实变函数与泛函分析基础第二版 程其襄 第11章课后习题答案

第十一章 线性算子的谱

1． 设[0,1],()()(),X C Ax t tx t x X ==∈。证明()[0,1]A σ=，且其中没有特征值。 证明 当[0,1]λ∈时，常值函数1不在I A λ-的值域中，因此I A λ-不是满射，这样

()A λσ∈。

反之若[0,1]λ∈，定义算子1

:()R R x t t

λλλ=

-。则由于[0,1]λ∈，且 11max

()(,[0,1])

a t b

R x x t x t d λλλ≤≤=≤- 因此R λ是C[0，1]中有界线性算子。

易验证()()R I A I A R I λλλλ-=-=，所以()A λσ∈。 总之()[0,1]A σ=，

若Af f λ=，则对任意t λ≠，()()tf t f t λ=，可推得()0f t =。由于()[0,1]f t C ∈，必有()0f t ≡，所以A 无特征值。证毕。

2． 设[0,2],()()(),.it

X C Ax t e x t x X π==∈，证明

(){1}A σλλ==。

证明 对任意000

,()()()()it it

it it e e I A x t e e x t -=-。因为常值函数1不在0

it

e I A -的值

域中，因此0()it

e A σ∈。这样{1}()A λλσ=?。

反之，若

1λ≠，定义1

:()()()it

R R x t x t e

λλλ=

-。类似第1题可证R λ是有界线性算子，且()()R I A I A R I λλλλ-=-=。即()A λσ∈。 因此(){1}A σλ

λ==。证毕。

3． 设2

1223,

(,,,)(,,,)n n X l Ax A x x x x x x ===L L L L ，

试求()A σ。 解 对任意

λ，若1λ<，定义(1,,,,)n x λλλ=L L ，显然

22,(,,,,)(1,,,,)n n x l Ax x λλλλλλλλλλ∈===L L L L ，因此{1}λλ=的内点都

是A 的点谱，由于()A σ是闭集，则{1}()A λλσ=?。

对任意x A ∈，显然Ax x ≤，因此1A ≤，所以(){}{1}A A σλλλλ?≤?=。

这样我们就证明了(){1}A σλ

λ==。

4． 设F 是平面上无限有界闭集，{}n α是F 的一稠密子集，在2

l 中定义算子T ：

1211(,,,)(,,)n n n Tx x x x x x αα==L L L L

则n α都是特征值，(),\{}n T F F σα=中每个点是T 的连续谱。

证明 对任意n ，(0,0,,1,0,)n e =L L ，其中1在第n 个坐标上。由题设，n n n Te e α=，因此n α是T 的特征值。又由于()T σ是闭集，所以{}()n F T ασ=?。 若F λ?，则(,)0d F λ>。定义算子R λ，若

212(,,,)n x x x x l =∈L L ，

1212111

(

,,,,)n

n R x x x x λλαλαλα=---L L

易验证1

(,)

