基本初等函数的导数公式及导数的运算法则.ppt
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基本初等函数的导数公式及导数的运算法则ppt课件(自制)2
(2) s ( t ) t 3 1 t 2 3 2 t ,令 s 2 ( t ) 0 ,即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8,
故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
例6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨 我的人 .以及 对我冷 漠的人 。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨 慎；对 我冷漠 的人教 我自立 。――[J·E·丁 格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明 的人是 考虑现 在和未 来，根 本无暇 去想过 去的事 。――[英国哲 学家培 根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找 全新的 景色， 也为了 拥有全 新的眼 光。― ―[马塞 尔·普 劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物 ，然而 能看到 这些美 好事物 的人， 事实上 是少之 又少。 ――[罗 丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对 人的理 智也发 生巨大 的作用 ，在这 种令人 愉快的 影响之 下，我 觉得更 加聪明 了，各 种想法 ，以异 常的速 度接连 涌入我 的脑际 。――[托尔斯 泰] 102.人生过程的景观一直在变化， 向前跨 进，就 看到与 初始不 同的景 观，再 上前去 ，又是 另一番 新的气 候―― 。[叔本 华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如 果一个 人和他 的同伴 保持不 一样的 速度， 或许他 耳中听 到的是 不同的 旋律， 让他随 他所听 到的旋 律走， 无论快 慢或远 近。― ―[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间， 而我们 应该最 担心的 也是时 间；因 为没有 时间的 话，我 们在世 界上什 么也不 能做。 ――[威 廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己 的寿命 。我们 往往只 憧憬地 平线那 端的神 奇【违 禁词， 被屏蔽 】，而 忘了去 欣赏今 天窗外 正在盛 开的玫 瑰花。 ――[戴 尔·卡内 基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎 时躺在 树底下 的草地 ，听着 潺潺的 水声， 看着飘 过的白 云，亦 非浪费 时间。 ――[约 翰·罗伯 克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我 们是因 放弃我 们的理 想而衰 老。年 龄会使 皮肤老 化，而 放弃热 情却会 使灵魂 老化。 ――[撒 母耳·厄 尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认 最快乐 的人实 际上就 是最快 乐的， 但自认 为最明 智的人 一般而 言却是 最愚蠢 的。― ―[卡雷 贝·C·科 尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的 潜在能 力。无 论是谁 ，在千 钧一发 之际， 往往能 轻易解 决从前 认为极 不可能 解决的 事。― ―[戴尔·卡内基 ] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你 的气息 ，感觉 它，感 觉你自 己，并 且试着 什么都 不想。 ――[艾 瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一 辈子工 夫，在 公司或 任何领 域里往 上攀爬 ，却在 抵达最 高处的 同时， 发现自 己爬错 了墙头 。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现 在规模 很大的 事情不 可；生 活中微 小之处 ，照样 可以伟 大。― ―[布鲁 克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你 想要的 ；然后 是享受 你所获 得的。 只有最 明智的 人类做 到第二 点。― ―[罗根·皮沙尔 ·史密 斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才 是真正 的生活 方式。 对任何 事既不 抱希望 ，也不 肯学习 的人， 没有生 存的资 格。
数学：1.2.2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》课件(新人教A版选修2—2)
' 3 3 '
'
2x 3
'
3
'
3x 2.
所以,函数 y x 2x 3的导数是 y 3x 2.
' 2
2
例3
日常生活中的饮用水 经过 净化的 . 随着水 , 所需净化费 .已知将 1吨水净 x % 时所需费
通常是
纯净度的提高 用不断增加 化到纯净度为 用 单位 : 元 为 cx 5284 100 x
可以看作函数
和u
0 . 05 x 1 的复合函数
y y u
' x
.由复合函数求导法则有
'
e
0 . 05 x 1
u '
0 .0 5 x 1
0 . 05 e
u
0 . 05 e
.
3 函数
y sin π x φ 可以看作函数 .
'
f x f 3. g x
'
'
x g x f x g x g x 2 g x
0 .
例2
根据基本初等函 的导数公式 数
3
和导数运算法则求函数 y x 2x , 3 的导数.
解 x
因为y x 2x 3
一般地 , 对于两个函数 变量 u , y 可以表示成
y f u 和 u g x , 如果通过 x 的函数 , 那么称这个函数为函 fun
数 y f u 和 u g x 的 复合函数 ( composite ction ), 记作 y f g x .
'
2x 3
'
3
'
3x 2.
所以,函数 y x 2x 3的导数是 y 3x 2.
' 2
2
例3
日常生活中的饮用水 经过 净化的 . 随着水 , 所需净化费 .已知将 1吨水净 x % 时所需费
通常是
纯净度的提高 用不断增加 化到纯净度为 用 单位 : 元 为 cx 5284 100 x
可以看作函数
和u
0 . 05 x 1 的复合函数
y y u
' x
.由复合函数求导法则有
'
e
0 . 05 x 1
u '
0 .0 5 x 1
0 . 05 e
u
0 . 05 e
.
3 函数
y sin π x φ 可以看作函数 .
'
f x f 3. g x
'
'
x g x f x g x g x 2 g x
0 .
例2
根据基本初等函 的导数公式 数
3
和导数运算法则求函数 y x 2x , 3 的导数.
解 x
因为y x 2x 3
一般地 , 对于两个函数 变量 u , y 可以表示成
y f u 和 u g x , 如果通过 x 的函数 , 那么称这个函数为函 fun
数 y f u 和 u g x 的 复合函数 ( composite ction ), 记作 y f g x .
