新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.2第1课时函数的极值课件
【高中数学】新教材新高中数学选择性必修二_ 第五章 一元函数的导数及其应用5.1_5.3综合拔高练
5.1~5.3综合拔高练五年高考练考点1导数的运算法则及其几何意义1.(2019课标全国Ⅲ,6,5分,)已知曲线y=ae x+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-12.(2019课标全国Ⅰ,13,5分,)曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为.3.(2019江苏,11,5分,)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x 上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是.4.(2020北京,15,5分,)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水的大小评价在[a,b]这段排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-f(b)-f(a)b-a时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论:①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是.深度解析考点2函数的导数与单调性5.(2018课标全国Ⅲ,7,5分,)函数y=-x4+x2+2的图象大致为()6.(2019北京,13,5分,)设函数f(x)=e x+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是.7.(2020课标全国Ⅰ文,20,12分,)已知函数f(x)=e x-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.深度解析8.(2019课标全国Ⅱ,20,12分,)已知函数f(x)=ln x-x+1x -1.(1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点;(2)设x 0是f(x)的一个零点,证明曲线y=ln x 在点A(x 0,ln x 0)处的切线也是曲线y=e x 的切线.考点3 函数的导数与极值、最大(小)值 9.(2019天津,8,5分,)已知a ∈R.设函数f(x)={x 2-2ax +2a,x ≤1,x -alnx,x >1.若关于x 的不等式f(x)≥0在R 上恒成立,则a 的取值范围为( ) A.[0,1] B.[0,2] C.[0,e] D.[1,e] 10.(2017课标全国Ⅱ,11,5分,)若x=-2是函数f(x)=(x 2+ax-1)e x -1的极值点,则f(x)的极小值为( ) A.-1 B.-2e -3 C.5e -3 D.111.(2018江苏,11,5分,)若函数f(x)=2x 3-ax 2+1(a ∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为 . 12.(2018课标全国Ⅰ,16,5分,)已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是 .13.(2017课标全国Ⅰ,16,5分,)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.14.(2019课标全国Ⅲ,20,12分,)已知函数f(x)=2x3-ax2+b.(1)讨论f(x)的单调性;(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.15.(2020课标全国Ⅲ理,21,12分,)设函数f(x)=x3+bx+c,曲线y=f(x)在点(12, f(12))处的切线与y轴垂直.(1)求b;(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,证明:f(x)所有零点的绝对值都不大于1.16.(2020新高考Ⅰ,21,12分,)已知函数f(x)=ae x-1-ln x+ln a.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.深度解析17.(2019北京,19,13分,)已知函数f(x)=1x3-x2+x.4(1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程;(2)当x∈[-2,4]时,求证:x-6≤f(x)≤x;(3)设F(x)=|f(x)-(x+a)|(a∈R),记F(x)在区间[-2,4]上的最大值为M(a).当M(a)最小时,求a的值.三年模拟练应用实践1.(2020重庆九校联盟高二上期末联考,)设三次函数f(x)的导函数为f'(x),函数y=xf'(x)的图象的一部分如图所示,则下列说法正确的是(易错)A.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3)B.f(x)的极大值为f(√3),极小值为f(-√3)C.f(x)的极大值为f(-3),极小值为f(3)D.f(x)的极大值为f(-√3),极小值为f(√3) 2.(2020江西南昌二中高二上期末,)若函数f(x)=x 2-1与函数g(x)=alnx-1的图象存在公切线,则正实数a 的取值范围是( ) A.(0,e) B.(0,e]C.(0,2e) D.(0,2e] 3.(2020福建福州高三上期末质量检测,)已知函数f(x)=x 2+2ax,g(x)=-1x,若存在点A(x 1,f(x 1)),B(x 2,g(x 2)),使得直线AB 与两曲线y=f(x)和y=g(x)都相切,则当实数a 取最小值时,x 1+x 2=( ) A.2√23B.3√232C.√23D.-3√2344.(多选)(2020山东临沂高三上期末,)已知函数f(x)=x+sin x-xcos x的定义域为[-2π,2π),则( ) A.f(x)为奇函数 B.f(x)在[0,π)上单调递增 C.f(x)恰有4个极大值点 D.f(x)有且仅有4个极值点 5.(2020辽宁大连高三上双基测试,)若点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)(x 1<x 2)是函数f(x)={-e x +1,x ≤1,lnx,x >1图象上的任意两点,且函数f(x)的图象在点A 和点B 处的切线互相垂直,则下列结论正确的是( ) A.x 1<0 B.0<x 1<1C.x2x 1的最大值为e D.x 1x 2的最大值为e6.(2020北京海淀高三上期末,)已知函数f(x)=x+ax在区间(1,4)上存在最小值,则实数a 的取值范围是 .7.(2020山东烟台高三上期末,)设点P是曲线y=e x+x2上任意一点,则点P到直线x-y-1=0的最小距离为.8.(2020河南开封五县联考高二上期末,)已知函数f(x)={2x,x≥2,(x-1)3,x<2,令g(x)=f(x)-kx+1,若函数g(x)有四个零点,则实数k 的取值范围为.9.(2020北京东城高三上期末,)已知函数f(x)=13x3-x2+3ax(a∈R).(1)若f(x)在x=-1时有极值,求a的值;(2)在直线x=1上是否存在点P,使得过点P至少有两条直线与曲线y=f(x)相切?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.10.(2020江西上饶高二中、高三上第三次段考,)已知函数f(x)=xln x-2ax2+x,a∈R.(1)若f(x)在(0,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)的两个极值点分别为x1,x2,证明:x1+x2>12a.迁移创新11.(2020浙江嘉兴高三上期末,)已知函数f(x)=aln x+bx+c(a≠0)有极小值.(1)试判断a,b的符号,求f(x)的极小值点;(2)设f(x)的极小值为m,求证:m+a<4ac-b 24a.深度解析答案全解全析五年高考练1.D∵y'=ae x+ln x+1,∴y'x=1=ae+1,∴2=ae+1,∴a=e-1,∴切点坐标为(1,1).将(1,1)代入y=2x+b,得1=2+b,∴b=-1,故选D.2.答案y=3x解析∵y'=3(x2+3x+1)e x,∴曲线在点(0,0)处的切线的斜率k=y'x=0=3,∴曲线在点(0,0)处的切线方程为y=3x.3.答案(e,1)解析设A(x0,y0),由y'=1x ,得该点处的切线斜率k=1x0,∴在点A处的切线方程为y-ln x0=1x0(x-x0).∵切线经过点(-e,-1),∴-1-ln x0=1x0(-e-x0),∴ln x0=ex0,令g(x)=ln x-ex(x>0),则g'(x)=1x +ex2,则g'(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上为增函数.又g(e)=0,∴ln x=ex有唯一解x=e.∴x0=e,∴点A的坐标为(e,1).4.答案①②③解析 设y=-f(b)-f(a)b -a,由已知条件可得甲、乙两个企业在[t 1,t 2]这段时间内污水治理能力强弱的数值计算式为-f(t 2)-f(t 1)t 2-t 1,由题图易知y 甲>y 乙,即甲企业的污水治理能力比乙企业强,所以①对;由题图可知,在t=t 2处,甲、乙的切线斜率满足k 甲<k 乙<0,所以-k 甲>-k 乙,即甲企业的污水治理能力比乙企业强,所以②对;在t 3时刻,由题图可知甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,所以③对; 由计算式-f(b)-f(a)b -a可知,甲企业在[0,t 1]这段时间内污水治理能力最弱,所以④错.解后反思 本题以环保部门要求相关企业加强污水处理,排放未达标的企业要限期整改这个情境为载体,贴近生活,要求考生能够在短时间内审清题意,理清解决问题的思路,建立适当的数学模型来解决问题,体现试题的教育价值.通过企业污水治理能力的强弱的计算式,考查学生的抽象概括、直观想象、分析和解决具有实际意义问题的能力,同时考查了数形结合的思想.正确理解题目所给的信息,并把信息翻译成数学问题是解决本题的第一个关键;理解一段时间内企业污水治理能力的强弱的计算式,并把这个计算式与函数图象在某点处切线的斜率联系起来是正确解决本题的第二个关键.5.D y'=-4x 3+2x=-2x(√√x+1),当x>0时,函数y=-x 4+x 2+2在(0,√22)上单调递增,在(√22,+∞)上单调递减.又函数y=-x 4+x 2+2为偶函数,所以D 选项符合题意.故选D.6.答案 -1;(-∞,0]解析 因为f(x)为奇函数,且f(x)的定义域为R,所以f(0)=0,所以e 0+a e -0=0,解得a=-1.因为f(x)在R 上为增函数,所以f'(x)=e x -aex ≥0在R上恒成立,即a ≤e 2x 在R 上恒成立,又因为e 2x >0,所以a ≤0,即a 的取值范围为(-∞,0].7.解析 (1)当a=1时, f(x)=e x -x-2,则f'(x)=e x -1. 当x<0时, f'(x)<0;当x>0时, f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. (2)f'(x)=e x -a.当a ≤0时, f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增, 故f(x)至多存在1个零点,不合题意.当a>0时,由f'(x)=0可得x=ln a.当x ∈(-∞,ln a)时, f'(x)<0;当x ∈(ln a,+∞)时, f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增,故当x=ln a 时, f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a(1+ln a).(i)若0<a ≤1e ,则f(ln a)≥0, f(x)在(-∞,+∞)至多存在1个零点,不合题意.(ii)若a>1e,则f(ln a)<0.由于f(-2)=e -2>0,所以f(x)在(-∞,ln a)存在唯一零点. 由(1)知,当x>2时,e x -x-2>0,所以当x>4且x>2ln(2a)时,f(x)=e x2·e x 2-a(x+2)>e ln(2a)·(x2+2)-a(x+2)=2a>0.故f(x)在(ln a,+∞)存在唯一零点.从而f(x)在(-∞,+∞)有两个零点. 综上,a 的取值范围是(1e ,+∞).