实变函数与泛函分析基础第二版 程其襄 第11章课后习题答案
《实变函数与泛函分析基础》第二版 程其襄 第十章答案 10§1-7,答案剖析(word文档良心出品)
第十章 巴拿赫(Banach)空间中的基本定理1. 设X 是赋范线性空间，12,,,k x x x 是X 中K 个线性无关向量，12,,,k ααα是一组数，证明：在X 上存在满足下列两条件：（1）(),1,2,,v v f x v k α==,(2) M f ≤ 的线性连续泛函f 的充要条件为：对任何数12,,,k t t t ，11kkv vv vv v t Mt xα==≤∑∑都成立。
证明 必要性。
若线性连续泛函f 满足（1）和（2），则1111()kkkkv vv v v vv vv v v v t f t x ft xMt xα=====≤≤∑∑∑∑充分性。
若对任意数12,,,k t t t ，有11kkv vv vv v t Mt xα==≤∑∑。
令0X 为12,,,k x x x 张成的线性子空间。
对任意01kv vv t xX =∈∑，定义上线性泛函：0011:()k kv v v v v v f f t x t α===∑∑。
因0111()k kkv v v v v v v v v f t x t Mt x α====≤∑∑∑，故0f是有界的，且0f M ≤。
由泛函延拓定理，存在X 上的线性连续泛函f ，使f 限制在0X 上就是0f 。
f 显然满足条件（1）和（2）。
证毕。
2．设X 是赋范线性空间，Z 是X 的线性子空间，0x X ∈，又0(,)0d x Z >，证明存在'f X ∈，满足条件： 1）当x Z ∈时，()0f x =； 2）00()(,)f x d x Z = ；3）1f = 。
证明 记0{,}M x y C y Z λλ=+∈∈。
在M 上定义泛函0f ：000()(,)f x y d x Z λλ+=，则以下三条件成立：1）当y Z ∈时，0()0f y =； 2）00()(,)f x d x Z =；3）0f 在M 上有界，且01Mf =。
其中3）可以这样证明：若0x y M λ+∈，则00000()(,)yf x y d x Z x x y λλλλλ+=≤+=+，所以01Mf ≤。
《实变函数和泛函分析基础》第二版-程其襄--第十章答案-10§1-7-答案
第十章 巴拿赫(Banach)空间中的基本定理1. 设X 是赋范线性空间，12,,,k x x x 是X 中K 个线性无关向量，12,,,k ααα是一组数，证明：在X 上存在满足下列两条件：（1）(),1,2,,v v f x v k α==,(2) M f ≤ 的线性连续泛函f 的充要条件为：对任何数12,,,k t t t ，11kkv vv vv v t Mt xα==≤∑∑都成立。
证明 必要性。
若线性连续泛函f 满足（1）和（2），则1111()kkkkv vv v v vv vv v v v t f t x ft xMt xα=====≤≤∑∑∑∑充分性。
若对任意数12,,,k t t t ，有11kkv vv vv v t Mt xα==≤∑∑。
令0X 为12,,,k x x x 张成的线性子空间。
对任意01kv vv t xX =∈∑，定义上线性泛函：0011:()kkv v v v v v f f t x t α===∑∑。
因0111()k kkv v v v v v v v v f t x t Mt x α====≤∑∑∑，故0f是有界的，且0f M ≤。
由泛函延拓定理，存在X 上的线性连续泛函f ，使f 限制在0X 上就是0f 。
f 显然满足条件（1）和（2）。
证毕。
2．设X 是赋范线性空间，Z 是X 的线性子空间，0x X ∈，又0(,)0d x Z >，证明存在'f X ∈，满足条件： 1）当x Z ∈时，()0f x =； 2）00()(,)f x d x Z = ；3）1f = 。
证明 记0{,}M x y C y Z λλ=+∈∈。
在M 上定义泛函0f ：000()(,)f x y d x Z λλ+=，则以下三条件成立：1）当y Z ∈时，0()0f y =； 2）00()(,)f x d x Z =；3）0f 在M 上有界，且01Mf =。
其中3）可以这样证明：若0x y M λ+∈，则00000()(,)yf x y d x Z x x y λλλλλ+=≤+=+，所以01Mf ≤。
实变函数与泛函分析基础》习题解答
习题 1.4
1. 证：记[0,1]上的无理数所成之集为 I，[0,1]上的有理数全体为 Q．若 I
可数，则 I ∪ Q = [0,1] 可数，这与[0,1]不可数矛盾． 2. 证： A ∈ 2[0,1] ，则 χ A (x) ∈ F．于是 2[0,1] 与 F 的一个子集对等，故
F ≥ 2[0,1] = 2C ．另方面， f ∈ F ，{(x, f (x) x ∈[0, 1]}∈ 2R2 ．于是 F 对等于
一个子集对等，从而至多可数．
2. 设单调增函数 f 的间断点集为 D， x0 ∈ D : x0 →( f (x0 − 0), f (x0 + 0))
此对应是 D 到直线上某些互不相交的开区间所成之集的一个对等，由习题 1 知，
D 至多可数．
3. An 为 A 的 n 个元素所成子集的全体．由定理 1.3.7 知 An 可数，从而由定
∪ x ∈ A ∩ Bα ⇔ x ∈ ( A ∩ Bα ) ． α∈Γ
2.
①因
U U Aα U Bα ⊂ ( Aα ) U ( Bα ) ， 所 以
α∈Γ
α∈Γ
U U U U U ( Aα U Bα ) ⊂ ( Aα ) U ( Bα ) ． 另 一 方 面 Aα ⊂ ( Aα U Bα ) ，
α∈Γ
8. x ∈ E[ f ≥ a] ⇔ lim fn (x) = f (x) ≥ a, x ∈ E ⇔ ∀ k, ∃ N ， 当
n ≥ N 时有
∩ ∪ ∩ fn
(x)
>
a
−
1 k
⇔
x∈
∞ k =1
∞ N =1
∞
E[
n=N
fn
>
实变函数(程其襄版)第一至四章课后习题答案
若集合A和B满足关系：对任意 ∈A,可以得到x∈B，则成A是B的子集，记为A B或B A，若A B但A并不与B相同，则称A是B的真子集.
例7. 若 在R上定义，且在[a,b]上有上界M，即任意对
∈[a,b]有 M.用集合语言表示为：[a,b] { ： M}.
用集合语言描述函数性质，是实变函数中的常用方法，请在看下例.
定理1
（交换律）
证明我们只证明
先设 则有 且有 于是这证来自了在证反过来的包含关系，设 ，则有 ,此即 ，因此 于是 。
综合起来，便是等式成立。
这表面，集合运算的分配律，在无限并的情况下依然成立
3、集合的差集和余集
若A和B是集合，称 为A和B是差集，A\B也可以记为A-B，如图1.3是A-B的示意图：
请读者注意：我们怎样把描述函数列性质的 语言，转换为集合语言。
例12 设 是定义在E上的函数列，若x是使 收敛与0的点，则对任意的 ，存在 ,使得对任意 即
顺便说明一下，一个集合的各个元素必须是彼此互异的，哪些事物是给定集合的元素必须是明确的，下面举出几个集合的例子。
例14，7 ，8，3四个自然数构成的集合。
例2全体自然数
例30和1之间的实数全体
例4 上的所有实函数全体
例5A,B,C三个字母构成的集合
例6平面上的向量全体
全体高个子并不构成一个集合，因为一个人究竟算不算高个子并没有明确的界限，有时难以判断他是否属于这个集合。
例1设 和 是定义在E上的函数，则对任意
例2.
例3若记
例4 若 是一族开区间，而 ，则存在
使得 （有限覆盖定理）
例5若 是定义在E上的函数，则
2、集合的交集
设A,B是任意两个集合，由一切既属于A又属于B的元素组成的集合C称为A和B的交集或积集，简称为交或积，记作 ,它可以表示为
实变函数课后习题答案
第一章习题1.证明：(1) (A -B )-C =A -(B ∪C ); （2）(A ∪B )-C =(A -C )∪(B -C ). 证明：(1) 左=(A ∩B c )∩C c =A ∩(B c ∩C c )= A ∩(B ∪C )c =右； （2）左=(A ∪B )∩C c =(A ∩C c )∪(B ∩C c )=右. 2.证明： (1)();(2)().IIIIA B A B A B A B αααααααα∈∈∈∈-=--=-(1)ccI IA B A B αααα∈∈⎛⎫=== ⎪⎝⎭证明：左（）右；(2)()c cI I A B A B αααα∈∈⎛⎫=== ⎪⎝⎭左右.111111.{},,1.{}1.n n n n n nnA B A B A A n B B A n νννννν-===⎛⎫==- ⎪⎝⎭>=≤≤∞ 3 设是一列集合，作证明：是一列互不相交的集合，而且，证明：用数学归纳法。
当n=2时，B 1=A 1,B 2=A 2-A 1, 显然121212B B B B B B n k =∅== 且，假设当时命题成立，1211,,,kkk B B B B A νννν===两两互不相交，而且，111111111kk k kkkk k n k B A A B A BA B νννννννν++=++====+=-==-⇒下证，当时命题成立，因为而，所以11211+1111111111111,,,;k k k k k k k k k kk k k k k B B B B B B B B B B A A A A A A A νννννννννννννννν++=++===+++====⎛⎫=∅ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，于是，两两互不相交;由数学归纳法命题得证。
{}21214.0,,(0,),1,2,,n n n A A n n A n-⎛⎫=== ⎪⎝⎭设求出集列的上限集和下限集。
实变函数与泛函分析基础 习题答案
n=0
n=0
xn+p ln
1 x
≥
0,
1 xp 1
∞
0
1 − x ln x dx = −
n=0
1 0
xn+p ln xdx
=
∞ n=0
(n +
1 p+
1)2
=
∞ n=1
1 (n + p)2 .
