小学奥数数形结合
二年级奥数几何数形结合
形和数的密切关系，在古代就被人们注意到了．古希腊人发现的形数就是非常有趣的例子．最初的数和最简的图相对应．1 和·(点)2 和(线：两点连成一条直线)3 和(平面：三点确定一个平面)4 和(立体：不在同一平面上的四个点构成一个四面体)这是古希腊人的观点，他们说一切几何图形都是由数产生的．【例1】我国在春秋战国时代就有了“洛图”(见下图)．图中也是用“圆点”表示数，而且还区分了偶数和奇数，偶数用实心点表示，奇数用空心点表示．你能把这张图用自然数写出来吗?【例2】古希腊数学家毕达哥拉斯发现了“形数”的奥秘．比如他把l，3，6，10，15，…叫做三角形数．因为用圆点按这些数可以堆垒成三角形，见下图．请写出第100个三角形数。
数形结合发现不同知识框架例题精讲奇、奇、偶、偶……想一想，这是为什么?【例4】毕达哥拉斯还发现了四角形数，见下图．因为用圆点按四角形数可以堆垒成正方形，因此它们最受毕达哥拉斯及其弟子推崇．第25个四角形数是多少？【例5】第8个三角形数恰是第6个四角形数，因为你还能试着找到一个这样的例子吗?【例6】类似地，还有四面体数见下图．第七个四面体数是多少？【例7】五面体数，见下图．第五个五面体数是多少？【例8】 按不同的方法对图中的点进行数数与计数，可以得出一系列等式，进而可猜想到一个重要的公式．由此可以使人体会到数与形之间的耐人导味的微妙关系．方法l ：先算空心点，再算实心点：(22)(221)⨯+⨯+．方法2：把点图看作一个整体来算33⨯．因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：2222133⨯+⨯+=⨯用上述同样的方法推导一下接下去的两个图【随练1】 请你试着画一画五角形数和六角形数的图形．并试着把第，n 个五(六)角形数拆成以1为首页、有n 项的等差数列之和的形式．课堂检测【随练2】按不同的方法对下图中的点进行数数与计数，得出一系列等式，进而猜想出一个公式来，从中体会数与形之间的微妙关系．如：方法l：先算空心点，再算实心点，得：2(21)2(21)⨯+÷++方法2：把点图看成一个整体来算，得：3(31)2⨯+÷因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：2(21)2(21)3(31)2⨯+÷++=⨯+÷请你照此继续做下去．【随练3】模仿，用不同的方法分别对下两图中的点进行数数与计数，先得出一系列等式，进而猜想出一个重要的公式．家庭作业【作业1】第25个三角形数是几?【作业2】第50个三角形数是几?【作业3】第1000个三角形数是几?【作业4】观察下列图形，你能发现什么?【作业5】第99个与第100个三角形数的和等于多少?【作业6】每一个四角形数(或叫正方形数)(除1外)都能拆成两个三角形数吗?比如，100是哪两个三角形数的和?【作业7】写出前10个四面体数．【作业8】写出前10个五面体数．。
小学奥数数形结合解题汇总
第一讲数形结合解题兴趣篇：1、数形结合的思想。
2、用长方形的面积来解决应用题。
3、用面积来证明初中的公式。
4、用柳卡图来解答行程问题。
长方形是一种几何图形，其面积公式为：长×宽＝面积.在许多应用问题中，也有类似的特点，即两个量相乘等于第三个量.如：单价×件数＝总价，速度×时间＝路程等.如果我们用长方形的长表示一个量，用长方形的宽表示另一个量，那么面积则表示这两个量的积.这样一来，抽象的数量关系在长方形图中变得具体、形象，对于我们分析和解决问题会带来很多方便.1、用小学知识证明。
a2− b2 =(a+b)( a−b) (a+b)( c+d)=ac+ad+bc+bd(a+b) 2 = a2 + b2 +2ab (a+b)c=ac+bc (a+b+c) 2 = a2 + b2 +c2 +2ab+2ac+2bc1+3+5+7+9+……+（2n-1）=n212＋22＋32＋42＋……＋n2 = n(n＋1)(2n＋1)÷62、 46×64=3、有三组数：A组为0.6 0.9 1.5 B组为3.2 4.3 2.5（1）从每一组数中选一个数，再相乘会得到多少个积。
（2）求所有的积的和是多少。
（用小学知识说明）4、全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9人，如果增加一条船，每条船正好坐6人.问全班有多少人？5、小旭有10分和20分邮票共18张，面值2.80元。
两种邮票各多少张？6、一个学生从家到学校上课，先用每分钟80米的速度走了3分钟，发现这样走下去将迟到3分钟，于是他就改用每分钟110米的速度前进，结果提前3分钟.这个学生家到学校有多远？7、甲自行车每小时行15千米，乙自行车每小时行12千米。
乙先行1.5小时，问几小时后甲可追上乙？8、一正方形的一边减少五分之一，另一边增加2米，得到一个长方形，这个长方形的面积与原正方形的面积相等。
原正方形的边长是多少米？竞赛篇（柳卡图）1、什么是柳卡图？柳卡图解决什么问题？2、有一路电车自甲站开往乙站，每5分钟发一趟，全程要15分钟．有一人从乙站骑自行车沿电车路线去甲站，出发时恰有一辆电车到达乙站，在路上他又遇到10辆迎面开来的电车才到甲站，到站时恰好有一辆电车从甲站开出．问他从乙站到甲站共用了多少分钟？3、甲、乙两车分别从A、B两地出发，在A、B 之间不断往返行驶，已知甲车的速度是15千米每小时，乙车的速度是35千米每小时，并且甲、乙两车第三次相遇（两车同时到达同一地点叫相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距100千米，那么，A，B两地之间的距离等于多少千米？4、（2009年迎春杯复赛高年级组）A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游100千米处，甲船从A地、乙船从B地同时出发，相向而行，甲船到达B 地、乙船到达A地后，都立即按原来路线返航。
三年级数学数形结合
三年级数学数形结合《神奇的数形结合》嘿，同学们！你们知道吗？在我们三年级的数学世界里，有一个超级神奇的东西，叫做数形结合！这可真是太有趣啦！就拿上次数学老师给我们讲的题目来说吧。
老师在黑板上画了一堆小方块，然后问我们：“如果这里有5 个一排的小方块，一共排了3 排，那总共有多少个小方块呀？”一开始，我还有点迷糊，心里想：“这可怎么算呀？” 但当老师把小方块用线连起来，变成了一个长方形的时候，我一下子就明白了！这不就是长是5，宽是3 的长方形嘛，那总数不就是5×3=15 个嘛！哇塞，那一刻我简直开心得要跳起来，这不就是数形结合的神奇之处吗？还有一次，我们在做一道加法题，比如3+5+7。
我怎么也算不出来，脑袋都快想破啦！这时候，同桌小明悄悄跟我说：“你把3 个圆圈，5 个三角，7 个方块画在纸上，然后数一数不就知道啦！”我一试，哎呀，还真行！一下子就得出了15 这个答案。
我忍不住问小明：“你咋这么聪明呀？”小明得意地说：“这都是数形结合的功劳！”老师还跟我们说，数形结合就像是一把万能钥匙，可以打开很多数学难题的大门。
比如说，计算图形的周长和面积，如果只是靠死记硬背公式，很容易出错。
但要是能把图形画出来，边看边算，那就简单多啦！这难道不像我们迷路的时候，突然有了一张清晰的地图吗？再想想，如果我们要比较两个数字的大小，光看数字可能会有点晕。
但是如果把它们用数轴表示出来，谁大谁小不就一目了然了吗？这就好像两个小朋友在赛跑，在数轴上谁跑在前面，谁就更大呀！数形结合真的太有用啦！它让那些看起来很难很难的数学题，变得像玩游戏一样简单有趣。
我现在可喜欢做数学题啦，每次遇到难题，我都会想：“数形结合这个魔法工具在哪里呢？快出来帮帮我！”同学们，你们是不是也觉得数形结合很神奇呢？反正我是深深地被它吸引啦！我相信，只要我们好好利用数形结合这个好帮手，数学的世界就会变得更加精彩，我们也能在数学的海洋里快乐地畅游！。
四年级奥数下册第二讲 数形结合
四年级第二讲数形结合姓名：
1、以AC为对称轴，画出三角形ABC的另一半，使三角形ABD是等腰三角形。
2、一个三角形的三条边的长度分别是2厘米，8厘米，8厘米，这个三角形按角分类是哪种三角形？
