高二上期末复习6选修21空间向量
2024-2025学年上学期高二数学章末(空间向量与立体几何)测试卷
2024-2025学年上学期高二数学章末测试卷选择性必修第一册空间向量与立体几何姓名：___________班级：___________一、单选题1．已知空间向量()6,2,1a =，()2,,3b x =- ，若()2a b a -⊥ ，则x =（）A ．4B ．6C ．234D ．2142．平面α的一个法向量是1(2n = ,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =- ,6,2)-，则平面α与平面β的关系是（）A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．垂直3．如图，四棱锥P OABC -的底面是矩形，设OA a = ，OC b = ，OP c =，E 是棱PC 上一点，且2PE EC =，则BE =（）A ．111333a b c--+ B ．1133a b c--+C ．1133a b c-++ D ．1133a b c--- 4．如图，在空间直角坐标系O xyz -中，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直(C 与原点O 重合)，2,1,AB AF M ==在EF 上，且//AM 平面BDE ，则M 点的坐标为（）A ．(1,1,1)B ．22,,133⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．22,,122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．22,,144⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭5．在一直角坐标系中，已知(1,6),(3,8)A B --，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则折叠后,A B 两点间的距离为A ．241B ．41C ．17D ．2176．已知平行六面体1111ABCD A B C D -的各棱长均为1，1160A AB A AD ∠=∠=︒，90DAB ∠=︒，则1AC =（）A ．3B ．5C ．2D ．21+7．鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB BC PA ===，D ，E 分别是棱AB ，PC 的中点，点F 是线段DE 的中点，则点F 到直线AC 的距离是（）A ．38B 4C ．118D ．48．在下图所示直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，π1,3AB DAB =∠=，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上，则顶点B 到平面APC 距离的最大值为（）A ．12B C D 二、多选题9．（多选）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（）A ．点(1,1,0)P -与点(1,1,0)Q 关于z 轴对称B ．点(3,1,4)A --与点(3,1,4)B --关于y 轴对称C ．点(3,1,4)A --与点(3,1,4)B --关于平面xOz 对称D ．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分10．已知空间中三点()2,1,1A -，()1,0,2B ，()0,3,1C -，则（）A ．AB =B ．AB AC⊥C ．cos 19ABC ∠=D ．A ，B ，C 三点共线11．在正方体1111ABCD A B C D -中，1M AD ∈，N BD ∈，且满足113AM AD =，23BN BD =，则下列说法正确的是（）A ．1AD MN⊥B ．1MN A C∥C ．MN ∥平面11DCC D D ．MN 为1AD 与BD 的公垂线三、填空题12．在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，(2,1,1)A ，(1,1,2)B ，(,0,1)C x ，则x =．13．已知向量()()2,4,5,4,,a b x y ==，分别是直线12l l ､的方向向量，若12//l l ，则x y +=．14．如图所示，若P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，H 为棱PC 上的点，且12PH HC =，点G 在AH 上，且AGm AH=，若G ，B ，P ，D 四点共面，则实数m 的值是．四、解答题15．如图，在棱长为2的正方体中，,E F 分别是1,DD DB 的中点，G 在棱CD 上，且13CG CD =，H 是1C G 的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：(1)求证：1EF B C ⊥；(2)求异面直线EF 与1C G 所成角的余弦值.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，1B B 的中点．(1)证明：11//AC 平面1B DE ；(2)若1AB =，AB AC ⊥，11B D A F ⊥，求点E 到平面11A FC 的距离．17．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设AB a =，AD b =，1AA c = ，E ，F 分别是1AD ，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c表示1D B ，EF ；(2)若1D F xa yb zc =++，求1D F 在基{},,a b c 下的坐标．18．如图，在平面四边形ABCD 中，//AB DC ，ABD △是边长为2的正三角形，3,DC O =为AB 的中点，将AOD △沿OD 折到POD 的位置，PC =.(1)求证：PO BD ⊥；(2)若E 为PC 的中点，求直线BE 与平面PDC 所成角的正弦值.19．如图，将等腰直角△ABC 沿斜边AC 旋转，使得B 到达B ′的位置，且BB ′=A B ．(1)证明：平面AB ′C ⊥平面ABC ；(2)求二面角B -AB ′-C 的余弦值；(3)若在棱CB ′上存在点M ，使得14,,55CM CB μμ⎡⎤'=∈⎢⎥⎣⎦，在棱BB ′上存在点N ，使得BN BB λ'= ，且BM ⊥AN ，求λ的取值范围．参考答案题号12345678910答案C CBCDBBABDAB题号11答案ABD1．【详解】因为()()()26,2,122,,32,22,7a b x x -=--=- ，因为()2a b a -⊥ ，所以124470x +-+=，解得234x =.故选：C.2．【详解】 平面α的一个法向量是1(2n = ,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =- ,6,2)-，∴6m n =-，∴平面α与平面β的关系是平行或重合．故选：C ．3．【详解】由已知2()()3BE OE OB OP PE OA OC OP PC OA OC =-=+-+=+-+2()()3OP OC OP OA OC =+--+ 11113333OP OC OA a b c =--=--+．故选：B ．4．【详解】设AC ，BD 交于点O '，连接O E '，因为正方形ABCD 与矩形ACEF 所在的平面互相垂直，点M 在EF 上，且//AM 平面BDE ，又平面BDE ⋂平面ACEF EO ='，AM ⊂平面ACEF ，所以//AM O E '，又//AO EM '，所以O AME '是平行四边形，故1122FM O A AC EF '===，所以M 是EF 的中点，因为2,1AB AF ==，所以(0,0,1),(2,2,1)E F ，所以22,,122M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.故选：C 5．【详解】如图为折叠后的图形，其中作,AC CD BD CD ⊥⊥则6,8,4AC BD CD ===，∴0,0AC CD BD CD ⋅=⋅=沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角∴两异面直线,CA DB 所成的角为60︒．可得：.cos 6024CA DB CA DB ︒⋅=⋅=故由AB AC CD DB =++ 得22||||AB AC CD DB =++ 2222+22AC CD DB AC CD CD DB AC DB +++⋅⋅+⋅= 2222+22AC CD DB AC CD CD DB CA DB+++⋅⋅-⋅= 36166448=++-68=||AB ∴= D.6．【详解】取{}1,,AB AD AA 为空间向量的基底，因为11AB AD AA === ，90DAB ∠=︒，1160A AB A AD ∠=∠=︒，所以0AB AD ⋅=uuu r uuu r，1112AB AA AD AA ⋅=⋅= .因为11AC AB AD AA =++，所以()2211AC AB AD AA =++ 222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅1110115=+++++=，所以1AC =故选：B7．【详解】因为AB BC =，且ABC V 是直角三角形，所以AB BC ⊥.以B 为原点，分别以BC，BA的方向为x ，y 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.因为2AB BC PA ===，所以()0,2,0A ，()2,0,0C ，()0,1,0D ，()1,1,1E ，则()2,2,0AC =-，11,1,22AF ⎛⎫=- ⎝⎭ .故点F 到直线AC的距离d =故点F 到直线AC故选：B8．【详解】连接AC 交BD 于点O ，由题意，得AC BD ⊥，1122OB OD AB ===，OA OC ====，如图，以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则1110,,,0,0,0,,,0,22222A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()11,,1,0,22AC AB BD ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭，设()101BP BD λλ=≤≤ ，所以()1111,0,2222AP AB BP AB BD λλλλ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，设平面APC 的一个法向量为(),,n x y z = ，则n ACn AP⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，所以001120222y n AC x n AP x z z λλλλ=⎧⎧⋅==⎪⎪⎪⎛⎫⇒-⎨⎨⎛⎫ ⎪⋅=-+++=⎝⎭⎪⎪ ⎪=⎝⎭⎩⎪⎩ ，取4x λ=，则()4,0,21n λλ=-，设顶点B 到平面APC 距离为d ，则AB n d n ⋅== 当0λ=时0d =，当01λ<≤时，d ===所以当12λ=即12λ=时点B 到平面APC 12=.故选：A.9．【详解】点(1,1,0)P -与点(1,1,0)Q 关于x 轴对称，故A 错误；点(3,1,4)A --与(3,1,4)B --关于y 轴对称，故B 正确；点(3,1,4)A --与(3,1,4)B --不关于平面xOz 对称，故C 错误；空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，故D 正确．故选：BD .10．【详解】易得()1,1,3AB =-- ，()2,2,0AC =- ，()1,3,3CB =-，AB ∴= A 正确;因为0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥，B 正确，D 错误;而cos AB CB ABC AB CB⋅∠==⋅，C 错误.故选:AB.11．【详解】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.则()()11,0,0,0,0,1A D ,()1,1,0B ,()0,1,0C ,()11,0,1A 由113AM AD = ，则21,0,33M ⎛⎫⎪⎝⎭由23BN BD = ，则11,,033N ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以111,,333MN ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,()11,0,1AD =-,则()11111010333MN AD ⎛⎫⋅=-⨯-+⨯+-⨯= ⎪⎝⎭,所以1AD MN ⊥，选项A 正确.又()11,1,1AC =-- ，则13AC MN = ，所以1//AC MN又1,MN A C 不在同一直线上，所以1//MN A C ，故选项B 正确.平面11DCC D 的一个法向量为()1,0,0n =r ，而1103MN n ⋅=-⨯≠ 所以MN 与平面11DCC D 不平行，故选项C 不正确.由()1,1,0DB = ，有1111100333MN BD ⎛⎫⋅=-⨯+⨯+-⨯= ⎪⎝⎭,所以NM DB ⊥，又1AD MN ⊥，且NM 与1,DB A D 均相交,所以MN 为1AD 与BD 的公垂线，故选项D 正确.故选：ABD12．【详解】||AC ==||BC ==，AB ==90BAC ∠=︒ ，222||||||BC AB AC ∴=+，22(1)22(2)1x x ∴-+=+-+，解得2x =．故答案为：2.13．【详解】12//l l ，//a b ∴，所以存在实数λ，使得b a λ= ，则4245x y λλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得2λ=，8x =，10y =.18x y ∴+=.故答案为：18.14．【详解】连接BD ，BG 因为AB PB PA =- ，AB DC =，所以DC PB PA =- ．因为PC PD DC =+，所以PC PD PB PA PA PB PD =+-=-++ ．因为12PH HC =，所以13PH PC = ，所以111333PH PA PB PD =-++．又因为AH PH PA =- ，所以411333AH PA PB PD =-++．因为AG m AH=，所以4333m m m AG m AH PA PB PD ==-++ ．又因为41333m m m PG PA AG PA PB PD ⎛⎫=+=-++ ⎪⎝⎭，且G ，B ，P ，D 四点共面，所以4103m -=，解得34m =．故答案为：3415．【详解】（1）证明：如图，以D 为原点，以射线DA 、DC 、1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，0,0,1，()1,1,0F ，()0,2,0C ，()10,2,2C ，()12,2,2B ，40,,03G ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1,1,1EF =-，()12,0,2B C =-- ，所以()()()()()11,1,12,0,21210120EF B C ⋅=-⋅--=⨯-+⨯+-⨯-=，所以1EF B C ⊥，故1EF B C ⊥．（2）因为120,,23C G ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以1C G =因为EF = ()12241,1,10,,22333EF C G ⎛⎫⋅=-⋅--=-+= ⎪⎝⎭ ，所以111443cos ,315EF C GEF C G EF C G⋅==⋅．16．【详解】（1）因为111ABC A B C -为直三棱柱，所以11//A C AC ，又D ，E ，分别为AB ，BC 的中点，所以//DE AC ，所以11//DE A C ，又11A C ⊄平面1B DE ，DE ⊂平面1B DE ，所以11//AC 平面1B DE .（2）因为111ABC A B C -为直三棱柱，且AB AC ⊥，以A 为坐标原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设()10AA a a =>，且1AB =，则()()1111,0,,,0,0,0,0,,1,0,22a B a D A a F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11,0,2B D a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，11,0,2a A F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由11B D A F ⊥可得110B D A F ⋅= ，即21022a -+=，且0a >，解得1a =，设()0AC b b =>，则()10,,1C b ，即()11111,0,,0,,02A F A C b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，设平面11A FC 的法向量为(),,n x y z =，则1111020n A F x z n AC by ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，解得20z x y =⎧⎨=⎩，取1x =，则2z =，所以平面11A FC 的一个法向量为()1,0,2n =，又1,,022b E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即11,,122b A E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以点E 到平面11A FC的距离1A E n d n ⋅==17．【详解】（1）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，连接AC ，EF ，1D F ，1BD ，如图，11D B D D DB =+ 1AA AB AD =-+- a b c =-- ，11122EF EA AF D A AC =+=+ 1)11()(22AA AD AB AD =-+++ 111112222AB AA a c =-=- ．（2）111)1(2D F D D D B =+ 11)1(2AA D B =-+ 1()2c a b c =-+-- 1122a b c =-- xa yb zc =++ ，因此12x =，12y =-，1z =-，所以1D F 在基{},,a b c r r r 下的坐标为11(1)22--,,．18．【详解】（1）依题意ABD △是边长为2的正三角形，O 为AB 的中点，所以OD AB ⊥，所以OD PO ⊥，OD BO ⊥，2PD =，3CD =，PC =则222PD CD PC +=，所以PD CD ⊥，又//AB DC ，即//OB DC ，所以OB PD ⊥，又OD PD D ⋂=，,OD PD ⊂平面POD ，所以OB ⊥平面POD ，因为OP ⊂平面POD ，所以OB OP ⊥，又OB OD O = ，,OB OD ⊂平面BODC ，所以OP ⊥平面BODC ，又BD ⊂平面BODC ，所以PO BD ⊥；（2）如图建立空间直角坐标系，则1,0,0，0,0,1，()D，()C，3122E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以11,222BE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，()3,0,0DC =，()0,DP = ，设平面PDC 的法向量为(),,n x y z =，则300n DC x n DP z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令(n = ，设直线BE 与平面PDC 所成角为θ，则sin 5BE n BE nθ⋅===⋅ ，所以直线BE 与平面PDC19．【详解】（1）证明：设AC 的中点为O ，连接OB ，OB '，由题意可得，BB '=AB =AB '=BC =B 'C ，在△AB 'C 中，因为O 为AC 的中点，则OB '⊥AC ，即∠B 'OC =90°，则△OBB '≌△OCB '，所以∠B 'OB =∠B 'OC =90°，即OB '⊥OB ，因为AC ∩OB =O ，AC ，OB ⊂平面ABC ，故OB '⊥平面ABC ，又OB '⊂平面AB 'C ，所以平面AB ′C ⊥平面ABC ；（2）以点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设OA =1，则O （0，0，0），A （-1，0，0），B （0，1，0），B '（0，0，1），C （1，0，0），所以(1,1,0),(1,0,1)AB AB '== ，设平面ABB '的法向量为(),,n x y z = ，则00n AB n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩' ，即00x y x z +=⎧⎨+=⎩，令x =1，则y =z =-1，故(1,1,1)n =-- ，因为OB ⊥平面AB 'C ，所以平面AB 'C 的一个法向量为(0,1,0)OB = ，则|||cos ,|||||n OB n OB n OB ⋅〈〉=== 又二面角B -AB ′-C 为锐二面角，所以二面角B -AB ′-C的余弦值为3；（3）结合（2）可得，(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)BC CB BB ''=-=-=- 则(1,1,0)(0,1,1)(1,1,)AN AB BN AB BB λλλλ'=+=+=+-=- ，(1,1,0)(0,1,1)(1,1,)AN AB BN AB BB λλλλ'=+=+=+-=- ，因为BM ⊥AN，则0BM AN ⋅= ，即(1)(1)0μλμλ---+=，所以111λμ=-+，故λ是关于μ的单调递增函数，当14,55μ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，14,69λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故λ的取值范围为14,69⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。
高二数学空间向量试题答案及解析