ßÎ 15. { fn} E
¨
¹ Ö lim
n→∞
fn(x)
=
f (x)a.e.
E,
¿ f (x) Î ¡ Æà ¶¸²³
E −
ǯ± ¡
ÝÌ [0, 1] ÙÄß ℄Ï ¨
¤¤ f
(x)
=
1, 0,
x x
[0,1] [0,1]
· ¨, ¨.
´
¨ ÙÄ n, [0,1]
¿ max 1≤i≤n
mEin
=
1 n
→
0(n
→
∞).
¾
Ó Dn = {Ein},
Ein =
i−1 n
,
i n
, i = 1, 2, · · · , n − 1, Enn =
0.
¨ª
mE[| f |= ∞] = 0.
1
¶¹ | f(x) | Î ¶ ¾ Ê´
´¹Ü° ¾ Ö ǫ > 0, δ > 0, e ⊂ E me < δ
´ ¾ ¡ δ > 0,
N,
n>N
| f (x) | dx < ǫ.
e
men < δ,
n · men ≤ | f (x) | dx < ǫ.
《实变函数与泛函分析基础》第二版程其襄第11章课后习题答案
第十一章 线性算子的谱1． 设[0,1],()()(),X C Ax t tx t x X ==∈。
证明()[0,1]A σ=，且其中没有特征值。
证明 当[0,1]λ∈时，常值函数1不在I A λ-的值域中，因此I A λ-不是满射，这样()A λσ∈。
反之若[0,1]λ∈，定义算子1:()R R x t tλλλ=-。
则由于[0,1]λ∈，且 11max()(,[0,1])a t bR x x t x t d λλλ≤≤=≤- 因此R λ是C[0，1]中有界线性算子。
易验证()()R I A I A R I λλλλ-=-=，所以()A λσ∈。
总之()[0,1]A σ=，若Af f λ=，则对任意t λ≠，()()tf t f t λ=，可推得()0f t =。
由于()[0,1]f t C ∈，必有()0f t ≡，所以A 无特征值。
证毕。
2． 设[0,2],()()(),.itX C Ax t e x t x X π==∈，证明(){1}A σλλ==。
证明 对任意000,()()()()it itit it e e I A x t e e x t -=-。
因为常值函数1不在0ite I A -的值域中，因此0()ite A σ∈。
这样{1}()A λλσ=⊂。
反之，若1λ≠，定义1:()()()itR R x t x t eλλλ=-。
类似第1题可证R λ是有界线性算子，且()()R I A I A R I λλλλ-=-=。
即()A λσ∈。
因此(){1}A σλλ==。
证毕。
3． 设21223,(,,,)(,,,)n n X l Ax A x x x x x x ===，试求()A σ。
解对任意λ，若1λ<，定义(1,,,,)n x λλλ=，显然22,(,,,,)(1,,,,)n n x l Ax x λλλλλλλλλλ∈===，因此{1}λλ=的内点都是A 的点谱，由于()A σ是闭集，则{1}()A λλσ=⊂。
实变函数论与泛函分析课后答案
第一章习题参考解答3．等式)()(C B A C B A --=⋃-成立的的充要条件是什么？解： 若)()(C B A C B A --=⋃-，则 A C B A C B A C ⊂--=⋃-⊂)()(. 即，A C ⊂.反过来, 假设A C ⊂, 因为B C B ⊂-. 所以, )(C B A B A --⊂-. 故,C B A ⋃-)(⊂)(C B A --.最后证，C B A C B A ⋃-⊂--)()(事实上，)(C B A x --∈∀, 则A x ∈且C B x -∉。
若C x ∈，则C B A x ⋃-∈)(；若C x ∉，则B x ∉，故C B A B A x ⋃-⊂-∈)(. 从而, C B A C B A ⋃-⊂--)()(.A A CB AC B A C =∅-⊂--=⋃-⊂)()(. 即 A C ⊂.反过来，若A C ⊂，则 因为B C B ⊂-所以)(C B A B A --⊂- 又因为A C ⊂，所以)(C B A C --⊂故 )()(C B A C B A --⊂⋃-另一方面，A x C B A x ∈⇒--∈∀)(且C B x -∉，如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ∉因为C B x -∉，所以B x ∉故B A x -∈. 则 C B A x ⋃-∈)(. 从而C B A C B A ⋃-⊂--)()(于是，)()(C B A C B A --=⋃-4．对于集合A ，定义A 的特征函数为⎩⎨⎧∉∈=Ax Ax x A ,0,1)(χ， 假设 n A A A ,,,21是一集列 ，证明：（i ）)(inflim )(inf lim x x nnA nnA χχ=（ii ）)(sup lim )(sup lim x x n nA nnA χχ=证明：（i ）)(inf lim n nm N n n nA A x ≥∈⋂⋃=∈∀，N ∈∃0n ，0n m ≥∀时，m A x ∈.所以1)(=x m A χ，所以1)(inf=≥x mA n m χ故1)(inf sup )(inf lim ==≥∈x x mnA nm N b A nχχN n A x n n∈∀⇒∉∀inf lim ，有n k A x n n nm ≥∃⇒⋂∉≥有0)(inf0=⇒=⇒∉≥x A x mnk m A nm A k χχ，故0)(i n f s u p =≥∈x mA nm N b χ ，即)(in f l i m x nA nχ=0 ，从而)(inflim )(inf lim x x nnA nnA χχ=5．设}{n A 为集列，11A B =，)1(11>⋃-=-=i A A B j i j i i 证明（i ）}{n B 互相正交（ii ）i ni i ni B A N n 11,===∈∀证明：（i ）m n N m n ≠∈∀,,；不妨设n>m ，因为m n i n i n n A A A A B -⊂-=-=11，又因为m m A B ⊂，所以m n m n n B A A A B -⊂-⊂，故 ∅=m n B B ，从而 {∞=1}n n B 相互正交.（ii ）因为)1(n i i ≤≤∀，有i i A B ⊂，所以i n i i n i A B 11==⋃⊂⋃，现在来证：i ni i n i B A 11==⋃⊂⋃当n=1时，11B A =；当1≥n 时，有：i ni i ni B A 11===则)()()()()(11111111111i ni n i n i i n i n i n i n i n i i n i B B B A A A A A A =+==++=+=+=-=-==事实上，i ni A x 1=⋃∈∀，则)1(n i i ≤≤∃使得i A x ∈，令}{ni A x i i i ≤≤∈=1|m in 0且则 i ni i i i i i B B A A x 111000=-=⊂=-∈ ，其中，当10=i 时，∅=-=i i i A 110 ，从而， i ni i n i B A 11===6．设)(x f 是定义于E 上的实函数，a 为常数，证明： （i ）})(|{a x f x E >=}1)({1n a x f n +≥∞=(ii)})(|{a x f x E ≥=}1)({1na x f n ->∞=证明：（i ）})(|{a x f x E x >∈∀E x ∈⇒且a x f >)(}1)(|{1)(,na x f x E x E x a n a x f N n +≥∈⇒∈>+≥∈∃⇒且使得 ∈⇒x ⊂>⇒+≥∞=})(|{}1)(|{1a x f x E n a x f x E n }1)(|{1na x f x E n +≥∞=反过来，{N n n a x f x x E x n ∈∃+≥∈∀∞=},1)(|{1 ，使}1)(|{n a x f x E x +≥∈即E x a na x f ∈>+≥且1)( 故})(|{a x f x E x >∈ 所以 })(|{}1)(|{1a x f x E na x f x E n >⊂+≥⋃∞= 故}1)(|{})(|{1n a x f x E a x f x E n +≥>∞=7．设)}({x f n 是E 上的实函数列，具有极限)(x f ，证明对任意常数a 都有：}1)(|{inf lim }1)(|{inf lim })(|{11k a x f x E k a x f x E a x f x E n n k n n k +<=+≤=≤∞=∞=证明：N ∈∀≤∈∀k a x f x E x },)(|{，即k a a x f 1)(+≤≤，且E x ∈ 因为N n x f x f n n ∈∃=∞→，)()(lim ，使n m ≥∀，有ka x f n 1)(+≤，故，)}(1)(|{n m k a x f x E x m ≥∀+≤∈ 所以∈x }1)(|{ka x f x E m n m +≤≥ }1)(|{k a x f x E x m n m N n +≤∈≥∈ = }1)(|{inf lim ka x f x E m n +≤，由k 的任意性：}1)(|{inf lim 1k a x f x E x n n k +≤∈∞= ，反过来，对于}1)(|{inf lim 1ka x f x E x n n k +≤∈∀∞= ，N k ∈∀，有 }1)(|{inf lim k a x f x E x m n +≤∈= }1)(|{ka x f x E m n m N n +≤≥∈ ，即n m N n ≥∀∈∃，时，有：k a x f m 1)(+≤且E x ∈，所以，ka x f x f m m 1)()(lim +≤≤且E x ∈.∞→k 又令，故 E x a x f ∈≤且)( 从而})(|{a x f x E x ≤∈故 })(|{a x f x E ≤=}1)(|{inf lim 1ka x f x E n n k +≤∞=8． 设)}({x f n 是区间（a ，b ）上的单调递增的序列，即≤≤≤≤)()()(21x f x f x f n若)(x f n 有极限函数)(x f ，证明：R a ∈∀，})({})({1a x f E a x f E n n >⋃=>∞=证明： })({a x f E x >∈∀，即：E x ∈且a x f >)(，因为)()(lim x f x f n n =∞→所以00,n n N n ≥∀∈∃，恒有：E )(∈>x a x f n 且，从而，})({0a x f E x n >∈})({1a x f E n n >⊂∞=反过来，N n a x f E x n n ∈∃>∈∀∞=01},)({ ，使})({0a x f E x n >∈，故0n n ≥∀，因此，a x f x f x f n n n >≥=∞→)()()(lim 0且E x ∈,即，})({a x f E x >∈，从而，})({})({1a x f E a x f E n n >=>∞=10．证明：3R 中坐标为有理数的点是不可数的。
《实变函数与泛函分析基础》第二版_程其襄第九章答案
，若
y ∈Y
，则存在
x n
∈
spanM
，使
xn
→
y
( ) ( ) 设 x ∈ M ⊥ ，则( y, x)
=
lim
(
x n
,
x
)
=
0
，因此
y
∈
M⊥
⊥
，即Y ⊂
M⊥
⊥
又Y 是 X 中
n→∞
( ) ( ) ( ) 闭子空间，且 M ⊂ Y ，则Y ⊥
⊂ M ⊥ ，从而
M⊥
⊥
⊂
Y⊥
⊥
=
Y ，所以Y =
M⊥
⊥
。
证毕
7
设
{e } n
是
L2 [a, b]
中的规范正交系，说明两元函数列
en
( x)em
(
y)(n, m
=
1, 2, 3L
)是
L2
([a,b]×[a,b])
中的规范正交系，若{e } 完全。则两 n
元函数列 en ( x) em ( y) (n, m = 1, 2, 3,L ) 也是完全的‘
证明
对 任 意 (n, m) 和 (n', m ') ，
2
eλ − eλ‘ =
eλ
2
+
eλ‘ 2 = 2 。
{ } X 是可分的，则存在 X 的可数稠密子集
x n
∞ n=1
因
∧
不可数，则必有某
xN
，及
λ，‘λ ∈
∧
，
λ ≠ λ′ 使
xN − eλ〈
2， 2
xN − eλ’〈
2 2
《实变函数与泛函分析基础》第二版程其襄第十章答案
t
1
,
t 2
,L
,
t k
,
tiαi ≤ M
tx
ii
.
