云南省昆明市2019届高三数学摸底调研测试试题文
云南省昆明市2019届高三高考模拟(第四次统测)文科数学试题(解析版)
2019年云南省昆明市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x |0≤x ≤2}，集合B ={x |x 2≤4}，则A ∩B =（ ）A. {0,1，2}B. {−2,−1,0，1，2}C. [0,2]D. [0,4] 2. 设复数z 满足（1+i ）z =3-i ，则|z |=（ ）A. √5B. 2√2C. √10D. 5 3. 已知命题p ：∃x 0＜0，e x 0+e −x 0＜2，则￢p 为（ ）A. ∃x 0≥0，e x 0+e −x 0≥2B. ∃x 0<0，e x 0+e −x 0≥2C. ∀x ≥0，e x +e −x ≥2D. ∀x <0，e x +e −x ≥2 4. 若x ，y 满足约束条件{x −y +1≤0,x+y−1≥0,则x +2y （ ）A. 有最小值也有最大值B. 无最小值也无最大值C. 有最小值无最大值D. 有最大值无最小值5. 如图是某商场2018年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图（例如：第3季度内，洗衣机销量约占20%，电视机销量约占50%，电冰箱销量约占30%）．根据该图，以下结论中一定正确的是（ ）A. 电视机销量最大的是第4季度B. 电冰箱销量最小的是第4季度C. 电视机的全年销量最大D. 电冰箱的全年销量最大6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 4+2π3 B. 4+4π3 C. 12+2π3 D. 12+4π37.已知直线y=ax与圆C：x2+y2-6y+6=0相交于A、B两点，C为圆心．若△ABC为等边三角形，则a的值为（）A. 1B. ±1C. √3D. ±√38.函数y=1x−ln(x+1)的图象大致为（）A. B. C. D.9.将函数y=sin(2x−π4)的图象向左平移π4个单位，所得图象对应的函数在区间[-m，m]上单调递增，则m的最大值为（）A. π8B. π4C. 3π8D. π210.数列{F n}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记该数列{F n}的前n项和为S n，则下列结论正确的是（）A. S2019=F2021+2B. S2019=F2021−1C. S2019=F2020+2D. S2019=F2020−111.已知函数f（x）=ax2+bx+c ln x（a＞0）在x=1和x=2处取得极值，且极大值为−52，则函数f（x）在区间（0，4]上的最大值为（）A. 0B. −52C. 2ln2−4D. 4ln2−412.三棱锥P-ABC的所有顶点都在半径为2的球O的球面上．若△PAC是等边三角形，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，则三棱锥P-ABC体积的最大值为（）A. 2B. 3C. 2√3D. 3√3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知a⃗，b⃗ 均为单位向量，若|a⃗-2b⃗ |=√3，则a⃗与b⃗ 的夹角为______．14.已知递增等比数列{a n}满足a2+a3=6a1，则{a n}的前三项依次是______．（填出满足条件的一组即可）15.已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x-3y+11=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为______．16.已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a3=3，a n+3=a n（n∈N*）．若a n=A sin（ωn+φ）+c(ω＞0，|φ|＜π2)，则实数A=______．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知√3asinB−bcosA=0．（1）求角A；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．18.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，M是棱DD1上的一点，AA1⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AA1=AB=2AD=2DC．（1）若M是DD1的中点，证明：平面AMB⊥平面A1MB1；的（2）设四棱锥M-ABB1A1与四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积分别为V1与V2，求V1V2值．19.某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A、B、C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B、C的自然成活率均为0.9．（1）若引种树苗A、B、C各10棵．①估计自然成活的总棵数；②利用①的估计结论，从没有自然成活的树苗中随机抽取两棵，求抽到的两棵都是树苗A的概率；（2）该农户决定引种B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？)．20.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F1(−√3，0)，且C经过点P(√3，12（1）求C的方程；（2）设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标．21. 已知函数f （x ）=a （x -sin x ）（a ∈R 且a ≠0）．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）设g(x)=e x (14x 2+2x −1)−ax +a ，若对任意x ≥0，都有f （x ）+g （x ）≥0，求a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+√3cosα，y =√3sinα，（α为参数），直线l 的参数方程为{y =tsinβ,x=tcosβ,（t 为参数，0≤β＜π），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|OA |-|OB |=2，求β．23. 已知函数f （x ）=|2x -1|．（1）解不等式f （x ）+f （x +1）≥4；（2）当x ≠0，x ∈R 时，证明：f(−x)+f(1x )≥4．答案和解析1.【答案】C【解析】解：B={x|-2≤x≤2}；∴A∩B=[0，2]．故选：C．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】A【解析】解：由（1+i）z=3-i，得z=，∴|z|=．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】D【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题p：∃x0＜0，＜2，则￢p为：∀x＜0，e x+e-x≥2．故选：D．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4.【答案】C【解析】解：x，y满足约束条件的可行域如图：可知平移直线x+2y=0，经过可行域的A时，x+y取得最小值；没有最大值，故选：C．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，判断选项即可．本题考查线性规划的简单应用，是基本知识的考查．5.【答案】C【解析】解：由某商场2018年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图，知：在A中，电视机销量所占面百分比最大的是第4季度，故A错误；在B中，电冰箱销量所占百分比最小的是第4季度，故B错误；在C中，电视机的全年销量最大，故C正确；在D中，电视机的全年销量最大，故D错误．故选：C．电视机销量所占面百分比最大的是第4季度；电冰箱销量所占百分比最小的是第4季度；电视机的全年销量最大．本题考查命题真假的判断，考查百分比堆积图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数据处理能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底部为正四棱柱，上部为半球体的组合体；且正四棱柱的底面边长为2，高为3，半球体的半径为1；所以，该组合体的体积为V几何体=2×2×3+=12+．故选：C．根据几何体的三视图，得出该几何体是长方体与半球体的组合体，结合图中数据求出它的体积．本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．7.【答案】D【解析】解：根据题意，圆C：x2+y2-6y+6=0即x2+（y-3）2=3，其圆心为（0，3），半径r=，直线y=ax与圆C：x2+y2-6y+6=0相交于A、B两点，若△ABC为等边三角形，则圆心C到直线y=ax的距离d=，则有=，解可得：a=±；故选：D．根据题意，分析圆C的圆心与半径，结合等边三角形的性质分析可得圆心C 到直线y=ax的距离d=，则有=，解可得a的值，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意将原问题转化为点到直线的距离，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由于函数y=-ln（x+1）在（-1，0），（0，+∞）单调递减，故排除B，D，当x=1时，y=1-ln2＞0，故排除C，故选：A．根据函数的单调性排除B，D，根据函数值，排除C本题考查了函数的图象与性质的应用，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：∵将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为y=sin（2x+）在区间[-m，m]上单调递增，∴2m+≤，且-2m+≥-，求得m≤，则m的最大值为，故选：A．利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，求得m的最大值．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：数列为：1，1，2，3，5，8…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．则：F n+2=F n+F n+1=F n+F n-1+F n=F n+F n-1+F n-2+F n-1=F n+F n-1+F n-2+F n-3+F n-2=…=F n+F n-1+F n-2+F n-3+…+F2+F1+1，∴S2019=F2021-1故选：B．利用迭代法可得F n+2=F n+F n-1+F n-2+F n-3+…+F2+F1+1，可得S2019=F2021-1，代值计算可得结果．本题考查的知识要点：迭代法在数列中的应用．11.【答案】D【解析】解：函数的导数f′（x）=2ax+b+=∵f（x）在x=1和x=2处取得极值，∴f′（1）=2a+b+c=0 ①f′（2）=4a+b+=0 ②，∵f（x）极大值为，∵a＞0，∴由函数性质当x=1时，函数取得极大值为，则f（1）=a+b+cln1=a+b=，③，由①②③得a=，b=-3，c=2，即f（x）=x2-3x+2lnx，f′（x）=x-3+==，由f′（x）＞0得4≥x＞2或0＜x＜1，此时为增函数，由f′（x）＜0得1＜x＜2，此时f（x）为减函数，则当x=1时，f（x）取得极大值，极大值为，又f（4）=8-12+2ln4=4ln2-4＞，即函数在区间（0，4]上的最大值为4ln2-4，故选：D．求函数的导数，根据函数极值和导数之间的关系，建立方程组求出a，b，c的值，结合函数最值性质进行求解即可．本题主要考查函数极值和最值的应用，根据条件求函数的导数，建立方程组求出a，b，c的值是解决本题的关键．难度不大．12.【答案】B【解析】解：设AC的中点为D，连接PD，则PD⊥AC，∵平面PAC⊥平面ABC，∴PD⊥平面ABC，∵AB⊥BC，∴AC为平面ABC所在截面圆的直径，∴球心O在直线PD上，又△PAC是等边三角形，∴△PAC的中心为棱锥外接球的球心，即OP=2，∴OD=1，AC=2，∴B到平面APC的距离的最大值为AC=，∴三棱锥P-ABC体积的最大值为V=×××=3．故选：B．根据三角形的形状判断球心O的位置，得出B到平面APC的最大距离，再计算体积．本题考查棱锥与外接球的位置关系，球的结构特征，属于中档题．13.【答案】π3【解析】解：∵，均为单位向量，设与的夹角为θ，又|-2|=，∴，∴=，则与的夹角cos=，∴，故答案为：．由|-2|=，结合向量数量积的性质可求，然后代入到夹角公式cos即可求解．本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．14.【答案】1，2，4（填首项为正数，公比为2的等比数列均可）【解析】解：因为等比数列的项a n≠0，故由a2+a3=6a1得，q+q2=6，所以q=2或q=-3，若q＞1，则a1≥1时即可满足等比数列{a n}递增，若q＜0，则{a n}为摆动数列．不满足递增．取a1=1，则{a n}的前三项依次是1，2，4．故答案为：1，2，4．因为等比数列的项a n≠0，故由a2+a3=6a1得，q+q2=6，所以q=2或q=-3，若q ＞1，则a≥1时即可满足等比数列{a n}递增，若q＜0，则{a n}为摆动数列．解决本题的关键在于了解等比数列递增，递减时应满足的条件，属于基础题．15.【答案】3【解析】解：∵点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，∴过焦点F作直线4x-3y+11=0的垂线，则点到直线的距离为d1+d2最小值，∵F（1，0），直线4x-3y+11=0，∴d1+d2==3，故答案为：3．利用抛物线的定义，将d1+d2的最小值转化为点到直线的距离即可求得结论．本题主要考查了抛物线的简单性质，点到直线距离公式的应用，将d1+d2的最小值转化为点到直线的距离是关键．16.【答案】−2√33【解析】解：数列{a n}满足a1=1，a2=2，a3=3，a n+3=a n（n∈N*）；且a n=Asin（ωn+φ）+c（ω＞0，|φ|＜），∴=3，解得ω=；∴a n=Asin（n+φ）+c（|φ|＜），∴1=Asin（+φ）+c，2=Asin（+φ）+c，3=Asin（2π+φ）+c；化为：1=Asin（+φ）+c，2=-Asin（+φ）+c，3=Asinφ+c；∴1=Asinφ+Asin（+φ），2=Asinφ-Asin（+φ）；联立方程组，化简得，解得Asinφ=1，Acosφ=-；∴tanφ=-；又|φ|＜，∴φ=-，∴A==-．故答案为：-．根据题意知a n=Asin（ωn+φ）+c的最小正周期为T=3，由此求得ω的值，再令n=1、2、3，联立方程组求出A的值．本题考查了数列递推关系、数列与三角函数的周期性，也考查了推理与计算能力，是中档题．17.【答案】解：（1）由√3asinB−bcosA=0及正弦定理得：√3sinAsinB−sinBcosA=0，因为sin B≠0，所以√3sinA=cosA，即tanA=√33．因为0＜A＜π，所以A=π6．……………………………………（6分）（2）因为a=2，所以4=c2+b2−√3bc≥2bc−√3bc，所以4(2+√3)≥bc，因为S△ABC=12bcsinA=14bc，所以当且仅当b=c=√6+√2时S△ABC最大，所以S△ABC最大值为2+√3．………………………（12分）【解析】（1）通过已知条件，结合正弦定理，转化求解A即可．（2）利用余弦定理以及基本不等式求出bc，说明面积的最大值即可．本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．18.【答案】（1）证明：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，又AB⊥AD，AA1∩AD=A，所以BA⊥平面AA1D1D，MA1⊂平面AA1D1D，故BA⊥MA1．……………………（2分）因为AD=DM，所以∠AMD=45°，同理∠A1MD1=45°，所以AM⊥MA1，又AM∩BA=A，所以MA1⊥平面AMB，………………（4分）MA1⊂平面A1MB1，故平面AMB⊥平面A1MB1；………………（6分）（2）解：设AD=1，四棱锥M-ABB1A1的底面ABB1A1的面积为S ABB1A1=4，高为AD=1，所以四棱锥M-ABB1A1的体积V1=13S ABB1A1×AD=43，………………（8分）四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 的面积为S ABCD =32，高为AA 1=2， 所以四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积V 2=S ABCD ×AA 1=3，………………（10分） 即V 1V 2=49．