最优捕鱼策略(1)
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第一步 得出基本模型 • 给出第k年底i 龄鱼的数量Ni1(k)与第k年初i 龄鱼的数量Ni0(k)之间的递推关系 • 给出年度捕鱼量 • 给出第k+1年初i 龄鱼的数量Ni0(k+1)与第k年初i 龄鱼的数量Ni0(k+1)的递推关系
第二步 得出最终模型 • 根据可持续捕捞的要求, 给出约束条件及其目标函数
最优捕鱼策略(1)
由于每年各龄鱼的演化规律相同，且捕捞模式相
同，综上可得：
第k年底i 龄鱼的数量Ni1(k)对第k年初i 龄鱼的数量Ni0(k) 的
递推关系
(4最优捕鱼策略(1)
由各龄鱼之间的年龄增长关系,并假定产卵在年底一次完成,利用关系 式(4)得
从而第k+1年初i 龄鱼的数量Ni0 (k+1)与第k年初i 龄鱼的数量Ni0 (k) 的递
最优捕鱼策略(1)
3rew
演讲完毕，谢谢听讲!
再见，see you again
2020/11/17
最优捕鱼策略(1)
最优捕鱼策略(1)
2020/11/17
最优捕鱼策略(1)
（1）建立数学模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场中
各年龄组鱼群条数不变)，并且在此前提下得到最高年收获量（捕捞总重 量）。 （2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产 能力不能受到太大破坏。
已 知 承 包 时 各 年 龄 组 鱼 群 数 量 分 别 为 ： 122 ， 29.7 ， 10.1 ， 3.29 （×109条）。如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采用怎样的策略才 能使总收获量最高。
Qk —k年度鱼产卵总量
p —鱼卵的成活率
Mi—第i 龄鱼的平均重量(i=1，2，3，4) Ei —第i 龄鱼的捕捞强度系数 ai —对i 龄鱼的年捕捞量(i=3，4） W—年总收获量，即W=M3a3+M4a4 WW — 5年的总收获量为，即
最优捕鱼策略(1)
由已知条件，可得
（E为捕捞努力量）
模型的建立
最优捕鱼策略(1)
(2) 针对渔业公司的5年固定努力量的捕捞计划，我们在已知 各年龄组鱼初始条数的前提下，利用迭代方程(6)可逐次求得 以后各年龄组鱼的初始条数，以及各年的年度捕捞收获量， 这些量都是E4的函数。
数值解得
WWmax=1.6057×1012g
E4=17.58
E3=7.383
W1=1.6057×1012g W2=1.6057×1012g W3=1.6057×1012g W4=1.6057×1012g W5=1.6057×1012g
（5）假设对鱼的捕捞用固定努力量捕捞方式，每年的捕捞强 度系数保持不变，且捕捞只在前八个月进行.
最优捕鱼策略(1)
符号说明
Ni(t)—t 时刻i 龄鱼的数量 Ni0 (k) —第k 年初i 龄鱼的数量 Ni1 (k)___第k年底i 龄鱼的数量 (i=1，2，3，4)
r—鱼的自然死亡率 c —4龄鱼的平均产卵量 (则c/2为3龄鱼的平均产卵量)
推关系为
(6)
(5)式是每年捕鱼的总收获量，式 (6)刻划了鱼群各年龄组每年 的变化情况，它们一起构成了基本模型。 最优捕鱼策略(1)
第二步
（1）为了实现可持续的最大捕捞（即每年开始捕捞时渔场 中各年龄组鱼群条数不变），即要求的前提下获得最高年收获 量。结合基本模型，即可得到年度产量最优模型：
(7)
(2)
由(2)式解得
从而
对于3、4龄鱼由于后四个月无捕捞，只有自然死亡，所以在后 四个月其数量演化的方程为
(3)
解得
从而
最优捕鱼策略(1)
由于仅在前八个月捕捞,且仅捕捞3龄鱼和4领鱼，而且捕捞 强度系数表示的是单位时间内捕捞量与各年龄组鱼群总量成正
比的比例系数，所以对i 龄鱼的年捕捞量为
从而一年内捕鱼总收获量为
最优捕鱼策略(1)