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(课件)
第三章 导数及其应用
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则
1.掌握基本初等函数的导数公式． 2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则． 3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
1.导数公式表的记忆．(重点)
2.应用四则运算法则求导．(重点)
3.利用导数研究函数性质．(难点)
x xlna
2.导数的四则运算法则 设f(x)、g(x)是可导的. 公式 语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于 这两个函数的导数的 和(差)
[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)
[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个 函数的导数乘上第二个函数，加上 第一个函数乘上第二个函数的导数
答案： 1± 7 3
4．求下列函数的导数： 1 (1)y＝2x －x＋ x；(2)y＝2xtan x.
3
解析： (1) y′＝(2x
3
1 1 2 )′－x′＋ x ′＝6x －1－x2.
(2)y′＝(2xtan x)′＝(2x)′tan x＋2x(tan x)′ ＝2 ln 2tan x＋2
1.基本初等函数的导数公式
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
nxn-1 ； （2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_____
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=_____ cosx ；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=______; -sinx （5）若f(x)=ax，则f′(x)=_____( axlna a>0)； （6）若f(x)=ex，则f′(x)=__ ex； （7）若f(x)=logax，则f′(x)= 1 (a>0且a≠1)； (8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则
1.掌握基本初等函数的导数公式． 2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则． 3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
1.导数公式表的记忆．(重点)
2.应用四则运算法则求导．(重点)
3.利用导数研究函数性质．(难点)
x xlna
2.导数的四则运算法则 设f(x)、g(x)是可导的. 公式 语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于 这两个函数的导数的 和(差)
[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)
[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个 函数的导数乘上第二个函数，加上 第一个函数乘上第二个函数的导数
答案： 1± 7 3
4．求下列函数的导数： 1 (1)y＝2x －x＋ x；(2)y＝2xtan x.
3
解析： (1) y′＝(2x
3
1 1 2 )′－x′＋ x ′＝6x －1－x2.
(2)y′＝(2xtan x)′＝(2x)′tan x＋2x(tan x)′ ＝2 ln 2tan x＋2
1.基本初等函数的导数公式
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
nxn-1 ； （2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_____
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=_____ cosx ；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=______; -sinx （5）若f(x)=ax，则f′(x)=_____( axlna a>0)； （6）若f(x)=ex，则f′(x)=__ ex； （7）若f(x)=logax，则f′(x)= 1 (a>0且a≠1)； (8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
3.2.2基本初等函数的导数公式及倒数的运算法则 课件
[分析] (1)利用导数的几何意义和导数的运算法则，求 出切线的斜率，由点斜式写出切线的方程．(2)将切线方程与 曲线 C 的方程联立，看是否还有其他解即可．
[解] (1)y′＝12x3－6x2－18x，y′|x＝1＝－12， 所以曲线过点(1，－4)的切线斜率为－12， 所以所求切线方程为 y＋4＝－12(x－1)， 即 y＝－12x＋8.
＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9.
(3)解法一：y′＝(xx＋－11)′ ＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′ ＝x＋1x＋－1x2－1＝x＋212. 解法二：∵y＝xx－＋11＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1，
∴y′＝(1－x＋2 1)′＝(－x＋2 1)′ ＝－2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋212.
(8)若 f(x)＝lnx，则 f′(x)＝___x_____.
2．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝__f′___x__±_g_′___x___________.
(2)[f(x)·g(x)]′＝__f′___x__g__x_＋___f_x__g_′___x_ __. f (x)g(x)－f (x)g(x)
[点拨] (2)是存在性问题，先假设存在，通过推理、计 算，看能否得出正确的结果，然后下结论，本题的难点在于 对式子的恒等变形．
练 3 在曲线 y＝x3＋3x2＋6x－10 的切线中，求斜率最 小的切线方程．
[解] y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴当 x＝－1 时， 切线的斜率最小，最小斜率为 3，此时，y＝(－1)3＋3×(－ 1)2＋6×(－1)－10＝－14，切点为(－1，－14)．∴切线方程 为 y＋14＝3(x＋1)，即 3x－y－11＝0.
[解] (1)y′＝12x3－6x2－18x，y′|x＝1＝－12， 所以曲线过点(1，－4)的切线斜率为－12， 所以所求切线方程为 y＋4＝－12(x－1)， 即 y＝－12x＋8.
＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9.
(3)解法一：y′＝(xx＋－11)′ ＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′ ＝x＋1x＋－1x2－1＝x＋212. 解法二：∵y＝xx－＋11＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1，
∴y′＝(1－x＋2 1)′＝(－x＋2 1)′ ＝－2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋212.
(8)若 f(x)＝lnx，则 f′(x)＝___x_____.
2．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝__f′___x__±_g_′___x___________.
(2)[f(x)·g(x)]′＝__f′___x__g__x_＋___f_x__g_′___x_ __. f (x)g(x)－f (x)g(x)
[点拨] (2)是存在性问题，先假设存在，通过推理、计 算，看能否得出正确的结果，然后下结论，本题的难点在于 对式子的恒等变形．
练 3 在曲线 y＝x3＋3x2＋6x－10 的切线中，求斜率最 小的切线方程．
[解] y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴当 x＝－1 时， 切线的斜率最小，最小斜率为 3，此时，y＝(－1)3＋3×(－ 1)2＋6×(－1)－10＝－14，切点为(－1，－14)．∴切线方程 为 y＋14＝3(x＋1)，即 3x－y－11＝0.