i =1
i =1
证 [必要性] 若线性连续泛函 f 满足(1)和(2),则
k
k
k
k
∑ ∑ ∑ ∑ tiαi = f (ti xi ) ≤ f ⋅ ti xi ≤ M ti xi .
i =1
i =1
i =1
i =1
k
k
∑ ∑ [充分性]
若对任意数
t1,
(1)当 x ∈ Z 时, f0 ( x) = f0 (0 ⋅ x0 + x) = 0 ⋅ d ( x0, Z ) = 0 ;
(2) f ( x0 ) = f (1⋅ x0 + 0) = 1⋅ d ( x0, Z ) = d ( x0, Z ) ;
(3)对任意的
λ
x 0
+
x∈
M
,则
f0 (λx0 + x) = λd ( x0, Z ) ≤ λ
{ } sup T x ≤ max m
Tx 1
,L
,
Tx n
< +∞ ,
m
以上例子说明一致有界性定理中 X 的完备性条件不能去掉.
8. 证明:在完备度量空间 X 中成立闭球套定理,即若
{ } S i
=
x
d
( x,
x i
)
≤
ε i
,i = 1, 2,L
,且
S 1
⊃
S 2
⊃L
⊃
S n
⊃L
,εi
→ 0(i → ∞) ,则存在唯一
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[rn
1 4n2
, rn
4
1
n
2
]
[0,1]
则 m
In
n1
m(In )
n1
2
n1
1 4n2
1
(1)
令
xn (t )
1 0
当t In 当t In
( n
1,2,
)， 设x(t )
L10， 且
1 0
x(t ) xn (t )dt
(n
1,2,
)
当t0 [0,1]为x(t )的 连 续 点 时 ， 如 果x(t0 ) 0， 不 失 一 般 性 ， 设x(t0 ) 2d0 0，
充分性，设x M x 0，故M {0}，由直交分解定理即知： M H.
9. 求出第3题中空间X的一个就范直交基.
取e1 1，e2 t，e3 t 2， 则 e1 1， 令
e'2
t
(e2 , e1 )e1
t
1，则 2
e'2
1 23
令x2 3(2t 1)， 则 x2 1， 且( x2 , e1 ) 0， 令
c1
1 et
1
1 dt 2
1 (e e1 ) 2
c2
1 et
1
6 tdt 2
6e 1
c3
1 et
1
5 (3t 2 1)dt 8
故所求多项式为：
10 (e 7e1 ) 2
P0 (t )
1 2
(e
e1 )；P1(t )
1 2
(e
e1 )
3e 1t
P2 (t )
1 2
(e
e1 )
3e 1t
泛函分析之期末考习题解答-实变函数与泛函分析概要第二册
泛函分析之期末考习题解答-实变函数与泛函分析概要第⼆册赋范线性空间E E 局部紧证：→不妨设E 为实n 维赋范线性空间，则E 与R n 拓扑同构⽽R n 中任意有界闭集是紧的，由紧集上的连续函数定理知E 的任意有界闭⼦集是紧的，即E 局部紧←设E ⽆限维但任意有界闭⼦集是紧的S 是E 中的单位球⾯：S={x:||x||=1}则S 是E 中的紧集由⾥斯定理：x1∈S,?x2∈S,ST,||x2-x1||≥1/2,?x3∈S,ST,||x3-xi||≥1/2,(i=1.2)……类推，由E ⽆限维，故可取S 中的⼀个系列元素x1,x2…xk…ST，||xk-xl||≥1/2,显然｛xk｝⽆收敛⼦列，⽭盾X 是完备的距离空间，T:X→X,?x,y ∈X,ρ(Tx,Ty)≤θρ(x,y),0≤θ<1,则T 中存在唯⼀不动点x`,ST,Tx`=x`,&&x`可⽤迭代法求出证：x0∈X,Set,x1=Tx0,…，xn+1=xn…则ρ(x1,x2)≤θρ(x0,x1)…ρ(xn,xn+p)≤（θn +θn+1+…+θn +p ）ρ(x0,Tx0)=θn ρ(x0,Tx0)/(1-θ)→0则{xn}是基本点列，⼜因为X 完备，故{xn}收敛于某x`∈Xρ(Tx,Ty)≤θρ(x,y)知T 连续，xn+1=xn 令n→∞得x`=Tx`即x`是不动点设另有不动点y`∈X,则ρ(x`,y`)≤θρ(x`,y`)得ρ(x`,y`)=0即x`=y`闭图像定理：T 是E 到E1的闭算⼦，E，E1都是B 空间，则T 有界证：E,E1是B 空间，则E ⊕E1也是B 空间，||(x,y)||=||x||+||y||设G 是E ⊕E1的闭⼦空间，则G 也是B 空间定义：T`：G→E,T`(x,Tx)=x,则T 为双射再者由||T`(x,Tx)||=||x||≤||x||+||Tx||=||(x,Tx)||知T`有界故T`有有界逆算⼦T~,则?x ∈E,(x,Tx)=T~x→||(x,Tx)||≤||T~||||x||→||Tx|||T~||≤||x||即T 有界P669.(a)略(b)提⽰：设A={多项式全体}，每个函数都有傅⽴叶展开式11.(a)略(b)提⽰：同胚即找双射，距离之间存在双射，要连续的17.证明第三节例题六的空间L ∞[a,b]是完备的距离空间证：取基本点列｛x n ｝∈L ∞[a,b]ε>0,?N ∈Ν,m,n≥N 时||x m -x n ||<ε故?[a,b]中的Lebesgue 集{Emn}ST||x m -x n ||=SUP{x m -x n |x ∈[a,b]/Emn}Set E=∪Emn ?[a,b],则x ∈[a,b]/E，m,n≥N 时|x m -x n |≤SUP{x m -x n |x ∈[a,b]/E}≤||x m -x n ||<ε故x ∈[a,b]/E 时，{xn}是实基本列，必收敛于某实数x显然x 可测，令m→∞则n≥N 时|x-x n |<ε在x ∈[a,b]/E 成⽴x-x n ∈L ∞[a,b]故x ∈L ∞[a,b]&&|x-x n |≤SUP{x-x n |x ∈[a,b]/E}≤ε即x n 按L ∞[a,b]的距离收敛于x，即L ∞[a,b]完备34.证明lp 中的⼦集A 准紧的充要条件是：(a)?k>0,ST,?x={ξ1,ξ2…ξn…}∈A,∑∞1||p n ξ(b)?ε>0,?N>0,ST,m>N 时，?x ∈A,∑∞1||p n ξ<ε(a).证：→A 准紧，则A 全有界，则A 有界可分（对应定理4.1，4.2）←?k>0,ST,?x={ξ1,ξ2…ξn…}∈A,∑∞1||p n ξ由准紧的定义，A 中每个点列必含有收敛⼦列，故A 准紧注：A 准紧的充要条件是A 有界+A 等度连续(b).命题与（a）等价P1241.V[a,b]是定义在[a,b]的有界变差函数全体，线性运算与C[a,b]相同，定义范数：||x||=|x(a)|+V a b (x),证明V[a,b]按||·||是不可分B 空间证:V[a,b]是线性空间，易证范数满⾜范数公理，故只要证完备性即可取V[a,b]中的基本列｛xn(t)｝，?ε>0,?N ∈Ν,m,n≥N 时||x m -x n ||<ε易知xn(t)⼀致收敛，令Lim xn(t)=x(t)，以下证其是有界变差函数设Δt>0,因为xn 右连续（有界变差的条件之⼀）且|x(t)-x(t+Δt)|≤|x(t)-xn(t)|+|xn(t)-xn(t+Δt)|+|x(t+Δt)-xn(t+Δt)|故x 右连续。
实变函数参考答案
习题1解答（A 组题）一、选择题1、C ；2、A ；3、D ；4、C ；5、C ；6、A ；7、A ；8、B ；9、D ；10、C 二、判断题1、×；2、×；3、×；4、×；5、√；6、×；7、×；8、×；9、×； 10、× 三、填空题1、＝；2、∅；3、()0,1；4、[]1,1-；5、,EF EF ；6、()2,3-；7、≥；8、c9、设有两个集合A 和B ，若≤A B ，≥A B ，则=A B 。
四、证明题1、（1）()()()()()\\====C C CC A A B A A B AAB A A AB A B ；（2）()()()()()()\\==C C CC A B CD A B CD A C B D()()()()\==CA C BD A C BD 。
2、111\lim \∞∞∞∞∞∞→∞======⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C Cn n n n n N n N N n N N n N A B A B A B AB ()111lim(\)∞∞∞∞∞∞→∞======⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C C C n n n n n N n N N n N N n N A B A B A B A B 。
同理可证第2个集合等式。
3、当A =∅时，{}∅张成的环和σ-环均为它自身；张成的代数和σ-代数均为{},X ∅。
当A X =时，{}X张成的环、σ-环、代数和σ-代数均为{},X ∅。
当A 为X 的非空真子集时，{}A 张成的环和σ-环均为{},A ∅；张成的代数和σ-代数均为{},,,cA A X∅。
4、首先，令()()tan 12π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦f x x ，由于()f x 是()0,1上的严格单调递减的连续函数，且()()()0,10,=+∞f，所以()f x 是()0,1到()0,+∞的一一映射。
《实变函数与泛函分析基础》第二版 程其襄 泛函知识点期末总结
泛函知识点期末总结一、关于有界线性算子，算子范数等1、设 [,]x X C a b ∈=，定义X 上的线性算子T ：若[,],()()()(),[,]f C a b Tf t x t f t t a b ∈=∈。
求证：T 有界，并求||||T 。
2、设 0[,],[,]X C a b t a b =∈。
定义X 上的线性泛函f ：若0,()()x X f x x t ∈=。
求证：f 有界，并求||||f 。
3、设 12123[,],,,,[,],,,,n X C a b t t t a b C λλλ=∈∈（全体复数集），定义X 上的线性泛函f : 若1,()()n i i i x X f x x t λ=∈=∑，f 有界，并求||||f 。
