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。
2.已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。
3.点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线01623=--y x 的距离的最大值为_____，最小值为________．类型题二：弦长公式1.已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点1F 作倾斜角为6 的直线交椭圆于B A ,两点，求弦AB 的长。
直线与椭圆的弦长公式
直线与椭圆的弦长公式
1.椭圆与直线的关系
椭圆是一种闭合曲线，可以由一组参数来表示。
椭圆与一般的直线是可以关联的，可以根据一定的关系，通过椭圆的参数来求解椭圆与直线的弦长。
2.根据给定参数公式求解椭圆与直线的弦长
当椭圆的参数为$(h,k),a,b$时，其与直线的交点可以求得。
而这条直线与椭圆相切时对应的弦长，可以用下面的公式来计算：
\begin{equation}
S=2a\pi \cdot \int_{x_0}^{x_1} \sqrt{\frac{1+(2hx+b^2-a^2)^2}{4a^2(x-h)^2+b^2}} \, \mathrm{d}x
\end{equation}
其中，$x_{0}$和$x_{1}$是椭圆最高点$(-h,k+b)$和最低点$(-h,k-b)$的横坐标，即$x |_{0}=-h+\frac{a^2-b^2}{2h}$，$x |_{1}=-h-\frac{a^2-
b^2}{2h}$。
3.应用
椭圆与直线的弦长公式，可以应用在多种场景中，其中最常见的就是利用椭圆与直线的弦长关系来求解数学问题。
比如，根据已知的线段长度得出直线与椭圆的弦长，从而可以解决许多古代测地学、运动学和结构学中的问题。
椭圆与直线的弦长公式，也可以用来解决有关扇形、正多边形、椭圆形和抛物线的许多问题。
直线与椭圆的弦长公式
4 y1
y2
（适用于任何曲线）
2、弦中点问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）点差法：设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的 斜率。
课后作业
1、已知椭圆 x2 +y2 =1，过左焦点F作倾斜角为 的直线
9
6
交椭圆于A，B两点，求弦AB的长
2、已知椭圆 x2 +y2 =1及点B（0， 2），过椭圆的左焦 2
(2)消去其中一个未 知数，得到二元一 次方程；
(3)韦达定理；
(4)弦长公式.
变式1：已知椭圆 x2 y2 1,过椭圆右焦点的直线l交 4
椭圆于A, B两点，且 AB = 8，求直线l方程。 5
练习
已知椭圆ax2 by2 1于直线x y 1 0交于A, B两点， 且 AB 2 2，若AB的中点M与椭圆中心连线的斜率 为 2 ，求a,b的值。
Ax By C 0
由方程组：
x2
y2
a2
b2
1
消去y
mx2+nx+p=0（m≠ 0） = n2-4mp
通法
>0
方程组有两解
两个交点
相交
=0
方程组有一解
一个交点
相切
<0
方程组无解
无交点
相离
练习
当m为何值时，直线y=x+m与椭圆 x2 + y2 =1相交？ 16 9
相切？相离？
教学目标
通过本节课的教学，要求掌握直线和 椭圆相交的弦长公式，以及能够用点差法 解决弦中点问题。
知识点1：弦长问题
若直线 l
:
直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦中点问题
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目录
• 直线与椭圆的位置关系 • 弦长公式 • 弦中点问题
01
直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的基本定义
直线的定义
直线是无限延伸的，没有起点和 终点。在平面几何中，直线通常 用两点间的连线表示。
椭圆的定义
椭圆是一种平面曲线，其定义是 固定两点（焦点）的距离之和等 于常数的点的轨迹。
通过观察直线与椭圆的交点个数来判 断位置关系。
02
弦长公式
弦长的定义及计算方法
Байду номын сангаас弦长定义
弦长是指连接圆内任意两点间的线段 长度。
计算方法
通过利用勾股定理和圆的基本性质， 可以计算出连接圆内两点的线段长度 。
弦长公式的推导过程
勾股定理：在直角三角形中，直角边的平方和等 于斜边的平方。
圆的基本性质：圆内任意两点间的距离平方等于 这两点与圆心距离的平方和。
直线与椭圆的位置关系分类
相交
直线与椭圆有两个不同的交点。
相切
直线与椭圆只有一个交点。
相离
直线与椭圆没有交点。
判断直线与椭圆位置关系的常用方法
代数法
通过联立直线和椭圆的方程，消元后 得到一元二次方程，然后根据判别式 的值判断直线与椭圆的位置关系。
几何法
参数法
通过引入参数来表示直线的方程，然 后代入椭圆的方程进行求解，根据解 的情况判断位置关系。
弦中点的性质
弦中点与椭圆中心连线段与弦AB垂直，且该线段等于A、B两点到椭圆中心的距 离之和的一半。
弦中点问题的求解方法
利用定义求解
根据弦中点的定义，可以求出弦中点的坐标。
利用几何性质求解
直线与椭圆位置关系(经典)
直线与椭圆位置关系(经典)本文介绍了直线与椭圆的位置关系以及弦长计算方法。
1.点与椭圆的位置关系对于椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1$，点$P(x,y)$在椭圆内部的充要条件是$x^2/a^2+y^2/b^21$，在椭圆上的充要条件是$x^2/a^2+y^2/b^2=1$。
2.直线与椭圆的位置关系设直线$l: Ax+By+C=0$，椭圆$C: x^2/a^2+y^2/b^2=1$，联立$l$与$C$，消去某一变量$(x$或$y)$得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为$\Delta$，则$l$与$C$相离的充要条件是$\Delta0$。
3.弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$，则$|P_1P_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=1+kx_1-x_2=1+\frac{1}{k}(y_1-y_2)$（$k$为直线斜率）。
题目：已知椭圆$\frac{x^2}{5m}+\frac{y^2}{m}=1$，直线$y=kx+1$，求实数$m$的取值范围使得直线与椭圆有公共点。
解法一：将直线方程代入椭圆方程，得到关于$x$的一元二次方程，其判别式为$\Delta=m-5k-1$，要使直线与椭圆有交点，需要$\Delta\geq0$，即$m\geq5k+1$。
另外要注意，当$m=5k+1$时，直线与椭圆可能只有一个交点，在这种情况下也算有公共点。
因此，实数$m$的取值范围为$m\geq1$且$m\neq5$。
解法二：观察椭圆方程，发现其长轴在$x$轴上，短轴在$y$轴上，因此，当$m5$时，椭圆焦点在$y$轴上，与直线的交点只有$1$个或$3$个。
因此，要使直线与椭圆有公共点，需要$m\geq5$。
另外，当$m=5$时，椭圆退化成一个点，直线与该点有交点，因此也算有公共点。
直线与椭圆的位置关系及最值
直线与椭圆的位置关系1.直线与椭圆的位置关系.设直线l ：Ax +By +C =0，椭圆C ：12222=+b y a x 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=+012222C By Ax b y a x 得02=++p nx mx (1)若l 与C 相离的⇔Δ<0；（2）l 与C 相切⇔Δ=0；（3）l 与C 相交于不同两点⇔Δ>0.2.弦长公式 设直线与椭圆交于点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)则|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+- 212212111y y kx x k -+=-+=（k 为直线斜率） 一，直线与椭圆的位置关系例题1、判断直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 的位置关系例题2、若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，求实数m 的取值范围.二、弦长问题例题3、 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．例4、已知椭圆1222=+y x 的左右焦点分别为1F ,2F ，若过点P （0，-2）及1F 的直线交椭圆于A,B 两点，求⊿ABF 2的面积练习、已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．三、中点弦问题例题5、已知椭圆C 的焦点分别为12(F F -，长轴长为6，设直线2y x =+交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。
例题6、如果焦点是F （0，±52）的椭圆截直线3x －y －2=0所得弦的中点横坐标为21，求此椭圆方程.例7. 已知椭圆1222=+y x （1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过Q(2,1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点A 、B ，O 为原点，且有直线OA 、OB 斜率满足K OA ·K OB =-1/2，求线段AB 中点M 的轨迹方程．四、对称问题例题8、已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．五、最值问题类型1：焦点三角形角度最值-------最大角法（求离心率问题）例1. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使12FQ F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。
