5.3.1任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数
5.3象限角的正负号
5.3任意角的正弦函数、 余弦函数、正切函数
动脑思考
探索新知
三
角 函 数
y x sin cos r r
y tan x
在比值存在的情况下，对角α的每一个确定的值,按照 相应的对应关系，角α的正弦、余弦、正切、都分别
有唯一的比值与之对应，他们都是以角α为自变量的
函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，统 称为三角函数．
创设情景
兴趣导入
0, y 0，
当角α的终边在第三象限时，点 的终边在第一象限时，点 的终边在第二象限时，点 的终边在第四象限时，点P在第一象限，x 所以， sinα 0,cosα 0,tanα 0；
sinα>0
cosα<0
y
sinα>0
19 3 ； （4） ． 4 6
2．根据条件 sin 0 且 tan 0 , 确定 是第几象限的角．
归纳小结 自我反思
三
角 函 数
本次课学习 哪些内容？
你会解决 哪些新问题？
体会到哪些 学习方法？
布置作业 继续探究
三
角 函 数
阅读
书面
实践
教材章节5.3
学习与训练5.3
0， 27 0， cos 5 0，
0． 0．
0，
巩固知识 典型例题
三
例3 根据条件 sin 0 且 tan 0 ， 确定 是第几象限的角．
角 函 数
y
y
+ o
sinα
+
x
+
o
-
+
-
x
tanα
应用知识 强化练习
职高第五章三角函数导学案
5.1.1任意角的概念教学目标：（1）引导学生用运动变化的观点了解角的概念的推广（2）明白“任意角”、“象限角”的概念教学重点：“任意角”、“象限角”的概念教学难点：“象限角”的判断预习案：一、复习：问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？______________________________________________________所学的角的范围是什么？______________________________________________________问题2：在体操、跳水中，有“转体0720”这样的动作名词，这里的“0720”，怎么刻画？______________________________________________________二、新知：1．角的概念角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。
射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。
2．角的分类按__________方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。
如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_______重合。
这样，我们就把角的概念推广到了_______，包括_______、________和________。
3、角的表示（1）常用字母A 、B 、C 等表示（2）用字母αβγϕθ、、、、等表示（3）当角作变量时可用字母x 表示4．象限角、轴线角（非象限角）的概念我们常在 直角坐标系 内讨论角。
为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。
那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。
高中数学 三角函数
高中数学：三角函数一、概述三角函数是高中数学的一个重要组成部分，是解决许多数学问题的关键工具。
它涉及的角度、边长、面积等，都是几何和代数的核心元素。
通过学习三角函数，我们可以更好地理解图形的关系，掌握数学的基本概念。
二、三角函数的定义三角函数是以角度为自变量，角度对应的边长为因变量的函数。
常用的三角函数包括正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）和正切函数（tangent）。
这些函数的定义如下：1、正弦函数：sine（θ） = y边长 / r （其中，θ是角度，r是从原点到点的距离）2、余弦函数：cosine（θ） = x边长 / r3、正切函数：tangent（θ） = y边长 / x边长三、三角函数的基本性质1、周期性：正弦函数和余弦函数都具有周期性，周期为 2π。
正切函数的周期性稍有不同，为π。
2、振幅：三角函数的振幅随着角度的变化而变化。
例如，当角度增加时，正弦函数的值也会增加。
3、相位：不同的三角函数具有不同的相位。