3、下图中分别有多少个锐角三角形、直角三角形、钝角三角？
4、下列各图形的对称轴各有多少条？
5、图中共有多少个等边三角形？
6、画出三角形ABC的另一半，使得三角形ABC是以AB为腰的等腰三角形，共有几种不同的画法？
7、一个等腰三角形对折后形成的三角形的度数分别是20°、70°、90°，这个等腰三角形的三个角分别是多少度？
8、下图两条直线上都有3个点，合适地选择其中3个点，就能组成一个三角形，图中共可以画出多少个三角形？
9、下图三条直线上分别有3个、3个、2个点，合适地选择其中3个点，就能组成一
个三角形，图中共可以画出多少个三角形？
10、如图，三角形的面积是多少？（单位：厘米）
8
11、一个等腰直角三角形的腰长3厘米，将两个这样的直角三角形拼成一个大的等腰直角三角形，大三角形的面积是多少平方厘米？。
小学奥数精华15讲第一讲数形结合
18 5 4 3 12
17 16 15 14 13
【答案】10101 【解析】显然，拐角总是发生在一个长方形或正方形结束后，例如：
第 3 个拐角 32π 4π 28π 87.92 ；
第
4
个拐角
π
π
22 32
4
3
3
1；
第 5 个拐角 1 62 10 120 ； 3
第 6 个拐角120 ( 52 ) 4.8 ；
3a b 5 0
a 3
而它们的和是 0，故只能 b c 9 0 ，解此方程组，得 b 4 ，故 a b c 12 .
a c 8 0
c 5
\3/
（3） x 1 x 5 的几何意义是数轴上 x 这个点到 1 这个点的距离，加上 x 这个点到 5 这个点的距 离的和. 显然当1 x 5 时，这个距离和最小，为 5 1 4 .
．
（2）若 3a b 5 b c 9 a c 8 0 ，则 a b c
．
（3）请问：式子 x 1 x 5 的最小值是多少？x 取什么样的数时，这个式子能达到最小值？
【答案】（1）3 （2）12 （3）4，1 x 5 【解析】（1）由题意可知 a 1， b 2 ，故 a b 3 . （2）题目叙述“绝对值”的直观几何意义是数轴上线段两端的“距离”，可见绝对值大于等于 0，等号 成立的条件是绝对值内的数（或式子）等于 0. 由于 3a b 5 、 b c 9 、 a c 8 都大于等于 0，
（3）根据左表，第一行的数和为1 2 3 4 ； 根据右表，左上角的1 13
第二行的数和为： 1 2 3 4
； 2 4 2 (1 2 1) 2
3
第三行的和为： 1 2 3 4
二年级奥数第十讲 数形结合 - 教案(1)
第十讲 数形结合 姓名：
12、根据下图的规律，“ ？
？
3、根据下图的规律，“ ？ ”处应选哪个图？
？
4、仔细观察方格里图形的排列规律，再在“ ？ ”处画上合适的图形。
5、按规律填图，在“ ？ ”处应填下面一行中四个图中的哪一个？（选序号）
6、按规律填数。
导入：数“3”的游戏，数到含“3”的3的倍数时，请拍手，2位获胜者，进行抽奖
陈铭数学工作室
7、根据图形的排列规律，在“ ？ ”处画合适的图形。
8、在“”里的数。
10 7
1 13 16 28 26
7 13 20 15
30 48
9、请把1-9这个9个数字填入方格内，使横竖斜三线都相等。
（不可重复填） 10、一辆公共汽车上有54名乘客，从起点站开出，到达第一站时，有8人下车，2人上车；到第二站时，有9人下车，3人上车；到第三站时，有5人下车，3人上车。
你知道这个时候车上还有多少乘客吗？。
小学奥数 数形结合
专题二 数形结合【方法简介】数形结合的思想是一种重要的数学思想方法，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,有助于把握数学问题的本质,“数”和“形”是紧密联系的。
我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。
由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.【应用场合】简易方程：路程问题、和差倍问题，几何应用，统计与可能性 【典型应用1】简易问题应用1：在简易方程题目中最为关键的一点就是找等量关系，通过画线段图就能清晰找出这种关系.先选对参照物，分清楚研究对象，再根据题目画出研究对象的数量关系，最后设未知数，列方程.【题1】小胖和小巧一共有208张邮票，小胖的邮票张数是小巧的3倍，小胖、小巧各有多少张邮票？ [略解]解：设小巧有x 张邮票，那么小胖有3x 张邮票.2083=+x x ,2084=x ,52=x .答：小巧有52张邮票，那么小胖有156张邮票.【技巧贴士】这是一道典型的和倍问题，首先找出等量关系，从图中可以看出小巧与小胖的邮票数之和为208张，再列方程.最后提醒别忘了算小胖的邮票数. 【题2】一辆客车和一辆轿车从宁波出发开往上海，轿车比客车迟开0.3小时，客车平均每小时行驶90千米，轿车平均每小时行108千米.轿车开出多少小时后追上客车？ [略解]解：设轿车开出小x 时后追上客车.x x 108903.090=+⨯，x 1827=，5.1=x答：轿车开出1.5小时后追上客车.【技巧贴士】 这是道追及问题，在本题中因为客车与轿车行驶的路程是相等的，我们可以将两辆车的路程画作两段来分析题目,这样更容易找出等量关系. 【题3】小刘和小王两家之间的路程是1500千米，两人同时从家里出发相向而行，小刘平均每分钟走72米，小王平均每分钟走75米，几分钟后两人还相距324米？ [略解]解：设x 分钟后两人还相距324米.150********=++x x ，8=x答：设8分钟后两人还相距324米.【技巧贴士】本道题目是将相遇问题进行了改变，我们还可以这样理解题目，小王和小刘之间还有324米就相遇了，所以1500米减去324米，就是他们一共走的总路程，即方程为32415007572-=+x x .【巩固练习】第一期第一部分基础达标1.商店里出售精装、平装两种集邮册.精装集邮册的售价比平装集邮册贵9.6元，是平装集邮册价格的1.6倍，这两种集邮册的售价分别是多少元？2.一辆轿车和一辆大巴士先后从南京出发开往上海，大巴士先行150千米后轿车也出发了，大巴士平均每小时行80千米，轿车平均每小时行100千米.轿车几小时后追上大巴士？3.上海到宁波的高速公路全长296千米，两辆旅游巴士车同时从两地出发，途中巴士车A休息了0.6小时，结果巴士车B1.85小时后与A车在途中相遇.已知B车平均每小时行驶92千米，A车平均每小时行多少千米？第二部分强化训练4.动物园里的狮子和老虎的数量相差14只，狮子的数量比老虎的2倍还多2只，则动物园里的狮子和老虎各有多少只？5.一盒巧克力平均分给几个小朋友，如果每人分6颗，那么还剩下14颗；如果每人分8颗，那么正好分完.一共有多少小朋友？这盒巧克力有多少颗？6.甲乙两人相距若干米，如果两人相对而行，2分钟可以相遇；如果两人同时同向而行，甲在乙后，6分钟可以追上乙.如果乙每分钟走60米，那么甲每分钟走多少米？7.暑假里小诗和小琪从学校出发骑车去电影院看电影.已知小诗骑车速度为每分钟220米，小琪为每分钟280米.小诗出发6分针后小琪去追赶，结果两人同时达到电影院，小琪骑了多少分钟？如果小诗19:00出发，电影19:30开始，那么他们两人能否在电影院开映前进入电影院？8.甲、乙两地相距1500米，有两人分别从甲、乙两地同时相向出发，10分钟后相遇，如果两人各自提速20%，仍从甲、乙两地同时相向出发，则出发后多少秒后相遇？9.在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？10.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，出发后8小时两人相遇．若两人每小时都多走2千米，则出发后6小时两人就相遇在距离AB中点3千米的地方．已知甲比乙行得快．甲原来每小时行多少千米？【典型应用2】几何应用应用2：几何题目的实质是以形化数，现阶段我们应该掌握基础图形的面积公式、周长公式和体积公式。
小学奥数精华15讲第一讲数形结合
3a b 5 0
a 3
而它们的和是 0，故只能 b c 9 0 ，解此方程组，得 b 4 ，故 a b c 12 .
