浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用(终稿)复习课程
矩阵的特征值与特征向量(PPT)
更进一步，连续取单位向量x，让它大小保持为1，那么Ax就将四分之一圆弧 进行拉伸，变成四分之一椭圆。
MATLAB提供了一个eigshow命令，可以演示向量x和Ax之间的关系。用鼠标拖动绿色的 单位向量x绕原点转动，图中同步出现蓝色的Ax向量。Ax的大小在变化，方向也在变 化，而且Ax的方向与x不一定相同。在变化过程中，x与Ax共线的位置称为特征方向。 在特征方向上有Ax等于λ x。
例2 已知大写字母M的各个结点坐标如表所示（第一行代表横坐 标，第二行代表纵坐标）。
x
0
0.5 0.5
3
5.5 5.5
6
6
3
0
y
0
0
6
0
6
0
0
8
1
8
（1）绘制M的图形。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）设������ =
������ ������
������. ������ ，用A对M的结点坐标进行变换，并绘制变换后的图形。 ������
x=[0,0.5,0.5,3,5.5,5.5,6,6,3,0;0,0,6,0,6,0,0,8,1,8]; A=[1,0.5;0,1]; y=A*x; subplot(2,2,1); fill(x(1,:),x(2,:),'r'); subplot(2,2,2); fill(y(1,:),y(2,:),'r');
定义变换矩阵A，再利用A对x进行变换，得到y矩阵，最后分别绘制变换 前后的图形，M原来是正体，变换后改为斜体。
启示：在构建字库时，不必单独创建斜体字库，而只需对正体字库进行 适当的线性变换即可，这样可以大大节省存储空间。
例1 设
������ =
精选幻灯片3矩阵的特征值和特征向量总结
命题3 矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。
x ? 0， Ax? ?1x， Ax? ?2x
?1x ?
?2x
?
0
?
（?1
? ?2）x
x? 0
?
0? ? ?
?
?1 ? ?2 ? 0
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怎样求矩阵 A的特征值与特征向量？
Ax? ? x
要求实数? 与非零向量x.
( A? ? I )x ? 0
它有非零解的充分必要条件是
A? ? I ? 0
a11 ? ? a12 L
即
a21 a22 ? ? L
LL LL L
a1n a2n ? 0 LL
an1
an2 L ann ? ?
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矩阵的特征方程和特征多项式定义3.2
?I ? A
A的特征矩阵
?I ? A ?I ? A? 0
A的特征多项式 A的特征方程
特征方程的根称为A的特征根，也称为A的特征值。
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求矩阵的特征值与特征向量的步骤 ( A? ? I )x ? 0
1.求矩阵A的特征方程 A ? ? I ? 0
0 ?2
2 4
????????12
? ???
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????63
? ???
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3 ????12
? ???
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3x1
是
?2 1 ?1???2 ? ??6?
Ax2 ? ????43
矩阵的特征值和特征向量的应用
矩阵的特征值和特征向量的应用矩阵的特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，它们在许多领域中有广泛的应用。
本文将介绍特征值和特征向量的定义和计算方法，并探讨它们在实际问题中的应用。
1. 特征值和特征向量的定义在矩阵A中，如果向量v在进行线性变换后，仍然保持方向不变，只改变了长度，那么v称为A的特征向量，它所对应的标量λ称为A的特征值。
即满足下述等式：Av = λv其中，A是一个n阶方阵，v是一个n维非零向量，λ是一个标量。
2. 计算特征值和特征向量的方法要计算一个矩阵的特征值和特征向量，需要求解线性方程组(A-λI)x = 0，其中I是单位矩阵，x是一个非零向量。
解这个方程组，可以得到λ的值，即特征值，以及对应的特征向量。
3. 特征值与特征向量的性质- 特征值可以是实数或复数，特征向量通常是复数。
- 特征向量可以相互线性组合，但特征向量的数量不超过矩阵的阶数n。
- 特征值的个数等于矩阵的阶数n，不同特征值对应的特征向量线性无关。
4. 特征值和特征向量在几何中的应用矩阵的特征值和特征向量在几何中有重要的应用，可以帮助我们理解线性变换的性质。
例如，在二维空间中，对应于矩阵的特征向量可以表示空间中的特定方向，特征值代表了沿该方向进行线性变换的比例因子。
5. 特征值和特征向量在物理学中的应用在量子力学中，特征值和特征向量与物理量的测量和量子态的演化密切相关。
例如，在求解薛定谔方程时，特征值对应于能量的可能取值，特征向量对应于量子态的波函数。
6. 特征值和特征向量在数据分析中的应用特征值和特征向量在数据分析中也有广泛的应用。
例如，在主成分分析（PCA）中，特征向量可以帮助我们找到数据集中的主要变化方向，特征值可以衡量这些变化的重要性。
另外，在图像处理中，特征向量可以用于图像压缩和特征提取。
总结：矩阵的特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，它们在几何、物理学和数据分析等领域都有广泛的应用。
通过计算特征值和特征向量，我们可以更好地理解线性变换的性质，同时也可以应用于解决实际问题。
矩阵特征值和特征向量的应用
矩阵特征值和特征向量的应用【矩阵特征值和特征向量的应用】1. 引言矩阵特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，广泛应用于各个科学领域，如数学、物理、计算机科学等。
本文将探讨矩阵特征值和特征向量的定义、性质以及在实际应用中的重要性。
2. 矩阵特征值和特征向量的定义我们来了解矩阵特征值和特征向量的定义。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，则称λ为矩阵A的特征值，v 为矩阵A的特征向量。
其中，λ是一个标量。
3. 矩阵特征值和特征向量的性质矩阵特征值和特征向量具有以下性质：- 特征值和特征向量是成对出现的，即一个特征值对应一个特征向量。
- 矩阵的特征值与其特征向量不变，即对于矩阵A的特征值λ和特征向量v，无论A如何进行线性变换，λ和v始终保持不变。
- 矩阵的特征值与其转置矩阵的特征值相同。
- 矩阵的特征值和特征向量可以包含复数。
4. 矩阵特征值和特征向量的应用矩阵特征值和特征向量在实际应用中具有广泛的应用价值。
以下是几个常见的应用领域：4.1 物理学在量子力学中，矩阵特征值和特征向量被用来描述量子态和量子变换。
特征值表示量子态所具有的物理量，特征向量则表示相应的态矢。
通过矩阵特征值和特征向量的计算，可以得到量子系统的能量谱、波函数等重要信息。
4.2 机器学习在机器学习领域，矩阵特征值和特征向量常用于降维和特征提取。
通过计算数据的协方差矩阵的特征值和特征向量，可以选择最重要的特征进行分析和建模，帮助机器学习算法更好地识别模式和进行预测。
4.3 图像处理图像处理中的很多算法都依赖于矩阵特征值和特征向量。
通过计算图像的协方差矩阵的特征值和特征向量，可以实现图像的主成分分析和图像压缩，对于图像降噪、边缘检测等方面具有重要作用。
4.4 电力系统分析在电力系统中，矩阵特征值和特征向量广泛应用于电力系统稳定性分析、故障诊断等方面。
通过计算电力系统的传输矩阵的特征值和特征向量，可以判断系统是否稳定，并提供故障发现和恢复的指导。
矩阵特征值与特征向量的应用