二、关于共轭空间的定义及其求解三、内积空间的定义及内积空间与赋范空间的关系，常见的内积空间四、变分引理 极小化向量定理P245定理1及推论，P247引理1，P251引理1五、投影定理，投影算子及其性质，六、Hilbert 空间的连续线性泛函，共轭算子，自伴算子，正常算子，酉算子七、完全规范正交基及其判定定理八、Banach 空间的基本定理及其应用九、Banach 共轭算子的定义及其求法十、逆算子定理与闭图像定理之间的关系与证明十一、强收敛，弱收敛，弱星收敛，一致收敛及其关系十二、完备度量空间的定义及其应用十三、压缩映射原理及其应用十四、h ölder 不等式，Minkowski 不等式，Schwarz 不等式十五、稠密，可分，完备，柯西序列十六、度量空间定义及其常见度量空间，赋范线性空间的定义及其常见赋范线性空间。
实变函数论与泛函分析(上,下)第二版
基础知识1.1度量空间一、基本概念 1.距离定义：设R 是一个非空集合，若对R 中任意一对元素x ，y 都有给定的一个实数d （x ，y ） 与它们对应，而且d 适合如下条件： （1） d(x ，y)≥0且d （x ，y ）=0 x=y（2） 三角不等式d （x ，z ）≤d （x ，y ）+d （y ，z ）则称d （x ，y ）是元素x ，y 之间的距离，并称R 按d （x ，y ）成为度量空间或距离空间，记（R ，d ）R 中的元素称为点。
由性质（1）（2）令z=x ，可推出距离还有对称性 即（3） d （x ，y ）=d （y ，x ）（4） 另外还有与（2）等价的不等式|d （x ，y ）－d （y ，z ）|≤d （x ，z ）例1：平面任意两点）p 1(X 1，y 1) p 2（x 2，y 2）（不是距离）例2：[a ，b]上黎曼绝对可积的函数的集合R ，对其中任意两点f ，g 按距离 d （f ，g ）=⎰-ba|x g x f |）（）（dx 可证：R 按照d 成为一个度量空间（黎曼可积可改为连续函数）另外 R 上还可以有另外一个度量空间：d （f ，g ）=],[x max b a ∈|f （x ），g （x ）|记该度量空间为c[a ，b]2.极限定义1.1.2：设R 是一个度量空间X n （n=1,2，…） 及x ∈R ，加入n →∞ 时， 数列d （X n ，X ）→0 则称{ X n }按距离d 收敛于x 记为∞→n lim X n =X或X n →X 此时称{X n }是R 中的收敛点列，x 称为点列{ X n }的极限 定义1.1.3：（基本点列）设{ X n }是度量空间（R ，d ）中的一个点列。
若 { X n }满足N ∃>∀,0ε 当m ，n>N 时 有d （x x n m ，）<ε 则称{ X n }为R 中的基本点列（也称为柯西列）可以证明收敛点列一定是基本列 证明：若x x0n→（n →∞）即N ∃>∀,0ε 当m ，n>N 时 有d （ x x 0n ，）＜2ε d （x x m 0,）＜2ε d （xx mn，）≤d （xx 0n，）+d （x x m,）<ε∴{X n }是基本列但反之，不成立 例如 R=（0，+∞）X n =n1∈R （n=1,2^…）{ X n }是基本列但{ X n }不是收敛列，因为R 中没有x ， d （X n ，X ）→0 （n →∞）又如3,3.1，3.14,3.141……是有理数集Q 中的基本列但不是Q 中的收敛列定义1.1.4 （完备性）若度量空间R 中的基本列都是收敛列则称R 是完备的度量空间，设A 是R 中的子集，若A 按R 的度量成为一个完备的度量空间，则称A 是R 的一个完备子集。
刘炳初等 《泛函分析》第二版课后习题答案
刘炳初等 《泛函分析》第二版课后习题答案习题二1.设(,)X 是赋范空间. 对于,,x y X ∈令10,,1,,x y d x y x y =⎧=⎨-+≠⎩ 证明：1d 是X 上的距离但不是由范数诱导的距离.证明：显然1d 满足距离公理1)、2). 若x y =，显然有111(,)0(,)(,)d x y d x z d z y =≤+； 若x y ≠，则当,x z z y ≠≠时，111(,)112(,)(,)d x y x y x z z y x z z y d x z d z y =-+≤-+-+≤-+-+≤+； 当,x z z y =≠时，1111(,)11(,)(,)(,)d x y x y z y d z y d x z d z y =-+=-+==+； 当,x z z y ≠=时，1111(,)11(,)(,)(,)d x y x y x z d x z d x z d z y =-+=-+==+； 因此，1(,)d x y 满足距离公理3).但10,,(,)1,,x d x x x θθθ=⎧=⎨+≠⎩显然不满足11(,)(,)d x d x αθαθ=，因此1d 不是由范数诱导的距离.2.在l ∞中，按坐标定义线性运算且对,k x l x ξ∞∈=定义sup n nx ξ=，证明l ∞是一个赋范空间.证明：显然这是一个范数.3.设M 是空间l ∞中除有穷个坐标之外为0的元之全体构成的子空间. 证明M 不是闭子空间.证明：令01111111,,,,,0,0,,1,,,,,2323n x x nn⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则显然我们有n x M ∈，且01110,0,,,,0()121n x x n n n n ⎛⎫-==→→∞ ⎪+++⎝⎭，但0x M ∉，因此M 不是l ∞得闭子空间.4.试举例说明，在赋范空间中，由1n n x ∞=<∞∑，一般地不能推出1n n x ∞=∑收敛.例： 5. 设(,)X 是赋范空间，0X 是X 中的稠密子集，证明：对于每一x X ∈,存在{}0n x X ⊂，使得1n n x x ∞==∑，并且1n n x ∞=<∞∑.证明：取10x X ∈，使得112x x -<，则112x x ≤+；0X X =，∴可取20x X ∈，使得12212x x x --<，则2121211122x x x x x x ≤--+-<+<；同理可取30x X ∈，使得123312x x x x ---<，则31231223111222x x x x x x x x ≤---+--<+<；继续此法，可得{}0n x X ⊂，使得112ni ni x x =-<∑，且21(2,3,)2nn x n -<=，由此知1n n x x ∞==∑，并且1n n x ∞=<∞∑11112n n x ∞-=⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭∑.6. 设(,)X 是赋范空间，{}0X ≠，证明：X 是Banach 空间，当且仅当，X 中的单位球面{}:1S x X x =∈=是完备的.证明：必要性是显然的(S 为X 中闭集)，下证充分性.若S 是完备的，设{}n x 为X 中的Cauchy 列，由于m n m n x x x x -≤-，从而lim n n x →∞存在，不妨设lim n n x a →∞=. 若0a =，则显然0()n x n →→∞.若0a ≠，不妨设0n x ≠，则n n x S x ⎧⎫⎪⎪⊂⎨⎬⎪⎪⎩⎭，因为11()0m n n m m n n m n m nn m nm nm nx xx x x x x x x x x x x x x x x x -=-≤-+-→也即n n x x ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭为S 中的Cauchy 列，由S 的完备性，lim n n n x x →∞存在，不妨设limn n n x x S x →∞=∈，从而有1lim 0n n n nn n x a ax ax x x x x x x a →∞-=-→-=，故lim 0n n x ax →∞-=，即{}n x 收敛，从而证得X 是Banach 空间.7. 证明0c 是可分的Banach 空间. 证明：分以下三步来证明：1). 证明0c 是l ∞的线性子空间. 事实上收敛列必有界，从而显然0c l ∞∈，且设()()12120,,,,,,,,,n n x y c ξξξηηη==∈，则()1122,,,,n n x y αβαξβηαξβηαξβη+=+++，由于lim 0n x y αβ→∞+=，从而我们有0x y c αβ+∈，即0c 是l ∞的线性子空间.2). 证明0c 是l ∞的闭子空间. 事实上，设()()()()120,,,,,k k k k n x c ξξξ=∈()(0)(0)(0)012,,,,n x ξξξ=，并且()(0)0sup 0()k k n n nx x k ξξ-=-→→∞，因此0ε∀>，1N ∃，使得当1k N >时，()(0)0sup 2k k n n nx x εξξ-=-<. 由于(0)()()(0)()1()2k k k n n n n n k N εξξξξξ≤+-<+>，又因0k x c ∈，()0()k n n ξ→→∞，故存在()1N N ≥，使得当n N >时恒有()2k n εξ<，从而(0)n ξε<，n N ∀>，即00x c ∈，由此知0c 是l ∞的闭子空间.3). 由于l ∞为Banach 空间，而0c 是l ∞的闭子空间，从而0c 是Banach 空间，下证0c 是可分的. 设M 为一切有限有理数列全体，即()12,,,,n n x M ξξξξ=∈⇔全为有理数，且存在x N ，使得当x n N >时，0n ξ=. 显然1n n MQ ∞=，可知M 可数.()1200,,,,,n y c εηηη∀>=∈，由于0n η→，故存在N ，使得当n N >时，n ηε<. 对()12,,,N N R ηηη∈，存在()12,,,N N Q ξξξ∈，使得1sup n n n Nηξε≤≤-<，从而存在()012,,,,0,0,N x M ξξξ=∈，使得0y x ε-<，即M 在0c 中稠密.