向量极化恒等式【4】

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(完整版)向量中的中点转化与极化恒等式

极化恒等式【一.式子结构分析】 1.()2222a ba ab b +=++r r r r r r ，同理可以有：()2222a ba ab b -=-+r r r r r r .两个式子相加可得：()()()22222a b a ba b +=++-r rr r r r ,这个说明平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和，也等于邻边的平方和的两倍，由此可得三角形的中线长公式：a m =本20页）. 2.()2222a ba ab b +=++r r r r r r ，同理可以有：()2222a ba ab b -=-+r r r r r r .两个式子相减可得：()()224a ba b a b +--⋅=r r r r rr ,这个叫极化恒等式，2017年全国甲卷理科选择最后一题考查了.3. 很多时候我们也会遇到22a b -r r 这样的式子，一般22()()a b a b a b -+=-r r r r r r ，类似于平方差公式，实质上同2差不多【二、极化恒等式】和数学上很多经典的公式定理一样，极化恒等式也并没有那么神秘，甚至说是很基本. 回忆必修四105页例2()2222a ba ab b +=++r r r r r r ，同理可以有：()2222a ba ab b -=-+r r r r r r .两个式子相加可得：()()()22222a b a ba b +=++-r rr r r r ,这个说明平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和，也等于邻边的平方和的两倍，由此可得三角形的中线长公式：a m =本20页）.两个式子相减可得：()()224a ba b a b +--⋅=r r r r rr ,这个叫极化恒等式，2017年全国甲卷理科选择最后一题考查了.极化恒等式的几何意义是:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即221()4a b AD BC ⋅=-r r .在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，即2214a b AM BC ⋅=-r r ，他揭示了三角形的中线与边长的关系.下面通过几道题目，来分析极化恒等式的妙用.4. 在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ⋅=u u u r u u u r________.解析： ()22()4AB ACAB AC AB AC +-⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r224BC AM -=u u u ru u u u r 16=- 事实上，类似的问题时有看到，只是很多时候用其他的方法取代了“极化恒等式”，或在无意中使用“极化恒等式”.在ABC ∆中，D 是BC 的中点，2,3AB AC ==，则AD BC ⋅=u u u r u u u r________.解析： ()()2AB ACAD BC AB AC +⋅=⋅-u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r 221()2ABAC =-u u ur u u u r 52=.5. 在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝3，M ，N 是斜边AB上的两个动点，且MN =CM CN u u u u r u u u rg的取值范围为_______.解析：设MN 的中点为D ，则()()2214CM CN CM CN CM CN ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦u u u u r u u u r u u u u r u u u ru u u u r u u u r g()[]22241124,26CD MN CD ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦∈u u u r u u u u r u u u r 类题：△ABC 中，AC ⊥BC ，AB ＝3，AC ＝1，D 为BC 的中点，F 为线段AD 上任意一点，求()AF FB FC+u u u r u u u r u u u rg 的最大值.解析：()22AF FB FC AF FD AF FD +==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg gg ，因AF FD AD +==，故当AF FD ==()AF FB FC +u u u r u u u r u u u r g 取最大值32.6. （2017年高考全国卷Ⅱ理12）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是A.2-B.32-C. 43- D.1- 解法分析思路一：建系，将向量运算坐标化解法1：如图1，建立平面直角坐标系xOy，(A ，()1,0B -，()1,0C ，设(),P x y ，则()PA x y =-u u u r，()()()1,1,2,2PB PC x y x y x y +=---+--=--u u u r u u u r ，所以()(2223322222PA PB PC x y y x y ⎡⎤⎛⎢⎥+=+-=+-- ⎢⎥⎝⎭⎦≥⎣u u u r u u u r u u u r g ，当且仅当0x =，2y =，即P 为AO 的中点时取等号，则所求最小值为32-，选B.图1思路二：取BC 中点M ，将PB PC +u u u r u u u r 转化为2PM u u u u r ，则()22PA PB PC PA PM PA PM +==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u rg g g ，怎么求PA PM u u u r u u u u rg 的最小值呢？如图2，设AM 的中点为N ，则()()()()22222113324444PA PM PA PM PA PM PN MA PN ⎡⎤⎡⎤=+--=-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣≥⎦u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r g ，当且仅当20PN =u u u r ，即P 与N 重合（P 为AM 的中点）时取等号，故PA PM u u u r u u u u r g 的最小值为34-，所求最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，选B. 注：（1）转化PA PM u u u r u u u u r g 时用到了极化恒等式()()2214PA PM PA PM PA PM⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r g ，其一般形式为()()2214a b a b a b ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦r r r r r r g ；（2）PA PM u u u r u u u u r g 也可这样转化： PA PM =u u u r u u u u r g ()()PN NA PN NM ++u u u r u u u r u u u r u u u u r g ()()PN NA PN NA =+-u u u r u u u r u u u r u u u r g 22234PN NA PN =-=-u u u r u u u r u u u r .图2类题：已知动点M 是腰长为2的等腰直角三角形ABC ∆（C ∠为直角）的三边上的动点，则(+)MA MB MC ⋅u u u r u u u r u u u u r的取值范围是（）A ．1[,0]2- B ．[0,4] C ．1[,4]2-D．答案：C解析：取AB 中点D ，CD 中点E ，则(+)MA MB MC ⋅u u u r u u u r u u u u r2MD MC =⋅u u u u r u u u u r()()22124MD MCMD MC ⎡⎤=⨯+--⎢⎥⎣⎦u u u ur u u u u r u u u u r u u u u r 22214212ME CD ME ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r u u u r7. ***如图，在凸四边形ABCD 中，66AB AD BD ⋅==u u u r u u u r ，，O 是BD 的中点，且3AO OC =u u u r u u u r，则CB CD ⋅u u u r u u u r等于（）A ．115- B ．89-C ．223-D ．83解析：22(+)()4AB AD AB AD AB AD --⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 222494AO DB AO -==-u u u r u u u ru u u r 6=22(+)()4CB CD CB CD CB CD --⋅=u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r 29CO =-u u u r 223=-.8. ***（2013年浙江高考理）ABC ∆中0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任取的一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】D解析：法1：【将式子转化为与某一个变量有关系的式子，即函数式.由已知条件，当14PB AB =时，函数式子取最大值】设,PB x BC a ==，作CH AB ⊥，则cos BH a B =.则22()cos PB PC PB PB BC PB BP BC x xa B ⋅=⋅+=-⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r由题意，当且仅当111cos 224x a B BH AB ===时，上式有最小值.此时，H 也为AB 的中点，故AC BC =.法2：由题意，设|→AB |=4，则|→P 0B |=1，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设HP 0=a ，则由数量积的几何意义可得，→PB ∙→PC =|→PH ||→PB |=(|→PB | −(a +1))|→PB |，→P 0B ∙→P 0C =−|→P 0H ||→P 0B |=−a ，于是→PB ∙→PC ≥→P 0B ∙→P 0C 恒成立，相当于(|→PB |−(a +1))|→PB |≥−a 恒成立，整理得|→PB |2−(a +1)|→PB |+a ≥0恒成立，只需∆=(a +1)2−4a =(a −1)2≤0即可，于是a =1，因此我们得到HB =2，即H 是AB 的中点，故△ABC 是等腰三角形，所以AC =BC法3：如图建系，设(,0),(,),(,0)C C B b C x y P x ， 2()CCPB PC x b x x bx ⋅=-++u u u r u u u r ，当且仅当24C b x b x +==时，上式取最小值，此时2C bx =，故AC BC =. 法4：以AB 中点为坐标原点建系也可，同法2.法5: 极化恒等式 224=()()a b a b a b ⋅+--r r r r r r如图，取线段BC 的中点M ，则22224=()()4PB PC PB PC PB PC PM BC ⋅+--=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，要使得4PB PC ⋅u u u r u u u r 的值最小，只需24PM u u u u r 取最小值.因为P 是线段AB 上动点，所以只有当PM AB⊥时，PM u u u u r取得最小值，且点P 与点0P 必须重合，M 是线段BC 的中点，只有AC=BC 时才能成立.090=∠ABC 090=∠BAC AC AB =BC AC =CBAHC BAxPy9. ***（2012年安徽卷）若平面向量,a b r r 满足23a b -r r≤，则a b ⋅r r 的最小值是_________.解析：2212(2)(2)4a b a b a b ⎡⎤⋅=+--⎣⎦r r r r r r 219(2)44a b ---r r ≥≥.所以98a b ⋅-r r ≥.A.32+ B. 12+ C. 322+ D. 122+解：法1：全部与圆心联系起来，基本定义设AB 中点为D ，=()()PA PB PO OA PO OB ⋅+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r22PO PO OD OA OB =+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1122PO OD =+⋅+u u u r u u ur 3,2PO OD =<>u u u r u u u r，∵cos ,[1,1]PO OD <>∈-u u u r u u u r ，∴PA PB ⋅u u u r u u u r的范围为33[22.法2：建立坐标系，需要用到辅助角公式以O 点为原点，OA 为x 轴建立平面直角坐标系，则1(1,0),(,)22A B ，（也可设点11),)22A B -）设(cos ,sin ),02P αααπ≤<，则1(1cos ,sin ),(cos sin ),2PA PB αααα=--=--u u u r u u u r 1(1cos )(cos )(sin sin )2PA PB αααα⋅=--+--u u u ru u u r33cos 222αα=--313(sin )222αα=+3)23πα=+∵1sin()13πα-≤+≤，∴333)2232πα≤+≤，故PA PB ⋅u u u r u u u r 的范围为33[3,3]22-+.法3：建立坐标系，设点3131(,),(,)22A B -，(,)P x y ， 332PA PB x ⋅=-u u u r u u u r法4：转化为求三角形的面积的最大值，使用余弦定理和基本不等式cos cos30PA PB PA PB APB PA PB ⋅=⋅∠=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 32PA PB =⋅u u u r u u u r ，根据余弦定理和基本不等式2220cos302PA PB AB PA PB +-⋅=u u u r u u u r 12PA PB ⋅-≥，法5：转化为求三角形的面积的最大值，使用余弦定理和基本不等式求32PA PB ⋅u u ur u u u r 的最大值也即求三角形的面积的最大值，也即求点 P 到AB 距离的最大值法6：与三角形中点联系起来设AB 中点为D ，则=()()PA PB PD DA PD DB ⋅+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =()()PD DA PD DA +⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r22214PD DA PD =-=-u u u r u u u r u u u r易知，PD u u u r 的范围是33[1,1]-+，故PA PB ⋅u u u r u u u r 的范围为33[3,3]22-+.11. ***（2011年浙江卷）已知直线AB 与抛物线24y x =交于点,A B ，点M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足{}00min C A C B CA CB ⋅=⋅u u u u r u u u u r u u r u u u r，则下列一定成立的是（）A.0C M AB ⊥B.0C M l ⊥u u u u u r，其中l 是抛物线过0C 的切线C.00C A C B ⊥D.0C M AB = 答案 D解析如图所示，极化恒等式 CA →·CB →＝(AM →－CM →)·(BM →－CM →)＝CM →2－(BM →＋AM →)·CM →＋AM →·BM →＝CM →2－14AB →2，当直线AB 一定时，当且仅当|CM →|取得最小值时，使得CA →·CB →取最小值，只有当C M ⊥l 时，|CM →|取得最小值，故选D.【注】本题实质上就是求抛物线上一点到其内一点距离的最小值下面用两种方法来证明，法1：几何分析法，只需证明CM 不与l 垂直时，有比CM 还要短的. 这一招太聪明了，如果直接证明CM 最短很不好证. 设过点C '的切线为l ',此时C M '不与l '垂直，作MH l '⊥，交抛物线于点1C .则1MC MH MC MC '>>>. 法2：求导运算22200()()CM x x y y =-+-2222000022x x x x y y y y =-++-+22222200002222y y x x y y y y ⎛⎫=-++-+ ⎪⎝⎭22222200002222y y x x y y y y ⎛⎫=-++-+ ⎪⎝⎭()f y =300()2(1)20f y y x y y '=+--=时，上式有最小值？？？？【注】此处如何整理出 CM ⊥CA 时，0011y y x x y-⋅=--，整理得3002(1)20y x y y +--=，两条件相同. 12. 已知圆O 的半径为2，,P Q 是圆O 上任意两点，且060POQ ∠=，AB 是圆O 的一条直径，若点C满足(1)OC OP OQ λλ=-+u u u r u u u r u u u r，则CA CB ⋅u u r u u u r 的最小值是（） A ．1- B ．2- C ．3- D ．4-解析：由(1)OC OP OQ λλ=-+u u u r u u u r u u u r 得，点C 在PQ 上，24CA CB CO ⋅=-u u r u u u r易得当且仅当C 为PQ 中点时，CO 有最小值1-.变式：已知圆O 的半径为2，,P Q 是圆O 上任意两点，且060POQ ∠=，AB 是圆O 的一条直径，若点C 满足(1)OC OP OQ λλ=-+u u u r u u u r u u u r，则CA CB ⋅u u r u u u r 的最小值是（）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-解析：设OP OP '=-u u u r u u u r ，所以(1)(1)OC OP OQ OP OQ λλλλ'=-+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，点C 在P Q '上，24CA CB CO ⋅=-u u r u u u r易得当且仅当C 为PQ 中点时，CO 有最小值3-. 【三. 三角形向量中线公式和中点转化】13. ***点O 是ABC ∆的三边中垂线的交点，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，已知2220,13b b c b -+=<<，则BC AO u u u r u u u rg 的范围是____________．解析：O 是ABC ∆的外心，设BC 中点为M ，则OM BC ⊥()BC AO BC AM MO BC AM u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r g g g =+=2211()()()22AC AB AC AB b c u u u r u u u r u u u r u u u r g =-+=-2b b =-.因为2220b b c -+=，所以2220c b b =->，所以02b <<，又13b <<，所以12b <<.所以BC AO u u u r u u u rg 的范围是（0，2）.14. 已知圆22:1C x y +=，点00(,)P x y 是直线:3240l x y +-=上的动点，若在圆C 上总存在两个不同的点,A B ，使OA OB OP +=u u u r u u u r u u u r，则0x 的取值范围是（）A ．24(0,)13B ．24(,0)13- C ．13(0,)24 D ．13(0,)12 答案：A【解析】法1：如图，∵OA OB OP +=u u u r u u u r u u u r；∴OP 与AB 互相垂直平分，∴圆心到直线AB 的距离122020<+y x ；∴42020<+y x ①；又042300=-+y x ；∴00232x y -=，代入①得：4232202<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x ；解得132400<<x ；∴0x 的取值范围是24(0,)13．故选：A ．法2：OP=2时，是临界状态，求出即可.15. ***在ABC ∆中，D 是BC 边上任意一点（D 与B ，C 不重合），且22+AB AD BD DC =⋅，则ABC∆一定是（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：类似于平方差公式，22AB AD -表示成向量的平方22AB AD -u u u r u u u r ，可以转化运算 22+AB AD BD DC =⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,220AB AD BD DC --⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ,()0DB AB AC ⋅+=u u u r u u u r u u u r，故是等腰，选C.16. （1）已知圆直径=6AB ，O 点为圆心，C 为半径上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，(+)PA PB PC ⋅u u u r u u u r u u u r的最小值是_________.解：(+)2PA PB PC PO PC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 262PO PO =-+92-≥.（2）已知圆半径为1，圆上的弦AB 长为1，P 为圆上的动点，PA PB ⋅u u u r u u u r的最大值是（）A.332+ B. 132+ C. 332+ D. 132+ 解：设AB 中点为D ，则=()()PA PB PD DA PD DB ⋅+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =()()PD DA PD DA +⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r22214PD DA PD =-=-u u u r u u u r u u u r易知，PD u u u r 的范围是33[1,1]-+，故PA PB ⋅u u u r u u u r 的范围为33[3,3]22-+. 17. （1）已知直角梯形ABCD ，AD ∥BC ，090BAD ∠=，AD=2，BC=1，P 是腰AB 上的动点，则+PC PD u u u r u u u r的最小值为_____. 法1：建系，设(0,)P b法2：取CD 中点Q ，+2PC PD PQ =u u u r u u u r，易得P 是AB 的中点时取最小.（2）已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r的最大值为（）A.6B.7C.8D.9 【答案】B.法2：因AB BC ⊥，所以AC 为直径，O 为AC 中点，2PA PB PC PO PB ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，当(1,0)B -时，最大，为7.18. ***如图，在梯形ABCD 中，CD AB //，2=AB ，4=CD ，5==AD BC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，对于常数λ，在梯形ABCD 的四条边上恰有8个不同的点P ，使得λ=⋅PF PE 成立，则实数λ的取值范围是（）A ．)209,45(-- B ．)411,45(- C ．)411,41(- D ．)41,209(-- 答案：D【解析】法1：以CD 中点为坐标原点，CD 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则33(1,2),(1,2),(2,0),(2,0),(,1),F(,1)22A B C D E ---，当P 在CD 边上时，设(,0),||(0,2)P x x ∈，则25511(,)444PE PF x λ=⋅=-∈-u u u r u u u r，对应值都有两个；当P 在AB 边上时，设(,2),||(0,1)P x x ∈，则2551(,)444PE PF x λ=⋅=-∈--u u u r u u u r ，对应值都有两个；当P 在BC 边上时，设(,42),(1,2)P x x x -∈，则2275124PE PF x x λ=⋅=-+u u u r u u u r ，当91(,)204λ∈--时，每一个λ都有两个x 与之对应；根据对称性，当P 在AD 边上时，同P 在BC 边上时.综上，若有8个不同的点P ，使得λ=⋅PF PE 成立，则实数λ的取值范围是9151191(,)(,)(,)20444204---=--I ，选D. 法2：（巧取中点转化，极化恒等式）取EF 中点H ，取AB 中点M ，取CD 中点N ，1MH NH == 则()()PE PF PH HE PH HF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2212PH HE =-u u u r u u u r 2214PH EF =-u u u r u u u r 29=4PH -u u u r ，当P 在AB 边上时，2951=(,)444PE PF PH λ=⋅-∈--u u u r u u u r u u u r ，根据对称性，对应值都有两个；当P 在CD 边上时，29511(,)444PH λ=-∈-u u u r ，根据对称性，对应值都有两个；当P 在AD 边上时，PH 的最小值即H 到AD 的距离，由等积法min 5PH =，又2AH =，当(,2)5PH ∈时，91(,)204λ∈--，对应值都有两个；根据对称性，当P 在AD 边上时，同P 在BC 边上时. 综上，若有8个不同的点P ，使得λ=⋅PF PE 成立，则实数λ的取值范围是9151191(,)(,)(,)20444204---=--I ，选D. 19. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线l 1，l 2同侧，且P 到l 1，l 2的距离分别为1,3.点M ，N 分别在l 1，l 2上，|PM →＋PN →|＝8，则PM →·PN →的最大值为( ) A ．15 B ．12 C ．10 D ．9 答案 A解析：取MN 中点O ，则()142PO PM PN =+=u u u r u u u ur u u u r ，1OM u u u u r ≥ ()()PM PN PO OM PO ON =++u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u rg g 22216PO OM OM =-=-u u u r u u u u r u u u u r 22216PO OM OM =-=-u u u r u u u u r u u u u r20. ***已知ABC ∆的面积为2，E,F 是AB ，AC 的中点，P 为直线EF 上任意一点，则2PB PC BC ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最小值为（）A ．2B ．3C ．23D ．4 解析：法1：巧取中点转化法，极化恒等式取BC 中点D ，设底边BC 的高为h ，则12PD h ≥，22()()PB PC BC PD DB PD DC BC +=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g222PD DB BC =-+u u u r u u u r u u u r 2234PD BC =+u u u r u u u r 2222313444PD BC h BC =++u u u r u u u r u u u r ≥==≥ 法2：建立平面直角坐标系(如图所示)，【四、极化恒等式在立体几何中的应用】21. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，MN 是它内切球的一条弦（把球面上任意2点之间的线段称为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦MN 最长时，PM PN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为_________.解析：设球心为O ，易得球的半径1R =，2221=(2)14PM PN PO R PO ⋅-=-u u u u r u u u r u u u r u u u r ，易得PO PM PN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为2.22. 点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111A B C D 上一点，则PA PC ⋅u u u r u u u r 的取值范围是_________.解析：设AC 的中点为M ，224PA PC PM AC ⋅=-u u u r u u u r u u u u r u u u r 242PM =-u u u u r 1,12⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦23.24.。

