c语言插值算法ppt课件
合集下载
《数值分析》第二讲插值法PPT课件
1 xn xn2 xnn Vandermonde行列式
即方程组（2）有唯一解 (a0, a1, , an)
所以插值多项式
P (x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n
存在且唯一
第二章：插值
§2.2 Lagrange插值
y
数值分析
1、线性插值
P 即(x)ykx yk k 1 1 x yk k(xxk)
l k ( x k 1 ) 0 ,l k ( x k ) 1 ,l k ( x k 1 ) 0 l k 1 ( x k 1 ) 0 ,l k 1 ( x k ) 0 ,l k 1 ( x k 1 ) 1
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) lk(x)((xx k x xk k 1 1))((x xkxx k k1)1)
第二章：插值
数值分析
3、Lagrange插值多项式
令 L n ( x ) y 0 l 0 ( x ) y 1 l 1 ( x ) y n l n ( x )
其中，基函数
lk (x ) (x ( k x x x 0 ) 0 ) (( x x k x x k k 1 1 ) )x x k ( ( x x k k 1 ) 1 ) (( x x k x n x )n )
因此 P (x ) lk (x )y k lk 1 (x )y k 1
且
P (x k ) y k P (x k 1 ) y k 1
lk(x), lk1(x) 称为一次插值基函数
数值分析
第二章：插值
2、抛物线插值 令
y (xk , yk )
f (x)
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) p( x) (xk1,yk1)
数值分析(第5版)第2章-插值法 ppt课件
x4 94
1(x 5
4)
插值多项式为
1
1
L1( x)
y0l0 ( x) y1l1( x) 2
5
( x 9) 3 ( x 4) 5
2 ( x 9) 3 ( x 4) 1 ( x 6)
5
5
5
所以
7
L1 (7)
13 5
2.6
ppt课件
项式(2-2) 存在且唯一。证毕。
ppt课件
5
第二节 拉格朗日插值
一、基函数
考虑下面最简单`最基本的插值问题。求n 次多项 式 l i(x) (i=0,1, …, n)，使其满足条件
0 , j i li ( xj ) 1, j i ( j 0,1, , n)
故可设
li ( x) A( x x0 )( x xi1 )( x xi1 )( x xn )
15
例2 求过点(1,2), (1,0), (3,6), (4,3)的三次插值多项式。
解 以 x0 1, x1 1, x2 3, x3 4 为节点的基函数
分别为:
l0
(
x)
( x 1)( x 3)( x 4) (1 1)(1 3)(1 4)
Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn (2-2)
则由插值条件式Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) 可得关于系数 a0 ,a1 , …,an的线性代数方程组
ppt课件
3
a0 a0
a1 x0 a1 x1
2 插值法 计算方法课件及实验 教学课件
xk1 )( x xk1 )( x xk 1 )( xk xk 1 )( xk
xn ) xn
)
称为基本插值多项式.
2.2 Lagrange插值-Lagrange插值多项式
Ln ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) ynln ( x)
n k0
yk
( x x0 ) ( xk x0 )
故可设 Rn( x) K ( x)n1( x)
其中 K ( x) 待定,
对于 [a,b] 上异于 xi的任意一点 x xi 作辅助函数
F (t ) f (t) Pn (t ) K ( x) n1 (t )
则F(t)满足：
(1) F ( x) F ( xi ) 0 (i 0,1,, n)
L1(x) l0 (x) y0 l1(x) y1
显然， l0 (x)及l1 (x)也是线性插值多项式，在节 点x0,x1上满足条件：
l0(x0)=1 , l0(x1)=0. l1(x0)=0 , l1(x1)=1.
即
1 lk (x j ) 0
jk jk
(j,k=0,1)
称l0 (x)及l1 (x)为线性插值基函数。
于是
F (n1) ( ) 0
f (n1) ( ) K ( x)(n 1)! 0
f (n1) ( )
K(x) (n 1)!
从而定理得证.
例2 估计例1中的截断误差
f ( x) x
解
R1 ( x)
f
" (
2!
)
2
(x)
1 8
32
(
x
x0
)(x
x1
)
[x0 , x1 ]
max R1 (115)
计算方法 插值方法1课堂教学版.ppt
0,
j
i, i
j
0,1,2
组合出一个新的二次式：
p2( x) l0( x) y0 l1( x) y1 l2( x) y2
24
四．拉格朗日插值
2．抛物插值
l0(x0)=1 l0(x1)=0 l0(x2)=0
l0(x)=c(x-x1)(x-x2)
l0(
x)
(x ( x0
适用泰勒插值方法的问题的特点： 1．f 的表达式已知，且足够光滑，在x0这点处有 直到n+1阶导数存在； 2．在展开点x0处的各阶导数便于计算； 3．|f(n+1)(x)|存在上限。
17
四．拉格朗日插值
问题1 求作n次多项式pn(x)，满足
pn( xi ) yi , i 0,1,, n .......... ...... ( 3 )
解：
f
(x)
1
x2,
f
( x)
1
1
x 2,
f
( x)
1
3
x2
2
4
x0 100
f ( x0 ) x0 10
f ( x0 )
2
1 x0
1 20
f
(
x0
)
4
1 x0
x0
1 4000
p1( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
sin x x x3 x5 (1)n1 x2n1 (1)n sin x2n
3! 5!