综上可知0c 是可分的Banach 空间. 8. 设(,)n nX 是一列赋范空间，{}(),1,2,n n n x x x X n =∈=且满足条件1pkk x ∞=<∞∑，用X 表示所有x 的全体，按坐标定义线性运算构成的线性空间，在X 中定义11(1)ppkk x x p ∞=⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭∑，证明(,)X 是一个赋范空间.证明：只需证明是一个范数即可. 事实上，显然0x ≥，且0x =，即10pkk x ∞==∑，从而有0(1,2,)kkx k ==，又k X 是赋范空间，故(1,2,k x k θ==，从而可得x θ=，即证明了范数公理的条件1)成立，而条件2)显然成立，下证条件3)成立. 设{}{}(),,,1,2,n n n n n x x y y x y X n ==∈=，由离散情形的Minkowski 不等式，我们有111111ppppp p kk kk k k k x y x yx y x y ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+≤+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑,从而证得是一个范数，从而(,)X 是一个赋范空间.9. 证明：1) 离散情形的Hölder 不等式与Minkowski 不等式；2) ()1p l p ≥是可分的Banach 空间.证明：1). 首先证明离散情形的Hölder 不等式，即证明下列不等式成立：11111pqp q k k k k k k k ξηξη∞∞∞===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，其中111,1p p q ≥+=. 令11,pqpqk kk k A B ξη∞∞====∑∑，由不等式pqabab p q ≤+可得11p qk kk kAB p A q Bξηξη≤+从而有1111111111pqpq pqk kk kkk k k k k k A B AB p A q Bpqp qξηξηξη--∞∞∞∞∞=====≤+=+=+=∑∑∑∑∑，所以11111pqp q k k k k k k k AB ξηξη∞∞∞===⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 由离散情形的Hölder 不等式，我们可以推导相应的Minkowski 不等式：111111pppp p p k k k k k k k ξηξη∞∞∞===⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑事实上，由Hölder 不等式，我们得到111111111(1)(1)1111111111,pp p k k k k kk k kk k k pqpqp q p p q p k k k k k k k k k k qp p p p pk k k k k k k ξηξξηηξηξξηηξηξηξη∞∞∞--===∞∞∞∞--====∞∞∞===+≤+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑由此即可得到111111pppp p p k k k k k k k ξηξη∞∞∞===⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑.2). 首先，由于(){}12,,,,,1,2,,n n i Q r r r r r Q i n ==∈=为n R 中全体有理点集，它是n R 中稠密的可数集，因此n R 是可分空间. 令(){}12,,,,;,,1,2,,n i M r r r r n N r Q i n ==∈∈=，易知M 为p l 的可数子集，下证p M l =. 事实上，设()12,,,,,0,p n x l ξξξε=∈∀>存在()N ε，使得12ppi i N εξ∞=+<∑，从而有()12,,,,0,N y r r r M =∈，使得111122p ppNpp p i i i pi i N x yr εεξξε∞==+⎛⎫⎛⎫-=-+<+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，因此p M l =，即()1p l p ≥是可分的Banach 空间.10. 证明任意线性空间中存在Hamel 基.证明：设E 是线性空间X 中的线性无关集，令集合M 为包含E 的所有线性无关集全体，在M 上定义偏序关系为''''⊂,显然M 的全序子集都有上界(所有集合的并集)，由Zorn 引理，M 有极大元，不妨设为B ,下证B 即为X 的Hamel 基，如若不然，则存在y X ∈，但y B ∉，即y 与B 中任何元素都线性无关，从而{}y B M ∈，这与B 的极大性矛盾.11. 设A 是线性空间X 中的子集. 证明：111():,01.nn n k k k k Co A x x X n x A αααα=⎧⎫=++∈∈≥=⎨⎬⎩⎭∑是任意自然数，且证明：若令S 表示上式右端，则A S ⊂而且S 是凸集，从而()Co A S ⊂. 反之，设F 是包含A 的任一凸集，那么(1,2,,)i x F i n ∈=，从而1ni i i x F α=∈∑，即得S F ⊂，从而()S Co A ⊂.12. 设E 是直线上的Lebesgue 可测集，且mE <∞，用p表示()(1)p L E p ≥的范数，∞表示()L E ∞的范数. 证明：对于每一()x L E ∞∈，lim pp x x ∞→∞=.证明：设xM ∞=，若0mE =或0M =，显然成立，下设0,0mE M ≠≠：i). 根据本性上确界的可达性，即存在0E E ⊂，使得00mE =，并且0\sup ()E E M x t =，所以0\\()d ()d d ppp pEE E E E x t t x t t M t M mE =≤=*⎰⎰⎰，所以()1ppxM mE ≤*. 因为当p →∞时，()11pmE →，即lim pp xM x ∞→∞≤=；ii). 对任意的0ε>，令{}1:()E t E x t M ε=∈>-，由上确界定义易知10mE >，从而11()d ()d ()ppp EE x t t x t t M mE ε≥≥-*⎰⎰，令p →∞，则lim pp xM ω→∞≥-，由ε的任意性，知lim pp xM →∞≥.从而lim pp xM x ∞→∞==.13. 设()11,X ，()22,X 是赋范空间，在乘积线性空间12XX ⨯中定义()1212112212,max ,z x x z x x =+=，其中()1212,,z X X z x x ∈⨯=.证明1z ，2z 是12X X ⨯上的等价范数.证明：显然2122z z z ≤≤，从而它们是等价范数.14．设X 是区间[],a b 上所有连续函数全体按通常方式定义线性运算所成的线性空间，对于x X ∈定义1sup ();()d ba a t bx x t x x t t ≤≤==⎰.证明：和1是X 上两个不等价的范数. 证明：显然和1是X 上的两个范数，且1()x b a x ≤-，要证两个范数不等价，则只需证明不存在0c >，使得1x c x ≥，即证明存在[]C ,n x a b ∈，使得1n nx x →∞.令()()(),,2()2,,20,,n b aa n t a a t a nb a nbb ax t a b a t a b a n nb a a t b n-⎧+-≤≤+⎪⎪--⎪=--++≤≤+⎨-⎪⎪-+≤≤⎪⎩则()()12,,2n n b a b a x x b n-+==()()122n nx nx b b a b a =→∞-+.15. 设Banach 空间(,)X 具有Schauder 基{}n e ，用M 表示所有使得1k k k e ξ∞=∑在X 中收敛的数列{}k ξ的全体，按通常方式定义线性运算构成的线性空间，对于每一{}k x M ξ=∈，定义11supnk knk x eξ==∑，证明(,)M 是Banach 空间.证明：首先易知1是范数.设{}()m x M ∈是Cauchy 列，()()()()()12,,,,m m m m n x ξξξ=16. 设(,)X 是赋范空间，Y 是X 的子空间，对于x X ∈，令(),inf y Yd x Y x y δ∈==-.如果存在0y Y ∈，使得0x y δ-=，称0y 是x 的最佳逼近. 1) 证明：如果Y 是X 的有穷维子空间，则对每一x X ∈，存在最佳逼近.2) 试举例说明，当Y 不是有穷维空间时，1)的结论不成立. 3) 试举例说明，一般地，最佳逼近不惟一.4) 证明对于每一点x X ∈，x 关于子空间Y 的最佳逼近点集是凸集.证明：1).有下确界定义，0,n y Y ε∀>∃∈，使得n x y δδε≤-<+.因为Y 是有穷维子空间，从而存在子列{}{}k n n y y ⊂，使得0k n y y →，将上面不等式中的n 改为k n ，并令k →∞，便有0x y δδε≤-<+，由ε的任意性即可得到0x y δ-=，即0y 就是x 的最佳逼近元.2).例：在0c 空间中，令{}011:02n n nn n M x c ξξ∞∞==⎧⎫==∈=⎨⎬⎩⎭∑，则易证M 是0c 的闭子空间. 设()02,0,,0,x =，下面说明对此0x ，M 中不存在最佳逼近元. 事实上，N m ∀∈，令()111,1,,1,0,0,2m m m x M -⎛⎫⎪=---∈ ⎪ ⎪⎝⎭个，则()00111(,)12m m m x x d x M →∞--=+⇒≤.下证0,1y M x y ∀∈->.用反证法.