双曲线二级结论
双曲线二级结论大全
双曲线1.122PF PF a -=2.标准方程22221x y a b -= 3.111PF e d =>4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.证明：.设00(,)P x y 在第一象限，切线PT （即l ）的斜率为k ，1PF 所在直线1l 斜率为1k ，2PF 所在直线2l 斜率为2k ，1PF 与PT 的夹角为α，2PF 与PT 的夹角为β。
由两直线夹角公式1212tan 1k k k k θ-=+得：()()20022222222222200000001222222200100000000000200tan 11y b x b a cx x c a y b x a y b x c a b b cx k k b b x y kk a x y a cy b x y c x y a cy c y cy a cx a y x c α-++-++-======++++++⋅+()()20022222222222200000002222222200200000000000200tan 11b x yb a cx a y xc b x a y b x c a b b cx k k b b x y kk a x y a cy b x y c x y a cy c y cy a cx a y x cβ-------======+-+--+⋅-,0,2παβαβ⎛⎫∈∴= ⎪⎝⎭Q 同理可证其它情况。
故切线PT 平分点P 处的内角。
5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.证明：不妨设P 在第一象限。
作F 2关于切线PT 的对称点M ，由4可知M 在PF 1上，则1122F M PF PF a =-=，垂足H 为F 2M 的中点，则OH=12F Ma =，同理可证其它情况。
射影H 的轨迹是以实轴为直径的圆除去两端点。
双曲线二级结论的证明
双曲线二级结论的证明双曲线是一种几何图形，由两条不相交的曲线组成，形状类似于一个字母"S"。
双曲线在数学和物理学等领域中具有重要的应用，其性质和特点也得到了广泛的探索和研究。
在本文中，我们将探讨双曲线二级结论的证明。
首先，我们将介绍双曲线的基本概念和性质，然后介绍双曲线二级结论，并最后给出结论的证明。
双曲线是一种几何图形，由两条不相交的曲线组成，形状类似于一个字母"S"。
双曲线在数学和物理学等领域中具有重要的应用，其性质和特点也得到了广泛的探索和研究。
双曲线具有许多重要的性质，其中最著名的是双曲线的渐近线。
渐近线是指，当曲线趋近于无穷远或无穷小时，曲线上的点趋近于一条直线。
对于双曲线，其渐近线是两条不相交的直线，分别称为左渐近线和右渐近线。
另外，双曲线还具有双曲线的渐近距离。
渐近距离是指，当曲线上的两点趋近于无穷远或无穷小时，它们之间的距离趋近于一条直线。
对于双曲线，其渐近距离是两条渐近线的距离之差，称为双曲线的离心率。
双曲线还具有双曲线的焦距。
焦距是指，对于双曲线，两个焦点的距离称为焦距。
焦距与离心率之间有一个简单的关系：焦距等于离心率的两倍。
在双曲线的基础上，我们可以推导出双曲线的一些重要结论。
其中，最著名的结论是双曲线二级结论。
双曲线二级结论指出，对于双曲线，其离心率、焦距和渐近线都满足一个递归关系。
双曲线二级结论的证明基于双曲线的定义和性质。
首先，根据双曲线的定义，离心率等于焦距除以渐近线长度。
然后，根据双曲线的性质，焦距等于双曲线两个焦点的距离，而渐近线长度等于两条渐近线的距离之和。
基于这些性质，我们可以得到双曲线二级结论：离心率、焦距和渐近线之间满足一个递归关系。
证明完毕。
总之，双曲线是一种重要的几何图形，具有广泛的应用和重要的性质。
本文中，我们主要介绍了双曲线的基本概念和性质，以及双曲线二级结论。
通过深入研究双曲线，我们可以更好地理解其性质和特点，为数学和物理学等领域的发展做出贡献。
双曲线二级结论大全
双曲线1.2.标准方程3.122PF PF a -=22221x y a b-=111PF e d =>4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8．设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点.9．双曲线（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为,，与y 轴平行的直线22221x y a b-=1(,0)A a -2(,0)A a 交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是.22221x y a b+=10．若在双曲线（a ＞0,b ＞0）上，则过的双曲线的切线方程是000(,)P x y 22221x y a b-=0P . 00221x x y ya b-=11．若在双曲线（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切000(,)P x y 22221x y a b-=点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是.00221x x y ya b-=12．AB 是双曲线（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的22221x y a b -=中点，则.22OM AB b k k a⋅=13．若在双曲线（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是000(,)P x y 22221x y a b-=. 2200002222x x y y x y a b a b-=-14．若在双曲线（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是000(,)P x y 22221x y a b-=. 22002222x x y y x y a b a b-=-15．若PQ 是双曲线（b ＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则22221x y a b-=. 122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==16．若双曲线（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为22221x y a b-=1Ax By+=,则(1) ;(2) . (0)AB ≠222211A B a b -=+L =17．给定双曲线：（a ＞b ＞0）, ：,1C 222222b x a y a b -=2C 222222222()a b b x a y ab a b+-=-则(i)对上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过上一定点M1C 00(,)P x y 2C . 2222002222(,)a b a b x y a b a b++---(ii)对上任一点在上存在唯一的点,使得的任一直角弦都经过点. 2C '''00(,)P x y 1C 'M 'M 'P 18．设为双曲线（a ＞0,b ＞0）上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦00(,)P x y 22221x y a b-=PP 1, PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点的充要条件是00(,)M mx my -(1)m ≠.212211m b k k m a+⋅=⋅-19．过双曲线（a ＞0,b ＞o ）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交22221x y a b-=00(,)A x y 双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且（常数）.2020BC b x k a y =-20．双曲线（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点22221x y a b-=，则双曲线的焦点角形的面积为，12F PF γ∠=122cot2F PF S b γ∆=. 2(cot 2b Pc γ±21．若P 为双曲线（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦22221x y a b-=点, , ，则（或）. 12PF F α∠=21PF F β∠=tan t 22c a co c a αβ-=+tan t 22c a co c a βα-=+22．