例如，正弦函数的相位落后余弦函数相位π/2。
4、奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
5、导数：三角函数的导数与其自身函数有关。
例如，正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是负的正弦函数。
四、三角函数的实际应用三角函数在现实生活中有着广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：1、物理：在物理学中，三角函数被广泛应用于描述波动、振动、电磁场等物理现象。
例如，简谐振动可以用正弦或余弦函数来描述。
2、工程：在土木工程和机械工程中，三角函数被用于计算角度、长度等物理量。
例如，在桥梁设计、建筑设计等过程中，需要使用三角函数来计算最佳的角度和长度。
3、计算机科学：在计算机图形学中，三角函数被用于生成二维和三维图形。
例如，使用正弦和余弦函数可以生成平滑的渐变效果。
4、金融：在金融学中，三角函数被用于衍生品定价和风险管理。
例如，Black-Scholes定价模型就使用了正态分布（一种特殊的三角函数）。
任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数--参考教案
5.3《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》教案授课题目任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数授课课时3课型讲授教学目标1.知识与能力（1）能够运用公式求解任意角的三角函数值；（2）掌握三角函数的表达式；（3）正确判断任意角的三角函数值的符号.2. 过程与方法观察、分析知识形成的过程，归纳、抽象、概括知识的概念，提升寻找数学规律的能力.3. 情感、态度与价值观（1）感知数学知识与实际生活的普遍联系；（2）享受积极交流的课堂气氛，增强学习的兴趣和勇于创新的精神.教学重难点重点：任意角的三角函数值；难点：三角函数值的符号.第1课时教学过程教学活动学生活动设计思路复习引入在初中，我们在直角△ABC中，我们定义了锐角α的正弦、余弦和正切，如图1所示.正弦：asincαα∠==的对边斜边；图1余弦：cos b c αα∠==的邻边斜边；正切：tan a b ααα∠==∠的对边的邻边.现在我们将一个锐角α放入平面直角坐标系中，使得顶点与原点重合， 始边与x 轴的非负半轴重合，如图2所示.已知点(,)P x y 是锐角α终边上的任意一点，点P 与原点O 的距离(0)OP r r =>，你能利用锐角三角函数的定义计算出锐角α所对应的三角函数值吗？分析 过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为x ，线段MP 的长度为y .在Rt OMP ∆中，根据勾股定理可得，222r x y =+，即220r x y =+>.MP sin y OP r α==；OM cos xOP r α==； MP tan yOM xα==.一、探究新知在弧度制下，我们已将α的范围扩展到了全体实数.一般地，如图3所示，当α为任意角时，点结合老师给出的问题，积极主动的思考，得出初步结论.激发学生好奇心，增强学习热情，更主动参与到课堂学习过程中.图2(,)P x y 的α终边上异于原点的任意一点，点P 到原点的距离为22r x y =+.我们仍然将α的正弦、余弦、正切分别定义如下.sin y r α=，cos x r α=，tan (0)yx xα=≠ 注意：当的α终边不在y 轴上时，tan α才有意义.对于每一个确定的α，其正弦、余弦及正切都分别对应一个确定的比 值，因此，正弦、余弦及正切都是以α为自变量的函数，分别叫作正弦函 数、余弦函数及正切函数.我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常记为： 正弦函数 y=sin x ，x R ∈； 余弦函数 cos y x =，x R ∈； 正切函数 y=tan x ，()2x k k Z ππ≠+∈.二、例题讲解例 1.如图3所示，已知角α的终边经过点(3,4)P -， 求 sin α，cos α，tan α的值.理解记忆相关概念和结论在理解的基础上熟练写出相关函数表达式和定义域直观展示知识点，让学生在理解的基础上记忆概念图2解 由已知有，x =3,y =-4,则，()234 5.r =+-=２于是4 ,5ysin r α==-3,5x cos r α==43y tan x α==-.三、巩固练习已知角α的终边分别经过以下各点，求sin cos tan .ααα，和.（1）P(-8，6)； （2）P(5，12)； （3）P （-1，2）.