计算机算法设计——线性规划与网络流
数学建模的十大算法
数学建模的十大算法1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法）2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具）3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现）4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具）8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理）2 十类算法的详细说明2.1 蒙特卡罗算法大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。
线性规划与网络流ppt课件
X=( X (0)
，
)T=(b1,…,bm,0,…,0)T
因解有记例b≥3为0求,解故非又X齐满称次足初线约始性束方基(程本1组-可193行xx)x111,解是5xxx22。2一933个xxx333基84xxx4本44 104可 行
B 311
1 1 5
（2）一般经过不大于m或n次迭代就可求得最优解。
9
基本可行解理解例子
n
maxz c j x j
j 1
n
pjxj b
j 1
xj 0( j 1,, n)
(1-17)
(1 18) (1 19)
在约束条件（1-18）式的变量的系数矩阵中总
会存在一个单位矩1 阵0 ， 不0妨设为
应用最广泛的方法之一。 是最基本的方法之一。网络规划，整数规划，目标
规划和多目标规划都是以线性规划为基础的。 是解决稀缺资源最优分配的有效方法，使付出的费
用最小或获得的收益最大
3
仓库租赁问题
某企业计划为流通的货物租赁一批仓库。必须保证在时间 段i=1,2,…,n，有bi的仓库容量可用。现有若干仓库源可供 选择。设cij是从时间段i到时间段j租用1个单位仓库容量的 价格，1ijn。应如何安排仓库租赁计划才能满足各时间 段的仓库需求，且使租赁费用最少。
1
问题与建模
模型：对真实系统的结构与行为用图、解析式 或方程来描述的合称为模型。
数学模型：通过抽象和简化，使用数学语言对 实际对象的一个刻画，以便于人们更简明更深 刻地认识所研究的对象
数学建模：根据要求，针对实际问题，组建数 学模型的全过程（包括建立、求解、分析、检 验等）
2
线性规划模型
CAN-File-10-10-08-13-线性规划_网络流与整数规划解析
目标：
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
实用优化方法
数学与系统科学学院
网络流问题－续
约束：
质量守恒(mass conservation) inflow(k) – outflow(k)=demand(k)=-supply(k), 假定II：弧没有容量限制
如果他们全非负，当前树解是最优的；否则，选取弧 (i, j) 使得 ，称之为入弧. Step 4. 确定出弧：入弧和树弧必形成一个圈. 如果圈中的所 有弧和入弧同向，则最优费用是 -∞，终止算法. 否 则，在与入弧反向的树弧中选一个最小的流作为出弧. Step 5. 转轴： 在当前树解中用入弧代替出弧，更新原始流，得 新的树解. 转 Step2.
第04章 线性规划： 网络流和整数规划 实用优化方法
数学与系统科学学院
(用于无容量限制网络的)网络单纯形法：
Step 1. 从一个可行的树解开始，假设第 n 个节点是根节点. Step 2. 计算对偶向量(单纯形乘子)： 从根节点向叶子节点，依次求解方程组
Step 3. 计算对偶松弛向量(相对费用系数/既约费用系数)：
连 通
第04章 线性规划： 网络流和整数规划 实用优化方法
不连通
数学与系统科学学院
定义：圈 vs. 非圈(Cyclic vs. Acyclic)
圈
第04章 线性规划： 网络流和整数规划 实用优化方法
非 圈
数学与系统科学学院
定义：树(Trees)
树＝连通的+非圈
非 树
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
非负性
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
实用优化方法
信息工程系课程的介绍XXXX专业宣讲会
文库贡献者物理与电子信息工程学院信息工程系课程介绍2013年11月目录1. 《算法设计与分析》课程介绍 (1)2. 《离散数学》课程介绍 (2)3. 《计算机组成原理》课程介绍 (3)4. 《网络应用终端开发》课程介绍 (4)5. 《数据结构》课程介绍 (5)6. 《面向对象程序设计（Java）》课程介绍 (6)7. 《嵌入式操作系统基础》课程介绍 (8)8. 《数据结构》课程介绍 (9)9. 《操作系统A》课程介绍 (11)10. 《多媒体技术A》课程介绍 (12)11. 《ARM原理与应用》课程介绍 (13)12. 《ERP系统实施及二次开发技术》课程介绍 (14)13. 《Internet开发基础（JSP）》课程介绍 (15)14. 《IP统一通信技术》课程介绍 (17)15. 《IT项目管理》课程介绍 (18)16. 《嵌入式系统软件开发》课程介绍 (19)17. 《面向对象程序设计A》课程介绍 (20)18. 《Web应用开发》课程介绍 (22)19. 《Xml与Web Service》课程介绍 (24)20. 《编译原理》课程介绍 (26)21. 《数据库原理与应用》课程介绍 (27)22. 《电子商务概论》课程介绍 (28)23. 《企业运作模拟》课程介绍 (29)24. 