千题百炼高中数学100个热点问题第75炼几何问题的转换

第75炼 几何问题的转换一、基础知识：在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件及代数条件的相互转化，合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列举常见的一些几何条件的转化。

1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线段后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为坐标的运算，及方程和变量找到联系2、常见几何问题的转化： （1）角度问题：① 若及直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率k② 若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符号进行判定 （2）点及圆的位置关系① 可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离及半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些题目中计算量较大② 若给出圆的一条直径，则可根据该点及直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内，ACB ∠为钝角（再转为向量：0CA CB ⋅<；若点在圆上，则ACB ∠为直角（0CA CB ⋅=）；若点在圆外，则ACB ∠为锐角（0CA CB ⋅>）（3）三点共线问题① 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线 ② 通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线 （4）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行及垂直问题，从而转为坐标运算：()()1122,,,a x y b x y ==，则,a b 共线1221x y x y ⇔=；a b ⊥12120x x y y ⇔+=（5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系 （6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注意向量的方向是同向还是反向）3、常见几何图形问题的转化（1）三角形的“重心”：设不共线的三点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则ABC 的重心123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫⎪⎝⎭（2）三角形的“垂心”：伴随着垂直关系，即顶点及垂心的连线及底边垂直，从而可转化为向量数量积为零（3）三角形的“内心”：伴随着角平分线，由角平分线性质可知（如图）：,IP AC IQ AQ ⊥⊥I 在BAC ∠的角平分线上AI AC AI AB AP AQ ACAB⋅⋅⇒=⇒=（4）P 是以,DA DB 为邻边的平行四边形的顶点DP DA DB ⇒=+C（5）P 是以,DA DB 为邻边的菱形的顶点：P 在AB 垂直平分线上（6）共线线段长度的乘积：若,,A B C 共线，则线段的乘积可转化为向量的数量积，从而简化运算，(要注意向量的夹角）例如：AC AB AC AB ⋅=⋅，AC BC AC BC ⋅=-⋅二、典型例题：例1：如图：,A B 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点，F 为其右焦点，2是,AF FB 的等差中项，3是,AF FB 的等比中项（1）求椭圆C 的方程（2）已知P 是椭圆C 上异于,A B 的动点，直线l 过点A 且垂直于x 轴，若过F 作直线FQ AP ⊥，并交直线l 于点Q 。

证明：ABA,,Q P B 三点共线解：（1）依题意可得：()()(),0,,0,,0A a B a F c -,AF c a BF a c ∴=+=-2是,AF FB 的等差中项 42AF FB a c a c a ∴=+=++-= 2a ∴=3是,AF FB的等比中项()()2222AF FB a c a c a c b ∴=⋅=+-=-=23b ∴=椭圆方程为：22143x y +=（2）由（1）可得：()()()2,0,2,0,1,0A B F -设():2AP y k x =+，设()11,P x y ，联立直线及椭圆方程可得：()()22222234124316161202x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+++-=⎨=+⎪⎩ 2211221612684343A k k x x x k k --∴=⇒=++ ()11212243ky k x k ∴=+=+ 2226812,4343k k P k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭另一方面，因为FQ AP ⊥ 1FQ k k∴=-()1:1FQ y x k ∴=--，联立方程：()1132,2y x Q k k x ⎧=--⎪⎛⎫⇒-⎨ ⎪⎝⎭⎪=-⎩ ()2,0B()303224BQk k k -∴==--- 22221201234368164243BPkk k k k k k k --+===---+BQ BP k k ∴=,,B Q P ∴三点共线例2：已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F ，M 为上顶点，O 为坐标原点，若△OMF 的面积为21，且椭圆的离心率为22． （1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点， 且使点F 为△PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解：（1）111222OMF S OM OF bc =⋅⋅==::2c e a b c a ==⇒= 1b c ∴== 2222a b c ∴=+=∴椭圆方程为：2212x y +=（2）设),(11y x P ，),,(22y x Q 由（1）可得：()()0,1,1,0M F1MF k ∴=-F 为△PQM 的垂心MF PQ ∴⊥ 11PQ MFk k ∴=-=设:PQ y x m =+由F 为△PQM 的垂心可得：MP FQ ⊥()()1122,1,1,MP x y FQ x y =-=-()()1212110MP FQ x x y y ∴⋅=-+-= ①因为,P Q 在直线y x m =+上1122y x my x m=+⎧∴⎨=+⎩，代入①可得： ()()()1212110x x x m x m -++-+=即0)1)((222121=-+-++m m m x x x x ② 考虑联立方程：2222y x m x y =+⎧⎨+=⎩ 得0224322=-++m mx x ． ()22216122203m m m ∆=-->⇒<1243mx x ∴+=-,322221-=m x x ．