矩阵的满秩分解
矩阵分解——精选推荐
矩阵分解矩阵分解矩阵分解是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积，可分为三⾓分解、满秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD（奇异值）分解等，常见的有三种.矩阵的三⾓分解、正交三⾓分解、满秩分解将矩阵分解为形式⽐较简单或性质⽐较熟悉的⼀些矩阵的乘积,这些分解式能够明显地反映出原矩阵的许多数值特征,如矩阵的秩、⾏列式、特征值及奇异值等. 另⼀⽅⾯, 构造分解式的⽅法和过程也能够为某些数值计算⽅法的建⽴提供了理论依据. 接下来就讨论⼀下矩阵的三⾓分解.1 矩阵的三⾓分解1.1 矩阵的三⾓分解基本概念与定理定义1.1[]5设m n∈和上三⾓矩L C?A C?∈,如果存在下三⾓矩阵m n阵n m∈, 使得A=LU, 则称A可作三⾓分解或LU分解.U C?定义1.2设A为对称正定矩阵, D为⾏列式不为零的任意对⾓矩阵,则T=成⽴：A A=, U为⼀个单位上三⾓矩阵, 且有A LDU1) 如果L是单位下三⾓矩阵, D是对⾓矩阵, U是单位上三⾓矩阵, 则称分解D=为LD U分解.A L U2) 如果L=LD是下三⾓矩阵, ⽽U是单位上三⾓矩阵, 则称三⾓分解A LUCrout分解;= 为克劳特()3) 如果U DU是单位下三⾓矩阵, U 为上三⾓矩阵, 则称三⾓=分解A LUDoolittle分解;= 为杜利特()U --=== , 称为不带平⽅根的乔累斯基()Cholesky 分解;5) 如果12L D L = , 12D U U= , 则1122A LD U LD D U LU=== , 由于T UL = , 则T A LL= , 称为带平⽅根的乔累斯基()Cholesky 分解. 定理 1.1 n阶⾮奇异矩阵A可作三⾓分解的充要条件是k 0A ≠()1,2,,1k n =- ,这⾥A k为A 的k 阶顺序主⼦阵, 以下同.证明必要性. 设⾮奇异矩阵A 有三⾓分解A L U=, 将其写成分块形式k12k122122212222A L 0U =A A 0U kA U L L这⾥A k ,k L 和k U 分别为A, L和U 的k 阶顺序主⼦阵. ⾸先由0⽽L 0k ≠,U 0k ≠; 因此A =L U0kkk ≠()1,2,,1k n =-.充分性. 对阶数n 作数学归纳法. 当n=1时, 1A =（11a ）=（1）（11a ）,结论成⽴. 设对n k =结论成⽴, 即k =k k A L U , 其中k L 和k U 分别是下三⾓矩阵和上三⾓矩阵. 若k 0A ≠,则由kA =L k k U 易知L k 和k U 可逆. 现证当1n k =+时结论也成⽴, 事实上-1k k k k1TT 1T 1-1k+1,1k 1,1k k k A c 0c A =10c kkk T kk k k k k L U L r a r U a r U L +--+++??= ? ?-.由归纳法原理知A 可作三⾓分解.定理 1.1 给出了⾮奇异矩阵可作三⾓分解的充要条件, 由于不满⾜定理1.1的条件, 所以它不能作三⾓分解. 但110000110011211011202A ?????????? ?===.上例表明对于奇异矩阵,它还能作三⾓分解未必要满⾜定理1.1的条件.⾸先指出,⼀个⽅阵的三⾓分解不是唯⼀的, 从上⾯定义来看,杜利特分解与克劳特分解就是两种不同的三⾓分解,其实,⽅阵的三⾓分解有⽆穷多, 这是因为如果D 是⾏列式不为零的任意对⾓矩阵, 有1()()A LU C D D U LU-== ,其中,LU 也分别是下、上三⾓矩阵, 从⽽A LU = 也使A 的⼀个三⾓分解. 因D 的任意性, 所以三⾓分解不唯⼀. 这就是A 的分解式不唯⼀性问题, 需规范化三⾓分解.定理 1.2 （LD U 基本定理）设A 为n 阶⽅阵,则A 可以唯⼀地分解为A =LD U(1.1)的充分必要条件是A 的前1n -个顺序主⼦式k 0A ≠()1,2,,1k n =- .其中L,U分别是单位下、上三⾓矩阵, D是对⾓矩阵D=diag ()12,,,n d d d ,1k k k A d A -=()1,2,,kn = , 01A =.证明充分性. 若k 0A ≠()1,2,,1k n =- , 则由定理1.1, 即实现⼀个杜利特分解A LU= , 其中L 为单位下三⾓矩阵, U 为上三⾓矩阵,记1112122==()()()()()()1111112122222n n n nn a a a a a a ??=()n A , 因为()u 0i ii ii a ≡≠()1,2,,1i n =- .下⾯分两种情况讨论：1) 若A ⾮奇异,由式(1)有n ?=()()() 121122n nn a a a =A ≠, 所以()n nn nna u =≠,这时令()()()()121122diag n nn D a a a = , 则() ()()1121122111,,,n nn D diag a a a -??= ?.LD D U LDU -=== (1.2)是A 的⼀个LD U 分解.2)若A 奇异,则()u 0i iiii a ≡=,此时令()()()12111221,1(,,,,0)n n n D diag a a a ---= ,()()()()121n-111221,1,,,n n n D diag a a a ---= , α=()1n1u,,,Tn u n - ,则10n T UU α-??≡ =1111110=DU 0001n n n n T T U D U D α------,因此不论哪种情况, 只要k0A ≠()1,2,,1k n =- , 总存在⼀个LD U分解式(1.1),1a kk k kk k A d A -==()1,2,,1kn =- ,01A =.均⾮奇异.若还存在另⼀个LD U 分解111A L D U =, 这⾥1L ,1D , 1U 也⾮奇异,于是有111L D U L D U =(1.3)上式两端左乘以11L -以及右乘以1U -和1D -, 得111111L L D U U D---=, (1.4)但式(1.4)左端是单位下三⾓矩阵, 右端是单位上三⾓矩阵, 所以都应该是单位阵, 因此1LL I-=,1111D U UDI--=,即1L L =,111--=. 