高二数学空间向量试题答案及解析1.如图，将边长为2，有一个锐角为60°的菱形，沿着较短的对角线对折，使得，为的中点.（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求三棱锥的体积；（Ⅲ）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）1；（3）【解析】（1）利用线面垂直的判断定理证明线面垂直，条件齐全.（2）利用棱锥的体积公式求体积.（3）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.（4）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算.（5）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：（Ⅰ）连接，由已知得和是等边三角形，为的中点，又边长为2，由于，在中，，（Ⅱ）,（Ⅲ）解法一：过，连接AE，，即二面角的余弦值为.解法二：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则显然，平面的法向量为设：平面的法向量，由,，∴二面角的余弦值为.【考点】（1）空间中线面垂直的判定；（2）三棱锥的体积公式；（3）利用空间向量证明线线垂直和求夹角.2.如图，在三棱柱中，平面，，为棱上的动点，.⑴当为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；⑵当的值为多少时，二面角的大小是45.【答案】（1），（2）.【解析】（1）此小题考查用空间向量解决线面角问题，只需找到面的法向量与线的方向向量，注意用好如下公式：，且线面角的范围为：；（2）此小题考查的是用空间向量解决面面角问题，只需找到两个面的法向量，但由于点坐标未知，可先设出，利用二面角的大小是45，求出点坐标，从而可得到的长度，则易求出其比值.试题解析：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，依题意得，⑴因为为中点，则，设是平面的一个法向量，则，得，取，则，设直线与平面的法向量的夹角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为；⑵设，设是平面的一个法向量，则，取，则，是平面的一个法向量，，得，即，所以当时，二面角的大小是.【考点】运用空间向量解决线面角与面面角问题，要掌握线面角与面面角的公式，要注意合理建系.3.在空间直角坐标系中，若两点间的距离为10，则__________．【答案】.【解析】直接利用空间两点间的距离公式可得，解之得，即为所求.【考点】空间两点间的距离公式．4. A(5，-5，-6)、B(10，8，5)两点的距离等于 .【答案】.【解析】∵，，由空间中两点之间距离公式可得：.【考点】空间坐标系中两点之间距离计算.5.如图，边长为1的正三角形所在平面与直角梯形所在平面垂直，且，，，，、分别是线段、的中点．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）由已知中F为CD的中点，易判断四边形ABCD为平行四边形，进而AF∥BC，同时EF∥SC，再由面面平行的判定定理，即可得到答案．（II）取AB的中点O，连接SO，以O为原点，建立如图所示的空间坐标系，分别求出平面SAC与平面ACF的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角S-AC-F的大小．．（1）分别是的中点，．又，所以．，……2分四边形是平行四边形．．是的中点，．……3分又，，平面平面……5分（2）取的中点，连接，则在正中，，又平面平面，平面平面，平面．…6分于是可建立如图所示的空间直角坐标系．则有，，，，，．…7分设平面的法向量为，由．取，得．……9分平面的法向量为．10分…11分而二面角的大小为钝角，二面角的余弦值为．【考点】1．用空间向量求平面间的夹角；2．平面与平面平行的判定．6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为 ()．A．B．C．D．【答案】B【解析】设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，则C（0，2，0），M（2，0，1），D1（0，0，2），N（2，2，1），可知=（2，-2，1），=（2，2，-1），∴•＝2×2−2×2−1×1＝−1，|| ＝ 3， | |＝3;∴cos＜,＞＝，所以sin＜,＞=．故选B .【考点】用空间向量求平面间的夹角.7.已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．(1)证明：PF⊥FD；(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A－PD－F的余弦值．【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3).【解析】解法一（向量法）（I）建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，分别求出直线PF与FD的平行向量，然后根据两个向量的数量积为0，得到PF⊥FD；（2）求出平面PFD的法向量（含参数t），及EG的方向向量，进而根据线面平行，则两个垂直数量积为0，构造方程求出t值，得到G点位置；（3）由是平面PAD的法向量，根据PB与平面ABCD所成的角为45°，求出平面PFD的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．解法二（几何法）（I）连接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由线面垂直性质定理可得DF⊥PA，再由线面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由线面垂直的性质定理得到PF⊥FD；（2）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有AH＝AD，再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG＝AP，由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD，进而由面面平行的性质得到EG∥平面PFD．从而确定G点位置；（Ⅲ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角，解三角形MNF可得答案．.试题解析：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)．不妨令P(0,0，t)，∵＝(1,1，－t)，＝(1，－1,0)，∴＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0，即PF⊥FD.(2)解：设平面PFD的法向量为n=(x，y，z)，由得令z=1，解得：x=y=.∴n=.设G点坐标为(0,0，m)，E，则，要使EG∥平面PFD，只需·n=0，即，得m=，从而满足AG=AP的点G即为所求．(3)解：∵AB⊥平面PAD，∴是平面PAD的法向量，易得=(1,0,0)，又∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，得∠PBA=45°，PA=1，平面PFD的法向量为n= .∴.故所求二面角A－PD－F的余弦值为.【考点】1.用空间向量求平面间的夹角；2.空间中直线与直线之间的位置关系；3.直线与平面平行的判定．8.已知三棱柱，平面，，，四边形为正方形，分别为中点．（1）求证：∥面；（2）求二面角——的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）只要证出∥，由直线与平面平行的判定定理即可得证（2）建立空间直角坐标系，利用求二面角的公式求解试题解析：（1）在中、分别是、的中点∴∥又∵平面，平面∴∥平面（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，∴，平面的一个法向量设平面的一个法向量为则即取.∴∴二面角的余弦值是.【考点】直线与平面平行的判定定理，在空间直角坐标系中求二面角9.如图，直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱),底面中，棱，分别为的中点.（1）求>的值；（2）求证：【答案】（1）>的值为；（2）证明过程详见试题解析.【解析】（1）先以C为原点建立空间坐标系，由已知易求出，进而可求>的值；（2）由（1）所建立的空间坐标系可写出、、的坐标表示，即可知，从而得证.试题解析：以C为原点，CA、CB、CC1所在的直线分别为轴、轴、轴，建立坐标系（1）依题意得,∴∴ ,∴>= 6分(2) 依题意得∴,∴,,∴ ,∴,∴∴ 12分【考点】空间坐标系、线面垂直的判定方法.10.如右图，正方体的棱长为1．应用空间向量方法求：⑴求和的夹角⑵．【答案】（1）（2）对于线线垂直的证明可以运用几何性质法也可以运用向量法来证明向量的垂直即可。
高二上数学知识点空间向量
高二上数学知识点空间向量高二上数学知识点：空间向量一、引言数学是一门学科，它以推理和逻辑为基础，研究数量、结构、变化以及空间等方面的规律。
高二上学期，我们将学习许多重要的数学知识点，其中之一就是空间向量。
本文将详细介绍空间向量的定义、运算方法以及相关应用。
二、空间向量的定义空间向量是指空间中的一个有大小和方向的量。
它由起点和终点确定，常用带箭头的线段来表示。
在空间向量中，起点表示向量的位置，终点表示向量的方向和大小。
三、空间向量的表示方法空间向量可以用坐标表示法和位置矢量法两种方式进行表示。
1. 坐标表示法坐标表示法是将空间向量的起点放置在坐标系的原点，终点在坐标系中的一个确定点。
这样，空间中的向量就可以用坐标$(x,y,z)$ 来表示，其中 $x$ 表示向量在 x 轴上的投影，$y$ 表示向量在 y 轴上的投影，$z$ 表示向量在 z 轴上的投影。
2. 位置矢量法位置矢量法是将空间向量的起点设置在空间中的一个位置$(x_1,y_1,z_1)$，终点则是另一个位置 $(x_2,y_2,z_2)$。
这样，空间向量就可以用矢量 $\vec{AB}$ 来表示，其中点 A 为起点，点 B 为终点。
四、空间向量的运算1. 向量的相加当两个空间向量进行相加时，可以将它们的起点放在一起，将终点放在一起，再连接起点和终点，得到一个新的向量。
记作$\vec{AB} + \vec{CD} = \vec{AD}$。
2. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指向量与一个实数相乘，其结果是方向不变，大小改变的一个新向量。
记作 $\lambda \cdot \vec{AB}$，其中$\lambda$ 为实数。
3. 向量的点乘向量的点乘是指将两个向量进行相乘并求和的运算。
点乘的结果是一个实数，它等于两个向量的模长乘积与夹角的余弦值。
记作 $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}| \cos\theta$，其中 $\theta$ 为两向量之间的夹角。
高二数学空间向量知识点总结归纳
高二数学空间向量知识点总结归纳数学中的空间向量是指存在于三维空间中的有方向和大小的物理量。
在高二数学中，我们学习了关于空间向量的各种性质和运算法则，以及与之相关的应用。
本文将对高二数学空间向量的知识点进行总结和归纳。
一、空间向量的定义与表示方法在空间中，向量可以用有序数对或有序三元组表示。
通常，我们用大写字母表示向量，如AB、CD等。
表示向量的有序数组称为坐标，常用小写字母表示，如a、b、c等。
假设向量AB的坐标为(a₁, a₂,a₃)，则可表示为AB = a₁i + a₂j + a₃k，其中i、j、k分别表示x、y、z轴的单位向量。
二、向量的基本运算法则1. 向量的加法向量的加法遵循平行四边形法则，即将两个向量的起点相连接，然后以这条连线为对角线构建平行四边形，向量的和为平行四边形的对角线向量。
2. 向量的减法向量的减法可以转化为向量的加法，即A-B = A + (-B)，其中-B表示B的反向量。
所以，向量A减去向量B，可以先求出B的反向量，再用向量的加法进行计算。
3. 向量的数量积向量的数量积又称为点积，用符号·表示。
设有两个向量A = a₁i + a₂j + a₃k和B = b₁i + b₂j + b₃k，则向量A和B的数量积为A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。
4. 向量的向量积向量的向量积又称为叉积，用符号×表示。
设有两个向量A = a₁i + a₂j + a₃k和B = b₁i + b₂j + b₃k，则向量A和B的向量积为A×B = (a₂b₃ - a₃b₂)i + (a₃b₁ - a₁b₃)j + (a₁b₂ - a₂b₁)k。
三、空间向量的性质与定理1. 平行向量如果两个向量的方向相同或相反，则它们被称为平行向量。
平行向量的数量积为零。
2. 垂直向量如果两个向量的数量积为零，则它们被称为垂直向量。
垂直向量的叉积也为零。
3. 向量共面如果三个向量可以放在同一个平面上，则它们被称为共面向量。
(完整版)选修21空间向量知识点归纳总结
第三章空间向量与立体几何1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的 向量。
（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
⑵加法结合律：（a b ） c ⑶数乘分配律：（a b ） 3. 共线向量。
（1） 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量 也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作a 〃b 。
当我们说向量a 、b 共线（或a// b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线 可能是同一直线，也可能是平行直线。
（2） 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （ b 工0 ），a// b 存在实数入， 使a =入b 。
4. 共面向量（1） 定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
rr（2） 共面向量定理：如果两个向量a,b 不共线，P 与向量a,b 共面的条件是存在实数x, y 使p xa yb 。
5. 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量P ， 存在一个唯一的有序实数组x, y,z ，使p xa yb zc 。
若三向量ab,c 不共面，我们把｛a,b,c ｝叫做空间的一个基底，a,b,c 叫做基向2. uuu r OB a b a (b c)b a量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设O,代B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个uuu uuu uuu uuur有序实数x, y,z，使OP xOA yOB zOC。
ib平移前7. 空间向量的直角坐标系：(1) 空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系 O xyz 中，对空间任一点 A ，存在唯一的有序实数组 (x,y,z)，使OA xi yi zk ，有序实数组(x, y,z)叫作向量A 在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标，记作A(x, y, z)， x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。
高中数学必修知识点空间向量知识点
高中数学必修知识点空间向量知识点在高中数学的学习中，空间向量是一个非常重要的知识点。
它为我们解决空间几何问题提供了一种全新而有效的方法。
接下来，让我们一起深入了解一下空间向量的相关知识。
一、空间向量的基本概念空间向量是指在空间中具有大小和方向的量。
与平面向量类似，空间向量也可以用有向线段来表示。
一个空间向量通常用小写字母上加箭头来表示，如\（＼overrightarrow{a}＼）。
空间向量的模，也就是向量的长度，可以用\（＼vert\overrightarrow{a}＼vert\）来表示。
如果向量的起点坐标为\（（x_1,y_1,z_1)＼），终点坐标为\（（x_2,y_2,z_2)＼），那么向量的模可以通过公式\（＼vert\overrightarrow{a}＼vert ＝＼sqrt{（x_2 x_1)＾2 ＋（y_2 y_1)＾2 ＋（z_2 z_1)＾2}＼）计算得出。
空间向量的方向可以用它与坐标轴的夹角来描述，通常称为方向角。
零向量是模为\（0\）的向量，其方向是任意的。
单位向量则是模为\（1\）的向量。
二、空间向量的运算1、加法和减法空间向量的加法和减法遵循三角形法则和平行四边形法则。
如果\（＼overrightarrow{a}＝（x_1,y_1,z_1)＼），＼（＼overrightarrow{b}＝（x_2,y_2,z_2)＼），那么\（＼overrightarrow{a}＋＼overrightarrow{b}＝（x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)＼），＼（＼overrightarrow{a}＼overrightarrow{b}＝（x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)＼）。
2、数乘运算数乘空间向量是指将向量的长度乘以一个实数。
如果\（＼lambda\）是实数，＼（＼overrightarrow{a}＝（x,y,z)＼），那么\（＼lambda\overrightarrow{a}＝（＼lambda x,＼lambda y,＼lambda z)＼）。
课件_人教版数学高中二年级选修-节空间向量及其运算复习PPT课件_优秀版
共线定理、共面定理的应用
【训练 2】 已知 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O， 若点 M 满足O→M＝1(O→A＋O→B＋O→C)．
3 (1)判断M→A，M→B，M→C三个向量是否共面； (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内．
解 (1)由已知O→A＋O→B＋O→C＝3 O→M， ∴O→A －O→M＝ (O→M －O→B )＋(O→M －O→C)， 即M→A＝B→M＋C→M＝－M→B－M→C， ∴M→A，M→B，M→C共面． (2)由(1)知，M→A，M→B，M→C共面且基线过同一点 M， ∴四点 M，A，B，C 共面，从而点 M 在平面 ABC 内．
空间向量的数量积及其应用
【例3】如图所示，已知空间四边形的ABCD各边和对角线的长都等
于a ，点M , N分别是AB,CD 的中点．
在空间中，具有 的量叫做(空1间)向求量，证其大：M小叫N做向量A的B长度；或模(．2)求 MN 的长；
a1＝ b1，a2＝ b2，a3＝ 探究三 空间向量的数量
(b33 )求异面直线AN与CM
2.空间向量中的有关定理
(1)共线（平行）向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b⇔存
在λ∈R，使 a＝ b . (2)共面向量定理：若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面 ⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝ xa＋yb . (3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一 向量 p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得 p＝ xa＋yb＋zc .
【例3】如图所示，已知空间四边形的 各边和对角线的长都等于 ，点 分别是 的中点．
（1）利用数量积解决问题的两种途径：
高二数学空间向量基本定理与坐标运算试题答案及解析
高二数学空间向量基本定理与坐标运算试题答案及解析1.三棱锥中，两两垂直且相等，点分别是线段和上移动，且满足，，则和所成角余弦值的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】以为原点，分别,,为, , 轴建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，, ，则由，得出，，，.于是向量，，所以，令，，则.因为对称轴为，所以关于为递增函数，关于为递增函数.又因为与独立取值，所以，所以和所成角余弦值的取值范围为，即为所求.【考点】立体几何与空间向量.2.点关于原点对称的点的坐标是．【答案】【解析】空间直角坐标系中点的对称关系:,可得.【考点】空间直角坐标系中点的对称关系.3.已知，，，三角形的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，所以,故选B．【考点】1．空间向量夹角公式；2．三角形面积公式．4.已知＝(2,4,5)，＝(3，x，y)，若∥，则()A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝【答案】D【解析】因为∥，所以，所以x＝6，y＝．【考点】空间向量的平行．5.设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由是上一点，且，可得又因为是的重心，所以而，所以，所以，选A.【考点】1.空间向量的加减法；2.空间向量的基本定理.6.已知，当取最小值时，的值等于（）A．B．－C．19D．【答案】A【解析】根据空间中两点间的距离公式可得设，，故，根据二次函数的图像可知，该函数的最小值在对称轴上取到，所以当取最小值时，的值等于，选A.【考点】1.空间中两点间的距离问题；2.二次函数的图像与性质.7.设点关于原点的对称点为，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】关于原点对称的两个点的坐标之间横坐标、纵坐标、坚坐标的数都是相反数，故，所以，故选A.【考点】1.关于原点对称的两个点的坐标；2.空间中两点间的距离公式.8.已知向量，，且，那么等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，所以，解得，所以，选答案A.【考点】空间向量平行的坐标关系.9.已知，则的最小值是_______________．【答案】【解析】根据题意，由于，则可知，结合二次函数性质可知当t=时，根号下取得最小值，即可知答案为【考点】向量的数量积点评：主要是考查了运用向量的数量积来求解向量的模长的运用，属于基础题。
高二空间向量法知识点归纳
高二空间向量法知识点归纳空间向量法是数学中的一种重要工具，广泛应用于几何、物理等领域。
在高中数学的教学中，空间向量法也是一个重要的知识点。
本文将对高二空间向量法的相关知识进行归纳总结。
一、空间向量的定义和表示方法空间中的向量是有大小和方向的，它可以用坐标来表示。
三维空间中，向量通常用三个有序实数构成的有序三元组表示，记作：AB→=A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)。
该向量的坐标表示为：(x2-x1, y2-y1, z2-z1)。
二、向量的共线和共面判定1. 共线判定设有向量AB→和CD→，如果它们的坐标比例相等，则两个向量共线，即(x2-x1)/a=(y2-y1)/b=(z2-z1)/c。
2. 共面判定设有三个向量AB→，AC→和AD→，如果它们的混合积为0，则三个向量共面，即[(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)]a+[(y2-y1)(z3-z1)-(y3-y1)(z2-z1)]b+[(x2-x1)(z3-z1)-(x3-x1)(z2-z1)]c=0。
三、向量的数量积和数量积的性质1. 数量积的定义设有向量AB→和CD→，数量积定义为：AB→·CD→=|AB→|·|CD→|·cosθ，其中θ为AB→和CD→之间的夹角。
2. 数量积的性质- 交换律：AB→·CD→=CD→·AB→- 结合律：(AB→+CD→)·EF→=AB→·EF→+CD→·EF→- 数量积与向量共线：若AB→·CD→=0，则向量AB→和CD→垂直或其中一个向量为零向量。
四、向量的向量积和向量积的性质1. 向量积的定义设有向量AB→和CD→，向量积定义为：AB→×CD→=|AB→|·|CD→|·sinθ·n→，其中θ为AB→和CD→之间的夹角，n→为满足右手定则的单位向量。
高二上期末复习6选修21空间向量-资料
空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键,通常可
以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直
3.
的论证问题.
rr
公式 cosa,b
rr rabr
是应用空间向量求空间中各种
角的基础,用这个|a|公|b式| 可以求两异面直线所成的角,
再结合平面的法向量,可以求直线与平面所成的角和
二面角等.
4.直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面 的相对位置的重要概念,通过研究方向向量与法向量之间的关 系,可以来确定直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置 关系以及有关的计算问题.
∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC= 1 ，
AB=1，M是PB的中点
2
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的余弦.
证明：以A为坐标原点,AD长为单位长度，如图建立空间 直角坐标系，则各点坐标为
A ( （0 ,0 Ⅰ,0 ）) ,u B 证u ( 0 u r 明,2 ,：u 0 u ) ,因u C r ( 1 ,u A 1 u ,P u 0 r ) ,D (0 ( 1 ,, 0 0 ,1 ,0 ),) u D ,u P C u r ( 0 ,0 ( , 0 1 ,) 1 ,,M 0 ) ( ,0 ,1 ,1 2 ) 故 A P D C 0 ,所 以 A P D C .
