高考适应性测试 数学试题(理科)
高考适应性考试高中数学理科
高考适应性考试高中数学理科说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题和第Ⅱ卷(非选择题两部分,共150分.考试时间120分钟.选择题部分(共50分一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设{}3,2,1=A,{}A x xB⊆=,则下列关系表述正确的是((A B A∈(B B A∉(C B A⊇(D B A⊆2.若复数(12R a iai∈-+是纯虚数(i是虚数单位,则a的值为((A 2-(B 2(C 1(D 1-3.已知R b a∈,,则“b a>”是“ab ba>+2”成立的((A充分不必要条件(B必要不充分条件(C充要条件(D既不充分也不必要条件4.设b a,是不同的直线,βα,是不同的平面,则下列结论错误.. 的是((A若,//,ααb a⊥则b a⊥(B若βαβα//,,⊥⊥b a,则b a//(C若βαα⊂⊥b b a,//,,则β⊥a(D若βα⊥⊥a a,,则βα//5.阅读右侧程序框图,输出结果s的值为((5题图(A21(B23(C 3-(D 36.平面内区域M=((⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤≤≤-+≥+-01100101,y kx k y x y x y x的面积可用函数(k f表示,若8(=k f,则k等于((A21(B31(C23(D22 7.设5544332210452(12(x a x a x a x a x a a x x+++++=++-,则=+++5210a a a a((A 242(B 110(C 105(D 828.将一颗质地均匀的骰子连续抛掷三次,依次得到的三个点数成等差数列的概率为((A121(B61(C41(D81 9.设m 3-=,且51=∆∆ABC PAB S S,则实数m的值为((A 3或3-(B 6或6-(C 4或4-(D 5或5-10.已知1cos 1sin 22++++=θθa a a a M 0,,(≠∈a R aθ,则M的最大值与最小值分别为((A 371+,371-(B374+,374-(C7249+,7249-(D7248+,7248-非选择题部分(共100分二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分。
高考适应性训练(理)
高考适应性训练 数学试题（理科）说明：本试题满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：球的表面积公式：24R S π=，其中R 是球的半径。
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率：) 2 1 0()1()(n k p p C k P k n k k n n ，，，， =-=- 如果事件A ，B 互斥，那么)B ()A ()B A (P P P +=+ 如果事件A ，B 相互独立，那么)B ()A ()A B (P P P ⋅=一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集}{f e d c b a U ，，，，，=，集合}{d c P ，=，}{f c a Q ，，=，则集合=Q C P UA ．}{f e c a ，，，B ．}{e b ，C ．}{cD ．}{d2．若向量)sin 21(α，=a 的模为22，则=α2cosA ．41-B ．21- C ．21 D ．233．某学校共有学生4500名，其中初中生1500名，高中生3000名，用分层抽样法抽取一个容量为300的样本，那么初中生应抽取 A ．50名B ．100名C ．150名D ．200名4．不等式b a b a ->+成立的一个充分不必要条件是A ．11<<b a ，B ．11<>b a ，C ．11><b a ，D ．11>>b a ，5．如下图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为3，那么这个几何体的外接球的表面积等于A ．π9B ．π39C ．π312D ．π366．若动圆的圆心在抛物线y x 22=上，且与直线03=+y 相切，则此动圆恒过定点A ．（0，2）B ．（0，－3）C ．（0，3）D ．（0，6）7．按如下图所示的程序框图运行后，输出的结果是255，则判断框中的整数M 的值是A ．6B ．7C ．8D ．98．函数x x x f 24cos sin)(+=的最小正周期是A ．4πB ．2πC ．πD ．π29．已知－9，21a a ，，－1四个实数成等差数列，－9，321b b b ，，，－1五个实数成等比数列，则)(122a a b -等于 A ．5 B ．6C ．7D ．－810．双曲线12222=-by ax 和椭圆12222=+by mx )00(>>>b m a ，的离心率互为倒数，那么A ．222m b a =+B ． 222m b a >+C ．222m b a <+D ．m b a =+11．甲、乙两人玩猜骰子游戏，游戏的规则是：有三个骰子（每个骰子都是正方体，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），乙先从1，2，3，4，5，6这六个数中报一个，然后由甲掷这三个骰子各一次，如果三个骰子中至少有1个骰子的向上一面的数字恰好是乙报的这个数，那么乙获胜，否则甲获胜。
2020最新高考适应性考试数学（理科）含答案
2020最新⾼考适应性考试数学（理科）含答案数学（理科）⼀、选择题1、设集合E={}||x-2|>3x ，F={}|x 1x ≥-，则()x E x F x E F ∈∈∈I 或是的( ) A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 不充分不必要条件2、f(x)是定义在R 上的奇函数，它的最⼩正周期是T ，则()2T f 的值是（）A 0B 2T - C2TD ⽆法确定3、设函数212x y x -=-，则下列命题正确的是（）①图象上⼀定存在两点它们的连线平⾏于x 轴。
②图象上任意两点的连线都不平⾏于y 轴。
③图象关于直线y=x 对称。
④图象关于原点对称。
A ①③B ②③C ②④D ③4、曲线23-+=x x y 的⼀条切线平⾏于直线14-=x y ，则切点p 的坐标为（）（A ）（0，－2）或（1，0）（B ）（1，0）或（2，8）（C ）（－1，－4）或（0，－2）（D ）（1，0）或（－1，－4）5、如果消息A 发⽣的概率为P （A ），那么消息A 所含的信息量为21()log ()I A P A =。
若某⼈在⼀个有4排、8列的⼩型报告厅⾥听报告，则发布的以下4条消息中信息量最⼤的是（）A 在某⼈在第4排B 某⼈在第5列C 某⼈在4排5列D 某⼈在任意⼀排6、若函数f 322,1()15,131x x a x x ax x ?-+≤?=?>?+?44-或 7、已知正四棱锥S －ABCD 侧棱长为2,底⾯边长为3,E 是SA 的中点,则异⾯直线BE 与SC 所成⾓的⼤⼩( )A ．ο90B ．ο60C ．ο45D ．ο30 8、若sin tan cot θθθ>>,(22ππθ-<<),则θ的取值范围是（）A (,)24ππ-- B (,0)4π- C (0,)4πD (,)42ππ9、等差数列{a n }中，a 1 > 0,S 3 = S 11,则S n 中的最⼤值为（）A S 7B S 11C S 7和S 8D ⽆最⼤值10、关于函数f(x)=lg 21(0,)||x x x R x +≠∈,有下列命题：①函数y=f(x)的图象关于y 轴对称。
高考适应性测试(一)——数学(理)
C．（ 1 ， 2 ] 33
D． [ 2 ， 2] 3
9．已知平行四边形 ABCD 中， AB ＝AD ＝ 2，∠DAB ＝60°， 对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
uuuur uuuur 点 M 是线段 BC 上一点，则 OM · CM 的最小值为
9
A ．－
16
9
B．
16
1
C ．－
2
1
D．
2
（ 1）逐份
检验，则需要检验 n 次；（ 2）混合检验，将其中 k（ k∈ N ，2≤ k≤n）份血液样本分别
取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这
k 份的血液全为阴性，因而这 k 份血液样本
只需检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这
k 份血液究竟哪份为阳性，就需
要对这 k 份再逐份检验，此时这 k 份血液的检验次数总共为 k＋ 1 次．假设在接受检验
4
4
19．（ 12 分）
uuuur
uuuur uuur
已知 O 为坐标原点， 点 F（ 0，1），M 为坐标平面内的动点， 且 2，｜ FM ｜，2OM ·OF
成等差数列．
（ 1）求动点 M 的轨迹方程； （ 2）设点 M 的轨迹为曲线 T，过点 N （ 0， 2）作直线 l 交曲线 T 于 C， D 两点，试问在
11．已知定义在 R 上的奇函数 f（x），对任意实数 x，恒有 f（ x＋ 3）＝－ f（ x），且当 x∈（ 0，
3 ] 时， f （ x）＝ x 2－ 6x＋ 8，则 f （0）＋ f （ 1）＋ f（ 2）＋…＋ f （ 2020）＝ 2
A．6
B．3
C． 0
D．－ 3
12．如图，在四棱锥 P— ABCD 中， PA＝PB ＝PC＝PD ＝2，底面 ABCD 是边长为 2 的正方
宁夏银川市第二中学2023-2024学年高三下学期级适应性考试二(理科)数学试题
宁夏银川市第二中学2023-2024学年高三下学期级适应性考试二（理科）数学试题一、单选题1．2024年的高考数学将在6月7日下午进行，其中数学有12道单项选择题，如果每道选择题的答案是从A ，B ，C ，D 四个选项中随机生成，那么请你运用概率统计的知识，推断分析下列哪个选项最有可能成为2024年高考数学选择题的答案分布（ ） A ．AAAAAAAAAAAA B ．ABCDABCDABCD C ．CDABACADCBDBD ．DBCCCDCDBDBD2．在复数集中，我们把实部与实部相等，虚部与虚部互为相反数的一对具有孪生关系的复数记为z 和z ，他们也是实系数一元二次方程（0a ≠）在判别式小于0时的两个复数根，我们将这种关系定义为共（ ） A ．额B ．呃C ．扼D ．轭3．已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨4．设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）． A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP5．“实数a ，b ，c 成等比数列”是“2b ac =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．已知,x y R ∈，且0x y >>，则A ．110x y ->B ．sin sin 0x y ->C ．11()()022x y -<D ．ln ln 0x y +>7．今年两会期间，“新质生产力”被列为了2024年政府工作十大任务之首．某中学为了让高三同学对“新质生产力”有更多的了解，利用周五下午课外活动时间同时开设了四场有关“新质生产力”方面的公益讲座．已知甲、乙、丙、丁四位同学从中一共选择两场去学习，则甲、乙两人不参加同一个讲座的不同方法共有（ ） A ．48种B ． 84种C ．24种D ．12种8．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073D ．10939．从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn10．如图，已知12,F F 为双曲线22221x y a b-=的焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且1230PF F ∠=︒，则双曲线得渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．y =C ．y =D ．2y x =±11．已知数列{}n a 满足1214a a ==，，n 2134n n a a a +++=，则下列是等比数列的是（ ）A ．{3}n a +B ．{3}n a -C ．{}n 1n a a ++D ．{}n 1n a a +-12．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多二、填空题13．设,a b r r 为单位向量，且||1a b +=r r ，则||a b -=rr .14．tan20tan40tan40︒+︒︒︒= 15．若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则b =． 16．函数()log (1)x a f x a x a =->有两个零点,求a 的范围三、解答题17．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，在B 出测得山顶P 得仰角为γ，(1)若15β︒=，求坡面的坡比．（坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值） (2)求证;山高sin sin()sin()a h αγβγα-=-18．一批产品需要进行质量检验，检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n ．如果n =3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验;如果n =4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验;其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位:元)，求X 的分布列．19．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点,5,6O AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，5,4AE CF EF ==交BD 于点H ，将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆位置，OD '（1）证明：D H '⊥平面ABCD ； （2）求二面角B D A C '--的正弦值.20．已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．21．已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值． 22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点． (1)求|AB |：(2)以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求分别以OA ，OB 为直径的圆的极坐标方程．23．已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++．。
高考适应性考试数学理科试题.doc
2007年厦门市高中毕业班适应性考试数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分为150分，考试时间120分钟。
注意事项：1． 考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在答题卡上； 2． 答题要求，见答题卡上的“填涂样例”和注意事项。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n k n n P k C P P -=-球的表面积公式：24S R π=，球的体积公式：3V R π=，其中R 表示球的半径。
第I 卷（选择题 共140分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}1|(1)0,|01P x x x Q x x ⎧⎫=-≥=>⎨⎬-⎩⎭，则P Q ⋂等于 A ．∅ B ．{}|1x x ≥ C ．{}|1x x > D ．{}|10x x x ≥<或 2．如果a <0, b >0, c ∈R , 那么，下列不等式中正确的是A ．||||a b >B ．{|1}x x ≥C ． {|1}x x >D ．{|10}x x x ≥<或 3．已知i 、j 是单位正交向量，(1),2a i j b i j λλ=+-=+。
那么“1λ=-”是“a //b ”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件 4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，552833(),a S a a a =+则的值为 A ．16 B ．13 C ．35 D ．565．函数sin sin y x x =+图象的一条对称轴是A ．4x π=-B ．4x π=C ．2x π=D ．34x π=6．已知点（–3，1）是曲线2240x x y ++=的弦AB 的中点，则弦AB 所在的直线方程是 A ．x –y –4=0 B ．x +y +2=0 C ．x +2y +1=0 D ．x –y +4=0 7．如果函数(0,1)xy a a a -=>≠是增函数，那么函数1()log 1af x x =+的图像大致是8．五名同学进行百米赛跑比赛，先后到达终点，则甲比乙先到达的情况有 A ．240种 B ．120种 C ．60种 D ．30种9．若22165lim 1x x x a x →-++=-，则数列的极限1lim 1nn n a a →∞-+为A ．3B ．1C ．12-D ．1210．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长均为4，则A 1到直线BC 1的距离为A ．3BCD ．411．点P 是椭圆22122:11x y C a a +=+与双曲线22222:11x y C a a -=-的交点，F 1与F 2是椭圆C 1的焦点，则12F PF ∠等于 A ．3π B ．2πC ．23πD ．与a 的取值有关12．国际上常用恩格尔系数（恩格尔系数=食物支出金额总支出金额）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况。
高三数学适应性考试试题理含解析试题1
卜人入州八九几市潮王学校峨2021年高考适应性考试理科数学试题〔考试时间是是：120分钟试卷总分值是：150分〕本卷须知： 1.2.答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目之答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答复非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在套本套试卷上无效。
3.在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回。
一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.{}1,2,3A =，{|10}B x x =->，那么A B ⋂=〔〕A.{}1,2B.{}2,3C.{}1,3D.{}1,2,3【答案】B 【解析】 【分析】化简集合B ，根据交集运算求解即可. 【详解】由10x ->可得1x >，所以{}1Bx x =，{2,3}A B =，应选B.【点睛】此题主要考察了集合的交集运算，属于容易题.3iz i+=，i 是虚数单位，那么z 的虚部为〔〕 A.1B.-1C.3D.-3【答案】D【解析】 因为z=3ii+13i =-∴z 的虚部为-3，选D. ξ服从正态分布(0,1)N ，假设(1)0.8413P ξ≤=，那么(10)P ξ-<≤=〔〕【答案】A 【解析】 依题意得：()10.1587P ξ>=，()10.15872100.34132P ξ-⨯-<≤==．应选A ．sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有的点向右平移4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍〔纵坐标不变〕，那么所得图象的解析式为〔〕A.5sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.sin 212x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.5sin 212x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.5sin 224x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】右平移4π个单位长度得带5πsin 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)得到5sin 212x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,应选C.{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，那么数列{}n a 的前11项和等于〔〕A.66B.132C.-66D.-132【答案】D 【解析】 【分析】由根与系数的关系可求出3924a a +=-，再根据等差中项的性质得612a =-，利用等差数列的求和公式即可求解.【详解】因为3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根所以3924a a +=-，又396242a a a +=-=，所以612a =-61111111211()13222a a a S ⨯⨯+===-，应选D.【点睛】此题主要考察了等差数列的性质，等差中项，数列的求和公式，属于中档题.[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为〔〕A.12B.13C.4D.3【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【详解】因为圆心(0,0)，半径1r=，直线与圆相交，所以1d =≤，解得44k -≤≤所以相交的概率224P ==,应选C.【点睛】此题主要考察了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.7.