………………………………（12分） 【解析】（1）证明AA 1⊥AB ，AB ⊥AD ，推出BA ⊥平面AA 1D 1D ，得到BA ⊥MA 1．证明AM ⊥MA 1，即可证明MA 1⊥平面AMB ，说明平面AMB ⊥平面A 1MB 1． （2）设AD=1，求出四棱锥M-ABB 1A 1的体积，四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积V 2=S ABCD ×AA 1=3，即可得到比值．本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 19.【答案】解：（1）①依题意：10×0.8+10×0.9+10×0.9=26， 所以自然成活的总棵数为26．②没有自然成活的树苗共4棵，其中两棵A 种树苗、一棵B 种树苗、一棵C 种树苗， 分别设为a 1，a 2，b ，c ，从中随机抽取两棵，可能的情况有：（a 1，a 2），（a 1，b ），（a 1，c ），（a 2，b ），（a 2，c ），（b ，c ）， 抽到的两棵都是树苗A 的概率为16．（2）设该农户种植B 树苗n 棵，最终成活的棵数为0.9n +(1−0.9)n ×34×0.8=0.96n ， 未能成活的棵数为n -0.96n =0.04n ，由题意知0.96n ×300-0.04n ×50≥200000，则有n ≥699.3． 所以该农户至少种植700棵树苗，就可获利不低于20万元． 【解析】（1）①依题意：10×0.8+10×0.9+10×0.9=26，由此能求出自然成活的总棵数． ②没有自然成活的树苗共4棵，其中两棵A 种树苗、一棵B 种树苗、一棵C 种树苗，分别设为a 1，a 2，b ，c ，从中随机抽取两棵，利用列举法能求出抽到的两棵都是树苗A 的概率．（2）设该农户种植B 树苗n 棵，最终成活的棵数为，未能成活的棵数为n-0.96n=0.04n ，由题意知0.96n×300-0.04n×50≥200000，由此能求出该农户至少种植700棵树苗，就可获利不低于20万元．本题考查自然成活动总棵数、概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 20.【答案】（1）解：由题意，设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，则c =√3，椭圆的另一个焦点为F 2(√3，0)，由椭圆定义得2a =|PF 1|+|PF 2|=72+12=4，则a =2， ∴b =√a 2−c 2=1， ∴C 的方程x 24+y 2=1；（2）证明：由已知得D （0，1），由{y =kx +mx 24+y 2=1，得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2-4=0， 当△＞0时，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则x 1+x 2=−8km1+4k 2，x 1x 2=4m 2−41+4k 2，y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m1+4k 2，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=m 2−4k 21+4k 2，由AD ⊥BD 得，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+（y 1-1）（y 2-1）=0，即5m 2−2m−31+4k 2=0，∴5m 2-2m -3=0，解得m =1或m =−35， ①当m =1时，直线l 经过点D ，舍去；②当m =−35时，显然有△＞0，直线l 经过定点(0，−35)． 【解析】（1）由题意设椭圆，可得，求得椭圆的另一个焦点坐标，利用定义求解a=2，再由隐含条件求得b ，则椭圆方程可求； （2）由已知得D （0，1），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系可得A ，B 横纵坐标的和与积，结合AD ⊥BD ，得=x 1x 2+（y 1-1）（y 2-1）=0，由此求解m 值，得到当时，有△＞0，直线l 经过定点．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.【答案】解：（1）f（x）的定义域为x∈R；由题意，得f'（x）=a（1-cos x）．当a＞0时，x∈R，f'（x）≥0，所以f（x）在R上单调递增．当a＜0时，x∈R，f'（x）≤0，所以f（x）在R上单调递减．…………………（4分）（2）由题意得，当x=0时，f（0）+g（0）=a-1≥0，则有a≥1．下面证当a≥1时，对任意x≥0，都有f(x)+g(x)=e x(14x2+2x−1)+a(1−sinx)≥0．由于x∈R时，1-sin x≥0，当a≥1时，则有f(x)+g(x)≥e x(14x2+2x−1)+1−sinx．只需证明对任意x≥0，都有e x(14x2+2x−1)+1−sinx≥0．………………（6分）证明：由（1）可知f（x）=x-sin x在[0，+∞）上单调递增；所以当x≥0时，f（x）≥f（0）=0，即x≥sin x，所以1-x≤1-sin x，则e x(14x2+2x−1)+1−sinx≥e x(14x2+2x−1)+1−x．……（7分）设F(x)=e x(14x2+2x−1)+1−x，x≥0，则F′(x)=e x(14x2+52x+1)−1．当x≥0时，e x≥1，14x2+52x+1≥1，所以F'（x）≥0，所以F（x）在[0，+∞）上单调递增；当x≥0时，F（x）≥F（0）=0．所以对任意x≥0，都有e x(14x2+2x−1)+1−sinx≥0．所以，当a≥1时，对任意x≥0，都有f（x）+g（x）≥0．………………（12分）【解析】（1）f（x）的定义域为x∈R；由题意，得f'（x）=a（1-cosx）．对a分类讨论即可得出单调性．（2）由题意得，当x=0时，f（0）+g（0）=a-1≥0，有a≥1．下面证当a≥1时，对任意x≥0，都有．只需证明对任意x≥0，都有．由（1）可知f（x）=x-sinx在[0，+∞）上单调递增．当x≥0时，f（x）≥f（0）=0，即x≥sinx，可得1-x≤1-sinx，．设，x≥0，利用导数已经其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（1）由曲线C的参数方程可得普通方程为（x-2）2+y2=3，即x2+y2-4x+1=0，……………………（2分）所以曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ+1=0．……………………（5分）（2）由直线l 的参数方程可得直线的极坐标方程为θ=β（ρ∈R ），……………（6分） 因为直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，所以设A （ρ1，β），B （ρ2，β）， 联立{θ=βρ2−4ρcosθ+1=0可得ρ2-4ρcosβ+1=0，…………………（7分）因为△=16cos 2β-4＞0，即cos 2β＞14，…………………（8分） 所以|OA |-|OB |=|ρ1-ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2=√16cos 2β−4=2，解得cosβ=±√22，所以β=π4或3π4．…………………（10分）【解析】（1）先消去α得普通方程，再通过互化公式化成极坐标方程；（2）利用直线l 和曲线C 的极坐标方程联立，根据极径的几何意义可得． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）原不等式f （x ）+f （x +1）≥4等价于|2x -1|+|2x +1|≥4，等价于{x ＜−12−4x ≥4 或{−12≤x ≤122≥4或{x ＞124x ≥4， 解得x ≤-1或x ≥1，所以原不等式的解集是（-∞，-1]∪[1，+∞）． （2）当x ≠0，x ∈R 时，f （-x ）+f （1x ）=|-2x -1|+|2x −1|， 因为|-2x -1|+|2x −1|≥|-2x -1-（2x -1）|=|2x +2x |=2|x |+2|x|≥4， 当且仅当{(2x +1)(2x −1)≥02|x|=2|x|即x =±1时等号成立， 所以f(−x)+f(1x )≥4． 【解析】（1）讨论x 的范围，去掉绝对值符号解不等式； （2）利用绝对值不等式和基本不等式即可证明．本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的应用，考查分类讨论思想，属于中档题．。
2019-2020学年云南省昆明市三诊一模高三(上)1月摸底数学试卷(理科)(解析)
2019－2020学年云南省昆明市三诊一模高三（上）1月摸底数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（5分）已知集合2{|1}A x N x =∈，集合{|13}B x Z x =∈-，则图中阴影部分表示的集合为( )A .[1，3]B .(1，3]C .{1-，2，3}D .{1-，0，2，3}【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行补集的运算即可求出阴影部分表示的集合为B A 。
【解答】解：{0A =，1}，{1B =-，0，1，2，3}，∴阴影部分表示的集合为{1BA =-，2，3}。
故选：C 。
Z 本题考查了描述法、列举法的定义，补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题。
2.（5分）在复平面内，复数1z i =+的共轭复数对应的向量为OZ '为( )A .B .C .D .【分析】由已知求得z 的坐标得答案。
【解答】解：由1z i =+，得1z i =-， 则z 在复平面内对应点的坐标为(1,1)-，∴OZ'为C。
故选：C。
Z本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题。
3.（5分）已知(,)2παπ∈，3sin5α=，则cos()(πα-=)A.45B.35C.45-D.35【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求值得解。
【解答】解：(,)2παπ∈，3sin5α=，4cos5α∴==-，4cos()cos5παα∴-=-=。
故选：A。
Z本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题。
4.（5分）根据中国生态环境部公布的2017年、2018年长江流域水质情况监测数据，得到如图饼图：则下列说法错误的是()A.2018年的水质情况好于2017年的水质情况B.2018年与2017年相比较，Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显增加C.2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是Ⅳ类水质D.2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比超过60%【分析】根据图象所给信息逐一进行判断即可【解答】解：根据图象中的数据可知2018年的水质情况好于2017年的水质情况，同时2018年与2017年相比较，Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显增加，故A、B对；而2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是Ⅲ类水质，故C 错； 2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比等于5.7%54.7%60%+>，故D 对， 故选：C 。
云南省昆明市达标名校2019年高考三月数学模拟试卷含解析
云南省昆明市达标名校2019年高考三月数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k 的值是( ) A ．1B ．-3C ．1或53D ．-3或1732．函数sin y x x =+在[]2,2x ππ∈-上的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知双曲线22221x y C a b-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )A ．2?B ．103C ．10?D ．224．在边长为1的等边三角形ABC 中，点E 是AC 中点，点F 是BE 中点，则AF AB ⋅=（ ） A ．54B ．34C ．58D ．385．中，如果，则的形状是（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形6．对于定义在R 上的函数()y f x =，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误．．的一个是（ ） A ．()f x 在(],0-∞上是减函数 B ．()f x 在()0,∞+上是增函数C ．()f x 不是函数的最小值D ．对于x ∈R ，都有()()11f x f x +=-7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（ ）A ．5B ．23C ．8D ．838．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（ ）A ．物理化学等级都是B 的学生至多有12人 B ．物理化学等级都是B 的学生至少有5人C ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人D ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人 9．在平行四边形ABCD 中，113,2,,D,32AB AD AP AB AQ A ====若CP C 12,Q ⋅=则ADC ∠=( ) A ．56πB ．34π C ．23π D ．2π 10．己知46a =544log 21b =， 2.913c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．c a b >>11． “1cos 22α=-”是“3k παπ=+，k Z ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件12．已知111M dx x =+⎰，20cos N xdx π=⎰，由程序框图输出的S 为（ ）A ．1B ．0C ．2π D ．ln 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年云南省昆明市高考数学三模试卷(文科)
2019年云南省昆明市高考数学三模试卷（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}{}21,3x A x B x x =>=<，则A B = （ ）A ．()3,0-B ．()3,3-C ．()0,3D ．()0,+∞ （2）若复数12aiz i+=-（i 是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为 （ ）A ．2B ．12C ．12- D ．2-（3）高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号并用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本。