(3)求二面角:
用向量法求二面角也有两种方法:一种方法市利用平面角的定义,在 两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量,然后求出 这两个方向向量的夹角,由此求出二面角的大小;另一种方法市转 化为求二面角的两个面的法向量的夹角,它与二面角的大小相等 或互补.
word完整版选修2 1 第三章 空间向量及其运算知识点推荐文档
3.1 空间向量及其运算知识点1.空间向量的有关概念⑴空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量.⑵单位向量：模为1的向量称为单位向量⑶相等向量：方向相同且模相等的向量.⑷共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量. ⑸共面向量：平行于同一个平面的向量.2•空间向量的加法、减法与数乘运算向量的加减法满足平行四边形法则和三角形法则向量加法的多边形法则：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量uuu uuu uuuu uuuu uuuuu OA n = OA + AA+ AA+ + A n —A •运算律：①加法交换律： a + b = b + a②加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)③数乘分配律：入(+ b)=入a 入b.3. 共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1) 共线向量定理对空间任意两个向量 a , b(b ^ 0), a// b 的充要条件是存在实数 人使得a =入b推论：|点P 在直线AB 上的充要条件是：存在实数人使得 uuu AP uuuAB ①uuu uuruur 或对空间任意一点 O,有 OP OAAB ②urn uuruur或对空间任意一点 O , 有OP xOAyOB 其中x + y = 1 ③uur uururn uir uuu uuu uur uur【推论③推导过程: OP OA AB OA (AO OB) (1)OA OB(2) 共面向量定理如果两个向量a , b 不共线，那么p 与a , b 共面的充要条件是存在唯一有序实数对 (x,y )使p = xa + yb推论：空间一点P 位于平面 ABC 内的充要条件|是uur uur uuu存在唯一有序实数对 (x,y )使 AP xAB yAC ,urn uir uur uuu或对空间任意一点 O , 有OP OA xAB yACurn uu uur uuu或对空间任意一点 O , 有OP xOA yOB zOC ，其中 x + y + z = 1uuu uur uin uuu uir uuu uuu【推论③推导过程：OP OA xAB yAC (1 x y)OA xOB yOC 】(3) 空间向量基本定理如果三个向量a , b , c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组｛x , y , z ｝，使得p = xa + yb + zc基底：把｛a , b , c ｝叫做空间的一个基底，空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 4. 空间向量的数量积及运算律 (1) 数量积及相关概念① 两向量的夹角： 已知两个非零向量 a , b ,在空间任取一点 0,作OA = a , OB = b ,则/ AOB 叫做向量a 与b 的夹 角，记作〈a , b>,其范围是0<< a , b >< n 若〈a , b 〉=才，则称a 与b 互相垂直，记作a 丄b.② 两向量的数量积： 已知空间两个非零向量 a , b ,向量a , b 的数量积记作a b ,且a b = |a||b|cos <a , b >.⑵空间向量数量积的运算律：①结合律：(扫)b = ?(a b);②交换律：a b= b a;③分配律：a (b+ c)= a b + a c.5. 空间向量的坐标表示及应用设a= (a i, a2, a3), b= (b i, b2, b3)(1) 数量积的坐标运算： a b = a i b i + a2b2 + a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示：a / b? a= b? a1 =入1，a2 =入2，a3=入 3 (入€ R)，a丄b? a b= 0? a1b1+ a2b2+ a3b3= 0(a，b 均为非零向量).(3)模、夹角和距离公式：|a|= \,'a a = ：：：：;a1+ a2 + a3，a b a1b1 + a2b2 + a3b3cos a’ b|a||b|.'a1+ a2 + a3 • b2+ b2 + b3 •设A(a1，b1，C1)，B(a2，b2，⑵，贝U d AB= |AB|= ：a2—a1 2+b2 —b1 2+ C2 —C1 2.6. 用空间向量解决几何问题的一般步骤:(1) 适当的选取基底｛a，b，c｝；(2) 用a，b，c表示相关向量；(3) 通过运算完成证明或计算问题.题型一空间向量的线性运算用已知向量来表示未知向量，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，表示为其他向量的和与差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系.例1:三棱锥O—ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是厶ABC的重心，用基向量OA，OB，OC表示MG，OG 8.T T T 1 T 2 f 1 f 2 f f 1 f 2 1 f f f 1 f 1 T 1 T解析：MG = MA + AG= 2°A+ 3AN = 2OA + §(0N - OA) = ?OA + ^[^(OB + OC) - OA] = -6°A+ 3OB+ 3OC.1 f 1 f 1 f 1 f 1 f+3°B+3°c=3OA+$+3°c.f 1 f f furn uuu uuu uuu 例2:如图所示，ABCD -A1B1C1D1 中, ABCD 是平行四边形.若AE = ?EC, A1F = 2FD，且EF =XAB+yAD+ZAA1 , 试求x、y、z的值.O G = O M + M G=!< F4 ¥%-1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1•解连接AF，EF = EA + AF. •/ EA =- ^AC=- - (AB + AD)ffffff1 ff1 ff2uuuAF = AD + DF = AD - FD = AD --A1D = AD -( A1A+ AD) = - AD3 331 uuu f f f1 uuu3A1A : EF= EA+AF= 3AD1 uuu 1 uu u严3AB题型二共线定理应用向量共线问题：充分利用空间向量运算法则，用空间中的向量表示a与b，化简得出a = b，从而得出a// b，即a与b共线.点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明f fA、B、C三点共线，即证明AB与AC共线.例3:如图所示, 都是平行四边形且不共面, N分别是AC, BF的中点，判断CE与MN 四边形ABCD , ABEF是否共线？A Fuur UlT uurCE CB BE••• uuu uuu uir uuu i uuu-ACuirMN MC CB BN CB2T T T T T T即CE与MN共线.••• CE //MN ,••• CE=2MN ,1 uur2(BAuur i uuuBE) 2(ACuurBA)uir i uur i uir 1 uur CB -BE -CB - BE 2 2 2例4:如图所示，在正方体ABCD —A I B I C I D I中, E在A i D i上，且A i E = 2ED i, F在对角线A i C 上,T T且A i F = 2F C. 求证：E , F , B三点共线.HiT证明：设AB = a,T T T2 2…A i E= 2ED i=§AD = 3b,T TT 2• E F = A i F—A i E= ：a—5TAA i = c.T T T2 2 2TAD = b,TA i F = 3FC = 5A i C=5(ACT T T T2 2 2 2 —AA i)= 5(AB + AD —AA i) = 5a+ ~b —5cT T T T4 2 2 2 2 2—5c=5 a —3b —c , EB= EA i + A i A+ AB = —~b —c+ a= a —3b—c,T T• EF = |E B.所以E, F, B三点共线.题型三共面定理应用T T 点共面问题：证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P、A、B、C四点共面，只要能证明PA= xPB T+ yPC,或对空间任一点TTTTTT T T0,有OP = OA + xPB + yPC或0P= xOA + yOB + zOC(x + y + z= 1)即可例5:已知A、B、C三点不共线，对于平面T T T T2 i 2ABC 外一点O,若OP =- OA +-OB + 7OC，则点P 是否与A、B、5 5 5一定共面？试说明理由.uuu 2 uir i uu u解析：••• OP OA -OB5 52 uuru 2OC -3 5uuu uir i uuu uu(OP+PA) —(OP+PB)52 uuu uur uuu 2 uir i uir 2 uuu2(OP+PC)=OP+5PA+5PB+3PC1 2••• AP=^AB + -AC,故A、B、C、P 四点共面•5 5例6:如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连结PA、PB、PC、PD，点E、F、G、H分别为△ PAB、△ PBC >△ PCD、△ PDA的重心，应用向量共面定理证明：E、F、G、H四点共面.A B A M B证明：分别延长PE、PF、PG PH交对边于M N Q R.••• E、F、G H分别是所在三角形的重心，• M、N、Q、R为所在边的中点T TT TT TT T2 2 2 2 顺次连结M、N、Q、R,所得四边形为平行四边形，且有PE = §PM , PF = §PN , PG= 3PQ , PH = §PR.TTTTTT T T T T T T T T T T 2222 2 2 23 3 23 3• EG= PG —PE = 3PQ —3PM = 3MQ = 3(MN+ MR) = §(PN —PM) + §(PR—PM) = 3(^PF —°PE) + 3(?PH —^PE) T T=EF + EH. •••由共面向量定理得E、F、G、H四点共面.T T T例7:正方体ABCD —A1B1C1D1中，E, F分别是BB1和A1D1的中点，求证向量A1B, B1C, EF是共面向量.T T T T T T T TTT~T 1 —T 1 1 1证明：如图所示，EF = EB + BA1 + A1F =尹1B —"B + 尹心1 = ?(B1B + BC) —A1B =尹£一A^.T T T由向量共面的充要条件知A1B, BQ, EF是共面向量.题型四空间向量数量积的应用例8:①如图所示，平行六面体ABCD —A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值.解析：(1)记AB = a, AD = b, AA1 = c,则|a|= |b|= |c|= 1,〈a, b〉=〈b, c〉=〈c , a〉= 60°,•ab = b •= c a= 72'|AC1|2= (a+ b + c)2= a2+ b2+ c2+ 2(a b+ b c+ c a) = 1+ 1+ 1 + 2 x 丁+ *+ * = 6, •• |AC1|= ,'6, 即AC1的长为叮6.(2)BD1 = b+ c—a, AC= a+ b, •• |B D1|= 2, |AC|= . 3, B D1 AC = (b + c—a) (a+ b)= b2—a2+ a c+ b c= 1.•cos〈B D1, AC> = BD1管=#••• AC与BD1夹角的余弦值为卡.|BD1||AC|例10:已知a = (2 , — 1,3) , b = (— 1,4 , — 2) , c = (7,5 ,从若a , b , c 三向量共面，则实数7 = 2t —仏解析：由题意得 c = ta + Q = (2t — (1, — t + 4(1, 3t — 2" , • 5 =— t + 4(i, 入=3t — 2 i例 11:已知△ ABC 的顶点 A(1,1,1) , B(2,2,2) , C(3,2,4),试求△ ABC 的面积TTTTT TAB = (1,1,1) , AC = (2,1,3) , |AB|= 3 , |AC|=、14 , AB AC = 2+ 1 + 3= 6 , • 8訊=8S < AB , AC 〉=^4=±, sinA = 1 —脊=亡•- S ^ABC = 1|AB| |AC| 前人=击=老例12：已知a =( + 1,0,2) , b= (6,2 3— 1,2为,若a / b ，则 入与 3的值可以是( )1 A .2 , 2 1 1B .—3, 2C . — 3,2D . 2,2+ 1 2 =2 , 匸一 3 ,解析由题意知：6= 2入，解得1或12 厂 1 = 0 ,3= 2尸2例 13:已知空间中三点 A( — 2,0,2), B(- 1,1,2), C(-3,0,4)，设 a = AB , b = AC.，若 ka + b 与 ka - 2b 互相垂直，ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ,点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE1 2 C.4a 2D. 43a 2 4T设AB = a , TAC = b , AD = c ,则|a|= |b|= |c|= a ，且a , b , c 三向量两两夹角为TT1 1AE = 2(a + b), AF = 2c ,^ AE1 11 12 2 1 2 AF = 2(a + b) g c = &(a c+ b c )= ^(a 2cos60 + a 2cos60 ) = 4a 2.题型五 空间向量坐标运算例9:如图所示，PD 垂直于正方形1,AF 的值为（ ）60°ABCD 所在平面，AB = 2 , E 为PB 的中点，cos < DP , Al 〉=匚3,若以DA , 3y , z 轴建立空间直角坐标系，则点 E 的坐标为（）C. 1 1 31 ? 1? n(1,1,2)设 PD = a (a>0)，则 A(2,0,0), ••• DP = (0,0, a), A E = — 1,B(2,2,0), P(0,0, a), E 1, 1, 1, 2 , cos < DP , Al 〉-—••• a = 2. A E 的坐标为(1,1,1).17 "=7 , 65 入=65.②已知空间四边形 O1 ODC , DP 所在直线分别为 B. 1, 33求实数k的值.方法一一ka+ b = (k—1, k,2). ka —2b= (k+ 2, k, —4)，且ka + b 与ka —2b 互相垂直，5 •••(k—1, k,2) (k+ 2, k,—4) = (k—1)(k+ 2)+ k2—8= 0, /. k= 2 或一2，5 方法二由⑵知|a|=Q2,卜| =半,a b=—1, • (ka + b) (ka —2b) = k2a2—ka b—2b2= 2k2+ k—10= 0,得k= 2 或一|.例14:已知空间三点A(0,2,3), B( —2,1,6), C(1 , —1,5).(1)求以AB, AC为边的平行四边形的面积；⑵若|a|= ,'3，且a分别与AB, AC垂直，求向量a的坐标.窑亡AB AC —2 + 3+ 67 1 T'3解⑴cos〈AB, AC〉=甌=^T孑“sin AB, AC〉= 2,•••以A B, AC为边的平行四边形的面积为S= 2X 2|AB| I A C| sin〈AB, AC> =14X-^= 7 3x2+ y2+ z2= 3 x= 1 x=— 1(2) 设a= (x, y, z)，由题意得—2x—y+ 3z= 0 ，解得y= 1 或y=—1 ,x —3y+ 2z= 0 z= 1 z=—12 1例15:如图所示，在正方体ABCD —A1B1C1D1中，E、F分别在A1D、AC上，且A1E= 3A1D, AF = 3AC ,则()3 3A. EF至多与A1D、AC之一垂直 B . EF与A1D、AC都垂直C . EF与BD 1相交D . EF与BD 1异面解析：设AB = 1,以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD 1所在直线为z轴建立空间直角坐标1 12 1 T系，贝V A1(1,0,1), D(0,0,0), A(1,0,0), C(0,1,0), E 3, 0, 3 , F 3 , - , 0, B(1,1,0) , D1(0,0,1) , A1D = (—1,0 , —1), AC= (—1,1,0) , EF = £, £, —3 , BD 1= (—1 , —1 , 1) , EF = —^BD1 , A1D EF = AC EF = 0,从而EF // BD1 , EF 丄A1D , EF 丄AC.1 1例16:已知0(0,0,0) , A(1,2,3) , B(2,1,2), P(1,1,2),点Q在直线OP上运动，当QA QB取最小值时，点Q的坐标是.解析：设OQ = QP =(人人2为,则QA = (1 —人2—入3—2为,QB= (2 —入1 —入2 —2为.4 2二 QA QB = (1—为(2 -为+ (2-片(1 -入 + (3-2 2)(2- 2 为=6 泵一16 H 10 = 6( 1 -)2-石.3 3 二当X= 4时，QA QB 取最小值为一3.此时，0Q = (；, 3，3)，综合练习一、选择题1、下列命题：其中不正确.的所有命题的序号为 _____________ • ①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有 AB + B C + CD + DA = 0;②|a|—|b|=|a + b|是a 、b 共线的充要条件；③ 若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；④ 对空间任意一点 0与不共线的三点 A 、B 、C ,若OP = xOA + yOB + zOC （x 、y 、z € R ）,贝U P 、A 、B 、C 四点共 面.⑤ 设命题p : a , b , c 是三个非零向量；命题 q : {a , b , c}为空间的一个基底，则命题 p 是命题q 的充要条件解析：选②③④⑤，①中四点恰好围成一封闭图形，正确；②中当 a 、b 同向时，应有| a | + | b | = | a + b | ;③中a 、 b 所在直线可能重合；④中需满足 x + y + z = 1,才有P 、A 、B C 四点共面；⑤只有不共面的三个非零向量才能作 为空间的一个基底，应改为必要不充分条件3、已知A(1,0,0), B(0,- 1,1), OA + QB 与OB 的夹角为120°则入的值为()A . ±66B<66C .-普D . ±64、 如图所示，已知 PA 丄平面 ABC , / ABC = 120 ° ° PA = AB = BC = 6,贝U PC 等于 ()A . 6 . ' 2B . 6C . 12D . 144r七 f f f f f f f f ff飞 解析 PC 2= (PA + AB + BC) 2=PA 2 + AB 2+ BC 2+ 2AB BC = 36 + 36 + 36 + 2 X 36cos 60 = 144/• |PC|= 12 证明 设AB = a , AC = b , AD = c ,则 BG = BA + AG = BA + 3AM = - a + ~(a + b + c)=- 3a +7b +^c ,4 4' ' 4 4 4BN = B A +AN = B A +*AC + AD)=- a +^b + fc =|BG .••• B N // BG ，即 B 、G 、N 三点共线.5、正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1的棱长为 a ,点 M 在AC 1上且AM = ?MC 1, N 为B 1B 的中点，贝U |MN|为（ ）2、有下列命题：其中真命题的个数是 （ ）①若p = xa + yb ,贝U p 与a , b 共面；③若 MlP = xMA + yMIB ，贝U P , M , A 、B 共面； A . 1 B . 2 C . 3解析 其中①③为真命题.②中，若a , b 共线,②若p 与a , b 共面，则p = xa + yb ；④若 P , M , A , B 共面，则 MP = xMA + yMIB. D . 4贝U p 孜a + yb ；ff解析：OA + ?OB = (1 ,-入 2,cos120°H 入 .1+ 2* • 21，得匕±[.经检验X= 不合题意，舍去, 2 6 6解析 设与a = (2,2,1)和b = (4,5,3)同时垂直b 单位向量是c = (p , q , r)，则 B<66a7、如图所示,在平行六面体ABCD — A i B i C i D i 中， M 为 A i C i 与 B i D i的交点.若AB = a , AD = b , AA i = c ,则下歹U向量中与B M 相等的向量是 ( )i ii ii ii iA . — 2a + 2b + cB.2a + 尹+ c C .— 尹—2b + c D.2a — 2b + c解析 BM = BB i + B I M = AA i + |(AD — AB )= c + *(b — a) = — 2a + 2b + c.。
高二数学空间向量试题答案及解析
高二数学空间向量试题答案及解析1.如图，在三棱锥中，直线平面，且，又点，，分别是线段，，的中点，且点是线段上的动点．（1）证明：直线平面；（2）若，求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）3．（3）【解析】（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．（2）证明线面平行，需证线线平行，只需要证明直线的方向向量平行；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．试题解析：（1）连结QM 因为点，，分别是线段，，的中点所以,所以平面, 平面因为,所以平面∥平面 ,平面所以∥平面（2）方法1：过M作MH⊥AN于H，连QH，则∠QHM即为二面角的平面角, 令即QM=AM=1所以此时，MH=，记二面角的平面角为则tan=，所以COS=即为所求．方法2：以B为原点，以BC、BA所在直线为x轴y轴建空间直角坐标系，设则A（0,2,0），M（0,1，0），N（1,0,0），p（0,2,2）,Q（0,1,1）,=（0,-1,1）,记，则取又平面ANM的一个法向量，所以cos=即为所求．【考点】空间几何体的线面平行以及二面角．2.如图，正三棱柱中，是的中点，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）想要解决这个问题，需要构造平行线，连结交于，连结，则又平面平面（Ⅱ）解决本题的关键是构造二面角的平面角，过作的垂线，过作的垂线，则就是二面角的平面角，然后根据条件计算出 .试题解析：（Ⅰ）连结交于，连结，则分别是，的中点，又平面平面（Ⅱ）过作的垂线，垂足为，则，且面，过作的垂线，垂足为，则，连结，则就是二面角的平面角，且，即二面角的余弦值为【考点】线面平行的判定，二面角.3.如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD，E、F分别是线段PA、CD的中点．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求EF和平面ABCD所成的角α的正切；（Ⅲ）求异面直线EF与BD所成的角β的余弦．【答案】（1）由已知PA⊥AD，AB⊥AD，所以为平面PAD与平面ABCD所成二面角的平面角．由已知平面PAD⊥平面ABCD得，PA⊥AB，又AB平面ABCD，AD平面ABCD，且AB∩AD=A，所以PA⊥平面ABCD；（2）所求的角α的正切值为；（3）异面直线EF与BD所成角β的余弦值为．【解析】（1）根据两个平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD；（2）连接AF，则即为α，在直角三角形EAF中，根据计算求得结果即可；（3））欲求异面直线EF与BD所成的角β的大小，只需平移两条异面直线中的一条，使它们成为相交直线，则相交直线所成的锐角或直角，就是异面直线所成角，再放入三角形中，通过解三角形，求出此角．试题解析：（1）由已知PA⊥AD，AB⊥AD，所以为平面PAD与平面ABCD所成二面角的平面角．由已知平面PAD⊥平面ABCD得，PA⊥AB，又AB平面ABCD，AD平面ABCD，且AB∩AD=A，所以PA⊥平面ABCD．（2）连接AF，因为PA⊥平面ABCD，则AF是EF在平面ABCD上的射影，即=α．设PA=AD=a，FD=，则．在中，，所以所求的角的正切值为．（3）取BC的中点M，连接EM、FM，则FM∥BD，∴∠EFM（或其补角）就是异面直线EF 与BD所成的角．可求得，同理，，又，∴在△MFE中，，故异面直线EF与BD所成角β的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行、垂直的判定；直线与平面所成的角．4.如图，分别是正三棱柱的棱、的中点，且棱，.（1）求证：平面；（2）在棱上是否存在一点，使二面角的大小为，若存在，求的长，若不存在，说明理由。
