人教版数学八年级上册平方差公式PPT
合集下载
14.2.1 平方差公式 初中数学人教版八年级上册课件
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
√ (1)(2x 3a)(2x 3a) 4x2 9a2
×(2)(2a 3b)(2a 3b) 4a42a29b62ab 6ab 9b2
4a2 12ab 9b2
×(3)(x 2)(x 2) x2 2 (x 2)(x 2) x2 22 x2 4
1002 22 10000 4 9996
4、先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)， 其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2 ＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，
原式＝5×12－5×22＝－15.
今天我们收获了哪些知识？
某些特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式，当遇到形式相 同的多项式相乘时，就可以直接运用公式写出结果。
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1)(x 1)(x 1) ___x_2__1__; x2 － 12
(2)(m 2)(m 2) _m_2___4___; m2－22
(3)(2x 1)(2x 1) __4_x_2__1__ . (2x)2 － 12
1.说一说乘法的平方差公式？ 符号表示：（a+b)(a-b)=a2-b2
2.应用平方差公式时要注意什么？
紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项 式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的， 可能要经过变形才可以应用.
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( C ) A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
(2)原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2；
人教版数学八年级上册+因式分解(2)——公式法(平方差公式)课件
－b2＝(a＋b)·(a－b)．
(3)4x2 － 1 ＝ ( 2x )2 － (
(2x＋1)(2x－1)
______________；
3．因式分解与整式乘法的关系：
(4)25 － 4m2 ＝ (
a2－b2
(5＋2m)(5－2m)
_________________.
(a＋b)(a－b)
1
)2 ＝
5 )2 － ( 2m )2 ＝
1
024，y＝
，求(x＋y)2－(x－y)2的值．
2 024
解：(x＋y)2－(x－y)2＝[(x＋y)＋(x－y)][(x＋y)－(x－y)]＝4xy.
当x＝2
1
024，y＝
时，原式＝4×2
2 024
1
024×
＝4.
2 024
因式分解(2)——公式法(平方差公式)
预习导学
1.如果把乘法公式反过来，就可
以把某些多项式因式分解，这种
方法叫公式法.
将下列各式因式分解：
(a＋x)(a－x)
(1)a2－x2＝____________；
(x＋3)(x－3)
(2)x2－9＝x2－( 3 )2＝____________；
2．运用平方差公式因式分解：a2
课堂导学
知识点1
直接运用公式因式分解
【例1】将下列各式因式分解．
(3m＋2n)(3m－2n)
(1)9m2－4n2＝(3m)2－(2n)2＝__________________；
2－62
2
2
(xy)
(xy＋6)(xy－6)
(2)x y －36＝__________＝________________；
14.2.1平方差公式-【高效课堂】八年级数学上学期同步精品课件(人教版)
= y2-22-y2-5y+y+5 =-4y+1
(2) 102×98 解：原式=(100+2)(100-2)
=1002－22 =10000－4 =9996
小试牛刀
1.下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是
( （2）（5）（6） ) （1）(x+1)(1+x)；
（2）(a+b)(b-a)；
（3）(-a+b)(a-b)； （4）(x2-y)(x+y2)；
课后作业
5.计算 (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) 解：原式=（x2-y2 )( x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x4-y4)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x8-y8)(x8+y8)(x16+y16) =(x16-y16)(x16+y16) = x32-y32
课后作业
1.利用平方差公式计算： (1)(2x-5)(2x＋5)； (2)(-3a-b)(b-3a)； (3)(-6m＋8n)(-8n-6m)． 解：(1)原式=(2x)2-52＝4x2-25；
(2)原式=(-3a)2-b2＝9a2-b2； (3)原式=(-6m)2-(8n)2＝36m2-64n2.
互动新授
(a+b)(a-b)= a2-ab+ab-b2= a2-b2 . 平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2. 即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个 数的平方差. 公式变形: 1.（a-b)(a+b)=a2-b2 2.（b+a)(-b+a )=a2-b2
(2) 102×98 解：原式=(100+2)(100-2)
=1002－22 =10000－4 =9996
小试牛刀
1.下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是
( （2）（5）（6） ) （1）(x+1)(1+x)；
（2）(a+b)(b-a)；
（3）(-a+b)(a-b)； （4）(x2-y)(x+y2)；
课后作业
5.计算 (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) 解：原式=（x2-y2 )( x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x4-y4)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x8-y8)(x8+y8)(x16+y16) =(x16-y16)(x16+y16) = x32-y32
课后作业
1.利用平方差公式计算： (1)(2x-5)(2x＋5)； (2)(-3a-b)(b-3a)； (3)(-6m＋8n)(-8n-6m)． 解：(1)原式=(2x)2-52＝4x2-25；
(2)原式=(-3a)2-b2＝9a2-b2； (3)原式=(-6m)2-(8n)2＝36m2-64n2.