某几何体的三视图如下列图，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，那么该几何体的体积是〔〕 A.1763B.1603C.1283D.32【答案】B 【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为4，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是32116042433-⨯⨯=，选B. 点睛：1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽〞，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．a ，b ，c ，满足23a =，2log 5b =，32c =，那么〔〕A.c a b <<B.b c a <<C.a b c <<D.c b a <<【答案】A 【解析】分析：先利用指数函数的单调性确定,a c 的取值范围，再通过对数函数的单调性确定b 的范围，进而比较三个数的大小． 详解：因为223(2,2)a=∈，所以12a <<， 因为32(1,3)c=∈，所以01c <<， 又22log 5log 42b=>=，所以c a b <<．点睛：此题考察指数函数的单调性、对数函数的单调性等知识，意在考察学生的逻辑思维才能． 9.宋元时期数学名着算学启蒙中有关于“松竹并生〞的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，假设输入的a ，b 分别为5，2，那么输出的n =〔〕A.5B.4C.3D.2【答案】B 【解析】模拟程序运行，可得：52a b ==，，1n =，1542a b ==，，不满足条件a b ≤，执行循环体 2n =，4584a b ==，，不满足条件a b ≤，执行循环体 3n =，135168a b ==，，不满足条件a b ≤，执行循环体 4n =，4053216a b ==，，满足条件a b ≤，退出循环，输出n 的值是4 应选B214y x =的焦点F 是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A 、B 两点，假设FAB ∆是正三角形，那么椭圆的离心率为〔〕11C.3【答案】C 【解析】 由题知线段AB 是椭圆的通径，线段AB 与y 轴的交点是椭圆的下焦点1F ，且椭圆的1c =，又60FAB =∠，112122tan 603FF c AF AF AF =====，由椭圆定义知212c AF AF a a e a +==∴====C. 11.如图，在四棱锥C ABOD -中，CO ⊥平面ABOD ，//AB OD ，OB OD ⊥，且212AB OD ==，AD =CD 与AB 所成角为30︒，点O ，B ，C ，D 都在同一个球面上，那么该球的外表积为〔〕A.72πB.84πC.128πD.168π【答案】B 【解析】 由底面ABOD 的几何特征易得6OB =，由题意可得：6OD =,由于AB ∥OD ，异面直线CD 与AB 所成角为30°故∠CDO =30°， 那么tan 3023COOD =⨯=设三棱锥O -BCD 外接球半径为R ， 结合,,OCOD OC OB OD OB ⊥⊥⊥可得：()222222844R OB OC OD R =++==，该球的外表积为：2484S R ππ==.此题选择B 选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出适宜的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.()(ln )xe f x k x x x=+-，假设1x =是函数()f x 的唯一极值点，那么实数k 的取值范围是〔〕A.(,]e -∞B.(,)e -∞C.(,)e -+∞D.[,)e【答案】A 【解析】由函数()()ln xe f x k x x x =+-，可得()211'1x x x e x e x e f x k x x x x ⎛⎫--⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 有唯一极值点()1,'0x f x =∴=有唯一根1x =，0x e k x ∴-=无根，即y k =与()xe g x x=无交点，可得()2(1'x e x g x x-=，由()'0g x >得，()g x 在[)1+∞上递增，由()'0g x <得，()g x 在()0,1上递减，()()min 1,g x g e k e ∴==∴≤，即实数k 的取值范围是(],e -∞，应选A.【方法点睛】函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)别离参数法，先将参数别离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题.二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.(2,3)a =，(,6)b m =-，假设a b ⊥，那么m =________.【答案】9 【解析】 【分析】根据向量垂直可知向量的数量积等于零，利用数量积的坐标运算即可. 【详解】因为a b ⊥所以(2,3)(,6)2180a b m m ⋅=⋅-=-=， 解得m=9, 故填9.【点睛】此题主要考察了向量垂直，向量的数量积计算，属于中档题.x ，y 满足3040240x x y x y +≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，那么3z x y =+的最小值为________.【答案】0 【解析】【分析】画出可行域，分析目的函数得133z y x =-+，当13y x =-在y 轴上截距最小时，即可求出z 的最小值.【详解】作出可行域如图：联立3040x x y +=⎧⎨-+=⎩得31x y =-⎧⎨=⎩化目的函数3zx y =+为133zy x =-+，由图可知，当直线13y x =-过点(3,1)A -时，在y 轴上的截距最小,z 有最小值为0，故填0.【点睛】此题主要考察了简单的线性规划，属于中档题.{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，那么数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前6项和为_____.【答案】6332【解析】 由题意得n-111121(2)222n n n n n n S a n a a a a a ---=-≥∴=-∴=，因为1111111=2112()2n n n n S a a a a ---∴=∴=∴=∴数列{n 1a }的前6项和为611()63213212-=-. 22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 、B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=.设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，那么MN AB的最大值是________.【答案】A 【解析】试题分析：设|AF|=a ，|BF|=b ，连接AF 、BF ．由抛物线定义得2|MN|=a+b ，由余弦定理可得|AB|2=〔a+b 〕2﹣3ab ，进而根据根本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到此题答案． 解：设|AF|=a ，|BF|=b ，连接AF 、BF ，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|， 在梯形ABPQ 中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b ． 由余弦定理得，|AB|2=a 2+b 2﹣2abcos60°=a 2+b 2﹣ab ， 配方得，|AB|2=〔a+b 〕2﹣3ab ， 又∵ab≤，∴〔a+b 〕2﹣3ab≥〔a+b 〕2﹣〔a+b 〕2=〔a+b 〕2得到|AB|≥〔a+b 〕． ∴≤1， 即的最大值为1．应选：A ．考点：抛物线的简单性质．三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题. 〔一〕必考题：一共60分.ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .满足2cos cos cos 0a C b C c B ++=.〔1〕求角C 的大小；〔2〕假设2a =，ABC ∆的3c 的大小.【答案】〔1〕23π〔27【解析】 【分析】(1)根据题意，由正弦定理和正余弦和差角公式进展化简，求得cosC 的值，求出角C ；〔2〕先用面积公式求得b 的值，再用余弦定理求得边c.【详解】(1)在ABC ∆中，因为2cos cos cos 0a C b C c B ++=， 所以由正弦定理可得：2sin cos sin cos sin cos 0A C B C C B ++=， 所以()2sin cos sin0A C B C ++=，又ABC ∆中，()sin sin 0B C A +=≠，所以1cos 2C =-.因为0C π<<，所以23Cπ=.(2)由1sin 2Sab C ==，2a=，23C π=，得1b =.由余弦定理得214122172c⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以c =【点睛】此题考察理解三角形中的正余弦定理和面积公式，解题关键是在于公式的合理运用，属于根底题. 18.由HY 电视台综合频道〔1CCTV-〕和唯众传媒结合制作的开讲啦是中国首档青年电视公开课.每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜欢，为了理解观众对节目的喜欢程度，电视台随机调查了A 、B 两个地区的100名观众，得到如下的22⨯列联表，在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众是B 地区当中“非常满意〞的观众的概率为0.35.〔1〕现从100名观众中用分层抽样的方法抽取20名进展问卷调查，那么应抽取“非常满意〞的A 、B 地区的人数各是多少.〔2〕完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系. 〔3〕假设以抽样调查的频率为概率，从A 地区随机抽取3人，设抽到的观众“非常满意〞的人数为X ，求X 的分布列和期望.附：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【答案】〔1〕A 抽6人，B 抽取7人；〔2〕没有95%的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系；〔3〕见解析 【解析】 【分析】〔1〕根据分层抽样的抽样比为201=1005计算各层抽取人数即可〔2〕根据卡方公式计算即可，得出结论〔3〕由题意可得X 的可能取值，且X 服从二项分布，分别计算相应的概率即可.【详解】〔1〕由题意，得0.35100x=，所以35x =， A地抽取20306100⨯=，B 地抽取20357100⨯=. 〔2〕22100(30203515)1000.1 3.841653545551001K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有95%的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系.〔3〕从A 地区随机抽取1人，抽到的观众“非常满意〞的概率为23P =， 随机抽取3人，X 的可能取值为0，1，2，3，311(0)327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，2132162(1)33279P X C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 22321124(2)33279P X C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，328(3)327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，【点睛】此题主要考察了分层抽样，2⨯2列联表，相关性检验，二项分布列及期望，属于中档题. 19.如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，以AE 为折痕将DAE ∆向上折起，D 变为'D ，且平面'D AE ⊥平面ABCE .〔1〕求证：'AD BE ⊥； 〔2〕求二面角'A BD E --的大小.【答案】〔Ⅰ〕证明见解析；〔Ⅱ〕90. 【解析】试题分析：〔Ⅰ〕根据勾股定理推导出AE EB ⊥，取AE 的中点M ，连结MD '，那么MD '⊥BE ，从而EB ⊥平面AD E '，由此证得结论成立；〔Ⅱ〕以C 为原点，CE 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面ABCE 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A BD'E --的大小.试题解析：〔Ⅰ〕证明：∵AE BE ==，AB 4=，∴222AB AE BE =+，∴AE EB ⊥，取AE 的中点M ，连结MD '，那么AD D E 2MD AE ''==⇒⊥， ∵平面D AE '⊥平面ABCE ， ∴MD '⊥平面ABCE ，∴MD '⊥BE ，从而EB ⊥平面AD E '，∴AD EB '⊥ 〔Ⅱ〕如图建立空间直角坐标系， 那么()A4,2,0、()C 0,0,0、()B 0,2,0、()D 3,1,2'，()E 2,0,0，从而BA =〔4,0,0〕，BD'312=-（，，），()BE 2,2,0=-. 设1n x y z)（，，=为平面ABD '的法向量，那么11n BA 40n BD'32x x y z⎧⋅==⎪⇒⎨⋅=-+⎪⎩可以取1n 0,2,1)=（设()2n x y z ，，=为平面BD E '的法向量，那么22n BE 220n BD'320x y x y z ⎧⋅=-=⎪⇒⎨⋅=-+=⎪⎩可以取2n (1,12=-，）因此，12n n 0⋅=，有12n n ⊥，即平面ABD '⊥平面BD E '，故二面角A BD E -'-的大小为90.G ：22221(0)x y a b a b +=>>过点6A 和点(0,1)B -.〔1〕求椭圆G 的方程； 〔2〕设直线y x m =+与椭圆G 相交于不同的两点M ，N ，记线段MN 的中点为P ，是否存在实数m ，使得BM BN=？假设存在，求出实数m ；假设不存在，请说明理由.【答案】〔1〕2213x y +=；〔2〕见解析【解析】 【分析】〔1〕根据椭圆过点，代入即可求出,a b ，写出HY 方程〔2〕假设存在m ,联立直线与椭圆方程，利用韦达定理可求弦MN 中点，根据BM BN =知BP MN ⊥，利用垂直直线斜率之间的关系可求出m ，结合直线与椭圆相交的条件∆>0，可知m 不存在.【详解】〔1〕椭圆G ：22221(0)x y a b a b +=>>过点3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和点(0,1)B -， 所以1b =，由22111a ⎝⎭+=，解得23a =，所以椭圆G ：2213x y +=. 〔2〕假设存在实数m 满足题设，由2213y x mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2246310x mx m ++-=， 因为直线与椭圆有两个交点，所以()22364810mm ∆=-->，即24m <，设MN 的中点为(,)P P P x y ，M x ，N x 分别为点M ，N 的横坐标，那么324M N p x x mx +==-，从而4p p m y x m =+=，所以143p BP py m k x m ++==-， 因为BM BN=，所以BP MN ⊥，所以1BP MN k k ⋅=-，而1MN k =，所以413m m+-=-， 即2m =，与24m <矛盾，因此，不存在这样的实数m ，使得BM BN =.【点睛】此题主要考察了椭圆HY 方程的求法，直线与椭圆的位置关系，涉及根与系数的关系，中点，垂直直线斜率的关系，属于中档题.21.11()ln e x e f x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭.〔1〕求函数()f x 的极值；〔2〕设()ln(1)xg x x ax e =+-+，对于任意1[0,)x ∈+∞，2[1,)x ∈+∞，总有()()122egx f x ≥成立，务实数a 的取值范围. 【答案】(1)()f x 的极小值为：12()f e e =-，极大值为：2()f e e=(2)(,2]-∞ 【解析】试题分析:(1)先求函数的定义域,然后对函数求导,利用导数求得函数的单调区间,进而求得极值.(2)由(1)得到函数()f x 的最大值为2e,那么只需()e 212e g x ≥⋅=.求出函数()g x 的导数,对a 分成2,2a a ≤>两类,讨论函数()g x 的单调区间和最小值,由此求得a 的取值范围.试题解析:(1)()()221111x e x e e e f x x x x ⎛⎫--+⎪⎝⎭=--=-' 所以()f x 的极小值为：12f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，极大值为：()2f e e =；(2)由(1)可知当[)1,x ∈+∞时，函数()f x 的最大值为2e对于任意[)[)120,,1,x x ∈+∞∈+∞，总有()()122eg x f x ≥成立，等价于()1g x ≥恒成立，①2a ≤时，因为1x e x ≥+，所以()1112011xg x e a x a a x x =+-≥++-≥-+'≥+，即()g x 在[)0,+∞上单调递增，()()01g x g ≥=恒成立，符合题意.②当2a >时，设()11xh x e a x =+-+，()()()()222111011x x x e h x e x x +-=-=≥++'， 所以()g x '在[)0,+∞上单调递增，且()020g a ='-<，那么存在()00,x ∈+∞，使得()0g x '=所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又()()001g x g <=， 所以()1gx ≥不恒成立，不合题意.综合①②可知，所务实数a 的取值范围是(],2-∞.【点睛】本小题主要考察函数导数与极值,考察利用导数求解恒成立问题.求极值的步骤：①先求'()0f x =的根0x 〔定义域内的或者者定义域端点的根舍去〕；②分析0x 两侧导数'()f x 的符号：假设左侧导数负右侧导数正，那么0x 为极小值点；假设左侧导数正右侧导数负，那么0x 为极大值点.求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的根底上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域.〔二〕选考题：一共10分，请考生在第22、23题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题计分.C 的参数方程为12cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩〔θ为参数〕，直线l 的极坐标方程为3()4R ，直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系. 〔1〕求曲线C 的极坐标方程； 〔2〕记线段MN 的中点为P ，求OP的值.【答案】〔1〕2cos 24ρθπ⎛⎫++= ⎪⎝⎭；〔2〕OP =【解析】 【分析】〔1〕利用22sin cos 1θθ+=消去参数即可化为普通直角坐标方程，再根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化为极坐标方程〔2〕联立34πθ=和22cos 2sin 20ρρθρθ+--=，可得220ρ--=，利用极径的几何意义知12||2OP ρρ+=，即可求解.【详解】〔1〕∵曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩〔θ为参数〕，∴所求方程为222(1)(1)2x y ++-=，∵cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，∴22cos 2sin 2ρρθρθ+-=，∴曲线C 的极坐标方程为2cos 24ρθπ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.〔2〕联立34πθ=和22cos 2sin 20ρρθρθ+--=，得220ρ--=，设()1,Mρα，()2,N ρα，那么12ρρ+=12||2OP ρρ+=，得OP =.【点睛】此题主要考察了参数方程与普通方程，普通方程与及坐标方程的互化，利用极径的几何意义求弦长，属于中档题.()241f x x x =-++.〔1〕解不等式()9f x ≤；〔2〕假设不等式()2f x x a <+的解集为{}2,|30A B x x x =-<，且满足B A ⊆，务实数a 的取值范围.【答案】〔Ⅰ〕[2,4]-；〔Ⅱ〕5a ≥. 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕通过讨论x 的范围得到关于x 的不等式组，解出即可； 〔Ⅱ〕求出B ，根据集合的包含关系求出a 的范围即可． 【详解】〔Ⅰ〕()9f x ≤可化为2419x x -++≤，即>2,339x x ⎧⎨-≤⎩或者12,59x x -≤≤⎧⎨-≤⎩或者<1,339,x x -⎧⎨-+≤⎩解得2<4x ≤或者12x -≤≤，或者2<1x -≤-；不等式的解集为[]2,4-．〔Ⅱ〕易知()0,3B =；所以B A ⊆，又241<2x x x a -+++在()0,3x ∈恒成立；24<1x x a ⇒-+-在()0,3x ∈恒成立；1<24<1x a x x a ⇒--+-+-在()0,3x ∈恒成立；()()>30,305>350,35a x x a a a x x a ⎧-∈≥⎧⎪⇒⇒≥⎨⎨-+∈≥⎪⎩⎩在恒成立在恒成立． 【点睛】此题考察理解绝对值不等式问题，考察函数恒成立以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
2022年贵州省高考数学适应性试卷(理科)+答案解析(附后)