a c 8 0
c 5
\3/
（3） x 1 x 5 的几何意义是数轴上 x 这个点到 1 这个点的距离，加上 x 这个点到 5 这个点的距 离的和. 显然当1 x 5 时，这个距离和最小，为 5 1 4 .
6. 定义符号“ a ”，称作 a 的绝对值．绝对值的几何意义是：如下图所示， a 表示数 a 的点到原点 （下图中的 0）的距离；距离不能小于 0．
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
如：3 到原点距离是 3，所以 3 的绝对值是 3；同样 3 的绝对值也是 3；
（1）若 a 1 、 b 2 ，且 b a 0 ，则 a b
7. 计算：12 22 32 42 20052 20062 20072 . 【答案】2015028 【解析】原式 20072 20062 52 42 32 22 12 (2007 2006) (2007 2006) (2005 2004) (2005 2004)
（3）根据左表，第一行的数和为1 2 3 4 ； 根据右表，左上角的1 13
第二行的数和为： 1 2 3 4
； 2 4 2 (1 2 1) 2
3
第三行的和为： 1 2 3 4
； 3 6 9 6 3 (1 2 3 2 1) 3
3
第四行的数和为： 1 2 3 4
5. 平方数也称“正方形数”，若 n 为平方数，则可将 n 个点排成一个正方形. 例如16 42 就是一个正 方形数，如下图所示. （1）若研究如下正方形的转折线，可得： 42 ( ) ( ) ( ) ( ) ；
挑战奥数数形结合法
挑战奥数：数形结合法【例1】专业人员对某市区家庭装修的污染情况进行了调查，调查结果如下图。
其中，轻度污染的比重度污染的多40户，质量优良的有多少户？分析：扇形统计图中没有给出具体户数，也没有直接给出40户所对应的百分比。
可以将统计图中的百分比和已知数量在直观的统计图中的百分比和已知数量在直观的线段图上表示出来，形成数与形的对应，从而找到解题思路。
统计图中的数量可用下面的线段图表示：40户所对应的百分比是25%－12.5%，用部分量除以它所对应的百分比，可求出总量，进而求出质量优良的户数。
解：40÷(25%－12.5%)＝320(户)320×62.5%＝200(户)答：质量优良的有200户。
心得体会：数形结合法就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，把复杂问题简单化，抽象问题具体化的思维策略。
变式练习1：下面是六年级同学喜欢吃的水果统计图。
(1)将扇形统计图补充完整。
(2)喜欢吃苹果的同学和喜欢吃梨的同学一共有160人，喜欢吃西瓜的同学有多少人？解：(1)1－25%－15%－28%＝32%(2)160÷(25%＋15%)＝400(人)400×28%＝112(人)答：喜欢吃西瓜的同学有112人。
变式练习2：下面是凤凰小学五年级同学“体育达标测试”结果统计图。
已知达标人数比未达标人数多342人，得优秀的有多少人？解：达标同学的百分比：35%＋45%＋15%＝95%未达同学的百分比：1－95%＝5%年级总人数：342÷(95%－5%)＝380(人)优秀人数：380×35%＝133(人)答：得优秀的有133人。
数学数学素养统计学是一门古老的科学，一般认为其理学研究始于古希腊的亚里士多德时代，迄今已有两素养千三百多年的历史了。
挑战奥数：数形结合法变式练习1．(1)(解析：用单位“1”减去西瓜、梨和苹果的分率就可以求出桃的分率)1－25%－15%－28%＝32% (2)(解析：先用喜欢吃苹果和梨的同学160人去除以对应的分率和(25%＋15%)可以求出总人数，再用总人数乘喜欢吃西瓜同学的分率28%)160÷(25%＋15%)＝400(人)400×28%＝112(人) 2.(解析：达标人数包括合格、良好和优秀的人数，先求出达标同学率35%＋45%＋15%＝95%和未达标人数的分率1－95%＝5%，再用达标人数比未达标人数多的342人除以达标人数与未达标人数的分率差95%－5%可求到总人数，最后用总人数乘优秀的分率35%可以求出优秀人数)达标同学的百分比：35%＋45%＋15%＝95%未达同学的百分比：1－95%＝5%年级总人数：342÷(95%－5%)＝380(人)优秀人数：380×35%＝133(人)。
(完整版)小学奥数数形结合
r b e i n g a r e g o o d f o r s o 专题二 数形结合【方法简介】数形结合的思想是一种重要的数学思想方法，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,有助于把握数学问题的本质,“数”和“形”是紧密联系的。
我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。
由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.【应用场合】简易方程：路程问题、和差倍问题，几何应用，统计与可能性【典型应用1】简易问题应用1：在简易方程题目中最为关键的一点就是找等量关系，通过画线段图就能清晰找出这种关系.先选对参照物，分清楚研究对象，再根据题目画出研究对象的数量关系，最后设未知数，列方程.【题1】小胖和小巧一共有208张邮票，小胖的邮票张数是小巧的3倍，小胖、小巧各有多少张邮票？[略解]解：设小巧有张邮票，那么小胖有3张邮票.x x ,,.2083=+x x 2084=x 52=x 答：小巧有52张邮票，那么小胖有156张邮票.【技巧贴士】这是一道典型的和倍问题，首先找出等量关系，从图中可以看出小巧与小胖的邮票数之和为208张，再列方程.最后提醒别忘了算小胖的邮票数.【题2】一辆客车和一辆轿车从宁波出发开往上海，轿车比客车迟开0.3小时，客车平均每小时行驶90千米，轿车平均每小时行108千米.轿车开出多少小时后追上客车？[略解]e a n d A l l t h i n g s i n t h e i r b e i n g a r e g o o df o r s o解：设轿车开出小时后追上客车.x ，，x x 108903.090=+⨯x 1827=5.1=x 答：轿车开出1.5小时后追上客车.【技巧贴士】这是道追及问题，在本题中因为客车与轿车行驶的路程是相等的，我们可以将两辆车的路程画作两段来分析题目,这样更容易找出等量关系.【题3】小刘和小王两家之间的路程是1500千米，两人同时从家里出发相向而行，小刘平均每分钟走72米，小王平均每分钟走75米，几分钟后两人还相距324米？[略解]解：设分钟后两人还相距324米.x ，150********=++x x 8=x 答：设8分钟后两人还相距324米.【技巧贴士】本道题目是将相遇问题进行了改变，我们还可以这样理解题目，小王和小刘之间还有324米就相遇了，所以1500米减去324米，就是他们一共走的总路程，即方程为.32415007572-=+x x【巩固练习】第一期第一部分基础达标1.商店里出售精装、平装两种集邮册.精装集邮册的售价比平装集邮册贵9.6元，是平装集邮册价格的1.6倍，这两种集邮册的售价分别是多少元？