方法总结 已知函数的零点求参数的取值范围(1)利用函数零点存在定理构建不等式(组)求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式(组)求解.(4)利用导数研究函数的图象和性质,由函数零点的个数,判断函数的极值大于零还是小于零,从而建立关于参数的不等式(组)求解.8.解析(1)f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞).因为f'(x)=1x +2(x-1)2>0,所以f(x)在(0,1),(1,+∞)上单调递增.因为f(e)=1-e+1e-1<0,f(e2)=2-e2+1e2-1=e2-3e2-1>0,所以f(x)在(1,+∞)上有唯一零点x1,即f(x1)=0.又0<1x1<1,f(1x1)=-ln x1+x1+1x1-1=-f(x1)=0,故f(x)在(0,1)上有唯一零点1x1.综上,f(x)有且仅有两个零点.(2)证明:因为1x0=e-ln x0,所以点B(-ln x0,1x0)在曲线y=e x上.由题设知f(x0)=0,即ln x0=x0+1x0-1,故直线AB的斜率k=1x0-ln x0-ln x0-x0=1x0-x0+1x0-1-x0+1x0-1-x0=1x0.曲线y=e x在点B(-ln x0,1x0)处切线的斜率是1x0,曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处切线的斜率也是1x0,所以曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线y=e x的切线. 9.C由题中选项可知a≥0.当0≤a≤1时,若x≤1,则f(x)=(x-a)2+2a-a2,可知f(x)min=f(a)=2a-a2,因为f(x)≥0恒成立,所以{f(x)min=2a-a2≥0,0≤a≤1,解得0≤a≤1;若x>1,则f(x)=x-aln x,f'(x)=1-ax,因为0≤a≤1,x>1,所以f'(x)=1-ax>0,所以f(x)=x-aln x在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)>1-aln1=1>0.所以当0≤a≤1时,f(x)≥0在R上恒成立.当a>1时,若x≤1,则f(x)=(x-a)2+2a-a2在(-∞,1]上单调递减,所以f(x)min=f(1)=1>0.若x>1,则f(x)=x-aln x,f'(x)=1-ax,令f'(x)=0,得x=a.当x∈(1,a)时,f'(x)<0,所以f(x)在(1,a)上单调递减;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(a,+∞)上单调递增.所以当x>1时,f(x)min=f(a)=a-aln a,若f(x)≥0恒成立,则f(x)min=a-aln a≥0,即ln a≤1,解得1<a≤e.综上可知,若f(x)≥0在R上恒成立,则0≤a≤e.故选C.10.A f'(x)=[x2+(a+2)x+a-1]e x-1.因为x=-2是函数f(x)的极值点,所以f'(-2)=0,所以4-2(a+2)+a-1=0,解得a=-1,此时f'(x)=(x2+x-2)e x-1.由f'(x)=0,解得x=-2或x=1,且当-2<x<1时,f'(x)<0,当x>1时,f'(x)>0,故x=1为f(x)的极小值点,所以f(x)的极小值为f(1)=-1.11.答案-3解析由题意得,f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).当a≤0时,对任意x∈(0,+∞), f'(x)>0,则函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则f(x)>f(0)=1,则f(x)在(0,+∞)上没有零点,不满足题意,舍去.当a>0时,令f'(x)=0及x>0,得x=a3,则当x∈(0,a3)时,f'(x)<0,当x∈a3,+∞时,f'(x)>0,因此函数f(x)的单调递减区间是(0,a3),单调递增区间是(a3,+∞),在x=a3处f(x)取得极小值f(a3)=-a327+1.而函数f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点,所以f(a3)=-a327+1=0,解得a=3,因此f(x)=2x3-3x2+1,则f'(x)=2x(3x-3).令f'(x)=0,结合x∈[-1,1],得x=0或x=1.而当x∈(-1,0)时,f'(x)>0,当x∈(0,1)时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(-1,0)上是增函数,在(0,1)上是减函数,所以f(x)max=f(0)=1.又f(-1)=-4,f(1)=0,所以f(x)min=-4,故f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为-3.12.答案-3√32解析因为f(x+2π)=2sin(x+2π)+sin(2x+4π)=f(x),所以2π是函数f(x)的一个周期,不妨取区间[0,2π]进行分析.f'(x)=2cos x+2cos2x=4cos2x+2cos x-2,令f'(x)=0,解得cos x=12或cos x=-1.当x在[0,2π]上变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x0,π3π3π3,πππ,5π35π35π3,2πf'(x)+0-0-0+f(x)↗极大值↘↘极小值↗可知函数f(x)在[0,2π]上的极小值即为函数f(x)在定义域上的最小值,所以f(x)min=f(5π3)=2sin5π3+sin10π3=-3√32.13.答案4√解析设△ABC的边长为a cm,0<a<5√3,则三个等腰三角形的高为(5−√36a)cm,折起后所得正三棱锥的高为√(5−√36a)2-(√36a)2=√25−5√33a(cm),所以所得三棱锥的体积为13×√34a 2×√25−5√33a =√312√25a 4-5√33a 5(cm 3).令u=25a 4-5√33a 5,则u'=100a 3-25√33a 4=25a 3(4−√33a),其中0<a<5√3,当0<a<4√3时,u'>0,当4√3<a<5√3时,u'<0,故a=4√3是u=25a 4-5√33a 5在定义域内唯一的极大值点,也是最大值点,所以当a=4√3时,三棱锥的体积最大,最大值为13×√34×(4√3)2×√25−5√33×4√3=4√3×√5=4√15(cm 3).14.解析 (1)由题可知函数f(x)的定义域为R. f'(x)=6x 2-2ax=2x(3x-a). 令f'(x)=0,得x=0或x=a3.若a>0,则当x ∈(-∞,0)∪a 3,+∞时, f'(x)>0;当x ∈(0,a3)时, f'(x)<0.故f(x)在(-∞,0),(a3,+∞)上单调递增,在(0,a3)上单调递减.若a=0,则f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.若a<0,则当x ∈(-∞,a3)∪(0,+∞)时, f'(x)>0;当x ∈(a3,0)时, f'(x)<0.故f(x)在(-∞,a3),(0,+∞)上单调递增,在(a3,0)上单调递减.(2)满足题设条件的a,b 存在.(i)当a ≤0时,由(1)知, f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=b,最大值为f(1)=2-a+b.此时当且仅当b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1时满足题意.(ii)当a ≥3时,由(1)知, f(x)在[0,1]上单调递减,所以f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(0)=b,最小值为f(1)=2-a+b.此时当且仅当2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1时满足题意.(iii)当0<a<3时,由(1)知, f(x)在[0,1]上的最小值为f (a3)=-a 327+b,最大值为b 或2-a+b.若-a 327+b=-1,b=1,则a=3√23,与0<a<3矛盾;若-a 327+b=-1,2-a+b=1,则a=3√3或a=-3√3或a=0,与0<a<3矛盾. 综上,当且仅当a=0,b=-1或a=4,b=1时, f(x)在[0,1]上的最小值为-1且最大值为1.15.解析 (1)f'(x)=3x 2+b. 依题意得f'(12)=0,即34+b=0.故b=-34.(2)由(1)知f(x)=x 3-34x+c, f'(x)=3x 2-34.令f'(x)=0,解得x=-12或x=12.f'(x)与f(x)的情况为:x -∞,-12-12-12,1212 12+∞ f'(x) + 0 - 0 +f(x)↗c+14↘ c-14↗因为f(1)=f (-12)=c+14,所以当c<-14时, f(x)只有大于1的零点.因为f(-1)=f (12)=c-14,所以当c>14时, f(x)只有小于-1的零点. 由题设可知-14≤c ≤14.当c=-14时, f(x)只有两个零点-12和1.当c=14时, f(x)只有两个零点-1和12.当-14<c<14时, f(x)有三个零点x 1,x 2,x 3,且x 1∈(-1,-12),x 2∈(-12,12),x 3∈(12,1).综上,若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,则f(x)所有零点的绝对值都不大于1.16.解析 f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=ae x-1-1x .(1)当a=e 时, f(x)=e x -ln x+1,则f(1)=e+1, f'(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)·(x-1),即y=(e-1)x+2. 直线y=(e-1)x+2在x 轴,y 轴上的截距分别为-2e -1,2.因此所求三角形的面积为2e -1.(2)当0<a<1时, f(1)=a+ln a<1.当a=1时, f(x)=e x-1-ln x, f'(x)=e x-1-1x .当x ∈(0,1)时,f'(x)<0;当x ∈(1,+∞)时, f'(x)>0.所以当x=1时, f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)≥1.当a>1时, f(x)=ae x-1-ln x+ln a ≥e x-1-ln x ≥1. 综上,a 的取值范围是[1,+∞).名师点评 本题第(2)问中,由不等式成立求参数的取值范围,常规解法是分离参数转化为求函数的最值问题,而本题中参数分布范围较广,无法分离,所以要对参数进行分类讨论,怎样分类是本题的一个难点,特别是当a>1时,证明f(x)≥1需要用到a=1时的结论,思路很窄,技巧性较强.17.解析 (1)由f(x)=14x 3-x 2+x,得f'(x)=34x 2-2x+1.令f'(x)=1,即34x 2-2x+1=1,得x=0或x=83.又f(0)=0, f (83)=827,所以曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程是y=x 与y-827=x-83,即y=x 与y=x-6427.(2)证明:令g(x)=f(x)-x,x ∈[-2,4].则g(x)=14x 3-x 2,g'(x)=34x 2-2x.令g'(x)=0,得x=0或x=83.当x 变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:x -2 (-2,0) 0 (0,83) 83 (83,4) 4 g'(x) + 0 - 0 + g(x)-6↗↘-6427↗所以g(x)的最小值为-6,最大值为0.故-6≤g(x)≤0,即x-6≤f(x)≤x. (3)由(2)知,当a<-3时,M(a)≥F(0)=|g(0)-a|=-a>3;当a>-3时,M(a)≥F(-2)=|g(-2)-a|=6+a>3;当a=-3时,M(a)=3. 综上,当M(a)最小时,a=-3.三年模拟练应用实践1.A 结合题中图象列表如下:x (-∞,-3) -3 (-3,0) 0 (0,3) 3 (3,+∞) xf'(x) + 0 - 0 + 0 - f'(x) - 0 + + 0 - f(x)↘极小值↗↗极大值↘由表知,A 正确,故选A.易错警示f'(x)与f(x)的图象可以相互转化,在转化的过程中,导函数看正负,原函数看增减;区间端点值在解题时要单独判断,如f'(0)的值不能确定,解题时要防止漏判导致错误.2.D设公切线在f(x)上的切点为P(x1,x12-1),在g(x)上的切点为Q(x2,aln x2-1).