由后⼀个等式类似地可得11U UI-=,11D D I-=,即有1U U=,1D D=.2) 若A 奇异, 则式(1.3)可写成分块形式1111100001000110001T T T T T L D U L D U ααββ= ? ? ? ? ? ???????????, 其中1L, 1L 是1n -阶单位下三⾓阵; U , 1U 是1n -阶上三⾓阵; D,1D 是1n -阶对⾓阵; α, 1α,β, 1β是1n -维列向量. 由此得出111111=D U D DUD ααββαββα???? ? ???, 其中1L, 1D , 1U 和L ,D, U均⾮奇异, 类似于前⾯的推理, 可得1L =L ,1D =D , 1U =U ,1=αα,T T1=ββ.必要性. 假定A 有⼀个唯⼀的LD U 分解, 写成分块的形式便是1111A 00=0101n n n n T T nn n x D L U ya d αβ----,(1.5)其中1n L -,1D n -, 1n U -, 1n A -分别是L,A的1n -阶顺序主⼦矩阵;x , y, α,β为1n -维列向量. 由式(1.5)有下⾯的矩阵⽅程:1111n n n n A L D U ----=, (1.6)11TTn n yD U β--=,(1.7)11n n x L D α--=, (1.8)1Tnn n na D d βα-=+. (1.9)否则, 若10n A -=, 则由式(1.6)有111110n n n n n A L D U D -----===.于是有1110n n n L D D ---==, 即11n n L D --奇异. 那么对于⾮其次线性⽅程组(1.8)有⽆穷多⾮零解, 不妨设有α', 使11n n L D x α--'=, ⽽α'=α.同理, 因11n n D U --奇异, ()1111TTT n n n n L D U D ----=也奇异,故有ββ'≠, 使11TTn n U D yβ--=, 或11TTn n D U yn nn n d a D βα-'''=-, 则有1111000101n n n n T T nn nA x D L U y a d αβ----'= ? ? ? ?'',这与A 的LD U 分解的唯⼀性⽭盾, 因此10n A -≠.考察1n -阶顺序主⼦矩阵1n A -由式(1.6)写成分块形式, 同样有2222n n n n A L D U ----=. 由于10n D -≠, 所以20n D -≠, 可得222220n n n n n A L D U D -----==≠, 从⽽20n A -≠. 依此类推可得0k A ≠()1,2,,1k n =- .综上所述, 定理证明完毕.推论 1[]3 设A 是n 阶⽅阵, 则A 可惟⼀进⾏杜利特分解的充分必要条件是A 的前1n -个顺序主⼦式11110k k k kka a A a a =≠,1,2,,1k n =- , 其中L 为单位上三⾓矩阵, 即有11121212223132121111n nnn n n n n u u u l u u l l A u l l l -=并且若A 为⾮奇异矩阵, 则充要条件可换为: A的各阶顺序主⼦式全不为零, 即:0k A ≠,1,2,,k n = .推论 2[]3 n 阶⽅阵A 可惟⼀地进⾏克劳特分解111212122212111n nn n nnl u u ll u A LUl l l==的充要条件为11110k k k kka a A a a =≠, 1,2,,1k n =- .若A 为奇异矩阵, 则0nn l =, 若A 为⾮奇异矩阵, 则充要条件也可换为0k A ≠, 1,2,,k n = .定理 1.3[]3 设A 为对称正定矩阵, 则A 可惟⼀地分解为T A LDL =, 其中L 为下三⾓矩阵, D 为对⾓矩阵, 且对⾓元素是L 对⾓线元素的倒数. 即2212n n nnl l l L l l l ?? ?=, 1122111nn l l D l ?? ? ? ? ?=. 其中11/j ijij ik jk kkk l a l l l -==-∑,1,2,,ni = , 1,2,,j i = .。
矩阵满秩分解的一些应用
矩阵满秩分解的一些应用第35卷第5期2005年9月中国海洋大学PERIoDICALoFoCEANUNIVERSITY oFCHINA35(5):761～762Sept.,2005矩阵满秩分解的一些应用姚增善,刘新国(中国海洋大学数学系,山东青岛266071)摘要:把矩阵的满秩分解用于分析广义投影矩阵及双曲广义投影矩阵,得到了新的特征刻画.关键词:广义投影矩阵;Moore-Penrose广义逆;Hermite矩阵中图法分类号:O172.1文献标识码:A文章编号:1672—5174(2005)05—761—020引言首先给出有关的定义.定义1设K为7/阶复方阵,记K为矩阵K的共轭转置.(1)如果K2=K=K,则称K为正交投影矩阵;(2)如果存在/./阶方阵K,使KK及KK都是Hermite矩阵,且满足KKK=K及KKK=K,则称K为矩阵K的Moore—Penrose广义逆.Moore-Penrose广义逆和正交投影矩阵都是代数学中的基本概念.前者在最zb--乘法等问题中有许多应用;而后者用来刻画子空间与投影矩阵的一一对应性,从而把有关子空间的定量研究转化为矩阵分析.1997年,Grofl和Trenkler[推广正交投影矩阵而引入了下面的广义投影矩阵及双曲广义投影矩阵.定义2设K为n阶复方阵,K和K分别为矩阵K的共轭转置及Moore—Penrose广义逆.(1)如果K2=K,则称K为广义投影矩阵;(2)如果K2=K,则称K为双曲广义投影矩阵.最近,Baksalary和Xiao—jiLiu等详细地讨论了定义2给出的这两类矩阵[2-3J.本文继续他们的讨论.但使用的方法不同,本文的基本工具是矩阵的满秩分解_4J:任何秩为r的m×7/矩阵A都可分解为A=BC其中,B和c分别为m×r和7/×r的列满秩矩阵.为了叙述方便,文中使用了下述记号:c表示7/阶复方阵所成的线性空间,矩阵A的列向量张成的线性空间记为R(A).上标及+分别表示共轭转置及Moore—Penrose广义逆,I表示适当阶数的单位阵.1主要结果及其证明设K是秩为r的n阶复方阵,本节考虑下述集合:收稿日期:2005.06.01;修订日期:2005.07.07作者简介:姚增善(1963.),男,硕士,副教授.Tel:(0532)85901953 c={KIK∈C,K:K);cP』={KiK∈c,K=K};c={KIK∈C,K:K);c={KIK∈C,KK=KK);c={KIK∈C,K=K);c={KIK∈c,KKKK=KKKK).显见,cGP为广义投影矩阵构成的集合,c为双曲广义投影矩阵构成的集合.