M3=17.86;M4=22.99;M=M3*a3+M4*a4;M1=-M; M10=char(M); M11=char(M1); fplot(M10,[0,100]) E4=fmin(M11,0,100); E3=0.42*E4; d=1.22*10^11; r=0.8; q=d*exp(-(3*r+2/3*E3))*(32529.55*exp(r)+65059.1*exp(2/3*E4)/(1-exp(-(r+2/3*E4)))); N10=d*q/(d+q); N40=d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*E3))/(1-exp(-(r+2/3*E4)));
最优捕鱼策略(1)
第一步（时间以年为单位，考虑一年内各龄鱼数量的演化）
已知r为自然死亡率，其定义为单位时间内死亡的鱼的数
量与鱼的总量之比。由于不捕捞1、2龄鱼，所以在[t，t+Δt]内，
根据死亡率的定义，
变形得
解得 从而
(1)
最优捕鱼策略(1)
对于3、4龄鱼由于捕捞在前8个月进行，因此在前8个月内，捕 捞与死亡均影响鱼的变化，因而微分方程变形为
在刻划了鱼群各年龄组每年的变化情况的迭代式 (6)中，令 Ei=0，并让Ni0 (k+1)= Ni0 (k) 得无捕捞下的平衡点：
N1=1.21981×1011， N2=5.48098×1011， N3=2.46276×1011， N4=2.00953×1011.
由 于 无 捕 捞 时 ， Ni(t) 呈 指 数 分 布 ， 可 以 认 为 当 Ni(t) ≥sqrt(2)/2Ni时鱼群已恢复生产力。而鱼恢复得越快，即对鱼 的生产能力破坏越少，因此我们可以认为捕捞结束后的四年(鱼 的一个生长周期)内恢复生产能力，那么捕捞就对鱼的生产能力 没有破坏！
建模过程完了吗？
最优捕鱼策略(1)
模型检验
合同要求五年后鱼群的生产能力不能收到太大的破坏，那 么我们所得的解是否满足要求呢？这就要做模型检验。
为了分析对鱼群的生产能力的破坏程度，通常认为在天然 情况下，鱼的生态系数总能趋于平衡，而对鱼的捕捞，使鱼的 数量偏离了其平衡点。因而可以用五年捕捞后鱼群数量恢复所 需的年数来衡量对鱼的生产能力的破坏程度。
其中约束条件第二个等号说明各组鱼群条数及产卵量均与k无关。
最优捕鱼策略(1)
优化模型（7）中的约束条件与k无关，故可把k丢掉，并利用 E3=0.42E4，把目标函数和约束条件同时化简得
(7’)
注意到四个约束条件中含五个变量,因此从约束方程组可用符号 计算软件解出Ni0(i=1，2，3，4),它们都是E4的函数,从而目标 函数就是E4的一元函数.问题最终归结为一元函数的极值问题. 该模型也可完全通过数值迭代求解！ 即： E4从0开始，逐渐增加，逐个计算W，挑出使W最大的E4。
最优捕鱼策略(1)
E3 = 7.335 E4 =17.4664 Max =3.8886e+11
各年龄组数为
N1 =1.1958e+11 N2 = 5.3730e+10 N3 =2.4142e+10 N4 =8.1544e+7
最优捕鱼策略(1)
W(g)
E4
图4-5 年度总捕获量随捕捞强度E4的变化曲线
最优捕鱼策略(1)
为了验证所得到的使得五年捕捞量最大的E4符合不对鱼生 产力造成较大破坏的要求，又通过计算来观察打工经过5年捕捞 及停止捕捞后鱼的数量的恢复过程。画图可知停止捕捞后两年 鱼的生产力就会得到恢复，所以我们可以认为没有破坏生产力， 这是一个可接受的策略(详细请见P238)。
模型评价
本模型结合Leslie矩阵离散建模和微分方程连续建模的方法， 成功地解决了可持续捕捞问题最优解及已知初始分布的最优捕 捞问题，得到了较为精确且合理的结果，并可将捕捞年限推广 到任意的年限。本模型具有广泛的普遍性和适用性：只要改变 其中的部分系数如死亡率和初始分布，即可应用于其它种群的 生存和开发问题。以此模型为理论基础，可制定出开发可再生 资源的最优策略，具有现实意义。
最优捕鱼策略(1)
a3=E3/(r+E3)*(1-exp(-2/3*(r+E3)))*d*q/(d+q)*exp(-2*r); a4=E4/(r+E4)*(1-exp(-2/3*(r+E4)))*d*q/(d+q)*exp((3*r+2/3*E3))/(1-exp(-(r+2/3*E4))); M3=17.86;M4=22.99; E3 E4 M=M3*a3+M4*a4; Max=M N1=N10 %各年龄组鱼的数量 N2=N1*exp(-r) N3=N2*exp(-r) N4=N40 执行后输出
最优捕鱼策略(1)
模型的假设
（1）假设只考虑一种鱼的繁殖和捕捞，鱼群增长过程中不 考虑鱼的迁入与迁出.