∵f'(x)=2x,g'(x)=ax,∴k PQ=2x1=ax2=aln x2-x12x2-x1.∴2x1x2=a,①2x1x2-2x12=aln x2-x12,即a-a 24x22=aln x2,∴a=4x22-4x22ln x2.令h(x)=4x2-4x2ln x(x>0),则h'(x)=4x(1-2ln x),令h'(x)=0,得ln x=12,解得x=√e.当0<x<√e时,h'(x)>0;当x>√e时,h'(x)<0,∴h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(√e)=4(√e)2(1-ln√e)=2e,结合选项知,D 正确.3.A∵f(x)=x2+2ax,∴f'(x)=2x+2a,∴f'(x1)=2x1+2a,又f(x1)=x12+2ax1,∴过A点的切线方程为y=(2x1+2a)x-x12.①又∵g(x)=-1x,∴g'(x)=1x2,∴g'(x 2)=1x 22,又g(x 2)=-1x 2,∴过B 点的切线方程为y=1x 22x-2x 2.②由题意知①②都为直线AB, ∴{2x 1+2a =1x 22,-x 12=−2x 2,消去x 2,得a=x 148-x 1, 令h(x)=x 48-x,h'(x)=x 32-1=x 3-22,令h'(x)=0,得x=√23,当x ∈(-∞,0)和(0,√23)时,h(x)单调递减,且当x ∈(-∞,0)时,h(x)>h(0)=0恒成立,当x ∈(√23,+∞)时,h(x)单调递增, ∴当x=√23时,h(x)有最小值,∴x 1=√23, 则x 2=2x 12=√23,∴x 1+x 2=2√23.故选A.4.BD ∵f(x)的定义域为[-2π,2π), ∴f(x)是非奇非偶函数,A 错误. ∵f(x)=x+sin x-xcos x, ∴f'(x)=1+cos x-(cos x-xsin x) =1+xsin x,当x ∈[0,π)时, f'(x)>0,则f(x)在[0,π)上单调递增,B 正确. 显然f'(0)≠0,令f'(x)=0,得sin x=-1x ,分别作出y=sin x,y=-1x在区间[-2π,2π)上的图象,如图.由图可知,这两个函数的图象在区间[-2π,2π)上共有4个公共点,且两个图象在这些公共点上都不相切,故f(x)在区间[-2π,2π)上的极值点的个数为4,且f(x)只有2个极大值点,C 错误,D 正确.故选BD. 5.D 因为f(x)={-e x +1,x ≤1,lnx,x >1,点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)(x 1<x 2),所以f'(x)={-e x ,x ≤1,1x,x >1,由f(x)的图象在点A 和点B 处的切线互相垂直及导数的几何意义可知, f(x)的图象在点A 和点B 处的切线的斜率之积为-1, ①当x 1<x 2≤1时,满足(-e x 1)×(-e x 2)=-1,即e x 1×e x 2=e x 1+x 2=-1, 因为e x 1+x 2>0,所以方程无解.即不存在x 1,x 2∈(-∞,1],使得f(x)的图象在点A 和点B 处的切线互相垂直;②当x 1≤1<x 2时,满足(-e x 1)×1x 2=-1,即e x 1=x 2.因为x 2>1,所以e x 1>1,所以x 1>0,所以A 、B 错误. 易知x 2x 1=e x 1x 1,令g(x)=e xx(x ≤1),则g'(x)=(e xx)'=xe x -e x x 2=e x (x -1)x 2,令g'(x)=0,得x=1,所以当x<1时, g'(x)<0,则g(x)=e xx 在x<1时单调递减,所以g(x)=e x x在x=1时取得极小值,也是最小值,即g(1)min =e 11=e,无最大值,所以C 错误.易知x1x2=x1·e x1,令h(x)=xe x(x≤1),则h'(x)=e x+xe x,令h'(x)=0,解得x=-1,所以当x<-1时,h'(x)<0,则h(x)=xe x在x<-1时单调递减,当-1<x≤1时,h'(x)>0,则h(x)=xe x在-1<x≤1时单调递增,所以h(x)=xe x在x=-1时取得极小值,也是最小值,即h(-1)min=-1e.在x=1时取得最大值,即h(1)max=e,所以D正确.③当1<x1<x2时,满足1x1×1x2=-1,即x1·x2=-1,此方程无解,所以不成立.故选D.6.答案(1,16)解析∵f(x)=x+ax ,∴f'(x)=1-ax2=x2-ax2.当a≤0时,对任意的x∈(1,4),f'(x)>0,∴函数y=f(x)在区间(1,4)上为增函数,则函数y=f(x)在区间(1,4)上没有最小值.当a>0时,令f'(x)=0,可得x=√a(负值舍去),当0<x<√a时,f'(x)<0,当x>√a时,f'(x)>0,∴函数y=f(x)的极小值点为x=√a,由题意可得1<√a<4,解得1<a<16.∴实数a的取值范围是(1,16).7.答案√2解析设曲线y=e x+x2上斜率为1的切线的切点坐标为P(x0,y0),由y'=e x+2x得,e x0+2x0=1.设g(x)=e x+2x,则g'(x)=e x+2>0,∴g(x)在R上是增函数.又g(0)=e0+2×0=1,∴e x0+2x0=1有唯一解x0=0.∴切点坐标为P(0,1),∴切线方程为y-1=x,即x-y+1=0.∴点P到直线x-y-1=0的距离的最小值为√2=√2.8.答案34<k<1解析当g(x)=0时,f(x)=kx-1,可理解为函数y=f(x)的图象与直线y=kx-1的交点问题,画出图象如图.令h(x)=(x-1)3,则h'(x)=3(x-1)2,设切点P的坐标为(x0,y0),则过点P的切线方程为y-(x0-1)3=3(x0-1)2(x-x0),将点(0,-1)的坐标代入,可得-1-(x0-1)3=-3x0(x0-1)2,整理得,2x03-3x02=0,所以x0=0(舍去)或x0=32,故h'(32)=34,又(0,-1),(2,1)两点连线的斜率为1−(−1)2−0=1,故34<k<1.9.解析(1)由f(x)=13x3-x2+3ax,得f'(x)=x2-2x+3a,由f(x)在x=-1时有极值,可得f'(-1)=1+2+3a=0,解得a=-1.经检验,当a=-1时,f(x)有极值.所以a的值为-1.(2)不妨设在直线x=1上存在一点P(1,b),使得过点P至少有两条直线与曲线y=f(x)相切.设过点P且与y=f(x)相切的直线为l,切点坐标为(x0,y0),则切线l的方程为y-13x03+x02-3ax0=(x02-2x0+3a)(x-x0),又直线l过点P(1,b),所以b-13x03+x02-3ax0=(x02-2x0+3a)(1-x0),即23x03-2x02+2x0-3a+b=0,设g(x)=23x3-2x2+2x-3a+b,则g'(x)=2x2-4x+2=2(x-1)2≥0,所以g(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增,所以g(x)=0至多有一个解,即过点P且与y=f(x)相切的直线至多有一条,故在直线x=1上不存在点P,使得过P至少有两条直线与曲线y=f(x)相切.10.解析(1)由f(x)=xln x-2ax2+x,得f'(x)=ln x-4ax+2.∵f(x)在(0,+∞)上单调递减,∴f'(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,即4a≥lnxx +2x在(0,+∞)上恒成立.令g(x)=lnxx +2 x ,则g'(x)=-1-lnxx2.令g'(x)=0,得x=1e.当0<x<1e 时,g'(x)>0,即g(x)在(0,1e )上为增函数;当x>1e 时,g'(x)<0,即g(x)在(1e ,+∞)上为减函数. ∴g(x)的最大值为g (1e )=e,∴a ∈[e4,+∞).(2)证明:若函数f(x)的两个极值点分别为x 1,x 2, 则f'(x)=0在(0,+∞)内有两个根x 1,x 2,由(1)知0<a<e4.由{ln x 1-4ax 1+2=0,ln x 2-4ax 2+2=0,两式相减, 得ln x 1-ln x 2=4a(x 1-x 2).不妨设0<x 1<x 2,要证明x 1+x 2>12a ,只需证明x 1+x 24a(x 1-x 2)<12a(ln x 1-ln x 2).即证明2(x 1-x 2)x 1+x 2>ln x 1-ln x 2,即证明2(x1x 2-1)x 1x 2+1>ln x 1x 2.令x 1x 2=t,函数h(t)=2(t -1)t+1-ln t,0<t<1,则h'(t)=-(t -1)2t(t+1)<0,即函数h(t)在(0,1)内单调递减. ∴当t ∈(0,1)时,有h(t)>h(1)=0, ∴2(t -1)t+1>ln t.即不等式2(x1x 2-1)x 1x 2+1>ln x1x 2成立.综上,得x 1+x 2>12a.迁移创新11.解析 (1)由题意得, f'(x)=ax +b=a+bx x,x>0.∵函数f(x)=aln x+bx+c(a ≠0)有极小值,∴b>0,a<0, f(x)的极小值点为-ab .(2)证明:由(1)知,m=f (-ab ),m+a-4ac -b 24a =f (-ab)+a-4ac -b 24a=aln (-a b )-a+c+a-c+b 24a=aln (-ab )+b 24a=a [ln (-a b )+14(b a )2]. 令-a b=t,g(t)=ln t+14t 2,t>0,则g'(t)=1t -12t 3=2t 2-12t 3.令g'(t)=0,得t=√22(负值舍去),∴g(t)在(0,√22)上单调递减,在(√22,+∞)上单调递增.∴g(t)≥g (√22)=ln (√22)+12>0.∵a<0,∴ag(t)<0,∴m+a<4ac -b 24a.解题模板 利用构造法解决含有两个变量的不等式问题时,常将两个变量化为同一形式,设此形式为新的变量,通过换元构造一个新的函数,进而解决问题.如本题中:aln (-ab )+b 24a =a [ln (-ab )+14(b a )2],将两变量a 、b化为-ab 的形式,构造函数解决问题.。
新教材人教A版高中数学选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用 精品教学课件(338页)
x0之间的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系为 ( )
A.k1>k2
B.k1<k2
C.k1=k2
D.不确定
【解析】选D.k1= f（x
0＋x） x
f（x
0）
=（x
0
x）2
x
2 0
x
=2x0+Δx,
k2=f（x0）
f（x0 x
x）
=
x
2 0
（x0
x）2
x
=2x0-Δx.因为Δx可大于零也可小于零,所以k1与k2的大小不确定.
(2)×.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
y f（x2） f（x1）公式中Δx与Δy
x
x2 x1
可能同号,也可能异号.
(3)×.物体在某一时刻t的瞬时速度是当Δt➝0时,平均速度的极限.
2.某物体的位移公式为s=s(t),从t0到t0+Δt这段时间内下列理解正确的 是( )
A.(t0+Δt)-t0称为函数值增量 B.t0称为函数值增量 C.Δs=s(t0+Δt)-s(t0)称为函数值增量 D. s 称为函数值增量
x0
x
＝ lim（[ x）2＋3x x0
20.＋3x
0
x
]＝3x
2 0
因为k=3,所以3x20=3,得x0=1或x0=-1,
所以y0=1或y0=-1.
所以点P的坐标为(-1,-1)或(1,1).
2.在抛物线y=x2上求一点P,使在该点处的切线垂直于直线2x-6y+5=0.
【解析】设点P的坐标为(x0,y0),
度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是 ( )
A.-3
高中数学第五章一元函数的导数及其应用5-3-1函数的单调性新人教版选择性必修第二册
令 m(x)= − =
-
-1,∵1≤x≤4,
∴m(x)max=m(4)=-.∴a≥-.
四 导函数与原函数的图象
4.(1)设函数f(x)在定义域内可导,f(x)的图象如图所示,则导
函数f'(x)的图象可能为( D )
(2)已知函数y=f(x)的图象
是下列四个图象之一,且其
- ≤ ,
'(-) ≤ ,
∴
即
'() ≤ ,
- ≤ ,
∴a≥3.即a的取值范围是[3,+∞).
3.(变条件)若函数f(x)=x3-ax-1在区间(-1,1)内不单调,求a的
取值范围.
解:∵f(x)=x3-ax-1,∴f'(x)=3x2-a.
由题意可知a>0.
由 f'(x)=0,得 x=±
取值范围,提升逻辑推理核心素养.