认真读题，积极思考，掌握解题的基本思路认真思考、完成相关题目展示问题解决的基本步骤，培养学生分析解决问题能力加深对定义和公式的理解和记忆图3一般地，α为任意角，(,)P x y 为α终边上异于原点的任意一点，点P 与原点O 的距离OP r =，因为0r >，由定义可知，正弦值的符号与点P 的纵坐标y 的符号相同； 余弦值的符号与点P 的横坐标x 的符号相同； 正切值的符号与点P 的纵坐标与横坐标的比值yx的符号相同. 请同学们将点P 的坐标与各象限角正弦值、余弦值和正切值的正负号列表.为了便于记忆，我们将 ， ， 的正负号标在各象限内，如图4所示.二、例题分析例1确定下列各值的符号.（1）() 210sin -︒； （2）17 12cos π; （3） 760tan ︒. 解 （1）因为-210°是第二象限角，所以() 2100sin -︒>. （2）由1751212πππ=+， 可看出π＜π+5π12＜π+6π12=3π2是第三象限的角， 所以 17012cos π<. （3）因为760402360︒=︒+⨯︒，可知760°的角与400的角终边相同，是第一象限的角，理解并熟记各象限角正弦值、余弦值和正切值的正负号认真读题，积极思考，了解知识运用的一般过程在理解的基础上记忆概念展示问题解决的基本方法，培养学生分析解决问题能力图4第3课时教学过程教学活动学生活动设计思路提出问题如图5所示，两个三角板上有几个特殊的锐角：30°，45°，60°.初中已研究了它们对应的正弦值、余弦值和正切值.现将角的范围进行了推广，已经在平面直角坐标系中研究了各象限角的正弦值、余弦值和正切值的符号分布规律.对于在平面直角坐标系中不属于任何象限的特殊角，如0°，90°，180°，270°等，它们的正弦值、余弦值和正切值又是多少？以180°为例，试求出它的正弦值、余弦值和正切值. 结合老师给出的问题，积极主动的思考，得出初步结论.激发学生好奇心，增强学习热情，更主动参与到课堂学习过程中.图5图6分析 在平面直角坐标系中，180°角的终边正好与x 轴的负半轴重合，如图6所示.以坐标原点为圆心、半径为单位长度的圆(简称单位圆)与x 轴交于点(1,0)P -，于是有1x =-，0y =，1γ=.根据任意角的正弦、余弦和正切的定义可知，sin 1800yr ︒==； cos 1801xr ︒==-；tan 1800yx︒==.一、探究新知一般地，取单位圆与坐标轴的交点就可以得到0°，90°，180°和270°等特殊角的正弦值、余弦值和正切值，如下表所示表中360°角与0°角的终边相同，对应的三角函数值也相同.二、例题讲解例1 求︒-︒+︒-︒270sin 7180tan 290sin 4180sin 5的值.解 ︒-︒+︒-︒270sin 7180tan 290sin 4180sin 5=5×0－4×1＋2×0－7×（－1）=3。
安徽省对口高考复习第五章三角函数
第五章 三角函数（基础模块∙上）一、知识点节次知识点 5.1角的概念推广5.1.1任意角的概念角角的始边 角的终边 角的顶点 正角 负角 零角第几象限角 界限角5.1.2终边相同的角定义表示（象限角、界限角） 5.2弧度制5.2.1弧度制1弧度的角 弧度制角度与弧度的换算公式 特殊角的换算 5.2.2应用举例机械传动 公路弯道5.3任意角的三角函数5.3.1任意角的三角函数的概念 三角函数定义域已知终边上一点 5.3.2各象限角的三角函数值的正负号象限表示5.3.3界限角的三角函数值特殊角的三角函数值 5.4同角三角函数的基本关系 5.4.1同角三角函数的基本关系式单位圆 平方关系 商的关系 5.4.2含有三角函数的式子的求值与化简商的关系5.5诱导公式5.5.1()Z k k ∈⋅+ 360α的诱导公式()Z k k ∈⋅+ 360α的诱导公式5.5.2 －α的诱导公式－α的诱导公式5.5.3 180°α±的诱导公式 180°α±的诱导公式 5.5.4 利用计算器求任意角的三角函数值5.6三角函数的图像和性质5.6.1正弦函数的图像和性质周期现象 周期函数 周期最小正周期 正弦曲线有界性 有界函数无界函数 正弦函数性质 五点法作图5.6.2余弦函数的图像和性质余弦曲线 余弦函数性质 5.7已知三角函数值求角 5.7.1已知正弦函数值求角 5.7.2已知余弦函数值求角 5.7.3已知正切函数值求角 阅读与欣赏 光周期现象及其应用第一章 三角公式（拓展模块）节次知识点1.1两角和与差的正弦公式与余弦公式1.1.1两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 1.1.2两角和与差的正弦公式 两角和与差的正弦公式 1.1.3两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 1.1.4二倍角公式二倍角公式 1.2正弦型函数1.2.1正弦型函数的周期 正弦型函数 计算公式1.2.2正弦型曲线正弦型曲线正弦型曲线变化规律 正弦型曲线五点规律 振幅、频率、相位、初相 a sin x +b cos x 的转化 1.3正弦定理与余弦定理 1.3.1正弦定理 正弦定理 1.3.2余弦定理余弦定理1.3.3正弦定理与余弦定理应用举例阅读与欣赏 刘徽与《海岛算经》二、结构展示三角函数三角公式角的度量 三角函数角概念推广 弧度制 终边相同角 定义、单位圆特殊角诱导公式同角函数 三角函数符号三、考纲解读1、角度概念，弧度制了解角的概念，理解弧度制；终边相同的角的关系是重要的考点之一。