2022年贵州省高考数学适应性试卷（理科）1.设集合，，，则( )A. B.C. D.2.已知复数，则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知随机变量X 服从正态分布，若，则( )A. B. C.D.4.已知，则( )A.B.C. D.5.如图，在四面体ABCD 中，若，，E 是AC 的中点，则下列结论正确的是( )A. 平面平面ABD B. 平面平面BDC C. 平面平面BDED. 平面平面ADC6.设O 为坐标原点，F 为双曲线C ：的一个焦点，过F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，则( )A. bB. 6C.D.7.十七世纪法国数学家费马猜想形如“””是素数，我们称为“费马数”．设，，，数列与的前n 项和分别为与，则下列不等关系一定成立的是( )A.B.C.D.8.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，该几何体外接球的表面积为( )A. B.C. D.9.2022年春节期间，G 市某天从时的温度变化曲线如图近似满足函数的图像．下列说法正确的是( )A. 时这段时间温度逐渐升高B. 时最大温差不超过C. 时以下的时长恰为3小时D. 16时温度为10.函数的图像如图，则的解析式可能为( )A.B.C.D.11.已知曲线：和：，点和都在上，平行于AB 的直线l与，都相切，则的焦点为( )A. B. C. D.12.已知函数图像与函数图像的交点为，，…，，则( )A. 20B. 15C. 10D. 513.展开式的常数项为______.14.在平行四边形ABCD中，若，则______.15.如图，圆O：交x轴的正半轴于点是圆上一点，M是弧的中点，设，函数表示弦AB长与劣弧长之和．当函数取得最大值时，点M的坐标是______.16.将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级Koch曲线“”，将1级Koch曲线上每一线段重复上述步骤得到2级Koch曲线，同理可得3级Koch曲线如图，…，Koch曲线是几何中最简单的分形．若一个图形由N个与它的上一级图形相似，相似比为r的部分组成，称为该图形分形维数，则Koch曲线的分形维数是__________精确到，在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花如图飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景．六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Koch曲线组成，再将六角雪花曲线每一边生成一条1级Koch曲线得到2级十八角雪花曲线如图，…，依次得到n级角雪花曲线．若正三角形边长为1，则n级角雪花曲线的周长__________.17.如图，在中，D是AC边上一点，为钝角，证明：；若，，再从下面①②中选取一个作为条件，求的面积．①；②18.如图，在正方体中，E，F，G，H分别是棱，BC，CD，的中点．求证：E，F，G，H四点共面，记过这四点的平面为，在图中画出平面与该正方体各面的交线不必说明画法和理由；设中平面与该正方体六个面所成锐二面角大小分别为，求的值．19.北京冬奥会期间，志愿者团队“Field Cast”从所有参加冬奥会的运动健儿中分别抽取男女运动员各100人的年龄进行统计分析抽取的运动员年龄均在区间内，经统计得出女运动员的年龄频率分布直方图图和男运动员的年龄扇形分布图图回答下列问题：求图1中的a值；利用图2，估计参赛男运动员的平均年龄同一组中的数据用该组区间的中点值为代表；用分层抽样方法在年龄区间为周岁的女运动员中抽取5人，男运动员中抽取4人；再从这9人中随机抽取3人，记这3人中年龄低于20周岁运动员的人数为X，求X的分布列和数学期望．20.如图，椭圆C：的左顶点与上顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在C上，轴，，求C的方程；过F的直线l交椭圆于M，N两点，坐标平面上是否存在定点Q，使得是定值？若存在，求点Q坐标；若不存在，说明理由．21.已知函数，，e是自然对数的底数．求函数的最小值；若在上恒成立，求实数a的值；求证：22.如图，某“京剧脸谱”的轮廓曲线C由曲线和围成．在平面直角坐标系xOy中，的参数方程为为参数，且以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为求的普通方程和的直角坐标方程；已知A，，，当的面积最大时，求点P到直线AB距离的最大值．23.已知函数的定义域为集合D，最大值为m，记，其中a，b，c是正实数．求m；，求证：答案和解析1.【答案】C【解析】解：，，，，故选：先化简，再运算即可求解．本题考查集合基本运算，属基础题．2.【答案】A【解析】解：，，，解得或，故是的充分不必要条件，故选：根据复数的模得到关于a的方程，求出a的值，再根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义判断即可．本题考查了复数的模，充分必要条件以及集合的包含关系，是基础题．3.【答案】D【解析】解：随机变量X服从正态分布，，，故选：根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．本题主要考查正态分布的对称性，考查转化能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查两角和与差的正切公式、二倍角的余弦公式、同角三角函数关系式，考查学生的计算能力，属于中档题．利用两角和与差的正切公式，求出，再利用二倍角的余弦公式及同角三角函数关系式即可得出结论．【解答】解：，，，故选：5.【答案】C【解析】解：，，E是AC的中点，则，，，BE，平面BDE，平面BDE，又平面ABC，平面平面BDE，故C正确；在平面ABC内取点P，作，，垂足分别为M，N，如图，平面平面BDE，平面平面，平面BDE，则有，若平面平面ABD，同理可得，而，PM，平面ABC，平面ABC，BD与平面ABC不一定垂直，故A错误；过A作边BD上的高AF，连接CF，由≌，得CF是边BD上的高，则是二面角的平面角，而不一下是直角，即平面ABD与平面BDC不一定垂直，故B错误；平面BE，则是二面角的平面角，不一定是直角，平面ABC与平面ADC不一定垂直，故D错误．故选：利用面面垂直的判断，再结合面面关系的判断方法逐项分析判断．本题考查面面垂直的判断，考查线面垂直、面面垂直的判断等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.【答案】C【解析】解：设F为右焦点，H在第一象限，由题意可得，所以，因为，所以，故选：由双曲线的方程可得渐近线的倾斜角的正切值，进而求出其余弦值，在直角三角形中，求出的值．本题考查双曲线的性质的应用，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：由题可得：，，，排除选项A，B，又由，图象知两数列均为正项单调递增数列，且当时，，，故选：先化简，，再结合对应的函数单调性即可得正确选项．本题考查数列单调性，前n项和，以及数形结合思想，属基础题．8.【答案】B【解析】解：由三视图可知该几何体的直观图如下所示：该直三棱柱底面为等腰直角三角且，所以外接圆的直径为，设外接球的半径为R，则，所以外接球的表面积为，故选：根据三视图得到直观图，该几何体为直三棱柱，且，首先求出底面外接圆的直径，即可求出外接球的半径，从而得解．本题考查了由三视图还原几何体，几何体外接球的表面积的求解计算，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：结合图像可知，时这段时间温度先减后增，A错误；时的最大温差为，B错误；时以下的时长超过3小时，C错误；由题意得，，，，又且，所以，，所以，D正确．故选：结合函数的图像分别检验各选项即可判断．本题主要考查了由的图像求解函数解析式，还考查了利用函数图像解决实际问题的能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：当时函数无意义，，且满足故函数为偶函数，由于选项B不满足，故排除B，当时，当时，，与图象在时，出现矛盾；故排除A；当时，，但是根据函数的图象与x轴的交点坐标和与原点的距离和函数的最小值到x轴的距离相比，点到原点的距离小于函数的最小值到x轴的距离，故D错误．故选：直接利用函数的奇偶性和单调性及函数的值的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的图象和性质，排除法，函数的奇偶性和单调性，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：对于曲线：，当时，，当时，，所以，所以直线AB的斜率为，设与直线AB平行的直线为，由，得，因为直线与C相切，所以，得，因为直线与相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，所以，化简得，所以，得，因为，所以，所以曲线为，其焦点为，故选：先由题意求出A，B坐标，则可得，由于直线l平行于AB，所以设直线，再利用直线l与C相切，将直线方程代入方程中，由判别式为零可得，再由直线与相切，则圆心到直线l的距离等于半径，列方程，结合前面的式子可求出p，从而可求出拋物线的焦点坐标．本题考查了直线与圆的位置关系，抛物线的简单几何性质，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：由题可得的定义域为，其图象是4条曲线组成，在区间，，，上都单调递减，当时，，当或时，取一切实数，当时，，，即的图象关于点对称，函数定义域为R，且在R上单调递增，值域为，其图象夹在直线，之间，，因此，函数与的图象有4个交点，则，它们关于对称，不妨设点和相互对称，和相互对称，则，，所以，故选：分别判断函数与的对称性，结合函数的对称性进行求解即可．本题主要考查函数对称性的应用，结合函数奇偶性以及分式函数的性质求出函数的对称性是解决本题的关键，属于中档题．13.【答案】【解析】解：展开式的通项公式为，令，求得，故常数项为，故答案为：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．14.【答案】【解析】解：如图所示，，，，，，，故答案为：根据向量的线性运算直接可得，的值，再求出本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由题意可得函数，故，令，求得，在上，，单调递增；在上，，单调递减，故当时，取得最大值为，故答案为：由题意，利用圆的标准方程，直角三角形中的边角关系、弧长公式，求得的解析式，再利用导数求函数的最值．本题主要考查圆的标准方程，直角三角形中的边角关系、弧长公式，利用导数求函数的最值，属于中档题．16.【答案】【解析】【分析】直接观察图形得到N和r，再计算即可求出Koch曲线的分形维数；由边数和边长分别构成等比数列，表示出边数和边长的通项后，计算周长即可求出结果．本题考查简单的归纳推理，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．【解答】解：当时，有1个基本图形，时，有4个基本图形，时，有16个基本图形，故，又相似比，故边数是公比为4的等比数列，边长是公比为的等比数列，曲线的分形维数是：；又第1级六角雪花曲线边数为12，边长为，级角雪花曲线边数为，边长为，故周长故答案为：；17.【答案】解：因为，所以，故；选①，因为，所以，在中，由余弦定理可得，由正弦定理可得，所以，故，在中，因为，所以，又，所以；选②，，设，则，在中，，由得，，解得，即，在中，，所以，所以，所以【解析】根据三角形的外角和性质及诱导公式即可求解；选①，根据同角三角形的平方关系，得出，再利用余弦定理、正弦定理及锐角三角函数的定义，结合三角形的面积公式即可求解；选②，设出AD，根据勾股定理，得出BD，结合已知条件得出AD，BD，CD，利用锐角三角函数的定义，得出角C，进而得出角，再利用三角形的面积公式即可求解．本题考查了正余弦定理的应用以及三角形面积的计算，属于中档题．18.【答案】证明：连接BD，EH，FG，因为E，H分别是棱，的中点，所以，又因为F，G分别是棱BC，CD的中点，所以，故，所以E，F，G，H四点共面；分别取和的中点为I和J，连接IH，IJ，JE，由正方体性质得，，，所以多边形EFGHIJ共面，所以平面与该正方体各面的交线如下图多边形所示，解：以A为坐标原点，以的方向为x轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，设平面的法向量为，则，即，又平面的一个法向量为，故，因为平面ABCD的一个法向量为，故，因为平面的一个法向量为，故，因为平面的一个法向量为，故，因为平面的一个法向量为，故，所以，【解析】根据题意证明即可求解，再利用平行关系即可平面与该正方体各面的交线：建立空间直角坐标系，求出坐标代入公式即可，分别求出平面与正方体六个面所成的角的余弦值即可求解．本题考查了空间中点的共面问题以及二面角的向量解法，属于中档题．19.【答案】解：依题意得：，解得；用每个年龄区间的中点值作为本区间的年龄值，由图2可知：年龄区间为的频率分别为，，，，，，所以参赛男运动员的平均年龄估值为：，即男运动员的平均年龄估值为周岁；由图1可知，年龄区间为周岁的女运动员有人，年龄区间为周岁的女运动员有人，由图2可知：年龄区间为和周岁的男运动员分别有10人和30人，用分层抽样女运动员年龄在区间和应分别抽取2人与3人，男运动员年龄在区间和应分别抽取1人和3人，所以抽取的9人中年龄在区间的有3人，在的有6人，所以X的可能取值为0，1，2，3，所以，，所以X的分布列为：X 0 1 2 3P所以【解析】本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．根据频率分布直方图中所有的小矩形的面积之和为1得到方程，解得即可；根据饼形图得到各年龄区间的频率，再根据平均数公式计算可得；首先求出男、女运动员年龄在区间和各抽取的人数，则X的可能取值为0，1，2，3，求出所对应的概率，即可得到X的分布列与数学期望．20.【答案】解：由题可得①由题轴，可得，因为，所以②③由①②③解得：，所以，C的方程为当直线斜率不为0时，设直线l：，代入得，设，，则，设定点，，，要使是定值，则，解得，此时当直线l与x轴重合时，，则，综上所述，坐标系平面上存在定点，使得为定值【解析】由，建立方程组，直接求解即可；当直线斜率不为0时，设出直线方程l：，联立椭圆，通过韦达定理求得，设出定点Q，表示出，由是定值，解出Q坐标即可．本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，圆锥曲线中的探索性问题等知识，属于中等题．21.【答案】解：由，得，易得当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值；，，当时，，单调递减，此时存在，使得，不符合题意；当时，易得当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，要使得在上恒成立，则，由知，即，当且仅当时取等号，则，故当时，，此时；由知，当且仅当时取等号，令，则，，即，所以，令，则，由知当且仅当时取等号，所以当且仅当时取等号，令，则，故，即，所以，令，则，综上【解析】本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，还考查了由不等式的恒成立求参数范围问题，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．先对函数求导，然后结合导数与单调性关系可求函数的最小值；先对求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论，从而可求的最大值，结合不等式恒成立与最值关系的相互转化即可求解；由中的结论，对所得不等式进行合理赋值即可得证．22.【答案】解：的参数方程为为参数，且，转换为普通方程为；曲线的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为；已知，，，所以，，当时，；即的面积最大，最大值为，故点或，所以直线AB的方程为，整理得；所以点到直线的距离，当时，等号成立．【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用点到直线的距离公式的应用和三角函数的关系式的变换及余弦型函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．23.【答案】解：要使有意义得，解得，所以，由柯西不等式，得，当且仅当，即，所以，当时，证明：令，，，因为a，b，c是正实数，所以x，y，z是正实数，则，所以当且仅当时取等号，此时，所以，故【解析】先求出定义域，再由柯西不等式求最大值即可；令，，，化简整理得，借助基本不等式求出的最小值，等于的最大值，即得证．本题考查基本不等式，考查学生的运算能力，属于中档题．。
2023年贵州省高考数学适应性试卷(理科)+答案解析(附后)
2023年贵州省高考数学适应性试卷（理科）1. 复数在复平面上对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 设，，则( )A. B. C. D.3. 实数x，y满足约束条件则的最大值等于( )A. 0B. 2C. 3D. 44. 某校为了解高一学生一周课外阅读情况，随机抽取甲，乙两个班的学生，收集并整理他们一周阅读时间单位：，绘制了下面频率分布直方图.根据直方图，得到甲，乙两校学生一周阅读时间的平均数分别为，标准差分别为，，则于( )A. ，B. ，C. ，D. ，5. 已知函数，下列结论正确的是( )A. 是偶函数B. 在上单调递增C. 的图象关于直线对称D. 的图象与x轴围成的三角形面积为26. 在直角坐标系xOy中，锐角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点若，则( )A. B. C. D.7. 直角三角形ABC中，，，若点P满足，则( )A. 0B.C.D.8. 如图，圆柱的底面直径AB与母线AD相等，E是弧AB的中点，则AE与BD所成的角为( )A.B.C.D.9. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，已知在过滤过程中的污染物的残留含量单位：与过滤时间单位：之间的函数关系为，其中e是自然对数的底数，k 为常数，为原污染物总量.若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了，则污染物被过滤掉了所需时间约为( )A. 73hB. 75hC. 77hD. 79h10. 椭圆的上顶点为A，F是C的一个焦点，点B在C上，若，则C的离心率为( )A. B. C. D.11. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象.若的图象关于点对称，且在上单调递减，则( )A. B. C. 1 D. 212. 设，则( )A. B. C. D.13. 的展开式中的常数项为______ .14. 已知圆M：，双曲线倾斜角为锐角的直线l过M的圆心，且与N的一条渐近线平行，则l的方程为______ .15. 在中，点D在BC边上，若，，则______ .16. 如图，某环保组织设计一款苗木培植箱，其外形由棱长为单位：的正方体截去四个相同的三棱锥截面为等腰三角形后得到.若将该培植箱置于一球形环境中，则该球表面积的最小值为______17. 公比为q的等比数列的前n项和求a与q的值；若，记数列的前n项和为，求18.矩形ABCD中，，如图，将沿AC折起到的位置.点在平面ABC上的射影E在AB边上，连结如图证明：；过直线的平面与BC平行，求与所成角的正弦值.19. 为普及航空航天科技相关知识、发展青少年航空航天科学素养，贵州省某中学组织开展“筑梦空天”航空航天知识竞赛，竞赛试题有甲、乙、丙三类每类题有若干道，各类试题的每题下表所示，各小题回答正确得到相应分值，否则得0分，竞赛分三轮分之和即为选手总分.题型每小题分值每小题答对概率项目甲类题10乙类题20丙类题30其竞赛规则为：第一轮，先回答一道甲类题，若正确，进入第二轮答题：若错误，继续回答另一道甲类题，该题回答正确，否则退出比赛.第二轮，在乙类题中选择一道作答，若正确，进入第三轮答题；否则，退出比赛.第三轮，在前两轮位作答的那一类试题中选择一道作答.小明参加竞赛，有两种方案选择，方案一：先答甲类题，再答乙类题，最后答丙类题；方案二：先答甲类题，再答丙类题，最后答乙类题.各题答对与否互不影响.请完成以下解答：若小明选择方案一，求答题次数恰好为3次的概率；经计算小明选择方案一所得总分的数学期望为，为使所得总分的数学期望最大，小明该选择哪一种方案？并说明理由.20. 过点的直线l与抛物线C：交于A，B两点，O为坐标原点，求C的方程；在x轴上是否存在点T，使得直线TA与直线TB的斜率之和为定值若存在，求出点T的坐标和定值k；若不存在，请说明理由.21. 已知函数，当时，讨论函数的单调性；当时，求曲线与的公切线方程.22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，常数，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的方程为写出C的极坐标方程和l的直角坐标方程；若直线和C相交于A，B两点，以AB为直径的圆与直线l相切，求的值.23. 设，，已知函数的最小值为求证：；，求证：答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为，所以，所以复数z在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：根据复数代数形式的除法运算化简复数z，再根据复数的几何意义判断即可．本题主要考查复数的几何意义，以及复数的四则运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：，解得或，故或，故故选：解不等式得到集合B，从而求出交集．本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，画出可行域阴影部分及目标函数，因为中斜率为，z的几何意义为与y轴交点的纵坐标，故当经过点A时，取得最大值，联立，得，故，将其代入解析式，得到的最大值为故选：画出可行域及目标函数，利用几何意义得到最大值．本题考查简单线性规划相关知识，属于中档题．4.【答案】D【解析】解：根据频率分布直方图可知，，所以，，，所以故选：根据频率分布直方图求出平均数与方差，即可判断．本题主要考查频率分布直方图，平均数与方差的求法，考查运算求解能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：A选项，，画出其函数图象，如下：故不是偶函数，A错误；B选项，在上单调递减，故B错误；C选项，的图象关于直线对称，C正确；D选项，的图象与x轴围成的三角形面积为，D错误．故选：去掉绝对值，得到，画出其图象，进而判断出四个选项．