(自用)旋转----技巧题型方法

故选C
点评：本例考查灵活运用翻折前后两个图形是全等的性质的能
力，解题的关键是发现∠EAD=∠EAD′，∠AED=∠AED′
点评：图形沿某条线折叠，这条线就是对称轴，利用轴对称的性
质并借助方程的的知识就能较快得到计算结果。 由此看出，近几年中考，重点突出，试题贴近考生，贴近初中
数学教学，图形运动的思想(图形的旋转、翻折、平移三大运动)都一
分析： 这是一个涉及轴对称平移、旋转的综 合性例子。解题思路主要通过直观观察取得。 这个图案较基本的图形是正方形，一个小正方 形沿对角线方向平移一个对角线长、两个对角线长 后得一正方形串，然后在串的轴线上找一点O为旋 转中心，旋转三个90°后得到题目中给出的图案， 整个过程如图所示。
这个图形是轴对称、旋转对称.中心对称图 形。 方法探究：这里的较基本图形也可以看成线段。一 线段经平移、旋转后得一正方形，然后重复上面的 过程。 2、旋转的思想：旋转也是图形的一种基本变换， 通过图形旋转变换，从而将一些简单的平面图形按 要求旋转到适当的位置，使问题获得简单的解决， 它是一种要的解题方法。 例：如图，正方形ABCD内一点P，∠PAD＝∠PDA ＝15°，连结PB、PC，请问：ΔPBC是等边三角形 吗？为什么？
例2．（2006年江苏省宿迁市）如图，将矩形ABCD沿
AE折叠，若∠BAD′＝30°，则∠AED′ 等于（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
分析：由已知条件∠BAD′＝30°，易得∠DAD′=60º，
又∵D、D′关于AE对称，
∴∠EAD=∠EAD′=30º，
∴∠AED=∠AED′=60º．
∴∠PDQ=90°-15°-15°=60°， ∴△PDQ为等边三角形，
∴∠PQD=60°. ∵∠DQC=∠APD=180°-15°-15°=150°， ∴∠PQC=360°-60°-150°=150°=∠DQC,， ∵PQ=QD=CQ ， ∴∠PCQ＝∠DCQ＝15°
∴∠PCD=30° ∴∠PCB=60° ∵PC=BC=CD ∴ΔPBC为等边三角形 观察思考：旋转是几何变换中的基本变换， 它一般先对给定的图形或其中一部分，通过旋 转，改变位置后得新组合，然后在新的图形中分 析有关图形之间的关系，进而揭示条件与结论之 间的内在联系，找出证题途径。
为帮助广大考生把握好平移，旋转和翻折的特 征，巧妙利用平移，旋转和翻折的知识来解决相关 的问题，下面以近几年中考题为例说明其解法，供 大家参考。 一．平移、旋转
平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动 一定的距离，这样的图形运动称为平移．“一定的方 向”称为平移方向，“一定的距离”称为平移距离。
平移特征：图形平移时，图形中的每一点的平 移方向都相同，平移距离都相等。
【解析】： 将 △ABE以点E为旋转中心，顺时针旋 转90°，此时点B旋转到点B' 处，AE与EF重合，由 旋转特征知：B'E⊥BC ， 四边形B'ECF 为长方形，∴CE=BF'=AB ∵CF+CE=B'E+CE=BE+EC=BC=6
∴CF=BC-CE=6-4=2 二.求角的大小 例:如图，在等边 △ABC中，点E、D分别为
旋转问题
考查三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四边形的性质与判定 等。
旋转性质----对应线段、对应角的大小不变，对应线段的夹角等于旋转 角。注意旋转过程中三角形与整个图形的特殊位置。
1、 直线的旋转 1、(2009年浙江省嘉兴市)如图，已知A、B是线段MN上的两点，
，
，
．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重 合成一点C，构成△ABC，设
旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某 个方向转动一个角度成为与原来相等的图形，这样 的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中 心，图形转动的角叫做旋转角．