摘要矩阵论是数学中的重要内容,也是一个很有价值的数学工具.它应用于许多学科中.并且在实际生活中,许多问题都可以借助矩阵抽象表示计算.这就需要掌握矩阵的相关性质及其应用,对于矩阵的概念和相关性质比较容易理解,但是矩阵的计算和应用就不太容易掌握,运算起来比较麻烦,我们需要引进一个新的工具--------矩阵的特征值与特征向量.本文应用了大量实例说明矩阵特征值与特征向量在对角化、线性变换、反问题求解、简化矩阵、解析几何等方面的应用,这样会使解题更简便,还简化了计算过程,思路更开阔.关键词:特征值,特征向量,对角化,反问题求解,线性空间Eigenvalue and eigenvector applications Abstract:Theory of matrix is an important content in mathematics. Is also a valuable mathematical tool, it is applied to many disciplines. And in real life, many problems can be abstract representations with the help of matrix calculation. This needs to master relevant properties and applications of the matrix, the matrix of the concept and the related properties are well understood, but the calculation and application of the matrix is not easy to grasp, operation up more troublesome, we need to introduce a new tool -- matrix eigenvalue and eigenvector. This article used a great deal of examples in diagonalization matrix eigenvalue and eigenvector, linear transformations, inverse problem solving, simplified matrix, how resolve several applications, this will make it easier, the problem solving also simplifies the calculation process, thinking more open.Keywords:eigenvalues, eigenvectors, diagonalization, the inverse problem solving, linear space目录一、引言 (1)二、矩阵特征值与特征向量的涵义 (1)(一)、矩阵的特征值与特征向量的定义 (1)（二)、矩阵的特征值与特征向量的性质 (1)三、矩阵的特征值与特征向量的应用 (2)（一)、在对角化方面的应用 (2)（二）、在线性变换的应用 (6)（三）、在反问题求解的应用 (9)（四）、在简化矩阵运算中的应用 (14)（五）、在线性空间中的应用 (18)四、结束语 (19)五、致谢....................................... 错误!未定义书签。
矩阵的特征值与特征向量的应用
矩阵的特征值与特征向量的应用1. 介绍矩阵的特征值与特征向量是线性代数中重要的概念。
特征值表示线性变换中的放缩因子，而特征向量表示在该放缩下不变的向量。
这两个概念的应用十分广泛，本文将介绍其中一些重要的应用。
2. 特征值与特征向量的定义首先，我们来回顾一下特征值与特征向量的定义。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v和一个标量λ，使得下式成立：Av = λv其中，v被称为A的特征向量，λ被称为A的特征值。
3. 矩阵的对角化对于一个n阶方阵A，如果它的特征值都存在且对应的特征向量线性无关，那么A可以被对角化，即可以找到一个对角阵D和一个可逆矩阵P，使得下式成立：A = PDP^-1其中，D是对角矩阵，其对角线元素为A的特征值，P是由A的特征向量构成的矩阵。
对角化的好处在于，通过对角变换，线性变换的计算可以简化为对角矩阵的乘法，大大提高了计算效率。
4. 特征值与特征向量在物理学中的应用特征值与特征向量在物理学中有着重要的应用。
以量子力学为例，量子力学中的物理量（如能量、动量等）被表示为线性变换的特征值，特征向量则表示对应的物理态。
量子力学中的薛定谔方程可以表示为一个本征值问题，即求解哈密顿算符的特征值和特征向量。
通过求解本征值问题，可以得到量子系统的能量本征值和相应的波函数，从而研究量子系统的性质和行为。
5. 特征值与特征向量在图像处理中的应用特征值与特征向量在图像处理中也有广泛的应用。
以图像压缩为例，可以利用矩阵的特征值和特征向量进行图像降维。
首先，将图像表示为一个矩阵，然后计算该矩阵的特征值和特征向量。
接着，根据特征值的大小选择最重要的特征向量，将图像压缩成较低维的形式，从而减少存储空间和传输带宽。
此外，特征值与特征向量还可以应用于图像识别、图像分割等领域。
通过计算图像矩阵的特征值和特征向量，可以提取图像的关键特征，从而实现图像的自动识别和分割。
6. 总结矩阵的特征值与特征向量在许多领域中都有重要的应用。
3矩阵的特征值和特征向量总结[优质ppt]
![3矩阵的特征值和特征向量总结[优质ppt]](https://img.taocdn.com/s3/m/a7eeba043b3567ec102d8af9.png)
命题3 矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。
x 0 ， A x1 x ， A x2 x
1x2x0 （1
2）x
x0
0
1
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0
15.08.2019
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怎样求矩阵A的特征值与特征向量？
Axx 要 求 实 数 与 非 零 向 量 x .
(AI)x0
它有非零解的充分必要条件是
AI 0
a11 a12
即
a21 a22
a1n a2n 0
an1
15.08.2019
an2
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ann
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矩阵的特征方程和特征多项式定义3.2
I A
A的特征矩阵
I A
I A 0
A的特征多项式 A的特征方程
特征方程的根称为A的特征根，也称为A的特征值。
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求矩阵的特征值与特征向量的步骤 (AI)x0
0
1 0
1
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r3
r1
4 1 1
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矩阵的特征值和特征向量的性质及其应用
矩阵的特征值和特征向量的性质及其应用矩阵作为数学中一个非常重要的概念，广泛应用于各个科学领域中。
在矩阵的运算中，特征值和特征向量是其中的一个重要概念。
本文将介绍矩阵的特征值和特征向量的性质以及它们的应用。
一、矩阵的特征值和特征向量的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个实数λ和一个n维非零向量x使得Ax = λx，则称λ为矩阵A的一个特征值，x为矩阵A的对应于特征值λ的一个特征向量。
特征向量可以是任意量值，但是特征向量的长度必须是1。
特征值和特征向量的性质特征值和特征向量都有一些重要的性质，其中一些性质如下：1.特征值的和等于矩阵A的迹假设A的特征值为λ1，λ2，……，λn，则有：λ1+λ2+…+λn=tr(A)其中tr(A)表示矩阵A的迹，即矩阵A的主对角线上元素的总和。
2.特征值的积等于矩阵A的行列式假设A的特征值为λ1，λ2，……，λn，则有：λ1λ2…λn=det(A)其中det(A)表示矩阵A的行列式。
3.对于对称矩阵，所有特征向量都是正交的如果一个矩阵A是对称矩阵，那么所有特征向量都是正交的，即对于不同的特征向量x和y，都有xTy=0。
4.如果一个矩阵是正定矩阵，那么所有特征值都是正的如果一个矩阵A是正定矩阵，那么所有特征值都是正的。