高二数学期末总复习课件《空间向量》
cos a b a b | a || b | x1 x2 y1 y2 z1 z2
2 2 2 x12 y12 z12 x2 y2 z2
2
王新敞
奎屯
新疆
（6）平行的条件：对应坐标成比例 垂直的条件：x1x2+y1y2+z1z2=0
五、直线的方向向量与平面的法向量及其应用 空间直线的方向向量： 直线l上的向量 e ( e ≠ 0)以及与 e共线的非 零向量叫做直线l的方向向量。 平面的法向量： 如果表示非零向量 n 的有向线段所在的直线 垂直于平面α，那么称向量 e 垂直于平面α，记作 ⊥α. α的法向量. e 此时，我们把向量 叫做平面 e
D C
B
x
y
形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD；
（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．
3、已知菱形ABCD，其边长为2，∠BAD=60O，今以 其对角线BD为棱将菱形折成直二面角，得空间四边形 ABCD（如图），求：
(1)AB与平面ADC的夹角；
A
z
(2)二面角B-AD-C的大小．
（2）若 OA 8 AB 6 BC 5 AC 4 2
OAC 45
求OA与BC夹角的余弦值．
OAB 60
O
8
A
E
4 √2
F
C
6
B
5
例2. 如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD 是菱形，且∠C1CB= ∠C1CD= ∠BCD=θ, (1) 求证；C1C⊥BD； (2) 当 CD 的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？
第一章 空间向量与立体几何 章末复习题-2021-2022学年高二上学期数学人教A版
第一章 空间向量与立体几何一、单选题1．已知向量，若共面，则等于（ ） A ． B ．1 C ．1或 D ．1或02．如图所示，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点在平面内，且，，则点的坐标为（ ）．A ．B ．C ．D ．3．已知a →，b →均为单位向量，它们的夹角为60°，那么3a b →→+等于（ ）A ．7B ．10C ．13D ．44．已知(1,0,1)a =，(,1,2)b x =，且3⋅=a b ，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．56πB ．23πC ．3πD ．6π5．在空间四点O ，A ，B ，C 中，若{OA →，OB →，OC →}是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（）A ．O ，A ，B ，C 四点不共线B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线C ．O ，A ，B ，C 四点不共面D ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线6．设OABC 是四面体，若D 为BC 的中点，AD →=xOA →+yOB →+zOC →，则（x ，y ，z ）为（ ）A ．(14，14，14)B ．(−1，12，12)C ．(−13，13，13)D ．(23，23，23) ,,a b c x 1-1-2BC =O BC D yOz 90BDC ∠=30DCB ∠=D 1(02-，，1(02-，1(02，，1(02，7．如图，已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为3的正方形，AE ⊥面ABCD ，2EQ QD =，2EP PB =，12ER RC =，若RP RQ ==E ABCD -外接球表面积为（ ）A ．44πB ．54πC ．176πD ．216π8．（如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i -次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题9．若()1,,2a λ=--，()2,1,1b =-，a 与b 的夹角为120︒，则λ可以取的值为（ ）A ．17-B ．17C ．1-D ．110．若()1,,2a λ=--，()2,1,1b =-，a 与b 的夹角为120︒，则λ的值为（ ）A ．17B ．－17C ．－1D ．111．下列四个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥平面MNP 的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 在线段AC 上移动，M 为棱1BB 的中点，则下列结论中正确的有（ ）A ．1//D O 平面11A BCB ．1D OM ∠的大小可以为90C ．直线1D O 与直线1BB 恒为异面直线D ．存在实数λ，使得()111312D M C B D C AB λλ---=成立 三、填空题 13．已知空间向量(1,,3),(2,6,)a x b y =-=-，若//a b ，则x y +=________，||a =_______．14．如图，设O 为平行四边形ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点.若12AE OD xOB yOA =++，则x =__________，y =_________.15．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在A 1C 上，且AM =12MC 1，N 为BB 1的中点，则MN 的长为 ．16．如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面边长为2，直线CC 1与平面ACD 1所成角的正弦值为13，则正四棱柱的高为 ．四、解答题17．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是正方形，侧面PDC 是边长为a 的正三角形，且平面PDC ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）求异面直线PA 与DE 所成角的余弦值；（2）求直线AP 与平面ABCD 所成角的正弦值．18．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，2DE =，M 为线段BF 的中点．（1）求M 到平面DEC 的距离及三棱锥M CDE -的体积； （2）求证：DM ⊥平面ACE ．19．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，5AB =，3AD =，14AA =，90DAB ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，E 是1CC 的中点，设AB a =，AD b =，1AA c =.（1）用a ，b ，c 表示AE ；（2）求AE 的长.20．在三棱锥P-ABC 中，PB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2AB PB ==，23BC =，E 、G 分别为PC 、P A 的中点.（1）求证：平面BCG ⊥平面P AC ；（2）假设在线段AC 上存在一点N ，使PN BE ⊥，求AN NC的值；21．长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，P 是上底面内的一点，经过点P 在上底面内的一条直线l 满足l PC ⊥.（1）作出直线l ，说明作法（不必说明理由）； （2）当P 是11A C 中点时，求二面角A l C --的余弦值.22．如图，长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1D D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且14CG CD =，H 为1C G 的中点.（1）求证：1EF B C ⊥；（2）求FH 的长.（3）求EF 与1C G 所成角的余弦值；。
高二数学复习考点知识与题型专题讲解3---空间向量基本定理
高二数学复习考点知识与题型专题讲解1.2 空间向量基本定理【考点梳理】考点一空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝x a＋y b＋z c.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．考点二空间向量的正交分解1．单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．2．向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量x i，y j，z k使得a＝x i＋y j＋z k. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．考点三证明平行、共线、共面问题(1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.考点三求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|.(2)若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0. 知识点三 求距离(长度)问题 ||a ＝a ·a ( ||AB →＝AB →·AB → )．【题型归纳】题型一：空间向量基底概念1．（2021·广东·广州市海珠中学高二期中）下列说法正确的是（ ） A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．直线的方向向量有且仅有一个2．（2021·云南师大附中高二期中）已知{},,a b c 能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间基底的是（ ） A ．,,a b b c +B ．,,a a b c -C ．,,a c b c a b ---D ．,,a b a b c ++3．（2021·湖南·周南中学高二）设向量,,a b c 不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（ ） A ．{,,}a b b a a +-B ．{,,}a b b a b +- C ．{,,}a b b a c +-D ．{,,}a b c a b c +++ 题型二：空间基底表示向量4．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（理））如图，在三棱锥O ABC -中，设,,,OA a OB b OC c ===，若,2AN NB BM MC ==，则MN =（ ）A ．112263a b c +-B ．112263a b c -+ C ．111263a b c --D ．111263a b c ++5．（2022·江苏常州·高二期中）在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN =（ ） A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．111222a b c +-D ．221332a b c ++6．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）如图，在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，则MN 等于（ ）A ．111322a b c ++B ．111322a b c -+ C ．111322a b c +-D ．111322a b c -++ 题型三：空间向量基本定理判断共面7．（2022·全国·高二）已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，下列条件中能确定P ，A ，B ，C 四点共面的是（ ）A ．OP OA OB OC =++B ．2OP OA OB OC =-- C ．111532OP OA OB OC =++D ．111333OP OA OB OC =++8．（2022·全国·高二）对空间任一点O 和不共线三点A ､B ､C ，能得到P ､A ､B ､C 四点共面的是（ ）A ．OP OA OB OC =++B ．111236OP OA OB OC =++ C ．1122OP OA OB OC =++D ．以上都错9．（2022·全国·高二）下列向量关系式中，能确定空间四点P ，Q ，R ，S 共面的是（ ）A ．AP AQ AR AS →→→→=++B ．23AP AQ AR AS →→→→=++ C ．23AP AQ AR AS →→→→=+-D ．243AP AQ AR AS →→→→=-+ 题型四：空间向量共面求参数10．（2022·江西·临川一中高二期末（理））已知空间向量()2,1,a m =-，()1,1,2b =-，()1,2,2c t =-，若a ，b ，c 共面，则m ＋2t ＝（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．－611．（2022·江苏·高二课时练习）已知i ，j ，k 是三个不共面的向量，22AB i j k =-+，23BC i j k =+-，35CD i j k λ=+-，且A ，B ，C ，D 四点共面，则λ的值为（ ）．A ．1-B ．1C ．2-D ．212．（2021·山东省实验中学高二期中）已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任意一点，若2156OM OA OB OC λ=++，则A ，B ，C ，M 四点共面的充要条件是（ ） A ．1730λ=B ．1330λ=C ．1730λ=-D ．1330λ=-题型五：空间向量基本定理的应用13．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知存在非零实数λ使得AP BC λ=，且(,0)OP OA xOB yOC x y =-++>，则62x y +的最小值为（ ）A ．4+．8C ．6．6+14．（2022·安徽蚌埠·高二期末）在下列命题中正确的是（ ） A ．已知,,a b c 是空间三个向量，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc =++ B ．若,C AB D 所在的直线是异面直线，则,C AB D 不共面 C ．若三个向量,,a b c 两两共面，则,,a b c 共面D ．已知A ，B ，C 三点不共线，若111236OD OA OB OC =++，则A ，B ，C ，D 四点共面15．（2021·吉林·长春市第二十九中学高二）已知A 、B 、C 三点不共线，点O 是平面ABC 外一点，则在下列各条件中，能得到点M 与A 、B 、C 一定共面的是（ ）A ．111222OM OA OB OC =++B ．1313O OB OC M OA =-+ C ．OM OA OB OC =++D ．2OM O OB OC A =-- 题型六：空间向量基本定理16．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知1111ABCD A B C D -是平行六面体．(1)化简1AA BC AB ++；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面11BCC B 对角线1BC 上的34分点，设1MN AB AD AA αβγ=++，试求α，β，γ的值．17．（2021·河北·石家庄市第六中学高二期中）如图，已知正方体'ABCD A B C D -'''.点E是上底面''''A B C D 的中心，取{,,}AB AD AA ' 为一个基底，在下列条件下，分别求,,x y z的值.(1)BD x AD y AB z AA =+'+'; (2)AE x AD y AB z AA =+'+.【双基达标】一、单选题18．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知M ，A ，B ，C 为空间中四点，任意三点不共线，且2OM OA xOB yOC =-++，若M ，A ，B ，C 四点共面，则x y +的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．319．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）如图，OABC 是四面体，G 是ABC 的重心，1G 是OG 上一点，且14OG OG =，则（ ）A ．1111666OG OA OB OC =++B ．1OG =111121212OA OB OC ++ C ．1OG =111181818OA OB OC ++D ．1OG =111888OA OB OC ++ 20．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（理））如图，OABC 是四面体，G 是ABC 的重心，1G 是OG 上一点，且13OG OG =，则（ ）A ．1OG OA OB OC =++B ．1111333OG OA OB OC =++ C ．1111444OG OA OB OC =++D ．1111999OG OA OB OC =++21．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（理））已知O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底，则一定有（ ） A ．OA ，OB ，OC 共线B ．O ，A ，B ，C 中至少有三点共线 C ．OA OB +与OC 共线D ．O ，A ，B ，C 四点共面22．（2022·江苏宿迁·高二期中）已知P 是ABC 所在平面外一点，M 是PC 中点，且BM x AB y AC z AP =++，则x y z ++=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．323．（2022·福建龙岩·高二期中）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 是线段1CD 的中点，3AC AF =，设AB a =，AD b =，1AA c =，则EF =（ ） A ．521632a b c +-B ．121632a b c ---C ．121632a b c ++D ．521632a b c --+24．（2022·全国·高二课时练习）设x a b =+，y b c =+，z c a =+，且{},,a b c 是空间的一个基底，给出下列向量组：①{},,a b x ；②{},,x y z ；③{},,b c z ；④{},,x y a b c ++，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ） A ．1B ．2C ．3D ．425．（2022·广东深圳·高二期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别是BC ，1CC 的中点，2AG GE =，则GF =（ ）A ．1121332AB AC AA -+B ．1121332AB AC AA ++C ．1211332AB AC AA -+-D ．1121332AB AC AA -++26．（2022·全国·高二课时练习）在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，已知BA ，BC ，BB '为三条不共面的线段，若23AC x AB yBC zC C ''=++，则x y z ++的值为（ ）． A ．1B ．76C ．56D ．11627．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））已知空间的一组基底{},,a b c ，若m a b c =-+与n xa yb c =++共线，则x y +的值为（ ）． A ．2B ．2-C ．1D ．0【高分突破】一：单选题28．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二期末）已知空间向量a ，b ，c ，下列命题中正确的个数是（ ） ①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线； ②若a ，b ，c 非零且共面，则它们所在的直线共面；⑧若a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一有序实数组(),,x y z ，使得p xa yb zc =++；④若a ，b 不共线，向量(),,0c a b R λμλμλμ=+∈≠，则{},,a b c 可以构成空间的一个基底. A ．0B ．1C ．2D ．329．（2022·江苏省阜宁中学高二期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵111ABC A B C -中，,M N 分别是111,A C BB 的中点，G 是MN 的中点，若1AG xAB yAA zAC =++，则x y z ++=（ ）A ．1B ．12C ．32D ．3430．（2022·安徽芜湖·高二期末）下列命题中正确的个数为（ ） ①若向量a ，b 与空间任意向量都不能构成基底，则a b ∥；②若向量a b +，b c +，c a +是空间一组基底，则a ，b ，c 也是空间的一组基底； ③{},,a b c 为空间一组基底，若()0,,xa yb zc x y z R ++=∈，则2220x y z ++=；④对于任意非零空间向量()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，若a b ∥，则312123aa ab b b ==．A ．1B ．2C ．3D ．4 二、多选题31．（2022·福建福州·高二期中）如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，AB a =，AD b =，AA c '=．若CM MD '=，12A C A P ''=，则（ ）A ．a A C b c =++'B ．1122AM a b c =++C ．A ，P ，D 三点共线D ．A ，P ，M ，D 四点共面32．（2022·河北邯郸·高二期末）已知a ，b ，c 是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（ ） A ．若0xa yb zc ++=，则0x y z ===B ．a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不共面C ．一定存在实数x ，y ，使得a xb yc =+D ．a b +，b c -，2c a +一定能构成空间的一个基底33．（2022·广东惠州·高二期末）下面四个结论正确的是（ ）A ．空间向量a ，()0,0b a b ≠≠，若a b ⊥，则0a b ⋅=B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P 、A 、B 、C 四点共面C ．已知{},,a b c 是空间的一组基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一组基底D ．任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅34．（2021·浙江·金华市曙光学校高二阶段练习）已知点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，且12OP OA mOB nOC =+-（m ，n R ∈），则m ，n 的值可能为（ ）A ．1m =，12n =-B ．12m =，1n =C ．12m =-，1n =-D ．32m =，1n =35．（2021·湖南·郴州市第三中学高二期中）下列结论正确的是（ ）A ．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C ．若a ，b 是两个不共线的向量，且(c a b λμλ=+，R μ∈且0)λμ≠，则{a ，b ，}c 构成空间的一个基底D ．若OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底，则O ，A ，B ，C 四点共面36．（2021·浙江省杭州第二中学高二期中）已知{},,a b c 是空间中的一个基底，则下列说法正确的是（ ）A ．存在不全为零的实数x ，y ，z ，使得0xa yb zc ++=B ．