互动新授
(a+b)(a-b)= a2-ab+ab-b2= a2-b2 . 平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2. 即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个 数的平方差. 公式变形: 1.（a-b)(a+b)=a2-b2 2.（b+a)(-b+a )=a2-b2
人教版八年级数学上册课件：14.3.2因式分解(公式法-平方差公式)
－－因式分解的平方差公式
你学了什么方法进行分解因式？
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay = a( x – y ) (2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1) (3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a - 5) (4) ax2 - a3 =a(x2-a2) =a(x+a)(x-a) (5) 2xy2 - 50x =2x(y2-25) =2x(y+5)(y - 5)
个整体，加括号
熟记公式 a2 b2 (a b)(a b)
把下列式子分解因式
(x p)2 (x q)2
a² - b²= ( a + b)( a - b )
(1)a2－1
=( a )2－( 1 )2
(2)x4y2－4
=( x2y )2－( 2 )2
(3) 9 x2－0.01y2
49
=( 3
=(x+2)(x-2) =(3+y)(3-y)
(3) 1-a2
(4) 4x2-y2
=(1+a)(1-a) =(2x+y)(2x-y)
把下列各式分解因式
（1） 1－25x2
解： 1－25x2
＝12－(5x)2
把两项写成平方的形式，
＝(1+5x)(1-5x) 找出a和b。底数既有数
字还有字母，需要看成一
7
x )2－( 0.1y )2
(4)0.0001－121x2源自=( 0.01 )2－( 11x )2
因式分解：
１、 – a4 + 16 2、 4(a+2)2 - 9(a - 1)2 3、 (x+y+z)2 - (x-y-z)2
你学了什么方法进行分解因式？
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay = a( x – y ) (2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1) (3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a - 5) (4) ax2 - a3 =a(x2-a2) =a(x+a)(x-a) (5) 2xy2 - 50x =2x(y2-25) =2x(y+5)(y - 5)
个整体，加括号
熟记公式 a2 b2 (a b)(a b)
把下列式子分解因式
(x p)2 (x q)2
a² - b²= ( a + b)( a - b )
(1)a2－1
=( a )2－( 1 )2
(2)x4y2－4
=( x2y )2－( 2 )2
(3) 9 x2－0.01y2
49
=( 3
=(x+2)(x-2) =(3+y)(3-y)
(3) 1-a2
(4) 4x2-y2
=(1+a)(1-a) =(2x+y)(2x-y)
把下列各式分解因式
（1） 1－25x2
解： 1－25x2
＝12－(5x)2
把两项写成平方的形式，
＝(1+5x)(1-5x) 找出a和b。底数既有数
字还有字母，需要看成一
7
x )2－( 0.1y )2
(4)0.0001－121x2源自=( 0.01 )2－( 11x )2
因式分解：
１、 – a4 + 16 2、 4(a+2)2 - 9(a - 1)2 3、 (x+y+z)2 - (x-y-z)2
14.2.1 平方差公式 课件(共20张PPT)人教版数学八年级上册
2．请同学们阅读课本107页思考并讨论．
3．判断下列式子是否正确． (1)(x＋2)(x－2)＝x2－2( × )； (2)(－3a－2)(3a－2)＝9a2－4( × )； (3)(－2x＋y)(－2x－y)＝4x2－y2( √ )； (4)(a＋3)(a－4)＝a2－12( × )．
4．请同学们完成课本108页例2.
新知导入
游戏导入
同学们，我们来做一个数字游戏. 请同学们在纸上写出你最喜欢的一个幸运数字(10以内)，然后计算100与这 个数的和，接着乘100与这个数的差. (给学生半分钟思考、计算的时间) 同学们都算得很投入，只要告诉我,你计算的结果,我就能马上说出你的幸运 数字是几，信吗? （请两位学生来试验） 等我们学了今天的知识以后,大家也能像老师一样,马上猜出其他同学的幸运 数字.