已知5号，33号，47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为 （ ）A ．13B ．17C ．19D ．21（4）在等差数列{}n a 中，315,a a 是方程26100x x -+=的根，则17S 的值是 （ ）A. 41 B ． 51 C. 61 D ．68（5）将三角函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移6π个单位后，得到的函数解析式为 （ ）A ．sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．sin 2xD ． cos 2x（6）已知实数 221311log 3,,log 330a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是 （ ）图1 A ．a b c >> B. a c b >> C ．c a b >> D. c b a >> （7）给出下列两个命题：命题p :若在边长为1的正方形ABCD 内任取一点M ，则1MA ≤的概率为4π. 命题q ：若函数()[]()4,1,2f x x x x=+∈，则()f x 的最小值为4.则下列命题为真命题的是：（ ）A ．p q ∧B ．p ⌝C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝（8）若,x y 满足42200x y y x y ⎧+≤⎪-+≤⎨⎪≥⎩,2z x y =+若，则z 的最大值是（ ）A ．1B ．4C ．6D ．8（9）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍，松竹何日而长等.图1是源于其思想的一个程序框图，若输入的a,b 分别为4，2，则输出的n 等于 （ ）A. 2B. 3C. 4D. 5（10）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的侧面积是 （ ）A ．12 B. 143C. D．（11）已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的左顶点为M ，抛物线22:2C y ax =-的 焦点为F ，若在曲线1C 的渐近线上存在点P 使得PM PF ⊥，则双曲线1C 离心率的取值范围是（ ）A ．()1,2 B．1,4⎛ ⎝⎦ C ．()1,+∞ D．24⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭（12）已知()2ln f x a x x =-在区间()0,1内任取两个不相等的实数p q 、，不等式()()1f p f q p q->-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()3,5B ．(],3-∞C ．(]3,5D ．[)3,+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如果实数，满足约束条件，则的最大值为 ．14.在区间上任取一个实数，则曲线在点处切线的倾斜角为钝角的概率为 ．15.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺.斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由细到粗是均匀变化的，其重量为.现将该金杖截成长度相等的10段，记第段的重量为，且，若，则 ．16.在正方体中中，，点在棱上，点在棱上，且平面平面.若，则三棱锥外接球的表面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）求的值；（2）若角为锐角，，求的面积. 18. 某中学是走读中学，为了让学生更有效率利用下午放学后的时间，学校x y 240,10,1,x y x y x ì+-?ïïï--?íïï³ïïî32z x y =+[]1,5-()322f x x x bx =-+()()1,1f M i ia ()1,2,i =…,101210a a a <<<…485i a M =i =1111ABCD A BC D -13AA =E AB F 11C D 1//B CF 1A DE 1AE =11B CC F -ABC V A B C abc 2cos cos 3a B b A b -=abC c =sin 3C =ABC V在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班.在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下列联表：（1）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效；（2）从该班第一次月考的数学优良成绩中和第二次月考的数学非优良成绩中，按分层抽样随机抽取5个成绩，再从这5个成绩中随机抽取2个，求这2个成绩来自同一次月考的概率.下列的临界值表供参考：（参考公式：，其中）19.如图，在四棱锥中，底面，，，.（1）若是的中点，求证：平面；（2）、是棱的两个三等分点，求证：平面.20. 已知、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，且.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于、两点，若，其中为坐标原22´()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++A BCED -AD ^BCED BD DE ^60DBCBCE???2BD CE =F AD //EF ABC M N BC EM ^ADN ()1,0F c -()2,0F c ()2222:103x y G b a a b+=<<<(P G 12PF PF a -=G l G A B OA OB ^uu r uu u rO点，判断到直线的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.21.已知函数，且. （1）讨论函数的单调性； （2）若，求证：函数有且只有一个零点. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为（为参数）. （1）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；（2）设曲线与直线相交于、两点，以为一条边作曲线的内接矩形，求该矩形的面积.23.选修4-5：不等式选讲 设实数，满足. （1）若，求的取值范围； （2）若，. 2019年云南省昆明市高考数学三模试卷（文科） 一、选择题()222log 2log 3log 421,2a <<=⇒∈，1133111,log log 393027b c ==>=，故选择CO l ()ln xf x x m=-m R Î0m ¹()f x 1m =-()()f x F x x x=-C 4cos ρθ=x l 5,21y 2x t ìïï=+ïïïíïï=ïïïît C l C l P Q PQ C x y 14yx +=723y x -<+x 0x >0y >xy【7】解题思路：易知命题,p q 均为真命题，故选择A【11】解题思路：在曲线1C 的渐近线上存在点P 使得PM PF ⊥，即以MF为直径的圆与渐近线有交点，(),0M a - ,0,24a a F r ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 圆心3,04a N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由点N 到渐近线by x a=的距离小于等于半径，即3b c ≤，解得1,4e ⎛∈ ⎝⎦.【12】解题思路：由不等式()()1,f p f q p q->-()f x 在()1,2内任两点的斜率大于1，即()1f x '>在()1,2恒成立，由()21af x x x'=->，得()12a x x >+恒成立，即3a ≥二、填空题13. 7 14. 15.6 16.三、解答题17.解：（1）由余弦定理得：. 即，， 即. （2），为锐角，，，，，， 则，即. 的面积. 1319π22222222cos cos 3322a cb bc a ac B bc A b b +-+--=?=224a b =2a b \=2ab=sin C =Q C 1cos 3C \=c =Q 222cos 11a b ab C \+-=2a b =Q 2245113b b \-=211113b =23b =ABC \V 21sin sin 2S ab C b C ===18.解：（1）根据列联表可求得的观测值，能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效.（2）按分层抽样应从第一次月考数学优良成绩中抽取个.应从第二次月考数学非优良成绩中抽取个，记第一次月考抽取的3个成绩分别为、、，第二次月考抽取的2个成绩分别为、，则从中抽取2个的基本事件有：，，，，，，，，，共10个，其中抽取的2个成绩来自同一次月考的基本事件有4个. 则所求概率为. 19.解：（1）取的中点为，连接，，是的中点，是的中位线，即， ，， ，、到直线的距离相等，则， ，平面平面，则平面. （2），，，，、是棱的两个三等分点， ，， ，是正三角形，即，22´2K ()28025301510807.879404035457k ??==>创?155325?105225?1A 2A 3A 1B 2B 12A A 13A A 23A A 11A B 21A B 31A B 12A B 22A B 32A B 12B B 42105=BD G EG FG F Q AD FG \ABD V //FG AB 2BD CE =Q BG CE \=DBCBCE ??Q E \G BC //EG CB EG FGG ?Q \//EFG ABC //EF ABC 60DBCBCE???Q BD DE ^2BD CE =3BC CE \=M Q N BC MN CE \=BD BN =60DBC??Q BDN \V 60BND??，，在中，，，，即，则，平面，平面，， ，平面.20.解：（1），，，，化简得，又，，则，得， 椭圆的方程为. （2）由题意知，直线不过原点，设，，（i ）当直线轴时，直线的方程为且， 则，，， ，，， 解得，故直线的方程为，原点到直线的距离为.60BCE ??Q //CE ND \CEM V 2CM CE =60BCE??90CEM\??EM CE ^EM ND ^AD ^Q BCED EM \?BCED AD EM \^AD NDD ?Q EM \^AND 12PF PF a -=122PFPF a +=12332PF a PF \===2560c c -+=3c a <<2c \=132PF a =a =2224b a c =-=G 22184x y +=l ()11,A x y ()22,B x y l x ^l ()0x m m =?m -<1x m =1y =2x m =2y =-OA OB ^uu r uu u rQ 12120x x y y \+=22402m m 骣÷ç÷\--=ç÷÷ç桫m =?l x =?O l d =（ii ）当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，联立直线和椭圆方程消去得，，，.，，故，即，① 原点到直线的距离为，则②，将①式代入②式得：，. 综上，点到直线21.（1）解：，， 当时，，则在上单调递增；当时，由得，由得， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增. l x l y kx n =+y ()222124280k x knx n +++-=122412kn x x k -\+=+21222812n x x k -=+()()()2222121212122812n k y y kx n kx n k x x nk x x n k -=++=+++=+OA OB ^Q 12120x x y y \+=2222228801212n n k k k --+=++223880n k --=22388n k =+O l d =()2222223131n n d k k ===++()222888331k d k +==+3d \=O l ()'111mx f x mx mx-=-=0x >0m <()'0f x >()f x ()0,+?0m >()'0f x >1x m >()'0f x <10x m<<()f x 10,m 骣÷ç÷ç÷ç桫1,m骣÷ç+?÷ç÷ç桫（2）证明：由已知得，则，设，则， 故为上的增函数，又由于，因此且有唯一零点1， 当时，；当时，.在上为减函数，在上为增函数，函数的最小值为， 函数有且只有一个零点. 22.解：（1）对于，由，得，进而.对于，由（为参数），得， 即的普通方程为.（2）由（1）可知为圆，且圆心为，半径为2， 则弦心距， 弦长因此以为一条边的圆的内接矩形面积. 23.（1）解：，， 则由，则，()ln 1x F x xx=--()2'21ln x x F x x -+=()21ln h x x x =-+()()'1200h x x x x=+>>()21ln h x x x =-+()0,+?()10h =()'10F =()'F x 01x <<()'0F x <1x >()'0F x >()F x \()0,1[)1,+?\()F x ()10F =\()()f x F x x x=-C 4cos ρθ=24cos ρρθ=224x y x +=l 5,21y 2x t ìïï=+ïïïíïï=ïïïît )5y x =-l 50x --=C ()2,032d ==PQ =PQ C 2S d PQ ==g 14yx +=Q 44x y \+=7234323y x x x -<+?<+234323x x x --<+<+即即 解得（2）证明：，，当且仅当时等号成立， ， . 4323,4323,x x x x ì+<+ïïíï+>--ïî0,1,x x ì<ïïíï>-ïî10x -<<0x >Q 0y >14y x \=+匙1142y x ==10xy \=-?xy \。
云南省昆明市第一中学2019届9月高三第一次摸底测试理科数学(解析版)
云南省昆明市第一中学2019届9月高三第一次摸底测试理科数学（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，集合，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：集合，集合，则．故选：B．化简集合A，根据交集的定义写出．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.A. B. C. D.【答案】C【解析】解：．故选：C．直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.已知，，则的值是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，，故选：C．由题意利用两角差的余弦公式求得的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得的值．本题主要考查两角差的余弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．4.二项式的展开式中常数项为A. B. 15 C. D. 20【答案】B【解析】解：二项式的展开式的通项公式为，令，求得，故展开式中常数项为，故选：B．先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱为A. 1B.C.D.【答案】D【解析】解：由三视图还原原几何体如图：在长、宽、高分别为2，1，1的长方体中截得该三棱锥，则最长棱为，故选：D．由三视图还原原几何体，可知原几何体为在长、宽、高分别为2，1，1的长方体中截得该三棱锥，求出最长的棱得答案．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．6.圆C：与直线相交于A，B两点，M是弦AB的中点，则直线CM的方程是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：根据题意，圆C与直线相交于A，B两点，M是弦AB的中点，则直线CM与AB垂直，又由AB的方程为，即，则，又由，则直线CM的方程是，即；故选：D．根据题意，由垂径定理分析可得直线CM与AB垂直，由直线AB的方程分析可得直线CM的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意垂径定理的使用，属于基础题．7.函数的图象大致为A. B.C. D.【答案】A【解析】解：由，，排除B，是偶函数排除C，和排除D，故选：A．特殊值排除法．本题考查了函数的图象与图象的变换属基础题．8.现有6人坐成一排，任选其中3人相互调整座位这3人中任何一人不能坐回原来的位置，其余3人座位不变，则不同的调整方案的种数有A. 30B. 40C. 60D. 90【答案】B【解析】解：根据题意，分2步进分析：，在6人选出3人，相互调整座位，有种选法，，设选出相互调整座位的3人为A、B、C，A有2种坐法，B、C只有1种坐法，则A、B、C相互调整座位有2种情况，则不同的调整方案有种；故选：B．根据题意，分2步进分析：，在6人选出3人，相互调整座位，，分析选出相互调整座位的3人的调整方法，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．9.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，，解得，，由正弦定理得，即，，即，．故选：B．先根据余弦定理求出A，然后根据正弦定理化边为角，结合三角恒等变换，即可得到结论．本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，要求熟练掌握两个定理的内容及应用．10.三棱锥的四个面都是直角三角形，各棱长的最大值为4，则该三棱锥外接球的体积为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：如图所示，三棱锥，，三棱锥的外接球的直径为4，故此三棱锥的外接球的半径为2，故此三棱锥的外接球的体积．故选：D．根据已知可得三棱锥的外接球的直径为4，进而求出球半径，代入球的体积公式，可得答案．本题考查的知识点是球的体积与表面积，根据已知得到球的半径，是解答的关键．11.