易知cGPc,而且c口P还有下述重要的子集c={KIK∈C,K=K).同时,K为正交投影矩阵当且仅当K:K,K=K,还易知,K为正交投影矩阵的充要条件为K=K= K.因此,广义投影矩阵及双曲广义投影矩阵确实是正交投影矩阵的推广.首先给出c的特征.考虑K的满秩分解K=BC,那么K=K甘B(CB)0C=BC错(CB)0=I.命题1K∈c当且仅当K的满秩分解K=BC满足(CB).=I.接下来考虑cP』.记K=BC,则K=C(CC)I1(BB)I1B.从而K=K错CB=C(CC)(BB)B甘(BB)(CC)=I.再作B和C的极分解B=QlHl,C=Q2H2,这里Hl 和H2为Hermite正定矩阵,且QQl=QQ2=I.则BB=H},CC=H;.总结上述,有命题2cP』={QlQIQl,Q2为竹×r阵,QQl=QQ2=I}.再考虑cGP.考虑K的特殊满秩分解K=BC,cC=I,,那么中国海洋大学K2=K甘BCBC=CB,这说明R(B)=R(C).从而存在r阶可逆方阵G,使B=CG.且K2=K甘(CGC)(CGC)=CGC甘G=G.又由Schur分解,G可分解为G=Q0R0Q,Q0为酉阵,R.为上三角阵,而G=G甘R8=R甘R0=diag(dl,dE,…,d).其中,dj(j=1,2,…,r)为三次单位根,即d;=1,d=d.综上所述,有命题3c?e={QDQIQ为×r阵,QQ=J,D=diag(dI'2,…,d),d=1}.注:三次单位根集合为{?,一号一,/5吉+譬}o再讨论c.令K=BC为满秩分解,那么KK=KK甘BB=CC甘C=BG.这里G=BC为r×r可逆方阵.因此有命题4={QGQIQ为×r阵,QQ=I,G为r×r可逆阵}.再分析cW.考虑K的满秩分解变形K=QlGQ,其中,G为r×r可逆方阵,Ql,Q2为×r矩阵,QQl=QQ2=J.那么K=K甘QlGQQlGQ=Q2G-1Q,从而R(Q1)=R(Q2).因此,不妨取Ql=Q2,此时K=QlGQ.又K=K甘QlGQ=QlG一Q甘G=G一甘G.=J,而G.=J甘G=Q0diag(dl,2,…,d)Q,QQ0=J,d;=1.命题5cW={QDQIQ为×r阵,QQ=I,,D=diag(dI'2,…,d),d=1}.最后考虑cUe.令K=BC,记PK=KK,PK=KK,贝0有PK=BB,PK=CC.可见K∈cUe甘BBCC=CCBB.注意到,PK和PK?为正交投影矩阵且为Hermite阵,上式表明PK和PK.可交换,因而存在酉阵Q,使BB=Qdiag(aI'a2,…,a)Q,CC=Qdiag(卢l,卢2,…,卢)Q,这里ai和取0或1.取R(B)nR(C)的标准正交基(为列)构成矩阵Q,Q适当排列后可用分块阵表示为Q=[QI'Q')],这样BB=[QI'QB],CC=[Ql,Qc],而[Ql,QB,Qc]是列规范正交阵.这表明B=[Ql,QBJGB,C=【QI'QcJGc,其中GB,Gc为r阶可逆阵.从而K=[QI'QB]?G[Ql,Qc],G为可逆阵.易知K∈cW,故有下述结论:命题6cUe=I[QI'Q2]G[QI'Q3]_[QI'Q2,Q3]列规范正交,G为可逆阵}.本文得到的结果大部分是新的,使用的基本工具是矩阵的满秩分解.Baksalary等人使用Jordan分解或Schur分解以及奇异值分解,分析了G及G中矩阵的谱特征,得到的结果很有趣.不难看出,本文的结论可以很容易地导出他们得到的大部分结果.而且,作者认为,从应用的角度看这里得到的结论更便于应用.参考文献:Gro口J,TrenklerG.Generalizedandhypergeneralizedproiectors [J].LinAlgAppl,1997,264:463—474.BaksalaryJK.Baksalary0M.LIUXiao—ji.Furtherpropertiesof generalizedandhypergeneralizedprojectors[J].LinAlgAppl, 2004,389:295—303.BaksalaryJK,LIUXiao-Ji.Analternativecharacterizationofgener—alizedprojectors[J].LinAlgAppl.2004,388:61—65.北京大学数学系编.高等代数第二版[M].北京:高等教育出版社.1988.SomeApplicationsoftheFull-RankDecompositionofMatricesY AOZeng—Shan,LIUXin—Guo(DepartmentofMathematics,OceanUniversityofChina,Qingdao266071,China) Abstract:Inthispaper,thefull—rankdecompositionofmatricesisusedtoanalysegeneralizedprojectionma—tricesandhypergeneralizedprojectionmatrices,andsomenewcharacteristicdescriptionsar eobtained.Keywords:Orthogonalprojectionmatrix;Moore—Penrosegeneralizedinverse;HermitematrixAMSSubjectClassifications:15A23。
矩阵的满秩分解
为 r ( B), r (C ) ≤ r ，但若 r ( B) < r 或 r (C ) < r ，则 r ( A) = r ( BC ) ≤ min(r ( B), r (C )) < r ， 矛盾！ 从定理的证明可以看出， 可以通过对矩阵进行初等变换， 化为行阶梯形矩阵， 从而得到满秩分解。先求得可逆矩阵 P ，使得 PA 为行阶梯形矩阵，再求得 P −1 ， 而后分块即可。 P 的求得很容易，只要将 ( A, I ) 化为行阶梯形矩阵，则右边的一 块即为 P 。我们也可以通过矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系来直接求得 P −1 ，好处在于可以避免复杂的求逆运算。
⎛1 0 0⎞ ⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟， ⎜ −1 0 1 ⎟ A = ⎜ 0 0 −1⎟ ⎜ 2 1 −3 ⎟ ⎜0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 0 1 ⎟ ⎜ 2 1 −3 ⎟ ⎝ ⎠