典例精讲
【题型一】平方差公式
例1：下列式子中，可以用平方差公式计算的是( C )
A．(x＋2)(2＋x)
B．(x＋y)(－x－y)
C．(2x＋y)(y－2x)
D．(2x－y)(x＋2y)
变式：下列各式中，不能用平方差公式计算的是( D )
A．(－x＋y)(－x－y)
Hale Waihona Puke B．(x－y)(－x－y)
C．(x＋y)(－x＋y)
14.2乘法公式
14.2.1平方差公式
学习目标
1. 经历探索平方差公式的过程，会运用多项式乘法法则推 导平方差公式，进一步发展符号感和推理能力．
2．通过自主探究平方差公式，认识平方差公式及其几何模 型，感受数学公式的意义和作用．
3．通过观察，理解、掌握平方差公式的结构特征，能灵活 熟练地运用平方差公式，培养学生解决问题的能力．
3．判断下列式子是否正确． (1)(x＋2)(x－2)＝x2－2( × )； (2)(－3a－2)(3a－2)＝9a2－4( × )； (3)(－2x＋y)(－2x－y)＝4x2－y2( √ )； (4)(a＋3)(a－4)＝a2－12( × )．
4．请同学们完成课本108页例2.
新知导入
游戏导入
同学们，我们来做一个数字游戏. 请同学们在纸上写出你最喜欢的一个幸运数字(10以内)，然后计算100与这 个数的和，接着乘100与这个数的差. (给学生半分钟思考、计算的时间) 同学们都算得很投入，只要告诉我,你计算的结果,我就能马上说出你的幸运 数字是几，信吗? （请两位学生来试验） 等我们学了今天的知识以后,大家也能像老师一样,马上猜出其他同学的幸运 数字.
典例精讲
【题型一】平方差公式
例1：下列式子中，可以用平方差公式计算的是( C )
A．(x＋2)(2＋x)
B．(x＋y)(－x－y)
C．(2x＋y)(y－2x)
D．(2x－y)(x＋2y)
变式：下列各式中，不能用平方差公式计算的是( D )
A．(－x＋y)(－x－y)
Hale Waihona Puke B．(x－y)(－x－y)
C．(x＋y)(－x＋y)
14.2乘法公式
14.2.1平方差公式
学习目标
1. 经历探索平方差公式的过程，会运用多项式乘法法则推 导平方差公式，进一步发展符号感和推理能力．
2．通过自主探究平方差公式，认识平方差公式及其几何模 型，感受数学公式的意义和作用．
3．通过观察，理解、掌握平方差公式的结构特征，能灵活 熟练地运用平方差公式，培养学生解决问题的能力．
人教版八年级上册数学《平方差公式》整式的乘法与因式分解研讨复习说课教学课件
总结
这节课我们学到了什么？
1．平方差公式： (a+b)(a-b)=
2．平方差公式的结构特点：
结构
两数之和 两数之差 两数的平方差
（a+b）（a-b）= -
细节
相同项
相反项
平方差公式
什么是平方差公式？ 平方差公式的结构有什么特点？ 证明利用平方差公式计算？
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
个人简历：课件/jianli/
（2）(m+2)(m-2)=_______________；
（3）(2x+1)(2x-1)=_______________.
上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点？ 都是两项之和乘以两项之差
探究
计算下列多项式的积： （1）(x+1)(x-1)=_______________；
（2）(m+2)(m-2)=_______________；
（2）102×98 = （100＋2）(100－2) = 1002-22 = 10 000 – 4 =9996.
新课讲解
不符合平方差公 式运算条件的 乘法，按乘法 法则进行运算.
通过合理变形， 利用平方差公式， 可以简化运算.
新课讲解
【练习】计算：
(1) 51×49; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) . 解： (1) 原式=（50＋1）(50－1)
在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简， 然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
随堂即练
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( C )
A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)
人教版八年级数学上册《平方差公式》PPT
如果可以，请你计算出结果.
⑴ (4a+3b)(4a-2b) (不能)
⑵ (8 a)(a 8) (不能)
⑶ (2a-3b)(2a+3b) (能)
⑷ ( x 3)( x 3) (不能)
⑸ (-x-2y) (-2y+x). (能)
三、合作释疑 小试牛刀：运用平方差公式计算
(1) (2a-3b)(2a+3b)
A. -x8+y8 B. x4-y4 C. -y8+x8 D. -y4-x4
四、巩固提升
4.解答题 先化简，再求值（2016，济南）
a(1-4a)+(2a+1)(2a-1) ，其中a=4
探究——平方差公式几何推导
bb
a
a
b b
符号表达：
由一般到特殊
a -b
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)(a-b)=a2-b2
文字表达： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数
的平方差.