正方形ABCD的四个顶点都在双曲线上，若双曲线的焦点都在正方形的外部，则双曲线的离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：令得，，因为双曲线的焦点在正方形的外部，所以，即，又，化简可得，可得，，解得，故选：C．利用已知条件列出不等式，转化求解双曲线的离心率的范围即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．12.若实数x，y，满足，下列四个不等式成立的个数是A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】解：因为，所以设，则，对于，所以成立；对于，所以成立；对于，所以成立．对于取，，，，，所以不成立，因此成立的不等式有3个，故选：C．由已知可设，代入，利用基本不等式可判断；对于，进行分解因式后，结合已知及不等式的性质可判断；对于结合已知所设及基本不等式可判断；对于可取特殊值，，进行检验本题主要考查了利用基本不等式及不等式的性质，考查了逻辑推理与运算的能力．二、填空题（本大题共4小题）13.已知单位向量，满足，则向量与夹角的大小为______．【答案】【解析】解：根据题意得，，，，，向量与夹角的大小为，故答案为：．运用模长的运算和向量的夹角计算公式可得结果．本题考查向量的模长和向量的夹角计算公式的简单应用．14.已知，函数过点，则的最小值为______．【答案】【解析】解：由题意，函数过点，则，解得：，．，可得最小值为，故答案为：．根据函数过点，可得，，可得最小值；本题主要考查三角函数图象过点的坐标的求解，属于基础题．15.设函数为非零实数，若函数有三个零点，则a的取值范围为______．【答案】【解析】解：由，得，令，则，由，得，由，得，在上单调递增，在，上单调递减，当时，极小值，当时，极大值．有三个零点，即函数和的图象有三个交点，．故答案为：．把函数有三个零点，转化为有三个根，令，利用导数求极值，则答案可求．本题考查函数零点的判定，考查利用导数研究函数的单调性，是中档题．16.已知，为抛物线上不同的两点，且，点O为坐标原点，则的取值范围是______．【答案】【解析】解：设直线AB的方程为，代入抛物线方程得，所以，所以，所以，，当且仅当时取等号，，所以的取值范围是．故答案为：．设直线AB的方程为，代入抛物线方程得，所以，，，即可得的取值范围．本题考查抛物线的方程和性质，以及向量夹角知识解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题）17.已知数列的前n项和为，且，，为等差数列．证明：为等比数列；求．【答案】证明：设，则，，，是首项为4，公比为2的等比数列分解：数列是等差数列，，，，，，由，得：，分【解析】设，则，由此能证明是首项为4，公比为2的等比数列．由是等差数列，求出，从而，进而，由此利用错位相减法能求出．本题考查等比数列的证明，考查数列的数前n项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.甲、乙两名射击运动员参加某项有奖射击活动射击次数相同，已知两名运动员射击的环数都稳定在7，8，9，10环，他们的这次成绩的条形图如下：求甲、乙两名运动员射击的环数都不低干9环的概率；甲、乙两名运动员现在要同时射击4次，如果甲、乙射击的环数都不低于9环3次时，可获得奖金万元；如果甲、乙射击的环数都不低于9环4次时，可获得奖金两万元，其他结果不予奖励，求甲、乙两名运动员可获得奖金数的期望值注：频率可近似看作概率【答案】解：记“甲运动员击中i环”为事件，“乙运动员击中i环”为事件，所以，，所以甲、乙击中目标都不低于9环的概率：；分记甲、乙两名运动员射击的环数都不低于9环的次数为随机变量X，X的可能取值：0，1，2，3，4；则～，其中，，所以，；分记甲、乙两名运动员获得奖金数万元为随机变量Y，Y的可能取值：0，1，2；则，；所以甲、乙两名运动员可获得奖金数的期望值为：元分【解析】利用频率分布表求出甲、乙击中目标都不低于9环的概率值；甲、乙两名运动员射击的环数都不低于9环的次数为随机变量X，～；甲、乙两名运动员获得奖金数万元为随机变量Y，计算Y的频率分布与数学期望值．本题考查了频率分布与离散型随机变量的分布列和数学期望计算问题，是中档题．19.如图1，在直角三角形PBC中，，，且，AC与BD的交点为O，将直角三角形PBC沿着AD边折起，得到如图2的四棱锥，．求证：平面；若，二面角的大小为，求的长．【答案】证明：在直角梯形ABCD中，，即，因为，所以，，所以，又因为，所以，即，图2的四棱锥中，，由题知，则平面ABCD，所以，又，所以平面分解：在图1中，因为，，设，因为 ∽ ，所以，，，则，由知平面ABCD，则以点A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，为z轴建立空间直角坐标系．则0，，0，，0，，，1，，1，，，，设平面的一个法向量为y，，则，取，得，设平面BDC的一个法向量为0，，因为二面角的大小为，则，由，得，所以的长为分【解析】推导出，，从而，，，，从而平面ABCD，进而，由此能证明平面．设，则，，则，以点A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，由此能求出的长．本题考查线面垂直的证明，考查线段的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.设，分别是椭圆：的左、右焦点，过斜率为1的直线与E相交于A，B两点，且，，成等差数列．求E的离心率；设点满足，求E的方程．【答案】解：由椭圆定义知，又，得，l的方程为，其中．设，，则A、B两点坐标满足方程组化简的则因为直线AB斜率为1，，得，故所以E的离心率设AB的中点为，由知，．由，得，即得，从而故椭圆E的方程为．【解析】根据椭圆的定义可知，进而根据，，成等差数表示出，进而可知直线l的方程，设，，代入直线和椭圆方程，联立消去y，根据韦达定理表示出和进而根据，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，离心率可得．设AB的中点为，根据则可分别表示出和，根据，推知直线PN的斜率，根据求得c，进而求得a和b，椭圆的方程可得．本题主要考查圆锥曲线中的椭圆性质以及直线与椭圆的位置关系，涉及等差数列知识，考查利用方程思想解决几何问题的能力及运算能力21.已知函数．若，求实数a的取值范围；证明，．【答案】解：的定义域为，由，得：，令，则，由，得，由，得，在上单调递增，在上单调递减，，；证明：当时，，此时，，在上单调递增，，即：，令，则，，，，，，，，．【解析】由，得：，令，利用导数求其最大值，可得实数a的取值范围；当时，，利用导数证明在上单调递增，可得，即：，令，得到，即，分别取，3，，n，作和得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用分离参数法求解此时的取值范围，训练了利用放缩法证明函数不等式，是中档题．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：为参数，，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为求圆C的圆心的直角坐标；设点，若直线l与圆C交于A，B两点，求．【答案】解：圆C的极坐标方程为圆C：，圆心坐标分将，代入C：，得：，设点A，B所对应的参数为，，则，分【解析】求出圆C的极坐标方程，由此能求出圆C的直角坐标方程，从而能求出圆心的直角坐标．将，代入C：，得：，由此能求出．本题考查圆的圆心坐标的求法，考查两线段乘积的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.设函数．当时，求不等式的解集；对任意实数x，都有恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：当时，，当时，，当时，，当时，，所以不等式解集为0，，，因为，所以，所以或，所以a的取值范围为．【解析】分类讨论去绝对值；等价于．本题考查了绝对值不等式的解法属基础题．。
云南省昆明市2019届高三高考模拟(第四次统测)文科数学试题(解析版)
昆明市2019届高考模拟考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.已知集合{(,)|}A x y y x ==-，{(,)|}B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】判断集合,A B 元素的属性特征，可以知道集合,A B 都是点集，所以A B 就是求直线,y x y x ==-的交点，这样就可以确定AB 中元素的个数.【详解】因为集合(){,|}A x y y x ==-，(){,|}B x y y x ==，所以{}(,)(0,0)y x A B x y y x ⎧⎫=⎧⎪⎪⋂==⎨⎨⎬=-⎩⎪⎪⎩⎭，所以A B 中元素的个数为1，故本题选B.【点睛】本题考查了集合的交集运算.解决此类问题的关键是对集合元素属性特征的认识.2.在复平面内，与复数11i+对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】应用复数除法的运算法则，简化复数，最后确定复数对应的点的位置.【详解】11111(1)(1)22i i i i i -==-++-,复数11i +对应的点为11(,)22-，它在第四象限，故本题选D. 【点睛】本题考查通过复数的除法运算法则，化简后判断复数对应的点的位置.3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，721S =，则4a =（ ） A. 0 B. 2C. 3D. 6【答案】C 【解析】 【分析】因为{}n a 是等差数列，根据721S =，可以求出176a a +=，利用等差数列的性质可以求出4a =3. 【详解】因为{}n a 是等差数列，所以1717744217)2(6263S a a a a a a ++=⇒=⇒=⇒==,故本题选C. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式和等差数列的性质.考查了运算能力.4.“1x >”是“21x >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】判断充分条件还是必要条件，就看由题设能否推出结论，和结论能否推出题设，本着这个原则，显然1x >能推出21x >，但是21x >不一定能推出1x >，有可能1x <-，所以可以判断“1x >”是“21x >”的充分不必要条件.【详解】因为由1x >⇒21x >，由21x >推不出1x >，有可能1x <-， 所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件，故本题选A.【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判定，解题的关键是理解掌握它们定义，对于本题正确求解不等式也很关键.5.已知双曲线C 的一个焦点坐标为，渐近线方程为y x =，则C 的方程是（ ） A. 2212y x -=B. 2212x y -=C. 2212y x -=D. 2212x y -=【答案】B 【解析】 【分析】通过双曲线C 的一个焦点坐标为),可以求出 c ，渐近线方程为y x =，可以得到2b a =，结合c =，可以求出,a b 的值，最后求出双曲线的方程.【详解】因为双曲线C 的一个焦点坐标为),所以c =，又因为双曲线C 的渐近线方程为y x =，所以有2b a =a ⇒=，c =而c ，所以解得1a b ==，因此双曲线方程为2212x y -=，故本题选B.【点睛】本题考查了求双曲线的标准方程，考查了解方程、运算能力.6.已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，若αβ⊥，则下列结论正确的是 A. l β∥或l β⊂ B. //l m C. m α⊥ D. l m ⊥【答案】A 【解析】 【分析】选项A 中l 与β位置是平行或在平面内，选项B 中l 与m 可能共面或异面，选项C 中m 与α的位置不确定，选项D 中l 与m 的位置关系不确定．【详解】对于A ，直线l ⊥平面α，αβ⊥，则l β//或l β⊂，A 正确；对于B ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，且αβ⊥，则//l m 或l 与m 相交或l 与m 异面，∴B 错误； 对于C ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，且αβ⊥，则m α⊥或m 与α相交或m α⊂或//m α，∴C 错误；对于D ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，且αβ⊥，则//l m 或l 与m 相交或l 与m 异面，∴D 错误． 故选：A ．【点睛】本题考查了空间平面与平面关系的判定及直线与直线关系的确定问题，也考查了几何符号语言的应用问题，是基础题．7.将函数sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A. 在区间,]1212π5π[-上单调递增 B. 在区间511[,]1212ππ上单调递增 C. 在区间[,]63ππ-上单调递增 D.区间5[,]36ππ上单调递增 【答案】A 【解析】 【分析】函数sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度，所得图象对应的函数的解析式为： sin 2()sin(2)63y x y x ππ=-⇒=-，单调递增区间：5222()()2321212k x k k Z k x k k Z πππππππππ-≤-≤+∈⇒-≤≤+∈， 单调递减区间：3511222()()2321212k x k k Z k x k k Z πππππππππ+≤-≤+∈⇒-≤≤+∈，由此可见，当0k =时，函数在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故本题选A. 【详解】本题考查了正弦型函数图象的平移变换以及求正弦型函数的单调区间.8.函数()y f x =的导函数()y f'x =的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】求出导函数大于零、小于零的区间，这样原函数的单调性的情况也就知道，对照选项，选出正确的答案. 【详解】如下图所示：当,x a b x c <<<时，'()0,()f x f x >单调递增；当,a x b x c <<>时，'()0,()f x f x <单调递减，所以整个函数从左到右，先增后减，再增最后减，选项A 中的图象符合，故本题选A.【点睛】本题考查了利用导函数的正负性研究原函数的单调性.本题容易受导函数的增减性干扰.9.黄金矩形是宽（b）与长（a）的比值为黄金分割比1()2ba=的矩形，如图所示，把黄金矩形ABCD分割成一个正方形ADEF和一个黄金矩形BCEF，再把矩形BCEF分割出正方形CEGH．在矩形ABCD 内任取一点，则该点取自正方形CEGH内的概率是（）A.12B.32-C. 2D.22【答案】C 【解析】【分析】设矩形的长，宽分别为,a b,所以b=，把黄金矩形ABCD分割成一个正方形ADEF和一个黄金矩形BCEF,所以CE a b=-=，设矩形ABCD的面积为S,正方形CEGH的面积为'S,设在矩形ABCD内任取一点，则该点取自正方形CEGH内的概率是P,则2')2SPS===，故本题选C.【详解】本题考查了几何概型，考查了运算能力.10.己知椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>，直线l过焦点且倾斜角为4π，以椭圆的长轴为直径的圆截l所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（ ）A.3B.C.D.【答案】D 【解析】【详解】直线l 的方程为y x c =±，以椭圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦为AB ,2AB c =，设O C A B⊥，垂足为C ，则2OC c ==，在Rt OAC ∆中，22222222113()222OA AC OC a AB c a c c e =+⇒=+⇒=⇒=⇒=，故本题选D. 【点睛】本题考查了椭圆的离心率的求法.考查了圆弦长公式，考查了运算能力.11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若此几何体的各个顶点在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A. 8πB. 9πC. 32πD. 36π【答案】B 【解析】 【分析】通过三视图，还原为立体几何图形，然后补成长方体中，利用长方体对角线的长求出外接球的半径，进而求出球的表面积.【详解】通过三视图可知，该几何体是直三棱柱111D AC DAC -，其中底面是直角三角形，把它补成长方体如下图所示：连接1D B ,设外接球的半径为R ，所以有23R ====,球的表面积为249R ππ=,故本题选B.【点睛】本题考查了通过三视图，识别空间几何体，并求这个空间几何体外接球的表面积，考查了空间想象能力、运算能力.12.