向量极化恒等式

2 EF
AF
2
21
，选
A。
16
4．（2017 年新课标Ⅱ）已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则
PA PB PC 的最小值是
A． 2
B． 3 2
C． 4 3
D． 1
解：记 BC 中点为点 D ， AD 中点为点 E ，则
PA
PB PC
题型二：利用极化恒等式求解两向量不同起点，但可转化为两
同起点向量的数量积问题
例 2．（2016 年江苏）如图，在 ∆ABC 中， D 是边 BC 的中点， E, F 是 AD 上的两个三等
分点， BA CA 4, BF CF 1 ，则 BE CE
。
解：由极化恒等式：
BA
，其中 D 为 BC
4
中点，此时 AB AC 的值只依赖于 AD 的值，向量数量积的问题转化为两点间距离问题，
难度大大降低。
2、两向量不同起点时，考虑转化为同起点两向量数量积。如例 2 中求解 BE ⋅CE ，两
向量同终点不同起点，但经转化后 BE CE EB EC 同起点，亦可利用极化恒等式求解。
1 4
AB
，且对于边
AB
上
任一点 P ，恒有 PB PC P0B P0C 则（
）
A． ABC=90 B． BAC=90 C． AB AC D． AC BC
解：记
AB
中点为点
H
， BC
中点为点
M
，则
PB PC
2 PM
2 BM
，注意到
BM
2
为定
值，即 P 为 P0 时 PM 最小时，故 MP0 AB, CH AB CA CB ，选 D。

高中数学《极化恒等式》PPT教学课件

【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。
已知RTABC的斜边AB的长为4，设P是以C为圆心， 1为半径的圆上任意一点，求PA PB的取值范围。
解：PA
PB＝(
PA

P B ) 2 －(
P A－P B ) 2＝P M
在正三角形 ABC中， D 是 BC上点， AB 3, BD 1，
则 AB AD
。
解：取
BD的中点
E
，
AB
AD

2
AE

1
2
BD

(3
3 )2 1 1 15
4
2
42
如图，在半径为1的扇形AOB 中，AOB ＝60 ，C为弧上的动点， AB与OC相交于点P，则OP BP的最小值是 1
巧用极化恒等式，妙解高考向量题
想一想
在处理向量的问题中，一个强有力的工具，特别在求向量数量积最值的时候，甚至是“秒杀”某些高考向量题，那就是向量的极化恒等式。
M
极化恒等式的几何意义：
4a b (a b)2 (a b)2 a b (a b)2 (a b)2 4
| BC |
| BC |
| BC |
从而原式 |
PD |2

3 4
|
BC |2
|
4 BC |2

3 4
|
BC |2
2
3
当且仅当PD BC，| BC |＝4 4时等号成立。 3
A. ABC 90o B. BAC 90o
C. AB AC
D. AC BC