(2n 1)!
(2n)!
t2n1( x)
《c语言插值算法》课件
通过立方卷积核来估计一个值，具有更好的数值 稳定性。
多维插值算法实现
多维拉格朗日插值
通过多维拉格朗日多项 式来逼近函数，并估计 一个值。
多维牛顿插值
使用多维牛顿多项式来 逼近函数，并估计一个 值。
多维样条插值
通过多维样条函数来逼 近函数，并估计一个值 。
03
C语言插值算法性能优化
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
图像处理
在图像处理中，插值算法用于 图像缩放、旋转等操作，实现 图像的平滑过渡和细节保留。
计算物理
在计算物理模拟中，插值算法 用于将离散的数据点转换为连 续的物理场，提高模拟精度和
可靠性。
02
C语言插值算法实现
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
一维插值算法实现
04
案例分析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
一维插值算法案例
总结词
一维插值算法适用于单变量的插值问题，通过已知的离散数据点，估算出未知点的值。
详细描述
一维插值算法通常用于处理单变量的数据，如气温、降雨量等。通过已知的离散数据点 ，我们可以使用一维插值算法来估算出未知点的值。常用的方法包括线性插值、多项式
THANKS
感谢观看
减少循环次数
通过优化循环结构，减少不必要 的迭代次数，从而加快算法的执 行速度。
并行化处理
利用多核处理器
通过并行计算技术，将任务分配给多 个核心同时处理，可以显著提高计算 性能。
使用多线程编程
利用多线程编程技术，将计算任务划 分为多个线程，并由操作系统调度执 行，可以充分利用多核处理器的计算 能力。
多维插值算法实现
多维拉格朗日插值
通过多维拉格朗日多项 式来逼近函数，并估计 一个值。
多维牛顿插值
使用多维牛顿多项式来 逼近函数，并估计一个 值。
多维样条插值
通过多维样条函数来逼 近函数，并估计一个值 。
03
C语言插值算法性能优化
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
图像处理
在图像处理中，插值算法用于 图像缩放、旋转等操作，实现 图像的平滑过渡和细节保留。
计算物理
在计算物理模拟中，插值算法 用于将离散的数据点转换为连 续的物理场，提高模拟精度和
可靠性。
02
C语言插值算法实现
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
一维插值算法实现
04
案例分析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
一维插值算法案例
总结词
一维插值算法适用于单变量的插值问题，通过已知的离散数据点，估算出未知点的值。
详细描述
一维插值算法通常用于处理单变量的数据，如气温、降雨量等。通过已知的离散数据点 ，我们可以使用一维插值算法来估算出未知点的值。常用的方法包括线性插值、多项式
THANKS
感谢观看
减少循环次数
通过优化循环结构，减少不必要 的迭代次数，从而加快算法的执 行速度。
并行化处理
利用多核处理器
通过并行计算技术，将任务分配给多 个核心同时处理，可以显著提高计算 性能。
使用多线程编程
利用多线程编程技术，将计算任务划 分为多个线程，并由操作系统调度执 行，可以充分利用多核处理器的计算 能力。
第二章1 插值法part2PPT课件
2020/11/15
7
分段线性插值
分段线性插值特别简单，从几何上看，就是用折线逼近
曲线。
分段线性插值的数学定义
设 是f ( 区x )间 上[的a ,函b 数] ，在节点
ax0x1 上的xn函 数b值为
求一分段折线函数 P (满x 足) ：
， f0, f1, , fn
（1） P (xi)fi,i0,1 , ,n
gtext('f(x)=1/(1+x^2)')
2020/11/15
4
22 1.5 1.5
11 0.5 0.5
不同次数的Lagrange插值多项式的比较图
f(f(xx))==11//((11+x2)
nn==1100
n=2 n=4
00 -0.5-0.5
-1 -1
n=6 nn==88
-1.5-1.5
-5 -5 -4 -4 -3 -3 -2-2 -1-1 00 11
Runge证明了，存在一个常数 c3.63 , 使得当 x c 时，
lnimLn(x)f(x) ; 而当 x c 时 { Ln ( x )} 发散。
说明: 并不是插值多项式的次数越高, 插值效果越好, 精度
也不一定是随次数的提高而升高, 这种现象在上个世纪初由
Runge发现, 故称为Runge现象.
n 1 j01x2j
n
i0 ij
(xxi ) (xj xi)
n2,4,6,8,20
其matlab的lagrange.m文件及相关图形如下.
