新课标高考数学试题探究
2023高考新课标1卷数学 评析
2023高考新课标1卷数学评析一、背景介绍2023年的高考数学试卷是集结了全国各地优秀教师的智慧结晶，是一份旨在考察学生数学综合素质的试卷。
本次高考数学新课标1卷在命题思路、题型设置、难度把握等方面都做了精心设计，力求真实地反映出学生的数学水平。
二、试卷结构分析1. 考点分布：本次试卷在各个知识板块都有涉及，特别是数列、概率统计、几何证明等方面，考查力度较大。
同时，试卷还注重了数学思想方法的考查，如函数与方程思想、数形结合思想等。
2. 题型设置：本次试卷题型多样，包括选择题、填空题和解答题，其中解答题设置了具有一定难度的压轴题。
在题目的设置上，试卷注重了知识点的综合运用，避免了单一知识点的考查。
3. 难度控制：本次试卷的难度适中，既考查了学生的基础知识，又考查了学生的数学思维能力。
对于一些难点题目，试卷也给出了较为详细的解答过程，有助于学生理解。
三、试题评析1. 选择题：本次选择题的难度适中，主要考查学生对基础知识的掌握情况，如函数性质、数列性质等。
同时，选择题中也设置了一些需要学生运用数学思想方法才能解决的问题。
2. 填空题：本次填空题的难度相对较大，主要考查学生对数学知识的综合运用能力。
在题目设置上，试卷也注重了题目的新颖性和趣味性，有助于激发学生的学习兴趣。
3. 解答题：本次解答题的难度较大，主要考查学生的数学思维能力、运算能力和创新思维能力。
在题目设置上，试卷也注重了题目之间的相互关联，需要学生综合运用所学知识才能解决问题。
四、考生表现分析总体来说，今年的考生表现较好，大部分学生都能够较好地完成试卷。
在个别题目上，学生表现出了一定的差异，如一些学生在解答题中出现了计算错误或思维卡壳等问题。
针对这些问题，考生需要加强基础知识的学习和巩固，提高自己的数学思维能力，同时加强练习，提高自己的解题能力和速度。
五、总结与展望总的来说，今年的高考数学新课标1卷是一份较为成功的试卷，既考查了学生的基础知识，又考查了学生的数学思维能力。
新课标20222022年全国统一高考数学(文试题(含答案解析
绝密(juémì)★启用(qǐyòng)前普通高等学校招生全国统一(tǒngyī)考试文科数学(shùxué)注意事项：1．答卷前，考生(kǎoshēng)务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则A．B．C．D．2．设，则A．0 B．C．D．3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加(zēngjiā)了一倍以上C．新农村建设(jiànshè)后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设(jiànshè)后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．已知椭圆(tuǒyuán)：的一个(yī ɡè)焦点为，则C的离心率为C．A．B．12D．5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A．B．C．D．6．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A．B．C．D．7．在△中，为边上的中线，为AD的中点，则A．B．C．D．8．已知函数，则A．的最小正周期为π，最大值为3f x的最小正周期为π，最大值为4B．()f x的最小正周期为，最大值为3C．()f x的最小正周期为2π，最大值为4D．()9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A．B．C．D．210．在长方体中，，与平面(píngmiàn)所成的角为，则该长方体的体积(tǐjī)为A．B．C．D．11．已知角的顶点(dǐngdiǎn)为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合(chónghé)，终边上有两点，，且，则A．B．C．D．112．设函数(hánshù)，则满足的x的取值范围是A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数，若，则________．14．若满足约束条件，则的最大值为________．15．直线与圆交于两点，则________．16．△ABC的内角的对边分别为，已知，，则△ABC的面积为________．三、解答题：共70分。
2024年新高考数学I卷分析
2024年新高考数学I卷分析2024年高考数学全国卷,考主干、考能力、考素养,重思维、重创新、重应用,突出考查思维过程、思维方法和创新能力.创设全新的试卷结构,减少题量,给学生充足的思考时间,加强思维考查,强化素养导向,给不同水平的学生提供充分展现才华的空间,服务拔尖创新人才选拔,助推素质教育发展,助力教育强国建设.一、依托高考评价体系,创新试卷结构设计2024年数学新课标卷调减了题量,同时增加了解答题的总分值,优化了多选题的赋分方式,强化了考查思维过程和思维能力的功能.试卷题量减少能够增加用于思考的时间,学生不必过多地关注做题的进度和速度,可以更专注、更深入地思考,更从容地试错,使思维能力强的学生能够展示素养、发挥潜力、脱颖而出,发挥了高考的选拔功能,引导数学教学关注对学生核心素养的培养.新课标卷打破以往的模式,灵活科学地确定试题的内容、顺序.机动调整题目顺序,有助于打破学生机械应试的套路,打破教学中僵化、固定的训练模式,防止猜题押题,同时测试学生的应变能力和解决各种难度问题的能力.引导教学培养学生全面掌握主干知识、提升基本能力,灵活地整合知识解决问题.如新课标Ⅰ卷将解析几何试题安排在解答题的第2题,数列内容则结合新情境,安排在最后压轴题的位置.试卷聚焦主干知识内容和重要原理、方法,着重考查数学学科核心素养,引导中学教学遵循教育规律,突出数学教学本质,回归课标,重视教材,重视概念教学,夯实学生学习基础,给学生留出思考和深度学习的空间.避免超纲学、超量学,助力减轻学生学业负担.如新课标Ⅰ卷第10题以基本求导公式及求导法则、利用导数判断函数单调性的方法为素材,考查灵活运用导数工具分析、解决问题的能力,以及学生的逻辑推理能力、运算求解能力.二、突出思维能力考查,助力拔尖创新人才选拔数学作为一门重要的基础学科,也是唯一一门理科性质的统考科目,在服务人才选拔、服务国家发展战略、助力强国建设方面承担重要责任、发挥关键作用.2024年高考数学重点考查学生逻辑推理、批判性思维、创新思维等关键能力,助力拔尖创新人才选拔,引导培育支撑终身发展和适应时代要求的能力.试卷贯彻改革要求,注重整体设计,很好地处理考试时间、试卷题量、试题难度之间的关系,统筹协调试题的思维量、计算量和阅读量.优化题量设置、合理控制试题的计算量,尽量避免繁难运算,保证学生在分析问题的过程中有充裕的时间进行思考,强调对思维能力的考查,适应拔尖创新人才选拔需要.如新课标Ⅰ卷第12题,通过应用双曲线的定义和性质,可以避免较为复杂的坐标计算以及联立方程求解,从而有效地减少计算量,节省考试时间.试题突出创新导向,新课标卷根据试卷结构调整后整卷题量减少的客观情况,创新能力考查策略,设计全新的试题情境、呈现方式和设问方式,加强解答题部分对基本能力的考查,提升压轴题的思维量,突出理性思维和数学探究,考查学生运用数学思维和数学方法发现问题、分析问题和解决问题的能力.如新课标Ⅰ卷第19题以等差数列为知识背景,创新设问方式,设置数学新定义,搭建思维平台,引导学生积极思考,在思维过程中领悟数学方法,自主选择路径和策略分析问题、解决问题.试题强化综合性考查,强调对原理、方法的深入理解和综合应用,考查知识之间的内在联系,引导学生重视对学科理论本质属性和相互关联的深刻理解与掌握,引导中学通过深化基础知识、基本原理方法的教学,培养学生形成完整的知识体系和网络结构.如新课标Ⅰ卷第5题将圆柱与圆锥结合,综合考查侧面积、体积的计算,第18题在函数导数试题中考查了曲线的对称性的这一几何性质.三、加强考教衔接,引导中学教学2024年高考数学试卷立足课程标准,考查的内容依据学业质量标准和课程内容,注重考查学生对基础知识和基本技能的熟练掌握和灵活应用,强调知识的整体性和连贯性,引导教学以课程目标和核心素养为指引,避免超纲教学,注重内容的基础性和方法的普适性,避免盲目钻研套路和机械训练.高考数学通过创新试卷结构设计和题目风格,深化基础性考查,强调对学科基础知识、基本方法的深刻理解,不考死记硬背、不出偏题怪题,引导中学把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养.增加基础题比例、降低初始题起点,增强试题的灵活性和开放性.如新课标Ⅰ卷第14题,不是考查学生记住了哪些知识点,而是突出考查学生的理性思维和探究能力,使得一些套路无用、模板失效,让死记硬背的教学方式不能适应现在高考的新要求.1.总题量由21题减少为19题,多选题由4题减少为1题,填空题由4题减少为1题,解答题由6道减少为5题.2.多选题分值由每题5分调整为每题6分,解答题分值增加,由原来的70分增加到77分.3.增加新定义问题,全国卷I为数列新定义问题压轴,解答题中少了单调考查概率统计的试题,导数题目增加为3道,立体几何题由3道减少为2道,导数解答题中出现对“纯”函数内容的考查.4.大部分题目都比较简单,考查基础知识与基本技能题占100分左右,难题数量少,但更难,难在数学上思维上.减少题量,体现“多想少算”,加强思维考查,强化素养导向,容易题占多数,难题更难,给不同水平的学生提供充分展现才华的空间,服务拔尖创新人才选拔,助推素质教育发展,不考死记硬背、不出偏题怪题,引导中学把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养.题号分值题型考查内容模块（题目数）15分单选题集合与不等式 1.集合（共1题）2.不等式（共2题）25分单选题复数的运算复数（共1题）35分单选题平面向量的数量积平面向量（共1题）45分单选题三角变换三角函数与解三角形（共3题）55分单选题圆锥的体积立体几何（共2题）65分单选题分段函数单调性函数（共2题）75分单选题三角函数的图象三角函数与解三角形（共3题）85分单选题抽象函数函数（共2题）96分多选题正态分布概率统计（共3题）106分多选题导数应用1导数（共3题）2.不等式（共2道）116分多选题曲线与方程解析几何（共3题）125分填空题双曲线解析几何（共3题）135分填空题导数的几何意义导数（共3题）145分填空题概率概率统计（共3题）1513分解答题解三角形三角函数与解三角形（共3题）1615分解答题椭圆、面积解析几何（共3题）1715分解答题线面平行、二面角立体几何（共2题）1817分解答题导数应用、对称问题导数（共3题）1917分解答题新定义、数列数列（共1题）1．重视“双基”复习,首轮复习时在概念定义、通性通法上回归教材,把教材上典型的例题、习题（复习题）过一下,做到：正确地理解基本概念的内涵和外延；熟练地掌握和应用相关的公式与定理；熟悉并运用常见的基本技能和方法.2.一轮复习要做到：各章内容综合化；基础知识体系化；基本方法类型化；解题步骤规范化.3.对复习资料要处理,删去偏难、偏怪、超纲、解法太唯一的题目,对基本运算能力、空间想象能力、推理论证能力、数据处理能力等在复习时要逐步提高,达到高考要求4.第一轮复习结束后,要做好以下几个方面的工作：抓住每一专题（板块）的宏观主线,提纲挈领,将板块知识及题型和解题方法等高度系统化,条理化.把高考试题进行专题整合,采对重要知识、方法和技能通过高考试题的链式分析,体会“突出重点、突破难点、关注热点、把握通性、注重通法、淡化技巧”的内涵,真正明白高考到底考什么、怎么考,对高考试题的认识和把握形成清晰的思维脉络.5.对于大部分考生高考数学考不好的原因不是难题没有作对,二是基础题失分过多,可以说会做做不对是失分的主要原因.所以平时的复习要注意纠错,对每次考试中“会做做不对的题”,要找出错误原因进行标注,同时再找几道类似的题进行巩固,做到以例及类、题不二错.2024年新高考数学I 卷试题一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}355A x x =-<<,{}3,1,0,2,3B =--,则A B =（）A ．{}1,0-B ．{}2,3C ．{}3,1,0--D ．{}1,0,2-【命题意图】本题考查集合的交集运算及简单不等式的解法,考查数学运算的核心素养.难度：易.【解析】由355x -<<得x <<,因为158<<,12<,所以{}1,0A B =- ,故选A.【快解】因为333275,285-=-<-=>,排除BCD,故选A.【点评】集合是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,考查热点一是集合的并集、交集、补集运算,二是集合之间的关系,所给集合多为简单不等式的解集、离散的数集或点集,这种考查方式多年来保持稳定.【知识链接】1.求解集合的运算问题的三个步骤：(1)看元素构成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键,即辨清是数集、点集还是图形集等,如{x |y ＝f (x )},{y |y ＝f (x )},{(x ,y )|y ＝f (x )}三者是不同的；(2)对集合化简,有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了、易于解决；(3)应用数形结合进行交、并、补等运算,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).2．若1i 1zz =+-,则z =（）A ．1i--B ．1i-+C ．1i-D 1i +．【命题意图】本题考查复数的运算,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：易.【答案】C 【解析】由1i 1z z =+-得,1i1i i z +==-,故选C.【点评】复数是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,新高考复数题单选题、多选题、填空题都可能出现,考查热点一是复数的概念与复数的几何意义,如复数的模、共轭复数、纯虚数、复数相等、复数的几何意义等,二是复数的加减乘除运算.