极化恒等式-教师版

极化恒等式知识精讲：1.极化恒等式:a ⃗ ⋅b ⃗ =14[(a ⃗ +b ⃗ )2−(a ⃗ −b⃗ )2] 2.极化恒等式的几何意义是：设点M 是△ABC 边的中点，则AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−14|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AM 2−BM 2，即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差．1.已知A 为椭圆x 29+y 25=1上的动点，MN 为圆(x −1)2+y 2=1的一条直径，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为________.备注：极化恒等式的典型应用BC2. （三星）（2017全国2理）已知ΔABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值是（）A.−2B.−32 C. −43 D.−1 解：方法一：建系法连接OP ，OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0). PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,−y )⋅(−x,√3−y) ∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−√3y =x 2+(y −√32)2−34 ∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−34，∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−32 ∴最小值为−32方法二：均值法∵PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 由上图可知：OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；两边平方可得3=(PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2+(PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2−2PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∵ (PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2+(PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2≥−2PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴ 2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−32∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−32，∴最小值为−32 解法三：配凑法 ∵PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )22=(PO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )22≥−32∴最小值为−323．在∆ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是∆ABC 所在平面上的任意一点，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为 A ．1B ．2C ．-2D ．-1【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D 在原点处，点A 在y 轴上，则A (0,2)．设点P 的坐标为x y (,)，则(,2),(,)PA x y PO x y =−−=−−，故()22(2)PA PB PA PC PA PB PC PA PO x y y ⋅+⋅=⋅+=⋅=+−22=+−−≥−x y 2[(1)]2222，当且仅当==x y 0,1时等号成立．所以PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为−2．选C ．4. （武汉二中高二）已知圆M:x 2+(y −1)2=1, 圆N:x 2+(y +1)2=1, 直线l 1、l 2分别过圆心M ,且l 1与圆M 相交于A 、B , l 2与圆N 相交于C 、D , P 是椭圆x 23+y 24=1上的任意一动点, 则PA → ⋅PB → +PC → ⋅PD →的最小值为______________.6 备注：用到极化恒等式5．在平面四边形ABCD 中，===AB BC CD 22，∠ABC =60∘,∠ADC =90∘，若BE →=EF →=FG →=GC →，则2AE →∙DC →+AE →∙AF →=_____；若P 为边BC 上一动点，当PA →∙PC →取最小值时，则cos ∠PDC 的值为_____．解：∵平面四边形ABCD 中，===AB BC CD 22，∠ABC =60∘,∠ADC =90∘，∴△ABC 是边长为2的等边三角，在Rt △ADC 中，AC =2,CD =1，所以∠ACD =60∘，又BE →=EF →=FG →=GC →， ∴E,F,G 是BC 边的四等分点．如图建立坐标系：则：A(0,√3),B (−1,0),C (1,0)， D (32,√32),E (−12,0),F (0,0),G (12,0)，所以2AE →DC →+AE →AF →=2(−12,−√3)(−12,−√32)+(−12,−√3)(0,−√3)=132，再设P (x,0)，则−1≤x ≤1，∴PA →PC →=(−x,√3)(1−x,0)=x 2−x =(x −12)2−14，显然x =12时，PA →PC →最小，此时P (12，0)，∴cos ∠PDC =cos ⟨DP →，DC →⟩=(−1，−√3)⋅(−1，−√3)(−1)+(−√32)(−12)+(−√32)=5√714．故答案为：132，5√714．6．在△OAB 中，OA =OB =2，AB =2√3，动点P 位于直线OA 上，当PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时，向量PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角余弦值为（）A ．−3√77B ．7C ．−√217D ．√213【详解】∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即8−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，设OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(λ−1)OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =−2(1−λ)+4λ(λ−1)=4λ2−2λ−2=(2λ−12)2−94，当λ=14时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值−94，此时|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=34|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=32， |PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −14OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=116OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =116×22+22−12×(−2)=214，所以，|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√212，则cos <PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−9432×√212=−√217. 故选：C.7. （三星）在锐角∆ABC 中已知B= 3，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是__________.解：法一：极化恒等式；法二：以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，因为设A（x ，0）因为△ABC 是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A ＜90°，即A 在如图的线段DE 上（不与D ，E 重合），所以1＜x ＜4，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2﹣x=（x ﹣12）2﹣14，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的范围为（0，12）．方法2∵∠B=π3， △ABC 是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A ＜90°=a=2由正弦定理可得()−==A B a b csin 120sinA sin 0∴=b ,=−Ac A sin 2sin 1200)( ∴120cos cos AB AC c b A A ===+=+⎝⎭−AA Asin tan 32202)(∵∈tanA0,3)( ∴(0,12AB AC ∈)8.在△ABC 中，AC ＝2BC ＝4，∠ACB 为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN ＝1，若CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为34，则cos ∠ACB ＝．【答案】1−3√58【解析】取MN 的中点P ，则由极化恒等式得CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−14|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−14∵CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为34∴|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |min 由平几知识知：当CP ⊥AB 时，CP 最小. 如图，作CH ⊥AB ，H 为垂足，则CH=1 又AC ＝2BC ＝4，所以∠B ＝30o ，sinA=14 所以cos ∠ACB ＝cos （150o －A ）=1−3√58.9.如图所示，矩形ABCD 的边AB=4，AD=2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆与CD 交于点E ，若点P 是圆弧EB ̂ (含端点B 、E)上的一点，则PA → ·PB → 的取值范围是 .H【解析】取AB 的中点设为O ，则，当O 、P 、C 共线时， PO 取得最小值为PO =2√2−2；当P 与B （或E ）重合时，PO 取得最大值为PO=2，所以的取值范围是.10.如图，是边长为P 是以C 为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 最小值是_____.－111.（三星）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E,F 是AD 上的两个三等分点，BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4,BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是________.备注：极化恒等式的典型应用2221=4PA PB PO AB PO ⋅−=−4PA PB ⋅−[8∆ABC CA BP12.若平面向量a ，b 满足|2a －b|≤3，则a·b 的最小值为________.【解析】根据极化恒等式得：8a ⋅b =(2a +b)2−(2a −b)2=(2a +b)2−9≥−9，故a ⋅b ≥−98，所以a ⋅b 的最小值为−98．13.已知平面向量a ，b ，e 满足|e|＝1，a·e ＝1，b·e ＝－2，|a ＋b|＝2，那么a·b 的最大值为________．解：由a·e ＝1，b·e ＝－2得: a·e －b·e ＝3，即（a －b ）·e ＝3，|a －b|cos θ＝3a·b=14[|a ＋b|2－|a －b|2]≤－5414.在中，已知，，则面积的最大值是．解：取BC 的中点为D ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD 2−BC24，所以AD =√2因为BC 边上的高线长不大于中线长，当中线就是高线时，面积最大，故．15.已知平面向量a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ 满足|a ⃗ |=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =12，a ⃗ ⋅c ⃗ =2，|2b ⃗ −c ⃗ |=2，那么b⃗ ⋅c ⃗ 的最小值为________．【解析】由a ⃗ ⋅b ⃗ =12，a ⃗ ⋅c ⃗ =2得2a ⃗ ⋅b ⃗ +a ⃗ ⋅c ⃗ =3，即a ⃗ ⋅(2b ⃗ +c ⃗ )=3 又a ⃗ ⋅(2b ⃗ +c ⃗ )=|a ⃗ ||2b ⃗ +c ⃗ |cos θ（其中θ为向量a ⃗ 与2b ⃗ +c ⃗ 的夹角）所以|2b⃗ +c ⃗ |=3cos θ所以b⃗ ⋅c ⃗ =18[(2b ⃗ +c ⃗ )2−(2b ⃗ −c ⃗ )2]=18(9cos 2θ−4)≥58.∆ABC =BC 21AB AC •=∆ABC ∆ABC16.已知锐角的外接圆的半径为1，，则的取值范围为__________．17.已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则PA → ⋅PB →的取值范围是_____.[－2,6]18.在ΔABC 中，AB =3,AC =4,∠BAC =60°，若P 是ΔABC 所在平面内的一点，且AP =2，则PB → ⋅PC →的最大值为_____.10+2√3719.已知点P 是边长为2√3的正三角形ABC 内切圆上的一点，则PA → ⋅PB →的取值范围为_____.[−3,6]20.已知正方形ABCD 的边长为1，中心为O ，直线l 经过中心O ，交AB 于点M ，交CD 于点N ，P 为平面上一点，若2OP → ＝λOB → ＋(1－λ)OC → ，则PM → ·PN →的最小值为__________.−71621.设点P 为正三角形△ABC 的边BC 上的一个动点，当PA → ·PC →取得最小值时，sin ∠PAC 的值为________．√392622.在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 分别在x 轴，y 轴正半轴上移动，AB ＝2，若点P 满足PA → ·PB →＝2，则OP 的取值范围为________．[√3−1,√3+1]23.在△ABC 中，E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB → ·PC →＋BC →2的最小值是__________．4√3∆ABC ∠=πB 6BA BC⋅⎝ ⎛23,3。

平面向量系列之极化恒等式精选全文

可编辑修改精选全文完整版平面向量系列极化恒等式一、极化恒等式极化恒等式：])()[(4122b a b a b a --+=⋅ 极化恒等式的几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41，即：2222||||]|||[|41BM AM BC AD b a -=-=⋅，如图：证明：2222||2||)(||||||b b a a b a AD b a AD ++=+=⇒+= 2222||2||)(||||||b b a a b a BC b a BC +-=-=⇒-= 以上两式相减得：22)()(4b a b a b a --+=⋅ ])()[(4122b a b a b a --+=⋅二、例题精析1、（2014，浙江高考理）在三角形ABC 中，M 是BC 的中点，AM=3，BC=10，则AC AB ⋅=_________ [解析]如图所示，由极化恒等式易得：16532222-=-=-=⋅BM AM AC AB2、（2016，长春二模）已知AB 为圆122=+y x 的一条直径，点P 为直线02=+-y x 上任意一点，则PB PA ⋅的最小值是_______[解析]如图所示，由极化恒等式易知，当OP 垂直直线时，PB PA ⋅有最小值，即： 1122222=-=-=⋅OB PO PB PA3、（2013，湖州二模）正方体的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，PN PM ⋅的取值范围是_______[解析] 当弦MN 的长度最大时，即MN 为圆的直径，由极化恒等式得：当点P 在A ，C ，A1，C1任一点时有最大值，当点P 在圆与正方体的切点时有最小值，即：213)(22221max =-=-=⋅MO O C PN PM ， 011)(2222min =-=-=⋅MO MO PN PM ，故]2,0[∈⋅PN PM 。