知识概览
课前•基础认知
1.函数的单调性与导数的关系
一般地,函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如
下关系:
在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)
内 单调递增 ;
在某个区间(a,b)内,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)
5.3
导数在研究函数中的应用
5.3.1 函数的单调性
素养·目标定位
课前·基础认知
课堂·重难突破
随堂训练
素养•目标定位
目标素养
1.结合实例,直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系,提
升直观想象和逻辑推理核心素养.
5.3.1 函数的单调性 【新人教A版数学】选择性必修第二册
结合定义域求出单调区间.
第五章 一元函数的导数及其应用
解析 (1)由题意知f'(x)=ax-(2a+1)+ 2 (x>0).
x
由f'(1)=f'(3),得a-(2a+1)+2=3a-(2a+1)+ 2 ,
3
解得a= 2 .
3
(2)由(1)知f'(x)= (ax-1)(x-2) (x>0).
x
①当a≤0时,∵x>0,∴ax-1<0,
故f(x)的单调递增区间是
0,
1 a
和(2,+∞),单调递减区间是
1 a
,2
.
综上,当a≤0时,f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞);
当0<a<
1 2
时,f(x)的单调递增区间是(0,2)和
1 a
,,单调递减区间是源自2,1 a;
当a= 1 时,f(x)的单调递增区间是(0,+∞),无单调递减区间;
3|已知函数的单调性求参数的取值范围
1.可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减)的充要条件是f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)上恒 成立,且f'(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒等于0. 2.已知f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数的取值范围的方法: (1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,则区间(a,b)是相应 单调区间的子集; (2)利用不等式恒成立处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,则f'(x)≥0(f'(x)≤0)在 (a,b)内恒成立,注意验证等号是否取到.
新教材2025版高中数学第五章一元函数的导数及其应用5
5．3.2 函数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值【课标解读】1.了解极大值、微小值的概念．2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．3．会用导数求函数的极大值、微小值．新知初探·课前预习——突出基础性【教材要点】要点一函数极值❶的定义1．微小值点与微小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a旁边其他点的函数值都小，f′(a)＝________，而且在点x＝a旁边的左侧__________________，右侧________________，就把________叫做函数y＝f(x)的微小值点，________叫做函数y＝f(x)的微小值．2．极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b旁边其他点的函数值都大，f′(b)＝________，而且在点x＝b旁边的左侧________________，右侧________________，就把________叫做函数y＝f(x)的极大值点，________叫做函数y＝f(x)的极大值．3．极大值点、微小值点统称为极值点❷；极大值、微小值统称为________．批注❶(1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它旁边点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值．(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或微小值可以不止一个．(3)函数的极大值与微小值之间无确定的大小关系．(4)函数的极值点肯定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．(5)单调函数肯定没有极值．批注❷可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不肯定是极值点，即“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f′(x0)＝0”的充分不必要条件．要点二求函数y＝f(x)极值的方法一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是：解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)假如在x0旁边的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是________；(2)假如在x0旁边的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是________．【夯实双基】1.推断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数的极大值肯定大于其微小值．( )(2)导数为0的点肯定是极值点．( )(3)函数y＝f(x)肯定有极大值和微小值．( )(4)函数的极值点是自变量的值，极值是函数值．( )2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有微小值点( )A．1个B．2个C．3个D．4个3．函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则( )A．x＝为f(x)的极大值点B．x＝－2为f(x)的极大值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝0为f(x)的微小值点4．已知函数f (x) ＝x3－3x2＋2 ，则函数f (x) 的极大值为________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型1 极值的图象特征例1 (多选)[2024·河北邢台·高二期末]若函数f(x)的导函数的部分图象如图所示，则( )A．x1是f(x)的一个极大值点B．x2是f(x)的一个微小值点C．x3是f(x)的一个极大值点D．x4是f(x)的一个微小值点[听课记录]【方法总结】依据导函数图象推断极值点、极值的方法严格依据极值点、极值的定义，视察图象与x轴的交点，若在交点的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则交点是极大值点，函数值是极大值；若在交点的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则交点是微小值点，函数值是微小值；若不符合以上两点就不是极值点，也就没有极值．巩固训练1 [2024·山东济宁高二期中]如图是函数y＝f(x)(x∈R)的导函数f′(x)的图象，下列说法正确的是( )A．x＝2是函数y＝f(x)的极大值点B．x＝－2是函数y＝f(x)的零点C．函数y＝f(x)在区间(－2，－1)上单调递减D．函数y＝f(x)在区间[－2，2]上存在微小值题型2 求函数的极值例2 求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；(2)f(x)＝.[听课记录]【方法总结】求可导函数f(x)极值的一般步骤巩固训练2 求下列函数的极值：(1)y＝2x＋；(2)y＝x3(x－5)2.题型3 已知函数的极值求参数值或范围例3 (1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝( )A．4或－3 B．4或－11C．4 D．－3(2)[2024·山东聊城高二期中]设函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)e x(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)的一个极值点，则下列结论肯定正确的是( )A．2a＋b＝0 B．a－c＝0C．2a－b＝0 D．b≠0(3)函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a>0)在(－∞，＋∞)上无极值，求实数a的取值范围．[听课记录]【方法总结】已知函数极值求参数的方法巩固训练3 (1)[2024·河北石家庄二中高二期中]若函数y＝－x3＋3x2＋m的极大值等于9，则实数m等于( )A．5 B．9C．－5 D．9(2)已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，则实数m的取值范围为________．5．3.2 函数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值新知初探·课前预习[教材要点]要点一1．0 f′(x)<0 f′(x)>0 a f(a)2．0 f′(x)>0 f′(x)<0 b f(b)3．极值要点二极大值微小值[夯实双基]1．(1)×(2)×(3)×(4)√2．解析：由导函数f′(x)在区间(a，b)内的图象可知，函数f′(x)在(a，b)内的图象与x轴有四个公共点，在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右其次个点处导数左负右正，在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负，所以函数f(x)在开区间(a，b)内的微小值点有1个．故选A.答案：A3．解析：由f′(x)的图象可知，f(x)在(－∞，－2)和(，2)上单调递减，在(－2，)和(2，＋∞)上单调递增，所以x＝为f(x)的极大值点，x＝－2和x＝2为f(x)的微小值点，x＝0不是函数的极值点．故选A.答案：A4．解析：∵f(x)＝x3－3x2＋2，∴f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，解得：x1＝0，x2＝6.x (－∞，0)0(0，6)6(6，＋∞)f′(＋0－0＋x)f(x)↗极大值↘微小值↗所以当x＝0时，函数f(x)取得极大值，即函数f(x)的极大值为f(0)＝2.答案：2题型探究·课堂解透例1 解析：对于A选项，由图可知，在x1左右两侧，函数f(x)左增右减，x1是f(x)的一个极大值点，A正确．对于B选项，由图可知，在x2左右两侧，函数f(x)左减右增，x2是f(x)的一个微小值点，B正确．对于C选项，由图可知，在x3左右两侧，函数f(x)单调递增，x3不是f(x)的一个极值点，C错误．对于D选项，由图可知，在x4左右两侧，函数f(x)左增右减，x4是f(x)的一个极大值点，D错误．故选AB.答案：AB巩固训练1 解析：由f′(x)的图象可知，当x＝－1，x＝2时，f′(x)＝0，又因为当x∈(－∞，2)时，f′(x)>0，当x∈[2，＋∞)时，f′(x)≤0，所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．对于A，f(x)在x＝2处取得极大值，无微小值，故A正确；对于B，由f′(x)图象无法推断零点的个数，x＝－2不肯定是零点，故B错误；对于C，函数y＝f(x)在(－2，－1)上单调递增，故C错误；对于D，函数f(x)在x＝2处取得极大值，无微小值，故函数f(x)在[－2，2]上无微小值，故D错误．故选A.答案：A例2 解析：(1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.当x改变时，f′(x)，f(x)的改变状况如下表：x (－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)f′(＋0－0＋x)f(x)单调递增10单调递减－22单调递增因此，x＝－1是函数的极大值点，极大值为f(－1)＝10；x＝3是函数的微小值点，微小值为f(3)＝－22.(2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝.令f′(x)＝0，得x＝e.当x改变时，f′(x)，f(x)的改变状况如下表：x (0，e)e(e，＋∞)f′(＋0－x)f(x)单调递增单调递减因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝，函数f(x)没有微小值．巩固训练2 解析：(1)函数的定义域为x∈R且x≠0，又y′＝2－.令y′＝0，得x＝±2.当x改变时，y′，y的改变状况如表：x (－∞，－2)－2(－2，0)0(0，2)2(2，＋∞) y′＋0－－0＋y ↗极大值↘↘微小值↗因此当x＝－2时，y极大值＝－8，当x＝2时，y微小值＝8.(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)＝5x2(x－3)(x－5)．令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0，解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.当x改变时，y′与y的改变状况如下表：x (－∞，0)0(0，3)3(3，5)5(5，＋∞) y′＋0＋0－0＋y ↗无极值↗极大值108 ↘微小值0 ↗∴x＝0不是y的极值点；x＝3是y的极大值点，y极大值＝f (3)＝108；x＝5是y的微小值点，y微小值＝f (5)＝0.例3 解析：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意得即解得或但由于当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故f(x)在R上单调递增，不行能在x＝1处取得极值，所以不符合题意，应舍去．而当时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，－11.故选C.(2)∵f(x)＝(ax2＋bx＋c)e x，∴f′(x)＝[ax2＋(2a＋b)x＋b＋c]e x，∵x＝－1为函数f(x)的一个极值点，∴f′(－1)＝0，即：[a·(－1)2＋(2a＋b)·(－1)＋b＋c]e－1＝0，∵e－1≠0，∴a－c＝0.故选B.(3)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，则f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f′(x)＝3ax2－4x＋1≥0或f′(x)＝3ax2－4x＋1≤0恒成立．因为a>0，所以f′(x)＝3ax2－4x＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，则有Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0.解得a≥，故实数a的取值范围是[，＋∞)．答案：(1)C (2)B (3)见解析巩固训练3 解析：(1)y′＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)，当0<x<2时，y′>0，当x<0或x>2时，y′<0，即函数y＝－x3＋3x2＋m在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减，在(0，2)上单调递增，即函数y＝－x3＋3x2＋m在x＝2处取得极大值，即－8＋12＋m＝9，m＝5.故选A.(2)f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.因为函数f(x)在区间(1，＋∞)内有两个极值点，所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示．所以解得m>3.故实数m的取值范围是(3，＋∞)．答案：(1)A (2)(3，＋∞)。
高中数学 第5章 一元函数的导数及其应用 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 第1课时 函数