【知识链接】解复数运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i 的看作一类同类项,不含i 的看作另一类同类项,分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i 的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a ＋b i(a ,b ∈R )的形式,再结合相关定义解答．(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a ＋b i(a ,b ∈R )的形式,再结合复数的几何意义解答．3．已知向量()()0,1,2,x ==a b ,若()4⊥-b b a ,则x =（）A ．2-B ．1-C ．1D.2【命题意图】本题考查平面向量的数量积及坐标运算,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：易.【答案】D【解析】因为()4⊥-b b a ,所以()2244440x x ⋅-=-⋅=+-=b b a b a b ,所以2x =,故选D.【点评】平面向量是高考数学必考知识点,一般以客观题形式考查,热点是平面向量的线性运算及平面向量的数量积,可以是容易题,也可以是难题,难题常用平面几何、不等式、三角函数等知识交汇考查.【知识链接】1.求平面向量数量积,当已知向量的模和夹角时,可利用a·b ＝|a ||b |cos 〈a ,b 〉求解；当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a·b ＝x 1x 2＋y 1y2.2.求解与平面几何有关的平面向量数量积的最值与范围问题,常见的方法有2种,一是建立坐标系,把问题转化为代数问题利用函数思想或基本不等式求解,二是引进角作变量,把问题转化为三角函数求最值或范围.4.已知()cos ,tan tan 2m αβαβ+==,则()cos αβ-=A ．3m-B ．3m -C ．3m D.3m【命题意图】本题考查两角和与差的余弦公式、同角三角函数基本关系式,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：易.【答案】A 【解析】因为()()()()cos cos 2sin sin tan tan 2cos cos 2cos cos αβαβαβαβαβαβαβ--+===-++.所以()()cos cos mmαβαβ--=-+2,所以()cos αβ-=3m -,故选A.【快解】因为tan tan 2αβ=,取π,sin 4αββ===则()cos αβ+=()2cos sin 2βα-=1010,()cos αβ-=()2cos sin 2βα+=()3103cos 310m αβ=-+=-,故选A.【点评】三角函数与解三角形在高考中通常有2-3道试题,若有3道题,通常是三角变换、三角函数图像与性质、解三角形各有1道题.【知识链接】1.使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征．2.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．3.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角,二看名,三看式子结构与特征；三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的联系点．4.给角求值与给值求值问题的关键在“变角”,通过角之间的联系寻找转化方法．5．已知圆柱与圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为则圆锥的体积为（）A ．B ．C ．D ．【命题意图】本题考查圆柱与圆锥的侧面积与体积,考查逻辑推理、直观想象等核心素养.难度：易【答案】B【解析】设圆柱与圆锥的底面半径相等为r ,由侧面积相等,得2ππr r =,解得r ,所以圆锥的体积为21π33⨯=,故选B.【点评】新课标高考数学立体几何客观题一般有两道（今年特殊,只有1到客观题）,一般分别涉及多面体与旋转体,表面积、体积计算及线面位置判断是考查热点.【知识链接】对于柱体、椎体、台体的体积可直接使用公式求解,对于不规则多面体的体积计算常采用割补法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体,分别求出柱体和锥体的体积,从而得出要求的几何体的体积；对于三棱锥,由于其任意一个面均可作为棱锥的底面,从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用“等积性”还可求“点到面的距离”.6.已知函数()()22,0ln 1,0x x ax a x f x e x x ⎧---<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增,则a 的取值范围是A ．(],0-∞B ．[]1,0-C ．[]1,1-D ．[)0,+∞【命题意图】本题考查分段函数的单调性,考查逻辑推理、数学运算等核心素养.难度：中【答案】B【解析】当0x ≥时()f x 单调递增,要使()f x 在R 上单调递增,应满足01a a -≥⎧⎨-≤⎩,所以10a -≤≤,故选B.【点评】高考函数客观题一般有2道,考查热点是函数的奇偶性、单调性与周期性,利用函数单调性求参数取值范围更是热点中的热点.【知识链接】1.确定函数单调性的四种方法(1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接．(4)性质法：利用函数单调性的性质,尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时,需先确定简单函数的单调性．2.函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)求最值．(3)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉,转化为具体的不等式求解,应注意函数的定义域．(4)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较．②需注意若函数在区间[a ,b ]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．③分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值．7．[]0,2x π∈时,曲线sin y x =与π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A ．3B ．4C ．6D ．8【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质,考查数形结合思想,考查直观想象的核心素养.难度：中【答案】C【解析】作出曲线sin y x =与π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,2π上的图象如图所示,由图象可得交点有6个,故选C.【点评】三角函数的图象与性质基本是高考每年必考题,本题求解没有过多的技巧,关键是能熟练作出三角函数图像,高考中有不少题目都需要借助图形求解,在此提醒考生,做题时千万不要得“意”忘“形”.【知识链接】1.y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标．2.对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0,ω≠0),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点．3.根据y ＝A sin(ωx ＋φ),x ∈R 的图象求解析式的步骤：(1)首先确定振幅和周期,从而得到A 与ω.(Ⅰ)A 为离开平衡位置的最大距离,即最大值与最小值的差的一半．(Ⅱ)ω由周期得到：①函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；②函数图象与x 轴的交点是其对称中心,相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；③一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的14个周期(借助图象很好理解记忆)．(2)求φ的值时最好选用最值点求．峰点：ωx ＋φ＝π2＋2k π；谷点：ωx ＋φ＝－π2＋2k π.也可用零点求,但要区分该零点是升零点,还是降零点．升零点(图象上升时与x 轴的交点)：ωx ＋φ＝2k π；降零点(图象下降时与x 轴的交点)：ωx ＋φ＝π＋2k π(以上k ∈Z )．8．已知函数()f x 的定义域为R ,()()()12f x f x f x >-+-,且当3x <时,()f x x =,则下列结论一定正确的是（）A ．()10100f >B ．()20100f >C ．()101000f <D ．()2010000f <【命题意图】本题考查抽象函数求值,考查逻辑推理与数学抽象的核心素养.难度：难【答案】C【解析】由3x <时()3f x =,()()()12f x f x f x >-+-得,()()()321f f f >+=3()()()432f f f >+>5,()()()5438f f f >+>,()()()65413f f f >+>,不等式右侧恰好是裴波那契数列从第3项起的各项：3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597 ,所以()()201615971000f f >>>,故选B.【点评】抽象函数是近两年高考考查热点,考查频率比较高的是抽象函数求值、奇偶性、周期性及与不等式的交汇问题.【知识链接】1.本题是由裴波那契数列改编而成,下面列出斐波那契数列{}n a 的一些基本性质,供有兴趣的同学参考：(1)n a a a a ++++...321=12-+n a ；(2)n n a a a a a 212531...=++++-；(3)1...122642-=+++++n n a a a a a ；(4)12232221...+=++++n n n a a a a a a ；(5)1)()1()1(...1321+--=-++-+-+n n nn na a a a a a ；(6)11+-++=m n m n n m a a a a a ；(7)nn n n a a a ）（1211-=--+；(8)n n n a a a 322=+-+.2.对称性与周期性是抽象函数考查的热点,下面列出一些基本结论,供参考：(1)若()()f a x f b x +=-,则()f x 的图象关于直线2a bx +=对称；(2)()y f a x =+的图象与()y f b x =-的图象关于直线2b ax -=对称；(3)若()()22f a x f x b -+=,则()f x 的图象关于点(),a b 对称.(4)若函数()f x 的图象既关于直线x a =对称,又关于直线x b =对称()a b ≠,则()f x 是周期函数,且()2b a -是它的一个周期.(5)若函数()f x 的图象既关于点(),0a 对称,又关于点(),0b 对称()a b ≠,则()f x 是周期函数,且()2b a -是它的一个周期.(6)若函数()f x 的图象既关于直线x a =对称,又关于点(),0b 对称()a b ≠,则()f x 是周期函数,且()4b a -是它的一个周期.二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =,样本方差20.01s =,已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ,假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2N x s ,则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ,()0.8413P Zu σ<+≈）A ．(2)0.2P X >>B ．(2)0.5P X ><C ．(2)0.5P Y >>D ．(2)0.8P Y ><【命题意图】本题考查正态分布,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.难度：易【答案】BC【解析】依题可知,22.1,0.01x s ==,所以()2.1,0.1Y N ,故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>,C 正确,D 错误；因为()1.8,0.1X N ,所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯,因为()1.80.10.8413P X <+≈,所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<,而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<,B 正确,A 错误,故选BC ．【点评】概率统计在新高考试卷中通常有2-3道题,由于概率统计知识点比较多,出题没有固定方向,但大多有实际背景.【知识链接】正态曲线的特点：①曲线位于x 轴上方,与x 轴不相交；②曲线是单峰的,它关于直线x ＝μ对称；③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x 轴之间的面积为1；2.解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x ＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ,σ,分布区间的特征进行转化,使分布区间转化为3σ特殊区间,从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x ＝0.10．设函数2()(1)(4)f x x x =--,则（）A ．3x =是()f x 的极小值点B ．当01x <<时,()2()f x f x<C ．当12x <<时,4(21)0f x -<-<D ．