2.一辆轿车和一辆大巴士先后从南京出发开往上海，大巴士先行150千米后轿车也出发了，大巴士平均每小时行80千米，轿车平均每小时行100千米.轿车几小时后追上大巴士？3.上海到宁波的高速公路全长296千米，两辆旅游巴士车同时从两地出发，途中巴士车A休息了0.6小时，结果巴士车B1.85小时后与A车在途中相遇.已知B车平均每小时行驶92千米，A车平均每小时行多少千米？第二部分强化训练4.动物园里的狮子和老虎的数量相差14只，狮子的数量比老虎的2倍还多2只，则动物园里的狮子和老虎各有多少只？5.一盒巧克力平均分给几个小朋友，如果每人分6颗，那么还剩下14颗；如果每人分8颗，那么正好分完.一共有多少小朋友？这盒巧克力有多少颗？6.甲乙两人相距若干米，如果两人相对而行，2分钟可以相遇；如果两人同时同向而行，甲在乙后，6分钟可以追上乙.如果乙每分钟走60米，那么甲每分钟走多少米？7.暑假里小诗和小琪从学校出发骑车去电影院看电影.已知小诗骑车速度为每分钟220米，小琪为每分钟280米.小诗出发6分针后小琪去追赶，结果两人同时达到电影院，小琪骑了多少分钟？如果小诗19:00出发，电影19:30开始，那么他们两人能否在电影院开映前进入电影院？8.甲、乙两地相距1500米，有两人分别从甲、乙两地同时相向出发，10分钟后相遇，如果两人各自提速20%，仍从甲、乙两地同时相向出发，则出发后多少秒后相遇？9.在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？10.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，出发后8小时两人相遇．若两人每小时都多走2千米，则出发后6小时两人就相遇在距离AB中点3千米的地方．已知甲比乙行得快．甲原来每小时行多少千米？l l t h i n g s i n t h e i r b e i n g a r e g o o d f o r s o 【典型应用2】几何应用应用2：几何题目的实质是以形化数，现阶段我们应该掌握基础图形的面积公式、周长公式和体积公式。
六年级上册数学培优奥数讲义-第26讲数与形
第26讲数与形知识装备数与形是数学中的两个最古老、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
初级挑战1根据上面图形与数的规律，接着这样排列下去，如果不画，你知道第10个数是多少吗？第n个数呢？思路点拨：第1个数是1，图形有1个；第2个数是4，图形有2×2＝4（个）；第3个数是9，图形有3×3＝9（个）……,这说明每个数与对应图形的个数相同，而第n个数可通过（）得到。
答案：10×10＝100，n×n＝n2能力探索1一些小圆形如下排列：照这样画下去，第5个图形最外圈有（）个小圆形；第8个图形最外圈有（）个小圆形。
答案：第5个图形：62－42＝20，第8个图形：92－72＝32。
初级挑战2如下图，摆1个正方形需4根火柴棒，摆2个正方形需7根火柴棒，摆3个正方形需10根火柴棒……照这样摆下去，摆4个正方形需（）根火柴棒；摆10个正方形需（）根火柴棒；摆n个正方形需要（）根火柴棒。
【思路点拨】摆一个正方形需要（）根火柴棒，后面每多摆一个正方形，就多需要（）根火柴棒，如果摆n个正方形，一共就要（）根火柴棒。
答案：摆4个正方形需13根火柴棒；摆10个正方形需31根火柴棒；摆n个正方形需要（3n＋1）根火柴棒。
能力探索21、按下列规律摆放☆，则第⑤堆☆有多少个？第⑨堆☆有多少个？答案：第⑤堆☆有17个；第⑨堆☆有29个。
2、明明用小棒搭了3间房子(如下图所示)，像这样搭下去，搭5间房子要用_____根小棒；搭n间房子要用_________根小棒。
二年级奥数数形结合
形和数的密切关系，在古代就被人们注意到了．古希腊人发现的形数就是非常有趣的例子． 最初的数和最简的图相对应． 1 和·(点)2 和(线：两点连成一条直线)3 和(平面：三点确定一个平面)4 和(立体：不在同一平面上的四个点构成一个四面体)这是古希腊人的观点，他们说一切几何图形都是由数产生的．【例1】 我国在春秋战国时代就有了“洛图”(见下图)．图中也是用“圆点”表示数，而且还区分了偶数和奇数，偶数用实心点表示，奇数用空心点表示．你能把这张图用自然数写出来吗?【例2】 古希腊数学家毕达哥拉斯发现了“形数”的奥秘．比如他把l ，3，6，10，15，…叫做三角形数．因为用圆点按这些数可以堆垒成三角形，见下图．请写出第100个三角形数。
例题精讲知识框架数形结合 发现不同【例3】三角形数的奇偶性是很有规律的，1，3，6，10，15，2l，28，36，…奇、奇、偶、偶、奇、奇、偶、偶……想一想，这是为什么?【例4】毕达哥拉斯还发现了四角形数，见下图．因为用圆点按四角形数可以堆垒成正方形，因此它们最受毕达哥拉斯及其弟子推崇．第25个四角形数是多少？【例5】第8个三角形数恰是第6个四角形数，因为你还能试着找到一个这样的例子吗?【例6】类似地，还有四面体数见下图．第七个四面体数是多少？【例7】五面体数，见下图．第五个五面体数是多少？【例8】 按不同的方法对图中的点进行数数与计数，可以得出一系列等式，进而可猜想到一个重要的公式．由此可以使人体会到数与形之间的耐人导味的微妙关系．方法l ：先算空心点，再算实心点：(22)(221)⨯+⨯+．方法2：把点图看作一个整体来算33⨯．因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：2222133⨯+⨯+=⨯用上述同样的方法推导一下接下去的两个图【随练1】 请你试着画一画五角形数和六角形数的图形．并试着把第，n 个五(六)角形数拆成以1为首页、有n 项的等差数列之和的形式．课堂检测【随练2】按不同的方法对下图中的点进行数数与计数，得出一系列等式，进而猜想出一个公式来，从中体会数与形之间的微妙关系．如：方法l：先算空心点，再算实心点，得：2(21)2(21)⨯+÷++方法2：把点图看成一个整体来算，得：3(31)2⨯+÷因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：2(21)2(21)3(31)2⨯+÷++=⨯+÷请你照此继续做下去．【随练3】模仿，用不同的方法分别对下两图中的点进行数数与计数，先得出一系列等式，进而猜想出一个重要的公式．家庭作业【作业1】第25个三角形数是几?【作业2】第50个三角形数是几?【作业3】第1000个三角形数是几?【作业4】观察下列图形，你能发现什么?【作业5】第99个与第100个三角形数的和等于多少?【作业6】每一个四角形数(或叫正方形数)(除1外)都能拆成两个三角形数吗?比如，100是哪两个三角形数的和?【作业7】写出前10个四面体数．【作业8】写出前10个五面体数．。
四年级数学数形结合经典题
数形结合是一种重要的数学思想，通过将抽象的数学语言与直观的图形相结合，可以帮助学生更好地理解数学概念和解决问题。
以下是一些适合四年级学生的数形结合经典题目：
1.小明用棋子摆成一个正方形实心方阵，最外边的一层共用96个棋子。
小明摆这个方
阵共用了多少个棋子？
2.小军用棋子摆成了一个空心方阵，最外边的一层共用棋子80个。