对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组(),,x y z ，使得p xa yb zc =++C ．在a ，b ，c 中，能与a b +，a b -构成空间另一个基底的只有cD ．不存在另一个基底{},,a b c '''，使得2323a b c a b c '''++=++37．（2021·重庆·高二阶段练习）下列命题中，正确的有（ ）A ．空间任意向量,a b 都是共面向量B ．已知P ，A ，B ，C 四点共面，对空间任意一点O ，若2OP OA OB tOC =++，则1t =-C ．在四面体中P ABC -，若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则0PB AC ⋅=D ．若向量,,a b b c c a +++是空间一组基底，则,,a b c 也是空间的一组基底38．（2022·湖南省临湘市教研室高二期末）已知M ，A ，B ，C 四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使{,,}MA MB MC 成为空间的一个基底的是（ ）A ．111345OM OA OB OC =++B ．2MA MB MC =+C ．23OM OA OB OC =++D ．32MA MB MC =-三、填空题39．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，若AB a =，BC b =，1AA c =，则BM =______．（用a 、b 、c 表示）40．（2022·江苏常州·高二期中）已知P 是ABC 所在平面外一点，2=PM MC ，且BM x AB y AC z AP =++，则实数x y z ++的值为____________.41．（2022·全国·高二）已知,a b 是平面α上的两个向量，有以下命题：①平面α上任意一个向量(),p a b R λμλμ=+∈；②若存在,R λμ∈，使0a b λμ+=，则0λμ==；③若,a b 不共线，则空间任意一个向量(),p a b R λμλμ=+∈；④若,a b 不共线，且p 与,a b 共面，则都有(),p a b R λμλμ=+∈.请填上所有真命题的序号___________.42．（2022·广东珠海·高二期末）已知四面体OABC 中，D ，E 分别在AB ，OC 上，且AD DB =，2OE EC =，若DE OA OB OC αβγ=++，则αβγ++=________.43．（2021·福建·三明一中高二）如图所示，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且AP ＝3PN ，23ON OM =，设OA a =，,OB b OC c ==，则OP =________（用,,a b c 来表示）44．（2022·全国·高二期末）已知三棱锥O ABC -，点M ，N 分别为线段AB ，OC 的中点，且OA a =，OB b =，OC c =，用a ，b ，c 表示MN ，则MN 等于_____________．45．（2022·全国·高二）已知关于向量的命题，（1）a b a b -=+是a ，b 共线的充分不必要条件；（2）若//a b ，则存在唯一的实数λ，使a b λ=；（3）0a b ⋅=，0b c ⋅=，则a c =； （4）若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一基底； （5）()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅．在以上命题中，所有正确命题的序号是________．四、解答题46．（2022·江苏·徐州市王杰中学高二）如图，在空间四边形OABC 中，已知E 是线段BC 的中点，G 在AE 上，且2AG GE =．(1)试用OA ，OB ，OC 表示向量OG ；(2)若2OA =，3OB =，4OC =，60AOC BOC ∠=∠=︒，90AOB ∠=︒，求OG AB ⋅的值．47．（2022·全国·高二）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12C C EC =，13AC FC =．(1)求证：A 、F 、E 三点共线；(2)若点G 是平行四边形11B BCC 的中心，求证：D 、F 、G 三点共线．48．（2022·江苏·扬州中学高二阶段练习）如图，在四面体OABC 中，M 是棱OA 上靠近A 的三等分点，N 是棱BC 的中点，P 是线段MN 的中点．设OA a =，OB b =，OC c =．(1)用a ，b ，c 表示向量OP ；(2)若1a b c ===，且满足（从下列三个条件中任选一个，填上序号：①,,,3π===a b b c c a ；②,,,,32ππ===a b c a b c ；③2,,,,23a b c a b c ππ===，则可求出OP 的值；并求出OP 的大小．49．（2021·山东济宁·高二期中）已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，12AA =，1160A AB A AD ∠=∠=︒．(1)求1AD AC ⋅；(2)求1AC ．【答案详解】1．C【详解】对于A，任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，所以A错误，B错误；对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C正确；对于D，直线的方向向量有无数个，所以D错误.故选：C2．C【详解】由图形结合分析---,,a cbc a b三个向量共面，不构成基底，故选：C3．C选项A：由于()()2+--=，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；a b b a a选项B：由于()()2++-=，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；a b b a b选项C ：若,,a b b a c +-三个向量共面，则存在,x y R ∈，使得()()()()c x a b y b a x y a x y b =++-=-++，则向量,,a b c 共面，矛盾，故,,a b b a c +-三个向量不共面，因此可以作为空间的一个基底；选项D ：由于()a b c a b c ++=++，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底； 故选：C4．A【详解】连接,,OM ON 111()()()223MN ON OM OA OB OC CM OA OB OC CB =-=+-+=+--=11112112()()23263263OA OB OC OB OC OA OB OC a b c +---=+-=+-. 故选：A5．B【解析】【分析】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可．【详解】解：点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，∴23OM OA =，111()222ON OB OC OB OC =+=+， ∴122113122223a b c MN ON OM OB OC OA =-=+-+=-+． 故选：B ．6．D【解析】【分析】利用空间向量的加法与减法可得出OM 关于a 、b 、c 的表达式.【详解】()()21113232MN MA AB BN OA OB OA BC OB OA OC OB =++=+-+=-+- 111322a b c =-++. 故选：D.7．D【解析】【分析】根据点P 与点,,A B C 共面，可得1x y z ++=，验证选项，即可得到答案.【详解】设OP xOA yOB zOC =++，若点P 与点,,A B C 共面，则1x y z ++=，对于选项A ：11131x y z ++=++=≠，不满足题意；对于选项B ：21101x y z ++=--=≠，不满足题意；对于选项C ：11131153230x y z ++=++=≠，不满足题意； 对于选项D ：1111333x y z ++=++=，满足题意.故选：D.8．B【解析】【分析】证明出若OP xOA yOB zOC =++且1x y z ++=，则P 、A 、B 、C 四点共面，进而可得出合适的选项.【详解】设OP xOA yOB zOC =++且1x y z ++=，则()1OP xOA yOB x y OC =++--，()()OP OC x OA OC y OB OC ∴-=-+-， 则CP xCA yCB =+，所以，CP 、CA 、CB 为共面向量，则P 、A 、B 、C 四点共面. 对于A 选项，OP OA OB OC =++，11131++=≠，P 、A 、B 、C 四点不共面； 对于B 选项，111236OP OA OB OC =++，1111236++=，P 、A 、B 、C 四点共面； 对于C 选项，1122OP OA OB OC =++，1112122++=≠，P 、A 、B 、C 四点不共面.故选：B.9．D【解析】【分析】由243AP AQ AR AS →→→→=-+，得23RP RQ RS →→→=+，即得解. 【详解】由243AP AQ AR AS →→→→=-+，得23AP AR AQ AR AS AR →→→→→→⎛⎫⎛⎫-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23RP RQ RS →→→=+，所以RP →，,RQ RS →→为共面向量， 故,,,P Q R S 四点共面. 故选：D . 10．D 【解析】 【分析】根据向量共面列方程，化简求得2m t +. 【详解】2111-≠-，所以,a b 不共线， 由于a ，b ，c 共面， 所以存在,x y ，使c xa yb =+， 即()()()21,2,22,,1,11,t x m y -=--+，()()(),,21,2,22,,t x x y x y y m -+-=-， ()()1,2,22,,2y t x y x x m y ---+=+，21222x y x y mx y t-+=-⎧⎪-=⎨⎪+=⎩，()()13123222x y m t mx y t =-⎧⎪=-⇒⋅-+⋅-=⎨⎪+=⎩， 即26m t +=-.故选：D 11．B 【解析】 【分析】根据已知条件用i ，j ，k 表示AC ，AD ，再由空间共面向量定理设AD x AB y AC =+，再列方程组，解方程组即可求解. 【详解】因为22AB i j k =-+，23BC i j k =+-，35CD i j k λ=+-所以3AC AB BC i j k =+=-- ，()326A AC D CD i j k λ+==++-， 由空间共面向量定理可知，存在实数,x y 满足AD x AB y AC =+， 即()()()326232i j k x i j k i j k y λ++-=-+-+-，所以332262x y x y x y λ+=+⎧⎪=--⎨⎪-=-⎩，解得221x y λ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以λ的值为1，故选：B. 12．B 【解析】 【分析】由四点共面的充要可得21156λ++=，求解即可. 【详解】O 是平面ABC 外任意一点，且2156OM OA OB OC λ=++，若A ，B ，C ，M 四点共面的充要条件是21156λ++=，即1330λ=. 故选：B. 13．A 【解析】 【分析】根据向量的共面定理，得到2x y +=，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，存在非零实数λ使得AP BC λ=，可得//AP BC ，即,,,P A B C 四点共面， 因为(,0)OP OA xOB yOC x y =-++>，根据向量的共面定量，可得11x y -++=，即2x y +=，又由621621621()()(62)(84222y x x y x y x y x y +=⋅++=⋅+++≥+=+当且仅当62y x x y=时，即x =时，等号成立，所以62x y +的最小值为4+故选：A. 14．D 【解析】 【分析】对于A ，利用空间向量基本定理判断，对于B ，利用向量的定义判断，对于C ，举例判断，对于D ，共面向量定理判断 【详解】对于A ，若,,a b c 三个向量共面，在平面α，则空间中不在平面α的向量不能用,,a b c 表示，所以A 错误，对于B ，因为向量是自由向量，是可以自由平移，所以当,C AB D 所在的直线是异面直线时，,C AB D 有可能共面，所以B 错误，对于C ，当三个向量,,a b c 两两共面时，如空间直角坐标系中的3个基向量两两共面，但这3个向量不共面，所以C 错误，对于D ，因为A ，B ，C 三点不共线，111236OD OA OB OC =++，且1111236++=，所以A ，B ，C ，D 四点共面，所以D 正确， 故选：D 15．B 【解析】 【分析】证明出当1x y z ++=，且OM xOA yOB zOC =++，则点M 、A 、B 、C 共面.然后逐项验证可得合适的选项. 【详解】若1x y z ++=，且OM xOA yOB zOC =++，则()1OM xOA yOB x y OC =++--，则()()OM OC x OA OC y OB OC -=-+-， 即xCA yCB CM =+，所以，点M 、A 、B 、C 共面. 对于A 选项，1111222++≠，A 选项中的点M 、A 、B 、C 不共面； 对于B 选项，111133-+=，B 选项中的点M 、A 、B 、C 共面；对于C 选项，1111++≠，C 选项中的点M 、A 、B 、C 不共面； 对于D 选项，2111--≠，D 选项中的点M 、A 、B 、C 不共面. 故选：B. 16．(1)1AC ； (2)12α=，14，34γ=. 【解析】 【分析】（1）利用平行六面体的性质及向量的线性运算即得；（2）利用向量线性运算的几何表示可得1113244AB A MN AA D =++，进而即得. (1)∵1111ABCD A B C D -是平行六面体， ∴1111111AA BC AB AA BC A B AC ++=++= (2)∵MN =MB BN +11324DB BC =+()()11324AB AD AA AD =-++ 1113244AB AD AA =++，又1MN AB AD AA αβγ=++， ∴12α=，14，34γ=. 17．(1)1,1,1x y z ==-= (2)11,,122x y z === 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的加法运算，结合相等向量，由空间向量的基本定理求解； （2）利用空间向量的加法运算，结合相等向量，由空间向量的基本定理求解； (1)解：BD BA AA A D ''''=++，AD AB AA '=-+，又因为BD x AD y AB z AA =+'+'， 所以1,1,1x y z ==-=; (2)AE AA A D D E =+''''+，12AA AD DB ='++，()12AA AD AB AD =++-'， 1122AD AB AA =+'+， 又因为AE x AD y AB z AA =+'+， 所以11,,122x y z ===. 18．D 【解析】 【分析】根据四点共面结论：若,,,A B C D 四点共面，则OD aOA bOB cOC =++且1a b c ++=， 【详解】若M ，A ，B ，C 四点共面，则21x y -++=，则3x y += 故选：D ． 19．B 【解析】 【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量1OG 【详解】连接AG 并延长交BC 于N ，连接ON ，由G 是ABC 的重心，可得23AG AN =，()12ON OB OC =+ 则()()2221112=3332333AG AN ON OA OB OC OA OB OC OA ⎡⎤=-=+-=+-⎢⎥⎣⎦ 则()1111112444333OG OG OA AG OA OB OC OA ⎛⎫==+=++- ⎪⎝⎭111121212OA OB OC =++ 故选：B 20．D 【解析】 【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量1OG 【详解】连接AG 并延长交BC 于N ，连接ON ，由G 是ABC 的重心，可得23AG AN =，()12ON OB OC =+则()()2221112=3332333AG AN ON OA OB OC OA OB OC OA ⎡⎤=-=+-=+-⎢⎥⎣⎦ 则()1111112111333333999OG OG OA AG OA OB OC OA OA OB OC ⎛⎫==+=++-=++ ⎪⎝⎭ 故选：D 21．D 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理即可判断 【详解】由于向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底知OA ，OB ，OC 共面，所以O ，A ，B ，C 四点共面 故选：D 22．A 【解析】 【分析】利用向量减法的三角形法则进行计算即可. 【详解】因为M 是PC 中点，()()()1122BM PM PB PC AB AP AC AP AB AP ∴=-=--=--- 1122AB AC AP =-++，又BM x AB y AC z AP =++， 111,,22x y z ∴=-==，∴0x y z ++=. 故选：A. 23．B 【解析】 【分析】利用向量加法的平行四边形法则，减法的三角形法则即可求解 【详解】因为E 为1CD 中点， 所以()()11111112222AE AD AC AA AD AD AB AA AD AB =+=+++=++ ()11333AC AF AF AC AD AB =⇒==+ 所以1111111213322632EF AF AE AD AB AA AD AB AB AD AA =-=+---=--- 即121362a b c EF =--- 故选：B 24．C 【解析】 【分析】以A 为顶点作AB a =，AD b =，1AA c =，作出平行六面体1111ABCD A B C D -，根据空间向量的加法法则作出，,,,x y z a b c ++，然后判断各组向量是否共面可得结论． 【详解】如图，作平行六面体1111ABCD A B C D -，AB a =，AD b =，1AA c =， 则AC a b =+，1AD b c =+，1AB c a =+，1AC a b c =++，由平行六面体知，,,a b x 共面，,,x y z 不共面，,,b c z 不共面，,,x y a b c ++不共面， 因此可以作为空间的基底的有3组． 故选：C ．25．D 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可. 【详解】23GF AF AG AC CF AE =-=+-()11121121232332AC AA AB AC AB AC AA =+-⨯+=-++， 故选：D ． 26．B 【解析】 【分析】根据向量的加法法则及共面向量的基本定理即可求解. 【详解】根据向量的加法法则可得AC AB BC CC AB BC C C '''=++=+-，又23AC x AB yBC zC C ''=++，且,,AB BC C C '不共面，所以 1 2=1 3=-1x y z =⎧⎪⎨⎪⎩，解得111,,23x y z ===-，所以1171236x y z ++=+-=. 故选：B. 27．D 【解析】 【分析】根据m 与n 共线，由()xa yb c z a b c ++=-+，即可求解. 【详解】因为m 与n 共线，空间的一组基底{},,a b c ， 所以()xa yb c z a b c ++=-+，所以,,1,x z y z z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩解得1,1.x y =⎧⎨=-⎩，所以x ＋y ＝0. 故选：D. 28．B 【解析】【分析】用向量共线或共面的基本定理即可判断. 【详解】若 a 与b ，b 与c 共线，0b = ，则不能判定a c λ= ， 故①错误；若非零向量,,a b c 共面，则向量c 可以在一个与,a b 组成的平面平行的平面上， 故②错误；,,a b c 不共面，意味着它们都是非零向量，可以作为一组基底，故③正确；c a b λμ=+，∴ c 与,a b 共面，故,,a b c 不能组成一个基底，故④错误； 故选：C. 29．C 【解析】 【分析】连接,AM AN ，由()111312244AG AM AN AB AA AC =+=++，即可求出答案. 【详解】连接,AM AN 如下图：由于G 是MN 的中点，()12AG AM AN =+∴ 11111222AA AC AB AA ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭1131244AB AA AC =++. 根据题意知1AG xAB yAA zAC =++.32x y z ∴++=. 故选：C. 30．C 【解析】 【分析】根据题意、空间向量基底的概念和共线的运算即可判断命题①②③，根据空间向量的平行关系即可判断命题④. 【详解】①：向量a b ，与空间任意向量都不能构成一个基底，则a 与b 共线或a 与b 其中有一个为零向量，所以//a b ，故①正确；②：由向量a b b c c a +++，，是空间一组基底，则空间中任意一个向量d ，存在唯一的实数组()x y z ，，使得d ()()()()()()x a b y b c z c a x z a x y b y z c =+++++=+++++，所以a b c ，，也是空间一组基底，故②正确；③：由{}a b c ，，为空间一组基底，若0()xa yb zc x y z R ++=∈，，， 则0x y z ===，所以2220x y z ++=，故③正确；④：对于任意非零空间向量123()a a a a =，，，123()b b b b =，，，若//a b ，则存在一个实数λ使得=a b λ，有112233a b a b a bλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，又123b b b ，，中可以有为0的，分式没有意义，故④错误. 故选：C 31．BD 【解析】 【分析】根据空间向量运算判断AB 选项的正确性，根据三点共线、四点共面的知识判断CD 选项的正确性. 【详解】A C AC AB AD a b c A A AA '=-=+-='+'-，A 选项错误. ()()11112222AM AC A AB AD AD a b c D AA =+=+++='++'，B 选项正确. 12A C A P ''=则P 是A C '的中点， ()()()111222c AP AC AA AB AD A b A a ''=+=++++=， c AD b AD AA ''=+=+，则不存在实数λ使AP AD λ'=，所以C 选项错误.()1112212122P a b c a b c b M AM AP AD +==⎛⎫=--= ⎪⎝++⎭+，由于,P M ∉直线AD ，所以,,,A P M D 四点共面，所以D 选项正确. 故选：BD 32．ABD 【解析】 【分析】利用空间向量的基底的概念及空间向量基本定理逐项分析即得. 【详解】∵a ，b ，c 是空间的一个基底，则a ，b ，c 不共面，且两两共面､不共线， ∴若0xa yb zc ++=，则0x y z ===，A 正确，B 正确；若存在x ，y 使得a xb yc =+，则a ，b ，c 共面，与已知矛盾，C 错误；设()()()22a b x b c y c a ya xb y x c +=-++=++-，则21,1,0,y x y x =⎧⎪=⎨⎪-=⎩，此方程组无解，∴a b +，b c -，2c a +不共面，D 正确. 故选：ABD. 33．ABC 【解析】 【分析】空间向量垂直的数量积表示可判断A ；由向量四点共面的条件可判断B ；由空间向量基底的定义可判断C ； a b ⋅是一个数值，c b ⋅也是一个数值，说明a 和c 存在倍数关系，或者说共线，可判断D. 【详解】空间向量a ，()0,0b a b ≠≠，若a b ⊥，则0a b ⋅=，故A 正确； 对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，且1111632++=，则P 、A 、B 、C 四点共面，故B 正确；因为{},,a b c 是空间的一组基底，所以,,a b c 不共面，m a c =+，则,,+a b a c 也不共面， 即{},,a b m 也是空间的一组基底，故C 正确；任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，由于a b ⋅是一个数值，c b ⋅也是一个数值， 则说明a 和c 存在倍数关系，或者说共线，不一定相等，故D 错误. 故选：ABC. 34．CD 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可. 