−1
⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎛1 0 0 ⎞ ⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎜ 0 0 −1⎟ = ⎜1 3 1 ⎟ ⎜ 0 0 −1⎟ = ⎜ 1 3 ⎟ ⎜ 0 0 −1⎟ ⎠ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜1 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜1 1 ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
为满秩分解。
法二
⎛ 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1 1 0 ⎟× ⎜ −1 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟× ⎜ ⎟ ⎜ 0 −1 1⎟ ⎟ ⎜ 3 ⎝ ⎠
05.矩阵理论与方法_矩阵分解
nn
Ax b
可利用高斯消元法求解线性方程组
3
高斯自然顺序主元素消元法
考虑一种理想情况，在消元过程中，矩阵对角元素始终不为零，则可以按 对角元素的自然顺序进行消元，即不用进行行或列交换。
(0) (0) a11 a12 a1(0) n (0) (0) (0) a21 a22 a2 n (0) (0) A A 记 ，其中 a11 0 (0) (0) (0) an1 an 2 ann ai(0) 1 , i 2,..., n ，构造Frobenius矩阵 令 ci1 (0) a11
记
lik aik (li1u1k li 2u2k ... li (k 1)u(k 1)k )
10
矩阵的CROUT分解算法
akj lk1u1 j lk 2u2 j ... lkk ukj ,( j k ) 1 ukj akj (lk1u1 j lk 2u2 j ... lk ( k 1)u( k 1) j ) lkk 5 2 4 0 2 1 2 1 的Crout分解。 例：求矩阵 A 4 2 5 0 0 1 0 2 ,U 合并写在同一个矩阵中，即 矩阵 A 的Crout分解中，可将两矩阵 L u12 u1( n 1) u1n l11 l l u u 22 2( n 1) 2n 21 l l l u ( n 1)( n 1) ( n 1) n ( n 1)1 ( n 1)2 ln1 ln 2 ln ( n 1) lnn
矩阵的分解分析
矩阵的奇异值分解
H mn 定义 2.2.5 设 A Cr ，A A 的特征值为
1 2 r r 1 n 0
则称 i i (i 1,2,, n) 为 A的奇异值；当 A为零矩阵时，它 的奇异值都是0. 定理 2.2.6 设 A Crmn (r 0) ，则存在m 阶酉阵 U 和 n阶 酉矩阵 V ， 0 U H AV 使得 （2-2-5）
矩阵QR分解的求法
（1）Schmidt正交化法
（2）用初等旋转矩阵左乘矩阵A （3）用初等反射矩阵左乘矩阵 A
矩阵的满秩分解
定理 2.2.4设 m n 矩阵 A C mn ， rankA r (r 0) .如果存 在一个列满秩矩阵 C C mr (rankC r )
D C rn (rankD r ) 使得
矩阵的分解及其应用
内容简介
矩阵分解对矩阵理论及近世计算数学的发展起了关键作用 .矩阵 分解是把一个矩阵写成性质比较熟悉或结构比较简单的另一些矩阵的 乘积，其本质是通过建立相应的矩阵分解使有些问题能够得以简化和 分解，从而更加清晰地得到矩阵的相关特性.本文的具体安排如下：
（1）第一章的主要内容是矩阵的概念、分类、运算以及矩阵的秩 及其特征值和特征向量的等；
V ；
（2）求 A的秩
1 , 2 ,, r diag
r ，奇异值
i
i (i 1,2,, n) 及
（3）计算 i
1 Ai (i 1,2,, n) ，从而得正交矩阵U ； i
A U 0 0 T V 0
(4)的奇异值分解为
矩阵分解的应用
5 0 0 0
2 1 5 2 5 1
矩阵论 11 满秩分解与奇异值分解
第十一讲 满秩分解与奇异值分解一、矩阵的满秩分解1. 定义：设m n r A C (r 0)⨯∈>，若存在矩阵m r r F C ⨯∈及r nrG C ⨯∈，使得 A FG =，则称其为A 的一个满秩分解。
说明：（1）F 为列满秩矩阵，即列数等于秩；G 为行满秩矩阵，即行数等于秩。
（2）满秩分解不唯一。
r rrD C ⨯∀∈（r 阶可逆方阵），则 1111A FG F(DD )G (FD)(D G)F G --====，且m r r n1r 1rF C ,G C ⨯⨯∈∈ 2. 存在性定理：任何非零矩阵均存在满秩矩阵证明：采用构造性证明方法。
设m nr A C ⨯∈，则存在初等变换矩阵m mmE C ⨯∈， 使 G r EA B .......O (m r)⎡⎤⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦行行， 其中r nr G C ⨯∈ 将A 写成1A E B -=，并把1E -分块成[]1r (m r)E F |S --=列列，其中m rrF C ⨯∈ .G A F .S ....FG .O ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦E 是满秩分解。
3. Hermite 标准形（行阶梯标准形）设m nr B C (r 0)⨯∈>，且满足（1） B 的前r 行中每一行至少含一个非零元素（称为非零行），且第一个非零元素为1，而后(m r)-行的元素全为零（称为零行）；（2） 若B 中第i 行的第一个非零元素（即1）在第i j 列(i 1,2,...,r)=，则 12r j j ...j <<<;（3） 矩阵B 的第1j 列，第2j 列，…,第r j 列合起来恰为m 阶单位方阵m I 的前r 列（即12r j ,j ,...,j 列上除了前述的1外全为0）则称B 为Hermite 标准形。