最里边的一层共用
棋子48个。
这个空心方阵共有几层？
3.小丽用棋子摆成了一个三角形实心方阵，最外边的一层共用72个棋子。
小丽摆这个
方阵共用了多少个棋子？
4.小华用棋子摆成一个空心三角形，最外边的一层共用96个棋子。
最里边的一层共用
24个棋子。
这个空心三角形共有几层？
5.小明用棋子摆成一个长方形实心方阵，最外边的一层共用88个棋子。
如果最外边一
边有n个棋子，那么这个长方形方阵共有多少个棋子？
这些题目需要学生通过观察图形，理解数形结合的思想，并运用数学公式和推理方法来解决问题。
小学计算教学中“数形结合”三讲究
小学计算教学中“数形结合”三讲究小学计算教学中，“数形结合”是一种很好的教学方法，可以让学生更好地理解和掌握数学知识。
在“数形结合”中，数学和几何图形是密切相关的，通过几何图形的形状和特性来帮助学生理解数学概念，培养学生的几何观念和空间想象能力，使学生能够更好地运用所学知识解决问题。
以下是小学计算教学中“数形结合”三讲究：一、数形相结合，使学生理解知识点在小学计算教学中，对于一些较难理解的数学概念，可以通过几何图形的形状和特点来帮助学生理解和掌握。
例如，在教学平面几何中的“平行四边形”的概念时，可以通过画图画出平行四边形的特点，比如平行四边形的两组对边平行，对角线相交于一点，等等。
通过这样的教学方法，学生能够更好地理解和掌握平行四边形的概念，进一步提高数学成绩。
二、数形结合，培养学生的几何观念和空间想象能力对于小学生来说，几何观念和空间想象能力的培养是非常重要的，能够帮助学生更好地理解和掌握其他数学知识。
在教学中，教师可以通过绘制几何图形和空间图形来帮助学生清晰地了解和认识几何形体的各种性质，如四边形、三角形、立方体等。
这样可以帮助学生更好地掌握空间几何知识，提高学生的几何观念和空间想象能力。
三、数形相结合，拓展学生的思考领域在小学计算教学中，“数形结合”不仅能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识，还能够拓展学生的思考维度。
几何图形和数学计算有时需要进行转换，需要学生在解题过程中通过思考和探索，找到问题的解决方法。
这样可以帮助学生拓展思考领域，增强自主思考和解决问题的能力。
总之，“数形结合”是小学计算教学中一种非常有效的教学方法，能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高学生的几何观念和空间想象能力，拓展学生的思考领域，帮助学生在学习中更加灵活和自主。
教师应该在教学中注重实践，发挥教育教学的创新能力，通过个性化、差别化的教学，使学生在玩乐中学习，达到高效的教育效果。
五年级上册奥数题
五年级上册奥数题第一题：数形结合小明画了一个边长为10厘米的正方形，请你计算一下它的周长是多少？解析：正方形的周长即为四条边的长度之和。
由题目可知，边长为10厘米，所以四条边的长度都是10厘米。
因此，正方形的周长为4 × 10 = 40 厘米。
第二题：寻找规律以下数列中，求第10个数是多少？\[2, 4, 6, 8, 10, …\]解析：观察数列可以发现，每一项都比前一项大2。
因此，我们可以推断出第10个数为第1项加上9个2的和。
第1项为2，所以第10个数为 2 + 9 × 2 = 20。
第三题：整数的特性两个正整数的和是60，差为20，求这两个数是多少？解析：设其中一个数为x，则另一个数为60-x。
根据题目条件可以得到以下等式：x + (60 - x) = 60 （和为60） x - (60 - x) = 20 （差为20）解方程组可以得到以下结果：x = 40 60 - x = 20所以，这两个数分别为40和20。
第四题：计算问题根据下面的算式，求a + b的值。
\[a = 15\] \[b = 7\]解析：根据题目给出的数值，我们可以将a的值代入第一个算式，将b的值代入第二个算式，然后进行计算。
具体计算过程如下：\[a + b = 15 + 7 = 22\]所以，a + b的值为22。
第五题：几何问题一条直线上有一辆汽车和一辆自行车，汽车超过自行车20米，两辆车相距50米，请问汽车和自行车各自离起点的距离是多少？解析：设汽车离起点的距离为x米，则自行车离起点的距离为x + 50米。
根据题目条件可以得到以下等式：x - (x + 50) = 20解方程可以得到以下结果：x = 70所以，汽车离起点的距离为70米，自行车离起点的距离为70 + 50 = 120米。
以上是五年级上册奥数题的解答，希望对你有帮助！。
数形结合的书
数形结合的书数形结合的书引言数学和几何是两个紧密相关的学科，它们之间的联系被称为数形结合。
数形结合是一种非常重要的概念，它不仅在纯数学中有着广泛的应用，而且在应用数学中也有着重要的作用。
因此，许多出版商都出版了一些关于数形结合的书籍。
本文将介绍一些关于数形结合的书籍。
一、初级读物1.《小学奥数》《小学奥数》是一本适合小学生阅读的书籍。
这本书介绍了很多基础知识，如数字、加减乘除、面积和周长等等，并且通过各种例子和练习来帮助孩子们理解这些知识。
2.《幼儿园奥数》《幼儿园奥数》是一本适合幼儿园阶段孩子阅读的书籍。
这本书主要介绍了数字、颜色、形状等基础知识，并且通过各种游戏和活动来帮助孩子们理解这些知识。
二、中级读物1.《初中奥数》《初中奥数》是一本适合初中生阅读的书籍。
这本书主要介绍了代数、几何、概率等知识，并且通过各种例子和练习来帮助学生们理解这些知识。
2.《中学奥数》《中学奥数》是一本适合高中生阅读的书籍。
这本书主要介绍了高等数学、微积分、线性代数等知识，并且通过各种例子和练习来帮助学生们理解这些知识。
三、高级读物1.《数形结合的思想》《数形结合的思想》是一本深入探讨数形结合概念的书籍。
它介绍了许多关于几何和代数之间联系的理论，并且通过各种实例来说明这些理论。
2.《计算几何基础》《计算几何基础》是一本介绍计算几何基础知识的书籍。
它涵盖了平面几何和立体几何，以及如何使用计算机进行几何运算等方面的内容。
四、应用读物1.《应用统计学：数据分析与决策建模》《应用统计学：数据分析与决策建模》是一本介绍如何使用统计学方法分析数据并做出决策的书籍。
它涵盖了概率、统计、线性代数等方面的知识，并且通过实例来说明如何将数学和几何应用于实际问题中。
2.《应用数学：建模与仿真》《应用数学：建模与仿真》是一本介绍如何使用数学方法建立模型并进行仿真的书籍。
它涵盖了微积分、线性代数、概率等方面的知识，并且通过实例来说明如何将这些知识应用于实际问题中。
五年级思维奥数数形结合会统计
知识提纲：人们日常生活中的各种现象可分为两大类：第一类是严格确定的现象，表现出这种现象一定会出现或者不可能出现，反映了事物的必然性；第二类为不确定现象，因各种范围及条件的限制，只是可能出现的现象，又称随机性事件。
可能性问题就是通过描述随机现象，帮助我们对事物做出合理的判断。
可能性在数学中叫作“概率”。
在现代生活中，概率论的作用越来越大，为人们在生活和工作中遇到的问题做出正确决策提供了依据。