当10x -<<时,()()2f x f x->【命题意图】本题考查利用导数研究函数单调性,考查数学运算与逻辑推理的核心素养,难度：中【答案】ACD【解析】解法一：对于A,因为()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--',当()1,3x ∈时,()0f x '<,当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时,()0f x '>,()f x 在(),1∞-上单调递增,在()1,3上单调递减,在()3,∞+上单调递增,3x =是函数()f x 的极小值点,A 正确；对于B,当01x <<时,210x x >>>,由()f x 在()0,1上单调递增,可得()()2f x f x >,B 错误；对于C,当12x <<时,1213x <-<,由()f x 在()1,3上单调递减,可得()()()1213f f x f >->,即()4210f x -<-<,C 正确；对于D,当10x -<<时,()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->,所以(2)()f x f x ->,D 正确；故选ACD.解法二：对于A,由()()()313f x x x -'=-,且()1,3x ∈时,()0f x '<,当()3,x ∞∈+时,()0f x '>,得3x =是函数()f x 的极小值点,A 正确；对于B,取12x =,则1728f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,1135464f ⎛⎫=-⎪⎝⎭,12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭>14f ⎛⎫⎪⎝⎭,B 错误；对于C,因为()()()22141250f x x x -=--<,()()()221442210f x x x -+=-->,C 正确；对于D,当10x -<<时,()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->,所以(2)()f x f x ->,D 正确；故选ACD.【点评】利用导数研究函数单调性是高考热点,客观题中此类问题常与数式大小比较、不等式等知识交汇.【知识链接】1.确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f (x )的定义域．(2)求f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间．(4)解不等式f ′(x )<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间．特别提醒：划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为零的点和函数的间断点．2.根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ,b )上单调,则区间(a ,b )是相应单调区间的子集．(2)f (x )为增(减)函数的充要条件是对任意的x ∈(a ,b )都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且在(a ,b )内的任一非空子区间上,f ′(x )不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则会漏解．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．11．造型可以做成美丽的丝带,将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-,到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4,则（）A ．2a =-B ．点(22,0)在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时,0042y x ≤+【命题意图】本题考查曲线与方程,考查数学运算与逻辑推理的核心素养,难度:难【答案】ABD【解析】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ,则2x >-()2224x y x a -+-=,因为曲线过坐标原点,故()2202004a -+-=,解得2a =-,故A 正确.对于B ：又曲线方程为()22224x y x -++=,而2x >-,故()()22224x y x -++=.当22,0x y ==时,()()2222222844-=-=,故()2,0在曲线上,故B 正确.对于C ：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+,取32x =,则2641494y =-,而64164525624510494494494---=-=>⨯,故此时21y >,故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1,故C 错误.对于D ：当点()00,x y 在曲线上时,由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++,故0004422y x x -≤≤++,故D 正确.故选ABD.【点评】往年解析几何试题都是以圆、椭圆、双曲线、抛物线为载体命题,该题以与生活有关的曲线命题,背景新颖,对解题能力要求较高,是一道好题.【知识链接】直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤,但最后的证明可以省略,如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步,求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、,过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ,B 两点,若1||13,||10F A AB ==,则C 的离心率为___________．【命题意图】本题考查双曲线,考查数学运算的核心素养,难度：易【答案】32【解析】解法一：由题可知2,,A B F 三点横坐标相等,设A 在第一象限,将x c =代入22221x ya b-=得2b y a =±,即22,,,b b Ac B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故2210b AB a ==,225b AF a ==,又122AF AF a -=,得1222513AF AF a a =+=+=,解得4a =,代入25b a=得220b =,故22236,c a b =+=,即6c =,所以6342c e a ===.解法二：在直角△12AF F 中1213,5F A AF ==,由勾股定理得1212F F =,所以C 的离心率为12121231352F F e F A AF ===--.【点评】本题通过应用双曲线的定义和性质求离心率,没有较为复杂的计算,属于基础题,高考中双曲线客观题以容易题居多.【知识链接】1.过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>焦点且与实轴垂直的弦长为22b a；2.在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ,运用平方的方法,建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．3.根据双曲线的渐近线求离心率常用结论：e =13.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线,则=a __________.【命题意图】本题考查导数的几何意义,考查逻辑推理、直观想象,难度：中【答案】ln 2【解析】由e x y x =+得e 1x y '=+,00|e 12x y ='=+=,故曲线e xy x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+,设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++,由两曲。
2024年高考数学试题(新课标I卷)解析版
2024年高考数学试题（新课标I 卷）一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.已知集合A =x |-5<x 3<5 ，B ={-3,-1,0,2,3}，则A ∩B =A.{-1,0} B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2}【答案】A【解析】A =(-35,35)⇒A ∩B ={-1,0}，选A.2.若zz -1=1+i ，则z =A.-1-i B.-1+iC.1-iD.1+i【答案】C【解析】z z -1=1+i ⇒z =1+i i =1-i ，选C.3.已知向量a =0,1 ，b =2,x ，若b ⊥b -4a ，则x =A.-2 B.-1C.1D.2【答案】D【解析】b ⊥b -4a ⇒2×2+x (x -4)=0⇒x =2，选D.4.已知cos α+β =m ，tan αtan β=2，则cos α-β =A.-3m B.-m3C.m 3D.3m【答案】A【解析】αcos βcos -αsin βsin =m ，αsin βsin =2αcos βcos ⇒αcos βcos =-m ，αsin βsin =-2m ，所以cos α-β =αcos βcos +αsin βsin =-3m ，选A.5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为A.23π B.33πC.63πD.93π【答案】B【解析】如图所示，h =3，圆锥母线长l =r 2+3，h h rrl由题知23πr =πr r 2+3⇒r =3⇒V 锥=13×π×32×3=33π．选B.6.已知函数f x =-x 2-2ax -a ,x <0,e x +ln x +1 ,x ≥0 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是A.(-∞,0]B.-1,0C.-1,1D.[0,+∞)【答案】B 【解析】由题知-a ≥0,-a ≤1⇒-1≤a ≤0，选B.7.当x ∈0,2π 时，曲线y =sin x 与y =2sin (3x -π6)的交点个数为A.3 B.4C.6D.8【答案】C【解析】作出两个函数的图象，2π3π2ππ2Oxy 由图知，两个函数的交点个数为6，选C.【总结】五点作图法，处理作图，好像没有其他解法.8.已知函数f x 的定义域为R ，f x >f x -1 +f x -2 ，且当x <3时，f x =x ，则下列结论中一定正确的是A.f 10 >100 B.f 20 >1000C.f 10 <1000D.f 20 <10000【答案】B【解析】由已知得f (1)=1，f (2)=2，思路一：常规推理+计算因为f x >f x -1 +f x -2 ，所以f (3)>3，f (4)>5，f (5)>8，f (6)>13，f (7)>21，f (8)>34，f (9)>55，f (10)>89，f (11)>144，f (12)>233，f (13)>377，f (14)>610，f (15)>987，f (16)>1597，f (17)>2584，f (18)>4181，f (19)>6765，f (20)>10946，⋯，所以f (20)>f (19)>⋯>f (16)>1000，选B.思路二：推理+估算由题知，当x >3时，f (x )上不封顶，C ，D 错误；f (3)>3，f (4)>5，f (5)>8，f (6)>13，f (7)>21，f (8)>34，f (9)>55，f (10)>89，当x >4时，f (x )>f x -1 +f x -2 >2f (x -2)，所以f (20)>2f (18)>22f (16)>⋯>25f (10)>1000，A 错误，B 正确；故选B.【总结】需要耐心的计算.二、多选题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x=2.1，样本方差s 2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布N 1.8,0.12 ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布x ,s 2，则(若随机变量Z 服从正态分布N μ,σ2 ，则P Z <μ+σ ≈0.8413)A.P X >2 >0.2 B.P X >2 <0.5C.P Y >2 >0.5 D.P Y >2 <0.8【答案】BC【解析】画个图，对于X ：μ=1.8，σ=0.1；对于Y ：μ=2.1，σ=0.1，1.81.7 1.92.12.0 2.22.0由题知P (X <1.9)=0.8413，所以P (X >2)<P (x >1.9)=0.1587<0.2<0.5，A 错误，B 正确；因为P (Y <2.2)=0.8413，所以P Y >2 =P Y <2.2 =0.8413>0.8>0.5，C 正确，D 错误；故选BC.10.设函数f x =x -1 2x -4 ，则A.x =3是f x 的极小值点B.当0<x <1时，f x <f x 2C.当1<x <2时，-4<f 2x -1 <0D.当-1<x <0时，f 2-x >f x【答案】ACD【解析】f '(x )=2(x -1)(x -4)+(x -1)2=3(x -1)(x -3)，作出f (x )的图象如图所示，x =1x =3所以x =1是f x 的极大值点，x =3是f x 的极小值点，A 正确；当0<x <1时，f (x )在(0,1)↗，因为x >x 2，所以f (x )>f (x 2)，B 错误；当1<x <2时，t =2x -1∈(1,3)，因为f (t )在(1,3)↘，所以f (t )∈(-4，0)，即-4<f 2x -1 <0，C 正确；当-1<x <0时，x -1<0，f 2-x -f x =(x -1)2(-2-x )-x -1 2x -4 =-2(x -1)3>0，所以f 2-x >f x ，D 正确；综上，选ACD.【总结】选项B 用了单调性法，选项C 转化为值域，选项D 用了最常见的作差法.11.