例1 561356120013001022B C 000111000000000000⨯⨯-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=∈-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 为Hermite 标准形452245010200013B C 0000000000⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 也是Hermite 标准形4. 满秩分解的一种求法设m nr A C ⨯∈，（1） 采用行初等变换将A 化成Hermite 标准形，其矩阵形式为EA B =，其中B 为Hermite 标准形定义中给出的形状；（2） 选取置换矩阵1 P 的第i 列为i j e ，即该列向量除第i j 个元素为1外，其余元素全为零(i 1,2,...,r)=,其中i j 为Hermite 标准形中每行第一个非零元素（即1）所在的列数；2 其它(n r)-列只需确保P 为置换矩阵即可（P 的每一行，每一列均只有一个非零元素，且为1）；3 用P 右乘任何矩阵（可乘性得到满足时），即可得该矩阵的第i j 列置换到新矩阵（即乘积矩阵）的第i 列 4 令[]1r (n r)P P |*-=列列，即12r n r1j j j rn rP e e ...e C ⨯⨯⎡⎤=∈⎣⎦（3）令G B =的前r 行r n n C ⨯∈，m r1rF AP C ⨯=∈则A FG = 证明：G EA B O ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，[]1G A E B F |S FG O -⎡⎤===⎢⎥⎣⎦则m r r F C ⨯∈，r nrG C ⨯∈，G 已知，但F ?=，当然可以通过求出1E,E -再将1E -分块得到，但这样G 就没必要采用Hermite 标准形形式，注意到r 1I BP O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则[]1r 11I AP E BP F |S F O -⎡⎤===⎢⎥⎣⎦证毕例1 1230A 02111021⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦求其满秩分解解：（1）首先求出A 的秩。
矩阵分解的研究[开题报告]
![矩阵分解的研究[开题报告]](https://img.taocdn.com/s3/m/b0eb5e464028915f814dc253.png)
毕业论文开题报告数学与应用数学矩阵分解的研究一、选题的背景、意义数学作为一种创造性活动不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美.矩阵是数学中的重要组成部分,因此对矩阵的研究具有重大的意义。
在近代数学、工程技术、经济理论管理科学中，大量涉及到矩阵理论的知识。
因此，矩阵理论自然就是学习和研究上述学科必不可少的基础之一。
矩阵理论发展到今天，已经形成了一整套的理论和方法，内容非常丰富。
矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展起了关键的作用。
寻求矩阵在各种意义下的分解形式，是对与矩阵有关的数值计算和理论都有着极为重要的意义。
因为这些分解式的特殊形式，一是能明显的反映出原矩阵的某些特征；二是分解的方法与过程提供了某些有效的数值计算方法和理论分析根据。
这些分解在数值代数和最优化问题的解决中都有着十分重要的角色以及在其他领域方面也起着必不可少的作用。
二、研究的基本内容与拟解决的主要问题本文简单的介绍了矩阵的定义，通过矩阵的定义，由m n ⨯个数(1,2,,,1,2,,)ij a K i m j n ∈==K K 排成的m 行、n 列的长方形表111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭K K M M O M K (1) 称为数域K 上的一个m n ⨯矩阵。
其中的ij a 称为这个矩阵的元。
两个矩阵相等就是它们对应位置的元全相等[1]。
矩阵通常用一个大写拉丁字母表示。
如（1）的矩阵可以被记为A .如果矩阵的行数m 与列数n 相等，则称它为n 阶方阵。
数域K 上所有m n ⨯矩阵的集合记为(),m n M K ,所有n 阶方阵的集合记为()n M K ，元全为0的矩阵称为零矩阵，记为0.矩阵A 的位于第i 行、第j 列的元简称为A 的(),i j 元，记为(),A i j 。
如果矩阵A 的(),i j 元是(1,2,,,1,2,,)ij a i m j n ==K K ，则可以写成()ij A a =。
满秩分解
例1
化矩阵A为Hermite 标准形
1 0 2i i 0 4 2i 2 A 0 0 0 3 6 3 3i , i 1 0 2 1 1 4 4i 1
i 0 1 2 i 0 1 1 2 2 i r1 ( 2 ) 0 0 0 3 6 3 3i 0 2 1 1 4 4i 1
i 0 1 2 i 0 1 1 2 2 r3 2r1 0 0 0 3 6 3 3i 0 0 0 1 2 1 i
i 0 1 2 i 0 1 1 2 2 r2 3r3 2 1 i H 0 0 0 1 r2 r3 0 0 0 0 0 0
y1 x1 0,0,2T ,
y 2 x2
y 3 x3
( x2 , y1 ) ( y1 , y1 )
T y1 x 2 1 y 3 , 4 , 0 2 1
( x3 , y2 ) ( y2 , y2 )
( x3 , y1 ) ( y1 , y1 )
y1
1 8 6 y 2 x3 y1 y 2 , ,0 5 5 5
矩阵QR分解是一种特殊的三角分解，在解决 矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重 要作用。
主要内容： 1· 矩阵的QR分解-- Schmidt正交化方法 2· 矩阵的QR分解-- Householder变换、 Givens变换（略）
nn 如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角矩阵 A C . 定义:设
满秩分解定理：设 A C rmn r 0, 且A的Hermite 标准形H为
k1 0 0 H 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 * 0 0 0 * 0 0 0 k2 0 1 0 0 0 * * * 0 * * 0 0 0 0 1 0 0 kr * * * 0 * * * 第r行 0 0 0
广义行_列_酉对称矩阵的满秩分解及其Moore_Penrose逆
=A .