【详解】因为点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点， 所以由平面向量基本定理可知：()()AP y AC z AB AO OP y AO OC z AO OB =+⇒+=+++，化简得：(1)OP y z OA yOC zOB =--++，显然有11y z y z --++=， 而12OP OA mOB nOC =+-，所以有11122m n m n +-=⇒-=，当1m =，12n =-时，32m n -=，所以选项A 不可能；当12m =，1n =时，12m n -=-，所以选项B 不可能；当12m =-，1n =-时，12m n -=，所以选项C 可能； 当32m =，1n =时，12m n -=，所以选项D 可能， 故选：CD 35．ABD 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理即可判断出各个选项的正误． 【详解】解：对于选项A ：三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，所以选项A 正确，对于选项B ：三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底， 若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面， 则已知的两个向量共线，所以选项B 正确， 对于选项C ：(c a b λμλ=+、R μ∈且λ、0)μ≠，∴a ，b，c 共面，不能构成基底，所以选项C 错误，对于选项D ：OA 、OB 、OC 共起点，若O 、A 、B 、C 四点不共面，则必能作为空间的一个基底，所以选项D 正确， 故选：ABD ．36．BC【解析】【分析】根据空间向量基底概念分别判断即可．【详解】对于A，若存在不全为零的实数x，y，z，使得x y za b c，++=0{a，b，}c不能构成空间的一个基底，所以A错；对于B，因为{a，b，}c构成空间的一个基底，所以对空间任一向量p，总存在唯一的有序实数组(x，y，)z，使得p xa yb zc=++，所以B对；对于C，因为2()()b a b a b=+--，=++-，2()()a ab a b所以a，b，不能与a b+，a b-构成空间另一个基底；又因为设x，y，z R∈若()()0++-+=x a b y a b zc⇒++-+=⇒===，x y a x y b zc x y z()()00所以c与a b+，a b-构成空间另一个基底；所以在a，b，c中，能与a b+，a b-构成空间另一个基底的只有c，所以C对；对于D，存在，根据向量运算几何意义，++表示以O为顶点，以1a，2b，3c为相邻三边的长方体对角线，a b c23绕此对角线长方体旋转，基底也变为另一基底{a'，b'，}c'，都满足2323++='+'+'，所以D错误．a b c a b c故选：BC37．ACD【解析】【分析】利用空间向量共面定理及数量积运算，逐一分析判断即可．【详解】解：对于A ，空间任意向量,a b 都是共面向量，所以A 正确；对于B ，已知P ，A ，B ，C 四点共面，对空间任意一点O ，若2OP OA OB tOC =++， 则211t ++=，解得2t =-，所以B 错误；对于C ，在四面体中P ABC -，若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则()()2PA BC PB BA PC PB PB PC PB BA PC BA PB ⋅=+⋅-=⋅-+⋅-⋅ ()2PB PC PB BA PB PB PC PB BA =⋅--⋅=⋅--0PB AC =⋅=，所以C 正确； 对于D ，因为向量,,,a b b c c a +++是空间一组基底，则对于空间任一向量()d x y z =，，，都存在实数m ，n ，p ，使得()()()()d x y z m a b n b c p c a ==+++++，，，即()()()d m p a m n b n p c =+++++，所以,,a b c 也是空间的一组基底，所以D 正确． 故选：ACD ．38．AC【解析】【分析】根据基底的性质，结合各选项中向量的线性关系、空间向量基本定理判断M 、A 、B 、C 是否共面，即可知{,,}MA MB MC 是否能成为空间基底.【详解】A ：因为111345OM OA OB OC =++，且1111345++≠，利用平面向量基本定理知：点M 不在平面ABC 内，向量,,MA MB MC 能构成一个空间基底；B ：因为2MA MB MC =+，利用平面向量基本定理知：向量,,MA MB MC 共面，不能构成一个空间基底；C ：由23,1231OM OA OB OC =++++≠，利用平面向量基本定理和空间平行六面体法知：OM 是以点O 为顶点的对角线，向量,,MA MB MC 能构成一个空间基底；D ：由32MA MB MC =-，根据平面向量的基本定理知：向量,,MA MB MC 共面，不能构成空间的一个基底.故选：AC.39．1122a b c -++ 【解析】【分析】利用空间向量的线性运算，结合题意，求解即可.【详解】根据题意，()1111111122BM BA AA A M AB AA AC AB AA AB BC =++=-++=-+++ 11122AB BC AA =-++=1122a b c -++. 故答案为：1122a b c -++.40．0【解析】 【分析】由2=PM MC 可得出BM 关于{},BP BC 的表达式，再利用空间向量的减法可求得x 、y 、z 的值，即可得解.【详解】因为2=PM MC ，则()2BM BP BC BM -=-， 所以，()()121221333333BM BP BC AP AB AC AB AB AC AP =+=-+-=-++， 所以，1x =-，23y =，13z =，因此，0x y z ++=.故答案为：0.41．④【解析】【分析】通过反例可知①②错误；根据平面向量基本定理、空间向量基本定理可判断出③④正误.【详解】对于①，若0a b ==，则对于平面内任意一个向量p ，无法得到(),p a b R λμλμ=+∈，①错误；对于②，若0a b ==，则,λμ为任意实数，②错误；对于③，若p 与,a b 不共面，则对于空间任意一个向量p ，无法得到p a b λμ=+(),R λμ∈，③错误；对于④，由平面向量基本定理可知④正确.故答案为：④.42．13-【解析】连接OD ，根据题意，结合空间向量加减法运算求解即可.【详解】解：连接OD∵四面体OABC 中，D ，E 分别在AB ，OC 上，且AD DB =，2OE EC = ∴()2111232223DE OE OD OC OA OB OA OB OC =-=-+=--+∴121223αβγ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩∴13αβγ++=-.故答案为：13-43．111444a b c ++【解析】【分析】利用空间的基底结合空间向量的线性运算计算即可得解.,,OA a OB b OC c ===，而M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，则1()2OM OB OC =+1122b c =+， 因AP ＝3PN ，23ON OM =，则33()44OP OA AP OA AN OA ON OA =+=+=+-132111443444OA OM a b c =+⋅=++， 所以111444OP a b c =++. 故答案为：111444a b c ++44．()12c a b -- 【解析】【分析】根据给定条件利用空间向量的线性运算即可得解.【详解】三棱锥O ABC -，点M ，N 分别为线段AB ，OC 的中点，则()11112222MN MB BO ON AB OB OC OB OA OB OC =++=-+=--+()11112222OC OA OB c a b =--=--， 所以MN 等于()12c a b --． 故答案为：()12c a b --. 45．（1）（4）【解析】根据共线向量，向量垂直，向量的基本定理，向量数量积的定义与性质，逐一分析5个命题的真假，即可得解．【详解】（1）若a b a b -=+，则a ，b 反向共线，即满足充分条件，但当非零向量a ，b 同向共线时，不存在a b a b -=+，即满足不必要条件，故（1）正确；（2）若向量a ，b 中有一个零向量，则存在无数个实数λ，使a b λ=，即（2）错误；（3）若0a b ⋅=，0b c ⋅=，说明a b ⊥，b c ⊥，不一定存在a c =，即（3）错误；（4）令()()a b b c c a λμ+=+++，则()a b a b c μλλμ+=+++，所以110λμλμ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，无解，即a b +，b c +，c a +不共面，所以{},,a b b c c a +++构成空间的另一基底，即（4）正确； （5）()()cos ,a b c a b c a b c a b ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅，即（5）错误．命题（1）（4）正确．故答案为：（1）（4）．46．(1)111333OG OA OB OC =++(2)73【解析】【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；（2）由（1）可得111()()333OG AB OA OB OC OB OA ⋅=++⋅-，根据空间向量数量积的运算律及定。
高中数学必修知识点空间向量知识点
高中数学必修知识点空间向量知识点：1、空间向量的概念：（1）在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．（2）向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．（3）向量AB 的大小称为向量的模（或长度），记作AB ．（4）模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．（5）与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a -． （6）方向相同且模相等的向量称为相等向量． 2、空间向量的加法和减法：（1）求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形C OA B ，则以O 起点的对角线C O 就是a 与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则． （2）求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则a b BA =-．3、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，aλ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．4、设λ，μ为实数，a ，b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．分配律：()a b a b λλλ+=+；结合律：()()a a λμλμ=．5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．7、平行于同一个平面的向量称为共面向量．8、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使x y C AP =AB +A ；或对空间任一定点O ，有x y C OP =OA +AB +A ；或若四点P ，A ，B ，C 共面，则()1x y z C x y z OP =OA+OB+O ++=． 9、已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则∠AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈．10、对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．11、已知两个非零向量a 和b ，则cos ,a b a b 〈〉称为a ，b的数量积，记作a b ⋅．即cos ,a b ab a b ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0．12、a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b 〈〉的乘积． 13若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉；()20a b a b ⊥⇔⋅=； ()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向，2a a a⋅=，a a a=⋅；()4cos ,a b a b a b⋅〈〉=；()5a b a b⋅≤．14量数乘积的运算律：()1a b b a⋅=⋅；()2()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；()3()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．15、空间向量基本定理：若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．16、三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是{},,,p p xa yb zc x y z R =++∈．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，{},,a b c 称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．17、设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ． 18、设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则 （1）()121212,,a b x x y y z z +=+++． （2）()121212,,a b x x y y z z -=---． （3）()111,,a x y z λλλλ=． （4）121212a b x x y y z z ⋅=++．（5）若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=． （6）若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===．（7）21aa a x =⋅=+（8）21cos ,x a b a b a bx ⋅〈〉==+（9）()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则(d x AB =AB =19、在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置可以用向量OP 来表示．向量OP 称为点P 的位置向量．20、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量a 表示直线l 的方向向量，则对于直线l 上的任意一点P ，有ta AP =，这样点A 和向量a 不仅可以确定直线l 的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点．21、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a ，b ．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对(),x y ，使得xa yb OP =+，这样点O 与向量a ，b 就确定了平面α的位置．22、直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面α的法向量．23、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈，0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=． 24、若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α⊄，则////a a αα⇔0a n a n ⇔⊥⇔⋅=，//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=．25、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ，则////a b αβ⇔⇔a b λ=，0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=．26、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．27、设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．28、设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．29、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算． 30、在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA〈PA 〉=．31、点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA〈PA 〉=．。
2023北京高二(上)期末数学汇编：空间向量在立体几何中的应用
2023北京高二（上）期末数学汇编空间向量在立体几何中的应用 2的方向向量分别是()()2,3,1,2,3,1a b =−=，则的方向向量为(1,1,2a =−，平面α的法向量为()6,4,1u =−，则,αβ的法向量分别是()()2,2,1,3,4,2u v =−=−，则的方向向量()0,3,0a =，平面的法向量是()0,5,0u =−，则北京西城·高二统考期末）在空间直角坐标系O xyz −中，点AB坐标平面xOy B ．直线AB ⊥坐标平面AB 坐标平面xOz D ．直线AB ⊥坐标平面北京西城·高二北京师大附中校考期末）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达A ．14B ．12C ．22D ．324．（2023秋·北京·高二清华附中校考期末）如图，在正方体111ABCD A B C D −P 沿着棱DC 从点D 向点C 移动，对于下列四个结论：①存在点P ，使得1PA PE =；②存在点P ，使得BD ⊥平面PA E ；其中，所有正确的结论的个数是（A ．1 B ．5．（2023秋·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）已知直线个法向量为(2,0,4)n =−−，则（A ．l α∥秋·北京石景山平面ABC ，,1,AC AB AC ==为原点建立空间直角坐标系，如图所示，n 为平面PBC 量，则n 的坐标可能是（A ．111,,224⎛⎫−− ⎪⎝⎭B ．24⎝7．（2023秋·北京石景山·高二统考期末）已知(2,=−m a (2,1,2)=−n 是平面α的法向量．若，则下列选项正确的是（A ．340a b −−= B ．C ．a =−8．（2023秋·北京大兴·高二统考期末）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，,ABC AB =F 分别为111,AC BB 的中点，则直线置关系是（A ．平行B ．垂直9．（2023秋·北京西城·高二北京师大附中校考期末）如图，在正方体动点．则下列结论不正确的是（A ．1//D E 平面11AB BAB ．11EB AD ⊥C ．直线AE 与11BD 所成角的范围为D ．二面角11E A B A −−的大小为10．（2023秋·北京丰台·高二统考期末）棱长为1BP xBA yBC zBB =++，其中①当0x =，1z =时，BPD △②当0x =，1y =时，三棱锥③当1z =，且1x y +=时，△1x y +=∠其中所有正确结论的序号是________．11．（2023秋·北京朝阳·高二统考期末）已知平面α的法向量为(1,2,2)n =−，直线l 的方向向量为(2,,4)u m =−，且l α⊥，则实数m =_________．12．（2023秋·北京丰台·高二统考期末）在空间直角坐标系O xyz −中，已知过坐标原点O 的平面α的一个法向量是()0,0,1n =−，点()3,4,5P −到平面α的距离为________．(1)求证：1AB AD ⊥；(2)求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值；(3)求1BC 到平面1AD E 的距离．14．（2023秋·北京密云·高二统考期末）已知在四棱锥PAD 是正三角形，E 、F 、三个条件中选择一个条件作为已知平面ABCD(1)求证：PO ⊥平面ABCD ；(2)求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；(3)在线段PA 上是否存在点M(1)求证：PB∥平面AEC；(2)求证：平面PCD⊥平面APD(3)设平面DAE与平面AEC夹角为16．（2023秋·北京·高二北京八中校考期末）如图，在三棱柱(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角B PD A−−的大小；(3)在线段AC上是否存在点N30，若存在，求出中，PA90. 点(1)求证：MN平面BDE；(2)求直线AC与平面EMN的夹角的正弦值；(3)求点A到平面EMN的距离.18．（2023秋·北京西城·高二统考期末）如图，在四棱锥正方形，E为线段AB的中点，⊥；(1)求证：BC PE(2)求平面PAB与平面PBD夹角的余弦值19．（2023秋·北京西城·高二统考期末）如图，在四棱柱∥=ABCD AB CD AD CD，，已知.条件①：；条件②：(1)求直线CE与B D所成角的余弦值；11(2)求点1C到平面BCE的距离；(3)已知点M在线段1CC20．（2023秋·北京朝阳21．（2023秋·北京东城·高二统考期末）在四棱雉P ABCD −中，底面ABCD 是正方形，Q 为棱PD 的中点，PA AD ⊥，2PA AB ==，再从下列两个条件中任选一个作为已知，求解下列问题.条件①：平面PAD ⊥平面ABCD ；条件②：PA AB ⊥.(1)求证：PA ⊥平面ABCD ；(2)求平面ACQ 与平面ABCD 夹角的余弦值；(3)求点B 到平面ACQ 的距离.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.22．（2023秋·北京顺义·高二统考期末）如图，在长方体1111ABCD A B C D −，3AB =，12AD AA ==，点E 在AB 上，且1AE =．(1)求直线1A E 与直线1BC 所成角的余弦值；(2)求直线1BC 与平面1A EC 所成角的正弦值；(3)求点A 到平面1A EC 的距离23．（2023秋·北京丰台·高二统考期末）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D −中，1222AA AB BC ===，M 是棱1CC 上任意一点．(1)求证：AM BD ⊥；AB CD，(1)求证：AB⊥平面PAD；(2)求平面PAD与平面PBC(3)在棱PB上是否存在点GPG的值，若不存在，说明理由．(1)已知点G为线段BC的中点，求证：(2)若2==，直线PC与平面PA AB−择几个作为已知，使四棱锥P ABCD（ⅰ）直线CD到平面ABF的距离；−−的余弦值．（ⅱ）二面角B AF C(1)求直线1BC 与1AC 所成角的大小；(2)求1BC 与平面1A EC 所成角的正弦值27．（2023秋·北京石景山·高二统考期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，11,AA BB 的中点，12,AB AA ==(1)求证：1C M CN ⊥；(2)求直线CN 与平面BCM (3)求平面BCM 与平面ABB 28．（2023秋·北京石景山，在ABC 中，AB 的中点，M N ，分别是CP 将CAP 折起，连接(1)求证：//MN 平面ABC ；(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，当二面角AQ AC的值．(1)求证：1C D ∥平面AB (2)求平面1AB E 与平面1A (3)求点1C 到平面1AB E 的距离．30．（2023秋·北京西城·高二北京师大附中校考期末）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，ABC 是边长为2的正三角形，(1)求证：CD ⊥平面11AA B B ．(2)求二面角1B AE B −−的余弦值．【分析】根据空间位置关系的向量判断方法对四个选项一一判断即可【详解】对于A ：因为()()2,3,1,2,3,1a b =−=，所以//a b 不成立，所以对于B ：因为()1,1,2a =−，()6,4,1u =−,所以()1614a u ⋅=⨯+−⨯+所以a u ⊥，所以//l α或l ⊂α.