《信息系统分析与设计》课程介绍 (31)25. 《管理学原理》课程介绍 (32)26. 《会计学原理》课程介绍 (34)27. 《数字电路与逻辑设计》课程介绍 (35)28. 《程序设计基础》课程介绍 (36)29. 《计算机网络》课程介绍 (38)30. 《计算机网络安全》课程介绍 (39)31. 《计算机网络规划与设计》课程介绍 (40)32. 《路由与交换技术》课程介绍 (41)33. 《企业管理与ERP》课程介绍 (43)34. 《软件工程B》课程介绍 (44)35. 《软件质量与测试基础》课程介绍 (45)36. 《网络协议分析与设计》课程介绍 (46)37. 《物流与供应链管理》课程介绍 (47)38. 《网络性能测试与分析》课程介绍 (48)39. 《信息系统分析与设计》课程介绍 (49)40. 《现代通信技术》课程介绍 (50)41. 《计算机网络基础》课程介绍 (51)42. 《计算机组成与体系结构》课程介绍 (53)43. 《运筹学B》课程介绍 (54)44. 《大型数据库系统基础》课程介绍 (55)1.《算法设计与分析》课程介绍2）教学目的和要求算法设计与分析是计算机科学与技术专业的专业课程，在计算机科学与应用的理论研究中具有重要的地位。
线性规划.网络流.二分图匹配
2013-8-1
最大匹配
给定一个二分图G，在G的一个子图M中， M的边集中的任意两条边都不关联于同一 个顶点，则称M是一个匹配。 选择这样的边数最大的子集称为图的最大 匹配问题(maximal matching problem),最 大匹配的边数称为最大匹配数. 如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图 中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配， 也称作完备匹配。
d
14,4
c
12
20
s
13
4
10
t
4
16,11
a
4,
12,4 9,4
b
7,7
20,7
d
c
s
10,7
t
4,4
13,
d
14,11
c
2013-8-1
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剩余图
s
增广之后的新流
16,11 10,7
a
4,
12,4 9,4
b
7,7
20,7
t
4,4
13,
d a
4,1
14,11 12,12
c b
5
a
x
3 3
6
9
6
9
12
⑵
15
18
21
24
⑶
⑴
27
30
33
36
有唯一最优解
2013-8-1
答案：15+5=20
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练习
某工厂生产甲、乙两种产品，生产1公斤甲产品需要煤9 公斤、电4度、油3公斤，生产1公斤乙产品需要煤4公 斤、电5度、油10公斤。该工厂现有煤360公 斤、电 200度、油300公斤。已知甲产品每公斤利润为7千元， 乙产品每公斤利润为1.2万元，为了获取最大利润应该 生产甲产品（ ）公斤，乙产品 （ ）公斤。
计算机编程算法常用术语
计算机编程算法常用术语小编为大家整理了计算机编程算法常用术语，希望对你有帮助哦! 计算机编程算法常用术语：Dictionaries 字典Priority Queues 堆Sorting 排序Searching 查找Data Structures 基本数据结构Graph Data Structures 图Set Data Structures 集合Kd-Trees 线段树Numerical Problems 数值问题Solving Linear Equations 线性方程组Bandwidth Reduction 带宽压缩Matrix Multiplication 矩阵乘法Determinants and Permanents 行列式Constrained and Unconstrained Optimization 最值问题Linear Programming 线性规划Random Number Generation 随机数生成Factoring and Primality Testing 因子分解/质数判定Arbitrary Precision Arithmetic 高精度计算Knapsack Problem 背包问题Discrete Fourier Transform 离散Fourier变换Combinatorial Problems 组合问题Median and Selection 中位数Generating Permutations 排列生成Generating Subsets 子集生成Generating Partitions 划分生成Generating Graphs 图的生成Calendrical Calculations 日期Job Scheduling 工程安排Satisfiability 可满足性Graph Problems -- polynomial 图论-多项式算法Connected Components 连通分支Topological Sorting 拓扑排序Minimum Spanning Tree 最小生成树Shortest Path 最短路径Transitive Closure and Reduction 传递闭包Matching 匹配Eulerian Cycle / Chinese Postman Euler回路/中国邮路Edge and Vertex Connectivity 割边/割点Network Flow 网络流Drawing Graphs Nicely 图的描绘Drawing Trees 树的描绘Planarity Detection and