+
1 广义行 ( 列 ) 酉对称矩阵的概念与性质
定义 1 设A C
m n
, Q 1, Q 2, !, Q k- 1 均为 m 阶酉矩阵, 则称 A A1 A k- 1 ( 其中 A i = Q iA, i = 1 , 2, !, k - 1 )
R (A; Q 1, !, Qk- 1 ) =
n n
2
广义行 ( 列 ) 酉对称矩阵的满秩分解
定理 1 (满秩分解 ) 设A Cr
m n
的满秩分解为 A = FG (F
Cr , G F Q 1F Q k- 1F
m r
G r ), 则广义行酉对称矩阵
r n
R (A; Q 1, !, Qk- 1 )
C
km n
的满秩分解为 R (A; Q 1, !, Q k- 1 ) =
H 1
C kn ,
kn kn
使得 GC (A; Q 1, !, Q k- 1 )F 1 = 证明
由条件有 | F 1 | = ( - 1)
| F | | Q 1 | ! | Qk- 1 | % 0 , 所以 F 1 可逆且
k H H H
GC (A; Q 1, !, Q k- 1 )F 1 = G (A, AQ 1, !, AQ k- 1 )F 1 = (GAF, ( GA - GAQ 1Q 1 )F, !, (GA - GAQ k- 1Q k- 1 )F ) = ( GAF, 0, !, 0) =
云 南 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版 ), Journal of Yunnan Un iversity
2009, 31 ( 5): 439~ 443
矩阵分解大全
矩阵分解⼤全矩阵分解是指根据⼀定的原理⽤某种算法将⼀个矩阵分解成若⼲个矩阵的乘积。
常见的矩阵分解有可逆⽅阵的三⾓（LU）分解、满秩⽅阵的正交三⾓（QR）分解、对称正定矩阵的Cholesky分解，以及任意⽅阵的Schur分解、Hessenberg分解、EVD分解、任意矩阵SVD分解、GMD分解等。
(1) 可逆⽅阵的LU分解矩阵的LU分解就是将⼀个矩阵表⽰为⼀个交换下三⾓矩阵和⼀个上三⾓矩阵的乘积形式。
线性代数中已经证明，只要⽅阵A是⾮奇异的（即可逆的），LU分解总是可以进⾏的。
当L为单位下三⾓矩阵⽽U为上三⾓矩阵时，此三⾓分解称为杜利特(Doolittle)分解。
当L为下三⾓矩阵⽽U为单位上三⾓矩阵时，此三⾓分解称为克劳特(Crout)分解。
显然，如果存在，矩阵的三⾓分解不是唯⼀的。
（PS：⽅阵A可唯⼀地分解为A=LDU(其中L，U分别为单位下，上三⾓矩阵，D为对⾓矩阵)的充分必要条件为A的前n-1个顺序主⼦式都不为0。
特别：对n阶对称正定矩阵，存在⼀个⾮奇异下三⾓矩阵L，使得A=LL'成⽴。
）MATLAB提供的lu函数⽤于对矩阵进⾏LU分解，其调⽤格式为：[L,U]=lu(X)：产⽣⼀个上三⾓阵U和⼀个变换形式的下三⾓阵L(⾏交换)，使之满⾜X=LU。
注意，这⾥的矩阵X必须是⽅阵。
[L,U,P]=lu(X)：产⽣⼀个上三⾓阵U和⼀个下三⾓阵L以及⼀个置换矩阵P，使之满⾜PX=LU。
当然矩阵X同样必须是⽅阵。
(2) 满秩⽅阵的QR分解对矩阵X进⾏QR分解，就是把X分解为⼀个正交矩阵Q和⼀个上三⾓矩阵R的乘积形式。
QR分解只能对⽅阵进⾏。
MATLAB的函数qr可⽤于对矩阵进⾏QR分解，其调⽤格式为：[Q,R]=qr(X)：产⽣⼀个⼀个正交矩阵Q和⼀个上三⾓矩阵R，使之满⾜X=QR。
[Q,R,E]=qr(X)：产⽣⼀个⼀个正交矩阵Q、⼀个上三⾓矩阵R以及⼀个置换矩阵E，使之满⾜XE=QR。
(3) 对称正定矩阵的Cholesky分解如果矩阵X是对称正定的，则Cholesky分解将矩阵X分解成⼀个下三⾓矩阵和上三⾓矩阵的乘积。
第4章-矩阵分解
于是存在 m 阶可逆矩阵 P ，使得 PA B 或者 A P1B ． 将 P 1
分块为 P 1 (F , S ) ，其中
F C mr 且 rankF r ， S C m(mr) 且 rankS m r ，
则有
A P1B (F, S)G0 FG， 其中 F 是列满秩矩阵， G 是行满秩矩阵．
若 k 0 ，就取 k
1
kH k
k ，（ k
2,3,n) ．
可以验证 1, 2 , n 为“正交向量组”，且每个向量或为零向量， 或为单位向量．而且每个 j 是1, 2 j 的线性组合．反过来上述作 法也保证了每个 j 是 1 , 2 j 的线性组合．因此存在复数 rij 使得
P (e j1 , e j2 ,, e jn ) 称为置换矩阵，这里 j1 j2 jn 是1,2,, n 的一个全排列．
0 0 1 0
例如，矩阵
P
(e3
,
e4
,
e1
,
e2
)
=
0 1 0
0 0 1
0 0 0
1 0 0
就是一个
4
阶置换
矩阵．
置换矩阵 P (e j1 , e j2 ,, e jn ) 有如下一些性质： （1） P 是正交矩阵； （2）对任意 A C mn ， AP 是将 A 的列按 j1 , j2 ,, jn 的次序
1
P
1
A
P
0
r12 2
r n11n 1
r
n2 2n
n
0
b12
2
b1n
b2n
，
n
对给定的 0 ，可选择 r ，使得 bij 成立． 1i jn
第九章 矩阵分解
第一节 矩阵的满秩分解 第二节 矩阵的正交三角分解 第三节 矩阵的奇异值分解 第四节 矩阵的谱分解
2013-12-02
1
第一节 矩阵的满秩分解
满秩分解的基本思想
存在非奇异矩阵 P 和 Q 化矩阵 A 成为标准型，即
PAQ
=
0
0
0
1
取P−1的前两列为B , 取Q−1的前两行为 C
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则得 A 的一种满秩分解
1 A = BC = 2
1
−101
1 0
2 3
0 1
−03
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1
第二节 矩阵的正交三角分解
定理1 设A则∈可C以nn×n唯, 一A分解为 =A U= R 或 A RU1 其中U（,酉U1阵∈）U n是×n 正线上,三R 角矩阵， R1是正线下三角矩阵（主对角线上元素均为正）。