本题主要考查了分段函数的图象和性质，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：因为，所以，所以，所以，又，，所以，因为点为的终边与单位圆的交点，所以，所以故选：由两角和正切公式求，结合同角关系求，根据三角函数定义求本题主要考查了两角和的正切公式，同角基本关系及三角函数定义的应用，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由题意得，，，，，，故选：利用表示，结合数量积的性质和数量积的定义，即可得出答案．本题考查平面向量数量积的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：取的中点F，连接EF，BF，DF，则，且，故四边形ADFE为平行四边形，所以，所以或其补角为AE与BD所成角，设，则，由勾股定理得：，，，由余弦定理得，故，所以AE与BD所成角为故选：作出辅助线，找到异面直线形成的夹角，求出各边长，利用余弦定理求出夹角．本题考查异面直线所成角问题，余弦定理的应用，化归转化思想，属中档题．9.【答案】C【解析】解：由题意得，化简得，两边取对数，，故，故设污染物被过滤掉了所需时间约为，则，化简得，即，解得，故污染物被过滤掉了所需时间约为故选：根据题意列出方程，求出，得到函数解析式，再设出未知数，解方程，求出答案．本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：因为，所以A，B，F三点共线，其中，不妨设，，则，由，得，，解得，，故，将其代入中得：，解得，故离心率为故选：根据向量关系得到A，B，F三点共线，表达出B点坐标，代入椭圆方程，求出离心率．本题考查椭圆的几何性质，向量的坐标运算，方程思想，属中档题．11.【答案】B【解析】解：由题意得，的图象关于点对称，故，故，，解得，，又在上单调递减，故，又，解得，则，，解得或1，故当时，满足要求，经检验，满足在上单调递减，当时，，当时，，因为在上不单调递减，不合要求，舍去，其他均不合要求．故选：先根据左加右减得到的解析式，进而根据函数关于对称，求出，，又函数的单调性得到，从而求出答案．本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：设，，则，，且，，，，单调递减，，即，，即，设，，则，设，则，设，则，在时单调递增，，即，在时单调递增，，即，在时单调递增，，，，，，，，即，故选：构造函数，，并判断单调性，得到，再构造函数，并判断单调性，得到即可．本题考查利用构造函数的单调性比较大小，属于中档题．13.【答案】【解析】解：的展开式通项公式为，令，解得，故，所以展开式中常数项为故答案为：利用二项式定理得到展开式的通项公式，求出常数项．本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．14.【答案】【解析】解：圆M：，即圆M的标准方程为，圆M：的圆心，半径，又双曲线的渐近线方程为或，直线l过圆M的圆心，且与N的一条渐近线平行，其倾斜角为锐角，直线l的方程为，即故答案为：由圆的方程求圆心，由双曲线方程求双曲线的渐近线方程，由此确定直线l的方程．本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．15.【答案】3【解析】解：在中，由正弦定理，得，①在中，由正弦定理，得，②两式相除，得，因为，，，且，所以，故，解得故答案为：在两个三角形中，分别使用正弦定理，结合，求出答案．本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．16.【答案】【解析】解：如图将正方体补全，依题意可得A、B、、D为正方体底面边上的中点，要使球的表面积最小，即为求的外接球的表面积，如图建立空间直角坐标系，则，，则几何体外接球的球心必在上、下底面中心的连线上，设球心为，球的半径为R，则，即，解得，所以，所以外接球的表面积，即该球表面积的最小值为故答案为：将正方体补全，依题意可得A、B、、D为正方体底面边上的中点，要使球的表面积最小，即为求的外接球的表面积，建立空间直角坐标系，几何体外接球的球心必在上、下底面中心的连线上，设球心为，球的半径为R，由距离公式得到方程，求出m，即可求出，从而得解．本题考查球的表面积计算，考查空间向量在立体几何中的运用，考查运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：，当时，；当时，，，，又数列为等比数列，则，又，，解得；，，当时，，【解析】根据，的关系由条件求，再结合等比数列定义，即可得出答案；先求，利用等差数列求和公式求，利用裂项相消法求和，即可得出答案．本题考查数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】证明：由题意知：平面ABC，平面ABC，所以又，平面，平面，且，所以平面又平面，所以；解：过E 作交AC 于F ，连结，由于，平面，平面，所以平面故平面即为平面建立如图所示空间直角坐标系：由于，，故，又，，，，因此，故是的一个法向量，由，又，，BC ，平面，所以平面，平面，所以，则在中可得，，，，则，，设与所成角为，则，即与平面所成角的正弦值为【解析】先证明，，由线面垂直判定定理证明平面，再证明；过E 作交AC 于F ，连结，证明平面与平面重合，建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，结合向量夹角公式求与所成角的正弦值．本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理，考查了利用空间向量求直线与平面所成的角，属于中档题．19.【答案】解：记事件“小明先答对甲类一道试题”，“小明继续答对另一道甲类试题”，“小明答对乙类试题”，“小明答对丙类试题”，则，记事件“小明答题次数恰好为3次”，则，，即小明答题次数恰好为3次的概率为；解：设小明竞赛得分为X ，由方案二知X 的可能值为0、10、40、60，，，，，所以，，因为，所以选择方案一．【解析】记事件“小明先答对甲类一道试题”，“小明继续答对另一道甲类试题”，“小明答对乙类试题”，“小明答题次数恰好为3次”，可知，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得事件E 的概率；设小明竞赛得分为X ，由方案二知X 的可能值为0、10、40、60，计算出X 在不同取值下的概率，可求得的值，与方案一的期望进行大小比较，可得出结论．本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．20.【答案】解：当直线l的斜率为0时，与抛物线交点为1个，不合要求，舍去，故设直线l的方程为，代入并整理得设，，则，由得，即，所以，即，故抛物线的方程为；假设存在满足条件的点，使，由知，，所以，化简可得：，因为上式对恒成立，所以，解得，，所以在x轴上存在点，使得直线TA与直线TB的斜率之和为【解析】先得到直线l的斜率不为0，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之积，进而由垂直得到向量数量积为0，列出方程，求出及抛物线方程；假设点，使，结合第一问得到，得到方程组，求出，本题主要考查了圆锥曲线定值问题，设出直线方程，与圆锥曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，应用设而不求的思想，进行求解，属于中档题．21.【答案】解：当时，，令，有，当时，，函数在上单调递减，，，函数在上单调递增，故，即，所以在R上单调递增；因为，，所以，，设曲线在点与曲线在的切线相同，则切线方程为，即，整理得，又切线方程也可表示为，即整理得，所以，消整理得令，，令，因为，所以函数在R上单调递增，又函数在R上单调递增，所以在R上单调递增，又，当，，，，又得，所以，，，，所以在单调递减，在单调递增，所以，因此函数只有一个零点，即只有一个解，此时切线方程为，所以曲线与的公切线方程为【解析】讨论的导函数的单调性，确定的单调性；把公切线设出来，通过待定系数法，比较系数可得切点横坐标，从而确定公切线方程．本题考查公切线，属于难题．22.【答案】解：将曲线C的参数方程为参数，常数，消去t，得C的普通方程为，且因为，所以，将，，，代入，得，即，，即为C的极坐标方程，由直线l的方程化简得，化简得，即为l的直角坐标方程．将直线代入，得，即故以AB为直径的圆圆心为O，半径圆心O到直线l的距离，由已知得，解得【解析】消去参数得到C的普通方程，再利用公式得到极坐标方程，注意定义域，再求出l的直角坐标方程；将代入C的极坐标方程，求出A，B的坐标，得到AB为直径的圆的圆心和半径，根据相切关系得到方程，求出答案．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．23.【答案】证明：因为，，，由题意得，于是，当且仅当时取等号，即由柯西不等式得，当且仅当，即，即时取等号．故【解析】由绝对值三角不等式求出，再利用基本不等式证明不等式；由柯西不等式进行证明．本题主要考查不等式的证明，考查转化能力，属于中档题．。
河南省2022届普通高中毕业班高考适应性测试理科数学试题(含答案解析)
河南省2022届普通高中毕业班高考适应性测试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合{}1,3M =，{}1,3N a =-，若{}1,2,3M N =，则a 的值是（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．12．已知复数z 满足()12i 32i z +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A ．15-B ．85-C ．1i 5-D ．8i 5-3．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，11a =，15b =，且212134a b -=，则1111a b -的值为（ ） A ．-17B ．-15C ．17D ．154．“2021年12月2日”因其数字“20211202”的对称性被很多人晒到了朋友圈，类似这样的对称性在二十一世纪，我们还能再遇到（ ） A ．6次B ．7次C ．8次D ．9次5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则该双曲线的离心率是（ ）AB C ．2D 6．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为g m ，则（ ） A ．10m >B ．10m =C ．10m <D ．以上都有可能7．已知侧棱和底面垂直的三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为3，D 为侧棱1CC 的中点，M 为侧棱1AA 上一点，且11A M =，N 为11B C 上一点，且MN ∥平面ABD ，则1NB 的长为（ ） A ．1B ．2C ．32D ．128．如图，椭圆C ：22154x y +=的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点1F ，2F 分别作弦AB ，CD .若//AB CD ，则12AF CF +的取值范围为（ ）A ．⎣B ．⎣C ．⎣D ．⎣ 9．若定义在R 上的偶函数()f x 的图象关于点()2,0对称，则下列说法错误的是（ ）A ．()()f x f x =-B ．()()220f x f x ++-=C ．()()35f f =D ．()()22f x f x +=-10．“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，，则下列选项不正确的是（ ）A ．在第9条斜线上，各数之和为55B ．在第()5n n ≥条斜线上，各数自左往右先增大后减小C ．在第n 条斜线上，共有()2114nn +--个数D ．在第11条斜线上，最大的数是37C11．已知3log 2a =，11log 5b =，lg4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a c b <<12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.为了纪念数学家高斯，人们把函数[]y x =，x ∈R 称为高斯函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]2.13-=-，[]3.13=.那么函数()[][]2sin cos sin cos f x x x x x =⋅++的值域内元素的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、填空题13．已知函数()3221f x ax a a x x =+-+-的极大值点是1-，则=a ___________.14．有两枚质地均匀，大小相同的正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，同时掷两枚骰子，则两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除的概率为___________.15．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()20a c b c -⋅-=，则c 的最大值是___________.16．已知三棱锥P ABC -中，ABC 是边长为PA PB a ==，且平面PAB ⊥平面ABC ，若三棱锥P ABC -的每个顶点都在表面积为654π的球面上，则=a ___________.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin A B C B C =++.(1)求角A 的大小；(2)若1a =，b c λ+存在最大值，求正数λ的取值范围.18．如图，1l ，2l 是两条互相垂直的异面直线，点P 、C 在直线1l 上，点A 、B 在直线2l 上，M 、N 分别是线段AB 、AP 的中点，且==PC AC a ，PA =．（1）证明：PC ⊥平面ABC ；（2）设平面MNC 与平面PBC 所成的角为()090θθ︒<≤︒．现给出下列四个条件： ①12CM AB =；①AB =；①CM AB ⊥；①BC AC ⊥． 请你从中再选择两个条件以确定cos θ的值，并求之．19．第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2月20日在中国举行，其中冰壶比赛项目是本届奥运会的正式比赛项目之一，1998年中国女子冰壶队第一次参加奥运会冰壶比赛就获得了铜牌．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN 的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN 将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O 的远近决定胜负．某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：①每人至多投3次，先在点M 处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；①自第二次投掷开始均在点A 处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；①测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷．已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5，乙得3分和2分的概率分别为0.2和0.4，甲，乙每次投掷冰壶的结果互不影响．（1）求甲通过测试的概率；（2）设Y 为本次测试中乙的得分，求Y 的分布列； （3）请根据测试结果来分析，甲，乙两人谁的水平较高？ 20．已知函数()()()ln 0f x x a x a =->. (1)当1a =时，判断函数()f x 的单调性；(2)证明函数()f x 存在最小值()g a ，并求出函数()g a 的最大值.21．已知抛物线C ：()220y px p =>，过点()2,0R 作x 轴的垂线交抛物线C 于G ，H两点，且OG OH ⊥（O 为坐标原点）. (1)求p ；(2)过()2,1Q 任意作一条不与x 轴垂直的直线交抛物线C 于A ，B 两点，直线AR 交抛物线C 于不同于点A 的另一点M ，直线BR 交抛物线C 于不同于点B 的另一点N .求证：直线MN 过定点.22．在平面直角坐标系xOy 中，1C 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，2C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)求2C 的直角坐标方程；(2)1C 与2C 相交于不同两点A 、B ，线段AB 中点为M ，点()0,1N -，若2MN =，求1C 参数方程中sin α的值.23．设函数()|||21|f x x a x a =-+++.(1)当0a =时，求不等式()2||1f x x <+的解集；(2)若0a >，且关于x 的不等式()2f x 有解，求实数a 的取值范围.参考答案：1．B 【解析】 【分析】根据集合N 和并集，分别讨论a 的值，再验证即可. 【详解】 因为{}1,2,3MN =，若110a a -=⇒=，经验证不满足题意；若121a a -=⇒=-，经验证满足题意. 所以1a =-. 故选：B. 2．B 【解析】 【分析】根据复数的概念与复数的除法运算解题即可. 【详解】 由题()()()()32i 12i 32i 18i 18i 12i 12i 12i 555z -----====--++-，所以z 的虚部为85- 故选：B 3．D 【解析】 【分析】结合等差数列的通项公式可求得121910-=d d ，进而可求出结果. 【详解】因为数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，设数列{}n a ，{}n b 的公差分别为12,d d ， 又11a =，15b =，且212134a b -=，则()()1112202034+-+=a d b d ， 即121910-=d d ，所以()()()1111121112101041015=+-+=--+-=a d b d d a b d ， 故选：D. 4．B【解析】 【分析】根据题意，直接列举求解即可. 【详解】解：由对称性可知，前两位为20，后两位为02， 因为每年有12个月，所以列举可得，在二十一世纪，有20011002,20100102，20111102,20200202,20211202， 20300302,20400402,20500502，20600602,20700702,20800802，20900902，所以在二十一世纪，我们还能再遇到7次. 故选：B 5．D 【解析】 【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率 【详解】双曲线的渐近线为by x a =±，易知b y x a=与直线230x y -+=平行，所以=2b e a ⇒==故选：D. 6．A 【解析】 【分析】设天平的左臂长为a ，右臂长b ，则ab ，售货员现将5g 的砝码放在左盘，将黄金g x 放在右盘使之平衡；然后又将5g 的砝码放入右盘，将另一黄金g y 放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为()g x y +，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论. 【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a ，右臂长为b ，则a b ，再设先称得黄金为g x ，后称得黄金为g y ，则5bx a =，5ay b =，5a x b ∴=，5b y a=，555510a b a b x y b a b a ⎛⎫∴+=+=+≥⨯ ⎪⎝⎭， 当且仅当a bb a=，即a b =时等号成立，但a b ，等号不成立，即10x y +>.因此，顾客购得的黄金10m >. 故选：A. 7．B 【解析】 【分析】通过构造面面平行，得到//MN 平面ABD ，再利用三角形相似，求得1NB 的长度. 【详解】如图，取1BB 上一点F ，11B F =，延长1DC 至点E ，使2DE =，连接EF ，使//EF BD ，11EFB C N =，连接ME ，//,BF DE BF DE =，∴四边形FBDE 是平行四边形，//EF BD ∴ EF ⊄平面ABD ，//EF ∴平面ABD ， MF AB //，同理//MF 平面ABD ，且MFEF F =，∴平面//MEF 平面ABD ，MN ⊂平面MEF ，//MN ∴平面ABD ，1112EC DE DC =-=，11B FN ENC ，111121B F B N EC NC ∴== 又113B C =，12NB ∴=故选：B【解析】 【分析】分直线斜率不存在和存在两种情况，当直线AB 的斜率不存在，可求出点,A B 的坐标，从而可得12AF CF AB +=，当直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =+≠，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系，表示出12x x +，从而可表示出1AF ，1BF ， 进而可表示12AF CF + 【详解】解：由椭圆的对称性可知AB CD =，12AF DF =，12BF CF =. 设点()11,A x y ，()22,B x y .若直线AB的斜率不存在，则点A ⎛- ⎝⎭，1,B ⎛- ⎝⎭，所以AB =，所以12AF CF AB +==. 若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =+≠，联立22(1),1,54y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()222245105200k x k x k +++-=，0∆>，则21221045k x x k +=-+. 又11AF =，同理可得12BF =，所以)1212||AF CF AB x x +==+==⎝，所以12AF CF +∈⎝. 综上，12AFCF +的取值范围为⎣， 故选:C.【解析】 【分析】由偶函数即可判断A 选项，由()f x 的图象关于点()2,0对称可判断B 、D 选项，特值检验即可判断C 选项. 