高中数学平面解析几何2.5.2.2椭圆方程及性质的应用学案含解析
第2课时 椭圆方程及性质的应用必备知识·自主学习导思 1.直线与椭圆的位置关系有哪些？ 2．弦长公式是什么？设P(x 0，y 0)，椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)，则点P 与椭圆的位置关系如表所示：位置关系 满足条件 P 在椭圆外 x 20 a 2 ＋y 20 b 2 >1 P 在椭圆上 x 20 a 2 ＋y 20 b 2 ＝1 P 在椭圆内x 20 a 2 ＋y 20 b 2<1判断直线和椭圆位置关系的方法直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的位置关系的判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1， 消去y ，得关于x 的一元二次方程．当Δ＞0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切； 当Δ＜0时，方程无解，直线与椭圆相离． 3．弦长公式设直线l ：y ＝kx ＋m(k≠0，m 为常数)与椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)相交，两个交点分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).弦长公式①：|AB|＝1＋k 2 ·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ． 弦长公式②：|AB|＝1＋1k2 ·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．( ) (2)直线x 2 －y ＝1被椭圆x 24＋y 2＝1截得的弦长为 5 .( )(3)已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)与点P(b ，0)，过点P 可作出该椭圆的一条切线．( )(4)直线y ＝k(x －a)(k≠0)与椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1的位置关系是相交．( )提示：(1)√.根据椭圆的对称性可知，直线过椭圆的中心时，弦长最大．(2)√.由x 2 －y ＝1得y ＝x 2 －1，代入x 24 ＋y 2＝1，解得两交点坐标A(0，－1)，B(2，0).|AB|＝（0－2）2＋（－1－0）2 ＝ 5 .(3)×.因为P(b ，0)在椭圆内部，过点P 作不出椭圆的切线．(4)√.直线y ＝k(x －a)(k≠0)过点(a ，0)且斜率存在，所以直线y ＝k(x －a)与椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1的位置关系是相交．2．直线y ＝kx －k ＋1(k≠0)与椭圆x 29 ＋y 24 ＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定【解析】选A.直线y ＝kx －k ＋1＝k(x －1)＋1(k≠0)过定点(1，1)，且该点在椭圆内部，因此直线必与椭圆相交．3．(2020·沈阳高二检测)椭圆ax 2＋by 2＝1()a>0，b>0 与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32 ，则ba的值为( ) A ．33 B ．233 C ．932 D ．2327【解析】()x 1，y 1 ，B ()x 2，y 2 ，由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1y ＝1－x 得()a ＋b x 2－2bx ＋b －1＝0， 则x 1＋x 2＝2b a ＋b .设线段AB 的中点为C ，则x C ＝b a ＋b .将x C ＝b a ＋b 代入y ＝1－x 得到y C ＝aa ＋b.因为k OC ＝aa ＋b b a ＋b＝a b ＝32 ，故b a ＝233 .4．(教材二次开发：习题改编)椭圆x 216 ＋y 24 ＝1上的点到直线x ＋2y － 2 ＝0的最大距离是________．【解析】设直线x ＋2y ＋c ＝0与椭圆x 216 ＋y 24＝1相切．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋c ＝0，x 216＋y 24＝1，消去x 整理得8y 2＋4cy ＋c 2－16＝0.由Δ＝16(32－c 2)＝0得c ＝±4 2 ．当c ＝4 2 时，符合题意(c ＝－4 2 舍去).即x ＋2y ＋4 2 ＝0与椭圆x 216 ＋y 24 ＝1相切，椭圆x 216 ＋y 24 ＝1上的点到直线x ＋2y － 2 ＝0的最大距离即为两条平行线之间的距离d ＝|－2－42|12＋22 ＝10 .答案：10关键能力·合作学习类型一 直线与椭圆的位置关系(数学运算) 【典例】1.若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( ) A ．2个 B ．至多一个 C ．1个 D ．0个2．已知椭圆E ：x 28 ＋y 24 ＝1，直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆E 有两个公共点，则实数m 的取值范围是__________． 【解析】4m 2＋n 2＞2，所以m 2＋n 2<4.所以－2<m<2，－2<n<2.所以点P(m ，n)在椭圆x 29 ＋y 24 ＝1内，故过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29 ＋y 24 ＝1有2个交点．2．由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ， 消去y 得3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0.因为直线l 与椭圆E 有两个公共点， 所以Δ＝16m 2－12(2m 2－8)>0， 解得－2 3 ＜m ＜2 3 ，所以实数m 的取值范围是(－2 3 ，2 3 ). 答案：(－2 3 ，2 3 )直线与椭圆位置关系的判断方法【补偿训练】在平面直角坐标系Oxy 中，经过点(0， 2 )且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22 ＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q ，求k 的取值范围．【解析】由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋ 2 ，代入椭圆方程得x 22 ＋(kx ＋ 2 )2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2 x 2＋2 2 kx ＋1＝0， 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2 ＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22 或k ＞22， 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22 ∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞ . 类型二 弦长及中点弦问题(数学运算)【典例】过椭圆x 216 ＋y 24 ＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M 点平分．(1)求此弦所在的直线方程． (2)求此弦长．【思路导引】(1)方法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解． 方法二：点差法(2)设弦的两端点分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，利用弦长公式求解．【解析】(1)方法一：设所求直线方程为y －1＝k(x －2).代入椭圆方程并整理， 得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k)x ＋4(2k －1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程的两个根， 于是x 1＋x 2＝8（2k 2－k ）4k 2＋1.又M 为AB 的中点，所以x 1＋x 22 ＝4（2k 2－k ）4k 2＋1 ＝2，解得k ＝－12 .故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.方法二：设直线与椭圆的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2). 又M(2，1)为AB 的中点，所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又A ，B 两点在椭圆上，则x 21 ＋4y 21 ＝16，x 22 ＋4y 22 ＝16. 两式相减得(x 21 －x 22 )＋4(y 21 －y 22 )＝0.于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.所以y 1－y 2x 1－x 2 ＝－x 1＋x 24（y 1＋y 2） ＝－12 ，即k AB ＝－12 .又直线AB 过点M(2，1)， 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.