故B 错误；对于C ：因为()()2,2,1,3,4,2u v =−=−，,所以()2324u v ⋅=⨯−+⨯+所以v u ⊥，所以αβ⊥.故C 正确；D ：因为()0,3,0a =，()0,5,0u =−,所以35a u =−，l α⊥.故D 错误； 故选：C【分析】求出AB 及三个坐标平面的法向量，根据AB 与法向量的关系判断．【详解】(1,0,1)AB =−−xOy 的一个法向量是坐标平面yOz 的一个法向量是，这三个法向量与AB 都不平行，但(0,1,0)0AB ⋅=，点上，因此AB 与坐标平面故选：C ． ．C【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，用点到平面的距离公式计算即可【详解】建立空间直角坐标系如图所示：则(0,2,0)C ，()1,0,2Q ，(0,0,2)G ，(1,1,0)A ，(1,2,QC =−，(1,0,0),(1,1QG AC =−=−QGC 的法向量为(,,)n x y z =，则0n QC n QG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即02x x y −=⎧⎨−+⎩，则平面QGC 的一个法向量为(0,1,1)n =，22n AC n⋅=.m ，求出到P 到平面11A B E 的距离不变，从而易判断④，以1BD 不可能与1A E 垂直，故②不正确；设(0,P m ，(0m ≤≤【详解】设正方体棱长为由1AA ⊥,ABCD AP 所以2221PA AA AD ++正方体棱长为2，则11(2,0,2),(1,2,2),(0,0,2)A E ， 1(1,2,0),A E =−1(2,2,2)BD =−−，112A E BD ⋅=−≠，所以1BD 不可能与1A E 垂直，故BD 错误；设(0,,0),(02)P m m ≤≤，221(1,2,2),1(2)4495,PE m PE m m m A E =−=+−+=−+=，所以122(1,2,2)(1,2,0)32cos ,,549549m m PE A E m m m m −⋅−−==⋅−+⋅−+到直线1A E 的距离为d ，则222212(4)32836||sin ,49155549m m m m PE PE A E m m m m ⎛⎫−+−−+=−+⋅−== ⎪⋅−+⎝⎭不变，所以1A PE 的面积【详解】因为直线所以(1,0,AB =−−的一个法向量为(2,0,n =−−且2n AB =，所以平面的方向向量平行，l α⊥， 故选：B . ．D【分析】先求出()(1,1,0,1,0,BC PC =−=−，根据法向量求解公式列方程即可求解．【详解】依题意得，()()0,1,0,1,0,0,B C ，则()(1,1,0,1,0,BC PC =−=−设(),,n x y z =，则020n BC x y n PC x ⎧⋅=−⎪⎨⋅=−=⎪⎩，取12x =则1,2y z ==，所以111,,224n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 故选：D ．C【分析】根据可得m 与n 共线，由向量的坐标表示可得答案【详解】若l ，则m n λ=，11232a b λ⎧⎪=−⎪⎪=−⎨⎪⎪=⎪⎩，且3−a因为5,AB BC M ==为又在三棱柱111ABC A B C 中，则EM ⊥平面ABC ，又AC 又12AC AA ==，则12AM =则(0B ,2,0)，(1C −,0,0)，(1D ,0,1)，设平面BCD 的法向量为(,,)n x y z =则00n BC n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x y x y z +=⎧⎨−+=⎩，令，故(2,1,n =−−又(0,2,1)EF =−，(2,0,1)DC =−−因为20(1)2(4)(n EF ⋅=⨯+−⨯+−⨯，又()001(1)EF DC ⋅=+−⨯−所以直线EF 与平面BCD 相交，且不垂直于平面BCD ． 故选：D. 9．C【分析】由平面11//CDD C 平面1A B BA ，1D E ⊂平面11CDD C ，即可判断11EB AD ⋅即可判断选项11cos(,)|AE B D 的范围即可判断选项可判断选项D ，进而可得正确选项．如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则(1,0,0)A (0,,0),0E m 1(1,1,1)B ，1(0,0,1)D ，1(1,0,1)A ，对于选项：1(1,1,1)EB m =−，1(1,0,1)AD =−因为11(1,1,1)(1,0,1)0EB AD m ⋅=−⋅−=，所以11EB AD ⊥，即1EB 故选项B 正确；对于选项C ：(1,,0)AE m =−，11(1,B D =−，设直线AE 与11B D 所成角为θ112|1|cos |cos ,|2m AE B D m θ−=〈〉=⨯，时最大等于22，此时θ最小为θ最小等于0，此时时，(0,2,2)P z 1BDD 的法向量为(,,m a b =，1(2,2,0),(2,2,2)BD BD ==，(0,2,2BP =11020(1,1,0)2200m BD m BD b m b c m BD m BD ⎧⎧⊥⋅=+=⎧⎪⎪⇒⇒⇒=−⎨⎨⎨++=⊥⋅=⎩⎪⎪⎩⎩ 2,2m BP m BP m BPBP⋅〈〉==⋅⋅， 所以点P 到平面1BDD 的距离为：2cos ,22BP m BP BP BP⋅〈〉=⋅=⋅，显然1221112222222BDD SDD BD =⋅⋅=⨯⨯+=， 三棱锥P BDD −142223⨯=，所以本结论正确；1=，且,2)y ，1BPD S=当12x =时，(2PB x =−，1(2PD =−为直角，所以1102(2PB PD PB PD x ⊥⇒⋅=⇒−−，代入(1)中，化简得：28410x x −−=30<，不符合题意，而134x −=<【点睛】关键点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式是解题的关键11．4−【分析】根据直线与平面垂直可得直线即可求解.【详解】因为平面α的法向量为(1,2,2)n =−的方向向量为(2,,4)u m =−，所以//n u ，则存在实数λ使得u n λ=，(,2,2)λλλ−，解得：2λ=−【分析】由点到平面的距离公式即可求得P 点到平面(0,0,0n OP n⋅=()()(10,0,0,B 0,2,0,A D ()(1=0,2,0=2,0,2AB AD ，1=20022AB AD ⋅⨯+⨯+1AB AD ∴⊥（2）因为正方体的棱长为2，()(10,0,0,A A ∴()10,0,2AA =，()12,0,2AD =，()0,2,1AE =，设平面1AD E 的一个法向量为(),,n x y z =，则122n AD x n AE y ⎧⋅=+⎪⎨⋅=+令2z =，则2,1x y =−=−，∴()2,1,2n =−−设直线1AA 与平面1AD E 所成角为θ，则11sin ||||n AA n AA θ⋅⋅|＝1AA 与平面AD 所成角的正弦值为（3）∵(2,2,0C ，∴()12,0,2BC =由（）知，平面1AD E 所的法向量为(2,1,2n =−−10BC n ∴⋅=∴平面1AD E 所以1BC 到平面1E 的距离可以转化为点到平面AD E ()=0,2,0AB ，2||41n AB d n ⋅=+14．(1)证明见解析； (2)3π (3)答案见解析【分析】（）选条件①：CD ）建立空间直角坐标系，求得平面EFG 的一个法向量为(,,m x y =法向量为()0,0,1n =,m n m n m n⋅=⋅求解；）设PM PA λ=，λ∈，得到(2,GM λ=(3,0,m =,sinm GM m GM m GM⋅==⋅【详解】（）证明：选条件①：CD ⊥平面PAD 又CD ⊂所以平面ABCD ，因为PAD 是正三角形， 且O 是AD 的中点，PO AD ⊥，又平面APD 平面PO ⊥平面选条件②：PC PD CD ==PD ⊥，又因为PAD 是正三角形，PO AD ⊥，又平面APD 平面PO ⊥平面选条件③：平面因为PAD 是正三角形，PO AD ⊥，又平面APD 平面PO ⊥平面）由（1）建立如图所示空间直角坐标系：则()()()2,0,0,2,4,0,2,4,0A B C −()()(0,0,23,1,2,3,1,0,P E F −−所以()()0,2,0,1,2,3EF EG =−=−，设平面EFG 的一个法向量为(,,m x y =00m EF m EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0z =3=，则x ，所以(3,0,3m =易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =所以1cos ,2m n m n m n⋅==⋅，EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为（3）设PM PA λ=，[]0,1λ∈，则(2GM PM PG PA PG λλ=−=−=由（2）知平面EFG 的一个法向量为：(3,0,m =所以直线GM 与平面EFG 所成角的正弦值为cos ,sinm GM m GM m GMπ⋅==⋅6，整理得22320λλ−+=，，所以方程无解，即不存在满足条件的点M .（2）∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面∴AC=（a，，AE=（0，，AP=（0，显然m=（1，0）为平面AED的一个法向量，设平面ACE的法向量为n=（x，yn ACn AE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3得n=（3a，﹣1，3）DAE与平面AEC夹角为60°m n＜，＞|＝|m nm n⋅|34a+3 2，即AB32=．16．(1)详见解析；(2)60；(3)存在，38ANAC=或78ANAC=.【分析】（1）设AB CD O=，根据线面平行的性质可得（2）取AD的中点G，根据线面垂直的判定定理可得量求法即得；）设AN AC λ=，利用线面角的向量求法结合条件即得因为侧面ABCD 为正方形，所以O 为BD 的中点，因为//PD 平面MAC ，PD PBD 平面MAC 所以//PD OM ，又O 为BD ,AP DP P =平面ADP ，DP ，ADP ，可得,ABAD A =ABCD ，AD ⊂PG ⊥平面如图以G 为原点建立空间直角坐标系，则()()(2,0,0,2,0,0,0,0,2D A P −所以()(4,4,0,2,0,BD PD =−=−设平面PBD 的法向量为(),,m x y z =440220m BD x y m PD x z ⎧⋅=−=⎪⎨⋅=−=⎪⎩，令1x =(1,1,2m =又平面ADP 的法向量可取()0,1,0n = 所以11cos ,122m n m n m n ⋅===⋅⨯，60；（3）假设在线段AC ，使得直线MN 与平面30， 设AN AC λ=，因为(,4,4,0AC =所以(4,4,0AN λλ=，又1,2,M ⎛− ⎝所以41,4MN λ⎛=− ⎝PBD 的一个法向量为(1,1,2m =21cos ,22m MN m MN m MN⋅===⋅，26440210λλ−+=，或78λ=，上存在点N ，使得直线30， AN AC MF 平面NF 平面MNF 平面MN 的距离为sin MA α. MF 平面BDE NF AC DE ，∵DE NF ⊄平面平面MFNF F =，∴NF 平面MNF ，∴平面MNF 平面⊂平面MNF MN平面BDE ）∵PA ⊥底面90BAC =，以为原点建立如图所示空间直角坐标系则有()()()()()0,0,0,2,0,0,0,4,0,0,0,11,2,0,0,2,2A B C M E ，()()()1,2,1,0,2,1,0,4,0MN ME AC =−==的法向量为(),,n x y z =22n MN x n ME y ⎧⋅=+⎪⎨⋅=+⎪⎩，则有4,1,2n，所成角为θ，则直线AC 与平面EMN 421cos ,21214n AC θn ACn AC . ）由（2）得，0,0,1MA，设MA 与平面EMN 所成角为α，A 到平面EMN 的距离为2221sin cos ,12121n MA MA αMA n MAn.18．(1)证明见解析 (2)33【分析】（1）根据线面垂直的性质定理可得BC PE ⊥；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求得平面的余弦值【详解】（1）由PA ⊥平面ABCD ，根据线面垂直的性质定理可知，PA BA A =，且AB 的中点，PE ⊥）根据题意可知，以坐标系，如下图所示：则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)A B D P 则(2,0,2),(0,2,2)PB PD =−=−， 设平面PBD 的一个法向量为(,,)n x y z =得·220·220n PB x z n PD y z ⎧=−=⎪⎨=−=⎪⎩，令1z =可得，，即(1,1,1)n =；易知，(0,2,0)AD =是平面PAB 的一个法向量，设平面PAB 与平面的夹角为θ，2cos cos ,3n AD n AD n ADθ===⨯所以，平面PAB 与平面PBD 夹角的余弦值为ABCD ，则四边形，则1FB =.则在CFB 中，AB ⊥，又1，DA AA ⊥，则如图建立以则()()(11100011,,，,,，,C E D 得()(111111,,，,CE B D =−−=−111111535CE B D CE B D ⋅==⨯⋅（2）因()()()1020110001,,，,,，,,，B C E C 则()()()1110111002,,，,,，,,CB CE CC =−=−−=. 设平面BCE 的法向量为()111,,x n y z =，则00n CE n CB ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩取()1,1,2n =，则求点1C 到平面BCE 的距离14CC n d n⋅==3）因点M 在线段1CC 上，则设()11,,t ，其中[]0,2t ∈.()0,0,1E ，则()1,EM =又()(11,1,00,0,2CB CC =−=，设平面1BCC 法向量为()2,m x y =，则221020x m CB z m CC ⎧−⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎩⎩取(1,1,0m =，则直线EM 与平面11BCC B 所成角的正弦值为：()222121EM m t EM mt ⋅=⇒=⋅+−或3t =. 得线段CM 的长为320．(1)证明过程见解析； (2)520； (3)存在，14CM CP =.ABCD AB =APO 的法向量为(0,1,0)OE =，DPO 的法向量为(,,)n x y z =，(0,0,22),(1,3,0)OP OD ==−020(3,1,0)300n OP z n x y z n OD ⎧⋅==⎪⇒⇒=⎨++=⋅=⎪⎩， A PO D −−的余弦值为：2215202231OE n OE n⋅==⋅⨯+；）假设在棱PC 上存在点M ，使得//BM 平面POD ，且([0,1])CM CP λλ=∈,1,22)λλ−，因此(,1,22)BM λλλ=−−的法向量为(3,1,0)n =，，所以1004BM n BM n λλ⊥⇒⋅=⇒−=⇒=∈()002,,，)0,0,0A ，(0,1,1Q 所以(2,2,0AC =，()0,1,1AQ =1）知平面ABCD 的法向量()0,0,2AP =，设平面ACQ 的法向量为(),,n x y z =，则2n AC x n AQ y z ⎧⋅=+⎪⎨⋅=+⎪⎩00x y y z +=+=，令1，则()1,1,1n =−−，ABCD 夹角的为θ，23,32AP n AP n AP n⋅−==⨯⋅， ACQ 与平面ABCD 夹角的余弦值为）由已知得()2,0,0B ，()2,0,0AB =， 的距离为23AB n n−⋅==22．(1)105(2)26(3)23【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线）建立如图所示空间直角坐标系，()()()(111,0,1,2,2,3,0,0,3,2,2,0,2A E B C BC =−=−1BC 所成角为α， 11114105522A E BC A E BC ⋅==⨯⋅. )()0,3,0,2,2,0EC =−， 设平面1A EC 的法向量为(),,n x y z =120220n A E y z n EC x y ⎧⋅=−=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩，故可设()2,2,1n =设直线1BC 与平面1A EC 所成角为β， 1122sin 63n BC n BC β⋅===⨯⋅. ）()(2,0,0,0,1,0A AE =到平面1A EC 的距离为23n AE n⋅=.23．(1)证明过程见解析 (2)33【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直；（2）在第一问的基础上，利用空间向量求解异面直角的夹角余弦值所以()()0,0,0,1,0,0,A B D ()(1,1,,1,1AM m BD ==−()(1,1,1,1,0AM BD m ⋅=⋅−所以AM BD ⊥；（2）M 是棱1CC 的中点，故C 则()()1,1,1,0,1,0AM BC ==，设异面直线AM 与BC 所成角的大小为θ，则(1,1,1cos cos ,AM BC AM BC AM BCθ⋅===⋅故异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为ABCD ，∠BA AD ⊥，，BA ⊂平面,AD PD D =；ABCD ， ADC ∠所以可以建立如图所示的空间直角坐标系，设(2,1,0),(0,2,0),C PAD ，所以平面PAD 的法向量为(0,1,0)AB =PBC 的法向量为(,,)n x y z =，(2,1,2),(0,2,2)PB PC =−=−，02(1,2,2)200n PB x y z n y z n PC ⎧⋅=+−⎪⇒⇒=⎨−=⋅=⎪⎩， PAD 与平面PBC 夹角为θ21n AB n AB⋅=⨯⋅所以平面PAD 与平面夹角的余弦值为23；（3）设((0,1))PG PB λλ=∈，可得点2)λ， 所以(2,,22)DG λλλ=−，由（的法向量为(1,2,2)n =假设DG 与平面PBC 所成角的正弦值为所以有：23DG n DG n ⋅⇒=⋅因此假设成立，所以在棱PG PB 的值为89(1)证明过程见详解ⅰ26CEEF E =，⊂平面EFC（2）选择条件①和③（ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以∠由题意可知：30∠=︒PCA ，又PA =因为平面PAD ⊥平面PAB ，且平面所以AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PADABFS=ABDS =//DC AB 平面ABF 所以点D 到平面CD 到平面1132ABFABDSh SAP ⋅=⋅，，所以263h = 的距离为26.（ⅱ）由（ⅰ）可知：AB ，AP ，AD 两两垂直，分别以所在直线为x 轴，图所示空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，则(2,0,0)AB =(0,2,1)AF =，(2,22,0)AC =，设平面ABF 的法向量为111(,,)m x y z =，平面的法向量为22(,,n x y =则有·0·0m AF m AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，也即1112020y z x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，令z ，则(0,2,2)m =−；则有·0·0n AF n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，也即2222222y z x ⎧+⎪⎨+⎪⎩，则(2,2,2)n =−，,24m n m n m n<>==+由图可知：二面角B AF C −−所以二面角B AF C −−的余弦值为90【分析】（1）以D 为原点，1,,DA DC DD 的方向分别为出1AC ，1(2,0,2)BC =−，利用空间向量的数量积求解直线2）求出平面1A EC 的法向量，利用平面法向量与直线方向向量的夹角即可求解线面角【详解】（1）以D 为原点，1,,DA DC DD 的方向分别为坐标系．()(()()112,0,2,0,3,00,3,2,2,1,0A C C E ，所以(12,3,AC =−，1(2,0,2)BC =−．所以11111144cos ,8||AC AC BC AC BC BC ⋅−〈〉==⨯所以11AC BC ⊥，故直线1AC 与BC 所成角为90 ． ）因为(2,2,0)EC =−,(10,1,A E =设平面1A EC 的法向量为(m x =，y 10,0,m A E m EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,220.y z x y −=⎧⎨−+=⎩2=，则2x =，z 于是()2,2,1m =与平面1A EC 所成角为θ， 111402,622BC m BC m BC m⋅−+〈〉==⨯， 与平面1A EC 所成角的正弦值为27．(1)证明见解析 (2)69(3)23【分析】（1）根据题意可知，利用线面垂直的性质定理即可证明线线垂直；由于111ABC A B C 是直三棱柱，易知又因为AB AC ⊥，且1AA AC A =，所以AB ⊥平面11AAC CM 、N 分别是11,AA BB 的中点，所以又1C M ⊂平面11AAC C ，所以MN ⊥111,AC CC =MNCM M =平面CMN ，CN ⊥.1）可知，为坐标原点，AB易得(0,0,0),(2,0,0),(0,1,0),(0,0,1),A B C M (2,1,1),(2,1,0),(0,1CN BC CM =−=−=−设平面BCM 的一个法向量为(,,)n x y z =则·20·0n BC x y n CM y z ⎧=−+=⎪⎨=−+=⎪⎩，令2y =得，x ，即(1,2,2)n =设直线CN 与平面BCM 所成的角为θ，23n CN n CN n CN==⨯，与平面BCM 所成角的正弦值为9）知，平面BCM 的一个法向量为(1,2,2)n =11ABB A 的一个法向量为(0,1,0)AC =， 所成的角（锐角）为α， 2,3n AC AC n n AC==； 与平面11ABB A 所成角的余弦值为证明见解析；）利用线面平行的判定定理直接证明；原点，,,BP CP AP 分别为轴正方向建立空间直角坐标系先证明出,,AP BP CP 原点，,,BP CP AP 分别为.）在PBC 中，因为的中点，所以ABC ,BC ⊂面ABC ABC .）在ABC 中，ACB ∠CP BP ⊥.选条件①：BP AC ⊥.AC ⊥，CP ⊥面ACP AP ，可以以原点，,,BP CP AP 分别为在ABC 中，ACB ∠是直角，()1,0,0M ，(0,1,0N ，所以(1,1MN =−，(0,1,0NC =因为点Q 是线段AC 上的动点，所以可设()0,1CQ tCA t ==−≤,所以()0,10,12,2NQ NC CQ t t =+=−.不妨设(),,m x y z =为平面的一个法向量，则()()()((),1,1,00,0,12,212m MN x y y m MN x y t t y ⎧⋅=⋅−=⎪⎨⋅=⋅−+−⎪⎩1y =，则11,1,2m −⎛= ⎝显然()0,0,2PA =为面所以二面角Q MN −20,1m PA m PA m PA⋅==⨯222120022,121122t m PA t m PA m PAt t −⎛⎫++⨯ ⎪⋅⎝⎭===⨯−⎛⎫++⨯ ⎪⎝⎭在ABC 中，因为AB AC =，所以AP BP +所以可以以P 原点，,,BP CP AP 分别为()2,0,0，C .因为M N ，分别是,PB PC 的中点，所以()1,0,0M ，(0,1,0N ，所以(1,1MN =−，(0,1,0NC =因为点Q 是线段AC 上的动点，所以可设()0,1CQ tCA t ==−≤,所以()())0,10,12,2NQ NC CQ t t =+=−.不妨设(),,m x y z =为平面的一个法向量，则()()()((),1,1,00,0,12,212m MN x y y m MN x y t t y ⎧⋅=⋅−=⎪⎨⋅=⋅−+−⎪⎩1y =，则11,1,2m −⎛= ⎝显然()0,0,2PA =为面20,1m PA m PA m PA⋅==⨯222120022,121122t m PA t m PA m PAt t −⎛⎫++⨯ ⎪⋅⎝⎭===⨯−⎛⎫++⨯ ⎪⎝⎭1B A 即可，利用向量法可得答案.）证明：由题，四边形11B C CB BCAD ，故四边形1B A ，又，则1C D ∥平面1AB E 为原点的空间直角坐标系则()()()()(100010001010120,,，,,,,,，,,,,，A B D B E 得()()1102011,,，,,AB AE ==，设平面1AB E 法向量为(),,n x y z =1200n AB x z n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取(21,,n =−又平面1111D C B A 法向量()0,0,1m =，且由图可知，平面1AB E 与平面11D C B A 夹角θ为锐角，则16m n m n⋅−=⋅）由图可得，()11,1,2，则(11,AC =，又由（2）解析可知法向量为()211,,n =−， 的距离116AC n d n⋅=.30．(1)证明见解析 (2)1010【分析】（1）证明CD AB ⊥，（2）取11A B 的中点为F ，连接角坐标系D -xyz ，利用坐标法求解即可；【详解】（1）解：在三棱柱111ABC A B C 中，因为又ABC 为等边三角形，AB 的中点，所以CD AB ⊥因为1,ABAA A =所以CD ⊥平面AA 2）解：取11A B 的中点为因为在三棱柱111ABC A B C 中，四边形1//AA ，⊥平面ABC ，AB ⊂所以，133,0,,(2,3,0)22AE AB ⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭1AB E 的法向量(,,)n x y z =，133022230n AE x z n AB x y ⎧⋅=−+=⎪⎨⎪⋅=−+=⎩，令1x =，所以21,,3n ⎛= ⎝由题意可知，平面BAE 的一个法向量1(0,3,0).AA =因为11110cos ,1023AA n AA n AA n⋅===⋅⨯． 由已知可得二面角1B AE B −−为锐角， 所以二面角1B AE B −−的余弦值为10．。