旋转特征：图形旋转时，图形中的每一点旋转 的角都相等，都等于图形的旋转角。 例1．（2006年绵阳市中考试题）如图，将ΔABC绕 顶点A顺时针旋转60º后得到ΔAB´C´，且C´为BC的 中点，则C´D:DB´=（ ）
分析：本题关键是说明∠PCD＝∠PBA＝30°，利用
条件可以设想将ΔAPD绕点D逆时针方向旋转90°， 而使A与C重合，此时问题得到解决. 解：将ΔAPD绕点D逆时针旋转90°，得 ΔDP’C，再作ΔDP’C关于DC的轴对称图形 ΔDQC，得ΔCDQ与ΔADP经过对折后能够重合。 ∵PD=QD
平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换。 所谓几何变换就是根据确定的法则，对给定的图形 (或其一部分)施行某种位置变化，然后在新的图形 中分析有关图形之间的关系．这类实体的特点是： 结论开放，注重考查学生的猜想、探索能力；便于
与其它知识相联系，解题灵活多变，能够考察学生 分析问题和解决问题的能力．在这一理念的引导 下，近几年中考加大了这方面的考察力度，特别 是2006年中考，这一部分的分值比前两年大幅度提 高。
∵∠B=90°，AD∥BC ∴四边形ABFD为矩形 ∴FC=BC－AD=3－2=1，∠EDC=∠FDC =90° ∴∠FDC =∠EDG，又∵∠DFC =∠G =90°，ED=CD ∴△EDG≌△CDF，∴EG=CF=1
因此，选择A 点评：明确△ADE的边AD上的高的概念不要误写成DE， 作梯形高是常见的解题方法之一。
点评：几何变换没有可套用的模式，关键是同学们要善于 多角度、多层次、多侧面地思考问题，观察问题、分析问题。
变式题2：如图，矩形纸片ABCD，AB=2，∠ADB=30°，将 它沿对角线BD折叠（使△ABD和△EBD落在同一平面内）则 A、E两点间的距离为＿＿＿
旋转具有以下特征： （1）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样 大小的角度； （2）对应点到旋转中心的距离相等； （3）对应角、对应线段相等； （4）图形的形状和大小都不变。 利用旋转的特征，可巧妙解决很多数学问题，如 一.求线段长. 例：如图，已知长方形ABCD 的周长为20， AB=4，点E在BC上，且 AE⊥EF，AE=EF，求CF 的长。
例1：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC， AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心，逆时针旋转90°至ED，连 结AE、CE，则△ADE的面积是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 不能确定 分析：解题的关键是求△ADE的边AD上的高。可先求作 直角梯形的高DF，想到将△CDF绕D逆时针旋转90°至 △EDG，由EG=GF，只要CF的长，就可以求出△ADE的面 积。 解：过D做DF⊥BC于F，过E做EG⊥，交AD的延长线于G
E，设直线l的旋转角为α.
一考查到了．因此在平时抓住这三种运动的特征和基本解题思路来指导 我们的复习，将是一种事半功倍的好方法。
平移与旋转实际上是一种全等变换，由于具有可操作性， 因而是考查同学们动手能力、观察能力的好素材，也就成了近 几年中考试题中频繁出现的内容。题型多以填空题、计算题呈 现。在解答此类问题时，我们通常将其转换成全等求解。根据 变换的特征，找到对应的全等形，通过线段、角的转换达到求 解的目的。
（一）正三角形类型
在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转 600，使得AB与AC重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、 PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为 正三角形。
例1. 如图：（1-1）：设P是等边ΔABC内的一点，PA=3， PB=4， PC=5，∠APB的度数是________.