(2)设弦的两端点分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y 24＝1，得x 2－4x ＝0， 所以x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝0， 所以|AB|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋⎝⎛⎭⎫－122·42－4×0 ＝2 5 .直线被椭圆截得的弦长的求法思路 (1)求两交点坐标，转化为两点间距离． (2)用公式来求．设直线斜率为k ，直线与椭圆两交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB|＝1＋k 2 ·|x 1－x 2|＝1＋1k2 ·|y 1－y 2|. 提醒：在解决直线与椭圆相交问题时，一般要消元化为一元二次方程，常用根与系数的关系，此时易忽视对所化一元二次方程判断判别式大于0.已知动点P 与平面上两定点A(－ 2 ，0)，B( 2 ，0)连线的斜率的积为定值－12 .(1)试求动点P 的轨迹方程C ；(2)设直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C 交于M ，N 两点，当|MN|＝423时，求直线l 的方程． 【解析】(1)设动点P 的坐标是(x ，y)，由题意得，k PA ·k PB ＝－12 .所以y x ＋2 ·y x －2 ＝－12 ，化简整理得x 22＋y 2＝1.故P 点的轨迹方程C 是x 22 ＋y 2＝1(x≠± 2 ).(2)设直线l 与曲线C 的交点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0.所以x 1＋x 2＝－4k1＋2k 2 ，x 1·x 2＝0.|MN|＝1＋k 2 ·（x 1＋x 2）2－4x 1·x 2 ＝423，整理得k 4＋k 2－2＝0， 解得k 2＝1或k 2＝－2(舍). 所以k ＝±1，经检验符合题意． 所以直线l 的方程是y ＝±x ＋1， 即x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0.类型三 与椭圆有关的综合问题(逻辑推理、数学运算)【典例】已知椭圆E ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为M ，且△MF 1F 2为面积是1的等腰直角三角形． (1)求椭圆E 的方程；(2)若直线l ：y ＝－x ＋m 与椭圆E 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆与y 轴相切，求m 的值． 【思路导引】(1)根据已知条件求出a ，b ，从而得到椭圆方程． (2)依据以AB 为直径的圆的圆心到y 轴的距离等于半径，列方程求m. 【解析】(1)由题意可得M(0，b)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，由△MF 1F 2为面积是1的等腰直角三角形得12 a 2＝1，b ＝c ，且a 2－b 2＝c 2，解得b ＝c ＝1，a＝ 2 ，则椭圆E 的方程为x 22 ＋y 2＝1.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，－x ＋m ＝y ⇒3x 2－4mx ＋2m 2－2＝0，有Δ＝16m 2－12(2m 2－2)＞0， 即－ 3 ＜m ＜ 3 ，x 1＋x 2＝4m3 ，x 1x 2＝2m 2－23 ，可得AB 中点横坐标为2m3 ，|AB|＝1＋1 ·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝ 2 ·16m 29－8m 2－83 ＝433－m 2 ，以AB 为直径的圆与y 轴相切， 可得半径r ＝12 |AB|＝2|m|3 ，即233－m 2 ＝2|m|3，解得m ＝±62 ∈(－ 3 ， 3 )，则m 的值为±62.解决直线和椭圆综合问题的注意点(1)根据条件设出合适的直线的方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论． (2)在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算简单．(3)不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用，这一点容易忽视． 【补偿训练】已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，直线l ：y ＝ 3 x 与椭圆C 相交于A ，B两点(A 在B 上方)，若AF ⊥BF ，则椭圆C 的离心率为________．【解析】由椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，直线l ：y ＝ 3 x 与椭圆C 相交于A ，B 两点，AF ⊥BF ，可知三角形OAF 是正三角形，A ⎝⎛⎭⎫12c ，32c ，所以|FB|＝ 3 c ，由椭圆的定义可得 3 c ＋c ＝2a ， 可得e ＝c a ＝23＋1 ＝ 3 －1.答案： 3 －1备选类型 椭圆方程及其性质的综合应用(逻辑推理、数学运算)【典例】如图所示，已知椭圆E ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)过点(0， 2 )，且离心率e ＝22.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝⎛⎭⎫－94，0 与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．【思路导引】(1)由椭圆经过的一点及离心率公式，再结合a 2＝b 2＋c 2即可求出a ，b ，c 的值，从而可得椭圆E 的方程．(2)方法一：判断点与圆的位置关系，只需把点G 与圆心的距离d 与圆的半径r 进行比较，若d>r ，则点G 在圆外；若d ＝r ，则点G 在圆上；若d<r ，则点G 在圆内．方法二：只需判断GA → ·GB → 的符号，若GA → ·GB → ＝0，则点G 在圆上；若GA → ·GB →>0，则点G 在圆外；若GA → ·GB → <0，则点G 在圆内．【解析】(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，c ＝2．所以椭圆E 的方程为x 24 ＋y 22＝1.(2)方法一：设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点为H(x 0，y 0).由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0， 所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而y 0＝m m 2＋2.所以|GH|2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋94 2＋y 20 ＝⎝⎛⎭⎫my 0＋54 2＋y 20 ＝(m 2＋1)y 20 ＋52 my 0＋2516 .|AB|24 ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24 ＝（1＋m 2）（y 1－y 2）24 ＝（1＋m 2）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20 －y 1y 2)， 故|GH|2－|AB|24 ＝52 my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516 ＝5m 22（m 2＋2） －3（1＋m 2）m 2＋2 ＋2516 ＝17m 2＋216（m 2＋2）>0，所以|GH|>|AB|2 ， 故点G ⎝⎛⎭⎫－94，0 在以线段AB 为直径的圆外． 方法二：设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则GA → ＝⎝⎛⎭⎫x 1＋94，y 1 ，GB →＝⎝⎛⎭⎫x 2＋94，y 2 . 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而GA → ·GB →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋94 ⎝⎛⎭⎫x 2＋94 ＋y 1y 2＝ ⎝⎛⎭⎫my 1＋54 ⎝⎛⎭⎫my 2＋54 ＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋54 m(y 1＋y 2)＋2516＝－3（m 2＋1）m 2＋2＋52m 2m 2＋2＋2516＝17m 2＋216（m 2＋2）>0，所以cos 〈GA → ，GB →〉>0.又GA → ，GB →不共线，所以∠AGB 为锐角． 故点G ⎝⎛⎭⎫－94，0 在以线段AB 为直径的圆外．解决与椭圆有关的综合问题的思路直线与椭圆的综合问题常与不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等知识联系在一起综合考查，解决这类问题常需要挖掘出题目中隐含的数量关系、垂直关系等，然后利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式进行合理的转化，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－ 3 ，0)和F 2( 3 ，0)，且椭圆过点⎝⎛⎭⎫1，－32 . (1)求椭圆方程；(2)过点⎝⎛⎭⎫－65，0 作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M ，N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由． 【解析】(1)由题意设椭圆方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)，将c ＝ 3，a 2＝b 2＋c 2，代入椭圆方程得x 2b 2＋3 ＋y 2b 2 ＝1， 又因为椭圆过点⎝⎛⎭⎫1，－32 ，得1b 2＋3 ＋34b 2 ＝1，解得b 2＝1，所以a 2x 24＋y 2＝1.