Embedding 平面性检测和嵌入Graph Problems -- hard 图论-NP问题Clique 最大团Independent Set 独立集Vertex Cover 点覆盖Traveling Salesman Problem 旅行商问题Hamiltonian Cycle Hamilton回路Graph Partition 图的划分Vertex Coloring 点染色Edge Coloring 边染色Graph Isomorphism 同构Steiner Tree Steiner树Feedback Edge/Vertex Set 最大无环子图Computational Geometry 计算几何Convex Hull 凸包Triangulation 三角剖分Voronoi Diagrams Voronoi图Nearest Neighbor Search 最近点对查询Range Search 范围查询Point Location 位置查询Intersection Detection 碰撞测试Bin Packing 装箱问题Medial-Axis Transformation 中轴变换Polygon Partitioning 多边形分割Simplifying Polygons 多边形化简Shape Similarity 相似多边形Motion Planning 运动规划Maintaining Line Arrangements 平面分割Minkowski Sum Minkowski和Set and String Problems 集合与串的问题Set Cover 集合覆盖Set Packing 集合配置String Matching 模式匹配Approximate String Matching 模糊匹配Text Compression 压缩Cryptography 密码Finite State Machine Minimization 有穷自动机简化Longest Common Substring 最长公共子串Shortest Common Superstring 最短公共父串DP——Dynamic Programming——动态规划recursion ——递归编程词汇A2A integration A2A整合abstract 抽象的abstract base class (ABC)抽象基类abstract class 抽象类abstraction 抽象、抽象物、抽象性access 存取、访问access level访问级别access function 访问函数account 账户action 动作activate 激活active 活动的actual parameter 实参adapter 适配器add-in 插件address 地址address space 地址空间address-of operator 取地址操作符ADL (argument-dependent lookup)ADO(ActiveX Data Object)ActiveX数据对象advanced 高级的aggregation 聚合、聚集algorithm 算法alias 别名align 排列、对齐allocate 分配、配置allocator分配器、配置器angle bracket 尖括号annotation 注解、评注API (Application Programming Interface) 应用(程序)编程接口app domain (application domain)应用域application 应用、应用程序application framework 应用程序框架appearance 外观append 附加architecture 架构、体系结构archive file 归档文件、存档文件argument引数(传给函式的值)。
数学建模中常用的十种算法
设针投到地面上的位置可以用一组参数（x,θ）来描述， x为针中心的坐标，θ为针与平行线的夹角，如图所示。 任意投针，就是意味着x与θ都是任意取的，但x的范围 限于［0，a］，夹角θ的范围限于［0，π］。在此情况下， 针与平行线相交的数学条件是
x ≤ l ⋅ sin θ
针在平行线间的位置
如何产生任意的（x,θ）？x在［0，a］上任意取值， 表示x在［0，a］上是均匀分布的，其分布密度函 数为：
遗传算法简介
遗传算法是一类借鉴生物界自然选择和自然遗传机制的随 机化搜索算法，由美国J.Holland教授提出，其主要特点 是群体搜索策略和群体中个体之间的信息交换，搜索不依 赖于梯度信息。它尤其适用于传统搜索方法难于解决的复 杂和非线性问题，可广泛用于组合优化、机器学习、自适 应控制、规划设计和人工生命等领域，是21世纪有关智 能计算中的关键技术之一。 在人工智能领域中，有不少问题需要在复杂和庞大的 搜索空间中寻找最优解或准最优解。象货郎担问题和规划 问题等组合优化问题就是典型的例子。在求解此类问题时， 若不能利用问题固有知识来缩小搜索空间则会产生搜索的 组合爆炸。
2、最优化理论的三大非经典算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经 网络、遗传算法这三类算法发展很快。近几年的赛题越来 越复杂，很多问题没有什么很好的模型可以借鉴，于是这 三类算法很多时候可以派上用场，比如：97 年A 题的模 拟退火算法，00 年B 题的神经网络分类算法，象01 年B 题这种难题也可以使用神经网络，还有美国竞赛89 年A 题也和BP 算法有关系，当时是86 年刚提出BP 算法，89 年就考了，说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。目 前算法最佳的是遗传算法。