R x x d F λλ≤

，且()()R I T I T R I λλλλ-=-=。

因此()T F σ?。

若{}n F λα∈-，且2

12(,,,)n x x x x l =∈L L ，使Tx x λ=。则对任意n ，n n n x x λα=。

由于n λα≠，则0n x =，1,2,n =L 。这样x=0，因此λ不是特征值，而是连续谱。证毕。

5． 设λ为线性算子n

A 的特征值，则λ的n 次根中至少有一个是算子A 的特征值。

证明 设λ是n

A 的特征值，λ的n 次根为12,,,n λλλL 。

存在0x ≠，使()0n

A I x λ-=，则12()()()()0n

n A I x A I A I A I x λλλλ-=---=L 。

若1()0A I x λ-=，则1λ就是A 的特征值，否则必有某i ，

11()()()0i i A I A I A I x λλλ----≠L ，

而11()()()0i i A I A I A I x λλλ+---=L ，

则1i λ+是A 的特征值。证毕。

6． 设A 为Banach 空间X 上的有界线性算子，0()A λρ∈，又设{}n A 为X 上一列有界线性

算子，且lim 0n n A A →∞

-=，证明当n 充分大后，n A 也以0λ为正则点。

证明 00()n n I A I A A A λλ-=---

100()[()()]n I A I I A A A λλ-=----。

当n 充分大时，10()()1n I A A A λ---<，这样 1

0()()n I I A A A λ---- 是可逆的。

此可逆性由本章§2定理1可证，又0I A λ-也是可逆的。因此当n 充分大后，0n I A λ-也可逆。证毕。

7． 设A 是为Banach 空间X 上的有界线性算子，则当

A λ>时，

1

1

()n

n n A R A I λλλ∞

-+==-=∑

，1

R A

λλ≤

-。

证明 当

A λ>时幂级数

1

n n

n A

λ

λ

∞

=∑收敛，因此级数

1

n

n n A λ

∞

+=∑必按算子范数收敛。

1

1

1

1

00

()()1n

n

n

n n n n

n n n n n A A A A I A I A λλλ

λ

λ

λ

+∞

∞

∞

∞

+++====-=-=-=∑

∑

∑

∑

这就证明了1

10()

n

n n A A I λλ

∞

-+=-=∑

，

1

1

1

n

n

n n n n A

A R A

λλ

λλ

∞

∞

++===

≤=

-∑∑

。 证毕。

8． 设A 为X 上的有界线性算子，,()A λμρ∈，则

()R R R R λμλμμλ-=-。

其中与,R R λμ的意义同第7题。

证明 在等式1

1()()R R I A I A μ

λμλ---=---两边左乘R λ右乘R μ得

()(()())R R R I A I A R R R λμλμλμμλμλ-=---=-。

因此()R R R R λμλμμλ-=-，证毕。

9． 设A 是Hilbert 空间H 上的有界线性算子，A*为A 的共轭算子，证明

(*){()}()A A A σλλσσ=∈=

证明 先证若T 是Hilbert 空间H 上的有界线性算子，若T 可逆，则T*也可逆，且

11(*)()*T T --=。

事实上，对任意,x y H ∈，1

1

,,,()**x y TT x y x T T y --<>=<>=<>。这样

1,()**0x y T T y -<->=对任意x H ∈成立，因此1()**y T T y -=恒成立，进而1*()*T T I -=。同理1*()*T T I -=。这一证明了T*也可逆，且11()*(*)T T --=。

现在设()A λσ∈，则A I λ-可逆，因此()**A I A I λλ-=-也可逆，从而(*)A λσ∈。同理若(*)A λσ∈，则()A λσ∈，这就证明了(*){()}A A σλ

λσ=∈。证毕。

10． 设1T 是 1X 到2X 的全连续算子，2T 是2X 到3X 的有界线性算子，则21T T 是1X 到3

X 的全连续算子。

证明 设{}n x 是1X 中有界点列。因为1T 全连续，所以1{}n T x 中必有收敛子列。我们记之为1{}k n T x 。又因为2T 有界，所以21{}k n T T x 也收敛，因此21{}n T T x 有收敛子列。这就证明了21T T 是全连续算子。证毕。