【详解】因为()f x 为偶函数，则()()f x f x =-，故A 正确；因为()f x 的图象关于点()2,0对称，对于()f x 的图象上的点(),x y 关于()2,0的对称点()4,--x y 也在函数图象上，即()()4-=-=-f x y f x ，用2x +替换x 得到，()()422-+=-+⎡⎤⎣⎦f x f x ，即()()220f x f x ++-=，故B 正确；令1x =，则()()31f f =-，令3x =，则()()()511=--=-f f f ，则()()35f f =，故C 正确；由B 知，()()()222f x f x f x +=--=--，故D 错误； 故选：D. 10．A 【解析】 【分析】根据从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，得到数列规律为12n n n a a a +++=判断A 选项，再根据杨辉三角得到第n 条斜线上的数为：()012341123451,,,,,,,,k k n n n n n n k n k C C C C C C C --------+，进而判断BCD.【详解】从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，，其规律是12n n n a a a +++=，所以第9条斜线上各数之和为13+21=34，故A 错误； 第1条斜线上的数：00C ， 第2条斜线上的数：11C ；第3条斜线上的数：0121,C C ，第4条斜线上的数：0132,C C ，第5条斜线上的数：012432,,C C C ，第6条斜线的数：012543,,C C C ， ……，依此规律，第n 条斜线上的数为：()012341123451,,,,,,,,k kn n n n n n k n k C C C C C C C --------+，在第11条斜线上的数为0123451098765,,,,,C C C C C C ，最大的数是37C ， 由上面的规律可知：n 为奇数时，第n 条斜线上共有12224n n ++=个数； n 为偶数时，第n 条斜线上共有共有224nn=个数， 所以第n 条斜线上共()2114nn +--，故C 正确；由上述每条斜线的变化规律可知：在第(5)n n 条斜线上，各数自左往右先增大后减小，故B 正确. 故选：A. 11．B 【解析】 【分析】利用对数的单调性进行判断即可. 【详解】因为235125,11==112311log 5lo 2113g b =>=，因为2233=23332log 2log 33<=，即23<a ，因为4=2310232lg 4lg103<=，即23c <，，因为3lg 2lg 2lg3lg 4lg 2(12lg3)lg 2(1lg9)log 2lg 4lg 40lg3lg3lg3lg3a c ----=-=-===>， 所以a c >，即c ab <<， 故选：B 【点睛】关键点睛：根据对数函数的单调性，结合特殊值法进行比较是解题的关键.12．C 【解析】 【分析】化简函数解析式，判断函数值域，进而得解. 【详解】由()[][][]2sin cos sin cos sin 24f x x x x x x x π⎤⎛⎫=⋅++=++ ⎪⎥⎝⎭⎦，所以函数()f x 的周期2T π=， 故只需求[)0,2x π∈的值域. 当0x =时，函数()011f x =+=，当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数sin 2y x =与函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭均单调递增，所以(){}1,2f x ∈，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =与函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，所以(){}1,2f x ∈，当324x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，时，函数sin 2y x =与函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，所以(){}0,1f x ∈，当34x π=时，函数()101f x =-+=-，当3,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =单调递增，函数4y x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减，所以(){}1,0f x ∈-，当x π=时， ()()011f x =+-=-，当5,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =单调递增，函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，所以(){}1,0f x ∈-，当54=x π时，()()110f x =+-=，当53,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =单调递减，函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增，所以(){}1,0f x ∈-，当32x π=时，()()011f x =+-=-，当37,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =单调递减，函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增，所以(){}1,0f x =-，当74x π=时，()()101f x =-+=-，当7,24x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =单调递增，函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增，所以(){}1,0,1f x ∈-，综上所述(){}1,0,1,2f x ∈-， 故选：C. 13．1 【解析】 【分析】求导，由(1)0f '-=解出a ，检验1-是极大值点. 【详解】()232f x x ax a '=+-，由极大值点是1-，得(1)0f '-=，320a a --=，1a =.此时，()()232131(1)f x x x x x '=+-=-+ ，()f x 在()1,1,,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，极大值点是1-，满足题意.故答案为：1. 14．512【解析】 【分析】根据题意，列举基本事件总数，和满足条件的基本事件数，进而根据古典概型求解即可. 【详解】解：两枚相同的正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6， 同时掷两枚骰子，基本事件有：()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6，()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6，()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6，()()()()()()4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6，()()()()()()5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6，()()()()()()6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6，共有6636⨯=种，两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除包含的基本事件有：(1,6),(2,3),(2,6),(3,2),(3,4),(3,6),(4,3),(4,6)，(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，共15种，所以两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除的概率为1553612P ==. 故答案为：51215【解析】 【分析】首先根据数量积公式展开，再化简25cos c α=，利用三角函数的有界性求最值. 【详解】()()()220220a c b c a b a b c c-⋅-=⇔⋅-+⋅+=，则()222c a b c =+⋅，设()2a b +与c 的夹角为α， 而222445a b a a b c +=+⋅+=，∴()2222cos 5cos c a b c a b c c αα=+⋅=+=，即25cos c α=，所以max52c=.16 【解析】 【分析】取AB 的中点E ，连接,PE CE ，证得PE ⊥平面ABC ，CE ⊥平面PAB ，取ABC 的外心F ，作//FM PE ，取PAB △的外心H ，过点H 作EF 的平行线交FM 于点O ，得到点O 为三棱锥P ABC -外接球的球心，结合球的性质及勾股定理建立方程后可求得答案. 【详解】取AB 的中点E ，连接,PE CE ，则,PE AB CE AB ⊥⊥，因为平面PAB ⊥平面ABC ，所以可得PE ⊥平面ABC ，CE ⊥平面PAB ， 取ABC 的外心F ，作//FM PE ，则,,,F M E P 四点共面， 取PAB △的外心H ，过点H 作EF 的平行线交FM 于点O ， 因为EF 垂直平面PAB ，则HO ⊥平面PAB ，所以点O 到,,,A B C P 四点的距离相等，所以点O 为三棱锥P ABC -外接球的球心，在PAB △中，22212cos 2a a APB a +-∠=，根据三角函数同角的平方关系可得sin APB ∠ 所以PAB △外接圆的半径PH =，连接OP ，可求得1OH EF ==， 由三棱锥P ABC -外接球的表面积为654π，则有2265654416R R ππ=⇒=，所以2222216516R OP H O PH ==+=+=，解得a =17．(1)23π (2)1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化，结合余弦定理可求得角A ；（2）利用正弦定理边角互化，将b c λ+的最大值转化为三角函数的最大值求解，从而列关于λ的不等式求解.(1)由正弦定理，222sin sin sin sin sin A B C B C =++可化为222a b c bc =++，所以222b c a bc +-=-.由余弦定理，得2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-. 又()0,A π∈，所以23A π=. (2)由正弦定理sin sin sin b c a B C A ===，得)()sin sin sin sin b c B C A C C λλλ+=+=++⎤⎦()1sin 2C C C λϕ⎤⎛⎫+-=+⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，其中2tan 12ϕλ=-因为0,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，要使b c λ+存在最大值，即2C πϕ+=有解，所以,62ππϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭>，即0213λ<-<，所以正数λ的取值范围为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.18．（1）证明过程见解析 （2）cosθ=【解析】 【分析】（I ）在△P AC 中根据PC ＝AC ＝a，PA =，三边满足勾股定理则PC ⊥AC ，根据题意可知PC ⊥AB ，又AC ∩AB ＝A ，满足线面垂直的判定定理，从而得证；（II ）本小问具有开放性，由选择确定cos θ的大小，根据AC ⊥BC ，且AB ，AC ＝a则BC ＝a ，以C 为坐标原点，CB 、CA 、CP 的方向为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系，CA =（0，a ，0）是平面PBC 的一个法向量，然后求出平面MNC 的法向量n ，然后根据cos n ＜，n CA CA n CA⋅=⋅＞，从而求出cos θ的值．【详解】证明：(1) 在△P AC 中∵PC ＝AC ＝a ，PA =． ∴PC 2+AC 2＝P A 2，∴PC ⊥AC∵l 1、l 2是两条互相垂直的异面直线，点P 、C 在直线l 1上，点A 、B 在直线l 2上， ∴PC ⊥AB ，又AC ∩AB ＝A ∴PC ⊥平面ABC（2）方案一：选择②④可确定cos θ的大小 ∵AC ⊥BC ，且AB =，AC ＝a ∴BC ＝a以C 为坐标原点，CB 、CA 、CP 的方向为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系 则C （0，0，0），B （a ，0，0），A （0，a ，0），P （0，0，a ） 又M 、N 分别是线段AB 、AP 的中点， ∴M （2a ，2a ，0），N （0，2a ，2a ）∵CA ⊥平面PBC∴CA =（0，a ，0）是平面PBC 的一个法向量 设平面MNC 的法向量n =（x ，y ，z ） 由n CN n CM ⎧⊥⎨⊥⎩得022022aa y z a a x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取x ＝1，得n =（1，﹣1，1）为平面MNC 的一个法向量 ∴cos n ＜，3n CA a CA an CA⋅-===⋅＞∴cos θ方案二：选择①④可确定cos θ的大小,,CM AB BC AC a ⊥∴==又BC AC ⊥，下同方案一方案三：选择②①可确定cos θ的大小,,CM AB BC AC a ⊥∴==又2AB a =，BC AC ∴⊥，下同方案一.（注：①①等价，不能确定，①①可转化为①①，①①可转化为①①）【点睛】本题要求空间中二面角的余弦值，可以利用平面的法向量的夹角，从而求出二面角的余弦值，注意要建立适当的直角坐标系，属于中档题． 19．（1）0.3；（2）答案见解析；（3）甲. 【解析】 【分析】（1）根据题意甲通过测试包括第一次没通过第二次和第三次通过，或者第一次通过，第二次或第三次有一次通过，故得分分别为4分或者5分，然后求出概率即可；（2）根据题意可求出乙的可能得分为0，2，3，4，5，然后依次求出概率即可得到分布列；（3）比较甲乙通过测试的概率即可得出结论. 【详解】解：（1）若甲通过测试，则甲的得分X 为4或5，()0.90.50.540.225P X =⨯==⨯，()50.10.50.50.10.50.0250.050.075P X ==⨯⨯+⨯=+=，所以()()0.2250.0750.345P P X X ===+=+=． （2）Y 的可能取值为0，2，3，4，5．()0.80.60.600.288P Y =⨯==⨯，()0.80.40.60.80.60.40.3842P Y =⨯⨯+⨯⨯==，()0.20.60.630.072P Y =⨯==⨯， ()40.80.40.40.128P Y ==⨯⨯=，()0.20.60.40.20.40.5128P Y =⨯⨯==+⨯．（3）甲水平高 理由如下：乙通过测试的概率()()450.1280.1280.256P P Y P Y ==+==+= 甲通过测试的概率0.3大于乙通过测试的概率0.256． 【点睛】求相互独立事件同时发生的概率的步骤： （1）首先确定各事件是相互独立的； （2）再确定格式件会同时发生； （3）求出每个事件发生的概率，再求积. 20．(1)在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增 (2)证明见解析，()max 0g a = 【解析】 【分析】（1）将1a =代入后求导，利用导数判断原函数单调性即可.（2）通过二次求导证明()f x '单调递增，然后利用零点存在定理判断()f x '在区间)a 上存在唯一零点，然后利用隐零点思想得到最小值()g a ，最后再构造新函数()g a 求出其最大值，注意在判断零点所在区间时要合理利用放缩思想，这一步为此题难点. (1) 由题意知，()()1ln f x x x =-，()()1ln 10f x x x x '=+->，()210x f x x+''=>.所以函数()f x '单调递增.又()10f '=，所以当01x <<时()0f x '<，函数()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增.所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. (2)由题意知，()()ln 10a f x x x x '=+->，()20x af x x+''=>. 所以函数()f x '单调递增. 令()ln 1h x x x =-+，则()1xh x x-'=. 当01x <<时，()0h x '>，函数()h x 单调递增；当1x >时，()0h x '<，函数()h x 单调递减. 所以()()max 10h x h ==，即ln 1≤-x x .所以()ln 1a af x x xx x'=+-≤-，即0f '≤=. 另一方面，()0e ln e 1110e e a aa a a f a '=+->+-=>，所以存在)at ∈，使得()ln 10a f t t t'=+-=，① 即当0x t <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当x t >时，()0f x '>，()f x 单调递增. 所以函数()f x 存在最小值()()()ln f t g a t a t ==-.由①式，得ln a t t t -=.所以()()20t a g a t-=-≤（当且仅当a t =，即ln 0a =，1a =时，等号成立）.所以()()max 10g a g ==，即为所求. 【点睛】导数问题中，求导后发现导数无法因式分解，或者无法直接求出零点时的一个常用方法就是隐零点，利用设而不求思想得到最值，然后利用该隐零点所满足的等式关系进代换，从而能够方便的解题，例如本题中：ln a tt t-=即为可代换的式子. 21．(1)1p =(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由题意知2RG OR ==，不妨设()2,2G ，代入抛物线方程中可求出p 的值，（2）设211,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233,2y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,2y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则可表示出直线AB ，AM ，BN 的方程，再由直线AB 过()2,1Q 及直线AM ，BN 过()2,0R 可得()121240y y y y -++=，13244y y y y ==-，再表示出直线MN 的方程，结合前面的式子化简可得结论(1)由题意知，2RG OR ==.不妨设()2,2G ，代入抛物线C 的方程，得44p =解得1p =.(2)由（1）知，抛物线C 的方程为22y x =. 设211,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233,2y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,2y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则直线AB 的斜率为12221212222AB y y k y y y y -==+-. 所以直线AB 的方程为2111222y y x y y y ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，即()121220x y y y y y -++=. 同理直线AM ，BN ，MN 的方程分别为()131320x y y y y y -++=，()242420x y y y y y -++=，()343420x y y y y y -++=， 由直线AB 过()2,1Q 及直线AM ，BN 过()2,0R 可得()121240y y y y -++=，13244y y y y ==-.又直线MN 的方程为()343420x y y y y y -++=，即1212441620x y y y y y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭.所以直线MN 的方程为()1212280y y x y y y +++=.把()121240y y y y -++=代入()1212280y y x y y y +++=，得()12122480y y x y y y +++=， ()122)880(y y x y y +++=，所以由20x y +=，880y +=可得2x =，1y =-.所以直线MN 过定点()2,1-.22．(1)()()22112x y -+-= (2)35或1 【解析】【分析】（1）将曲线2C 的极坐标方程化为22cos 2sin =+ρρθρθ，再利用极坐标方程与普通方程之间的转换关系可得出曲线2C 的直角坐标方程；（2）设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线的方程代入曲线2C 的普通方程，根据已知条件结合韦达定理可得出关于sin α的二次等式，即可解得sin α的值.(1)解：由4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭得2cos 2sin =+，所以22cos 2sin =+ρρθρθ， 将cos sin x yρθρθ=⎧⎨=⎩代入得2222x y x y +=+，即()()22112x y -+-=， 所以2C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=；(2) 解：将cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩代入()()22112x y -+-=整理得()22cos 4sin 30t t αα-++= 设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，则1t 、2t 是方程()22cos 4sin 30t t αα-++=的两根，所以122cos 4sin t t αα+=+，因为2MN =，所以1222t t +=，所以cos 2sin 2αα+=，此时()222cos 4sin 1242120αα∆=+-=⨯->，所以()221sin 41sin αα-=-，所以()()5sin 3sin 10αα--=，所以3sin 5α=或sin 1α=. 23．(1)(2,0)-(2)01a <<【解析】【分析】（1）分类讨论方式求绝对值不等式的解集.（2）分类讨论求绝对值不等式的含参解集，再根据不等式()2f x 有解，结合解集和对应x 的范围求参数范围，然后取并即可.(1)由题设，()|||21|2||1f x x x x =++<+，即|21|||1x x +-<， 当12x <-时，211x x --+<，可得122x -<<-； 当102x -≤<时，211x x ++<，可得102x -≤<； 当0x ≥时，211x x +-<，无解；综上，20x -<<，即不等式解集为(2,0)-.(2)由题设，0a >，()|||21|2f x x a x a =-+++<有解， 当12a x +<-时，312x --<，则1x >-，此时有解112a +->-，得：1a <； 当12a x a +-≤<时，212x a ++<，则12x a <-，此时有解1122a a +-<-，得：1a <； 当x a ≥时，312x +<，则13x <，此时有解13a <； 综上，要使0a >，()2f x 有解，则01a <<.。