5.3.2 函数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值与导数学习目标核心素养1.了解极大值、极小值的概念．(难点)2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．(重点、易混点)3．会用导数求函数的极大值、极小值．(重点)1.通过极值点与极值概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．借助函数极值的求法，提升学生的逻辑推理、数学运算的核心素养.“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”．请同学们思考：“山势有什么特点？”由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”．这就是我们这节课研究的函数的极值．1．极值点与极值(1)极小值点与极小值若函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，就把点a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值．(2)极大值点与极大值若函数y＝f (x)在点x＝b的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，就把点b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．思考：导数为0的点一定是极值点吗？[提示]不一定，如f (x)＝x3，f ′(0)＝0，但x＝0不是f (x)＝x3的极值点．所以，当f ′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f (x)的极值点，还要看f ′(x)在x0两侧的符号是否相反．2．求可导函数y＝f (x)的极值的方法解方程f ′(x)＝0，当f ′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，那么f (x0)是极小值．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)极大值一定比极小值大．( )(2)每一个函数都至少有一个极大值或极小值．( )(3)若f ′(x0)＝0，则x0一定是极值点．( )(4)单调函数不存在极值．( )[提示](1)极大值不一定比极小值大，∴(1)错误；(2)有的函数可能没有极值．∴(2)错；(3)若f ′(x0)＝0，只有导函数的变号零点，x0才是极值点，故(3)错误；(4)正确．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．函数f (x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)( )A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点C[设y＝f ′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f (x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．]3．(多选题)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的函数是( )A．y＝x3B．y＝x2＋1C．y＝|x| D．y＝2xBC[对于A，y′＝3x2≥0，∴y＝x3单调递增，无极值；对于B，y′＝2x，x＞0时y′＞0，x＜0时y′＜0，∴x＝0为极值点；对于C，根据图象，在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，∴C 符合；对于D ，y ＝2x单调递增，无极值．故选BC.]4．函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的极大值点为( )A ．0B ．π6C ．π3D ．π2B [f ′(x )＝1－2sin x ．令f ′(x )＝0，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x ＝π6，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2时f ′(x )＜0，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π6时，f ′(x )＞0.∴x ＝π6是f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的极大值点．]不含参数的函数求极值(1)y ＝x 3－3x 2－9x ＋5； (2)y ＝x 3(x －5)2.[解] (1)∵y ′＝3x 2－6x －9，令y ′＝0，即3x 2－6x －9＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3. 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1，3) 3 (3，＋∞)y ′ ＋ 0 － 0 ＋ y↗极大值↘极小值↗当x ＝3时，函数y ＝f (x )有极小值，且f (3)＝－22. (2)y ′＝3x 2(x －5)2＋2x 3(x －5) ＝5x 2(x －3)(x －5)．令y ′＝0，即5x 2(x －3)(x －5)＝0，解得x 1＝0，x 2＝3，x 3＝5.当x 变化时，y ′与y 的变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0，3) 3 (3，5) 5 (5，＋∞)y ′ ＋ 0 ＋ 0 － 0 ＋ y↗无极↗极大值↘极小值0↗值108∴x ＝0不是y 的极值点；x ＝3是y 的极大值点，y 极大值＝f (3)＝108； x ＝5是y 的极小值点，y 极小值＝f (5)＝0.一般地，求函数y ＝fx 的极值的步骤1求出函数的定义域及导数f ′x ； 2解方程f ′x ＝0，得方程的根x 0可能不止一个；3用方程f ′x＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x ，f ′x ，f x 在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；4由f ′x 在各个开区间内的符号，判断f x在f ′x ＝0的各个根处的极值情况：如果左正右负，那么函数f x 在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么函数fx 在这个根处取得极小值；如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点.[跟进训练]1．求函数f (x )＝3x 3－3x ＋1的极值． [解] f ′(x )＝9x 2－3， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－33，x 2＝33. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－33－33⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，3333 ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗根据上表可知x 1＝－33为函数f (x )＝3x 3－3x ＋1的极大值点，极大值为f ⎛⎪⎫－3＝1＋233； x 2＝33为函数f (x )＝3x 3－3x ＋1的极小值点，极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫33＝1－233.含参数的函数求极值【例2】 已知函数f (x )＝16x 3－20ax 2＋8a 2x －a 3，其中a ≠0，求f (x )的极值． [思路探究] 求导―→解f ′x ＝0―→比较极值点大小 ―→进行讨论求极值[解] ∵f (x )＝16x 3－20ax 2＋8a 2x －a 3，其中a ≠0，∴f ′(x )＝48x 2－40ax ＋8a 2＝8(6x 2－5ax ＋a 2)＝8(2x －a )(3x －a )， 令f ′(x )＝0，得x 1＝a 2，x 2＝a3.①当a ＞0时，a 3＜a2，则随着x 的变化，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3 a3⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 2a2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝a3时，函数f (x )取得极大值，为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝a327；当x ＝a2时，函数f (x )取得极小值，为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝0. ②当a ＜0时，a 2＜a3，则随着x 的变化，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 2 a2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 3a3⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝a2时，函数f (x )取得极大值，为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝0；当x ＝a3时，函数f (x )取得极小值，为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝a327.综上，当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 3处取得极大值a 327，在x ＝a2处取得极小值0；当a ＜0时，函数f (x )在x ＝a 2处取得极大值0，在x ＝a 3处取得极小值a 327.函数极值的注意点1求函数的极值需严格按照求函数极值的步骤进行，重点考虑两个问题：一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内，如果不在定义域内，需要舍去；二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点，否则不是极值点.2求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题.讨论的依据有两种：一是看参数是否对f ′x 的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f ′x 在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论.[跟进训练]2．若函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )，求函数f (x )的极值． [解] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x ＝x －ax.(1)当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，函数f (x )无极值． (2)当a ＞0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝a .当0＜x ＜a 时，f ′(x )＜0；当x ＞a 时，f ′(x )＞0.∴f (x )在x ＝a 处取得极小值，且f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．由极值求参数的值或取值范围322A ．4或－3B ．4或－11C ．4D ．－3(2)若函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 没有极值，则( )A ．a ＝－1B ．a ≥0C ．a ＜－1D ．－1＜a ＜0[思路探究] (1)由f ′(1)＝0且f (1)＝10.求解a ，b ，注意检验极值的存在条件． (2)求导分解因式主要对参数分类讨论．(按根的大小)(1)C (2)A [(1)∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝3＋2a ＋b ＝0，f 1＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3，a ＋b ＋a 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11，当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝3，时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，故函数f (x )单调递增，无极值，不符合题意．∴a ＝4.故选C.(2)f ′(x )＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a x＋1，x ＞0，当a ≥0时，a x＋1＞0，令f ′(x )＜0，得0＜x ＜1； 令f ′(x )＞0，得x ＞1.f (x )在x ＝1处取极小值． 当a ＜0时，方程a x＋1＝0必有一个正数解x ＝－a ，①若a ＝－1，此正数解为x ＝1，此时f ′(x )＝x －12x≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值．②若a ≠－1，此正数解为x ≠1，f ′(x )＝0必有2个不同的正数解，f (x )存在2个极值．综上，a ＝－1.故选A.]已知函数极值求参数的方法对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号.1已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤： ①求函数的导数f ′x ；②由极值点的导数值为0，列出方程组，求解参数. 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件. 2对于函数无极值的问题，往往转化为f ′x ≥0或f ′x ≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立.[跟进训练]3．若x ＝2是函数f (x )＝x (x －m )2的极大值点，求函数f (x )的极大值．[解] ∵f ′(x )＝(x －m )(3x －m )，且f ′(2)＝0， ∴(m －2)(m －6)＝0，即m ＝2或m ＝6. (1)当m ＝2时，f ′(x )＝(x －2)(3x －2)， 由f ′(x )＞0得x ＜23或x ＞2；由f ′(x )＜0得23＜x ＜2.∴x ＝2是f (x )的极小值点，不合题意，故m ＝2舍去． (2)当m ＝6时，f ′(x )＝(x －6)(3x －6)， 由f ′(x )＞0得x ＜2或x ＞6； 由f ′(x )＜0得2＜x ＜6.∴x ＝2是f (x )的极大值，∴f (2)＝2×(2－6)2＝32. 即函数f (x )的极大值为32.极值问题的综合应用1．如何画出函数f (x )＝2x 3－3x 2－36x ＋16的大致图象．[提示] f ′(x )＝6x 2－6x －36＝6(x 2－x －6)＝6(x －3)(x ＋2)． 由f ′(x )＞0得x ＜－2或x ＞3，∴函数f (x )的递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞)． 由f ′(x )＜0得－2＜x ＜3， ∴函数f (x )的递减区间是(－2，3)．由已知得f (－2)＝60，f (3)＝－65，f (0)＝16.∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f (x )大致图象如图所示． 2．当a 变化时，方程2x 3－3x 2－36x ＋16＝a 有几解？[提示] 方程2x 3－3x 2－36x ＋16＝a 解的个数问题可转化为函数y ＝a 与y ＝2x 3－3x 2－36x ＋16的图象有几个交点的问题，结合探究点1可知：(1)当a ＞60或a ＜－65时， 方程2x 3－3x 2－36x ＋16＝a 有且只有一解； (2)当a ＝60或a ＝－65时，方程2x 3－3x 2－36x ＋16＝a 有两解； (3)当－65＜a ＜60时，方程2x 3－3x 2－36x ＋16＝a 有三解．【例4】 已知函数f (x )＝x 3－3x ＋a (a 为实数)，若方程f (x )＝0有三个不同实根，求实数a 的取值范围．[思路探究] 求出函数的极值，要使f (x )＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a 的取值范围．[解] 令f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x <－1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0.所以当x ＝－1时，f (x )有极大值f (－1)＝2＋a ； 当x ＝1时，f (x )有极小值f (1)＝－2＋a . 因为方程f (x )＝0有三个不同实根，所以y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，如图．由已知应有⎩⎪⎨⎪⎧2＋a >0，－2＋a <0，解得－2<a <2，故实数a 的取值范围是(－2，2)．1．(改变条件)本例中，若方程f (x )＝0恰有两个根，则实数a 的值如何求解？ [解] 由例题知，函数的极大值f (－1)＝2＋a ，极小值f (1)＝－2＋a ， 若f (x )＝0恰有两个根，则有2＋a ＝0，或－2＋a ＝0， 所以a ＝－2或a ＝2.2．(改变条件)本例中，若方程f (x )＝0有且只有一个实根，求实数a 的范围． [解] 由例题可知，要使方程f (x )＝0有且只有一个实根， 只需2＋a ＜0或－2＋a ＞0， 即a ＜－2或a ＞2.3．(变条件、变结论)讨论方程ln xx＝a 的根的情况．[解] 令f (x )＝ln x x ，则定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ln xx2. 令f ′(x )＝0，得x ＝e.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：x (0，e) e (e ，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － f (x )↗1e↘因此，x ＝e 是函数f (x )的极大值点，极大值为f (e)＝1e ，函数f (x )没有极小值点．其图象如图．∴当0＜a ＜1e 时，ln xx ＝a 有两个不同的根；当a ＝1e 或a ≤0时，ln xx ＝a 只有一个根；当a ＞1e 时，ln x x＝a 没有实数根．利用导数求函数零点的个数1利用导数可以判断函数的单调性； 2研究函数的极值情况；3在上述研究的基础上突出函数的大致图象；4直观上判断函数的图象与x 轴的交点或两个图象的交点的个数.若含有参数，则需要讨论极值的正负.1．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．2．已知函数的极值情况，逆向应用确定函数的解析式，研究函数性质时，需注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为函数在一点的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证极值点的合理性．3．已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y＝g(x)，y＝h(x)的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y＝a，y＝g(x)的图象的交点个数问题．1．函数f (x)的定义域为R，它的导函数y＝f ′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是( )A．在(1，2)上函数f (x)为增函数B．在(3，4)上函数f (x)为减函数C．在(1，3)上函数f (x)有极大值D．x＝3是函数f (x)在区间[1，5]上的极小值点D[由题图可知，当1＜x＜2时，f ′(x)＞0，当2＜x＜4时，f ′(x)＜0，当4＜x＜5时，f ′(x)＞0，∴x＝2是函数f (x)的极大值点，x＝4是函数f (x)的极小值点，故A，B，C正确，D 错误．]2．设函数f (x)＝x e x，则( )A．x＝1为f (x)的极大值点B．x＝1为f (x)的极小值点C．x＝－1为f (x)的极大值点D．x＝－1为f (x)的极小值点D [令f ′(x )＝e x ＋x ·e x ＝(1＋x )e x ＝0，得x ＝－1.当x ＜－1时，f ′(x )＜0；当x ＞－1时，f ′(x )＞0.故当x ＝－1时，f (x )取得极小值．]3．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－1)∪(2，＋∞) [f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，∵函数f (x )既有极大值又有极小值，∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)＞0，即a 2－a －2＞0，解得a ＞2或a ＜－1.]4．已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －x e，则函数f (x )的极大值为________． 2ln 2 [f ′(x )＝2e f ′e x －1e ，故f ′(e)＝2e f ′e e －1e， 解得f ′(e)＝1e ，所以f (x )＝2ln x －x e ，f ′(x )＝2x －1e. 由f ′(x )＞0得0＜x ＜2e ，f ′(x )＜0得x ＞2e.所以函数f (x )在(0，2e)单调递增，在(2e ，＋∞)单调递减，故f (x )的极大值为f (2e)＝2ln 2e －2＝2ln 2.]。
高中数学第5章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.2第3课时导数在函数有关问题
第3课时导数在函数有关问题及实际生活中的应用学习目标核心素养1.能用导数解决函数的零点问题．2．体会导数在解决实际问题中的作用．3．能利用导数解决简单的实际问题．(重点、难点）1。
借助用导数解决函数的零点问题，培养直观想象的核心素养．2．通过学习用导数解决生活中的优化问题,培养数学建模的核心素养．3．借助实际问题的求解,提升逻辑推理及数学运算的核心素养.学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左右两边各空1 dm。
如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？1．函数图象的画法函数f (x)的图象直观地反映了函数f (x)的性质．通常,按如下步骤画出函数f (x)的图象：(1）求出函数f （x）的定义域;（2)求导数f ′（x)及函数f ′(x）的零点；(3)用f ′（x）的零点将f （x)的定义域划分成若干个区间，列表给出f ′（x）在各区间上的正负,并得出f （x）的单调性与极值；(4)确定f （x）的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；(5)画出f （x）的大致图象．2．用导数解决优化问题的基本思路思考：解决生活中优化问题应注意什么？[提示]（1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域．（2)求实际问题的最大(小）值时,一定要从问题的实际意义去考查,不符合实际意义的应舍去,如：长度、宽度应大于0,销售价为正数等．1．判断正误（正确的打“√"，错误的打“×”）(1)用导数研究实际问题要先求定义域．（）(2）方程x e x＝2有两个不相等的实数根．(）（3）做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为4 m．()［提示］（2）令y＝x e x，，则y′＝e x（x＋1）．由于x＞－1时，y′＞0,x＜－1时，y′＜0。
∴x＝－1时y＝x e x取到最小值－错误!。
新教材人教A版选择性必修第二册高中数学第五章一元函数的导数及其应用 精品教学课件
2．(2019·宜昌联考)已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x
＋x2，则f′(2)＝
(C)
12－8ln 2 A. 1－2ln 2
2 B.1－2ln 2
4 C.1－2ln 2
D．－2
解析：因为f′(x)＝f′(1)·2xln 2＋2x，所以f′(1)＝f′(1)·
2ln 2＋2，解得f′(1)＝1－22ln 2，所以f′(x)＝1－22ln 2·2xln 2
解析：∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.
5．曲线y＝1－x＋2 2在点(－1，－1)处的切线方程为 _2_x_－__y_＋__1_＝__0___． 解析：∵y′＝x＋2 22，∴y′|x＝－1＝2. 故所求切线方程为2x－y＋1＝0.
考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f(x)＝ex
f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)
f(x)＝ln x
导函数 f′(x)＝n·xn－1 f′(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f′(x)＝axln a
f′(x)＝ex f′(x)＝xln1 a
f′(x)＝1x
3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝ lim Δx→0
fx＋ΔΔxx－fx为f(x)
的导函数．
(4)f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常 数)，[f′(x0)]′＝0.
2．基本初等函数的导数公式 原函数
f(x)＝xn(n∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x
第五章一元函数的导数及其应用-高二数学(人教A版选择性必修第二册)课件
lim
Δt→0
Δt
.
注意点：Δt可正，可负，但不能为0.
十一、本章知识梳理
1.抛物线的切线：设P0是抛物线上一定点，P是抛物线上的动点， 当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置， 这个确定位置的直线P0T称为抛物线在点P0处的切线. 2.切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标 间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线PP0无限趋 近于点P0处的切线P0T，这时，割线PP0的斜率k无限趋近于点P0 处的切线P0T的斜率k0.
注意点：极限的几何意义：曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率.
十一、本章知识梳理
1.平均变化率
对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)
变化到f(x0＋Δx).这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0).
fx0＋Δx－fx0
过求函数的导数、解不等式等数学运算来判断函数的单调性，求函数的极值和最大(小)值.
能借助函数的图象直观认识函数的单调性与导数的正负之间的关系，能利用导数画出简单函数 直观想象
的图象，并由图象进一步认识函数的性质.
数学建模 能借助导数提升对函数模型的认识；能合理选择函数模型，解决增长率和优化等实际问题.
十一、本章知识梳理
基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα，(α∈R，且α≠0)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax (a>0，且a≠1)
导函数 f′(x)＝_0__ f′(x)＝αxα－1 f′(x)＝_c_o_s_x_ f′(x)＝_－__s_in__x_ f′(x)＝_a_x_ln__a_
导数在研究函数中的应用(课时2 函数的极值)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
（1）对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号． 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
（2）对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为 或 在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
随堂检测·精评价
已知 ， 的图象如图所示．
1.函数 在 ， 上的单调性与导数的符号有何特点？
[答案] 在 上单调递增，其导数值大于零，在 上单调递减，其导数值小于零．
预学忆思
自主预习·悟新知
2.观察 的图象，在区间 内，函数值 有何特点？它是极大值吗？
巩固训练
（2） ．
[解析] 函数 的定义域为 ， 且 ， 令 ，解得 ． 当 变化时， 与 的变化情况如表所示：
+
0
-
↗
↘
故当 时，函数 取得极大值，且极大值为 ．
探究2 求含参函数的极值
例2 已知函数 ，求函数 的极值.
情境设置
合作探究·提素养
问题1：观察下列图形，函数 在 ， ， ， ， ， 等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？
[答案] 以 ， 两点为例，函数 在点 处的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都小，函数 在点 处的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都大.
D
[解析] 对 求导得 ，令 ，解得 ，易知 是函数 的极小值点．
4.已知函数 的极大值为10，则 的值为_____．
8
[解析] ，令 ，解得 ， ，经判断知 是极大值点，故 ，解得 ．
第五章一元函数的导数及其应用章末小结课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
第五章 导数
本章内容
5.1 变化率与导数 5.2 导数的计算 5.3 导数在研究函数中的应用 5.4 生活中的优化问题举例
知识梳理
1. 平均变化率与瞬时变化率
(1) 平均变化率:
f x
f
(
x2) x2
f( x1
x1)
| |
BC AB
| |
.
y
f(x2)
C yf(x)
f(x1) A x2x1
P
(2) 导数为正, 函数增; 导数为负, 函数减.
f(x0) P0
Q
o
x0 x0x x
(3) 导数的绝对值大时, 函数增减变化快, 图象陡峭; 导数绝对值小时,
函数增减变化慢, 图象较平缓.
(4) 运动函数的导数是瞬时速度, 速度函数的导数是加速度.
5. 导数运算法则
4. 基本初等函数的导数公式
解: f(x)6x212x. 解 6x212x≥0 得 x≤0, 或 x≥2.
f(x) 在 x0 处有极大值, 在 x2 处有极小值.
∴在 [2, 2] 上的最大值是 f(0)m, ∴m3. 在 [2, 2] 上的最小值是 f(2) 或 f(2). f(2)2(2)36(2)2+3 37.
f(2)2236223 5. ∴最小值应是 37.
则 f (x)nxn1;
(x)cos x; (3) (x) sin x;
f (x) g( x)
f (x)g(x) f (x)g(x) [ g( x)]2
(g(x) 0).
(5) 若 f(x)ax, 则 f (x)ax lna;
6. 复合函数的导数
(6) 若 f(x)ex, 则 f (x)ex;
2023新教材高中数学第5章一元函数的导数及其应用简单复合函数的导数课件新人教A版选择性必修第二册
由 y＝x3 得 y′＝3x2． ∴k＝y′|x＝1＝3．又 x＝1 时 y＝1． ∴所求切线方程为 y－1＝3(x－1)，即 3x－y－2＝0．
03
学习效果·课堂评估夯基础
1．设函数 f(x)＝ln 2x＋2e，则 f ′(1)＝( )
A．12
B．1
C．12－2e
D．1－2e
B [f ′(x)＝1x，则 f ′(1)＝1．故选 B．]
首先分清函数的结构构成及复合函数的复合关系，再合理按顺序 求导．
[解] (1)y＝cos4x－sin4x ＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝cos 2x， ∴y′＝(cos 2x)′＝－2sin 2x．
(2)∵(ln 3x)′＝31x×(3x)′＝1x．
∴y′＝ln
3x′ex－ln ex2
类型 3 导数运算法则的综合应用
【例 3】 (1)曲线 y＝ln(2x－1)上的点到直线 2x－y＋3＝0 的最
短距离是( )
A． 5
B．2 5
C．3 5
D．0
(2)设曲线 y＝eax 在点(0,1)处的切线与直线 x＋2y＋1＝0 垂直，求
a 的值．
(1)曲线上离直线 2x－y＋3＝0 最近的点一定是与 2x－y＋3＝0 平行且与曲线 y＝ln(2x－1)相切的直线的切点．
(3)如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的导数值等于切线 的斜率，这是求切线方程最重要的条件．
(4)与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的 切线与曲线的公共点不一定只有一个．
[跟进训练] 3．已知函数 f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，f ′(x)是 f(x)的导函数，且 a＝f ′π4，求曲线 y＝x3 在 x＝a 处的切线方程． [解] 由 f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x， 得 f ′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x， 则 a＝f ′π4＝3－2sinπ2＋2cosπ2＝1．
新教材2023高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.2函数的极值与
函数的最大(小)值
[新知探究]
情境:函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象如图所示.