造型Ժ可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于-2，到点F 2,0 的距离与到定直线x =a a <0 的距离之积为4，则OxyFA.a =-2B.点22,0 在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点x 0,y 0 在C 上时，y 0≤4x 0+2【答案】ABD 【解析】如图所示，OxyFx =aP对于A ，由题知，O 到点F 的距离等于与到定直线x =a a <0 的距离之积为4，所以(-a )∙2=4，解得a =-2，A 正确；对于B ，设点P (x ,y )是曲线C 上任意一点，则(x +2)(x -2)2+y 2=4，即(x -2)2+y 2=(4x +2)2，因为(22-2)2=(422+2)2，所以点22,0 在C 上，B 正确；对于C ，因为y 2=(4x +2)2-(x -2)2，记f (x )=(4x +2)2-(x -2)2，x >0，所以f '(x )=-32(x +2)3-2(x -2)=2[-16(x +2)3+2-x ]，发现f (2)=1，f '(2)=-12<0，所以存在0<x 1<2，使得当x ∈(x 1,2)时，f '(x )<0，所以f (x )在(x 1,2)↘，所以f (x )>f (2)=1，即f (x )的最大值一定大于1，C 错误；对于D ，y 02=(4x 0+2)2-(x 0-2)2≤(4x 0+2)2，所以y 0≤4x 0+2，D 正确；综上，选ABD.【总结】本题相对要难一点，选出来一个答案不难.三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2作平行于y 轴的直线交C 于A ,B两点，若F 1A =13，AB =10，则C 的离心率为.【答案】32【解析】由题知|F 1F 2|=2c =12,F 2A =b 2a =5,c 2=a 2+b2 ，解得a =4,b =25,c =6，所以C 的离心率e =c a =32.13.若曲线y =e x +x 在点0,1 处的切线也是曲线y =ln x +1 +a 的切线，则a =.【答案】2ln 【解析】设f (x )=e x +x ，g (x )=ln x +1 +a ，则f '(x )=e x +1，g '(x )=1x +1，即f '(0)=2，所以f (x )在(0,1)处的切线方程为l ：y -1=2(x -0)，即y =2x +1，设l 与g (x )相切于点A (x 0,(x 0+1)ln +a )，则g '(x 0)=1x 0+1=2，解得x 0=-12，所以(-12+1)ln +a =0，解得a =2ln .14.甲乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上的数字大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用)，则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为.【答案】12【解析】因为甲出1一定输，要使甲的总分不小于2，则甲得3分或得2分.第一类：甲得3分只有一种可能：1-8，3-2，5-4，7-6.第二类：甲得2分（1）甲出3和出5赢，其余输，共1种：3-2，5-4，1-6，7-8；（2）甲出3和出7赢，其余输，共3种：3-2，7-6，1-4，5-8；3-2，7-4，1-6，5-8；3-2，7-4，1-8，5-6；（3）甲出5和出7赢，其余输，共7种：5-4，7-6，1-2，3-8；5-4，7-2，1-6，3-8；5-4，7-2，1-8，3-6；5-2，7-6，1-4，3-8；5-2，7-6，1-8，3-4；5-2，7-4，1-6，3-8；5-2，7-4，1-8，3-6；所以甲的总得分不小于2的共有12种可能，所以所求的概率p =12A 44=12.四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知sin C =2cos B ，a 2+b 2-c 2=2ab .（1）求B ；（2）若△ABC 的面积为3+3，求c .【答案】（1）B =π3；（2）2 2.【解析】（1）因为a 2+b 2-c 2=2ab ，所以C cos =a 2+b 2-c 22ab =2ab 2ab=22，因为0<C <π，所以C =π4，又sin C =2cos B ，所以22=2B cos ，即B cos =12，因为0<B <π，所以B =π3.（2）方法一：由（1）知A =π-B -C =5π12，所以A sin =(π6+π4)sin =6+24，因为a A sin =b B sin =cCsin =k >0，所以S =12ac B sin =12k 2A sin B sin C sin =12k 2∙6+24∙32∙22=3+3，所以k 2=16，即k =4，所以c =k C sin =4×22=2 2.16.(15分)已知A 0,3 和P (3,32)为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上两点.（1）求椭圆C 的离心率；（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且△ABP 的面积为9,求直线l 的方程.【答案】（1）12；（2）x -2y =0或3x -2y -6=0.【解析】（1）由题知b =3,9a 2+94b2=1，解得a =23,b =3 ，所以c =a 2-b 2=3，所以椭圆C的离心率e=ca=12.（2）由（1）知，椭圆C的方程为x212+y29=1.O xyPABD当直线l的斜率不存在时，B(3,-32)，此时S=92，不满足题意；当直线l的斜率存在时，设l：y=k(x-3)+3 2，代入x212+y29=1，整理得(3+4k2)x2-8k(3k-32)x+36k2-36k-27=0，设B(x1,y1)，由韦达定理得3+x1=8k(3k-32)3+4k2,3x1=36k2-36k-273+4k2所以|BP|=1+k2|x1-3|=1+k2(8k(3k-32)3+4k2)2-364k2-4k-33+4k2=43k2+13k2+9k+2744k2+3，点A到直线PB的距离h2=|3k+32|k2+1，所以△ABP的面积S=12|BP|∙h2=|3k+32|k2+1=9，解得k=12或32，所以直线l的方程为y=12x或y=32x-3.综上，直线l的方程为x-2y=0或3x-2y-6=0.17.(15分)如图，四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，P A=AC=2，BC=1，AB=3.（1）若AD⊥PB，证明:AD⎳平面PBC；（2）若AD⊥DC，且二面角A-CP-D的正弦值为427，求AD.AB CDP 【答案】（1）略；（2）3.【解析】（1）证明：因为P A ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，所以P A ⊥BC ，P A ⊥AD ，因为AC =2，BC =1，AB =3，所以AB 2+BC 2=AC 2，即AB ⊥BC ，又P A ∩AB =A ，P A ,AB ⊂平面P AB ，所以BC ⊥平面P AB ，因为PB ⊥AD ，P A ∩PB =P ，P A ,PB ⊂平面P AB ，所以AD ⊥平面P AB ，所以AD ⎳BC ，因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AD ⎳平面PBC .（2）过D 作DQ ⊥平面ABCD ，以DA ,DC ,DQ 分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系D -xyz ，A BCDPz xyQ设DA =a ，DC =b ，则D (0,0,0)，A (a ,0,0)，C (0,b ,0)，P (a ,0,2)，且a 2+b 2=4，①所以AC =(-a ,b ,0)，AP =(0,0,2)，DC =(0,b ,0)，DP =(a ,0,2)，设平面APC 的一个法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1)，则AC∙n 1=0,AP ∙n 1=0 ，即-ax 1+by 1=0,2z 1=0 ，令x 1=b ，则n 1=(b ,a ,0)，设平面PCD 的一个法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2)，则DC∙n 2=0,DP ∙n 2=0 ，即by 2=0,ax 1+2z 1=0 ，令x 1=2，则n 2=(2,0,-a )，所以‹n 1,n 2›cos =n 1∙n 2|n 1||n 2|=2ba 2+b 2a 2+4=ba 2+4，设二面角A -CP -D 的平面角为θ，则θsin =427，所以|θcos |=|‹n 1,n 2›cos |=b a 2+4=17，即7b 2=a 2+4，②由①②得a =3,b =1，所以AD =a = 3.【总结】本题建系可以设两个变量，也可以设一个变量，注意运算.18.(17分)已知函数f x =lnx2-x+ax +b x -1 3.（1）若b =0，且f x ≥0，求a 的最小值；（2）证明:曲线y =f x 是中心对称图形；（3）若f x >-2当且仅当1<x <2，求b 的取值范围.【答案】（1）-2；（2）略；（3）[-23,+∞).【解析】（1）由x2-x>0，得0<x <2，所以f (x )的定义域为(0,2)，当b =0时，f (x )=ln x 2-x +ax ，f '(x )=1x +12-x +a ≥0，因为1x +12-x ≥(1+1)2x +2-x =2，当且仅当x =1时取等号，所以f '(x )min =2+a ≥0，解得a ≥-2，所以a 的最小值为-2；（2）发现f (1)=a ，猜测f (x )关于(1,a )对称，下面尝试证明此结论，因为f (1+x )+f (1-x )=ln 1+x 1-x +a (1+x )+bx 3+ln 1-x1+x+a (1-x )+b -x 3=2a ，所以f (x )关于(1,a )对称.（3）当且仅当1<x <2时f (x )>-2，则f (1)=a =-2，所以f (x )=ln x2-x-2x +b x -1 3，f '(x )=1x +12-x -2+3b (x -1)2=(x -1)22(2-x )+3b (x -1)2=(x -1)2[2x (2-x )+3b ]~2x (2-x )+3b ，发现f '(1)=2+3b ≥0，则b ≥-23，当b ≥-23时，2x (2-x )+3b ≥2x (2-x )-2=2(x -1)22(2-x )≥0，即f '(x )≥0，所以f (x )在(0,2)↗，因为f (1)=-2，所以f (x )>-2=f (1)⇔1<x <2，符合题意；当b <-23时，则2x (2-x )∈[2,+∞)，f '(x )∈[3b +2,+∞)，存在1<x 1<2，使得当x ∈(1,x 1)时，f '(x )<0，f (x )在(1,x 1)↘，所以f (x )<f (1)=-2，不符合题意；综上，实数b 的取值范围是[-23,+∞).19.(17分)设m 为正整数，数列a 1,a 2,⋯,a 4m +2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a i 和a j i <j后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a 1,a 2,⋯,a 4m +2是i ,j -可分数列.（1）写出所有的i ,j ,1≤i <j ≤6，使得数列a 1,a 2,⋯,a 6是i ,j -可分数列；（2）当m ≥3时，证明:数列a 1,a 2,⋯,a 4m +2是2,13 -可分数列；（3）从1,2,⋯,4m +2中一次任取两个数i 和j i <j ，记数列a 1,a 2,⋯,a 4m +2是i ,j -可分数列的概率为P m ，证明:P m >18.【答案】（1）(1,2)，(5,6)，(1,6)；（2）略；（3）略.【解析】（1）对于特殊的情况，我们不难分析出来，要么一边删除2个，要么两边各删除1个，所以满足题意的(i ,j )为：(1,2)，(5,6)，(1,6).（2）下标和项是成等差的充要条件，即m ,n ,k 成等差⇔a m ,a n ,a k 成等差（证明略）.首先我们证明，当m =3时成立，那么m ≥3时都会成立.当m =3时，4m +2=14，那么当m >3时，整个{a n }可以拆成两段，为1≤n ≤14和n >14，不管m 取值如何，都有4m -12个数，也就是可以分成m -3组，而这m -3组只要按照原来的顺序依次分组，显然都是等差数列.如：m =6，前面14个按照m =3分组，后面的按照顺序，每4个一组，显然这样分满足题意.下面证明m =3时成立，可以采用列举法，只要有一种方法成立就行，去掉i =2,j =13，可以分为{1,4,7,10}，{5,8,11,14}，{3,6,9,12}这三组，满足题意.（3）设在给定m 的情况下，(i ,j )的组数为b m ，当m 变成m +1时，数列就变成了a 1,a 2,a 3,a 4,a 5，⋯，a 4m +2,a 4m +3,a 4m +4,a 4m +5,a 4m +6，这里可以分成3组，前4个一组即{a 1,a 2,a 3,a 4}，中间的一组，后4个一组即{a 4m +3,a 4m +4,a 4m +5,a 4m +6}，此时我们要在这里面删除2个数，那么会有以下几种情况：一、两个都在中间中间有4m -2个数，且为等差数列，删除2个的话，总数为b m -1种；二、一个在第一组，一个在中间组或两个都在第一组第一组和中间组连起来，会变成4m +2个数的等差数列，这里面总共有b m 种方法，但是要去掉两个都在中间的情况，共有b m -b m -1种；三、一个在中间组，一个在最后一组，或者都在最后一组和上面一样，也是共有b m -b m -1种；四、一个在第一组，一个在最后一组此时，将a 1,a 4m +6同时删除是肯定可以的，这算一种；然后，从（2）的结果来看，把a 2,a 4m +5同时删除也是可以的，因为m =3成立之后，当m >3时，只是相当于往中间加了4个连续的等差数而已，其它是不变的，这也算一种.综上，就会有b m +1≥b m -1+2(b m -b m -1)+2=2b m -b m -1+2，因为b 0=0,b 1=3，所以b m ≥m 2+2m ，如果你是随便删除，总共有C 24m +2=8m 2+6m +1种，所以P m =b m C 24m +2≥m 2+2m 8m 2+6m +1>18.。