2020/11/15
2
% lagrange.m function y=lagrange (x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
可以构造出满足此条件的插值多项式 Ln(x)
其中,lk(x)为n次插值基函数
ppt课件完整
8
拉格朗日插值结果
ppt课件完整
9
牛顿插值
利用插值基函数容易求出拉格朗日插值多 项式，但当插值节点增减时，计算要全部 重新进行，牛顿插值就是一种能够逐次生 成插值多项式的插值法。已知f在插值点 xi(i=0,1,…,n)上的值为f(xi),若n次插值多项式 Pn(x)满足条件：
ppt课件完整
10
则插值多项式表示为：
其中，
为f(x)的k阶均差
ppt课件完整
11
埃尔米特插值（Hermite）
埃尔米特插值多项式不仅满足在插值节点 上函数值相等，还满足在节点上的导数值 相等。通过三点 (x0,f(x0)),(x1,f(x1)),(x2,f(x2)) 的三次埃尔米特插值多项式为 :
特点：简单直观，但图像质量不高，容易 出现锯齿边缘。
ppt课件完整
18
最邻近插值结果演示
源图像
放大6倍图像
ppt课件完整
19
双线性内插值
对于一个目的像素，设置坐标通过反向变 换得到的浮点坐标为 (i+u,j+v),其中i，j为非 负整数，u，v为[0,1]区间的浮点数,则这个像 素的值 f(i+u,j+v)可由原图像中的坐标为 (i,j),(i+1,j),(i,j+1),(i+1,j+1)所对应的周围四个 像素的值决定，即
22
三次卷积插值
考虑一个浮点坐标(i+u,j+v),周围的16个邻点， 目的像素值f(i+u,j+v)由下式得到：
其中，
ppt课件完整
23
s(x)是对s(πx)/x的逼近。
特点：能够克服最邻近插值锯齿形状 和双线性线性插值边缘模糊的缺点。
ppt课件完整
Hale Waihona Puke 24三次卷积插值结果演示源图像
放大6倍图像
ppt课件完整
25
谢 谢！
ppt课件完整
26
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
插值算法
讲座人：邓书莉 时间： 2010年12月9日 编写排版：邓书莉
ppt课件完整
1
插值算法
插值的定义 一维插值算法
最邻近插值 线性插值 拉格朗日插值 牛顿插值 埃尔米特插值 三次样条插值
二维插值算法
最邻近插值 双线性插值 三次卷积插值
ppt课件完整
2
插值的定义
设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义，且已知在 点a≤x0<x1<…<xn≤b上的值为y0,y1,…,yn,若 存在简单函数P(x)使得
ppt课件完整
4
最邻近插值结果
ppt课件完整
5
线性插值
线性插值即分段线性插值，是通过插值点 用折线段连接起来逼近 f(x),若x在区间[xi,xi+1] 内，则
ppt课件完整
6
线性插值结果
ppt课件完整
7
拉格朗日插值
若通过n+1个节点x0<x1<…<xn的n次插值多项
式 Ln(x)满足条件：
其中，f(i,j)表示源图像(i,j)处的像素值。
ppt课件完整
20
双线性内插值
特点：计算量大，缩放图像质量高，不会 出现像素值不连续的情况，由于它具有低 通滤波器的性质，使高频分量受损，可能 会使图像轮廓在一定程度上变得模糊。
ppt课件完整
21
双线性内插值结果演示
源图像
放大6倍图像
ppt课件完整
ppt课件完整
12
两点三次埃尔米特插值多项式为 :
其中，
ppt课件完整
13
埃尔米特插值结果
ppt课件完整
14
三次样条插值
ppt课件完整
15
三次样条插值结果
ppt课件完整
16
二维图像插值算法
最邻近插值 双线性插值 三次卷积插值
ppt课件完整
17
二维最邻近插值
对于通过反向变换得到的一个浮点坐标， 对其进行简单的取整，得到一个整数型坐 标，这个整数型坐标对应的像素值就是目 标像素的像素值。对于从上到下，从左到 右扫描的图像来说，取浮点坐标最邻近的 左上角点对应的像素值。
P(xi)=yi (i=0,1,…,n) 成立，就称P(x)为f(x)的插值函数， x0,x1,…,xn
称为插值节点，包含插值节点的区间[a,b]称 为插值区间，求插值函数P(x)的方法就是插 值法。
ppt课件完整
3
最邻近插值