探究——平方差公式几何意义 图形演示： 数形结合
a2
(a b)(a b) a2 b2
二、复习回顾
( a + b )( a - b ) = a2 - b2
例1 计算:
(1) 51×49;
(2) (y+2) (y-2) – (y+1) (y-5) .
解: 原式 =(50+1)(50-1) = 502-12 =2500 – 1
解: 原式 = y2-22-(y2-4y-5) = y2-4-y2+4y+5 = 4y + 1.
= 2499.
注意：只有符合公式条件的 乘法，才能运用公式简化运 算，其余的运算仍按乘法法 则进行。
⑴ (4a+3b)(4a-2b) (不能)
⑵ (8 a)(a 8) (不能)
⑶ (2a-3b)(2a+3b) (能)
⑷ ( x 3)( x 3) (不能)
⑸ (-x-2y) (-2y+x). (能)
三、合作释疑 小试牛刀：运用平方差公式计算
(1) (2a-3b)(2a+3b)
A. -x8+y8 B. x4-y4 C. -y8+x8 D. -y4-x4
四、巩固提升
4.解答题 先化简，再求值（2016，济南）
a(1-4a)+(2a+1)(2a-1) ，其中a=4
探究——平方差公式几何推导
bb
a
a
b b
符号表达：
由一般到特殊
a -b
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)(a-b)=a2-b2
文字表达： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数
的平方差.
探究——平方差公式几何意义 图形演示： 数形结合
a2
(a b)(a b) a2 b2
二、复习回顾
( a + b )( a - b ) = a2 - b2
例1 计算:
(1) 51×49;
(2) (y+2) (y-2) – (y+1) (y-5) .
解: 原式 =(50+1)(50-1) = 502-12 =2500 – 1
解: 原式 = y2-22-(y2-4y-5) = y2-4-y2+4y+5 = 4y + 1.
= 2499.
注意：只有符合公式条件的 乘法，才能运用公式简化运 算，其余的运算仍按乘法法 则进行。
平方差公式(课件)八年级数学上册(人教版)
2
（1）
=
（x+1）
（x -1） x -1 ；
（2）
= m2 - 4 ；
（m+ 2）
（m- 2）
2
（3）
=
4
x
-1．
（2 x+1）
（2 x -1）
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
（a+b）
（a-b）=a 2 -b 2
你能证明(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(1)上述操作能验证的等式是________．
B
A. 2 − 2 + 2 = ( − )2
B. 2 − 2 = ( + )( − )
C. 2 − = ( − )
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x 2 − 4y 2 = 18， − 2 = 3，求 + 2．
2
3
4
1
20212
× 1−
1
20222
．
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1
1
1
②原式=(1 − ) × (1 + ) × (1 − )
2
2
3
1
3
2
4
2021
2023
= × × × × ⋯×
×
2
2
3
3
2022
2022
1 2023
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.1平方差公式
复习引入
（1）
=
（x+1）
（x -1） x -1 ；
（2）
= m2 - 4 ；
（m+ 2）
（m- 2）
2
（3）
=
4
x
-1．
（2 x+1）
（2 x -1）
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
（a+b）
（a-b）=a 2 -b 2
你能证明(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(1)上述操作能验证的等式是________．
B
A. 2 − 2 + 2 = ( − )2
B. 2 − 2 = ( + )( − )
C. 2 − = ( − )
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x 2 − 4y 2 = 18， − 2 = 3，求 + 2．
2
3
4
1
20212
× 1−
1
20222
．
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1
1
1
②原式=(1 − ) × (1 + ) × (1 − )
2
2
3
1
3
2
4
2021
2023
= × × × × ⋯×
×
2
2
3
3
2022
2022
1 2023
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.1平方差公式
复习引入
14.2.1 平方差公式 课件-人教版八年级数学上册
一 平方差公式——(a+b)(a–b)=a2–b2
练习2：下列各式的计算正确吗？如果不正确，应当怎样改正？
①(x + 2 )(x – 2 ) = x2 – 2
× = x2 – 4
②(-3a – 2)(3a – 2 ) = 9a2 – 4 × = 4 – 9a2
③(4x + 3y)(4x – 3y) = 4x2 – 3y2 × = 16x2 – 9y2
(2) 原式＝(-x)2 – (2y)2 ＝x2 – 4y2；
一 平方差公式——(a+b)(a–b)=a2–b2
例 2： 102×98
练习4： 51×49
解：原式＝(100 + 2)(100 – 2) ＝1002 – 22 ＝9996;
原式＝(50 + 1)(50 – 1) ＝502 – 12 ＝2499.