【思考】
(1)观察函数的图象,图象的最高点、最低点的纵坐标分别是多少?
提示:最高点的纵坐标是 f(a),最低点的纵坐标是 f(x3).
(2)函数的最值都是在极值点处取得吗?
提示:不一定.最值有可能在区间端点处取得.
上单调递减,在区间 − , +∞ 上单调
递增,
所以在区间[0,+∞)上,f(x)min=f −
= a3.
综上所述,当 a>0 时,函数 f(x)在区间[0,+∞)上的最小值为-a3;
当 a<0 时,函数 f(x)在区间[0,+∞)上的最小值为 a3.
方法规律
1.含参数的函数最值问题的两种类型
=- .
又 f(0)=2,f(2π)=2,所以函数 f(x)在区间[0,2π]上的最小值为- ,最大值
为 +2.故选 D.
答案:D
2.求函数
f(x)= x+sin
解:f'(x)= +cos
x 在区间[0,2π]上的最大值与最小值.
x,x∈[0,2π].
令 f'(x)=0,
解得 x= 或 x= .
因为 f(0)=0,f
= + ,f
= - ,f(2π)=π,
高中数学 第五章 一元函数的导数及其应用 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 第2课时 函数
课时分层作业(十八) 函数的最大(小)值与导数(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知函数f (x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f ′(x)＜g′(x)，则f (x)－g(x)的最大值为()A．f (a)－g(a)B．f (b)－g(b)C．f (a)－g(b) D．f (b)－g(a)A[令F (x)＝f (x)－g(x)，则F ′(x)＝f ′(x)－g′(x)，又f ′(x)＜g′(x)，故F ′(x)＜0，∴F (x)在[a，b]上单调递减，∴F (x)max≤F (a)＝f (a)－g(a)．]2．已知函数f (x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m的值为()A．16B．12C．32D．6C[∵f ′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，由f (－3)＝17，f (3)＝－1，f (－2)＝24，f (2)＝－8，可知M－m＝24－(－8)＝32.]3．已知f (x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值为3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为()A．0 B．－5C．－10 D．－37D[因为f (x)＝2x3－6x2＋m，所以f ′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，可以得到函数在[－2，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数，所以当x＝0时，f (x)＝m为最大值，所以m＝3，即f (x)＝2x3－6x2＋3，所以f (－2)＝2×(－8)－6×4＋3＝－37，f (2)＝－5，所以最小值是－37，故选D.]4．函数f (x)＝x3－3x在区间(－2，m)上有最大值，则m的取值范围是() A．(－1，＋∞) B．(－1，1]C．(－1，2) D．(－1，2]D[由于f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，故函数在(－∞，－1)和(1，＋∞)上递增，在(－1，1)上递减，f (－1)＝f (2)＝2，画出函数图象如图所示，由于函数在区间(－2，m)上有最大值，根据图象可知m∈(x B，x A]，即m∈(－1，2]，故选D.]5．若函数f (x)＝2x3－6x2＋3－a对任意的x∈(－2，2)都有f (x)≤0，则a的取值范围为()A．(－∞，3) B．(2，＋∞)C．[3，＋∞) D．(0，3)C[f (x)＝2x3－6x2＋3－a，f ′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，令f ′(x)＝0，得x＝0，或x＝2.在(－2，0)上f ′(x)＞0，f (x)单调递增；在(0，2)上f ′(x)＜0，f (x)单调递减，所以f (x)max＝f (0)＝3－a.因为对任意的x∈(－2，2)都有f (x)≤0，所以f (x)max＝3－a≤0，得a≥3.故选C.]二、填空题6．函数f (x)＝x－ln x在区间(0，e]上的最小值为________．1[f ′(x)＝1－1x，令f ′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f ′(x)＜0；当x∈(1，e]时，f ′(x)＞0，∴当x＝1时，f (x)有极小值，也是最小值，最小值为f (1)＝1.]7．若函数 f (x)＝xx2＋a(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a的值为________．3－1 [f ′(x )＝x 2＋a －2x 2(x 2＋a )2＝a －x 2(x 2＋a )2. 令f ′(x )＝0，得x ＝a (x ＝－a 舍去)，若x ＝a 时，f (x )取最大值，则f (x )max ＝a 2a ＝33，a ＝32＜1，不符合题意； 若f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，则a ＝3－1，符合题意．] 8．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________． (－∞，2ln 2－2] [函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即方程e x －2x ＋a ＝0有实根，即函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，而g ′(x )＝2－e x ，易知函数g (x )＝2x －e x 在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g (x )＝2x －e x 的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，只需a ≤2ln 2－2即可．]三、解答题9．已知函数f (x )＝x 3－3ax ＋2，曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为3x ＋y ＋m ＝0.(1)求实数a ，m 的值；(2)求f (x )在区间[1，2]上的最值． [解] (1)f ′(x )＝3x 2－3a ，∵曲线f (x )＝x 3－3ax ＋2在x ＝1处的切线方程为3x ＋y ＋m ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3－3a ＝－3，f (1)＝3－3a ＝－3－m ，解得a ＝2，m ＝0. (2)由(1)知，f (x )＝x 3－6x ＋2，则f ′(x )＝3x 2－6， 令f ′(x )＝0，解得x ＝±2，∴f (x )在[1，2)上单调递减，在(2，2]上单调递增，又f (1)＝1－6＋2＝－3，f (2)＝23－6×2＋2＝－2，f (2)＝(2)3－6×2＋2＝2－42，∴f (x)在区间[1，2]上的最大值为－2，最小值为2－4 2.10．已知函数f (x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f (x)的单调递减区间；(2)若f (x)≥2 020对于∀x∈[－2，2]恒成立，求a的取值范围．[解](1)f ′(x)＝－3x2＋6x＋9.由f ′(x)<0，得x<－1或x>3，所以函数f (x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)由f ′(x)＝0，－2≤x≤2，得x＝－1.因为f (－2)＝2＋a，f (2)＝22＋a，f (－1)＝－5＋a，故当－2≤x≤2时，f (x)min＝－5＋a.要使f (x)≥2 020对于∀x∈[－2，2]恒成立，只需f (x)min＝－5＋a≥2 020，解得a≥2 025.11．(多选题)若函数f (x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的可能取值是()A．0 B．1C．2 D．3ABC[由f ′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1.当x变化时，f ′(x)及f (x)的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f ′(x)－0＋0－f (x)↘－2↗2↘由此得a2－12＜－1＜a，解得－1＜a＜11.又当x∈(1，＋∞)时，f (x)单调递减，且当x＝2时，f (x)＝－2.∴a≤2.综上，－1＜a≤2.故选ABC.]12．(多选题)设函数f (x)＝e xln x，则下列说法正确的是()A．x∈(0，1)时，f (x)图象位于x轴下方B．f (x)存在单调递增区间C．f (x)有且仅有两个极值点D．f (x)在区间(1，2)上有最大值AB[由f (x)＝e xln x，当x∈(0，1)时，ln x＜0，∴f (x)＜0，所以f (x)在(0，1)上的图象都在x轴的下方，所以A正确；因为f ′(x)＞0在定义域上有解，所以函数f (x)存在单调递增区间，所以B是正确的；由g(x)＝ln x－1x，则g′(x)＝1x＋1x2(x＞0)，所以g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，则函数f ′(x)＝0只有一个根x0，使得f ′(x0)＝0，当x∈(0，x0)时，f ′(x)＜0，函数单调递减，当x∈(x0，＋∞)时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以C 不正确；由g(x)＝ln x－1x，则g′(x)＝1x＋1x2(x＞0)，所以g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，且g(1)＝－1＜0，g(2)＝ln 2－12＞0，所以函数在(1，2)先减后增，没有最大值，所以D不正确，故选AB.]13．(一题两空)已知函数f (x)＝2x2－ln x若f ′(x0)＝3，则x0＝________，若在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，则实数k的取值范围是________．1 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 [∵函数f (x )＝2x 2－ln x ，x ∈(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ，由f ′(x 0)＝3，x 0＞0，解得x 0＝1.令f ′(x )＝0得x ＝12，当0＜x ＜12时，f ′(x )＜0，当x ＞12时，f ′(x )＞0， 所以当x ＝12时，f (x )取得极小值，由题意可知：⎩⎨⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32，∴实数k 的取值范围是：1≤k ＜32，即k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.]14．已知函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x ＋a ，若∃x 0∈[－1，4]，使f (x 0)＝2a 成立，则实数a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－232，16 [∵f (x 0)＝2a ，即x 30－92x 20＋6x 0＋a ＝2a ， 可化为x 30－92x 20＋6x 0＝a ，设g (x )＝x 3－92x 2＋6x ，则g ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)＝0，得x ＝1或x ＝2.∴g (1)＝52，g (2)＝2，g (－1)＝－232，g (4)＝16. 由题意，g (x )min ≤a ≤g (x )max ，∴－232≤a ≤16.]15．已知函数f (x )＝a e x －ln x －1.(1)设x ＝2是f (x )的极值点，求a ，并求f (x )的单调区间； (2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0.[解](1)f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝a e x－1 x.由题设知，f ′(2)＝0，所以a＝1 2e2.从而f (x)＝12e2ex－ln x－1，f ′(x)＝12e2ex－1x.当0<x<2时，f ′(x)<0；当x>2时，f ′(x)>0.所以f (x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．(2)证明：当a≥1e时，f (x)≥e xe－ln x－1.设g(x)＝e xe－ln x－1，则g′(x)＝e xe－1x.当0<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0，所以x＝1是g(x)的最小值点．故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0.因此，当a≥1e时，f (x)≥0.。
高中数学 第5章 一元函数的导数及其应用 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 第2课时 函数
第2课时函数的最大(小)值与导数学习目标核心素养1.理解函数的最值的概念．(难点)2．了解函数的最值与极值的区别与联系．(易混点)3．会用导数求在给定区间上函数的最值．(重点)1.通过函数最大(小)值存在性的学习，体现直观想象核心素养．2．借助函数最值的求解问题，提升数学运算的核心素养.如图为函数y＝f (x)，x∈[a，b]的图象．思考：(1)观察区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象，试找出它的极大值、极小值．(2)结合图象判断，函数y＝f (x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？1．函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．思考：函数的极值与最值的区别是什么？[提示]函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．当连续函数f (x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处f (x)有极大值(或极小值)，则可以判定f (x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间．2．求函数f (x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上的极值；(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得． ( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值．( ) (3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小)值就是最大(小)值．( )(4)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则一定有最值；若可导，则最值点为极值点或区间端点．( )[提示] (1)函数在闭区间[a ，b ]上的最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得． (2)若单调函数有最值，则一定在区间端点处取得，但开区间上的单调连续函数在端点处无函数值，所以无最值，故正确．(3)因为y 最大值≥y 极值，y 最小值≤y 极值，故错误． (4)正确．[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．函数f (x )＝xe x 在区间[2，4]上的最小值为( )A ．0B ．1eC ．4e 4D ．2e2C [f ′(x )＝e x－x e xe x 2＝1－xe x ，当x ∈[2，4]时，f ′(x )＜0，即函数f (x )在区间[2，4]上是单调递减函数，故当x ＝4时，函数f (x )有最小值4e4.]3．如图所示，函数f (x )导函数的图象是一条直线，则( )A ．函数f (x )没有最大值也没有最小值B ．