(2)设直线MN 的方程为x ＝ky －65，联立直线MN 和椭圆的方程⎩⎨⎧x ＝ky －65，x24＋y 2＝1，得(k 2＋4)y 2－125 ky －6425＝0，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，A(－2，0)，y 1y 2＝－6425（k 2＋4） ，y 1＋y 2＝12k 5（k 2＋4），则AM → ·AN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝(k 2＋1)y 1y 2＋45 k(y 1＋y 2)＋1625 ＝0，所以∠MAN ＝π2.课堂检测·素养达标1．若直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23 ＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．m>1B ．m>1且m≠3C ．m>3D ．m>0且m≠3【解析】x 2m ＋y 23＝1中，m>0且m≠3，而直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，化简可得()m ＋3 x 2＋4mx ＋m ＝0， 所以Δ＝()4m 2－4m ()m ＋3 ＝12m ()m －1 >0， 可得m>1或m<0，又因为m>0且m≠3，得m>1且m≠3.2．如果椭圆x 236 ＋y 29 ＝1的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是( )A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x ＋3y －12＝0D ．x ＋2y －8＝0【解析】选D.设这条弦的两端点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，斜率为k ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21 36＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，两式相减再变形得x 1＋x 236 ＋k y 1＋y 29 ＝0.又弦中点为(4，2)，故k ＝－12，故这条弦所在的直线方程为y －2＝－12 (x －4)，整理得x ＋2y －8＝0.3．过椭圆x 225 ＋y 29＝1的左焦点且斜率为1的弦AB 的长是____．【解析】椭圆的左焦点为(－4，0)，由⎩⎨⎧y ＝x ＋4，x 225＋y 29＝1，得34x 2＋200x ＋175＝0， 所以x 1＋x 2＝－20034 ，x 1x 2＝17534 .所以|AB|＝ 2 ×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝ 2 ×⎝⎛⎭⎫－200342－4×17534 ＝9017. 答案：90174．已知椭圆x 2a 2 ＋y 22 ＝1(a ＞ 2 )的左、右焦点分别为F 1，F 2.过左焦点F 1作斜率为－2的直线与椭圆交于A ，B 两点，P 是AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为14 ，则a 的值是________．【解析】设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21 b 2＝1，x 22 a 2＋y 22 b 2＝1，两式相减得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2 ＝－（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2 ，所以x 1＋x 2y 1＋y 2 ＝－a 2b 2 ·y 1－y 2x 1－x 2，所以x 0y 0 ＝2a 2b 2 ＝4，所以a 2＝2b 2＝4， 所以a ＝2. 答案：25．(2020·南昌高二检测)已知直线y ＝kx －1与焦点在x 轴上的椭圆C ：x 24 ＋y 2b 2 ＝1(b>0)总有公共点，则椭圆C 的离心率取值范围是________． 【解析】因为椭圆焦点在x 轴上，所以b 2<4， 因为b>0，所以0<b<2；因为直线y ＝kx －1与椭圆总有公共点， 所以04 ＋（－1）2b 2 ≤1，因为b>0，所以b≥1， 综上1≤b<2，e ＝c a ＝1－b 2a2 ＝1－b 24 ∈⎝⎛⎦⎤0，32 .答案：⎝⎛⎦⎤0，32。
直线与椭圆
§8.6 直线与椭圆考试要求 1.理解直线与椭圆位置关系判断方法.2.掌握直线被椭圆所截的弦长公式.3.了解直线与椭圆相交的综合问题．知识梳理1．直线与椭圆的位置判断将直线方程与椭圆方程联立，消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与椭圆相交⇔Δ>0；直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ<0. 2．弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] 或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]，k 为直线斜率且k ≠0. 常用结论已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．(1)通径的长度为2b 2a.(2)过左焦点的弦AB ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则焦点弦|AB |＝2a ＋e (x 1＋x 2)；过右焦点弦CD ，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则焦点弦|CD |＝2a －e (x 3＋x 4)．(e 为椭圆的离心率)(3)A 1，A 2为椭圆的长轴顶点，P 是椭圆上异于A 1，A 2的任一点，则2122·PA PA k b k a=-.(4)AB 是椭圆的不平行于对称轴的弦，O 为原点，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a 2.(5)过原点的直线交椭圆于A ，B 两点，P 是椭圆上异于A ，B 的任一点，则k P A ·k PB ＝－b 2a 2.(6)点P (x 0，y 0)在椭圆上，过点P 的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦．( √ ) (2)直线y ＝x 与椭圆x 22＋y 2＝1一定相交．( √ )(3)直线y ＝x －1被椭圆x 22＋y 2＝1截得的弦长为 2.( × )(4)过椭圆上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.( × )教材改编题1．直线y ＝x ＋1与椭圆x 25＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断答案 A解析 方法一 (通解)联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 25＋y 24＝1，消去y 得9x 2＋10x －15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)＞0，所以直线与椭圆相交．方法二 (优解)直线过点(0,1)，而0＋14＜1，即点(0,1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交．2．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )A.45B.65C.85D.135答案 C解析 由题意得，a 2＝4，b 2＝1，所以c 2＝3， 所以右焦点坐标为(3，0)， 则直线l 的方程为y ＝x －3， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，x 24＋y 2＝1，消y 得，5x 2－83x ＋8＝0， 则x 1＋x 2＝835，x 1·x 2＝85，所以|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2×⎝⎛⎭⎫8352－4×85＝85.即弦AB 的长为85.3．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1,0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________． 答案 y 24＋x 2＝1解析 因为椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1的右顶点为A (1,0)，所以b ＝1，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1， 所以2b 2a ＝1，a ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 2＝1.题型一 直线与椭圆的位置关系例1 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点．解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 24＋y 22＝1，消去y 并整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0. Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． 教师备选(多选)直线y ＝kx －2k ＋62与椭圆x 24＋y 23＝1的位置关系可能为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．有3个公共点答案 AB解析 直线y ＝kx －2k ＋62＝k (x －2)＋62恒过定点⎝⎛⎭⎫2，62，又点⎝⎛⎭⎫2，62在椭圆上，故直线与椭圆可能相交也可能相切． 