假设存在()12,,,,k y M ξξξ=∈，使得01x y -≤，则()0122,,,,k x y ξξξ-=---，011,2,12 1.kk x y ξξ⎧≤≥-≤⇒⎨-≤⎩又由()12211,21222kkk kkk k k ξξξξ∞∞==≤≥⇒≤<⇒<∑∑.这与121ξ-≤矛盾.所以0,1y M x y ∀∈->.两边取下确界，得到0(,)1d x M ≥，从而我们可以得到0(,)1d x M =，即在M 上找不到一点，使得该点是0x 的最佳逼近. 3).例：在2R 中，对()212,x x x R ∀=∈，定义范数12max(,)x x x =，并设()00,1x =,()11,0e =，a R ∈，则(){}01,1max ,1x ae a a -=-=，从而01min 1a Rx ae ∈-=，但最佳逼近元{}11a ae ≤不惟一.4).设M 为x 关于子空间Y 的最佳逼近点集，则对[]12,,0,1y y M λ∀∈∈，12(,)x y x y d x Y -=-=，从而()()()121212(1)(1)(1)(,)x y y x y x y x y x y d x Y λλλλλλ-+-=-+--≤-+--=又显然()12(1)(,)x y y d x Y λλ-+-≥，从而()12(1)(,)x y y d x Y λλ-+-=，即12(1)y y M λ+-∈，所以M 是凸集.17. 设(,)X 是赋范空间，如果对任意,,x y X x y ∈≠且1x y ==必有2x y +<，称(,)X 是严格凸赋范空间. 1) 证明赋范空间(,)X 是严格凸的，当且仅当，对任意,x y X ∈，x y x y +=+必有(0)x y αα=>.2) 证明在严格凸赋范空间中，对于每一个x X ∈，x 关于任意子空间Y 的最佳逼近是惟一的.证明：1). 必要性. 设x y x y +=+，则11x y x y xyx y x y x x yy+=⇒+=+++，由严格凸性，x y c x y =，即c x x y y=，令c x yα=，即可得到x y α=.充分性.用反证法，如果存在,,x y X x y ∈≠且1x y ==，使得(1)1x y ββ+-=，即(1)(1)x y x y ββββ+-=+-，由假设，必存在α，使得(1)x y βαβ=-，又因为1x y ==，从而可得x y =，矛盾.2).用反证法.事实上，若(),0d x Y >,并有12(,)x y x y d x Y -=-=，则对[]0,1α∀∈，由严格凸性有()()()12121211(1)(1)(,)(,)(1)1(,)(,)x y y x y x y d x Y d x Y x y x y d x Y d x Y αααααα-+-=-+--⎛⎫⎛⎫--=+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()12(1)(,)x y y d x Y αα-+-<，这显然与(,)d x Y 的定义矛盾.但若(),0d x Y =，12,y y 是相应的最佳逼近元，则必有12y x y ==，从而最佳逼近元必是惟一的.18．设(,)X 是赋范空间，如果对任意0ε>，存在0δ>，当x y ε-≥，1x y ==时必有2x y δ-≤-，称(,)X 是一致凸的. 证明： 1) 一致凸赋范空间必是严格凸的. 2) [],C a b 不是一致凸的. 3) []1,L a b 不是一致凸的.证明：设X 是一致凸的赋范空间，,,x y X x y ∈≠且1x y ==，则必存在00ε>，使得0x y ε-≥(若不然，对0ε∀>，都有x y x y ε-<⇒=，矛盾). 由一致凸性，对此00ε>，必存在0δ>，使得22x y δ-≤-<，从而X 是严格凸的. 2). 由1),只需证明[],C a b 不是严格凸的即可.以[]0,1C 为例.取()1,()x t y t t ≡= 都满足1x y ==，但2x y +=.从而不是严格凸的.3). 同理. 取()1,()2x t y t t ≡=，都满足1x y ==，但2x y +=.从而不是严格凸的.习题三1. 设1sup n n α≥<∞，在1l 上定义算子:T y Tx =，其中{}{},k k x y ξη==，k k k ηαξ=(1,2,)k =. 证明T 是1l 上的有界线性算子并且1sup n n T α≥=.证明：111,sup k k k k k k k k k k x ηαξηαξα∞∞≥====≤∑∑，()112,,,,,k x l ξξξ∀=∈()112,,,,k y l ηηη∴=∈，且1sup k k Tx x α≥≤，1sup k k T α≥∴≤.另一方面，由上确界定义，对任意的n ，存在k n ，使得11sup k n k k nαα≥>-. 取()010,0,,1,0,k n x =第项为,则显然01x =，且00k n Tx T x T α=≤=，从而11sup k k T nα≥-<. 令n →∞，则有1sup k k T α≥≤. 所以1sup k k T α≥=.3. 证明Banach 空间X 是自反的，当且仅当*X 是自反的.证明：必要性. 设X 是自反的，:**()J X X J X →=为典型映射，现证*X 也自反. 任取****:x x J X =→k ，显然**x X ∈. 因为()****()()(*)x Jx x x Jx x ==，及X 的自反性得()**R J X =，因此对任意的****x X ∈，()*******(*)x x x x =，由此知1****J x x =，其中1:****J X X →为典型映射，且()1***R J X =，从而*X 是自反的.充分性. 设*X 自反，假设X 不是自反的，即0()J X X =为**X 的真闭子空间(因为J 是X 到0X 上的等距同构映射，且X 完备)，由Hann —Banach 定理，存在0******x X ∈，满足0***1x =，且()**x J X ∀∈，()0*****0x x =. 因为()1****J X X =，故存在*0*x X ∈，使得********001001,()x x J x x ===，********001001,()x x J x x ===，因而对任意的****x X ∈，()****00(**)**x x x x =，但()()*****000()0,x x x x Jx x X ===∀∈，因此*0*x X θ=∈，这与*01x =矛盾，从而设X 是自反的.20. 设X 是一致凸赋范空间，()0,1,2,n x x X n ∈=. 证明如果()0Wn x x n −−→→∞且 ()0n x x n →→∞，则()0n x x n →→∞.证明：不妨设00,n x x θ≠≠，用反证法. 为简单起见，设01n x x ==，且n x 不按范数收敛于0，那么可设00ε∃>，使得00n x x ε-≥，由空间的一致凸性，0δ∃>，使得02n x x δ+≤-. 由于0Wn x x −−→，故*f X ∀∈，且1f =有()()0n f x f x →，从而有()()002n f x x f x +→. 由于()002n n f x x f x x δ+≤+≤-及()()0001112sup sup lim22n n f fx f x f x x δ→∞==-==+≤知01x <，这与01x =矛盾，从而必有()0n x x n →→∞.22. 证明空间(1)pl p <<∞上的有界线性泛函的一般形式为()1k kk f x αξ∞==∑，其中{}pk x l ξ=∈，{}111qk y l p q α⎛⎫=∈+= ⎪⎝⎭并且11q k k f q α∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，()*p q l l =.证明：令()0,,0,1,0,n e =，显然()12,,,,pn x lξξξ∀=∈，有1i ii x eξ∞==∑. 设()1i i i f x ξη∞==∑，其中()12,,,,q n y l ηηη=∈，则由Hölder 不等式，我们可以得到 ()11111qpqpi i i i i i i f x y x ξηηξ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，从而可知()*pf l ∈，且f y ≤.反之，对任一()*p f l ∈，()()1,2,i i f e i η==，()12,,,,n y ηηη=，下证qy l ∈且()1i i i f x ξη∞==∑及f y =. 事实上，令11sgn nq p n ii i i x e l ηη-==∈∑，则()()111sgn nnq qn ii i i n i i f x f e fx ηηη-====≤∑∑. 由于()11111nnppp q q n ii i i x ηη-==⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，因此()111,2,nqq i i fn η=⎛⎫≤= ⎪⎝⎭∑，令n →∞得11nqq i i y fη=⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭∑，令(),:*p q Tf y T l l =→，则y T f f =≤，从而y T f f ==. 又显然T 是线性算子，且为满射，故为()*p l 到q l 上的等距同构映射，从而()*p q l l =.习题四1. 设12,,,,n H H H 是一列内积空间，令{}21:,.n n n nn H x x H x ∞=⎧⎫=∈<∞⎨⎬⎩⎭∑对于{}{},n n x y H ∈，定义{}{}{}(,)n n n n x y x y αβαβαβ+=+∈k ，{}{}(),n n x y ()1,n n n x y ∞==∑.证明H 是内积空间，并且当每一个n H 都是Hilbert 空间时，H 是Hilbert 空间. 证明：先证H 是内积空间. 