函数f (x )有最大值，没有最小值C ．函数f (x )没有最大值，有最小值D ．函数f (x )有最大值也有最小值C [由函数图象可知，函数只有一个极小值点，且函数在此处取得最小值，没有最大值．故选C.]4．函数y ＝3x －4x 3在区间[0，2]上的最大值是( ) A ．1 B ．2 C ．0D ．－1A [设f (x )＝3x －4x 3，∴f ′(x )＝－12x 2＋3＝3(2x ＋1)(1－2x )． ∵x ∈[0，2]，∴当x ＝12时，f ′(x )＝0.又f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，f (2)＝－26， ∴函数y ＝3x －4x 3在区间[0，2]上的最大值是1.]5．当x ＞0时，1－1x________ln x ．(填“≥”“≤”“＞”“＜”)≤ [设S (x )＝1x －1＋ln x ，则S ′(x )＝x －1x2.令S ′(x )＝0得x ＝1.∵当x ∈(0，1)时，S ′(x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时，S ′(x )＞0，∴x ＝1时S (x )取的极小值也是最小值．∴S (x )≥S (1)＝0，即1x －1＋ln x ≥0解得x ＞0时，1－1x≤ln x ．]求函数的最值【例1】 求下列各函数的最值． (1)f (x )＝3x 3－9x ＋5，x ∈[－2，2]；(2)f (x )＝sin 2x －x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2. [解] (1)f ′(x )＝9x 2－9＝9(x ＋1)(x －1)， 令f ′(x )＝0得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化状态如下表：x －2 (－2，－1) －1 (－1，1) 1 (1，2) 2当x ＝－1或x ＝2时，函数f (x )取得最大值11.(2)f ′(x )＝2cos 2x －1，令f ′(x )＝0，得cos 2x ＝12，又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，∴2x ∈[－π，π]． ∴2x ＝±π3.∴x ＝±π6.∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的两个极值分别为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32－π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－32＋π6. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π2.比较以上函数值可得f (x )max ＝π2，f (x )min ＝－π2.角度2 含参数的函数最值【例2】 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． [思路探究] (1)求导后，观察Δ的符号讨论单调性．(2)根据第(1)问，讨论极值点与区间的关系，从而求出最值，进而求出取最值时x 值． [解] (1)f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1＜x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)．当x ＜x 1或x ＞x 2时，f ′(x )＜0；当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增．(2)因为a ＞0，所以x 1＜0，x 2＞0.①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a ＜4时，x 2＜1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，因此f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0＜a ＜1时，f (x )在x ＝1处取得最小值； 当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1＜a ＜4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．求函数最值的着眼点1从极值点和端点处找最值,求函数的最值需先确定函数的极值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是极小值，只需将各极值和端点的函数值进行比较即可求出最大值和最小值.2单调区间取端点,当图象连续不断的函数f x 在[a ，b ]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.[跟进训练]1．已知函数f (x )＝e xcos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．[解] (1)因为f (x )＝e xcos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0.又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x(cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，h ′(x )＜0，所以h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．所以对任意x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2有h (x )＜h (0)＝0，即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2.用导数证明不等式【例3】 当x ＞0时，证明：不等式ln(x ＋1)＞x －2x 2.[思路探究] 利用导数证明不等式，首先要构造不等式两边式子的差为新函数f (x )＝ln(x ＋1)－x ＋12x 2.因此要证明原不等式，即证f (x )＞0在x ＞0时恒成立．[证明] 设f (x )＝ln(x ＋1)－x ＋12x 2，则f ′(x )＝11＋x －1＋x ＝x21＋x .当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(－1，＋∞)上是增函数． 于是当x ＞0时，f (x )＞f (0)＝0，∴当x ＞0时，不等式ln(x ＋1)＞x －12x 2成立．证明不等式f x ＞g x ，x ∈a ，b 的步骤1将要证明的不等式f x ＞g x 移项可以转化为证明f x －g x ＞0； 2构造函数Fx ＝f x －g x ，研究F x 的单调性；3若[f x －g x ]′＞0，说明函数F x ＝fx －g x 在a ，b 上是增函数.只需保证Fa ＞0；4若[f x －g x ]′＜0，说明函数F x ＝fx －g x 在a ，b 上是减函数.只需保证Fb ＞0.[跟进训练]2．证明不等式x －sin x ＜tan x －x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.[证明] 令f (x )＝tan x －2x ＋sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 则f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′－(2x )′＋(sin x )′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x －2＋cos x ＝1＋cos 3x －2cos 2x cos 2x＝1－cos 2x ＋cos 3x －cos 2x cos 2x ＝1－cos x 1＋cos x －cos 2xcos 2x＝1－cos xcos x ＋sin 2xcos 2x. ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴1－cos x ＞0，cos x ＋sin 2x ＞0，∴f ′(x )＞0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，∴f (x )＞f (0)＝0，即tan x －2x ＋sin x ＞0，即x －sin x ＜tan x －x .已知函数最值求参数1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是连续不断的，那么它的最值一定在端点取得的吗？ [提示] 不一定．最值一般是在区间的端点和区间内的极值点处取得．2．对于函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]，若f (x )≥c 或f (x )≤c 恒成立．如何处理这种问题？[提示] 转化为函数在[a ，b ]上的最值问题，即c ≤f (x )min 或c ≥f (x )max .3．对于函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]，若存在x 0∈[a ，b ]，使得f (x )≥c 或f (x )≤c 成立，则c 满足的条件是什么？[提示] c ≤f (x )max 或c ≥f (x )min .【例4】 已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b (a ＞0)，x ∈[－1，2]的最大值是3，最小值为－29.求a ，b 的值．[思路探究] 求导―→f ′x ＝0―→列表讨论―→列方程组―→求解a ，b 值[解] 求导得f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)． ∵a >0，∴x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －1 (－1，0) 0 (0，2) 2 f ′(x )＋－＝b＝3.又f (－1)＝－7a＋3，f (2)＝－16a＋3<f (－1)，∴f (2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.故a＝2，b＝3.1．(变条件)本例中“a＞0”改为“a＜0”，求a，b的值．[解]由例题解析知，当a<0时，同理可得，当x＝0时，f (x)取得极小值b，也就是函数在[－1，2]上的最小值，∴f (0)＝b＝－29.又f (－1)＝－7a－29，f (2)＝－16a－29>f (－1)，∴f (2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.故a＝－2，b＝－29.2．(变条件，变结论)设函数f (x)＝tx2＋2t2x＋t－1的最小值为h(t)，且h(t)＜－2t＋m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围．[解]∵f (x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f (x)取最小值f (－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：h(t)<－2t＋m在(0，2)内恒成立等价于g(t)<0在(0，2)内恒成立，即等价于1－m<0.∴m 的取值范围为(1，＋∞)．由函数的最值来确定参数的值或取值范围是利用导数求函数最值问题的逆向运用，这类问题的解题步骤是：1求导数f ′x ，并求极值；2利用单调性，将极值与端点处的函数值进行比较，确定函数的最值，若参数的变化影响着函数的单调性，要对参数进行分类讨论；3利用最值列关于参数的方程组，解方程组即可.1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．2．解析式中含参数的最值问题应分析参数对函数单调性的影响，然后分类讨论确定函数的最值．3．不等式恒成立问题常见的转化策略(1)a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ，a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min . (2)f (x )＞g (x )＋k 恒成立⇔k ＜[f (x )－g (x )]min . (3)f (x )＞g (x )恒成立⇔f (x )min ＞g (x )max .1．函数y ＝ln xx的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D ．10A [令y ′＝1－ln x x2＝0⇒x ＝e.当x ＞e 时，y ′＜0；当0＜x ＜e 时，y ′＞0，所以y 极大值＝e －1，因为在定义域内只有一个极值，所以y max ＝e －1.]2．若函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋2m 在区间[0，2]上的最大值是4，则m 的值为( ) A ．3 B ．1 C ．2D ．－1B [f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－13(舍去)或x ＝1.又f (0)＝2m ，f (1)＝2m －1，f (2)＝2m ＋2，则f (2)最大，所以2m ＋2＝4，所以m ＝1. 故选B.]3．设函数f (x )＝x 3－x 22－2x ＋5，若对任意x ∈[－1，2]，都有f (x )＞m ，则实数m 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72 [f ′(x )＝3x 2－x －2＝0，x ＝1或x ＝－23. f (－1)＝112，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝15727，f (1)＝72，f (2)＝7，∴m ＜72.]4．已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )，求f (x )在区间[0，2]上的最大值． [解] f ′(x )＝3x 2－2ax .令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a3.①当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0，2]上单调递增，从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a .②当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0，2]上单调递减，从而f (x )max ＝f (0)＝0.③当0＜2a 3＜2，即0＜a ＜3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 3，2上单调递增，从而f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a 0＜a ≤2，02＜a ＜3. 综上所述，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a a ≤2，0a ＞2.。
高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.2函数的极值与最大(小)值第
令 f'(x)<0 得-3<x<-1.所以 f(x)在(-∞,-3),(-1,+∞)上单调递增,在(-3,-1)上单调递
减,符合题意,则 m+n=2+9=11.故选 B.
极大值f(x1)小于极小值f(x2).
可导函数在x=x0处取得极值的充要条件是f '(x0)=0且在x=x0两侧f '(x)符号
相反
知识点2 函数极值的求法
一般地,可按如下方法求函数y=f(x)的极值 :
解方程 f'(x)=0 ,当f'(x0)=0时:
(1)如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极大值;
+
0
-
f(x)
单调递减
极小值0
单调递增
极大值4e-2
单调递减
因此,当x=0时,f(x)有极小值,并且极小值为f(0)=0;当x=2时,f(x)有极大值,并
4
且极大值为f(2)= e2
.
2
(2)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=- 3
1
+ =
2 -2
.
3
令 f'(x)=0,得 x=√2.
2+4ax+2(a为实数),求函数f(x)的极值.
x
-(a+1)x
3
分析对函数f(x)求导,得到f'(x)=x2-2(a+1)x+4a=(x-2)(x-2a),根据导函数的零
点2和2a的大小,分类讨论函数的单调性,根据函数的单调性确定函数的极
值.
解 ∵f(x)= 1x3-(a+1)x2+4ax+2,