反之，如果一个矩阵A的特征值都是正的，那么矩阵A不一定是正定矩阵。
特征向量的应用特征向量在各个领域中都有非常广泛的应用，其中一些应用如下：1.图像处理特征向量在图像处理中有着非常重要的应用。
通过对一个图像的像素矩阵进行特征向量分解，我们可以得到该图像的主要特征，包括图像的边缘，轮廓等。
2.信号处理特征向量在信号处理中也有重要应用。
通过分析信号的特征向量，我们可以得到信号的主要频率分量，进行频率分析，识别峰值等。
3.机器学习特征向量在机器学习中也非常重要。
在特征提取中，我们可以通过对样本数据进行主成分分析，得到样本的主要特征向量，然后再利用这些特征向量进行分类。
矩阵特征值与特征向量的性质及应用
矩阵特征值与特征向量的性质及应用1 引言矩阵特征值与特征向量在天文学﹑地震学﹑遗传学﹑经济学 ﹑几何学 ﹑振动力学等几十个学科都有具体的应用．它不仅是线性代数中一个重要的基本概念，同时也是数学研究与应用的一个重要工具．本文从6个方面对它的应用进行了探讨，同时也给出了一些相关命题的证明．希望为广大学者学习这部分知识时提供参考．为了便于学习这部分知识，我们给出若干定义．定义)296](1[1P 设A 为数域p 上线性空间v 的一个线性变换，如果对于数域p 中的一个数0λ，存在一个非零向量ξ，使得ξλξ0=A ，则称0λ为A 的特征值，而ξ称为A 的属于特征值0λ的一个特征向量．定义)293](1[2P 设 A ，B 是 数域p 上的两个 n 阶矩阵，如果存在数域p 上的n 阶可逆矩阵x ，使得Ax x B 1-=，则称A 相似与B ，记为A ～B ．定义)293](2[3P 设F 是一个数域，)()(F M a A n ij ∈=，矩阵A 的主对角上所有的元素之和叫矩阵A 的迹．记nn a a a trA +++= 2211．定义)299](2[4P 设A 是数域F 上一个n 阶矩阵，如果存在F 上一个n 阶可逆矩阵T ，使得AT T 1-具有对角形式，就说矩阵A 可以对角化．定义)124](2[5P n 阶行列式D 的元素ij a 的余子式ij M 附以符号ji +-)1(后，叫做元素ij a 的代数余子式．２有关特征值与特征向量的性质性质)382](3[1P 数域p 上的n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量． 性质)382](3[2P 数域p 上的n 阶矩阵A 可对角化的充分条件是A 有n 个不同的特征值． 性质)380](3[3P 若n 阶矩阵A 与B 相似，则⑴ rankB rankA =； ⑵ A =B ； ⑶A E -λ=B E -λ )(P ∈λ；⑷ 'A 与'B 相似，k A 与k B 相似，1-A 与1-B 相似（如果A 可逆的话）； ⑸ 若)(x f 是数域P 上任一多项式，则)(A f ∽)(B f ；⑹ A ∽A ；若A ∽B ，则B ∽A ；若A ∽B ，B ∽C ，则A ∽C ． 性质)381](3[4P 设n 阶方阵A =（a ij ）的几个特征值为1λ，λ2 ，…， λn ，则nn n a a a +++=+++ 221121λλλ．A n =λλλ 21．性质)11](4[5P 设)(F M A mn ∈，)(F M B mn ∈，则)()(BA tr AB tr =．性质6 设 A ，B 为n 阶方阵，试证 （1）trB trA B A tr +=+)(（2）ktrA kA tr =)(（3）trAB trBA =（4）trA AC C tr =')(（其中C 为正交矩阵）． 证明 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n b b b b b b b b b B 212222111211． 则nn nn b b b trB a a a trA +++=+++= 22112211,． （１）trB trA b a b aB A tr ni ii n i ii ni ii ii+=+=+=+∑∑∑===111)()(．（２）ktrA a k kakA tr ni ii ni ii===∑∑==11)(．（３）∑∑∑∑======ni n i nk ki ik nk ki ikb a b aAB tr 1111)()(．∑∑∑∑∑∑=========nk nk ni ki ik nk ni ik ki n i ik ki b a a b a b BA tr 111111)()(．（4）由（3）易得trA C AC tr AC C tr ='=')()(． 性质7 相似矩阵具有相同的迹．证明 因为B A 与相似，则存在可逆矩阵P ，使Ap p B 1-=， 因此，A E A E p pp A E p Ap p E B E -=-=-=-=----λλλλλ111)(．所以， B A 与有相同的特征多项式．即相似矩阵具有相同的特征值． 由矩阵迹的定义知，相似矩阵具有相同的迹．３ 应用举例3.1 已知矩阵的特征值，反求矩阵的问题．例1 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=b a A 12300663有特征值,01=λ 22=λ，求矩阵A ，问A 是否可以对角化？说明理由．分析 由题意知这是已知矩阵中部分特征值来确定矩阵中的参数问题，这类问题一般用特征方程E -λA =0求解．解 因为,01=λ22=λ均为A 的特征值，所以有02,00=-=E -E A A ．即0)183(123006630=+=--==-b a b aA E A ． (1)0]18)2)[(2(21230206612=+--=----=-b a b a E A ． (2)联立（1）（2）解得612302663.6,2---=-==A b a 即．根据nn n a a a +++=+++ 221121λλλ．因为)6(23203-++=++λ 即33-=λ，又因为A 有3个不同的特征值,01=λ22=λ，33-=λ，所以A 可以对角化．3.2 求相似矩阵中的参数例2 已知矩阵B A 与相似，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=20000003,612300663y B x A ，求参数y x 和的值．分析 已知B A 与相似，可以由B A 与的特征多项式相同．即,E B E A λλ-=-来确定矩阵中的参数，也可以利用nn n a a a +++=+++ 221121λλλ．A n =λλλ 21等结论．此题解法不唯一，在此只给出一种解法．解 因为B A 与相似，相似矩阵具有相同的特征值，所以A 的三个特征值分别为2,,3321==-=λλλy ．再利用⎩⎨⎧=++=++λλλλλλ321321332211A a a a ， 即 .2)3(023)6(3⎩⎨⎧⨯⨯-=++-=-++y y x解之得 .0,2==y x3.3 已知矩阵特征值，求代数余子式的和例3 已知3阶方阵][ij a A =的特征值为2，－3，4，求A A A 332211++，其中ij A 为ij a 的代数余子式．分析 因为没有给出组成A 的数a ij ，给出的条件是知道A 的特征值，所以要从特征值的性质入手．解 因为*A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332313322212312111A A A A A A A A A ，所以*332211trA A A A =++． 另一方面λλλ321*++=trA ，其中1λ，λ2，λ3为*A 的特征值．由题设A 的特征值为 2，－3，4．所以.0244)3(2≠-=⨯-⨯=A 故A 为可逆矩阵，且11*24---==A A A A ．由题设A 的特征值为2，－3，4，可推出1-A 的特征值为,2141,31． 可推出1*24--=A A 的3个特征值为.641)24(,8)31()24(,1221)24(321-=⨯-==-⨯-=-=⨯-=λλλ 所以.10)6(8)12(321*332211-=-++-=++==++λλλtrA A A A3.4 已知特征向量，求矩阵及特征向量所对应的特征值例4 已知α＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-111是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2135212b a A 的一个特征向量．⑴试确定参数b a ,及特征向量α所对应的特征值． ⑵问A 能否相似与对角矩阵？试说明理由．