面对数据我们要学会收集、整理、分析这些数据，并且依据数据分析的结果作出简单的判断与预测，从而为我们的决策提供依据、随着统计知识学习的深入，经常要用数据阐述事件发生可能性的大小，这个表示时间发生可能性大小的数就是概率。
【典型例题1】聪聪从家出发到图书馆，看了一会儿书然后回家。
请根据折线统计图回答下面的问题。
（1）聪聪在图书馆呆了多长时间？（2）如果在去图书馆的途中不休息，那么他几时几分可以到达图书馆？（3）聪聪从图书馆到2家的平均速度是多少？【分析】此类题属于从折线统计图中收集信息、整理数据并综合了其他相关知识的统计综合题。
解这类题关键是要学会看图、读图，图读懂了，问题就迎刃而解了。
解答：【随堂练习1】下图是一个人骑自行车的路程和所用的时间的关系图。
（1）前半小时他骑了多少千米？平均每小时行多少千米？（2）途中他停留了多长时间？（3）最后半小时里他骑了多少千米？平均每小时行多少千米？【典型例题2】一巡逻舰和一货轮同时从A巷口前往相距100千米的B港口，巡逻舰和货轮的速度分别为每小时100千米和每小时20千米，巡逻舰不停地往返于A、B两港口巡逻。
巡逻舰调头的时间忽略不计，回答：货轮从A港口出发以后直到抵达B 港口与巡逻舰一共相遇了几次？【分析】解答这类题要认真分析折线统计图，细心找出图中暗藏的条件，寻找特征。
解答：【随堂练习2】如图，你能发现甲、乙两种商品房每平米的房价吗？【典型例题3】下面是王琳琳上学期五个单元及期末考试情况统计图。
小学奥数数形结合 (1)
专题二 数形结合【方法简介】数形结合的思想是一种重要的数学思想方法，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,有助于把握数学问题的本质,“数”和“形”是紧密联系的。
我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。
由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.【应用场合】简易方程：路程问题、和差倍问题，几何应用，统计与可能性【典型应用1】简易问题应用1：在简易方程题目中最为关键的一点就是找等量关系，通过画线段图就能清晰找出这种关系.先选对参照物，分清楚研究对象，再根据题目画出研究对象的数量关系，最后设未知数，列方程.【题1】小胖和小巧一共有208张邮票，小胖的邮票张数是小巧的3倍，小胖、小巧各有多少张邮票？[略解]解：设小巧有x 张邮票，那么小胖有3x 张邮票.2083=+x x ,2084=x ,52=x .答：小巧有52张邮票，那么小胖有156张邮票.【技巧贴士】这是一道典型的和倍问题，首先找出等量关系，从图中可以看出小巧与小胖的邮票数之和为208张，再列方程.最后提醒别忘了算小胖的邮票数.【题2】一辆客车和一辆轿车从宁波出发开往上海，轿车比客车迟开小时，客车平均每小时行驶90千米，轿车平均每小时行108千米.轿车开出多少小时后追上客车？[略解]解：设轿车开出小x 时后追上客车.x x 108903.090=+⨯，x 1827=，5.1=x答：轿车开出小时后追上客车.【技巧贴士】这是道追及问题，在本题中因为客车与轿车行驶的路程是相等的，我们可以将两辆车的路程画作两段来分析题目,这样更容易找出等量关系.【题3】小刘和小王两家之间的路程是1500千米，两人同时从家里出发相向而行，小刘平均每分钟走72米，小王平均每分钟走75米，几分钟后两人还相距324米？[略解]解：设x 分钟后两人还相距324米.150********=++x x ，8=x答：设8分钟后两人还相距324米.【技巧贴士】本道题目是将相遇问题进行了改变，我们还可以这样理解题目，小王和小刘之间还有324米就相遇了，所以1500米减去324米，就是他们一共走的总路程，即方程为32415007572-=+x x .【巩固练习】 第一期第一部分 基础达标1. 商店里出售精装、平装两种集邮册.精装集邮册的售价比平装集邮册贵元，是平装集邮册价格的倍，这两种集邮册的售价分别是多少元？2. 一辆轿车和一辆大巴士先后从南京出发开往上海，大巴士先行150千米后轿车也出发了，大巴士平均每小时行80千米，轿车平均每小时行100千米.轿车几小时后追上大巴士？3. 上海到宁波的高速公路全长296千米，两辆旅游巴士车同时从两地出发，途中巴士车A 休息了小时，结果巴士车小时后与A 车在途中相遇.已知B 车平均每小时行驶92千米，A 车平均每小时行多少千米？ 第二部分 强化训练4. 动物园里的狮子和老虎的数量相差14只，狮子的数量比老虎的2倍还多2只，则动物园里的狮子和老虎各有多少只？5. 一盒巧克力平均分给几个小朋友，如果每人分6颗，那么还剩下14颗；如果每人分8颗，那么正好分完.一共有多少小朋友？这盒巧克力有多少颗？6. 甲乙两人相距若干米，如果两人相对而行，2分钟可以相遇；如果两人同时同向而行，甲在乙后，6分钟可以追上乙.如果乙每分钟走60米，那么甲每分钟走多少米？7. 暑假里小诗和小琪从学校出发骑车去电影院看电影.已知小诗骑车速度为每分钟220米，小琪为每分钟280米.小诗出发6分针后小琪去追赶，结果两人同时达到电影院，小琪骑了多少分钟？如果小诗19:00出发，电影19:30开始，那么他们两人能否在电影院开映前进入电影院？8. 甲、乙两地相距1500米，有两人分别从甲、乙两地同时相向出发，10分钟后相遇，如果两人各自提速20%，仍从甲、乙两地同时相向出发，则出发后多少秒后相遇？9.在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？10.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，出发后8小时两人相遇．若两人每小时都多走2千米，则出发后6小时两人就相遇在距离AB中点3千米的地方．已知甲比乙行得快．甲原来每小时行多少千米？【典型应用2】几何应用应用2：几何题目的实质是以形化数，现阶段我们应该掌握基础图形的面积公式、周长公式和体积公式。
小学数学奥数练习题-数形结合通用版
数形结合我们已经学习了长方形的周长和面积计算公式，有了这个学习的基础，我们可以引出其它一些问题。
要能正确解决这些问题，必须结合图形，找出规律。
1、有一个长方形，如果它的宽减少2米，或它的长减少3米那么它的面积都减少24平方米，求原来这个长方形的面积？2、街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路，如果水泥路的总面积是12平方米，中间花坛的面积是多少平方米？35分米的长方形，又截去宽8分米的长方形（见图），面积比原来正方形减少了181平方分米，原来正方形的边长是多少分米？854、从长100厘米，宽60厘米的长方形纸上剪下一个最大的正方形，这张正方形纸的面积是多少？还剩下多少面积？5、用篱笆围城一个长方形的养鸡场地，一边利用20米长的墙壁，篱笆共长40米，求养鸡场的面积？6、用篱笆围城一个长方形的养鸡场地，一边利用20米长的墙壁，篱笆共长30米，求养鸡场的面积最大是多少？7、用三种方法计算下图的面积。
40 50208、用一个正方形水池，如下图的阴影部分，在它的周围修一条宽8米的观赏带。