己知奇函数()f x 的导函数为'()f x ，x ∈R ．当(0,)x ∈+∞时，'()()0xf x f x +>．若()2(2)(2)af a f a af a ≥-+-，则实数a 的取值范围是（ ）A. (,1)-∞-B. [1,1]-C. (,1][1,)-∞-+∞D. [1,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】通过给出的不等式，可以联想导数的运算法则，再结合问题所给的形式，构造新函数()()g x xf x =，这样可以知道当(0,)x ∈+∞时，函数()g x 的单调性，再判断函数()g x 的奇偶性， 另一方面，利用奇函数()f x 的性质可以化简()2(2)(2)af a f a af a ≥-+-，这样可以得到与新函数的有关的不等式，利用()g x 的单调性、奇偶性可以求出实数a 的取值范围.【详解】设()()g x xf x =''()()()0g x f x xf x ⇒=+>所以当(0,)x ∈+∞时，()g x 是增函数，因为()f x 是奇函数，所以有()()f x f x -=-，因此有()()()()()g x x f x xf x g x -=--==，所以()g x 是偶函数， 而2(2)(2)2(2)(2)(2)(2)f a af a f a af a a f a -+-=---=--，()2(2)(2)af a f a af a ≥-+-可以化为()(2)(2)()(2)af a a f a g a g a ≥--⇒≥-，()g x 是偶函数，所以有()(2)()(2)g a g a g a g a ≥-⇒≥-，当(0,)x ∈+∞时，()g x 是增函数，所以有21a a a ≥-⇒≥，故本题选D.【点睛】本题考查通过构造函数解不等式问题.考查了奇偶函数的性质.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件02020x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x -的最小值为_____．【答案】-2 【解析】 【分析】在平面直角坐标中，画出可行解域，设y x z -=，平移直线y =x+z ，找到截距最小的位置，求出z 的最小值.【详解】在平面直角坐标中，画出可行解域，如下图所示：设y x z -=，平移直线y =x+z ，当直线经过(2,0)时，z 有最小值为022-=-. 【点睛】本题考查了求线性目标函数的最小值，考查了数形结合思想、运算能力.14.在边长为6的等边三角形ABC 中，23BD BC =．则AB AD ⋅=_____⋅ 【答案】24 【解析】 【分析】以,AB BC 为一组基底，AD 用,AB BC 这组基底表示,最后用数量积公式求得AB AD ⋅=24.【详解】2002()3236cos(18060)3213666()24.32AB AD AB AB BD AB AB BC AB BC ⋅=⋅+=+⋅=+⋅⋅-=+⨯⨯⨯-= 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算、平面向量基本定理、向量的加法几何意义，本题易错的地方是误把B Ð看成,AB BC 的夹角.15.能说明“已知2()1f x x =+，若()()fx gx ≥对任意的[0,2]x ∈恒成立，则在[0,2]上，min max ()()f xg x ≥为假命题的一个函数()g x _____⋅（填出一个函数即可） 【答案】x . 【解析】 【分析】可以根据212x x +≥这个不等式入手，令()2g x x =，当[]0,2x ∈时，min ()1f x =而max ()4g x =，显然min max () ()f x g x ≥是假命题，当然这样的()g x 函数有好多，比如()g x x =，2()3g x x =等等. 【详解】因为212x x +≥，所以令()2g x x =，当[]0,2x ∈时，min ()1f x =而max ()4g x =，所以min max () ()f x g x ≥是假命题，当然()g x x =，2()3g x x =也可以. 【点睛】本题考查了两个函数大小恒成立问题的判断，本题如果改成逆命题，就成立，也就是若对任意的[]0,2x ∈有min max () ()f x g x ≥成立，那么当[]0,2x ∈时，()()f x g x ≥恒成立.16.己知数列{}n a 满足11a =，122311n n na a a a a a n ++++=+，则n a =_____ 【答案】1n【解析】 【分析】由递推公式得2a ，又能得到11(1)n n a a n n +=+，再求出几项，这样可以猜想数列的通项公式，再由数学归纳法证明.【详解】由1122311,1n n na a a a a a a n +=++⋯+=+，可得212a =， 且122311(2)n n n a a a a a a n n--++⋯+=…，两式作差得， 221111(2)1(1)(1)n n n n n n a a n n n n n n n +--+=-==+++…，234111,,,234a a a =∴==⋯猜想1n a n=，现用数学归纳法证明：当1n =时，显然成立； 假设当n k =()*k ∈N时成立，即1k a k=当1n k =+时，*111(1)1k k a a k k k +==⋅++，即1n k =+时，也成立，综上1n a n=. 【点睛】本题考查了数列的递推公式、数学归纳法.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17--2I 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，AD AC ⊥，AB =BD =，2AD =.（1）求ADB ∠； （2）求ABC ∆的面积． 【答案】（1）34ADB π∠=（2）3 【解析】 【分析】（1）直接运用余弦定理，求出cos ADB ∠，进而求出ADB ∠的大小；（2）通过（1）可以判断出ADC 的形状，根据ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+，可以求出ABC 的面积.【详解】（1）已知AB =BD =，2AD =，在ABD △中，由余弦定理得222cos 2AD BD AB ADB AD BD +-∠==⨯⨯， 又因为()0,ADB π∠∈，所以34ADB π∠=. （2）因为ADB ADC π∠+∠=，所以4ADC π∠=，因AD AC ⊥，所以ADC 为等腰直角三角形，可得2AC =，所以112223222ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+=⨯+⨯⨯=.18.如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PAC 为等边三角形，AB AC ⊥，M 是BC 的点.(1)证明：AC PM ⊥；(2)若AB AC 2==，求B 到平面PAM 的距离.【答案】(1)见解析（2）7【解析】 【分析】（1）取AC 的中点为O ，证明AC ⊥平面POM ，即可证明⊥AC PM ；（2）计算三棱锥P ABM -的体积，利用B PAM P ABM V V --=，可以求出B 到平面PAM 的距离. 【详解】（1）证明：取AC 的中点为O ，连结OP ，OM ， 在等边三角形PAC 中，有OP AC ⊥， 由M 是BC 的中点，OM 是ABC △的中位线， 所以//OM AB ， 因AB AC ⊥，所以AC OM ⊥，又OP OM O ⋂=，所以AC ⊥平面POM ， 因为PM ⊂平面POM ， 所以⊥AC PM .（2）因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，OP AC ⊥，所以PO ⊥平面ABC ，在等腰直角ABC △中，2AB AC ==，2ABC S ∆=，所以，1233P ABC V -=⨯=，因为M 是BC 的中点，所以12P ABM P ABC V V --==，又因为12AM BC ==在Rt POM 中，2PM ==，在PAM △中，AM =2PA PM ==，故PAM S ∆=设B 到平面PAM 的距离为d ，因为B PAM P ABM V V --=，所以13=d =所以B 到平面PAM 的距离为7.【点睛】本题考查了通过线面垂直证明线线垂直、利用三棱锥的体积公式求点到面的距离.19.设抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，(,1)M p p -是C 上的点．（1）求C 的方程：（2）若直线l ：2y kx =+与C 交于A ，B 两点，且13AF BF ⋅=，求k 的值． 【答案】（1）24x y =（2）1k =±. 【解析】 【分析】（1）直接把(,1)M p p -代入抛物线方程中，求出p ；（2）直线方程与抛物线方程联立，利用根与系数关系，化简||||AF BF ⋅，最后利用||||13AF BF ⋅=，求出k 的值.【详解】（1）因为(),1M p p -是C 上的点， 所以()221p p p =-，因为0p >，解得2p =， 抛物线C 的方程为24x y =. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由224y kx x y=+⎧⎨=⎩得2480x kx --=， 216320k ∆=+>则124x x k +=，128x x =-，由抛物线的定义知，11AF y =+，21BF y =+， 则()()()()12121133AF BF y y kx kx ⋅=++=++，()2121239k x x k x x =+++，24913k =+=，解得1k =±.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了一元二次方程根与系数关系，考查了运算能力.20.改革开放以来，我国农村7亿多贫困人口摆脱贫困，贫困发生率由1978年的97.5%下降到2018年底的1.4%，创造了人类减贫史上的中国奇迹，为全球减贫事业贡献了中国智慧和中国方案．“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例.2012年至2018年我国贫困发生率的数据如表：（1）从表中所给的7个贫困发生率数据中任选两个，求两个都低于5%的概率；（2）设年份代码2015x t =-，利用回归方程，分析2012年至2018年贫困发生率的变化情况，并预测2019年的贫困发生率．附：回归直线y bx a =+$$$的斜率和截距的最小二乘估计公式为：1221ni ii ni i x y nx yb x nx==-=-∑∑，a y bx =-$$.【答案】（1）17（2）0.1%. 【解析】 【分析】（1）设2012年至2015年贫困发生率分别为1A ，2A ，3A ，4A ，均大于5%设2016年至2018年贫困发生率分别为1B ，2B ，3B ，均小于5%，列出从2012年至2018年贫困发生率的7个数据中任选两个，可能的情况，最后利用古典概型公式，求出概率; （2）根据题意列出年份代码与贫困发生率之间的关系，分别计算求出,,x y 71i ti x y =∑()721i i x x =-∑的值，代入公式，求出ˆb，ˆa 的值，求出回归直线方程，并通过回归直线方程预测2019年底我国贫困发生率. 【详解】（1）设2012年至2015年贫困发生率分别为1A ，2A ，3A ，4A ，均大于5% 设2016年至2018年贫困发生率分别为1B ，2B ，3B ，均小于5%从2012年至2018年贫困发生率的7个数据中任选两个，可能的情况如下：{}2,A A 、{},A A 、{},A A 、{},A B 、{}2,A B 、{}3,A B 、{}23,A A 、{}24,A A 、{}21,A B 、{}22,A B 、{}23,A B 、 {}34,A A 、{}31,A B 、{}32,A B 、{}33,A B 、 {}41,A B 、{}42,A B 、{}43,A B 、{}12,B B 、{}13,B B 、{}23,B B 共有21种情况，两个都低于5%的情况：{}12,B B 、{}13,B B 、{}23,B B ，共3种情况 所以，两个都低于5%的概率为31217=. （2）由题意可得：由上表可算得：0x =，10.28.57.2 5.7 4.5 3.1 1.45.87y ++++++==，()()()71310.2 1.428.5 3.17.2 4.539.9i ti x y==-⨯--⨯---=-∑，()72222123222128ii x x =-=⨯+⨯+⨯=∑，所以，71739.9ˆ70 5.81.4252828i ii x y xy b=---⨯⨯===-∑，()5.8ˆˆ 1.4250 5.8ay bx =-=--⨯=， 所以，线性回归方程为ˆ 1.425 5.8yx =-+， 由以上方程：ˆ0b<，所以在2012年至2018年贫困发生率在逐年下降，平均每年下降1.425%； 当4x =时，ˆ 1.4254 5.80.1y=-⨯+=， 所以，可预测2019年底我国贫困发生率为0.1%.21.已知函数()xf x e ax =-，()lng x x ax =-，a R ∈.（1）当a e <时，讨论函数()xf x e ax =-的零点个数．（2）()()()F x f x g x =-的最小值为m ，求()ln x mG x e e x =-的最小值．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】 【分析】 （1）求函数的导数，利用导数判断函数的单调性和极值，从而得到零点的个数；（2）()()()ln xF x f x g x e x =-=-，求导得1()xF x e x'=-，可以判断存在零点0x ，可以求出函数()F x 的最小值为()000ln xm F x e x ==-，可以证明出：0012m x x =+>，()ln ,()x m x xm G x e e x G x e e '=-=-，可证明()G x '在(1,)m 上有零点， ()G x 的最小值为()111ln x mG x e e x =-，结合110011ln ,ln m x x m x x =+=+，可求()G x 的最小值为()10G x =.【详解】（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()xf x e a '=-.①当0a <时，()e 0xf x a ='->，()f x 单调递增，又()01f =，1110a f e a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以函数()f x 有唯一零点；②当0a =时，()0xf x e =>恒成立，所以函数()f x 无零点；③当0e a <<时，令()0x f x e a ='-=，得ln x a =.当ln x a <时，()0f x ¢<，()f x 单调递减；当ln x a >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增.所以()()()ln min ln ln 1ln af x f a ea a a a ==-=-.当0e a <<时，()ln 0f a >，所以函数()f x 无零点. 综上所述，当时函数()f x 无零点.当0a <，函数()f x 有一个零点.（2）由题意得，()ln xF x e x =-，则()x 1F x e x '=-，令()1x h x e x =-，则()210xh x e x=+>'， 所以()h x 在()0,+?上为增函数，即()F x '在()0,+?上为增函数.又()110F e -'=>，1202F '⎛⎫=<⎪⎝⎭，所以()F x '在()0,+?上存在唯一零点0x ，且01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()00010x F x e x '=-=，即01e x x =. 当()00,x x ∈时，()0F x '<，()F x 在()00,x 上为减函数，当()0,x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 在()0,x +∞上为增函数，()F x 的最小值()000ln x m F x e x ==-.因为001x ex =，所以00ln x x =-，所以0012m x x =+>. 由()ln xmG x e e x =-得()mxe G x e x='-，易知()G x '在()0,+?上为增函数.因为2m >，所以()1e 0mG e =-<'，()110m mm e G m e e m m ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭'，所以()G x '在 ()0,+?上存在唯一零点1x ，且()11,x m ∈，()111e e 0mx G x x '=-=，当时，()0G x '<，()G x 在()10,x 上减函数，当()1,x x ∈+∞时，()0G x '>，()G x 在上为增函数，所以()G x 的最小值为()111e e ln xmG x x =-，因为11mx e e x =，所以11ln x m x =-，所以11ln m x x =+，又000011e ln ln xm x x x =-=+，所以110011ln ln x x x x +=+， 又函数ln y x x =+在()0,+?