解 由a Aa λ=得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2135212b a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111=λ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-111， 得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=-+=--λλλ2135212b a解得 .1,0,3-==-=λb a由于 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=201335212A ，EA λ-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------λλλ201335212=)1(3+-λ． 所以，A 的特征值为1321-===λλλ． 可求得2)(=+E A rank ，从而A 对应的三重特征值-1只有一个线性无关的特征向量，故A 不可以对角化．3.5 抽象矩阵的求解例5 设A 为4阶实矩阵，记A 的伴随矩阵为*A ，已知*A 的特征值为9,1,1,3--．求E A A A 8423+-+．分析 本例没有给出构成矩阵A 的数，而要求矩阵A 的多项式的行列式，教材上给的计算行列式的技巧都用不上只有从性质（３）（４）入手找出矩阵A 的多项式的全部特征值．解 由题设279)3(11*=⨯-⨯⨯-=A ， 知*A 为可逆矩阵， 从而A 也为可逆矩阵，且由AA 14*27-==及A 是实矩阵，A 是实数推出A =3．从而 3**1A A A A ==-．由性质（４）知A *的特征值为9,1,1,3--可推出3*1A A =-的特征值．为3,31,1,31--．从而A 的特征值为.3,31,1,3--取 )(84)(23A f x x x x f =+-+=． 故)(A f 的特征值为28)3(4)3()3()3(23=+-⨯--+-=-f ，128)1(4)1()1()1(23=+-⨯--+-=-f ，,271848314)31()31()31(23-=+⨯-+=f 3283433)3(23=+⨯-+=f 27539)27184(12322)3()31()1()3(8423=-+++=++-+-=+-+f f f f E A AA 3.6 矩阵迹的应用例６ 试证明 不可能有n 阶方阵A ，B 满足I BA AB =-． 证明 由性质（５）、（６）得0)()()(),()(=-=-=BA tr AB tr BA AB tr BA tr AB tr ．而0)(≠=n I tr ，故对任意方阵A ，B 都有I BA AB ≠-．本文在研究矩阵特征值与特征向量性质的基础上，给出了6种典型例题的解法．使看似无法入手的问题得到了解决，另外，邵丽丽在文献[7]中就n 阶矩阵高次幂的求解﹑矩阵反问题的求解以及矩阵的逆矩阵的伴随矩阵等问题进行了详细的探讨；欧云华在文献[5]中给出了一种求解矩阵的新方法．唐鹏程、邹本强、殷庆祥分别在文献[4] 、[6] 、 [8]对矩阵的特征值的性质进行了探讨．在此不在一一介绍有兴趣的读者可以参考详文．参考文献：[1] 北京大学数学系代数小组与几何小组代数小组编．高等代数（第三版）[M]．北京：北京高等教育出版社，2003[2] 张禾瑞．高等代数（第四版）［M］．高等教育出版社，1997[3] 徐仲，陆全，张凯院等．高等代数导教·导学·导考（第二版）[M]．西安：西北工业出版社，2004[4] 唐鹏程．矩阵迹的应用[J]．孝感学院学报，2000，4[5] 欧云华．求特征根﹑特征向量的新方法[J]．长沙大学学报，2003，4[6] 邹本强．特殊矩阵的性质[J]．重庆职业技术学院学报，2006，5[7] 邵丽丽．矩阵特征值﹑特征向量性质的应用研究[J]．荷泽学院学报，2006，5[8] 殷庆祥．实对称矩阵特征值的性质与计算[J]．长春理工大学学报，2003，4[9] W．Greub，Linear Algebra (fourth edition)[M]．Springer－Verleg，1975[10] G.Willam,Linear Algelna With Applications[M]．Allyn and Bacon，Inc.，1984。
浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用(终稿)
浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用摘要特征值与特征向量在现代科学中有重要的应用。
本文介绍了特征值与特征向量的定义以及性质，并且给出了在线性空间中线性变换的特征值、特征向量与矩阵中的特征值、特征向量之间的关系。
然后介绍了几种特征值与特征向量的求解方法。
最后介绍了特征值与特征向量在实际中的应用，如在数学领域中、物理中以及经济发展与环境污染增长模型中的应用等等。
关键字：特征值；特征向量；应用；矩阵；初等变换AbstractEigenvalues and eigenvectors have important applications in modern science. This paper introduces the definition and nature of the eigenvalues and eigenvectors, eigenvalues and gives linear space of linear transformations, eigenvectors and eigenvalues of the relationship matrix, feature vectors. Then introduces several eigenvalues and eigenvectors of solving methods. Finally, the eigenvalues and eigenvectors in practical application, such as in the fields of mathematics, physics, economic development and environmental pollution growth model and the application, and so on.Keys words：eigenvalue；eigenvector；application；matrix；elementary；目录摘要 1Abstract 2第1章引言 41.1 研究背景 41.2 研究现状 41.3 本文研究目的及意义 5第2章特征值与特征向量的一般理论 52.1 特征值与特征向量的定义和性质 52.1.1 特征值与特征向量的定义 62.1.2 特征值与特征向量的性质 62.2 特征值与特征向量的一般求解方法 72.2.1 一般数字矩阵的简单求解 72.2.2 初等变换法求矩阵的特征值与特征向量 9 第3章矩阵的特征值与特征向量的应用研究 113.1 特征值与特征向量在数学领域简单应用 12 3.1.1 高阶高次幂矩阵的求解 123.1.2 在线性递推关系的应用 133.2 特征值与特征向量在物理学中的应用 163.2.1 简单理想状态双振动系统 163.3 环境污染及经济增长模型中的应用 20总结 23参考文献 24第1章引言1.1 研究背景矩阵是数学中的一个重要的基本概念之一,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具.矩阵的特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分，它在高等代数和其他科技领域中占有重要的位置.同时它又贯穿了高等代数的许多重要方面，对于该课题的研究加深了我们对高等代数各个部分的认识，从而使我们更深刻的了解高等代数的相关理论.对矩阵的特征值与特征向量的理论研究和及其应用探究，不仅对提高高等代数以及相关课程的理解有很大帮助，而且在理论上也很重要，可以直接用来解决实际问题.现在矩阵已成为独立的一门数学分支，矩阵特征值与特征向量的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技方面都有十分广泛的应用.1.2 研究现状在此之前已有很多专家学者涉足此领域研究该问题.吴江、孟世才、许耿在《浅谈<线性代数>中“特征值与特征向量”的引入》中从线性空间V中线性变换在不同基下的矩阵具有相似关系出发引入矩阵的特征值与特征向量的定义.