i =1 i
N
作为积分的估计值（近似值）。
第8章_线性规划和网络流
问：应该如何截取，才能完成任务，同时使余料最少？
四川师范大学 计算机科学学院 刘芳
18
算法设计与分析<<线性规划
8.2.1 什么是线性规划
解：
截法 1 2 3 4 5 6
长度
70 2 1 1 1 0 0 52 0 2 1 0 3 2 35 1 0 1 3 0 2
余料 5 6 23 5 24 6
四川师范大学 计算机科学学院 刘芳
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算法设计与分析<<线性规划
8.2.1 什么是线性规划
线性规划（LP）的要素：
一组有待决策的变量xj （决策变量） 一个线性的目标函数和优化准则
z称为目标函数
max或min成为优化准则
一组线性的约束条件（s.t ：subject约束条件）
线性规划的应用
第8章 线性规划与网络流
8.1 运筹学概论 8.2 线性规划基础 8.3 线性规划求解的单纯形算法 8.4 网络流
算法设计与分析<<线性规划
8.1运筹学概论
运筹学的思想在古代就已经产生了
敌我双方交战，要克敌制胜就要在了解双方情况的基础上， 做出最优的对付敌人的方法。
运筹帷幄之中，
决胜千里之外。
8.1.2 运筹学的应用
运筹学的应用
1.市场销售 2.生产计划 3.运输问题 4.人事管理 5.设备维修，更新和可靠性等。 6.计算机和信息系统
7.城市管理
8.对策研究 ………………
四川师范大学 计算机科学学院 刘芳
6
算法设计与分析<<线性规划
数学建模常用模型有哪些
数学建模常用模型有哪些1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法）2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具）3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现）4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具）8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理）作用：应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。
运筹学的基础
运筹学的基础一、概述运筹学是一门应用数学学科，旨在解决实际问题中的优化、决策和规划等问题。
它涉及多个学科领域，如数学、统计学、计算机科学和工程等。
本文将从以下几个方面介绍运筹学的基础知识。
二、线性规划线性规划是运筹学中最基础也是最常用的方法之一。
它的主要思想是在给定约束条件下，寻找使目标函数最大或最小的变量值。
线性规划问题可以用下列标准形式表示：max c^Txs.t. Ax ≤ bx ≥ 0其中，c和x分别表示目标函数系数和变量向量，A和b分别表示约束条件系数矩阵和常向量。
三、整数规划整数规划是线性规划的扩展，它要求变量取整数值。
这种限制使得整数规划问题更难求解。
通常采用分支定界法或割平面法等算法来求解整数规划问题。
四、网络流问题网络流问题也是运筹学中重要的问题之一。
它涉及到图论中的最大流和最小割等概念，在实际应用中有着广泛的应用。
网络流问题可以用下列标准形式表示：max fs.t. 0 ≤ f ≤ c∑f(i,j) - ∑f(j,i) = 0 (i ≠ s,t)其中，f表示流量，c表示容量，s和t分别表示源点和汇点。
五、排队论排队论是运筹学中另一个重要的问题。
它研究的是在一定条件下，如何通过优化系统结构、调整服务策略等方式来提高服务效率和降低成本。
排队论采用概率模型来描述系统行为，并通过数学方法来优化系统性能。
六、决策分析决策分析是运筹学中最终的目标之一。
它涉及到多种方法和工具，如决策树、贝叶斯网络、模拟等。
决策分析旨在帮助决策者做出最优决策，并同时考虑风险和不确定性因素。
七、结语运筹学的基础知识包括线性规划、整数规划、网络流问题、排队论和决策分析等内容。
这些方法和工具在实际应用中有着广泛的应用，并且不断发展和完善。
掌握这些基础知识对于从事运筹学研究和应用的人员来说是非常重要的。
网络流算法(NetworkFlow)
网络流算法（NetworkFlow）网络流算法，是指寻找网络流问题的解的算法，它是一类重要的组合优化问题，被广泛应用于计算机科学及工程领域。
网络流是个有向图，它模拟了许多实际问题，如输电方案、货物运输、油管输送和信息传输等。
网络流算法的目的是在给定的网络流中，尽可能地将流量从源点流向汇点，同时满足各个节点的容量约束和流量平衡约束。
本文将介绍网络流模型的构建和基本算法。
一、网络流模型的构建网络流模型是一个有向图G=(V,E)，其中V表示节点集合，E表示边集合。
每条边都有一个容量c(e)表示其流量的最大值。
设源点为s，汇点为t，则网络流模型可以表示为一个三元组(N,s,t)，即：N=(V,E) s∈V t∈V s≠t在网络流模型中，源点始终是起点，汇点始终是终点。
我们在模型中引入一个源汇节点s'和汇源节点t'，并连接源点和汇点，得到源汇图G'=(V,E')，其中：E'=E∪{(s',s,c(s,t))}∪{(t,t',c(s,t))}即，在原图的基础上，加入两个新的虚拟节点s'和t'，并连接到源点和汇点。
这样构造的网络流模型中，所有的节点都满足容量和流量平衡约束。
在网络流问题中，我们需要求解最大流或最小割，以满足约束条件，并且尽可能地提高网络的利用率。
二、网络流的基本概念和算法1. 流量和容量网络流图中，首先需要确定每条边的容量和流量。
流量指的是通过该边的流量大小，容量指的是该边能够承受的最大流量。