任意三角函数的定义PPT课件
情感目标：培养合作交流、独立思考等良好的个性品质；
这里没以及有打用破成“规使、敢学于生创新掌的科握学…精神…。”、 教学“重使点：学任生意角学的会正弦…、…余弦”等、正通切的常定字义。眼，保 教学障难了点：学用生单位的圆主中的体有地向线位段，表示反三角映函了数值教。法
与学法的结合，尽量体现新教材新 理念。
加强。
第5页/共40页
二. 教法分析
（二）教学方法
建构主义认为，知识是在原有知识的基础上， 在人与环境的相互作用过程中，通过同化和顺应， 使自身的认知结构得以转换和发展。元认知理论指 出，学习过程既是认识过程又是情感过程,是“知、 情、意、行的” 和谐统一。结合本节课的具体内 容，确立讨论法和启发引导法为主要教学方法。
y
T
y
P
P
O MA
A
MO
y T
M
OA
P
T y
这几条与单位圆有关的有向线段 MP,OM,AT叫做角 的正弦线,余弦线, 正切线
MA
O
P
思考:当角 的终边在x轴上或在y 轴上时这些线有何特点?
T
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技能演练
演－－提供范例，规范解题格式； 演－－设置平台，促进讨论交流； 演－－学法指导，提炼求解步骤.
示例 理解
实质
理解
直观理解侧重数学符号、图形等，培养思维的具体和简 约，体现数形结合的思想；程序理解揭示内在联系，并 为后继学习三角函数的图象和性质奠定基础；示例理解 呼应引入，强化认识；归纳理解关注归纳思维，提升综 合能力；实质理解揭示了任意角的三角函数的内涵。
第20页/共40页
(3)三角函数的一种几何表示 利用单位圆有关的有向线段,作出正弦线,余弦线,正切线
第五章三角函数5.3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数分析
授课班级
1421班
1431班
学 时
2
课 程 类 型
理论+习题课
课题或
章节题目
第五章 三角函数
5.3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数
教学目标
知识目标
理解任意角的三角函数的定义及定义域，理解三角函数在各象限的正负号，掌握界限角的三角函数值
能力目标
会利用定义求任意角的三角函数值，培养学生的观察能力
解 取角的公共范围得 为第四象限的角．
通过本次课程理解任意角的三角函数的定义及定义域，理解三角函数在各象限的正负号，掌握界限角的三角函数值，会利用定义求任意角的三角函数值，培养学生的观察能力。
P114 练习1、3、4T
情感目标
结合学生生活实际，创设情境，激发兴趣
教学要求
理解任意角的三角函数的定义及定义域，理解三角函数在各象限的正负号，掌握界限角的三角函数值，会利用定义求任意角的三角函数值，培养学生的观察能力。
教学重点
任意角的三角函数的定义及定义域
教学难点
判断三角函数在各象限的正负号，求任意角的三角函数值
教学方法
讨论、启发、设问
教学手段
教具
教案、板书
主要教学内容及步骤
时间分配（分钟）一、织教学二、导入新课三、讲授新课
四、课堂小结
五、布置作业
1＇
2＇
74＇
2＇
1＇
板书
设计
第五章 三角函数
5.3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数
一、三角函数
二、定义域
三、练习
四、正负号
五、练习
讨 论
思考题
作 业
5.3 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数
【课题】5．3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数
【教学目标】
知识目标：
⑴理解任意角的三角函数的定义及定义域；
⑵理解三角函数在各象限的正负号；
⑶掌握界限角的三角函数值．
能力目标：
⑴会利用定义求任意角的三角函数值；
⑵会判断任意角三角函数的正负号；
⑶培养学生的观察能力．
情感目标：
由三角函数的概念推导出任意角的三角函数值、三角函数的正负号以及界限角的三角函数值使学生体会到数学知识的内在统一性.