向量中的中点转化与极化恒等式

极化恒等式【一.式子结构分析】 1.()2222a b a ab b +=++，同理可以有：()2222a ba ab b -=-+.两个式子相加可得：()()()22222a ba ba b +=++-,这个说明平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和，也等于邻边的平方和的两倍，由此可得三角形的中线长公式：a m =本20页）. 2.()2222a b a ab b +=++，同理可以有：()2222a ba ab b -=-+.两个式子相减可得：()()224a b a b a b +--⋅=,这个叫极化恒等式，2017年全国甲卷理科选择最后一题考查了.3. 很多时候我们也会遇到22a b -这样的式子，一般22()()a b a b a b -+=-，类似于平方差公式，实质上同2差不多【二、极化恒等式】和数学上很多经典的公式定理一样，极化恒等式也并没有那么神秘，甚至说是很基本. 回忆必修四105页例2()2222a b a ab b +=++，同理可以有：()2222a ba ab b -=-+.两个式子相加可得：()()()22222a ba ba b +=++-,这个说明平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和，也等于邻边的平方和的两倍，由此可得三角形的中线长公式：a m =本20页）.两个式子相减可得：()()224a ba b a b +--⋅=,这个叫极化恒等式，2017年全国甲卷理科选择最后一题考查了.极化恒等式的几何意义是:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即221()4a b AD BC ⋅=-.在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，即2214a b AM BC ⋅=-，他揭示了三角形的中线与边长的关系.下面通过几道题目，来分析极化恒等式的妙用.4. 在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ⋅=________.解析： ()22()4AB ACAB AC AB AC +-⋅=-224BCAM -=16=- 事实上，类似的问题时有看到，只是很多时候用其他的方法取代了“极化恒等式”，或在无意中使用“极化恒等式”.在ABC ∆中，D 是BC 的中点，2,3AB AC ==，则AD BC ⋅=________.解析： ()()2AB AC AD BC AB AC +⋅=⋅-221()2ABAC =-52=. 5. 在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝3，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN =CM CN 的取值范围为_______.解析：设MN 的中点为D ，则()()2214CM CN CM CNCM CN ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦()[]22241124,26CD MN CD ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦∈类题：△ABC 中，AC ⊥BC ，AB ＝3，AC ＝1，D 为BC 的中点，F 为线段AD 上任意一点，求()AF FB FC +的最大值.解析：()22AF FB FC AF FD AF FD +==，因AF FD AD +==，故当AF FD ==()AF FB FC +取最大值32. 6. （2017年高考全国卷Ⅱ理12）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是 A.2- B.32-C. 43-D.1- 解法分析思路一：建系，将向量运算坐标化解法1：如图1，建立平面直角坐标系xOy ，(A ，()1,0B-，()1,0C ，设(),P x y ，则()PA x y =-，()()()1,1,2,2PB PC x y x y x y +=---+--=--，所以()(2223322222PA PB PC x y y x y ⎡⎤⎛⎢⎥+=+-=+-- ⎢⎥⎝⎭⎦≥⎣，当且仅当0x =，2y =，即P 为AO 的中点时取等号，则所求最小值为32-，选B.图1思路二：取BC 中点M ，将PB PC +转化为2PM ，则()22PA PB PC PA PM PA PM +==，怎么求PA PM 的最小值呢？如图2，设AM 的中点为N ，则()()()()22222113324444PA PM PA PMPA PM PNMA PN ⎡⎤⎡⎤=+--=-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣≥⎦，当且仅当20PN =，即P 与N 重合（P 为AM 的中点）时取等号，故PA PM 的最小值为34-，所求最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，选B. 注：（1）转化PA PM 时用到了极化恒等式()()2214PA PM PA PMPA PM ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦，其一般形式为()()2214a b a b a b ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦；（2）PA PM 也可这样转化：PA PM =()()PN NA PN NM ++()()PN NA PN NA =+-22234PNNA PN =-=-.图2类题：已知动点M 是腰长为2的等腰直角三角形ABC ∆（C ∠为直角）的三边上的动点，则(+)MA MB MC ⋅的取值范围是（）A ．1[,0]2- B ．[0,4] C ．1[,4]2-D ．答案：C解析：取AB 中点D ，CD 中点E ，则(+)MA MB MC ⋅2MD MC =⋅()()22124MD MCMD MC ⎡⎤=⨯+--⎢⎥⎣⎦22214212ME CD ME ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦7. ***如图，在凸四边形ABCD 中，66AB AD BD ⋅==，，O 是BD 的中点，且3AO OC =，则CB CD ⋅等于（）A ．115- B ．89-C ．223-D ．83解析：22(+)()4AB AD AB AD AB AD --⋅=222494AO DBAO -==-6=22(+)()4CB CD CB CD CB CD --⋅=29CO =-223=-.8. ***（2013年浙江高考理）ABC ∆中0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任取的一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅，则( ) A ． B ． C ．D ．【答案】D解析：法1：【将式子转化为与某一个变量有关系的式子，即函数式.由已知条件，当14PB AB =时，函数式子取最大值】设,PB x BC a ==，作CH AB ⊥，则cos BH a B =. 则22()cos PB PC PB PB BC PB BP BC x xa B ⋅=⋅+=-⋅=-由题意，当且仅当111cos 224x a B BH AB ===时，上式有最小值. 此时，H 也为AB 的中点，故AC BC =.法2：由题意，设|→AB |=4，则|→P 0B |=1，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设HP 0=a ，则由数量积的几何意义可得，→PB ∙→PC =|→PH ||→PB |=(|→PB | −(a +1))|→PB |，→P 0B ∙→P 0C =−|→P 0H ||→P 0B |=−a ，于是→PB ∙→PC ≥→P 0B ∙→P 0C 恒成立，相当于(|→PB |−(a +1))|→PB |≥−a 恒成立，整理得|→PB |2−(a +1)|→PB |+a ≥0恒成立，只需∆=(a +1)2−4a =(a −1)2≤0即可，于是a =1，因此我们得到HB =2，即H 是AB 的中点，故△ABC 是等腰三角形，所以AC =BC法3：如图建系，设(,0),(,),(,0)C C B b C x y P x ， 2()CCPB PC x b x x bx ⋅=-++，当且仅当24C b x b x +==时，上式取最小值，此时2C bx =，故AC BC =. 法4：以AB 中点为坐标原点建系也可，同法2.法5: 极化恒等式 224=()()a b a b a b ⋅+--如图，取线段BC 的中点M ，则22224=()()4PB PC PB PC PB PC PM BC ⋅+--=-，要使得4PB PC ⋅的值最小，只需24PM 取最小值.因为P 是线段AB 上动点，所以只有当PM AB ⊥时，PM 取得最小值，且点P 与点0P 必须重合，M 是线段BC 的中点，只有AC=BC 时才能成立.090=∠ABC 090=∠BAC AC AB =BC AC =CBAHC BAxPy9. ***（2012年安徽卷）若平面向量,a b 满足23a b -≤，则a b ⋅的最小值是_________.解析：2212(2)(2)4a b a b a b ⎡⎤⋅=+--⎣⎦219(2)44a b ---≥≥.所以98a b ⋅-≥.为圆上的动点，PA PB ⋅的最大值是A.32+ B. 12+ C. 322+ D. 122+解：法1：全部与圆心联系起来，基本定义设AB 中点为D ，=()()PA PB PO OA PO OB ⋅+⋅+22PO PO OD OA OB =+⋅+⋅1122PO OD =+⋅+3,2PO OD =<>， ∵cos ,[1,1]PO OD <>∈-，∴PA PB ⋅的范围为33[22.法2：建立坐标系，需要用到辅助角公式以O 点为原点，OA 为x 轴建立平面直角坐标系，则1(1,0),(,)22A B ，（也可设点11),)22A B -）设(cos,sin ),02P αααπ≤<，则1(1cos ,sin ),(cos sin ),2PA PB αααα=--=-- 1(1cos )(cos )(sin sin )2PA PB αααα⋅=--+--33cos 222αα=--313(sin )222αα=+3)23πα=+∵1sin()13πα-≤+≤，∴333)2232πα≤+≤，故PA PB ⋅的范围为33[3,3]22-+. 法3：建立坐标系，设点3131(,),(,)2222A B -，(,)P x y ， 332PA PB x ⋅=- 法4：转化为求三角形的面积的最大值，使用余弦定理和基本不等式0cos cos30PA PB PA PB APB PA PB ⋅=⋅∠=⋅32PA PB =⋅，根据余弦定理和基本不等式2220cos302PA PB AB PA PB +-⋅=12PA PB ⋅-≥，法5：转化为求三角形的面积的最大值，使用余弦定理和基本不等式求32PA PB ⋅的最大值也即求三角形的面积的最大值，也即求点 P 到AB 距离的最大值法6：与三角形中点联系起来设AB 中点为D ，则=()()PA PB PD DA PD DB ⋅+⋅+=()()PD DA PD DA +⋅-22214PD DA PD =-=-易知，PD 的范围是33[1,1]22-+，故PA PB ⋅的范围为33[3,3]22-+.11. ***（2011年浙江卷）已知直线AB 与抛物线24y x =交于点,A B ，点M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足{}00min C A C B CA CB ⋅=⋅，则下列一定成立的是（） A.0C M AB ⊥ B.0C M l ⊥，其中l 是抛物线过0C 的切线 C.00C A C B ⊥ D.0C M AB = 答案 D解析如图所示，极化恒等式 CA →·CB →＝(AM →－CM →)·(BM →－CM →)＝CM →2－(BM →＋AM →)·CM →＋AM →·BM →＝CM →2－14AB →2，当直线AB 一定时，当且仅当|CM →|取得最小值时，使得CA →·CB →取最小值，只有当C M ⊥l 时，|CM →|取得最小值，故选D.【注】本题实质上就是求抛物线上一点到其内一点距离的最小值下面用两种方法来证明，法1：几何分析法，只需证明CM 不与l 垂直时，有比CM 还要短的. 这一招太聪明了，如果直接证明CM 最短很不好证. 设过点C '的切线为l ',此时C M '不与l '垂直，作MH l '⊥，交抛物线于点1C .则1MC MH MC MC '>>>. 法2：求导运算22200()()CM x x y y =-+-2222000022x x x x y y y y =-++-+22222200002222y y x x y y y y ⎛⎫=-++-+ ⎪⎝⎭22222200002222y y x x y y y y ⎛⎫=-++-+ ⎪⎝⎭()f y =300()2(1)20f y y x y y '=+--=时，上式有最小值【注】此处如何整理出 CM ⊥CA 时，0011y y x x y-⋅=--，整理得3002(1)20y x y y +--=，两条件相同. 12. 已知圆O 的半径为2，,P Q 是圆O 上任意两点，且060POQ ∠=，AB 是圆O 的一条直径，若点C满足(1)OC OP OQ λλ=-+，则CA CB ⋅的最小值是（） A ．1- B ．2- C ．3- D ．4-解析：由(1)OC OP OQ λλ=-+得，点C 在PQ 上，24CA CB CO ⋅=- 易得当且仅当C 为PQ 中点时，CO 有最小值1-.变式：已知圆O 的半径为2，,P Q 是圆O 上任意两点，且060POQ ∠=，AB 是圆O 的一条直径，若点C 满足(1)OC OP OQ λλ=-+，则CA CB ⋅的最小值是（）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-解析：设OP OP '=-，所以(1)(1)OC OP OQ OP OQ λλλλ'=-+=-+，点C 在P Q '上，24CA CB CO ⋅=-易得当且仅当C 为PQ 中点时，CO 有最小值3-. 【三. 三角形向量中线公式和中点转化】13. ***点O 是ABC ∆的三边中垂线的交点，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，已知2220,13b b c b -+=<<，则BC AO 的范围是____________．解析：O 是ABC ∆的外心，设BC 中点为M ，则OM BC ⊥()BC AO BC AM MO BC AM =+=2211()()()22AC AB AC AB b c =-+=-2b b =-. 因为2220b b c -+=，所以2220c b b =->，所以02b <<，又13b <<，所以12b <<. 所以BC AO 的范围是（0，2）.14. 已知圆22:1C x y +=，点00(,)P x y 是直线:3240l x y +-=上的动点，若在圆C 上总存在两个不同的点,A B ，使OA OB OP +=，则0x 的取值范围是（） A ．24(0,)13 B ．24(,0)13- C ．13(0,)24 D ．13(0,)12 答案：A【解析】法1：如图，∵OA OB OP +=；∴OP 与AB 互相垂直平分，∴圆心到直线AB 的距离122020<+y x ；∴42020<+y x ①；又042300=-+y x ；∴00232x y -=，代入①得：4232202<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x ；解得132400<<x ；∴0x 的取值范围是24(0,)13．故选：A ．法2：OP=2时，是临界状态，求出即可.15. ***在ABC ∆中，D 是BC 边上任意一点（D 与B ，C 不重合），且22+AB AD BD DC =⋅，则ABC∆一定是（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：类似于平方差公式，22AB AD -表示成向量的平方22AB AD -，可以转化运算22+AB AD BD DC =⋅,220AB AD BD DC --⋅=,()0DB AB AC ⋅+=，故是等腰，选C.16. （1）已知圆直径=6AB ，O 点为圆心，C 为半径上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，(+)PA PB PC ⋅的最小值是_________.解：(+)2PA PB PC PO PC ⋅=⋅262PO PO =-+92-≥. （2）已知圆半径为1，圆上的弦AB 长为1，P 为圆上的动点，PA PB ⋅的最大值是（）A.332+ B. 132+ C. 3322+ D. 1322+ 解：设AB 中点为D ，则=()()PA PB PD DA PD DB ⋅+⋅+=()()PD DA PD DA +⋅-22214PD DA PD =-=-易知，PD 的范围是33[1,1]22-+，故PA PB ⋅的范围为33[3,3]22-+. 17. （1）已知直角梯形ABCD ，AD ∥BC ，090BAD ∠=，AD=2，BC=1，P 是腰AB 上的动点，则+PC PD 的最小值为_____. 法1：建系，设(0,)P b法2：取CD 中点Q ，+2PC PD PQ =，易得P 是AB 的中点时取最小.（2）已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为（）A.6B.7C.8D.9 【答案】B.法2：因AB BC ⊥，所以AC 为直径，O 为AC 中点，2PA PB PC PO PB ++=+，当(1,0)B -时，最大，为7.18. ***如图，在梯形ABCD 中，CD AB //，2=AB ，4=CD ，5==AD BC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，对于常数λ，在梯形ABCD 的四条边上恰有8个不同的点P ，使得λ=⋅PF PE 成立，则实数λ的取值范围是（）A ．)209,45(-- B ．)411,45(- C ．)411,41(- D ．)41,209(-- 答案：D【解析】法1：以CD 中点为坐标原点，CD 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则33(1,2),(1,2),(2,0),(2,0),(,1),F(,1)22A B C D E ---，当P 在CD 边上时，设(,0),||(0,2)P x x ∈，则25511(,)444PE PF x λ=⋅=-∈-，对应值都有两个；当P 在AB 边上时，设(,2),||(0,1)P x x ∈，则2551(,)444PE PF x λ=⋅=-∈--，对应值都有两个；当P 在BC 边上时，设(,42),(1,2)P x x x -∈，则2275124PE PF x x λ=⋅=-+，当91(,)204λ∈--时，每一个λ都有两个x 与之对应；根据对称性，当P 在AD 边上时，同P 在BC 边上时.综上，若有8个不同的点P ，使得λ=⋅PF PE 成立，则实数λ的取值范围是9151191(,)(,)(,)20444204---=--，选D. 法2：（巧取中点转化，极化恒等式）取EF 中点H ，取AB 中点M ，取CD 中点N ，1MH NH == 则()()PE PF PH HE PH HF ⋅=+⋅+2212PH HE =-2214PH EF =-29=4PH -，当P 在AB 边上时，2951=(,)444PE PF PH λ=⋅-∈--，根据对称性，对应值都有两个；当P 在CD 边上时，29511(,)444PH λ=-∈-，根据对称性，对应值都有两个；当P 在AD 边上时，PH 的最小值即H 到AD 的距离，由等积法min 35PH =，又2AH =，当3(,2)5PH ∈时，91(,)204λ∈--，对应值都有两个；根据对称性，当P 在AD 边上时，同P 在BC 边上时.综上，若有8个不同的点P ，使得λ=⋅PF PE 成立，则实数λ的取值范围是9151191(,)(,)(,)20444204---=--，选D. 19. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线l 1，l 2同侧，且P 到l 1，l 2的距离分别为1,3.点M ，N 分别在l 1，l 2上，|PM →＋PN →|＝8，则PM →·PN →的最大值为( ) A ．15 B ．12 C ．10 D ．9 答案 A解析：取MN 中点O ，则()142PO PM PN =+=，1OM ≥ ()()PM PN PO OM PO ON =++22216PO OM OM =-=-22216PO OM OM =-=-20. ***已知ABC ∆的面积为2，E,F 是AB ，AC 的中点，P 为直线EF 上任意一点，则2PB PC BC ⋅+的最小值为（）A ．2B ．3C ．23D ．4 解析：法1：巧取中点转化法，极化恒等式取BC 中点D ，设底边BC 的高为h ，则12PD h ≥，22()()PB PC BC PD DB PD DC BC +=+++222PD DB BC =-+2234PD BC =+2222313444PD BC h BC =++≥2124BC ==≥ 法2：建立平面直角坐标系(如图所示)，【四、极化恒等式在立体几何中的应用】21. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，MN 是它内切球的一条弦（把球面上任意2点之间的线段称为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦MN 最长时，PM PN ⋅的最大值为_________.解析：设球心为O ，易得球的半径1R =，2221=(2)14PM PN PO R PO ⋅-=-，易得PO PM PN ⋅的最大值为2.22. 点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111A B C D 上一点，则PA PC ⋅的取值范围是_________.解析：设AC 的中点为M ，224PA PC PM AC ⋅=-242PM =-1,12⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 23.24.。