双曲线（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式： ,22221x y a b-=1(,0)F c -2(,0)F c 当在右支上时，,.00(,)M x y 10||MF ex a =+20||MF ex a =-当在左支上时，,.00(,)M x y 10||MF ex a =--20||MF ex a =-+23．若双曲线（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜22221x y a b-=时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 1与PF 2的比例中项.124．P 为双曲线（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线左支内一定22221x y a b-=点，则,当且仅当三点共线且在左支时，等号成立. 21||2||||AF a PA PF -≤+2,,A F P P 25．双曲线（a ＞0,b ＞0）上存在两点关于直线：对称的充要条22221x y a b -=l 0()y k x x =-件是.22220222()0a b a x k k a b k b +⎛⎫>≠≠± ⎪-⎝⎭且26．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P 是双曲线（a ＞0，b ＞0）上一点，则点P 对双曲线两焦点张直角的充要sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩条件是. 2211tan e ϕ=-29．设A,B 为双曲线（a ＞0,b ＞0，）上两点，其直线AB 与双曲2222x y k a b-=0,1k k >≠线相交于,则. 22221x y a b-=,P Q AP BQ =30．在双曲线中，定长为2m （）的弦中点轨迹方程为22221x y a b-=0m >()()222222222222222221cosh sinh ,coth ,001sinh cosh coth ,00x y ay a t b t t x t a b bx m x y bx a t b t t y t a b ay ⎧⎡⎤⎛⎫--+=-==⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎛⎫⎪--+=-==⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎣⎦⎩时，弦两端点在两支上，时，弦两端点在同支上31．设S 为双曲线（a ＞0,b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在双曲线右22221x y a b-=支上移动，记|AB|=，是AB 中点，则当时，有l 00(,)M x y l S ≥Φ20min ()2a l x c e=+,);当时，有. 222(c a b =+c e a =l S <Φ0min ()x =32．双曲线（a ＞0,b ＞0）与直线有公共点的充要条件是22221x y a b-=0Ax By C ++=.22222A a B b C -≤33．双曲线（a ＞0,b ＞0）与直线有公共点的充220022()()1x x y y a b ---=0Ax By C ++=要条件是.2222200()A a B b Ax By C -≤++34．设双曲线（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线22221x y a b-=上任意一点，在△PF 1F 2中，记, ,，则有12F PF α∠=12PF F β∠=12F F P γ∠=.sin (sin sin )ce aαγβ==±-35．经过双曲线（a ＞0,b ＞0）的实轴的两端点A 1和A 2的切线，与双曲线上任22221x y a b-=一点的切线相交于P 1和P 2，则. 21122||||P A P A b ⋅=36．已知双曲线（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且22221x y a b-=.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）OP OQ ⊥22221111||||OP OQ a b +=-22224a b b a -的最小值是. OPQ S ∆2222a b b a-37．MN 是经过双曲线（a ＞0,b ＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB 是经过22221x y a b-=双曲线中心O 且平行于MN 的弦，则.2||2||AB a MN =38．MN 是经过双曲线（a ＞b ＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O22221x y a b-=的半弦，则. OP MN ⊥2222111||||a MN OP b a -=-39．设双曲线（a ＞0,b ＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，22221x y a b-=过M 引一条直线与双曲线相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为两顶点)的交点N在直线：上.l 2a x m=40．设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 41．过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设双曲线方程,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线：的共轭22221x y a b-=l y kx =直线上,而且.'y k x =2'2b kk a=43．设A 、B 、C 、D 为双曲线（a ＞0,b ＞o ）上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜22221x y a b-=角分别为，直线AB 与CD 相交于P,且P 不在双曲线上,则,αβ. 22222222||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅-=⋅-44．已知双曲线（a ＞0,b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为双曲线的焦点，22221x y a b-=12F PF ∠的内（外）角平分线为，作F 1、F 2分别垂直于R 、S ，当P 跑遍整个双曲线时，R 、S 形l l 成的轨迹方程是(). 222x y a +=()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤-±⎣⎦=-±45．设△ABC 三顶点分别在双曲线上，且AB 为的直径，为AB 的共轭直径所在的直ΓΓl 线，分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为上一点，则CD 与双曲线相切的充要条件l l Γ是D 为EF 的中点.46．过双曲线（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，22221x y a b-=弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则. ||||2PF eMN =47．设A （x 1 ,y 1）是双曲线（a ＞0,b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为22221x y a b -=2121b x a y 的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 分别是A 到双曲线两焦点的距离，则12,r r.ab =48．已知双曲线（a ＞0,b ＞0）和（ ），一条直线顺次与22221x y a b -=2222x y a bλ-=01λ<<它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB│=|CD│.49．已知双曲线（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分22221x y a b-=线与x 轴相交于点, 则或.0(,0)P x 220a b x a +≥220a b x a+≤-50．设P 点是双曲线（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记22221x y a b-=，则(1).(2) . 12F PF θ∠=2122||||1cos b PF PF θ=-122cot 2PF F S b θ∆=51．