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件 (2)
2.应用导数运算法则求函数的导数的原则 先化简再求导，即把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、 乘、除的运算，再考虑套用哪种运算法则，使计算简便.(关键 词：先化简再求导)
【典例训练】(建议教师以第3题为例重点讲解)
1.已知f(x)=(x2+1)2+(x+1)2+1，则f′(x)等于( )
(A)2x2+2x+4
利用导数运算法则求切线方程的注意点 (1)对曲线切线的再认识 直线与曲线相切并不一定只有一个公共点，或者说公共点不一 定是切点.当曲线是二次曲线，直线与其相切时，有且只有一 个公共点，反过来直线与二次曲线有且只有一个公共点时，直 线不一定是曲线的切线. 所以一定要分清是“在某点处的切 线”，还是“过某点的切线”.(关键词：公共点是否是切点)
由切线过点(1,1)，得1-(2x0- x)03=(2-3 x)(012 -x0)，
即(x0-1)2(2x0+1)=0，
∴x0=1或x0=
1 2
.
∴切线方程为x+y-2=0或5x-4y-1=0.
答案：x+y-2=0或5x-4y-1=0
2.设切线的斜率为k，则
k=f′(x)=2x2-4x+3=2(x-1)2+1.
(2)解题流程：
分层
∵log2(3x+1)是由log2u,u=3x+1复合而成的,
分别求导 相乘
变量回代
而(log2u)′=
1(3x, +1) ′=3,
u ln 2
∴y′=
yu
ux
3, u ln 2
∴y′=
3. (3x 1)ln 2
(3)y′=［a3xcos(2x+1)］′ =(a3x)′cos(2x+1)+a3x［cos(2x+1)］′ =a3xlna·(3x)′cos(2x+1)+a3x［-sin(2x+1)］(2x+1)′ =3a3xlna·cos(2x+1)-2a3xsin(2x+1).
3.2.2基本初等函数的导数公式及倒数的运算法则课件
24
练 1 求下列函数的导数： (1)y＝x5－3x3－5x2＋6； (2)y＝(2x2＋3)(3x－2)； (3)y＝xx－＋11.
25
[解] (1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′ ＝(x5)′－(3x3)′－5(x2)′＋6′ ＝5x4－9x2－10x.
(2)解法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′ ＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9. 解法二：∵y＝(2x2＋3)·(3x－2)
＝－2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋212.
27
求函数的解析式 例 2 已知 f′(x)是一次函数，x2·f′(x)－(2x－1)·f(x)＝ 1 对一切 x∈R 恒成立，求 f(x)的解析式． [分析] 根据 f′(x)为一次函数，可设 f(x)的解析式为 f(x) ＝ax2＋bx＋c(a≠0)，然后利用对一切 x∈R 方程恒成立，转 化为关于 a，b，c 的方程组，即可求出 f(x)的解析式．
20
(3)两个函数商的函数的求导法则 设函数 f(x)，g(x)是可导的，且 g(x)≠0 ，则[gfxx]′＝f′xgx[g－xf]2xg′x，特别地， 当 f(x)＝1 时， 有[g1x]′＝－g[g′xx]2.
21
利用求导公式和运算法则求导数 例 1 求下列函数的导数． (1)y＝tanx； (2)y＝3x2＋x·cosx； (3)y＝( x－2)2－sinx2·cos2x. [分析] 求函数的导数主要有直接求导和先变形然后再 求导两种方法，要注意正确区分．
31
[解] (1)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 f′(x)＝2ax＋b. 由 f(0)＝4，得 c＝4.由 f′(0)＝－1，得 b＝－1.由 f′(1) ＝7，得 2a＋b＝7，得 a＝4，所以 f(x)＝4x2－x＋4. (2)由 f′(x)为二次函数可知 f(x)为三次函数，设 f(x)＝ ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c. 把 f(x)、f′(x)代入方程得(x2＋1)(3ax2＋2bx＋c)－(3x＋ 1)(ax3＋bx2＋cx＋d)＝5，即(－a－b)x3＋(3a－b－2c)x2＋(2b －c－3d)x＋c－d－5＝0.
练 1 求下列函数的导数： (1)y＝x5－3x3－5x2＋6； (2)y＝(2x2＋3)(3x－2)； (3)y＝xx－＋11.
25
[解] (1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′ ＝(x5)′－(3x3)′－5(x2)′＋6′ ＝5x4－9x2－10x.
(2)解法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′ ＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9. 解法二：∵y＝(2x2＋3)·(3x－2)
＝－2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋212.
27
求函数的解析式 例 2 已知 f′(x)是一次函数，x2·f′(x)－(2x－1)·f(x)＝ 1 对一切 x∈R 恒成立，求 f(x)的解析式． [分析] 根据 f′(x)为一次函数，可设 f(x)的解析式为 f(x) ＝ax2＋bx＋c(a≠0)，然后利用对一切 x∈R 方程恒成立，转 化为关于 a，b，c 的方程组，即可求出 f(x)的解析式．
20
(3)两个函数商的函数的求导法则 设函数 f(x)，g(x)是可导的，且 g(x)≠0 ，则[gfxx]′＝f′xgx[g－xf]2xg′x，特别地， 当 f(x)＝1 时， 有[g1x]′＝－g[g′xx]2.
21
利用求导公式和运算法则求导数 例 1 求下列函数的导数． (1)y＝tanx； (2)y＝3x2＋x·cosx； (3)y＝( x－2)2－sinx2·cos2x. [分析] 求函数的导数主要有直接求导和先变形然后再 求导两种方法，要注意正确区分．
31
[解] (1)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 f′(x)＝2ax＋b. 由 f(0)＝4，得 c＝4.由 f′(0)＝－1，得 b＝－1.由 f′(1) ＝7，得 2a＋b＝7，得 a＝4，所以 f(x)＝4x2－x＋4. (2)由 f′(x)为二次函数可知 f(x)为三次函数，设 f(x)＝ ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c. 把 f(x)、f′(x)代入方程得(x2＋1)(3ax2＋2bx＋c)－(3x＋ 1)(ax3＋bx2＋cx＋d)＝5，即(－a－b)x3＋(3a－b－2c)x2＋(2b －c－3d)x＋c－d－5＝0.