思维升华 判断直线与椭圆位置关系的方法(1)判断直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数． (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点． 跟踪训练1 已知动点M 到两定点F 1(－m ，0)，F 2(m ，0)的距离之和为4(0<m <2)，且动点M 的轨迹曲线C 过点N ⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求m 的值；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与曲线C 有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围．解 (1)由0<m <2，得2m <4，可知曲线C 是以两定点F 1(－m ，0)，F 2(m ，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆，所以a ＝2，设曲线C 的方程为x 24＋y 2b 2＝1，把点N ⎝⎛⎭⎫3，12代入， 得34＋14b2＝1， 解得b 2＝1，由c 2＝a 2－b 2， 解得c 2＝3， 所以m ＝ 3.(2)由(1)知曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋2，消去y 得⎝⎛⎭⎫14＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0， 则有Δ＝4k 2－1>0，得k 2>14.所以k >12或k <－12，所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 题型二 弦长及中点弦问题 命题点1 弦长问题例2 (2022·百校联盟开学考)在平面直角坐标系Oxy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P (2,1)，且离心率e ＝32. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若|AB |＝5，求直线l 的方程．解(1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34， ∴a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P (2,1)，∴4a 2＋1b 2＝1， ∴a 2＝8，b 2＝2.故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y22＝1，整理，得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0. ∴Δ＝4m 2－8m 2＋16＞0，解得|m |＜2. ∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4. 则|AB |＝1＋14×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5(4－m 2)＝5，解得m ＝±3.所求直线l 的方程为y ＝12x ±3.命题点2 中点弦问题例3 已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为__________． 答案 x ＋2y －3＝0解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y －1＝k (x －1)，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，消去y 得，(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0， ∴x 1＋x 2＝4k (k －1)2k 2＋1，又∵x 1＋x 2＝2， ∴4k (k －1)2k 2＋1＝2，解得k ＝－12. 经检验，k ＝－12满足题意．故此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.方法二 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k ，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，① x 224＋y 222＝1，② ①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0， 又x 2－x 1≠0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12.经检验，k ＝－12满足题意．∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 教师备选已知直线l 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点P (1,1)．(1)求直线l 的方程； (2)求△OAB 的面积．解 (1)由斜率公式可知k OP ＝1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 代入椭圆方程得到，⎩⎨⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1⇒x 21－x 224＋y 21－y 223＝0，化简得到－34×x 1＋x 2y 1＋y 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝k AB，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴k AB ＝－34，∴直线方程为y －1＝－34(x －1)，∴直线l 的方程为3x ＋4y －7＝0.(2)将直线方程与椭圆方程联立，可得21x 2－42x ＋1＝0， Δ＝422－4×21>0， ∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝121.由弦长公式得到 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋916×4－421＝54×410521＝510521， 再由点到直线的距离公式得到坐标原点到直线AB 的距离d ＝|－7|9＋16＝75， ∴△OAB 的面积S ＝12×510521×75＝1056.思维升华 解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路跟踪训练2 (1)(2022·济宁模拟)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，过点P ⎝⎛⎭⎫1，12的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则直线AB 的方程为( ) A ．3x －2y －2＝0B ．3x ＋2y －4＝0C ．3x ＋4y －5＝0D ．3x －4y －1＝0答案 B解析 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由中点坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝1，由⎩⎨⎧x 214＋y 213＝1， ①x 224＋y223＝1，②①－②得x 21－x 224＋y 21－y 223＝0，即y 21－y 22x 21－x 22＝－34， 即y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝12k AB ＝－34，所以k AB ＝－32，因此直线AB 的方程为y －12＝－32(x －1)，即3x ＋2y －4＝0.(2)已知椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过原点的直线l 与E 交于A ，B 两点，且AF 1，BF 2都与x 轴垂直，则|AB |＝________. 答案13解析 由题意得c 2＝a 2－b 2＝4－3＝1，因为直线l 过原点，且交椭圆E 于A ，B 两点，所以A 与B 关于原点对称，又AF 1，BF 2都与x 轴垂直， 所以设A (－1，y 1)，B (1，－y 1)， 则|AB |＝(－1－1)2＋[y 1－(－y 1)]2＝4＋4y 21.又点A 在椭圆E 上， 所以14＋y 213＝1，得y 21＝94， 则|AB |＝4＋4×94＝13.题型三 直线与椭圆的综合问题例4 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P (1,0)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若△ABO 的面积为35(O 为坐标原点)，求直线l 的方程．解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，2b ＝2，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知直线的斜率不为0， 则设直线的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 2＝1，整理得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0，Δ＝(2m )2－4(m 2＋4)×(－3)＝16m 2＋48>0， 则y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4，故|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m m 2＋42＋12m 2＋4＝4m 2＋3m 2＋4， 因为△ABO 的面积为35， 所以12|OP ||y 1－y 2|＝12×1×4m 2＋3m 2＋4＝2m 2＋3m 2＋4＝35， 设t ＝m 2＋3≥3，则2t t 2＋1＝35， 整理得(3t －1)(t －3)＝0，解得t ＝3或t ＝13(舍去)，即m ＝±6. 