在网络流模型中，每条边的容量是一个正实数，而流量可以是任意实数。
流量和容量通常表示为f(e)和c(e)。
2. 割在网络流模型中，割是一种对源汇图做出的划分，其中源点s和汇点t被分为两个集合S和T。
网络流通过割的概念来定义障碍物，即对流量的限制。
在网络流图中，割C(S,T)是指将源点s和汇点t割成两部分的划分，C(S,T)满足：s∈S t∈T S∩T=∅根据割的定义，可将所有割分为最小割和最大割。
十大经典数学模型
十大经典数学模型1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法）2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具）3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现）4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）5、动态规划、回溯搜索、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具）8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理）1、蒙特卡罗方法（MC）（Monte Carlo）：蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。
《线性规划与网络流》课件
最大流问题
总结词
最大流问题是指在给定网络中，寻找一条从源点到汇点的路径，使得流经该路 径的流量最大。
详细描述
最大流问题也是线性规划的一个重要应用，它主要解决的是如何有效地分配资 源或运输货物的问题。通过线性规划的方法，可以找到满足流量约束的最大流 量路径，使得资源得到最有效的利用。
多源多汇问题
总结词
组初始解或根据问题的特性选择一个较为合理的初始解。
初始解的确定对于加速求解过程和提高求解精度具有重要意义
03 。
迭代过程
迭代过程是线性规划求解的核心步骤，其目的是通过 不断更新解的候选集合来逼近最优解。
在每次迭代中，算法会根据当前解的候选集合和目标 函数的系数，通过一系列数学运算来更新解的候选集
合，直到满足终止条件为止。
线性规划与网络流
• 线性规划简介 • 线性规划的求解方法 • 网络流基础 • 线性规划在网络流中的应用 • 案例分析
01
线性规划简介
线性规划的定义
线性规划是运筹学的一个重要分支， 旨在寻找一组变量的最优解，使得线 性目标函数达到最大或最小值，同时 满足一系列线性约束条件。
线性规划问题通常表示为在给定一组 线性不等式约束条件下，最大化或最 小化一个线性目标函数。
总结词
多源多汇问题是网络流问题的一种变体，它 涉及到多个源点和多个汇点，要求在满足流 量平衡的条件下，寻找最大的流。
详细描述
一个实际的例子是电力网络中的最大功率传 输问题。在这个问题中，我们需要将一定数 量的电力从多个发电厂传输到多个用户，同 时要满足用户的需求和发电厂的产能限制。 我们的目标是找到一种传输方案，使得总传 输功率最大。这个问题可以通过使用多源多
汇问题的算法来解决。
数学建模10大算法
1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法）
2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具）
3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现）
4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）
5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）
6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）
7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具）
8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）
9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）
10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理）。
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计算机算法设计与分析
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cos t( flow) cos t(v, w) flow(v, w) ( v , w )E
计算机算法设计与分析
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计算机算法设计与分析
aij
aie
akj ake
a ik
aie ake
iB, jN
a ej
akj ake
a ek
1 ake
jN
c i c k
ci
ce
ce ake
aki ake
iN
计算机算法设计与分析
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x1 2x3 2x2 7x4 x1 x2 x3 x4 x2 x3 2x4
18 0 9 1
( w,v )E
(v,w)E
flow(v, w) flow(w, v)
(v,w)E
( w,v )E
可行流要达到平衡