河南省部分学校2023届高三高考仿真适应性测试理科数学试题
一、单选题1. 已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）A ．（2，3）B ．（2，3]C ．[2，3）D ．[2，3]2.抛物线：的准线与轴交于点，焦点为，点是抛物线上的任意一点，令，当取得最大值时，直线的斜率是A．B．C．D．3. 若从无穷数列中任取若干项（其中）都依次为数列中的连续项，则称是的“衍生数列".给出以下两个命题:（1）数列是某个数列的“衍生数列”；（2）若各项均为0或1，且是自身的“衍生数列”，则从某一项起为常数列.下列判断正确的是（ ）.A ．（1）（2）均为真命题B ．（1）（2）均为假命题C ．（1）为真命题，（2）为假命题D ．（1）为假命题，（2）为真命题4.若，则（ ）A．B．C．D．5. 已知随机变量服从正态分布, 且,则A．B．C．D．6. 设集合，，则A．B．C．D．7. 某地为方便群众接种新冠疫苗，开设了，，，四个接种点，每位接种者可去任一个接种点接种．若甲，乙两人去接种新冠疫苗，则两人不在同一接种点接种疫苗的概率为（ ）A．B．C．D．8.已知双曲线的左､右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为A ，若，则此双曲线的渐近线为（ ）A．B．C．D．9.已知，则（）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >c >aD ．c >a >b10. 已知函数，则的一个单调递减区间是( )A．B．C．D．11. 已知i 是虚数单位,若复数z满足,则=A ．-2iB ．2iC ．-2D ．212. 已知，，c =40.1，则（ ）A．B．C．D．河南省部分学校2023届高三高考仿真适应性测试理科数学试题二、多选题13. 已知某种垃圾的分解率为，与时间（月）满足函数关系式（其中，为非零常数），若经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，那么这种垃圾完全分解，至少需要经过（ ）（参考数据：）A ．48个月B ．52个月C ．64个月D ．120个月14.已知函数，则下列结论正确的是（ ）A ．是偶函数，递增区间是B．是偶函数，递减区间是C ．是奇函数，递减区间是D ．是奇函数，递增区间是15. 已知直线经过点，那么直线的斜率是（ ）A．B．C ．1D ．216. 若a 、b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“a ＜”或“b＞”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件17. 若随机变量Ｘ服从两点分布，且，则（ ）A．B．C．D．18.如图所示，在长方体中，是的中点，直线交平面于点，则（）A ．三点共线B ．的长度为1C ．直线与平面所成角的正切值为D ．的面积为19. 已知异面直线与直线所成角为，过定点的直线与直线、所成角均为，且平面与平面的夹角为，直线与平面所成角均为，则对于直线的条数分析正确的是（ ）A ．当时，直线不存在B．当 时，直线有3条C ．当时，直线有4条D ．当时，直线有4条20. 对于函数，下列说法正确的是（ ）A ．在处取得极大值B．有两个不同的零点C．D ．若在上恒成立，则三、填空题四、解答题21.设复数的共轭复数为，则下列结论正确的有（ ）A．B．C．D．22.已知正四面体的棱长为2，M ，N 分别为和的重心，为线段上一点，则下列结论正确的是（ ）A．若取得最小值，则B．若，则平面C ．若平面，则三棱锥外接球的表面积为D ．直线到平面的距离为23. 下列说法中的是（ ）A．B ．若且，则C ．若非零向量且，则D ．若，则有且只有一个实数，使得正确24.设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（ ）A．B．当时，的最大值为C．数列为等差数列，且和数列的首项、公差均相同D ．数列前项和为，最大25. 已知函数对任意的满足，且当时，，若有4个零点，则实数a 的取值范围是______．26.已知三棱锥的所有棱长都相等，点O 是的中心，点D 为棱PC 上一点，平面ABD 把三棱锥分成体积相等的两部分，平面ABD 与PO 交于点E ，若点P ，A ，B ，C都在球的表面上，点E ，A ，B ，C 都在球的表面上，则球与球表面积的比值为______．27. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的取值范围为______．28. 的展开式的各项二项式系数之和为32，各项系数和为1，则展开式中的系数为_________.29. 设点在单位圆的内接正六边形的边上，则的取值范围是__________.30.设函数是定义域为的奇函数，且，则____________．31. 点M （2，-2）到直线的距离为______.32. 函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，对，均有，则______.33. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点满足.(1)化简曲线的方程；(2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点A 作直线的垂线，交于两点，求五、解答题面积的最小值.34. 已知数列是公比为2的等比数列，数列是等差数列，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．35. 在△ABC 中，已知角A 为锐角，且.（1）将化简成的形式；（2）若，求边AC 的长.36. 已知椭圆C ：（）的离心率为，左顶点A 到右焦点的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A ），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求在上的射影的轨迹方程.37. 已知，求下列各式的值(1)；(2)38.在中，，，．(1)求A 的大小；(2)求外接圆的半径与内切圆的半径．39. 如图所示，在三棱锥A -BCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且.（1）在∠BDC 的角平分线上，是否存在一点O ，使得AO ∥平面EFC ？若存在，请作出证明；若不存在，请说明理由；（2）若平面BCD ⊥平面ADC ，BD ⊥DC ，，求二面角F -EC -D 的正切值.40.如图，在正方体中，E 是棱上的点（点E 与点C ，不重合）．(1)在图中作出平面与平面ABCD 的交线，并说明理由；(2)若正方体的棱长为1，平面与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为，求线段CE 的长．41. 开学初学校进行了一次摸底考试，物理老师为了了解自己所教的班级参加本次考试的物理成绩的情况，从参考的本班同学中随机抽取名学生的物理成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的学生中成绩在内的有3人．（1）求的值，并估计本班参考学生的平均成绩；（2）已知抽取的名参考学生中，在的人中，女生有甲、乙两人，现从的人中随机抽取2人参加物理竞赛，求女学生甲被抽到的概率．42. 如图，已知平行六面体的底面是菱形，，，且.(1)试在平面内过点作直线，使得直线平面，说明作图方法，并证明：直线；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.43. 如图，在四棱锥中，平面，底面满足，且，，三角形的面积为(1)画出平面和平面的交线，并说明理由(2)求点到平面的距离44. 今年春节期间，在为期5天的某民俗庙会上，某摊点销售一种儿童玩具的情况如下表：日期天气2月13日2月14日2月15日2月16日2月17日小雨小雨阴阴转多云多云转阴销售量上午4247586063下午5556626567由表可知：两个雨天的平均销售量为100件/天，三个非雨天的平均销售量为125件/天.（1）以十位数字为茎，个位数字为叶，画出表中10个销售数据的茎叶图，并求出这组数据的中位数；六、解答题（2）假如明天庙会5天中每天下雨的概率为，且每天下雨与否相互独立，其他条件不变，试估计庙会期间同一类型摊点能够售出的同种儿童玩具的件数；（3）已知摊位租金为1000元/个，该种玩具进货价为9元/件，售价为13元/件，未售出玩具可按进货价退回厂家，若所获利润大于1200元的概率超过0.6，则称为“值得投资”，那么在（2）的条件下，你认为“值得投资”吗?45.如图，正四棱柱中，，点在上且．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．46.如图，正三棱柱中，，，，分别是棱，的中点，在侧棱上，且.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.47.如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点．(1)求证：平面；(2)若，，求三棱锥的体积．48. 已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）当时，求证：．49. 已知四边形ABCD 为平行四边形，E 为CD 的中点，AB =4，为等边三角形，将三角形ADE 沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置，且平七、解答题面平面ABCE.(1)求证：；(2)试判断在线段PB 上是否存在点F ，使得平面AEF 与平面AEP 的夹角为45°.若存在，试确定点F 的位置；若不存在，请说明理由.50.已知数列的前n项和为，且，，数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.51. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将个样本数据按、、、、、分成组，并整理得到如下频率分布直方图.(1)请通过频率分布直方图估计这份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.(2)以样本频率估计概率，若竞赛成绩不低于分，则被认定为成绩合格，低于分说明成绩不合格.从参加知识竞赛的市民中随机抽取人，用表示成绩合格的人数，求的分布列及数学期望.52. 中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示．材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W 来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W 较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列，圆形截面正方形截面矩形截面条件r 为圆半径a 为正方形边长h 为矩形的长，b 为矩形的宽，抗弯截面系数(1)假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明；(2)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如下图所示，请问为何值时，其抗弯截面系数取得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理．53. 某校举办歌唱比赛，七名评委对甲、乙两名选手打分如下表所示：评委选手甲91949692939795选手乙929590969491(1)若甲和乙所得的平均分相等，求的值；(2)在（1）的条件下，从七名评委中任选一人，求该评委对甲的打分高于对乙的打分的概率；(3)若甲和乙所得分数的方差相等，写出一个的值（直接写出结果，不必说明理由）．54. 某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中.(1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率；(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.55. 随着生活节奏的加快､生活质量的提升，越来越多的居民倾向于生活用品的方便智能.如图是根据2016—2020年全国居民每百户家用汽车拥有量（单位：辆）与全国居民人均可支配收入（单位：万元）绘制的散点图.(1)由图可知，可以用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；（过程和结果保留两位小数）(2)已知2020年全国居民人均可支配收入为32189元，若从2020年开始，以后每年全国居民人均可支配收入均以6%的速度增长，预计哪一年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆.参考数据：2.8232.560.46 5.27，，.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.56. 甲乙二人均为射击队S中的射击选手，某次训练中，二人进行了100次“对抗赛”，每次“对抗赛”中，二人各自射击一次，并记录二人射击的环数，更接近10环者获胜，环数相同则记为“平局”．已知100次对抗的成绩的频率分布如下：“对抗赛”成绩（甲：乙）总计频数21136251510424100八、解答题这100次“对抗赛”中甲乙二人各自击中各环数的频率可以视为相应的概率．(1)设甲，乙两位选手各自射击一次，得到的环数分别为随机变量X ，Y，求，，，．(2)若某位选手在一次射击中命中9环或10环，则称这次射击成绩优秀，以这100次对抗赛的成绩为观测数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为甲的射击成绩优秀与乙的射击成绩优秀有关联？(3)在某次团队赛中，射击队S 只要在最后两次射击中获得至少19环即可夺得此次比赛的冠军，现有以下三种方案：方案一：由选手甲射击2次﹔方案二：由选手甲、乙各射击1次；方案三：由选手乙射击2次．则哪种方案最有利于射击队S 夺冠？请说明理由．附：参考公式：参考数据：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82857. 已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，短轴长为．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l 与椭圆C 相切于点A ，A 关于原点O 的对称点为点B ，过点B 作，垂足为M ，求面积的最大值．58.在中，已知.(1) 求的值；(2)若，求的面积.59.在中，内角的对边分别为，已知.(1)求角A 的大小；(2)若的面积为，且，求的周长.60. 已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)设函数有两个极值点，证明：．61. 年是决胜全面建成小康社会、决战脱贫攻坚之年，面对新冠肺炎疫情和严重洪涝灾害的考验.党中央坚定如期完成脱贫攻坚目标决心不动摇，全党全社会戮力同心真抓实干，取得了积极成效．某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示:土地使用面积（单位：亩）管理时间（单位：月）并调查了某村名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示;愿意参与管理不愿意参与管理男性村民女性村民（1）做出散点图，判断土地使用面积与管理时间是否线性相关;并根据相关系数说明相关关系的强弱．(若，认为两个变量有很强的线性相关性，值精确到) .参考公式：参考数据：（2）完成以下列联表，并判断是否有的把握认为该村的村民的性别与参与管理意愿有关.愿意参与管理不愿意参与管理合计男性村民女性村民62. 《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图所示，四面体中，平面，，是棱的中点．(I)证明：．并判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由．(Ⅱ)若四面体是鳖臑，且，求二面角的余弦值．。
普通高等学校招生全国统一考试适应性测试(九省联考)数学试题(解析版)
2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题注意事项：]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（）A.14B.16C.18D.20【答案】B【详解】将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，则其中位数为16.故选：B.2.椭圆2221(1)x y a a+=>的离心率为12，则=a （）A.233B.C.D.2【答案】A【详解】由题意得112e a ==，解得233a =，故选：A.3.记等差数列{}n a 的前n 项和为3712,6,17n S a a a +==，则16S =（）A.120B.140C.160D.180【答案】C 【解析】【分析】利用下标和性质先求出512a a +的值，然后根据前n 项和公式结合下标和性质求解出16S 的值.【详解】因为37526a a a +==，所以53a =，所以51231720a a +=+=，所以()()116165121681602a a S a a +⨯==+=，故选：C.4.设,αβ是两个平面，,m l 是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A.若,,m l αβαβ⊥∥∥，则m l ⊥B.若,,m l m l αβ⊂⊂∥，则αβ∥C.若,,m l l αβαβ= ∥∥，则m l ∥D.若,,m l m l αβ⊥⊥∥，则αβ⊥【答案】C 【解析】【分析】由线面平行性质判断真命题，举反例判定假命题即可.【详解】对于A ，,m l 可能平行，相交或异面，故A 错误，对于B ，,αβ可能相交或平行，故B 错误，对于D ，,αβ可能相交或平行，故D 错误，由线面平行性质得C 正确，故选：C5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（）A.20种B.16种C.12种D.8种【答案】B 【解析】【分析】分类讨论：乙丙及中间2人占据首四位、乙丙及中间2人占据尾四位，然后根据分类加法计数原理求得结果.【详解】因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位，①当乙丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，排乙丙有22A 种方法，排甲有12A 种方法，剩余两个位置两人全排列有22A 种排法，所以有212222A A A 8⨯⨯=种方法；②当乙丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，排乙丙有22A 种方法，排甲有12A 种方法，剩余两个位置两人全排列有22A 种排法，所以有212222A A A 8⨯⨯=种方法；由分类加法计数原理可知，一共有8816+=种排法，故选：B.6.已知Q 为直线:210l x y ++=上的动点，点P 满足()1,3QP =-，记P 的轨迹为E ，则（）A.EB.E 是一条与l 相交的直线C.E 上的点到lD.E 是两条平行直线【答案】C 【解析】【分析】设(),P x y ，由()1,3QP =-可得Q 点坐标，由Q 在直线上，故可将点代入坐标，即可得P 轨迹E ，结合选项即可得出正确答案.【详解】设(),P x y ，由()1,3QP =-，则()1,3Q x y -+，由Q 在直线:210l x y ++=上，故()12310x y -+++=，化简得260x y ++=，即P 的轨迹为E 为直线且与直线l 平行，E 上的点到l的距离d ==A 、B 、D 错误，C 正确.故选：C .7.已知3ππ,π,tan24tan 44θθθ⎛⎫⎛⎫∈=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21sin22cos sin2θθθ+=+（）A.14 B.34C.1D.32【答案】A 【解析】【分析】根据正弦、余弦、正切二倍角公式，将21sin22cos sin2θθθ++齐次化即可得出答案.【详解】由题3ππ,π,tan24tan 44θθθ⎛⎫⎛⎫∈=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得()()224tan 12tan 4tan 12tan 1tan 1tan θθθθθθ-+=⇒-+=--，则()()2tan 1tan 20tan 2θθθ++=⇒=-或1tan 2θ=-，因为()3π,π,tan 1,04θθ⎛⎫∈∈-⎪⎝⎭，所以1tan 2θ=-，222221sin2sin cos 2sin cos tan 12tan 2cos sin22cos 2sin cos 22tan θθθθθθθθθθθθθ+++++==+++()11114214+-==+-.故选：A8.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过坐标原点的直线与C 交于,A B 两点，211222,4F B F A F A F B a =⋅=，则C 的离心率为（）A.B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】由双曲线的对称性可得12F A F B =、12F B F A =且四边形12AF BF 为平行四边形，由题意可得出21F BF ∠，结合余弦定理表示出与a 、c 有关齐次式即可得离心率.