设过双曲线的实轴上一点B （m,o ）作直线与双曲线相交于P 、Q 两点，A 为双曲线实轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过B 点的直线MN ：于M ，N 两点,则x n =. 90MBN ∠=()2222()a n m a m a m b n a --⇔=-++52．L 是经过双曲线（a ＞0,b ＞0）焦点F 且与实轴垂直的直线，A 、B 是双曲22221x y a b-=线的两个顶点，e 是离心率,点，若，则是锐角且或P L ∈APB α∠=α1sin eα≤（当且仅当时取等号）.1sin arc eα≤||PF b =53．L 是经过双曲线（a ＞0,b ＞0）的实轴顶点A 且与x 轴垂直的直线，E 、F22221x y a b-=是双曲线的准线与x 轴交点,点，e 是离心率，，H 是L 与X 轴的交点cP L ∈EPF α∠=是半焦距，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.α1sin e α≤1sin arc e α≤||abPA c=54．L 是双曲线（a ＞0,b ＞0）焦点F 1且与x 轴垂直的直线，E 、F 是双曲线准22221x y a b-=线与x 轴交点，H 是L 与x 轴的交点，点，,离心率为e ，半焦距为c ，则P L ∈EPF α∠=为锐角且或（当且仅当时取等号）.α21sin e α≤21sin arc e α≤1||PF =55．已知双曲线（a ＞0,b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与双曲线右支交于22221x y a b-=A 、B 两点，将A 、B 与双曲线左焦点F 1连结起来，则（当且仅222112(2)||||a b F A F B a+⋅≥当AB ⊥x 轴时取等号）.56．设A 、B 是双曲线（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，22221x y a b-=, ,，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)PAB α∠=PBA β∠=BPA γ∠=.(2) .(3) . 22222|cos ||||s |ab PA a c co αα=-2tan tan 1e αβ=-22222cot PAB a b S b aγ∆=+57．设A 、B 是双曲线（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的22221x y a b-=区域）、外部的两点，且、的横坐标，（1）若过A 点引直线与双曲线这一A x B x 2A B x x a ⋅=支相交于P 、Q 两点，则；（2）若过B 引直线与双曲线这一支相交于P 、QPBA QBA ∠=∠两点，则.180PBA QBA ∠+∠=58．设A 、B 是双曲线（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的22221x y a b-=区域），外部的两点，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，（若B P 交双曲线这一支于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且，则点A 、B 的横坐标PBA QBA ∠=∠、满足；（2）若过B 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，且A x B x 2A B x x a ⋅=,则点A 、B 的横坐标满足.180PBA QBA ∠+∠= 2A B x x a ⋅=59．设是双曲线的实轴的两个端点，是与垂直的弦，则直线',A A 22221x y a b-='QQ 'AA AQ与的交点P 的轨迹是双曲线.''AQ 22221x y a b+=60．过双曲线（a ＞0,b ＞0）的右焦点作互相垂直的两条弦AB 、CD,则22221x y a b -=F ；()2228||||||ab AB CD a b a b +≥≠-()22||||4c AB CD a a b a +≥==61．到双曲线（a ＞0,b ＞0）两焦点的距离之比等于（c 为半焦距）的动点22221x y a b -=c ab-M 的轨迹是姊妹圆.222()()x ec y eb ±+=62．到双曲线（a ＞0,b ＞0）的实轴两端点的距离之比等于（c 为半焦距）22221x y a b -=c ab-的动点M 的轨迹是姊妹圆.222()x c y b ±+=63．到双曲线（a ＞0,b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为（c 为半22221x y a b -=c ab-焦距）的动点的轨迹是姊妹圆（e 为离心率）.222()()b x a y e±+=64．已知P 是双曲线（a ＞0,b ＞0）上一个动点，是它实轴的两个端点,且22221x y a b-=',A A ,，则Q 点的轨迹方程是.AQ AP ⊥''AQ A P ⊥222241x b y a a-=65．双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.66．设双曲线（a ＞0,b ＞0）实轴的端点为,是双曲线上的点过P22221x y a b -=',A A 11(,)P x y 作斜率为的直线，过分别作垂直于实轴的直线交于,则（1）2121b x a y l ',A A l ',M M.（2）四边形面积趋近于.''2||||AM A M b =''AMA M 2ab 67．已知双曲线（a ＞0,b ＞0）的右准线与x 轴相交于点，过双曲线右焦点22221x y a b-=l E F的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点在右准线上，且轴，则直线AC 经过线段C l BC x ⊥EF 的中点.68．OA 、OB 是双曲线（a ＞0,b ＞0,且）的两条互相垂直的弦，O 为2222()1x a y a b--=a b ≠坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的2222(,0)ab b a-另一个交点Q 的轨迹方程是（除原点）。
双曲线二级结论大全
双曲线1.122PF PF a -=2.标准方程22221x y a b -= 3.111PF e d =>4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8．设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点.9．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.10．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 11．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.12．AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=.13．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-. 14．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b-=-. 15．若PQ 是双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==. 16．若双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 222211A B a b -=+;(2) 2222||L a A b B =-.17．给定双曲线1C ：222222b x a y a b -=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b+-=-,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 222202222(,)a b a b x y a b a b++---. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设00(,)P x y 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1,PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a+⋅=⋅-.19．过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =-（常数）.20．双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122cot2F PF S b γ∆=，2(cot )2b Pc γ± . 