【教学重点】
⑴任意角的三角函数的概念；
⑵三角函数在各象限的符号；
⑶特殊角的三角函数值．
【教学难点】
任意角的三角函数值符号的确定．
【教学设计】
（1）在知识回顾中推广得到新知识；
（2）数形结合探求三角函数的定义域；
（3）利用定义认识各象限角三角函数的正负号；
（4）数形结合认识界限角的三角函数值；
（5）问题引领，师生互动．在问题的思考和交流中，提升能力.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
动脑思考 探索新知 是任意大小的角，点B
a c
0>，cos43270>，tan 22=⨯π所以，27角为第三象限角，
这类问题需要首先计算出界限角的三角函数值，然后再31206(1)2-⨯+⨯-⨯-=-．
3tan180+213tan tan sin cos 4332πππ
-+-+π．。
三角函数知识点总结高三
三角函数知识点总结高三高三三角函数知识点总结三角函数是数学中重要的分支之一，与几何形状和角度有关。
在高三数学学习中，三角函数是一个重要的内容。
下面是三角函数知识点的总结，包括正弦函数、余弦函数、正切函数以及它们的性质、图像和应用。
一、正弦函数（sin函数）1. 定义：正弦函数是一个周期函数，以2π为一个周期。
在单位圆上，任意角θ的正弦值可以通过点（cosθ，sinθ）的纵坐标得到。
2. 性质：（1）定义域：实数集R；（2）值域：[-1, 1]；（3）奇函数：sin(-θ) = -sinθ；（4）周期性：sin(θ+2kπ) = sinθ，k为整数；（5）对称轴：y = 0即x轴。
3. 图像：（1）在一个周期内，正弦函数的图像呈现一条锯齿状曲线；（2）幅度：正弦函数图像在y轴上的最大正值或最小负值，记为A；（3）相位：正弦函数图像在x轴上的最左端点对应的角度，记为θ0。
4. 应用：正弦函数的应用广泛，包括物理学、工程学等领域。
例如，震动学和周期性的现象研究中就会用到正弦函数。
二、余弦函数（cos函数）1. 定义：余弦函数是一个周期函数，以2π为一个周期。
在单位圆上，任意角θ的余弦值可以通过点（cosθ，sinθ）的横坐标得到。
2. 性质：（1）定义域：实数集R；（2）值域：[-1, 1]；（3）偶函数：cos(-θ) = cosθ；（4）周期性：cos(θ+2kπ) = cosθ，k为整数；（5）对称轴：y = 0即x轴。
3. 图像：（1）在一个周期内，余弦函数的图像呈现一条波浪状曲线；（2）幅度：余弦函数图像在y轴上的最大正值或最小负值，记为A；（3）相位：余弦函数图像在x轴上的最高峰对应的角度，记为θ0。
4. 应用：余弦函数的应用广泛，主要用于研究周期性的问题，如电流和电压的周期性变化等。
三、正切函数（tan函数）1. 定义：正切函数是一个周期函数，以π为一个周期。
在单位圆上，正切值可以通过点（cosθ，sinθ）的纵坐标除以横坐标得到。
数学上册5.3《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》课件(2)
角的三角函数定义可求解.