（2）假设各年龄组的鱼在一年内的任何时间都会发生自然 死亡，产卵可在后四个月内任何时间发生.
（3）假设3、4龄鱼全部具有生殖能力，或者虽然雄鱼不产 卵，但平均产卵量掩盖了这一差异.
（4）假设各年龄组的鱼经过一年后，即进入高一级的年龄组， 但4龄鱼经过一年后仍视为4龄鱼.
最优捕鱼策略(1)
模型的求解
供参考的MATLAB计算程序
%最优捕鱼策略ch431 %文件名：ch431.m x=sym('x'); E3=0.42*x; d=1.22*10^11; r=0.8; q=d*exp(-(3*r+2/3*E3))*(32529.55*exp(r)+65059.1*exp(2/3*x)/(1-exp(-(r+2/3*x)))); N10=d*q/(d+q); N40=d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*E3))/(1-exp(-(r+2/3*x))); a3=E3/(r+E3)*(1-exp(-2/3*(r+E3)))*d*q/(d+q)*exp(-2*r); a4=x/(r+x)*(1-exp(-2/3*(r+x)))*d*q/(d+q)*exp((3*r+2/3*E3))/(1-exp(-(r+2/3*x)));
第二步 得出最终模型 • 根据可持续捕捞的要求, 给出约束条件及其目标函数
最优捕鱼策略(1)
由于每年各龄鱼的演化规律相同，且捕捞模式相
同，综上可得：
第k年底i 龄鱼的数量Ni1(k)对第k年初i 龄鱼的数量Ni0(k) 的
递推关系
(4最优捕鱼策略(1)
由各龄鱼之间的年龄增长关系,并假定产卵在年底一次完成,利用关系 式(4)得
从而第k+1年初i 龄鱼的数量Ni0 (k+1)与第k年初i 龄鱼的数量Ni0 (k) 的递
最优捕鱼策略(1)
3rew
演讲完毕，谢谢听讲!
再见，see you again
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最优捕鱼策略(1)
最优捕鱼策略(1)
2020/11/17
最优捕鱼策略(1)
（1）建立数学模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场中
各年龄组鱼群条数不变)，并且在此前提下得到最高年收获量（捕捞总重 量）。 （2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产 能力不能受到太大破坏。
已 知 承 包 时 各 年 龄 组 鱼 群 数 量 分 别 为 ： 122 ， 29.7 ， 10.1 ， 3.29 （×109条）。如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采用怎样的策略才 能使总收获量最高。
Qk —k年度鱼产卵总量
p —鱼卵的成活率
Mi—第i 龄鱼的平均重量(i=1，2，3，4) Ei —第i 龄鱼的捕捞强度系数 ai —对i 龄鱼的年捕捞量(i=3，4） W—年总收获量，即W=M3a3+M4a4 WW — 5年的总收获量为，即
最优捕鱼策略(1)
由已知条件，可得
（E为捕捞努力量）
模型的建立
最优捕鱼策略(1)
(2) 针对渔业公司的5年固定努力量的捕捞计划，我们在已知 各年龄组鱼初始条数的前提下，利用迭代方程(6)可逐次求得 以后各年龄组鱼的初始条数，以及各年的年度捕捞收获量， 这些量都是E4的函数。
数值解得
WWmax=1.6057×1012g
E4=17.58
E3=7.383
W1=1.6057×1012g W2=1.6057×1012g W3=1.6057×1012g W4=1.6057×1012g W5=1.6057×1012g
（5）假设对鱼的捕捞用固定努力量捕捞方式，每年的捕捞强 度系数保持不变，且捕捞只在前八个月进行.