21．若P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα-=+）.22．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =--,20||MF ex a =-+.23．若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 1与PF 2的比例中项.24．P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线左支内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 在左支时，等号成立. 25．双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()0a b a x k k a b k b +⎛⎫>≠≠± ⎪-⎝⎭且.26．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P 是双曲线sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞0，b ＞0）上一点，则点P 对双曲线两焦点张直角的充要条件是2211tan e ϕ=-. 29．设A,B 为双曲线2222x y k a b-=（a ＞0,b ＞0，0,1k k >≠）上两点，其直线AB 与双曲线22221x y a b-=相交于,P Q ,则AP BQ =. 30．在双曲线22221x y a b-=中，定长为2m （0m >）的弦中点轨迹方程为()()222222222222222221cosh sinh ,coth ,001sinh cosh coth ,00x y ay a t b t t x t a b bx m x y bx a t b t t y t a b ay ⎧⎡⎤⎛⎫--+=-==⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎛⎫⎪--+=-==⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎣⎦⎩时，弦两端点在两支上，时，弦两端点在同支上31．设S 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在双曲线右支上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20min ()2a l x c e =+222(c a b =+,c e a =);当l S <Φ时，有0min ()x =32．双曲线22221x ya b-=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A a B b C -≤.33．双曲线220022()()1x x y y a b ---=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C -≤++.34．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.35．经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的实轴的两端点A 1和A 2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||P A P A b ⋅=. 36．已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -.37．MN 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB 是经过双曲线中心O 且平行于MN 的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP b a -=-. 39．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与双曲线相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为两顶点)的交点N在直线l ：2a x m=上.40．设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.41．过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设双曲线方程22221x y a b-=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=.43．设A 、B 、C 、D 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P,且P 不在双曲线上,则22222222||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅-=⋅-.44．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为双曲线的焦点，12F PF ∠的内（外）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个双曲线时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤-±⎣⎦=-±). 45．设△ABC 三顶点分别在双曲线Γ上，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与双曲线Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y 的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是A到双曲线两焦点的距离，则ab =.48．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）和2222x y a bλ-=（01λ<< ），一条直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB│=|CD│.49．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a+≥或220a b x a +≤-.50．设P 点是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 122cot 2PF F S b θ∆=.51．设过双曲线的实轴上一点B （m,o ）作直线与双曲线相交于P 、Q 两点，A 为双曲线实轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过B 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则90MBN ∠=o()2222()a n m a m a m b n a --⇔=-++. 52．L 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 且与实轴垂直的直线，A 、B 是双曲线的两个顶点，e 是离心率,点P L ∈，若APB α∠=，则α是锐角且1sin eα≤或1sin arc eα≤（当且仅当||PF b =时取等号）.53．L 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的实轴顶点A 且与x 轴垂直的直线，E 、F是双曲线的准线与x 轴交点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c是半焦距，则α是锐角且1sin e α≤或1sin arc e α≤（当且仅当||abPA c=时取等号）.54．L 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 1且与x 轴垂直的直线，E 、F 是双曲线准线与x 轴交点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且21sin e α≤或21sin arc e α≤（当且仅当1||PF =.55．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与双曲线右支交于A 、B 两点，将A 、B 与双曲线左焦点F 1连结起来，则222112(2)||||a b F A F B a+⋅≥（当且仅当AB ⊥x 轴时取等号）.56．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αα=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b aγ∆=+. 