观赏带的面积是480平方米，求水池的边长？9，正方形的边长是4米，两个正方形重叠的交叉点是正方形边长的中点，求这个花园的周长和面积？10、把下图分成四块形状相同、大小相同的图形。
11、请把下面两个图中的某一个分成三块，使它们能拼成一个正方形。
20401007012、大小两个正方形部分重合（如下图），两块没有重合的部分面积差是多少？4613、把四个周长都是12厘米的正方形，拼成一个大正方形，这个大正方形的周长是多少厘米？14、下面正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四顶点三分正方形边长，求长方形的面积是多少？15、一个长方形长增加8米，面积增加72平方米；宽减少4米，面积就减少48平方米，这个长方形原来面积是多少？16、如下图，正方形被分成了四个长方形，每个小长方形的周长都是60厘米，这个正方形的周长是多少厘米？17、三个相同的正方形拼成下面一个图形，能否分成8个形状相同，面积相等的图形。
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小学奥数数形结合The final revision was on November 23, 2020专题二 数形结合【方法简介】数形结合的思想是一种重要的数学思想方法，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,有助于把握数学问题的本质,“数”和“形”是紧密联系的。
我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。
由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.【应用场合】简易方程：路程问题、和差倍问题，几何应用，统计与可能性【典型应用1】简易问题应用1：在简易方程题目中最为关键的一点就是找等量关系，通过画线段图就能清晰找出这种关系.先选对参照物，分清楚研究对象，再根据题目画出研究对象的数量关系，最后设未知数，列方程.【题1】小胖和小巧一共有208张邮票，小胖的邮票张数是小巧的3倍，小胖、小巧各有多少张邮票[略解]解：设小巧有x 张邮票，那么小胖有3x 张邮票.2083=+x x ,2084=x ,52=x .答：小巧有52张邮票，那么小胖有156张邮票.【技巧贴士】这是一道典型的和倍问题，首先找出等量关系，从图中可以看出小巧与小胖的邮票数之和为208张，再列方程.最后提醒别忘了算小胖的邮票数.【题2】一辆客车和一辆轿车从宁波出发开往上海，轿车比客车迟开小时，客车平均每小时行驶90千米，轿车平均每小时行108千米.轿车开出多少小时后追上客车[略解]解：设轿车开出小x 时后追上客车.x x 108903.090=+⨯，x 1827=，5.1=x答：轿车开出小时后追上客车.【技巧贴士】这是道追及问题，在本题中因为客车与轿车行驶的路程是相等的，我们可以将两辆车的路程画作两段来分析题目,这样更容易找出等量关系.【题3】小刘和小王两家之间的路程是1500千米，两人同时从家里出发相向而行，小刘平均每分钟走72米，小王平均每分钟走75米，几分钟后两人还相距324米[略解]解：设x 分钟后两人还相距324米.150********=++x x ，8=x答：设8分钟后两人还相距324米.【技巧贴士】本道题目是将相遇问题进行了改变，我们还可以这样理解题目，小王和小刘之间还有324米就相遇了，所以1500米减去324米，就是他们一共走的总路程，即方程为32415007572-=+x x .【巩固练习】 第一期第一部分 基础达标1. 商店里出售精装、平装两种集邮册.精装集邮册的售价比平装集邮册贵元，是平装集邮册价格的倍，这两种集邮册的售价分别是多少元2. 一辆轿车和一辆大巴士先后从南京出发开往上海，大巴士先行150千米后轿车也出发了，大巴士平均每小时行80千米，轿车平均每小时行100千米.轿车几小时后追上大巴士3. 上海到宁波的高速公路全长296千米，两辆旅游巴士车同时从两地出发，途中巴士车A 休息了小时，结果巴士车小时后与A 车在途中相遇.已知B 车平均每小时行驶92千米，A 车平均每小时行多少千米第二部分 强化训练4. 动物园里的狮子和老虎的数量相差14只，狮子的数量比老虎的2倍还多2只，则动物园里的狮子和老虎各有多少只5. 一盒巧克力平均分给几个小朋友，如果每人分6颗，那么还剩下14颗；如果每人分8颗，那么正好分完.一共有多少小朋友这盒巧克力有多少颗6.甲乙两人相距若干米，如果两人相对而行，2分钟可以相遇；如果两人同时同向而行，甲在乙后，6分钟可以追上乙.如果乙每分钟走60米，那么甲每分钟走多少米7.暑假里小诗和小琪从学校出发骑车去电影院看电影.已知小诗骑车速度为每分钟220米，小琪为每分钟280米.小诗出发6分针后小琪去追赶，结果两人同时达到电影院，小琪骑了多少分钟如果小诗19:00出发，电影19:30开始，那么他们两人能否在电影院开映前进入电影院8.甲、乙两地相距1500米，有两人分别从甲、乙两地同时相向出发，10分钟后相遇，如果两人各自提速20%，仍从甲、乙两地同时相向出发，则出发后多少秒后相遇9.在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟10.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，出发后8小时两人相遇．若两人每小时都多走2千米，则出发后6小时两人就相遇在距离AB中点3千米的地方．已知甲比乙行得快．甲原来每小时行多少千米【典型应用2】几何应用应用2：几何题目的实质是以形化数，现阶段我们应该掌握基础图形的面积公式、周长公式和体积公式。
有些平面图形从表面上看，根本不是长方形或正方形，但我们可以运用所学的知识将其转化为标准的长方形和正方形，再进行解答.遇到立体图形时，我们应该从图形的不同角度看问题，注意长宽高的变化.【题1】如图，把一张长19厘米，宽13厘米的长方形白纸折成右图形壮，EC=厘米，求阴影部分的面积．[略解] 解：（+13）×13÷2-（）×19÷2=×13÷×19÷2=（平方厘米）.答：阴影部分的面积是49平方厘米．【技巧贴士】求组合图形面积一般用割补法，弄清楚阴影部分是哪些图形的和或差.在这道题中，阴影部分的面积=梯形的面积-折过来的部分的面积，又因梯形的上底、下底和高分别为厘米、13厘米和19厘米，折过来的部分的两条直角边分别为=厘米、19厘米，从而利用梯形和三角形的面积公式即可求解．【题2】有个零件形状如图，这个零件的体积是多少立方厘米如果1立方厘米铁的重量为克，用铁制成的这种零件有多少重[略解]解：（1）零件的体积：6×3×2+（9-6）×3×6=36+54=90（立方厘米）答：这个零件的体积是90立方厘米．（2）90×=702（克）答：用铁制成的这种零件重702克．【技巧贴士】此题主要考查长方体的体积的计算方法在实际生活中的应用，关键是先将零件变成规则的图形再求其体积．这个零件由2个长方体组成，它们的长、宽、高分别为：6厘米、3厘米、2厘米；（9-6）厘米、3厘米、6厘米，利用长方体的体积V=abh 即可求出这个零件的体积；再用这个零件的体积乘单位体积的铁的重量，就是这个零件的总重量．【巩固练习】第二期第一部分基础达标1. 