郭华、刘小明在《特征值与特征向量在矩阵运算中的作用》中从方阵的特征值与特征向量的性质出发，结合具体的例子阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用.矩阵的特征值与特征向量在结构动力分析中有重要作用，矩阵迭代法是求矩阵的第一阶特征值与特征向量的一种数值方法,但是选取不同的初始向量使结果可能收敛于不同阶的特征值与特征向量，而不一定收敛与第一阶,陈建兵在《矩阵迭代法求矩阵特征值与特征向量初始向量选取的讨论》中讨论了初始向量的选取问题.特征值理论是线性代数中的一个重要的内容，当方阵阶数很高时实际计算比较繁琐，赵娜、吕剑峰在《特征值问题的MATLAB实践》中从实际案例入手，利用MATLAB软件讨论了求解特征值问题的全过程.汪庆丽在《用矩阵的初等变换求矩阵的特征值与特征向量》中研究了一种只对矩阵作适当的初等行变换就能求到矩阵的特征值与特征向量的方法，论证其方法的合理性，并阐述此方法的具体求解步骤.岳嵘在《由特征值特征向量去顶矩阵的方法证明及应用》中探究了已知n阶对称矩阵A的k个互不相等的特征值及k-1个特征向量计算出矩阵A的计算方法.张红玉在《矩阵特征值的理论及应用》中讨论了通过n阶方阵A的特征值得出一系列相关矩阵的特征值,再由特征值与正定矩阵的关系得出正定矩阵的结论.刘学鹏、杨军在《矩阵的特征值、特征向量和应用》一文中讨论了矩阵的特征值和特征向量的一些特殊情况，以及在矩阵对角化方面的应用.冯俊艳、马丽在《讨论矩阵的特征值与行列式的关系》中讨论了利用矩阵的特征值解决行列式的问题.1.3 本文研究目的及意义在前人研究的基础上，本文给出了特征值与特征向量的概念及其性质，特征值与特征向量性质是最基本的内容，特征值与特征向量的讨论使得这一工具的使用更加便利，解决问题的作用更强有力，其应用也就更广泛.在此基础上，对矩阵的特征值与特征向量的计算进行详尽的阐述和说明.利用特征方程求特征值进而求特征向量法、列行互逆变换法、矩阵的初等变换求特征值和特征向量.由于特征值与特征向量的应用是多方面的，本文重点介绍了对特征值与特征向量的应用探究,阐述了特征值和特征向量在矩阵运算中的作用，利用特征值法求解二次型最值问题以及矩阵的高次幂和反求解问题的应用.在例题解析中运用一些特征值与特征向量的性质和方法，可以使问题更简单，运算上更方便，是简化有关复杂问题的一种有效途径.本文就是通过具体的例子加以说明运用特征值与特征向量的性质可以使问题更加清楚，从而把特征值与特征向量在解决实际问题中的优越性表现出来.第2章特征值与特征向量的一般理论2.1 特征值与特征向量的定义和性质为了研究矩阵的线性变换，并且希望能够在线性空间中通过一些线性变换找到一个比较简单的形式，所以引入了特征值与特征向量这一概念。
线性代数(同济大学第五版)矩阵的特征值与特征向量讲义、例题
第五章 矩阵的特征值与特征向量§1矩阵的特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶方阵,如果有数λ和n 维非零列向量x 使得x Ax λ=,则称数λ为A 的特征值,非零向量x 称为A 的对于特征值λ的特征向量.由x Ax λ=得0)(=-x E A λ,此方程有非零解的充分必要条件是系数行列式0=-E A λ,此式称为A 的特征方程,其左端是关于λ的n 次多项式,记作)(λf ,称为方阵A 特征多项式.设n 阶方阵)(ij a A =的特征值为n λλλ,,,21 ,由特征方程的根与系数之间的关系,易知：nn n a a a i +++=+++ 221121)(λλλA ii n =λλλ 21)(例1 设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式482-=A ,求λ. 解：482-=A 64823-=∴-=∴A Aλ⨯⨯=32A 又 1-=∴λ例2 设3阶矩阵A 的特征值互不相同,若行列式0=A , 求矩阵A 的秩.解：因为0=A 所以A 的特征值中有一个为0,其余的均不为零.所以A 与)0,,(21λλdiag 相似.所以A 的秩为2.定理1对应于方阵A 的特征值λ的特征向量t ξξξ,,,21 ,t ξξξ,,,21 的任意非零线性组合仍是A 对应于特征值λ的特征向量.证明 设存在一组不全为零的数t k k k ,,,21 且存在一个非零的线性组合为t t k k k ξξξ+++ 2211，因为t ξξξ,,,21 为对应于方阵A 的特征值λ的特征向量。
则有),,2,1(1t i k Ak i i i ==ξλξ所以)()(22112211t t t t k k k k k k A ξξξλξξξ+++=+++ 所以t t k k k ξξξ+++ 2211是A 对应于特征值λ的特征向量. 求n 阶方阵A 的特征值与特征向量的方法：第一步：写出矩阵A 的特征多项式,即写出行列式E A λ-.第二步：解出特征方程0=-E A λ的根n λλλ,,,21 就是矩阵A 的特征值.第三步：解齐次线性方程组0)(=-x E A i λ,它的非零解都是特征值i λ的特征向量.例3 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为2)1)(2(201034011λλλλλλ--=-----=-E A 所以,A 的特征值为1,2321===λλλ. 当21=λ时,解方程组0)2(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000010001~2010340112E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001p ,所以特征值21=λ的全部特征向量为11p k ,其中1k 为任意非零数.当132==λλ时,解方程组0)(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000210101~101024012E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1212p ,所以特征值132==λλ的全部特征向量为22p k ,其中2k 为任意非零数. 二、特征值与特征向量的性质与定理性质1 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是矩阵A 的所有特征值均非零. 此性质读者可利用A n =λλλ 21可证明.定理 2 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,则21,p p 线性无关.证明 假设设有一组数21,x x 使得02211=+p x p x (1)成立. 以2λ乘等式(1)两端,得0222121=+p x p x λλ (2) 以矩阵A 左乘式(1)两端,得0222111=+p x p x λλ (3) (3)式减(2)式得0)(1211=-p x λλ 因为21,λλ不相等,01≠p ,所以01=x .因此(1)式变成022=p x . 因为02≠p ,所以只有02=x . 这就证明了21,p p 线性无关.性质2 设)(A f 是方阵A 的特征多项式,若λ是A 的特征值.对应于λ的特征向量为ξ,则)(λf 是)(A f 的特征值,而ξ是)(A f 的对应于)(λf 的特征向量,而且若O A f =)(,则A 的特征值λ满足0)(=λf ,但要注意,反过来0)(=λf 的根未必都是A 的特征值.例4 若λ是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量,证明：1-λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量,证明 λ 是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量λξξ=∴A ξξλ11--=∴Aξξλ11--=∴A A A ξξλ*1A A =∴-1-∴λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量, 1-λA 是*A 的特征值,ξ是*A 对应于特征值1-λA 的特征向量.例5 设3阶矩阵A 的特征值1,2,2,求E A --14.解：A 的特征值为1,2,2,,所以1-A 的特征值为1,12,12, 所以E A--14的特征值为4113⨯-=,41211⨯-=,41211⨯-=所以311341=⨯⨯=--E A .