一 规律探究
(x + 1) (x – 1) = x2 – 12 (m + 2) (m – 2) = m2 – 22 (2x + 3) (2x – 3) = 4x2 – 9
一 规律探究
(x + 1) (x – 1) = x2 – 12
(m( a+ +2)b(m) (–a2–) b)== am2 -2 –b222
⑤ (2x + 3) (2x – 3) = 4x2 – 2x + 2x – 9 = 4x2 – 9
一 规律探究
(x + 1) (x – 1) = x2 – 1 (m + 2) (m – 2) = m2 – 4 (2x + 3) (2x – 3) = 4x2 – 9
一 规律探究
(x + 1) (x – 1) = x2 – 1 (m + 2) (m – 2) = m2 – 4 (2x + 3) (2x – 3) = 4x2 – 9
人教版八年级上册数学《平方差公式》整式的乘法与因式分解培优说课教学复习课件
课堂检测
5. 计算： 20152 – 2014×2016.
解： 20152 – 2014×2016 = 20152 – (2015–1)(2015+1) = 20152 – (20152–12 ) = 20152 – 20152+12 =1
课堂检测
6. 利用平方差公式计算:
(1)(a–2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2–4)(a2+4)
=10000 – 4
= y2–4–y2–4y+算5 条件的乘法，按乘法法
则进行运算.
=9996；利用通平过方合差理公变式形，，可= – 4y + 1.
以简化运算.
巩固练习
计算:
(1) 51×49; 解: (1) 原式=(50＋1)(50–1)
= 502–12 =2500 – 1 =2499；
(2)(3x+4)(3x–4)–(2x+3)(3x–2) . (2) 原式=(3x)2–42–(6x2+5x–6)
B. (a+b)2=a2+2ab+b2 C. (a–b)2=a2–2ab+b2
b 图1
b 图2
D. (a+2b)(a–b)=a2+ab–2b2
链接中考
1. 化简(x–1)(x+1)的结果是 x2–1 ． 2. 某同学化简a(a+2b)–(a+b)(a–b)出现了错误，解答过程如 下：原式=a2+2ab–(a2–b2) (第一步)
①(x ＋ 1)( x–1)；
x2 – 12
②(m ＋ 2)( m–2)；
m2–22
③(2m＋ 1)(2m–1)； ④(5y ＋ z)(5y–z).
《平方差公式》PPT优质课件
= 9x2–16–6x2–5x+6 = 3x2–5x–10.
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12–5×22＝–15.
探究新知
素养考点 5 利用平方差公式解决实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16， ∵a2＞a2–16， ∴李大妈吃亏了．
巩固练习
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正 整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
探究新知 知识点 平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
探究新知
面积差变了吗？
a米
a米 5米
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12–5×22＝–15.
探究新知
素养考点 5 利用平方差公式解决实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16， ∵a2＞a2–16， ∴李大妈吃亏了．
巩固练习
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正 整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
探究新知 知识点 平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
探究新知
面积差变了吗？
a米
a米 5米
平方差公式的说课PPT
学生的好奇心强、求知欲
乘法，掌握多项式与多项
实践操作、合作交流等能
较强，但抽象思维、逻辑
式的相乘规则，具备了推
力
推理能力还处于发展阶段。
导平方差公式的能力
教学目标
知识与技能
理解平方差公式的意义和推导.
掌握平方差公式的结构特征.
运用平方差公式解决问题.
过程与方法
经历平方差公式的形成过程，体验知识的产生与发展，培养学生仔细
方法
步骤
例题板书
学习评价
符合学生认知规律，注重数学思想方法的渗透
不足之处，敬请指正
谢谢大家
差
+ − = 2 − 2
教学过程-剖析公式 深化理解
【思考】什么类型的多项式相乘可以运用平方差公式？
【问题】平方差公式有什么结构特点，观察等式的左
边，两个多项式中的a的正负符号分别是什么？b的两
个多项式中的b的正负符号是什么？
公式剖析
注意
【问题】观察表格a、b两列，字母a、b可以表示什么？
观察、归纳总结的能力.
经历探究证明过程，利用数形结合等数学思想，培养学生合情推理和
逻辑推理能力。
情感态度与价值观
在数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立
自信心，体会数学的特点，了解数学的价值.