因为()()11222211111,,n n n n n n n n n n n n n x y x y x y x y ∞∞∞∞∞=====⎛⎫⎛⎫≤≤≤<∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑， 故定义{}{}(),nnx y ()1,nnn x y ∞==∑是有意义的. 又由{}{}{}()()()(){}{}(){}{}()111,,,,,,nnnnn n n n n n n n n n n n n x y z xy z x z y z x z y z αβαβαβαβ∞∞∞===+=+=+=+∑∑∑及{}{}()()()(){}{}()111,,,,,nnnnnnnnnnn n n x y x y y x y x y x ∞∞∞=======∑∑∑，而且{}{}()()1,,0nnnnn x x x x ∞==≥∑及{}{}()()(),0,01,2,n n n n x x x x n =⇔==⇔(){}1,2,n n x n x θθ==⇔=，由内积定义可知H 是内积空间.再证H 是完备的. 设{}()1i i x ∞=是H 中的Cauchy 列，其中()()()()()12,,,,i i i i n x x x x =.由定义00,i ε∀>∃，使得当0,i j i >时，有()()i j x x ε-<，即122()()1i jn nn x x ε∞=⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑，于是()()i j n nx x ε-<，所以{}()1i nn x ∞=是n H 中的Cauchy 列(n 固定)，设()(0)i n n x x →，并令()(0)(0)(0)12,,,,n x x x x =，由前证122()()1i j n n n x x ε∞=⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑，0,i j i ∀>，故对固定的k 使得2()()21ki j n nn x x ε=-<∑. 令j →∞，则2()(0)21ki n nn x x ε=-≤∑，再令k →∞，就有2()(0)21i n nn x x ε∞=-≤<∞∑，即()i x x H -∈. 因为H 是线性空间，于是有()()()i i x x x x H =--∈，故点列()()1,2,i x i =按H 中范数收敛于x ，于是H 是完备的，即是Hilbert 空间.2. 设H 是Hilbert 空间，M 是H 的闭子空间. 证明M 是H 上某个非零连续线性泛函的零空间，当且仅当M ⊥是一维子空间.证明：必要性. 若M 是H 上某个非零连续线性泛函的零空间，由Riesz 表示定理知存在f y H ∈，使得()(),,f f x x y x H =∀∈，于是()(){}{}:,0,f f f M x f x x y y H y ⊥===∈=，由本节题4知.{}(){}span f fM y y ⊥⊥⊥==是一维子空间.充分性. 若M ⊥是非零元y 生成的一维子空间，,x H ∀∈令()(),f x x y =，则显然有()0f x x y =⇔⊥，即()x M M ⊥⊥∈=，所以M 是非零连续线性泛函f 的零空间.4. 设M 是Hilbert 空间H 上的非空子集，证明()M ⊥⊥是包含M 的最小闭子空间.证明：记span Y M =，则Y 是包含M 的最小闭子空间，故只需证()M Y ⊥⊥=.事实上，x Y ∀∈，有s p a n n x M ∈，使得n x x →. y M ⊥∀∈有()(),lim ,0n n x y x y →∞==,故()x M ⊥⊥∈，即有()Y M ⊥⊥⊂. 又因为Y 是闭子空间，故有()Y Y ⊥⊥=(证明见指南P63例5). 于是由M Y ⊂可得Y M ⊥⊥⊂，进而可得()()M Y Y ⊥⊥⊥⊥⊂=，所以可得()span M Y M ⊥⊥==.5. 设H 是内积空间，M 是H 的线性子空间. 证明如果对于每一个x H ∈，它在M 上的正交投影存在，则M 必是闭子空间.证明：x M ∀∈，存在{}n x M ⊂，使得lim n n x x →∞=. 由条件0101,,x x x x M x M ⊥=+∈∈,于是001n x x x x x M ⊥-→-=∈. 注意到0n x x M -∈，故有()()1101,lim ,0n n x x x x x →∞=-=即1x θ=，从而0x x M =∈，从而M 是闭子空间.6. 证明在可分内积空间中，任一标准正交系最多为一可数集.证明：设H 为可分的内积空间，{}1n n x ∞=为H 的可数稠密子集，又设{}:e λλ∈Λ为H 中任意一簇标准正交系，则,n x λ∀∈Λ∃，使得n x e λ-<. 若Λ不可数，则必有{}1k n n x x ∞=∈以及,','λλλλ∈Λ≠，使得'k k x e x e λλ-<-<''k k e e x e x e λλλλ-≤-+-<，但由勾股定理，有222''2e e e e λλλλ-=+=，即'e e λλ-=H 中的任一标准正交系最多为可数集. 7. 设{}e I αα∈是内积空间H 中的标准正交系. 证明对于每一个x H ∈，x 关于这个标准正交系的Fourier 系数(){},:x e I αα∈中最多有可数个不为零.证明：记{}:F e I αα=∈，由Bessel 不等式， x X ∀∈，若取n 个F 中元素e λ排成一列，不妨设为12,,,n e e e ，则有()221,ni i x e x =≤∑，于是在F 中使(),x e λ≥得e λ只能为有限个，记():,,n F e x e λλλ⎧=∈Λ≥⎨⎩及1ˆnn F F ∞==. 显然ˆF 为可数集，且当ˆe F F λ∈-时，(),0x e λ=，即x 的Fourier 系数(){},:x e I αα∈中最多有可数个不为零.8. 设H 为Hilbert 空间，()0,1,2,n x x H n ∈=.当n →∞时，0Wn x x −−→，且 0n x x →，证明()0n x x n →→∞.证明：由()()()()()2,,,,,n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x -=--=--+，故当n →∞时，()2222,0n x x x x x -→-=，即()0n x x n →→∞.11. 设T 是Hilbert 空间H 上的线性算子且对所有,x y H ∈，()(),,Tx y x Ty =.证明T 是有界算子.证明：只需证明T 是H 上的闭线性算子. 设n x H ∈，且满足00,n n x x Tx y →→，则y H ∀∈，由条件()(),,n n Tx y x Ty =. 令n →∞，则有()()()000,,,y y x Ty Tx y ==，故00y Tx =，即T 是闭线性算子，从而由闭图像定理可知T 有界.13. 设H 是Hilbert 空间，(),x y ϕ是定义在H H ⨯上的泛函且关于x 是线性的，关于y 是共轭线性的并且存在常数C ，使得()(),,x y C x y x y H ϕ≤∈.证明：存在惟一算子()A B H ∈，使得对所有,x y H ∈，()(),,x y Ax y ϕ=且A ϕ=，其中()11sup ,x y x y ϕϕ===.证明：因(),x y ϕ关于y 是共轭线性的，故(),x y ϕ关于y 是线性的，固定x H ∈，则(),x y ϕ为H 上的有界线性泛函，由Riesz 表示定理，存在惟一*x H ∈，使得()(),,*x y y x ϕ=，即()(),*,x y x y ϕ=. 作映射:*A xx ，有()()(),*,,x y x y Ax y ϕ== 由于()()()()()()()()1212121212,,,,,,,A x x y x x y x y x y Ax y Ax y Ax Ax y αβϕαβαϕβϕαβαβ+=+=+=+=+，即()1212A x x Ax Ax αβαβ+=+又因为()()2,,Ax Ax Ax x Ax x y ϕϕ==≤，即A ϕ≤，所以()A B H ∈.再由Schwartz 不等式，有()(),,x y Ax y Ax y A x y ϕ=≤≤，故A ϕ≤，于是 A ϕ=. 若设()T B H ∈，且满足()(),,x y Tx y ϕ=，则()(),,,,A xy T x y xy H =∀∈，即()(),0,,A T x y x y H -=∀∈. 特别地，令()y A T x =-，得()20A T x -=，因此(),A T x x H θ-=∀∈，故0A T -=，所以A T =.14. 设{}n T 是Hilbert 空间H 上的有界自共轭算子列且()0n T T n -→→∞. 证明T 也是自共轭的.证明：由()()***0n n n T T T T T T n -=-=-→→∞，即可得**n T T →，由n T 的自共轭性即可得T 也是自共轭的.2011年博士研究生第二次公开招考报考须知发布时间：2011-02-24 08:37 来源：本站点击量：303一、报名2011博士研究生第二次公开招考网上报名时间：2011年3月4日-13日，网址：/hityzb/zs.jsp?cla=2。
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第十一章 线性算子的谱1． 设[0,1],()()(),X C Ax t tx t x X ==∈。
证明()[0,1]A σ=，且其中没有特征值。
证明 当[0,1]λ∈时，常值函数1不在I A λ-的值域中，因此I A λ-不是满射，这样()A λσ∈。
反之若[0,1]λ∈，定义算子1:()R R x t tλλλ=-。
则由于[0,1]λ∈，且 11max()(,[0,1])a t bR x x t x t d λλλ≤≤=≤- 因此R λ是C[0，1]中有界线性算子。
