昌平区2012-2013学年第一学期高三年级期末质量抽测

昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测
数 学 试 卷（理科） （满分150分，考试时间 120分钟）2013.1
考生须知： 1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填
写。

3． 答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签
字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。

请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。

保持答题卡整洁，不
要折叠、折皱、破损。

不得在答题卡上做任何标记。

5． 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
（1）设集合{}
{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于 A ．{|2}x x > B ．{}
20<<x x
C ．{}21<<x x
D ．{|01}x x <<
（2）“2a =”是“直线214
a
y ax y x =-+=
-与垂直”的 A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件 （3）已知函数()=ln f x x ，则函数()=()'()g x f x f x -的零点所在的区间是
A.（0,1）
B. （1,2）
C. （2,3）
D. （3,4） （4）设不等式组22,42x y x y -+≥≥-⎧⎪
⎨⎪⎩
0≤， 表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点
到直线+2=0y 的距离大于2的概率是
A. 413
B.
513
C.
825
D.
925
（5）设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则
2
1
a a 等于 A.1 B. 2 C. 3
D. 4
（6）在高三（1）班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为
A. 24
B. 36
C. 48
D.60
（7）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为
A. 10+ B
．10+
C. 14+
D.
14+
（8）已知函数：①2
()2f x x x =-+，②()cos()22
x
f x π
π=-，③1
2()|1|f x x =-.则以
下四个命题对已知的三个函数都能成立的是
命题:p ()f x 是奇函数； 命题:q (1)f x +在(0)，1上是增函数；
命题:r 11
()22
f >； 命题:s ()f x 的图像关于直线1x =对称
A ．命题p q 、
B ．命题q s 、
C ．命题r s 、
D ．命题p r 、
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
（9）若221ai
i i =-+-，其中i 是虚数单位，则实数a 的值是
____________.
（10）以双曲线22
1916
x y -=的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _____.
（11）在ABC △
中，若b =1c =
，tan B =a = . （12）已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的
结果为 ．
(13)在Rt ABC ∆中，90C ︒
∠=，4,2AC BC ==，D 是BC 的中点，那么
()AB AC AD -∙=uu u r uuu r uuu r
____________;若E 是AB 的中点，P 是ABC ∆（包括边界）内任一
点．则AD EP ⋅uuu r uu r
的取值范围是___________.
（14）在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”. 则
① 到坐标原点O 的“折线距离”不超过2的点的集合所构成的平面图形面积是_________;
② 坐标原点O 与直线20x y --=上任意一点的“折线距离”的最小值是
_____________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）已知函数
1sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=x
x
x x x f .
（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]42
ππ上的最值.
O
F
E
D
C
B
A
(16) （本小题满分14分）在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形，
,AC BD O 与交于点EC ABCD F 底面，^为BE 的中点. （Ⅰ）求证：DE ∥平面ACF ；
（Ⅱ）求证：BD AE ^；
（Ⅲ）若,AB =
在线段EO 上是否存在点G ，使CG BDE 平面^？若存在，求出
EG
EO
的值，若不存在，请说明理由．
（17）（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品的质量，从两厂生产的产品中随机抽取各10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图： 甲厂
乙厂
9
3 9 6 5 8 1
8 4 5 6 9 0 3
1 5 0 3 2
1 0 3
规定：当产品中的此种元素含量满足≥18毫克时，该产品为优等品. （Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；
（Ⅱ）从乙厂抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数ξ的分布列及其数学期望()E ξ；