计算机算法设计与分析
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计算机算法设计与分析
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O( mn2 ) 计算机算法设计与分析
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计算机算法设计与分析
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计算机算法设计与分析
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cos t( flow) cos t(v, w) flow(v, w) (v,w)E
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计算机算法设计与分析
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计算机算法设计与分析
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flow(v, w) d flow(v, w) flow(v, w) d
flow(v, w)
(v, w) P (v, w) P (v, w) P
计算机算法设计与分析
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计算机算法设计与分析
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计算机算法设计与分析
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计算机算法设计与分析
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计算机算法设计与分析
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max z x2 3x3 2x5
x1 3x2 x3 2x5 7
x4 2x2 4x3
12
x6 4x2 3x3 8x5 10
xi 0 i 1, 2,3,4,5,6
<-系数为负的为0，可以使得z最大
x2 x3 x5 z 0 -1 3 -2 x1 7 3 -1 2 x4 12 -2 4 0 x6 10 -4 3 8
x1
5 2
x2
1 4
x4
2x5
10
x6
5 2
x2
3 4
x4
8x5
1
z
9
1 2
x2
3 4
x4
2x5
x2
x4
x5
z
9 1/2 -3/4 -2
x1 10 5/2 1/2 2 x3 3 -1/2 1/4 0 x6 1 -5/2 -3/4 8
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x1
x4
x5
z 11
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计算机算法设计与分析
O(mn log n log M ) O(n2 log n log M )
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计算机算法设计与分析
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计算机算法设计与分析
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flow(v, w) flow(w, v)
( v , w )E
( w,v )E
flow(w, v) flow(v, w)
b2Βιβλιοθήκη a2m+1 a2m+2
…
a2n
bm amm+1 amm+2 …
amn
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θ
min
bi
bk
aie 0 aie ake
B B {e} {k} N N {k} {e}
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bi be
bi aie bk
ake
bk ake
iB
a ij
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wt
(v,
w)
cost(v, w) cost(w, v)
(v, w) P (v, w) P
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最小费用流的最小费用路算法 步骤0：初始可行0流。 步骤1：如果不存在最小费用路，则计算结束，已经找到最小费用流； 否则用最短路算法在残流网络中找从s到t的最小费用可增广路，转步骤2。 步骤2：沿找到的最小费用可增广路增流，并转步骤1。
x1 2x3 y1 2x2 7x4 y2 x1 x2 x3 x4 x2 x3 2x4 y3
18 0 9 1
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z1 x1 2x3 y1 z2 2x2 7x4 y2 z3 x1 x2 x3 x4 z4 x2 x3 2x4 y3
18 0 9 1
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e minj | c j 0
k
min l
|
bl
min
bi
ale aie 0 aie