上为增函数，所以101x x =， ()000000111111ln 100001111ln ln ln x x x x x x mG x e e e e e e x x x x +=-⋅=-⋅=-⋅⋅()0011000000111ln ln x x e x e x x x x x ⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅+ ⎪⎝⎭因为00ln 0x x +=，所以()10G x =，即()G x 在()0,+?上的最小值为0.【点睛】本题考查利用函数的导函数研究函数单调性和零点问题，也考查了不等式恒成立问题.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数），将曲线C 按伸缩变换公式'1'2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，变换得到曲线E . （1）求E 的普通方程；（2）直线l 过点(0,2)M -，倾斜角为4π，若直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，N 为AB 的中点，求OMN ∆的面积．【答案】（1）2214x y +=（2）85.【解析】 分析】（1）利用22sin cos 1αα+=，进行消参，然后根据伸缩变换公式，可以得到曲线E ；（2）求出直线l 的参数方程，与E 的普通方程联立，利用参数的几何意义求出MN ，利用面积公式求出OMN 的面积.【详解】（1）依题意，E 的参数方程为2,,x cos y sin αα=⎧⎨=⎩（α为参数），所以E 的普通方程为2214x y +=.（2）因为直线l 过点()0,2M -，倾斜角为4π， 所以l 的参数方程为,22,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），设A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，则N 对应的参数为122t t +， 【联立22,22,21,4x y x y ⎧=⎪⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪+=⎪⎪⎩，化简得25240t -+=，(245240∆=-⨯⨯>所以1225t t +=，即5MN =，所以118sin 22425OMN S MN MO π∆=⋅⋅==. 【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、曲线的伸缩变换，以及利用直线参数方程参数的意义求弦长问题.23.已知函数()243f x x x =---.（1）设在平面直角坐标系中作出()f x 的图象，并写出不等式()2f x ≤的解集M ．（2）设函数()()g x f x ax =-，x M ∈，若()0g x ≥，求a 的取值范围．【答案】（1）函数图象如下图：不等式()2f x …的解集{}13M x x =-≤≤；（2）122a -≤≤-. 【解析】【分析】（1）利用零点法化简函数的解析式，在直角坐标系内，画出函数图象，分类讨论解不等式； （2）根据（1）对x M ∈时，进行分类讨论：当[1,2]x ∈-时，()1(1)1g x x ax a x =-+-=-++,根据a 取值的不同范围，利用一次函数的单调性，求出a 的取值范围；当(2,3]x ∈时，()37(3)7g x x ax a x =--=--,根据a 取值的不同范围，利用一次函数的单调性，求出a 的取值范围，最后确定a 的取值范围.【详解】（1）1,3()24337,231,2x x f x x x x x x x -≥⎧⎪=---⇒-<<⎨⎪-+≤⎩，画出图象，如下图所示：当3x ≥时，()21233f x x x x ⇒-≤⇒≤∴=…；当23x <<时，()2372323;f x x x x ⇒-≤⇒≤∴<≤…当2x ≤时，()212112f x x x x ⇒-+≤⇒≥-∴-≤≤…，所以不等式()2f x …的解集{}13M x x =-≤≤.（2）当[1,2]x ∈-时，()1(1)1g x x ax a x =-+-=-++当1a =-时，()10g x =≥，显然成立； 当1a >-时，要想()0g x …，只需max ()0g x ≥即可，也就是 max 11()020122g x g a a ≥⇒≥⇒≤-∴-<≤-（）； 当1a <-时，要想()0g x …，只需min ()010221g x g a a ≥⇒-≥⇒≥-∴-≤<-（）， 所以当[1,2]x ∈-时，当()0g x …，a 的取值范围122a -≤≤-； 当(2,3]x ∈时，()37(3)7g x x ax a x =--=--， 当3a =时，显然()0g x …不成立；当3a >时，要想()0g x …，只需max 2()0303g x g a ≥⇒≥⇒≤∴（）不存在这样的a ； 当3a <时，要想()0g x …，只需112022g a a ≥⇒≤-∴≤-（）， 所以当[1,2]x ∈-时，当()0g x …，a 的取值范围是12a ≤-， 综上所述a 的取值范围122a -≤≤-. 【点睛】本题考查了画含绝对值的函数图象，考查含绝对值的不等式的解法，考查了恒成立问题.考查了分类讨论思想.当然本题，可以采用数形结合思想，进行思考，解题如下：（1）通过图象可以看到，当[1,3]x ∈-时，()2f x …；（2）()()0()g x f x ax f x ax =-≥⇒≥，[1,3]x ∈-，可以求出(1,2),(2,1)A B --12,2OA OB k k =-=-,通过图象可知：当122a -≤≤-时，()0g x ≥在[1,3]x ∈-恒成立.。
2019年云南省昆明市县街中学高三数学文模拟试卷含解析
2019年云南省昆明市县街中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数（）的图象在区间上恰有3个最高点，则的取值范围为A．B．C．D．参考答案：C2. 已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若?x1∈[﹣1，2]，?x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（）A．B．C．（0，3] D．[3，+∞）参考答案：D【考点】34：函数的值域．【分析】根据二次函数的图象求出f（x）在[﹣1，2]时的值域为[﹣1，3]，再根据一次g （x）=ax+2（a＞0）为增函数，求出g（x2）∈[2﹣a，2a+2]，由题意得f（x）值域是g （x）值域的子集，从而得到实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称∴x1∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为f（1）=﹣1，最大值为f（﹣1）=3，可得f（x1）值域为[﹣1，3]又∵g（x）=ax+2（a＞0），x2∈[﹣1，2]，∴g（x）为单调增函数，g（x2）值域为[g（﹣1），g（2）]即g（x2）∈[2﹣a，2a+2]∵?x1∈[﹣1，2]，?x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），∴?a≥3故选D3. 根据新高考改革方案，某地高考由文理分科考试变为“3+3”模式考试．某学校为了解高一年425名学生选课情况，在高一年下学期进行模拟选课，统计得到选课组合排名前4种如下表所示，其中物理、化学、生物为理科，政治、历史、地理为文科，“√”表示选择该科，“×”表示未选择该科，根据统计数据，下列判断错误的是A. 前4种组合中，选择生物学科的学生更倾向选择两理一文组合B. 前4种组合中，选择两理一文的人数多于选择两文一理的人数C. 整个高一年段，选择地理学科的人数多于选择其他任一学科的人数D. 整个高一年段，选择物理学科的人数多于选择生物学科的人数参考答案：D【分析】根据图表依次分析即得.【详解】解析：前4种组合中，选择生物学科的学生有三类：“生物＋历史＋地理”共计101人，“生物＋化学＋地理”共计86人，“生物＋物理＋历史”共计74人，故选择生物学科的学生中，更倾向选择两理一文组合，故A正确．前4种组合中，选择两理一文的学生有三类：“物理＋化学＋地理”共计124人，“生物＋化学＋地理”共计86人，“生物＋物理＋历史”共计74人；选择两文一理的学生有一类：“生物＋历史＋地理”共计101人，故B正确．整个高一年段，选择地理学科的学生总人数有人，故C正确．整个高一年段，选择物理学科的人数为198人，选择生物学科的人数为261人，故D错误．综上所述，故选D．【点睛】本题考查根据图表作出统计分析，考查学生的观察能力，属于中档题．4. 圆为参数）的圆心到直线（t为参数）的距离是A. 1 BC D 3参考答案：A5. 函数y=﹣的图象按向量=（1，0）平移之后得到的函数图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的橫坐标之和等于( )A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：D考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：压轴题；数形结合．分析：y1=的图象由奇函数y=﹣的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．解答：解：函数y=﹣的图象按向量=（1，0）平移之后得到函数y1=，y2=2sinπx 的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图：当1＜x≤4时，y1＜0，而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（1，）和（，）上是减函数；在（，）和（，4）上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H，相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D，且：x A+x H=x B+x G═x C+x F=x D+x E=2，故所求的横坐标之和为8，故选：D．点评：发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．6. 设函数,则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．参考答案：A7. 若向量的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（）A．B． C. D．参考答案：A8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A． B． C．D．参考答案：B9. O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF 的面积为（）A．2 B．2C．2D．4参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线方程，算出焦点F坐标为（）．设P（m，n），由抛物线的定义结合|PF|=4，算出m=3，从而得到n=，得到△POF的边OF上的高等于2，最后根据三角形面积公式即可算出△POF的面积．【解答】解：∵抛物线C的方程为y2=4x∴2p=4，可得=，得焦点F（）设P（m，n）根据抛物线的定义，得|PF|=m+=4，即m+=4，解得m=3∵点P在抛物线C上，得n2=4×3=24∴n==∵|OF|=∴△POF的面积为S=|OF|×|n|==2故选：C10. 在曲线上切线斜率为1的点是（▲）A. (0,0)B. C . D. (2,4)参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知a、b、x是实数，函数与函数的图象不相交，记参数a、b所组成的点(a，b)的集合为A,则集合A所表示的平面图形的面积为______. 参考答案：12. 已知双曲线C：的一条渐近线l 的倾斜角为，且C 的一个焦点到l 的距离为，则C 的方程为_______．参考答案：2，【知识点】双曲线【试题解析】由题知：所以，所以因为双曲线的焦点到渐近线的距离为b，所以b=2，所以所以的方程为：故答案为： 2，13. 如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均相等，D为AA1的中点，M，N分别是线段BB1和线段CC1上的动点（含端点），且满足BM=C1N，当M，N运动时，下列结论中正确的序号为．①△DMN可能是直角三角形；②三棱锥A1﹣DMN的体积为定值；③平面DMN⊥平面BCC1B1；④平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为（0，]．参考答案：②③④【考点】MT：二面角的平面角及求法．【分析】①，利用反证法思想说明△DMN不可能为直角三角形；②，由△A1DM的面积不变，N到平面A1DM的距离不变，得到三棱锥A1﹣DMN的体积为定值；③，由BM=C1N，得线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，由DO⊥平面BCC1B1，可得平面DMN⊥平面BCC1B1；④，平面DMN与平面ABC平行时所成角为0，当M与B重合，N与C1重合时，平面DMN与平面ABC所成的锐二面角最大．【解答】解：如图，对于①，若△DMN为直角三角形，则必是以∠MDN为直角的直角三角形，但MN的最大值为BC1，而此时DM，DN的长大于BB1，∴△DMN不可能为直角三角形，故错误；对于②，当M、N分别在BB1、CC1上运动时，△A1DM的面积不变，N到平面A1DM的距离不变，∴棱锥N﹣A1DM的体积不变，即三棱锥A1﹣DMN的体积为定值，故正确；对于③，当M、N分别在BB1、CC1上运动时，若满足BM=C1N，则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，而DO⊥平面BCC1B1，∴平面DMN⊥平面BCC1B1，故正确；对于④，当M、N分别为BB1，CC1中点时，平面DMN与平面ABC所成的角为0，当M与B重合，N与C1重合时，平面DMN与平面ABC所成的锐二面角最大，为∠C1BC，等于．∴平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为（0，]，故正确，∴正确的是②③④．故答案为：②③④．14. 已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数，则a=．参考答案：2略15. 已知曲线在点(1,0)处的切线方程为，则实数a的值为．参考答案：2，，∴．16. 若是奇函数，则．参考答案：17. 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱，P为上底面A1B1C1D1上的动点，给出下列四个结论：①若，则满足条件的P点有且只有一个；②若，则点P的轨迹是一段圆弧；③若PD∥平面ACB1，则PD与平面ACC1A1所成角的正切的最大值为；④若PD∥平面ACB1，则平面BDP截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球所得图形面积最大值为.其中所有正确结论的序号为．参考答案：①②③三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019-2020学年人教A版云南省昆明市三诊一模高三第一学期摸底(理科)数学试卷(解析版)