最邻近插值是最简单的插值方法，位置x上 的值被赋为离它最近的值，因此它也被称 为一点插值函数。 若x在区间[xi,xi+1]内，则
其中,lk(x)为n次插值基函数
ppt课件完整
8
拉格朗日插值结果
ppt课件完整
9
牛顿插值
利用插值基函数容易求出拉格朗日插值多 项式，但当插值节点增减时，计算要全部 重新进行，牛顿插值就是一种能够逐次生 成插值多项式的插值法。已知f在插值点 xi(i=0,1,…,n)上的值为f(xi),若n次插值多项式 Pn(x)满足条件：
ppt课件完整
10
则插值多项式表示为：
其中，
为f(x)的k阶均差
ppt课件完整
11
埃尔米特插值（Hermite）
埃尔米特插值多项式不仅满足在插值节点 上函数值相等，还满足在节点上的导数值 相等。通过三点 (x0,f(x0)),(x1,f(x1)),(x2,f(x2)) 的三次埃尔米特插值多项式为 :
特点：简单直观，但图像质量不高，容易 出现锯齿边缘。
ppt课件完整
18
最邻近插值结果演示
源图像
放大6倍图像
ppt课件完整
19
双线性内插值
对于一个目的像素，设置坐标通过反向变 换得到的浮点坐标为 (i+u,j+v),其中i，j为非 负整数，u，v为[0,1]区间的浮点数,则这个像 素的值 f(i+u,j+v)可由原图像中的坐标为 (i,j),(i+1,j),(i,j+1),(i+1,j+1)所对应的周围四个 像素的值决定，即
22
三次卷积插值
考虑一个浮点坐标(i+u,j+v),周围的16个邻点， 目的像素值f(i+u,j+v)由下式得到：
其中，
ppt课件完整
23
s(x)是对s(πx)/x的逼近。
特点：能够克服最邻近插值锯齿形状 和双线性线性插值边缘模糊的缺点。
ppt课件完整
Hale Waihona Puke 24三次卷积插值结果演示源图像
放大6倍图像
ppt课件完整
25
谢 谢！
ppt课件完整
26
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
插值算法
讲座人：邓书莉 时间： 2010年12月9日 编写排版：邓书莉
ppt课件完整
1
插值算法
插值的定义 一维插值算法
最邻近插值 线性插值 拉格朗日插值 牛顿插值 埃尔米特插值 三次样条插值
二维插值算法
最邻近插值 双线性插值 三次卷积插值
ppt课件完整
2
插值的定义
设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义，且已知在 点a≤x0<x1<…<xn≤b上的值为y0,y1,…,yn,若 存在简单函数P(x)使得
ppt课件完整
4
最邻近插值结果
ppt课件完整
5
线性插值
线性插值即分段线性插值，是通过插值点 用折线段连接起来逼近 f(x),若x在区间[xi,xi+1] 内，则
ppt课件完整
6
线性插值结果
ppt课件完整
7
拉格朗日插值
若通过n+1个节点x0<x1<…<xn的n次插值多项
式 Ln(x)满足条件：
其中，f(i,j)表示源图像(i,j)处的像素值。
ppt课件完整
20
双线性内插值
特点：计算量大，缩放图像质量高，不会 出现像素值不连续的情况，由于它具有低 通滤波器的性质，使高频分量受损，可能 会使图像轮廓在一定程度上变得模糊。
ppt课件完整
21
双线性内插值结果演示
源图像
放大6倍图像
ppt课件完整
ppt课件完整
12
两点三次埃尔米特插值多项式为 :
其中，
ppt课件完整
13
埃尔米特插值结果
ppt课件完整
14
三次样条插值
ppt课件完整
15
三次样条插值结果
ppt课件完整
16
二维图像插值算法
最邻近插值 双线性插值 三次卷积插值
ppt课件完整
17
二维最邻近插值
对于通过反向变换得到的一个浮点坐标， 对其进行简单的取整，得到一个整数型坐 标，这个整数型坐标对应的像素值就是目 标像素的像素值。对于从上到下，从左到 右扫描的图像来说，取浮点坐标最邻近的 左上角点对应的像素值。
P(xi)=yi (i=0,1,…,n) 成立，就称P(x)为f(x)的插值函数， x0,x1,…,xn
称为插值节点，包含插值节点的区间[a,b]称 为插值区间，求插值函数P(x)的方法就是插 值法。
ppt课件完整
3
最邻近插值
最邻近插值是最简单的插值方法，位置x上 的值被赋为离它最近的值，因此它也被称 为一点插值函数。 若x在区间[xi,xi+1]内，则