例6 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,证明21p p +一定不是A 的特征向量.证明 假设21p p +是矩阵A 的特征向量，对应的特征值为.λ根据特征值定义可知：)()(2121p p p p A +=+λ …………………(1) 21,λλ 又是n 阶方阵A 的特征值，对应的特征向量分别为21,p p .,111p Ap λ=∴ 222p Ap λ= (2)将(2)带入(1)式整理得：0)()(2211=-+-p p λλλλ因为21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p 线性无关.所以21λλλ==.与21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值矛盾. 所以假设不成立.例7 若A 为正交矩阵,则1±=A ,证明,当1-=A 时,A 必有特征值1-;当1=A 时,且A 为奇数阶时,则A 必有特征值1.证明 当1-=A 时.TT T A E A A E A AA A E A +=+=+=+)(A E A E T +-=+-=,所以 .0=+A E `所以1-是A 的一个特征值反证法：因为正交阵特征值的行列式的值为1，且复特征值成对出现，所以若1不是A 的特征值，那么A 的特征值只有-1，以及成对出现的复特征值。
矩阵的特征值与特征向量的计算与应用
矩阵的特征值与特征向量的计算与应用矩阵的特征值与特征向量是线性代数中非常重要的概念，广泛应用于各个领域，如物理、工程、计算机科学等。
本文将介绍特征值与特征向量的概念以及它们的计算方法，并探讨它们在实际应用中的重要性。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，我们将方阵A的特征向量定义为非零向量v，满足Av=λv，其中λ为该特征向量对应的特征值。
特征值与特征向量是成对出现的，一个矩阵可以有一个或多个特征值与对应的特征向量。
特征向量表示了矩阵在某个方向上的拉伸或压缩效果，而特征值则表示了这个特征向量的比例因子。
特征值和特征向量的计算对于理解矩阵在线性变换中的行为非常重要。
二、特征值与特征向量的计算方法要计算矩阵的特征值与特征向量，可以通过求解特征方程来实现。
特征方程的形式为|A-λI|=0，其中A为待求矩阵，λ为特征值，I为单位矩阵。
解特征方程可以得到特征值的取值。
得到特征值后，接下来需要计算对应每个特征值的特征向量。
特征向量可以通过解线性方程组(A-λI)v=0来求解，其中v为特征向量的系数。
解线性方程组可以使用高斯消元法或其他数值方法。
三、特征值与特征向量的应用1. 特征值与特征向量在矩阵对角化中的应用特征值与特征向量的计算可以将一个矩阵对角化，即将矩阵表示为对角矩阵的形式。
对角化后的矩阵具有简洁的形式，可以简化矩阵的计算和分析过程。
2. 特征值与特征向量在物理问题中的应用在物理学中，特征值与特征向量广泛应用于力学、电磁学等领域。
例如，特征向量可以表示力学系统的振动模态，特征值则表示对应振动模态的频率。
3. 特征值与特征向量在图像处理中的应用特征值与特征向量在图像处理中具有广泛应用。
例如，在人脸识别中，可以通过计算图像数据的协方差矩阵的特征值与特征向量，来提取图像的主要特征，从而实现人脸的自动识别。
4. 特征值与特征向量在数据降维中的应用在机器学习中，特征值与特征向量被广泛应用于数据降维。
通过计算数据的协方差矩阵的特征值与特征向量，可以找到数据中最主要的特征，从而实现数据的降维和压缩。
矩阵特征值与特征向量的计算与应用
矩阵特征值与特征向量的计算与应用矩阵特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念，广泛应用于各个科学领域。
在本文中，我们将探讨矩阵特征值与特征向量的计算方法以及它们在实际问题中的应用。
首先，让我们了解矩阵的特征值与特征向量的定义。
给定一个n阶方阵A，如果存在一个数λ和一个非零向量x使得下面的等式成立：Ax = λx其中，λ是矩阵A的特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量的重要性在于它们能够揭示矩阵A的重要性质与特征。
接下来，我们将讨论矩阵特征值与特征向量的计算方法。
一种常用的计算方法是通过求解矩阵的特征方程来得到特征值和特征向量。
特征方程的形式为：|A - λI| = 0式中，A是一个n阶方阵，λ是待求解的特征值，I是n阶单位矩阵。
解特征方程可得到特征值的集合。
然后，我们将每个特征值带入到原方程中，通过高斯消元法求解得到特征向量。
除了求解特征方程的方法外，还有其他相应的计算方法可用于求解矩阵特征值与特征向量。
例如，幂迭代法和QR算法等方法也常用于计算矩阵特征值与特征向量。
矩阵特征值与特征向量的应用十分广泛。
在物理学中，特征值和特征向量常被用于描述量子力学中的态函数和能量。
在机器学习中，特征值与特征向量可以用于降维算法，如主成分分析（PCA），通过选择最大的特征值对应的特征向量，可以将高维数据降至较低维度，保留其关键信息。
此外，在图像处理领域，特征值与特征向量可用于图像压缩算法。
通过选择图像的关键特征向量，可以将图像表示为更紧凑的形式，降低图像存储和传输的开销。
在工程领域中，特征值与特征向量也经常被用于结构振动分析。
通过求解结构系统的特征方程，可以确定系统的固有频率和模态形态，为设计和改进结构提供重要依据。
总的来说，矩阵特征值与特征向量在数学和科学领域中扮演着重要的角色。
通过计算特征值与特征向量，我们可以揭示矩阵的重要特征和性质，并将它们应用于各个领域的实际问题解决中。
在未来，我们可以预见矩阵特征值与特征向量的计算与应用将继续发挥重要作用，并在更多的领域带来新的突破与创新。
线性代数 第五章第一节 矩阵的特征值与特征向量 PPT精品课件
性质6 设 λ1,λ2 ,L,λs为矩阵A的互异特征值 , 对应的
第 五
特征向量分别为 ξ1,ξ2 ,L,ξ s , 则ξ1,ξ2 ,L,ξ s线性无关.
证:⑴ s=1时结论成立；
章
矩
⑵假设s=r-1时成立，则s=r时：
阵 的
设 k1ξ1 + k2ξ2 + L + kr−1ξr−1 + krξ r = 0, (∗)
的
n
特 征 值 与
其中 trA = ∑ aii 为A的迹。 i =1 性质2 设相似矩阵有相同的特征多项式，从而特征
对 角
值也相同。
化
证:设A与B相似, 则存在可逆阵P,使得 B = P −1AP
fB (λ ) = λI − B = λI − P −1AP = P −1(λI − A)P
= P−1 λI − A P = λI − A = fA(λ )
⎜⎛ 1 ⎟⎞
ξ1 = ⎜ 1 ⎟;
⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎜⎛ 1 ⎟⎞
ξ2 =⎜ 0⎟;
⎜⎝ 1 ⎟⎠
⎜⎛ 1 ⎟⎞
ξ3 =⎜ −1⎟ .
⎜⎝ − 1 ⎟⎠
-6-
第一节 矩阵的特征值与特征向量
第
例3 设λ0 为A的特征值,则
五
章
⑴ λm0 为Am的特征值；
矩 阵 的 特
⑵
若A可逆,
则
1
λ0
为A−1的特征值；
征 值 与 对
⑶
若A可逆,
则
1
λ0
A 为A∗的特征值.
角
化
-7-
第一节 矩阵的特征值与特征向量
特征值与特征向量的性质：
特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次
五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件
,n
的列(行)
向量都是单位向量且两两正交．
由此可知A的列向量组构成 Rn的 一个标准正交基。
同样的方法，行向量组也是。
例3 判别下列矩阵是否为正交矩阵．
1
1 1
2
1 2 1
1 3 1 2,
1 3 1 2 1
解 （2）由于
1
9 8
8 9 1
4
9 4
1
9 8
9 9
4 9
4 9
9 7 9
1 1
,
e2
2 2
,
,er
r r
,
那么 e1, e2 , , er为W的一个标准正交基 .
上述
由线
性无关
向量
组1
,,
构造
r
出正交
向量组1,, r的过程,称为施密特正交化过程 .
例1 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1)T , a2 (1, 1, 0, 4)T , a3 (3, 5,1, 1)T
9 4
9
所以它是正交矩阵．
2
1
9 8
8 9 1
4
9 4
.