2022高考数学新课标Ⅰ、Ⅱ卷真题的解析和点评
2022高考数学新课标Ⅰ、Ⅱ卷真题的解析和点评（学习版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制学校：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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新课标高考数学试题探究
一、新高考的基本模式 07：增加选考题，保持平稳，常模考试。 08：能力+兼顾平稳过渡+体现新课程的理 念。 例如：如何考查探究能力等。 09：仍然强调能力+关注过程与方法 （如何在数学中体现），加大应用意识， 逐步推进新课程在考试中的体现。 2010年与09年相比较（考纲、考试说明）
试题的立意、难度、布局保持相对稳定。 二、能力立意的解读 1. 能力立意
因此
q
2 ，所以
S4
a1 1 q 4 1 q
15
【答案】（C）
【试题评价】 试题对数列的考查以
等差数列和等比数列的基本知识为重点，
恰当设置数列中各量之间的关系，使运
算过程简洁明了。
Ⅲ. 已知函数
f x x3 3x2 ax b ex
(I)若 a b 3，求 f x 的单调区间。 (II)若 f x 在（ ， ），（ 2 ， ）
例如：数列的调查，强调为特殊的函数来处理。
2. 数据处理能力 能通过文字、图形、图表与信息，提取相关 信息，对它们进行分析和合理的处理，从而评价 学生收集处理和运用信息的能力，能分辨哪些有 用，哪些多余。关注在运算的基础之上形成的过 程与方法的要求，从而体现对问题所采取的价值、 情感和态度。 例如 从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25 根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：
【试题评价】试题紧紧围绕函数的单调性与导 数的关系从特殊到一般进行设计，层次分明，梯度 递进，突出导数的工具性作用，把对函数单调性的 理解和运用提高到必要的深度。试题结构简洁，考 查重点突出，方法具体明确，对中学数学有积极的 引导作用。
根据问题的条件，寻找与设计合理、简便的运 算途径，并要求有一定的估算能力，并且按照要求 对数据进行估计和近似计算的能力。
2020年全国统一高考数学试卷(新课标Ⅰ)(解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学+答案一、选择题：（本题共10小题，每小题6分，共60分）1.若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ）A. 0B. 1C.D. 2 【答案】D【解析】【分析】由题意首先求得22z z -的值，然后计算其模即可.【详解】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-. 故2222z z -=-=.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.2.设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ）A. –4B. –2C. 2D. 4 【答案】B【解析】【分析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值.【详解】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤， 求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a -=，解得：2a =-. 故选：B.【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A. 514-B. 512-C. 514+D. 512+【答案】C【解析】【分析】设,CD a PE b ==，利用212PO CD PE =⋅得到关于,a b 的方程，解方程即可得到答案.【详解】如图，设,CD a PE b ==，则22224aPO PE OE b =-=-，由题意212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b ba a -⋅-=，解得15b a +=（负值舍去）.故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题. 4.已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ）A. 2B. 3C. 6D. 9【答案】C【解析】【分析】 利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p =+，解得6p .故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题. 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ ）A. y a bx =+B. 2y a bx =+C. e x y a b =+D. ln y a b x =+【答案】D【解析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+.故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.6.函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A. 21y x =--B. 21y x =-+C. 23y x =-D. 21y x =+ 【答案】B【解析】【分析】求得函数()y f x =的导数()f x '，计算出()1f 和()1f '的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.【详解】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+.故选：B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题7.设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A.10π9B. 7π6C. 4π3D. 3π2 【答案】C【解析】【分析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可得到4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，结合4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962πππω-⋅+=-，即可求得32ω=，再利用三角函数周期公式即可得解. 【详解】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭ 又4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω= 所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω=== 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题. 8.25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为（ ） A. 5B. 10C. 15D. 20 【答案】C【解析】【分析】求得5()x y +展开式的通项公式为515rr rr T C x y -+=（r N ∈且5r ≤），即可求得2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与5()x y +展开式的乘积为65r r r C x y -或425r r r C x y -+形式，对r 分别赋值为3，1即可求得33x y 的系数，问题得解.【详解】5()x y +展开式的通项公式为515r r r r T C x y -+=（r N ∈且5r ≤） 所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的各项与5()x y +展开式的通项的乘积可表示为： 56155r r r r r r r xT xC xy C x y --+==和22542155r r r r r r r T C x y x C y y y x x --++== 在615r r r r xT C x y -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x x y y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x xy =，该项中33x y 的系数为5 所以33x y 的系数为10515+=故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.9.已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）A. 3B. 23C. 13D.9 【答案】A【解析】【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos α的一元二次方程，求解得出cos α，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去）， 又(0,),sin απα∈∴==故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.10.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π【答案】A【解析】【分析】由已知可得等边ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形， 由正弦定理可得2sin 6023AB r=︒=，123OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，222211111,4OO O A R OA OO O A OO r ∴⊥==+=+=，∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年新高考全国Ⅱ卷数学试题(附答案解析)
绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试(新高考全国Ⅱ卷)数学本试卷共4页，22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写。
在试题卷和答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共8小题, 每小题5分, 共40分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内, 1+3i3-i对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】1+3i3-i=6+8i,故对应的点在第一象限，选A。
2.设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2}, 若A⊆B, 则a=()A.2B.1C.23D.-1【答案】B【解析】若a-2=0,则a=2,此时A=0,-2},B=1,0,2},不满足题意;若2a-2=0,则a =1,此时A={0,-1},B={1,-1,0},满足题意。
选B。
3.某学校为了解学生参加体育运动的情况, 用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查, 拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生, 已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生, 则不同的抽样结果共有()A.C45400⋅C15200种 B.C20400⋅C40200种 C.C30400⋅C30200种 D.C40400⋅C20200种【答案】D【解析】根据按比例分配的分层抽样可知初中部抽40人，高中部抽20人，选D。
2023年新高考(新课标)全国2卷数学试题真题(含答案解析)
2023年新高考全国Ⅱ卷数学试题一、单选题二、多选题9．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，120APB ∠=︒和2PA =，点C 在底面圆周上，且二面角．OMN 为等腰三角形既有极大值也有极小值，则（28b ac +>信号的传输相互独立．发送0时，的概率为1-三、填空题．已知向量a ，b 满足3a b -=和2a b a b +=-，则b =______与():1C x -“ABC 面积为)ϕ，如图A ，2的两个交点，若6四、解答题．记ABC 的内角，已知ABC 的面积为60，E为⊥；BC DA满足EF DA=，求二面角．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为的方程；(2)记C 的左、右顶点分别为1A 和2A ，过点()4,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ．证明:点P 在定直线上.22．（1）证明：当01x <<时sin x x x x 2-<<；（2）已知函数()()2cos ln 1f x ax x =--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围。
