测试技术与信号分析

1．在系统特性测量中常用白噪声信号作为输入信号，然后测量系统的输出，并将输出信号的频谱作为系统频率特性。

请用卷积分定理解释这样做的道理。

答：白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声，所有频率具有相同能量的随机噪声称为白噪声。

在其频谱上是一条直线。

系统频率特性：传递函数的一种特殊情况，是定义在复平面虚轴上的传递函数。

时域卷积分定理：两个时间函数的卷积的频谱等于各个时间函数的乘积，即在时域中两信号的卷积等效于在频域中频谱相乘。

频域卷积分定理：两个时间函数的频谱的卷积等效于时域中两个时间函数的乘积。

y(t)=h(t)*x(t),对y(t)作付式变换，转到相应的频域下Y(f)=H(f)X(f)，由于x(t)是白噪声，付式变换转到频域下为一定值，假定X(f)=1，则有Y(f)=H(f)，此时就是传递函数。

2．用1000Hz的采样频率对200Hz的正弦信号和周期三角波信号进行采样，请问两个信号采样后是否产生混叠？为什么？采样频率ωs（2π／Ts）或fs(1／Ts)必须大于或等于信号x(t)中的最高频率ωm的两倍，即ωs＞2ωm，或fs＞2fm。

为了保证采样后的信号能真实地保留原始模拟信号的信息，采样信号的频率必须至少为原信号中最高频率成分的2倍。

这是采样的基本法则，称为采样定理。

但在对信号进行采样时，满足了采样定理，只能保证不发生频率混叠，对信号的频谱作逆傅立叶变换时，可以完全变换为原时域采样信号，而不能保证此时的采样信号能真实地反映原信号。

工程实际中采样频率通常大于信号中最高频率成分的3到5倍。

理论上周期三角波的频谱里包含所有奇次谐波分量，也就是说200Hz的周期三角波信号包含600Hz、1kHz、1.4kHz等等谐波，所以用1000Hz采样频率对200Hz周期三角波信号采样，会发生混叠。

而对200Hz正弦信号采样不会发生混叠。

3．什么是能量泄露和栅栏效应？能量泄漏与栅栏效应之间有何关系？能量泄漏：将截断信号的谱XT(ω)与原始信号的谱X（ω）相比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱．这表明原来的信号被截断以后，其频谱发生了畸变，原来集中在f0处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为频谱能量泄漏（Leakage）。

栅栏效应：对采样信号的频谱,为提高计算效率,通常采用FFT算法进行计算,设数据点数为N = T/dt = T.fs则计算得到的离散频率点为Xs(fi) , fi = i.fs/N , i = 0,1,2,…,N/2。

这就相当于透过栅栏观赏风景,只能看到频谱的一部分,而其它频率点看不见,因此很可能使一部分有用的频率成分被漏掉,此种现象被称为栅栏效应。

频谱的离散取样造成了栅栏效应，谱峰越尖锐，产生误差的可能性就越大。

例如，余弦信号的频谱为线谱。

当信号频率与频谱离散取样点不等时，栅栏效应的误差为无穷大。

实际应用中，由于信号截断的原因，产生了能量泄漏，即使信号频率与频谱离散取样点不相等，也能得到该频率分量的一个近似值。

从这个意义上说，能量泄漏误差不完全是有害的。

如果没有信号截断产生的能量泄漏，频谱离散取样造成的栅栏效应误差将是不能接受的。

能量泄漏分主瓣泄漏和旁瓣泄漏，主瓣泄漏可以减小因栅栏效应带来的谱峰幅值估计误差，有其好的一面，而旁瓣泄漏则是完全有害的。

4．简述传递函数、频响函数和脉冲响应函数间的联系与区别。

传递函数：零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变化（或z变换）与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。

记作G（s）＝Y（s）／U（s），其中Y（s）、U（s)分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。

频响函数：(1)简谐激励时，稳态输出相量与输入相量之比。

(2)瞬态激励时，输出的傅里叶变换与输入的傅里叶变换之比。

(3)平稳随机激励时，输出和输入的互谱与输入的自谱之比。

脉冲响应函数(或叫脉冲响应): 一般是指系统在输入为单位脉冲函数时的输出（响应）。

对于连续时间系统来说，冲激响应一般用函数h(t)来表示。

对于无随机噪声的确定性线性系统，当输入信号为一脉冲函数δ（t）时，系统的输出响应h（t）称为脉冲响应函数。

传递函数，频率响应函数均是描述线性系统动态特性的基本数学工具之一，都是建立在传递函数的基础之上。

但传递函数是系统的物理参数，也就是它受硬件决定，不会随着输入变化而变化，是分析系统的一个数学公式，而频率响应函数是输出函数，也就是说系统的传递函数乘上输入的信号，而得到的频率响应函数（当然是在频域中分析）。