故直线的方程为x ＝±6y ＋1，即x ±6y －1＝0.教师备选(2020·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0，－3)，右焦点为F ，且|OA |＝|OF |，其中O 为原点．(1)求椭圆的方程；(2)已知点C 满足3OC →＝OF →，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．解 (1)由已知可得b ＝3，记半焦距为c ，由|OF |＝|OA |可得c ＝b ＝3，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝18，所以椭圆的方程为x 218＋y 29＝1. (2)因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB ⊥CP .依题意，直线AB 和直线CP 的斜率均存在．设直线AB 的方程为y ＝kx －3.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3，x 218＋y 29＝1，消去y 可得(2k 2＋1)x 2－12kx ＝0，解得x ＝0或x ＝12k 2k 2＋1. 依题意，可得点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2k 2＋1，6k 2－32k 2＋1. 因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0，－3)，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 2k 2＋1，－32k 2＋1. 由3OC →＝OF →，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为－32k 2＋1－06k 2k 2＋1－1＝32k 2－6k ＋1. 又因为AB ⊥CP ，所以k ·32k 2－6k ＋1＝－1， 整理得2k 2－3k ＋1＝0，解得k ＝12或k ＝1. 所以直线AB 的方程为y ＝12x －3或y ＝x －3， 即x －2y －6＝0或x －y －3＝0.思维升华 (1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y (或x )得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解．(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 跟踪训练3 已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，短轴的两个端点分别为B 1，B 2.(1)若△F 1B 1B 2为等边三角形，求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且F 1P －→⊥F 1Q －→，求直线l 的方程．解 (1)由题意知，△F 1B 1B 2为等边三角形，所以c ＝3b ，又c ＝1，所以b ＝33， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝43， 故椭圆C 的方程为3x 24＋3y 2＝1. (2)易知椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1， 当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1， 得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2(k 2－1)2k 2＋1， F 1P －→＝(x 1＋1，y 1)，F 1Q －→＝(x 2＋1，y 2)，因为F 1P －→⊥F 1Q －→，所以F 1P －→·F 1Q －→＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝(k 2＋1)x 1x 2－(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝7k 2－12k 2＋1＝0， 解得k 2＝17，即k ＝±77， 故直线l 的方程为x ＋7y －1＝0或x －7y －1＝0.课时精练1．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B ．(1，3)∪(3，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(0，3)∪(3，＋∞)答案 B 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0.由Δ>0且m ≠3及m >0，得m >1且m ≠3. 2．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，过M 的右焦点F (3,0)作直线交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为(2,1)，则椭圆M 的方程为( )A.x 29＋y 26＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.x 212＋y 23＝1 D.x 218＋y 29＝1 答案 D解析 直线AB 的斜率k ＝1－02－3＝－1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程可得x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1， 两式相减，整理得2a 2－1b 2＝0， 又c ＝3，a 2＝b 2＋c 2.联立解得a 2＝18，b 2＝9.所以椭圆M 的方程为x 218＋y 29＝1. 3．(多选)已知椭圆x 22＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝423，则实数m 的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2答案 AB解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝x ＋m消去y 并整理， 得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0.Δ＝16m 2－12(2m 2－2)＝－8m 2＋24>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－23. 由题意， 得|AB |＝2(x 1＋x 2)2－8x 1x 2＝423， 解得m ＝±1，满足题意．4．已知直线y ＝kx ＋1，当k 变化时，此直线被椭圆x 24＋y 2＝1截得的最大弦长是( ) A ．2 B.433 C ．4D ．不能确定答案 B解析 直线恒过定点(0,1)，且点(0,1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x ，y )，则弦长为x 2＋(y －1)2＝4－4y 2＋y 2－2y ＋1 ＝－3y 2－2y ＋5＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋132＋163， 所以当y ＝－13时，弦长最大为433. 5．(多选)设椭圆的方程为x 22＋y 24＝1，斜率为k 的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点．下列结论正确的是( )A ．直线AB 与OM 垂直B ．若点M 坐标为(1,1)，则直线方程为2x ＋y －3＝0C ．若直线方程为y ＝x ＋1，则点M 坐标为⎝⎛⎭⎫13，43D ．若直线方程为y ＝x ＋2，则|AB |＝423答案 BD解析 对于A 项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质k AB ·k OM ＝－42＝－2≠－1，所以A 项不正确；对于B 项，根据k AB ·k OM ＝－2，所以k AB ＝－2，所以直线方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，所以B 项正确；对于C 项，若直线方程为y ＝x ＋1，点M ⎝⎛⎭⎫13，43，则k AB ·k OM ＝1×4＝4≠－2，所以C 项不正确；对于D 项，若直线方程为y ＝x ＋2，与椭圆方程x 22＋y 24＝1联立， 得到2x 2＋(x ＋2)2－4＝0，整理得3x 2＋4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－43， 所以|AB |＝1＋12⎪⎪⎪⎪－43－0＝423， 所以D 项正确．6．(多选)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两焦点分别是F 1，F 2，其中|F 1F 2|＝2c .直线l ：y ＝k (x ＋c )(k ∈R )与椭圆交于A ，B 两点，则下列说法中正确的有( )A ．△ABF 2的周长为4aB ．若AB 的中点为M ，则k OM ·k ＝b 2a 2 C ．若AF 1－→·AF 2－→＝3c 2，则椭圆的离心率的取值范围是⎣⎡⎦⎤55，12 D ．若|AB |的最小值为3c ，则椭圆的离心率e ＝13答案 AC解析 由直线l ：y ＝k (x ＋c )过点(－c ，0)，知弦AB 过椭圆的左焦点F 1.