（Ⅲ）从上述样品中，各随机抽取3件，逐一选取，取后有放回，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．
（18）（本小题满分13分）已知函数32
()4f x x ax =-+-（a ∈R ）.
（19）（本小题满分13分）已知椭圆M 的对称轴为坐标轴, 离心率为
2
且抛物线
2y =的焦点是椭圆M 的一个焦点．
（Ⅰ）求椭圆M 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中点P 在椭圆M 上，O 为坐标原点. 求点O 到直线l 的距离的最小值．
（20）（本小题满分14分）
已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i = ，设
j j k k k b +++= 21(1,2,3)j = ，12()100m g m b b b m =+++- (1,2,3).m = （Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====，求(1),
(2),(3),(4)g g g g
；
（Ⅱ）若123100,,,,a a a a 中最大的项为50， 比较(),(1)g m g m +的大小； （Ⅲ）若12100200a a a +++= ，求函数)(m g 的最小值．
昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测
数 学 试卷 参考答案（理科）
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） （9）
4 （10）22
(5)16x y -+=
（11） 3 （12）4
（13） 2; [-9,9] （14） 三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
（15）(本小题满分13分)
解：（Ⅰ）由sin 0x ≠得πx k ≠(k ∈Z )，
故()f x 的定义域为{x ∈R |π,x k ≠k ∈Z }．…………………2分
因为1sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=
x
x
x x x f
2cos )cos 1x x x =-⋅+
2cos 2x x -
π
2sin(2)6
x =-，………………………………6分
所以()f x 的最小正周期2π
π2
T =
=．…………………7分 （II ）由 5[,],2[,],2[,],422636
x x x ππππππ
π挝- …………..9分 当52,,()1662x x f x πππ
-==即时取得最小值，…………….11分 当2,,()2623
x x f x πππ
-==即时取得最大值.……………….13分
G A
B
C D
E
F
O
（16）(本小题满分14分) 解：（I ）连接OF .
由ABCD 是正方形可知,点O 为BD 中点. 又F 为BE 的中点，
所以OF ∥DE ………………….2分 又,,OF ACF DE
ACF 平面平面趟
所以DE ∥平面ACF ………….4分
(II) 证明：由EC ABCD BD ABCD 底面，底面，^ 所以,EC BD ^
由ABCD 是正方形可知, ,AC BD ^
又=,,AC EC C AC EC
ACE 平面，
翘 所以,BD ACE 平面^………………………………..8分
又AE ACE 平面，Ì
所以BD AE ^…………………………………………..9分
(III)解法一：
在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^. 理由如下： 如图，取EO 中点G ，连接CG . 在四棱锥E ABCD -
中，,AB CO AB CE =
=
=， 所以CG EO ^.…………………………………………………………………..11分 由（II ）可知，,BD ACE 平面^而,BD BDE 平面Ì 所以，,ACE BDE ACE BDE EO 平面平面且平面平面，
^? 因为,CG EO CG ACE 平面，^
所以CG BDE 平面^…………………………………………………………. 13分 故在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^.
由G 为EO 中点，得1
.2
EG EO =…………………………………………… 14分 解法二：
y
由EC ABCD 底面，^且底面ABCD 建立空间直角坐标系,C DBE -
由已知,AB =
设(0)CE a a =>，
则
(0,0,0),,0,0),,0),(0,0,),C D B E a
(,,0),,,0),(0,,),(,,).
22
22
O a a BD BE a EO a a uu u r uur
uu u r =-=-
=-设G 为线段EO 上一点，且(01)EG
EO
λλ=<<，
则,),EG EO a a a λλuu u r uu u r ==-
(,,(1)),22
CG CE EO a a a λλλλuu u r uur uu u r =+=-…………………………..12分
由题意，若线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^，则CG BD ^uu u r uu u r ，CG BE ^uu u r uur
.
所以，2
2
1
(1)0,0,12
a a λλλ解得，（）
-+-==
， 故在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^，且
1
.2
EG EO =…………………… 14分 （17）(本小题满分13分)
解：（I ）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为63.105= 乙厂抽取的样本中优等品有5件，优等品率为51
.102
=………………..2分
（II ）ξ的取值为0，1，2，3.
031
2555533
10101
5(0),(1),1212
C C C C P P C C ξξ⋅⋅======
213
55533
101051
(2),(3)1212
C C C P P C C ξξ⋅====== 所以ξ的分布列为
故15513
0123.