教法与学法
教法
情景导入法
1
1 观察归纳法
引导探究法 2
类比归纳法
3
练习法
4
2 自主思考法
教学过程-论证猜想，形成公式
猜想：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差
+ − = 2 − 2
【思考】猜想是否具有一般性？
(人教版八上) 数学 课件 平方差公式
(1) 左边两个二项式是： 两项的和与这两项差的乘积
结构特征 (2)
(3) 公式中的a和b 可以代表数或式
小试牛刀、巩固应用
你能在下列式子中找出与公式“a”“b”对应的项吗？
(1)(3x 2)(3x 2);
(2)(2a b)(2a b). (42aa2)2bb22
(3x 2)(3x 2) (3x)2 22 9x2 4
(a b)(a b)a2b2
小试牛刀、巩固应用
你能在下列式子中找出与公式“a”“b”对应的项吗？
(3)(2x y)(2x y) (2x)2 ( y)2
4x2 y2
(a b)(a b)a2b2
注意：当“项”是数与字母的乘积
时,要用括号把这个数整个括起来，再平 方,最后的结果又要去掉括号。
(3) (2a–b+1)(2a–b-1). 解：原式=〔(2a-b)+1〕〔(2a-b整)-体1思〕想很重要.
=(2a-b)2-12 =(2a-b)(2a-b)-1 =4a2-4ab+b2-1
人教版（人教版八上） 数学 课件 平方差公式
人教版（人教版八上） 数学 课件 平方差公式
(4) (x-3)(x+3)(x²+9)
= [(4a)2 −1 ]
= 1−16a2
巩固应用,探索公式
我们再看看( b＋2a)( 2a－b )这一式子还能用这 公式计算吗？
巩固应用,探索公式
我们再看看( b＋2a)( 2a－b )这一式子还能用这 公式计算吗？
( b＋2a)( 2a－b )
将式子变为(b－2a)(2a－b)，还可以用这个公
( × ) 4-9a2
（4）(4x+3b)(4x-3b)=16x2-9 (×) 16x2-9b2
结构特征 (2)
(3) 公式中的a和b 可以代表数或式
小试牛刀、巩固应用
你能在下列式子中找出与公式“a”“b”对应的项吗？
(1)(3x 2)(3x 2);
(2)(2a b)(2a b). (42aa2)2bb22
(3x 2)(3x 2) (3x)2 22 9x2 4
(a b)(a b)a2b2
小试牛刀、巩固应用
你能在下列式子中找出与公式“a”“b”对应的项吗？
(3)(2x y)(2x y) (2x)2 ( y)2
4x2 y2
(a b)(a b)a2b2
注意：当“项”是数与字母的乘积
时,要用括号把这个数整个括起来，再平 方,最后的结果又要去掉括号。
(3) (2a–b+1)(2a–b-1). 解：原式=〔(2a-b)+1〕〔(2a-b整)-体1思〕想很重要.
=(2a-b)2-12 =(2a-b)(2a-b)-1 =4a2-4ab+b2-1
人教版（人教版八上） 数学 课件 平方差公式
人教版（人教版八上） 数学 课件 平方差公式
(4) (x-3)(x+3)(x²+9)
= [(4a)2 −1 ]
= 1−16a2
巩固应用,探索公式
我们再看看( b＋2a)( 2a－b )这一式子还能用这 公式计算吗？
巩固应用,探索公式
我们再看看( b＋2a)( 2a－b )这一式子还能用这 公式计算吗？
( b＋2a)( 2a－b )
将式子变为(b－2a)(2a－b)，还可以用这个公
( × ) 4-9a2
（4）(4x+3b)(4x-3b)=16x2-9 (×) 16x2-9b2
14.2.1 平方差公式(同步课件)-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂(人教版)
解： 20232－2022×2024 = 20232－(2023－1)(2023 + 1) = 20232－(20232－12 ) = 20232 20232 + 12
= 1.Βιβλιοθήκη (2) (y+2) (y－2) – (y－1) (y+5) .
解：(y+2)(y－2)－ (y－1)(y+5) = y2－22－(y2+4y－5) = y2－4－y2－4y+5 = －4y + 1.
(3) 通过以上规律请你进行下面的探索：
① (a－b)(a＋b)＝__a_2_－__b_2；
② (a－b)(a2＋ab＋b2)＝__a_3_－__b_3_；
内容
平方差 公式
注意
两个数的和与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方差
1.符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2
2.抓住 “一同一反”这一特征，只 有两个二项式的积才有可能应用平 方差公式；不能直接应用公式的， 要经过变形才可以应用
解：李大妈吃亏了． 理由如下：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16. ∵a2＞a2－16， ∴李大妈吃亏了．
若（a+b+1)(a+b-1)=63,则a+b=——
解：(a+b)2-1=63 (a+b)2=64 a+b=±8
先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中 x＝1，y＝2.