解：由题意知 r 82 152 17
所以 sin
y r
15 , cos
17
x r
8 , tan
17
y x
15 8
点评： x、y、r 与角的三角函数值之间存在等式关系，知
道其中一些量，可求其余量，若已知角 的终边上一点的坐
站在瀑布脚下仰望， 好伟大呀，一座珍珠的屏！ 时时吹来一阵风， 把它吹得如烟，如雾，如尘。
尘
尖
站在瀑布脚下仰望， 好伟大呀，一座珍珠的屏！ 时时吹来一阵风， 把它吹得如烟，如雾，如尘。
世 界 上 最 宽 的 瀑 布 伊 瓜 苏 瀑 布
------
世界上最高的瀑布-----安赫尔瀑布
世界第一瀑布----维多利亚瀑布
世界第二瀑布----尼亚拉加瀑布
世界第三瀑布----中国贵州黄果树瀑布
黄河壶口瀑布
全世界最大的黄色瀑布
壶口瀑布
瀑布
还没看见瀑布， 先听见瀑布的声音， 好像叠叠的浪涌上岸滩， 又像阵阵的风吹进松林。
山路忽然一转， 啊！望见了瀑布的全身！
这般景象没法比喻， 千丈青山衬着一道白银。
站在瀑布脚下仰望， 好伟大呀，一座珍珠的屏！
tan y
x
教学目标 重点难点 情境导入 探究新知 例题分析 检测反馈 总结提升
3.在直角坐标系中将锐角推广到任意角
已知点P(x, y)是第四象限角终边上任意一点，
则OP r x2 y2
y
o ﹒M x
定义
﹒Px, y
sin y
【课题】5.3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数(第一课时)
【课题】5．3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数(第一课时) 【教学目标】
知识目标：
⑴理解任意角的三角函数的定义及定义域；
⑵理解三角函数在各象限的正负号；
⑶掌握界限角的三角函数值．
能力目标：
⑴会利用定义求任意角的三角函数值；
⑵会判断任意角三角函数的正负号；
⑶培养学生的观察能力．
【教学重点】
⑴任意角的三角函数的概念；
⑵三角函数在各象限的符号；
⑶特殊角的三角函数值．
【教学难点】
任意角的三角函数值符号的确定．
【教学设计】
（1）在知识回顾中推广得到新知识；
（2）数形结合探求三角函数的定义域；
（3）利用定义认识各象限角三角函数的正负号；
（4）数形结合认识界限角的三角函数值；
（5）问题引领，师生互动．在问题的思考和交流中，提升能力.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
B
c
a
动脑思考探索新知。
(完整版)三角函数公式大全
三角函数公式一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=，正弦函数：r y =αsin 余弦函数：r x =αcos 正切函数：x y=αtan 余切函数：y x =αcot 正割函数：xr=αsec 余割函数：y r =αcsc 二、同角三角函数的基本关系式六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。
”倒数关系：1csc sin =⋅x x ，1sec cos =⋅x x ，1cot tan =⋅x x 。
商数关系：x x x cos sin tan =，xxx sin cos cot =。
平方关系：1cos sin 22=+x x ，x x 22sec tan 1=+，x x 22csc cot 1=+。
积的关系：sinx=tanx·cosx cosx=sinx·cotx tanx=sinx·secxcotx=cosx·cscx secx=tanx·cscx cscx=secx·cotx三、诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2kπ＋α）＝sinα cos （2kπ＋α）＝cosαtan （2kπ＋α）＝tanα cot （2kπ＋α）＝cotα (其中k ∈Z)公式二：设α为任意角，π＋α的三角函数的值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）＝－sinα cos （π＋α）＝－cosα tan （π＋α）＝tanα cot （π＋α）＝cotα公式三：任意角α与－α的三角函数值之间的关系：sin （－α）＝－sinα cos （－α）＝cosα tan （－α）＝－tanα cot （－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π－α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）＝sinα cos （π－α）＝－cosα tan （π－α）＝－tanα cot （π－α）＝－cotα 公式五：απ-2与α的三角函数值之间的关系：sin （απ-2）＝cosα cos （απ-2）＝sinα tan （απ-2）＝cotα cot （απ-2）＝tanα公式六：απ+2与α的三角函数值之间的关系：sin （απ+2）＝cosα cos （απ+2）＝－sinα tan （απ+2）＝－cotα cot （απ+2）＝－tanα公式七：απ-23与α的三角函数值之间的关系： sin （απ-23）＝－cosα cos （απ-23）＝－sinαtan （απ-23）＝cotα cot （απ-23）＝tanα公式八：απ+23与α的三角函数值之间的关系：sin （απ+23）＝－cosα cos （απ+23）＝sinαtan （απ+23）＝－cotα cot （απ+23）＝－tanα公式九：利用公式一和公式三可以得到2π－α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π－α）＝－sinα cos （2π－α）＝cosα tan （2π－α）＝－tanα cot （2π－α）＝－cotα⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。
5.3.1 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念
5.3.1 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念一、教材分析1．教材的地位和作用：本节课是《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》的第一课时，在此之前，学生已经学过“锐角三角函数”的相关知识以及“角的推广”，现在学习本节课是一个“从特殊到一般”的学习过程，学好此知识也为接下来学习“同角三角函数的基本关系”打好扎实的基础，因此它在知识体系上起着承上启下的作用。
另外三角函数知识在物理学、天文学、测量学、模具数控加工等领域均有重要的应用，因此它在现实生活中起着服务专业的作用。
2.学情分析及教材处理：本人所授课的班级为2012级数控专业班的学生，他们优点是思维形象直观，对专业兴趣浓厚，而且他们即将学习的数控专业知识中需要用到三角函数知识。
针对学生的优点，我对教材进行了适当的调整处理：○1增加信息化在教学中的运用，优化教师课堂教学，激发学生学习兴趣。
○2增加解决专业问题的实例，满足学生专业学习需求，体现数学的实用性。
不过中职学生也有自身的不足，那就是深入思考能力欠缺，计算能力比较薄弱。
针对学生的不足，我简化了定义的推导，强化了知识的应用。
同时让学生小组互助合作，借助计算器求值计算。
3．教学目标：➢知识目标：理解任意角三角函数的定义，能熟练运用相关知识解决实际问题。
➢能力目标：培养学生观察分析、探索归纳、解决问题的能力，提高学生信息素养。
➢情感目标：在学习中培养学生互教互学的合作精神，同时让学生感悟数学的实用性。
4．教学重点：任意角三角函数的定义。
5．教学难点：任意角三角函数定义在现实生活中的灵活应用。
二、教法、学法：在教学中，以数学家弗赖登塔尔的“数学现实”理论为指导，借助信息化手段辅助教学。
首先通过教师的动画演示，学生的观察思考，联系专业引入新课。
然后经过教师的启发诱导和学生的讨论交流，探究定义。
接着通过教师示范讲授例题，学生小组合作练习，巩固新知识。
最后通过教师的精讲点拨和学生的自主探究，将数学知识服务于专业。
5.3.1任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念史德俊
5.3.1任意角的正弦函数、 余弦函数、正切函数
一、创设情景 兴趣导入
锐角三角函数的定义是什么？
C
在 RtABC 中，
sin
cos
ba
tan
．
A
cB
创设情景 兴趣导入
将 Rt⊿ABC 放在直角坐标系中，使得点 A 与坐标原点重合，
AC 边在 x 轴的正半轴上．三角函数的定义可以写作：
• 1.角α的正弦、余弦、正切分别如何定义的？ • 2.各三角函数的定义域是什么？
三 角 函 数
三、合作讨论，共同探究
设 是任意大小的角，点 P(x, y) 为角 的终边上 不与原点重合的任意一点，点 P 到原点的距离为
r x2 y2 ，角 的正弦、余弦、正切分别定义为
y
P（x , y)
三
合作讨论，共同探究
正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表所示：
角
三角函数
定义域
函
sin
R
cos
R
数
tan { k , k Z}
2
三 角 函 数
动脑思考 探索新知
当角α采用弧度制时，角α的取值集合与实数集R之 间具有一一对应的关系，所以三角函数是以实数α 为自变量的函数．
ry
o x Bx
sin y
r
cos x
r
tan y
x
三 角 函 数
动脑思考 探索新知
sin y cos x tan y
r
r
x
在比值存在的情况下，对角α的每一个确定的值,按照 相应的对应关系，角α的正弦、余弦、正切、都分别 有唯一的比值与之对应，他们都是以角α为自变量的 函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，统 称为三角函数．
三角函数总结大全附记忆口诀
三角函数总结大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。