极化恒等式

极化恒等式
1极化恒等式的推导：
(如图，有向量OA与向量OB,两向量之和为OD,其中E为AB,OD的中点) 2使用条件：共起点内积
3适用于：平面向量，空间向量
3使用方法：找斜边中点，再使用公式代入
4
例1：
解析：取BC的中点E，AD的中点为F
=
−→
−
⋅
−→
−
OC
OB
2
2−→
−
-
−→
−
EC
OE
=2
−→
−
OE
-
2
2
1
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
由三角形两边和大于第三边可以得到：
OE ≤OF+EF
OF 为直角三角形OAD 的中线，所以OF=2
1 EF=1
所以：−→−⋅−→−OC OB 的最大值为2
例2：
我们在此题的基础上增加一点难度：求−→−⋅−→−PD
PC 的最小值和最大值解答：根据“极化恒等式”的方法，我们找到斜边CD 的中点O 点，则 −→−⋅−→−PD PC =22−→−-−→−OD
PO 其中OD=1
故我们只需要判断PO 的最大值与最小值
根据三角形两边和大于第三边，我们得到：
1）PO ≤AP+AO 2）PO+AO ≥AO
(其中AP=1,AO=5)
所以PO 的最大值为（5+1），最小值为（5-1）
故：−→−⋅−→−PD
PC 的最大值为（5+25），最小值为（5+25）。