边长为a的正方形纸片，剪去边长为b（b<a）的正方形，剩余 纸片的面积为多少？
a
剩余纸片的面积为
a2−b2 a
b b
还有别的计算方法吗？
= 1.Βιβλιοθήκη (2) (y+2) (y－2) – (y－1) (y+5) .
解：(y+2)(y－2)－ (y－1)(y+5) = y2－22－(y2+4y－5) = y2－4－y2－4y+5 = －4y + 1.
(3) 通过以上规律请你进行下面的探索：
① (a－b)(a＋b)＝__a_2_－__b_2；
② (a－b)(a2＋ab＋b2)＝__a_3_－__b_3_；
内容
平方差 公式
注意
两个数的和与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方差
1.符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2
2.抓住 “一同一反”这一特征，只 有两个二项式的积才有可能应用平 方差公式；不能直接应用公式的， 要经过变形才可以应用
解：李大妈吃亏了． 理由如下：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16. ∵a2＞a2－16， ∴李大妈吃亏了．
若（a+b+1)(a+b-1)=63,则a+b=——
解：(a+b)2-1=63 (a+b)2=64 a+b=±8
先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中 x＝1，y＝2.
边长为a的正方形纸片，剪去边长为b（b<a）的正方形，剩余 纸片的面积为多少？
a
剩余纸片的面积为
a2−b2 a
b b
还有别的计算方法吗？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
想一想：这些计算结果有什么特点？
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
新知讲解
平方差公式
(a+b)(a−b)= a2−b2
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
这里的两数可以是两个单项式 也可以是两个多项式等．
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
新知应用
例4 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n) 的值一定是10的整数倍吗？
解：原式=9n2－1－(9－n2) =10n2－10. ∵(10n2－10)÷10=n2－1. ∵n为正整数， ∴n2－1为整数 即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．
平方差公式
复习回顾
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x＋3)( x＋5)
=x2＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
新知引入
探究发现
面积相等吗？
a米
5米
(a-5)米
a米 5米
相等
(a+5)(a－5)=a2－52
新知引入
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ ①(x＋1)(x－1)=xx2－2－11，2 ②(m＋2)(m－2)=mm22－－2222 ③(2m＋1)(2m－1)=4(m2m2－)2－12 12 ④(5y＋z)(5y－z)=25(5yy2－)2－z2z2
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
新知应用
例2 计算: (1) 102×98；(2) (y+2)(y－2)－(y－1)(y+5) .
解: (1) 原式=(100＋2)(100－2) = 1002－22 =10000－4 =9996；
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
随堂练习
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( C )
A．(x＋y)(x＋y)
B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x)
D．(x＋y)(－x－y)
2.计算(2x+1)(2x－1)等于( A )
A．4x2－1 B．2x2－1 C．4x－1
新知应用
填一填
(a－b)(a+b)
a
b
a2－b2
(1+x)(1－x)
1
x
12－x2
(－3+a)(－3－a) －3 a
(－3)2－a2
(m2+n)(m2－n) m2 n
(m2)2－n2
(a+b－1)(a+b+1) a+b 1 (a+b)2－12
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
新知应用
例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)， 其中x=1，y=2.
解：原式=4x2－y2－(4y2－x2) =4x2－y2－4y2＋x2 =5x2－5y2.
当x=1，y=2时，
原式=5×12－5×22=－15.
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
归纳总结
方法总结：对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以 是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，一般先 将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具 有整除性或倍数关系．
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
新知应用
眼疾手快
口答下列各题： (l)(－a+b)(a+b)= b2－a2 ； (2)(a－b)(b+a)= a2－b2 ； (3)(－a－b)(－a+b)= a2－b2 ； (4)(a－b)(－a－b)= b2－a2 .
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
归纳总结
方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： (1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全
相同，另一项互为相反数； (2)右边是相同项的平方减去相反项的平方； (3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
(2) 原式= y2－22－(y2+4y－5) = y2－4－y2－4y+5
=－4y+1.
通过合理变形， 利用平方差公式， 可以简化运算.
不符合平方差公式运 算条件的乘法，按乘 法法则进行运算.
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
新知应用
例1 利用平方差公式计算： (1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ； (2) (－x+2y)(－x－2y)； (3) (－2a－b)(b－2a)； (4) (－7m＋8n)(－8n－7m)．
解：(1)原式=(3x)2－22 =9x2－4； (2)原式= (－x)2－(2y)2 =x2－4y2； (3)原式=(－2a)2－b2 =4a2－b2； (4)原式=(－7m)2－(8n)2 =49m2－64n2.