2023年新高考全国Ⅱ卷数学试题答案解析1．（2023·新高考Ⅱ卷·1·★）在复平面内，(13i)(3i)+-对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 答案：A解析：2(13i)(3i)3i 9i 3i 68i +-=-+-=+，所以该复数对应的点为(6,8)，位于第一象限. 2．（2023·新高考Ⅱ卷·2·★）设集合{0,}A a =-和{1,2,22}B a a =--，若A B ⊆，则a =（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）23（D ）1-答案：B解析：观察发现集合A 中有元素0，故只需考虑B 中的哪个元素是0。
2023年高考数学试题评析(新课标Ⅱ卷)和教学策略
2023年高考数学试题评析（新课标Ⅱ卷）和教学策略2023年高考数学（新课标Ⅱ卷）试题, 聚焦学科主干内容, 突出数学学科特色, 重视数学本质, 突出理性思维, 体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求。
与2022年高考全国乙卷试题相比难度有所下降, 整张试卷全面地考查了数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等学科核心素养。
试题分析一、着重考查学科基础知识和基本方法新课标Ⅱ卷试题涉及的知识面广, 覆盖了集合、复数、平面向量、函数与导数、三角函数、解三角形、数列、不等式、立体几何、解析几何、概率与统计等知识模块的主要知识点。
对于基础知识的考查主要体现在选择题、填空题的前几道题上。
在试题设计上, 单个试题涉及的知识点相对较少, 思维相对简单, 如单选题（第1至第7题）、多选题（第9题）和填空题（第13.14题）, 这些都是基础题, 主要考查数学基本概念、基本公式和基本方法的运用, 易于作答。
二、突出考查数学学科核心素养新课标Ⅱ卷全面考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等学科核心素养。
如第11题, 将函数导数与方程相结合, 其本质是根据一元二次方程根的性质判定方程系数之间的关系, 题中函数经过求导后既有极大值又有极小值的性质, 可以转化为一元二次方程的两个正根, 重点考查学生的逻辑推理素养。
第10题, 设置直线与抛物线相交的情境, 通过直线方程与抛物线方程的联立, 考查学生的数学运算素养。
第9题, 以多选题的形式考查圆锥的内容, 各选项互相联系, 分别考查圆锥的不同性质, 深入考查学生的直观想象素养。
三、注重考查关键能力, 体现综合性和创新性新课标Ⅱ卷的试题具有较强的综合性, 如第22题, 将导数与三角函数巧妙地结合起来, 通过对导函数的分析, 考查函数的单调性、极值等相关问题, 通过导数、函数不等式等知识, 深入考查分类讨论的思想、化归与转化的思想。
2012年高考数学全国新课标卷理科第16题解法探究
：１ ８３０。
１） ，没有现成 的模式可 套 ，怎么解 呢？下面对此题 的解
思 路 三 利 用迭 代 法
｝行 探 究 。
·
对于给 出 的递 推 数 列 问题 ，应 关 注 三 个 技 ．
思 路 一 从 特 殊 到 一 般
加 、迭乘 、迭代 。特别是迭 代法 ，它是 直接反 复利』
对于给 出的递 推数 列 ，在没 有找 到更 好 方法 之前 ，通
解 法 ６：当 ｎ为奇数 时 ，ｏ ＋。一ｏ ＝２ｎ一１；当 ｎ为偶 数
将① 代人② ，得 ２＋ ４＋口６＋… ＋０６０：１ ８００。
时 ，口 ＋ｌ＋ｎ ＝２ｎ一１；
贝０｛８ ｝的前 ６０项和 为（０１＋ ３４ ＋２一口４ｋ一２＝（血４ ＋２— ４ 十１）＋（口４ ＋１＋ ４ ）一（ ４ｋ
藏 高考 探究
责编 周瑜芽／ｇｚｓｚｙｚｙｙ＠１６３．ｃｏｒｆｔ
的和与偶数项 的和再相 加。
同理 ，ｏ 一。 一，＝０，故 数 列 ｛ｏ ¨ ｝是 常数 列 ，故
解 法 ４：由 ０ ＋ｌ＋（一１） Ⅱ ＝２ｎ一１ ， 令 ＝２ｋ，贝０有 口２ ＋ｌ＋０２ ＝４ｋ一１；
０ ４ ３ Ｇｌ； 一 口“＋，一‰ 一。＝０，故数列 ｛‰ 一．｝是常数列 ，故 ‰ 一 ＝口３；
和成等差数列 。 则 ｓ∞ ：
：１ ８３０。
＝ 一 ２（一１） ＋４（４ｋ＋１）＋４＝１６ｋ＋１０，
１４
于是 Ｓ６０＝∑＾（０４ ＋ｌ＋０４ ＋２＋ｎ４ ＋３＋。４ ＋４） ， ：Ｕ
思 路 二 分 类讨 论 本题的难点在于 （一１）“，于是 可对 其进 行分类 讨论 ，
１４
＝ ∑ （１６ｋ＋１０）：ｌ ８３０。
新课程背景下对高考数学试题的分析及研究
新课程背景下对高考数学试题的分析及研究摘要：高考一直是社会关注的焦点，其考试内容和考试形式也一直被人们重视、关注。
随着新课程改革的发展，高考数学试题的考试模式也随之改变，针对数学这种逻辑性比较强的学科，现在的高考数学更加注重学生解决问题的能力，更加注重对学生思维方面的考查。
在新课程背景下，教师也要针对目前的考查标准，对高考数学试题的考查内容、考查形式的变化做一些分析和研究，以此来调整教学模式，帮助学生提高高考数学试题的分析能力和解答能力。
关键词：新课程；高考数学；试题分析前言：数学学科在学生的整个学习阶段都扮演着主要角色，在高考中，数学学科也占据了主要学科的地位。
数学是一门培养学生逻辑思维能力的学科，通过良好的数学教学模式，可以提升学生的思维能力，提升其解决问题的能力。
在新课程背景下，更加注重了数学学科试题的创新性，高考数学学科的试题也更加注重考查学生对知识点理解转化能力。
本文对新课程背景下的高考数学试题进行了整理、分析、研究，讨论了当前背景下的高考数学的教学思路。
一、新课标背景下高考数学试题的特点分析笔者对近几年的高考数学试题进行了汇总、整理，在这个基础上对题型的分布情况进行了分析，发现在新课标背景下，试题的难度总体没有太大的变化，在试题的考查内容和考查形式上也有一个平稳的过渡，没有出现难度断层或者跳跃性极大的阶段。
高考作为选拔性考试，在新课改的逐渐发展下，其试题内容的分布和试题考查形式也越来越凸现了高考试题的选拔性功能。
针对每一种题型，有考查基础知识的常规题，也有难度稍高的选拔题，这样的题型分布由易到难，由浅入深，可以让学生在考试的时候在题型从简单到稍难的题型的这个阶段中，逐渐适应，有助于学生考出真实的水平。
例如，近几年的高考数学试题题量一直是20－22题，主要是在选择题、填空题和解答题的数量上有细微的变化，试题数量的调整目的也主要是更加符合新课标的要求，提现高考的选拔性功能。
而对解答题部分来说，题型和题量仍是比较稳定的，只是在其中穿插考查了新增的内容，这样的设置也有助于稳定学生在考场上的心态。
2024年高考数学试题新课标全国Ⅱ卷+答案详解
2024年高考数学试题新课标全国Ⅱ卷+答案详解（试题部分）一、单选题1．已知1i z =−−，则z =（ ）A ．0B ．1CD ．22．已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ）A ．p 和q 都是真命题B ．p ⌝和q 都是真命题C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题3．已知向量,a b 满足1,22a a b =+=，且()2b a b −⊥，则b =（ ）A ．12BCD ．14．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（均在[)900,1200之间，单位：kg ）并部分整理下表据表中数据，结论中正确的是（ ）A ．100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB ．100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C ．100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D ．100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间5．已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（ ）A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >） C ．221164y x +=（0y >） D ．221168y x +=（0y >） 6．设函数2()(1)1f x a x =+−，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈−时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （ ） A ．1− B ．12 C ．1 D ．27．已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（ ） A ．12 B ．1 C ．2 D ．38．设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．1二、多选题 9．对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =−，下列说法正确的有（ ） A ．()f x 与()g x 有相同的零点B ．()f x 与()g x 有相同的最大值C ．()f x 与()g x 有相同的最小正周期D ．()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴10．抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +−=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||PQ =C ．当||2PB =时，PA AB ⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个11．设函数32()231f x x ax =−+，则（ ）A ．当1a >时，()f x 有三个零点B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心三、填空题12．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S = .13．已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 1αβ=，则sin()αβ+= . 14．在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．四、解答题15．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．(1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．16．已知函数3()e x f x ax a =−−．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；(2)若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．17．如图，平面四边形ABCD 中，8AB =，3CD =，AD =90ADC ︒∠=，30BAD ︒∠=，点E ，F 满足25AE AD =，12AF AB =，将AEF △沿EF 对折至△PEF ，使得PC =(1)证明：EF PD ⊥；(2)求面PCD 与面PBF 所成的二面角的正弦值．18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立．(1)若0.4p =，0.5q =，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．(2)假设0p q <<，（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii ）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？19．已知双曲线()22:0C x y m m −=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =，过1n P −作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q −，令n P 为1n Q −关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .(1)若12k =，求22,x y ； (2)证明：数列{}n n x y −是公比为11k k +−的等比数列； (3)设n S 为12n n n P P P ++的面积，证明：对任意的正整数n ，1n n S S +=.2024年高考数学试题新课标全国Ⅱ卷+答案详解（答案详解）一、单选题1．已知1i z =−−，则z =（ ）A ．0B ．1CD ．2 【答案】C【解析】若1i z =−−，则z = 故选C.2．已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ）A ．p 和q 都是真命题B ．p ⌝和q 都是真命题C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题 【答案】B 【解析】对于p 而言，取=1x −，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题，综上，p ⌝和q 都是真命题. 故选B. 3．已知向量,a b 满足1,22a a b =+=，且()2b a b −⊥，则b =（ ）A ．12B C D ．1 【答案】B【分析】由()2b a b −⊥得22b a b =⋅，结合1,22a a b =+=，得22144164a b b b +⋅+=+=，由此即可得解. 【解析】因为()2b a b −⊥，所以()20b a b −⋅=，即22b a b =⋅， 又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+=， 从而22=b . 故选B.4．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（均在[)900,1200之间，单位：kg ）并部分整理下表据表中数据，结论中正确的是（ ）A ．100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB ．100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C ．100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D ．100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间【答案】C【分析】计算出前三段频数即可判断A ；计算出低于1100kg 的频数，再计算比例即可判断B ；根据极差计算方法即可判断C ；根据平均值计算公式即可判断D.【解析】A, 根据频数分布表可知, 612183650++=<,所以亩产量的中位数不小于 1050kg , A 错误；B ，亩产量不低于1100kg 的频数为341024=+，因此低于1100kg 的稻田占比为1003466%100−=，B 错误； C ，稻田亩产量的极差最大为1200900300−=，最小为1150950200−=，C 正确；D ，根据频数分布表可得，亩产量在[1050,1100)的频数为100(612182410)30−++++=，所以平均值为1(692512975181025301075241125101175)1067100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，D 错误. 故选C.5．已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（ ）A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >） C ．221164y x +=（0y >） D ．221168y x +=（0y >） 【答案】A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【解析】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x '，因为M 为PP '的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y +=>上所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>. 故选A.6．设函数2()(1)1f x a x =+−，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈−时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （ ） A ．1−B ．12C ．1D ．2【答案】D【分析】解法一：令()()21,cos a x F x ax G x =−=+，分析可知曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得2a =，并代入检验即可；解法二：令()()()(),1,1h x f x g x x =−∈−，可知()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即可得2a =，并代入检验即可.【解析】解法一：令()()f x g x =，即2(1)1cos 2a x x ax +−=+，可得21cos a x ax −=+，令()()21,cos a x F x ax G x =−=+，原题意等价于当(1,1)x ∈−时，曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，注意到()(),F x G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得()()00F G =，即11a −=，解得2a =，若2a =，令()()F x G x =，可得221cos 0x x +−=因为()1,1x ∈−，则220,1cos 0x x ≥−≥，当且仅当0x =时，等号成立，可得221cos 0x x +−≥，当且仅当0x =时，等号成立，则方程221cos 0x x +−=有且仅有一个实根0，即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，所以2a =正确；综上所述：2a =.解法二：令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =−=+−−∈−，原题意等价于()h x 有且仅有一个零点，因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x −=−+−−−=+−−=，则()h x 为偶函数，由偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即()020h a =−=，解得2a =，若2a =，则()()221cos ,1,1h x x x x =+−∈−，又因为220,1cos 0x x ≥−≥当且仅当0x =时，等号成立， 可得()0h x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，即()h x 有且仅有一个零点0，所以2a =正确；故选D.7．已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高h =做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得AM =进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台111ABC A B C -补成正三棱锥−P ABC ，1A A 与平面ABC 所成角即为PA 与平面ABC 所成角，根据比例关系可得18P ABC V −=，进而可求正三棱锥−P ABC 的高，即可得结果.【解析】解法一：分别取11,BC B C 的中点1,D D，则11AD A D =可知1111316693,23222ABC A B C S S =⨯⨯⨯==⨯⨯= 设正三棱台111ABC A B C -的为h ， 则(11115233ABC A B C V h −==，解得h =如图，分别过11,A D 作底面垂线，垂足为,M N ，设AM x =，则1AADNAD AM MN x =--=， 可得1DD == 结合等腰梯形11BCCB 可得22211622BB DD −⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即()221616433x x +=++，解得x = 所以A 1A 与平面ABC 所成角的正切值为tan ∠A 1AD =A 1MAM =1； 解法二：将正三棱台111ABC A B C -补成正三棱锥−P ABC ，则1A A 与平面ABC 所成角即为PA 与平面ABC 所成角，因为11113PA A B PA AB ==，则111127P A B C P ABCV V −−=，可知1112652273ABC A B C PABC V V −−==，则18P ABC V −=， 设正三棱锥−P ABC 的高为d，则11661832P ABC V d −=⨯⨯⨯=，得d =取底面ABC 的中心为O ，则PO ⊥底面ABC ，且AO =所以PA 与平面ABC 所成角的正切值tan 1PO PAO AO∠==. 故选B.8．设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（ ） A ．18B ．14C ．12D ．1【答案】C 【分析】解法一：根据题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞−+，分类讨论a −与,1b b −−的大小关系，结合符号分析判断，即可得1b a =+，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln()x b +的符号，进而可得x a +的符号，即可得1b a =+，代入可得最值.【详解】解法一：根据题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞−+，令0x a +=解得x a =−；令ln()0x b +=解得1x b =−；若−≤−a b ，当(),1x b b ∈−−时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，错误；若1b a b −<−<−，当(),1x a b ∈−−时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，错误；若1a b −=−，当(),1x b b ∈−−时，可知()0,ln 0x a x b +<+<，此时()0f x >；当[)1,x b ∞∈−+时，可知()0,ln 0x a x b +≥+≥，此时()0f x ≥；可知若1a b −=−，正确；若1a b −>−，当()1,x b a ∈−−时，可知()0,ln 0x a x b ++，此时()0f x <，错误；综上所述：1a b −=−，即1b a =+，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当11,22a b =−=时，等号成立， 所以22a b +的最小值为12；解法二：根据题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞−+，令0x a +=解得x a =−；令ln()0x b +=解得1x b =−；则当(),1x b b ∈−−时，()ln 0x b +<，故0x a +≤，所以10b a −+≤； ()1,x b ∞∈−+时，()ln 0x b +>，故0x a +≥，所以10b a −+≥；故10b a −+=， 则()2222211112222a b a a a ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当11,22a b =−=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12.故选C.二、多选题 9．对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =−，下列说法正确的有（ ） A ．()f x 与()g x 有相同的零点B ．()f x 与()g x 有相同的最大值C ．()f x 与()g x 有相同的最小正周期D ．()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴 【答案】BC【分析】由正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【解析】A 令()sin 20f x x ==，解得π,2k x k =∈Z ，即为()f x 零点，令π()sin(2)04g x x =−=，解得ππ,28k x k =+∈Z ，即为()g x 零点，显然(),()f x g x 零点不同，A 错误；B 显然max max ()()1f x g x ==，B 正确；C 由周期公式，(),()f x g x 的周期均为2ππ2=，C 正确； D 由正弦函数的性质()f x 的对称轴满足πππ2π,224k x k x k =+⇔=+∈Z ，()g x 的对称轴满足πππ3π2π,4228k x k x k −=+⇔=+∈Z ，显然(),()f x g x 图像的对称轴不同，D 错误. 故选BC 。
2023年新高考(新课标)全国1卷数学试题真题(含答案解析)
2023年新高考全国Ⅰ卷数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合M ={−2,−1,0,1,2}和N ={x |x 2−x −6≥0}，则M ∩N =（ ） A. {−2,−1,0,1} B. {0,1,2}C. {−2}D. {2}2. 已知1i22iz -=+，则z z -=（ ） A. i -B. iC. 0D. 13. 已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+，则（ ） A. 1λμ+= B. 1λμ+=- C. 1λμ= D. 1λμ=-4. 设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A. (],2-∞-B. [)2,0-C. (]0,2D. [)2,+∞5. 设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若21e =，则=a （ ）A.B.C.D.6. 过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（ ）A. 1B.4C.4D.47. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8. 已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==，则()cos 22αβ+=（ ）． A.79 B.19C. 19-D. 79-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（ ） A. 2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数 B. 2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数 C. 2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差 D. 2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差10. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lg p pL p =⨯，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（ ）． A. 12p p ≥ B. 2310p p > C. 30100p p =D. 12100p p ≤11. 已知函数()f x 的定义域为R 和()()()22f xy y f x x f y =+，则（ ）． A. ()00f = B. ()10f =C. ()f x 是偶函数D. 