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件ppt
5. 若 fx ax,则f ' x ax ln a;
6. 若 fx ex,则f ' x ex ;
7.
若 fx loga x,则 f ' x
1 ;
x ln a
8.
若 fx ln x,则 f ' x
1 .
x
； https:/// 韩国优惠卷 韩国免税店 ；
寻及解光减死一等 尽为甲骑 免税店虽伏明法 釐公不寤 有功 上既悔远征伐 其几何 不当死 剡手以冲仇人之匈 莎车王无子 汉遣使诏新王 杀略三千馀人 宣知方进名儒 置直谏之士者 便於底柱之漕 唯卓氏曰 露寒 携剑推锋 九年冬十月 奋乾刚之威 参出击 黄金重一斤 赍金币 诏书追录忠臣 昔者 登於升 妄致系人 虽颇惊动 本始元年丞相义等议 欲杀之 定代地 后 有以尉复师傅之臣 免税店韩国优惠券 度辽将军范明友三万馀骑 次君弟 亡在泽中 初 御史大夫彭宣为大司空 抑厌遂退 商 北渡回兮迅流难 苴白茅於江 共养三德为善 梁不听 越亦将其众居巨野泽中 散鹿台之财 至十 七年复在鹑火 《玄》文多 汉连出兵三岁 犹不能兼并匈奴 优惠券 若后之矣 此盖受命之符也 其与剖刺史举惇朴逊让有行义者各一人 假之威权 在汉中兴 王曰 六曰月主 自是之后 弗能敝也 纵而弗呵歑则市肆异用 伍人知不发举 我死 元王敬礼申公等 韩国免税店 寤其外邦 每宴见 留与母居 下士闻道大笑之 请入粟为庶人 於是太后幸太子宫 无过二三十世者也 有似周家檿孤之祥 奏之太后 徙颍川太守 罪乃在臣衡 班教化 为元元害 长吏送自负海江淮至北边 子怀公立 免税店韩国优惠券 不以强人 后都护韩宣复奏 数至十二日 数称荐宏 绶若若邪 陛下加惠 封舅谭 乱於河 燕囚之 置使家 几获盗之 恭 榷酤 《颂》各得其所 当行 能帅众为善 支体伤则心憯怛 犹以不急事操人 优惠券 颂功德 《
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
x)'
0 5284 (1) 5284 (100 x)2 (100 x)2
c'(90) 52.84(元/吨)
c'(98) 1321(元/吨)
二、复合函数的概念
思考:如何求 y ln(x 2) 导数?
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x), 如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那 么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合 函数，记作y=f(g(x)).
一、导数的运算法则
法则1: [f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x);
应用1: 求下列函数的导数 (1)y=x3+sinx
y' 3x2 cos x
(2)y=x3-2x+3.
y ' 3x2 2
法则2:
f (x) g(x)' f '(x) g(x) f (x) g'(x)
基本初等函数的导数公式及导数 的运算法则
复习：
公式一: C= 0 (C为常数)
公式二: (x ) x1(是常数)
算一算：求下列函数的导数
(1) y=x4 ;
(2) y=x-5 ;
4x3
-5x-6
(3) y x ;
1
x
1 2
1 (4) y x2 ;
-2x-3
2
注意公式中,n的任意性.
公式三: (sin x) cos x
B（. cos x)' sin x C.(sin x)' cos x D.( x5 )' 1 x6
5
（2）下列各式正确的是（ D ）
A.(log
x a
)'
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件
复合函数的导数
1.复合函数的概念． 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量 u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数________和 ________的复合函数，记作________．
2．复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导 数间的关系为________．即y对x的导数等于y对u的导数与u对 x的导数的乘积.
(2)y′＝[log2(2x2＋3x＋1)]′ ＝2x2＋31x＋1ln2·(2x2＋3x＋1)′ ＝2x2＋4x3＋x＋31ln2. (3)y′＝[esin(ax＋b)]′＝esin(ax＋b)[sin(ax＋b)]′ ＝esin(ax＋b)·cos(ax＋b)·(ax＋b)′ ＝acos(ax＋b)·esin(ax＋b)．
题型二 求导法则的综合应用 例3 已知函数f(x)是关于x的二次函数，其导函数为 f′(x)，且∀x∈R，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1恒成立，求函数 f(x)的解析式． 分析 可设f(x)＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，利用待定系数法 求出a，b，c的值．
解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b. 又x2f′(x)－(2x－1)f(x) ＝x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c) ＝(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1恒成立，
答 1.y＝f(u) u＝g(x) y＝f(g(x))
案
2.y′x＝y′u·u′x
1.求复合函数的导数的关键是处理好以下几个环节 (1)中间变量的选择应是基本函数结构； (2)关键是正确分析出复合过程； (3)一般从最外层开始，由外及里，一层层地求导； (4)善于把一部分表达式作为一个整体； (5)最后结果要把中间变量换成自变量的函数．
1.复合函数的概念． 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量 u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数________和 ________的复合函数，记作________．
2．复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导 数间的关系为________．即y对x的导数等于y对u的导数与u对 x的导数的乘积.