(2) 20152－2014×2016.
解：原式=(2a+3)(2a－3)
原式= 20152－ (2015－1)(2015+1)
=(2a)2－32 =4a2－9 (3) (x－y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
=20152－(20152－12)
=1
原式=(x2－y2)(x2+y2)(x4+y4)
D．4x2+1
3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的
正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是___1__0___．
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
随堂练习
4.利用平方差公式计算：
(1) (3+2a)(－3+2a)；
=(x4－y4)(x4+y4)
=x8－y8.
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
课堂总结
内容
平方差公式
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
新知讲解
平方差公式
(a+b)(a−b)= a2−b2
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
这里的两数可以是两个单项式 也可以是两个多项式等．
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
新知应用
例4 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n) 的值一定是10的整数倍吗？
解：原式=9n2－1－(9－n2) =10n2－10. ∵(10n2－10)÷10=n2－1. ∵n为正整数， ∴n2－1为整数 即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．
平方差公式
复习回顾
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x＋3)( x＋5)
=x2＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
新知引入
探究发现
面积相等吗？
a米
5米
(a-5)米
a米 5米
相等
(a+5)(a－5)=a2－52
新知引入
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ ①(x＋1)(x－1)=xx2－2－11，2 ②(m＋2)(m－2)=mm22－－2222 ③(2m＋1)(2m－1)=4(m2m2－)2－12 12 ④(5y＋z)(5y－z)=25(5yy2－)2－z2z2
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
新知应用
例2 计算: (1) 102×98；(2) (y+2)(y－2)－(y－1)(y+5) .
解: (1) 原式=(100＋2)(100－2) = 1002－22 =10000－4 =9996；
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
随堂练习
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( C )
A．(x＋y)(x＋y)
B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x)
D．(x＋y)(－x－y)
2.计算(2x+1)(2x－1)等于( A )
A．4x2－1 B．2x2－1 C．4x－1
新知应用
填一填
(a－b)(a+b)
a
b
a2－b2
(1+x)(1－x)
1
x
12－x2
(－3+a)(－3－a) －3 a
(－3)2－a2
(m2+n)(m2－n) m2 n
(m2)2－n2
(a+b－1)(a+b+1) a+b 1 (a+b)2－12
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
新知应用
例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)， 其中x=1，y=2.
解：原式=4x2－y2－(4y2－x2) =4x2－y2－4y2＋x2 =5x2－5y2.
当x=1，y=2时，
原式=5×12－5×22=－15.
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
归纳总结
方法总结：对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以 是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，一般先 将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具 有整除性或倍数关系．
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
新知应用
眼疾手快
口答下列各题： (l)(－a+b)(a+b)= b2－a2 ； (2)(a－b)(b+a)= a2－b2 ； (3)(－a－b)(－a+b)= a2－b2 ； (4)(a－b)(－a－b)= b2－a2 .
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
归纳总结
方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： (1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全
相同，另一项互为相反数； (2)右边是相同项的平方减去相反项的平方； (3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
(2) 原式= y2－22－(y2+4y－5) = y2－4－y2－4y+5
=－4y+1.
通过合理变形， 利用平方差公式， 可以简化运算.
不符合平方差公式运 算条件的乘法，按乘 法法则进行运算.
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
新知应用
例1 利用平方差公式计算： (1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ； (2) (－x+2y)(－x－2y)； (3) (－2a－b)(b－2a)； (4) (－7m＋8n)(－8n－7m)．
解：(1)原式=(3x)2－22 =9x2－4； (2)原式= (－x)2－(2y)2 =x2－4y2； (3)原式=(－2a)2－b2 =4a2－b2； (4)原式=(－7m)2－(8n)2 =49m2－64n2.
(2) 20152－2014×2016.
解：原式=(2a+3)(2a－3)
原式= 20152－ (2015－1)(2015+1)
=(2a)2－32 =4a2－9 (3) (x－y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
=20152－(20152－12)
=1
原式=(x2－y2)(x2+y2)(x4+y4)
D．4x2+1
3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的
正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是___1__0___．
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
随堂练习
4.利用平方差公式计算：
(1) (3+2a)(－3+2a)；
=(x4－y4)(x4+y4)
=x8－y8.
人教版数学八年级上册第十四章14.2. 1平方 差公式
课堂总结
内容
平方差公式