高中数学数列压轴题练习(江苏)及详解

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高中数学数列压轴题练习（江苏）及详解
1.已知数列
是公差为正数的等差数列,其前 n 项和为 ,且 •
,
(Ⅰ)求数列
的通项公式;
(Ⅱ)数列 满足
,
①求数列 的通项公式;
②是否存在正整数 m,
,使得 , , 成等差数列?若存在,求出 m,
n 的值;若不存在,请说明理由.
解:(I)设数列 的公差为 d,则
由•
,
,得
, 计算得出
或
去).
;
(Ⅱ)①
,
,
,
,
,,
,
累加得:
,
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(舍 ,即

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也符合上式. 故
,
.
②假设存在正整数 m、
又
,
,使得 , , 成等差数列, 则 ,
,
,即
, 化简得:
当
,即
时,
,(舍去); 当
,即
时,
,符合题意. 存在
正整数 解析
,
,使得 , , 成等差数列.
(Ⅰ)直接由已知列关于首项和公差的方程组,求解方程组得首项和公差,代入等
差数列的通项公式得答案;
(Ⅱ)①把数列
的通项公式代入
,然后裂项,累加后即
可求得数列 的通项公式; ②假设存在正整数 m、
,使得 , ,
成等差数列,则
.由此列关于 m 的方程,求计算得出答案.
2.在数列
中,已知
,
(1)求证:数列
为等比数列;
(2)记
,且数列 的前 n 项和为 ,若 为数列
中
的最小项,求 的取值范围.
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解:(1)证明:
,
又
,
,
,故
项,公比为 3 的等比数列
(2)由(1)知道
,
, ,
是以 3 为首
若 为数列 恒成立, 即
中的最小项,则对 有 对 恒成立 当
时,有
;当
时,有
⇒ ; 当 时,
恒成立,
对 恒成立. 令
,则
对
恒成立,
在 时为单调递增数列.
,即
综上, 解析
(1)由
,整理得:
.由
,
,可以知道
是以 3 为首项,公比为 3 的等比数列;
(2)由(1)求得数列
通项公式及前 n 项和为 ,由 为数列
中的最
小项,则对 有
恒成立,分类分别求得当
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时和当
的取值范围, 当 时,
法,根据函数的单调性,即可求得 的取值范围.
,利用做差
3.在数列
中,已知
,
为
的前 n 项和.
(1)求证:数列
是等差数列;
(2)求 ; (3)是否存在正整数 p,q, 若存在,求出 p,q,r 的值;若不存在,说明理由.
,
,设
,使 , , 成等差数列?
(1)证明:由
,
, 得到
又
,
以-2 为公差的等差数列;
, 数列
,则 是以 1 为首项,
(2)由(1)可以推知:
, 所以,
, 所以
① ①-②,
得
, ,②
,
整数 p,q,
,
, 所以
,使 , , 成等差数列. 则
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(3)假设存在正 ,即

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因为当 时,
, 所以数列
单调递
减. 又
, 所以
且 q 至少为 2, 所以
,
①当 时,
,又
, 所以
,等式不成立.
②当
时,
, 所以
所以
, 所以
,(数列
单调递减,解唯一确定). 综上可以知道,p,q,r 的值分别是 1,2,3. 解析
(1)把给出的数列递推式
,
,变形后得到新数列
,该数列是以 1 为首项,以-2 为公差的等差数列;
(2)由(1)推出 的通项公式,利用错位相减法从而求得求 ;
(3)根据等差数列的性质得到
,从而推知 p,q,r 的值.
4.已知 n 为正整数,数列
满足
,
,设数
列
满足
(1)求证:数列
为等比数列;
(2)若数列
是等差数列,求实数 t 的值;
(3)若数列
是等差数列,前 n 项和为 ,对任意的
,均存
在
,使得
值.
成立,求满足条件的所有整数 的
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(1)证明: 数列
满足
,
,
•
, 2;
• , 数列
(2)解:由(1)可得:
•,
为等比数列,其首项为 ,公比为 ,
数列 是等差数列,
,
, 计算
得出
或 12.
时,
,是关于 n 的一次函数,因此数
列 是等差数列.
时,
,
,不是关于
n 的一次函数, 因此数列 不是等差数列. 综上可得
;
(3)解:由(2)得
, 对任意的
,均存在
,使得
成立, 即有 •
•
,化
简可得 合题意; 当
,当 ,
,
,
,当
时,
,对任意的
,符
意. 综上可得,当 解析
, 对任意的
,
,对任意的
,均存在
成立.
,不符合题 , 使得
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