2019-2020学年高三第一学期摸底（理科）数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{x∈N|x2≤1}，集合B＝{x∈Z|﹣1≤x≤3}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．[1，3] B．（1，3] C．{﹣1，2，3} D．{﹣1，0，2，3} 2．在复平面内，复数z＝1+i的共轭复数对应的向量为为（）A．B．C．D．3．已知α∈（），sinα＝，则cos（π﹣α）＝（）A．B．C．﹣D．4．根据中国生态环境部公布的2017年、2018年长江流域水质情况监测数据，得到如图饼图：则下列说法错误的是（）A．2018年的水质情况好于2017年的水质情况B．2018年与2017年相比较，Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显增加C．2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是Ⅳ类水质D．2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比超过60%5．以双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆（O为坐标原点）与C的渐近线相切，则C的渐近线方程为（）A．x±y＝0 B．x±y＝0 C．x±y＝0 D．x±y＝0 6．如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为f（n）（n≤9且n∈N*），已知f（1）＝l，f（2）＝l，且通过该规则可得f（n）＝f（n﹣l）+2f（n﹣2）+1，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（）A．7 B．16 C．19 D．217．设f'（x）是函数f（x）的导函数，y＝f'（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．8．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝120°，sin C＝，c＝2，则△ABC的面积等于（）A．B．2C．D．9．已知函数f（x）＝e x+e﹣x，则（）A．＜f（e）＜f（）B．f（e）＜＜f（）C．f（）＜f（e）＜D．＜f（）＜f（e）10．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是（）A．2 B．4 C．2D．411．已知函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0），x∈[0，]的值域是[﹣，1]，则ω的取值范围是（）A．（0，] B．[] C．[3，] D．[] 12．已知P是函数f（x）＝x2图象上的一点，过点P作圆x2+y2﹣4y+3＝0的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（）A．﹣B．2﹣3 C．0 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点A（1，0），B（2，），则与向量垂直的一个非零向量的坐标是．（只要填写一个满足条件的向量即可）14．（1+x）6（2y+1）5的展开式中x4y2的系数是．15．已知椭圆M：的左顶点为A，O为坐标原点，B、C两点在M上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝45°，则椭圆M的离心率为．16．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率﹣速算扣除数．应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额﹣免征额﹣专项扣除﹣专项附加扣除﹣依法确定的其他扣除．其中免征额为每年60000元，税率与速算扣除数见表：税率（%）速算扣除数级数全年应纳税所得额所在区间1 [0，36000] 3 02 （36000，144000] 10 25203 （144000，300000] 20 169204 （300000，420000] 25 319205 （420000，660000] 30 529206 （660000，960000] 35 859207 （960000，+∞）45 181920备注专项扣除”包括基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金．专项附加扣除”包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等支出其他扣除”是指除上述免征额、专项扣除、专项附加扣除之外，由国务院决定以扣除方式减少纳税的优惠政策规定的费用某人全年综合所得收入额为160000元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是24000元，依法确定其他扣除是0元，那么他全年应缴纳综合所得个税元．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1．（1）证明：平面A1BD⊥面BC1D1；（2）若AB＝2AD，求二面角A1﹣BD﹣D1的余弦值．18．设等差数列{a n}公差为d，等比数列{b n}公比为q，已知a1＝b1，a3＝b1+b2＝5，q＝2d．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项和S n．19．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P是C上的动点．（1）当|PF|＝4时，求直线PF的方程；（2）过点P作l的垂线，垂足为M，O为坐标原点，直线OM与C的另一个交点为Q，证明：直线PQ经过定点，并求出该定点的坐标．20．近年来，昆明加大了特色农业建设，其中花卉产业是重要组成部分．昆明斗南毗邻滇池东岸，是著名的花都，有“全国10支鲜花7支产自斗南”之说，享有“金斗南”的美誉．对斗南花卉交易市场某个品种的玫瑰花日销售情况进行调研，得到这种玫瑰花的定价x（单位：元/扎，20支/扎）和销售率y（销售率是销售量与供应量的比值）的统计数据如下：x10 20 30 40 50 60y0.9 0.65 0.45 0.3 0.2 0.175 （1）设z＝lnx，根据所给参考数据判断，回归模型＝x与＝z哪个更合适，并根据你的判断结果求回归方程（，的结果保留一位小数）；（2）某家花卉公司每天向斗南花卉交易市场提供该品种玫瑰花1200扎，根据（1）中的回归方程，估计定价x（单位：元/扎）为多少时，这家公司该品种玫瑰花的日销售额W （单位：元）最大，并求W的最大值．参考数据：y与x的相关系数r1≈﹣0.96，y与z的相关系数r2≈﹣0.99，≈35，≈0.45，x i2＝9100，≈3.40，62≈69.32，y i z i≈8.16，z i2≈71.52，e3≈20.1，e3.4≈30.0，e3.5≈33.1，e4≈54.6．参考公式：＝，＝，r＝．21．已知函数f（x）＝e x﹣ax2﹣2ax（a∈R）．（1）讨论f（x）的导数f'（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围，并证明（x1+1）（x2+1）＜1．（二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中任选一题作答．并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴与x轴的非负半轴重合．曲线C 的极坐标方程是1+2sin2，直线l的极坐标方程是ρcos（）．（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）设点P（2，0），直线l与曲线C相交于点M、N，求的值．[选修4--5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x|﹣|2x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥﹣3的解集；（2）若a∈R，且a≠0，证明：|4a﹣1|+||≥4f（x）．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x∈N|x2≤1}，集合B＝{x∈Z|﹣1≤x≤3}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．[1，3] B．（1，3] C．{﹣1，2，3} D．{﹣1，0，2，3} 【分析】可以求出集合A，B，然后进行补集的运算即可求出阴影部分表示的集合为∁B A．解：∵A＝{0，1}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，∴阴影部分表示的集合为∁B A＝{﹣1，2，3}．故选：C．2．在复平面内，复数z＝1+i的共轭复数对应的向量为为（）A．B．C．D．【分析】由已知求得的坐标得答案．解：由z＝1+i，得，则在复平面内对应点的坐标为（1，﹣1），∴为C．故选：C．3．已知α∈（），sinα＝，则cos（π﹣α）＝（）A．B．C．﹣D．【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求值得解．解：∵α∈（），sinα＝，∴cosα＝﹣＝﹣，∴cos（π﹣α）＝﹣cosα＝．故选：A．4．根据中国生态环境部公布的2017年、2018年长江流域水质情况监测数据，得到如图饼图：则下列说法错误的是（）A．2018年的水质情况好于2017年的水质情况B．2018年与2017年相比较，Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显增加C．2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是Ⅳ类水质D．2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比超过60%【分析】根据图象所给信息逐一进行判断即可解：根据图象中的数据可知2018年的水质情况好于2017年的水质情况，同时2018年与2017年相比较，Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显增加，故A、B对；而2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是Ⅲ类水质，故C错；2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比等于5.7%+54.7%＞60%，故D对，故选：C．5．以双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆（O为坐标原点）与C的渐近线相切，则C的渐近线方程为（）A．x±y＝0 B．x±y＝0 C．x±y＝0 D．x±y＝0 【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆相切，转化求解即可．解：双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆（O为坐标原点）与C的渐近线相切，可得：＝，可得c＝2b，所以c2＝4b2＝a2+b2，所以a＝，则C的渐近线方程为：x±y＝0．故选：B．6．如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为f（n）（n≤9且n∈N*），已知f（1）＝l，f（2）＝l，且通过该规则可得f（n）＝f（n﹣l）+2f（n﹣2）+1，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（）A．7 B．16 C．19 D．21【分析】代入数列的递推式，计算可得所求值．解：f（3）＝f（2）+2f（1）+1＝1+2+1＝4；f（4）＝f（3）+2f（2）+1＝4+2+1＝7；f（5）＝f（4）+2f（3）＝7+8+1＝16．故选：B．7．设f'（x）是函数f（x）的导函数，y＝f'（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】利用导函数的图象得到函数f（x）的单调性，观察选项即可得到答案．解：由y＝f'（x）的图象可知，函数f（x）的增区间为（﹣3，﹣1），（0，1）；减区间为（﹣1，0），（1，3）；观察选项可知，只有D选项符合题意；故选：D．8．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝120°，sin C＝，c＝2，则△ABC的面积等于（）A．B．2C．D．【分析】由已知利用正弦定理可求b的值，由余弦定理进而可求a2+2a﹣3＝0，解方程可得a的值，根据三角形的面积公式即可求解．解：∵B＝120°，sin C＝，c＝2，∴由正弦定理，可得b＝＝，∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得7＝a2+4﹣2×a×2×（﹣），可得a2+2a﹣3＝0，解得a＝1，或﹣3（舍去），∴S△ABC＝ab sin C＝＝．故选：A．9．已知函数f（x）＝e x+e﹣x，则（）A．＜f（e）＜f（）B．f（e）＜＜f（）C．f（）＜f（e）＜D．＜f（）＜f（e）【分析】根据题意，分析可得f（x）为偶函数且在（0，+∞）上为增函数，据此分析可得答案．解：根据题意，f（x）＝e x+e﹣x，其定义域为R，且f（﹣x）＝e﹣x+e x＝e x+e﹣x＝f（x），即函数为偶函数，则有f（﹣）＝f（）；又由f′（x）＝e x﹣e﹣x，在区间（0，+∞）上，f′（x）＞0，即函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，又由＜＜e，则f（﹣）＝f（）＜f（）＜f（e）；故选：D．10．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是（）A．2 B．4 C．2D．4【分析】由题意画出图形，由圆的周长公式求得圆的半径，再由勾股定理求球的半径．解：作出截面图如图，则OA＝，由截面圆的周长为4π，得2π•AB＝4π，则AB＝2．∴球的半径是．故选：B．11．已知函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0），x∈[0，]的值域是[﹣，1]，则ω的取值范围是（）A．（0，] B．[] C．[3，] D．[]【分析】首先根据函数的定义域求出整体的自变量的范围，进一步利用函数的值域求出结果．解：函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0），x∈[0，]则：ωx﹣∈[﹣，ω﹣]；∵函数函数f（x）＝sin（ωx﹣）的值域为[﹣，1]，所以：ω﹣∈[，]，解得：ω∈[，3]，故选：B．12．已知P是函数f（x）＝x2图象上的一点，过点P作圆x2+y2﹣4y+3＝0的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（）A．﹣B．2﹣3 C．0 D．【分析】可画出图形，可得出，从而要使得最小，只需让最小，∠APB最大即可．可设圆心为C，并得出C（0，2），设P（x，x2），从而可得出|PC|的最小值为，进而得出的最小值为，然后得出对应的，从而可得出的最小值．解：如图，∵＝，∴要使最小，只需最小，∠APB最大，设圆心C（0，2），P（x，x2），则，∴|PC|的最小值为，且圆半径为1，∴的最小值为，此时cos∠APB＝2cos2∠APC﹣1＝，∴的最小值为．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点A（1，0），B（2，），则与向量垂直的一个非零向量的坐标是（）．（只要填写一个满足条件的向量即可）【分析】可求出，而与垂直的向量，数量积为零，即得出与向量垂直的一个非零向量的坐标．解：∵点A（1，0），B（2，），∴向量＝（1，）；设与向量垂直的一个非零向量的坐标是（x，y），则x+y＝0，x，y可以是x＝，y＝﹣1．故答案为：（，﹣1）．14．（1+x）6（2y+1）5的展开式中x4y2的系数是600 ．【分析】先利用二项展开式的通项公式，求得（1+x）6的展开式中x4的系数、（2y+1）5的展开式中y2的系数，可得（1+x）6（2y+1）5的展开式中x4y2的系数．解：（1+x）6（2y+1）5的展开式中x4y2的系数，等于（1+x）6的展开式中x4的系数乘以（2y+1）5的展开式中y2的系数．而（1+x）6的展开式中x4的系数为＝15，（2y+1）5的展开式中y2的系数为•22＝40，故（1+x）6（2y+1）5的展开式中x4y2的系数是15×40＝600，故答案为：600．15．已知椭圆M：的左顶点为A，O为坐标原点，B、C两点在M上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝45°，则椭圆M的离心率为．【分析】根据题意，利用B，C关于椭圆的对称轴对称，B，C的横坐标互为相反数，又BC＝a，故C的横坐标为x＝，代入椭圆方程M得，y＝，故B（﹣，），由BC＝a＝，再结合椭圆的性质，求出e即可．解：∵AO是与x轴重合的，且四边形OABC为平行四边形，∴BC∥OA，则B、C两点的纵坐标相等，根据椭圆的对称性，B、C的横坐标互为相反数，∴B、C两点是关于y轴对称的．由题知：OA＝a四边形OABC为平行四边形，则BC＝OA＝a，故C的横坐标为x＝，代入椭圆方程M得，y＝，故B（﹣，），由BC＝a＝，所以c＝，故，故答案为：．16．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率﹣速算扣除数．应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额﹣免征额﹣专项扣除﹣专项附加扣除﹣依法确定的其他扣除．其中免征额为每年60000元，税率与速算扣除数见表：级数全年应纳税所得额所在区税率（%）速算扣除数间1 [0，36000] 3 02 （36000，144000] 10 25203 （144000，300000] 20 169204 （300000，420000] 25 319205 （420000，660000] 30 529206 （660000，960000] 35 859207 （960000，+∞）45 181920备注专项扣除”包括基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金．