AB、BC上的两点，且BE=CD，AD与CE交于点M，求 ∠AME 的大小。
【解析】：因为BC=AC ， ∠ABC=∠ACD=60°,BE=CD,
所以以△ABC的中心（等边三角形三条中线的交
点）O为旋转 中心，将△ADC顺时针旋转120°就得到了△CEB，
∴∠AME=180°-∠AMC=180°-120°=60° 三.进行几何推理
A．1:2 B．1: C．1:
D．1:3
分析： 由于ΔAB´C´是ΔABC绕顶点A顺时针旋转60º后得到
的，
所以，旋转角∠CAC′=60º，ΔAB´C´≌ΔABC，
∴AC´=AC，∠CAC′=60º，∴ΔAC´C是等边三角形 ，
∴AC´=AC´．又C´为BC的中点，
∴BC´=CC´，
易得ΔAB´C、ΔABC是含30º角的直角三角形，
（三）等腰直角三角形类型
在等腰直角三角形ΔABC中， ∠C=Rt∠ , P为ΔABC内一 点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转900，使得AC与BC重合。 经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP' CP为等腰直 角三角形。
例3．如图，在ΔABC中，∠ ACB =900，BC=AC，P为ΔABC内 一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求∠ BPC的度数。
例2 D、E为AB的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A 落在点F处。若∠B=50°，则∠BDF=＿＿＿
分析：通过折纸实百度文库，多次尝试，得出结论。 解：∵D、E为AB的中点， ∴DE∥BC，∠ADE=∠B=50°
由折纸实验得：∠ADE=∠FDE ∴∠BDF=180°－∠ADE－∠FDE=180°－2×50°=80°
（二）正方形类型 在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按 顺时针方向旋转900，使得BA与BC重合。经过旋转变化，将图 （2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的 ΔCPP'中，此时ΔBPP' 为等腰直角三角形。
例2 . 如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的 三个顶点A、B、C的距离 分别为PA=1，PB=2， PC=3。求此正方形ABCD面积。
去，如果它能够与另一个图形重合，那么说这两个图形关于这条直线对 称，这条直线就是对称轴。
解这类题抓住翻折前后两个图形是全等的，弄 清翻折后不变的要素。
翻折在三大图形运动中是比较重要的，考查得 较多．另外，从运动变化得图形得特殊位置探索出 一般的结论或者从中获得解题启示，这种由特殊到 一般的思想对我们解决运动变化问题是极为重要 的，值得大家留意。
变式题1：如图，已知△ABC中AB=AC，∠BAC =90°，直 角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB、AC于点 E、F，给出以下五个结论：
（1）AE=CF（2）∠APE=∠CPF（3）△EPF是等腰直角 三角形（4）EF=AP（5）S四边形AEPF= S△ABC÷2，当∠EPF在 △ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合）上述结论中始 终正确的序号有＿＿＿
例：如图，点F在正方形ABCD的边BC上，AE 平分∠DAF ，请说明DE=AF-BF成立的理由 。
数学思想是解数学题的精髓和重要的指导方法， 在平移和旋转中的应用也相当的广泛，一般可以归
结为两种思想——对称的思想和旋转的思想，具体 的分析如下： 1 、对称的思想：在平移、旋转、对称这些概念 中，对称这一概念非常重要.它包括轴对称、旋转 对称、中心对称.对称是一种种要的思想方法，在 解题的应用非常广泛. 例： 观察图中所给的图案，它可以看成由哪 个较基本的图形经过哪些运动变换产生的？它是不 是轴对称图形？旋转对称图形？中心对称图形？
从而ΔAC´D也是含30º角的直角三角形
点评：本例考查灵活运用旋转前后两个图形是全等的性质、等边三 角形的判断和含30 º角的直角三角形的性质的能力，解题的关键是发 现ΔAC´C是等边三角形． 二、翻折
翻折：翻折是指把一个图形按某一直线翻折180º后所形成的新的
图形的变化。
翻折特征：平面上的两个图形，将其中一个图形沿着一条直线翻折过
． C A B N M （第1题） （1）求x的取值范围； （2）若△ABC为直角三角形，求x的值； （3）探究：△ABC的最大面积？
2、（2009年河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,
∠B
=60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开
始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点