它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。
其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。
下面为大家整理的三角函数公式大全：（一）任意角的三角函数及诱导公式1．任意角概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。
旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。
为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。
如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。
2．象限角、终边相同的角、区间角角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。
那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。
终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2kπ(k∈Z)，即β∈{β|β=2kπ+α，k∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。
区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α|6π≤α≤65π}=[6π，65π]。
3．弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。
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5.3.1任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.已知角α的终边经过点(−4,3)，则cosα=()
A. −4
5B. 3
5
C. −3
5
D. 4
5
2.角α的终边经过点P(b,4)，且cosα=−3
5
，则b的值为()
A. ±3
B. 3
C. −3
D. 5
3.已知角α终边上一点P(−8,6)，则sinα=()
A. −4
5B. −3
4
C. 3
5
D. −4
3
4.已知角θ的终边过点P(−12,5)，则cosθ+sinθ=()
A. −5
12B. −7
13
C. 12
13
D. 5
13
5.设角α的终边过点P(1,−2)，则2sinα
cosα
的值是()
A. −4
B. −2
C. 2
D. 4
6.已知角α的终边经过点P(−3,−4)，则sinα=()
A. −4
5B. −3
5
C. 4
3
D. 3
4
7.若角α的终边经过点(2,−1)，则sinα=()
A. 2√5
5B. √5
5
C. −√5
5
D. −2√5
5
8.已知角α的终边经过点P(−1,2)，则sinα=()
A. −√5
5B. 2√5
5
C. −2
D. −1
2
9.若角α的终边过点P(−2,1)，则cosα的值为()
A. −2
5√5 B. 2√5
5
C. −√5
5
D. √5
5
10.已知角α终边经过点P(−5,−12)，则tanα的值是()
A. 12
5B. −12
5
C. 5
12
D. −5
12
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.已知角α的终边经过点P(−5,12)，则sinα
tanα
的值为______．
12.已知角α的终边过点P(−3,2√2)，则cosα=______．
13.已知点P(1,2)在α终边上，则6sinα+8cosα
3sinα−2cosα
=______ ．
14.已知点P(4,−3)在角α的终边上，则2sinα+cosα=______．
15.“A=π
6”是“sinA=1
2
”的_________条件
16.已知角α的终边经过点P(−4,3)，则2sinα+cosα的值是．
17.若角α的终边过点(−1,2)，则tanα=__________．
18.若角α的终边过点(−1,2)，则tanα=
三、解答题（本大题共6小题，共46.0分）
.求m和cosα的值；
19.已知A(−4,m)是α终边上一点，且sinα=−3
5
).
20.已知角α的终边与单位圆在第二象限交于点P(m,4
5
(1)求m的值；
(2)求cosα．
21.已知角α的终边过点(3,4).求sinα,cosα的值；
22.在平面之间坐标系中，角α的终边经过点P(1,2)．
(1)求tanα的值；
(2)求sinα+2cosα
的值．
2sinα−cosα
23.已知角α的终边在直线y=−2x上．
(Ⅰ)求tanα；
(Ⅱ)求sinα+3cosα
的值．
sinα−cosα
24.在直角坐标平面中，角α的始边为x轴正半轴，终边过点(−2,y)，且tana=−1
，
2分别求y，sinα，cosα的值．。