57．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域）、外部的两点，且A x 、B x 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则180PBA QBA ∠+∠=o.58．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域），外部的两点，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，（若B P 交双曲线这一支于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，且180PBA QBA ∠+∠=o ,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是双曲线22221x y a b-=的实轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b+=.60．过双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD,则()2228||||||ab AB CD a b a b +≥≠-；()22||||4c AB CD a a b a +≥==61．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）两焦点的距离之比等于c ab-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()x ec y eb ±+=.62．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的实轴两端点的距离之比等于c ab-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x c y b ±+=.63．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为c ab-（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆222()()b x a y e±+=（e 为离心率）.64．已知P 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上一个动点，',A A 是它实轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a-=.65．双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.66．设双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）实轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是双曲线上的点过P作斜率为2121b x a y 的直线l ，过',A A 分别作垂直于实轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''AMA M 面积趋近于2ab .67．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是双曲线2222()1x a y a b--=（a ＞0,b ＞0,且a b ≠）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab b a-.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y b a b a-+=--（除原点）。
高中数学双曲线二级结论大全
双曲线二级结论大全1.122PF PF a -=2.标准方程22221x y a b -= 3.111PF e d =>4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8．设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点.9．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.10．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=.11．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b -=.12．AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=.13．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-. 14．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b-=-. 15．若PQ 是双曲线22221x y a b-=（b ＞ a ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==. 16．若双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1)222211A B a b -=+;(2) 2222||L a A b B =-. 17．给定双曲线1C ：222222b x a y a b -=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b+-=-,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 222202222(,)a b a b x y a b a b++---. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设00(,)P x y 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a+⋅=⋅-. 19．过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =-（常数）.20．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122cot 2F PF S b γ∆=，2(cot )2b P c γ± . 21．若P 为双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα-=+）.22．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =--,20||MF ex a =-+.23．若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 1与PF 2的比例中项.24．P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线左支内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 在左支时，等号成立.25．双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()0a b a x k k a b k b +⎛⎫>≠≠± ⎪-⎝⎭且.26．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28．P 是双曲线sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞0，b ＞0）上一点，则点P 对双曲线两焦点张直角的充要条件是2211tan e ϕ=-.29．设A,B 为双曲线2222x y k a b -=（a ＞0,b ＞0，0,1k k >≠）上两点，其直线AB 与双曲线22221x y a b-=相交于,P Q ,则AP BQ =.30．在双曲线22221x y a b-=中，定长为2m （0m >）的弦中点轨迹方程为()()222222222222222221cosh sinh ,coth ,001sinh cosh coth ,00x y ay a t b t t x t a b bx m x y bx a t b t t y t a b ay ⎧⎡⎤⎛⎫--+=-==⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎛⎫⎪--+=-==⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎣⎦⎩时，弦两端点在两支上，时，弦两端点在同支上 31．