【详解】由双曲线的对称性可知12F A F B =，12F B F A =，有四边形12AF BF 为平行四边形，令12F A F B m ==，则122F B F A m ==，由双曲线定义可知212F A F A a -=，故有22m m a -=，即2m a =，即122F A F B m a ===，124F B F A a ==，2222222cos 24cos 4F A F B F A F B AF B a a AF B a ⋅=⋅∠=⨯∠=，则21cos 2AF B ∠=，即23AF B π∠=，故212π3F BF ∠=，则有()()()222222121221124221cos 22422a a c F B F B F F F BF F B F Ba a+-+-∠===-⋅⨯⨯，即2222041162a c a -=-，即2204116162e -=-，则27e =，由1e >，故e =.故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于a 、b 、c 之间的等量关系，本题中结合题意与双曲线的定义得出1F A 、2F B 与a 的具体关系及21F BF ∠的大小，借助余弦定理表示出与a 、c 有关齐次式，即可得解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()3π3πsin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A.函数π4f x ⎛⎫-⎪⎝⎭为偶函数B.曲线()y f x =的对称轴为π,Z x k k =∈C.()f x 在区间ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D.()f x 的最小值为2-【答案】AC 【解析】【分析】利用辅助角公式化简()3π3πsin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据三角函数的性质逐项判断即可.【详解】()3π3πsin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π3π3π3πsin 2cos sin cos 2cos2cos sin2sin 4444x x x x =++-2222sin 2cos 2cos2sin22222x x x x x =-+--=，即()f x x =，对于A ，i ππ42n 2x x f x ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭，易知为偶函数，所以A 正确；对于B ，()f x x =对称轴为πππ2π,Z ,Z 242k x k k x k =+∈⇒=+∈，故B 错误；对于C ，ππ2π,,2,π323x x ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin2y x =单调递减，则()f x x =单调递增，故C 正确；对于D ，()f x x =，则[]sin21,1x ∈-，所以()f x ⎡∈⎣，故D 错误；故选：AC10.已知复数,z w 均不为0，则（）A.22||z z = B.22||z z z z =C.z z w w -=- D.z z w w=【答案】BCD 【解析】【分析】设出i z a b =+、i w c d =+，结合复数的运算、共轭复数定义及复数的模的性质逐个计算即可得.【详解】设i z a b =+(),R a b ∈、i w c d =+(),R c d ∈；对A ：设i z a b =+(),R a b ∈，则()222222i 2i 2i z a b a ab b a b ab =+=+-=-+，2222||z ab ==+，故A 错误；对B ：2z z z z z=⋅，又2z z z ⋅=，即有22||z z z z =，故B 正确；对C ：()i i i a b c d z a c d w b =+-=+----，则()i a c z w b d ----=，i z a b =-，i w c d =-，则()i i i z w a b c d a c b d =--+=----，即有z z w w -=-，故C 正确；对D ：()()()()()22i i i i i i i z c w a b c d ac bd ad bc a b c d c d c d d +-+--+===++-+==22c d ==+，22z w c d ===+22c d =+，故z z w w=，故D 正确.故选：BCD.11.已知函数()f x 的定义域为R ，且102f ⎛⎫≠⎪⎝⎭，若()()()4f x y f x f y xy ++=，则（）A.102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.122f ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.函数12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数 D.函数12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是减函数【答案】ABD 【解析】【分析】对抽象函数采用赋值法，令12x =、0y =，结合题意可得()01f =-，对A ：令12x =、0y =，代入计算即可得；对B 、C 、D ：令12y =-，可得122f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即可得函数12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭及函数12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭函数的性质，代入1x =，即可得12f ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】令12x =、0y =，则有()()1110100222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤+⨯=+= ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又102f ⎛⎫≠⎪⎝⎭，故()100f +=，即()01f =-，令12x =、12y =-，则有1111114222222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()110122f f f ⎛⎫⎛⎫+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()01f =-，可得11022f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又102f ⎛⎫≠⎪⎝⎭，故102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故A 正确；令12y =-，则有()1114222f x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即122f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故函数12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是奇函数，有()1121222f x x x ⎛⎫+-=-+=-- ⎪⎝⎭，即1222f x x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，即函数12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是减函数，令1x =，有12122f ⎛⎫=-⨯=-⎪⎝⎭，故B 正确、C 错误、D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题，借助赋值法，得到()01f =-，再重新赋值，得到102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再得到122f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合{}{}2,0,2,4,3A B x x m =-=-≤，若A B A = ，则m 的最小值为__________．【答案】5【解析】【分析】由A B A = 可得A B ⊆，解出集合B 后结合集合的关系计算即可得.【详解】由A B A = ，故A B ⊆，由3x m -≤，得33m x m -+≤≤+，故有4323m m ≤+⎧⎨-≥-+⎩，即15m m ≥⎧⎨≥⎩，即5m ≥，即m 的最小值为5.故答案为：5.13.已知轴截面为正三角形的圆锥MM '的高与球O 的直径相等，则圆锥MM '的体积与球O 的体积的比值是__________，圆锥MM '的表面积与球O 的表面积的比值是__________．【答案】①.23②.1【解析】【分析】设圆锥的底面圆半径r 以及球的半径R ，用r 表示出圆锥的高h 和母线l 以及球的半径R ，然后根据体积公式求出体积比，根据表面积公式求得表面积之比.【详解】设圆锥的底面半径为r ，球的半径为R ，因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高h =，母线2l r =，由题可知：2h R =，所以球的半径32R =所以圆锥的体积为()23113ππ33V r r =⨯⨯=，球的体积333244πππ3322V R r ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，所以3123π23332rV V ==；圆锥的表面积221ππ3πS rl r r =+=，球的表面积22224π4π3π2S R r ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，所以21223π13πS r S r==，故答案为：23；1.14.以max M表示数集M 中最大的数．设01a b c <<<<，已知2b a ≥或1a b +≤，则{}max ,,1b a c b c ---的最小值为__________．【答案】15##0.2【解析】【分析】利用换元法可得11b n pa m n p =--⎧⎨=---⎩，进而根据不等式的性质，分情况讨论求解.【详解】令,,1,b a m c b n c p -=-=-=其中,,0m n p >，所以11b n p a m n p =--⎧⎨=---⎩，若2b a ≥，则()121b n p m n p =--≥---，故21m n p ++≥，令{}{}=max ,,1max ,,M b a c b c m n p ---=，因此22M mM n M p≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,故421M m n p ≥++≥,则14M ≥，若1a b +≤，则111n p m n p --+---≤，即221m n p ++≥，{}{}=max ,,1max ,,M b a c b c m n p ---=，则2222M mM n M p≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,故5221M m n p ≥++≥,则15M ≥，当22m n p ==时，等号成立，综上可知{}max ,,1b a c b c ---的最小值为15，故答案为：15【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法，在2b a ≥和1a b +≤前提下进行合理分类讨论，根据题意得到相对应的不等式组，注意题目的条件关键词是“或”.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()2ln 2f x x x ax =+++在点()()22f ,处的切线与直线230x y +=垂直．（1）求a ；（2）求()f x 的单调区间和极值．【答案】（1）3a =-（2）单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭、()1,+∞，单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，极大值3ln 24-，极小值0【解析】【分析】（1）结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得；（2）借助导数可讨论单调性，即可得极值.【小问1详解】()12f x x a x '=++，则()1922222f a a '=+⨯+=+，由题意可得92123a ⎛⎫⎛⎫+⨯-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3a =-；【小问2详解】由3a =-，故()2ln 32f x x x x =+-+，则()()()2211123123x x x x f x x x x x---+'=+-==，0x >，故当102x <<时，()0f x ¢>，当112x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x ¢>，故()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭、()1,+∞，()f x 的单调递减区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()f x 有极大值211113ln 32ln 222224f ⎛⎫⎛⎫=+-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有极小值()21ln113120f =+-⨯+=.16.盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．（1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；（2）记取出的3个小球上的最小数字为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ．【答案】（1）47（2）分布列见解析，()107E X =【解析】【分析】（1）先确定3个不同数字的小球，然后再从确定的每种小球中取1个，通过计算可求符合要求的取法数，再除以总的取法数可得结果；（2）先确定X 的可取值为1,2,3，然后计算出不同取值的概率，注意X 的每种取值对应两种情况，由此可求分布列和期望()E X .【小问1详解】记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M ，先确定3个不同数字的小球，有34C 种方法，然后每种小球各取1个，有111222C C C ⨯⨯种取法，所以()3111422238C C C C 4=C 7P M ⨯⨯⨯=.【小问2详解】由题意可知，X 的可取值为1,2,3，当1X =时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球，所以()1221262638C C C C 91=C 14P X +==；当2X =时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球，所以()1221242438C C C C 22=C 7P X +==；当3X =时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球，所以()1221222238C C C C 13=C 14P X +==，所以X 的分布列为：X123P 91427114所以()92110123147147E X =⨯+⨯+⨯=.17.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，11112,,45AA C CB C CD C CO =∠=∠∠=︒．（1）证明：1C O ⊥平面ABCD ；（2）求二面角1B AA D --的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）223【小问1详解】连接11,BC DC ，因为底面ABCD 是边长为2的正方形，所以BC DC =，又因为11C CB C CD ∠=∠，11CC CC =，所以11C CB C CD ≅ ，所以11BC DC =，点O 为线段BD 中点，所以1C O BD ⊥，在1C CO △中，1122,CC CO AC ===，145C CO ∠=︒，所以222111112cos 22C C OC C O C CO C O C C OC+-∠==⇒=⨯⨯，则222111C C OC C O C O OC =+⇒⊥，又OC BD O = ，OC ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1C O ⊥平面ABCD .【小问2详解】由题知正方形ABCD 中AC BD ⊥，1C O ⊥平面ABCD ，所以建系如图所示，则()())()(12,0,0,2,0,2,0,0,2,0,0,0,0,2B D A C C ，则112,0,2AA CC == ，()()2,2,0,2,2,0AB AD == ，设面1BAA 的法向量为()111,,m x y z = ，面1DAA 的法向量为()222,,x n y z = ，则()1111122001,1,10220z AA m m AB m ⎧⎧+=⋅=⎪⇒⇒=-⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩ ，()2212222001,1,10220x z AA n n AD m ⎧+=⋅=⎪⇒⇒=--⎨⋅=-=⎪⎪⎩⎩，设二面角1B AA D --大小为θ，则21122cos sin 1cos 3333m n m nθθθ⋅===⇒=-⨯⋅ ，所以二面角1B AA D --的正弦值为223.18.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 交C 于,A B 两点，过F 与l 垂直的直线交C 于,D E 两点，其中,B D 在x 轴上方，,M N 分别为,AB DE 的中点．（1）证明：直线MN 过定点；（2）设G 为直线AE 与直线BD 的交点，求GMN 面积的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）8【解析】【分析】（1）设出直线AB 与直线CD 的方程，联立曲线后得到与纵坐标有关韦达定理，结合题意，表示出直线MN 后即可得定点坐标；（2）设出直线AE 与直线BD 的方程，联立两直线后结合第一问中韦达定理得出点G 的横坐标恒为1-，再结合面积公式及基本不等式即可得.【小问1详解】由2:4C y x =，故()1,0F ，由直线AB 与直线CD 垂直，故两只直线斜率都存在且不为0，设直线AB 、CD 分别为11x m y =+、21x m y =+，有121m m =-，()11,A x y 、()22,B x y 、()33,E x y 、()44,D x y ，联立2:4C y x =与直线AB ，即有2141y x x m y ⎧=⎨=+⎩，消去x 可得21440y m y --=，2116160m ∆=+>，故1214y y m +=、124y y =-，则()2121112112111242x x m y m y m y y m +=+++=++=+，故2121212x x m +=+，12122y y m +=，即()21121,2M m m +，同理可得()22221,2N m m +，当22122121m m +≠+时，则()()2212112212122:12221MN m m l m m x m y m ---=++-+，即()()21212121212121112221212122m m m m x y x m m m m m m m m m m m m +-+=-+-=--++++1212212121212211212122m m m m x x m m m m m m m m m m =--=-+++-++-，由121m m =-，即()2121213121y x x m m m m m m -=++=-++，故3x =时，有()213013m m y -+==，此时MN 过定点，且该定点为()3,0，当22122121m m +=+时，即2212m m =时，由121m m =-，即11m =±时，有213:MN l x =+=，亦过定点()3,0，故直线MN 过定点，且该定点为()3,0；【小问2详解】由()11,A x y 、()22,B x y 、()33,E x y 、()44,D x y ，则()311131:AE y y l y x x y x x -=-+-，由2114y x =、2224y x =，故22231113131112231313131313144444y y y y y y y y y x x y x y y y y y y y y y y y y y ⎛⎫-+=-+=-+= ⎪+++++⎝⎭-，同理可得2442424:BD y y x l y y y y y =+++，联立两直线，即13313124424244y y x y y y y y y y x y y y y y ⎧=+⎪++⎪⎨⎪=+⎪++⎩，有13243131424244y y y y x x y y y y y y y y +=+++++，即()()()()42134231243144x y y y y y y x y y y y y y +++=+++，有()()()2431134242314y y y y y y y y x y y y y +-+=+--，由124y y =-，同理344y y =-，故()()()()243113422341241341234231423144y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y x y y y y y y y y +-++--==+--+--()()24134231414y y y y y y y y -+--==-+--，故1G x =-，过点G 作//GQ x 轴，交直线MN 于点Q ，则12M N Q G GMN S y y x x =-⨯- ，由()21121,2M m m +、()22221,2N m m +，故121122224M N y y m m m m -=-=+≥，当且仅当11m =±时，等号成立，下证4Q G x x -≥：由抛物线的对称性，不妨设10m >，则20m <，当11m >时，有()2111,0m m =-∈-，则点G 在x 轴上方，点Q 亦在x 轴上方，有21120111m m m m =>+-，由直线MN 过定点()3,0，此时()314Q G x x ->--=，同理，当11m <时，有点G 在x 轴下方，点Q 亦在x 轴下方，有2110m m <+，故此时4Q G x x ->，当且仅当11m =时，3Q x =，故4Q G x x -≥恒成立，且11m =±时，等号成立，故1144822MN M G N Q G S y y x x =-⨯-≥⨯⨯= ，【点睛】关键点睛：第二问关键在于借助直线联立及第一问中韦达定理得出点G 的横坐标恒为1-，此时可根据三角形的面积公式及基本不等式求取最值.19.