= (b) 因为，BC有 B= 1C1 B*BC B*B1C1
= 所以 C (= B*B)−1 B*B1C1 R2C1
(2)
其中 R2 = (B*B)−1 B*B1
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1
所= 以 BC B= 1R1 R2C1 B1C1
所以 B1*B1R1 R2C1C1* = B1*B1C1C1* (3)
0
为 A的奇异值矩阵。
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1
定理4：对于秩为 r 的复矩阵 Am×n , 必有 m 阶酉 矩阵U 及 n 阶酉矩阵V 使得 U *AV = S 。
这里S是 A 的奇异值矩阵。
证明：设 A的非零奇异值为 σ1,σ 2,,σ r , 则
σ
矩阵满秩分解
矩阵满秩分解
矩阵的满秩分解是指将一个满秩矩阵分解为若干个列向量或行向量的线性组合，使得这些列向量或行向量的列(或行)向量是线性无关的，且这些列(或行)向量的个数等于矩阵的秩。
具体来说，如果一个矩阵 A 满秩 r，则可以将其分解为 r 个列向量的线性组合，即 A=col1⋅α1+col2⋅α2+...+colr⋅αr，其中 col1,col2,...,colr 分别是 A 的 r 个列向量，α1,α2,...,αr是 r 个列向量，满足αi⋅αj=0,i=j，且α1,α2,...,αr是线性无关的。
同样的，也可以将 A 分解为 r 个行向量的线性组合，即A=row1⋅β1+row2⋅β2+...+rowr⋅βr，其中 row1,row2,...,rowr 分别是 A 的 r 个行向量，β1,β2,...,βr是 r 个行向量，满足βi⋅βj =0,i=j，且β1,β2,...,βr是线性无关的。
满秩分解的存在性是由矩阵的秩的定义和线性无关的定义得到的。
广义延拓矩阵的满秩分解和广义逆
应用 问题等 领 域 不 仅有 广 泛 的实 际 应 用 ，而 且 也 有重要 的理 论 研 究价 值 ．文 献针 对 工 程 应 用 领 域 中大量 出现 的对 称 图像 ，给 出 了延 拓矩 阵 （ 或 行 列对称 矩阵 ） 的概 念 ，本 文在 文 献 ［ ４ 的 基 １～ ］ 础上给 出 了广 义延 拓 矩 阵 的满 秩 分 解 、秩分 解 和 广 义逆 的公 式及快 速算法 ，从而拓 宽 了文 献 ［ １— ４ 的理论应 用范 围． ］
广 义延拓 矩 阵 的满 秩 分 解 和 广 义 逆 米
简芳 洪 伍 亚魁 董永红 许 成锋 刘 智 秉
（ 江学院理 学院 江西九江 九 ３２ ０ ） ３０ ５
摘 要 ：本文研 究 了广 义延拓 矩 阵的性 质 ，利 用分块 矩 阵理论 获得 了许 多新 的 结果 ，给
出 了广义延拓 矩 阵的满秩分 解 、秩 分解和 广 义逆 的公 式及 快 速算 法． 它们 可极 大地 减 少广 义延拓 矩 阵的满秩 分解 、秩 分解 和广 义逆 的计 算 量与存储 量 ，并且 不会 丧失数 值精度 ．
关键词 ：广义延拓矩阵；满秩分解 ；广义逆 中图分类 号 ： ５ ． １ 文献标 识码 ：Ａ 文章编号：１７ — ５５（００ ３ ０３ （３ ０ １ １２ ６４ ９４ ２ １）０ — ０４一 ０ ）
满秩 分解 是 矩 阵 的基 本 分 解 方法 之一 ，在 求
Ｃ Ａ； Ｐ ， ， ）＝［ 。 （ Ｐ ，ｚ… Ｐ一 ，Ｐ ， ， ， 一］∈ …
１广义延 拓矩阵 的概念
阵）时 ， （ ； Ｐ ， Ｐ ） Ｒ Ａ Ｐ ， …， ¨ 为文献 ［ ５—６ ］的第
一
类ｋ 次行延拓．当 Ｐ ＝Ｐ ２＝… ＝ 一 （ ，＝ 单
第十六讲 矩阵的满秩分解与奇异值分解
AH A（或 AAH ）的非零特征值的重数大于 1 时，调整V 或（和 U ）的列向量使得
U
0
0 0
V
H
A 是十分困难的。
二、 矩阵的奇异值分解
1 0 0
例
6、仍求例
4
中
A
0
1
0
0 0 0
奇异值分解。
2 1 0
解：
AAH
1
2
0
的
特
征
值
为
0 0 0
1 1 ，2 3 ，3 0（非零特征值应与 AH A
一、 矩阵的满秩分解
0 1 1 1 1
例
1、求矩阵
0
2
2
2
6
的满
0 1 1 2 3
秩分解。
1 1
A
FG
2
1
2 2
0 0
1 0
1 0
0 1
1
2
一、 矩阵的满秩分解
4、应用
例 2、设 A1 与 A2 都是 m n 矩阵，证明 rank( A1 A2 ) rankA1 rankA2 。
定理
3、设
A
C mn r
(r 0) ，则存在 m
阶酉矩阵U 和 n 阶酉矩阵V ，使得
UH
AV
0
0 0
，
其中 diag(1, 2 ,L , r ) ， i (i 1,L , r)
为矩阵 A 的全部非零奇异值。
二、 矩阵的奇异值分解
设
A
C
mn r
(r 0)
的非零奇异值为
1,L , r ， 对 角 阵 diag(1, 2 ,L , r ) ，
华中科技大学研究生矩阵论Matrix3-1
方法3：求列的极大无关组及表示（行变换）：不用求逆 例题2 （P.69，eg5） 例题3（P.70，eg6） 法2
C r行 (A I) O P ，rank (C ) r rank ( A) C C 1 C PA O AP O ( B, B2 ) O BC
方阵的LU和LDV分解（P.61）~ 解方程
例题1（P.61eg1）设 求A的LU和LDV分解。
2 2 3 A 4 7 7 2 4 5
2 2 3 1 0 0 2 2 3 1 0 0 r 2 r 2 2 3 1 0 0 r 2 r 3 2 2 1 ( A I ) 4 7 7 0 1 0 0 3 1 2 1 0 0 3 1 2 1 0 r3 r1 2 4 5 0 0 1 0 0 6 5 2 1 0 6 8 1 0 1
1 0 1 0 1 1 2 1 1 2 A BC 0 1 0 2 0 2 2 0 1 1 1 1 1 1 / 2
1 1 2 二、矩阵的满秩分解 A 0 2 2 满秩分解的求法：初等变换 1 0 1 例题1-2（P.68-69，例4-5,）法2，法3：求A的满秩分解
Ir S A ( B, B2 ) O O ( B, BS ) B( I r , S ) BC
B ??