代入②可得： ()2222421033m m m m m -⎛⎫⋅+-⋅-+-= ⎪⎝⎭解得：43m =-或1m =当1=m 时，△PQM 不存在，故舍去当34-=m 时，所求直线l 存在，直线l 的方程为34-=x y 小炼有话说：在高中阶段涉及到三角形垂心的性质，为垂心及三角形顶点的连线垂直底边，所以对垂心的利用通常伴随着垂直条件，在解析几何中即可转化为向量的坐标运算（或是斜率关系）例3：如图，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的一个焦点是()1,0F ，O 为坐标原点.（1）若椭圆短轴的两个三等分点及一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（2）设过点F 且不垂直x 轴的直线l 交椭圆于,A B 两点，若直线l 绕点F 任意转动，恒有222OA OB AB +<, 求a 的取值范围.解：（1）由图可得：10,3M b ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 由正三角形性质可得：,63MF MFO k π∠==-13013MFb k -∴==--b ∴= 2224a bc ∴=+=∴椭圆方程为：22143x y += （2）设():1l y k x =-，()()1122,,,A x y B x y222OA OB AB +<222cos 02OA OB ABAOB OA OB+-∴∠=<AOB ∴∠为钝角12120OA OB x x y y ∴⋅=+<联立直线及椭圆方程：()()222222222222211y k x b x a k x a b b x a y a b=-⎧⎪⇒+-=⎨+=⎪⎩，整理可得：()222222222220a kb x a k x a k a b +-+-=22222212122222222,a k a k a b x x x x a k b a k b-∴+==++ ()()()22221212121211y y k x x k x x k x x k ∴=--=-++2222222222222222222222a k a b a k k b a b k k k k a k b a k b a--=⋅-⋅+=++= 22222222212122220a k a b k b a b k x x y y a k b -+-∴+=<+2222222220a k a b k b a b k -+-<恒成立即()2222222k a b a b a b +-<恒成立22220a b a b ∴+-< 221b a =-()2222110a a a ∴---<解得：12a +>a ∴的取值范围是⎫+∞⎪⎝⎭例4：设,A B 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为1 （1）求椭圆的方程；（2）设P 为直线4x =上不同于点()4,0的任意一点， 若直线,AP BP 分别及椭圆相交于异于,A B 的点,M N ，证明：点B 在以MN 为直径的圆内解：（1）依题意可得2a c =，且到 右焦点距离的最小值为1a c -= 可解得：2,1a c ==b ∴=∴椭圆方程为22143x y += （2）思路：若要证B 在以MN 为直径的圆内，只需证明MBN ∠为钝角，即MBP ∠为锐角，从而只需证明0BM BP ⋅>，因为,A B 坐标可求，所以只要设出AM 直线（斜率为k ） ，联立方程利用韦达定理即可用k 表示出M 的坐标，从而BM BP ⋅可用1k 表示。

即可判断BM BP ⋅的符号，进而完成证明解：由（1）可得()()2,0,2,0A B -，设直线,AM BN 的斜率分别为k ，()11,M x y ，则():2AM y k x =+ 联立AM 及椭圆方程可得：()2223412y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得：()2222431616120k x k x k +++-= 2211221612684343A k k x x x k k --∴=⇒=++ 11212243ky kx k k ∴=+=+，即2226812,4343k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭设()04,P y ，因为P 在直线AM 上，所以()0426y k k =+=，即()4,6P k()22216122,6,,4343k k BP k BM k k ⎛⎫-∴== ⎪++⎝⎭2222232124060434343k k k BP BM k k k k -∴⋅=+⋅=>+++MBP ∴∠为锐角， MBN ∴∠为钝角 M ∴在以MN 为直径的圆内例5：如图所示，已知过抛物线24x y =的焦点F 的直线l 及抛物线相交于,A B 两点，及椭圆2233142y x +=的交点为,C D ，是否存在直线l 使得AF CF BF DF ⋅=⋅？