最优捕鱼策略(1)
符号说明
Ni(t)—t 时刻i 龄鱼的数量 Ni0 (k) —第k 年初i 龄鱼的数量 Ni1 (k)___第k年底i 龄鱼的数量 (i=1，2，3，4)
r—鱼的自然死亡率 c —4龄鱼的平均产卵量 (则c/2为3龄鱼的平均产卵量)
推关系为
(6)
(5)式是每年捕鱼的总收获量，式 (6)刻划了鱼群各年龄组每年 的变化情况，它们一起构成了基本模型。 最优捕鱼策略(1)
第二步
（1）为了实现可持续的最大捕捞（即每年开始捕捞时渔场 中各年龄组鱼群条数不变），即要求的前提下获得最高年收获 量。结合基本模型，即可得到年度产量最优模型：
(7)
(2)
由(2)式解得
从而
对于3、4龄鱼由于后四个月无捕捞，只有自然死亡，所以在后 四个月其数量演化的方程为
(3)
解得
从而
最优捕鱼策略(1)
由于仅在前八个月捕捞,且仅捕捞3龄鱼和4领鱼，而且捕捞 强度系数表示的是单位时间内捕捞量与各年龄组鱼群总量成正
比的比例系数，所以对i 龄鱼的年捕捞量为
从而一年内捕鱼总收获量为
最优捕鱼策略(1)
M3=17.86;M4=22.99;M=M3*a3+M4*a4;M1=-M; M10=char(M); M11=char(M1); fplot(M10,[0,100]) E4=fmin(M11,0,100); E3=0.42*E4; d=1.22*10^11; r=0.8; q=d*exp(-(3*r+2/3*E3))*(32529.55*exp(r)+65059.1*exp(2/3*E4)/(1-exp(-(r+2/3*E4)))); N10=d*q/(d+q); N40=d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*E3))/(1-exp(-(r+2/3*E4)));
最优捕鱼策略(1)
第一步（时间以年为单位，考虑一年内各龄鱼数量的演化）
已知r为自然死亡率，其定义为单位时间内死亡的鱼的数
量与鱼的总量之比。由于不捕捞1、2龄鱼，所以在[t，t+Δt]内，
根据死亡率的定义，
变形得
解得 从而
(1)
最优捕鱼策略(1)
对于3、4龄鱼由于捕捞在前8个月进行，因此在前8个月内，捕 捞与死亡均影响鱼的变化，因而微分方程变形为
在刻划了鱼群各年龄组每年的变化情况的迭代式 (6)中，令 Ei=0，并让Ni0 (k+1)= Ni0 (k) 得无捕捞下的平衡点：
N1=1.21981×1011， N2=5.48098×1011， N3=2.46276×1011， N4=2.00953×1011.