所以△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ，所以A 正确；设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， k OM ＝y 1＋y 2x 1＋x 2，k ＝y 1－y 2x 1－x 2， 所以k OM ·k ＝y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝y 21－y 22x 21－x 22， 由⎩⎨⎧ x 21a 2＋y 21b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②①－②得x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b2＝0， 所以y 21－y 22x 21－x 22＝－b 2a 2， 则k OM ·k ＝y 21－y 22x 21－x 22＝－b 2a 2， 所以B 错误；AF 1－→＝(－c －x 1，－y 1)，AF 2－→＝(c －x 1，－y 1)，所以AF 1－→·AF 2－→＝x 21－c 2＋y 21＝c 2a 2x 21＋a 2－2c 2∈[a 2－2c 2，a 2－c 2]， 则a 2－2c 2≤3c 2≤a 2－c 2，可得e ＝c a ∈⎣⎡⎦⎤55，12， 所以C 正确；由过焦点的弦中通径最短，则|AB |的最小值为通径2b 2a ，则有2b 2a＝3c ， 即2a 2－3ac －2c 2＝0，解得a ＝2c ，所以e ＝c a ＝12，所以D 错误． 7．已知直线l ：y ＝k (x －1)与椭圆C ：x 24＋y 2＝1交于不同的两点A ，B ，AB 中点的横坐标为12，则k ＝________.答案 ±12解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，因为直线l 过椭圆内的定点(1,0)，所以Δ>0，x 1＋x 2＝8k 24k 2＋1， 所以x 1＋x 22＝4k 24k 2＋1＝12， 即k 2＝14，所以k ＝±12. 8．与椭圆x 22＋y 2＝1有相同的焦点且与直线l ：x －y ＋3＝0相切的椭圆的离心率为________． 答案 55解析 因为所求椭圆与椭圆x 22＋y 2＝1有相同的焦点，所以可设所求椭圆的方程为 x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)， 联立方程组⎩⎨⎧ x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，y ＝x ＋3⇒(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，因为直线l 与椭圆相切，所以Δ＝36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)＝0，化简得a 4－6a 2＋5＝0，即a 2＝5或a 2＝1(舍)．则a ＝ 5.又c ＝1，所以e ＝c a ＝15＝55. 9．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，椭圆M 的离心率为12，且过点⎝⎛⎭⎫1，32. (1)求椭圆M 的方程；(2)若过点N (1,1)的直线与该椭圆M 交于P ，Q 两点，且线段PQ 的中点恰为点N ，求直线PQ 的方程．解 (1)∵e ＝c a ＝1－b 2a 2＝12， 则3a 2＝4b 2，将⎝⎛⎭⎫1，32代入椭圆方程得 1a 2＋94b2＝1， 解得a ＝2，b ＝3， ∴椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，∵线段PQ 的中点恰为点N ，∴x P ＋x Q ＝2，y P ＋y Q ＝2.∵x 2P 4＋y 2P 3＝1，x 2Q 4＋y 2Q 3＝1，两式相减可得 14(x P ＋x Q )(x P －x Q )＋13(y P ＋y Q )(y P －y Q )＝0， ∴y P －y Q x P －x Q＝－34， 即直线PQ 的斜率为－34， ∴直线PQ 的方程为y －1＝－34(x －1)， 即3x ＋4y －7＝0.10．设中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆E 过点⎝⎛⎭⎫1，32，且离心率为32.F 为E 的右焦点，P 为E 上一点，PF ⊥x 轴，⊙F 的半径为PF .(1)求椭圆E 和⊙F 的方程；(2)若直线l ：y ＝k (x －3)(k >0)与⊙F 交于A ，B 两点，与E 交于C ，D 两点，其中A ，C 在第一象限，是否存在k 使|AC |＝|BD |？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解 (1)设E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 由题设知1a 2＋34b 2＝1，a 2－b 2a ＝32. 解得a ＝2，b ＝1，故椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1. 因此F (3，0)，|PF |＝12，即⊙F 的半径为12. 所以⊙F 的方程为(x －3)2＋y 2＝14. (2)由题设可知，A 在E 外，B 在E 内，C 在⊙F 内，D 在⊙F 外，在l 上的四点A ，B ，C ，D 满足|AC |＝|AB |－|BC |，|BD |＝|CD |－|BC |.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，将l 的方程代入E 的方程得(1＋4k 2)x 2－83k 2x ＋12k 2－4＝0，则x 1＋x 2＝83k 24k 2＋1， x 1x 2＝12k 2－44k 2＋1，|CD|＝1＋k2(x1＋x2)2－4x1x2＝4k2＋44k2＋1＝1＋34k2＋1＞1，又⊙F的直径|AB|＝1，所以|BD|－|AC|＝|CD|－|AB|＝|CD|－1>0，故不存在正数k使|AC|＝|BD|.11．(2022·临沂模拟)过椭圆内定点M且长度为整数的弦，称作该椭圆过点M的“好弦”．在椭圆x264＋y216＝1中，过点M(43，0)的所有“好弦”的长度之和为()A．120 B．130C．240 D．260答案 C解析由已知可得a＝8，b＝4，所以c＝43，故M为椭圆的右焦点，由椭圆的性质可得当过焦点的弦垂直x轴时弦长最短，所以当x＝43时，最短的弦长为2b2a ＝2×168＝4，当弦与x轴重合时，弦长最长为2a＝16，则弦长的取值范围为[4,16]，故弦长为整数的弦有4到16的所有整数，则“好弦”的长度和为4＋16＋(5＋6＋7＋…＋15)×2＝240.12．(2022·江南十校模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2＝1(a>1)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭圆交于M，N两点，若△MNF2的周长为8，则△MF1F2面积的最大值为()A.32 B. 3C．2 3 D．3 答案 B解析 由椭圆的定义可得△MNF 2的周长为|MN |＋|MF 2|＋|NF 2|＝|MF 1|＋|NF 1|＋|MF 2|＋|NF 2|＝4a ＝8，∴a ＝2，则c ＝3，则△MF 1F 2面积的最大值为12·2c ·b ＝bc ＝ 3. 13．(2022·兰州质检)已知P (2，－2)是离心率为12的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外一点，经过点P 的光线被y 轴反射后，所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则此条切线的斜率是( )A ．－18B ．－12C ．1D.18答案 D解析 由题意可知e ＝c a ＝12， 又a 2＝b 2＋c 2，故b 2＝34a 2， 设过点P 的直线斜率为k ，则直线方程为y ＋2＝k (x －2)，即y ＝kx －2k －2，则反射后的切线方程为y ＝－kx －2k －2， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－kx －2k －2，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k (k ＋1)x ＋16k 2＋32k ＋16－3a 2＝0，∵所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，∴Δ＝[16k (k ＋1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2＋32k ＋16－3a 2)＝0，化简得4a 2k 2＋3a 2＝16k 2＋32k ＋16，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝16，3a 2＝32k ＋16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，k ＝－18. ∴此切线的斜率为18. 14．(多选)已知O 为坐标原点，椭圆T ：x 24＋y 23＝1的右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆T 于A ，B 两点，则下列结论正确的是( )A ．|AB |的最小值为32B ．若M (异于点F )为线段AB 的中点，则直线AB 与OM 的斜率之积为－34C ．若AF →＝－2BF →，则直线AB 的斜率为±52D ．