0x =为()f x 的极小值点12. 下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ） A. 直径为0.99m 的球体 B. 所有棱长均为1.4m 的四面体C. 底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体D. 底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．14. 在正四棱台1111ABCD A B C D -中1112,1,AB A B AA ===________．15. 已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[]0,2π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．16. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上11222,3F A F B F A F B ⊥=-，则C 的离心率为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=． （1）求sin A ；（2）设5AB =，求AB 边上的高．18. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,4AB AA ==．点2222,,,A B C D 分别在棱111,,AA BB CC ,1DD 上22221,2,3AA BB DD CC ====．（1）证明：2222B C A D ∥；（2）点P 在棱1BB 上，当二面角222P A C D --为150︒时，求2B P ． 19. 已知函数()()e xf x a a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时()32ln 2f x a >+．20. 设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n nn nb a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．（1）若2133333,21a a a S T =++=，求{}n a 的通项公式； （2）若{}n b 为等差数列，且999999S T -=，求d ．21. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅，则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ． 22. 在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为W ． （1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD的周长大于2023年新高考全国Ⅰ卷数学试题答案解析（2023·新高考Ⅰ卷·1·★）已知集合{2,1,0,1,2}M =--和2{|60}N x x x =--≥，则M N =（ ）（A ）{2,1,0,1}-- （B ）{0,1,2} （C ）{2}- （D ）{2} 答案：C解析：260(2)(3)02x x x x x --≥⇔+-≥⇔≤-或3x ≥，所以(,2][3,)N =-∞-+∞。
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新课标高考数学试题探究银川唐徕回民中学 唐希明07、08、09年宁夏（海南）经历了三年的调查和摸索，已成为随后进入新课标的其它省份高考的模式和样板，到2013年全国所有省份全部进入新高考。
作为先行者，四省区的新高考将对后续进入的省份产生极大影响，必然引起大家的关注且认真地探究。
本文通过对新高考数学卷综合评析，和大家探讨新高考对新课改数学教学启示。
一、新高考的基本模式07：增加选考题，保持平稳，常模考试。
08：能力+兼顾平稳过渡+体现新课程的理念。
例如：如何考查探究能力等。
09：仍然强调能力+关注过程与方法（如何在数学中体现），加大应用意识，逐步推进新课程在考试中的体现。
2010年与09年相比较（考纲、考试说明）基本上没有太大的变化，只是在文科加入基本不等式的证明，09年成为全国的考试说明。
二、能力立意的解读1. 能力立意（1）以数学内容为基点，以基本的推理能力和思维能力为立足点，突出考查一般能力的具体表现，定量的测量学生的学习能力。
（2）以多元化、多途径、开放式的设问背景，全面测量学生的观察、试验、联想、猜想、归纳、类比、推广等思维活动的水平，激发学生探求精神，求异创新的新思维，体现“过程与方法”的思想。
（3）以能力考查为核心，测量学生的可持续学习的能力①运算能力：例如：09Ⅰ. 复数=+---+ii i i 32233223 A 、0 B 、2 C 、i 2- D 、i 2【考查目的】本题考查复数的基本概念和复数代数形式的运算。
【命制过程】本题的设计有两个方面的意义，一是通过对复数代数形式的运算，考查考生对复数的理解和对复数运算法制的掌握，考生应用基本的运算规则就可得到解决；二是把试题设计成两个共轭复数差的形式，以此来考查考生的观察能力和优化解题过程的能力，让不同能力的考生得以发挥。
【解题思路】思路1()()()()13322313322332233223i i i i i i i i ---++=+---+=i 2 思路2 ()()i i i i i =++=-+1332233223， 因为i i 3223-+与ii 3223+-互为共轭复数，所以i i i i i 232233223=+---+ 思路3 ()()()i ii i i i i i i i i i i i 232233223322332233223=+----+---+-=+---+ 【答案】（D ）【试题评价】 试题把对复数的理解和复数代数形式的运算作为考查的重点，体现《课程标准》对复数教学的要求。
在试题的设计上以“两个共轭复数差”的形式呈现，把对基础知识的考查和对能力的考查巧妙结合起来，为不同能力的考生搭建展示才能的平台。
Ⅱ. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a 、22a 、3a 成等差数列，若1a =1，则4S =A 、7B 、8C 、15D 、16【考查目的】 本题主要考查等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查等差数列的概念，考查考生的运算求解能力。
【命制过程】 提取等比数列{}n a 中的项1a 、2a 、3a ，并设计成14a ，22a ，3a 成等差数列，可控制运算难度，使考生在求解等比数列公比的过程中，准确运用等差数列的概念和等比数列的通项公式，综合反映考生的运算求解能力。
【解题思路】 设等比数列{}n a 的公比为q ，由14a ，22a ，3a 成等差数列，得24a =14a +3a ，即0442=+-q q ,因此q =2，所以()1511414=--=q q a S 。
【答案】（C ）【试题评价】 试题对数列的考查以等差数列和等比数列的基本知识为重点，恰当设置数列中各量之间的关系，使运算过程简洁明了。
Ⅲ. 已知函数()()xe b ax x x xf -+++= 323 (I)若3-==b a ，求()x f 的单调区间；(II)若()x f 在（∞-，α），（2，β）单调增加，在（α，2），（β，+∞）单调减少，证明6>-αβ。
【考查目的】 本题主要考查导数的运算和利用导数研究函数单调性的方法，综合考查考生的运算求解能力、推理论证能力。
【命制过程】 试题对函数()x f 的表达式作了细致的设计，目的是考查考生对函数单调性与导数关系的理解，同时考查考生对基本初等函数的导数公式和导数的运算法则的掌握，考查不等式的求解运算能力。
本题设置两个问题，紧紧围绕函数的单调性展开，从特殊到一般，考查考生综合运用函数单调性的知识解决问题的能力。
【解题思路】 （I ）求()0>'x f 或()0<'x f 的解集。
（II ）关键是将条件转化为()02='f ，()()0='='βαf f .【答案】 解 （I ）当3-==b a 时，()()x e x x x x f ---+= 33323故 ()()()x x e x x e x x x x f ---++--+-='363 333223()x x e x 93--=-()()x e x x x -+--=33. 当3-<x 或30<<x 时，()0>'x f ；当03<<-x 或3>x 时，()0<'x f .从而()x f 在（∞-，-3），（0，3）单调增加；在（-3，0），（3，∞+）单调减少。
（II ）()()()x x e a x x e b ax x x x f --++++++-=' 63 3223()[]a b x a x e x -+-+-=-63. 由条件得：()02='f ，即()06223=-+-+a b a ，故a b -=4，从而()()[]a x a x e x f x 2463-+-+-='-.因为()()0='='βαf f ，所以()()()()βα---=-+-+x x x a x a x 22463()()[]αββα++--=x x x 22. 将右边展开，与左边比较系数得，2-=+βα，2-=a αβ，故 ()a 41242-=-+=-αβαβαβ.又 ()()022<--αβ，即()042<++-βααβ，由此可得6-<a ，于是6>-αβ.【试题评价】试题紧紧围绕函数的单调性与导数的关系从特殊到一般进行设计，层次分明，梯度递进，突出导数的工具性作用，把对函数单调性的理解和运用提高到必要的深度。
试题结构简洁，考查重点突出，方法具体明确，对中学数学有积极的引导作用。
根据问题的条件，寻找与设计合理、简便的运算途径，并要求有一定的估算能力，并且按照要求对数据进行估计和近似计算的能力。
例如：数列的调查，强调为特殊的函数来处理。
2. 数据处理能力能通过文字、图形、图表与信息，提取相关信息，对它们进行分析和合理的处理，从而评价学生收集处理和运用信息的能力，能分辨哪些有用，哪些多余。
关注在运算的基础之上形成的过程与方法的要求，从而体现对问题所采取的价值、情感和态度。
例如 从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm ），结果如下甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295 301303 303 307 308 310 314 319 323 325 325328 331 334 337 352乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315316 318 318 320 322 322 324 327 329 331333 336 337 343 356由以上数据设计了如下茎叶图根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：（1）（2）【考查目的】本题通过对茎叶图的认识和理解，考查考生的数据处理能力。
【命制过程】会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，这是《考试大纲》提出的一个重要能力考查目标。
本题希望考生依据所学统计学的知识和方法，对数据进行整理、分析，形成有实际意义的结论。
本题所提供的数据具有真实的实际背景，体现了数学知识的应用价值。
试题的结论具有开放性，考生可以从不同的认识角度形成有价值的结论。
【解题思路】考生可以从平均数、中位数等方面回答。
【答案】①乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）。
②甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散（或：乙品种棉花的纤维长较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）；甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）。
③甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm。
④乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）；甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀。
注：上面给出了四个结论，如果考生写出其他正确答案，同样给分。
【试题评价】本题要求考生具有数据处理的能力，考生运用所学的统计学知识和方法去自主发现，主动探究，形成有意义的结论，使考生的创新意识得到发挥，这是新课程下高考命题关注考生学习方式的变化，关注创新意识和创造能力考查的一次探索。
在实际考试中，考生给出的答案一定不止上面给出的四种，相信绝大数考生会给出自己的解答，这就为广大考生展示创新意识，发挥创造能力提供了空间，这将对中学教学有良好的导向作用。
当然，答案的不确定性可能会给阅卷带来一定困难，但这也是对数学阅卷方式和方法的新挑战，是需要我们探讨的新问题，万不可因为阅卷的困难而放弃优化的考查形式。
3. 空间想像能力（和传统的要求一致）强调推理与计算相结合，难度刻意的控制，并要求书写规范。
例如：（1） 一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积（单位：cm 2）为：A 、21248+B 、22448+C 、21236+D 、22436+【考查目的】 本题考查三视图的概念和三视图的画图规划，要求考生能识别三视图所表示的几何模型，会求棱锥的全面积，以此考查考生的空间想象能力、推理论证能力。
【命制过程】 在立体几何的数学中培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力和直观能力，是《课程标准》的基本要求。
本题的设计希望考生能够理解三视图的概念，通过三视图的知识识别和建立所描述的几何体的直观模型，根据提供的相关量进行计算。
试题没有标注正视图、侧视图和俯视图，就是要规范画三视图的规划。
题目中“一个棱锥的三视图”的条件，可降低由三视图识别所表示的几何体的难度。