9 9 9
4 9
4 9
7 9
8 9 1
4
9 4
T
1 0
0 1
0 0
9 4
9
9 7
9
0
0
1
提示：此法为 定义法，利用定理3如何证明？
定理2 设A, B皆是n阶正交矩阵,则
1 A 1或1
2 AT 即A1 也是正交矩阵.
A1 x 1 x 故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1
矩阵的特征值和特征向量的性质和应用
矩阵的特征值和特征向量的性质和应用矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中非常重要的概念，它们具有广泛的应用价值和理论意义。
本文将介绍矩阵的特征值和特征向量的性质和应用，包括如何求解特征值和特征向量、它们代表什么、它们的几何意义与应用。
一、矩阵的特征值和特征向量的定义矩阵的特征值和特征向量是矩阵A与具有相同列数的列向量x 相乘后，得到的仍是x的常数倍的非零列向量x所对应的特征值及其对应特征向量。
数学上，若矩阵A在向量x作用下相当于在x方向上只进行了伸缩，即Ax=λx；（式1）其中，λ表示特征值，x表示特征向量。
在式1中，右边的量可以看作把x向量伸缩λ倍，故特征向量x在矩阵作用下只是尺度改变，即特征向量具有确定的方向。
而特征值λ则表示向这个方向的伸缩倍数。
矩阵A有n个特征值λ1，λ2，…，λn，并对应于n个线性无关的特征向量x1，x2，…，xn。
这n个特征向量可以构成向量空间，且这个向量空间是矩阵A的不变子空间，称为A的特征空间。
二、矩阵的特征值和特征向量的求解对于一个n阶方阵A，要求它的特征值和特征向量，可以通过以下步骤：（1）解出特征方程将矩阵A与单位向量x相乘，得到Ax = λx移项得到(A-λE)x = 0其中，E为n阶单位矩阵，0为列全为0的列向量。
在矩阵A减去λE之后，可以用高斯消元法求出矩阵(A-λE)的秩rank，进而解出λ的值。
由于(A-λE)是一个n阶矩阵，因此可以求得n个特征值。
（2）求解特征向量对于每个特征值λi，构造矩阵(A-λiE)，对于矩阵(A-λiE)，对其进行高斯消元，得到对应的行阶梯形矩阵，这个矩阵的主元位置对应了基础解系的数量。
找出自由未知量，求解出特征向量x。
三、矩阵的特征值和特征向量的应用矩阵的特征值和特征向量在很多领域得到了广泛的应用，例如：线性代数、物理学、机器学习、图像处理、信号处理等等。
1. 线性代数特征值和特征向量在线性代数中被广泛应用。
在矩阵论中，矩阵的对角化涉及到特征向量和特征值。
矩阵的特征值和特征向量-习题ppt课件.ppt
三、矩阵的相似及对角化
b c a
例11．设a,
b,
c均为复数，令A
c
a
b
,
a b c
c a b a b c
B
a
b
c
,
C
b
c
a
b c a c a b
(1)证明：A, B,C彼此相似
（2）若BC CB，则A, B,C的特征根至少有两个等于零．
26
0 1 0
0 0 1
证：（1）令T
其中A是矩阵A的伴随矩阵，试求a, b和的值。 9
解：矩阵A的属于特征值的特征向量为，
由于矩阵A可逆，故A可逆。
于是 0，A 0，且A .
两边同时左乘矩阵A，得AA* A，
即A A ，亦即
2 1 11 1
1
1
2 1
1
b
a 1
A
b
1
10
A
3b
由此，得方程组
使得P1 AP 。(2003年数学2)
解 : 矩阵的特征多项式为:
2 2 0 | E A | 8 2 a
0 0 6
( 6)[( 2)2 16] ( 6)2 ( 2)
29
所以A的特征值λ1 λ2 6，λ3 2
由于A相似于对角矩阵，故对应于λ1 λ2 6，
应有两个线性无关的特征向量,
而r
，
1
，n是A的对应于特征值
0的特征向量，
从而1，2， n线性无关。
令P
（1，
，
2
，n），则P可逆，且
2
P1 AP
2 0
0
即A可对角化，且对角阵中2的个数为r。
浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用
浅谈矩阵的特征值与特征向量的应⽤
浅谈矩阵的特征值与特征向量的应⽤
冯晨
【期刊名称】《未来英才》
【年(卷),期】2015(000)023
【摘要】作为解决线性⽅程的实⽤⼯具，矩阵在数学理论体系的存在由来已久。
本⽂重点讨论了矩阵特征值和特征向量的数学意义，以及利⽤矩阵特征值和特征向量求解数学问题的⼀般⽅法，最后，对于矩阵特征值和特征向量在其它学科中的应⽤进⾏了⼀定程度的拓展。
【总页数】1页(239-239)
【关键词】矩阵;特征值;特征向量;应⽤
【作者】冯晨
【作者单位】长江⼤学信息与数学学院
【正⽂语种】中⽂
【中图分类】
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浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用(终稿)浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用摘要特征值与特征向量在现代科学中有重要的应用。
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然后介绍了几种特征值与特征向量的求解方法。
最后介绍了特征值与特征向量在实际中的应用，如在数学领域中、物理中以及经济发展与环境污染增长模型中的应用等等。
关键字：特征值；特征向量；应用；矩阵；初等变换AbstractEigenvalues and eigenvectors have important applications in modern science. This paper introduces the definition and nature of the eigenvalues and eigenvectors, eigenvalues and gives linear space of linear transformations, eigenvectors and eigenvalues of the relationship matrix, feature vectors. Then introduces several eigenvalues and eigenvectors of solving methods. Finally, the eigenvalues andeigenvectors in practical application, such as in the fields of mathematics, physics, economic development and environmental pollution growth model and the application, and so on.Keys words：eigenvalue；eigenvector；application；matrix；elementary；目录浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用 (2)摘要 (2)Abstract (2)第1章引言 (4)1.1 研究背景 (4)1.2 研究现状 (5)1.3 本文研究目的及意义 (6)第2章特征值与特征向量的一般理论 (6)2.1 特征值与特征向量的定义和性质 (6)2.1.1 特征值与特征向量的定义 (7)2.1.2 特征值与特征向量的性质 (7)2.2 特征值与特征向量的一般求解方法 (8)2.2.1 一般数字矩阵的简单求解 (8)2.2.2 初等变换法求矩阵的特征值与特征向量 (10)第3章矩阵的特征值与特征向量的应用研究 (12)3.1 特征值与特征向量在数学领域简单应用 (13)3.1.1 高阶高次幂矩阵的求解 (13)3.1.2 在线性递推关系的应用 (14)3.2 特征值与特征向量在物理学中的应用 (17)3.2.1 简单理想状态双振动系统 (17)3.3 环境污染及经济增长模型中的应用 (22)总结 (25)参考文献 (26)第1章引言1.1 研究背景矩阵是数学中的一个重要的基本概念之一,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具. 矩阵的特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分，它在高等代数和其他科技领域中占有重要的位置.