平面向量中极化恒等式从入门到精通

平面向量中极化恒等式从入门到精通一、初识极化恒等式我们知道，对于任意a b R ，∈，恒有222222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++−=−+，，将实数中的结论类比到平面向量中，有类似结论：222()2a b a b a b +=++⋅，①222()2a b a b a b −=+−⋅，② 将两式相减可得()221()()4a b a b a b ⎡⋅=+−−⎣，这个等式在数学上我们称为极化恒等式．极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系．平面向量是沟通代数与几何的桥梁，是数形结合的完美典范．对于极化恒等式，可以借助图形给出它的两个几何意义．几何解释1（平行四边形模型）以AB ，AD 为一组邻边构造平行四边形ABCD ，AB a AD b ==，，则AC a b BD b a =+=−，，由221()()4a b a b a b ⎡⎤⋅=+−−⎣⎦，得()2214AB AD AC BD ⋅=−．即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的14”．几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M 为对角线的交点，则由()2214AB AD AC BD ⋅=−变形为()()2222114444AB AD AC BD AM BM ⋅=−=−，得22AB AD AM BM ⋅=−，该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．正因为极化恒等式可以有效地建立向量的数量积与几何图形长度大小的关联，可以搭建代数与几何的桥梁，因此极化恒等式在解决向量数量积问题中占据着重要的作用．【类型一】两向量共同的起点为动点在面积为2的平行四边形ABCD 中，点P 为直线AD 上的动点，则2PB PC BC ⋅+的最小值是_______．解：取BC 的中点O ，则22222222133323444PB PC BC PO BC BC PO BC HO BC HO BC ⋅+=−+=+≥+≥⋅=．如图所示，当点P 运动到点H 且使HO BC ⊥与32HO BC =时，等号成立，故有最小值为【类型二】两向量终点均为动点已知点O 为坐标原点，ABC 为圆22(1)(1M x y −+=：的内接正三角形，则()OA OB OC ⋅+的最小值为_________．解：取BC 的中点N ，连结AN ，取其中点D ，如图所示，则：()22222()()192222228ON OA ON OA OA OB OC ON OA OD AN OD +−⋅+=⋅=−=−=−．当正ABC 沿圆周运动时，点D 在以M 圆心，以DM 为半径的小圆上运动．由ABC 外接圆半径为1，可求得33124AN AD AM ===，，，从而14DM =．所以OD 的最小值是74OM DM −=，故所求最小值为2min 9258OD −=．【类型三】两向量的起点和终点均为动点如图，已知ABC 是边长为EF 为ABC 的外接圆O 的一条直径，M 为ABC 的边上的动点，则ME FM ⋅的最大值为________．解：由已知易求得外接圆半径为2．因为圆心O 是EF 的中点，所以： 2224ME FM ME MF MO FO MO ⋅=−⋅=−+=−．当M 为正三角形ABC 三边的中点时，MO 最小值均为1，故ME FM ⋅的最大值为3．二、经典例题例1 已知ABC 中，42AB AC ==，，且()()|22AB ACR λλλ+−∈∣的最小值为P 为边AB 上任意一点，求PB PC ⋅的最小值．解：令()()221AD AB AC AB AE λλλλ=+−=+−（其中2AE AC =），则D B E ，，三点共线（如图），从而()2223AB AC λλ+−∣∣的几何意义表示点A 到直线BE 的距离为说明ABE 是等边三角形，BC 为边AE 上的高，故BC =．取BC 的中点M ，则由向量极化恒等式可得222219||3344PB PC PM BC PM d ⋅=−=−≥−=−，其中d 为点M 到边AB 的距离．即当点P 在垂足H （非端点）处时，PB PC ⋅达到最小值．例2 已知直线AB 与抛物线24x y =交于两点，M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足{}00min C A C B CA CB ⋅=⋅，求证：0C M l ⊥（l 是抛物线过点0C 的切线）．解析：由极化恒等式知2214CA CB CM AB ⋅=−，由于AB 是固定的，故当CM 最小时，CA CB ⋅最小．因此，本题等价于在抛物线上找一点C 使得CM 最小．如图所示，以点M 为圆心，逐步增大圆M 的半径，当圆M 刚好碰到抛物线时那个点恰为圆M 与抛物线的公共切点0C ，故0C M l ⊥（l 是抛物线过点0C 的切线）．三、极化恒等式中的转化思想1、化动为定，破不定之惑一般地，使用极化恒等式化解平面向量数量积问题具有较好的效果，但有些极化恒等式问题因涉及动点问题或运动变化等因素，使得问题的化解增加了难度，有时甚至会使极化恒等式的功效发挥不了，使解题者陷入困境．但若能将动态问题定态化处理，那么问题便可柳暗花明又一村．例1：已知Rt ABC 的斜边AB 的长为4，设P 是以C 为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则PA PB ⋅的取值范围是（）．A ．3522⎡⎤−⎢⎥⎣⎦，B ．5522⎡⎤−⎢⎥⎣⎦， C ．[]35，− D ．1⎡−+⎣ 解析：此题符合运用极化恒等式速解平面向量问题的基本要求，但在具体使用中遇到了点P 是运动的点这一特殊情况，动点问题是突破极化恒等式应用的瓶颈．结合条件中P 是以C 为圆心，1为半径的圆上的任意一点，通过极化恒等式22PA PB PM AM ⋅=−，不妨将PM 的最值问题转化为圆心距CM 的最值问题，这样问题便可迎刃而解．如图所示，在Rt ABC 上，不妨取AB 的中点M ，则2224PA PB PM AM PM ⋅=−=−．设圆的半径为1r =，而max ||213PM CM r =+=+=，则：22max min min ()345||211()143PA PB PM CM r PA PB ⋅=−==−=−=⋅=−=−，，．因此PA PB ⋅的取值范围是[]35，−．反思：极化恒等式的应用，由一般的直接运用到结合具体问题的巧用，需要学生恰当地运用转化思想，注意化动为定，特别是要结合题中的隐性特征进行转化处理，如此题中圆的半径是“定”这一重要信息的使用至关重要；化动为定可破不定之惑，也可使一些压轴问题成为得分题．2、化动为静，破多动点之惑极化恒等式使用的难点是动点问题，而其中涉及多个动点问题则是难上加难，让许多学生束手无策，使平面向量问题的难度增加，因此寻求破解的方法和策略显得尤其重要．一般地，可以通过将动态问题静态化来处理，这样的策略可以使得多动点问题转化为少动点问题，通过这样类似的转化直至降到一个动点问题或定点问题，然后再采用“化动为定”的策略，问题便迎刃而解．例2：如图，圆O 为Rt ABC 的内切圆，已知3490AC BC C ∠===︒，，，过圆心O 的直线l 交圆O 于P Q 、两点，则BP CQ ⋅的取值范围是_________．解析：此题初看也是可以使用极化恒等式求解平面向量问题，但学生一经分析便遇到了两个动点的困难，成了许多学生的“拦路虎”，即便学生掌握了极化恒等式的知识和方法，也无法突破这个困惑．因此学生需要结合转化思想，挖掘题中静态条件进行突破．此题中圆是相对静态的，若能将BP BC CP =+，则BC 为定，CP 为动，CP 、CQ 呈现动态但都涉及一个定点C ，再结合圆的特征，可得22CP CQ CO OP ⋅=−，则动态问题转化为静态问题，多动点之惑得以化解．圆O 的半径为1，考虑到P 、Q 两点都是动点，不妨将BP BC CP =+，这样一转化，()BP CQ BC CP CQ ⋅=+⋅，22211CP CQ CO OP ⋅=−=−=，而BC CQ CB CQ ⋅=−⋅，若CQ BC ⊥，则min ()0CB CQ ⋅=．若Q 在CB 的投影为BC 的中点时，max ()428CB CQ CB CQ ⋅=⋅=⨯=，因此BP CO ⋅的取值范围是[]71−，．反思：遇到多动点问题时，学生要考虑“化动为静”的策略，如此题先将点P 过渡转化到点C ，余下一个动点Q ，则问题便可如例1进行处理，这样的处理手段实际上是一个逐渐将多动点化为少动点的过程，这是一个重要的解题思想，即转化思想．3、化曲为直，破最值之惑极化恒等式问题的破解之中，有些问题涉及动点的运动状态是一个曲线状态或曲折状态，如果直接运用极化恒等式往往使学生无从下手，一筹莫展，而对这类问题突破的基本原则或策略应是“化曲为直”，主要是借助有关平面几何性质将“曲折问题”得以化解．例3：在Rt ABC 中，9035ACB AC AB ∠=︒==，，，若点A 、B 分别在直角坐标系的两坐标轴上运动时，OA OC ⋅的最大值是_____________．分析：初看此题，学生一般想通过极化恒等式进行处理，不妨取AC 的中点为M ，得等式22OA OC OM AM ⋅=−，但在如何处理OM 时，陷入困境．分析原因是Rt ABC 在变化，使得OM 长度不定，但与直角三角形的斜边中点有一定的关联，不妨取AB 中点为N ，得MNO ，再结合三角形边长关系（两边之和大于第三边），最大值可求．如图所示，不妨取AC 的中点为M ，AB 的中点为N ，则由极化恒等式可得22OA OC OM AM ⋅=−，结合三角形边长关系（两边之和大于第三边），对于22222253()21822OA OC OM AM ON NM AM ⎛⎫⎛⎫⋅=−=+−≤+−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，答案为18．反思：这是一个运用极化恒等式求最值的典型示例，这类问题的处理除理解和掌握极化恒等式的基本性质还不够，还需要灵活地运用有关边长关系或隐性条件，再结合定理性质，最值问题便可突破化解．4、化普通为特殊，破极限之惑平面向量极化恒等式应用问题，如果涉及的几何图形具有一般性，那么这类问题就更有“拦路虎”功能．解题的一个重要策略是取问题极限状态或特殊位置法进行，极限状态问题的化解是解决一般性问题的特殊情况，当然也要验证特殊状态位置是运动状态的两个极限，否则就不一定成立．例4：在锐角ABC 中，已知23B AB AC π∠=−=，，则AB AC ⋅的取值范围是____________．解析：考虑到题中的形式，学生一般是想通过极化恒等式进行处理．由题意，取BC 的中点为M ，立即可得等式22AB AC AM MB ⋅=−，但要突破显得困难重重．此题的突破关键在于“锐角”两个字，锐角的极限状态就是直角，要注意从特殊状态来研究一般状态，即化普通状态为特殊状态进行极限化处理．如图，取BC 的中点M ，可得2221AB AC AM MB AM ⋅=−=−，AM 应长度变化的极限位置是ABC 为直角三角形时的状态，而成为直角的可能有两种情况，即C ∠为直角和A ∠为直角．下面分两种情况进行分析：过点C 作11CA A B ⊥，垂足为1A ，此时11901BAC A M ∠=︒=，；过点C 作2CA BC ⊥，垂足为C ，此时290BCA ∠=︒，2A M = 因此()2113AM ∈，，故AB AC ⋅取值范围是()012，．反思：破解这类问题，因通过极化恒等式转化后，线段的最值求解没有一定的现成条件可以推理，对学生往往会造成困惑，突破的关键是“化一般为特殊，破极限之惑”，要注意从极限位置入手，理解极限时的特殊状态，问题的化解会有意想不到的效果．四、专题强化训练1．设向量,a b 满足10a b +=， 6a b −=，则a b ⋅=A ．1B ．2C ．3D ．5 【答案】A【详解】因为2222||()210a b a b a b a b +=+=++⋅=，22||()a b a b −=−=2226a b a b +−⋅=，两式相加得：228a b +=，所以1a b ⋅=，故选A.考点：本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量知识，熟练基础知识与基本题型是解答好本类题目的关键．2．设ABC ，0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅.则（）A ．90ABC ∠=︒B ．90BAC ∠=︒ C ．AB AC =D ．AC BC =【答案】D 【分析】取BC 的中点D ，由极化恒等式可得22PB PC PD BD ⋅=−，22000P B P C P D BD −⋅=，从而可得0PD P D ≥，即可得出0P D AB ⊥，由014P B AB =，得出答案. 【详解】如图，取BC 的中点D ，由极化恒等式可得：22PB PC PD BD ⋅=−，同理，22000P B P C P D BD −⋅=，由于00PB PC P B P C ⋅≥⋅，则0PD P D ≥，所以0P D AB ⊥，因为014P B AB =，D 是BC 的中点，于是AC BC =. 故选：D. 3．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上点的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为A ．2B ．3C ．6D ．8【答案】C【详解】由椭圆方程得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)，则OP FP ⋅＝(x 0，y 0)·(x 0＋1，y 0)＝20x ＋x 0＋20y∵P 为椭圆上一点，∴204x ＋203y ＝1.∴OP FP ⋅＝20x ＋x 0＋320(1)4x −＝204x ＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2. ∵－2≤x 0≤2.∴OP FP ⋅的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6.4．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c −⋅−=，则c 的最大值是 A ．1 B ．2C ．D ．【答案】C【详解】试题分析：由于垂直，不妨设，，，则，，表示到原点的距离，表示圆心，为半径的圆，因此的最大值，故答案为C ．考点：平面向量数量积的运算．5．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是( ) A ．2− B ．32−C ．43−D ．1−【答案】B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B −，(1,0)C ，设(,)P x y ，则()PA x y =−，(1,)PB x y =−−−，(1,)PC x y =−−，则22223()222[(]4PA PB PC x y x y +=−+=+−∴当0x =，y =时，取得最小值332()42⨯−=−，故选：B ．6．在ABC 中(2)(2)0CA CB CA CB −⋅−=，则CB CA AB+= .【答案】3【分析】直接构造极化恒等式的结构，即可求解.【详解】解析：CB CA +即为CB 和CA 的和向量；AB CB CA =−即为CB 和CA 的差向量，所以原问题可转化成两向量和向量模与两向量差向量模的比.再观察条件，若利用极化恒等式可将原条件转化如下：221(2)(2)(33)()04CA CB CA CB CA CB CA CB ⎡⎤−⋅−=−−+=⎣⎦.所以229()()0CA CB CA CB −−+=，所以229()()0AB CA CB −+=，即2290AB CA CB −+=.所以3CB CA AB+=.故答案为：37．在锐角三角形ABC 中，已知60B ︒=，2BC =，则AB AC ⋅的取值范围为 . 【答案】(0,12)【分析】因为2BC =，故以B 为原点，BA 所在的直线为x 轴建立坐标系，则C，设点A (x ,0)，分析图象可得x 的取值范围，则根据数量积的公式可得AB AC ⋅的表达式，然后根据二次函数的性质求出值域即可.【详解】以B 为原点，BA 所在的直线为x 轴建立坐标系，如图. 因为60B =，2BC =，所以C ，设点(,0)A x ，又△ABC 是锐角三角形，所以120A C +=︒，所以 3090A ︒<<︒，即A 在如图的线段DE 上（不与D ，E 重合），所以14x <<.则()(()2,010,12AB AC x x x x ⋅=−⋅−=−∈.所以AB AC ⋅的取值范围()0,12. 故答案为：()0,12.【点睛】方法点睛：平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式：一是利用数量积的定义式；二是利用数量积的坐标运算公式.涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数. 8．如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A,D 分别在x 轴、y 轴正半轴（含原点）滑动，则OB OC ⋅的最大值为．【答案】2【分析】设,0,2OAD πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭,根据三角形的边角关系求得OB ，OC ，利用平面向量的数量积公式以及正弦函数的最值求解即可.【详解】设,0,2OAD πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭由于1AD =，故cos ,sin OA OD θθ== 又因为2BAx πθ∠=−，1AB =，所以cos cos cos sin 2B x πθθθθ⎛⎫=+−=+ ⎪⎝⎭sin cos 2B y πθθ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭，则(cos sin ,cos )OB θθθ=+同理可得(sin ,cos sin )OC θθθ=+(cos sin ,cos )(sin ,cos sin )1sin 2OB OC θθθθθθθ⋅=+⋅+=+0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴当22=πθ时，1sin 2OB OC θ⋅=+的最大值为2.故本题的正确答案为2.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及正弦型函数的最值，属于中档题. 9．在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，则AB AD ⋅= ．【答案】152【详解】试题分析：根据正三角形的性质以及向量的数量积的定义式，结合向量的特点，可以确定22121()3333AB BD AB AB AC AB AB AC ⋅=⋅+=+⋅211159333322=⋅+⋅⋅⋅=，故答案为152．考点：平面向量基本定理，向量的数量积，正三角形的性质． 10．若平面向量,a b 满足：23a b −≤；则a b ⋅的最小值是【答案】98−【详解】试题分析：因为23a b −≤，所以，22(2)49a b a b +−⋅≤，－89≤，所以≥98−，即的最小值是98−．考点：不本题主要考查平面向量模的计算，数量积．点评：简单题，涉及平面向量模的计算问题，往往要“化模为方”．11．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4⋅=BA CA ，1BF CF ⋅=− ，则BE CE ⋅ 的值是 .【答案】78【详解】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD −−⋅=−⋅−−==（）（）， 2211114123234FD BCBF CF BC AD BC AD −⋅=−⋅−−==−（）（），因此22513,82FD BC ==，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED −−⋅=−⋅−−===（）（）【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．12．已知向量12a b a b ==，，||，||，若对任意单位向量e ，均有6a e b e ⋅+⋅≤||||,则a b ⋅的最大值是．【答案】12 【详解】试题分析：221()6|6|||262a b e a e b e a b a b a b a b +⋅≤⋅+⋅≤⇒+≤⇒++⋅≤⇒⋅≤，即最大值为12. 【考点】平面向量的数量积．【易错点睛】在6a b +≤两边同时平方，转化为22||26a a b b ++⋅≤的过程中，很容易忘记13．如图在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅的值是 .【答案】22【分析】根据基底,AB AD 表示,,AP BP 再根据向量数量积化简2AP BP ⋅=，即得结果. 【详解】13()()()()44AP BP AD DP BC CP AD AB AD AB ⋅=+⋅+=+⋅− 2231162AD AB AB AD =−−⋅311256413222.1622AB AD AB AD AB AD =−⨯−⋅=−⋅=∴⋅=【点睛】用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．14．如图，△ABCP 是以C 为圆心、1为半径的圆上的任意一点，则AP BP ⋅的取值范围为 .【答案】111,22⎡⎤−⎢⎥⎣⎦【分析】取AB 的中点D ，连接,PD CD ，利用向量数量积的运算律有22()()4PA PB PA PB PA PB +−−=⋅，进而可得22AP BP PA PB PD BD ⋅=⋅=−，结合几何图形即可求AP BP ⋅的范围.【详解】如图，取AB 的中点D ，连接,PD CD .∵2PA PB PD +=，2PA PB BD −=，则22()()4PA PB PA PB PA PB +−−=⋅，∴2222()()4PA PB PA PB PA PB PD BD +−−⋅==−，∴22234AP BP PA PB PD BD PD ⋅=⋅=−=−，15[,]22PD ∈，∴AP BP⋅的取值范围为111,22⎡⎤−⎢⎥⎣⎦.故答案为：111,22⎡⎤−⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点点睛：利用向量数量积的运算律得22()()4PA PB PA PB PA PB+−−=⋅，进而有22AP BP PA PB PD BD⋅=⋅=−，即可求数量积的范围.15．在平行四边形ABCD中, AD = 1, 60BAD︒∠=, E为CD的中点. 若·1AC BE=, 则AB的长为 .【答案】12【详解】设AB的长为x，因为AC=AB BC+，BE=BC CE+，所以·AC BE=()AB BC+⋅()BC CE+=2AB BC AB CE BC BC CE⋅+⋅++⋅=1cos18022xx x+⋅+1+1cos1202x⋅=1，解得12x=，所以AB的长为12.【考点定位】本小题主要考查平面向量的数量积等基础知识，熟练平面向量的基础知识是解答好本类题目的关键.。