专项附加扣除”包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等支出其他扣除”是指除上述免征额、专项扣除、专项附加扣除之外，由国务院决定以扣除方式减少纳税的优惠政策规定的费用某人全年综合所得收入额为160000元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是24000元，依法确定其他扣除是0元，那么他全年应缴纳综合所得个税1880 元．【分析】先求出这个人有应纳税所得额，由此能求出他全年应缴纳综合所得个税．解：由题意知这个人全年应缴纳综合所得个税为：36000×3%+[160000﹣24000﹣160000×（8%+2%+1%+9%）﹣60000﹣36000]×10%＝1880（元）．故答案为：1880．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1．（1）证明：平面A1BD⊥面BC1D1；（2）若AB＝2AD，求二面角A1﹣BD﹣D1的余弦值．【分析】（1）推导出A1D⊥AD1，A1D⊥BC1，A1D⊥C1D1，从而A1D⊥平面BC1D1，由此能证明平面A1BD⊥面BC1D1．（2）设AB＝2AD＝2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A1﹣BD﹣D1的余弦值．解：（1）证明：∵AD＝AA1，∴四边形AA1D1D是正方形，∴A1D⊥AD1，∵四边形ABC1D1是平行四边形，∴AD1∥BC1，∴A1D⊥BC1，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，C1D1⊥平面AA1D1D，∴A1D⊥C1D1，∵BC1∩C1D1＝C1，∴A1D⊥平面BC1D1，∵A1D⊂平面A1BD，∴平面A1BD⊥面BC1D1．（2）解：设AB＝2AD＝2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（1，0，1），B（1，2，0），D（0，0，0），D1（0，0，1），设平面BDD1的一个法向量＝（x，y，z），＝（0，0，1），＝（1，2，0），则，取y＝﹣1，得＝（2，﹣1，0），设平面A1BD的一个法向量＝（x，y，z），＝（1，0，1），＝（1，2，0），则，取x＝2，得＝（2，﹣1，﹣2），∴cos＜＞＝＝，由图得二面角A1﹣BD﹣D1的平面角为锐角，∴二面角A1﹣BD﹣D1的余弦值为．18．设等差数列{a n}公差为d，等比数列{b n}公比为q，已知a1＝b1，a3＝b1+b2＝5，q＝2d．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项和S n．【分析】（1）根据题意，联立解方程组，求出首项和公差，公比，代入即可；（2）求出c n＝a n•b n，利用错位相消法，求出数列{c n}的前n项和S n．解：（1）等差数列{a n}公差为d，等比数列{b n}公比为q，由a1＝b1，a3＝b1+b2＝5，q＝2d，b2＝a3﹣a1＝2d＝q＝a1q，所以a1＝b1＝1，b1+b2＝1+q＝5，q＝4＝2d，故d＝2，所以a n＝2n﹣1，b n＝4n﹣1；（2）c n＝a n•b n＝（2n﹣1）4n﹣1；数列{c n}的前n项和S n＝1•40+3•41+…+（2n﹣1）•4n﹣1，4，两式作差得﹣3＝1+＝，故．19．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P是C上的动点．（1）当|PF|＝4时，求直线PF的方程；（2）过点P作l的垂线，垂足为M，O为坐标原点，直线OM与C的另一个交点为Q，证明：直线PQ经过定点，并求出该定点的坐标．【分析】（1）设点P（x0，y0），由|PF|＝4可解得P的坐标，进而求得PF的方程；（2）表示出直线OM方程并与抛物线方程联立得到Q点坐标，进而可求出直线PQ的方程，得到恒过的点坐标解：（1）设点P（x0，y0），由|PF|＝4得1+x0＝4，解得x0＝3，所以y0＝±2，所以k PF＝＝±，所以直线PF的方程为：y＝x﹣或y＝﹣x+；（2）证明：设P（，y0）（y0≠0），则M（﹣1，y0），直线OM的方程为：y＝﹣y0x，联立，整理得y02x2﹣4x＝0，解得Q（，﹣），①当y0＝±2时，直线PQ的方程为x＝1；②当y0≠±2时，直线PQ的方程为y﹣y0＝（x﹣），化简得：y＝（x﹣1），综上，直线PQ恒过点（1，0）．20．近年来，昆明加大了特色农业建设，其中花卉产业是重要组成部分．昆明斗南毗邻滇池东岸，是著名的花都，有“全国10支鲜花7支产自斗南”之说，享有“金斗南”的美誉．对斗南花卉交易市场某个品种的玫瑰花日销售情况进行调研，得到这种玫瑰花的定价x（单位：元/扎，20支/扎）和销售率y（销售率是销售量与供应量的比值）的统计数据如下：x10 20 30 40 50 60y0.9 0.65 0.45 0.3 0.2 0.175（1）设z＝lnx，根据所给参考数据判断，回归模型＝x与＝z哪个更合适，并根据你的判断结果求回归方程（，的结果保留一位小数）；（2）某家花卉公司每天向斗南花卉交易市场提供该品种玫瑰花1200扎，根据（1）中的回归方程，估计定价x（单位：元/扎）为多少时，这家公司该品种玫瑰花的日销售额W （单位：元）最大，并求W的最大值．参考数据：y与x的相关系数r1≈﹣0.96，y与z的相关系数r2≈﹣0.99，≈35，≈0.45，x i2＝9100，≈3.40，62≈69.32，y i z i≈8.16，z i2≈71.52，e3≈20.1，e3.4≈30.0，e3.5≈33.1，e4≈54.6．参考公式：＝，＝，r＝．【分析】（1）根据相关系数确定＝z更合适，根据线性回归方程公式，求出线性回归方程即可；（2）求出W的解析式，利用求导法，判断出W的最大值，求出即可．解：（1）因为r1≈﹣0.96，y与z的相关系数r2≈﹣0.99，0.96＜0.99＜1，由线性相关系数的定义可知，＝z更合适，由＝，，所以线性回归方程为：y＝﹣0.5lnx+2.0；（2）由题意，W＝1200（﹣0.5lnx+2.0）x，W'＝1200（1.5﹣0.5lnx，令w'＝0，德lnx＝3，即x＝e3≈20.1，当x∈（0，20.1）时，W递增；当x∈（20，1，+∞）时，W递减；故销售价约为20.1时，日销售额W最大，e3＝1200×（﹣0.5×3+2.0）×20.1＝12060（元），故最大日销售额为12060元．21．已知函数f（x）＝e x﹣ax2﹣2ax（a∈R）．（1）讨论f（x）的导数f'（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围，并证明（x1+1）（x2+1）＜1．【分析】（1）求导，分a≤0及a＞0讨论得解；（2）首先可分析得，再利用分析法求证．解：（1）由题意，得f'（x）＝e x﹣2ax﹣2a＝e x﹣2a（x+1）（x∈R）．设g（x）＝f'（x）（x∈R），则g'（x）＝e x﹣2a．①当a≤0时，g'（x）＝e x﹣2a＞0，所以f'（x）在R上单调递增．②当a＞0时，由g'（x）＝e x﹣2a＝0，得x＝ln（2a）．当x＜ln（2a）时，g'（x）＜0，f'（x）在（﹣∞，ln（2a））单调递减：当x＞ln（2a）时，g'（x）＞0，f'（x）在（ln（2a，+∞））单调递增．（2）由于f（x）有两个极值点x1，x2，即f'（x）＝0在x∈R上有两解x1，x2，f'（x）＝0即e x﹣2a（x+1）＝0，显然x≠﹣1，故等价于＝2a有两解x1，x2，设h（x）＝，则h'（x）＝，当x＜﹣1时，h'（x）＜0，所以h（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减且h（x）＜0，x →﹣∞时，h（x）→0，x→﹣1时，h（x）→+∞；当﹣1＜x＜0时，h'（x）＜0，所以h（x）在（﹣1，0）单调递减，且x→﹣1时，h（x）→+∞；当x＞0时，h′（x）＞0，所以h（x）在（0，+∞）单调递增，且x→+∞时，h（x）→+∞，∴h（0）＝1是h（x）的极小值，有两解x1，x2，等价于2a＞1，得；不妨设x1＜x2，则﹣1＜x1＜0＜x2，据（1）f'（x）在（﹣∞，ln（2a））单调递减，在（ln（2a，+∞））单调递增，故x1＜0＜ln（2a）＜x2，由于，且﹣1＜x1＜0＜ln（2a）＜x2，则0＜x1+1＜x2+1，∴x1＝ln（2a）+ln（x1+1），x2＝ln（2a）+ln（x2+1），即ln（x1+1）＝x1﹣ln（2a），ln（x2+1）＝x2﹣ln（2a），欲证明（x1+1）（x2+1）＜1，等价于证明ln（x1+1）+ln（x2+1）＜0，即证明x1+x2﹣2ln（2a）＜0，只需证明x1＜2ln（2a）﹣x2，由f'（x）在（﹣∞，ln（2a））单调递减，x1，2ln（2a）﹣x2∈（﹣∞，ln（2a）），∴只需证明f′（x1）＞f′（2ln（2a）﹣x2），即证明f′（x2）﹣f′（2ln（2a）﹣x2）＞0，设H（x）＝f′（x）﹣f′（2ln（2a）﹣x），据（1）H（x）＝g（x）﹣g（2ln（2a）﹣x），则H′（x）＝g′（x）+g′（2ln（2a）﹣x）＝e x﹣2a+e2ln（2a）﹣x﹣2a＝，∴H（x）在R上递增，∴H（x2）＞H（ln（2a））＝f′（ln（2a））﹣f′（2ln（2a）﹣ln（2a））＝0，即f′（x2）﹣f′（2ln（2a）﹣x2）＞0，故（x1+1）（x2+1）＜1．（二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中任选一题作答．并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴与x轴的非负半轴重合．曲线C 的极坐标方程是1+2sin2，直线l的极坐标方程是ρcos（）．（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）设点P（2，0），直线l与曲线C相交于点M、N，求的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）线C的极坐标方程是1+2sin2，整理得：ρ2+2（ρsinθ）2＝6，转换为直角坐标方程为：．直线l的极坐标方程是ρcos（）．转换为直角坐标方程为：x+y﹣2＝0．（2）由于点P（2，0）在直线l上，所以可设直线的参数方程为（t 为参数），即（t为参数），代入曲线C的直角坐标方程为，化简得：．所以，t1t2＝﹣1，故：＝＝＝．[选修4--5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x|﹣|2x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥﹣3的解集；（2）若a∈R，且a≠0，证明：|4a﹣1|+||≥4f（x）．【分析】（1）运用零点分段讨论法求解；（2）易知函数f（x）的最大值为1，再利用绝对值不等式的性质即可得证．解：（1）不等式f（x）≥﹣3等价于或或，解得﹣1≤x＜0或0≤x＜1或1≤x≤5，所以不等式的解集为{x|﹣1≤x≤5}；（2）证明：由（1）知函数f（x）的最大值是f（1）＝1，即f（x）≤1恒成立，因为，当且仅当时等号成立，∴|4a﹣1|+||≥4f（x），即得证．。
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云南省昆明市2019届高三摸底调研测试
文科数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ={x |-1<x <6}，B ={x |x >0}，则A ∩B =
A ．(-1，+∞)
B ．(-1，0) C.(0，6) D.(-1，6) 2.i i +12= A ．1+i B ．-1+i
C ．-1-i
D ．1-i
3.已知双曲线C ：15
42
2=-y x ，则C 的离心率为 A.45 B.2
3 C ．553 D ．352 4.设a =㏒，b =㏒,c =2
1，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a >b >c >c >b C ．c >a >b >b >a
5．设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，l ⊂α，m ⊂β.下列结论正确的是
A ．若α∥β，则l ∥β B.若l ∥m ，则α∥β
C ．若α⊥β，则l ⊥β D.若l ⊥m ，则α⊥β
6．函数()21x x
x f +=的图象大致是
A B C D
7．直线l :x -y =0与圆C :(x -2)2+y 2=6相交于A ，B 两点，|AB |=
A ．2
B ．4
C ．2 D.6 8．已知平行四边形OABC 中，O 为坐标原点，A (2,2),C (l,-2)，则•=
A ．-6
B ．-3
C ．3
D ．6
9．法国学者贝特朗于1899年针对几何概型提出了贝特朗悖论，内容如下：在半径为1的圆内随机地取一条弦，问：弦长超过圆内接等边三角形的边长3的概率等于多少？基于对术语“随机地取一条弦”含义的不同解释，存在着不同答案.现给出其中一种解释： 固定弦的一个端点A ，另一端点在圆周上随机选取，其答案为
A ．21 B
．31 C ．41 D ．61 10.如图，边长为1的正方形网格中，实线画出的是某种装饰品的三视图.已知该装饰品由木质毛坯切削得到，则所用毛坯可以是
A ．棱长都为2的四面体 B.棱长都为2的直三棱柱
C.底面直径和高都为2的圆锥 D ．底面直径和高都为2的圆柱
11.设点M 为抛物线C ：x y 42=的准线上一点（不同于准线与x 轴的交点），过抛物线C 的焦点F ，且垂直于x 轴的直线与C 交于A ，B 两点，设MA ，MF ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则2
31k k k +的值为 2 2
12.已知不等式(x -2)e x ≥a 对任意的x ∈R 恒成立，则整数a 的最大值为
A ．-3
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．满足a ，1，b 三个数成等差数列的一组a ，b 的值分别为 .
14.函数)6
2sin()(π
-=x x f 的图象上相邻的两个最高点之间的距离为 . 15.若变量x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≥-030302x y x y x ,则z =2x +y 的最小值为 .
16.已知函数⎩⎨⎧>≤=0
,ln 0,)(x x x e x f x ，)2()()(--=x a x f x g ,若g (x )存在两个零点，则实数a
的取值范围是 .
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足A c a sin 23=.
(1)求C ;
(2)若a =5,c =7，求△ABC 的面积.
18.(12分)
某校为了解“准高三”学生的数学成绩情况，从一次模拟考试中随机抽取了25名学生的数学成绩如下：
78 64 88 104 53 82 86 93 90 105 77 92 116
81 60 82 74 105 91 103 78 88 111 82 71
(l)完成这25名学生数学成绩的茎叶图：
(2)确定该样本的中位数和众数：
(3)从该样本分数在[100,120)的学生中任意抽出2名，求抽到2名学生的成绩都在区间[1OO ，110)的概率．
19.(12分)
已知等比数列{}n a 前n 项和为S n ，368a a =，S 3=21.
(l)求数列{}n a 的通项公式；
（2)求数列{}12-n a 的前n 项和T n .
20．（12分）
阳马和鳖臑(bi ē n ào)是《九章算术·商功》里对两种锥体的称谓.如下图所示，取一个长方休，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵．
长方体 堑堵 堑堵
再沿其中一个堑堵的一个顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个,以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马(四棱锥E-ABCD )，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体（三棱锥E-FCD ）称为鳖臑.
堑堵 阳马 鳖臑
(1)在阳马（四棱锥E-ABCD ）中，连接BD ，若AB=AD ，证明:EC ⊥BD;
(2)求阳马（四棱锥E-ABCD ）和鳖臑（三棱锥E-FCD ）的体积比．
21．(12分)
已知椭圆)0(1:C 22
22>>=+b a b
y a x 的右焦点为F (1,0)，过原点O 的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，且△OFP 面积的最大值为2
1. (1)求椭圆C 的方程；
(2)经过点F(l ，0）的直线l ，与椭圆C 交于A ，B 两点，四边形OAPB 能否为平行四边形? 若能，求此时直线l 的方程，若不能，说明理由.
22.(12分)
已知函数x e
x x x f 12212--=）（. (1)求曲线y=f(x)在点(0，-1)处的切线方程；
(2)设函数)()()(2R a e
x ax x f x g x ∈--=，若x=2是g(x)的唯一极值点，求a.。