历届全国大学生数学竞赛预赛试卷

x2
y2 , g(x, y)
f
1 r
，求
2g x2
2g y2
.
（5）求直线
l1
:
x z
y 0
0
与直线
l2
:
x2 4
y 1 2
z3 1
的距离.
二、（15 分）设函数 f (x) 在 (, ) 上具有二阶导数，并且 f (x) 0 ， lim f (x) 0 ， x
lim
x
f
(x)
1
2e
n
四、（15 分）设 an 0, Sn ak ，证明： k 1
（1）当
1 时，级数
n1
an Sn
收敛；
（2）当
1且
sn
(n
)
时，级数
n1
an Sn
发散.
五、（15 分）设 l 是过原点、方向为 ( , , ) ，（其中 2 2 2 1) 的直线，均匀椭球
x2 a2
y2 b2
2010 年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、（25 分，每小题 5 分）
（1）设 xn (1 a)(1 a2)
(1
a
2n
)
，其中
|
a
|
1,
求
lim
n
xn
.
（2）求
lim
x
e
x
1
1 x
x2
.
（3）设 s 0 ，求 In
esx xndx(n 1, 2,
0
).
（4）设函数 f (t) 有二阶连续导数， r
z2 c2
1（其中 0 c b a ，密度为
1）绕 l 旋转.
（1）求其转动惯量；
（2）求其转动惯量关于方向 ( , , ) 的最大值和最小值.
2/9
………………………………………………最新资料推荐………………………………………
六、(15 分)设函数(x) 具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线 C 上，曲线
………………………………………………最新资料推荐………………………………………
全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
2009 年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
(x y)ln(1 y )
1．计算 D
x dxdy ____________，其中区域 D 由直线 x y 1与两坐标轴所
0 ， 2
:
z2
x2
y2
，
为 1 与 2
的交线，求椭球面 1 在 上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.
五、 （本题
16
分）已知
S
是空间曲线
x2
3y2
1
绕
y
轴旋转形成的椭球面的上半部分（
z
0
）
z 0
（取上侧）， 是 S 在 P(x, y, z) 点处的切平面，(x, y, z) 是原点到切平面 的距离，, , 表 示 S 的正法向的方向余弦.计算：
积分
L
2xydx (x)dy x4 y2
0
的值为常数.
（1）设 L 为正向闭曲线 (x 2)2 y2 1 ，证明
2xydx (x)dy 0 ；
L
x4 y2
（2）求函数(x) ；
（3）设 C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求
2xydx (x)dy
C
x4 y2
.
2011 年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
七、（15 分）已知 un (x) 满足 un (x) un (x) xn1ex n 1,2,
，且 un
(1)
e n
，求函数项级数
un (x) 之和.
n1
八、（10 分）求 x 1 时，与 xn2 等价的无穷大量.
n0
1/9
………………………………………………最新资料推荐………………………………………
0 ，且存在一点
x0
，使得
f
(x0 )
0 .证明：方程
f
(x)
0 在 (,)
恰有两个
实根.
三、（15 分）设函数
y
f
(x)
由参数方程
x
y
2t t (t)
2
(t
1) 所确定，且 d2 y dx2
3， 4(1 t)
其中 (t) 具有二阶导数，曲线 y (t) 与 y t2 eu2du 3 在 t 1出相切，求函数 (t) .
三、（本题 15 分）设函数 f (x) 在 x 0 的某邻域内具有二阶连续导数，且 f 0, f 0, f 0
均不为 0，证明：存在唯一一组实数 k1,k2,k3 ，使得
lim
h0
k1
f
h
k2
f
2h
h2
k3
f
3h
f
0
0
.
四、（本题
17
分）设 1 :
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 ，其中 a b c
线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
六、（10 分）设抛物线 y ax2 bx 2 ln c 过原点.当 0 x 1时， y 0 ，又已知该抛物
线与 x 轴及直线 x 1所围图形的面积为 1 .试确定 a, b, c ，使此图形绕 x 轴旋转一周而成的 3
旋转体的体积V 最小.
四、（15 分）已知平面区域 D {(x, y) | 0 x , 0 y }，L 为 D 的正向边界，试证：
（1） xesin ydy yesin xdx xesin ydy yesin xdx ；
L
L
（2） xesin ydy yesin ydx 5 2 .
L
2
五、（10 分）已知 y1 xex e2x ， y2 xex ex ， y3 xe x e2x ex 是某二阶常系数
1 x y
围成三角形区域.
2．设
f
(x)
是连续函数，且满足
f
(x)
3x2
2
0
f
(x)dx
2 ，则
f
(x)
____________.
3．曲面 z x2 y2 2 平行平面 2x 2 y z 0 的切平面方程是__________.
2
4．设函数 y y(x) 由方程 xe f ( y) e y ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f 1 ，则
一、计算下列各题（本题共 3 小题，每小题各 5 分，共 15 分）
1
（1）求
lim
x0
sin x
x
1cos
x
；
（2）.求
lim
n
n
1 1
n
百度文库1
2
...
n
1
n
；
（3）已知
x
ln
1 e2t
y t arctan et
，求
d2 y dx2
.
二、（本题 10 分）求方程 2x y 4dx x y 1dy 0 的通解.
d2 y dx 2
________________.
二、（5
分）求极限 lim ( ex
e2x
e nx
e
)x
，其中 n
是给定的正整数.
x0
n
三、（15 分）设函数
f (x) 连续，g(x) 1 f (xt)dt ，且 lim
0
x0
f (x) x
A ， A 为常数，求 g(x) 并
讨论 g(x) 在 x 0处的连续性.