同时它又贯穿了高等代数的许多重要方面，对于该课题的研究加深了我们对高等代数各个部分的认识，从而使我们更深刻的了解高等代数的相关理论. 对矩阵的特征值与特征向量的理论研究和及其应用探究，不仅对提高高等代数以及相关课程的理解有很大帮助，而且在理论上也很重要，可以直接用来解决实际问题.现在矩阵已成为独立的一门数学分支，矩阵特征值与特征向量的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技方面都有十分广泛的应用.1.2 研究现状在此之前已有很多专家学者涉足此领域研究该问题.吴江、孟世才、许耿在《浅谈<线性代数>中“特征值与特征向量”的引入》中从线性空间V中线性变换在不同基下的矩阵具有相似关系出发引入矩阵的特征值与特征向量的定义.郭华、刘小明在《特征值与特征向量在矩阵运算中的作用》中从方阵的特征值与特征向量的性质出发，结合具体的例子阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用.矩阵的特征值与特征向量在结构动力分析中有重要作用，矩阵迭代法是求矩阵的第一阶特征值与特征向量的一种数值方法,但是选取不同的初始向量使结果可能收敛于不同阶的特征值与特征向量，而不一定收敛与第一阶,陈建兵在《矩阵迭代法求矩阵特征值与特征向量初始向量选取的讨论》中讨论了初始向量的选取问题.特征值理论是线性代数中的一个重要的内容，当方阵阶数很高时实际计算比较繁琐，赵娜、吕剑峰在《特征值问题的MATLAB实践》中从实际案例入手，利用MATLAB软件讨论了求解特征值问题的全过程.汪庆丽在《用矩阵的初等变换求矩阵的特征值与特征向量》中研究了一种只对矩阵作适当的初等行变换就能求到矩阵的特征值与特征向量的方法，论证其方法的合理性，并阐述此方法的具体求解步骤.岳嵘在《由特征值特征向量去顶矩阵的方法证明及应用》中探究了已知n阶对称矩阵A的k个互不相等的特征值及k-1个特征向量计算出矩阵A的计算方法.张红玉在《矩阵特征值的理论及应用》中讨论了通过n阶方阵A的特征值得出一系列相关矩阵的特征值,再由特征值与正定矩阵的关系得出正定矩阵的结论.刘学鹏、杨军在《矩阵的特征值、特征向量和应用》一文中讨论了矩阵的特征值和特征向量的一些特殊情况，以及在矩阵对角化方面的应用.冯俊艳、马丽在《讨论矩阵的特征值与行列式的关系》中讨论了利用矩阵的特征值解决行列式的问题.1.3 本文研究目的及意义在前人研究的基础上，本文给出了特征值与特征向量的概念及其性质，特征值与特征向量性质是最基本的内容，特征值与特征向量的讨论使得这一工具的使用更加便利，解决问题的作用更强有力，其应用也就更广泛.在此基础上，对矩阵的特征值与特征向量的计算进行详尽的阐述和说明. 利用特征方程求特征值进而求特征向量法、列行互逆变换法、矩阵的初等变换求特征值和特征向量.由于特征值与特征向量的应用是多方面的，本文重点介绍了对特征值与特征向量的应用探究,阐述了特征值和特征向量在矩阵运算中的作用，利用特征值法求解二次型最值问题以及矩阵的高次幂和反求解问题的应用.在例题解析中运用一些特征值与特征向量的性质和方法，可以使问题更简单，运算上更方便，是简化有关复杂问题的一种有效途径.本文就是通过具体的例子加以说明运用特征值与特征向量的性质可以使问题更加清楚，从而把特征值与特征向量在解决实际问题中的优越性表现出来.第2章特征值与特征向量的一般理论2.1 特征值与特征向量的定义和性质为了研究矩阵的线性变换，并且希望能够在线性空间中通过一些线性变换找到一个比较简单的形式，所以引入了特征值与特征向量这一概念。
我们知道，在一个有限维的线性空间中，确定一组基之后，线性变化就可以通过矩阵的方法来表示，当然对于一些复杂的形式来说，这种变化过程也十分繁琐。
那接下来就是要讨论如何会使得这些方法变得简洁，首先介绍一下特征值与特征向量的定义。
2.1.1 特征值与特征向量的定义定义1：设A 是n 阶矩阵，如果存在数λ与n 维零向量x ，使关系式Ax x λ= 成立，那么，这样的数λ称为方阵A 的特征值，非零向量x 称为方阵A 的对应于特征值λ的特征向量（λ可以是复数，A 的元素与x 的分量也可以是复数）.可以将关系式 Ax x λ= 写成()0A x λ-E =这是n 个未知数n 个方程的齐次线形方程组.其有非零解的充分必要条件是：系数行列式A E λ-=. 方程组()0A x λ-E =是以λ为未知数的一元n 次方程，称为方阵A 的特征方程.A Eλ-是λ的n 次多项式，记作()f λ,称为方阵A 的特征多项式.显然，A 的特征值就是特征方程的解.特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算）.因此，n 阶矩阵在复数范围内有n 个特征值.2.1.2 特征值与特征向量的性质性质1若i λ是R 的i r 重特征值，R 对应特征值i λ有i s 个线性无关的特征向量，则i is r ≤.性质2 如果12,x x 都是矩阵R 的属于特征值0λ的特征向量,则当11220k x k x +≠时,11220k x k x +≠仍是R 的属于特征值0λ的特征向量．性质3 如果12,,,n λλλ是矩阵R 的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是12,,,nx x x ，则12,,,nx x x 线性无关．性质4 若()ij n nR r ⨯=的特征值为12,,,nλλλ，则 121122n nnr r r λλλ+++=+++，12n Rλλλ=．性质5 实对称矩阵R 的特征值都是实数，属于不同特征值的特征向量正交． 性质6 若i λ 是实对称矩阵R 的i r 重特征值，则对应特征值i λ恰有i r 个线性无关的特征向量，或()i ir R E n r λ-=-．性质7设λ为矩阵R 的特征值，()P x 为多项式函数，则()P λ为矩阵多项式()P R 的特征值．2.2 特征值与特征向量的一般求解方法2.2.1 一般数字矩阵的简单求解通过对于矩阵特征值与特征向量的定义，我们对于一个确定的线性变换A 的特征值与特征向量的求解方法，可以分成以下几个步骤： 1、在线性空间V 中取一组基12n εεε，，，写出线性变换在这组基下的矩阵A ；2、求出矩阵A 的特征多项式E Aλ-在数域P 中的所有的根，这些根就是线性变换下所有的特征值；3、把所求得的特征值逐个带入方程组中，对于每一个特征值，求解方程组，都可以得到一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基12n εεε，，下的坐标，这样我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量。
例2.1 在基123,,εεε下的一组线性变换A 的矩阵形式为R ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪ ⎝⎭122212221，求A 的特征值与特征向量。
解 先求出此矩阵的特征多项式()()E R λλλλλλ----=---=+----212221215221可以看出当E Aλ-为零时，特征值分别为-1（二重）和5。
并先将-1代入齐次方程组()()()x x x x x x x x x λλλ---=⎧⎪-+--=⎨⎪--+-=⎩123123123122021202210可以得到x x x x x x x x x -⎧--=---=--⎨⎩=⎪⎪-123123123222022202220它的基础解系为⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭101，⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭011 由此便可以看出关于特征值-1的两个线性无关的特征向量为ξεε=-113223ξεε=-再根据定义可以得出关于-1的特征向量为1122k k ξξ+，其中的1k 和2k 取不全为零的任意值，然后再将5代入，可得x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩123123123422024202240基础解系为⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭111 所以，对于特征值5的线性无关向量是3123ξεεε=++可以看出特征值5的全部特征向量为3k ξ，k 的值同上，为不全为零的数。