如图，BC=15厘米，CD=8厘米，三角形AFB 的面积比三角形DEF 的面积大30平方厘米，求DE 的长．2. 一块平行四边形的草地中有一条长米、宽1米的小路.这块草地的面积是多少平方米3. 图中表示的小正方体的表面积为54平方米，则如图中用8个这样的小正方体组成的正方体的表面积是______平方米．4. 一个长方形玻璃缸，从里面量长50厘米，宽30厘米，水深12厘米，把一个机器零件浸没在水中，这时水面高度15厘米，求零件的体积．第二部分 强化训练5. 如图的长方形中有三个三角形，它们面积间的关系是（ ）A. 321S S S =+B. 31S S =C. 32S S =D. 123S S S -=6. 把一个长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米的长方体截成两个小长方体，表面积最多增加（ ）.A. 20平方厘米B. 30平方厘米C. 40平方厘米D. 60平方厘米7. 一个长6分米、宽4分米、高2分米的木箱．用三根铁丝捆起来（如图），打结处要用1分米铁丝．这根铁丝总长至少为多少分米8. 将15个棱长为1的正方体堆放在桌面上（如图），喷上红色后再将它们分开．涂上红色的部分，面积是多少平方厘米9. 如图，AD=DE=EC ，F 是BC 中点，G 是FC 中点，如果三角形ABC 的面积是24平方厘米，则阴影部分是多少平方厘米10. 一张长方形纸板，长24厘米，宽16厘米．现在在它的四个角上剪去大小相等的四个正方形，然后做成一个无盖的纸盒．当剪去的正方形边长为多少厘米时（取整厘米数），这个纸盒的容积最大（纸板的厚度忽略不计）．这时纸盒的容积是多少立方厘米【典型应用3】统计与可能性应用3：统计初步分为四个步骤：数据收集、数据整理、数据呈现和数据分析.做统计题目就是要懂得去看图分析，总结统计图所给的信息，通常情况下，我们用条形统计图表示各类数量的多少，用折线统计图表示数量增减变化的情况，平均数是最常用的统计量,不但可以反映一组数据的总体情况，也可以用来分析不同数量的几组同类数据.【题1】五年级全体学生参加活动，上周到图书馆借书情况如条形统计图.（1）第_____天借书大于或等于70本（2）这周平均每天借书多少本（按5天计算，计算结果用四舍五入法凑整到个位）[略解] 通过观察统计图，可知：（1）第二天借书等于70本；第三天（77本）和第五天（90本）借书大于70本；（2）用这一周总共借书的本数除以5即得这一周平均每天借书的本数．【技巧贴士】此题先读出统计图中已知的条件，再根据求平均数的方法求出这一周平均每天借书的本数.【题2】小红到离家6千米的一个风景区游玩，请根据如图的折线图回答：（1）小红在风景区玩了多长时间（2）如果一直走不休息，她几时几分可到达风景区（3）小红骑车回家时每小时行多少千米[略解] 解：（1）因为9点到10点分平均分2个时间段，每段30分钟．所以小红在风景区玩了30分钟．（2）因为8点到9点之间分成了3段，60÷3=20（分钟），中间休息了20分钟，如果不休息，8点40分就可以到达.（3）因为9点到10点平均分2个时间段，60÷2=30（分钟），所以小红回家用了30分钟=21小时．6÷21=12（千米）；答：小红骑车回家时每小时行12千米．【技巧贴士】本题考查折现统计图，看学生能不能运用统计图提供的信息解决实际问题.【巩固练习】 第三期第一部分 基础达标1.根据统计图信息完成下列问题(1) 上面统计图表示小巧本学期4次数学测验成绩增减变化的情况，它是_______统计图．(2) 小巧第3次数学测验成绩是_______分．(3) 小巧第5次数学测验成绩得_______分，才能使这5次数学测验的平均成绩是91分．2.新华书店第一、第二季度各类图书销售情况如下表，请根据此表完成下面的统计图．童话漫画科普趣味数学第一季度45本95本70本75本第二季度30本90本85本85本(1) 新华书店第一、第二季度各类图书销售情况统计图(2)如果书店想进一些新书，你有什么好推荐3.小芳统计了全班同学的体重，并将数据记录在下表中．从这个班中任选一个同学，他的体重在28～30kg之间的可能性是多少4.下面记录的是五（3）班第1组女生的一次跳远成绩．（单位：m）（1）这组数据的中位数，平均数各是多少（2）用哪个数代表这个组数据的一般水平更合适（3）如果以上为及格，有多少名同学及格了，超过半数了吗第二部分强化训练5.教练陪小明练习100米蛙泳，他们两人游泳的距离和时间的关系如下图，请看图回答问题．（1）小明比教练先游______秒．（2）小明游到______米时，速度明显慢了下来．（3）两人都到达终点时，教练游的时间是小明的() ().6.小丁和小华进行800米赛跑的时间与路程关系如下图．（1）______赢得了比赛的胜利．（2）小华的平均速度是每分钟_______米．（结果保留整数）（3）跑完500米，小丁用了_______分钟，小华用了______分钟7.林科院技术员为了比较两棵不同树木的生长情况，每2年测量一次树的高度，情况如下：年数高度/24681012141618米品种甲树247101010乙树35678888（1）根据上表，在下面绘制这两种树的生长情况统计图．（2）请根据统计图，描述一下这两种树的生长情况．（3）当两种树的生长速度几乎为0时，乙树的高度是甲树的几分之几（4）生长到第几年两树的高度一样8.某电器城2011年下半年空调和冰箱销售台数如下：月份\台7月8月9月10月11月12月数/太\种类空调450750550350250600冰箱300500350300250200（1）根据上表中的数据制成折线统计图（如图1）．（2）平均每月销售空调多少台（3）如果每台冰箱获利100元，那么这个电器城2011年下半年冰箱销售中共获利多少万元（4）下面是某啤酒厂2009～2012年啤酒产量情况统计图如图2．请根据统计图完成下面的统计表．某啤酒厂2009～2012年啤酒产量情况年份2009年2010年2011年2012年合计计划产量实际产量【方法小结】纵观多年来的试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”.数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和在将来要学的解不等式问题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程.这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数几何问题化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参数、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.解题中，主要有三种类型：以数化形、以形化数和数形结合.解决问题的基本思路： 明确题中所给的条件和所求的目标，从题中已知条件或结论出发，先观察分析其是否相似或相同于已学过的基本公式或图形的表达式，再作出或构造出与之相适合的图形，最后利用已经作出或构造出的图形的性质、几何意义等，联系所要求解的目标去解决问题。