基本初等函数的导数公式及导数的运算法则.ppt

3、整理得到结果
能力提升 求下列函数的导数
x x 1. y x sin cos 2 2 n x 2. y x e
1 1 4. y= 1 x 1 x
x 3.y s பைடு நூலகம்n x
用以上方法能求出函数y=f(x)=x3的导数为：
y' =3x2
由函数y=x ，y=x2 ，y=x3的导数分别为
1， 2x， 3x2 你猜测 y = x n 导数是什么? y' =nxn-1
1 练习4、求函数y = f(x) =- 的导数 x
因为
1 1 y f ( x x) f ( x) xx x x x x
n n 1
;
公式3.若f ( x ) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x ) e x ;
记 一 记
公式5.若f ( x ) a x , 则f '( x ) a x ln a ( a 0); 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x ) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x ) ln x, 则f '( x ) ; x
y lim lim 1 1 所以 y x0 x x0
探 究 ？
在同一平面直角坐标系中，
画出y=2x,y=3x,y=4x的
图象，并根据导数定义， 求它们的导数。
(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？
（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪 一个增加得最慢？
（3）函数y=kx(k≠0)增（减）的快慢与什么 有关？
例3 求函数y=x3-2x+3的导数.
( x 3 2 x 3) 解：因为 y 3 ( x ) (2 x) (3)
3x 2
2
所以，函数y=x3-2x+3的导数是
y ' 3x 2
2
反馈练习 求下列函数的导数。
(1) y 2e
x
(2) y 2 x 5 3 x 2 5 x 4 (3) y 3cos x 4sin x (4) y x sin x cos x
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
(2) y x x
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
小试牛刀
求下列函数的导数
(1) y= 5
(2) y= x 4 (3) y= x
-2
(4) y= 2 x (5) y=log2x
2 y 2 x 3 x
3
y 0 3 y 4x
x
y 2 ln 2
1 y x ln 2
基础检测 思考如何求下列函数的导数：
1 (1) y 4 x
x ( x x) 1 2 x( x x)x x xx
y 1 1 lim lim ( 2 ) 2 所以 y x0 x x0 x x x x
探 究 ？
1 y 画出函数 x 的图象。
根据图象，描述它的变化 情况，并求出曲线在点（1， 1）处的切线方程。
学习目标
1．会根据导数的定义求常用函数的导数；
记忆基本初等函数的导数公式及导数的运 算法则 3．掌握并能运用这上述公式、法则正确求函 数的导数． 学习重点：基本初等函数的导数公式及导数 的运算法则； 学习难点：运用上述公式及法则正确求函数 的导数
2.
练习1、求函数y=f(x)=c的导数。 因为
1 4 答案: (1) y 2 3 ; x x
1 x2 ( 2) y ; 2 2 (1 x ) 10 x 2 3 (4) y ; 2 x
1 ( 3) y ; 2 cos x
小结
函数求导的基本步骤：
1、分析函数的结构和特征
2、选择恰当的求导法则和导数公式
练习3、求函数y=f(x)=x2的导数 因为
y f ( x x) f ( x) ( x x) 2 x 2 x x x
2 2 2
x 2 x x (x) x x 2 x x
y lim lim (2 x x) 2 x 所以 y x0 x x0
y f ( x x) f ( x) c c 0 x x x
y lim lim 所以 y x0 x x0 0 0
练习2、求函数y=f(x)=x的导数
因为
y f ( x x) f ( x) x x x 1 x x x
求切线方程的步骤：
（1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，即得到曲 线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x ) 0; 公式2.若f ( x) x , 则f '( x) nx
3
x x 2 (5) y 2sin cos 2 x 1 2 2 (6) y ( x 1)( x 2)
例4 求下列函数的导数:
1 2 (1) y 2 ; x x x (2) y ; 2 1 x (3) y tan x; (4) y (2 x 2 3) x ;