11． 设A 是2

l 上线性算子，记1(0,0,,0,1,0,)n n e -=L L 14243

个

，

1

k jk j j Ae a e ∞

==∑

其中2

,1

k ij

i j Ae a

∞

==

<∞∑，证明A 是全连续的。

证明 若12(,,,)n x x x x =L L ，定义1

1

:()n

n n k

jk

j j k A A x x a

e ∞

===∑∑：

则n A 是有界秩算子，且

22

11

()n k

jk

j n k A A x x a

∞∞

=+=-=

∑∑

22

11

1

()()k

jk j n k k x

a ∞∞

∞

=+==≤

∑∑∑

2

2

1

1

jk

j n k a x ∞

∞

=+==

∑

∑

所以0n A A -≤

→()n →∞。

由本章§3定理2，A 是全连续算子。证毕。

12． n e 的符号同第11题。作2

l 上算子U 。

11

,1,2,.k k Ue e k k

+=

=L 证明U 是2

l 上全连续算子且(){0}U σ=。

证明 若2

1i i i x x e l ∞

==∈∑，则111i i i Ux x e i ∞

+==∑。令111

n i i i U x x e i

∞

+==∑，则n U 是有限秩算

子，且 2

2

2

2111

11()()n i i i i n i n U U x x x i i ∞

∞

∞==+=+-=≤∑∑∑

2

2

11

i x i

∞

=≤∑

所以0()n U U n -≤

→∞。

这样U 是有限秩算子n U 的极限，U 必是全连续算子。

由于全连续算子的非零谱都是特征值，因此要证(){0}U σ=，只要证U 无非零特征值。

倘若0λ≠，2

1111

1

,,i i i i i i i i i x x e l Ux x x e x e i λλ∞

∞

∞

+====∈==∑∑∑。即

121211

(0,,,,,)(,,,)2n n x x x x x x n

λ=L L L L 。

则1110,,1,2,i i x x x i i

λλ+===L ，由此可得0,1,2,i x i ==L 。因此λ不是U 的特征值。证毕。

13．设 1

0()()()s t

A s e

t dt ??+=

?， 求A 的特征值和特征函数。

（提示：记 10

()t

c e t dt ?=? ）

解 记1

()t c e t dt ?=?

。设?为对应特征值λ的特征函数，则A ?λ?=，即s ce λ?=。

若

0λ≠，则s

c

e ?λ=

。代入c 的表达式：1

s

s c

c e e ds λ

=?，解得

1

220

1(1)2

s e ds e λ==-?。因此非零特征值21(1)2

e λ=-，特征函数为0()s s c e ?=，其中0

c 为任意非零常数。

若0λ=，则

1

()0s e s ds ?=?

，特征函数{}s e ⊥为中任意非零函数。

14．积分算子的核为，1

(,)()()n

k

k

k K s t p s q t ==

∑，

其中{}k p 为线性无关的函数组，则其非零特征值λ相应的特征向量e 有形式 1

n

k

k k e c

p ==

∑， k c 是常数。

若记 ()()b

ij i j a

q q x p x dx =

?

，

则k c 可由下式决定：1

,1,2,n

k i ik

i c c q

k n λ==

=∑L 。

证明 (,)()b

a

A K s t t dt ??=

?

1()()()n

b k

k

a

k p s q t t dt ?==∑?

1

(()())()n

b k k a

k q t t dt p s ?==∑?。

若λ为A 的特征值，?为对应的特征向量，则

1

(()())()()n

b

k k a

k q t t dt p s s ?λ?==∑?。

即1

()()n

k

k k s c

p s ?==

∑，其中

1

()()b

k k a

c q t t dt ?λ=

?

。

将1

()()n

k

k k s c

p s ?==

∑代入表达式得

11

()()n

b

k k i i a

i c q t c p s dt λ==

∑?

1

1

()()n

b

i k i a

i c q t p t dt λ

==

∑?

1

1

()n

ik

i i q t c λ

==

∑。

即k c λ=

1

()n

ik

i i q

t c =∑，1,2,k n =L 。证毕。

15．在14题中，若()(),,0,

()i i i j q x p x p q i j ≡<>=≠。试求特征值和特征函数。

解 采用14题的符号，因为,0,

()i j q p i j <>=≠，所以0ij q =，()i j ≠，

2(),1,2,b

ii i a

q p x dx i ==?L 。

这样决定k c 的方程组

1

,1,2,.n

k ik i i c q c k n λ===∑L 。

变为 ()0kk k q c λ-=，1,2,.k n =L 。因此1{}kk k q ∞

=就是此积分算子的全体非零特征值。对应每一个kk q ，其相应的特征函数为k p 。

显然由12{,,,}n p p p L 张成的有限维线性子空间M 的正交补空间M ⊥

中任一非零函数

都是相应于0的特征函数。 16．若(,)cos(),

0,.K s t s t s t π=+≤≤，求积分算子K 的特征值和特征函数。

解 cos()cos cos sin sin s t s t s t +=-

cos cos (sin )(sin ),s t i s i t =+。

令1122()()cos ,()()sin ,p t q t t p t q t i t ==== 可验证

120

,cos *sin 0p p t i tdt π

<>==?