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kn
yij
i1 jk
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nn
cij yij
i1 ji
nn
min
cij yij
i1 ji
kn
yij bk
i1 jk
yij 0
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y11 , y12 ,, y1n , y22 , y23 ,, y2n ,, ynn c11 , c12 ,, c1n , c22 , c23 ,, c2n ,, cnn
x1, x2 ,, xm d1, d2 ,, dm
min d T x
Ax b
x0
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 1 1 0
A 0 0 1 1 0 1 1
0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 1
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x3
1 2
x2
1 4
x4
3
x1 3x2 x3 2x5 x4 2x2 4x3 x6 4x2 3x3 8x5
7 12 10
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计算机算法设计与分析
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计算机算法设计与分析
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步骤0：用最大流算法构造最大流flow。 步骤1：如果残量网络中不存在负费用圈，则计算结束，已经找到最小费用流； 否则转步骤2。 步骤2：沿找到的负费用圈增流，并转步骤1。
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O(m2nCM )
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m
z zi i1
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计算机算法设计与分析
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max
z
3 4
x1
20 x2
1 2
x3
6 x4
1 4
x1
8x2
x3
9x4
1 2
x1
12x2
1 2
x3
3x4
x3
0
0 1
xi 0 i 1, 2,3,4
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计算机算法设计与分析
计算机算法设计与分析
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计算机算法设计与分析
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计算机算法设计与分析
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计算机算法设计与分析
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计算机算法设计与分析
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计算机算法设计与分析
69页
最小费用流的网络单纯形算法
步骤0：构造flow为初始可行0流。 构造相应的可行支撑树T和有效的顶点势函数。 步骤1：如果不存在T的可用边，则计算结束，已经找到最小费用流；否则转步骤2。 步骤2：选取T的一条可用边与T的树边构成负费用圈，沿找到的负费用圈增流， 从T中删去一条饱和边或零流边，重构可行支撑树，并转步骤1。
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计算机算法设计与分析
O(m2CM ) 71页
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计算机算法设计与分析
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8.1 线性规划问题和单纯形算法
max
n
cjxj
j1
(8.1)
n
ait xt bi
t 1
n
a jt xt bj
t 1
n
akt xt bk
t 1
xt 0
i 1,2,, m1 j m1 1,, m1 m2 k m1 m2 1,, m1 m2 m3 t 1,2,, n
x2 4 5/2 1/10 4/5
x3 5 1/5 3/10 2/5
x6
11
1 -1/2 2130页
x1, x2 ,, xm
xm1 , xm2 ,, xn
b1, b2 ,, bm ,0,,0
z x1 x2 xm
xm+1 xm+2
…
xn
c0
cm+1 cm+2
…
cn
b1
a1m+1 a1m+2
…
a1n
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建设道路 枪支管制 农业津贴 减免油税
城市 －2 8 0 10
郊区 5 2 0 0
农村 3 －5 10 －2
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