5．试分析线性系统特性及其在实际中的应用。

答：线性系统是一数学模型，是指用线性运算子组成的系统。

状态变量和输出变量对于所有可能的输入变量和初始状态都满足叠加原理的系统。

作为叠加性质的直接结果，线性系统的一个重要性质是系统的响应可以分解为两个部分：零输入响应和零状态响应。

前者指由非零初始状态所引起的响应；后者则指由输入引起的响应。

两者可分别计算。

叠加的性质，比如 x1,x2 分别输入到系统，输出分别为 y1,y2, 那么 (x1+x2) 输入到这个系统，输出必为 (y1+y2)。

线性系统是一数学模型，是指用线性运算子组成的系统。

相较于非线性系统，线性系统的特性比较简单。

线性系统需满足线性的特性，若线性系统还满足非时变性（即系统的输入信号若延迟τ秒，那么得到的输出除了这τ秒延时以外是完全相同的），则称为线性时不变系统。

由于线性系统较容易处理，许多时候会将系统理想化或简化为线性系统。

线性系统常应用在自动控制理论、信号处理及电信上。

像无线通讯讯号在介质中的传播就可以用线性系统来模拟。

线性系统的一个重要性质是系统的响应可以分解为两个部分：零输入响应和零状态响应。

前者指由非零初始状态所引起的响应；后者则指由输入引起的响应。

两者可分别计算。

6．什么是采样，什么是混叠，如何才能避免混叠的产生？用100HZ的采样频率对50HZ 的方波信号进行采样是否会产生混叠？奈奎斯特采样定理：要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率必须大于信号最高频率的两倍。

当用采样频率F对一个信号进行采样时,信号中F/2以上的频率不是消失了,而是对称的映象到了F/2以下的频带中,并且和F/2以下的原有频率成分叠加起来,这个现象叫做“混叠”(aliasing).消除混叠的方法有两种:1.提高采样频率F,即缩小采样时间间隔.然而实际的信号处理系统不可能达到很大的采样频率,处理不了很多的数据.另外,许多信号本身可能含有全频带的频率成分,不可能将采样频率提高到无穷大.所以,通过采样频率避免混叠是有限制的.2.采用抗混叠滤波器.在采用频率F一定的前提下,通过低通滤波器滤掉高于F/2的频率成分,通过低通滤波器的信号则可避免出现频率混叠.理论上方波的频谱里包含所有奇次谐波分量，50Hz的方波包含150Hz、250Hz、350Hz 等等谐波，所以用100HZ的采样频率对50HZ的方波信号进行采样会产生混叠。

7.悬臂梁系统特性框图。

第二章1．求同周期的方波和正弦波的互相关函数解：因方波和正弦波同周期，故可用一个周期内的计算值表示整个时间历程的计算值，又根据互相关函数定义，将方波前移τ秒后计算：ωτπωτπωτπωτπωτπωτππωωωωωωωτττττττττsin 2sin 42123cos 12cos 23cos 12cos 21cos cos cos 1sin 1sin 1sin 11)(43434404343440=⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-+⋅+⋅-=--------⎰⎰⎰TT T T T T T T T T xy t t t T tdt tdt tdt T R 2．已知信号x (t )试求信号x (0.5t ) ，x (2t )的傅里叶变换⎩⎨⎧><=11,0,1)(T t T t t x 解：由例可知x (t )的傅里叶变换为112sin 2)(fT c T f X π=根据傅里叶变换的比例特性可得如图2-32所示,由图可看出，时间尺度展宽(a<1.0)将导致其频谱频带变窄,且向低频端移[]()11114sin 45.02sin 25.01)5.0(fT c T T f c T t x F ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=动,这种情况为我们提高设备的频率分析范围创造了条件,但是以延长分析时间为代价的;反之,时间尺度压缩(a>1.0)会导致其频谱频带变宽,且向高频端扩展,这种情况为我们提高信号分析速度提供了可能。

x(t/2)t-TT2T-1/2T 1/2Tfa=0.5x(t/2)t-T/2T/2T-1/T1/Tfa=1.0x(t/2)t-T/4T/4T/2-2/T2/Tfa=2.0111题图2-17 时间尺度展缩特性示意图3．所示信号的频谱)5.2()5.2(21)(21-+-=t x t x t x 式中x 1(t ), x 2(t )是如图2-31b ），图2-31c ）所示矩形脉冲。

解：根据前面例2-15求得x 1(t ), x 2(t )的频谱分别为f f f X ππsin )(1=和fff X ππ3sin )(2=根据傅里叶变换的线性性质和时移性质可得：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=-f f ef X fj ππππ3sin sin )(215[]()1111sin 22sin 221)2(fT c T T f c T t x F ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=11)(t x )(1t x t tt )(2t x图2-314、求指数衰减振荡信号()t e t xat 0sin ω-=的频谱)(2sin sin 21sin 21)(0000)(000t j t j t j a tj at e e jt td e dt e t e X ωωωωωωπωπω-==⋅=-+-∞--∞⎰⎰ []22000)()(0)(21)(1)(1)2(21)2(21)(00ωωωπωωωωππωωωωω++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++=-=-+-++-∞⎰j a j j a j j a j dt e e j X t j j a tj j a 5、求如下图所示周期性方波的复指数形式的幅值谱和相位谱解 在x(t)的一个周期中可表示为⎩⎨⎧<<≤=21)(11T t T T t t x该信号基本周期为T ，基频ω0=2π/T ，对信号进行傅里叶复指数展开。

由于x (t )关于t =0对称，我们可以方便地选取-T /2≤t ≤T /2作为计算区间。

计算各傅里叶序列系数c n 当n =0时，常值分量c 0：T T dt T a c T T 1002111===⎰- 当n ≠0时，110110011T T t jn T T tjn n eTjn dt eTc -----==⎰ωωω最后可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-j e e T n c t jn t jn n 22000ωωω注意上式中的括号中的项即sin (n ω0 T 1)的欧拉公式展开，因此，傅里叶序列系数c n 可表示为0)(sin 2)sin(210010≠==n T n c TT n T n c n ，ωπωωtxT 1-T 1T-T其幅值谱为：)(sin211T n c TT c o n ω=，相位谱为：ππϕ-=,,0n 。