离散对数在密码学中有重要的应用．设p 是素数，集合{}1,2,,1X p =- ，若,,u v X m ∈∈N ，记u v ⊗为uv 除以p 的余数，,m u ⊗为m u 除以p 的余数；设a X ∈，2,2,1,,,,p a a a ⊗-⊗ 两两不同，若{}(),0,1,,2n a b n p ⊗=∈- ，则称n 是以a 为底b 的离散对数，记为log()a n p b =．（1）若11,2p a ==，求1,p a -⊗；（2）对{}12,0,1,,2m m p ∈- ，记12m m ⊕为12m m +除以1p -的余数（当12m m +能被1p -整除时，120m m ⊕=）．证明：()log()log()log()a a a p b c p b p c ⊗=⊕，其中,b c X ∈；（3）已知log()a n p b =．对{},1,2,,2x X k p ∈∈- ，令,,12,k k y ay x b ⊗⊗==⊗．证明：()2,21n p x y y -⊗=⊗．【答案】（1）1（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）第一问直接根据新定义来即可.（2）第二问结合新定义、带余除法以及费马小定理即可得证.（3）根据新定义进行转换即可得证.【小问1详解】若11,2p a ==，又注意到102102493111==⨯+，所以1,01,21p a -⊗⊗==.【小问2详解】当2p =时，此时{1}X =，此时1b c ==，1b c ⊗=，故()log()0,log()0,log()0a a a p b c p b p c ⊗===，此时()log()log()log()a a a p b c p b p c ⊗=⊕.当2p >时，因2,2,1,,,,p a a a ⊗-⊗ 相异，故2a ≥，而a X ∈，故,a p 互质.设()12=log(),log(),=log()a a a n p b c n p b n p c⊗=记()12=log(),log(),=log()a a a n p b c n p b n p c ⊗=，则12,N m m ∃∈，使得1212,n n a pm b a pm c =+=+，故()()1212n n a pm b pm c +=++，故12(mod )n n a bc p +≡，设()121,02n n t p s s p +=-+≤≤-，则12n n s ⊕=，因为1,2,3,..1p -除以p 的余数两两相异，且(),2,3,..1a a a p a -除以p 的余数两两相异，故()()1!23,..1(mod )p a a a p a p ⎡⎤-≡⨯⨯⨯-⎣⎦，故11mod p a p -≡，故(mod )s a bc p ≡，而(mod )(mod ),n a b c p bc p ≡⊗=其中02n p ≤≤-，故s n =即()log()log()log()a a a p b c p b p c ⊗=⊕.【小问3详解】当2b ≥时，由（2）可得11mod p b p -≡，若1b =，则11mod p b p -≡也成立.因为log()a n p b =，所以()mod na b p ≡.另一方面，()()()()()22,2,,,2121n p n p n p k k y y y y x b a --⊗-⊗⊗⊗⊗≡≡⊗()()()()()()()()112211mod mod k k kn p k p k k p xb a xb b x b x p x p -----≡≡≡≡≡.由于x X ∈，所以()2,21n p x y y -⊗=⊗.【点睛】关键点睛：本题的关键是充分理解新定义，然后结合带余除法以及费马小定理等初等数论知识即可顺利得解.。
陕西省高考适应性数学试卷(理科)
陕西省高考适应性数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一上·泰安月考) 设＝{1，2，3，4，5} ，若＝{2}，，，则下列结论正确的是（）A . 且B . 且C . 且D . 且2. （2分） (2015高二下·登封期中) 已知i为虚数单位，复数z满足 =i，则z2016=（）A . ﹣2iB . 2iC . ﹣1D . 13. （2分） (2016高三上·枣阳期中) 在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b）是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m，在该组上的频率直方图的高为h，则|a﹣b|为（）A . hmB .C .D . h+m4. （2分） (2020高一上·天津期中) 下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高一下·义乌期末) 已知数列{an}中满足a1=15， =2，则的最小值为（）A . 10B . 2 ﹣1C . 9D .6. （2分）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的全面积为（）A . 12B . 16C . +4D . 4+47. （2分）若过点的直线l与曲线有公共点，则直线l的斜率最小值为（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高三上·太原期末) 执行如图所示的程序框图，输入x=﹣1，n=5，则输出s=（）A . ﹣2B . ﹣3C . 4D . 39. （2分） (2017高一上·肇庆期末) 函数f（x）=2xx2的零点个数为（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个10. （2分） (2017高三下·绍兴开学考) 一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是（）A . 3或8B . 8或11C . 5或8D . 3或1111. （2分） (2015高二下·伊宁期中) 已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x轴上，其上点P（﹣3，m）到焦点F1的距离为5，则抛物线方程为（）A . y2=8xB . y2=﹣8xC . y2=4xD . y2=﹣4x12. （2分）(2017·息县模拟) 数学上称函数y=kx+b（k，b∈R，k≠0）为线性函数．对于非线性可导函数f （x），在点x0附近一点x的函数值f（x），可以用如下方法求其近似代替值：f（x）≈f（x0）+f'（x0）（x﹣x0）．利用这一方法，的近似代替值（）A . 大于mB . 小于mC . 等于mD . 与m的大小关系无法确定二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·杭州期末) 已知平面向量，向量夹角为，则 ________．14. （1分）若点M（3，m）在不等式组表示的平面区域内，则m的取值范围是________．15. （1分） (2018高二下·邗江期中) 从个男生个女生中挑选人参加智力竞赛，要求既有男生又有女生的选法共有________种．（用数字作答）16. （1分） (2019高二上·阳山期中) 数列满足，则数列的前项和 ________．三、解答题 (共8题；共70分)17. （10分） (2018高一下·山西期中) 已知向量，令（1）求的最小正周期及单调增区间；（2）当时，求的最小值以及取得最小值时的值．18. （10分） (2019高二下·吉林期末) 随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取1200名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：分组频数（单位：名）使用“余额宝”使用“财富通”使用“京东小金库”30使用其他理财产品50合计1200已知这1200名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多160名.（1）求频数分布表中，的值；（2）已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为，“财富通”的平均年化收益率为 .若在1200名使用理财产品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取7人，然后从这7人中随机选取2人，假设这2人中每个人理财的资金有10000元，这2名市民2018年理财的利息总和为，求的分布列及数学期望.注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利息，理财产品“平均年化收益率为”即将100元钱存入某理财产品，一年可以获得3元利息.19. （5分）(2018·中山模拟) 如图所示,在四棱锥中, , ,， , .(Ⅰ) 证明:平面平面；(Ⅱ) 若 ,求二面角的余弦值.20. （5分） (2017高一下·河北期末) 已知椭圆的左右顶点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点．（Ⅰ）求直线PA与PB的斜率之积；（Ⅱ）过点作与x轴不重合的任意直线交椭圆E于M，N两点．证明：以MN为直径的圆恒过点A．21. （10分） (2016高二下·昆明期末) 已知函数f（x）= +3lnax﹣x，g（x）=xex+cosx（a≠0）．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）若∃x1∈[1，2]，x2∈[0，3]，使得f（）＞g（x2）成立，求实数a的取值范围．22. （10分）(2013·新课标Ⅰ卷理) （选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（1）证明：DB=DC；（2）设圆的半径为1，BC= ，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23. （10分） (2016高二下·惠阳期中) 已知直线l过点P（0，﹣4），且倾斜角为，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）求直线l的参数方程和圆C的直角坐标方程；（2）若直线l和圆C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|及弦长|AB|的值．24. （10分）(2019·河南模拟) 已知函数f（x）＝|x＋1|．（1）若不等式f（x）≥|2x＋1|−1的解集为A，且，求实数t的取值范围；（2）在（1）的条件下，若，证明：f（ab）＞f（a）−f（−b）．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共70分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、。
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徐水一中高考适应性测试数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、学号、学校、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上.3.考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回.一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1、已知3tan 4α=-，(,0)απ∈-，则cos 2α=（ ） 7.25A -9.25B - 9.25C 7.25D 2、设集合{||2|3}A m R m =∈-<，22{|123x y B m R m m =∈+=+-是双曲线}，则A B ⋂=（ ）A.(2,5)- .(3,5)B .(1,3)C - .(,2)(5,)D -∞-⋃+∞3、若121(63i i a i +=+为虚数单位，)a R ∈，则a =（ ）.3A - .3B .4C - .4D4、如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，若二面角 1C AB C -- 的大小为60o，则点C 到平面1C AB 的距离为（ ）3.4A 1.2B 3.2C .1D5、已知直线l 过点(0,0)O 和点(23cos ,3sin )P αα+，则直线l 的 斜率的最大值为（ ）1.2A 3.3B 3.2C .3D 6、某地为上海“世博会”招募了20名志愿者，他们的编号分别为1号、2号、……..19号、20号。
若要从中选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的在另一组，那么确保5号与14号入选并分配到同一组A 1C 1B 1ACB的选取种数为（ ）.16A .21B .24C .90D7、已知等比数列｛a n ｝的公比为q （q 为实数），前n 项和为S n ,且S 3、S 9、S 6成等差数列，则q 3等于（ ）A ．1 B ．－21 C ．－1或21 D ．1或－218、已知向量,m n u r r 的夹角为6π，且||3m =u r ，||2n =r ，在∆ABC 中，,3AB m n AC m n =+=-u u u r u r r u u u r u r r ，D 为BC 边的中点，则||AD =u u u r（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49、已知整数对按如下规律排成一列：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）……，则第60个数对是( ) A ．（10，1）B ．（2，10）C ．（5，7）D ．（7，5）10、定义在R 上的函数()y f x =是减函数，且函数(1)y f x =-的图象关于(1,0)成中心对称，若s ，t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--．则当14s ≤≤时，ts的取值范围是( ) A ．1[,1)4-B ．1[,1]4-C ．1[,1)2-D ．1[,1]2-11、若函数1()ax f x e b=-在0x =处的切线l 与圆22C:x 1y +=相离，则(,)P a b 与圆C 的位置关系是（ ）A. 在圆内B. 在圆外C.在圆上D.不能确定12、抛物线2y 2px =p>0（）的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且120AFB ∠=o ，弦AB 中点M 在准线l 上的射影为1M ，则1MM AB的最大值为( ) A. 433 B. 3 C. 233 D. 33第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把最简答案填在答题卡的相应位置上）13、已知函数220()lg()0x x f x x x -⎧≥=⎨-<⎩ ，则[(10)]f f -的值为14、已知数列{}n a 中，110,21()n n a a a n n N ++==+-∈，则数列{}n a 的通项公式是15、设(12)nx +展开式的各项系数的和为n a ，各二项式系数的和为n b 则11limn nn n b a a b ++-=+16、下列四个命题：①圆4)1()2(22=+++y x 与直线02=-y x 相交，所得弦长为2；②直线kx y =与圆1)sin ()cos (22=-+-θθy x 恒有公共点；③若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为108π；④若棱长为2的正四面体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为.23π其中，正确命题的序号为 ．写出所有正确命的序号） 三、解答题（本大题共６小题，70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．17、（本小题满分10分）已知向量552),sin ,(cos ),sin ,(cos =-==b a b a ββαα． （Ⅰ）求的值)cos(βα-；（Ⅱ）若202παβπ<<<<-，且αβsin ,135sin 求-=的值．18、（本小题满分12分）某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响.已知师父加工一个零件是精品的概率为32，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为.91（I ）求徒弟加工2个零件都是精品的概率； （II ）求徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率；（III ）设师徒二人加工出的4个零件中精品个数为ξ，求ξ的分布列与均值E ξ 19、（本小题满分12分）如图，多面体ABCDS 中，面ABCD 为矩形，,1,,=⊥⊥AD AB SD AD SD 且 2=AB ，.3=SD（1）求证：CD ADS 平面⊥; （2）求AD 与SB 所成角的余弦值; （3）求二面角A —SB —D 的余弦值．SABCD第19题20、（本小题满分12分）已知a R ∈，函数()ln 1af x x x=+-，()()ln 1x g x x e x =-+（其中e 为自然对数的底数）．（1）判断函数()f x 在区间(]0,e 上的单调性；（2）是否存在实数(]00,x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直? 若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由．21、（本小题满分12分）设1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>上的两点，已知向量),(),,(2211ayb x n a y b x m ==,若0=⋅n m 且椭圆的离心率e=32,短轴长为2，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由22、（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：)1(+-=n n n a S a S （a 为常数，0,1a a ≠≠）（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n n a S a b ⋅+=2，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值；（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，n n+111c =-a +1a -1n ，数列{}n c 的前n 项和为n T . 求证：212->n T n ．徐水一中2010年高考适应性测试数学试题（理科）参考答案一、选择题：1~5、DCBAD 6~10、BBACD 11~12、AD 二、填空题：13、12 14、2(1)n a n =- 15、13- 16、②、④ 三、解答题17、解：（Ⅰ）1=a Θ，1=b ，)sin sin cos (cos 2222222βαβα+-+=+⋅-=-b a b b a a b a)cos(211βα--+=．5455222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-b a Θ， 53)cos(54)cos(22=-=--∴βαβα得 （Ⅱ）0,022ππβααπ-<<<<∴<<Q ．由 53)cos(=-βα， 得54)sin(=-βα． 由 135sin -=β 得12cos 13β=[]ββαββαββααsin )cos(cos )sin()(sin sin -+-=+-=∴ 6533)135(53131254=-⨯+⨯=18、解：Ⅰ、徒弟加工一个精品零件的概率为1P ，则,419132322121==⨯p p 得[所以徒弟加工2个零件都是精品的概率是41。
Ⅱ、设徒弟加工零件的精品多于师父的概率为2P ， 由Ⅰ知，112P =。
师父加工的两个零件中，精品个数的分布如下： ξ12P19 49 49徒弟加式的两个零件中，精品个数的分布如下：ξ0 1 2P14 12 14所以2114111792949436P =⨯+⨯+⨯=。
Ⅲ、ξ的分布列为ξ0 1 2 3 4P136 636 1336 1236 436ξ的期望为73。
19、解：（I ）ABCD Θ是矩形，AD CD ⊥∴ --------------1分又SD CD CD AB AB SD ⊥⊥则,//, -------------2分,SD AD ⊥ -------------3分 ∴ CD ADS 平面⊥ -------------4分（II ）由AD SD ⊥，及（I ）结论可知DA 、DC 、DS两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 )0,0,0(),2,0,0(),2,1,0(),0,1,0(),0,0,3(D C B A S ∴ --------------5分)2,1,3(),0,1,0(-=-=∴SB AD --------------6分42||||,cos -=⋅⋅>=<∴SB AD SB AD SB AD --------------7分∴AD 与SB 所成的角的余弦为.42--------------8分 （III ）)2,1,0(),0,0,3(==DB DS 设面SBD 的一个法向量为),,(z y x n =ρ),1,2,0(020360-=⇒⎩⎨⎧=-=⇔⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴n z y x DB n DS n ρρρ取 --------------9分 zS ABCDx y又)0,1,3(),2,0,0(-==SA AB Θ∴设面DAB 的一个法向量为),,(z y x m =所以所求的二面角的余弦为515 …………11分解法二（I ）同解法一（II ）矩形ABCD ，∴AD//BC ，即BC=a ，∴要求AD 与SB 所成的角，即求BC 与SB 所成的角 …………5分在SBC ∆中，由（1）知，SD ⊥面ABCD 。