2022北京高二(上)期末数学汇编：空间向量及其运算
2022北京高二（上）期末数学汇编空间向量及其运算一、单选题1．（2022·北京东城·高二期末）已知平面α，β的法向量分别为()1,1,1n x =-，()26,,3n y =，且αβ∥，则x y +=（ ）A ．43B ．1C ．3-D ．5-2．（2022·北京怀柔·高二期末）已知向量()3,0,4a =-，则a =（ ） A ．5B ．6C ．7D ．83．（2022·北京平谷·高二期末）已知三棱锥O ABC -，点,M N 分别为,AB OC 的中点，且,,OA a OB b OC c ===，用,,a b c 表示MN ，则MN 等于( )A ．1()2b c a -+B ．1()2a b c +-C ．1()2a b c -+D ．1()2c a b --4．（2022·北京顺义·高二期末）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是棱1CC 上一动点，点O 是面AC 的中心，则AP AO ⋅的值为（ ）A ．4B ．22C ．2D ．不确定5．（2022·北京顺义·高二期末）在空间直角坐标系中，若()0,1,3M ，()2,1,1N ，则MN →=（ ） A ．()2,0,2-B ．()2,0,2-C ．()2,2,0D ．()2,2,1-6．（2022·北京交通大学附属中学高二期末）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 和BD 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列式子中与1B M 相等的是（ ）A ．1122a b c -++B ．1122a b c +- C ．1122a b c -+-D ．1122--+a b c7．（2022·北京大兴·高二期末）已知向量(101)a =，，，(221)b =-，，，(34)c z =，，，若,,a b c 共面，则z 等于（ ） A ．9- B ．5- C ．5D ．98．（2022·北京丰台·高二期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱1CC 的中点. 若AB a =，AD b =，1c AA =，则AM 等于（ ）A ．12a b c ++B ．12a b c -+C ．111222a b c ++D ．111222a b c -+9．（2022·北京丰台·高二期末）已知向量a =(-1，1，2)，b =(x ，2，y )，且//a b ，则x y +=（ ） A ．2-B ．12-C ．12D ．210．（2022·北京东城·高二期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，13AA =，点,E F 分别在棱111,BB B C 上，1//EF AD ，113BE BB =，则1B F =（ ）A ．1B ．43C ．2D ．8311．（2022·北京·人大附中高二期末）如图，在四面体O ABC -中，,,OA OB OC ===a b c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE 可用向量a ，b ，c 表示为（ ）A ．111222a b c ++B ．111244a b c ++C ．111424a b c ++D ．111442a b c ++12．（2022·北京昌平·高二期末）已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1,,AB a AD b AA c ===，则1D B =（ ） A ．a b c ---B ．a b c --C ．a b c -+-D ．a b c -+13．（2022·北京昌平·高二期末）已知正三棱锥-P ABC 的底面ABC 的边长为2，M 是空间中任意一点，则()MA MB MC ⋅+的最小值为（ ） A ．32-B ．1-C ．3D ．12-14．（2022·北京房山·高二期末）设()3,2,1A ，()1,0,5B ，则AB 的中点M 的坐标为（ ） A ．()2,2,4--B ．()1,1,2--C ．()2,1,3D ．()4,2,615．（2022·北京大兴·高二期末）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD AA --=（ ）A ．1ACB ．1ACC ．1D BD ．1DB16．（2022·北京·101中学高二期末）在一个正方体1111ABCD A B C D -中， P 为正方形1111D C B A 四边上的动点， O 为底面正方形ABCD 的中心， ,M N 分别为,AB BC 中点，点 Q 为平面ABCD 内一点，线段 1D Q 与OP 互相平分，则满足 MQ MN λ=的实数λ的值有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题17．（2022·北京八中高二期末）在正三棱柱111ABC A B C 中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，则下列说法中，正确的有_________（请填入所有正确说法的序号） ①当1λ=时，1AB P △的周长为定值①当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值 ①当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥ ①当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 18．（2022·北京顺义·高二期末）已知向量()2,,4a m =-，()1,4,2b =-，且a b ∥，则实数m =______. 19．（2022·北京丰台·高二期末）已知(1,0,1)a =-，b =(2，1，1)，则2a b -=________．20．（2022·北京房山·高二期末）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别是棱11B C ，1DD 上的点，如果BE ⊥平面11A B F ，则1C E 与1D F 长度之和为___________.21．（2022·北京房山·高二期末）如图，长方体1111ABCD A B C D -，若()12,2,1AC =，则1B D 的坐标为___________.22．（2022·北京昌平·高二期末）在空间直角坐标系中，已知点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C ，若点(,2,1)P x 在平面ABC 内，则x _______．参考答案1．D【分析】根据平面平行，法向量之间的关系进行求解即可. 【详解】因为αβ∥，所以12//n n ， 于是有112,3563x x y x y y -==⇒=-=-⇒+=-， 故选：D 2．A【分析】利用空间向量的模公式求解. 【详解】因为向量()3,0,4a =-，所以2230(4)5a =++-=，故选：A 3．D【分析】连接,OM MC ，利用MN 1()2OM CM =-+，化简即可得到答案.【详解】连接,OM MC ，如下图1()2OM CM =-+11()()44a b CA CB =-+-+11()(+)44a b a c b c =-+---1()2c a b =--. 故选：D. 4．A【分析】画出图形，建立空间直角坐标系，用向量法求解即可 【详解】如图，以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，因为正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，点O 是面AC 的中心，P 是棱1CC 上一动点，所以()2,0,0A ，()1,1,0O ，()0,2,P z()2,2,AP z =-，()1,1,0AO =-2204AP AO ⋅=++= 故选：A5．B【分析】直接利用空间向量的坐标运算求解. 【详解】解：因为()0,1,3M ，()2,1,1N ， 所以(2,0,2)MN →=-. 故选：B 6．C【分析】根据空间向量的线性表示与运算法则，把1B M 用AB 、AD 、1AA 表示即可． 【详解】解：由题意知，11112B B B B BM BD B M =+=+11()2AA AD AB =-+-11122AB AD AA =-+- 1122a b c =-+-．故选：C ． 7．D【分析】利用共面向量定理列方程，能求出结果． 【详解】解：()1,0,1=a ，()2,2,1b =-，()3,4,c z =，且a ，b ，c 共面，∴a xb yc =+，∴(1，0，1)(23x y =-+，24x y +，)x yz +，∴2312401x y x y x yz -+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得27179x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩．故选：D ． 8．A【分析】利用空间向量运算法则进行计算.【详解】由题意得：BC AD =，11AA CC =，所以11122AM AB BC CM AB AD AA a b c =++=++=++ 故选：A 9．D【分析】以向量平行的充要条件代入，解之即可解决. 【详解】由//a b ，a =(-1，1，2)，b =(x ，2，y )， 可得2112x y==-解之得24x y =-⎧⎨=⎩故242x y +=-+= 故选：D 10．D【分析】依题意可得11//BC AD ，从而得到1//BC EF ，即可得到11123B F BC =，从而得解； 【详解】解：由长方体的性质可得11//BC AD ，又1//EF AD ，所以1//BC EF ，因为113BE BB =，所以11113C F C B =，所以11123B F B C =，因为114B C AD ==，所以1113238B B C F ==；故选：D 11．B【分析】根据向量加法的平行四边形法则（三角形的中线），即可将OE 用a ，b ，c 表示出来. 【详解】连接OD ，则 ()()111224OE OA OD OA OB OC =+=++ 即111244OE =++a b c .12．B【分析】利用空间向量的线性运算算出答案即可.【详解】11A D c b D B D D AB a =++=--+故选：B 13．A【分析】利用转化法求向量数量积的最值即可.【详解】解：设BC 中点为O ,连接MO ,设MO 中点为H ,则2213212HA =-=()()()()22?MA MB MC MA MO MH HA MH HO ⋅+=⋅=++ ()()()22232?224MH HA MH HA MH HAMH ⎛⎫+-=-=- ⎪⎝⎭,当M 与H 重合时，2MH 取最小值0.此时()MA MB MC ⋅+有最小值32-，故选：A 14．C【分析】利用中点坐标公式直接得解. 【详解】()3,2,1A ，()1,0,5B ，AB ∴的中点M 的坐标为()2,1,3故选：C 15．C【分析】利用向量的加减法法则计算即可.【详解】1111AB AD AA DB AA DB DD D B --=-=-= 故选：C【详解】因为线段D 1Q 与OP 互相平分， 所以四点O ，Q ，P ，D 1共面，且四边形OQPD 1为平行四边形．若P 在线段C 1D 1上时，Q 一定在线段ON 上运动，只有当P 为C 1D 1的中点时， Q 与点M 重合，此时λ＝1，符合题意．若P 在线段C 1B 1与线段B 1A 1上时，在平面ABCD 找不到符合条件Q ；在P 在线段D 1A 1上时，点Q 在直线OM 上运动， 只有当P 为线段D 1A 1的中点时，点Q 与点M 重合， 此时λ＝0符合题意，所以符合条件的λ值有两个 故选C. 17．①①【分析】①结合1λ=得到P 在线段1CC 上，结合图形可知不同位置下周长不同；①由线面平行得到点到平面距离不变，故体积为定值；①结合图形得到不同位置下有1A P BP ⊥，判断出①错误；①结合图形得到有唯一的点P ，使得线面垂直.【详解】由题意得：1BP BC BB λμ=+，[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，所以P 为正方形11BCC B 内一点， ①，当1λ=时，1BP BC BB μ=+，即1CP BB μ=，[0,1]μ∈，所以P 在线段1CC 上，所以1AB P △周长为11AB AP B P ++，如图1所示，当点P 在12,P P 处时，111122B PAP B P AP +≠+，故①错误；①，如图2，当1μ=时，即1BP BC BB λ=+，即1B P BC λ=，[0,1]λ∈，所以P 在11B C 上，1113P A BC A BC V S h -=⋅，因为11B C ①BC ，11B C ⊄平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，所以点P 到平面1A BC 距离不变，即h 不变，故①正确；①，当12λ=时，即112BP BC BB μ=+，如图3，M 为11B C 中点，N 为BC 的中点，P 是MN 上一动点，易知当0μ=时，点P 与点N 重合时，由于①ABC 为等边三角形，N 为BC 中点，所以AN ①BC ，又1AA ①BC ，1AA AN A =，所以BN ①平面1ANMA ，因为1A P ⊂平面1ANMA ，则1BP A P ⊥，当1μ=时，点P 与点M 重合时，可证明出1A M ①平面11BCC B ，而BM ⊂平面11BCC B ，则1A M BM ⊥，即1A P BP ⊥，故①错误；①，当12μ=时，即112BP BC BB λ=+，如图4所示，D 为1BB 的中点，E 为1CC 的中点，则P 为DE 上一动点，易知11A B AB ⊥，若1A B ⊥平面1AB P ，只需11A B B P ⊥即可，取11B C 的中点F ，连接1,A F BF ，又因为1A F ⊥平面11BCC B ，所以11A F B P ⊥，若11A B B P ⊥，只需1B P ⊥平面1A FB ，即1B P BF ⊥即可，如图5，易知当且仅当点P 与点E 重合时，1B P BF ⊥故只有一个点P 符合要求，使得1A B ⊥平面1AB P ，故①正确.故选：①①【点睛】立体几何的压轴题，通常情况下要画出图形，利用线面平行，线面垂直及特殊点，特殊值进行排除选项，或者用等体积法进行转化等思路进行解决.18．8-【分析】利用向量平行的条件直接解出m .【详解】因为向量()2,,4a m =-，()1,4,2b =-，且a b ∥， 所以24142-==-m ，解得8m =-.故答案为：8- .19．(0,1,3)--【分析】以向量的代数运算律解之即可.【详解】由(1,0,1)a =-，b =(2，1，1)可得22(1,0,1)(2,1,1)(2,0,2)(2,1,1)(0,1,3)a b -=--=--=--故答案为：(0,1,3)--20．1【分析】建立空间直角坐标系并设出11,C E D F 的长度，然后由线面垂直得到线线垂直，进而通过空间向量垂直的坐标运算求得答案.【详解】设()()1101,01C E x x D F y y =≤≤=≤≤，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD →→→分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()()()11,1,0,,1,1,0,0,1,1,0,1B E x F y A -，则()()11,0,1,1,0,BE x FA y →→=-=.因为BE ⊥平面11A B F ，所以1BE FA ⊥，则1101BE FA x y x y →→⋅=-+=⇒+=，即11,C E D F 的长度和为1. 故答案为：1.21．()2,2,1--【分析】由()12,2,1AC =，可知长方体的长为2，宽为2，高为1，进而表示出点1,B D 的坐标，即可求解.【详解】由题设，以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，()0,0,0A 由()12,2,1AC =，知点()12,2,1C ，知长方体1111ABCD A B C D -长2，宽2，高1 则()12,0,1B ，()0,2,0D ，()12,2,1B D ∴=--故答案为：()2,2,1--22．2-【分析】根据空间向量的坐标表示和共面定理，列方程组求出答案即可.【详解】因为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C ，所以()()1,1,0,1,0,1AB AC =-=- 因为点(,2,1)P x 在平面ABC 内，所以AP mAB nAC =+ 即121x m n m n -=--⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得2x =-故答案为：2-。
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解得所求二面角的余弦值为 2 1 7
C y
B
例3 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形， 侧棱PA⊥底面ABCD，AB= 3 ，BC=1，PA=2， E为PD的中点
（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值； （Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，
(2)线线垂直:证两直线的方向向量垂直,即 a b ab0
(3)线面垂直:
①证直线的方向向量与平面的法向量垂直;
②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量共线;
③利用共面向量定理,即证明可在平面内找到两不共线向量来线 性变式直线的方向向量.
(4)线面垂直: ①证直线的方向向量与平面的法向量平行; ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. (5)面面平行: ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量); ②转化为线面平行、线线平行问题. (6)面面垂直: ①证明两个平面的法向量互相垂直; ②转化为线面垂直、线线垂直问题.
由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD 又 DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD
（Ⅱ）解：因 A C ( 1 ,1 ,0 ) ,P B ( 0 ,2 , 1 ) ,
故 |AC| 2,|PB| 5,ACPB2,所 以
cosAC,PB ACPB 10. |AC||PB| 5
即得所求得点面距离.
典例解析
例1 已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC，
∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC= 1 ，
AB=1，M是PB的中点
2
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的余弦.
证明：以A为坐标原点,AD长为单位长度，如图建立空间 直角坐标系，则各点坐标为
2
5
可知当 4
5
时,N点坐标为
(
1 5
,1,
2 5
)能使
ANM C0.
此时
A N(1,1,2),B N(1,155
由 A N M C 0 , B N M C 0 得 A N M C , B N M C . 所 以 A N B
为所求二面角的平面角 |A N |3 0,|B N |3 0,A N B N 4.
5
5
5
c o s ( A N ,B N ) A N B N 2 . 故 所 求 的 二 面 角 的 余 弦 值 为 2 .
|A N | |B N | 3
3
例2 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，
侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面 ABCD （Ⅰ）证明：AB⊥平面VAD； （Ⅱ）求面VAD与面DB所成的二面角的余弦值.
V
z
D
A x
C y
B
V
z
（Ⅱ）解：设E为DV中点，则，
E (1 ,0, 3 )
D
44
E A (3 ,0 ,3 ) ,E B (3 ,1 ,3 ) ,D V (1 ,0 , 3 ) .A
44
44
22
x
由 E B D V 0 ,得 E B D V ,又 E A D V .
因此，∠AEB是所求二面角的平面角，
的夹角 ,即可求出直线与平面所成的角 ,其关系是sin|cos|
(3)求二面角:
用向量法求二面角也有两种方法:一种方法市利用平面角的定义,在 两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量,然后求出 这两个方向向量的夹角,由此求出二面角的大小;另一种方法市转 化为求二面角的两个面的法向量的夹角,它与二面角的大小相等 或互补.
（Ⅲ）解：在MC上取一点N(x,y,z)，则存在 R ,使 NCMC,
N C ( 1 x , 1 y , z ) ,M C ( 1 ,0 , 1 ) , x 1 ,y 1 ,z 1 .
2
2
要使 A N M C ,只 需 A N M C 0 即 x 1 z 0 ,解 得 4 .
证明： 以D为坐标原点，建立如
图所示的坐标系 ， （Ⅰ）证明：不妨设A(1,0,0)， 则B(1,1,0)，V ( 1 , 0 , 3 ) ，
22
AB(0,1,0),VA(1,0, 3) 22
由 ABVA0,得AB⊥VA，又 AB⊥AD，因而AB与平面VAD内 两条相交直线VA，AD都垂直
∴AB⊥平面VAD
6.运用空间向量求空间角.
(1)求异面直线所成的角:cosa,b ab 注意两异面直线所成
的角的范围 ( 0 , ]
|a||b|
2
(2)求线面角:求直线与平面所成角时,一种方法是先求出直线及射
影直线的方向向量,通过数量积求出直线与平面所成角;另一种 方法是借助平面的法向量,先求出直线方向向量与平面法向量
解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直 z
角坐标系，则A(0,0,0)、B( ,0,0)、 P
CE((03,,1,0,0)、)，D(03,11 ,0)、P(0,0,2)、
2
y
D
C
从而 A C (3 ,1 ,0 ) ,P B (3 ,0 , 2 ) . A
7.运用空间向量求空间距离
空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的 距离
(1)点与点的距离: 两点间的线段的长度,即对应向量的模.
(2)点与面的距离:求解步骤 ①求出该平面的一个法向量; ②求出从该点出发的任一条斜线段对应的向量; ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,
A ( 0 ,0 ,0 ) ,B ( 0 ,2 ,0 ) ,C ( 1 ,1 ,0 ) ,D ( 1 ,0 ,0 ) ,P ( 0 ,0 ,1 ) ,M ( 0 ,1 ,1 ) （Ⅰ）证明：因 A P (0 ,0 ,1 ),D C (0 ,1 ,0 ), 2
故 A P D C 0 ,所 以 A P D C .
期末综合复习 ---选修2-1圆锥曲线
4.直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面 的相对位置的重要概念,通过研究方向向量与法向量之间的关 系,可以来确定直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置 关系以及有关的计算问题.
5.用空间向量判断课件中的位置关系的常用方法.
(1)线线平行:证两直线的方向向量是共线向量.