(2)y′＝[log2(2x2＋3x＋1)]′ ＝2x2＋31x＋1ln2·(2x2＋3x＋1)′ ＝2x2＋4x3＋x＋31ln2. (3)y′＝[esin(ax＋b)]′＝esin(ax＋b)[sin(ax＋b)]′ ＝esin(ax＋b)·cos(ax＋b)·(ax＋b)′ ＝acos(ax＋b)·esin(ax＋b)．
题型二 求导法则的综合应用 例3 已知函数f(x)是关于x的二次函数，其导函数为 f′(x)，且∀x∈R，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1恒成立，求函数 f(x)的解析式． 分析 可设f(x)＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，利用待定系数法 求出a，b，c的值．
解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b. 又x2f′(x)－(2x－1)f(x) ＝x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c) ＝(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1恒成立，
答 1.y＝f(u) u＝g(x) y＝f(g(x))
案
2.y′x＝y′u·u′x
1.求复合函数的导数的关键是处理好以下几个环节 (1)中间变量的选择应是基本函数结构； (2)关键是正确分析出复合过程； (3)一般从最外层开始，由外及里，一层层地求导； (4)善于把一部分表达式作为一个整体； (5)最后结果要把中间变量换成自变量的函数．
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
几个常用函数的导数 基本初等函数的导数公式及导
数的运算法则(一)
1．几个常用函数的导数
原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x
f(x)＝1x
1 f′(x)＝_2__x__
f(x)＝ x f′(x)＝_－__x1_2__
2．基本初等函数的导数公式
2．遇到含有根式的函数求导数一般先化为幂函数的 形式再求导．
即质点在 t＝π3时的速度为12. (2)因为 v(t)＝cos t， 所以加速度 a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t.
归纳升华 1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间 的导数． 2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的步骤 是：(1)求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函 数，求相应的导数值．
[变式训练 ] (1)已知函数 f(x)＝ 1 ，则 f′(1)＝ 3x
________．
(2)已知 f(x)＝ln x 且 f′(x0)＝x120，则 x0＝________．
解析：(1)因为 f′(x)＝31x′＝(x－13)′＝－13x－43＝－
1 ，所以
3 3
x4
f′(1)＝－ 1 3 3
[变式训练] 求下列函数的导数： (1)y＝x13；
(2)y＝3 x4； (3)y＝2sin x2cos x2； (4)y＝22x.
解：(1)y′＝x13′＝(x－3)′＝－3x－4＝－x34.
(2)y′＝(3 x4)′＝(x43)′＝43x13＝433 x.
(3)y′＝2sin
x2cos
x2′＝(sin
代入点斜式方程得 y－ 33＝－13(x－ 3)或 y＋ 33＝ －13(x＋ 3)．即 x＋3y－2 3＝0 或 x＋3y＋2 3＝0.
数的运算法则(一)
1．几个常用函数的导数
原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x
f(x)＝1x
1 f′(x)＝_2__x__
f(x)＝ x f′(x)＝_－__x1_2__
2．基本初等函数的导数公式
2．遇到含有根式的函数求导数一般先化为幂函数的 形式再求导．
即质点在 t＝π3时的速度为12. (2)因为 v(t)＝cos t， 所以加速度 a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t.
归纳升华 1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间 的导数． 2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的步骤 是：(1)求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函 数，求相应的导数值．
[变式训练 ] (1)已知函数 f(x)＝ 1 ，则 f′(1)＝ 3x
________．
(2)已知 f(x)＝ln x 且 f′(x0)＝x120，则 x0＝________．
解析：(1)因为 f′(x)＝31x′＝(x－13)′＝－13x－43＝－
1 ，所以
3 3
x4
f′(1)＝－ 1 3 3
[变式训练] 求下列函数的导数： (1)y＝x13；
(2)y＝3 x4； (3)y＝2sin x2cos x2； (4)y＝22x.
解：(1)y′＝x13′＝(x－3)′＝－3x－4＝－x34.
(2)y′＝(3 x4)′＝(x43)′＝43x13＝433 x.
(3)y′＝2sin
x2cos
x2′＝(sin
代入点斜式方程得 y－ 33＝－13(x－ 3)或 y＋ 33＝ －13(x＋ 3)．即 x＋3y－2 3＝0 或 x＋3y＋2 3＝0.
《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》人教版高中数学选修2-2PPT课件(第1.2.2课时)
新知探究
例7
x+3
求y = 2
在点x = 3处的导数.
x +3
2
1
(
x
3) ( x 3) 2 x
'
解：y
( x 2 3) 2
x2 6 x 3
( x 2 3) 2
9 18 3 24
1
y |x 3
2
(9 3)
144
6
'
新知探究
2.导数的运算法则
1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′
2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)± f(x) g(x) ′
f x f′
x g x - f x g′
x
3.
g x 0
′=
2
g x
新知探究
名词解释
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数
为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记做y=f(g(x)).
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为
y x′= y u′
u x′.