A ( A1 , A2 ) B A1
1 1 2 二、矩阵的满秩分解 A 0 2 2 满秩分解的求法：初等变换 1 0 1 例题1-2（P.68-69，例4-5,）法2，法3：求A的满秩分解
满秩矩阵及满秩矩阵的应用
满秩矩阵及满秩矩阵的应用专业：通信与信息系统姓名：李娜学号：6120140151目录一、满秩矩阵及满秩矩阵在矩阵分解方面的应用 (2)1.1矩阵的秩 (2)1.2满秩矩阵 (2)1.3满秩矩阵的性质 (3)1.3.1行(列)矩阵的一些性质 (4)1.4 行(列) 满秩矩阵在矩阵分解方面的应用 (6)二、满秩矩阵在保密通信中的应用 (8)2.1 基于满秩矩阵的保密通信模型 (8)2.1.1加密保密通信模型 (8)2.2.2满秩矩阵的应用 (8)2.2密钥的生成 (10)2.2.1加密密钥的生成 (10)2.2.2解密密钥的生成 (10)2.3其它问题 (10)2.3.1明文矩阵的选择 (10)2.3.2加密矩阵的选择 (11)2.3.3算法优化 (11)一、满秩矩阵及满秩矩阵在矩阵分解方面的应用引言矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是现代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。
“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数学的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语，而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。
1.1矩阵的秩设A是一组向量，定义A的最大无关组中向量的个数为A的秩。
定义1 在m n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。
例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。
定义2 A=(a ij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作r(A），或rank（A）或R(A)。
特别规定零矩阵的秩为零。
显R（A）≤min(m,n)易得：若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在R(A)<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。
由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵,不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。
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§4.3矩阵的满秩分解 本节讨论一个nm复矩阵A可以分解为两个与A的秩相同的矩阵之积的问题。 定义4.3.1设nm复矩阵A的秩为r，如果存在两个与A的秩相同的复矩阵F与G，使得FGA，则称此式为复矩阵A的满秩分解。 当A是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）A可以分解为单位矩阵与A自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。 定理4.3.1设nm复矩阵A的秩为r0，则A有满秩分解。 证：因为0rrankA，对A施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵0GB， 其中G为nr矩阵，并且0rrankG；因此存在着有限个m阶初等矩阵之积， 记作P，有BPA，或者BPA1，将矩阵1P分块为SFP1 ，其中F为rm矩阵，S为)(rnm矩阵，并且rrankF，rnrankS。 则有FGGSFBPA01，其中F是列满秩矩阵，S是行满秩矩阵。 ▌ 但是，矩阵A的满秩分解不唯一。这是因为若取任意一个r阶非奇异矩阵D，则有 GFGDFDFGA~~))((1。 例1、 求矩阵122211212101A的满秩分解。 解：对矩阵A进行初等行变换 0111000001130200012101100122201011210012101GBIA 其中30202101G所以000030202101B，111011001P；而SFP1120110011，其中121101F 由此可见，所以有12110101FGGSFBPA30202为r0r，并且满足以下条件： 1）矩阵H的前r行中的每一行至少含有一个不为零的元素，并且第一个不为零的元素是1，而后rm行的元素均为零； 2）如果矩阵H的第i行的第一个不为零的元素1在第ij列ri,,2,1， 则rjjj21； 3）矩阵H的rjjj,,,21列是单位矩阵mI的前r列； 则称矩阵H为Hermite标准形(最简型)。 由此定义可见，对于任意一个秩为r的nm复矩阵A，均可以经过初等行变换将其化为Hermite标准形H，而且矩阵H的前r列元素组成的列向量组线性无关。 定义4.3.3以n阶单位矩阵nI的n个列向量neee,,,21为列构成的n阶矩阵njjjeeeP,,,21叫做置换矩阵。其中njjj,,,21是n,,2,1的一个全排列。 定理4.3.2设nm复矩阵A的秩为r0r，矩阵A的Hermite标准形为H，则在矩阵A的满秩分解FGA中，可以取矩阵F为A的rjjj,,,21列构成的rm列矩阵，G为H的前r行构成的nr列矩阵。 例2、求矩阵122211212101A的满秩分解。 解：先求出矩阵A的Hermite标准形 HA0000230102101122211212101，H的第1列与第2列构成3I的前两列，所以矩阵F为A的第1列与第2列构成的23矩阵，G为H的前2行构成的42矩阵，即222101F，230102101G， 所以222101FGA230102101。 对比例1，可以看出矩阵A的满秩分解不唯一。