121212122E ξξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=的数学期望为（）……………………9分
(III) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2
件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”
2200333321127
()()()()()5522500
P A C C =⨯=
33112
3331181()()()()5221000
P B C C =⨯=
抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为278127
()().5001000200
P A P B +=+=…13分 （18）(本小题满分13分)
解：（I ）.23)(2
ax x x f +-=' …………………………. ……………1分
根据题意，(1)tan
1,321, 2.4
f a a π
'==∴-+==即 …………………3分 此时，3
2
()24f x x x =-+-,则2
()34f x x x '=-+. 令124'()00,.
f x x x ===
，得 …………………………………………………………………………………………. 6分
∴当[]1,1x ∈-时，()f x 最小值为()04f =-. ………………………7分 （II ）).3
2(3)(a x x x f -
-='
①若0,0,()0,()(0,)a x f x f x '><∴+∞≤当时在上单调递减. 又(0)4,0,() 4.f x f x =-><-则当时
000,0,()0.a x f x ∴>>当≤时不存在使…………………………………………..10分
②若220,0,()0;,()0.33a a
a x f x x f x ''><<>><则当时当时
从而)(x f 在（0，23
a ）
上单调递增，在（23a
，+)∞上单调递减.
.427
4494278)32()(,),0(3
33m ax
-=-+-==+∞∈∴a a a a f x f x 时当
根据题意，3
3440,27. 3.27
a a a ->>∴>即 …………….............................. 13分 综上，a 的取值范围是(3,)+∞. （19）(本小题满分13分)
解：（I ）
由已知抛物线的焦点为,故设椭圆方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，
则2
2, 2.c e a b ====由得所以椭圆M 的方程为22 1.42
x y +=……5分 （II ）当直线l 斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，
则由22
,
1.42
y kx m x y
=+⎧⎪
⎨+=⎪⎩ 消去y 得，2
2
2
(12)4240k x kmx m +++-=， …………………6分
222222164(12)(24)8(24)0k m k m k m ∆=-+-=+->， ①…………7分 设A B P 、、点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则： 0120121222
42,()21212km m
x x x y y y k x x m k k =+=-
=+=++=++，
…………8分
由于点P在椭圆M上，所以
22
001
42
x y
+=. ……… 9分
从而
222
2222
42
1
(12)(12)
k m m
k k
+=
++
，化简得22
212
m k
=+，经检验满足①式.
………10分
又点O到直线l的距离为：
d====
………11分当且仅当0
k=时等号成立………12分当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，
从而点P的坐标为(2,0)(2,0)
-或，直线l的方程为1
x=±，所以点O到直线l的距离为1 . 所以点O到直线l
的距离最小值为
2
. ………13分（20）(本小题满分14分)
解: (I) 因为数列
12
40,30,
k k
==
3
20,
k=
4
10
k=，
所以1234
40,70,90,100
b b b b
====，
所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100
g g g g
=-=-=-=-…………………4分
(II) 一方面，
1
(1)()100
m
g m g m b
+
+-=-，
根据j b的含义知1100
m
b
+
≤，
故0
)
(
)1
(≤
-
+m
g
m
g，即)1
(
)
(+
≥m
g
m
g
，①
当且仅当
1
100
m
b
+
=时取等号.
因为
123100
,,,,
a a a a
中最大的项为50，所以当50
m≥时必有100
m
b=，
所以(1)(2)(49)(50)(51)
g g g g g
>>>===
即当149
m
≤<时，有()(1)
g m g m
>+；当49
m≥时，有()(1)
g m g m
=+…9分
（III ）设M 为{}12100,,,a a a 中的最大值. 由（II ）可以知道，()g m 的最小值为()g M . 根据题意，123100,M M b k k k k =++++=L
123123123....
M k k k M k a a a a +++
+=++++L 下面计算()g M 的值.
123()100M g M b b b b M =++++-
1231(100)(100)(100)(100)M b b b b -=-+-+-++-
233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++- 23[2(1)]M k k M k =-+++-
12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++
123100()M a a a a b =-+++++ 123100()100
a a a a =-+++++ ，
∵123100200a a a a ++++= ， ∴()100g M =-， ∴()g m 最小值为100-. ………………………………………….14分。