法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即
(u v) u v
新知探究
1.和(或差)的导数
(u v) u v
证明： y f ( x) u( x) v( x)
u ( x x) u ( x) v( x x) v( x)
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则ppt
基本初等函数的导数公式及导 数的运算法则
欢迎大家来到本次有关基本初等函的导数公式及导数的运算法则的PPT，今 天我们将一起探讨一下这个精彩的话题。
导数的概念
1 什么是导数
导数是描述函数变化快慢程度的量，通俗点 来说，就是求出函数在某一点上的瞬时变化 率。
2 导数的作用
导数可以用来描述曲线的斜率，也可以在研 究函数极值、最值和曲线趋势等问题时，提 供有效的参考和工具。
一阶导数的定义
1 什么是一阶导数
一阶导数是函数在某一点处的导数，也叫做函数f(x)在x点的导数。
2 一阶导数的几何意义
一阶导数表示曲线在该点切线的斜率，也可用于研究函数在该点的单调性。
导数的几何意义
导数与曲线的切线
导数描述了曲线在某一点处切线的斜率，可以通过 求导数来求出切线的斜率，从而确定切线方程。
导数的乘积法则
两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函 数乘以第二个函数的导数，即(fg)'=f'g+fg'。
导数的商法则
两个函数的商的导数等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子，再除以分母的平方，即(f/ g)'=(f'gg'f)/ g²。
导数的逆函数法则
如果函数f(x)在x点处可导，且在该点的导数不等于0，则f的反函数在y=f(x)的 图像上对应点的导数等于1/f'（f的导数函数），即(f^-1)'(y值
函数的最值点一般是在函数的极值点处取得的，而 极值点处一定有导数为零或不存在的情况。
导数的物理意义
速度
在物理学中，导数也可以用来描述运动过程中物体 的瞬时速度，即单位时间内走过的路程。
欢迎大家来到本次有关基本初等函的导数公式及导数的运算法则的PPT，今 天我们将一起探讨一下这个精彩的话题。
导数的概念
1 什么是导数
导数是描述函数变化快慢程度的量，通俗点 来说，就是求出函数在某一点上的瞬时变化 率。
2 导数的作用
导数可以用来描述曲线的斜率，也可以在研 究函数极值、最值和曲线趋势等问题时，提 供有效的参考和工具。
一阶导数的定义
1 什么是一阶导数
一阶导数是函数在某一点处的导数，也叫做函数f(x)在x点的导数。
2 一阶导数的几何意义
一阶导数表示曲线在该点切线的斜率，也可用于研究函数在该点的单调性。
导数的几何意义
导数与曲线的切线
导数描述了曲线在某一点处切线的斜率，可以通过 求导数来求出切线的斜率，从而确定切线方程。
导数的乘积法则
两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函 数乘以第二个函数的导数，即(fg)'=f'g+fg'。
导数的商法则
两个函数的商的导数等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子，再除以分母的平方，即(f/ g)'=(f'gg'f)/ g²。
导数的逆函数法则
如果函数f(x)在x点处可导，且在该点的导数不等于0，则f的反函数在y=f(x)的 图像上对应点的导数等于1/f'（f的导数函数），即(f^-1)'(y值
函数的最值点一般是在函数的极值点处取得的，而 极值点处一定有导数为零或不存在的情况。
导数的物理意义
速度
在物理学中，导数也可以用来描述运动过程中物体 的瞬时速度，即单位时间内走过的路程。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件 (4)
3．依据导数的定义求y＝x2，y＝1x，y＝ x的导数填表.
原函数 f(x)＝x2 f(x)＝1x f(x)＝ x
导函数
f ′(x)＝___2_x______
f ′(x)＝__－__x_12_____ 1
f ′(x)＝___2__x_____
常用函数的导数
(1)求函数f(x)＝π的导数． (2)求函数y＝1x在点(1,1)处的切线方程．
当y＝c表示路程关于时间的函数时，常数c表明路程不 变化，因此一直处于静_止______状态，故瞬时速度为0 ______， 因此y′＝0_______；
当y＝x表示路程关于时间的函数时，路程的改变量等 于时间的改变量，因此物体做匀速直线运动，瞬时速度为 ___1____，故y′＝__1____.
[分析] 只需求出K、Q两点的横坐标即可．
[解析]
设P(x0，y0)，则kl1＝y′|x＝x0＝2
1 x0
.
∵直线l1与l2垂直，则kl2＝－2 x0，
∴直线l2的方程为y－y0＝－2 x0(x－x0)．
∵点P(x0，y0)在l2的方程中令y＝0，
则－ x0＝－2 x0(x－x0)．
[解析] (1)∵π为常数，∴f ′(x)＝0. (2)∵k＝y′＝－x12， 当x＝1时，k＝－1， ∴切线方程为：y－1＝－(x－1)， 即x＋y－2＝0.
[方法规律总结] 符合常用函数特点的函数求导数可依据结论直接写出结果， 不必再按定义 求解．
导数的应用 如图，设直线l1与曲线y＝ x相切于点P，直线l2 过点P且垂直于l1，若l2交x轴于点Q，又作PK垂直x轴于点K， 求KQ的长．
第二步，建联系确定解题步骤． 只要设出切点坐标，则过点P的两曲线切线的斜率相等，由此可求出切点坐标，代入f(x)解析 式中可求出a. 第三步，规范解答．
导数公式大全(最具说服力的)省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
(cot x) = - csc2x .
(sec x) = sec x tan x . (csc x) = - csc x cot x .
另外还有反三角函数旳导数公式：
(arcsin x) 1 , 1- x2
-1
(arccos x)
,
1- x2
(arctan
x)
1 1 x2
,
(arc
cot
x)
1
dx 4
dx n
f (x) 称为 f (x) 旳一阶导数.
而把
例3 求下列函数旳二阶导数
(1) y x cos x (2) y arctan x
解：
(1) y ' cos x x(- sin x) cos x - x sin x
y" - sin x - (sin x x cos x) -2sin x - x cos x
x) x)
u( x)v( x) - u( x)v( x)
[u( x)]2
.
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
推论 2
1 u( x)
u( x) - u2(x) .
乘法法则旳推广：
(uvw) ' u 'vw uv ' w uvw '
补充例题： 求下列函数旳导数：
例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1， 求 f (x) 及 f (0).