易验证()()R I A I A R I λλλλ-=-=，所以()A λσ∈。
总之()[0,1]A σ=，若Af f λ=，则对任意t λ≠，()()tf t f t λ=，可推得()0f t =。
由于()[0,1]f t C ∈，必有()0f t ≡，所以A 无特征值。
证毕。
2． 设[0,2],()()(),.itX C Ax t e x t x X π==∈，证明(){1}A σλλ==。
证明 对任意000,()()()()it itit it e e I A x t e e x t -=-。
因为常值函数1不在0ite I A -的值域中，因此0()ite A σ∈。
这样{1}()A λλσ=⊂。
反之，若1λ≠，定义1:()()()itR R x t x t eλλλ=-。
类似第1题可证R λ是有界线性算子，且()()R I A I A R I λλλλ-=-=。
即()A λσ∈。
因此(){1}A σλλ==。
证毕。
3． 设21223,(,,,)(,,,)n n X l Ax A x x x x x x ===L L L L ，试求()A σ。
解 对任意λ，若1λ<，定义(1,,,,)n x λλλ=L L ，显然22,(,,,,)(1,,,,)n n x l Ax x λλλλλλλλλλ∈===L L L L ，因此{1}λλ=的内点都是A 的点谱，由于()A σ是闭集，则{1}()A λλσ=⊂。
对任意x A ∈，显然Ax x ≤，因此1A ≤，所以(){}{1}A A σλλλλ⊂≤⊂=。
这样我们就证明了(){1}A σλλ==。
4． 设F 是平面上无限有界闭集，{}n α是F 的一稠密子集，在2l 中定义算子T ：1211(,,,)(,,)n n n Tx x x x x x αα==L L L L则n α都是特征值，(),\{}n T F F σα=中每个点是T 的连续谱。
证明 对任意n ，(0,0,,1,0,)n e =L L ，其中1在第n 个坐标上。
由题设，n n n Te e α=，因此n α是T 的特征值。
又由于()T σ是闭集，所以{}()n F T ασ=⊂。
若F λ∉，则(,)0d F λ>。
定义算子R λ，若212(,,,)n x x x x l =∈L L ，1212111(,,,,)nn R x x x x λλαλαλα=---L L易验证1(,)R x x d F λλ≤，且()()R I T I T R I λλλλ-=-=。
因此()T F σ⊂。
若{}n F λα∈-，且212(,,,)n x x x x l =∈L L ，使Tx x λ=。
则对任意n ，n n n x x λα=。
由于n λα≠，则0n x =，1,2,n =L 。
这样x=0，因此λ不是特征值，而是连续谱。
证毕。
5． 设λ为线性算子nA 的特征值，则λ的n 次根中至少有一个是算子A 的特征值。
证明 设λ是nA 的特征值，λ的n 次根为12,,,n λλλL 。
存在0x ≠，使()0nA I x λ-=，则12()()()()0nn A I x A I A I A I x λλλλ-=---=L 。
若1()0A I x λ-=，则1λ就是A 的特征值，否则必有某i ，11()()()0i i A I A I A I x λλλ----≠L ，而11()()()0i i A I A I A I x λλλ+---=L ，则1i λ+是A 的特征值。
证毕。
6． 设A 为Banach 空间X 上的有界线性算子，0()A λρ∈，又设{}n A 为X 上一列有界线性算子，且lim 0n n A A →∞-=，证明当n 充分大后，n A 也以0λ为正则点。
证明 00()n n I A I A A A λλ-=---100()[()()]n I A I I A A A λλ-=----。
当n 充分大时，10()()1n I A A A λ---<，这样 10()()n I I A A A λ---- 是可逆的。
此可逆性由本章§2定理1可证，又0I A λ-也是可逆的。
因此当n 充分大后，0n I A λ-也可逆。
证毕。
7． 设A 是为Banach 空间X 上的有界线性算子，则当A λ>时，11()nn n A R A I λλλ∞-+==-=∑，1R Aλλ≤-。
证明 当A λ>时幂级数1n nn Aλλ∞=∑收敛，因此级数1nn n A λ∞+=∑必按算子范数收敛。
111100()()1nnnn n n nn n n n n A A A A I A I A λλλλλλ+∞∞∞∞+++====-=-=-=∑∑∑∑这就证明了110()nn n A A I λλ∞-+=-=∑，111nnn n n n AA R Aλλλλ∞∞++===≤=-∑∑。
证毕。
8． 设A 为X 上的有界线性算子，,()A λμρ∈，则()R R R R λμλμμλ-=-。
其中与,R R λμ的意义同第7题。
证明 在等式11()()R R I A I A μλμλ---=---两边左乘R λ右乘R μ得()(()())R R R I A I A R R R λμλμλμμλμλ-=---=-。
因此()R R R R λμλμμλ-=-，证毕。
9． 设A 是Hilbert 空间H 上的有界线性算子，A*为A 的共轭算子，证明(*){()}()A A A σλλσσ=∈=证明 先证若T 是Hilbert 空间H 上的有界线性算子，若T 可逆，则T*也可逆，且11(*)()*T T --=。
事实上，对任意,x y H ∈，11,,,()**x y TT x y x T T y --<>=<>=<>。
这样1,()**0x y T T y -<->=对任意x H ∈成立，因此1()**y T T y -=恒成立，进而1*()*T T I -=。
同理1*()*T T I -=。
这一证明了T*也可逆，且11()*(*)T T --=。
现在设()A λσ∈，则A I λ-可逆，因此()**A I A I λλ-=-也可逆，从而(*)A λσ∈。
同理若(*)A λσ∈，则()A λσ∈，这就证明了(*){()}A A σλλσ=∈。
证毕。
10． 设1T 是 1X 到2X 的全连续算子，2T 是2X 到3X 的有界线性算子，则21T T 是1X 到3X 的全连续算子。
证明 设{}n x 是1X 中有界点列。
因为1T 全连续，所以1{}n T x 中必有收敛子列。
我们记之为1{}k n T x 。
又因为2T 有界，所以21{}k n T T x 也收敛，因此21{}n T T x 有收敛子列。
这就证明了21T T 是全连续算子。
证毕。
11． 设A 是2l 上线性算子，记1(0,0,,0,1,0,)n n e -=L L 14243个，1k jk j j Ae a e ∞==∑其中2,1k iji j Ae a∞==<∞∑，证明A 是全连续的。
证明 若12(,,,)n x x x x =L L ，定义11:()nn n kjkj j k A A x x ae ∞===∑∑：则n A 是有界秩算子，且2211()n kjkj n k A A x x a∞∞=+=-=∑∑22111()()kjk j n k k xa ∞∞∞=+==≤∑∑∑2211jkj n k a x ∞∞=+==∑∑所以0n A A -≤→()n →∞。
由本章§3定理2，A 是全连续算子。
证毕。
12． n e 的符号同第11题。
作2l 上算子U 。
11,1,2,.k k Ue e k k+==L 证明U 是2l 上全连续算子且(){0}U σ=。
证明 若21i i i x x e l ∞==∈∑，则111i i i Ux x e i ∞+==∑。
令111n i i i U x x e i∞+==∑，则n U 是有限秩算子，且 222211111()()n i i i i n i n U U x x x i i ∞∞∞==+=+-=≤∑∑∑2211i x i∞=≤∑所以0()n U U n -≤→∞。
这样U 是有限秩算子n U 的极限，U 必是全连续算子。
由于全连续算子的非零谱都是特征值，因此要证(){0}U σ=，只要证U 无非零特征值。
倘若0λ≠，211111,,i i i i i i i i i x x e l Ux x x e x e i λλ∞∞∞+====∈==∑∑∑。
即121211(0,,,,,)(,,,)2n n x x x x x x nλ=L L L L 。
则1110,,1,2,i i x x x i iλλ+===L ，由此可得0,1,2,i x i ==L 。
因此λ不是U 的特征值。
证毕。
13．设 10()()()s tA s et dt ϕϕ+=⎰， 求A 的特征值和特征函数。
（提示：记 10()tc e t dt ϕ=⎰ ）解 记1()t c e t dt ϕ=⎰。
设ϕ为对应特征值λ的特征函数，则A ϕλϕ=，即s ce λϕ=。
若0λ≠，则sce ϕλ=。
代入c 的表达式：1ss cc e e ds λ=⎰，解得12201(1)2s e ds e λ==-⎰。
因此非零特征值21(1)2e λ=-，特征函数为0()s s c e ϕ=，其中0c 为任意非零常数。
若0λ=，则1()0s e s ds ϕ=⎰，特征函数{}s e ⊥为中任意非零函数。
14．积分算子的核为，1(,)()()nkkk K s t p s q t ==∑，其中{}k p 为线性无关的函数组，则其非零特征值λ相应的特征向量e 有形式 1nkk k e cp ==∑， k c 是常数。
若记 ()()bij i j aq q x p x dx =⎰，则k c 可由下式决定：1,1,2,nk i iki c c qk n λ===∑L 。
证明 (,)()baA K s t t dt ϕϕ=⎰1()()()nb kkak p s q t t dt ϕ==∑⎰1(()())()nb k k ak q t t dt p s ϕ==∑⎰。