向量_极化恒等式

1极化恒等式第一种写法：已知#…a ,#…b ,则#…a ⋅#…b =⒧#…a +#…b ⒭2−⒧#…a −#…b ⒭24第二章写法：已知M 是AB 的中点,则# …OA ⋅# …OB =|# …OM|2−|# …MA|2=|# …OM|2−14|# …AB|2极化恒等式两种写法,常用的是第二种,用于解决向量的数量积求值范围问题,一般情况下,如果AB 的长度是固定的,那么在处理# …OA ⋅# …OB 时,常用极化恒等式将其转化为|# …OM|2的函数,至于其他用法,熟练之后自然会具体问题具体分析1.【2012浙江理数T15】在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM =3,BC =10,则# …AB ⋅# …AC−16# …AB ⋅# …AC =⒧# …AM +# …MB⒭⋅⒧# …AM +# …MC ⒭=⒧# …AM +# …MB⒭⋅⒧# …AM −# …MB⒭=|AM|2−|MB|2=−162.【2016江苏T13】如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E ,F 是AD 上的两个三等分点,# …BA⋅# …C A =4,# …BF⋅# …C F =−1,则# …BE ⋅# …C E的值是78记|BD|=x ,|DF|=y ,則4=# …BA ⋅# …C A =|AD|2−|BD|2=9y 2−x 2−1=# …BF ⋅# …C F =|DF|2−|BD|2=y 2−x 2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x 2=138y 2=58从而# …BE ⋅# …C E =|DE|2−|BD|2=4y 2−x 2=783.【2018天津理数T8】如图,在平面四边形ABC D 中,AB⊥BC ,AD⊥C D,∠BAD =120∘,AB =AD =1.若点E 为边C D 上的动点,则# …AE ⋅# …BE 的最小值为A.2116B.32C.2516D.3A取AB 中点F ,则# …AE ⋅# …BE =|# …EF|2−|# …AF|2当EF ⟂C D 时,|# …EF|取得最小值54,比时# …AE ⋅# …BE 取得最小值2116,选A4.【2013浙江理数T7】设△ABC ,P 0是边AB 上一定点,满足# …P 0B =14# …AB ,且对于边AB 上任一点P ,恒有# …PB ⋅# …PC ⩾# …P 0B ⋅# …P 0C ,则A.∠ABC =90∘ B.∠BAC =90∘C.AB =ACD.AC =BCD取AB,BC的中点D,E.则# …PB⋅# …PC=(# …PE+# …EB)⋅(# …PE−# …EB)=|PE|2−|EB|2⩾|P0E|2−|EB|2,所以|PE|⩾|P0E|,则必有P0E⟂AB,从而C D⟂AB,所以AC=BC,选择D5.【2017全国2卷理数T12】已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则# …PA⋅⒧# …PB+PC⒭的最小值是A.−2B.−32C.−43D.−1B取BC中点M,取AM中点N,则# …PA⋅(# …PB+# …PC)=2# …PA⋅# …PM=2⒧PN2−MN2⒭⩾−2MN2=−32,当PN重合时取到,所以所求最小值是−32,选择B6.【2020天津T15】如图,在四边形ABC D中,∠B=60∘,AB=3,BC=6,且# …AD=λ# …BC,# …AD⋅# …AB=−32,则(1)实数λ的最小值为(2)若M,N是线段BC上的动点,且|# …MN|=1,则# …DM⋅# …DN的最小值为A DB M N C(1)16(2)132# …AD⋅# …AB=λ# …BC⋅# …AB=−9λ=−32,所以λ=16.取MN中点E,则# …DM⋅# …DN=|DE|2−|MN|24当DE⟂BC时,取到最小值13 2.7.【2005江苏T18】在△ABC 中,O 为中线AM 上的一个动点,若AM =2,则# …OA ⋅⒧# …OB +# …OC ⒭的最小值为−2设|OM|=x ,则# …OA ⋅(# …OB +# …OC )=2# …OA ⋅# …OM =−2x(2−x)⩾−2,取等条件是x =1,故所求最小值为−28.【2012安徽理数T14】若|2#…a −#…b |⩽3,则#…a ⋅#…b 的最小值是−98#…a ⋅#…b =|2#…a +#…b |2−|2#…a −#…b |28⩾−|2#…a −#…b |28⩾−989.在平行四边形ABC D 中,AD =√2,AB =2.若# …BF =# …FC ,则# …AF ⋅# …DF72# …AF ⋅# …DF =(# …AB +# …BF)⋅(# …AB −# …BF)=|AB|2−|BF|2=7210.已知△ABC 中,AB =8,BC =10,AC =6,P 在平面ABC 内,且# …PB ⋅# …PC =−9,则|# …PA|的取值范围是[1,9]解析11.正方体ABC D −A 1B 1C 1D 1的棱长为2,MN 是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦）,P 为正方体表面上的动点,当弦MN 的长度最大是,# …PM ⋅# …PN 的取值范围是[0,2]解析12.在面积为2的平行四边形ABC D中,点P为直线AD上的动点,则# …PB⋅# …PC+# …BC2的最大值是2√3设M为BC的中点,由题意,# …PB⋅# …PC+BC2=PM2−14BC2+BC2=PM2+34BC2⩾√3⋅PM⋅BC⩾√3⋅2S△PBC=2√3.取等条件为PM=√32BC且PM⟂BC.故所求最小值为2√313.在半径为1的扇形AOB中,∠AOB=60∘,C为弧AB的动点,AB与OC交于点P,则# …OP⋅# …BP的最小值是−1 16解析14.已知正四面体ABC D的棱长为2,P是以棱BC为直径的球面上一动点,则# …PA⋅# …PD的最大值是A.1+√2B.3C.2+√2D.2(√2+1)D取AD中点E,BC中点F,则# …PA⋅# …PD=|PE|2−|AE|2=|# …PF+# …FE|2−1⩽(|# …PF|+|# …FE|)2−1=(1+√2)2−1=2+2√2,选D15.【成都七中23届高三上一诊模拟T16】已知A(2cos15∘,2sin15∘),O(0,0),且|# …OB|=|# …OC|=2,则# …AB⋅# …AC的取值范围[−2,16]如图方法1极化恒等式记M为BC的中点,由极化恒等式可知:# …AB⋅# …AC=# …AM2−# …BM2,易知OM⊥BC,所以# …BM2=# …OB2−# …OM2所以# …AB⋅# …AC=# …AM2−# …BM2=# …AM2+# …OM2−# …OB2=# …AM2+# …OM2−# …OA2由余弦定理可知# …AM 2+# …OM 2−# …OA 2=2|# …MA|⋅|# …MO|cos ∠AMO =2# …MA ⋅# …MO记D 为OA 的中点,再由极化恒等式可知2# …MA ⋅# …MO =2 # …MD 2−# …OD 2因为B ,C 是圆上任意两点(可重合)所以|# …MD|∈[0,3]所以−2⩽# …AB ⋅# …AC ⩽16方法2投影暂无16.【乐山市21届一诊T10】已知△ABC 是边长为2的等边三角形,点P 是△ABC 所在平面的内的一点,且BP =1,则当# …AP ⋅# …C P 取得最小值时,# …BP ⋅# …BC 的值是A.√3B.√32C.−√3D.−√32A 方法1建系建系如图A(0,√3),B(−1,0),C (1,0),设P(−1+cos θ,sin θ)# …AP ⋅# …C P =⒧−1+cos θ,sin θ−√3⒭(−2+cos θ,sin θ)=3−2√3sin ⒧θ+π3⒭当且仅当θ=π6+2kπ时取等,代入# …BP ⋅# …BC =√3方法2向量转换# …AP⋅# …C P=⒧# …AB+# …BP⒭⋅⒧# …C B+# …BP⒭=# …AB⋅# …C B+# …AB⋅# …BP+# …BP⋅# …C B+# …BP2=2√3+1+# …AB⋅# …BP+# …BP⋅# …C B下求# …AB⋅# …BP+# …BP⋅# …BP⋅# …C B的最小值# …AB⋅# …BP+# …BP⋅# …BP⋅# …C B=−2# …BM⋅# …BP=−2|# …BM|⋅|# …BP|cos∠PBM=−2√3cos∠PBM⩾−2√3,当∠PBM=0时取得最小值,代入# …BP⋅# …BC=√3方法3极化恒等式# …AP⋅# …C P=# …PM2−14# …AC2=# …PM2−1⩾3−2√3,当P在线段BM与圆B的交点P′时,取得最小值,代入# …BP⋅# …BC=√3。

数学极化恒等式

数学极化恒等式数学极化恒等式是数学中的一个重要概念，它在求解复数运算、多项式拆分和向量运算中起到了至关重要的作用。

本文将从多个角度介绍数学极化恒等式，展示其在数学领域中的广泛应用。

首先，我们来了解一下什么是极化恒等式。

在数学中，极化恒等式是指通过极化恒等式可以将一个向量或数列拆成两个特定的数的和。

它的形式为：\[x = \frac{1}{2} \left( x + \overline{x} \right) +\frac{1}{2i} \left( x - \overline{x} \right)\]其中，\(x\)表示一个复数或向量，\(\overline{x}\)表示其共轭。

数学极化恒等式在求解复数运算中应用广泛。

复数可以表示为实部加上虚部的形式，而极化恒等式可以将复数拆分成实轴和虚轴上的两个数。

例如，对于一个复数\(z = a + bi\)，其中\(a\)为实部，\(b\)为虚部。

根据极化恒等式，可以得到：\[z = \frac{1}{2} \left( a + bi + a - bi \right) +\frac{1}{2i} \left( a + bi - a + bi \right)\]化简后得到：\[z = \frac{1}{2} \left( 2a \right) + \frac{1}{2i}\left( 2bi \right)\]继续化简可得：\[z = a + bi\]这就是复数的极化恒等式。

通过极化恒等式，我们可以将复数的实部和虚部分离出来，更方便进行计算和分析。

极化恒等式在多项式的拆分中也有重要应用。

对于一个多项式\(f(x)\)，它可以表示为一些特定数的和。

根据极化恒等式，可以将其拆分成实数和虚数的和。

例如，对于一个二次多项式\(f(x) = ax^2 + bx + c\)，其中\(a\)、\(b\)、\(c\)均为实数。

根据极化恒等式，可以得到：\[f(x) = \frac{1}{2} \left( ax^2 + bx + c + ax^2 - bx - c \right) + \frac{1}{2i} \left( ax^2 + bx + c - ax^2 + bx + c \right)\]化简后得到：\[f(x) = \frac{1}{2} \left( 2ax^2 \right) + \frac{1}{2i} \left( 2bx \right) + c\]继续化简可得：\[f(x) = ax^2 + bx + c\]这就是多项式的极化恒等式。

极化恒等式课件-2025届高三数学一轮复习

O→A〉＋16 ＝2－8cos〈O→P，O→A〉∈[－6,10]，故P→M·P→N的取值范围为[－6,10].
方法二(极化恒等式法) 圆心 O 到直线 ax＋by＋c＝0 的距离 d＝ a2|c＋| b2＝1，如图③，
设 MN 的中点为 A，P→M·P→N＝|P→A|2－|A→M|2＝|P→A|2－15.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4.已知直线 l：x＋y－1＝0 与圆 C：(x－a)2＋(y＋a－1)2＝1 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，则O→A·O→B的最小值为
√A.－12
B.
2 2
C. 2
D.12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
如图，圆C：(x－a)2＋(y＋a－1)2＝1的圆心C的坐标
如图所示，在 Rt△ABC 上，妨取 AB 的中点 M，则P→A·P→B＝P→M2－A→M2＝P→M2－4.
设圆C的半径为r，则r＝1，而(PM)max＝CM＋r＝2＋1＝3，则(P→A·P→B)max＝32－ 4＝5； (PM)min＝CM－r＝2－1＝1， (P→A·P→B)min＝12－4＝－3. 因此P→A·P→B的取值范围是[－3,5].
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2.已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则P→A·(P→B ＋P→C)的最小值是
A.－2
√B.－32
C.－43
D.－1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
如图，设BC的中点为D，AD的中点为M，连接DP， PM，则P→A·(P→B＋P→C)＝2P→A·P→D＝2|P→M|2－12|A→D|2＝2|P→M|2 －32≥－32，当且仅当M与P重合时取等号.

高中数学课件-向量极化恒等式

以·的最大值为 2.
答案:(2)2
→
→
→
→
(3)如图,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,E,F 是 AD 上的两个三等分点.·=4,·=-1,
→
→
则·的值为
.
→
→
→
解析:(3)设 BD=DC=m,AE=EF=FD=n,则 AD=3n.根据向量的极化恒等式,有·=||2→

→
答案:(1)C
C.
(2)如图所示,正方形 ABCD 的边长为 1,A,D 分别在 x 轴、y 轴的正半轴(含原点)上滑
→
→
动,则·的最大值是
.
解析:(2)如图,取 BC 的中点 M,AD 的中点 N,连接 MN,ON,
→
→
→
→
→
2

则·=|| -.因为 OM≤ON+NM=AD+AB=,当且仅当 O,N,M 三点共线时取等号,所
2
2
2
→
→
→

→

|| =9n -m =4,·=|| -|| =n2-m2=-1.联立解得 n2= ,m2= ,
→
→
→

→

2
2

→
→

因此·=|| -|| =4n -m =,即·=.