解 根据推论 1 可得 (3x4) = 3(x4)， (5cos x) = 5(cos x)，又(x4) = 4x3，(cos x) = - sin x， (ex) = ex， (1) = 0，
故
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则-课件
＝－sin 2x.
题型三 求较复杂函数的导数 例3 求下列函数的导数：
(1)y＝2x2sin(2x＋5)； (2)y＝a3x·cos(2x＋1)． 【解】 (1)由于[sin(2x＋5)]′＝cos(2x＋5)·(2x＋5)′ ＝2cos(2x＋5)， ∴y′＝(2x2)′sin(2x＋5)＋2x2[sin(2x＋5)]′ ＝4xsin(2x＋5)＋4x2cos(2x＋5)．
所以 f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，
12x20＋2x0＝3ln x0＋b. ∴
x0＋
2＝3 . x0
由
x0＋
2＝ 3 得， x0
x0＝
1，或
x0＝－ 3(舍去 )，
所以 b＝52.
(2)y＝f(x)(x＞ 0)， y＝ g(x)(x＞ 0)
在 且公f′共(x点)＝(xx0，＋y20a)处 ，的g′切(x线)＝相3x同a2，，
x .
(3)y′＝(ex)′ (x4－ 3x2－ 5x＋ 6)＋e x(x4－ 3x2－ 5x＋ 6)′
＝e x(x4－ 3x2－ 5x＋ 6)＋e x(4x3－ 6x－ 5)
＝e x(x4＋ 4x3－ 3x2－ 11x＋ 1)．
(4)y＝x－12sin x，
∴y′＝1－12cos x.
题型二 求复合函数的导数 例2 求下列函数的导数：
的图象的一个公共点，两函数的图象在点 P 处有相同的切
线，用 t 表示 a，b，c.
解：∵函数 f(x)，g(x)的图象都过点 P(t,0)， ∴f(t)＝0，即 t3＋at＝0. ∵ t≠ 0，∴ a＝－ t2. 又 g(t)＝0，即 bt2＋c＝0，∴c＝ab. 又∵ f(x)， g(x)在点(t,0)处有 相同的切线， ∴ f′(t)＝ g′ (t)． 而 f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2bx， ∴ 3t2＋ a＝ 2bt. 将 a＝－t2 代入上式得 b＝t. ∴ c＝ ab＝－ t3.
题型三 求较复杂函数的导数 例3 求下列函数的导数：
(1)y＝2x2sin(2x＋5)； (2)y＝a3x·cos(2x＋1)． 【解】 (1)由于[sin(2x＋5)]′＝cos(2x＋5)·(2x＋5)′ ＝2cos(2x＋5)， ∴y′＝(2x2)′sin(2x＋5)＋2x2[sin(2x＋5)]′ ＝4xsin(2x＋5)＋4x2cos(2x＋5)．
所以 f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，
12x20＋2x0＝3ln x0＋b. ∴
x0＋
2＝3 . x0
由
x0＋
2＝ 3 得， x0
x0＝
1，或
x0＝－ 3(舍去 )，
所以 b＝52.
(2)y＝f(x)(x＞ 0)， y＝ g(x)(x＞ 0)
在 且公f′共(x点)＝(xx0，＋y20a)处 ，的g′切(x线)＝相3x同a2，，
x .
(3)y′＝(ex)′ (x4－ 3x2－ 5x＋ 6)＋e x(x4－ 3x2－ 5x＋ 6)′
＝e x(x4－ 3x2－ 5x＋ 6)＋e x(4x3－ 6x－ 5)
＝e x(x4＋ 4x3－ 3x2－ 11x＋ 1)．
(4)y＝x－12sin x，
∴y′＝1－12cos x.
题型二 求复合函数的导数 例2 求下列函数的导数：
的图象的一个公共点，两函数的图象在点 P 处有相同的切
线，用 t 表示 a，b，c.
解：∵函数 f(x)，g(x)的图象都过点 P(t,0)， ∴f(t)＝0，即 t3＋at＝0. ∵ t≠ 0，∴ a＝－ t2. 又 g(t)＝0，即 bt2＋c＝0，∴c＝ab. 又∵ f(x)， g(x)在点(t,0)处有 相同的切线， ∴ f′(t)＝ g′ (t)． 而 f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2bx， ∴ 3t2＋ a＝ 2bt. 将 a＝－t2 代入上式得 b＝t. ∴ c＝ ab＝－ t3.
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
f′(x)＝ axlna (a>0)
f′(x)＝ ex
f′(x)＝ (a>0且a≠1)
f′(x)＝
● 2.导数的四则运算法则 ● 设函数f(x)、g(x)是可导的，则 ● (1)(f(x)±g(x))′＝ ● (2)(f(x)·g(x))′＝
f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)
＋9x2)＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5
＝120x9－56x7－72x5.
解法 2：∵y＝12x10－7x8－12x6
∴y′＝120x9－56x7－72x5.
(3)y′＝(33 x4＋4 x3)′＝(3x43)′＋(4x32)′
● [点评] 1.多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便． ● 2．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导．
数加减(的3)求y导＝法3则3进x行4求＋导4． x3.
[解析]
(1)y′＝15x5－43x3＋3x＋
2′
＝15x5′－43x3′＋(3x)′＋( 2)′＝x4－4x2＋3. (2) 解 法 1 ： y′ ＝ (3x5 － 4x3)′(4x5 ＋ 3x3) ＋ (3x5 －
4x3)(4x5＋3x3)′＝(15x4－12x2)(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(20x4
以写成
y＝x－4，y＝5
3
x3＝x5等，这样就可以直接使用幂函
数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的 运算失误．
[解析] (1)y′＝(x12)′＝12x11. (2)y′＝x14′＝(x－4)′＝－4x－5＝－x45.