设S 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在双曲线右支上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20min ()2a l x c e =+222(c a b =+,ce a=);当l S <Φ时，有0min ()x =32．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC -≤.33．双曲线220022()()1x x y y a b---=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C -≤++.34．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce a αγβ==±-. 35．经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的实轴的两端点A 1和A 2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||P A P A b ⋅=. 36．已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -. 37．MN 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB 是经过双曲线中心O且平行于MN 的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过双曲线22221x y a b -=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP b a -=-. 39．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与双曲线相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为两顶点)的交点N 在直线l ：2a x m=上.40．设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.41．过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设双曲线方程22221x y a b-=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=.43．设A 、B 、C 、D 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P,且P 不在双曲线上,则22222222||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅-=⋅-.44．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为双曲线的焦点，12F PF ∠的内（外）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个双曲线时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤-±⎣⎦=-±). 45．设△ABC 三顶点分别在双曲线Γ上，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与双曲线Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y 的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是Aab =.48．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）和2222x y a bλ-=（01λ<< ），一条直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB│=|CD│.49．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a+≥或220a b x a +≤-.50．设P 点是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 122cot 2PF F S b θ∆=.51．设过双曲线的实轴上一点B （m,o ）作直线与双曲线相交于P 、Q 两点，A 为双曲线实轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过B 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则90MBN ∠=()2222()a n m a ma mb n a --⇔=-++. 52．L 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 且与实轴垂直的直线，A 、B 是双曲线的两个顶点，e是离心率,点P L ∈，若APB α∠=，则α是锐角且1sin e α≤或1sin arc eα≤（当且仅当||PF b =时取等号）.53．L 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的实轴顶点A 且与x 轴垂直的直线，E 、F 是双曲线的准线与x 轴交点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且1sin eα≤或1sin arc e α≤（当且仅当||abPA c =时取等号）.54．L 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 1且与x 轴垂直的直线，E 、F 是双曲线准线与x 轴交点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且21sin eα≤或21sin arc e α≤（当且仅当1||PF =.55．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与双曲线右支交于A 、B 两点，将A 、B 与双曲线左焦点F 1连结起来，则222112(2)||||a b F A F B a +⋅≥（当且仅当AB ⊥x 轴时取等号）.56．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αα=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=+.57．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域）、外部的两点，且A x 、B x 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则180PBA QBA ∠+∠=. 58．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域），外部的两点，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，（若B P 交双曲线这一支于两点，则P 、Q不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，且180PBA QBA ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是双曲线22221x y a b -=的实轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ 与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b +=.60．过双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD,则()2228||||||ab AB CD a b a b +≥≠-；()22||||4c AB CD a a b a +≥==61．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）两焦点的距离之比等于c ab -（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()x ec y eb ±+=.62．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的实轴两端点的距离之比等于c ab-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x c y b ±+=.63．