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由解：依题意可知抛物线焦点()0,1F ，设:1l y kx =+AF CF BF DF ⋅=⋅ AF DF BFCF∴=，不妨设AF DF BFCFλ==则,AF FB DF FC λλ==设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y()()1122,1,,1AF x y FB x y ∴=--=- ()()3344,1,,1CF x y FD x y =--=-1234x x x x λλ-=⎧∴⎨-=⎩ 考虑联立直线及抛物线方程：2214404y kx x kx x y=+⎧⇒--=⎨=⎩()1222122144x x x k x x x λλ+=-=-⎧⎪∴⎨=-=-⎪⎩ ，消去2x 可得：()2214k λλ-=-- ① 联立直线及椭圆方程：()222216314634y kx x kx x y =+⎧⇒-+=⎨+=⎩，整理可得： ()2236610kx kx ++-=()3442234426136136k x x x k x x x k λλ⎧+=-=-⎪⎪+∴⎨⎪=-=-⎪+⎩()22213636k k λλ-∴=--+ ② 由①②可得：22236436k k k -=-+，解得：211k k =⇒=±所以存在满足条件的直线，其方程为：1y x =±+例6：在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()220x py p =>的准线方程为12y =-，过点()4,0M 作抛物线的切线MA ，切点为A （异于点O ），直线l 过点M 及抛物线交于两点,P Q ，及直线OA 交于点N （1）求抛物线的方程 （2）试问MN MN MPMQ+的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由解：（1）由准线方程可得：1122pp -=-⇒=∴抛物线方程：22x y =（2）设切点()00,A x y ，抛物线为212y x ='y x ∴= ∴ 切线斜率为0k x =∴ 切线方程为：()000y y x x x -=-，代入()4,0M 及20012y x =可得：()2000142x x x -=-，解得：00x =（舍）或08x =()8,32A ∴ :4OA y x =设:4PQ x my =+,,,M P N Q 共线且M 在x 轴上11P Q N N N NP Q P Q P Q y y MN MN y y y y MPMQy y y y y y ⎛⎫+∴+=+=+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭联立PQ 和抛物线方程：()222424x y my y x my ⎧=⇒+=⎨=+⎩，整理可得： ()2282160m y m y +-+= 222816,P Q P Q m y y y y m m-∴+=⋅= 再联立,OA PQ 直线方程：416414N y x y x my m =⎧⇒=⎨=+-⎩22281621614P Q N P Q my y MN MN m y MP MQ y y mm -+∴+=⋅=⋅=-例7：在ABC 中，,A B的坐标分别是()),，点G 是ABC 的重心，y 轴上一点M 满足GM ∥AB ，且MC MB = （1）求ABC 的顶点C 的轨迹E 的方程（2）直线:l y kx m =+及轨迹E 相交于,P Q 两点，若在轨迹E 上存在点R ，使得四边形OPRQ 为平行四边形（其中O 为坐标原点），求m 的取值范围解：（1）设(),C x y 由G 是ABC 的重心可得：,33x y G ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 由y 轴上一点M 满足平行关系，可得0,3y M ⎛⎫⎪⎝⎭由MC MB ==化简可得：()221026x y y +=≠C ∴的轨迹E 的方程为：()221026x y y +=≠ （2）四边形OPRQ 为平行四边形OR OP OQ ∴=+设()()1122,,,P x y Q x y ()1212,R x x y y ∴++R 在椭圆上()()22121236x x y y ∴+++=()()22221122121233626xy x y x x y y +++++= ①因为,P Q 在椭圆上，所以221122223636x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，代入①可得：121212126212633x x y y x x y y ++=⇒+=- ②联立方程可得：()22222326036y kx mk x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩ 212122226,33km m x x x x k k -∴+=-=++()()()2222121212122363m k y y kx m kx m k x x km x x m k -∴=++=+++=+代入②可得：2222222636332333m m k m k k k --⋅+=-⇒=+++ ()2223260kx kmx m +++-=有两不等实根可得：()()222244360k m k m ∆=-+->，即2236180m k -++>，代入2223k m =- ()22236231800m m m ∴-+-+>⇒>另一方面：22230m k -=≥ 2322m m ∴≥⇒≥或2m ≤-6,,m ⎛⎡⎫∴∈-∞+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣⎭例8：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，直线l 过点()()4,0,0,2A B ，且及椭圆C 相切于点P（1）求椭圆C 的方程（2）是否存在过点()4,0A 的直线m 及椭圆交于不同的两点,M N ，使得23635AP AM AN =⋅？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由解（1）12ce a == ::2a b c ∴=∴椭圆方程化为：22222221341243x y x y c c c+=⇒+=l 过()()4,0,0,2A B∴设直线1:12422x y l y x +=⇒=-+联立直线及椭圆方程：2223412122x y c y x ⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩消去y 可得：2221342122x x c ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭整理可得：222430x x c -+-=l 及椭圆相切于P()2444301c c ∴∆=--=⇒=∴椭圆方程为：22143x y +=，且可解得31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭（2）思路：设直线m 为()4y k x =-，()()1122,,,M x y N x y ，由（1）可得：31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，再由()4,0A 可知2454AP =，若要求得k （或证明不存在满足条件的k ），则可通过等式23635AP AM AN =⋅列出关于k 的方程。