答案:(3)

→
→
→
cos ∠BAD=-||=-,得||=1,因此λ=
→
→
依题意得 AD∥BC,∠BAD=120°,由 · =| || |·
→

→
→
→
→

(完整版)向量—极化恒等式

向量的几何意义-极化恒等式
定义解读，引入主题
向量数量积(代数)定义
定义解读，引入主题
向量数量积(几何)意义
rr r r
a b | a || b | cos
rr
| a | (| b | cos )
r
r
(| a | cos ) | b |
运用定义，解决问题
例1：如图，在RT △ABC中，已知AB=3，AC=4，
1
uuur 2 ( AB
uuur AC
2
)
2
定义解读，引入主题
四.向量数量积运算中的垂直问题
定义解读，引入主题
四.向量数量积运算中的垂直问题
rr r r
r
r
(2)几何意义：a b | a | (| b | cos ) (| a | cos ) | b |
rr r r r r (3)极化恒等式：4a b (a b)2 (a b)2
uuur uuur uuuur 2 uuur 2 AB AC AM MB
uuuur AM
uuur CB
uuur uuur
9
则AO AB ______2______.
变式1：(09 陕西预赛)在△ABC，O是△ABC的
外心
，AB=3，AC=5，则
uuur AO
uuur BC
____8____.
运用定义，解决问题
D
运用定义，解决问题
16
5 2
巩固深化，提升能力
变式1
如图，在边长为1的正方
形中，p为AB上的一动点，
uuur BC=5，则AC
uuur CB
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
______1_6_____.

培优点05极化恒等式、奔驰定理与等和线定理(3大考点+强化训练)(习题版)

培优点05极化恒等式、奔驰定理与等和线定理（3大考点+强化训练）平面向量基本定理及数量积是高考考查的重点，很多时候需要用基底代换，运算量大且复杂，用向量极化恒等式、奔驰定理、等和(高)线求解，能简化向量代换，减少运算量，使题目更加清晰简单．知识导图考点分类讲解考点一：向量极化恒等式极化恒等式：a ·b .变式：(1)a ·b ＝a ＋b24－a －b24，a ·b ＝|a ＋b |24－|a －b |24.(2)如图，在△ABC 中，设M 为BC 的中点，则AB →·AC →＝AM →2－14CB →2＝AM →2－MB →2.规律方法利用向量的极化恒等式可以对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．【例1】(2023·郑州模拟)如图所示，△ABC 是边长为8的等边三角形，点P 为AC 边上的一个动点，长度为6的线段EF 的中点为B ，则PE →·PF →的取值范围是________．【变式】．（2022·北京·高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-考点二:平面向量“奔驰定理”定理：如图，已知P 为△ABC 内一点，则有S △PBC ·PA →＋S △PAC ·PB →＋S △PAB ·PC →＝0.易错提醒利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P 为△ABC 内一点；定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个三角形的面积之比．【例2】（2022·安徽·三模）平面上有ABC 及其内一点O ，构成如图所示图形，若将OAB ，OBC △，OCA 的面积分别记作c S ，a S ，b S ，则有关系式0a b c S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=uu r uu u r uuu r r．因图形和奔驰车的logo 很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，则O 为ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【变式1】(2023·重庆模拟)△ABC 内一点O 满足关系式S △OBC ·OA →＋S △OAC ·OB →＋S △OAB ·OC →＝0，即称为经典的“奔驰定理”，若△ABC 的三边为a ，b ，c ，现有a ·OA →＋b ·OB →＋c ·OC →＝0，则O 为△ABC 的()A．外心B．内心C．重心D．垂心【变式2】(2023·安阳模拟)如图，已知O 是△ABC 的垂心，且OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则tan∠BAC ∶tan∠ABC ∶tan∠ACB 等于()A．1∶2∶3B．1∶2∶4C．2∶3∶4D．2∶3∶6考点三:等和(高)线定理等和(高)线平面内一组基底OA →，OB →及任一向量OP ′——→，OP ′——→＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，若点P ′在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则λ＋μ＝k (定值)；反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和(高)线．(1)当等和线恰为直线AB 时，k ＝1；(2)当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；(3)当直线AB 在O 点和等和线之间时，k ∈(1，＋∞)；(4)当等和线过O 点时，k ＝0；(5)若两等和线关于O 点对称，则定值k 1，k 2互为相反数；(6)定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比．规律方法要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k ＝1时的等和(高)线，利用比例求其他的等和(高)线．【例3】．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP xAB yAC =+，则22x y +的最大值为（）A ．83B ．2C ．43D ．1【变式3】已知O 是ABC ∆内一点，且0OA OB OC ++=，点M 在OBC ∆内（不含边界），若AM AB AC λμ=+ ，则2λμ+的取值范围是A ．51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,2C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭强化训练一、单选题1．如图，AB 是圆O 的直径，P 是圆弧 AB 上的点，M 、N 是直径AB 上关于O 对称的两点，且6,4AB MN ==，则PM PN ⋅（）A ．13B ．7C ．5D ．32．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-3．设向量,a b 满足10a b += 6a b -=r r a b ⋅ =A ．1B ．2C ．3D ．54．已知圆C 的半径为2，点A 满足||3AC =uuu r，E ，F 分别是C 上两个动点，且||3EF =AE AF ⋅的取值范围是（）A ．[]416，B ．[]26，C ．[]622，D ．[]113，5．在ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，点P 满足3AD AP =，若存在实数m 和n ，使得BP m AB n AC =+ ，则m n +=（）A ．23B ．13C ．13-D ．23-6．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，且满足AN AB AC λμ=+，则22λμ+的最小值为（）A ．116B ．14C ．18D ．17．在ABC ∆中，点D 满足34BD BC = ，当E 点在线段AD （不包含端点）上移动时，若AE AB AC λμ=+，则3λμ+的取值范围是A．)+∞B ．[2,)+∞C ．17(,)4+∞D ．(2,)+∞8．在ABC 中，点O 是线段BC 上的点，且满足||3||OC OB =，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于点E 、F ，且AB mAE = ，AC nAF = ，其中0m >且0n >，若1tm n+的最小值为3，则正数t 的值为()A ．2B ．3C ．83D ．1139．如图，在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，AB ∥DC ，2AB =，1AD DC ==，图中圆弧所在圆的圆心为点C ，半径为12，且点P 在图中阴影部分（包括边界）运动．若AP xAB yAC =+，其中x y R ∈，，则4x y -的取值范围是（）A．234⎡+⎢⎥⎣⎦，B．232⎡+⎢⎥⎣⎦，C．3342⎡-+⎢⎣⎦D．3322⎡-+⎢⎥⎣⎦10．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λAB +μAD，则λ+μ的最大值为A ．3B ．CD ．211．奔驰定理：已知O 是ABC 内的一点，BOC ，AOC ，AOB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设O 为三角形ABC 内一点，且满足：2332OA OB OC AB BC CA ++=++，则AOB ABCS S=△△（）A ．25B ．12C ．16D ．1312．已知O 是ABC 内的一点，若,,BOC AOC AOB 的面积分别记为123,,S S S ，则1230S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O 是ABC 的垂心，且230OA OB OC ++=，则tan :tan :tan BAC ABC ACB ∠∠∠=（）A ．1:2:3B ．1:2:4C ．2:3:4D ．2:3:613．已知点P 是ABC 所在平面内一点，若2133AP AB AC =+，则ABP 与ACP 的面积之比是（）A ．3:1B ．2:1C ．1:3D ．1:214．已知点P 为ABC 内一点，230PA PB PC ++=，则△APB ，△APC ，△BPC 的面积之比为（）A ．9:4:1B ．1:4:9C ．1:2:3D ．3:2:1二、多选题15．如图.P 为ABC 内任意一点，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，总有优美等式0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ++=成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（）A ．若P 是ABC 的重心，则有0PA PB PC ++=B ．若0aPA bPB cPC ++=成立，则P 是ABC 的内心C ．若2155AP AB AC =+，则:2:5ABP ABC S S =△△D ．若P 是ABC 的外心，π4A =，PA mPB nPC =+ ，则)m n ⎡+∈⎣16．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz ）的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是ABC 内的一点，BOC ，AOC ，AOB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.若O 是锐角ABC 内的一点，A ，B ，C 是ABC的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅.则（）A ．O 为ABC 的外心B ．BOC A π∠+=C ．::cos :cos :cos OA OB OC A B C =D ．tan tan tan 0⋅+⋅+⋅=A OAB OBC OC 17．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O 是△ABC 内一点，△BOC ，△AOC ，△AOB的面积分别为A S ，B S ，C S ，且0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是的△ABC 三个内角，以下命题正确的有（）A ．若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =B ．若2OA OB == ，5π6AOB ∠=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S =C ．若O 为△ABC 的内心，3450OA OB OC ++= ，则π2C ∠=D ．若O 为△ABC 的垂心，3450OA OB OC ++= ，则cos 6AOB ∠=-18．在平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，1AB AC ==，点P 是ABC 的三边上的任意一点，设AP AB AD λμ=+，().R λμ∈，则下列结论正确的是（）A ．0λ≥，0μ≥B ．当点P 为AC 中点时，1λμ+=C ．AP AD ⋅的最大值为1D ．满足32λμ+=的点P 有且只有一个三、填空题19．在扇形OAB 中，60AOB ∠=，C 为弧AB 上的一动点，若OC xOA yOB =+，则3x y +的取值范围是．20．在ABC 中，点O 是线段BC 上的点，且满足3OC OB =，过点O 的直线分别交直线,AB AC 于点,E F ，且AB m AE = ，AC nAF = ，其中0m >且0n >，若12m n+的最小值为.21．如图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ,其中与OA 与OB的夹角为120 ，OA 与OC 的夹角为30 ,且|||1OA OB ==，||OC =()，OC λOA μOB λμ=+∈R ,则λμ+的值为.22．（22-23高三上·江苏南通·期中）如图，已知M ，N 是ABC 边BC 上的两个三等分点，若6BC =，4AM AN ⋅=，则AB AC ⋅uu u r uuu r =．23．已知线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y -+-=上的一条动弦，且3AB =设点O 为坐标原点，则+OA OB的最大值为；如果直线1:310l x my m --+=与2:310l mx y m +++=相交于点M ，则MA MB ⋅的最小值为.24．在锐角三角形ABC 中，已知,23B AB AC π=-= ，则AB AC ⋅的取值范围是．25．四边形ABCD 中，点,E F 分别是,AB CD 的中点，2AB =，22CD =，1EF =，点P 满足0PA PB ⋅=，则PC PD ⋅的最大值为.26．点P 为ABC 内一点，340PA PB PC →→→→++=，则,,APB APC BPC 的面积之比是.。

高考数学复习知识点讲解课件7---向量极化恒等式

根据向量的极化恒等式，
得A→B·A→C＝A→D2－D→B2＝9n2－m2＝4，
①
F→B·F→C＝F→D2－D→B2＝n2－m2＝－1.
②
联立①②，解得 n2＝58，m2＝183.
因此E→B·E→C＝E→D2－D→B2＝4n2－m2＝78.
即B→E·C→E＝78.
例 2 (1)已知 AB 为圆 x2＋y2＝1 的一条直径，点 P 为直线 x－y＋2＝0 上任意一点，则P→A·P→B的最小值是___1__.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(含原点)上滑动，则O→C·O→B的最大值是___2__.
1234
解析如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，
则O→C·O→B＝O→M2－14.
因为OM≤ON＋NM ＝12AD＋AB＝32，当且仅当O，N，M三点共线时取等号.
所以O→C·O→B的最大值为 2.
1234
4.已知 AB 是圆 O 的直径，AB 长为 2，C 是圆 O 上异于 A，B 的一点， P 是圆 O 所在平面上任意一点，则(P→A＋P→B)·P→C的最小值是_－__12__.
解析如图所示，由极化恒等式易知，当 OP 垂直直线时，P→A·P→B有最小值，即 P→A·P→B＝P→O2－O→B2＝( 2)2－12＝1.
(2)如图所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2， MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当
解析如图所示，由极化恒等式，易得A→B·A→C＝A→M2－M→B2＝32－52＝－16.
(2)如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两个三等分
点.B→A·C→A＝4，B→F·C→F＝－1，则B→E·C→E的值为___78___.