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为c ab-（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆222()()b x a y e ±+=（e 为离心率）.64．已知P 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上一个动点，',A A 是它实轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a-=.65．双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.66．设双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）实轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是双曲线上的点过P 作斜率为2121b x a y 的直线l ，过',A A 分别作垂直于实轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''AMA M 面积趋近于2ab .67．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是双曲线2222()1x a y a b--=（a ＞0,b ＞0,且a b ≠）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab b a-.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y b a b a-+=--（除原点）。
双曲线中点弦二级结论
在双曲线中，中点弦二级结论是一个关于双曲线中点弦的几何性质。
下面是双曲线中点弦二级结论的表述和解释：
假设在双曲线上取一点P，并以点P为端点在双曲线上作一条切线，该切线与双曲线的交点分别为A和B。
如果以点P为中点，作通过点P的弦CD，且弦CD与双曲线交于点E和F，则点E、F是切线AB上的两个定点。
换句话说，点E和F与切线AB的距离相等，且它们都在双曲线的对称轴上。
这个结论可以通过双曲线的几何性质和切线的定义来推导和证明。
在双曲线上取任意一点P，作切线AB，并将切线AB延长，使其与双曲线交于点C和D。
然后以点P为中点作弦CD，连接点E和F，我们可以证明点E和F满足上述的几何特性。
这个结论在双曲线的研究中有一些重要的应用，特别是在双曲线的对称性和切线性质的推导中。
它也是双曲线的一项基本几何性质，对于理解和分析双曲线的形态和性质非常有帮助。
双曲线焦点三角形二级结论
双曲线焦点三角形二级结论双曲线焦点三角形是指位于双曲线两侧的一组特殊三角形，它们有一些有趣的性质。
以下是几个重要的二级结论：
1. 在双曲线左右两侧的所有焦点三角形都是相似三角形。
2. 所有的焦点三角形面积都相等。
3. 若以双曲线的一个焦点F作为顶点，分别连接另一侧的两个顶点A、B和另一个焦点G，那么AF:FB=BG:GA等于离心率e。
4. 双曲线的焦半径公式r=(a²+b²)/c，其中a是长轴半径，b是短轴半径，c是焦距的一半。
5. 在一条准线和一条渐近线相切的三角形中，该三角形的面积等于准线的平方和焦距的乘积的一半。
6. 如果三角形的一边平行于渐近线，则该三角形的两边之差等于第三边。
7. 若以双曲线的一个焦点为中心，绕长轴旋转一周，形成的立体图形为椭球体。
双曲线必备二级结论
双曲线必备二级结论1. 什么是双曲线？双曲线是数学中的一种曲线，它是由平面上一条直线和一个固定点（称为焦点）及其到直线的距离比之于另一个固定点（称为准线）到直线的距离比等于一个常数的点的集合。
2. 双曲线的基本性质2.1 双曲线的定义双曲线是由一个点F（焦点）和一条直线L（准线）确定的，对于平面上的任意一点P，其到焦点F的距离与到准线L的距离之比等于一个常数e（离心率）。
2.2 双曲线的标准方程双曲线的标准方程为：x 2a2−y2b2=1，其中a为焦点到原点的距离，b为准线到原点的距离。
2.3 双曲线的对称轴、顶点和渐近线•对称轴：双曲线的对称轴是准线L的垂直平分线，方程为x=0。
•顶点：双曲线的顶点是焦点F和准线L的交点，坐标为(0,0)。
•渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与双曲线无限延伸时的曲线趋于重合，方程为y=x。
2.4 双曲线的离心率和焦距•离心率：离心率e是一个常数，表示焦点到准线的距离与焦点到双曲线上任意一点的距离之比。
离心率的计算公式为e=。
•焦距：焦距c是焦点到准线的距离，计算公式为c=。
2.5 双曲线的渐近线斜率双曲线的渐近线斜率为。
2.6 双曲线的图像特点双曲线的图像特点包括：无界性、两支曲线、渐近线、对称性等。
3. 双曲线的分类双曲线根据离心率e的大小可以分为三种情况：e>1时为双曲线、e=1时为抛物线、e<1时为椭圆。
4. 双曲线的应用4.1 物理学中的应用双曲线在物理学中有广泛的应用，例如天体运动的轨道、电场和磁场的分布等都可以用双曲线来描述。
4.2 工程学中的应用双曲线在工程学中也有很多应用，例如桥梁设计、电子电路设计等都需要用到双曲线的知识。
4.3 经济学中的应用双曲线在经济学中也有一些应用，例如需求曲线和供给曲线的交点就可以用双曲线来描述。
5. 总结双曲线是数学中的一种重要曲线，具有许多特点和应用。
通过学习双曲线的定义、标准方程、基本性质和应用，我们可以更好地理解双曲线的几何特性和实际意义，为进一步的学习和应用打下坚实的基础。
双曲线渐近线二级结论
双曲线渐近线二级结论双曲线是一种常见的二次曲线，它有许多特殊的性质和特点。
其中一项非常重要的特性是其渐近线。
在本文中，我们将重点介绍双曲线渐近线的二级结论。
首先，我们需要了解什么是双曲线的渐近线。
当一条直线在双曲线的某个定点周围旋转时，它会接近于双曲线而不会与其相交。
这个直线就被称为双曲线的渐近线。
由于双曲线呈现出一定的对称性，它的渐近线有两条，并且它们分别沿着双曲线的两条支线稳定下降。
结论1：渐近线可以用极限符号表示。
令F(x,y)=ax2+2hxy+by2，其中a,b,h为常数。
设双曲线的方程为F(x,y)=1，它的两条支线的斜率分别为m1和m2，则渐近线的方程可以用以下的极限符号表示：m1x-y→-∞，m2x-y→∞时，F(x,y)→0结论2：支线的斜率需要满足一定的条件。
在计算渐近线之前，我们需要先找到双曲线的支线。
为此，我们需要求解方程F(x,y)=1的两个根。
这些根将与双曲线的两个支线相对应。
设支线的斜率为mi，则有以下的公式：mi=-h±√(h^2-ab) / a其中，h^2-ab是判别式，用于判断支线是否存在。
如果h^2-ab>0，则存在两个实数斜率；如果h^2-ab=0，则存在一个实数斜率；如果h^2-ab<0，则存在两个虚数斜率。
结论3：渐近线将双曲线分成四个象限。
我们已经知道，双曲线的渐近线有两条，它们分别沿着双曲线的两条支线稳定下降。
这意味着，当我们轨迹向某个支线的方向逼近时，相邻于该方向的三个象限（即第一、第二和第四象限）将变得极其稳定，并逐渐收敛于一点，即双曲线的渐近线。
相反，当轨迹向另一个支线的方向逼近时，第三象限会变得异常稳定，同时第一、第二和第四象限会逐渐失去稳定性。
这表明，渐近线将双曲线分成四个不同的象限。
在每个象限中，轨迹都将有不同的特征，并遵循双曲线特殊的规则。
结论4：渐近线与对称轴垂直。
对称轴是一条沿着双曲线中心对称的直线。
对称轴与渐近线垂直的证明如下：设双曲线的中心是点（0,0）。
双曲线 二级结论
双曲线二级结论双曲线二级结论有：1. 已知双曲线的离心率 e，半轴长 a 和 b，则双曲线的渐近线方程为 y = ±(b/a)x。
2. 已知双曲线的一个焦点和与其对应的准线方程，则可以确定双曲线的标准方程。
3. 已知双曲线的一个焦点和与其对应的顶点，则可以确定双曲线的标准方程。
4. 已知双曲线的一个顶点和与其对应的准线方程，则可以确定双曲线的标准方程。
5. 已知双曲线的一个顶点和与其对应的焦点，则可以确定双曲线的标准方程。
6. 已知双曲线的一个焦点和与其对应的渐近线方程，则可以确定双曲线的标准方程。
7. 已知双曲线的一个顶点和与其对应的渐近线方程，则可以确定双曲线的标准方程。
8. 双曲线过焦点的直线交双曲线于AB两点，并分别交准线于CD两点，那么有：|AB| * |CD| = |PF1| * |PF2| = 2b² / a。
9. 过点（m，0）作x轴的垂线，垂足为M，若直线y = kx + b与直线OM的斜率的乘积为-1，则：y = kx + b与双曲线只有一个交点；y = kx + b与双曲线相交于A、B两点，且点P是弦AB的中点，当PA与x轴垂直时，直线PA的斜率为k或-k。
10. 若以原点为中心，实轴在x轴上（2a＜2c），右焦点为F（c，0），左焦点为F'（-c，0），过F作直线交双曲线于A、B两点，过F'作直线交双曲线于C、D 两点。