△AOB 面积的最大值为3答案 BC解析 对于A ，易知当直线AB 垂直于x 轴时，|AB |取得最小值，由椭圆T 的方程知F (1,0)，当x ＝1时，y ＝±32， 所以|AB |的最小值为3，故A 错误；对于B ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，x 1≠x 2，x 0≠0，因为M 为线段AB 的中点，所以x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22， 又点A ，B 在椭圆T 上，所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1， 两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－34·x 1＋x 2y 1＋y 2 ＝－34·x 0y 0， 所以y 1－y 2x 1－x 2·y 0x 0＝－34， 即直线AB 与OM 的斜率之积为－34，故B 正确；对于C ，易知直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，代入椭圆T 的方程得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，则y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4， 因为AF →＝－2BF →，所以y 1＝－2y 2，所以y 1＋y 2＝－y 2＝－6m 3m 2＋4， 则y 2＝6m 3m 2＋4，y 1＝－12m 3m 2＋4， 所以y 1y 2＝6m 3m 2＋4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m 3m 2＋4＝－93m 2＋4， 解得m ＝±255， 所以直线AB 的斜率为±52，故C 正确； 对于D ，△AOB 的面积S ＝12|OF ||y 1－y 2|＝12|y 1－y 2| ＝12(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝6m 2＋13m 2＋4， 令m 2＋1＝t ，则t ≥1，S ＝6t 3t 2＋1＝63t ＋1t， 因为函数y ＝3t ＋1t在t ∈[1，＋∞)上单调递增，所以当t ＝1，即m ＝0时，△AOB 的面积取得最大值，且最大值为32，故D 错误．15．(多选)已知F 1，F 2是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M ，N 是左、右顶点，e 为椭圆C 的离心率，过右焦点F 2的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，若AF 1―→·BF 1―→＝0,3AF 2―→＝2F 2B ―→，|AF 1|＝2|AF 2|，设直线AB 的斜率为k ，直线AM 和直线AN 的斜率分别为k 1，k 2，直线BM 和直线BN 的斜率分别为k 3，k 4，则下列结论一定正确的是( )A ．e ＝55B ．k ＝±12C ．k 1·k 2＝－45D ．k 3·k 4＝45答案 AC解析 ∵AF 1―→·BF 1―→＝0，∴AF 1⊥BF 1，过点F 2作F 1B 的平行线，交AF 1于点E ，∴AF 1⊥EF 2.设|F 2A |＝2t ，|F 1A |＝4t ，又3AF 2－→＝2F 2B －→，∴|AB |＝5t ，∵AF 1⊥BF 1，∴|F 1B |＝3t ，∴12t ＝4a ，∴a ＝3t .∴|BF 1|＝|BF 2|＝3t ＝a ，∴B (0，±b )．在△EF 1F 2中，|EF 1|＝35|AF 1|＝12t 5， |EF 2|＝25|BF 1|＝6t 5， |F 1F 2|＝2c ，∵|EF 1|2＋|EF 2|2＝|F 1F 2|2，∴c ＝3t 5，b ＝a 2－c 2＝6t 5， 椭圆离心率e ＝c a ＝55，故A 正确； k ＝±b c＝±2，故B 错误；设A (x ，y )，易得M (－a ，0)，N (a ，0)，则k 1·k 2＝y x ＋a ·y x －a ＝y 2x 2－a 2＝b 2⎝⎛⎭⎫1－x 2a 2x 2－a 2＝－b 2a 2＝－45， 故C 正确；同理k 3·k 4＝－b 2a 2＝－45， 故D 错误．16．已知直线l 经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点(1,0)，交椭圆C 于点A ，B ，点F 为椭圆C 的左焦点，△ABF 的周长为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线m 与直线l 的倾斜角互补，且交椭圆C 于点M ，N ，|MN |2＝4|AB |，求证：直线m 与直线l 的交点P 在定直线上．(1)解 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝1，4a ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2，∴b 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 若直线l 的斜率不存在，则直线m 的斜率也不存在，这与直线m 与直线l 相交于点P 矛盾，∴直线l 的斜率存在．设l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，m ：y ＝－k (x ＋t )，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )． 将直线m 的方程代入椭圆方程得，(3＋4k 2)x 2＋8k 2tx ＋4(k 2t 2－3)＝0，∴x M ＋x N ＝－8k 2t 3＋4k 2， x M x N ＝4(k 2t 2－3)3＋4k 2，∴|MN |2＝(1＋k 2)·16(12k 2－3k 2t 2＋9)(3＋4k 2)2. 同理，|AB |＝1＋k 2·49k 2＋93＋4k 2 ＝12(1＋k 2)3＋4k 2. 由|MN |2＝4|AB |得t ＝0，此时，Δ＝64k 4t 2－16(3＋4k 2)(k 2t 2－3)＞0， ∴直线m ：y ＝－kx ，∴P ⎝⎛⎭⎫12，－12k ，即点P 在定直线x ＝12上．。
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直线与椭圆的位置关系之弦长公式
一、知识点
1） 弦长公式的推导、几何解释、作用 2） 弦长公式的应用 二、教学过程 1 弦长公式
引例：经过椭圆2
212
x y +=的左焦点F 作倾斜角为60的直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求AB 的长．
分析：左焦点(1,0)F -
，则直线:1)l y x =+代入椭圆方程2
212x y +=，得到 271240x x ++=，则=32∆
设1122(,),(,)A x y B x y ，则
||AB ==
=122||||
x x a -
= 一般：
若直线l 上两点111222(,),(,)P x y P
x y
，则121212||||PP x x y y =-=-，上述公式称为弦长公式，有推导过程知，其实质是直线上两点距离公式的简化式； 说明：
1） 计算12||x x -
，可以通过12||x x -=
但通常利用12||||
x x a -=
计算，其中a 为对应x 的方程的二次项系数，∆为判别式；12||y y -也同理计算，弦长公式体现了“设而不求”的思想
2
） 如图，因为2112||:||:|||P M PM PP k =，又
1
12||||PM x x =-，212||||P M y y =-，则
可知
，12
1212||||PP x x y y =-=- 这里体现了“化斜为直”的思想 2 例题
例1 经过椭圆2
212
x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B
两点，若||7
AB =
l 的方程． 解：设:(1)l y k x =+，代入椭圆方程：2
2
220x y +-=，得到
2222(12)4220k x k x k +++-=，所以28(1)k ∆=+
则
||7
AB ==
=
所以k =
又当k 不存在时，||AB =
所以，直线l 的方程1)y x =+
配套练习：上述例题中，也可以将直线l 设为1x y λ=-，请你计算 解：将1x y λ=-代入椭圆方程2
2
220x y +-=，得到：
22(2)210y y λλ+--=，则2=8+1λ∆（），
则||AB ==
，
所以，λ= 当λ不存在，即0
y =时，||AB =
所以直线
l 的方程为1x y =
- 例2 经过椭圆2
212
x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求OAB ∆面积的最大值．
解：设直线1x y λ=-，代入椭圆方程2
2
220x y +-=，得到：
22(2)210y y λλ+--=，则2=8+1λ∆（）
， 法1
：||AB ==
O l d -，所以1||2AOB
O l S AB d ∆-=⋅
=2112t t t
=≤++
（t 当0λ=时，取到 法2
：11
||||122AOB
A B S AB y y ∆=⋅-=⋅，下同解法1 配套练习1：经过椭圆2
212
x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求||AB 的取值范围． 解：上题可知：
21
||)2
AB λ=-∈+
当λ
不存在时，||AB =
||AB ∈ 配套练习2：
1、经过椭圆2
212
x y +=的左焦点F 作两条互相垂直的直线12,l l 与椭圆分别交于,A B 与,C D 两点，若
32
||||9
AB CD ⋅=
，求直线1l 的方程 参考解答：设直线1:(1)l y k x =+，则21
:(1)l y x k
=-+
，则可知||AB =，同理知
2
22
21
))||221k k CD k k
++=
=++，则由32||||9AB CD ⋅=可知1k =±，1:(1)l y x =±+
例3（备用）
已知椭圆2
2:14
x G y +=，作圆221x y +=的切线l 交椭圆于,A B 两点，O 为坐标原点，求OAB
∆
面积的最大值．
解：设直线l ： x y n λ=+
1=，所以221n λ=+
代入椭圆方程：2
2
440x y +-=，得到：2
2
2
(4)240y n y n λλ+++-=，则
222222=44(4)(4)16(4)=48n n n λλλ∆-+-=+-
则211||11223
AOB S AB t ∆=
⋅==≤+t =）
当λ= 配套练习：
1、已知椭圆：22
143
x y +=，直线l ：2y x m =+与椭圆交于,A B 两点，求AOB S ∆的最大值
参考解答：可知S =≤。