由 于 无 捕 捞 时 ， Ni(t) 呈 指 数 分 布 ， 可 以 认 为 当 Ni(t) ≥sqrt(2)/2Ni时鱼群已恢复生产力。而鱼恢复得越快，即对鱼 的生产能力破坏越少，因此我们可以认为捕捞结束后的四年(鱼 的一个生长周期)内恢复生产能力，那么捕捞就对鱼的生产能力 没有破坏！
建模过程完了吗？
最优捕鱼策略(1)
模型检验
合同要求五年后鱼群的生产能力不能收到太大的破坏，那 么我们所得的解是否满足要求呢？这就要做模型检验。
为了分析对鱼群的生产能力的破坏程度，通常认为在天然 情况下，鱼的生态系数总能趋于平衡，而对鱼的捕捞，使鱼的 数量偏离了其平衡点。因而可以用五年捕捞后鱼群数量恢复所 需的年数来衡量对鱼的生产能力的破坏程度。
其中约束条件第二个等号说明各组鱼群条数及产卵量均与k无关。
最优捕鱼策略(1)
优化模型（7）中的约束条件与k无关，故可把k丢掉，并利用 E3=0.42E4，把目标函数和约束条件同时化简得
(7’)
注意到四个约束条件中含五个变量,因此从约束方程组可用符号 计算软件解出Ni0(i=1，2，3，4),它们都是E4的函数,从而目标 函数就是E4的一元函数.问题最终归结为一元函数的极值问题. 该模型也可完全通过数值迭代求解！ 即： E4从0开始，逐渐增加，逐个计算W，挑出使W最大的E4。
最优捕鱼策略(1)
E3 = 7.335 E4 =17.4664 Max =3.8886e+11
各年龄组数为
N1 =1.1958e+11 N2 = 5.3730e+10 N3 =2.4142e+10 N4 =8.1544e+7
最优捕鱼策略(1)
W(g)
E4
图4-5 年度总捕获量随捕捞强度E4的变化曲线
最优捕鱼策略(1)
为了验证所得到的使得五年捕捞量最大的E4符合不对鱼生 产力造成较大破坏的要求，又通过计算来观察打工经过5年捕捞 及停止捕捞后鱼的数量的恢复过程。画图可知停止捕捞后两年 鱼的生产力就会得到恢复，所以我们可以认为没有破坏生产力， 这是一个可接受的策略(详细请见P238)。
模型评价
本模型结合Leslie矩阵离散建模和微分方程连续建模的方法， 成功地解决了可持续捕捞问题最优解及已知初始分布的最优捕 捞问题，得到了较为精确且合理的结果，并可将捕捞年限推广 到任意的年限。本模型具有广泛的普遍性和适用性：只要改变 其中的部分系数如死亡率和初始分布，即可应用于其它种群的 生存和开发问题。以此模型为理论基础，可制定出开发可再生 资源的最优策略，具有现实意义。
最优捕鱼策略(1)
a3=E3/(r+E3)*(1-exp(-2/3*(r+E3)))*d*q/(d+q)*exp(-2*r); a4=E4/(r+E4)*(1-exp(-2/3*(r+E4)))*d*q/(d+q)*exp((3*r+2/3*E3))/(1-exp(-(r+2/3*E4))); M3=17.86;M4=22.99; E3 E4 M=M3*a3+M4*a4; Max=M N1=N10 %各年龄组鱼的数量 N2=N1*exp(-r) N3=N2*exp(-r) N4=N40 执行后输出
最优捕鱼策略(1)
模型的假设
（1）假设只考虑一种鱼的繁殖和捕捞，鱼群增长过程中不 考虑鱼的迁入与迁出.
（2）假设各年龄组的鱼在一年内的任何时间都会发生自然 死亡，产卵可在后四个月内任何时间发生.
（3）假设3、4龄鱼全部具有生殖能力，或者虽然雄鱼不产 卵，但平均产卵量掩盖了这一差异.
（4）假设各年龄组的鱼经过一年后，即进入高一级的年龄组， 但4龄鱼经过一年后仍视为4龄鱼.
最优捕鱼策略(1)
模型的求解
供参考的MATLAB计算程序
%最优捕鱼策略ch431 %文件名：ch431.m x=sym('x'); E3=0.42*x; d=1.22*10^11; r=0.8; q=d*exp(-(3*r+2/3*E3))*(32529.55*exp(r)+65059.1*exp(2/3*x)/(1-exp(-(r+2/3*x)))); N10=d*q/(d+q); N40=d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*E3))/(1-exp(-(r+2/3*x))); a3=E3/(r+E3)*(1-exp(-2/3*(r+E3)))*d*q/(d+q)*exp(-2*r); a4=x/(r+x)*(1-exp(-2/3*(r+x)))*d*q/(d+q)*exp((3*r+2/3*E3))/(1-exp(-(r+2/3*x)));