那么有：①当AB是垂直于x轴的直线时，CD是垂直于x轴的直线；当AB 不是垂直于x轴的直线时，CD不是垂直于x轴的直线。
②若直线AB和CD的斜率都存在且不为0，则有：若直线AB的斜率与CD的斜率互为相反数，则直线AB 与CD平行。
③若直线AB和CD的斜率都存在且不为0，则有：若直线AB的斜率与CD的斜率互为倒数，则直线AB与CD重合。
④若直线AB与CD相交于点Q，则有：点Q必在圆x² + y² = c²上。
双曲线二级结论的应用
双曲线二级结论的应用
1. 物理学应用，在物理学中，双曲线二级结论可以应用于描述光学系统中的折射现象。
根据双曲线二级结论，当光线从一种介质射入另一种介质时，光线在界面上会发生折射，折射角可以通过双曲线二级结论来计算。
这在光学仪器的设计和光学材料的选择中非常重要。
2. 工程学应用，在工程学中，双曲线二级结论可以应用于电磁场的传输线理论。
传输线理论是电磁场在导线或波导中传播的数学模型，而双曲线二级结论可以用来描述传输线上的电磁波的传播特性。
这在电信领域的信号传输和电磁场的分析中具有重要意义。
3. 经济学应用，在经济学中，双曲线二级结论可以应用于描述供需关系和市场均衡。
根据双曲线二级结论，供给曲线和需求曲线的交点即为市场均衡点，决定了商品的价格和数量。
这在经济学的市场分析和政策制定中起着重要作用。
4. 数学应用，在数学中，双曲线二级结论可以应用于解决各种数学问题。
例如，双曲线二级结论可以用来求解二次方程的根，计算双曲函数的性质和图像，以及解决一些几何问题。
它还与椭圆和
抛物线等其他二次曲线的性质有着密切的联系，共同构成了二次曲线的研究领域。
总结起来，双曲线二级结论在物理学、工程学、经济学和数学等领域都有广泛的应用。
它不仅可以用来描述自然现象和解决实际问题，还是数学理论的重要组成部分。
通过深入理解和应用双曲线二级结论，我们可以更好地理解和解决与双曲线相关的各种问题。
共焦点的椭圆和双曲线二级结论
共焦点的椭圆和双曲线二级结论“椭圆和双曲线共有两个焦点”是古希腊数学家高斯（J.CarlFriedrichGauss）提出的一个二级结论，它被认为是微积分的基础。
双曲线和椭圆的二级结论是关于它们共有两个焦点的。
在数学方面，遵循这一原理可以计算出它们的特定熊熊特征。
双曲线和椭圆都是曲线，可以用一元多项式方程表示。
它们的曲线根据它们自身的二次形式来定义。
椭圆形可以用椭圆方程表示，形式为 Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，双曲线形可以用双曲线方程表示，形式如 Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 。
共焦点的椭圆和双曲线二级结论表明，椭圆和双曲线都具有两个焦点，它们可以用它们自身的方程来表示，这些方程可以用以下方式表示：对于椭圆：F1 = (A+C)(B*B-4*A*C)，F2 = (B*B*C-4*A*C*D-B*B*E)*E 对于双曲线：F1 = (A+B)(B*B-4*A*B)，F2 = (A*B*C-4*A*B*D-A*B*E)*E 其中F1和F2分别为椭圆或双曲线的第一个和第二个焦点的坐标。
高斯提出的这一二级结论可以用多种方式来证明，例如用轨迹作为证明，也可以用坐标系来证明。
轨迹的证明方式是根据椭圆或双曲线的两个焦点的位置，可以计算出椭圆或双曲线经过的轨迹。
而坐标系证明方式是利用两个焦点来构造出坐标系（即把二次函数转化为极坐标表示），然后从此图中确定出椭圆或双曲线的两个焦点。
此外，椭圆或双曲线的两个焦点也可以用数学方式表示，例如椭圆的两个焦点分别为：F1=(-B+√(B^2-4AC))/2A;F2=(-B-√(B^2-4AC))/2A 双曲线的两个焦点分别为：F1=(-B+√(B^2-4AB))/2A;F2=(-B-√(B^2-4AB))/2A 同时，解析几何学也可以用来证明这一二级结论。
解析几何学是基于几何变换的性质来形象地展示或证明几何结论的方法，它可以用来证明椭圆和双曲线共有两个焦点。
直线与双曲线二级结论
直线与双曲线二级结论
在几何学中，直线和双曲线是两种不同类型的曲线。
下面是关于直线和双曲线的二级结论：
1.直线的性质：
o直线是一条无限延伸的曲线，由无数个点组成。
o直线上的任意两点可以连成一条直线段，且直线段长度是两点之间的最短距离。
o两条直线如果没有公共点，它们被称为平行线。
o任意一点到直线的距离始终保持一致。
2.双曲线的性质：
o双曲线是一种对称曲线，其形状类似于一个开口的对称曲线。
它与一个点（焦点）和一条直线（准线）
的关系密切。
o双曲线上的每一点到焦点和准线的距离之差是一个常数，被称为离心率。
o双曲线具有两支，每支具有相同的形状和性质，但具有不同的方向和焦点。
3.直线和双曲线的关系：
o直线可以与双曲线相交、相切或不相交。
o如果一条直线与双曲线相交于两个点，那么这条直线被称为双曲线的切线。
o双曲线的焦点和准线分别位于直线上的两个焦点和
准线上的两个切点之间。
直线也可以通过双曲线的
顶点。
这些结论描述了直线和双曲线在几何学中的基本性质和关系。
双曲线离心率二级结论大龙
双曲线离心率二级结论大龙双曲线常用二级结论内容如下：1、双曲线可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。
这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。
a还叫做双曲线的实半轴。
焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一般位于原点处。
2、在数学中，双曲线（多重双曲线或双曲线）是位于平面中的一种平滑曲线，由其几何特性或其解决方案组合的方程定义。
双曲线有两片，称为连接的组件或分支，它们是彼此的镜像，类似于两个无限弓。
3、双曲线是由平面和双锥相交形成的三种圆锥截面之一。
（其他圆锥部分是抛物线和椭圆，圆是椭圆的特殊情况）如果平面与双锥的两半相交，但不通过锥体的顶点，则圆锥曲线是双曲线。
4、双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直（较低曲率）的两个臂。
对角线对面的手臂，一个从每个分支，倾向于一个共同的线，称为这两个臂的渐近线。
所以有两个渐近线，其交点位于双曲线的对称中心，这可以被认为是每个分支反射以形成另一个分支的镜像点。
5、双曲线共享许多椭圆的分析属性，如偏心度，焦点和方向图。
许多其他数学物体的起源于双曲线，例如双曲抛物面，双曲线几何，双曲线函数和陀螺仪矢量空间。
双曲线的标准方程推导：双曲线有两个焦点，两条准线。
注意：尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线。
但是给定同侧的一个焦点，一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支，而两侧的焦点，准线和相同离心率得到的双曲线是相同的。
渐近线和双曲线不相交。
渐近线的方程求法是：将右边的常数设为0，即可用解二元二次的方法求出渐近线的解，例如：X2/2-Y2/4=1，令1=0，则X2/2=Y2/4，则双曲线的渐近线为Y=±(√2)X。
一般地把直线Y=±(b/a)X叫做双曲线的渐进线，焦点在y轴上直线为Y=±(a/b)X双曲线x2/a2-y2/b2=1上一点与两顶点连线的斜率之积为b2/a2。
双曲线二级结论
双曲线二级结论双曲线研究是深受学者们关注的一项重要的数学研究课题，它可以广泛应用于工程学、物理学、数学和其他领域。
本文就双曲线的二级结论进行研究，主要为以下几点：一、双曲线的定义双曲线是一类平面曲线，它满足被称为双曲线方程的给定条件。
双曲线包括几何上的对称性、可导性等性质，划分为真双曲线和假双曲线，以及具有介于两者之间的分布性。
二、双曲线的偏射线//双曲线的偏射线是指以圆心为始点的弦连线，与双曲线的直线生成的集合称为双曲线的偏射线。
双曲线的偏射线具有曲率的变化、交点的变化等特性。
三、双曲线的对称性//双曲线具有自反性、中心对称性和轴对称性这三种基本的几何对称性。
自反性表示双曲线具有图案和定义域的循环翻转对称性；中心对称性是指双曲线的图案从圆心开始点对称地回绕；轴对称性指双曲线的图案是以一条直线的轴线对称的。
四、双曲线的积分//可以用高等数学中被称为“双曲线积分”的方法，来定义双曲线的图案和大小关系。
双曲线积分是一种运用积分论技巧确定双曲线面积大小的方法，它可以有效地确定双曲线的图案和表现形式。
五、双曲线的解析//若要求解一个双曲线，可以用双曲线解析法。
双曲线解析法是一种以双曲线方程形式进行求解双曲线的方法，可以根据双曲线的特征求得双曲线的具体图形表示，这有助于我们更好地理解双曲线的结构特征。
六、双曲线的应用//双曲线可以广泛应用于工程学、物理学、数学等领域。
在物体运动的分析中，双曲线可以用来表达物体运动轨迹；在力学影像记录技术中，双曲线可以精确地表达物体声音图像；在控制流程及精密建模中，双曲线可以实现机械动作精确触摸等。
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