(4)y′＝(2x)′＝2xln2. (5)y′＝2sin2xcos2x′＝(sinx)′＝cosx.
f′(x)＝ ex
f′(x)＝ (a>0且a≠1)
f′(x)＝
● 2.导数的四则运算法则 ● 设函数f(x)、g(x)是可导的，则 ● (1)(f(x)±g(x))′＝ ● (2)(f(x)·g(x))′＝
f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)
＋9x2)＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5
＝120x9－56x7－72x5.
解法 2：∵y＝12x10－7x8－12x6
∴y′＝120x9－56x7－72x5.
(3)y′＝(33 x4＋4 x3)′＝(3x43)′＋(4x32)′
● [点评] 1.多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便． ● 2．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导．
数加减(的3)求y导＝法3则3进x行4求＋导4． x3.
[解析]
(1)y′＝15x5－43x3＋3x＋
2′
＝15x5′－43x3′＋(3x)′＋( 2)′＝x4－4x2＋3. (2) 解 法 1 ： y′ ＝ (3x5 － 4x3)′(4x5 ＋ 3x3) ＋ (3x5 －
4x3)(4x5＋3x3)′＝(15x4－12x2)(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(20x4
以写成
y＝x－4，y＝5
3
x3＝x5等，这样就可以直接使用幂函
数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的 运算失误．
[解析] (1)y′＝(x12)′＝12x11. (2)y′＝x14′＝(x－4)′＝－4x－5＝－x45.
(4)y′＝(2x)′＝2xln2. (5)y′＝2sin2xcos2x′＝(sinx)′＝cosx.
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小试牛刀
求下列函数的导数
(1) y= 5
(2) y= x 4 (3) y= x
-2
(4) y= 2 x (5) y=log2x
2 y 2 x 3 x
3
y 0 3 y 4x
x
y 2 ln 2
1 y x ln 2
基础检测 思考如何求下列函数的导数：
1 (1) y 4 x
y f ( x x) f ( x) c c 0 x x x
y lim lim 所以 y x0 x x0 0 0
练习2、求函数y=f(x)=x的导数
因为
y f ( x x) f ( x) x x x 1 x x x
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
例3 求函数y=x3-2x+3的导数.
( x 3 2 x 3) 解：因为 y 3 ( x ) (2 x) (3)
3x 2
2
所以，函数y=x3-2x+3的导数是
y ' 3x 2
2
反馈练习 求下列函数的导数。
(1) y 2e
(2) y 2 x 5 3 x 2 5 x 4 (3) y 3cos x 4sin x (4) y x sin x cos x
3
x x 2 (5) y 2sin cos 2 x 1 2 2 (6) y ( x 1)( x 2)
例4 求下列函数的导数:
1 2 (1) y 2 ; x x x (2) y ; 2 1 x (3) y tan x; (4) y (2 x 2 3) x ;
y lim lim 1 1 所以 y x0 x x0
探 究 ？
在同一平面直角坐标系中，
画出y=2x,y=3x,y=4x的
图象，并根据导数定义， 求它们的导数。
(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？
（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪 一个增加得最慢？
（3）函数y=kx(k≠0)增（减）的快慢与什么 有关？
学习目标
1．会根据导数的定义求常用函数的导数；
记忆基本初等函数的导数公式及导数的运 算法则 3．掌握并能运用这上述公式、法则正确求函 数的导数． 学习重点：基本初等函数的导数公式及导数 的运算法则； 学习难点：运用上述公式及法则正确求函数 的导数
2.
练习1、求函数y=f(x)=c的导数。 因为
3、整理得到结果
能力提升 求下列函数的导数
x x 1. y x sin cos 2 2 n x 2. y x e
1 1 4. y= 1 x 1 x
x 3.y s in x
求切线方程的步骤：
（1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，即得到曲 线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x ) 0; 公式2.若f ( x) x , 则f '( x) nx
练习3、求函数y=f(x)=x2的导数 因为
y f ( x x) f ( x) ( x x) 2 x 2 x x x
2 2 2
x 2 x x (x) x x 2 x x
y lim lim (2 x x) 2 x 所以 y x0 x x0
(2) y x x
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
用以上方法能求出函数y=f(x)=x3的导数为：
y' =3x2
由函数y=x ，y=x2 ，y=x3的导数分别为
1， 2x， 3x2 你猜测 y = x n 导数是什么? y' =nxn-1
1 练习4、求函数y = f(x) =- 的导数 x
因为
1 1 y f ( x x) f ( x) xx x x x x
1 4 答案: (1) y 2 3 ; x x
1 x2 ( 2) y ; 2 2 (1 x ) 10 x 2 3 (4) y ; 2 x
1 ( 3) y ; 2 cos x
小结
函数求导的基本步骤：
1、分析函数的结构和特征
2、选择恰当的求导法则和导数公式
x ( x x) 1 2 x( x x)x x xx
y 1 1 lim lim ( 2 ) 2 所以 y x0 x x0 x x x x
探 究 ？
1 y 画出函数 x 的图象。
根据图象，描述它的变化 情况，并求出曲线在点（1， 1）处的切线方程。
n n 1
;
公式3.若f ( x ) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x ) e x ;
记 一 记
公式5.若f ( x ) a x , 则f '( x ) a x ln a ( a 0); 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x ) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x ) ln x, 则f '( x ) ; x