齐次式法与圆锥曲线斜率有关的一类问题

“齐次式”法解圆锥曲线斜率有关的顶点定值问题

定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：

例题、（07山东）

已知椭圆C ：13

42

2=+y x 若与x 轴不垂直的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

解法一（常规法）：m kx y l +=:设1122(,),(,)A x y B x y ，由22

3412

y kx m

x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，

22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->

2121222

84(3)

,3434mk m x x x x k k

-+=-⋅=++ 222

2

121212122

3(4)

()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+

Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-，

1212122

y y

x x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=，

（*） 222222

3(4)4(3)1640343434m k m mk

k k k --+++=+++，（**）

整理得：2

2

71640m mk k ++=，解得：1222,7

k m k m =-=-

，且满足22

340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；

当27k m =-

时，2

:()7

l y k x =-，直线过定点2(,0)7

综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2

(,0).7

◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直

线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))

(,)((2

222022220b a b a y b a b a x +--+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦

对定点张直角的一组性质”）

◆模型拓展：本题还可以拓展为：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=•BP AP k k 定值或=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点。

此模型解题步骤：

Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，∆求出参数范围；

Step2：由AP 与BP 关系（如1-=•BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。

方法评估：此方法求解过程中（*）（**）化简整理计算非常繁琐。下面介绍齐次式法。（上述方法改进还有“点乘双根法”）

解法二（齐次式法）

由以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点P ，知PB PA ⊥，即1-=⋅PB PA k k 。（⋅⋅⋅⋅⋅⋅PB PA k k ⋅为定值）

依题意直线l 不过椭圆的右焦点)0,2(P 设直线1)2(:=+-ny x m l ， 由12432

2

=+y x 得124)22(32

2

=++-y x （⋅⋅⋅⋅⋅⋅凑出因式)0(),2(--y x ）

故04)2(12)2(32

2

=+-+-y x x （

⋅⋅⋅⋅⋅⋅此式不是齐次式，有2次式和1次式，下面齐次化）

故0])2()[2(124)2(32

2=+--++-ny x m x y x （

⋅⋅⋅⋅⋅⋅1的代换）

即0)2(12)2(124)2(3222=-+-++-y x n x m y x （⋅

⋅⋅⋅⋅⋅下面凑出斜率PB PA k k ,。两边同除2

)2(-x ）

故0)312(212)2(42=++-+-m x y n x y ， （⋅⋅⋅⋅⋅⋅因为B A ,是直线与曲线的交点，故B A ,的坐

标满足此式，即2,222

11--x y

x y 是相应方程0)312(1242

=+++m nt t 的解）

故143

12222211-=+=-⋅-=⋅m x y x y k k PB PA ，解得12

7

-=m ，代入1)2(:=+-ny x m l 得

017

2

127=+--ny x ，由⎪⎩⎪⎨⎧==+-00127127y x 得⎪⎩

⎪

⎨⎧==072y x ，故l 过定点)0,72(。 变式此题若改为：已知椭圆C ：13

42

2=+y x 的右顶点P ，若直线与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且=+PB PA k k 3，,求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

此题用传统法解得时要计算，1212322y y

x x ∴+=--，化简变形比原题更难，用齐次式法，与原题类似。 解：由原题齐次式解法得0

)312(2

12)2(42=++-+-m x y n x y ，故33=-=⋅n k k PB PA 解得1-=n ，代入1)2(:=+-ny x m l ，知1)2(:=--y x m l ，过定点)1,2(-。

变式此题若改为：已知椭圆C ：

13

422=+y

x 上一点)23,1(P ，若直线与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且1-=⋅PB PA k k ，,求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

◆迁移训练

练习1：过抛物线M:px y 22

=上一点P （1,2）作倾斜角互补的直线PA 与PB ，交M 于A 、B 两点，求证：直线AB 过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线） 练习2：过抛物线M:x y 42

=的顶点任意作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求证：直线AB 过定点。（经典例题，多种解法）

练习3：过122

2=-y x 上的点)1,1(A 作动弦AB 、AC 且3=•AC AB k k ，证明BC 恒过定点。（本题参考

答案：)5

1,51

(-）

练习:4：设A 、B 是轨迹C ：2

2(0)y px P =>上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且4

π

αβ+=

时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。（参考答案

()2,2p p -）

【答案】设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12,0x x ≠，又直线OA,OB 的倾斜角,αβ满足4

π

αβ+=，

故0,4

π

αβ<<

，所以直线AB 的斜率存在，否则，OA,OB 直线的倾斜角之和为π从而设AB 方程为